大学物理实验不确定度求解等
大学物理实验不确定度计算的研究
大学物理实验不确定度计算的研究作者：王兴福毛巍威葛智勇李三龙来源：《课程教育研究·上》2014年第11期【摘要】本文讨论了不确定度的概念和分类，分别对直接测量和间接测量中不确定度的计算进行了研究，并提出了有效数字的修约规则，为学生在物理实验时处理实验数据提供了参考。
【关键词】大学物理实验不确定度有效数字【资金项目】南京邮电大学实验室工作研究课题（2014XSG17）。
【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）11-0179-02实验误差和数据处理是大学物理实验课程的重要学习内容，而不确定度是误差概念的升华。
在大学物理实验教学中全面采用不确定度的评定，准确地理解和掌握不确定度的概念和方法，是大学生学习大学物理实验课程的基本要求。
1.不确定度的概念不确定度是指由于测量误差的存在而对被测量值不能确定的程度，是表征被测量值的真值所处的量值范围的评定。
2.不确定度的分类按其数值评定的方法可分为两类：A类不确定度分量UA与B类不确定度分量UB，分别对应随机误差分量和未定系统误差分量。
总不确定度由A类不确定度和B类不确定度合成而来，误差一般在±U之间，用扩展不确定度评定时，在±U之外的概率不大于5%。
3.不确定度的计算依据获取数据方法的不同，测量可分为直接测量和间接测量两类。
3.1直接测量的计算3.1.1单次直接测量结果的表达在实验中有时只测一次，称为单次直接测量。
单次直接测量的测得值就作为真值的最佳估值，用仪器本身的误差限值⊿INS作为B类不确定度，单次测量不评定A类不确定度。
UB是用非统计方法评定的不确定度的分量，一般只考虑测量仪器误差或测试条件不符合要求而引起的附加误差所带来的B类分量。
对单次直接测量物理量x的测量结果写为3.1.2多次直接测量结果的表达3.2间接测量的计算间接测量的测量值是将直接测量的测量值代入公式计算得到的，由于直接测量有误差，它们必然通过函数关系传递给间接测量量，这就是误差的传递。
大学物理实验中不确定度的应用
姨 鄣鄣
% n
2
∑
i=1
鄣f 鄣Xi
UX
2
i
（9 ）
Ｐ ＝ ０． ６８３ １． ８４ １． ３２ １． ２０ １． １４ １． １１ １． ０９ １． ０８ １． ０７ １． ０６ １． ０５ １． ０３ １． ０２ １． ００ Ｐ ＝ ０． ９５ １２． ７ ４． ３０ ３． １８ ２． ７８ ２． ５７ ２． ４５ ２． ３６ ２． ３１ ２． ２６ ２． ２３ ２． ０９ ２． ０５ １． ９６ Ｐ ＝ ０． ９９ ６３． ７ ９． ９３ ５． ８４ ４． ６０ ４． ３０ ３． ７１ ３． ５０ ３． ３６ ３． ２５ ３． １７ ２． ８６ ２． ７６ ２． ５８
% %
Ux=S（x ）=
i
S （பைடு நூலகம் ）
I
作 为 不 确 定 度 的A类 评 定 ， 其 重 复 测 量 的 次 数 应 该 足 够 多 ，但 有 些 实 验 由 于 条 件 限 制 ，只 能 做 较 少 次 数 的 测 量 ，例 如 样本的理化参数会随着实验次数的增加而变化时 ， 就不宜多 次测量 。 测量次数少时 ， 由上式算出的标准偏差可能会被严重 低估 ， 这时应采用基于 t 分布确定的包含因子来表示 A 类不确 定度 ， 也称扩展不确定度 。 即
UB=
（7 ） K 其中 K 是仪器误差概率分布的置信系数 。 虽然存在各种分
△仪
布类型 ， 但在大学物理实验中比较常见的有三种分布 ， 即正态 分 布 、 矩 形 分 布 （ 均 匀 分 布 ）、U 形 分 布 。 其 置 信 系 数 分 别 为 3 、
% n 2
S （x ）=
i
如果以 n 次测量的平均值作为测量结果 ， 则其算术平均值 的标准偏差为
大学物理实验教学中关于实验数据的不确定度的计算和分析
大学物理实验教学中关于实验数据的不确定度的计算和分析作者：孙红章王翚苏向英来源：《教育教学论坛》2015年第35期摘要：本文首先讨论了大学物理实验教学中关于不确定理论中的直接测量量的A类、B类标准不确定度和合成不确定度以及间接测量量的不确定度的通常表示方法，随后推算出了几个基本物理实验中各个测量量不确定度的计算公式，对大学本科学生的物理实验教学具有指导意义。
关键词：大学物理实验教学;不确定度计算;固体密度测量;杨氏弹性模量测量;共轭法测凸透镜焦距中图分类号：G642 ; ; 文献标志码：A ; ; 文章编号：1674-9324（2015）35-0169-02现如今在大学物理实验教学中为了更加准确和精确的表示实验测量结果，常使用不确定度理论来表示实验测量结果。
[1，2]在大学物理实验教学中，不确定度的计算一直是一个难点，也是一个重点，许多本科学生因为不确定度的计算方法非常复杂，而且计算量很大，而放弃对实验数据的科学处理。
