立体几何专题 第2节 与球相关的切、接问题 【教师版】

第二节 与球相关的切、接问题

考法(一) 球与柱体的切、接问题

[典例] (2017·江苏高考)如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1

V 2

的值是________．

[解析] 设球O 的半径为R ，因为球O 与圆柱O 1O 2的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面半径为R 、高为2R ，所以V 1V 2＝πR 2·2R 43

πR 3＝3

2

.

[答案] 3

2

考法(二) 球与锥体的切、接问题

[典例] (2018·全国卷Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D -ABC 体积的最大值为( )

A ．123

B ．18 3

C ．24 3

D ．54 3

[解析] 由等边△ABC 的面积为93，可得34

AB 2

＝93，所以AB ＝6，所以等边△ABC 的外接圆的半径为r ＝

3

3

AB ＝2 3.设球的半径为R ，球心到等边△ABC 的外接圆圆心的距离为d ，则d ＝R 2－r 2＝16－12＝2.所以三棱锥D -ABC 高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D -ABC 体积的最大值为1

3

×93×6＝18 3.

[答案] B

[题组训练]

1．(2018·福建第一学期高三期末考试)已知圆柱的高为2，底面半径为3，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于( )

A ．4π B.16

3π

C.323

π D ．16π

解析：选D 如图，由题意知圆柱的中心O 为这个球的球心， 于是，球的半径r ＝OB ＝OA 2＋AB 2＝ 12＋(3)2＝2.

故这个球的表面积S ＝4πr 2＝16π.故选D.

2．三棱锥P -ABC 中，AB ＝BC ＝15，AC ＝6，PC ⊥平面ABC ，PC ＝2，则该三棱锥的外接球表面积为________．

解析：由题可知，△ABC 中AC 边上的高为15－32＝6，球心O 在底面ABC 的投影即为△ABC 的外

心D ，设DA ＝DB ＝DC ＝x ，所以x 2＝32＋(6－x )2，解得x ＝564，所以R 2＝x 2＋⎝⎛⎭⎫PC 22＝758＋1＝83

8(其中R 为三棱锥外接球的半径)，所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝832

π.

答案：832

π

[课时跟踪检测]

1．(2019·深圳摸底)过半径为2的球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的体积的比值为( )

A.9

32 B.916 C.38

D.316

解析：选A 由题意知所得截面为圆，设该圆的半径为r ，则22＝12＋r 2，所以r 2＝3，所以所得截面的面积与球的体积的比值为π×343

π×23＝9

32，故选A.

2．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为( )

A ．4

B ．8

C ．16

D ．20

解析：选B 由三视图知，此几何体是一个三棱锥，底面为一边长为6，高为2的三角形，三棱锥的高为4，所以体积为V ＝13×1

2

×6×2×4＝8.故选B.

3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )

A ．14斛

B ．22斛

C ．36斛

D ．66斛

解析：选B 设米堆的底面半径为r 尺，则π2r ＝8，所以r ＝16π，所以米堆的体积为V ＝14×1

3π×r 2×5＝

π12×⎝⎛⎭⎫16π2×5≈3209(立方尺)．故堆放的米约有320

9

÷1.62≈22(斛)． 4．(2018·贵阳摸底考试)某实心几何体是用棱长为1 cm 的正方体无缝粘合而成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A ．35 cm 3

B ．40 cm 3

C ．70 cm 3

D ．75 cm 3

解析：选A 结合题中三视图可得，该几何体是个组合体，该组合体从下到上依次为长、宽、高分别为5 cm,5 cm,1 cm 的长方体，长、宽、高分别为3 cm,3 cm,1 cm 的长方体，棱长为1 cm 的正方体，故该组合体的体积V ＝5×5×1＋3×3×1＋1×1×1＝35(cm 3)．故选A.

5．(2019·安徽知名示范高中联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A ．1 B.12 C.1

3

D.14

解析：选C 法一：该几何体的直观图为四棱锥S -ABCD ，如图，SD ⊥平面ABCD ，且SD ＝1，四边形ABCD 是平行四边形，且AB ＝DC ＝1，连接BD ，由题意知BD ⊥DC ，BD ⊥AB ，且BD ＝1，所以S 四边形ABCD ＝1，所以V S -ABCD ＝13S 四边形ABCD ·SD ＝1

3

，故选C. 法二：由三视图易知该几何体为锥体，所以V ＝1

3

Sh ，其中S 指的是锥体的底面积，即俯

视图中四边形的面积，易知S ＝1，h 指的是锥体的高，从正视图和侧视图易知h ＝1，所以V ＝13Sh ＝1

3，故

选C.

6．(2019·重庆调研)某简单组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为( )

A.83π3＋83

3

B.43π3＋83

3