华工数学实验报告特征值与特征向量
数学实验教程_实验12(特征值与特征向量)
实验12 特征值与特征向量实验目的1．理解方阵的特征值与特征向量的含义2．掌握求特征值与特征向量的方法3．理解矩阵相似对角化的含义4．掌握特征值与特征向量的应用实验准备1．特征值与特征向量的定义及其计算方法2．方阵相似的充分必要条件3．方阵的幂的计算实验内容1．特征值与特征向量的计算2．方阵相似的充分必要条件3．实对称矩阵的相似对角化软件命令表12-1 Matlab特征值与特征向量命令实验示例【例12.1】特征值与特征向量的定义及几何演示=。
几何上可理设λ是方阵A的特征值，ξ是对应于特征值λ的特征向量，则Aξλξλ≠时，非零向量ξ在线性变换A的作用下的像Aξ与向量ξ的方向平行解为当数0- 72 - 第一章 基础实验（方向相同或相反）；当数0λ=时，非零向量ξ在线性变换A 的作用下的像为零向量。
试用如下方阵验证。
（1）1221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； （2） 0.5 1.20.1 1.5A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； （3）1111A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦。
【原理】：二维情况：依次取单位圆周：c o s ,s i n ,0x y θθθπ==≤≤上的向量cos ()sin r r θθθ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，分别绘制向量r 、Ar ，当它们共线时就绘制一条直线。
【程序】：主程序：Exm12Demo01.m ；子程序：EigDemo.m【输出】：略。
【例12.2】特征值与特征向量的计算计算下列方阵的特征值与特征向量：1．123213336A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦；2．323111414A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；3．11231114561117891A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
【命令】：% 第一小题Clear;clcA1=[1 2 3;2 1 3;3 3 6]; [V1,D1]=eig(A1); % 第二小题A2=[-3 2 3;-1 1 1;-4 1 4]; [V2,D2]=eig(A2); % 第三小题A3=[1 1/2 1/3;1/4 1/5 1/6;1/7 1/8 1/9]; [V3,D3]=eig(A3); 【输出】：特征值分别为： 第一小题：-1 0 9；第二小题：1+i,1-i,0；第三小题：0.002178，0.11475，1.1942。
2017年华工数学实验实验报告
2
实验一
地 点： 4 号楼 实验日期与时间： 预习检查纪录： 电子文档存放位置： 电子文档文件名：
Matlab 基础知识
4104 房； 实验台号： 评 分： 刘小兰 66
2017 年 3 月 8 日
实验教师：
卓越班-66-陈艺荣实验一
批改意见：
1 实验目的 - 掌握Matlab中的常用函数与变量、表达式的定义方法。 - 熟悉Matlab M文件的编写和运行方式。 2 问题 1
1 实验目的................................................................................................................ 3 2 问题 1..................................................................................................................... 3 3 问题 2..................................................................................................................... 7 4 实验总结和实验感悟.......................................................................................... 10 实验二 数据拟合...................................................................................................... 11
华工数学实验七 特征值和特征向量
实验七特征值与特征向量地点：计算中心202房实验台号：30 实验日期与时间：2018年6月6日评分：预习检查纪录：实验教师：刘小兰电子文档存放位置：电子文档文件名：信息工程3班-30-邢靖-实验七.docx批改意见：1．实验目的-掌握特征值、特征向量、特征方程、矩阵的对角化等概念和理论;-掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法;-理解由差分方程x k+1=Ax k所描述的动态系统的长期行为或演化;-提高对离散动态系统的理解与分析能力。
2．问题11.当捕食者-被捕食者问题中的捕食参数p是0.125时，试确定该动态系统的的计算公式).猫头鹰和森林鼠的数量随着时间如何变化?该系统趋向演化(给出xk一种被称为不稳定平衡的状态。
如果该系统的某个方面(例如出生率或捕食率)有轻微的变动，系统会如何变化?2.1实验原理1.特征值与特征向量2.特征值与特征向量的求法3.矩阵的对角化4.离散线性动态系统5.eig命令函数: d=eig(A)功能:求矩阵A的特征值。
说明:返回一列向量d，包含方阵A的所有特征值。
函数: [V,D]=eig(A)或[V,D]=eig(X,'nobalance') 功能:求矩阵A的特征值和特征向量。
说明:生成特征值矩阵D和特征向量构成的矩阵V,使得使得A*V=V*D。
矩阵D由A的特征值在主对角线构成的对角矩阵。
V是由A的特征向量按列构成的矩阵。
[V,D]=eig(A)中，先对A作相似变换再求A的特征值和特征向量;而[V,D]=eig(A,'nobalance)中，直接求矩阵A的特征值和特征向量。
2.2算法与编程% ex1.m求特征值与特征向量clcA = [0.5 0.4;-0.125 1.1];[pc,lambda] = eig(A); %求A的特征值和对应的特征向量[Y,I] = sort(diag(abs(lambda)),'descend');%对特征值的绝对值降序排列temp = diag(lambda);lambda = temp(I) %输出按特征值的绝对值降序排列的特征值pc = pc(:,I) %与特征值对应的特%P8_1.m捕食者-被捕食者解的图像表示% P8_1.m%捕食者-被捕食者解的图像表示clear, clca = 0;b = 2000;c = a;d = b; p = 0.1; %确定画图范围n = 100; %序列迭代次数xlabel('|\lambda| >1,|u|<1')axis([a b c d]),grid on,hold onx = linspace(a,b,30);A = [0.5 0.4;-0.125 1.1]; %特征值绝对值<1[pc,lambda] = eig(A); %求A的特征值和对应的特征向量[Y,I] = sort(diag(abs(lambda)),'descend'); %对特征值的绝对值降序排列temp = diag(lambda);lambda = temp(I) %输出按特征值的绝对值降序排列的特征值pc = pc(:,I)pc = -pc;z1 = pc(2,1)/pc(1,1)*x; %特征向量v1z2 = pc(2,2)/pc(1,2)*x; %特征向量v2h = plot(x,z1),set(h,'linewidth',2), text(x(7),z1(7)-100,'v1')h = plot(x,z2),set(h,'linewidth',2), text(x(20),z2(20)-100,'v2') button = 1;while button == 1[xi yi button] = ginput(1); %用鼠标选初始点plot(xi,yi,'go'),hold onX0 = [xi;yi];X = X0;for i=1:nX = [A*X, X0]; %用这种方式迭代，并画图h = plot(X(1,1),X(2,1),'R.',X(1,1:2),X(2,1:2),'r-'); hold on text(X0(1,1),X0(2,1),'x0')quiver([X(1,2),1]',[X(2,2),1]',[X(1,1)-X(1,2),0]',[X(2,1)-X(2,2),0]', p)set(h,'MarkerSize',6),grid,endend2.3实验结果>>P8_1A = [0.5 0.4;-0.125 1.1];平衡A = [0.5 0.41;-0.125 1.1];增加出生率A = [0.5 0.39;-0.125 1.1];降低出生率A = [0.5 0.4;-0.135 1.1]; 增加捕食参数A = [0.5 0.4;-0.135 1.1]; 降低捕食参数2.4结果分析答：该动态系统演化猫头鹰和森林鼠随时间数量趋于稳定，比值4：5。
特征值和特征向量、矩阵相似对角化
定理4.6 若ｎ阶矩阵Ａ与Ｂ相似，则 （1） R A = R B （2） Ａ与Ｂ有相同的特征多项式和特征值． （3） A B （4） tr ( A) tr ( B) 推论 若ｎ阶矩阵Ａ与对角矩阵 1 2 diag(1 , 2 , , n ) n 相似， 则 1 , 2 , , n 就是Ａ的ｎ个特征值．
二、特征值和特征向量的性质 定理 一个n阶方阵与其转置矩阵有相同的特征值.
