周益春-材料固体力学习题解答6-1
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第六章 塑性平面应变问题和极限分析
1. 设具有角形深切口的厚板，其滑移线场构造如图6.1(a)，试求此时该板所能承受的弯矩
值。
的方向，应取负值，即
4
,,
2π
θσσ=
-=-=k k t
其应力状态和α线的方向如6.1（b ）所示。
由于厚板的上部ODB ∆也是均匀应力区，在OB 边上，0==n n τσ，k t 2±=σ，根据力矩M 的方向，应取正值，即
γπ
θπ
γππγθσσ-=
-=-+===4
,
4
2
)4
(,
,
2k k t
其应力状态和α线方向如图6.1（c ）所示。
正方形'
OECE 是均匀应力区，根据对称性知道沿着垂直截面将只作用有拉应力q ，其数值及应力间断点C 的位置由下列平衡方程求得：
图6.1(c)
图6.1(b)
⎪
⎭
⎪⎬⎫=---=--0)(210
)(22
12111h h k qh M h h k qh 由此得出
M
kh kM
q kh
M
h h -=
=
-212,
由于CEDB 是同一根β线，故
B B
C C k k θσθσ22+=+
)21()4
(2)4
(2γππ
γπσ-+=---+=k k k k C
取OC 边上的单元体进行分析，如图6.1（d ）所示得：
4
,
0,π
θτσ-
===n n q
k q k t t n 2,
2-==-σσσ
)2(2
1)(2
1k q q t n -+=+=σσσ
k q k C -=-+=)21(γπσ
M
kh kM
k q -=
-+=22)21(γπ
γ
πγπ24)
22(2-+-+=
kh M 令202
1kh M =
则可得
γ
πγ
π24210-+-+
=M M 图6.1（d ）
2. 设两边有对称角形深切口的厚板，角形深切口处的高度为h ，试求在极限状态时，该板
所能承受的弯矩值。
解：此题滑移线场与上一题（a ）图中上部的滑移线场一样，因此在极限状态下应力为
)2
()
2
1(22=--+
=h
q M k q γπ
故由此应力所承受的弯矩为
22)2
1(2141h k qh M γπ
-+==
令2
02
1kh M =
则得
γπ-+=2
10M M
3.
图6.2
解：作滑移线场如图6.3(b)所示，由于对称，只考虑板条的一半。在OAB ∆和OCD ∆中是均匀应力状态。在OCD ∆中
4
,
0,π
θτσ=
==n n q
k t n 2=-σσ
k k k t t n n n +=+=-=--===σσσσγπθτσ,
2,2,
4
,
0,0
应力状态和滑移线α的方向如图6.3(c)所示。由于沿同一条β线ABCD 其βC 应相等，故
βθσθσC k k A A D D =+=+22
k k k
k q 2)4
3
(42⋅-++=+-γππ
由此得
)2
1(22)2(γπ
γπ-+
=+-=k k k q
在a 2长度上
)2
1(42γπ
-+
==ak aq p
4. 已知削平的楔体，两侧面受外压p 的作用，顶面受压力q 的作用，如图6.4(a)所示，试
按如下两种情况求出极限载荷的值。
(a)q p = (b)q p >
k q k q t t 2,2--==--σσ
k q --=σ
在AC 边，受力状态如图6.4(d)所示。
2
4
π
δπ
θ=++
δπ
θ-=
∴
4
)(2
1
t p σσ+-=
p
k p
k k
p t t n t -=-==--=-σσσσσ22)( 沿IJKL 是同一条α线：
αθσC k =-2
故 )4
(
2)4
(2δπ
π---=---k p k k k q
)
1(22δδ
+=-+-=--k q p k p k k q
讨论：
① 当q p =时，)1(20δ+==-k q p ，它表示不论q p ,多大，都不能屈服，即楔体处于静水压应力状态。
② 当q p >时，能达到屈服，极限载荷仅与q p ,之差有关。 第二种解法：如图6-4（e ）所示
在AB 边，有k －==σπ
θ,4
在AC 边，有δπ
θ-=
4
，p q k q p k -+=--=)(σ
因为沿同一条α线，αθσC k =-2故有
)4
(2)4(2δπ
π---+=--k p q k k k
化简后得 δk p q k k 2+-+=-
)1(2δ+=-k q p
结果与第一种解法相同。
5. 已知楔形模如图所示，板条在楔形模中受挤压，如初始厚度为H ，通过模孔后厚度被减
小到h ，若已知缩减比γ为α
α
γsin 21sin 2+=-=
H h H ，式中α为收缩孔的收缩角，试求此时作用于模上的压力值以及挤压应力σ的表达值。 解：设作用于模上的正压应力为1σ ，由（c ）可以看出
k O R +σσ＝1 （1）
图6-4（e ）