大学物理实验绪论(不确定度)
大学物理实验教学中关于实验数据的不确定度的计算和分析
大学物理实验教学中关于实验数据的不确定度的计算和分析作者：孙红章王翚苏向英来源：《教育教学论坛》2015年第35期摘要：本文首先讨论了大学物理实验教学中关于不确定理论中的直接测量量的A类、B类标准不确定度和合成不确定度以及间接测量量的不确定度的通常表示方法，随后推算出了几个基本物理实验中各个测量量不确定度的计算公式，对大学本科学生的物理实验教学具有指导意义。
关键词：大学物理实验教学;不确定度计算;固体密度测量;杨氏弹性模量测量;共轭法测凸透镜焦距中图分类号：G642 ; ; 文献标志码：A ; ; 文章编号：1674-9324（2015）35-0169-02现如今在大学物理实验教学中为了更加准确和精确的表示实验测量结果，常使用不确定度理论来表示实验测量结果。
[1，2]在大学物理实验教学中，不确定度的计算一直是一个难点，也是一个重点，许多本科学生因为不确定度的计算方法非常复杂，而且计算量很大，而放弃对实验数据的科学处理。
这里我们将阐述大学物理实验教学中不确定度的通常表示方法，并结合有关的基本物理实验，在课堂上用多媒体演示，使大学一年级学生很容易掌握不确定度的计算，取得了良好的教学效果。
一、不确定度理论的一般原理和计算方法[3，4]不确定度理论对于直接测量量把数据的不确定度根据数据的性质来分类，把符合正态分布统计规律的称之为A类标准不确定度，而不符合正态分布统计规律的称之为B类标准不确定度。
把两类不确定度的平方和的根称之为测量量的合成标准不确定度，或者简称为不确定度。
大学物理实验中物理量的直接测量量的平均值的标准偏差即为A类标准不确定度，它的计算公式为：t的大小与物理量的测量次数n和置信概率p有关系，置信概率p一般约定取值为68.3%，特殊情况下置信概率p取95.4%。
如果我们测量9次，置信概率取p=68.3%，那么置信因子取t=1.07。
如果我们测量5次，置信概率取p=68.3%，置信因子取t=1.14。
大学物理实验不确定度求解等
希望同学们能重视这门课程的学习，经过一年的时间， 真正能学有所得。
§1.物理实验的重要作用
§4 上好物理实验课的三个环节
1. 实验预习
看懂教材、明确目的、写出预习报告
预习报告要求：
实验目的、主要原理、公式（包括式中各量意 义）、线路图或光路图及关键步骤 (该部分书写 整齐的课后可作为正式报告的一部分，不必重复
验。归根结底物理学是一门实验科学，无论物理概念的 建立还是物理规律的发现都必须以严格的科学实验为基 础，并通过今后的科学实验来证实。 物理实验在物理学的发展过程中起着重要的和直接
的作用。
§1.物理实验的重要作用
实验可以发现新事实，实验结果可以为
物理规律的建立提供依据
●
经典物理学（力学、电磁学、光学）规律是由 以往的无数实验事实为依据来总结出来的。 X射线、放射性和电子的发现等为原子物理学、 核物理学等的发展奠定了基础。 卢瑟福从大角度α粒子散射实验结果提出了原 子核基本模型。
算（应包含主要过程）、作图。最后附上教师签字的原
始记录。
上好物理实验课的三个环 节
实验成绩平分方法
平时的实验占70%--100%（包括预习、课堂 实验、完整的实验报告） 期末考试占0--30%
实验须知
学生在规定的时间内进行实验，不得无故旷 课和迟到。无故迟到10分钟者，不得进入实 验室。 进入实验室，保持室内安静和整洁，不得大 声喧哗。 对安排的实验要有预习报告，提交教师审阅， 对没有预习报告者，不得进入实验室做实验。
如：螺旋测微计制造时的螺纹公差等
§2-1 测量误差和不确定度 估算的基础知识
• 定义：
随机误差
在对同一量的多次重复测量中绝对值和符号以不可预知方 式变化的测量误差分量。
大物实验不确定度
加测量次数，可以
– 很大的误差通常不出现；
减少测量误差
– 随机误差的算术平均值趋 于零；若无系统误差，测 次量数的少平，均乘值t因趋子于。真值。
认识正态分布函数
大物实设验对不物确定理度量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值 xi(i=1,2,…）满足正态分布，则
平均值 等于真值 X 0
来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等
特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化
处理
多次测量减小随机误差，计算标准偏差来估算测量的准确程度
测量值的分布
大物实验不确定度
• 重复测量中各测量值及其出现次数的关系
如：均匀分布、三角分布、正态分布、……
• 任何分布，其统计量的分布都趋于正态分 布
如：x1, x2, …… xn,
实验仪器的最大允许误差(Δ仪)
大物实验不确定度
