复杂度-线性时间选择算法复杂度分析

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算法的时间复杂度和空间复杂度-总结分析

算法的时间复杂度和空间复杂度-总结通常，对于一个给定的算法，我们要做两项分析。

第一是从数学上证明算法的正确性，这一步主要用到形式化证明的方法及相关推理模式，如循环不变式、数学归纳法等。

而在证明算法是正确的基础上，第二部就是分析算法的时间复杂度。

算法的时间复杂度反映了程序执行时间随输入规模增长而增长的量级，在很大程度上能很好反映出算法的优劣与否。

因此，作为程序员，掌握基本的算法时间复杂度分析方法是很有必要的。

算法执行时间需通过依据该算法编制的程序在计算机上运行时所消耗的时间来度量。

而度量一个程序的执行时间通常有两种方法。

一、事后统计的方法这种方法可行，但不是一个好的方法。

该方法有两个缺陷：一是要想对设计的算法的运行性能进行评测，必须先依据算法编制相应的程序并实际运行；二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素，有时容易掩盖算法本身的优势。

二、事前分析估算的方法因事后统计方法更多的依赖于计算机的硬件、软件等环境因素，有时容易掩盖算法本身的优劣。

因此人们常常采用事前分析估算的方法。

在编写程序前，依据统计方法对算法进行估算。

一个用高级语言编写的程序在计算机上运行时所消耗的时间取决于下列因素：(1). 算法采用的策略、方法；(2). 编译产生的代码质量；(3). 问题的输入规模；(4). 机器执行指令的速度。

一个算法是由控制结构（顺序、分支和循环3种）和原操作（指固有数据类型的操作）构成的，则算法时间取决于两者的综合效果。

为了便于比较同一个问题的不同算法，通常的做法是，从算法中选取一种对于所研究的问题（或算法类型）来说是基本操作的原操作，以该基本操作的重复执行的次数作为算法的时间量度。

