几所高校量子力学硕士试题
《中科院量子力学考研真题及答案详解(1990—2010共40套真题)》
问： (1) 存在 s 波束缚态的条件是什么？ (2) 当粒子能量 E 0 时，求粒子的 s 波相移 0 ； (3) 证明 lim 0 n , n 为整数。
E 0
, z 0 (G 0) 中运动。 五、质量为 m 的粒子在一维势场 V ( z ) Gz , z 0 (1) 用变分法求基态能量，则在 z 0 区域中的试探波函数应取下列函数中的哪一 个？为什么？
E
n
n
E0 n x 0
2
常数
ˆ2 ˆ p 这里 En 是哈密顿量 H V ( x) 的本征能量，相应的本征态为 n 。求出该常数。 2m 三、设一质量为 的粒子在球对称势 V (r ) kr (k 0) 中运动。利用测不准关系估算其 基态的能量。 四、电子偶素（ e e 束缚态）类似于氢原子，只是用一个正电子代替质子作为核，在非 相对论极限下，其能量和波函数与氢原子类似。今设在电子偶素的基态里，存在一 ˆ 和M ˆ 8 M ˆ M ˆ 其中 M ˆ 是电子和正电子的自旋磁矩 种接触型自旋交换作用 H e p e p 3 ˆ , q e) 。利用一级微扰论，计算此基态中自旋单态与三重态之间的能 ˆ q S (M mc 量差，决定哪一个能量更低。对普通的氢原子，基态波函数： 1 r a e2 1 2 100 e , a , 3 2 me a c 137
ˆ ，证明能量表象中有 五、如系统的哈密顿量不显含时间，用算符对易关系 x, p
r3 2
常数（ 0 ）中运动，试用测不准关系估算基
En Em xnm
n
2
量子力学 中国科学院大学硕士研究生入学考试试题
中国科学院大学2020年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：量子力学考生须知：1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
一、（共30分）考虑一维束缚态。
(1)证明(,)(,)x t x t ψψ不随时间变化，此处波函数ψ不必是定态。
(2)证明对于定态，动量的期望值为零。
(3)证明如果粒子在0t =时刻处于定态，则在以后时刻永远保持定态。
二、（共30分）设波函数()(()ip x x e βψ+ =，而ˆx ，ˆp 分别为x 方向的坐标和动量算符，其中β为实常数。
(1)说明()x ψ是否为ˆp的归一化本征态。
(2)证明ˆ/i p x e x αα''=+ ，及ˆ/i p e x x αα''=- ，其中α为实常数。
(3)化简算符ˆˆ//ˆi p i p e xe αα- 。
(4)化简算符ˆˆ/2/ˆi pi p e x e αα- 。
三、（共30分）一个无自旋粒子的波函数为(2)r K x iy z e αψ-++=，此处222z y x r ++=,其中K ,α为实常数。
（球谐函数：00Y =01Y θ=,11i Y e φθ±±=。
）(1)求粒子的总角动量。
(2)求角动量z 分量即z L ˆ的期望值，及测得 =zL 的概率。
(3)求发现粒子在),(ϕθ方向上Ωd 立体角内的概率。
四、（共30分）(1)一个电子在=0t 的时刻处于自旋态⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22-131i χ。
在0>t 时刻，在外界加一个磁场0ˆˆ(sin cos )x z B B e e θθ→=+，此时电子的哈密顿量为B S H B ∙-=ˆ2ˆμ，其中ˆS 为自旋算符，B μ为玻尔磁子，求此粒子在任意t 时刻的波函数。
(2)考虑两个自旋为21的粒子处于磁场中，此时系统的哈密顿量为12012ˆˆˆˆˆz z H a b c σσσσ=++∙ ，其中a ，b ，0c 为常数，ˆσ是泡利算符，前两项为粒子处于磁场中的势能，最后一项为两粒子自旋-自旋相互作用能。
量子力学考研上海交大《电磁学和量子力学》考研真题
量子力学考研上海交大《电磁学和量子力学》考研真
题
1、上海交通大学量子力学考研真题
当前冷原子物理研究非常活跃，在实验中，粒子常常是被束缚在谐振子势中，因此其哈密顿量为。
假设粒子间有相互作用，其中分别代表粒子1和粒子2的自旋，参数J＞0。
（1）如果把两个自旋1/2的全同粒子放在上述势阱中，试写出基态能量和基态波函数；
（2）如果把两个自旋1的全同粒子放在上述势阱中，试写出基态能量和基态波函数。
（注意：参数在不同范围内，情况会不同）
[浙江大学2014研] 【解题思路】
①研究体系处在线性谐振子势场中，有关单个体系在谐振子势中的问题，一般可以通过求解薛定谔方程得出相应的本征波函数和本征能量，确定体系的波函数，研究对象的量子状态、对其进行测量可得到的测量值的大小和几率等问题，都可以一一解决。