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准中查到。表 1.3.1（p13)摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表（指针式）的示值误差限：
数字仪表？
Δ仪= 量程×准确度等级/100 如：0.5级电流表，量程3A， Δ仪=3×0.5/100=0.015A
x
1 n
n i 1
xi
还有标准偏差等都是统计量
• 实验采用统计量表示
随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，随机
大物实验不确定度
误差δ趋近如下分布，f (δ)反映误差δ出现的几率。
f ()
1
- 2
e 22
2
0
δ
特点 – 正负测误量差次出数现的较几少率时相等； – 将绝对偏值离较正小态的分误差布出,增现的
大学物理实验绪论课
绪 论 课
物理实验绪论课
实验报告主要内容如下:
1、实验名称--实验项目或实验选题. 2、实验目的—希望得到的结果和实现的目标. 3、实验原理—用高度概括的文字语言给出实验的理论 依据、计算公式及原理图.
4、实验仪器--仪器名称、型号 、规格等. 5、实验环境—时间、地点 、温度 、气压等. 6、实验步骤--主要实验步骤. 7、实验数据处理. 8、分析与讨论—对实验结果以合理评价.
2 Ai
+ ∑U
（2）B类不确定度分量UBj
2 Bj
对于单次测量
U=
2 U Bj ∑
（a）定义：由不同于A类分 量的其它方法分析评定的不 确定度,也称非统计不确定 度。 （b）大小：
二、测量结果评价
⒈测量结果的表达形式
U Bj 仪 / c
c 3(正态分布); c 3(均匀分布).
五、数据处理举例
1、直接测量数据处理
用螺旋测微计测某一钢丝的 直径，6次测量值di分别为： 0.190, 0.195, 0.190, 0.195, 0.193, 0.190;
同时读得螺旋测微计的零位 d0为：0.000, 单位mm，已 知螺旋测微计的仪器误差限 为Δ仪=0.004mm，请给出完 整的测量结果。
Δ仪是仪器误差限
x ＝ X ±U（单位）
3、不确定度的合成 当各分量互相独立且有相 同的置信概率时
x──待测物理量；
X ──为该物理量的测量值
(已修正)； U──不确定度。 （1）物理意义
U=
∑U
2 Ai
+ ∑U
2 Bj
对于单次测量
U=
2 U Bj ∑
二、测量结果评价
华中科技大学 大学物理实验 不确定度
对物理量X做n 次等精度测量，得到包含n个测 量值x1 ，x2 ， x3 …， xn的一个测量列
最佳值（真值)
1 n x xi n i 1
标准差σ：
x
n i 1
i
x
2
n(n 1)
粗大误差
由于观测者未正确地使用仪器、观察错 误或记录错数据等不正常情况下引起的 误差。应将其剔除。
2.2、B类标准不确定度 基础物理实验中，因缺乏必须的信息和 资料，作为简化处理 主要考虑仪器误差。
1）用概率分布估算 u B u仪 k 仪 k p 仪 p C 3
Δ仪: 仪器的最大允许误差 kp：置信因子 ，与置信概率P有关(P=0.68 kp=1)
C：置信系数，与误差分布特性有关
示波器的调节和使用 多功能摆的设计与研究 分光计的调整与折射率测定 密立根油滴实验 超声声速的测量 电子元件伏安特性的测量
直流电桥及其应用
第一册
科技楼北楼
104、105
霍尔效应与应用设计
第一册
科技楼北楼
211、214
由于设备更新，5、6、7三个实验与书 上有些差别，为了方便同学们写预习报告和 实验，在网上挂有电子版讲义。 IP:218.199.86.171/bbs
例：测量某物体长度
ｎ
1 2 3 4 5 6 7 8 9
ｂｍｍ
42.35 42.45 42.37 42.33
42.30 42.40 42.48 42.35 42.49
1 长度的最佳值： b bi ＝42.369 mm 9 i 1
9
i 1
9
xi
42.369 9 1
2
大物实验不确定度
仪 0.005mm
螺旋测微计：最小分度为0.01mm
C.未给出仪器误差时
连续可读仪器 米尺：最小分度为1mm
仪 0.5mm
读数显微镜：最小分度为0.01mm
仪 0.005mm
螺旋测微计：最小分度为0.01mm
仪 0.005mm
C.未给出仪器误差时
非连续可读仪器 数字秒表:最小分度=0.01s
六、传递公式的应用
1.计算间接测量量的不确定度 2.分析主要误差来源
3.在设计性实验中进行误差分配
4.帮助正确选择仪器及确定测量条件
根据公式
4M D 2 H 测量铜圆柱体的密度。
已知：M=45.038±0.004(g), D=1.2420±0.0004(cm), H=4.183±0.003(cm). 试评定 的不确定度 .