定理
设ｎ阶方阵 A aij 的特征值为 1 , 2 ,
ann ;
, n
则 (1) 12
n A ; (2) 1 2 n a11 a22
证明① 当 1 , 2 ,
, n 是Ａ的特征值时，Ａ的特征多项
式可分解为 f E A 1 2
n
n
1 2
n
n
n
n 1
1 12
n
令 0, 得 A 1 12 即 12
n
n A .
证明② 因为行列式 a11
这个向量组称为正交向量组，简称正交组.
3、标准正交组 由单位向量组成的正交组称为标准正交组.
1 , 2 ,, m
T i
是标准正交向量组
1, i j j [ i , j ] 0, i j i , j 1,2, , m
定理4.11 正交向量组必为线性无关组.
Ｐ中的列向量 p1 , p2 , , pn 的排列顺序要与 （ 1） 1 , 2 , , n 的顺序一致． （2） 因 pi 是 ( A E ) x 0的基础解系中的解向量， 因此Ｐ也是不唯一的． 故 pi 的取法不是唯一的，
特征值与特征向量定义与计算
特征值与特征向量特征值与特征向量的概念及其计算定义1. 设A是数域P上的一个n阶矩阵，λ是一个未知量，称为A的特征多项式，记ƒ(λ)=| λE-A|，是一个P上的关于λ的n次多项式，E是单位矩阵。
ƒ(λ)=| λE-A|=λn+α1λn-1+…+αn= 0是一个n次代数方程，称为A 的特征方程。
特征方程ƒ(λ)=| λE-A|=0的根 (如：λ0) 称为A的特征根(或特征值)。
n次代数方程在复数域内有且仅有n 个根，而在实数域内不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A有关，与数域P也有关。
以A的特征值λ0代入 (λE-A)X=θ，得方程组 (λ0E-A)X=θ，是一个齐次方程组，称为A的关于λ0的特征方程组。
因为 |λ0E-A|=0，(λ0E-A)X=θ必存在非零解X(0)，X(0) 称为A的属于λ0的特征向量。
所有λ0的特征向量全体构成了λ0的特征向量空间。
一.特征值与特征向量的求法对于矩阵A，由AX=λ0X，λ0EX=AX，得：[λ0E-A]X=θ即齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是：即说明特征根是特征多项式 |λ0E-A| =0的根，由代数基本定理有n个复根λ1, λ2,…, λn，为A的n个特征根。
当特征根λi(I=1,2,…,n)求出后，(λi E-A)X=θ是齐次方程，λi 均会使 |λi E-A|=0，(λi E-A)X=θ必存在非零解，且有无穷个解向量，(λi E-A)X=θ的基础解系以及基础解系的线性组合都是A的特征向量。
例1. 求矩阵的特征值与特征向量。
解：由特征方程解得A有2重特征值λ1=λ2=-2，有单特征值λ3=4对于特征值λ1=λ2=-2，解方程组 (-2E-A)x=θ得同解方程组 x1-x2+x3=0解为x1=x2-x3 (x2,x3为自由未知量)分别令自由未知量得基础解系所以A的对应于特征值λ1=λ2=-2的全部特征向量为x=k1ξ1+k2ξ2 (k1,k2不全为零)可见，特征值λ=-2的特征向量空间是二维的。
特征值与特征向量的概念(1).ppt
1 0
~
4 0
1 0
1 0,
4 1 1 0 0 0
得基础解系为：
0 p2 1,
1
1 p3 0,
4
所以对应于 2 3 2的全部特征向量为 :
k2 p2 k3 p3 (k2 , k3不同时为0).
例8 证明：若 是矩阵A的特征值, x是A的属于 的特征向量，则
(1) m是Am的特征值m是任意常数.
3 A 2E 4
1 1
0 0
~
1 0
0 1
0 0
1 0 0 0 0 0
得基础解系
0 p1 0, 1
所以kp1(k 0)是对应于1 2的全部特征向量. 当 2 3 1时,解方程( A E)x 0.由
2 A E 4
1 2
0 0
~
1 0
0 1
1 2,
1 0 1 0 0 0
A* 3A 2E .
解 因A的特征值全不为0，知A可逆，故
A* A A1. 而 A 123 2, 所以
A* 3A 2E 2A1 3A 2E.
把上式记为( A),
有 ( ) 2＋3
2，
故 ( A) 的特征值为(1) 3，
(2) 3，于是 (1) 1， A* 3A 2E （ 1） (3) 3 9
一、特征值与特征向量的概念
定义6 设A是n阶矩阵,如果数和n维非零列向量
x使关系式
Ax x 成 立,那 末, 这 样 的 数称 为 方 阵A的 特 征 值, 非 零 向量x称为A的对应于特征值的特征向量 .
说明 1. 特征向量x 0, 特征值问题是对方阵而言的.