1、时间复杂度（1）时间频度一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。

但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。

并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。

常用算法时间复杂度

常用算法时间复杂度在计算机科学领域中，算法是解决问题的一种方法。

算法的好坏不仅与其解决问题的准确性相关，而且和其所需的时间和空间复杂度也有关。

时间复杂度是度量算法执行所需时间的数量级，通常用大O符号表示，因此也被称为大O复杂度。

下面介绍一些常用算法的时间复杂度。

1. 常数时间复杂度（O(1)）此类算法与输入规模大小无关，执行时间始终相同。

例如，访问数组的某个元素，可以通过索引直接访问，不需要循环遍历整个数组。

2. 线性时间复杂度（O(n)）此类算法的执行时间与输入规模成线性关系。

例如，遍历一个数组，需要循环访问每个元素一次，时间复杂度为O(n)。

3. 对数时间复杂度（O(logn)）此类算法的执行时间与输入规模成对数关系。

例如，二分查找算法，每次执行都能将待查找元素的搜索区间缩小一半，因此时间复杂度为O(logn)。

4. 平方时间复杂度（O(n^2)）此类算法的执行时间与输入规模的平方成正比。

例如，嵌套循环遍历二维数组，需要执行n*n次操作，时间复杂度为O(n^2)。

5. 立方时间复杂度（O(n^3)）此类算法的执行时间与输入规模的立方成正比。

例如，嵌套循环遍历三维数组，需要执行n*n*n次操作，时间复杂度为O(n^3)。

6. 指数时间复杂度（O(2^n)）此类算法的执行时间随着输入规模的增加呈指数级增长。

例如，求解某些NP问题（非确定性多项式问题）的暴力搜索算法，时间复杂度为O(2^n)。

7. 阶乘时间复杂度（O(n!)）此类算法的执行时间随着输入规模的增加呈阶乘级增长。

例如，通过枚举法求解某些问题，每次需要执行n!次操作，时间复杂度为O(n!)。

在实际应用中，时间复杂度是衡量算法效率的重要指标，因此开发人员需要在设计时考虑时间复杂度优化问题。

如果算法复杂度较高，可能会导致程序执行时间过长，甚至无法正常运行。

因此，开发人员需要根据具体情况来选择合适的算法，以达到更好的性能要求。

时间复杂度分析及常用算法复杂度排名

时间复杂度分析及常用算法复杂度排名随着计算机技术的不断发展，人们对于算法的效率也提出了更高的要求。

好的算法可以大大地提高程序的运行效率，而坏的算法则会导致程序运行缓慢，浪费更多的时间和资源。

因此，在实际的开发中，需要对算法的效率进行评估和分析。

其中，时间复杂度是评估算法效率的重要指标之一，接下来就让我们来探讨一下时间复杂度分析及常用算法复杂度排名。

一、时间复杂度时间复杂度，简称时间复杂度，是指在算法中用来衡量算法运行时间大小的量。

通常情况下，时间复杂度用 O(n) 来表示，其中n 表示输入数据规模的大小。

由于常数系数和低次项不会对时间复杂度的大致表示产生影响，因此，时间复杂度的精确算法往往会被简化为最高次项的时间复杂度，即 O(n)。

二、时间复杂度的分析时间复杂度可以通过算法中的循环次数来分析。

一般来说，算法中的循环分为两种情况：一种是 for 循环，一种是 while 循环。

因为 for 循环的循环次数一般是固定的，因此可以通过循环次数来估算时间复杂度；而 while 循环的循环次数取决于输入数据的大小，因此时间复杂度的分析需要基于输入数据的规模进行分析和推导。

三、时间复杂度的常见表示法在实际的算法分析中，常常用到以下几种时间复杂度表示法：常数阶 O(1)、对数阶 O(logn)、线性阶 O(n)、线性对数阶 O(nlogn)、平方阶 O(n^2)、立方阶 O(n^3)、指数阶 O(2^n) 等。