S1 , S 2 , S i ,......S m
u1 , u2 , u j ,......un
S
i 1
m
2 i
u
j 1
n
2 j
用50分度游标卡尺测一圆环的宽度，其 数据如下： m=15.272;15.276;15.268;15.274;15.270;15.274;15.268; 15.274;15.272cm . 求合成不确定度。
C.未给出仪器误差时
非连续可读仪器 数字秒表:最小分度=0.01s
仪 0.01s
20分度游标卡尺：最小分度=0.05mm
仪 0.05mm
分光计:最小分度=1‘
仪 1'
D.根据实际情况估计误差
拉伸法测金属丝杨氏模量
拉伸法测金属丝杨氏模量
3) 合成不确定度
大学物理实验—不确定度
2
18
例：求y=3C-4D的不确定度
解： dy=3(dC)-4(dD)
2 2 U ( 3 U ) ( 4 U ) 9 U 16 U y C D C D 2 2
19
对于以乘、除运算为主的函数
取对数 ln N ln f x , y , z ,
d N ln f ln f ln f 再微分 dx dy dz N x y z
1.实验课前预习
(1)预习讲义中与本实验相关的全部内容。
(2)写出预习报告（实验题目、目的、原理、
主要计算公式、原理简图）,准备原始实验
数据记录表格。上课时指导老师检查记分。
32
2.课堂实验操作 (1)上课需带实验讲义、笔、尺等。 (2)必须在了解仪器的工作原理、使用方法、 注意事项的基础上，方可进行实验。 (3)仪器安装调试后经教师检查无误后方可进
称为不确定度传递系数。 说明： ①求“方和根”时要保证各项是独立的。如果出 u ( 或 u 、 u ) 项，要先合并同类项， 现多个 x y z 再求“方和根”。 ②以上两式是完全等价的。一般以加减运算为主 的函数，先用第一式求 u N ，再用第二式求 E N 。 而对以乘除运算为主的函数，则先用第二式求 u 出 E N ，再用 u N NE N 求 N 。这样计算比较 简便。
测量结果
6 . 66 0 . 03 ( g / cm ) (P68 .3 %)
3
u ( ) E 100 % 0 . 450 % 0 . 45 %
30
物理实验课程的基本要求
物理 实验 课的 三个 环节
1. 实验预习 2. 实验操作
3. 实验报告
31
大学物理实验绪论——测量不确定度和数据处理的理论解析课堂类型
提示：以后常把Δ看成是系统产生的误差类。
偏差的平均值（应取绝对值！）
n i 1
xi
x
n
4. 标准偏差s (是标准误差σ的有偏估计)
4.1 由随机偏差效应引起的标准偏差模型
s2
n (x x)2
i1
n 2
i1
n 1
n 1
4.2 随机偏差的正态分布，其分布函数为f (ν)，即高斯函数；
如图1所示。
0.5;1.0,1.5; 2.5,5.0）
最小数显单元
表2. Δins与仪器类型之关系
大学物理实验绪论
合成不确定度uc，
uc
u
2 A
u
2 B
6. 实验结果表达
直接测量 x x kPuc (x) ；间接测量 y y kPuc ( y) ，百分误
差 Er
x
uc,x x
100%
；或相对不确定 E x x x理论 100%
2. 实验约定真值（代真值）x0 n数学期望μ= 测量
列平均值。
，重复性条件下的多次等精度（等精密度）测
x量 ，in1xi测量次数n =1,2,3,…,∞ n
3. 测量偏差（残差）ν
；相对偏差
xx
xx
Er x x 100%
大学物理实验绪论
演化式 x x0 x x x x0 = 随机产生的偏差 + 系统产生的误差
计算中应略去，但不可抹掉。
的偏差属粗差，
4.4 测量列平均值的标准偏差
s2 1 s2
n (x x)2
i 1
n 2
i 1
xn
n(n 1) n(n 1)
4.5 不同σ值的正态曲线图
（高斯函数）
大学物理实验-不确定度公式的计算
大学物理实验-不确定度公式的计算参数假设Xi 是每次仪器测量的示值或读数X上面有一横线（x），是每次测量结果的平均值n为测量次数计算方差对同一量，进行多次计量，然后算出平均值。