这里我们将阐述大学物理实验教学中不确定度的通常表示方法，并结合有关的基本物理实验，在课堂上用多媒体演示，使大学一年级学生很容易掌握不确定度的计算，取得了良好的教学效果。
一、不确定度理论的一般原理和计算方法[3，4]不确定度理论对于直接测量量把数据的不确定度根据数据的性质来分类，把符合正态分布统计规律的称之为A类标准不确定度，而不符合正态分布统计规律的称之为B类标准不确定度。
把两类不确定度的平方和的根称之为测量量的合成标准不确定度，或者简称为不确定度。
大学物理实验中物理量的直接测量量的平均值的标准偏差即为A类标准不确定度，它的计算公式为：t的大小与物理量的测量次数n和置信概率p有关系，置信概率p一般约定取值为68.3%，特殊情况下置信概率p取95.4%。
如果我们测量9次，置信概率取p=68.3%，那么置信因子取t=1.07。
如果我们测量5次，置信概率取p=68.3%，置信因子取t=1.14。
大学物理实验测量的不确定度和数据处理
⼤学物理实验测量的不确定度和数据处理测量的不确定度和数据处理测量不确定度采⽤不确定度的必然性国际计量局等七个国际组织于1993年指定了具有国际指导性的“测量不确定度表⽰指南ISO 1993（E）”（以下简称《指南》）。
⼏年来国际与国内的科技⽂献开始采⽤不确定度概念，我国各个⾼校也不断开展这⽅⾯的讨论，改⾰教学内容与⽅法，以求与国际接轨。
虽然⼀些学者对《指南》的有些内容持批评态度[注1]，但总的趋势是在贯彻《指南》的同时，不断改善它。
测量不确定度定义为测量结果带有的⼀个参数，⽤以表征合理赋予被测量量的分散性，它是被测量客观值在某⼀量值范围内的⼀个评定。
不确定度理论将不确定度按照测量数据的性质分类：符合统计规律的，称为A类不确定度，⽽不符合统计规律的统称为B类不确定度。
测量不确定度的理论保留系统误差的概念，也不排除误差的概念。
这⾥的误差指测量值与平均值之差或测量值与标准值（⽤更⾼级的仪器的测量值）的偏差。
测量不确定度的 B类分量仪器的最⼤允差Δ仪测量中凡是不符合统计规律的不确定度统称为B类不确定度，记为ΔB 。
它包含了由测量者估算产⽣的部分Δ估和仪器精度有限所产⽣的最⼤允差Δ仪。
Δ仪包含了仪器的系统误差，也包含了环境以及测量者⾃⾝可能出现的变化（具随机性）对测量结果的影响。
Δ仪可从仪器说明书中得到，它表征同⼀规格型号的合格产品，在正常使⽤条件下，⼀次测量可能产⽣的最⼤误差。
⼀般⽽⾔，Δ仪为仪器最⼩刻度所对应的物理量的数量级（但不同仪器差别很⼤，⼀些常⽤仪器的最⼤允差见第26页）。
测量者的估算误差Δ估测量者对被测物或对仪器⽰数判断的不确定性会产⽣估算误差Δ估。
对于有刻度的仪器仪表，通常Δ估为最⼩刻度的⼗分之⼏，⼩于Δ仪（因为最⼤允差已包含了测量者正确使⽤仪器的估算误差）。
⽐如，估读螺旋测微器最⼩刻度的⼗分之⼀为0.001毫⽶，⼩于其最⼤允差0.004毫⽶；估读钢板尺最⼩刻度的⼗分之⼀为0.1毫⽶，⼩于其最⼤允差0.15毫⽶。
大学物理实验测量不确定度及数据处理基础知识中国地质大学课件
饼图
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EXCEL软件在数据处理中的应 用
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折线图
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柱状图
用于比较不同类别的数据，适 合显示各类别之间的差异和大 小。
散点图
显示两个变量之间关系，用于 探索数据之间的关联性和趋势 。
结论和思考题
1 1. 总结
本次课程学习了物理实验测量 的不确定度及数据处理的基本 知识，掌握了常见误差类型、 误差估计方法和数据处理技巧 ，为今后开展物理实验打下了 基础。
2 2. 思考
在实际实验中，如何更有效地 控制误差，提高测量结果的准 确度？
3 3. 探索
除了本课程所涉及的知识，还 有哪些测量不确定度及数据处 理方法可以学习？
重复测量法
对同一物理量进行多次测量，然后计算平均值和标准偏差来估计误差。
间接测量误差估计
间接测量是指通过已知物理量之间的关系来计算未知物理量，例如用速度和时 间计算距离。
误差传播公式
通过误差传播公式，可以将已知物理量的误差传播到计算结果中，从而估计间 接测量结果的误差。
重复测量误差估计
重复测量
1
多次测量同一个物理量，得到一组数据。
数据绘图的基本要求
大学物理实验误差不确定度解读
的关系：
k
PC
( x)dx
k
p(x)
P1
(x)dx 68.3%
1.96
P2
(x)dx 95%
1.96
3
P3
(x)dx 99.7%
3
-σ 0 σ
x
偶然误差的处理方法
假定系统误差已消除，对同一个物理量进行n次测量，测得
的值为xi (i =1, 2，…，n) n
(1) 用多次测量的算术平均值作为x0的估计值：x ( xi ) / n i 1
1
n(n 1)