2. n阶方阵A的特征值,就是使齐次线性方程组
则 Ax1 p1 x2 p2 xm pm 0, 即
特征值与特征向量及其应用
摘要特征值与特征向量是代数中一个重要的部分，并在理论和学习和实际生活，特别是现代科学技术方面都有很重要的作用.本文主要讨论并归纳了特征值与特征向量的性质，通过实例展现特征值与特征向量的优越性，探讨特征值与特征向量及其应用有着非常重要的价值.正文共分四章来写，其中第一章介绍了写作背景以及研究目的.第二章介绍了特征值与特征向量的定义以及性质，并且写出了线性空间中线性变换的特征值、特征向量与矩阵的特征值、特征向量之间的关系.第三章介绍了特征值与特征向量的几种解法：利用特征方程求特征值进而求特征向量、列行互逆变换法、利用矩阵的初等变换求特征值和特征向量.第四章重点介绍了特征值特征向量的应用，如n阶矩阵的高次幂的求解以及矩阵特征值反问题的求解等等.本文充分利用特征值与特征向量的特性求解相关问题，这带有一定的技巧性，但并不难想象，特别是跟其它方法相比，计算显得非常简洁，在解决具体问题上具有很大的优越性.当然关于矩阵的特征值和特征向量的内容很广，本文仅就特征向量的性质以及一些应用展开研究.关键词：特征值；特征向量；矩阵；递推关系；初等变换AbstractAs an important part of algebra,Eigenvalue and Eigenvector of a Matrix have very important applications in theoretical study and practical life, especially in modern science and technology. In this paper,some properties of eigenvalue and eigenvector are discussed and summarized,it shows the superiority of eigenvalue and eigenvector through examples.It has a very important value of exploring eigenvalue and eigenvector and its application.The text is divided into four chapters to write,Among them,the first chapter presents the background and research purposes.The second chapter presents the definition of eigenvalue and eigenvector and their properties, it writes the relationship between the eigenvalue, eigenvector of the linear transform of the linear space and eigenvalues and eigenvectors of matrix. The third chapter presents several solutions of the eigenvalue and eigenvector:the characteristic equation for eigenvalue and eigenvector;the method of reversible transform on Rows and columns;the elementary transformation of matrix inverse for eigenvalues and eigenvectors. The fourth chapter introduces the application of eigenvalue eigenvector, such as solving the high power of n order matrix ,dealing with the inverse problem of matrix eigenvalues and etc. This paper fully utilize eigenvalue and eigenvector to solve related issues, this approach needs certain skills，but it is not hard to imagine that it has the great superiority in sovling specific issues, comparing with other methods.Of course, the content about matrix eigenvalues and eigenvectors is very wide, this article mainly deals with the properties of eigenvector and some application.Key words:eigenvalue；eigenvector；matrix；recursive relations；elementary；transformation目 录摘 要....................................................................................................................................... I Abstract .. (II)1 引 言 (1)1.1 研究背景 (1)1.2 研究现状 (1)1.3 本文研究目的及意义 (2)2 特征值与特征向量 (3)2.1 特征值与特征向量的定义和性质 (3)2.1.1 线性变换的特征值与特征向量 (3)2.1.2 n 阶方阵的特征值与特征向量 (3)2.2 (),V p n 中线性变换ℜ的特征值、特征向量与矩阵R 的特征值与特征向量之间的关系 (3)3 特征值与特征向量的解法 (5)3.1 求数字方阵的特征值与特征向量 (5)3.2 列行互逆变换法 (6)3.3 利用矩阵的初等变换解特征值特征向量 (10)4 矩阵的特征值与特征向量的应用研究 (15)4.1 n 阶矩阵()1*,,,,,m kA aA bI A A A f A -+的特征值和特征向量. (15)4.2 n 阶矩阵的高次幂的求解 (16)4.3 矩阵特征值反问题的求解 (17)4.4 特征值与特征向量在线性递推关系中的应用 (18)4.5 特征值法求解二次型的条件最值问题 (22)4.5.1 二次型的条件最值问题及求解该问题的特征值方法 (22)4.5.2 应用举例 (25)4.6 特征值与特征向量在矩阵运算中的作用 (26)4.6.1 特征值与特征向量在矩阵运算中使用的性质 (26)4.6.2 特征值与特征向量在矩阵运算中的应用 (26)总 结 (30)参考文献 (31)致 谢 (32)1 引言1.1研究背景矩阵是数学中的一个重要的基本概念之一,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具. 矩阵的特征值与特征向量问题是矩阵理论的重要组成部分，它在高等代数和其他科技领域中占有重要的位置.同时它又贯穿了高等代数的许多重要方面，对于该课题的研究加深了我们对高等代数各个部分的认识，从而使我们更深刻的了解高等代数的相关理论.对矩阵的特征值与特征向量的理论研究和及其应用探究，不仅对提高高等代数以及相关课程的理解有很大帮助，而且在理论上也很重要，可以直接用来解决实际问题.现在矩阵已成为独立的一门数学分支，矩阵特征值与特征向量的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技方面都有十分广泛的应用.1.2研究现状在此之前已有很多专家学者涉足此领域研究该问题.吴江、孟世才、许耿在《浅谈<线性代数>中“特征值与特征向量”的引入》中从线性空间V中线性变换在不同基下的矩阵具有相似关系出发引入矩阵的特征值与特征向量的定义.郭华、刘小明在《特征值与特征向量在矩阵运算中的作用》中从方阵的特征值与特征向量的性质出发，结合具体的例子阐述了特征值与特征向量在简化矩阵运算中所起的作用.矩阵的特征值与特征向量在结构动力分析中有重要作用，矩阵迭代法是求矩阵的第一阶特征值与特征向量的一种数值方法,但是选取不同的初始向量使结果可能收敛于不同阶的特征值与特征向量，而不一定收敛与第一阶,陈建兵在《矩阵迭代法求矩阵特征值与特征向量初始向量选取的讨论》中讨论了初始向量的选取问题.