②研究体系内包含两个粒子，它们之间存在自旋-自旋相互作用，利用角动量的合成来解决这部分相互作用引出的相关问题。
③在两个问题中，涉及到不同自旋的粒子，即玻色子和费米子，可以通过它们满足的统计性质来决定在势场中的分布情况，从而解决要求的基态能量和波函数。
中科院考研量子力学真题
中科院考研量子力学真题量子力学是现代物理学的重要分支，掌握其基本原理和应用是物理学研究的基础。
为了更好地理解和掌握量子力学的知识，我将对中科院考研量子力学真题进行分析和解答。
一、选择题1. 在电子在角动量z分量上的本征值问题中，其量子数m取值范围是：A. m = 0B. m = -1, 0, 1C. m = -1/2, 0, 1/2D. m = -l, -l+1, ..., l-1, l解析：根据角动量量子数的定义，对于给定的角量子数l，m的取值范围是从-l到l的整数。
因此，选项D是正确答案。
2. 下列哪个量不是量子力学的基本物理量？A. 动量B. 势能C. 能量D. 时间解析：量子力学的基本物理量包括动量、位置、角动量、能量和时间。
在这些选项中，只有时间是与经典物理学中的概念相对应的。
因此，选项D是正确答案。
二、填空题1. 一束光照射到金属表面上，当光的频率大于(小于)某个临界频率时，光电效应才会发生。
解析：根据光电效应的规律，只有光的频率大于某个临界频率时，光电子才能从金属表面被释放出来。
因此，答案中应填写“大于”。
2. 根据ABC关系，一个粒子以速度v飞过Y轴上的电磁场，其在Z轴上的磁感应强度为B，则在X轴上的电场强度为E = (v/c)B。
解析：根据ABC关系，当一个粒子以速度v通过电磁场时，其在垂直于速度方向的电场强度为E = (v/c)B。
因此，答案为E = (v/c)B。
三、简答题1. 请简述光电效应的基本原理。
解析：光电效应是指当光照射到金属表面时，如果光的频率大于某个临界频率，光的能量将被金属表面的电子吸收，电子从原子中解离出来形成自由电子。
其基本原理包括两个方面：首先，光的能量以量子的形式存在，被吸收的电子获得能量的大小与光的频率有关，而与光的强度无关；其次，金属中的电子形成了带电粒子，受到光电场的作用，从而在电场中运动。
2. 什么是波粒二象性？请举一例进行说明。
解析：波粒二象性是指微观粒子既表现出波动性，又表现出粒子性的性质。
免费的南大历年《量子力学》的真题,真题
免费的南⼤历年《量⼦⼒学》的真题,真题南京⼤学1998年硕⼠研究⽣考试试题——量⼦⼒学专业: 理论物理、粒⼦物理与光学(⼀) 20分有半壁⽆限⾼势垒的⼀维阱 ()ax a x x V x V ><<∞=000在0V E <的情形下，该系统是否总存在⼀个束缚态？如果回答是否定的，那么系统中⾄少有⼀个束缚态的存在的充要条件是什么？（⼆）20分⼀个取向⽤⾓坐标θ和?确定的转⼦，作受碍转动，⽤下述哈密顿量描述：()?2cos ??22 B L A H+=，式中A 和B 均为常数，且B A >>，2?L 是⾓动量平⽅算符，试⽤⼀级微扰论计算系统的p 能级（1=l ）的分裂，并标出微扰后的零级近似波函数。
（三）20分求在⼀维⽆限深势阱中，处于()x n ψ态时的粒⼦的动量分布⼏率()2p n φ。
（四）20分试判断下列诸等式的正误，如果等式不能成⽴，试写出正确的结果：（1）i j x i p jx i peee21-?+???=? ？式中i ?和j ?分别是x 和y ⽅向的单位⽮量。
（2）()[])(,?'x f pip x f p px x x x = ？式中xi p x ??= ? ，（3）系统的哈密顿算符为()r V p H+=µ2??2 ，设()r n ?是归⼀化的束缚态波函数，则有：()n n n n r V r p µ=（五）20分碱⾦属原⼦处在z ⽅向的外磁场B 中，微扰哈密顿为Bls H H H 1+= ，其中S L dr dV r c H ls??=12122µ ，()Z Z B S L c eB H 22+=µ ，当外磁场很弱时，那些⼒学量算符是运动积分（守恒量），应取什么样的零级近似波函数，能使微扰计算⽐较简单，为什么？注： ()()()()?θπim mllm e m l m l l Y P cos !!412+-+=()x x P =01；()()2/12111x x P -=；()()x x x P 2/121213-=()()22213x x P -=南京⼤学1999年硕⼠研究⽣考试试题——量⼦⼒学专业: 理论物理、粒⼦物理与光学(20分) ⼀、 t ＝0时，粒⼦的状态为][sin )(2kx A x =φ，求此时动量的可能测值和相应的⼏率，并计算动量的平均值。
汇总高校量子力学考研试题
习题1一、填空题1．玻尔的量子化条件为。
2．德布罗意关系为。
3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为。