n i 1
( xi
x)2
e 3
● 由A、 B合成总不确定度u : u ΔA2 ΔB2
● 给出直接测量的最后结果：
x E
xu u 100%
x
例：用一级螺旋测微计测某一圆柱体的直径d共6次，测量值如下表：
i
1
2
3
4
5
Di /mm 8.345 8.348 8.344 8.343 8.347
(2) 用算术平均值的标准差 x 作为 的估计值
按贝塞耳公式求出：
测量结果可以表述为：
x
Y xx
1
n(n 1)
n i1
(xi
x)2
不确定度
•为了估计测量结果的可靠程度，测量结果应写成
Y N N
•不确定度 ΔN 是概率意义上对测量结果精确程度的评价。
•表示测量结果是一个范围 N N, N N
•它表示待测物理量的真值有一定的概率落在上述范围内
（关键是找出 置信区间与置信概率的关系）
若置信概率为100%，则相应的 N 就称为极限误差，
用 e 表示，写作： Y N e
物理实验的不确定度表示和计算方法
i2 n →∞ n i = 1物理实验的不确定度表示和计算方法摘 要 本文在 分析物理 实验中引入 不确定度必 要性的 基 础上, 介绍了不确定度的有关概念, 提出了不 确定度的表示 和计算方法。
关键词 物理实验; 不确定度; 置信概率0 引 言在物理实验中总是通过各种测量方法和测量仪 器对各个物理量进行测量, 但如何对测量结果的可 靠性进行评价, 一直是测量和数据处理环节的重要 问题。
过去的传统方法是用测量误差来评定测量结 果的可靠性, 而测量误差定义为测量值与真值之差, 由于真值是永远也测不到的, 所以测量误差也是一 个不可知量, 即用测量误差来评定测量结果的可靠 性是不科学的。
1980 年国际计量局提出了关于实验不确定度表示的建议书 《R ecomm endation INC -1C 19980》[ 1], 1992 年发表了 《测量不确定度表示法指南》, 在世界 范围内开展了用不确定度来评价测量结果的推广和 使用。
在此基础上, 国际理论与应用物理联合会与 国际标准化组织 ( ISO ) 等 7 个国际组织联合颁发了 《国际通用计量学基本术语》) 之后, 对物理教学中 有关 误差分析 和数据处 理方法 提出 了新的 要求。
在于某一个量值范围内的评定, 它反映了可能存在 的误差分布范围, 其大小给出了测量结果可信程度 的高低。
不确定度实际上具有非常明确的含义, 它 具有确定的量值, 其量纲与被测量的量纲相同, 但 通常总是联系于一定的概率。
不确定度一般含有多 个分量, 但按其数值的评定方法可归并成两类: A 类分量: 由测量列的统计分析评定的不确定 度分量, 即随机误差分量, 用△A 表示。
B 类分量: 由非统计方法评定的不确定度分量, 即未定系统误差分量, 用△B 表示。
合成不确定度: 为 A 类分量和 B 类分量按方差 合成原理进行合成, 用 u 表示可写为u =∑△2 + ∑△2( 1)AB总不确定度 ( 展伸不确定度) : 将合成不确定度 u 乘以一个与置信概率有关的包含因子 K p , 则得总 不确定度, 用 U 表示, U = K p u 。
大学物理实验不确定度
P(3 x 3 ) 0.997
一、测量与误差
误差
一、测量与误差
误差
标准误差
x
2
i
(xi )2 (n )
n
n
标准偏差：
Sx
n
(xi x)2
i 1
(有限次测量 )
n1
S小x ，小误差占优，数据集中，重复性好。 S x大，数据分散，随机误差大，重复性差。
系统误差来源：1)仪器误差 2)环境因素 3)理论误差 4)个人误差
一、测量与误差
误差
3、随机误差产生原因、特点 • 产生原因：实验条件和环境因素无规则的起伏变化，引
起测量值围绕真值发生涨落的变化，如：电表轴承摩擦力 变动、千分尺测力随机变化、读数视差影响。
• 特点： ①小误差出现的概率大，大误差出现的概率小； ②多次测量时，分布对称，具有抵偿性； ——因此，取多次测量的平均值，有利于消减随
1
E
ln 2 ( M
M
)
2
ln D
2
D
2
ln h
2
h
2
2
1
M
2
2 D
2
h
2
2
%
M D h
E ,
三 有效数字及运算规则
4.265 四位
5.200 四位
末位是估读位
5.2 二位 3.00 三位 3 一位
误差： 4.265
B 仪 3
实验书最后一页
2 A
2 B
t p S x
2
仪 3
2
(p
0.683)
二、不确定度
t p 因子
大学物理实验绪论课
绪 论 课
物理实验绪论课
实验报告主要内容如下:
1、实验名称--实验项目或实验选题. 2、实验目的—希望得到的结果和实现的目标. 3、实验原理—用高度概括的文字语言给出实验的理论 依据、计算公式及原理图.
4、实验仪器--仪器名称、型号 、规格等. 5、实验环境—时间、地点 、温度 、气压等. 6、实验步骤--主要实验步骤. 7、实验数据处理. 8、分析与讨论—对实验结果以合理评价.
