【成才之路】高中数学 算法案例第2课时秦九韶算法与进位制学案课件 新人教A版必修3

可根据秦九韶算法原理，将所给多项式改写，
然后由内到外逐次计算即可． f(x)＝1＋x＋0.5x2＋0.16667x3＋0.04167x4＋0.00833x5＝ ((((0.00833x＋0.04167)x＋0.16667)x＋0.5)x＋1)x＋1， 而x＝－0.2，所以有
v0＝a5＝0.00833，v1＝v0x＋a4＝0.04，
1．把一个n次多项式f(x)＝anxn ＋an－1xn－1 ＋„＋a1x＋
a0改写成如下形式： f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋„＋a1x＋a0 ＝(anxn－1＋an－1xn－2＋„＋a1)x＋a0 ＝((anxn－2＋an－1xn－3＋„＋a2)x＋a1)x＋a0
＝„
＝(„((anx＋an－1)x＋an－2)x＋„＋a1)x＋a0
[例4] 用秦九韶算法求多项式f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x ＋1当x＝2时的函数值f(2)．
[解析]
本例中，有几项不存在，可视这些项的系数
为0，如含x5的项可记作0·x5. ∴f(x)＝8x7 ＋5x6 ＋0·x5 ＋3x4 ＋0·x3 ＋0·x2 ＋2x＋1＝ ((((((8x＋5)x＋0)·x＋3)·x＋0)·x＋0)·x＋2)x＋1 按照由内及外的顺序，依次计算一次多项式当x＝2时
4．十进制数与k进制数可以相互转换
(1)把k进制数化为十进制数的方法是：先把这个k进制 数写成用各位上的数字与k的幂的乘积之和的形式，再按照 十进制数的运算规则计算出结果．如anan－1„a2a1a0(k)＝ an×kn＋an－1×kn－1＋„＋a2×k2＋a1×k＋a0 逐个减小1，最后是0次幂． (2)将十进制化为k进制数的方法叫 除k取余法 ．即用k 连续去除该十进制数或所得的商，直到商是零为止，然后 把每次所得的余数倒着排成一列，就是相应的k进制数．例 .其中要注
v2＝v1x＋a3＝0.15867，v3＝v2x＋a2＝0.46827， v4＝v3x＋a1＝0.90635，v5＝v4x＋a0＝0.81873. 即f(－0.2)＝0.81873.
[点评] 利用秦九韶算法计算多项式的值，关键是能
正确地将所给多项式改写，然后由内向外逐次计算，由于 后项计算需用前项的结果，故应认真、细心，确保中间结 果的准确性．
求多项式f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1当x＝－2时 的值．
[解析] 先改写多项式，再由内向外计算．
f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1 ＝((((x＋5)x＋10)x＋10)x＋5)x＋1. 而x＝－2，所以有： v0＝1，v1＝v0x＋a4＝1×(－2)＋5＝3，
n(n＋1) (3)用秦九韶算法将一个多项式(n 次)的至多 次乘法 2 和 n 次加法运算减少为至多 n 次乘法和 n 次加法运算，大大提 高了运算效率． 通过学习体会提高运算效率对用计算机解决问题的好处， 从而明确算法设计的一个重要问题——提高运算效率，进一步 领悟算法思想．
2．进位制的理解与程序设计
求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式 的值，然后由内向外逐层计算一次多项式的值． 这样通过一次式的反复运算，逐步得出高次多项式的 值的方法称作 秦九韶算法 ．
观察上述秦九韶算法中的 n 个一次式可见，只要令 v ＝a 0 n 其中 k＝1,2， „， 就得到了一个递推关 n vk＝vk－1x＋an－k 系．这个递推关系是一个反复执行的步骤，可用循环语句 来实现．
2．进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系
统．“满十进一”就是十进制，“满二进一”就是二进制， “满k进一”就是 需要使用 数字． k个 k进制 ，k进制的基数是k，因此k进制
3．若k是一个大于1的整数，以k为基数的k进制数可以
表示为一串数字连写在一起的形式：
anan－1„a1a0(k)(0<an<k,0≤an－1，„，a1，a0<k) 其中右下角括号内的数字k表明此数是k进制数，十进 制的基数不标注．
WEND
PRINT b END
程序框图
依据此程序：
第1轮(i＝1)循环结束时b＝a0. 第2轮(i＝2)循环结束时b＝a1k＋a0. „ 第j轮(i＝j)循环结束时，b＝aj－1kj－1 ＋aj－2kj－2 ＋„＋
a1k＋a0.
最后结束时，b＝ankn＋an－1kn－1＋„＋a1k＋a0.
(4)将一个十进制数a化为k进制数b的步骤：
v＝v*x＋a(n－i) i＝i＋1 WEND PRINT v
END.