常数阶 O(1)：表示算法的时间不随着输入规模的增加而增加，即不论输入数据的大小，算法的运行时间都是固定的。

例如，最好的情况下，二分查找的时间复杂度即为 O(1)。

对数阶 O(logn)：表示算法的时间复杂度随着输入规模的增加而增加，但增长比较缓慢，即随着输入规模的每增加一倍，算法所需的运行时间大致增加一个常数。

例如，二分查找的时间复杂度即为 O(logn)。

线性阶 O(n)：表示算法的时间复杂度随着输入规模的增加而增加，增长速度与输入规模成线性比例关系。

算法基本知识点总结

算法基本知识点总结一、算法的基本概念1. 算法的定义算法是用来解决特定问题的有限步骤的有序集合。

算法是一种计算方法，可以描述为一系列清晰的步骤，用来解决特定问题或执行特定任务。

2. 算法的特性（1）有穷性：算法必须在有限的步骤内结束。

（2）确定性：对于相同输入，算法应该产生相同的输出。

（3）可行性：算法必须可行，即算法中的每一步都可以通过已知的计算机能力来执行。

3. 算法的设计目标（1）正确性：算法应该能够解决给定的问题。

（2）可读性：算法应该易于理解和解释。

（3）高效性：算法应该能在合理的时间内完成任务。

二、算法的复杂度分析1. 时间复杂度算法的时间复杂度表示算法执行所需的时间长度，通常用“大O记法”表示。

时间复杂度反映了算法的运行时间与输入规模之间的关系。

常见的时间复杂度包括：（1）O(1)：常数时间复杂度，表示算法的运行时间与输入规模无关。

（2）O(logn)：对数时间复杂度，表示算法的运行时间与输入规模的对数成正比。

（3）O(n)：线性时间复杂度，表示算法的运行时间与输入规模成正比。

（4）O(nlogn)：线性对数时间复杂度，表示算法的运行时间与输入规模和对数成正比。

（5）O(n^2)：平方时间复杂度，表示算法的运行时间与输入规模的平方成正比。

（6）O(2^n)：指数时间复杂度，表示算法的运行时间与输入规模的指数成正比。

2. 空间复杂度算法的空间复杂度表示算法执行所需的内存空间大小。

常见的空间复杂度包括：（1）O(1)：常数空间复杂度，表示算法的内存空间与输入规模无关。

（2）O(n)：线性空间复杂度，表示算法的内存空间与输入规模成正比。

三、常见的算法设计思想1. 贪心算法贪心算法是一种选取当前最优解来解决问题的算法。

贪心算法的核心思想是从问题的某一初始解出发，通过一系列的局部最优选择，找到全局最优解。

2. 动态规划动态规划是一种将原问题分解成子问题来求解的方法。

动态规划通常适用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。

如何计算时间复杂度和空间复杂度

如何计算时间复杂度和空间复杂度计算时间复杂度和空间复杂度是衡量算法效率的重要方法，可以通过对算法的代码进行分析和推算来得出。

时间复杂度描述了算法运行时间随输入规模增长而增长的趋势，通常用大O符号表示。

在计算时间复杂度时，我们需要关注算法中的循环、递归、条件分支等关键代码块。

以下是计算时间复杂度的一些常见方法：1.计算常数时间复杂度：如果一个算法的代码只包含固定数量的操作，不随输入规模变化，那么它的时间复杂度为O(1)。

例如，简单的赋值、比较和常量运算等操作。

2.计算线性时间复杂度：如果一个算法的代码中包含一个循环，该循环的迭代次数与输入规模n成正比，那么其时间复杂度为O(n)。

例如，遍历一个数组或者链表的操作。

3.计算平方时间复杂度：如果一个算法的代码中包含两个嵌套的循环，外层循环的迭代次数与输入规模n成正比，内层循环的迭代次数也与输入规模n成正比，那么其时间复杂度为O(n^2)。

