(完整word)高中数学必修二直线与圆的综合问题精选
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直线与圆一．解答题（共10 小题）1．已知直线x﹣ y+3=0 与圆心为（ 3，4）的圆 C 相交，截得的弦长为2．（1）求圆 C 的方程；（2）设 Q 点的坐标为（ 2，3），且动点 M 到圆 C 的切线长与 | MQ| 的比值为常数 k（k＞ 0）．若动点 M 的轨迹是一条直线，试确定相应的 k 值，并求出该直线的方程．2．已知直线l： y=x+2 被圆 C：（x﹣ 3）2+（y﹣2）2=r2（r＞0）截得的弦AB的长等于该圆的半径．（1）求圆 C 的方程；（2）已知直线 m：y=x+n 被圆 C：（x﹣3）2+（ y﹣2）2=r2（ r＞ 0）截得的弦与圆心构成三角形CDE．若△ CDE 的面积有最大值，求出直线m：y=x+n 的方程；若△ CDE的面积没有最大值，说明理由．3．已知 M （4， 0）， N（ 1，0），曲线 C上的任意一点P 满足：?=6||（Ⅰ）求点 P 的轨迹方程；（Ⅱ）过点 N（1，0）的直线与曲线 C 交于 A，B 两点，交 y 轴于 H 点，设=λ1，=λ2，试问λ1+λ2 是否为定值？如果是定值，请求出这个定值；如果不是定值，请说明理由．4．已知动圆 P 与圆 F1：（x+2）2+y2=49 相切，且与圆 F2：（ x﹣ 2）2+y2=1 相内切，记圆心P 的轨迹为曲线 C．（Ⅰ）求曲线 C 的方程；（Ⅱ）设 Q 为曲线 C 上的一个不在x 轴上的动点， O 为坐标原点，过点F2作 OQ 的平行线交曲线 C 于 M，N 两个不同的点，求△QMN 面积的最大值．5．已知动圆P 过定点且与圆N：相切，记动圆圆心P 的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线 C 的方程；（Ⅱ）过点 D（ 3，0）且斜率不为零的直线交曲线 C 于 A，B 两点，在 x 轴上是否存在定点 Q，使得直线AQ，BQ的斜率之积为非零常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图所示，在△ABC中， AB 的中点为 O，且 OA=1，点 D 在 AB 的延长线上，且．固定边AB，在平面内移动顶点C，使得圆 M 与边 BC，边 AC 的延长线相切，并始终与AB 的延长线相切于点D，记顶点C 的轨迹为曲线Γ．以AB所在直线为x 轴， O 为坐标原点如图所示建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）设动直线l 交曲线Γ于 E、 F 两点，且以EF为直径的圆经过点O，求△ OEF面积的取值范围．7．已知△ ABC的顶点 A（1， 0），点 B 在 x 轴上移动， | AB| =| AC| ，且 BC 的中点在y 轴上．（Ⅰ）求 C 点的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）已知过 P（ 0，﹣ 2）的直线 l 交轨迹Γ于不同两点 M， N，求证： Q（ 1，2）与 M， N 两点连线 QM， QN 的斜率之积为定值．8．已知圆M： x2+y2+2y﹣7=0和点N（0，1），动圆P经过点N且与圆M相切，圆心P的轨迹为曲线E．（1）求曲线 E 的方程；（2）点 A 是曲线 E 与 x 轴正半轴的交点，点 B、C 在曲线 E 上，若直线 AB、AC的斜率 k1，k2，满足 k1k2=4，求△ ABC面积的最大值．9．已知过点A（ 0， 1）且斜率为k 的直线 l 与圆 C：（x﹣ 2）2+（y﹣3）2=1 交于点 M，N 两点．（1）求 k 的取值范围；（2）请问是否存在实数k 使得（其中O为坐标原点），如果存在请求出k 的值，并求 | MN | ；如果不存在，请说明理由．10．已知O 为坐标原点，抛物线C： y2=nx（n＞ 0）在第一象限内的点P（2， t）到焦点的距离为，C在点P 处的切线交 x 轴于点 Q，直线 l1经过点 Q 且垂直于 x轴．（1）求线段 OQ 的长；（2）设不经过点 P 和 Q 的动直线 l2：x=my+b 交 C 交点 A 和 B，交 l1于点 E，若直线 PA， PB 的斜率依次成等差数列，试问： l2是否过定点？请说明理由．直线与圆参考答案与试题解析一．解答题（共10 小题）1．已知直线x﹣ y+3=0 与圆心为（ 3，4）的圆 C 相交，截得的弦长为2．（1）求圆 C 的方程；（2）设 Q 点的坐标为（ 2，3），且动点 M 到圆 C 的切线长与 | MQ| 的比值为常数 k（k＞ 0）．若动点 M 的轨迹是一条直线，试确定相应的 k 值，并求出该直线的方程．【分析】（1）求出圆心 C 到直线 l 的距离，利用截得的弦长为2求得半径的值，可得圆 C 的方程；（2）设动点 M（ x，y），则由题意可得=k，即=k，化简可得（k2﹣1）?x2+（k2﹣1） ?y2+（6﹣ 4k2） x+（8﹣6k2）y+13k2﹣9=0，若动点 M 的轨迹方程是直线，则k2﹣1=0，即可得出结论．【解答】解：（1）圆心 C 到直线 l 的距离为= ，∵截得的弦长为 2，∴半径为 2，∴圆 C：（x﹣ 3）2+（ y﹣4）2=4；（2）设动点 M （x， y），则由题意可得=k，即=k，化简可得（ k2﹣ 1）?x2+（ k2﹣ 1）?y2+（ 6﹣4k2）x+（8﹣ 6k2） y+13k2﹣21=0，若动点 M 的轨迹方程是直线，则 k2﹣ 1=0，∴ k=1，直线的方程为 x+y﹣4=0．【点评】本小题主要考查直线与圆的位置关系，弦长公式的应用，圆的一般式方程，属于中档题．2．已知直线l： y=x+2 被圆 C：（x﹣ 3）2+（y﹣2）2=r2（r＞0）截得的弦AB的长等于该圆的半径．（1）求圆 C 的方程；（2）已知直线 m：y=x+n 被圆 C：（x﹣3）2+（ y﹣2）2=r2（ r＞ 0）截得的弦与圆心构成三角形CDE．若△ CDE 的面积有最大值，求出直线m：y=x+n 的方程；若△ CDE的面积没有最大值，说明理由．【分析】（1）根据直线和圆相交得到的弦长公式求出圆的半径即可求圆 C 的方程；（2）根据直线和圆相交的位置关系，结合△CDE的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）设直线 l 与圆 C 交于 A， B 两点．∵直线 l ：y=x+2 被圆 C：（x﹣ 3）2 +（y﹣ 2）2=r2（ r＞0）截得的弦长等于该圆的半径，∴△ CAB为正三角形，∴三角形的高等于边长的，∴圆心 C 到直线 l 的距离等于边长的．∵直线方程为x﹣y+2=0，圆心的坐标为（3， 2），∴圆心到直线的距离d==，∴r=，∴圆C的方程为：（x﹣3）2+（y﹣2）2=6．（2）设圆心 C 到直线 m 的距离为 h， H 为 DE的中点，连结 CD，CH，CE．在△ CDE中，∵DE=，∴=∴，当且仅当 h2=6﹣h2，即 h2=3，解得h=时，△ CDE的面积最大．∵CH=，∴| n+1| =，∴n=，∴存在n的值，使得△ CDE的面积最大值为3，此时直线 m 的方程为y=x．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据弦长公式是解决本题的关键．3．已知 M （4， 0）， N（ 1，0），曲线 C上的任意一点P 满足：?=6||（Ⅰ）求点 P 的轨迹方程；（Ⅱ）过点 N（1，0）的直线与曲线 C 交于 A，B 两点，交 y 轴于 H 点，设=λ1，=λ2，试问λ1+λ2 是否为定值？如果是定值，请求出这个定值；如果不是定值，请说明理由．【分析】（Ⅰ）求出向量的坐标，利用条件化简，即可求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）分类讨论，利用=λ1，=λ2，结合韦达定理，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）设 P（ x，y），则=（﹣ 3，0），=（ x﹣ 4，y），=（1﹣x，﹣ y）．∵?=6|| ，∴﹣ 3×（ x﹣ 4）+0× y=6，化简得=1 为所求点 P 的轨迹方程 .4 分（Ⅱ）设 A（x1，y1）， B（ x2， y2）．①当直线 l 与 x 轴不重合时，设直线l 的方程为x=my+1（ m≠ 0），则 H（ 0，﹣）．从而=（ x ， y +），=（ 1 x ， y ），由=λ得（x，y +）=λ（1x ， y ），111111111 1∴ λ=1+1同理由得λ，2=1+∴ （λ1+λ2）=2+由直与方程立，可得（4+3m2） y2+6my 9=0，∴y1+y2=，y1y2=代入得∴（λ+λ） =2+=，1 2∴λ+λ1 2=②当直 l 与 x 重合， A（ 2，0），B（2，0），H（0， 0），λ，1 =．λ2= 2∴λ+λ分1 2=11上，λ1+λ2定.12 分．【点】本考迹方程，考向量知的运用，考直与位置关系的运用，考分的数学思想，属于中档．4．已知P与F1：（x+2）2+y2=49相切，且与F2：（ x 2）2+y2=1相内切，心P 的迹曲 C．（Ⅰ）求曲 C 的方程；（Ⅱ） Q 曲 C 上的一个不在x 上的点， O 坐原点，点F2作 OQ 的平行交曲 C 于 M，N 两个不同的点，求△QMN 面的最大．【分析】（I ）由已知条件推出| PF1|+| PF2| =8＞ | F1F2| =6，从而得到心P 的迹以F1，F2焦点的，由此能求出心P 的迹 C 的方程．（II）由 MN∥ OQ，知△ QMN 的面 =△ OMN 的面，由此能求出△QMN 的面的最大．【解答】解：（Ⅰ） P 的半径R，心 P 的坐（ x，y），由于 P 与 F1：（ x+2）2+y2=49相切，且与F2：（ x 2）2+y2=1相内切，所以 P 与F1只能内切．⋯（ 1 分）所以 | PF1|+| PF2 | =7 R+R 1=6＞ | F1F2| =4．⋯（3 分）所以心心P 的迹以F1，F2焦点的，其中 2a=6，2c=4，∴ a=3， c=2， b2=a2c2=5．所以曲 C 的方程=1．⋯（4 分）（Ⅱ） M （x1， y1）， N（ x2， y2）， Q（x3，y3），直 MN 的方程x=my+2，由可得：（5m 2+9） y2+20my 25=0，y 1+y2 =，y1y2=．⋯（5分）所以 | MN | ==⋯（7分）因 MN∥ OQ，∴△ QMN 的面 =△OMN 的面，∵O 到直 MN ：x=my+2 的距离 d=．⋯（9分）所以△ QMN 的面．⋯（ 10 分）令=t， m2=t21（t ≥0），S==．，．因 t≥ 1，所以．所以，在 [ 1， +∞）上增．所以当 t=1 ， f（ t ）取得最小，其9．⋯（ 11 分）所以△ QMN 的面的最大．⋯（ 12 分）【点】本考的准方程、直、、与等知，考推理能力、运算求解能力，考函数与方程思想、化与化思想、数形合思想等．5．已知 P 定点且与 N：相切，心P 的迹曲C．（Ⅰ）求曲 C 的方程；（Ⅱ）点 D（ 3，0）且斜率不零的直交曲 C 于 A，B 两点，在 x 上是否存在定点Q，使得直AQ， BQ的斜率之非零常数？若存在，求出定点的坐；若不存在，明理由．【分析】（Ⅰ）由意可知丨PM 丨+丨 PN 丨 =4＞丨 MN 丨 =2 ， P 的迹 C 是以 M ，N 焦点，2=a2 c2=1，即可求得方程；4 的， a=4， c= ，b（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，考查韦达定理，直线的斜率公式，当且仅当，解得 t= ±2，代入即可求得，定点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）设动圆 P 的半径为r，由 N：及，知点M在圆N 内，则有，从而丨 PM 丨 +丨 PN 丨=4＞丨 MN 丨=2，∴P 的轨迹 C 是以 M ，N 为焦点，长轴长为 4 的椭圆，设曲线 C 的方程为：（a＞b＞0），则2a=4，a=4，c=，b2=a2﹣c2=1故曲线 C 的轨迹方程为；（Ⅱ）依题意可设直线AB 的方程为 x=my+3，A（ x1，y1），B（x2， y2）．，由，整理得：（ 4+m2）y2+6my+5=0，则△ =36m2﹣4×5×（ 4+m2）＞ 0，即 m2＞ 4，解得： m＞2 或 m＜﹣ 2，由 y 1+y2=﹣，y1y2= ， x1+x2=m（y1+y2）+6=，x1x2=（my1 +3）（my2 +3） =m2y1y2+m（y 1+y2）+9=，假设存在定点Q（t ，0），使得直线AQ，BQ 的斜率之积为非零常数，则（x1﹣ t）（ x2 ﹣t ） =x1 2﹣ t（ x1+x2） +t2= ﹣t ×2= ，x +t∴kAQ?k BQ=?==，要使 k AQ?k BQ为非零常数，当且仅当，解得t=±2，当 t=2 时，常数为=，当 t= ﹣2 时，常数为=，∴存在两个定点Q1（2， 0）和 Q2（ 2， 0），使直AQ，BQ 的斜率之常数，当定点 Q1（ 2，0），常数；当定点Q2（ 2， 0），常数．【点】本考准方程及几何性，的定，考直与的位置关系，达定理，直的斜率公式，考算能力，属于中档．6．如所示，在△ABC中， AB 的中点O，且 OA=1，点 D 在 AB 的延上，且．固定AB，在平面内移点C，使得 M 与 BC， AC 的延相切，并始与AB 的延相切于点D，点C 的迹曲Γ．以AB所在直x ， O 坐原点如所示建立平面直角坐系．（Ⅰ）求曲Γ的方程；（Ⅱ）直l 交曲Γ于 E、 F 两点，且以EF直径的点O，求△ OEF面的取范．【分析】（Ⅰ）确定点 C 迹Γ是以 A，B 焦点， 4 的，且挖去的两个点，即可求曲Γ的方程；（Ⅱ）可直，而表示面，即可求△ OEF面的取范．【解答】解：（Ⅰ）依意得AB=2，BD=1，M 与 AC 的延相切于T1，与 BC 相切于 T2，AD=AT1， BD=BT2， CT1=CT2 所以AD+BD=AT+BT=AC+CT +BT=AC+CT+CT=AC+BC=AB+2BD=4＞ AB=2⋯（2 分）12121 2所以点 C 迹Γ是以A，B 焦点， 4 的，且挖去的两个点．曲Γ的方程．⋯（ 4 分）（Ⅱ）由于曲Γ 要挖去两个点，所以直OE， OF 斜率存在且不0 ，所以可直⋯（ 5 分）由得，，同理可得：，；所以，又 OE⊥ OF，所以⋯（8分）令t=k2+1，t＞1且k 2=t1，所以=⋯（10 分）又，所以，所以，所以，所以，所以△ OEF面的取范．⋯（ 12 分）【点】本考迹方程，考直与位置关系的运用，考三角形面的算，考学生分析解决的能力，属于中档．7．已知△ ABC的点 A（1， 0），点 B 在 x 上移， | AB| =| AC| ，且 BC 的中点在y 上．（Ⅰ）求 C 点的迹Γ的方程；（Ⅱ）已知 P（ 0， 2）的直 l 交迹Γ于不同两点 M， N，求： Q（ 1，2）与 M， N 两点 QM， QN 的斜率之定．【分析】（Ⅰ）利用直接法，求 C 点的迹Γ的方程；（Ⅱ）直 l 的方程 y=kx 2，与抛物方程立，求出斜率，即可明．【解答】解：（Ⅰ） C（ x，y）（ y≠ 0），因 B 在 x 上且 BC 中点在 y 上，所以 B（ x，0），由| AB| =| AC| ，得（ x+1）2=（x 1）2+y2，化得y2=4x，所以 C 点的迹Γ的方程y2=4x（y≠ 0）．（Ⅱ）直 l 的斜率然存在且不0，直 l 的方程 y=kx 2， M （x1， y1）， N（ x2， y2），由得 ky24y 8=0，所以，，，同理，，所以 Q（1， 2）与 M ，N 两点的斜率之定4．【点】本考迹方程，考直与抛物位置关系的运用，考学生的算能力，属于中档．8．已知M： x2+y2+2y 7=0和点N（0，1），P点N且与M相切，心P的迹曲E．（1）求曲 E 的方程；（2）点 A 是曲 E 与 x 正半的交点，点 B、C 在曲 E 上，若直 AB、AC的斜率 k1，k2，足 k1k2=4，求△ ABC面的最大．【分析】（1）利用与的位置关系，得出曲 E 是 M， N 焦点，的，即可求曲 E 的方程；（2）立方程得（1+2t2）y2+4mty +2m22=0，利用达定理，合k1k2=4，得出直BC 定点（ 3， 0），表示出面，即可求△ABC面的最大．【解答】解：（1） M ： x2+y2+2y 7=0 的心 M（ 0， 1），半径点 N（ 0， 1）在 M内，因 P 点 N 且与 M 相切，所以 P 与 M 内切． P 半径 r，r=| PM| ．因 P 点 N，所以 r=| PN| ，＞| MN| ，所以曲 E 是 M， N 焦点，的．2=2 1=1，由，得 b所以曲 E 的方程⋯（4分）（Ⅱ）直 BC斜率 0 ，不合意B（x1，y1）， C（ x2， y2），直 BC：x=ty+m，立方程得（ 1+2t 2） y2+4mty +2m22=0，又k 1k2=4，知y1y2=4（x1 1）（x2 1）=4（ty1 +m 1）（ ty2+m 1）=．代入得又 m≠ 1，化得（ m+1）（ 1 4t2）=2（ 4mt 2）+2（m 1）（ 1+2t 2），解得 m=3，故直 BC 定点（ 3， 0）⋯（8 分）由△ ＞，解得t2＞ 4 ，=（当且 当取等号）．上，△ ABC 面 的最大⋯（ 12 分）【点 】 本 考 与 的位置关系，考 的定 与方程，考 直 与 位置关系的运用，考 达定理，属于中档 ．