对于偏离平均值的正负差值，就是其不确定度。
其差值越大，则计量的不确定度就越大。
在数理统计学上，一般用方差（S）来表示：S^2＝｛(x1－X)^2+(x2-X)^2+(x3-X)^2……＋(xn-X)^2｝/(n-1)。
注：X为平均值，n为测量的次数。
方差越大，其不确定度则越大；方差越小，其不确定度就越小。
启用标准偏打开计算器> 查看(V) > 选择"科学型" > 单击计算器左边的"Sta"按钮(此时会弹出一个统计框)数据编辑(例子:数据[25,34,13])在统计框内单击"全清(A)"按钮> 返回计算器> 输入数据"25" > 单击计算器左边的"Dat"按钮> 输入数据"34" > 单击计算器左边的"Dat"按钮> 输入数据"13" > 单击计算器左边的"Dat"按钮(此时统计框已记录下数据[25,34,13])标准偏差计算平均值-- "Ave" 按钮总和-- "Sum" 按钮样本标准差[不是标准差或方差] -- "s" 按钮方差：先求出样本标准差,然后平方,除以样本数量,再乘以(样本数量减1)，才得出方差标准差：将方差开方在测量过程中，各项误差合成后得到的总极限误差称为测量的不确定度，他是表示由于测量过程中各项误差影响而使测量结果不能肯定的误差范围。
测量误差=测量值-真值，测量值>真值，为正差；测量值<真值，为负差。
大物实验中如何计算不确定度
3.3 10 3 mm
UA (d )
tp
s(d ) n
2.36 3.3103 8
2.7 103 mm
（4）计算B类不确定度：仪器误差取最小分度值的一半， 即Δm ＝0.005mm，因此
UB (d ) m 0.005 mm
（5）合成不确定度：
U(d)
U
2 A
(d
)
U
2 B
(d
)
2.7 103 2 5 103 2 5.7 103 0.006 mm
F
x1
2 u ( x1 )
F
x2
2 u(x2 )
...
F xk
2 u(xk )
注意：
（a） 当F= F(x1,x2,…xk)为乘除或方幂函数关系时， 可以先将求对数，再求导。
（b） 本式只适于各变量互相独立的情形，若不独立 则
例如：f比=较xy复2.杂，求超u(出f)本=?书范围。
ln f ln x 2 ln y
。
2）标准不确定度的 B类评定( uB )
是指用非统计方法评定的不确定度，如用经验或资料以 及假设的概率分布估计出的不确定度与未定系统误差有 关的分量，用估计的标准偏差表示。
uB
(x)
m (x) k
m (x)为仪器的最大允许误差限，而包含因子k由可能的误差概率分布决
定：按正态分布、均匀分布和三角分布，分别取 3、 3 、 6 。
注意：m：仪器误差限, 指测量仪器的示值与真值之差的最大值。
一般实验中, 对于刻度仪器仪表, m常取最小分度值的1/2， 大多数遵循均匀分布，所以K取 3 。
③标准不确定度合成（C类不确定度）（uC ）： 也称合成标准不确定度
大学物理实验绪论(修改版)
(四) 间接测量结果的表示和总不确定度的估计
1) 间接测量结果的最佳值： 令 F F ( ： x ,y ,z , ) 则 F F ( ： x ,y ,z , )
即：间接测量量的平均值等于将各直接测量量的平均 值带入函数关系式后的结果。
2) 间接测量结果的总不确定度： U F( F x)2U x 2( F y)2U y 2( F z)2U z2
通常，用多次测量的算术平均值作为测量的最
佳值来代替真值。即：
xx
1) 绝对误差
绝对误差是指被测量的测量值与其真值之差， 它与被测量具有相同的量纲，表示的是测量值偏离
其实际值的大小。
精品课件
2) 相对误差
相对误差是指某一待测物理 量的绝对误差与其测量的最佳值 之比，它是没有量纲的，通常写 成百分数的形式。
(三)直接测量结果的表示和总不确定度的估计
测量结果的表达式： xxU
它表示被测量的真值在（xU,xU的） 范围内
的可能性(概率)。 不确定度是指由于测量误差的存在而对被测
量 的真值不能肯定的程度。 总不确定度：