例如，二重循环嵌套的矩阵操作。

4.计算指数时间复杂度：如果一个算法的代码中包含递归调用，且递归次数与输入规模n成正比，那么其时间复杂度可能是指数级别的，如O(2^n)。

例如，求解斐波那契数列的递归算法。

计算空间复杂度是用来衡量算法所需的额外存储空间随输入规模增长而增长的趋势。

以下是计算空间复杂度的一些常见方法：1.计算固定空间复杂度：如果一个算法的代码所需的额外存储空间不随输入规模变化，那么它的空间复杂度为O(1)。

例如，仅需要几个变量来存储中间计算结果的操作。

2.计算线性空间复杂度：如果一个算法的代码所需的额外存储空间随输入规模n成正比，那么它的空间复杂度为O(n)。

例如，需要创建一个数组或链表来存储输入数据的操作。

3.计算递归空间复杂度：如果一个算法中使用了递归调用，那么每个递归调用都需要创建一个新的函数调用栈帧，因此空间复杂度可能是O(n)，其中n是递归的深度。

例如，递归求解二叉树问题的操作。

在进行时间复杂度和空间复杂度的计算时，可以按照以下步骤进行：1.根据算法的代码，找出其中的关键代码块，例如循环、递归等。

时间的复杂度详解

时间的复杂度详解时间复杂度是衡量算法运行时间的一种度量方式，用大O符号（O）来表示。

它描述了算法所需的计算步骤数随问题规模的增长率。

在计算机科学中，时间复杂度主要关注的是算法在处理大规模问题时所需的时间。

为了更好地理解时间复杂度，我们需要先了解一些基本概念。

1.基本操作在算法中，基本操作是指运算的最小单位。

它们通常是赋值、比较、运算、访问数组元素等。

基本操作的数量是衡量算法运行时间的关键。

2.渐近表示法时间复杂度使用大O符号来表示，表示算法运行时间的上界。

例如，如果一个算法的时间复杂度为O(n)，意味着算法的运行时间最多是输入规模n的某个常数倍。

大O符号忽略了低阶项和常数项，只关注随问题规模增长最快的那一项。

下面我们来详细讨论几个常见的时间复杂度。

1.常数时间复杂度O(1)无论输入规模大小，常数时间复杂度的算法都具有固定的运行时间。

例如，访问数组元素或者执行一个赋值语句。

常数时间复杂度通常是最理想的情况，但在实际中很难实现。

2.线性时间复杂度O(n)线性时间复杂度表示随着输入规模n的增长，算法的运行时间也会线性增长。

例如，遍历一个数组或者链表中的所有元素。

每个元素都需要进行常数次的基本操作，所以总的时间复杂度为O(n)。

3.对数时间复杂度O(log n)对数时间复杂度通常出现在数据规模减半的情况下。

例如，在二分查找算法中，每次查找都可以将问题规模减半。

对数时间复杂度的算法是非常高效的，因为随着问题规模的增长，算法的运行时间只会以对数方式增长。

4.平方时间复杂度O(n^2)平方时间复杂度表示随着输入规模n的增长，算法的运行时间会呈平方级别增长。

例如，嵌套循环中的每次迭代都需要进行常数次的基本操作。

平方时间复杂度的算法常常效率较低，通常不适用于处理大规模问题。

5.指数时间复杂度O(2^n)指数时间复杂度表示随着输入规模n的增长，算法的运行时间呈指数级别增长。

例如，在TSP（旅行商问题）的暴力求解方法中，对于每个城市，旅行商都需要选择下一个未访问的城市，因此总的时间复杂度会呈指数级别增长。

简述衡量算法优劣的2个主要指标

衡量算法优劣的两个主要指标在计算机科学和数据分析领域，衡量算法优劣的指标是非常重要的。

选择正确的算法可以显著提高计算效率和准确性。

本文将介绍两个主要的衡量算法优劣的指标：时间复杂度和空间复杂度。

1. 时间复杂度时间复杂度是衡量算法执行时间随输入规模增长而增长的速率。

它用大O符号来表示，表示最坏情况下执行时间的上界。

常见的时间复杂度有：•常数时间复杂度 O(1)：无论输入规模如何变化，执行时间都保持不变。