9．已知 点 A （ 0， 1）且斜率 k 的直 l 与 C ：（x2）2+（y3） 2=1 交于点 M ，N 两点．（1）求 k 的取 范 ；（2） 是否存在 数k 使得 （其中 O 坐 原点），如果存在 求出k 的 ，并求 | MN | ；如果不存在， 明理由．【分析】（1） 出直 方程，利用直 与 的位置关系，列出不等式求解即可．（2） 出 M ，N 的坐 ， 利用直 与 的方程 立，通 达定理， 合向量的数量 ， 求出直 的斜率，然后判断直 与 的位置关系求解 | MN| 即可．【解答】 解：（1）由 ，可知直 l 的方程 y=kx+1，因 直l 与 C 交于两点，由已知可得C 的 心 C 的坐 （ 2，3），半径 R=1．故由＜ 1，解得： ＜k ＜所以 k 的取 范 得（， ）（2） M （x 1 ，y 1），N （x 2，y 2）．将 y=kx+1 代入方程：（x 2）2+（y 3） 2=1，整理得（ 1+k 2）x 24（1+k ） x+7=0．所以 x 1+x 2=，x 1x 2 =，? =x 1x 2 +y1y 2 =（1+k 2）（ x1x 2）+k （ x +x ） +1==12，1 2解得 k=1，所以直l 的方程 y=x+1．故 心 C 在直 l 上，所以 | MN | =2．【点 】 本 主要考 直 和 的位置关系的 用，以及直 和 相交的弦 公式的 算，考 学生的 算能力，是中档 ．10．已知 O 坐 原点，抛物C ： y 2=nx （n ＞ 0）在第一象限内的点P （2， t ）到焦点的距离 ，C 在点 P 的切 交 x 于点 Q ，直 l 1 点 Q 且垂直于 x ．（1）求 段 OQ 的 ；（2）不点 P 和 Q 的直 l2：x=my+b 交 C 交点 A 和 B，交 l1于点 E，若直 PA， PB 的斜率依次成等差数列，： l2是否定点？明理由．【分析】（1）先求出 p 的，然后求出在第一象限的函数，合函数的数的几何意求出N 的坐即可求段 OQ 的；（2）立直和抛物方程行消元，化关于y 的一元二次方程，根据根与系数之的关系合直斜率的关系建立方程行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由抛物 y2=nx（n＞0）在第一象限内的点P（2， t）到焦点的距离，得 2+ = ，∴ n=2，抛物 C 的方程 y 2=2x，P（2，2）．⋯（2 分）C 在第一象限的象的函数解析式y= ， y′=，故 C 在点 P 的切斜率，切的方程y 2= （ x 2），令 y=0 得 x= 2，所以点 Q 的坐（ 2，0）．故段 OQ 的 2．⋯（ 5 分）（Ⅱ）l2恒定点（ 2， 0），理由如下：由意可知 l 1的方程 x= 2，因 l2与 l1相交，故 m≠ 0．由 l 2： x=my+b，令 x= 2，得 y= ，故 E（ 2，）A（ x1，y1），B（x2，y2）由消去 x 得： y22my2b=0y 1+y2 =2m，y1y2= 2b ⋯（ 7 分）直 PA的斜率，同理直 PB 的斜率，直 PE的斜率．因直 PA，PE，PB 的斜率依次成等差数列，所以+=2×⋯（10分）整理得：=，因 l2不点 Q，所以 b≠ 2，所以 2m b+2=2m，即 b=2．故 l 2的方程x=my+2，即 l2恒定点（ 2， 0）．⋯（12 分）【点】本主要考直和抛物的位置关系，利用直和抛物方程，化一元二次方程，合达定理，利用而不求的思想是解决本的关．。
完整版)直线与圆综合练习题含答案
完整版)直线与圆综合练习题含答案直线与圆的方程训练题1.选择题:1.直线x=1的倾斜角和斜率分别是（）A。
45,1B。
不存在C。
不存在D。
-12.设直线ax+by+c=0的倾斜角为α，且sinα+cosα=√2/2，则a,b满足（）A。
a+b=1B。
a-b=1C。
a+b=√2D。
a-b=√23.过点P(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为（）A。
2x+y-1=0B。
2x+y-5=0C。
x+2y-5=0D。
x-2y+7=04.已知点A(1,2),B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程是（）A。
4x+2y=5B。
4x-2y=5C。
x+2y=5D。
x-2y=55.直线xcosθ+ysinθ+a=0与xsinθ-ycosθ+b=0的位置关系是（）θ的值有关A。
平行B。
垂直C。
斜交D。
与a,b,θ的值有关6.两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（）A。
4B。
13√10C。
26√5D。
207.如果直线l沿x轴负方向平移3个单位再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是（）A。
-1/3B。
-3C。
1D。
38.直线l与两直线y=1和x-y-7=0分别交于A,B两点，若线段AB的中点为M(1,-1)，则直线l的斜率为（）A。
2/3B。
-3/2C。
-2D。
-39.若动点P到点F(1,1)和直线3x+y-4=0的距离相等，则点P的轨迹方程为（）A。
3x+y-6=0B。
x-3y+2=0C。
x+3y-2=0D。
3x-y+2=010.若P(2,-1)为(x-1)+y^2=25圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）A。
x-y-3=0B。
2x+y-3=0C。
x+y-1=0D。
2x-y-5=011.圆x^2+y^2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离最大值是（）A。
2B。
1+√2C。
1+2√2D。
1+2√512.在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有（）A。
直线与圆的综合问题(附答案)
例1直线y x m =-+与圆221x y +=在第一象限内有两个不同交点，则m 的取值范围是 （ B ）()A 0m << ()B 1m <<()C 1m ≤≤ ()D m <<例2 设圆上的点(2,3)A 关于直线20x y +=的对称点仍在圆上，且与直线0x y y -+=相交的弦长为，求圆的方程。
（注意：试卷直线方程有误，应为x+y+1=0）解：已知圆上的点A （2,3）关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,即圆心在直线x+2y=0上所以，设圆心为（2a ，-a ），代入A 点有（2-2a ）²+（3+a ）²=R ²----（1）又知道与直线x-y+1=0相交的弦长为22所以，圆心到直线l 得距离 22132-=+=R a d -----（2）由方程（1），（2）经转化，得（a-7）（a-3）=0所以，a=3或7经检验成立故，圆方程为（x-6）²+（y+3）²=52或（x-14）²+（y+7）²=244例3 若过点()10，A 和B ()m B ，4并且与x 轴相切的圆有且只有一个，求实数m 的值和这个圆的方程。
解：分两种情况一种是这个圆与x 轴的切点与B 重合，即B 在x 轴上，此时过B 作X 轴的垂线，这条垂线与AB 的中垂线的相交，交点为圆心，两线确定一点，所以圆心是唯一的，又半径等于圆心到x 轴的距离，此时圆有且只有一个此时m=0，设圆心（x ，y ）则B 作X 轴的垂线:x=4 (1)AB 的中垂线:y=4(x-2)+1/2 (2)联立(1)(2)得x=4,y=17/2 r=y=17/2所以圆的方程（x-4）²+(y-17/2）²=(17/2）²化简得：x ²-8x+16+y ²-17y=0还有一种情况是AB 平行于X 轴，此时AB 的中垂线垂直与x 轴，又圆与x 轴相切，所以AB 的中垂线过切点，此时这条线上到三点距离相等的点只有一个，所以圆心是唯一的，又半径等于圆心到x 轴的距离，此时圆有且只有一个此时m=1设圆心（x,y ）这AB 中垂线:x=2半径等于圆心到x 轴的距离等于圆心到A 的距离所以：y ²=2²+(y-1)²得y=5/2所以圆的方程：（x-2)²+(y-5/2)²=(5/2)²化简得：x ²-4x+4+y ²-5y=0例4 已知直线为 ax-by+2=0( a>0 ,b>0 )，圆的方程为x+y+2x-4y+1=0 ，直线与圆截得到弦长为4 ， 求a 1 +b1 的最小值。
高中数学必修二直线和圆的综合问题精选
直线与圆一．解答题（共10小题）1．已知直线x﹣y+3=0与圆心为（3，4）的圆C相交，截得的弦长为2．（1）求圆C的方程；（2）设Q点的坐标为（2，3），且动点M到圆C的切线长与|MQ|的比值为常数k（k＞0）．若动点M的轨迹是一条直线，试确定相应的k值，并求出该直线的方程．2．已知直线l：y=x+2被圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2=r2（r＞0）截得的弦AB的长等于该圆的半径．（1）求圆C的方程；（2）已知直线m：y=x+n被圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2=r2（r＞0）截得的弦与圆心构成三角形CDE．若△CDE 的面积有最大值，求出直线m：y=x+n的方程；若△CDE的面积没有最大值，说明理由．3．已知M（4，0），N（1，0），曲线C上的任意一点P满足：•=6||（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）过点N（1，0）的直线与曲线C交于A，B两点，交y轴于H点，设=λ1，=λ2，试问λ1+λ2是否为定值？如果是定值，请求出这个定值；如果不是定值，请说明理由．4．已知动圆P与圆F1：（x+2）2+y2=49相切，且与圆F2：（x﹣2）2+y2=1相内切，记圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设Q为曲线C上的一个不在x轴上的动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交曲线C于M，N两个不同的点，求△QMN面积的最大值．5．已知动圆P过定点且与圆N：相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过点D（3，0）且斜率不为零的直线交曲线C于A，B两点，在x轴上是否存在定点Q，使得直线AQ，BQ的斜率之积为非零常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图所示，在△ABC中，AB的中点为O，且OA=1，点D在AB的延长线上，且．固定边AB，在平面内移动顶点C，使得圆M与边BC，边AC的延长线相切，并始终与AB的延长线相切于点D，记顶点C的轨迹为曲线Γ．以AB所在直线为x轴，O为坐标原点如图所示建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）设动直线l交曲线Γ于E、F两点，且以EF为直径的圆经过点O，求△OEF面积的取值范围．7．已知△ABC的顶点A（1，0），点B在x轴上移动，|AB|=|AC|，且BC的中点在y轴上．（Ⅰ）求C点的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）已知过P（0，﹣2）的直线l交轨迹Γ于不同两点M，N，求证：Q（1，2）与M，N两点连线QM，QN的斜率之积为定值．8．已知圆M：x2+y2+2y﹣7=0和点N（0，1），动圆P经过点N且与圆M相切，圆心P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）点A是曲线E与x轴正半轴的交点，点B、C在曲线E上，若直线AB、AC的斜率k1，k2，满足k1k2=4，求△ABC面积的最大值．9．已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1交于点M，N两点．（1）求k的取值范围；（2）请问是否存在实数k使得（其中O为坐标原点），如果存在请求出k的值，并求|MN|；如果不存在，请说明理由．10．已知O为坐标原点，抛物线C：y2=nx（n＞0）在第一象限内的点P（2，t）到焦点的距离为，C在点P处的切线交x轴于点Q，直线l1经过点Q且垂直于x轴．（1）求线段OQ的长；（2）设不经过点P和Q的动直线l2：x=my+b交C交点A和B，交l1于点E，若直线PA，PB的斜率依次成等差数列，试问：l2是否过定点？请说明理由．直线与圆参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．已知直线x﹣y+3=0与圆心为（3，4）的圆C相交，截得的弦长为2．（1）求圆C的方程；（2）设Q点的坐标为（2，3），且动点M到圆C的切线长与|MQ|的比值为常数k（k＞0）．若动点M的轨迹是一条直线，试确定相应的k值，并求出该直线的方程．【分析】（1）求出圆心C到直线l的距离，利用截得的弦长为2求得半径的值，可得圆C的方程；（2）设动点M（x，y），则由题意可得=k，即=k，化简可得（k2﹣1）•x2+（k2﹣1）•y2+（6﹣4k2）x+（8﹣6k2）y+13k2﹣9=0，若动点M的轨迹方程是直线，则k2﹣1=0，即可得出结论．【解答】解：（1）圆心C到直线l的距离为=，∵截得的弦长为2，∴半径为2，∴圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4；（2）设动点M（x，y），则由题意可得=k，即=k，化简可得（k2﹣1）•x2+（k2﹣1）•y2+（6﹣4k2）x+（8﹣6k2）y+13k2﹣21=0，若动点M的轨迹方程是直线，则k2﹣1=0，∴k=1，直线的方程为x+y﹣4=0．【点评】本小题主要考查直线与圆的位置关系，弦长公式的应用，圆的一般式方程，属于中档题．2．已知直线l：y=x+2被圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2=r2（r＞0）截得的弦AB的长等于该圆的半径．（1）求圆C的方程；（2）已知直线m：y=x+n被圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2=r2（r＞0）截得的弦与圆心构成三角形CDE．若△CDE 的面积有最大值，求出直线m：y=x+n的方程；若△CDE的面积没有最大值，说明理由．【分析】（1）根据直线和圆相交得到的弦长公式求出圆的半径即可求圆C的方程；（2）根据直线和圆相交的位置关系，结合△CDE的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）设直线l与圆C交于A，B两点．∵直线l：y=x+2被圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2=r2（r＞0）截得的弦长等于该圆的半径，∴△CAB为正三角形，∴三角形的高等于边长的，∴圆心C到直线l的距离等于边长的．∵直线方程为x﹣y+2=0，圆心的坐标为（3，2），∴圆心到直线的距离d==，∴r=，∴圆C的方程为：（x﹣3）2+（y﹣2）2=6．（2）设圆心C到直线m的距离为h，H为DE的中点，连结CD，CH，CE．在△CDE中，∵DE=，∴=∴，当且仅当h2=6﹣h2，即h2=3，解得h=时，△CDE的面积最大．∵CH=，∴|n+1|=，∴n=，∴存在n的值，使得△CDE的面积最大值为3，此时直线m的方程为y=x．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据弦长公式是解决本题的关键．3．已知M（4，0），N（1，0），曲线C上的任意一点P满足：•=6||（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）过点N（1，0）的直线与曲线C交于A，B两点，交y轴于H点，设=λ1，=λ2，试问λ1+λ2是否为定值？如果是定值，请求出这个定值；如果不是定值，请说明理由．【分析】（Ⅰ）求出向量的坐标，利用条件化简，即可求点P的轨迹方程；（Ⅱ）分类讨论，利用=λ1，=λ2，结合韦达定理，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），则=（﹣3，0），=（x﹣4，y），=（1﹣x，﹣y）．∵•=6||，∴﹣3×（x﹣4）+0×y=6，化简得=1为所求点P的轨迹方程.4分（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．①当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x=my+1（m≠0），则H（0，﹣）．从而=（x1，y1+），=（1﹣x1，﹣y1），由=λ1得（x1，y1+）=λ1（1﹣x1，﹣y1），∴﹣λ1=1+同理由得﹣λ2=1+，∴﹣（λ1+λ2）=2+由直线与椭圆方程联立，可得（4+3m2）y2+6my﹣9=0，∴y1+y2=﹣，y1y2=﹣代入得∴（λ1+λ2）=2+=，∴λ1+λ2=﹣②当直线l与x轴重合时，A（﹣2，0），B（2，0），H（0，0），λ1=﹣．λ2=﹣2，∴λ1+λ2=﹣11分综上，λ1+λ2为定值﹣.12分．