特征值理论是线性代数中的一个重要的内容，当方阵阶数很高时实际计算比较繁琐，赵娜、吕剑峰在《特征值问题的MATLAB 实践》中从实际案例入手，利用MATLAB软件讨论了求解特征值问题的全过程.汪庆丽在《用矩阵的初等变换求矩阵的特征值与特征向量》中研究了一种只对矩阵作适当的初等行变换就能求到矩阵的特征值与特征向量的方法，论证其方法的合理性，并阐述此方法的具体求解步骤.岳嵘在《由特征值特征向量去顶矩阵的方法证明及应用》中探究了已知n阶对称矩阵A的k个互不相等的特征值及k-1个特征向量计算出矩阵A的计算方法.张红玉在《矩阵特征值的理论及应用》中讨论了通过n阶方阵A的特征值得出一系列相关矩阵的特征值,再由特征值与正定矩阵的关系得出正定矩阵的结论.刘学鹏、杨军在《矩阵的特征值、特征向量和应用》一文中讨论了矩阵的特征值和特征向量的一些特殊情况，以及在矩阵对角化方面的应用.冯俊艳、马丽在《讨论矩阵的特征值与行列式的关系》中讨论了利用矩阵的特征值解决行列式的问题.1.3本文研究目的及意义在前人研究的基础上，本文给出了特征值与特征向量的概念及其性质，特征值与特征向量性质是最基本的内容，特征值与特征向量的讨论使得这一工具的使用更加便利，解决问题的作用更强有力，其应用也就更广泛.在此基础上，对矩阵的特征值与特征向量的计算进行详尽的阐述和说明. 利用特征方程求特征值进而求特征向量法、列行互逆变换法、矩阵的初等变换求特征值和特征向量.由于特征值与特征向量的应用是多方面的，本文重点介绍了对特征值与特征向量的应用探究,阐述了特征值和特征向量在矩阵运算中的作用，利用特征值法求解二次型最值问题以及矩阵的高次幂和反求解问题的应用.在例题解析中运用一些特征值与特征向量的性质和方法，可以使问题更简单，运算上更方便，是简化有关复杂问题的一种有效途径.本文就是通过大量的例子加以说明运用特征值与特征向量的性质可以使问题更加清楚，从而使高等代数中的大量习题迎刃而解，把特征值与特征向量在解决实际问题中的优越性表现出来.2 特征值与特征向量2.1 特征值与特征向量的定义和性质2.1.1 线性变换的特征值与特征向量定义1：设．ℜ是数域．．．P 上的线性空间．．．．．V 的一个线性变换．．．．．．．，如果对于数域．．．．．．P 中一数．．．0λ，存在一个非零向量．．．．．．．．ξ，使得．．0ξλξℜ=那么．．0λ称为．．ℜ的一个．．．特征值．．．，而．ξ称为．．ℜ的属于特征值．．．．．．0λ的一个．．．特征向量．．．．. 2.1.2 n 阶方阵的特征值与特征向量定义2：设R 是n 阶方阵，如果存在数0λ和n 维非零向量X ，使得0RX X λ=成立，则称0λ为R 的特征值，X 是R 的对应特征值0λ的特征向量.性质1若i λ是R 的i r 重特征值，R 对应特征值i λ有i s 个线性无关的特征向量，则i i s r ≤.性质2 如果12,x x 都是矩阵R 的属于特征值0λ的特征向量,则当11220k x k x +≠时, 11220k x k x +≠仍是R 的属于特征值0λ的特征向量．性质3 如果12,,,n λλλ是矩阵R 的互不相同的特征值，其对应的特征向量分别是12,,,n x x x ，则12,,,n x x x 线性无关．性质4 若()ij n n R r ⨯=的特征值为12,,,n λλλ，则 121122n nn r r r λλλ+++=+++，12n R λλλ=． 性质5 实对称矩阵R 的特征值都是实数，属于不同特征值的特征向量正交． 性质 6 若i λ 是实对称矩阵R 的i r 重特征值，则对应特征值i λ恰有i r 个线性无关的特征向量，或()i i r R E n r λ-=-．性质7设λ为矩阵R 的特征值，()P x 为多项式函数，则()P λ为矩阵多项式()P R 的特征值．2.2 (),V p n 中线性变换ℜ的特征值、特征向量与矩阵R 的特征值与特征向量之间的关系定理：设12,,,n εεε是(),V p n 的一组基()L V ℜ∈,()()1212,,,,,,n n R εεεεεεℜ= 1）ℜ的特征值0λ必是R 的特征值，ℜ的属于0λ的特征向量1122n n x x x ξεεε=+++，则()12,,,n x x x 必是R 的属于特征值0λ的特征向量.2）设0λ是R 的一个特征值，且0λ∈P ，则0λ是ℜ的一个特征值.若()12,,,n x x x 是R 的一个属于特征值0λ的一个特征向量，则1122n n x x x ξεεε=+++是ℜ的一个属于0λ的特征向量.证明：1）设0λ是ℜ的特征值，于是有ξ≠0使得0ξλξℜ=，其中0λ∈P ，设1122n n x x x ξεεε=+++，则()12112212,,,n n n n x x x x x R x ξεεεεεε⎛⎫ ⎪ ⎪ℜ=ℜ+ℜ++ℜ ⎪ ⎪⎝⎭ = ， 又0ξλξℜ=，所以有()()112212120,,,,,,n n n n x x x x R x x εεεεεελ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=， 由他们的坐标列相等可得 ()120000n x x E R x λ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以其次线性方程组()00E R X λ-=有非零解，于是00E R λ-=，故0λ是R 的特征多项式的根，即0λ是R 的特征值，从而ξ的坐标是R 的属于0λ的特征向量.2）设0λ是R 的一个特征值，0λ∈P ，且00E R λ-=，于是()00E R X λ-=有非零解，()120,,,n n x x x ≠∈P ，令n n x x x V ξεεε≠=+++∈11220，()120000n x x E R x λ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11220=n n x x x x R x x λ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是0ξλξℜ=，故0λ是ℜ的一个特征值，且ξ是ℜ的属于0λ的特征向量.3 特征值与特征向量的解法3.1 求数字方阵的特征值与特征向量由方阵的特征值和特征向量的定义知:a ≠0是A 的属于λ的特征向量 因为Aa a λ=所以a 是齐次线性方程组()0E A x λ-=的非零解，所以λ是特征方程()0A f E A λλ-=的根。
特征值与特征向量的特点及应用
特征值与特征向量的特点及应用LT特征值与特征向量的特点及应用摘要：这篇文章阐述了特征值与特征向量的特点及应用，给出了特征值与特征向量、特征多项式、特征子空间等的概念和性质定理。
并且给出了特征值与特征向量在物理学当中的应用，提供了一些经典习题的解答方法。
还给出了特征值与特征向量在实际生产生活当中的应用。
关键词:特征值，特征向量，特征多项式，不变子空间，特征子空间Abstract: this article expounds the characteristics of the eigenvalue and eigenvector and applications of eigenvalue and eigenvector is given, and characteristic polynomial, such as feature subspace concept and nature of the theorem. And eigenvalue and eigenvector are givenin the application of physics, provides some classical problem solution method. Eigenvalues and eigenvectors are also in the actual application of production and living.Key words: eigenvalues, eigenvectors and characteristic polynomial, invariant subspace, feature subspace矩阵的特征值和特征向量在现实实际拥有广泛的应用，矩阵的特征值和特征向量理论在经济分析、信息科学、天文物理学、生命科学和环境保护等领域都有联系。
结合数学模型来研究等一系列问题，我们主要从三方面着手：线性变换的特征值与特征向量，特征多项式和特征子空间的定义；矩阵的公共特征向量与同时三角化；特征值与特征向量的运用。
数学实验特征值与特征向量.
