面试的时间最优化问题

面试的时间最优化问题

摘要

本文对B题进行了研究。按照公司的要求，四名求职者的顺序一旦确定，在以下各阶段中面试的顺序将不再改变，由于每个求职者，在三个阶段面试的时间不同（且固定），所以对任意两名求职者A、B，按A在前，B在后的顺序进行面试时，可能存在两种情况：I、当A进行完一个阶段j的面试后，B还未完成前一阶段j-1的面试，所以j阶段的考官必须等待B完成j-1阶段的面试后，才可对B进行j阶段的面试，这样就出现了，考官等待求职者的情况。II、当B完成j-1的面试后，A还未完成j阶段的面试，所以，B必须等待A完成j阶段的面试后，才能进入j阶段的面试，这样就出现了求职者等待求职者的情况。以上两种情况，必然延长了整个面试过程。要想使四个求职者能一起最早离开公司，即他们所用的面试时间最短，只要是考官等候求职者的时间和求职者等候求职者的时间之和最短，这样就使求职者和考官的时间利用率达到了最高。他们就能以最短的时间完成面试一起离开公司。

首先我们对给出的面试时间表格进行分析，用计算机编程算出任意两个求职者按照不同的顺序参加面试时，求职者等求职者的时间和考官等求职者的时间之和，然后用图论法建模，将算出的时间表达有向赋权图的权值，问题转化成求有向赋权图（图1）中连接四个顶点的路径最短问题。我们利用MATLAB编程，按从小到大的顺序依次找出n-1（n表示参加面试的人数）条权值最小边，然后用人工参与的方式，将找出的n-1条边排出最优顺序。最后，得出丁、甲、乙、丙的顺序为最优方案，共用84分钟。即：三人可在9：24一起离开公司。

想到该问题涉及时间与人数有关，若想节省时间，很值得推广。于是我们又对该模型进行了推广，给出了几个求职者如何求最优方案的方法。

一、问题的提出

四个求职者参加面试，每个求职者在每个阶段面试时间不一样，如何安排面试顺序使所用时间最短，成为我们要解决的重点问题，具体要完成以下工作：

1.通过建模求解，得出四个求职者完成面试所需时间最短的排列方案；

2.结合实际情况，找出该模型的推广方案。

二、问题的分析

要想解决时间的最优化问题，必须满足以下条件：

1.任意两个求职者之间，考官等候求职者的时间与求职者等候求职者的时

间之和最短；

2.选出一条路径，该路径无重复的经过所有顶点，且权值之和为最小。

用图论法建模求最短路径。

图1

三、模型假设

1.面试者由一个阶段到下一个阶段参加面试，其间必有时间间隔，我们

假定该时间间隔为0；

2.我们假设参加面试的求职者都是平等且独立的，即他们面试的顺序与

考官无关；

3.参加面试的求职者没有约定他们面试的先后顺序；

4.假定中途任何一位同学均能通过面试，进入下一阶段的面试。即：没

有中途退出面试者；

5.面试者都能在8：00准时到达面试地点。

四、名词及符号约定

1.aij(i=1,2,3…;j=1,2,3…)为求职者i在j阶段参加面试所用时间，

甲乙丙丁分别对应序号i=1，2，3，4；

2.tDK表示在求职者中任取两名D和K，按D在前K在后的顺序参加面试，

在该指定顺序中，K等待D的时间与考官等待K的时间之和，将tDK赋给有向赋权图中由D到K的向量的权值xDK；

3.cDK表示在求职者中任取两名D和K，按D在前K在后的顺序参加面试，

在该指定顺序中，D完成面试到K完成面试的时间间隔；

4.S为最优路径的总时间。

五、模型的建立及分析

1.由题中所给的数据构成原始时间矩阵。Aij=

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a14 a43 a43

为：

12 15 20

10 20 18

20 16 10

8 10 15

2.求有向赋权图的权值，并构造该矩阵。

由题意分析，求权值tDK可分为三种情况；

1.当a22-a11>=0，a23-a12>=0，说明若按顺序2—>1（乙—>甲）

则1（甲）想进入第二阶段参加面试，需等候2（乙）的时间为

（a22-a11），想进入第三阶段面试需等候2（乙）的时间为

（a23-a12）。则：t21=(a22-a11)+(a23-a12)

此时时间差c21=a13，因为1（甲）求职者是在等候2（乙）求

职者完成第三阶段的面试后才进入第三阶段进行面试，而1（甲）

求职者在第三阶段面试共需时间a13，即是他俩完成各自面试的

时间差值；

2.当a22-a11>0，a23-a12<0，说明按照顺序2—>1（乙—>甲）

进行面试，1（甲）想进入第二阶段参加面试，需等候2（乙）

的时间为（a22-a11），想进入第三阶段面试，第三阶段的主考

官需等候1（甲）求职者的时间为（a23-a12），则：t21=（a22-a11）

+|a23-a12|

此时时间差c21=| a23-a12 |+a13，因为第3阶段的主考官在给

1（甲）进行面试前已经等候的时间为|a23-a12|，而1（甲）在

进行第三阶段的面试时间是a13，故是两时间之和；

3.当a22-a11<0，按顺序2—>1（乙—>甲）进行面试，第二阶段

主考官需等候1（甲）求职者的时间为|a22-a11|，而这段时间

的拖延，导致了第三阶段的考官也等候1（甲）的时间为|

a22-a11 |，不管a23-a12>0，还是a23-a12<0,即不论后段是主

考官在等,还是学生在等，这种顺序所用的总时间t21=|2*

（ a22-a11） |+| a23 –a12 | 时间差c21=2 * | a22-a11 |+|

a23 – a12 | + a13

算法总结：

通过以上假设讨论，我们总结出计算权值tDK及时间差cDK的方法：

1.当aD2-aK1>=0时

1)tDK=| aD2-aK1 |+| aD3-aK2 |

2)当aD3-aK2>=0时，cDK=aK3

3)当aD3-aK3<0时，cDK=| aD3-aK2 | + aK3

2. 当aD2-aK1<0时

tDK=| 2*(aD2-aK1)+(aD3-aK2) |

cDK=| 2*(aD2-aK1)+(aD3-aK2) |+aK3

以上算法可以通过MatLab编程实现（程序源码详见附录1）。经程序实现，得出TDK=

0 5 6 17

10 0 2 20

8 16 0 8

6 5 21 0

3. 寻找最优路径:我们用MatLab找出TDK中的最短路径（程序源码详见附录2），经程序运行得出权值最小的边为：t41,t12,t23。即顺序为丁甲、甲乙、乙丙。可得出最优的顺序为：丁甲乙丙。

4．计算总时间S：S=丁所用总时间+c41+c12+c23=84min

六、模型的推广：

该模式是时间最优化的模型，有推广的价值。例如：车间生产的流水线作业，多个部件如何按照先后顺序在不同车间进行生产等。

七、附录：

附录一（程序源代码）：

function rst=CrtPower(a) %Find the Power of the matrix.

%**********************************************************

% This is Help Information About Power() Function.

% Find the min number in the matrix.