2 Ai
+ ∑U
（2）B类不确定度分量UBj
2 Bj
对于单次测量
U=
2 U Bj ∑
（a）定义：由不同于A类分 量的其它方法分析评定的不 确定度,也称非统计不确定 度。 （b）大小：
二、测量结果评价
⒈测量结果的表达形式
U Bj 仪 / c
c 3(正态分布); c 3(均匀分布).
五、数据处理举例
1、直接测量数据处理
用螺旋测微计测某一钢丝的 直径，6次测量值di分别为： 0.190, 0.195, 0.190, 0.195, 0.193, 0.190;
同时读得螺旋测微计的零位 d0为：0.000, 单位mm，已 知螺旋测微计的仪器误差限 为Δ仪=0.004mm，请给出完 整的测量结果。
Δ仪是仪器误差限
x ＝ X ±U（单位）
3、不确定度的合成 当各分量互相独立且有相 同的置信概率时
x──待测物理量；
X ──为该物理量的测量值
(已修正)； U──不确定度。 （1）物理意义
U=
∑U
2 Ai
+ ∑U
2 Bj
对于单次测量
U=
2 U Bj ∑
二、测量结果评价
大学物理实验教学中的不确定度评定
摘 要 本 文 根 据 《 Ｊ ０ ９ １ ９ Ｊ Ｆ１ ５ — ９ ９测 量 不 确 定 度 评 定 与 表 示 》 件 精 神 ， 合 物 理 实 文 结
验 教 学 实 际 ， 最 后 测 量结 果 如 何 报 道 进 行 了分 析讨 论 ． 对 关 键 词 实验 教 学 ； 确 定 度 ； 不 国家 标 准 ； 信 概 率 置
（ ｐａ ｔ ｅ ｔ ｏ ａ ｈ ｍ ａ ｉ ｓ Ｄｅ ｒｍ ｎ ｆ Ｍ ｔ ｅ ｔｃ ，Ｐｈ ｓ ｃ ｎ ｅ ｈ ｎｉｓ， ｙ ｉｓａ ｄ Ｍ ｃ ａ ｃ Ｒａ ｌ ｙ Ｄｉ ｔ ｉ ｔｏｆＣｅ ｔ ａ ｓ ｔ ｎ ｖ ｒ ｉｙ，Ｃｈ ｎ ｈ ． ４ ０ ５，Ｃｈ ｎａ ｉｗａ ｓ ｒｃ ｎ ｒ ｌｏｕ ｈ Ｕ ｉ ｅ ｓｔ ａ ｇｓ ａ １ ０７ ｉ ）
Ａｂｓｒ ｃ Ｗ ｅ ｓ ｕ ｅ ｔａ ｔ ｔ ｄｉ ｄ ａｎｄ ｄ ｓ ｕｓ ｅ ｗ ｏ ｒ ｐ ｔｒ ｓ ｔ ｆｔ ｅ ｓ ｅ ｅ ｓ ｕｎｄｅ ｉ ｃ ｓ ｄ ｈｏ ｔ ｅ ｏｒ ｅ ｕｌｓ ｏ ｈｅ ｍ ａ ｕｒ ｍ ｎｔ ｒ
“ ａ ｕ ｔｏ ｎ ｐ ｅ ｓｏ ｆＵ ｎ ｅ ｔ ｉ ｔ ｎ Ｍ ｅ ｓ ｒ ｍ ｅ ｔ （ Ｊ ０ ９ １ ９ ） Ｅｖ ｌ ａ ｉ ｎ ａ ｄ Ｅｘ ｒ ｓ ｉ ｎ ｏ ｃ ｒ ａｎ ｙ ｉ ａ ｕ ｅ ｎ ” Ｊ Ｆ１ ５ － ９ ，ｂ ｓ ｄ ９ ａｅ
差 ， ９ ９年 １月 发 布 并 于 ５月 正 式 实 施 国 家 １９
１ 引 言
计 量 技 术 规 范 《 Ｊ ０ ９１ ９ ＪＦ１ ５ － ９ ９测 量 不 确 定 度 评 定 与 表 示 》 ．近 几 年 来 很 多 院 校 已 在 物 理 Ｊ
大学物理实验——分光计数据处理
实验数据处理1． 计算三棱镜顶角及不确定度)(A u 顶角A 的计算公式： (1)自准法 )(211802121右右左左θθθθ-+--=A (2)反射法 )(12121右右左左θθθθ-+-=A其中须考虑实际转过的角度。
(3) 顶角A 的不确定度的计算公式 自准法: θθθ∆==⨯=)()()21(4)(22u u A u反射法：11()()22u A u θθ===∆2． 最小偏向角的计算及最小偏向角的不确定度 （1） 最小偏向角min δ的计算公式：)(12121min 右右左左θθθθδ-+-=（2）最小偏向角min δ的不确定度计算公式：θθθδ∆==⨯=21)(21)()41(4)(22min u u u3． 计算折射率n 以及折射率的不确定度)(n u由折射率的计算公式 A A n 21sin )(21sin min +=δ，对较厚三棱镜，可得: n蓝紫= n 绿 =由折射率的不确定度计算公式：)(2)(222)(min 2min222min δδδu A ctgA u A ctg A ctg n n u ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=)()21sin(2)(21cos )()21(sin 2)21sin(min 22min 222min δδδu A A A u A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡= 22min 222min )21()21sin(2)(21cos )()21(sin 2)21sin(θδθδ∆⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++∆⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=A A A 仪器误差 Δθ = 2′= 5.82×10-4(rad)可得:u (n 蓝紫) = ，u (n 绿) =测得折射率n 蓝紫= ± ，n 绿 = ±数据处理注意事项与角度的不确定度有关的数值的单位应取为弧度。