•对数时间复杂度 O(log n)：随着输入规模呈指数级增长，执行时间以对数方式增加。

•线性时间复杂度 O(n)：随着输入规模线性增长，执行时间也线性增加。

•线性对数时间复杂度 O(n log n)：随着输入规模线性增长，但是增速比线性更快。

•平方级时间复杂度 O(n^2)：随着输入规模平方级增长，执行时间也平方级增加。

•指数级时间复杂度 O(2^n)：随着输入规模指数级增长，执行时间以指数方式增加。

衡量算法优劣时，我们通常关注最坏情况下的时间复杂度。

较低的时间复杂度意味着算法在处理大规模数据时更高效。

2. 空间复杂度空间复杂度是衡量算法所需内存随输入规模增长而增长的速率。

它也用大O符号来表示，表示最坏情况下所需内存的上界。

常见的空间复杂度有：•常数空间复杂度 O(1)：无论输入规模如何变化，所需内存保持不变。

•线性空间复杂度 O(n)：随着输入规模线性增长，所需内存也线性增加。

•平方级空间复杂度 O(n^2)：随着输入规模平方级增长，所需内存也平方级增加。

与时间复杂度类似，较低的空间复杂度意味着算法在处理大规模数据时更节省内存。

3. 时间复杂度和空间复杂度之间的平衡在选择算法时，我们需要根据具体问题和应用场景综合考虑时间复杂度和空间复杂度之间的平衡。

有些情况下，我们可能更关注执行时间，而有些情况下，我们可能更关注内存消耗。

•当处理大规模数据时，通常更关注时间复杂度。

选择具有较低时间复杂度的算法可以显著提高计算效率。

算法分析与复杂性理论

算法分析与复杂性理论算法是计算机科学中的重要概念，它是解决问题的一系列步骤或指令。

但是，并不是所有的算法都一样效率高，因此我们需要进行算法分析来评估算法的性能。

同时，复杂性理论则是用来研究算法在不同规模下的复杂性和可解性。

本文将深入探讨算法分析与复杂性理论的相关概念和方法。

一、算法分析算法分析是评估算法性能的过程，我们通常关注算法的时间复杂度和空间复杂度。

1. 时间复杂度时间复杂度表示算法解决问题所需的时间资源。

在进行时间复杂度分析时，一般会考虑最坏情况下的所需时间。

常见的时间复杂度有常数时间O(1)，线性时间O(n)，对数时间O(log n)，平方时间O(n^2)等。

2. 空间复杂度空间复杂度表示算法解决问题所需的空间资源。

与时间复杂度类似，我们通常考虑最坏情况下的所需空间。

常见的空间复杂度有常数空间O(1)，线性空间O(n)，对数空间O(log n)，平方空间O(n^2)等。

二、复杂性理论复杂性理论是研究算法在不同规模下的复杂性和可解性的学科领域。

1. NP问题NP（Nondeterministic Polynomial）问题是指可以在多项式时间内验证解答是否正确的问题。

这意味着如果我们能够在多项式时间内找到一个解答，那么我们也可以在多项式时间内验证该解答是否正确。

然而，尚未找到高效的算法来解决NP问题。

2. P问题P（Polynomial）问题是指可以在多项式时间内解决的问题。

也就是说，存在一个算法可以在多项式时间内找到问题的解答。

3. NP完全问题NP完全问题是指既属于NP问题，又属于最难的NP问题。

如果我们能够在多项式时间内找到一个解答，那么我们可以在多项式时间内解决所有的NP问题。

目前，还没有找到高效的算法来解决NP完全问题。

三、算法优化为了提高算法的效率，我们可以进行算法优化。

常用的算法优化方法包括贪心算法、动态规划、分治法等。

1. 贪心算法贪心算法是一种每次都选择当前最优解的策略。

算法设计与分析-线性时间选择

福州大学数学与计算机科学学院《计算机算法设计与分析》上机实验报告（1）(1)将所有的数n个以每5个划分为一组共组，将不足5个的那组忽略，然后用任意一种排序算法，因为只对5个数进行排序，所以任取一种排序法就可以了。

