几所高校量子力学硕士试题

高校量子力学研究生招生试题汇总一．复旦大学1999硕士入学量子力学试题

二．天津大学1999硕士入学量子力学试题（1）

三．北京大学2000年研究生入学考试试题

考试科目：量子力学 考试时间：2000.1.23下午 招生专业：物理系各专业 研究方向：各研究方向 试题： 一．（20分）质量为m 的粒子，在位势

V x x V '+=)()(αδ 0

00

{V V ='

00

>V

中运动，

a. 试给出存在束缚态的条件，并给出其能量本征值和相应的本征函数；

b. 给出粒子处于x >0区域中的几率。它是大于1/2，还是小于1/2，为什么？ 二．（10分）若|α>和|β>是氢原子的定态矢（电子和质子的相互作用为库仑作用，并计及电子的自旋—轨道耦合项）

a. 给出|α>和|β>态的守恒量完全集；

b. 若

0ˆˆ)(≠⋅αβr s

r f ,则|α>和|β>态的那些量子数可能是不同的，为什么？ （注：f(r)是r 的非零函数，

r s ˆ,ˆ为电子的自旋和坐标算符。）

三．（16分）三个自旋为1/2的粒子，它们的哈密顿量为

)ˆˆˆˆˆˆ(ˆ1332210

s s s s s s C H ⋅+⋅+⋅= 求本征值和简并度。

四．（22分）两个自旋为1/2的粒子，在),(21z z s s 表象中的表示为))((2

2

11βαβα，其中，2

i

α是第i 个粒子自旋向上的几率，2

i

β是第i 个粒子自旋向下的几率。

a. 求哈密顿量

)(ˆ21210x

y y x V H σσσσ-= 的本征值和本征函数；（V 0为一常数）

b. t=0时，体系处于态

121==βα，012==βα，求t 时刻发现体系在态

021==βα，112==βα的几率。

（注：

iy ix σσ,为第i 个粒子泡利算符的x, y 分量）

五．（10分）考虑一维谐振子，其哈密顿量

)2

1(ˆ+=+a a h H ϖ，

而0],[],[==+

+a a a a ,

1],[=+a a a. 若|0〉是归一化的基态矢（a|0）=0），则第n 个激发态为

)(n n a N n +=

试求归一化因子n N ； c. 若外加一微扰，aa a ga H ++='

ˆ，试求第n 个激发态的能量本征值（准至g 一级）

。

六．（22分）考虑体系)(ˆx V T H

+=，

∞

=Ax x V {

)(

00<>x x A>0，

a. 利用变分法，取试探波函数为

2

2

22/11)2(

)(b

x e b x -=ψπ

，

求基态能量上限；

b. 我们知道，如试探波函数为

2

2

22

/122)

1(

)(b x e b

x b x -=ψπ

，

则基态能量上限为3

/1223/12)()481(m

h A E π=。对这两个基态的能量上限，你能接受哪一个？为什么？

四．量子力学试题：2:00pm- 4:00pm. July 1, 2002

建议在100分钟完成，可以允许未能按时完成的考生再延长30分钟。

参考题：试用测不准关系 ≈∆⋅∆p x 估计氢原子的基态能级。 第一题（3⨯10分）：

1、写出泡利矩阵的形式。

2、带电粒子在电磁场中的Schr ōdinger 方程为

ψ⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫

⎝⎛-∇-=ψ∂∂φe c e i m t i 2

21

如果粒子被局限在xy 平面内运动，而沿z 方向加入强度为B 的均匀磁场，试具体写出（不用求解）相应的的Schr ōdinger r 方程。

3、试求质量为m 的粒子处在长度为L 的一维盒子（可以看成是无限深势阱）中对壁的压力。

第二题(12+9+9)： 1、试求屏蔽库仑势场a

r e r Q r V /)(-=

的微分散射截面。

（提示：可直接用中心势散射的玻恩近似公式的化简形式）

2

4

2

)(sin 4)(⎰

∞

=dv r V Kr kr m θσ 其中

2sin

2θk K =, (分子中k 应改为K )

2、考查低能极限1<

3、考查∞→a 时的极限形式，

第三题(11+10+10+9)：

电子被束缚在简谐振子势场中：

2221

)(x m r V ω=

，若引入

⎪⎭⎫

⎝

⎛+⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=p m i x

m a ˆˆ22

/1ωω ，

⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪

⎭⎫ ⎝⎛=+

p m i x m a ˆˆ22

/1ωω ，则有)21(+=+a a H ω ，并有关系

11++=+n n n a ，

1-=n n n a 。显然基态0应满足 00=a

1、试求基态波函数 0ψ=?

2、进一步求第1激发态的波函数。

3、如果势阱中有两个电子（忽略它们间的相互作用），他们整体的基态波函数是什么？

（提示：电子为自旋为1/2的全同粒子）。

4、如果加入均匀磁场B ，问当B 很强，超过某临界c B 时，上述基态还会是基态吗？ 试具体求出 c B 。