【点评】本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查直线与椭圆位置关系的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．4．已知动圆P与圆F1：（x+2）2+y2=49相切，且与圆F2：（x﹣2）2+y2=1相内切，记圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设Q为曲线C上的一个不在x轴上的动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交曲线C于M，N两个不同的点，求△QMN面积的最大值．【分析】（I）由已知条件推导出|PF1|+|PF2|=8＞|F1F2|=6，从而得到圆心P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，由此能求出圆心P的轨迹C的方程．（II）由MN∥OQ，知△QMN的面积=△OMN的面积，由此能求出△QMN的面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设圆P的半径为R，圆心P的坐标为（x，y），由于动圆P与圆F1：（x+2）2+y2=49相切，且与圆F2：（x﹣2）2+y2=1相内切，所以动圆P与圆F1只能内切．…（1分）所以|PF1|+|PF2|=7﹣R+R﹣1=6＞|F1F2|=4．…（3分）所以圆心圆心P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，其中2a=6，2c=4，∴a=3，c=2，b2=a2﹣c2=5．所以曲线C的方程为=1．…（4分）（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x3，y3），直线MN的方程为x=my+2，由可得：（5m2+9）y2+20my﹣25=0，则y1+y2=﹣，y1y2=﹣．…（5分）所以|MN|==…（7分）因为MN∥OQ，∴△QMN的面积=△OMN的面积，∵O到直线MN：x=my+2的距离d=．…（9分）所以△QMN的面积．…（10分）令=t，则m2=t2﹣1（t≥0），S==．设，则．因为t≥1，所以．所以，在[1，+∞）上单调递增．所以当t=1时，f（t）取得最小值，其值为9．…（11分）所以△QMN的面积的最大值为．…（12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程、直线、圆、与椭圆等椭圆知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．5．已知动圆P过定点且与圆N：相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过点D（3，0）且斜率不为零的直线交曲线C于A，B两点，在x轴上是否存在定点Q，使得直线AQ，BQ的斜率之积为非零常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由题意可知丨PM丨+丨PN丨=4＞丨MN丨=2，则P的轨迹C是以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆，则a=4，c=，b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，考查韦达定理，直线的斜率公式，当且仅当，解得t=±2，代入即可求得，定点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）设动圆P的半径为r，由N：及，知点M在圆N 内，则有，从而丨PM丨+丨PN丨=4＞丨MN丨=2，∴P的轨迹C是以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆，设曲线C的方程为：（a＞b＞0），则2a=4，a=4，c=，b2=a2﹣c2=1故曲线C的轨迹方程为；（Ⅱ）依题意可设直线AB的方程为x=my+3，A（x1，y1），B（x2，y2）．，由，整理得：（4+m2）y2+6my+5=0，则△=36m2﹣4×5×（4+m2）＞0，即m2＞4，解得：m＞2或m＜﹣2，由y1+y2=﹣，y1y2=，x1+x2=m（y1+y2）+6=，x1x2=（my1+3）（my2+3）=m2y1y2+m（y1+y2）+9=，假设存在定点Q（t，0），使得直线AQ，BQ的斜率之积为非零常数，则（x1﹣t）（x2﹣t）=x1x2﹣t（x1+x2）+t2=﹣t×+t2=，∴k AQ•k BQ=•==，要使k AQ•k BQ为非零常数，当且仅当，解得t=±2，当t=2时，常数为=，当t=﹣2时，常数为=，∴存在两个定点Q1（2，0）和Q2（﹣2，0），使直线AQ，BQ的斜率之积为常数，当定点为Q1（2，0）时，常数为；当定点为Q2（﹣2，0）时，常数为．【点评】本题考查椭圆标准方程及简单几何性质，椭圆的定义，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．6．如图所示，在△ABC中，AB的中点为O，且OA=1，点D在AB的延长线上，且．固定边AB，在平面内移动顶点C，使得圆M与边BC，边AC的延长线相切，并始终与AB的延长线相切于点D，记顶点C的轨迹为曲线Γ．以AB所在直线为x轴，O为坐标原点如图所示建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）设动直线l交曲线Γ于E、F两点，且以EF为直径的圆经过点O，求△OEF面积的取值范围．【分析】（Ⅰ）确定点C轨迹Γ是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，且挖去长轴的两个顶点，即可求曲线Γ的方程；（Ⅱ）可设直线，进而表示面积，即可求△OEF面积的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意得AB=2，BD=1，设动圆M与边AC的延长线相切于T1，与边BC相切于T2，则AD=AT1，BD=BT2，CT1=CT2所以AD+BD=AT1+BT2=AC+CT1+BT2=AC+CT1+CT2=AC+BC=AB+2BD=4＞AB=2…（2分）所以点C轨迹Γ是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，且挖去长轴的两个顶点．则曲线Γ的方程为．…（4分）（Ⅱ）由于曲线Γ要挖去长轴两个顶点，所以直线OE，OF斜率存在且不为0，所以可设直线…（5分）由得，，同理可得：，；所以，又OE⊥OF，所以…（8分）令t=k2+1，则t＞1且k2=t﹣1，所以=…（10分）又，所以，所以，所以，所以，所以△OEF面积的取值范围为．…（12分）【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆位置关系的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．7．已知△ABC的顶点A（1，0），点B在x轴上移动，|AB|=|AC|，且BC的中点在y轴上．（Ⅰ）求C点的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）已知过P（0，﹣2）的直线l交轨迹Γ于不同两点M，N，求证：Q（1，2）与M，N两点连线QM，QN的斜率之积为定值．【分析】（Ⅰ）利用直接法，求C点的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx﹣2，与抛物线方程联立，求出斜率，即可证明结论．【解答】解：（Ⅰ）设C（x，y）（y≠0），因为B在x轴上且BC中点在y轴上，所以B（﹣x，0），由|AB|=|AC|，得（x+1）2=（x﹣1）2+y2，化简得y2=4x，所以C点的轨迹Γ的方程为y2=4x（y≠0）．（Ⅱ）直线l的斜率显然存在且不为0，设直线l的方程为y=kx﹣2，M（x1，y1），N（x2，y2），由得ky2﹣4y﹣8=0，。
(完整版)直线与圆综合练习题含答案
直线与圆的方程训练题一、选择题:1．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ）A ．B ．C ． ，不存在D ． ，不存在 2．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（ ） A ．1=+b aB ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a3．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x 4．已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．524=+y x B ．524=-y x C ．52=+y x D ．52=-y x 5．直线cos sin 0x y a θθ++=与sin cos 0x y b θθ-+=的位置关系是（ ）A ．平行B ．垂直C ．斜交D ．与的值有关 6．两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（ ）A ．4 BCD7．如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是（ ）A ．-13B ．3-C ．13D ．38．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M -，则直线l 的斜率为（ ）A ．23 B ．32 C ．32- D ． 23-9．若动点P 到点(1,1)F 和直线340x y +-=的距离相等，则点P 的轨迹方程为（ ） A ．360x y +-= B ．320x y -+= C ．320x y +-= D ．320x y -+=10．若 为 圆的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ）A. 03=--y xB. 032=-+y xC. 01=-+y x D . 052=--y x11．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ） A ．2 B ．21+ C ．221+D ．221+ 12．在坐标平面内，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B 距离为2的直线共有（ ）0135,1-045,10900180,,a b θ(2,1)P -22(1)25x y -+=A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 13．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ）A ．023=-+y xB ．043=-+y xC ．043=+-y xD ．023=+-y x14．直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于,E F 两点，则∆EOF （O 是原点）的面积为（ ） Ａ．23 Ｂ．43Ｃ．52 Ｄ．55615．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为（ ）A ．03222=--+x y x B ．0422=++x y xC ．03222=-++x y xD ．0422=-+x y x16．若过定点)0,1(-M 且斜率为k 的直线与圆05422=-++y x x 在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是（ ）A. 50<<k B. 05<<-k C. 130<<k D. 50<<k 17．圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于,A B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（ ） A.30x y ++= B ．250x y --= C ．390x y --= D ．4370x y -+=18．入射光线在直线1:23l x y -=上，经过x 轴反射到直线2l 上，再经过y 轴反射到直线3l 上，若点P是1l 上某一点，则点P 到3l 的距离为（ ）A ．6 B ．3 C D 二、填空题:19．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________; 若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________; 若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________;20．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是________________.21．直线l 过原点且平分ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为(1,4),(5,0)B D ，则直线l 的方程为________________。
高中数学 人教版 必修二 直线与圆的方程综合复习题(含答案)
直线与圆的方程综合复习（含答案）一． 选择题1.已知点A(1,. 3),B(-1,33),则直线AB 的倾斜角是（ C ） A 3B 6C 23D 562.已知过点A(-2,m)和B （m,4）的直线与直线2x+y-1=0平行，则m 的值为（ C ） A 0 B 2 C -8 D 103.若直线L 1:ax+2y+6=0与直线L 2:x+(a-1)y+(2a -1)=0平行但不重合，则a 等于（ D ）A -1或2B 23C 2D -14.若点A （2，-3）是直线a 1x+b 1y+1=0和a 2x+b 2y+1=0的公共点，则相异两点 （a 1，b 1）和（a 2，b 2）所确定的直线方程是( A ) A.2x-3y+1=0 B.3x-2y+1=0 C.2x-3y-1=0 D.3x-2y-1=05.直线xcos θ+y-1=0 (θ∈R )的倾斜角的范围是 ( D )A.[)π，0B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ43,4C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππD.⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,434,06.“m=12”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m-2）x+(m+2y)-3=0相互垂直”的（ B ）A 充分必要条件B 充分而不必要条件C 必要而不充分条件D 既不充分也不必要条件7.已知A(7,-4)关于直线L 的对称点为B （-5,6），则直线L 的方程为（B ） A 5x+6y-11=0 B 6x-5y-1=0 C 6x+5y-11=0 D 5x-6y+1=0 8.已知直线1l 的方向向量a=(1,3),直线2l 的方向向量b=(-1,k).若直线2l 经过点（0,5）且1l 2l ，则直线2l 的方程为（ B ）A x+3y-5=0B x+3y-15=0C x-3y+5=0D x-3y+15=0 9. 过坐标原点且与圆2x +2y -4x+2y+52=0相切的直线方程为（ A ）A y=-3x 或y= 13xB y=3x 或y= -13xC y=-3x 或y= -13xD y=3x 或y= 13x10.直线x+y=1与圆2x +2y -2ay=0(a>0)没有公共点,则a 的取值范围是（A ）A (02-1,)B (2-1, 2+1)C (-2-1, 2-1)D (0, 2+1) 11.圆2x +2y -4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是（ C ）A 36B 18C 62D 5212.以直线：y=kx-k 经过的定点为P 为圆心且过坐标原点的圆的方程为（D ）， A 2x +2y +2x=0 B 2x +2y +x=0 C 2x +2y -x=0 D 2x +2y -2x-013.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果定点P 满足PA=2PB,则定点P 的轨迹所 包围的面积等于（ B ）A B 4 C 8 D 914.若直线3x+y+a=0过圆2x +2y +2x-4y=0的圆心，则a 的值为（ B ）A 1B -1C 3D -315.若直线2ax-by+2=0 (a ＞0,b ＞0)始终平分圆x 2+y 2+2x-4y+1=0的周长，则ba11+的最小值是（ C ）A.41B.2C.4D.2116.若直线y=k(x-2)+4与曲线y=1+24x -有两个不同的交点，则k 的取值范围是 （ A ）A.⎥⎦⎤⎝⎛43,125 B.⎪⎭⎫⎝⎛+∞,125 C.⎥⎦⎤⎝⎛43,21D.⎪⎭⎫⎝⎛125,17.设两圆1C ,2C 都和两坐标轴相切，且过点（4,1），则两圆心的距离 ︱1C 2C ︱等于（ C ）A 4B 42C 8D 8218.能够使得圆x 2+y 2-2x+4y+1=0上恰有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的c的一个值为 （ C ） A.2B.5C.3D.3519.若直线by ax +=1与圆x 2+y 2=1有公共点，则( D )A.a 2+b 2≤1B.a 2+b 2≥1C.2211ba +≤1 D.2211ba +≥120.已知A （-3，8）和B （2，2），在x 轴上有一点M ，使得|AM|+|BM|为最短，那么点M 的坐标为（ B ） A.(-1,0)B.(1,0)C.⎪⎭⎫⎝⎛0522，D. ⎪⎭⎫⎝⎛522,021.直线y=kx+3与圆2(3)x+2(2)y =4相交于M 、N 两点，若︱MN ︱≥23,则k 的取值范围是（ A ）A [-34,0] B [-∞,-34] [0，∞） C [-33,33] D [-23,0] 22.（广东理科2）已知集合{(,)|,A x y x y =为实数，且221}x y +=，{(,)|,B x y x y =为实数，且}y x =，则AB 的元素个数为（C ）A ．0B ．1C ．2D ．3 23.（江西理科9）若曲线02221=-+x y x C ：与曲线 0)(2=--m mx y y C ：有四个不同的交点,则实数m 的取值范围是 ( B ) A. )33,33(-B. )33,0()0,33( -C. ]33,33[-D. ),33()33,(+∞--∞ 答案：B 曲线0222=-+x y x 表示以()0,1为圆心，以1为半径的圆，曲线()0=--m mx y y 表示0,0=--=m mx y y 或过定点()0,1-，0=y 与圆有两个交点，故0=--m mx y 也应该与圆有两个交点，由图可以知道，临界情况即是与圆相切的时候，经计算可得，两种相切分别对应3333=-=m m 和，由图可知，m 的取值范围应是)33,0()0,33( -二．填空题24．已知圆C 经过)3,1(),1,5(B A 两点，圆心在X 轴上，则C 的方程为10)2(22=+-y x ___________。