U UA2 UB2
精品课件
1) 总不确定度U的 A类分量 U A
——指用统计的方法计算出的不确定度分量
（直接测量）
4) 粗差的判定与剔除 当测量列的不确定度 U 3Sx时，待测量真值
的 仅为随0机.3误%，差因落此在（ ，3S x3称Sx为，3S测x）量这列个的区极间限以误外差的。概率
5）单次直接测量的误差估算：
单次测量中，A类不确定度为零， B类不确定度只 考虑仪器误差：
合成不确定度 ： U 仪
（2）方法误差。由于实验方法本身或理论不完善 所造成的误差（如用伏安法测电阻时未计及电表的内阻）
大学物理实验不确定度
大学物理实验不确定度简介在大学物理实验中，测量是一个非常重要的工作。
然而，任何测量都会存在一定的不确定度。
不确定度是指测量结果与真实值之间的差异。
在进行物理实验时，我们通常关心的是测量结果的准确性和精确性。
准确性是指测量结果与真实值的接近程度，而精确性是指测量结果的稳定性和重复性。
为什么需要关注不确定度？了解和考虑不确定度对于科学实验的合理设计和数据分析至关重要。
准确的不确定度估计可以帮助实验者判断实验结果的可靠性，并评估实验偏差的可能原因。
不正确地估计不确定度可能导致错误的结论和误导性的数据分析，甚至对进一步的研究产生不良影响。
如何计算不确定度？在物理实验中，不确定度可以通过以下几种方式计算：1. 个别测量值的不确定度个别测量值的不确定度可以通过实验仪器的精度和分辨力来估计。
精度是指仪器测量结果的稳定性，而分辨力是指仪器能够分辨出来的最小变化量。
根据测量设备的精度和分辨力，我们可以对测量值的不确定度进行估计。
2. 多次测量的不确定度在大学物理实验中，我们通常会进行多次测量来提高测量结果的精确性。
多次测量的不确定度可以通过计算测量值的标准偏差来估计。
标准偏差是多次测量结果与其平均值之间的差异的度量。
标准偏差越小，表示测量结果的精确性越高。
3. 不确定度的合成在实验中，我们通常会有多个测量结果，并且每个测量结果都会有其个别的不确定度。
为了获得整个实验结果的不确定度，需要通过适当的方法将个别不确定度合成为一个总体不确定度。
合成不确定度的方法有很多种，例如加法合成法和乘法合成法等。
如何减小不确定度？在物理实验中，我们可以通过以下方法来减小不确定度：1. 提高实验仪器的精度和分辨力使用高精度的实验仪器可以减小个别测量值的不确定度。
精度更高的仪器可以提供更准确和精确的测量结果。
2. 增加测量次数多次测量可以减小多个测量结果的标准偏差。
通过进行多次测量并计算平均值，可以提高测量结果的准确性和精确性。
3. 注意仪器使用的环境条件在进行物理实验时，环境条件对测量结果的影响是不可忽视的。
大学物理实验不确定度
大学物理实验不确定度引言在进行大学物理实验时，我们经常会遇到一些测量数据需要进行分析和处理的情况。
然而，真实的物理量是由各种各样的测量误差和不确定度组成的。
因此，正确地评估和报告测量的不确定度对于得出准确的结果至关重要。
什么是不确定度不确定度是指测量结果与被测量物理量真值之间的差异度量。
它反映了测量结果的精确程度和可靠性。
测量不确定度由多种因素引起，如测量设备的精确度、实验条件的稳定性、人为误差等。
如何评估不确定度评估不确定度的方法可以分为两种：直接测量法和间接测量法。
直接测量法直接测量法是指直接对被测量物理量进行测量和记录。
在这种情况下，不确定度可以通过测量设备的精确度和重复测量来评估。
重复测量可以帮助我们确定测量结果的可靠性，进而评估不确定度的大小。
间接测量法间接测量法是指通过对几个相关的物理量进行测量，然后使用数学关系式计算所要测量的物理量。
在这种情况下，不确定度的评估需要考虑每个测量值的不确定度以及数学关系式的传递误差。
不确定度的类型不确定度可以分为两种类型：随机不确定度和系统不确定度。
随机不确定度随机不确定度是由于测量条件的变化或测量设备的随机误差引起的。
它可以通过重复测量获得一系列测量结果，并从中计算出平均值和标准偏差来评估。
系统不确定度系统不确定度是由于系统性误差或仪器固有误差引起的。