大学物理实验-不确定度公式的计算
大学物理实验-不确定度公式的计算参数假设Xi 是每次仪器测量的示值或读数X上面有一横线（x），是每次测量结果的平均值n为测量次数计算方差对同一量，进行多次计量，然后算出平均值。
对于偏离平均值的正负差值，就是其不确定度。
其差值越大，则计量的不确定度就越大。
在数理统计学上，一般用方差（S）来表示：S^2＝｛(x1－X)^2+(x2-X)^2+(x3-X)^2……＋(xn-X)^2｝/(n-1)。
注：X为平均值，n为测量的次数。
方差越大，其不确定度则越大；方差越小，其不确定度就越小。
启用标准偏打开计算器> 查看(V) > 选择"科学型" > 单击计算器左边的"Sta"按钮(此时会弹出一个统计框)数据编辑(例子:数据[25,34,13])在统计框内单击"全清(A)"按钮> 返回计算器> 输入数据"25" > 单击计算器左边的"Dat"按钮> 输入数据"34" > 单击计算器左边的"Dat"按钮> 输入数据"13" > 单击计算器左边的"Dat"按钮(此时统计框已记录下数据[25,34,13])标准偏差计算平均值-- "Ave" 按钮总和-- "Sum" 按钮样本标准差[不是标准差或方差] -- "s" 按钮方差：先求出样本标准差,然后平方,除以样本数量,再乘以(样本数量减1)，才得出方差标准差：将方差开方在测量过程中，各项误差合成后得到的总极限误差称为测量的不确定度，他是表示由于测量过程中各项误差影响而使测量结果不能肯定的误差范围。
测量误差=测量值-真值，测量值>真值，为正差；测量值<真值，为负差。
大学物理实验不确定度求解等
▪ 期末考试占0--30%
实验须知
▪ 学生在规定的时间内进行实验，不得无故旷 课和迟到。无故迟到10分钟者，不得进入实 验室。
▪ 进入实验室，保持室内安静和整洁，不得大 声喧哗。
▪ 对安排的实验要有预习报告，提交教师审阅， 对没有预习报告者，不得进入实验室做实验。
实验须知
▪ 认真完成本组实验，不得擅自搬动和使用其 他组的仪器和物品。
操作读数时的视差影响。
特点：
①小误差出现的概率比大误差出现的概率大；
②多次测量时分布对称，具有抵偿性——因此取多次测量的平 均值有利于消减随机误差。
随机变量的分布
正态分布：大量相对独立因素共同作用下得到的随机变量服
从正态分布。物理实验中多次独立测量得到的数据一般可以近似
看作服从正态分布
p(x)
1
范围内的概率很大， 的取值与一定的概率相联系。）
测量
▪ 测量分为直接测量和间接测量
直接测量指无需对被测的量与其它实测的量进行函数关系的 辅助计算而可直接得到被测量值的测量；
间接测量指利用直接测量的量与被测量之间的已知函数关系 经过计算从而得到被测量值的测量
1.2.3 等精密度测量 在同等条件下进行的多次重复性测量称为等密精度测
x u
0.683
x u2
0.954
x u3
0.997
大物实验3不确定度
估 2 分辨率 最小分度/5
C.根据实际情况放大估读误差
拉伸法测金属丝杨氏模量
拉伸法测金属丝杨氏模量
3) 合成不确定度
A类不确定度分量 u A1 , u A2 , u Ai ,......u Am B类不确定度分量 u B1 , u B 2 , u Bj ,......u Bn
五、测量结果表达式：
N N (单位)
N N 2 (单位)
P 0.683
P 0.954
P 0.997
N N 3 (单位)
六、传递公式的应用
1.计算间接测量量的不确定度 2.分析主要误差来源
3.在设计性实验中进行误差分配
4.帮助正确选择仪器及确定测量条件
4M 根据公式 D 2 H
钢直尺
◎ 有4位数字显示位 ◎ 第一位不能完整显示0-9
仪 0.15mm ◎ ½ 指该位能显示2个数字，其中最
国标II级钢卷尺
大数字为1，也即，该位能显示0-1
仪 0.5% 以 2个字 仪 ( L 0.2 0. 3U )mm ,L m为单位
仪 ( L 0.02% 0.3)mm, L以mm为单位
2 2
2
2
2
(1)
(2)
其中 f 为间接测量量 N 与直接测量量 x 、 y 、 z……之间的函数关系。
3.不确定度计算的简化-微小误差舍去原则
在方和根合成公式中
b
a
i 1
n
2 i
1 1 2 2 aj 如果 ai a j 或者ai 3 10
ai 项可以忽略不计
注意：包括计算直接测量量的合成不确定度 以及计算间接测量量的不确定传递公式
大物实验中如何计算不确定度
3.3 10 3 mm
UA (d )
tp
s(d ) n
2.36 3.3103 8
2.7 103 mm
（4）计算B类不确定度：仪器误差取最小分度值的一半， 即Δm ＝0.005mm，因此
UB (d ) m 0.005 mm
（5）合成不确定度：
U(d)
U
2 A
(d
)
U
2 B
(d
)
2.7 103 2 5 103 2 5.7 103 0.006 mm
F
x1
2 u ( x1 )
F
x2
2 u(x2 )
...