将每组中的元素排好序再分别取每组的中位数，得到个中位数。

(2)取这个中位数的中位数，如果是偶数，就找它的2个中位数中较大的一个作为划分基准。

(3)将全部的数划分为两个部分，小于基准的在左边，大于等于基准的放右边。

在这种情况下找出的基准x至少比个元素大。

因为在每一组中有2个元素小于本组的中位数，有个小于基准，中位数处于，即个中位数中又有个小于基准x。

因此至少有个元素小于基准x。

同理基准x也至少比个元素小。

而当n≥75时≥n/4所以按此基准划分所得的2个子数组的长度都至少缩短1/4。

通过上述说明可以证明将原问题分解为两个子问题进行求解能够更加节省求解时间。

3.查找中位数程序代码1.#include "stdafx.h"2.#include <ctime>3.#include <iostream>ing namespace std;5.6.template <class Type>7.void Swap(Type &x,Type &y);8.9.inline int Random(int x, int y);10.11.template <class Type>12.void BubbleSort(Type a[],int p,int r);13.14.template <class Type>15.int Partition(Type a[],int p,int r,Type x);16.17.template <class Type>18.Type Select(Type a[],int p,int r,int k);19.20.int main()21.{22.//初始化数组23.int a[200];24.25.//必须放在循环体外面26. srand((unsigned)time(0));27.28.for(int i=0; i<200; i++)29. {30. a[i] = Random(0,500);31. cout<<"a["<<i<<"]:"<<a[i]<<" ";32. }33. cout<<endl;34.35. cout<<"第100小的元素是"<<Select(a,0,199,100)<<endl;36.37.//重新排序，对比结果38. BubbleSort(a,0,199);39.40.for(int i=0; i<200; i++)41. {42. cout<<"a["<<i<<"]:"<<a[i]<<" ";43. }44. cout<<endl;45.}46.47.template <class Type>48.void Swap(Type &x,Type &y)49.{50. Type temp = x;51. x = y;52. y = temp;53.}54.55.inline int Random(int x, int y)56.{57.int ran_num = rand() % (y - x) + x;58.return ran_num;59.}60.61.//冒泡排序62.template <class Type>63.void BubbleSort(Type a[],int p,int r)64.{65.//记录一次遍历中是否有元素的交换66.bool exchange;67.for(int i=p; i<=r-1;i++)68. {69. exchange = false ;70.for(int j=i+1; j<=r; j++)71. {72.if(a[j]<a[j-1])73. {74. Swap(a[j],a[j-1]);75. exchange = true;76. }77. }78.//如果这次遍历没有元素的交换,那么排序结束79.if(false == exchange)80. {81.break ;82. }83. }84.}85.86.template <class Type>87.int Partition(Type a[],int p,int r,Type x)88.{89.int i = p-1,j = r + 1;90.91.while(true)92. {93.while(a[++i]<x && i<r);94.while(a[--j]>x);95.if(i>=j)96. {97.break;98. }99. Swap(a[i],a[j]);100. }101.return j;102.}103.104.105.template <class Type>106.Type Select(Type a[],int p,int r,int k)107.{108.if(r-p<75)109. {110. BubbleSort(a,p,r);111.return a[p+k-1];112. }113.//(r-p-4)/5相当于n-5114.for(int i=0; i<=(r-p-4)/5; i++)115. {116.//将元素每5个分成一组，分别排序，并将该组中位数与a[p+i]交换位置117.//使所有中位数都排列在数组最左侧，以便进一步查找中位数的中位数118. BubbleSort(a,p+5*i,p+5*i+4);119. Swap(a[p+5*i+2],a[p+i]);120. }121.//找中位数的中位数122. Type x = Select(a,p,p+(r-p-4)/5,(r-p-4)/10);123.int i = Partition(a,p,r,x);124.int j = i-p+1;125.if(k<=j)126. {127.return Select(a,p,i,k);128. }129.else130. {1.实验结果说明（找中位数结果截图）实验结果2.实验结果分析通过上面的结果图可以看出程序能够快速生成一个无序数组并找到第K小的元素。

