秦九韶算法与进位制课件
新课标人教版高中数学必修三第一章 第三节《算法案例》第二课时秦九韶算法与进位制(共33张ppt)
v2＝21×2＋0＝42， v3＝42×2＋3＝87， v4＝87×2＋0＝174， v5＝174×2＋0＝348， v6＝348×2＋2＝698， v7＝698×2＋1＝1 397.
所以当 x＝2 时，f(x)＝1 397. 同理可求当 x＝－1 时，f(x)＝－1， 又因为 f(－1)f(2)＝－1 397<0， 则 f(x)在区间[－1，2]上有零点．
v0 1
v1 v0x 1 1 5 1 6
v2 v1x 1 6 5 1 31
v3 v2x 1 31 5 1 156 所以当x=5时， v4 v3x 1 156 5 1 781 多项式的值 v5 v4x 1 781 5 1 3906 为3906
a=rnrn-1…r1r0(2)
十进制化k进制的算法 思考1:根据上面的分析，将十进制数a化为二进制数的算 法步骤如何设计？
第一步，输入十进制数a的值.
第二步，求出a除以2所得的商q，余数r.
第三步，把所得的余数依次从右到左排列.
第四步，若q≠0，则a=q，返回第二步； 否则，输出全部余数r排列得到的二进制数.
求多项式 f (x) = 1+ 2x + 3x2 + 4x 3 + 5x 4 在x=a时的值.
3
例 3:利用秦九韶算法分别计算 f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1 在 x＝2 与 x＝－1 时的值，并判断 f(x)在区间[－1，2]上有没有零
点．
【解】 因为 f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1 ＝((((((8x＋5)x＋0)x＋3)x＋0)x＋0)x＋2)x＋1， 且 x＝2，
开始
21-22版：§1.3 第2课时 秦九韶算法与进位制（步步高）
第2课时秦九韶算法与进位制学习目标 1.了解秦九韶算法.2.了解生活中的各种进位制，了解计算机内部运算为什么选择二进制.3.会用除k取余法把十进制转换为各种进位制，并理解其中的数学规律．知识点一秦九韶算法功能计算n次多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0的值改写后的形式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0计算方法从括号最内层开始，由内向外逐层计算v1＝a n x＋a n－1，v2＝v1x＋a n－2，v3＝v2x＋a n－3，…v n＝v n－1x＋a0，这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值.知识点二进位制及进位制之间的转化1．概念：进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定“满几进一”就是几进制，几进制的基数(大于1的整数)就是几．2．不同进位制之间的转化：(1)k进制化为十进制的方法：a n a n－1…a1a0(k)＝a n×k n＋a n－1×k n－1＋…＋a1×k＋a0(a n，a n－1，…，a1，a0∈N,0<a n<k,0≤a n－1，…，a1，a0<k)．(2)十进制化为k进制的方法——除k取余法．1．二进制数中可以出现数字2.(×)2．把十进制数转化成其它进制数的方法是除k取余法．(√)3．不同进制数之间可以相互转化．(√)一、秦九韶算法的应用例1用秦九韶算法求多项式f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1当x＝－2时的值．解f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1＝((((x＋5)x＋10)x＋10)x＋5)x＋1.当x＝－2时，有v0＝1；v1＝v0x＋a4＝1×(－2)＋5＝3；v2＝v1x＋a3＝3×(－2)＋10＝4；v3＝v2x＋a2＝4×(－2)＋10＝2；v4＝v3x＋a1＝2×(－2)＋5＝1；v5＝v4x＋a0＝1×(－2)＋1＝－1.故f(－2)＝－1.反思感悟(1)先将多项式写成一次多项式的形式，然后运算时从里到外，一步一步地做乘法和加法即可．这样比直接将x＝－2代入原式大大减少了计算量．若用计算机计算，则可提高运算效率．(2)注意：当多项式中n次项不存在时，可将第n次项看作0·x n.跟踪训练1用秦九韶算法计算多项式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64当x ＝2时的值．解根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64.由内向外依次计算一次多项式当x＝2时的值：v0＝1；v1＝1×2－12＝－10；v2＝－10×2＋60＝40；v3＝40×2－160＝－80；v4＝－80×2＋240＝80；v5＝80×2－192＝－32；v6＝－32×2＋64＝0.所以当x＝2时，多项式的值为0.二、k进制化为十进制例2(1)把二进制数1 110 011(2)化为十进制数．(2)将8进制数314 706(8)化为十进制数．解(1)1 110 011(2)＝1×26＋1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝115.(2)314 706(8)＝3×85＋1×84＋4×83＋7×82＋0×81＋6×80＝104 902.所以，化为十进制数是104 902.