F xk
2 u(xk )
注意：
（a） 当F= F(x1,x2,…xk)为乘除或方幂函数关系时， 可以先将求对数，再求导。
（b） 本式只适于各变量互相独立的情形，若不独立 则
例如：f比=较xy复2.杂，求超u(出f)本=?书范围。
ln f ln x 2 ln y
。
2）标准不确定度的 B类评定( uB )
是指用非统计方法评定的不确定度，如用经验或资料以 及假设的概率分布估计出的不确定度与未定系统误差有 关的分量，用估计的标准偏差表示。
uB
(x)
m (x) k
m (x)为仪器的最大允许误差限，而包含因子k由可能的误差概率分布决
定：按正态分布、均匀分布和三角分布，分别取 3、 3 、 6 。
注意：m：仪器误差限, 指测量仪器的示值与真值之差的最大值。
一般实验中, 对于刻度仪器仪表, m常取最小分度值的1/2， 大多数遵循均匀分布，所以K取 3 。
③标准不确定度合成（C类不确定度）（uC ）： 也称合成标准不确定度
大学物理实验不确定度求解等
大学物理实验不确定度求解等物理实验中的不确定度是指测量结果中存在的误差，可能来自于仪器、环境或人为因素。
准确地确定不确定度对于实验数据的解释和分析至关重要。
以下是一些关于大学物理实验不确定度的求解方法和注意事项。
1. 误差的类型在测量中，可能出现系统误差和随机误差。
系统误差指的是由于仪器的固有缺陷或人为因素带来的偏差，相对稳定；而随机误差则是由于人为或环境因素导致的测量结果的波动性，相对不稳定。
在求解不确定度时，需要对这两种误差进行区分，并分别处理。
2. 不确定度的定义不确定度是指测量结果中的误差范围。
它考虑了随机误差和系统误差的影响，并通过标准偏差来衡量测量结果的散布程度。
不确定度表示为一个带有误差单位的数值，如测量物理量的标准偏差为 0.1 米，则不确定度为(0.1 ± 0.001) 米。
3. 标准偏差的计算标准偏差是衡量测量结果离平均值的距离的一种方法。
它的值越小，说明测量数据越精确。
计算标准偏差的公式为：s=sqrt(sum((x-xt)^2)/n-1)其中，s 表示标准偏差，sqrt 表示开平方根，sum 表示求和，x 表示测量数据，xt 表示平均值，n 表示测量数据的个数。
4. 置信度置信度是指在保持实验误差范围内，测量结果的误差落在某一区间内的概率。
置信度通常用百分比来表示。
例如，95% 的置信度表示测量结果的误差在一定程度内可以达到95% 的概率。
计算不确定度时，需要考虑随机误差和系统误差的影响。
对于随机误差，可以采用标准偏差进行估计；对于系统误差，可以进行调整或校准。
具体的计算公式和方法，需要根据实验情况和测量器材的精度进行选择。
6. 注意事项在实验中，应该尽可能减小误差，并采取一些措施来消除系统误差。
例如，选择合适的测量仪器、重复测量多次、同一实验由多个人进行测量等。
此外，在进行实验时，还应该注意一些基本原则，如准确度、精确度、均匀性、稳定性等。
通过认真分析实验数据，可以提高物理实验的可靠性和精度，更好地满足实验目的和要求。
大学物理实验中不确定度计算的总结
大学物理实验中不确定度计算的总结邱春蓉（西南交通大学理学院，四川成都610031）摘要：本文用两种树型形式总结了大学物理实验教学中直接测量量和间接测量量测量结果计算的公式。
关键词：测量结果平均值不确定度Abstract:Thecalculationofmeasurementresultsofdirectmeasurementandindirectmeasurement incollegephysicalexperimentisconcludedandexpressedintwokindsoftree-type.Keywords:measurementresultsaveragevalueuncertainty在大学物理实验课程中计算量较大的部分主要集中在测量结果中多次测量的算术平均值和平均值的不确定度的计算上。
由于计算公式适用条件涉及到测量量的分类，所以学生们常常把公式张冠李戴。
图1按算术平均值和不确定度展开的测量结果的表示为了方便学生理清计算思路和查阅相关公式，我用两种树型形式将测量结果的计算公式归纳总结了一下。
第一种形式是将测量结果的表示按算术平均值和平均值的不确定度进行展开，如图1所示，第二种形式是按直接测量量和间接测量量进行展开，如图2所示。
图2按直接测量量和间接测量量展开的测量结果的表示其中，x和Y分别表示直接测量量和间接测量量，Y=f(x i)，x Y和分别表示直接测量量和间接测量量的算术平均值，u x和u Y分别表示直接测量量和间接测量量的不确定度，u A和u B分别表示直接测量量不确定度的两类分量，A类分量和B类分量，为仪3器误差限，K=，按均匀分布处理，m表示间接测量量中含有直接测量量的个数，n表示某一个直接测量量的测量次数。
