量子力学期末考试试卷及答案

量子力学期末试题及答案

红色为我认为可能考的题目

一、填空题:

1、波函数的标准条件:单值、连续性、有限性。

2、|Ψ(r,t)|^2的物理意义: t时刻粒子出现在r处的概率密度。

3、一个量的本征值对应多个本征态,这样的态称为简并。

4、两个力学量对应的算符对易,它们具有共同的确定值。

二、简答题:

1、简述力学量对应的算符必须就是线性厄米的。

答:力学量的观测值应为实数,力学量在任何状态下的观测值就就是在该状态下的平均值,量子力学中,可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符;量子力学中还必须满足态叠加原理,而要满足态叠加原理,算符必须就是线性算符。综上所述,在量子力学中,能与可观测的力学量相对应的算符必然就是线性厄米算符。

2、一个量子态分为本征态与非本征态,这种说法确切不？

答:不确切。针对某个特定的力学量,对应算符为A,它的本征态对另一个力学量(对应算符为B)就不就是它的本征态,它们有各自的本征值,只有两个算符彼此对易,它们才有共同的本征态。

3、辐射谱线的位置与谱线的强度各决定于什么因素？

答:某一单色光辐射的话可能吸收,也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率与跃迁的速度;谱线强度取决于始末态的能量差。

三、证明题。

2、证明概率流密度J不显含时间。

四、计算题。

1、

第二题:如果类氢原子的核不就是点电荷,而就是半径为0r、电荷均匀分布的小

球,计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。

解:这种分布只对0r r <的区域有影响,对0r r ≥的区域无影响。据题意知

)()(ˆ0

r U r U H -=' 其中)(0r U 就是不考虑这种效应的势能分布,即 2004ze U r r

πε=-（）

)(r U 为考虑这种效应后的势能分布,在0r r ≥区域, r Ze r U 02

4)(πε-=

在0r r <区域,)(r U 可由下式得出, ⎰∞

-=r Edr e r U )(

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧≥≤=⋅⋅=)( 4 )( ,4344102003003303

420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε

⎰⎰∞

--=0

)(r r r

Edr e Edr e r U

⎰⎰

∞

-

-

=00

20

2

3

002

144r r r

dr r Ze rdr r Ze πεπε

)3(84)(82

203

020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ ⎪⎩

⎪⎨⎧≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(ˆ00022

2030020r r r r r

Ze r r r Ze r U r U H πεπε 由于0r 很小,所以)(2ˆˆ02

2)

0(r U H H

+∇-=<<'μ

η,可视为一种微扰,由它引起

一级修正为(基态03(0)

1/2100

30

()Z

r

a Z e

a ψπ-=) ⎰∞

'=τψψd H E )0(1

*

)0(1)1(1ˆ ⎰

-+--=0

00

2

2022203

023

3

4]4)3(8[r r a Z

dr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ ∵0a r <<,故10

2≈-

r a Z e 。

∴ ⎰

⎰

+--=0

3

02

40

4

2

20

3

3002

4)

1(1

)3(2r r rdr a e Z dr r r r r a e Z E

πεπε

20

30024505

030300242)5(2r a e Z r r r a e Z πεπε+--= 2

3002410r a e Z πε= 2

03

2452r a e Z s = 第三题 其相应的久期方程:

即:

由归一化条件得: 6.2 求自旋角动量在任意方向n )cos ,cos ,(cos γβα的投影 ˆn

S 的本征值和本征函数。 解：在z S ˆ 表象，n

S ˆ的矩阵元为 γβαcos 10012cos 002cos 01102ˆ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ηηηi i S n ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+-=γβαβαγcos cos cos cos cos cos 2i i S n η0cos 2

)cos (cos 2)cos (cos 2cos 2=--+--λγβαβαλγηηηηi i 0)cos (cos 4cos 4222222=+--βαγληη0422=-ηλ)1cos cos cos (222=++γβα利用2η±

=λ所以n

S ˆ的本征值为2η±。 设对应于2η=n S 的本征函数的矩阵表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a S n )(21χ，则 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-b a b a i i 2cos cos cos cos cos cos 2ηηγβαβαγb i a -+⇒βαc )cos (cos γβαcos 1cos cos ++=i b 22**),(12

121b a b a b a +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==+χχ1cos 1cos cos 22

2=+++a i a γβα1

cos 122

=+a γ