说明：也可以把输入f(x)的系数ak，放在循环体内，用
一次循环实现． INPUT i＝n－1 WHILE i>＝0 “n，an，x＝”；n，v，x
INPUT
“ai＝”；a
v＝v*x＋a i＝i－1 WEND PRINT v
END
进行计数．例如十进制，逢“十”进一，二进制逢“二”
进一． (6)非十进制数之间的转化一般应先转化成十进制数， 再将这个十进制数转化为要化成的另一种进位制数．
[例1]
用秦九韶算法求多项式f(x)＝1＋x＋0.5x2＋
0.16667x3＋0.04167x4＋0.00833x5在x＝－0.2时的值．
[解析]
anan－1„a2a1a0(k) ＝an×kn ＋an－1×kn－1 ＋„＋a2×k2 ＋ a1×k＋a0我们用t＝a MOD 10来求k进制数a除以10的余数 即此数的个位，用a＝a\10来记录a除以10的整数商．故把k 进制数a(共有n位)转化为十进制数b的算法程序为：
INPUT
i＝1 b＝0
q＝a\k
r＝a MOD k b＝b＋r*10^i i＝i＋1 a＝q
LOOP UNTIL
PRINT b END
q＝0
用WHILE语句编程如下：
(1)十进制数a化为k进制数b的程序语句．
INPUT b＝0 i＝0 q＝1 “a，k＝”；a，k
WHILE q<>0
q＝a\k
r＝a MOD k b＝b＋r*10^i
(2)f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋„＋a1x＋a0当x＝x0时，求函
数值f(x0)的算法设计． 程序框图：
程序语句：
INPUT i＝0 WHILE INPUT i<＝n “ai＝”；a(i) “n＝”；n
i＝i＋1
WEND INPUT i＝1 v＝a(n) “x0＝”；x
WHILE i<＝n
“a，k，n＝”；a，k，n
t＝a MOD 10 DO b＝b＋t*k^(i－1) a＝a\10 t＝a MOD 10
i＝i＋1
LOOP UNTIL PRINT b i>n
END
其当型循环程序为：
INPUT i＝1 b＝0 t＝a MOD 10 “a，k，n＝”；a，k，n
WHILE i<＝n
b＝b＋t*k^(i－1) a＝a\10 t＝a MOD 10 i＝i＋1
←求a除以k的整数商
←求a除以k的余数 ←把余数依次从右到左排列得 到k进制数b
i＝i＋1
a＝q
WEND PRINT b END
(5)k进制数的性质：
①在k进制中，具有k个数字符号；例如十进制，有 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字．十六进制有0～9和A、B、C、 D、E、F共十六个数字． ②在k进制中，由低位向高位是按“逢k进一”的规则
[点评] 上述程序可以把任何一个k进制数a(共有n位) 转化为十进制数b，只要输入相应的a，k，n的值即可．
把7进制数24005(7)化为十进制数的结果为________． [答案] 2401 [解析] 只需将该数写成其各位上的数字与7的幂的乘
积之和的形式，再计算即可化为十进制数．
24005(7)＝2×74＋4×73＋0×72＋0×71＋5＝2401， 故七进制数24005(7)化成十进制数为2401.
相互转换．
1． 理解秦九韶算法的关键： 一是弄清算法原理是加法对 乘法的分配律，二是弄清算法设计中递推关系是一个反复执 行的运算，故用循环语句来实现． (1)秦九韶算法过程分析： v ＝a ， 0 n 由于 其中 k＝1,2，„，n. vk＝vk－1x＋an－k. 这样我们便可由 v0 依次求出 v1，v2，„，vn： v1＝v0x＋an－1，v2＝v1x＋an－2，v3＝v2x＋an－3，„，vn＝ vn－1x＋a0. 于是我们用 v 来记录每次一次式计算的结果，最初赋值 v＝an，用 v＝v*x＋an－i 实现递推循环，i 的初值为 1，i＝i＋ 1 记录循环次数， i≤n 控制何时结束循环输出 v.f(x)的系数 ak 用一个循环语句实现输入．
结构可以设计程序． 314706(8) ＝ 3×85 ＋ 1×84 ＋ 4×83 ＋ 7×82 ＋ 0×81 ＋ 6×80＝104902.所以，化为十进制数是104902. 8进制数314706(8) 中共有6位，因此可令a＝314706，k
＝8，n＝6，设计程序如下：
程序运行时输入314706,8,6.
的值：
v0＝8； v4＝87×2＋0＝174； v1＝8×2＋5＝21; v5＝174×2＋0＝348； v2＝21×2＋0＝42; v6＝348×2＋2＝698； v3＝42×2＋3＝87; v7＝698×2＋1＝1397.
∴f(2)＝1397.
[例5] 将五进制数434化为二进制数．
[解析] 先将五进制数化为十进制数． 434(5)＝4×52＋3×51＋4×50＝119， 再将十进制数119化为二进制数．
[解析]
1.先把二进制数写成不同位上数字与2的幂的பைடு நூலகம்
乘积之和的形式，再按照十进制数的运算规则求出结果 1110011(2) ＝ 1×26 ＋ 1×25 ＋ 1×24 ＋ 0×23 ＋ 0×22 ＋ 1×21＋1＝115. 2．利用把k进制数化为十进数的一般方法就可以将8进