反思感悟将k进制数a n a n－1…a1a0(k)化为十进制数的方法：把k进制数a n a n－1…a1a0(k)写成各数位上的数字与基数k的幂的乘积之和的形式，然后计算出结果即为对应的十进制数．跟踪训练2(1)将八进制123(8)化为十进制数，结果为()A．11 B．83 C．123 D．564(2)下列四个数中，最小的是()A．11 011(2)B．103(4)C．44(5)D．25答案(1)B(2)B解析(1)123(8)＝1×82＋2×81＋3×80＝83，故选B.(2)由题意可得：11 011(2)＝1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝27，103(4)＝1×42＋0×4＋3＝19，44(5)＝4×5＋4＝24，∵27>25>24>19，∴最小的数为103(4)，故选B.三、十进制化k进制例3将十进制数458分别转化为四进制数和六进制数．解算式如图，则458＝13 022(4)＝2 042(6)．反思感悟十进制数化为k进制数的除k取余法为除k取余→倒序写出→标明基数.跟踪训练3将53(8)转化为二进制数．解53(8)＝5×81＋3×80＝43.将43转化为二进制数为101 011(2)，所以53(8)＝101 011(2)．1．秦九韶算法的先进性主要体现在减少运算次数，下列说法正确的是( )A ．可以减少加法运算次数B ．可以减少乘法运算次数C ．同时减少加法和乘法的运算次数D ．加法次数和乘法次数都有可能减少答案 B解析 秦九韶算法可以把至多n (n ＋1)2次乘法运算减少为至多n 次乘法运算．加法运算次数不变．2．用秦九韶算法计算多项式f (x )＝6x 6＋5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x ＋7在x ＝0.4时的值时，需做加法和乘法的次数的和为( )A ．10B ．9C ．12D ．8答案 C解析 f (x )＝(((((6x ＋5)x ＋4)x ＋3)x ＋2)x ＋1)x ＋7，∴做加法6次，乘法6次，∴6＋6＝12(次)，故选C.3．用秦九韶算法求多项式f (x )＝x 4＋2x 3＋3x 2＋x ＋1当x ＝2时的值时，第一次运算的是( )A ．1×2B ．24C ．2＋1D ．1×2＋2答案 D解析 因为f (x )＝(((x ＋2)x ＋3)x ＋1)x ＋1，据由内到外的运算规律可知先运算的是1×2＋2.4．下列各数中，最小的数是( )A ．85(9)B ．210(6)C ．1 000(4)D ．111 111(2)答案 D解析 85(9)＝8×9＋5＝77，210(6)＝2×62＋1×6＋0＝78，1 000(4)＝1×43＝64，111 111(2)＝1×25＋1×24＋1×23＋1×22＋1×2＋1＝63.故最小的是63.5．将八进制数135(8)化为二进制数为( )A ．1 110 101(2)B ．1 011 101(2)C ．1 010 101(2)D ．1 111 001(2)答案 B解析 135(8)＝1×82＋3×8＋5＝93＝1×26＋1×24＋1×23＋1×22＋1＝1 011 101(2)，故选B.1．知识清单：(1)秦九韶算法的原理．(2)进位制．2．方法归纳：除k取余法、类比、转化．3．常见误区：对秦九韶算法的原理理解错误；进位制的转化计算有误．。
秦九韶算法课件
(2)已知一个五次多项式f(x)＝2x5－4x3＋3x2 －5x＋1，用秦九韶算法求这个多项式当x＝3 是的值．
秦九韶算法课件
[探究] 1.用秦九韶算法求多项式的值时，几 次多项式就做几次乘法运算，对吗？
2．用秦九韶算法求多项式f(x)＝anxn＋an－1xn －1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ…＋a1x＋a0在x＝x0时的值时，v0是什么？ v1呢？
秦九韶算法课件
[规律总结] 用秦九韶算法时要正确将多项 式的形式进行改写，然后由内向外依次计 算．当多项式函数中间出现空项时，要以系 数为零的齐次项补充．
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用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋ 4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．
[探究] 解决本题首先需要将原多项式化成 f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋ 1)x的形式，其次再弄清v0，v1，v2，…，v7 分别是多少，再针对这些式子进行计算．
秦九韶算法课件
用更相减损术检验： 80－36＝44， 44－36＝8， 36－8＝28， 28－8＝20， 20－8＝12， 12－8＝4， 8－4＝4. 故80和36的最大公约数是4.
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[规律总结] 更相减损术与辗转相除法都能
求两个数的最大公约数，二者的区别与联系
求出其中两个数的最大公约数，再求这个最 大公约数与第三个数的最大公约数，所得的 结果就是这三个数的最大公约数．
秦九韶算法课件
[解析] 先求175与100的最大公约数： 175＝100×1＋75,100＝75×1＋25，
75＝25×3， ∴175与100的最大公约数是25. 再求25与75的最大公约数：
39， 42＝39×1＋3,39＝3×13， ∴288和123的最大公约数是3.