它通常不会在重复测量时得到纠正。
评估系统不确定度需要考虑实验装置的特性以及操作者的技术能力。
不确定度的表示方法表示不确定度的常见方法有两种：标准不确定度和扩展不确定度。
标准不确定度标准不确定度是测量结果不确定度的一种方法。
它表示为一个具有区间的数字，通常用测量结果的标准差表示。
标准不确定度给出了测量结果的范围，但无法确定具体的上下限。
扩展不确定度扩展不确定度是在标准不确定度的基础上，根据所选的置信度给出测量结果的范围。
它考虑了标准不确定度的不确定性，并通过乘以一系列修正因子来扩展结果。
不确定度的传递规则当使用数学关系式计算一个物理量时，我们需要考虑每个测量值的不确定度如何传递给最终结果。
大物实验不确定度分析(高教书苑)
25
合成标准不确定度 U uA2 uB2
P=0.68
U0.68 t u 0.68 A 2 uB2 = t u 0.68 A 2 k0.68 B /C 2
展伸不确定度
UP tPuA 2 kPB /C2
相同置信概率的不确定度才可 以按平方和来合成
高级教育
26
U0.68
0.650 1.000
0.683 1.000 1.183 1.064
0.900 1.650 1.559 1.675
0.950 1.960 1.645 1.901
0.955 2.000 1.654 1.929
0.990 2.580 1.715 2.204
0.997 3.000 1.727 2.315
高级教育
小球直径：12.345±0.006cm
[12.339,12.351] P=0.68
最大偏差：±0.018cm; P=1
高级教育
36
不确定度均分原理
在间接测量中，每个独立测量量的不
w | f | x | f | y | f | z
x
y
z
w | ln f | x | ln f | y | ln f | z
w x
y
z
标准不确定度：L=2.35±0.01(cm) 最大不确定度：L=2.35±0.05(cm)
高级教育
34
常用函数的最大不确定度算术合成公式
物理量的函数式
W x yz
g
单摆： T 2 l (1 1 sin2 ) A 1, 0
l
g4 2
A 1.0005, 5
绝热系统：补偿法
伏安法测电阻
内接法 Rx RA RV
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N的总不确定度△N :
N
(
f x
)2
2 x
(
f y
)2
2 y
( f z
)2
z
2
N的相对不确定度:
Er
N N
(
ln x
f
)2 2x
( ln y
f
)2 2y
(
ln z
f
)2 2z
常用的不确定度传递公式见P9
14
1、函数关系为加减的，先求总不确定度
有效数字的多少，往 往反映出测量时所用 的仪器
②当“0”不用作表示小数点位置时,即“0”在数 字中间或末尾时是有效数字. (1.35cm≠1.3500cm)
18
二 有效数字运算法则
1.可靠与可靠→可靠
2.可疑与
可靠 可疑
可疑
但进位是可靠的。
3.尾数的取舍原则：4舍6入5凑偶。5凑偶后使末位 为偶数。否则将5舍去。（不确定度的相关规定另 外说明）
M
D
H
Er
从而，求得
17
§2 有效数字及运算法则
一、有效数字
1．定义：若干位可靠数字加一位可疑数字构成。 例：6.35mA 3位； 102.50Kg 5位；
l=10.34cm 4位。
注意：①数字前面“0”不是有效数字 0.0436m 0.0000436km 4.36cm
①加减法
结果的有效字位数与诸数中绝对误差最大者的有效数 字的末位对齐。
例：6.35－1.7+5.003=9.6
19
②乘除法
结果的有效数字位数与诸数中有效数字位数最少者 相同。
例：6.02515 9.6 9.43
③乘方，开方
结果的有效数字位数与自变量的有效数字位数相同。
例：4.322 18.7
机 误 差
感官限制 本身不均匀性
* 随机误差的正态分布：
单峰性
性 质
有对界称性性
抵偿性lim
1
n n
n i1