数学实验报告学院：班级：学号：姓名：完成日期：实验六矩阵的特征值与特征向量问题一一．实验目的1.掌握特征值、特征向量、特征方程、矩阵的对角化等概念和理论；2.掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法；3.理解由差分方程x k+1 = Ax k所描述的动力系统的长期行为或演化；4.提高对离散动力系统的理解与分析能力.二．问题描述当捕食者-被捕食者问题中的捕食参数p是0.125时，是确定该动态系统的演化（给出X k的计算公式）。
猫头鹰和森林树的数量随着时间如何变化?该系统去向一种被称为不稳定平衡的状态。
如果该系统的某个方面（例如出生率或者捕食率）有轻微变动，系统会如何变化？三．问题分析将线性变换x Ax k的作用分解为易于理解的成分，其中特征值与特征向量是分析离散动态系统的关键。
根据已知信息，找到系统对应的差分方程x k+1 = Ax k，求出A的特征值和对应的特征向量，再根据不同特征值的个数、绝对值大于1还是小于1、是实特征值还是复数特征值等情形，分析出系统的演化过程。
四．实验过程问题对应的差分方程为x k+1 = Ax k，其中A= 0.5 0.4-0.125 1.1 ，演化过程求解如下：第一步：求A的特征值和对应的特征向量。
利用如下的代码即可获得：A=[0.5 0.4;-0.125 1.1];[pc,lambda]=eig(A);[Y,I]=sort(diag(abs(lambda)),'descend');temp=diag(lambda);lambda=temp(I)pc=pc(:,I)运行程序可得A的特征值为lambda =1.00000.6000A 的特征向量pc =-0.6247 -0.9701-0.7809 -0.2425显然，这两个特征向量（即pc的第一列和第二列）是线性无关的，它们构成R2的一组基，为消除小数，选取V1= 4 V2= 4 P= 4 4 P﹣1AP= 1.00 05 1 5 1 0 0.60 第二步：V1用和V2表示x0和x K ,k=1,2….因为{ V1，V2}是R2的一组基，所以存在系数c1和c2,使得x0= c1 V1+ c2 V2.因为V1，V2为矩阵A对应于λ=1.0，u=0.6的特征向量，所以A V1=λV1，A V2=λV2，于是X1=Ax0=A(c1 V1+ c2 V2)= c1λV1+ c2uV2.X2=Ax1=A(c1λV1+ c2λV2)= c1λ2V1+ c2u2V2.一般地，X k= c1λk V1+ c2u k V2.= c1 (1.0)k 4 + c2 (0.6)k 4 k=0,1,2,3….5 1当k趋近于无穷大时，0.6^k 趋近于0，假定c1>0,则对于所有足够大的k，xk近似地等于c1 (1.0)k V1，写为X k≈c1(1.0)k 45K越大，近似程度越高，所以对于足够大的k，X k+1≈c1(1.0)k+1 45= X k可知猫头鹰和老鼠的数量几乎每月都相当,而且X k约为 45 的倍数，所以每4只猫头鹰对应着5000只老鼠。
华工数学实验报告 特征值与特征向量
《数学实验》报告学院: 电子信息学院专业班级: 信息工程电联班学号:姓名:实验名称: 特征根与特征方程实验日期: 2016/05/31特征根与特征方程1．实验目的掌握特征值、特征向量、特征方程、矩阵的对角化等概念与理论; 掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法;理解由差分方程x k+1=Ax k;提高对离散动态系统的理解与分析能力。
2．实验任务1．当捕食者-被捕食者问题中的捕食系数p就是 0、125时,试确定该动态系统的演化(给出xk的计算公式)。
猫头鹰与森林鼠的数量随时间如何变化？该系统趋向一种被称为不稳定平衡的状态。
如果该系统的某个方面(例如出生率或捕食率)有轻微的变动,系统如何变化？2．杂交育种的目的就是培养优良品种,以提高农作物的产量与质量。
如果农作物的三种基因型分别为AA,Aa,aa。
其中AA为优良品种。
农场计划采用AA型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代,已知双亲基因型与其后代基因型的概率。
问经过若干年后三种基因型分布如何？要求: （1）建立代数模型,从理论上说明最终的基因型分布。
（2）用MATLAB求解初始分布为0、8,0、2,0时,20年后基概率父体－母体基因型AA-AA AA-Aa AA-aa Aa-Aa Aa-aa aa-aa后代基因型AA11/201/400Aa01/211/21/20aa0001/41/21 3．实验过程3、1实验原理1、特征值与特征向量2、特征值与特征向量的求法3、矩阵的对角化4、离散线性动态系统5、eig命令3、2算法与编程3、2、1clear, clca = -20*100;b = -a;c = a;d = b; p = 0、1;n = 100;xlabel('|\lambda| >1,|u|<1')axis([0 b 0 d]),grid on,hold onx = linspace(a,b,30);A = [0、5 0、4;-0、125 1、1];[pc,lambda] = eig(A);[Y,I] = sort(diag(abs(lambda)),'descend');temp = diag(lambda);lambda = temp(I)pc = pc(:,I)pc = -pc;z1 = pc(2,1)/pc(1,1)*x;z2 = pc(2,2)/pc(1,2)*x;h = plot(x,z1),set(h,'linewidth',2),text(x(7),z1(7)-100,'v1')h = plot(x,z2),set(h,'linewidth',2),text(x(20),z2(20)-100,'v2')button = 1;while button == 1[xi yi button] = ginput(1);plot(xi,yi,'go'),hold onX0 = [xi;yi];X = X0;for i=1:nX = [A*X, X0];h = plot(X(1,1),X(2,1),'R、',X(1,1:2),X(2,1:2),'r-'); hold ontext(X0(1,1),X0(2,1),'x0')quiver([X(1,2),1]',[X(2,2),1]',[X(1,1)-X(1,2),0]',[X(2, 1)-X(2,2),0]',p)set(h,'MarkerSize',6),grid,endend3、2、2clear;A=[1 0、5 0;0 0、5 1;0 0 0];X=[0、8;0、2;0];for i=1:20X=A*X;endX20=XX=[0、8;0、2;0];C=[1 1 1]';n=0;while norm(X-C,'fro')>1、0e-16 C=X;n=n+1;X=A*X;endformat long;X,n结果分析1、2、>>X20 =0、9999998092651370、48630 X =1、00000、00000 n =524.实验总结与实验感悟通过本次实验,我了解了掌握特征值、特征向量、特征方程、矩阵的对角化等概念与理论;掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法;理解由差分方程xk+1=Axk;提高对离散动态系统的理解与分析能力。
线性代数的特征值与特征向量
线性代数的特征值与特征向量在线性代数中，特征值与特征向量是非常重要的概念。
它们的定义和性质在很多领域中都有广泛的应用，包括数学、物理、工程等等。
特征值与特征向量是线性变换中的一种描述方法，它们能够揭示出线性变换对向量空间的影响。
通过求解线性变换对应的方程，我们可以找到这些特征值与特征向量。
一、特征值和特征向量的定义给定一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量v和一个实数λ，使得Av=λv，那么称λ为矩阵A的特征值，v为对应的特征向量。
可以看出，特征向量v在经过矩阵A的作用之后，只改变了向量的模，而没有改变方向。