2019年数学人教A必修三1.3 第2课时 秦九韶算法与进位制
解析：选 B.五进制数 42(5)化为十进制数为 4×51＋2×50＝22. 故选 B.
3．(2019· 广西南宁市第三中学月考)将八进制数 135(8)化为二进 制数为( ) B．1011101(2) D．1111001(2)
A．1110101(2) C．1010101(2)
解析：选 B.135(8)＝1×82＋3×8＋5＝93＝1×26＋1×24＋1×23 ＋1×22＋1＝(1011101)(2)．故选 B.
中国古代数学文化中的算法问题
(1)秦九韶是我国南宋时期的数学家， 普州安岳(现四川省 安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦 九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给 出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 n，x 的值分别为 4，3，则输出 v 的值为( )
2． (2019· 贵州省铜仁市第一中学期中考试)用秦九韶算法计算多 项式 f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x 在 x＝3 时，可得 v4＝(v4 表示由内到外第四个一次多项式的值)( A．789 C．262 B．－86 D．－262 )
【答案】 A
利用秦九韶算法求多项式的值的步骤
1． (2019· 湖北省华中师范大学第一附属中学期末考试)用秦九韶 算法求多项式 f(x)＝2x5－x4＋2x2＋5x＋3 当 x＝3 的值时，v0 ＝2，v1＝5，则 v2 的值是( A．2 C．15 B．1 D．17 )
解析：选 C.f(x)＝2x5－x4＋2x2＋5x＋3 ＝(2x4－x3＋2x＋5)x＋3 ＝((2x3－x2＋2)x＋5)x＋3 ＝(((2x2－x)x＋2)x＋5)x＋3 ＝((((2x－1)x)x＋2)x＋5)x＋3， 当 x＝3 时，v0＝2，v1＝2×3－1＝5，v2＝5×3＝15.故选 C.
人教版高中数学1.3.2秦九韶算法精品ppt课件
f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+……+a1x+a0.
=(…(anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.
v1=anx+an-1,
v2=v1x+an-2,
v3=v2x+an-3,
……, vn=vn-1x+a0.
这是一个在秦九韶算法 中反复执行的步骤,因此 可用循环结构来实现.
人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学》必修3
1.3.2秦九韶算法
秦九韶（1208年－1261 年）南宋官员、数学家， 与李冶、杨辉、朱世杰 并称宋元数学四大家。 字道古，汉族，自称鲁 郡(山东曲阜)人， 生于普州安岳（今属四川）。精研星象、音律、算 术、诗词、弓剑、营造之学，历任琼州知府、司农 丞，后遭贬，卒于梅州任所，著作《数书九章》， 其中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具 有世界意义的重要贡献。
((an x an1 ) x an2 ) x a1 ) x a0
这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个 一次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。
例1:用秦九韶算法求多项式
f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值.
解1:f(x)=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7 v0=2 v1=v0x-5=2×5-5=5
v0=an,
vK=vK-1x+an-k(k=1,2,……,n)
阅读课本
练习：
1.已知多项式f(x)=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1
秦九韶算法课堂教学PPT
秦九韶算法的数学证明
秦九韶算法的证明
秦九韶算法的正确性可以通过数 学证明来证实，证明的关键在于 利用多项式的递推关系和数学归
纳法。
递推关系的证明
证明秦九韶算法中的递推关系是正 确的，可以通过数学归纳法来证明。
算法复杂度的分析
秦九韶算法的时间复杂度为O(n)， 空间复杂度为O(1)，比直接法更高 效。
将多项式表示为 “v[0]+v[1]*x+v[2]*x^2+...+v[n]*x ^n”的形式，通过n次乘法和加法运 算得到多项式的值。
利用多项式的递推关系，通过迭代计 算多项式的值，可以减少计算量。
多项式系数与根的关系
多项式的根
多项式等于0的解称为多项式的根 。
系数与根的关系
多项式的系数与多项式的根之间 存在一定的关系，可以通过求解 方程组得到多项式的根。
详细描述
Java语言具有面向对象的特性，能够培养学生的面向对象编程思维。使用Java实 现秦九韶算法可以让学生体验到严谨的编程规范和代码组织方式，同时也能加深 对算法的理解和应用。
使用C实现秦九韶算法
总结词
底层操作，高效执行
详细描述
C语言具有底层操作的特性，能够让学生更加深入地了解计算机底层的工作原理。使用C实现秦九韶算法可以让学 生更加深入地理解算法的实现细节，同时也能提高他们的编程能力和执行效率。
03
秦九韶算法的编程实现
使用Python实现秦九韶算法
总结词
简洁明了，易于理解
详细描述
Python语言具有简洁的语法和易读性，适合初学者学习。使用Python实现秦九 韶算法可以让学生快速理解算法的基本思想，并通过简单的代码实现加深对算 法的理解。
秦九韶算法与进位制-课件
• v2＝21×2＋0＝42; v6＝348×2＋2＝698；
• v3＝42×2＋3＝87; v7＝698×2＋1＝1397.