4．波函数的统计解释：_______________________________________________________________________________________________5．为归一化波函数，粒子在方向、立体角内出现的几率为，在半径为，厚度为的球壳内粒子出现的几率为。
6．波函数的标准条件为。
7．，为单位矩阵，则算符的本征值为__________。
8．自由粒子体系，__________守恒；中心力场中运动的粒子___________守恒。
9．力学量算符应满足的两个性质是。
10．厄密算符的本征函数具有。
11．设为归一化的动量表象下的波函数，则的物理意义为_______________________________________________。
12.______;_______;_________。
28．如两力学量算符有共同本征函数完全系，则___。
13．坐标和动量的测不准关系是____________________________。
14．在定态条件下，守恒的力学量是_______________________。
15．隧道效应是指__________________________________________。
16．量子力学中，原子的轨道半径实际是指____________________。
17．为氢原子的波函数，的取值范围分别为。
18．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为。
19．设体系的状态波函数为，如在该状态下测量力学量有确定的值，则力学量算符与态矢量的关系为__________。
20．力学量算符在态下的平均值可写为的条件为____________________________。
北京大学南京大学量子力学考研试题题库
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华南理工大学考研真题—硕士量子力学
一、对于一维自由粒子,
（1） 设波函数为 , 用哈密顿算符对其运算, 证实动量本征态 也是能量本征态,并写出其能量本征值；
（2） 设 时刻 , 求 ；
（3）波函数 是否该自由粒子的能量本征态?为什么？
二、设粒子限制在立方形匣子中运动，即
求能量本征值和本征函数。倘若 ，研究能级的简并度.ห้องสมุดไป่ตู้
三、（1）利用轨道角动量分量 的对易关系证实：在 的本征态下 的期待值为零，即 ；
(2)利用升算符和降算符 ，求 和 在角动量算符 和 的共同本征态 状态下的期待值.
四、氢原子的哈密顿量具有球对称性，它在球坐标系统中写作
（1）决定它的归一化基态波函数；
（2）当原子处于基态时，求核外电子的坐标和动量分量的不决定度 ，并由此验证它们的测不准关系.
五、以 , 和 表记闻名的泡利矩阵，它们在 表象中可以明确地写作
.
（1）求 在 表象中的本征态矢量；
（2）求 表象到 表象的变换矩阵 ；
（3）论证：在 表象中 .
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高校量子力学研究生招生试题汇总一．复旦大学1999硕士入学量子力学试题二．天津大学1999硕士入学量子力学试题（1）三．北京大学2000年研究生入学考试试题考试科目：量子力学 考试时间：2000.1.23下午 招生专业：物理系各专业 研究方向：各研究方向 试题： 一．（20分）质量为m 的粒子，在位势V x x V '+=)()(αδ 0<a00{V V ='00><x x 00>V中运动，a. 试给出存在束缚态的条件，并给出其能量本征值和相应的本征函数；b. 给出粒子处于x >0区域中的几率。
它是大于1/2，还是小于1/2，为什么？ 二．（10分）若|α>和|β>是氢原子的定态矢（电子和质子的相互作用为库仑作用，并计及电子的自旋—轨道耦合项）a. 给出|α>和|β>态的守恒量完全集；b. 若0ˆˆ)(≠⋅αβr sr f ,则|α>和|β>态的那些量子数可能是不同的，为什么？ （注：f(r)是r 的非零函数，r s ˆ,ˆ为电子的自旋和坐标算符。
）三．（16分）三个自旋为1/2的粒子，它们的哈密顿量为)ˆˆˆˆˆˆ(ˆ1332210s s s s s s C H ⋅+⋅+⋅= 求本征值和简并度。
四．（22分）两个自旋为1/2的粒子，在),(21z z s s 表象中的表示为))((2211βαβα，其中，2iα是第i 个粒子自旋向上的几率，2iβ是第i 个粒子自旋向下的几率。
a. 求哈密顿量)(ˆ21210xy y x V H σσσσ-= 的本征值和本征函数；（V 0为一常数）b. t=0时，体系处于态121==βα，012==βα，求t 时刻发现体系在态021==βα，112==βα的几率。