通过图1和图2两种形式的表示，学生在计算不确定度时就可以方便而且思路清晰地查找相应公式了。
参考文献温诚忠等编，物理实验教程，西南交通大学出版社，1999年。
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希望同学们能重视这门课程的学习，经过一年的时间， 真正能学有所得。
§1.物理实验的重要作用
§4 上好物理实验课的三个环节
1. 实验预习
看懂教材、明确目的、写出预习报告
预习报告要求：
实验目的、主要原理、公式（包括式中各量意 义）、线路图或光路图及关键步骤 (该部分书写 整齐的课后可作为正式报告的一部分，不必重复
验。归根结底物理学是一门实验科学，无论物理概念的 建立还是物理规律的发现都必须以严格的科学实验为基 础，并通过今后的科学实验来证实。 物理实验在物理学的发展过程中起着重要的和直接
的作用。
§1.物理实验的重要作用
实验可以发现新事实，实验结果可以为
物理规律的建立提供依据
●
经典物理学（力学、电磁学、光学）规律是由 以往的无数实验事实为依据来总结出来的。 X射线、放射性和电子的发现等为原子物理学、 核物理学等的发展奠定了基础。 卢瑟福从大角度α粒子散射实验结果提出了原 子核基本模型。
算（应包含主要过程）、作图。最后附上教师签字的原
始记录。
上好物理实验课的三个环 节
实验成绩平分方法
平时的实验占70%--100%（包括预习、课堂 实验、完整的实验报告） 期末考试占0--30%
实验须知
学生在规定的时间内进行实验，不得无故旷 课和迟到。无故迟到10分钟者，不得进入实 验室。 进入实验室，保持室内安静和整洁，不得大 声喧哗。 对安排的实验要有预习报告，提交教师审阅， 对没有预习报告者，不得进入实验室做实验。
如：螺旋测微计制造时的螺纹公差等
§2-1 测量误差和不确定度 估算的基础知识
• 定义：
随机误差
在对同一量的多次重复测量中绝对值和符号以不可预知方 式变化的测量误差分量。
• 产生原因：
实验条件和环境因素无规则的起伏变化，引起测量值围绕 真值发生涨落的变化。例如：
电表轴承的摩擦力变动、螺旋测微计测力在一定范围内随机变化、 操作读数时的视差影响。
• 特点：
①小误差出现的概率比大误差出现的概率大； ②多次测量时分布对称，具有抵偿性——因此取多次测量的平 均值有利于消减随机误差。
§2-1 测量误差和不确定度 估算的基础知识
随机变量的分布
正态分布：大量相对独立因素共同作用下得到的随机变量服 从正态分布。物理实验中多次独立测量得到的数据一般可以近似 看作服从正态分布 x P (x) lim i ( x u ) 2
不确定度的引入
3、对测量结果不能确定的程度越小，表示测 量结果与真值越靠近，测量结果越可靠。反 之，不能确定的程度越大，测量结果的可靠 性越差。
不确定度概念的理解
1、不确定度是表征测量结果具有分散性的一个参 数。 2、不确定度是被测物理量的真值在某个量值范围 内的一个评定。 3、定义--不确定度是表示由于测量误差的存在而对 被测量值不能确定的程度。 4、不确定度反映了可能存在的误差分布范围，即 随机误差分量和未定系统误差分量的联合分布范围。
残差、偏差、误差的区分
误差 偏差 系统误差分量
残差
x
0
u
x
x
i
不确定度的引入
1、由于真值一般不可能准确知道。因此，误 差是一个理想的概念，它本身是不可能确切 获知。 2、只能根据测量数据和测量条件进行推算， 求得误差的估计值。由于误差的推算没有唯 一确定的值，因此对误差的估计值或数值指 标采用一个更为科学的概念—不确定度，对 测量结果的准确程度做出科学合理的评价。
实验须知
认真完成本组实验，不得擅自搬动和使用其 他组的仪器和物品。 实验中发现仪器不正常和数据不合理时，应 及时与指导教师联系。 光学实验严禁用手触摸光学元件的光学表面 电学实验线路接好经教师检查后，方可接通 电源。
实验须知
遵守仪器操作规程，爱护仪器设备，注意人 生安全和仪器安全，损坏仪器设备酌情赔偿。 实验完成后，将原始数据交指导教师审阅签 字方可有效。 实验完成后，整理仪器，清点器材，面交指 导教师。打扫卫生，关好门窗，方可离开实 验室。
x
x u
x u 2
§2-1 测量误差和不确定度 估算的基础知识
x u 3
0.683 0.954 0.997
随机变量的分布
实际测量次数有限，可用 n 次测量值的 x、s x 来估算μ、σ：
x x i n
x x sx i
n 1
假说
电磁场理论
麦克斯韦方程组 二十多年后
麦克斯韦在
1865年提出
电磁场理论 才得到公认
电磁波的存在并证实电 磁波的传播速度是光速