直线和圆综合练习题集附答案解析
直线与圆的方程训练题一、选择题:1．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ）A ．B ．C ． ，不存在D ． ，不存在 2．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（ ） A ．1=+b aB ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a3．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x 4．已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．524=+y x B ．524=-y x C ．52=+y x D ．52=-y x 5．直线cos sin 0x y a θθ++=与sin cos 0x y b θθ-+=的位置关系是（ ）A ．平行B ．垂直C ．斜交D ．与的值有关 6．两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（ ）A ．4 BCD7．如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是（ ）A ．-13B ．3-C ．13D ．38．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M -，则直线l 的斜率为（ ）A ．23 B ．32 C ．32- D ． 23-9．若动点P 到点(1,1)F 和直线340x y +-=的距离相等，则点P 的轨迹方程为（ ） A ．360x y +-= B ．320x y -+= C ．320x y +-= D ．320x y -+=10．若为 圆的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ） A. 03=--y x B. 032=-+y x C. 01=-+y x D. 052=--y x11．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ） A ．2 B ．21+ C ．221+D ．221+ 12．在坐标平面，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B 距离为2的直线共有（ ）0135,1-045,10900180,,a b θ(2,1)P -22(1)25x y -+=A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 13．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ）A ．023=-+y xB ．043=-+y xC ．043=+-y xD ．023=+-y x14．直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于,E F 两点，则∆EOF （O 是原点）的面积为（ ） Ａ．23 Ｂ．43Ｃ．52 Ｄ．55615．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为（ ）A ．03222=--+x y x B ．0422=++x y xC ．03222=-++x y xD ．0422=-+x y x16．若过定点)0,1(-M 且斜率为k 的直线与圆05422=-++y x x 在第一象限的部分有交点，则k 的取值围是（ ）A. 50<<k B. 05<<-k C. 130<<k D. 50<<k 17．圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于,A B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（ ） A.30x y ++= B ．250x y --= C ．390x y --= D ．4370x y -+=18．入射光线在直线1:23l x y -=上，经过x 轴反射到直线2l 上，再经过y 轴反射到直线3l 上，若点P是1l 上某一点，则点P 到3l 的距离为（ ）A ．6 B ．3 C D 二、填空题:19．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________; 若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________; 若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________;20．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是________________.21．直线l 过原点且平分ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为(1,4),(5,0)B D ，则直线l 的方程为________________。
(完整word版)必修二数学圆的方程及直线与圆的位置关系练习题
新课程高中数学训练题组（数学2必修）第四章 圆与方程［基础训练A 组］5•在坐标平面内，与点 A （1,2）距离为1，且与点B （3,1）距离为2的直线共有（）A . 1条B . 2条C . 3条D . 4条6.圆x y 4x 0在点P （1「3）处的切线方程为（ ）A . x . 3y 20 B . x 、3y 4 0 C . x '一 3y 4 0 D . x .. 3y 2 0二、填空题2 2A. (x 2)22 y 5B . x 2 (y 2)2 5C .(x 2)2 (y / 2) 215D .x 2 (y 2)252.若 P(2, 1）为圆 (x 1)22y 25的弦 A B的中点，则直线AB 的方程是（A. x y 3 0 B . 2xy 3 0C. x y 1 0 D .2xy 53.圆 x 2y 22x 2y 10上的点到直线x y 2的距离最大值是（）jr -A . 2B 1、2C11 2 25关于原点P （0, 0）对称的圆的方程为（)21个单位，所得直线与4.将直线0,沿x 轴向左平移-、选择题 1.圆（x 2）2 y 22x 圆X 22x 4y 0相切，则实数的值为（ 2或 8 C . 0 或 10D . 1 或111 .若经过点P（ 1,0）的直线与圆x y 4x 2y 3 0相切，则此直线在y轴上的截距是.2.由动点P向圆x2 y2 1引两条切线PA, PB，切点分别为A,B, APB 60°，则动点P的轨迹方程为 _____________________ 。
3.圆心在直线2x y 7 0上的圆C与y轴交于两点A(0, 4), B(0, 2),则圆C的方程为________________ .4 •已知圆X 3 2 y24和过原点的直线y kx的交点为P,Q则OP OQ的值为___________________ 。
5•已知P是直线3x 4y 8 0上的动点，PA, PB是圆x2 y2 2x 2y 1 0的切线，A,B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是______________________ 。
高中数学必修2直线与圆常考题型：圆的一般方程
圆的一般方程【知识梳理】圆的一般方程(1)圆的一般方程的概念：当D 2＋E 2－4F ＞0时，二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程．(2)圆的一般方程对应的圆心和半径：圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)表示的圆的圆心为(－D 2，－E 2)，半径长为12D 2＋E 2－4F . 【常考题型】题型一、圆的一般方程的概念辨析【例1】 若方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆，求(1)实数m 的取值范围；(2)圆心坐标和半径．[解] (1)据题意知D 2＋E 2－4F ＝(2m )2＋(－2)2－4(m 2＋5m )＞0，即4m 2＋4－4m 2－20m ＞0， 解得m ＜15， 故m 的取值范围为(－∞，15)． (2)将方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0写成标准方程为(x ＋m )2＋(y －1)2＝1－5m ， 故圆心坐标为(－m,1)，半径r ＝1－5m .【类题通法】形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法： ①由圆的一般方程的定义令D 2＋E 2－4F ＞0，成立则表示圆，否则不表示圆，②将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．【对点训练】1．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径．(1)x 2＋y 2＋x ＋1＝0；(2)x 2＋y 2＋2ax ＋a 2＝0(a ≠0)；(3)2x 2＋2y 2＋2ax －2ay ＝0(a ≠0)．解：(1)∵D ＝1，E ＝0，F ＝1，∴D 2＋E 2－4F ＝1－4＝－3＜0，∴方程(1)不表示任何图形．(2)∵D ＝2a ，E ＝0，F ＝a 2，∴D 2＋E 2－4F ＝4a 2－4a 2＝0，∴方程表示点(－a,0)．(3)两边同除以2，得x 2＋y 2＋ax －ay ＝0，D ＝a ，E ＝－a ，F ＝0，∴D 2＋E 2－4F ＝2a 2＞0，∴方程(3)表示圆，它的圆心为(－a 2，a 2)， 半径r ＝12 D 2＋E 2－4F ＝22|a |. 题型二、圆的一般方程的求法【例2】 已知△ABC 的三个顶点为A (1,4)，B (－2,3)，C (4，－5)，求△ABC 的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．[解] 法一：设△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，∵A ，B ，C 在圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋16＋D ＋4E ＋F ＝0，4＋9－2D ＋3E ＋F ＝0，16＋25＋4D －5E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－2，E ＝2，F ＝－23，∴△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝25.∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.法二：∵k AB ＝4－31＋2＝13，k AC ＝4＋51－4＝－3， ∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC .∴△ABC 是以角A 为直角的直角三角形，∴外心是线段BC 的中点，坐标为(1，－1)，r ＝12|BC |＝5. ∴外接圆方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25.应用待定系数法求圆的方程时：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D 、E 、F .【对点训练】2．求经过点A (－2，－4)且与直线x ＋3y －26＝0相切于点B (8,6)的圆的方程． 解：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2. ∵圆与x ＋3y －26＝0相切，∴6＋E 28＋D 2·⎝⎛⎭⎫－13＝－1，即E －3D －36＝0.①∵(－2，－4)，(8,6)在圆上，∴2D ＋4E －F －20＝0，②8D ＋6E ＋F ＋100＝0.③联立①②③，解得D ＝－11，E ＝3，F ＝－30，故所求圆的方程为x 2＋y 2－11x ＋3y －30＝0.题型三、代入法求轨迹方程【例3】 已知△ABC 的边AB 长为4，若BC 边上的中线为定长3，求顶点C 的轨迹方程．[解] 以直线AB 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立坐标系(如图)，则A (－2,0)，B (2,0)，设C (x ，y )，BC 中点D (x 0，y 0)．∴⎩⎨⎧2＋x 2＝x 0，0＋y 2＝y 0. ①∵|AD |＝3，∴(x 0＋2)2＋y 20＝9. ②将①代入②，整理得(x ＋6)2＋y 2＝36.∵点C 不能在x 轴上，∴y ≠0.综上，点C 的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点． 轨迹方程为(x ＋6)2＋y 2＝36(y ≠0)．用代入法求轨迹方程的一般步骤【对点训练】3．过点A (8,0)的直线与圆x 2＋y 2＝4交于点B ，则AB 中点P 的轨迹方程为________________． 解析：设点P 的坐标为(x ，y )，点B 为(x 1，y 1)，由题意，结合中点坐标公式可得x 1＝2x －8，y 1＝2y ，故(2x －8)2＋(2y )2＝4，化简得(x －4)2＋y 2＝1，即为所求．答案：(x －4)2＋y 2＝1【练习反馈】1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( )A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(－2，－3)D ．(2，－3)解析：选D 圆的方程化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，圆心(2，－3)，选D.2．已知方程x 2＋y 2－2x ＋2k ＋3＝0表示圆，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．(－32，＋∞) 解析：选A 方程可化为：(x －1)2＋y 2＝－2k －2，只有－2k －2>0，即k <－1时才能表示圆．3．方程x 2＋y 2＋2ax －by ＋c ＝0表示圆心为C (2,2)，半径为2的圆，则a ＝________，b ＝________，c ＝________.解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ －2a 2＝2，－－b 2＝2，12 4a 2＋b 2－4c ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝4，c ＝4.答案：－2,4,44．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线且|P A |＝1，则P 点的轨迹方程是________．解析：设P (x ，y )是轨迹上任一点，圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为B (1,0)，则|P A |2＋1＝|PB |2，∴(x －1)2＋y 2＝2.答案：(x －1)2＋y 2＝25．求过点(－1,1)，且圆心与已知圆x 2＋y 2－6x －8y ＋15＝0的圆心相同的圆的方程． 解：设所求的圆的方程为：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，又圆x 2＋y 2－6x －8y ＋15＝0的圆心为(3,4)，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－D ＋E ＋F ＝0，－D 2＝3，－E 2＝4， 解此方程组，可得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. ∴所求圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.。