二、计算特征值与特征向量的方法计算特征值与特征向量的方法有很多种，下面介绍其中两种常用的方法。
1. 特征多项式法根据特征值和特征向量的定义，我们可以得出以下定理：一个矩阵A的特征值λ是它的特征多项式det(A-λI)的根，其中I是单位矩阵。
因此，我们可以通过求解特征多项式的根来得到特征值。
举例来说，给定一个2阶方阵A，我们可以通过求解特征多项式det(A-λI)=0来找到特征值。
假设特征多项式为det(A-λI)=(a-λ)(b-λ)，则特征值λ1=a，λ2=b。
2. 可逆矩阵法另一种求解特征值与特征向量的方法是通过求解(A-λI)v=0的解。
如果(A-λI)是可逆矩阵，那么唯一的解是零向量。
如果(A-λI)不可逆，那么就存在非零向量v使得(A-λI)v=0，这时候v就是特征向量，λ是特征值。
三、特征值与特征向量的性质特征值与特征向量具有以下性质：1. 特征值之和等于矩阵的迹（即矩阵对角线上元素的和），特征值之积等于矩阵的行列式。
2. 不同特征值对应的特征向量是线性无关的。
3. 如果特征值是复数，那么它的共轭也是特征值，对应的特征向量也是共轭的。
四、应用举例特征值与特征向量在线性代数的很多领域中有广泛的应用，下面举例说明：1. 对角化通过找到一个可逆矩阵P，使得P^-1AP=Λ，其中Λ是一个对角阵，对角线上的元素就是矩阵A的特征值。
第十一章特征值与特征向量ppt课件
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11
特征向量归一化
矩阵A的相应于特征值λ的特征向量V乘以一 个常量c仍然是特征值λ的特征向量
A(cV)=c(AV)=c(λV)=λ(cV)
为得到唯一的形式，可使用向量范数将特 征向量归一化
U=V/||V||p 则向量U的p-范数为1
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12
对角化
对角矩阵D的特征值容易求得
定理11.5 设A是一个方阵，λ1,λ2,…,λk是A的 互不相同的特征值，对应的特征向量分别 是V1,V2,…,Vk，则{V1,V2,…,Vk}是一组线性 无关的向量集合。
定理11.6 如果n×n矩阵A的特征值是互不相 同的，则存在n个线性无关特征向量Vj， 其中j=1,2,…,n。
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2
矩阵的特征值问题
设矩阵 A R nn ，如果存在数 C 及非零向量 x C n 满足 方程 Ax x ，则称 为矩阵 A 的一个特征值，x 称为矩阵 A 的相应于特征值 的特征向量。为简单起见，下称 ，x 为矩 阵 A 的一特征对。 和 x 分别是实（复）数和实（复）向量。
用单位矩阵 I 来重写上述方程，可以得到Ax=λIx，从而进 一步可以写成线性方程组的标准形式(A-λI)x=0，这是关于 向量 x 的齐次线性方程组。该齐次方程组因为存在非平凡 解x≠0，所以有det(A-λI)=0
具有n个不同特征值的矩阵A是可对角化的 例11.3
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15
对称性的优势
对于实对称矩阵，它一定有n个实特征向量， 对于重复度为mj的特征值，它有mj个线性无 关的特征向量，因此每一个实对称矩阵都 是可对角化的
但实非对称矩阵可具有复数特征值和特征 向量
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特征值与特征向量定义与计算
特征值与特征向量特征值与特征向量的概念及其计算定义1. 设A是数域P上的一个n阶矩阵，λ是一个未知量，称为A的特征多项式，记ƒ(λ)=| λE-A|，是一个P上的关于λ的n次多项式，E是单位矩阵。
ƒ(λ)=| λE-A|=λn+α1λn-1+…+αn= 0是一个n次代数方程，称为A 的特征方程。
特征方程ƒ(λ)=| λE-A|=0的根 (如：λ0) 称为A的特征根(或特征值)。
n次代数方程在复数域内有且仅有n 个根，而在实数域内不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A有关，与数域P也有关。
以A的特征值λ0代入 (λE-A)X=θ，得方程组 (λ0E-A)X=θ，是一个齐次方程组，称为A的关于λ0的特征方程组。
因为 |λ0E-A|=0，(λ0E-A)X=θ必存在非零解X(0)，X(0) 称为A的属于λ0的特征向量。
所有λ0的特征向量全体构成了λ0的特征向量空间。
一.特征值与特征向量的求法对于矩阵A，由AX=λ0X，λ0EX=AX，得：[λ0E-A]X=θ即齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是：即说明特征根是特征多项式 |λ0E-A| =0的根，由代数基本定理有n个复根λ1, λ2,…, λn，为A的n个特征根。
当特征根λi (I=1,2,…,n)求出后，(λi E-A)X=θ是齐次方程，λi 均会使 |λi E-A|=0，(λi E-A)X=θ必存在非零解，且有无穷个解向量，(λi E-A)X=θ的基础解系以及基础解系的线性组合都是A的特征向量。
例1. 求矩阵的特征值与特征向量。
解：由特征方程解得A有2重特征值λ1=λ2=-2，有单特征值λ3=4对于特征值λ1=λ2=-2，解方程组 (-2E-A)x=θ得同解方程组 x1-x2+x3=0解为x1=x2-x3 (x2,x3为自由未知量)分别令自由未知量得基础解系所以A的对应于特征值λ1=λ2=-2的全部特征向量为x=k1ξ1+k2ξ2 (k1,k2不全为零)可见，特征值λ=-2的特征向量空间是二维的。
华工数学实验报告材料特征值与特征向量
《数学实验》报告学院：电子信息学院专业班级：信息工程电联班学号：姓名：实验名称：特征根与特征方程实验日期：2016/05/31特征根与特征方程1．实验目的掌握特征值、特征向量、特征方程、矩阵的对角化等概念和理论；掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法；理解由差分方程x k+1=Ax k；提高对离散动态系统的理解与分析能力。
2．实验任务1．当捕食者-被捕食者问题中的捕食系数p是0.125时，试确定该动态系统的演化（给出xk的计算公式）。
猫头鹰和森林鼠的数量随时间如何变化？该系统趋向一种被称为不稳定平衡的状态。
如果该系统的某个方面（例如出生率或捕食率）有轻微的变动，系统如何变化？2．杂交育种的目的是培养优良品种，以提高农作物的产量和质量。
如果农作物的三种基因型分别为AA，Aa，aa。
其中AA为优良品种。
农场计划采用AA型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代，已知双亲基因型与其后代基因型的概率。
问经过若干年后三种基因型分布如何？要求：（1）建立代数模型，从理论上说明最终的基因型分布。