1905年爱因斯坦的光量子假说总结了光的微粒说和波动说之间的争 论，能很好地解释勒纳德等人的光电效应实验结果，但是直到1916年 当密立根以极其严密的实验证实了爱因斯坦的光电方程之后，光的粒 子性才为人们所接受。
普通物理实验课程绪论
§1.物理实验的重要作用 §2.怎样上好物理实验课
§3.学生须知
§4.测量误差和不确定度估计的基础知识 $ 5.有效数字及运算 $ 6.作图法处理实验数据 §7数据的直线拟合（最小二乘法处理实验数据）
§1.物理实验的重要作用
物理实验是研究物质运动一般规律及物质基本结构
的科学，它必须以客观事实为基础，必须依靠观察和实
§2-1 测量误差和不确定度 估算的基础知识
测
量
测量分为直接测量和间接测量
• 直接测量指无需对被测的量与其它实测的量进行函数关系的 辅助计算而可直接得到被测量值的测量； • 间接测量指利用直接测量的量与被测量之间的已知函数关系 经过计算从而得到被测量值的测量
§2-1 测量误差和不确定度 估算的基础知识
§1.物理实验的重要作用
●
物理实验课程的目的
我们的物理实验课程不同于一般的探索性的科学实验 研究，每个实验题目都经过精心设计、安排，实验结果也 比较有定论，它是对学生进行基础训练的一门重要课程。 它不仅可以加深大家对理论的理解，更重要的是可使 同学获得基本的实验知识，在实验方法和实验技能诸方面 得到较为系统、严格的训练，是大学里从事科学实验的起 步，同时在培养科学工作者的良好素质及科学世界观方面， 物理实验课程也起着潜移默化的作用。
1.3 真值与测得值 物质均有各自的特性，反映这些特性的物理量所具有的 客观的真实数值，称为该物理量的真值。通过各种实验所得到 的量值称为测得值。（多是测量仪器或装置的读数或指示值） 测得值是被测量真值的近似值。 1.4一切测量的目标是为了追求真值 1.5但是一切测量都存在着误差，误差是不可避免。 因此，要分析测量中可能产生的误差，尽可能消除其影 响，并对最后结果中未能消除的误差做出估计，是我们实验分 析必须要做的工作。
2.57
2.45
2.36
2.31
2.26
1.96
6≤n≤10的t因子
在不考虑系统误差的情 况下 在置信概率取0.683， 测量次数6≤n≤10时 t因子大约等于1
x x t s x
可变为 ：
x x sx
残差、偏差、误差区别
随机误差曲线中，x0 是被测量的真值。u是测量次数 无穷大的总体平均值。x 是有限次测量的平均值。 xi 是单次测得值。 是标准偏差。 残差：单次测得值与有限次测量的平均值之差。 偏差：单次测得值与总体平均值之差。 误差：单次测得值与被测量真值之差。
测
物理实验以测量为基础
量
完整的测量结果应表示为： Y y
以电阻测量为例 R＝ 910.3 1.4
包括： 测量对象 测量对象的量值
测量的不确定度 测量值的单位
（Y = y 表示被测对象的真值落在（y ，y ）
范围内的概率很大， 的取值与一定的概率相联系。）
系统误差
定义：在对同一被测量的多次测量过程中，绝对值和符号保持恒定
或以可预知的方式变化的测量误差的分量。
产生原因：由于测量仪器、测量方法、环境带入
分类及处理方法：
①已定系统误差：必须修正
电表、螺旋测微计的零位误差； 伏安法测电阻电流表内接、外接由于忽略表内阻引起的误差。
②未定系统误差：要估计出分布范围
再写)。
画好原始数据表格，单独用一张实验报告纸。 课上教师要检查预习情况,没有预习者不能做实验。
上好物理实验课的三个环 节
§4 上好物理实验课的三个环节
2. 实验操作
阅读资料、调整仪器、观察现象、
获取数据、仪器还原 重视实验能力、作风培养。珍惜独立操作的机会， 完 成基本内容，争取做提高内容。 强调记录数据时不得用铅笔，只有数据正确、仪器还
测量误差的定义和分类
误差dy＝测量值 y －真值 Yt
误差特性：普遍性、误差是小量
• 由于真值的不可知，误差实际上很难计算 • （有时可以用准确度较高的结果作为约定真值来计算误差）
误差的表示方法： －绝对误差 dy
－相对误差 －随机误差
dy y
误差分类 －系统误差
§2-1 测量误差和不确定度 估算的基础知识
原、教师签字后该次实验才有效。
提倡研究问题，注意安全操作。
上好物理实验课的三个环 节
§4 上好物理实验课的三个环节
3. 实验报告
实验报告要用青海大学实验报告纸。 报告内容： 凡预习报告中已有的原 理、图、步骤等
不必重写，可在讨论或小结里用自己的实验体会加以补 充。数据处理时必须先重新整理原始记录，然后进行计
1 p ( x) e 2 2
n
n
2
lim
n
xi
n
2
σ小
σ大
μ表示 x 出现概率最大的值，消除系统误差后， 通常就可以得到 x 的真值。σ称为标准差，决定了 x x12 p x dx 线型的宽窄。 ξ表示随机变量 x 在〔x1，x2〕区间出现的概率，称为置信概率。实 际测量的任务是通过测量数据求得μ 和σ的值。