高中数学人教版必修二直线与圆的方程综合复习题(含答案)
高中数学人教版必修二直线与圆的方程综合复习题(含答案)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN直线与圆的方程综合复习（含答案）一． 选择题1.已知点A(1,. 3),B(-1,33),则直线AB 的倾斜角是（ C ） A 3B 6C 23D 562.已知过点A(-2,m)和B （m,4）的直线与直线2x+y-1=0平行，则m 的值为（ C ）A 0B 2C -8D 103.若直线L 1:ax+2y+6=0与直线L 2:x+(a-1)y+(2a -1)=0平行但不重合，则a 等于（ D ） A -1或2 B23C 2D -1 4.若点A （2，-3）是直线a 1x+b 1y+1=0和a 2x+b 2y+1=0的公共点，则相异两点 （a 1，b 1）和（a 2，b 2）所确定的直线方程是( A ) A.2x-3y+1=0 B.3x-2y+1=0 C.2x-3y-1=0 D.3x-2y-1=0 5.直线xcos θ+y-1=0 (θ∈R )的倾斜角的范围是 ( D )A.[)π，0B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ43,4 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππD.⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,434,06.“m=12”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m-2）x+(m+2y)-3=0相互垂直”的（ B ）A 充分必要条件B 充分而不必要条件C 必要而不充分条件D 既不充分也不必要条件7.已知A(7,-4)关于直线L 的对称点为B （-5,6），则直线L 的方程为（B ） A 5x+6y-11=0 B 6x-5y-1=0 C 6x+5y-11=0 D 5x-6y+1=0 8.已知直线1l 的方向向量a=(1,3),直线2l 的方向向量b=(-1,k).若直线2l 经过点（0,5）且1l 2l ，则直线2l 的方程为（ B ）A x+3y-5=0B x+3y-15=0C x-3y+5=0D x-3y+15=09. 过坐标原点且与圆2x +2y -4x+2y+52=0相切的直线方程为（ A ）A y=-3x 或y= 13xB y=3x 或y= -13xC y=-3x 或y= -13x D y=3x 或y=13x 10.直线x+y=1与圆2x +2y -2ay=0(a>0)没有公共点,则a 的取值范围是（A ）A (02-1,)B (2-1, 2+1)C (-2-1, 2-1)D (0, 2+1) 11.圆2x +2y -4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是（ C ）A 36B 18C 62D 5212.以直线：y=kx-k 经过的定点为P 为圆心且过坐标原点的圆的方程为（D ）， A 2x +2y +2x=0 B 2x +2y +x=0 C 2x +2y -x=0 D 2x +2y -2x-013.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果定点P 满足PA=2PB,则定点P 的轨迹所包围的面积等于（ B ）A B 4 C 8 D 914.若直线3x+y+a=0过圆2x +2y +2x-4y=0的圆心，则a 的值为（ B ）A 1B -1C 3D -315.若直线2ax-by+2=0 (a ＞0,b ＞0)始终平分圆x 2+y 2+2x-4y+1=0的周长，则ba 11+的最小值是（ C ） A.41B.2C.4D.2116.若直线y=k(x-2)+4与曲线y=1+24x -有两个不同的交点，则k 的取值范围是（ A ）A.⎥⎦⎤⎝⎛43,125B.⎪⎭⎫⎝⎛+∞,125 C.⎥⎦⎤ ⎝⎛43,21D.⎪⎭⎫⎝⎛125,17.设两圆1C ,2C 都和两坐标轴相切，且过点（4,1），则两圆心的距离 ︱1C 2C ︱等于（ C ）A 4B 42C 8D 8218.能够使得圆x 2+y 2-2x+4y+1=0上恰有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的c 的一个值为 （ C ） A.2 B.5C.3D.3519.若直线by ax +=1与圆x 2+y 2=1有公共点，则( D ) A.a 2+b 2≤1 B.a 2+b 2≥1 C.2211ba +≤1D.2211ba +≥120.已知A （-3，8）和B （2，2），在x 轴上有一点M ，使得|AM|+|BM|为最短，那么点M 的坐标为（ B ） A.(-1,0)B.(1,0)C.⎪⎭⎫⎝⎛0522， D.⎪⎭⎫ ⎝⎛522,0 21.直线y=kx+3与圆2(3)x+2(2)y =4相交于M 、N 两点，若︱MN ︱≥3则k 的取值范围是（ A ）A [-34,0] B [-∞,-34] [0，∞）33] D [-23,0] 22.（广东理科2）已知集合{(,)|,A x y x y =为实数，且221}x y +=，{(,)|,B x y x y =为实数，且}y x =，则AB 的元素个数为（C ）A ．0B ．1C ．2D ．3 23.（江西理科9）若曲线02221=-+x y x C ：与曲线0)(2=--m mx y y C ：有四个不同的交点,则实数m 的取值范围是 ( B ) A. )33,33(-B. )33,0()0,33( -C. ]33,33[-D. ),33()33,(+∞--∞答案：B 曲线0222=-+x y x 表示以()0,1为圆心，以1为半径的圆，曲线()0=--m mx y y 表示0,0=--=m mx y y 或过定点()0,1-，0=y 与圆有两个交点，故0=--m mx y 也应该与圆有两个交点，由图可以知道，临界情况即是与圆相切的时候，经计算可得，两种相切分别对应3333=-=m m 和，由图可知，m 的取值范围应是)33,0()0,33( -二．填空题24．已知圆C 经过)3,1(),1,5(B A 两点，圆心在X 轴上，则C 的方程为10)2(22=+-y x ___________。
高中数学必修2直线与圆的位置关系知识题型总结
直线与圆的位置关系一、点与圆的位置关系设),(00y x P 与圆222)()(r b y a x =-+-；若P 到圆心之距为d ；①P 在在圆C 外22020)()(r b y a x r d >-+-⇔>⇔； ②P 在在圆C 内22020)()(r b y a x r d <-+-⇔<⇔； ③P 在在圆C 上22020)()(r b y a x r d =-+-⇔=⇔；二、直线与圆的位置关系：设直线0:=++C By Ax l 和圆222)()(:r b y a x C =-+-，位置关系的判定：判定方法1：联立方程组 得到关于x(或y)的方程(1)△>0相交； (2)△=0相切； (3)△<0相离。
判定方法2：若圆心(a ，b)到直线L 的距离为d (1)d<r 相交； (2)d=r 相切；(3)d>r 相离。
利用∆判定称为代数法，对讨论直线和二次曲线的位置关系都适应。
三、两圆的位置关系：（1）代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组；若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若无实数解，两圆相离。
（2）几何法：设圆1O 的半径为1r ，圆2O 的半径为2r①两圆外离2121||r r O O +>⇔；4条公切线②两圆外切2121||r r O O +=⇔；3条公切线③两圆相交212112||||r r O O r r +<<-⇔；2条公切线④两圆内切||||1221r r O O -=⇔；1条公切线⑤两圆内含||||1221r r O O -<⇔；没有公切线四、两圆公共弦所在直线方程圆1C ：221110x y D x E y F ++++=，圆2C ：222220x y D x E y F ++++=，则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程. 补充说明：① 若1C 与2C 相切，则表示其中一条公切线方程； ② 若1C 与2C 相离，则表示连心线的中垂线方程.五、圆系问题过两圆1C ：221110x y D x E y F ++++=和2C ：222220x y D x E y F ++++=交点的圆系方程为()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（1λ≠-） 补充：① 上述圆系不包括2C ；② 2）当1λ=-时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）③ 过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=交点的圆系方程为()220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=六、 过一点作圆的切线的方程：(1) 过圆外一点的切线： ①k 不存在，验证是否成立②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即 ⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=-1)()(2110101R x a k y b R x x k y y 求解k ，得到切线方程【一定两解】例1. 经过点P(1，—2)点作圆(x+1)2+(y —2)2=4的切线，则切线方程为 。
必修2直线和圆复习题及答案
1．直线方程的几种基本形式及适用条件：(1)点斜式： ，注意斜率k 是存在的．(2)斜截式： ，其中b 是直线l 在 上的截距．(3)两点式： (x 1≠x 2且y 1≠y 2)，当方程变形为(y 2－y 1)(x －x 1)－(x 2－x 1)(y －y 1)＝0时，对于一切情况都成立．(4)截距式： ，其中a ·b ≠0，a 为l 在x 轴上的截距，b 是l 在y 轴上的截距．(5)一般式： ，其中A 、B 不同时为0.1．判定两条直线的位置关系(1)两条直线的平行①假设l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则l 1∥l 2⇔ 且 ，l 1与l 2重合⇔ .②当l 1，l 2都垂直于x 轴且不重合时，则有 .③假设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1且B 1C 2≠B 2C 1，l 1与l 2重合⇔A 1＝λA 2，B 1＝λB 2，C 1＝(2)两条直线的垂直①假设l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则l 1⊥l 2⇔ . ②假设两条直线中，一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零，则两条直线 ．③假设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1⊥l 2⇔ .(3)直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2相交的条件是 . 直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0相交的条件是 .自测题1．过点M (－1，m )，N (m ＋1,4)的直线的斜斜角为45° ，则m 的值为2. 以下四个命题中真命题是( )A ．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示B ．经过任意两个不同点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)－(x －x 1)(y 2－y 1)＝0表示C ．不过原点的直线都可以用x a ＋y b ＝1表示D ．经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示3．假设三点A (2,3)，B (3，－2)，C (12，m )共线，则m 的值是________．4．已知直线x ＋a 2y ＋6＝0与直线(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0平行，则a 的值为________．5．已知两条直线y ＝ax －2和y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则a 等于________．例题例1.已知两点A (－1,2)，B (m,3)，求：(1)求直线AB 的斜率； (2)求直线AB 的方程；例2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是______例3.已知直线：l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1)试判断l 1与l 2是否平行；(2)l 1⊥l 2时，求a 的值例4.已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0.试确定m 、n 的值，使：(1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)； (2)l 1∥l 2； (3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.练习题1．以下命题中，正确的选项是( )A ．假设直线的斜率为tan α，则直线的倾斜角是αB ．假设直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan αC ．假设直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大D ．直线的倾斜角α∈[0，π2)∪(π2，π)时，直线的斜率分别在这两个区间上单调递增2.．假设直线l 1，l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7，则l 2的斜率是( ) A.7B ．－77 C.77 D ．－7 3.．两直线x m －y n ＝1与x n －y m ＝1的图像可能是图中的哪一个( )4.．假设点A (a,0)，B (0，b )，C (1，－1)(a >0，b <0)三点共线，则a －b 的最小值等于______5.．过点M (1，－2)的直线与x 轴、y 轴分别交于P 、Q 两点，假设M 恰为线段PQ 的中点，则直线PQ 的方程为______6.．已知直线l 的斜率为16，且和坐标轴围成面积为3的三角形，求直线l 的方程．7.．已知点M 是直线l ：3x －y ＋3＝0与x 轴的交点，将直线l 绕点M 旋转30°，求所得到的直线l ′的方程．8.．在△ABC 中，已知A (1,1)，AC 边上的高线所在直线方程为x －2y ＝0，AB 边上的高线所在直线方程为3x ＋2y －3＝0.求BC 边所在直线方程．9.．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．(1)假设l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程；(2)假设l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．高中数学必修二直线和圆练习一、选择题1．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为〔 〕A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x2．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为〔 〕A ．0B ．8-C ．2D ．103．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过〔 〕A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限 4．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，假设线段AB 的中点为 (1,1)M -，则直线l 的斜率为〔 〕A ．23B ．32C ．32-D ． 23-. 5. 圆C 1:x 2+y 2+4x-4y+7=0和圆C 2:x 2+y 2-4x-10y+13=0的公切线有( )条条条 D.以上均错6. 已知空间两点A(1,3,5)、B(-3,1,3),则线段AB 的中点坐标为( )A.(-1,2,4)B.(2,1,1)C.(1,0,4)D.(3,3,-1)7.假设直线(1+a)x+y+1=0与圆x 2+y 2-2x=0相切，则a 的值为( )、、8.已知圆C ：(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线l ：x-y+3=0，当直线l 被圆C 截得的弦长为32时，则a 等于( ) A.2 B.22- C.12- D.12+二、填空题1．点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是________________.2.经过点P(1,2)与圆x 2+y 2=1相切的直线方程为______________.3. 与两平行直线x+3y-5=0和x+3y-3=0相切,圆心在直线2x+y+3=0上的圆的方程是________.4. 已知圆x 2+y 2-4x+6y-12=0的内部有一点A(4，-2)，则以A 为中点的弦所在的直线方程为______________________.三、解答题1．求经过点(2,2)A -并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程。