（2）用MATLAB求解初始分布为0.8，0.2，0时，20年后基因分布，是否已经趋于稳定？代基因型Aa01/211/21/20 aa0001/41/213．实验过程3.1实验原理1、特征值与特征向量2、特征值与特征向量的求法3、矩阵的对角化4、离散线性动态系统5、eig命令3.2算法与编程3.2.1clear, clca = -20*100;b = -a;c = a;d = b; p = 0.1;n = 100;xlabel('|\lambda| >1,|u|<1')axis([0 b 0 d]),grid on,hold onx = linspace(a,b,30);A = [0.5 0.4;-0.125 1.1];[pc,lambda] = eig(A);[Y,I] = sort(diag(abs(lambda)),'descend');temp = diag(lambda);lambda = temp(I)pc = pc(:,I)pc = -pc;z1 = pc(2,1)/pc(1,1)*x;z2 = pc(2,2)/pc(1,2)*x;h = plot(x,z1),set(h,'linewidth',2), text(x(7),z1(7)-100,'v1')h = plot(x,z2),set(h,'linewidth',2), text(x(20),z2(20)-100,'v2')button = 1;while button == 1[xi yi button] = ginput(1);plot(xi,yi,'go'),hold onX0 = [xi;yi];X = X0;for i=1:nX = [A*X, X0];h = plot(X(1,1),X(2,1),'R.',X(1,1:2),X(2,1:2),'r-'); hold ontext(X0(1,1),X0(2,1),'x0')quiver([X(1,2),1]',[X(2,2),1]',[X(1,1)-X(1,2),0]',[X(2,1)-X(2,2),0]',p)set(h,'MarkerSize',6),grid,endend3.2.2clear;A=[1 0.5 0;0 0.5 1;0 0 0];X=[0.8;0.2;0];for i=1:20X=A*X;endX20=XX=[0.8;0.2;0];C=[1 1 1]';n=0;while norm(X-C,'fro')>1.0e-16 C=X;n=n+1;X=A*X; endformat long;X,n结果分析1.2.>>X20 =0.9999998092651370.000000190734863X =1.0000000000000000.000000000000000n =524.实验总结和实验感悟通过本次实验，我了解了掌握特征值、特征向量、特征方程、矩阵的对角化等概念和理论；掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法；理解由差分方程xk+1=Axk；提高对离散动态系统的理解与分析能力。
线性代数中特征值与特征向量
线性代数中特征值与特征向量特征值与特征向量是线性代数中重要的概念，它们在矩阵理论和线性变换中有着广泛的应用。
本文将针对特征值与特征向量展开探讨，介绍其定义、性质、计算方法以及在实际问题中的应用。
一、特征值与特征向量的定义在线性代数中，对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x，使得满足以下关系式：A*x = λ*x其中，λ为一个标量，则称λ为矩阵A的特征值，x为对应特征值的特征向量。
特征值与特征向量通常是成对出现的，即一个特征值对应一个特征向量。
特征值与特征向量的定义为我们理解矩阵的性质和行为提供了重要的数学工具。
二、特征值与特征向量的性质1. 特征值和特征向量的性质：（1）特征值与特征向量是成对出现的，一个特征值对应一个特征向量。
（2）特征值可以是复数，但特征向量通常是实数向量。
（3）特征向量的倍数仍为特征向量，即k倍的特征向量仍然是对应的特征向量。
（4）特征向量的长度可以为0，但特征向量不可能为零向量。
2. 特征值和特征向量的关系：（1）特征值和特征向量通过特征方程进行关联，特征方程的形式为：|A-λI| = 0，其中I为n阶单位矩阵。
（2）特征值是特征方程的解，即满足方程|A-λI| = 0的λ即为矩阵A的特征值。
（3）特征向量在特征值所对应的方程中，为非零解。
通过以上性质我们可以发现，特征值与特征向量是矩阵的固有属性，它们具有重要的几何和物理意义，对于理解矩阵的本质和行为起着关键作用。
三、特征值与特征向量的计算方法计算特征值和特征向量是矩阵分析的关键步骤。
常用的计算方法有以下几种：1. 特征值与特征向量的直接计算：对于某些特殊的矩阵，如对角矩阵和上（下）三角矩阵，可以直接通过观察矩阵的对角元素或三角形式，得到特征值和特征向量。
2. 特征值与特征向量的求解算法：本征值问题是一个广义特征值问题，其计算方法较为复杂。
常见的求解算法有幂迭代法、Jacobi迭代法、QR方法等。
这些算法通过迭代过程逼近特征值和特征向量。
华工数学实验报告特征值与特征向量
华工数学实验报告特征值与特征向量特征值与特征向量是矩阵论中的重要概念，在数学和工程中有着广泛的应用。
本文将通过实验来探究特征值与特征向量的概念及其特性。
实验原理：特征值与特征向量是矩阵理论中的基本概念，对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零列向量X和一个数λ，使得AX=λX成立，则称λ为矩阵A的特征值，X为特征向量。
实验步骤：1.选择一个适当的n阶方阵A，确定其特征值和特征向量。
2.编写程序，利用代数解法求解矩阵A的特征值和特征向量。
3.利用程序计算矩阵A的特征值和特征向量，并与代数解法的结果进行对比。
4.对不同的n进行实验，并记录实验结果。
5.分析实验数据，总结特征值与特征向量的特性。
实验结果：1.经过实验，我们发现矩阵的特征值与特征向量具有以下特性：(1)对于一个n阶矩阵A，其特征值的个数等于矩阵的阶数n。
(2)对于相似矩阵，它们具有相同的特征值。
(3)对于特征值相同的矩阵，它们的特征向量可能不同。
(4)对于实对称矩阵，其特征值一定是实数。
(5)对于正交矩阵，其特征向量一定是正交的。
2.实验结果与代数解法的结果基本一致，验证了实验的准确性。
实验结论：通过对特征值与特征向量的实验，我们对于这一概念及其特性有了更深入的了解。
特征值与特征向量在数学和工程中有着广泛的应用，例如在矩阵的对角化、矩阵求逆等领域都起到了重要的作用。
因此，对于特征值与特征向量的研究具有重要的理论和实际意义。
总结：本实验通过实验数据的记录和分析，深入研究了特征值与特征向量的概念及其特性。
特征值与特征向量在数学和工程中有着广泛的应用，对于矩阵的性质和求解具有重要意义。
实验过程中利用代数解法和编程求解的方法，验证了实验的准确性。
通过本实验，我们对于特征值与特征向量有了更深入的认识，并且对于矩阵的理论和应用有了更加全面的了解。
线性代数中的特征值和特征向量
线性代数中的特征值和特征向量线性代数是数学的一个分支，它主要研究向量空间、线性变换和矩阵等代数结构及其性质。
特征值和特征向量是线性代数中一个很重要的概念，广泛应用于诸多领域中，如物理、工程、计算机科学等。
一、特征值和特征向量的定义在线性代数中，如果一个向量空间 V 上的线性变换 A 对某个非零向量 v 作用后，得到的向量依旧在同一条线上，即存在一个标量λ，使得Av = λv，v ≠ 0其中λ 称为该线性变换的特征值，v 称为该线性变换的特征向量。
需要注意的是，特征向量不为零向量，否则，特征值会等于零，特征向量也就没有意义。
二、特征值和特征向量的意义特征值和特征向量在矩阵和线性变换中都有很重要的意义。
1. 矩阵的特征值和特征向量考虑一个 n 维方阵 A，其特征值和特征向量的意义如下：(1) 特征向量表示在变换矩阵 A 的作用下仍朝着原来的方向进行变化；(2) 特征值表示变换的幅度，即特征向量在 A 的作用下的缩放比例。
也就是说，矩阵的特征值和特征向量可以帮助我们更好地理解矩阵的变换效果及其缩放比例，从而更好地应用于各种实际问题中。
2. 线性变换的特征值和特征向量线性变换的特征值和特征向量同样具有重要的意义。
例如，在物理学中，线性变换通常表示各种物理量的转换关系。
研究线性变换的特征值和特征向量可以帮助我们更好地理解物理现象和探索物理规律。
此外，在工程领域中，线性变换的特征值和特征向量被广泛应用于自然频率、振动确定和控制等方面的工作中。
三、计算矩阵的特征值和特征向量的方法现在，让我们来看一下计算矩阵的特征值和特征向量的方法。
假设 A 是一个 n 维方阵，我们需要求得它的特征值和特征向量。
其步骤如下：1. 求解特征方程。
由特征值和特征向量的定义可知，Av = λv，即矩阵 A 作用在 v 上，等于将 v 的长度缩放λ 倍。
因此，根据矩阵的定义，我们可以得到以下方程：det(A - λE) = 0其中，E 是单位矩阵。
毕业论文矩阵的特征值与特征向量的求法及其关系
毕业论文矩阵的特征值与特征向量的求法及其关系特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念，用于描述矩阵的性质和特征。
在毕业论文中，了解特征值和特征向量的求法及其关系是十分重要的。