（注：iy ix σσ,为第i 个粒子泡利算符的x, y 分量）五．（10分）考虑一维谐振子，其哈密顿量)21(ˆ+=+a a h H ϖ，而0],[],[==++a a a a ,1],[=+a a a. 若|0〉是归一化的基态矢（a|0）=0），则第n 个激发态为)(n n a N n +=试求归一化因子n N ； c. 若外加一微扰，aa a ga H ++='ˆ，试求第n 个激发态的能量本征值（准至g 一级）。
六．（22分）考虑体系)(ˆx V T H+=，∞=Ax x V {)(00<>x x A>0，a. 利用变分法，取试探波函数为2222/11)2()(bx e b x -=ψπ，求基态能量上限；b. 我们知道，如试探波函数为2222/122)1()(b x e bx b x -=ψπ，则基态能量上限为3/1223/12)()481(mh A E π=。
对这两个基态的能量上限，你能接受哪一个？为什么？四．量子力学试题：2:00pm- 4:00pm. July 1, 2002建议在100分钟完成，可以允许未能按时完成的考生再延长30分钟。
参考题：试用测不准关系 ≈∆⋅∆p x 估计氢原子的基态能级。
第一题（3⨯10分）：1、写出泡利矩阵的形式。
2、带电粒子在电磁场中的Schr ōdinger 方程为ψ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛-∇-=ψ∂∂φe c e i m t i 221如果粒子被局限在xy 平面内运动，而沿z 方向加入强度为B 的均匀磁场，试具体写出（不用求解）相应的的Schr ōdinger r 方程。
3、试求质量为m 的粒子处在长度为L 的一维盒子（可以看成是无限深势阱）中对壁的压力。
第二题(12+9+9)： 1、试求屏蔽库仑势场ar e r Q r V /)(-=的微分散射截面。
（提示：可直接用中心势散射的玻恩近似公式的化简形式）242)(sin 4)(⎰∞=dv r V Kr kr m θσ 其中2sin2θk K =, (分子中k 应改为K )2、考查低能极限1<<ka 时的形式，并用一句话说出其物理特性。
3、考查∞→a 时的极限形式，第三题(11+10+10+9)：电子被束缚在简谐振子势场中：2221)(x m r V ω=，若引入⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=p m i xm a ˆˆ22/1ωω ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+p m i x m a ˆˆ22/1ωω ，则有)21(+=+a a H ω ，并有关系11++=+n n n a ，1-=n n n a 。
显然基态0应满足 00=a1、试求基态波函数 0ψ=?2、进一步求第1激发态的波函数。
3、如果势阱中有两个电子（忽略它们间的相互作用），他们整体的基态波函数是什么？（提示：电子为自旋为1/2的全同粒子）。
4、如果加入均匀磁场B ，问当B 很强，超过某临界c B 时，上述基态还会是基态吗？ 试具体求出 c B 。
2000年西安电子科技大学硕士研究生招生量子力学试题2中国科学院——中国科技大学 2001年招收攻读硕士学位研究生入学试卷试题名称：量子力学（实验型）一、（10分）设质量为m 的粒子在一维无限深势阱中运动()()()⎩⎨⎧<<><∞=a x a x x x V 00,0试用de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。
二、（10分）设一个质量为m 的粒子束沿正x 方向以能量E 向x=0处的势垒运动()()()⎪⎩⎪⎨⎧>≤=04300x E x x V试用量子力学的观点回答：在x=0处被反射的反射系数是多少？三、（20分）1、在坐标表名胜中写出一维量子体系的坐标算符qˆ和动量算符p ˆ，并推导其间的对易关系。
2、在动量表象中做1所要求做的问题。
四、（20分）设一个微观粒子在球对称的中心势场()r V 中运动，且处于一个能量和轨道角动量的共同本征态。
1、在球坐标系中写出能量本征态波函数的基本形式，写出势能()r V 在此态中平均值〈V 〉的表达式，并最后表示成径向积分的形式。
2、设V(r)为r 的单调上升函数（即对任意r,0>drdV）。
试证明：对任意给定的r 0，均有()[]()022<-⎰dr r r R V r V roo ，其中R(r)是径向波函五、（20分）设一个质量为m 的微观粒子的哈密顿量不显含时间，试证明：在能量表象中有()mh X E Enmnm n222=-∑ 其中E 为能量，x 为坐标。
六、（20分）设一微观体系的哈密顿H=H 0+H ‘，其中H ’为微扰。
在一个由正交归一函数作为基的表象中。