(完整版)直线与圆综合练习题含答案
直线与圆的方程训练题一、选择题:1．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ）A ．B ．C ． ，不存在D ． ，不存在 2．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（ ） A ．1=+b aB ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a3．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x 4．已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．524=+y x B ．524=-y x C ．52=+y x D ．52=-y x 5．直线cos sin 0x y a θθ++=与sin cos 0x y b θθ-+=的位置关系是（ ）A ．平行B ．垂直C ．斜交D ．与的值有关 6．两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（ ）A ．4 BCD7．如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是（ ）A ．-13B ．3-C ．13D ．38．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M -，则直线l 的斜率为（ ）A ．23 B ．32 C ．32- D ． 23-9．若动点P 到点(1,1)F 和直线340x y +-=的距离相等，则点P 的轨迹方程为（ ） A ．360x y +-= B ．320x y -+= C ．320x y +-= D ．320x y -+=10．若 为 圆的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ）A. 03=--y xB. 032=-+y xC. 01=-+y x D . 052=--y x11．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ） A ．2 B ．21+ C ．221+D ．221+ 12．在坐标平面内，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B 距离为2的直线共有（ ）0135,1-045,10900180,,a b θ(2,1)P -22(1)25x y -+=A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 13．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ）A ．023=-+y xB ．043=-+y xC ．043=+-y xD ．023=+-y x14．直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于,E F 两点，则∆EOF （O 是原点）的面积为（ ） Ａ．23 Ｂ．43Ｃ．52 Ｄ．55615．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为（ ）A ．03222=--+x y x B ．0422=++x y xC ．03222=-++x y xD ．0422=-+x y x16．若过定点)0,1(-M 且斜率为k 的直线与圆05422=-++y x x 在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是（ ）A. 50<<k B. 05<<-k C. 130<<k D. 50<<k 17．圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于,A B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（ ） A.30x y ++= B ．250x y --= C ．390x y --= D ．4370x y -+=18．入射光线在直线1:23l x y -=上，经过x 轴反射到直线2l 上，再经过y 轴反射到直线3l 上，若点P是1l 上某一点，则点P 到3l 的距离为（ ）A ．6 B ．3 C D 二、填空题:19．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________; 若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________; 若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________;20．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是________________.21．直线l 过原点且平分ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为(1,4),(5,0)B D ，则直线l 的方程为________________。
高中数学直线与圆精选题目(附答案)
高中数学直线与圆精选题目(附答案)一、两直线的位置关系1求直线斜率的基本方法(1) 定义法：已知直线的倾斜角为a,且a工90°,贝U斜率k = ta n a .y2 — y i⑵公式法：已知直线过两点P i(x i,y i) ,P2(X2,y2)，且X i M X2,则斜率k = .X2 一X i2. 判断两直线平行的方法(1) 若不重合的直线11与12的斜率都存在，且分别为k i, k2,贝U k i= k2? 11//I 2.(2) 若不重合的直线I i与I 2的斜率都不存在，其倾斜角都为90°,则I i//l2.3. 判断两直线垂直的方法(1) 若直线I i与丨2的斜率都存在，且分别为k i, k2，贝U k i • k2=—i? I i±12.(2) 已知直线I i与12,若其中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0,则I i 丄I 2.i. 已知两条直线I i：ax —by+ 4= 0和12：(a—i)x + y + b = 0,求满足下列条件的a, b的值.(1) I i 丄12 且I i 过点(—3,—i)；(2) I i / I 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等.［解］⑴••• Ii丄I2,a(a—i) —b = 0,①又丨i过点(一3, —i),—3a + b+4 = 0.②a= 2,解①②组成的方程组得.cb = 2.(2) I 2的斜率存在，I i / I 2 ,.直线I i的斜率存在.a--k i = k2,即二=i —a.③b又•••坐标原点到这两条直线的距离相等，I i // I 2, .11, 12在y轴上的截距互为相反数，即b = — （ 一 b ）.④经检验此时的l 1与丨2不重合，故所求值为2a=- 或 3b = 2.注：已知两直线 11: A i X + By + C = 0 和 12: Ax + By + C 2= 0(1) 对于I 1//I 2的问题，先由AB — AB i = 0解出其中的字母值，然后代回原 方程检验这时的I l 和I 2是否重合，若重合，舍去.⑵ 对于丨1丄12的问题，由AiA +0解出字母的值即可.2. 直线ax + 2y — 1 = 0与直线2x — 3y — 1= 0垂直，则a 的值为()4A•- 3 B .- 3 C. 2D . 3解析：选D 由2a — 6= 0得a = 3.故选D.3. 已知直线 x + 2ay — 1 = 0与直线(a — 1)x + ay + 1 = 0平行，则a 的值为 ( )或0C. 0D . — 2解析：选A 当a = 0时，两直线的方程化为x = 1和x = 1，显然重合，不符 a 1 a 3合题意；当a ^O 时，^厂= ，解得a =-.故选A.1 2a 2、直线方程1 .直线方程的五种形式由③④联立，解得：=2,b = — 2a = _b = 2.a= 2，b = — 22.常见的直线系方程(1) 经过两条直线I仁A i X + By + C i= 0, 12 ：Ax+ By + G= 0父点的直线系方程为A i x + B i y + C i+入(A2X + By + Q) = 0,其中入是待定系数.在这个方程中，无论入取什么实数，都不能得到Ax + By + C2= 0,因此它不能表示直线丨2.⑵平行直线系方程：与直线Ax+ By+ C= 0(A, B不同时为0)平行的直线系方程是Ax+ By+入=0(入工C).(3) 垂直直线系方程：与直线Ax+ By+ C= 0(A, B不同时为0)垂直的直线系方程是Bx—Ay+入=0.4. 过点A(3 , - 1)作直线I交x轴于点B,交直线I仁y二2x于点C,若| Bq 二2| AB，求直线I的方程.［解］当直线I的斜率不存在时，直线I : x = 3,••• B(3,0) , C(3,6).此时| Bq = 6, I AB = 1, |Bq 工2|AB ,•••直线I的斜率存在.设直线I的方程为y +1 = k(x-3),显然k M0且k工2.••• B3 +1 0 ,k ，-| Bq = 2| AB|，…| X B — X c | = 2| X A — X B | , 3k + 1 1 1•- 口 — k — 3= 2 k ，3k +1 1 2 3k +1 1 2 ■k^ — k — 3= k 或 T —2 — k — 3= — k ， 3 1解得k =—㊁或k = 4.•••所求直线I 的方程为3X + 2y — 7 = 0或X — 4y — 7= 0. 注：求直线方程时，要根据给定条件，选择恰当的方程，常用以下两种方法求解： (1)直接法：直接选取适当的直线方程的形式，写出结果；⑵ 待定系数法：先以直线满足的某个条件为基础设出直线方程， 再由直线满足的另一个条件求出待定 系数，从而求得方程.5. 已知直线I 仁3X — 2y — 1 = 0和丨2： 3X — 2y — 13= 0,直线I 与I 1，12的距 离分别是d 1， d 2，若d 1 : d 2=2 ： 1，求直线I 的方程.解：由直线丨1，I 2的方程知I 1//I 2,又由题意知，直线I 与丨1,丨2均平行(否 则d 1 = 0或d 2= 0，不符合题意).设直线I : 3x — 2y + m = 0( mr^ — 1且m^ — 13)，由两平行直线间的距离公式，=—25 或 m = — 9.故所求直线I 的方程为3x — 2y — 25 = 0或3x — 2y — 9 = 0. 6. 已知直线I : 3x — y + 3= 0，求： (1)点P(4,5)关于I 的对称点；y = 2x , y + 1 = k x — 3得点C 的横坐标X c =3k + 1k — 2 .得d 1d 2=| n + 13|13又 d 1 : d 2=2 ： 1，所以 | 1| = 2| m + 13|，解得 m| m + 1|⑵直线x—y — 2 = 0关于直线I对称的直线方程.解：设P(x，y)关于直线I : 3x—y+ 3= 0的对称点为P'(x'，y').y — y••• k pp • ki 二―1 即x ^—x x 3二—1.① 又PP'的中点在直线3x — y + 3= 0上,—4x + 3y — 9 — ,—4x + 3y — 9 3x + 4y + 3—2= 0,化简得 7x + y + 22 = 0.三、圆的方程(1) 圆的标准方程：(x — a)2+ (y — b)2 = r 2 (2) 圆的一般方程：x 2 + y 2+ Dx + Ey + F = 0(3) 若圆经过两已知圆的交点或一已知圆与一已知直线的交点，求圆的方程 时可用相应的圆系方程加以求解：① 过两圆 C i : x 2+y 2+ Dx + E i y + F i = 0, G : x 2+y 2+ D 2x + &y + F ?= 0 交点的 圆系方程为 x 2+ y 2+ Dx + E i y + F i + 入(x 2+y 2+ Dx + Ey + F 2) = 0( X 为参数，入工 —1)，该方程不包括圆G ;② 过圆C : x 2+ y 2+ Dx + Ey + F = 0与直线I : Ax + By + C = 0交点的圆系方程2 2 __________________为 x + y + Dx + Ey + F + X (Ax + By + C) = 0( X 为参数，X € R).7.在平面直角坐标系中，已知△ ABC 的三个顶点的坐标分别为 A — 3,0),B(2,0) , C(0，— 4)，经过这三个点的圆记为 M(1)求BC 边的中线AD 所在直线的一般式方程；⑵求圆M 的方程.••• 3X 22 +3 = 0.②由①②得=3x + 4y + 3(1)把x = 4, y =5代入③④得 =—2, y ' = 7,••• P(4,5)关于直线I 的对称点 P' 的坐标为(一2,7).⑵用③④分别代换x — y — 2= 0 中的x , y ，得关于I 的对称直线方程为［解］⑴法一：由B(2,0) , C(0，—4)，知BC的中点D的坐标为(1 , —2).即中线AD 所在直线的一般式方程为x + 2y + 3= 0. 法二：由题意，得| AB = | Aq = 5, 则厶ABC 是等腰三角形， 所以ADL BC因为直线BC 的斜率k Bc = 2, 1所以直线AD 的斜率k AD = — 2 ,1由直线的点斜式方程，得y — 0= — 2(x + 3), 所以直线AD 的一般式方程为x + 2y + 3= 0.⑵ 设圆M 的方程为x 2 + y 2+ Dx + Ey + F = 0.将 A — 3,0) , B(2,0) , C(0 , — 4)三点的坐标分别代入方程，得5所以圆M 的方程是x + y + x + qy — 6= 0. 注：利用待定系数法求圆的方程(1) 若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程，依据已知条件 列出关于a , b , r 的方程组，从而求出a , b , r 的值.(2) 若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，可选择圆的一般方程，依据 已知条件列出关于D, E , F 的方程组，从而求出D, E , F 的值.8.以线段AB x+ y — 2 = 0(0< x < 2)为直径的圆的方程为()A. (x + 1)2+ (y + 1)2= 2B. (x — 1)2+ (y — 1)2= 2C. (x + 1)2+ (y + 1)2= 8D. (x — 1)2+ (y — 1)2= 8又A — 3,0),所以直线AD 的方程为y —0 x +3—2—0=~1+3，9 — 3D+ F = 0,4+ 2D+ F = 0,16— 4E + F =—1,5解得E = 2，F = —解析：选B直径的两端点分别为(0,2) ,(2,0)，二圆心为(1,1)，半径为2 故圆的方程为(x—1)2+ (y —1)2= 2.9. 已知圆C经过点A(2 , —3), B( —2,—5)，且圆心在直线I : x—2y —3 =0上，求圆C的方程.解：设圆C的方程为(x —a)2+ (y—b)2= r2.2 一a + —3一b = r ， a = —1，由题意，得一2— a 2+ —5— b 2= r2，解得b= —2，a —2b—3= 0，r2= 10.所以圆C的方程为(x+ 1)2+ (y + 2)2= 10.10. 求以圆C: x2+ y2—12x —2y —13 = 0 和圆Q: x2+ y2+ 12x + 16y—25= 0 的公共弦为直径的圆C的方程.解：联立两圆的方程得方程组2 2x + y —12x —2y—13= 0，2 2x + y + 12x + 16y —25 = 0，相减得公共弦所在直线的方程为4x + 3y —2= 0.4x+ 3y —2 = 0，再由2解得两圆交点坐标为(一1,2)，(5，—6).2x + y —12x—2y —13 =1 •••所求圆以公共弦为直径，•••圆心C是公共弦的中点(2，—2)，半径长为2厂5+ 厂2+ 一- 6—2一2= 5.2 2•••圆C的方程为(x —2) + (y + 2) = 25.四、直线与圆的位置关系1. 直线与圆位置关系的判断方法(1) 几何法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径长为r.若dvr，则直线和圆相交；若d= r，则直线和圆相切；若d>r，则直线和圆相离.(2) 代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为△ . △= 0?直线与圆相切；△ >0?直线与圆相交；△ <0?直线与圆相离.2. 过圆外一点(X o，y o)与圆相切的切线方程的求法①当切线斜率存在时，设切线方程为y —y o= k(x—X。