• ∴f(2)＝1397.
• [例5] 将五进制数434化为二进制数． • [解析] 先将五进制数化为十进制数． • 434(5)＝4×52＋3×51＋4×50＝119， • 再将十进制数119化为二进制数．
• 2．利用把k进制数化为十进数的一般方法就可以 将8进制数314706(8)化为十进制数，然后根据该 算法，应用循环结构可以设计程序．
• 314706(8)＝3×85＋1×84＋4×83＋7×82＋0×81 ＋6×80＝104902.所以，化为十进制数是104902.
• 8 进 制 数 314706(8) 中 共 有 6 位 ， 因 此 可 令 a ＝ 314706，k＝8，n＝6，设计程序如下：
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13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/3/52021/3/52021/3/52021/3/53/5/2021
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14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年3月5日星期 五2021/3/52021/3/52021/3/5
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15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年3月2021/3/52021/3/52021/3/53/5/2021
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10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/3/52021/3/52021/3/53/5/2021 8:16:44 AM
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11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/3/52021/3/52021/3/5M ar-215- Mar-21
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12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/3/52021/3/52021/3/5Fr iday, March 05, 2021
秦九韶算法和进位制
k进制的数也可以表示成不同位上数字与 基数k的幂的乘积之和的形式,即 anan-1…a1a0(k)=an×kn+an-1×kn-1 注意这是一
+…+a1×k1+a0×k0 . 个n+1位数.
[问题3]二进制只用0和1两个数字,这 正好与电路的通和断两种状态相对应,因 此计算机内部都使用二进制.计算机在进 行数的运算时,先把接受到的数转化成二 进制数进行运算,再把运算结果转化为十 进制数输出.
变为求几个一次式的值
v5=v4x+7=534×5+7=2677 几次乘法
所以,当x=5时,多项式的值是2677. 几次加法？
这种求多项式值的方法就叫秦九韶算法.
练习:用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x6-5x5-4x3+3x2-6x当x=5时的值.
当x=5时,多项式的值是15170.
注意:n次多项式有n+1项,因此缺少哪一项 应将其系数补0.
同理: 3421(5)=3×53+4×52+2×51+1×50.
C7A16(16)=12×164+7×163+10×162
+1×161+6×160.
一般地,若k是一个大于1的整数,那么以k为 基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起 的形式 anan-1…a1a0(k) (0<an<k,0≤an-1,…,a1,a0<k)先 Nhomakorabea成如下形式
89=an×2n+an-1×2n-1+…+a1×21+a0×20 .
秦九韶算法与进位制课件
1．理解秦九韶算法的关键：一是弄清算法原理是加法对 乘法的分配律，二是弄清算法设计中递推关系是一个反复执
行的运算，故用循环语句来实现．
(1)秦九韶算法过程分析：
由于vv0k＝＝vakn－，1x＋an－k. 其中 k＝1,2，…，n. 这样我们便可由 v0 依次求出 v1，v2，…，vn： v1＝v0x＋an－1，v2＝v1x＋an－2，v3＝v2x＋an－3，…，vn＝ vn－1x＋a0. 于是我们用 v 来记录每次一次式计算的结果，最初赋值 v＝an，用 v＝v*x＋an－i 实现递推循环，i 的初值为 1，i＝i＋ 1 记录循环次数，i≤n 控制何时结束循环输出 v.f(x)的系数 ak 用一个循环语句实现输入．
• WEND • PRINT b • END
• 程序框图
• 依据此程序：
• 第1轮(i＝1)循环结束时b＝a0. • 第2轮(i＝2)循环结束时b＝a1k＋a0. •…
• 第j轮(i＝j)循环结束时，b＝aj－1kj－1＋aj－ 2kj－2＋…＋a1k＋a0.
• 最后结束时，b＝ankn＋an－1kn－1＋…＋a1k ＋a0.
• 1．把一个n次多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1 ＋…＋a1x＋a0改写成如下形式：
• f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0 • ＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0 • ＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0 • ＝＋…＋a1)x＋a0
• 算法程序为： • INPUT “a，k＝”；a，k • b＝0 • i＝0
• DO • q＝a\k • r＝a MOD k • b＝b＋r*10^i • i＝i＋1 • a＝q
• LOOP UNTIL q＝0 • PRINT b • END • 用WHILE语句编程如下：
高中数学人教A版必修三 1.3.2 秦九韶算法与进位制 课件(73张) (1)
2
4.已知函数 f(x)=x3-2x2-5x+6,试用秦九韶算法求 f(10)的值.
【解析】根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形 式:f(x)=x3-2x2-5x+6=(x2-2x-5)x+6=((x-2)x-5)x+6.故把 x=10 代入函数式,得 f(10)=((10-2)×10-5)×10+6=756.