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2000201000H ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=c c c H 000000'其中c 为常数1、求H 的精确本征值2、求H 的准确到微扰的二级修正的本征值3、比较1和2的结果，指出其间关系。
一九九八年华东师范大学一九九八年攻读硕士学位研究生入学试题考试科目：量子力学专业：理论物理、光学、生物物理、学科教学论、无线电物理等1、一电子在沿-x 方向的强度为E 的均匀静电场中， （1）定出该一维电子系统的哈密顿算符；（2）该电子动量算符平均值的时间变化率是多少？将所得结果与经典物理学结果比较。
2、（1）由经典波动力学的统计表波条件，德布罗意波粒二象性假设及有关公式),(λνhp H E ==，直接导出宽度为a 的无限深方势阱中一自由粒子能量的可能值；写出相应的波函数形式。
（2）对本例中所包含的基本观点、方法及其结果，您能说些什么？ 3、（1）算符i i S σ2=[其中，σi （i=x,y,z ）为泡里矩阵]有何物理意义？写出它们的矩阵形式及基本对易关系；写出它们的本征值和本征态形式。
（2）设某电子处于某一状态，在该状态中测量其自旋沿-z 方向的值恒定为2。
问，若在该状态中测量其自旋沿-x 方向的值，所得结果是什么？简要说明您的思考步序及计算公式。
4、（1）量子力学中怎样判断某力学量（算符）是守恒量？为什么？（2）为了描写一量子力学系统的状态，需寻找一个“守恒力学量（算符）完全集”。
该集的力学量都是守恒量，且相互对易，其数目与该系统的自由度数目相同。
于是，人们可用与该算符集中每一算符相对应的本征值量子数来特征该量子系统（如氢原子）。
问，在讨论下列两种哈密顿算符所确定的电子的运动状态时，各守恒力学量集应包含哪些力学量？证明之。
（a ）)(22r V mp H +=，其中V （r ）表示有心势。
（b ）L S r r V mp H ⋅++=)()(22ξ，其中L S r ⋅)(ξ表示自旋——轨道磁矩相互作用能项，σ 2=S 为自旋算符，L为轨道角动量算符。
[提示：2L 和L i （I=x,y,z ）都仅对与角度的微分算符有关。
]注意事项：1、以上四题每题25分；2、要求回答简洁，思路清晰，书写整齐。
雅舍考研之路网友:qinhu 提供.[/ky]1997年华东师范大学一九九七年攻读硕士学位研究生入学试题考试科目：量子力学专业：理论物理、光学、凝聚态物理、生物物理、学科教学论、无线电物理一、求对易关系?],[=-xp ex ββ为常数。
（10分）二、若粒子在位势)(r V中运动，试证：m p dt x d x ><=><； >∂∂<-=><Vdt p d x 。
〈 〉表示算符的平均值。
（10分）三、利用角动量算符x L 和y L 组成升值算符+L 和降值算符-L ：y x iL L L ±=±，++=)(_L L（1）试求?=+-L L ?=-+L L（2）已知>+>=++1||lm C lm L ，>->=--1||lm C lm L 试求常数+C 和-C 的值。
四、带电粒子（电荷为q ）在与磁场B （沿z 轴）垂直的xy 平面内运动，取矢势为)0,,0(x B ， （1）写出此二维问题的哈密顿。
（2）求其能量本征值与本征函数。
五、一维谐振子的状态（在其能量表象中）为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>=0012161|ψ 试求><H 、><2x 、><2ρ，H 为哈密顿算符，〈 〉表示算符的平均值。
（提示：)](21)(2[1)(11x n x n x x n n n +--+=ψψαψ，)](21)(2[)(11x n x n x dx d n n n +-+-=ψψαψ） 六、设哈密顿的矩阵形式为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2000301c c cH 。
（1）求H 的精确本征值；（2）若设1<<c ，应用微扰论来求H 本征值的二级近似； （3）在怎样条件下（2）和（1）的结果一致？ 七、设有二个电子，自旋态分别为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01χ与⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-222sin2cosϕϕθθξi i ee（1）证明二个电子处于自旋单态S=0及三重态S=1的概率分别为)2cos 1(212θ-=a W ，)2cos 1(212θ+=S W ； （2）设有这样二束极化忠心耿耿散射，证明：])cos 1()cos 3[(41)(13σθσθθσ-++=式中σ3和1σ分别是二个电子处于三重态和单态下的散射截面。