Ni
0
测量值的置信概率：
x2
P p(x)dx
x1
3
其中：p（x）为概率密度。
取μ为n→∞时测量的平均值，σ为正态分布的 标准偏差，则有：
即： 取A＝Sx
(7)
若n不在此范围或要求更高，用 公式（6）
2. 总不确定度的B类分量△ B: ——指测量仪 器误差带来的不确定度。
8
（1） 对于单次测量：其B类不确定度△B＝△仪； (单次测量的ΔA=0)
（2）对于多次测量：为了简化教学，规定B类不确
定度：
B
1 3
仪
(8)
当△仪未知时，取仪器的最小分度值的一半为△仪。
4
（3）标准偏差Sx
定义： Sx
(xi x)2 n 1
Bessel公式 (3)
为n次测量的标准偏差。
5
二、测量结果的表示 1.用总不确定度表示
x xx
x
x与x
之间出现真切值可能性较大
x
2.用相对不确定度表示
Er
x x
100%
3.用百分偏差表示
B x x公 100% x公
大学物理实验
绪论
1
第一章 测量的不确定度和数据处理方法
§1 测量的不确定度
一 、测量与误差 1.直接测量与间接测量 2.测量误差 及误差的种类
仪器误差
（1）系统误差 理论误差方法误差
（有一定的规律） 条件误差 习惯误差
可通过一定的方法来减少或“消除”
2
（2）
随 条件微小差异
P p(x)dx 0.68
2
P p(x)dx 0.95 2
3.随机误差的估计：
(1) 算术平均值 对于有限次的n个等精度测量值
x1, x2 , x3, xn （2）每次测量的算术平均偏
x
1 n
n i 1
xi
差 (残差）
xi xi x
④对数
(1)自然对数的有效数字位数与真数的有效数字位 数相同。
需要注意的是：一些常用的长度测量仪器的仪器 不确定度由其测量范围决定，并不是其最小分度 值的1/2。（P30）
11
例：用千分尺分别测量铜棒的直径得到下列
数据：
直径 D (mm)
7.859 7.854 7.846
7.857
7.854
D
Di
S A
x
B2
1 3
仪2
0.005
0.000 0.005
3. 总不确定度的合成 遵循 “方一和一根” 的基本方法，
2A 2B9小：△A单次测量 直
0
接
测
量
多次测量 Sx
△B △仪
1 3 仪
2A 2B
△＝△仪
S
2 X
2仪
/3
10
例：用米尺测得金属棒的长度为35.68cm,则应将
结果表示为L=(35.68±0.05)cm.
直接将函数对各自变量求偏导，再代入公式（13）
例：N x y3
则 N x y3
N
x2
(3 y 2
)2
2 y
结果： N (x y3) N
15
2、函数关系为乘除的，先求相对不确定度
（1）将函数两边取对数，再对各自变量求偏导， 再代入公式（14）
(2)
求出N并由Er
6
三 直接测量总不确定度的估算和结果的表示 1. 总不确定度的A类分量△ A: ——指多次重 复测量用统计方法计算出的不确定度。 （1）单次测量 △ A=0
7
（2）多次测量
N趋于无穷时， 服从正态分布, 而进行有限次测量，一般服从t分布(学生分布)。
大学物理实验中n的次数一般不大于10次 , 在5＜n≤10时，作△A＝Sx近似，置信概率p为0.95 或更大。所以作为简化计算，可直接把Sx的值当 作测量结果的总不确定度的A类分量△A。
7.854 0.008 0.003
0.000006
0.000
D
0.006
结果
D (7.854 0.006)mm
12
四、 间接测量结果及不确定度的计算 设间接测量的函数关系式为： N＝f (x，y，z……)，
其中x，y，z为相互独立的直接测量量，N为 间接测量量 。
设x, y, z，的不确定度分别为△x、△y、△z， 它们必然影响间接测量结果，使N也有相应的 不确定度△N
N N
求得 N Er N
16
例：
4M D 2 H
已知：M M M , D D D H H H
Ln Ln 4 LnM 2LnD LnH
对各直接测量量偏导：
1 ; 2; 1 M DH
而
4M
2
DH
Er
(M )2 (2 D )2 (H )2