预学 1:秦九韶计算多项式的方法 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 =(anxn-1+an-1xn-2+…+a1)x+a0 =((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0 …… =(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0. 求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值, 即 v1=anx+an-1,然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即 v2=v1x+an-2,v3=v2x+an-3,…,vn=vn-1x+a0.这样,把 n 次多项式的求值 问题转化为求 n 个一次多项式的值的问题,上述方法称为秦九韶 算法.
练一练:已知一个 3 次多项式为 f(x)=x -2x +x-1,用秦九 韶算法求当 x=2 时这个多项式的值.
3
2
【解析】f(x)=x3-2x2+x-1=((x-2)x+1)x-1=1.
预学 2:秦九韶算法是多项式求值的算法,秦九韶算法的 特点 (1)化高次多项式求值为一次多项式求值; (2)减少了运算次数,提高了效率; (3)步骤重复执行,容易用计算机实现.利用秦九韶算法计算 多项式的值的关键是能正确地将所给多项式改写,然后由内向外 逐次计算,由于后项计算用到前项的结果,故应认真、细心,确保 中间结果的准确性.若在多项式中有几项不存在时,可将这些项 n 的系数看成 0,即把这些项看作 0·x . 想一想:秦九韶算法与直接计算相比较有何优点?
算法案例 辗转相除法与更相减损术秦九韶算法与进位制第一课时课件-数学高一必修3第一章算法初步1.3人教A版
【问题导思】 1．如何求18与54的最大公约数？ 【提示】 短除法．
2．要求6 750与3 492的最大公约数，上述法还好用吗？
【提示】
数值太大，短除法不方便用．
(1)更相减损之术(等值算法)
用两个数中较大的数减去较小的数，再用 差数 较小的数 大 数 到产生 减 和
构成新的一对数，对这一对数再用 小数 ，以同样的操作一直做下去，直 ，这个数就是最大公约数．
v0＝an 则递推公式为 其中 vk＝ vk－1x＋an－k
k＝1，2，„，n.
(2)计算P(x0)的方法 先计算 最内层括号 ，然后 由内向外 常数项 直到 最外层括号 ，然后加上 逐层计算， ．
知识3
进位制
进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示
不同的数值.使用数字符号的个数称为基数，基数为 n，即称为
1．用更相减损之术可求得78与36的最大公约数是( A．24 【解析】 B．18 C．12 D． 6
)
78－36＝42，42－36＝6，36－6＝30，30－
6＝24，24－6＝18，18－6＝12，12－6＝6，∴6为78与36的
最大公约数．
【答案】 D
2．用秦九韶算法计算f(x)＝6x5－4x4＋x3－2x2＋x3－2x2 －9x，需要加法(或减法)与乘法运算的次数分别为( A．5，4 【解析】 B．5，5 C．4，4 )
【解析】 (1)101 111 011(2)＝1×28＋0×27＋1×26＋1×25
＋1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝379(10).
(2)1231(5)＝1×53＋2×52＋3×5＋1＝191(10)，
∴1231(5)＝362(7).
2020版数学人教A版必修3课件：第一章 1.3 第2课时 秦九韶算法与进位制
第一章§1.3 算法案例第2课时 秦九韶算法与进位制学习目标XUEXIMUBIAO1.了解秦九韶算法.2.了解生活中的各种进位制，了解计算机内部运算为什么选择二进制.3.会用除k取余法把十进制转换为各种进位制，并理解其中的数学规律．NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点一 秦九韶算法1.求n 次多项式的值的算法，有一种比较好的算法叫秦九韶算法.2.秦九韶算法的一般步骤：把一个n 次多项式f (x )＝a n x n ＋a n －1x n －1＋…＋a 1x ＋a 0改写成如下形式：(…((a n x ＋a n －1)x ＋a n －2)x ＋…＋a 1)x ＋a 0，求多项式的值时，首先计算________一次多项式的值，即v 1＝ ，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v 2＝，v 3＝ ，…，v n ＝ ，这样，求n 次多项式f (x )的值就转化为求的值.最内层括n 个一次多项式号内a n x ＋a n －1v 1x ＋a n －2v 2x ＋a n －3v n －1x ＋a 0知识点二 进位制若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式a n a n－1…a1a0(k)(a n，a n－1，…，a1，a0∈N，0<a n<k,0≤a n－1，…，a1，a0<k).为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，如二进制数10(2)，六进制数341(6)，十进制数一般不标注基数.思考 59分59秒再过1秒是多少时间？答案 1小时.上述计时法遵循的是满60进一，称为六十进制.类比给出k进制的概念.“满k进一”就是k进制，k进制的基数是k.