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*6.( 1)过点A(1,2)且在x 轴，y 轴上截距相等的直线方程是(2)过点A(1,2)且在x 轴，y 轴截距互为相反数的直线方程是三：平行垂直:7、已知过点A 2，m 和B m,4的直线与直线2x y 1 & 若直线h ： 2x my 1 0与直线L ： y 3x 1平行，则m 9、过点P( 1,3)且垂直于直线x 2y 30的直线方程为10、已知直线 l 1: (m 3)x 4y 5 3m, l 2: 2x (m 5) y五：交点问题:(垂直呢？)・・■・・■・I直线与圆方程复习专题注：标*的为易错题，标**为有一定难度的题。
一：斜率与过定点问题 1 •已知点A(1,3)、B(2,6)、C(5,m)在同一条直线上，那么实数m 的值为 直线的斜率=2.已知m 0，则过点(1, 1))的直线ax **3 •已知线段PQ 两端点的坐标分别为( 点，求m 的范围. 3my 2a 0的斜率为 ____________ 1,1)、(2,2)，若直线l : mx y m 0与线段PQ 有交:截距问题: 4.若三点 A(2,2) , B(a,0)，C(O,b)(ab 1 1 0)共线，则丄丄a b**5.已知 ab O,bc 0，则直线 ax by c 通过(A. 一、二、三象限B. 一、二、四象限C.三、四象限 D. 三、四象限0平行，则m =(若垂直呢)(1)若 I 112，则* (2)若 I 1//I 2，则 m11、过直线l 1 :2x3y 50, l 2 :3x 2y 3 0的交点且平行于直线2x y 3 0的直线方程.**12 •若直线l : y kx 1与直线y 1 0的交点位于第一象限，求实数 k 的取值范围.六：距离问题13. 14. 已知点(3,m)到直线x 2y已知直线3XT sy0和6x0的距离等于1,则m ______________my 10互相平行，则它们之间的距离是15. ①平行于直线3x 4y 12 0,且与它的距离是 7的直线的方程是②垂直于直线3y 5 0,且与点P( 1,0))的距离是的直线的方程是5九：直线与圆的位置关系（一）相交 4y 0和点P(0, 2), (1)求直线l i :3x y 6 0被圆C 截得的弦AB 的长；（2）直线12与圆C 交与MN 两点，弦MN 被点P 平分，求的方程（*3 ）过P 点的直线I 截圆C 所得的弦长为4，求直线I 的方程。
(word完整版)高中数学必修二直线与圆、圆与圆的位置关系练习题
1 •已知直线「5 一：和圆'■- '有两个交点，贝叭的取值范围是( ）C，:2 .圆x2+y2-2acos = x-2bsin 匸y-a2sin " - =0 在x 轴上截得的弦长是（）A. 2aB. 2|a|C. 「|a|D. 4|a|3.过圆x2+y2-2x+4y- 4=0内一点M（3, 0）作圆的割线・，使它被该圆截得的线段最短，则直线’的方程是（）A . x+y-3=0B . x-y-3=0C . x+4y-3=0D . x-4y-3=04 .若直线（1+a）x+y+仁0与圆x2+y2-2x=0相切，则a的值为（）A . 1 或-1B . 2 或-2 C. 1 D . -15.若直线3x+4y+c=0与圆（x+1）2+y2=4相切，则c的值为（）A. 17 或-23 B . 23 或-17 C . 7 或-13 D . -7 或136 .若P(x,y)在圆(x+3)2+(y-3)2=6 上运动，则’的最大值等于( )A . -3+2 -C . -3-2D . 3-27.圆x2+y2+6x-7=0 和圆x2+y2+6y-27=0 的位置关系是（）A.相切离B.相交C.相D .内含8.若圆x2+y2=4和圆x2+y2+4x-4y+4=0关于直线对称，则直线总的方程是( )A . x+y=OB . x+y-2=0C . x-y-2=0D. x-y+2=01 .9. 圆的方程x2+y2+2kx+k2-1=0与x2+y2+2(k+1)y+k2+2k=0的圆心之间的最短距离是( )10. 已知圆x2+y2+x+2y= -和圆(x-sin 騷)2+(y-1)2= ,其中0 -- 900,则两圆的位置关系是( )A .相交B•外切 C .内切 D .相交或外切11.与圆(x-2)2+(y+1)2=1关于直线x-y+3=0成轴对称的曲线的方程是( )A . (x-4)2+(y+5)2=1B . (x-4)2+(y-5)2=1C. (x+4)2+(y+5)2=1 D . (x+4)2+(y-5)2=112 .圆x2+y2-ax+2y+1=0关于直线x-y=1对称的圆的方程为x2+y2=1,则实数a的值为( )A . 0B . 1C . 士2 D . 213 .已知圆方程C1: f(x,y)=0 ，点P1(x1,y1)在圆C1上，点P2(x2,y2)不在圆C1上，则方程：f(x,y)-f(x1,y1)-f(x2,y2)=0 表示的圆C2与圆C1 的关系是( )A.与圆C1重合B.与圆C1同心圆C.过P1且与圆C1同心相同的圆 D . 过P2且与圆C1同心相同的圆14 .自直线y=x上一点向圆x2+y2-6x+7=0作切线，则切线的最小值为_________ .15 .如果把直线x-2y+ =0向左平移1个单位，再向下平移2个单位，便与圆x2+y2+2x-4y=0相切，则实数的值等于______________ .16. 若a2+b2=4,则两圆(x-a)2+y2=1 和x2+(y-b)2=1 的位置关系是______________ :17. ______________________________________________________________ 过点(0,6)且与圆C: x2+y2+10x+10y=0切于原点的圆的方程是___________________ .18. 已知圆C: (x-1)2+(y-2)2=25, 直线盘:(2m+1 x+(m+1)y-7m-4=0(m R),证明直线$与圆相交；(2)求直线d被圆C截得的弦长最小时，求直线$的方程.19. 求过直线x+3y-7=0与已知圆x2+y2+2x-2y-3=0的交点，且在两坐标轴上的四个截距之和为-8的圆的方程.20. 已知圆满足：(1 )截y轴所得弦长为2,( 2)被x轴分成两段弧，其弧长的比为3: 1,( 3)圆心到直线必:x-2y=0的距离为-，求这个圆方程.21 •求与已知圆x2+y2-7y+10=0相交，所得公共弦平行于已知直线2x-3y-1=0 且过点(-2 , 3),( 1, 4)的圆的方程.参考答案:经典例题：解：设圆C圆心为C(x, y), 半径为r，由条件圆C1圆心为C1(0, 0);圆C2圆心为C2(1,0);两圆半径分别为r1 = 1, r2 = 4,.•圆心与圆C1外切|CC1| =叶r1 ,又•••圆C与圆C2 内切，•••|CC2| = r2-r (由题意r2>r) , /• |CC1|+|CC2| =r1+r2 ,即1' 1 1■': : 化简得24x2+25y2-24x-144 = 0,即为动圆圆心轨迹方程.当堂练习：1.D;2.B;3.A;4.D;5.D;6.A;7.B;8.D;9.A; 10.D; 11.D; 12.D; 13.D; 14.-;15. 13 或3; 16. 外切;17. (x-3)2+(y-3)3=18;18. 证明：(1)将直线£的方程整理为(x+y-4 ) +m(2x+y-7)=0 ,由比*“",'直线* 过定点 A (3, 1), (3-1 ) 2+ (1-2 ) 2=5<25, 一点A在圆C的内部，故直线史恒与圆相交.I(2)圆心0( 1, 2),当截得的弦长最小时，出丄AQ由kAO=C，得直线总的方程为y-1=2(x-3)，即2x-y-5=0.19. 解：过直线与圆的交点的圆方程可设为x2+y2+2x-2y-3+恳(x+3y-7)=0,整理得x2+y2+ (2+' ) x+ (3乂-2 ) y-3-7〔=0,令y=0,得x2+y2+ (2+' ) x -3-7 =0'圆在x 轴上的两截距之和为x1+x2= -2-上，同理，圆在y 轴上的两截距之和为 2-3 ，故有-2- +2-3 =-8，& =2,所求圆的方程为 x2+y2+4x+4y-17=0. 20. 解：设所求圆圆心为P （a,b ），半径为r ，则点P 到x 轴、y 轴的距离分别 为|b| 、 |a| ， 由题设知圆P 截x 轴所对劣弧对的圆心角为900,知圆P 截x 轴所得弦长为宀r ， 故r2=2b2,又圆P 被y 轴所截提的弦长为2,所以有r2=a2+1，从而2b2-a2=1. 又因为P （a,b ）到直线x-2y=0的距离为—，于是 r2=2b2=2,所求圆的方程是(x+1)2+(y+1)2=2 或(x-1)2+(y-1)2=2.故两圆连心线所在直线方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,L 卯 4■护 一 2口十 Fru = 2P M 1 +B +4^+^=O N F =-IO21.解：公共弦所在直线斜率为22，已知圆的圆心坐标为70,），F=2\所求圆的方程为 x2+y2+2x-10y+21=0.所以 d=二=、，即 |a-2b|=1,解得 a-2b== 1,由此得y-已=-- x,即3x+2y-7=0,设所求圆的方程为 2b 1=卫---1。
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直线与圆一．解答题（共10小题）1．已知直线x﹣y+3=0与圆心为（3，4）的圆C相交，截得的弦长为2．（1）求圆C的方程；（2）设Q点的坐标为（2，3），且动点M到圆C的切线长与|MQ|的比值为常数k（k＞0）．若动点M的轨迹是一条直线，试确定相应的k值，并求出该直线的方程．2．已知直线l：y=x+2被圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2=r2（r＞0）截得的弦AB的长等于该圆的半径．（1）求圆C的方程；（2）已知直线m：y=x+n被圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2=r2（r＞0）截得的弦与圆心构成三角形CDE．若△CDE 的面积有最大值，求出直线m：y=x+n的方程；若△CDE的面积没有最大值，说明理由．3．已知M（4，0），N（1，0），曲线C上的任意一点P满足：•=6||（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）过点N（1，0）的直线与曲线C交于A，B两点，交y轴于H点，设=λ1，=λ2，试问λ1+λ2是否为定值？如果是定值，请求出这个定值；如果不是定值，请说明理由．4．已知动圆P与圆F1：（x+2）2+y2=49相切，且与圆F2：（x﹣2）2+y2=1相内切，记圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设Q为曲线C上的一个不在x轴上的动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交曲线C于M，N两个不同的点，求△QMN面积的最大值．5．已知动圆P过定点且与圆N：相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过点D（3，0）且斜率不为零的直线交曲线C于A，B两点，在x轴上是否存在定点Q，使得直线AQ，BQ的斜率之积为非零常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图所示，在△ABC中，AB的中点为O，且OA=1，点D在AB的延长线上，且．固定边AB，在平面内移动顶点C，使得圆M与边BC，边AC的延长线相切，并始终与AB的延长线相切于点D，记顶点C的轨迹为曲线Γ．以AB所在直线为x轴，O为坐标原点如图所示建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）设动直线l交曲线Γ于E、F两点，且以EF为直径的圆经过点O，求△OEF面积的取值范围．7．已知△ABC的顶点A（1，0），点B在x轴上移动，|AB|=|AC|，且BC的中点在y轴上．（Ⅰ）求C点的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）已知过P（0，﹣2）的直线l交轨迹Γ于不同两点M，N，求证：Q（1，2）与M，N两点连线QM，QN的斜率之积为定值．8．已知圆M：x2+y2+2y﹣7=0和点N（0，1），动圆P经过点N且与圆M相切，圆心P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）点A是曲线E与x轴正半轴的交点，点B、C在曲线E上，若直线AB、AC的斜率k1，k2，满足k1k2=4，求△ABC面积的最大值．9．已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1交于点M，N两点．（1）求k的取值范围；（2）请问是否存在实数k使得（其中O为坐标原点），如果存在请求出k的值，并求|MN|；如果不存在，请说明理由．10．已知O为坐标原点，抛物线C：y2=nx（n＞0）在第一象限内的点P（2，t）到焦点的距离为，C在点P处的切线交x轴于点Q，直线l1经过点Q且垂直于x轴．（1）求线段OQ的长；（2）设不经过点P和Q的动直线l2：x=my+b交C交点A和B，交l1于点E，若直线PA，PB的斜率依次成等差数列，试问：l2是否过定点？请说明理由．直线与圆参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．已知直线x﹣y+3=0与圆心为（3，4）的圆C相交，截得的弦长为2．（1）求圆C的方程；（2）设Q点的坐标为（2，3），且动点M到圆C的切线长与|MQ|的比值为常数k（k＞0）．若动点M的轨迹是一条直线，试确定相应的k值，并求出该直线的方程．【分析】（1）求出圆心C到直线l的距离，利用截得的弦长为2求得半径的值，可得圆C的方程；（2）设动点M（x，y），则由题意可得=k，即=k，化简可得（k2﹣1）•x2+（k2﹣1）•y2+（6﹣4k2）x+（8﹣6k2）y+13k2﹣9=0，若动点M的轨迹方程是直线，则k2﹣1=0，即可得出结论．【解答】解：（1）圆心C到直线l的距离为=，∵截得的弦长为2，∴半径为2，∴圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4；（2）设动点M（x，y），则由题意可得=k，即=k，化简可得（k2﹣1）•x2+（k2﹣1）•y2+（6﹣4k2）x+（8﹣6k2）y+13k2﹣21=0，若动点M的轨迹方程是直线，则k2﹣1=0，∴k=1，直线的方程为x+y﹣4=0．【点评】本小题主要考查直线与圆的位置关系，弦长公式的应用，圆的一般式方程，属于中档题．2．已知直线l：y=x+2被圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2=r2（r＞0）截得的弦AB的长等于该圆的半径．