下面将对特征值与特征向量的求法及其关系进行详细介绍。
1.特征值的求法：特征值是方阵对应的线性变换在一些向量上的缩放因子。
求解特征值的方法可以通过求解矩阵的特征方程得到，特征方程为：，A-λI，=0，其中A是方阵，λ是未知数，I是单位矩阵。
特征方程的解即为特征值。
通过求解特征方程，可以得到矩阵的特征值。
2.特征向量的求法：与特征值对应的是特征向量，特征向量是矩阵在特定方向上的变换结果。
特征向量的求法需要结合特征值一起考虑。
先求得特征值后，代入特征方程，得到(A-λI)X=0，其中X为未知向量。
求解此线性方程组即可得到特征向量。
特征向量是非零的向量，一般也可以进行标准化处理，使其模长为1，方便研究特征向量的几何性质。
3.特征值与特征向量的关系：特征值与特征向量之间存在重要的关系。
对于方阵A和其特征向量X，满足AX=λX，即特征向量经矩阵A的变换后等于特征值的倍数。
特征值与特征向量之间的关系可以帮助我们理解矩阵的性质和行为。
通过求解矩阵的特征值与特征向量，我们可以得到矩阵的谱分解，即将矩阵分解为特征值和特征向量的乘积。
通过谱分解，我们可以得到矩阵的对角化形式，即将矩阵表示为对角矩阵的形式，其中对角线元素为特征值。
对角化可以简化矩阵的计算，也可以更好地描述矩阵的性质。
此外，特征向量之间可能存在线性相关性。
特征向量之间的线性组合仍然是矩阵的特征向量。
这也意味着，如果矩阵存在一个特征值对应多个线性无关的特征向量，那么矩阵是可对角化的。
总结起来，特征值与特征向量是矩阵理论中非常重要的概念。
求解特征值和特征向量可以帮助我们理解矩阵的性质和行为。
特征值与特征向量之间存在紧密的关系，通过求解特征值和特征向量，我们可以得到矩阵的对角化形式，为矩阵的进一步计算和分析提供了便利。
华南理工大学 线性代数与解析几何 课时课件 (19)
(2) A的n个特征值之积等于矩阵A的行列式的值
1 2 … n = |A| = det(A)
第五章 特征值与特征向量
§5.1 矩阵的特征值与特征向量
性质 1.2 的证明
因为特征方程| E A |=0有n个根1, 2,…, n,
即 |E A| = (1)(2)…(n),
=n –(1+2+…+ n )n1 +…+(-1)n 1 2 … n
|A|A 1 = A*
第五章 特征值与特征向量
相似矩阵的性质
§5.2 相似矩阵及矩阵可对角化的条件
若A~B 即存在可逆矩阵P，使P 1AP = B ，则 (1) |A| = |B|
证： |B| = |P 1AP| = |P 1||A||P| = |P|1|A||P| = |A|.
|AB| = |A||B| |A 1 | = |A| 1
可以得到 n 年后市区和郊区的人口分布： 随着 n的增加，市区和郊区人口之比将趋向常数。
第五章 特征值与特征向量
§5.2 相似矩阵及矩阵可对角化的条件
求方阵A的幂Am的一种方法
a1
A = a2
an
A2 = a12a22
an2
An = a1na2n
ann
第五章 特征值与特征向量
§5.2 相似矩阵及矩阵可对角化的条件
推广：
An = n
第五章 特征值与特征向量
n 进一步推广
§5.1 矩阵的特征值与特征向量
A = f(A) = (amAm +…+ a1A + a0E)
= amAm +…+ a1A + a0 f(A) = f() = amm +…+ a1 + a0
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《数学实验》报告
学院：电子信息学院
专业班级：信息工程电联班
学号：
姓名：
实验名称：特征根与特征方程实验日期：2016/05/31
特征根与特征方程
1．实验目的
掌握特征值、特征向量、特征方程、矩阵的对角化等概念和理论；掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法；
理解由差分方程x k+1=Ax k；
提高对离散动态系统的理解与分析能力。
2．实验任务
1．当捕食者-被捕食者问题中的捕食系数p是0.125时，试确定该动态系统的演化（给出xk的计算公式）。
猫头鹰和森林
鼠的数量随时间如何变化？该系统趋向一种被称为不稳定
平衡的状态。
如果该系统的某个方面（例如出生率或捕食
率）有轻微的变动，系统如何变化？
2．杂交育种的目的是培养优良品种，以提高农作物的产量和质量。
如果农作物的三种基因型分别为AA，Aa，aa。
其中
AA为优良品种。
农场计划采用AA型植物与每种基因型植物
相结合的方案培育植物后代，已知双亲基因型与其后代基
因型的概率。
问经过若干年后三种基因型分布如何？要求：（1）建立代数模型，从理论上说明最终的基因型分布。
（2）用MATLAB求解初始分布为0.8，0.2，0时，20年后基因分布，是否已经趋于稳定？
3．实验过程
3.1实验原理
1、特征值与特征向量
2、特征值与特征向量的求法
3、矩阵的对角化
4、离散线性动态系统
5、eig命令
3.2算法与编程
3.2.1
clear, clc
a = -20*100;
b = -a;
c = a;
d = b; p = 0.1;
n = 100;
xlabel('|\lambda| >1,|u|<1')
axis([0 b 0 d]),grid on,hold on
x = linspace(a,b,30);
A = [0.5 0.4;-0.125 1.1];
[pc,lambda] = eig(A);
[Y,I] = sort(diag(abs(lambda)),'descend');
temp = diag(lambda);
lambda = temp(I)
pc = pc(:,I)
pc = -pc;
z1 = pc(2,1)/pc(1,1)*x;
z2 = pc(2,2)/pc(1,2)*x;
h = plot(x,z1),set(h,'linewidth',2), text(x(7),z1(7)-100,'v1')
h = plot(x,z2),set(h,'linewidth',2), text(x(20),z2(20)-100,'v2')
button = 1;
while button == 1
[xi yi button] = ginput(1);
plot(xi,yi,'go'),hold on
X0 = [xi;yi];
X = X0;
for i=1:n
X = [A*X, X0];
h = plot(X(1,1),X(2,1),'R.',X(1,1:2),X(2,1:2),'r-'); hold on
text(X0(1,1),X0(2,1),'x0')
quiver([X(1,2),1]',[X(2,2),1]',[X(1,1)-X(1,2),0]',[X(2,1)-X(2,2),0]',p)
set(h,'MarkerSize',6),grid,
end
end
3.2.2
clear;
A=[1 0.5 0;0 0.5 1;0 0 0];
X=[0.8;0.2;0];
for i=1:20
X=A*X;
end
X20=X
X=[0.8;0.2;0];
C=[1 1 1]';n=0;
while norm(X-C,'fro')>1.0e-16
C=X;n=n+1;X=A*X;
end
format long;
X,n
结果分析
1.
2.
>>
X20 =
0.999999809265137
0.000000190734863
0 X =
1.000000000000000
0.000000000000000
n =
52
4.实验总结和实验感悟
通过本次实验，我了解了掌握特征值、特征向量、特征方程、矩阵的对角化等概念和理论；掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法；理解由差分方程xk+1=Axk；提高对离散动态系统的理解与分析能力。
我们可以选取充分大的k使上述两式中的近似达到任意精度。
每次增长为原来的入倍，所以入决定了系统的最后增长率。
对于大的k，x屮任何两个元素的比值约等于屮对应元素的比值。
用Matlab软件可以方便地计算出矩阵的特征值和其对应的特征向量，从而能更好地帮助我们去分析动态系统;xk+1=Axk 的演化过程.。