知识点三 进制间的转化1.一般地，将k进制数a n a n－1…a1a0(k)转化为十进制：a n a n－1…a1a0(k)＝a n×k n＋a n－1×k n－1＋…＋a1×k1＋a0×k0.2.把十进制的数化为k进制的数的方法是：把十进制数除以k，余数为k进制的右数第一位数.把商再除以k，余数为k进制右数第二位数；依次除以k，直至商为0.这个方法称为除k取余法.1.二进制数中可以出现数字3.( )2.把十进制数转化成其它进制数的方法是除k 取余法.( )3.不同进制数之间可以相互转化.( )思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√√×2题型探究PART TWO题型一 秦九韶算法的应用例1 用秦九韶算法求多项式f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1当x＝－2时的值.解 f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1＝((((x＋5)x＋10)x＋10)x＋5)x＋1.当x＝－2时，有v0＝1；v1＝v0x＋a4＝1×(－2)＋5＝3；v2＝v1x＋a3＝3×(－2)＋10＝4；v3＝v2x＋a2＝4×(－2)＋10＝2；v4＝v3x＋a1＝2×(－2)＋5＝1；v5＝v4x＋a0＝1×(－2)＋1＝－1.故f(－2)＝－1.反思感悟 (1)先将多项式写成一次多项式的形式，然后运算时从里到外，一步一步地做乘法和加法即可.这样比直接将x＝－2代入原式大大减少了计算量.若用计算机计算，则可提高运算效率.(2)注意：当多项式中n次项不存在时，可将第n次项看作0·x n.跟踪训练1 用秦九韶算法计算多项式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64当x＝2时的值.解 根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64.由内向外依次计算一次多项式当x＝2时的值：v0＝1；v1＝1×2－12＝－10；v2＝－10×2＋60＝40；v3＝40×2－160＝－80；v4＝－80×2＋240＝80；v5＝80×2－192＝－32；v6＝－32×2＋64＝0.所以当x＝2时，多项式的值为0.题型二 k进制化为十进制例2 二进制数110 011(2)化为十进制数是什么数？解 110 011(2)＝1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝32＋16＋2＋1＝51.反思感悟 将k进制数a n a n－1…a1a0(k)化为十进制数的方法：把k进制数a n a n－1…a1a0(k)写成各数位上的数字与基数k的幂的乘积之和的形式，然后计算出结果即为对应的十进制数.跟踪训练2 (1)把二进制数1 110 011(2)化为十进制数.解 1 110 011(2)＝1×26＋1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝115.(2)将8进制数314 706(8)化为十进制数.解 314 706(8)＝3×85＋1×84＋4×83＋7×82＋0×81＋6×80＝104 902.所以，化为十进制数是104 902.题型三 十进制化k 进制解 算式如图，例3 将十进制数458分别转化为四进制数和六进制数.则458＝13 022(4)＝2 042(6).反思感悟 十进制数化为k进制数的思路为跟踪训练3 把89化为二进制数.解 算式如图，则89＝1 011 001(2).典例 用秦九韶算法求多项式f (x )＝x 5＋0.11x 3－0.15x －0.04当x ＝0.3时的值.核心素养之数学运算HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN 秦九韶算法求多项式的值解 将f (x )写为f (x )＝((((x ＋0)·x ＋0.11)x ＋0)x －0.15)x －0.04.按从内到外的顺序，依次计算多项式的值：v 0＝1，v 1＝1×0.3＋0＝0.3，v 2＝0.3×0.3＋0.11＝0.2，v 3＝0.2×0.3＋0＝0.06，v 4＝0.06×0.3－0.15＝－0.132，v 5＝－0.132×0.3－0.04＝－0.079 6.∴当x ＝0.3时，f (x )的值为－0.079 6.素养评析 (1)当多项式中出现空项时，利用秦九韶算法求多项式的值，必须补上系数为0的相应项.这是本题的易错点.(2)理解运算对象即求多项式的值，掌握运算法则即秦九韶算法，这些均是数学核心素养之数学运算的具体体现.3达标检测PART THREE1.已知175(r)＝125(10)，则r的值为A.1B.5√C.3 D.8解析 ∵1×r2＋7×r1＋5×r0＝125，∴r2＋7r－120＝0，∴r＝8或r＝－15(舍去)，∴r＝8，故选D.2.用秦九韶算法计算多项式f(x)＝6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋7在x＝0.4时的值时，需做加法和乘法的次数的和为A.10B.9√C.12D.8解析 f(x)＝(((((6x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x＋7，∴做加法6次，乘法6次，∴6＋6＝12(次)，故选C.3.用秦九韶算法求多项式f(x)＝x4＋2x3＋3x2＋x＋1当x＝2时的值时，第一次运算的是A.1×2B.24√C.2＋1D.1×2＋2解析 因为f(x)＝(((x＋2)x＋3)x＋1)x＋1，据由内到外的运算规律可知先运算的是1×2＋2.4.