（1）求圆C的方程；（2）已知直线m：y=x+n被圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2=r2（r＞0）截得的弦与圆心构成三角形CDE．若△CDE 的面积有最大值，求出直线m：y=x+n的方程；若△CDE的面积没有最大值，说明理由．【分析】（1）根据直线和圆相交得到的弦长公式求出圆的半径即可求圆C的方程；（2）根据直线和圆相交的位置关系，结合△CDE的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）设直线l与圆C交于A，B两点．∵直线l：y=x+2被圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2=r2（r＞0）截得的弦长等于该圆的半径，∴△CAB为正三角形，∴三角形的高等于边长的，∴圆心C到直线l的距离等于边长的．∵直线方程为x﹣y+2=0，圆心的坐标为（3，2），∴圆心到直线的距离d==，∴r=，∴圆C的方程为：（x﹣3）2+（y﹣2）2=6．（2）设圆心C到直线m的距离为h，H为DE的中点，连结CD，CH，CE．在△CDE中，∵DE=，∴=∴，当且仅当h2=6﹣h2，即h2=3，解得h=时，△CDE的面积最大．∵CH=，∴|n+1|=，∴n=，∴存在n的值，使得△CDE的面积最大值为3，此时直线m的方程为y=x．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据弦长公式是解决本题的关键．3．已知M（4，0），N（1，0），曲线C上的任意一点P满足：•=6||（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）过点N（1，0）的直线与曲线C交于A，B两点，交y轴于H点，设=λ1，=λ2，试问λ1+λ2是否为定值？如果是定值，请求出这个定值；如果不是定值，请说明理由．【分析】（Ⅰ）求出向量的坐标，利用条件化简，即可求点P的轨迹方程；（Ⅱ）分类讨论，利用=λ1，=λ2，结合韦达定理，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），则=（﹣3，0），=（x﹣4，y），=（1﹣x，﹣y）．∵•=6||，∴﹣3×（x﹣4）+0×y=6，化简得=1为所求点P的轨迹方程.4分（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．①当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x=my+1（m≠0），则H（0，﹣）．从而=（x1，y1+），=（1﹣x1，﹣y1），由=λ1得（x1，y1+）=λ1（1﹣x1，﹣y1），∴﹣λ1=1+同理由得﹣λ2=1+，∴﹣（λ1+λ2）=2+由直线与椭圆方程联立，可得（4+3m2）y2+6my﹣9=0，∴y1+y2=﹣，y1y2=﹣代入得∴（λ1+λ2）=2+=，∴λ1+λ2=﹣②当直线l与x轴重合时，A（﹣2，0），B（2，0），H（0，0），λ1=﹣．λ2=﹣2，∴λ1+λ2=﹣11分综上，λ1+λ2为定值﹣.12分．【点评】本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查直线与椭圆位置关系的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．4．已知动圆P与圆F1：（x+2）2+y2=49相切，且与圆F2：（x﹣2）2+y2=1相内切，记圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设Q为曲线C上的一个不在x轴上的动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交曲线C于M，N两个不同的点，求△QMN面积的最大值．【分析】（I）由已知条件推导出|PF1|+|PF2|=8＞|F1F2|=6，从而得到圆心P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，由此能求出圆心P的轨迹C的方程．（II）由MN∥OQ，知△QMN的面积=△OMN的面积，由此能求出△QMN的面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设圆P的半径为R，圆心P的坐标为（x，y），由于动圆P与圆F1：（x+2）2+y2=49相切，且与圆F2：（x﹣2）2+y2=1相内切，所以动圆P与圆F1只能内切．…（1分）所以|PF1|+|PF2|=7﹣R+R﹣1=6＞|F1F2|=4．…（3分）所以圆心圆心P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，其中2a=6，2c=4，∴a=3，c=2，b2=a2﹣c2=5．所以曲线C的方程为=1．…（4分）（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x3，y3），直线MN的方程为x=my+2，由可得：（5m2+9）y2+20my﹣25=0，则y1+y2=﹣，y1y2=﹣．…（5分）所以|MN|==…（7分）因为MN∥OQ，∴△QMN的面积=△OMN的面积，∵O到直线MN：x=my+2的距离d=．…（9分）所以△QMN的面积．…（10分）令=t，则m2=t2﹣1（t≥0），S==．设，则．因为t≥1，所以．所以，在[1，+∞）上单调递增．所以当t=1时，f（t）取得最小值，其值为9．…（11分）所以△QMN的面积的最大值为．…（12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程、直线、圆、与椭圆等椭圆知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．5．已知动圆P过定点且与圆N：相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过点D（3，0）且斜率不为零的直线交曲线C于A，B两点，在x轴上是否存在定点Q，使得直线AQ，BQ的斜率之积为非零常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由题意可知丨PM丨+丨PN丨=4＞丨MN丨=2，则P的轨迹C是以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆，则a=4，c=，b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，考查韦达定理，直线的斜率公式，当且仅当，解得t=±2，代入即可求得，定点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）设动圆P的半径为r，由N：及，知点M在圆N 内，则有，从而丨PM丨+丨PN丨=4＞丨MN丨=2，∴P的轨迹C是以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆，设曲线C的方程为：（a＞b＞0），则2a=4，a=4，c=，b2=a2﹣c2=1故曲线C的轨迹方程为；（Ⅱ）依题意可设直线AB的方程为x=my+3，A（x1，y1），B（x2，y2）．，由，整理得：（4+m2）y2+6my+5=0，则△=36m2﹣4×5×（4+m2）＞0，即m2＞4，解得：m＞2或m＜﹣2，由y1+y2=﹣，y1y2=，x1+x2=m（y1+y2）+6=，x1x2=（my1+3）（my2+3）=m2y1y2+m（y1+y2）+9=，假设存在定点Q（t，0），使得直线AQ，BQ的斜率之积为非零常数，则（x1﹣t）（x2﹣t）=x1x2﹣t（x1+x2）+t2=﹣t×+t2=，∴k AQ•k BQ=•==，要使k AQ•k BQ为非零常数，当且仅当，解得t=±2，当t=2时，常数为=，当t=﹣2时，常数为=，∴存在两个定点Q1（2，0）和Q2（﹣2，0），使直线AQ，BQ的斜率之积为常数，当定点为Q1（2，0）时，常数为；当定点为Q2（﹣2，0）时，常数为．【点评】本题考查椭圆标准方程及简单几何性质，椭圆的定义，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．6．如图所示，在△ABC中，AB的中点为O，且OA=1，点D在AB的延长线上，且．固定边AB，在平面内移动顶点C，使得圆M与边BC，边AC的延长线相切，并始终与AB的延长线相切于点D，记顶点C的轨迹为曲线Γ．以AB所在直线为x轴，O为坐标原点如图所示建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）设动直线l交曲线Γ于E、F两点，且以EF为直径的圆经过点O，求△OEF面积的取值范围．【分析】（Ⅰ）确定点C轨迹Γ是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，且挖去长轴的两个顶点，即可求曲线Γ的方程；（Ⅱ）可设直线，进而表示面积，即可求△OEF面积的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意得AB=2，BD=1，设动圆M与边AC的延长线相切于T1，与边BC相切于T2，则AD=AT1，BD=BT2，CT1=CT2所以AD+BD=AT1+BT2=AC+CT1+BT2=AC+CT1+CT2=AC+BC=AB+2BD=4＞AB=2…（2分）所以点C轨迹Γ是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，且挖去长轴的两个顶点．则曲线Γ的方程为．…（4分）（Ⅱ）由于曲线Γ要挖去长轴两个顶点，所以直线OE，OF斜率存在且不为0，所以可设直线…（5分）由得，，同理可得：，；所以，又OE⊥OF，所以…（8分）令t=k2+1，则t＞1且k2=t﹣1，所以=…（10分）又，所以，所以，所以，所以，所以△OEF面积的取值范围为．…（12分）【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆位置关系的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．7．已知△ABC的顶点A（1，0），点B在x轴上移动，|AB|=|AC|，且BC的中点在y轴上．（Ⅰ）求C点的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）已知过P（0，﹣2）的直线l交轨迹Γ于不同两点M，N，求证：Q（1，2）与M，N两点连线QM，QN的斜率之积为定值．【分析】（Ⅰ）利用直接法，求C点的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx﹣2，与抛物线方程联立，求出斜率，即可证明结论．【解答】解：（Ⅰ）设C（x，y）（y≠0），因为B在x轴上且BC中点在y轴上，所以B（﹣x，0），由|AB|=|AC|，得（x+1）2=（x﹣1）2+y2，化简得y2=4x，所以C点的轨迹Γ的方程为y2=4x（y≠0）．（Ⅱ）直线l的斜率显然存在且不为0，设直线l的方程为y=kx﹣2，M（x1，y1），N（x2，y2），由得ky2﹣4y﹣8=0，所以，，，同理，，所以Q（1，2）与M，N两点连线的斜率之积为定值4．【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线位置关系的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．8．已知圆M：x2+y2+2y﹣7=0和点N（0，1），动圆P经过点N且与圆M相切，圆心P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）点A是曲线E与x轴正半轴的交点，点B、C在曲线E上，若直线AB、AC的斜率k1，k2，满足k1k2=4，求△ABC面积的最大值．【分析】（1）利用圆与圆的位置关系，得出曲线E是M，N为焦点，长轴长为的椭圆，即可求曲线E 的方程；（2）联立方程组得（1+2t2）y2+4mty+2m2﹣2=0，利用韦达定理，结合k1k2=4，得出直线BC过定点（3，0），表示出面积，即可求△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）圆M：x2+y2+2y﹣7=0的圆心为M（0，﹣1），半径为点N（0，1）在圆M内，因为动圆P经过点N且与圆M相切，所以动圆P与圆M内切．设动圆P半径为r，则﹣r=|PM|．因为动圆P经过点N，所以r=|PN|，＞|MN|，所以曲线E是M，N为焦点，长轴长为的椭圆．由，得b2=2﹣1=1，所以曲线E的方程为…（4分）（Ⅱ）直线BC斜率为0时，不合题意设B（x1，y1），C（x2，y2），直线BC：x=ty+m，联立方程组得（1+2t2）y2+4mty+2m2﹣2=0，又k1k2=4，知y1y2=4（x1﹣1）（x2﹣1）=4（ty1+m﹣1）（ty2+m﹣1）=．代入得又m≠1，化简得（m+1）（1﹣4t2）=2（﹣4mt2）+2（m﹣1）（1+2t2），解得m=3，故直线BC过定点（3，0）…（8分）由△＞0，解得t2＞4，=（当且仅当时取等号）．综上，△ABC面积的最大值为…（12分）【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查椭圆的定义与方程，考查直线与椭圆位置关系的运用，考查韦达定理，属于中档题．9．已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1交于点M，N两点．（1）求k的取值范围；（2）请问是否存在实数k使得（其中O为坐标原点），如果存在请求出k的值，并求|MN|；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）设出直线方程，利用直线与圆的位置关系，列出不等式求解即可．（2）设出M，N的坐标，利用直线与圆的方程联立，通过韦达定理，结合向量的数量积，求出直线的斜率，然后判断直线与圆的位置关系求解|MN|即可．【解答】解：（1）由题设，可知直线l的方程为y=kx+1，因为直线l与圆C交于两点，由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1．故由＜1，解得：＜k＜所以k的取值范围为得（，）（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）．将y=kx+1代入方程：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，整理得（1+k2）x2﹣4（1+k）x+7=0．所以x1+x2=，x1x2=，•=x1x2+y1y2=（1+k2）（x1x2）+k（x1+x2）+1==12，解得k=1，所以直线l的方程为y=x+1．故圆心C在直线l上，所以|MN|=2．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，以及直线和圆相交的弦长公式的计算，考查学生的计算能力，是中档题．10．已知O为坐标原点，抛物线C：y2=nx（n＞0）在第一象限内的点P（2，t）到焦点的距离为，C在点P处的切线交x轴于点Q，直线l1经过点Q且垂直于x轴．（1）求线段OQ的长；（2）设不经过点P和Q的动直线l2：x=my+b交C交点A和B，交l1于点E，若直线PA，PB的斜率依次成等差数列，试问：l2是否过定点？请说明理由．【分析】（1）先求出p的值，然后求出在第一象限的函数，结合函数的导数的几何意义求出N的坐标即可求线段OQ的长；（2）联立直线和抛物线方程进行消元，转化为关于y的一元二次方程，根据根与系数之间的关系结合直线斜率的关系建立方程进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由抛物线y2=nx（n＞0）在第一象限内的点P（2，t）到焦点的距离为，得2+=，∴n=2，抛物线C的方程为y2=2x，P（2，2）．…（2分）C在第一象限的图象对应的函数解析式为y=，则y′=，故C在点P处的切线斜率为，切线的方程为y﹣2=（x﹣2），令y=0得x=﹣2，所以点Q的坐标为（﹣2，0）．故线段OQ的长为2．…（5分）（Ⅱ）l2恒过定点（2，0），理由如下：由题意可知l1的方程为x=﹣2，因为l2与l1相交，故m≠0．由l2：x=my+b，令x=﹣2，得y=﹣，故E（﹣2，﹣）设A（x1，y1），B（x2，y2）由消去x得：y2﹣2my﹣2b=0则y1+y2=2m，y1y2=﹣2b …（7分）直线PA的斜率为，同理直线PB的斜率为，直线PE的斜率为．因为直线PA，PE，PB的斜率依次成等差数列，所以+=2×…（10分）整理得：=，因为l2不经过点Q，所以b≠﹣2，所以2m﹣b+2=2m，即b=2．故l2的方程为x=my+2，即l2恒过定点（2，0）．…（12分）【点评】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，利用直线和抛物线方程，转化为一元二次方程，结合韦达定理，利用设而不求的思想是解决本题的关键．。