下列各数中，最小的数是A.85(9)B.210(6)√C.1 000(4)D.111 111(2)解析 85(9)＝8×9＋5＝77，210(6)＝2×62＋1×6＋0＝78，1 000(4)＝1×43＝64，111 111(2)＝1×25＋1×24＋1×23＋1×22＋1×2＋1＝63.故最小的是63.5.(1)将二进制数 (2)转化成十进制数；1611111⋅⋅⋅个解 (2)＝1×215＋1×214＋…＋1×21＋1×20＝216－1.1611111⋅⋅⋅ 个(2)将53(8)转化为二进制数.解 先将八进制数53(8)转化为十进制数：53(8)＝5×81＋3×80＝43；再将十进制数43转化为二进制数的算法如图.所以53(8)＝101 011(2).课堂小结KETANGXIAOJIE1.要把k进制数化为十进制数，首先把k进制数表示成不同位上数字与k的幂的乘积之和，其次按照十进制的运算规则计算和.2.十进制数化为k进制数(除k取余法)的步骤：3.用秦九韶算法求多项式f(x)当x＝x0时的值的思路为(1)改写；(2)计算(3)结论f(x0)＝v n.。
秦九韶算法和进位制 课件
基础梳理
1．秦九韶计算多项式的方法 f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋an－2xn－2＋…＋a1x＋a0 ＝(anxn－1＋an－1xn－2＋an－2xn－3＋…＋a1)x＋a0 ＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0 ＝… ＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0. 例如：已知一个3次多项式为f(x)＝x3－2x2＋x－1，用 秦九韶算法求这个多项式当x＝2时的值． 解析：f(x)＝x3－2x2＋x－1＝(((x法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋ 6x3＋7x2＋8x＋1当x＝0.4时的值时，需要做乘法和加法 的次数分别为( A )
A．6,6 B．5,6 C．5,5 D．6,5
题型二 秦九韶算法的程序框图与程序 例2 设计利用秦九韶算法计算5次多项式f(x)＝a5x5
A．10 000 (2)
B．10 100(2)
C．11 001(2) D．10 001(2)
5．二进制数10 0001(2)等于十进制数____3_3___．
自测评价
1．关于进位制说法错误的是( D )
A．进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数
系统
B．二进制就是满二进一，十进制就是满十进一 C．满几进一，就是几进制，几进制的基数就是几 D．为了区分不同的进位制，必须在数的右下角标明
跟踪 训练
3．把十进制数53化为五进制数为________． 解析：
答案：203(5)
方法二
答案：B
跟踪 训练
2．写出将k进制数a转换为十进制数(共有n 位)：a＝anan－1…a3a2a1(k)＝ank(n－1)＋an－1k(n－2) ＋…＋a3k2＋a2k1＋a1k0的算法步骤．
高中数学精品课件§1-3 算法案例第2课时秦九韶算法与进位制课件
反思感悟 将k进制数anan－1…a1a0(k)化为十进制数的方法：把k进制数anan－1 …a1a0(k)写成各数位上的数字与基数k的幂的乘积之和的形式，然后计算出结 果即为对应的十进制数.
跟踪训练2 (1)把二进制数1 110 011(2)化为十进制数. 解 1 110 011(2)＝1×26＋1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝115. (2)将8进制数314 706(8)化为十进制数. 解 314 706(8)＝3×85＋1×84＋4×83＋7×82＋0×81＋6×80＝104 902. 所以，化为十进制数是104 902.
题型三 十进制化k进制
例3 将十进制数458分别转化为四进制数和六进制数. 解 算式如图，
则458＝13 022(4)＝2 042(6).
反思感悟 十进制数化为k进制数的思路为 除k取余 → 倒序写出 → 标明基数 .
跟踪训练3 把89化为二进制数. 解 算式如图，
则89＝1 011 001(2).
解 f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1 ＝((((x＋5)x＋10)x＋10)x＋5)x＋1. 当x＝－2时，有v0＝1； v1＝v0x＋a4＝1×(－2)＋5＝3； v2＝v1x＋a3＝3×(－2)＋10＝4； v3＝v2x＋a2＝4×(－2)＋10＝2； v4＝v3x＋a1＝2×(－2)＋5＝1； v5＝v4x＋a0＝1×(－2)＋1＝－1. 故f(－2)＝－1.
第一章 §1.3 算法案例
第2课时 秦九韶算法与进位制
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解秦九韶算法. 2.了解生活中的各种进位制，了解计算机内部运算为什么选择二进制. 3.会用除k取余法把十进制转换为各种进位制，并理解其中的数学规律．
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• v2＝21×2＋0＝42; v6＝348×2＋2＝698；
• v3＝42×2＋3＝87; v7＝698×2＋1＝1397.
• ∴f(2)＝1397.
• [例5] 将五进制数434化为二进制数． • [解析] 先将五进制数化为十进制数． • 434(5)＝4×52＋3×51＋4×50＝119， • 再将十进制数119化为二进制数．
• ∴f(x)＝8x7＋5x6＋0·x5＋3x4＋0·x3＋0·x2＋2x＋1 ＝((((((8x＋5)x＋0)·x＋3)·x＋0)·x＋0)·x＋2)x＋
1
• 按照由内及外的顺序，依次计算一次多项式当x＝ 2时的值：
• v0＝8；
v4＝87×2＋0＝174；
• v1＝8×2＋5＝21; v5＝174×2＋0＝348；
• 则119＝(2) • 所以434(5)＝(2)
• [点评] 1.k进制之间相互转化可以借助十进制作跳板来进行．
• 2．将十进制与k进制相互转换的算法结合在一块，就能实现非十进 制数之间的转换了．
多项式改写，然后由内向外逐次计算，由于后项计算需用前项的结 果，故应认真、细心，确保中间结果的准确性．
• 求多项式f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1当x＝－2时的值．
• [解析] 先改写多项式，再由内向外计算．
• f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1
• ＝((((x＋5)x＋10)x＋10)x＋5)x＋1.
• 2．利用把k进制数化为十进数的一般方法就可以 将法，8进应制用数循3环14结70构6(8可)化以为设十计进程制序数．，然后根据该算
• 361×48700＝61(80) ＝49032×.8所5 ＋以，1×化84为＋十4×进8制3 ＋数7是×8120＋49002×.81 ＋
• 8k＝进8制，数n＝3164，70设6(8计)中程共序有如6位下，：因此可令a＝314706，
• 用竖式表示为： • ∴89＝1×26＋0×25＋1×24＋1×23＋0×22×0×21＋1×20＝(2)
• 2．同1用除5取余法可得： •
• 将十进制数22化为三进制数，并且编写一个实现该算法的程序．
• [解析] 用除3取余法可得：
• 此算法程序为：(把十进制数a化为k进制数) • INPUT a，k • i＝0 • b＝0 • DO • c＝a\k • r＝a MOD k • b＝b＋r*10^i
• 而x＝－2，所以有：
• v0＝1，v1＝v0x＋a4＝1×(－2)＋5＝3， • v2＝v1x＋a3＝3×(－2)＋10＝4， • v3＝v2x＋a2＝4×(－2)＋10＝2， • v4＝v3x＋a1＝2×(－2)＋5＝1， • v5＝v4x＋a0＝1×(－2)＋1＝－1. • 即f(－2)＝－1.
• 程序运行时输入314706,8,6.
• [点评] 上述程序可以把任何一个k进制数a(共有n位)转化为十进制 数b，只要输入相应的a，k，n的值即可．
•
把7进制数 ________．
24005(7)
化
为
十
进
制
数
的
结
果
为
• [答案] 2401
• [解析] 只需将该数写成其各位上的数字与7的幂 的乘积之和的形式，再计算即可化• v0＝a5＝0.00833，v1＝v0x＋a4＝0.04， • v2＝v1x＋a3＝0.15867，v3＝v2x＋a2＝0.46827， • v4＝v3x＋a1＝0.90635，v5＝v4x＋a0＝0.81873. • 即f(－0.2)＝0.81873.
• [点评] 利用秦九韶算法计算多项式的值，关键是能正确地将所给
• [例1] 用秦九韶算法求多项式f(x)＝1＋x＋0.5x2＋0.16667x3＋ 0.04167x4＋0.00833x5在x＝－0.2时的值．
•[解析] 可根据秦九韶算法原理，将所给多项式 改写，然后由内到外逐次计算即可．
• f(x) ＝ 1 ＋ x ＋ 0.5x2 ＋ 0.16667x3 ＋ 0.04167x4 ＋ 0.00833x5＝((((0.00833x＋0.04167)x＋0.16667)x＋ 0.5)x＋1)x＋1，
• i＝i＋1 • a＝c • LOOP UNTIL c＝0 • PRINT b • END • 运行时，输入a＝22，k＝3.
• [例4] 用秦九韶算法求多项式f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1当x＝2 时的函数值f(2)．
•[解析] 本例中，有几项不存在，可视这些项的 系数为0，如含x5的项可记作0·x5.
• 24005(7)＝2×74＋4×73＋0×72＋0×71＋5＝2401， • 故七进制数24005(7)化成十进制数为2401.
• [例3] 1.把十进制数89化为二进制数． • 2．将十进制数21化为五进制数． • [解析] 1.根据“满二进一”的原则，可以用2连续去除89或所得
商，然后取余数—即除2取余法．
• [例2] 1.把二进制数(2)化为十进制数． • 2的．程将序8．进制数314706(8)化为十进制数，并且编写一个实现该算法
• [解析] 1.先把二进制数写成不同位上数字与2的 幂的乘积之和的形式，再按照十进制数的运算规 则求出结果
• (2)＝1×26＋1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1＝ 115.