计算机算法分析大学计算机基础知识时间复杂度

计算机算法分析大学计算机基础知识时间复杂度计算机算法分析是大学计算机基础知识中非常重要的一部分。

在进行算法分析时，我们需要关注算法的时间复杂度。

本文将为您解析时间复杂度的概念及其在计算机算法中的应用。

一、时间复杂度的定义时间复杂度是衡量算法执行时间的一种指标，用来描述在不同规模输入下算法的执行时间与输入规模的增长关系。

通常用大O符号表示，例如O(n)、O(n^2)等。

二、常见的时间复杂度1. 常数时间复杂度：O(1)常数时间复杂度表示无论输入规模的大小，算法的执行时间都是恒定的。

这是最理想的情况，例如简单的赋值语句或常数运算。

2. 线性时间复杂度：O(n)线性时间复杂度表示算法的执行时间随着输入规模的增长呈线性关系。

例如遍历一个数组或链表的操作，需要逐个处理其中的元素。

3. 对数时间复杂度：O(logn)对数时间复杂度表示算法的执行时间随着输入规模的增长呈对数关系。

例如二分查找算法，每次将输入规模缩小一半。

4. 平均时间复杂度：O(nlogn)平均时间复杂度表示在所有可能输入情况下的平均执行时间。

例如快速排序算法，在平均情况下的时间复杂度为O(nlogn)。

5. 最坏时间复杂度：O(n^2)最坏时间复杂度表示在最不利于算法执行的情况下，算法的执行时间将达到最高。

例如冒泡排序算法，在最坏情况下的时间复杂度为O(n^2)。

6. 指数时间复杂度：O(2^n)指数时间复杂度表示算法的执行时间随着输入规模的增长呈指数关系。

例如求解旅行商问题的穷举算法。

三、选择合适的算法与优化在分析算法的时间复杂度时，我们可以选择时间复杂度较低的算法。

例如，对于需要对大量数据排序的问题，选择快速排序而不是冒泡排序。

此外，我们可以通过算法的改进和优化来降低时间复杂度。

例如，在某些情况下，通过采用空间换时间的策略，我们可以将时间复杂度由O(n^2)优化为O(nlogn)。

四、算法分析的实际应用1. 算法性能评估通过分析算法的时间复杂度，我们可以对不同算法的性能进行评估和比较，以选择最适合的算法。

数据结构与算法（一）时间复杂度、空间复杂度计算

数据结构与算法（⼀）时间复杂度、空间复杂度计算⼀、时间复杂度计算1、时间复杂度的意义复杂度分析是整个算法学习的精髓，只要掌握了它，数据结构和算法的内容基本上就掌握了⼀半1. 测试结果⾮常依赖测试环境2. 测试结果受数据规模的影响很⼤所以，我们需要⼀个不⽤具体的测试数据来测试，就可以粗略地估计算法的执⾏效率的⽅法，即时间、空间复杂度分析⽅法。

2、⼤ O 复杂度表⽰法1)、可以将计算时间复杂度的⽅式和计算代码执⾏次数来进⾏类别int cal(int n) {int sum = 0;int i = 1;for (; i <= n; ++i) {sum = sum + i;}return sum;}第 2、3 ⾏代码分别需要 1 个 unit_time 的执⾏时间，第 4、5 ⾏都运⾏了 n 遍，所以需要 2n * unit_time 的执⾏时间，所以这段代码总的执⾏时间就是(2n+2) * unit_time。

可以看出来，所有代码的执⾏时间 T(n) 与每⾏代码的执⾏次数成正⽐。

2)、复杂⼀点的计算int cal(int n) { ----1int sum = 0; ----2int i = 1; ----3int j = 1; ----4for (; i <= n; ++i) { ----5j = 1; ----6for (; j <= n; ++j) { ----7sum = sum + i * j; ----8} ----9} ----10} ----11T(n) = (2n^2+2n+3)unit_timeT(n)=O(f(n))⼤ O 时间复杂度实际上并不具体表⽰代码真正的执⾏时间，⽽是表⽰代码执⾏时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度（asymptotic time complexity），简称时间复杂度2、时间复杂度计算法则1. 只关注循环执⾏次数最多的⼀段代码2. 加法法则：总复杂度等于量级最⼤的那段代码的复杂度如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么 T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n), g(n))).3. 乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(n2)3、常见的是时间复杂度复杂度量级（递增）排列公式常量阶O(1)对数阶O(logn)线性阶O(n)线性对数阶O(nlogn)平⽅阶、⽴⽅阶...K次⽅阶O(n2),O(n3),O(n^k)指数阶O(2^n)阶乘阶O(n!)①. O(1)：代码的执⾏时间和n没有关系，⼀般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万⾏的代码，其时间复杂度也是Ο(1)；②. O(logn)、O(nlogn)i=1;while (i <= n) {i = i * 2;}通过 2x=n 求解 x 这个问题我们想⾼中应该就学过了，我就不多说了。

线性时间选择算法

福州大学数学与计算机科学学院《计算机算法设计与分析》上机实验报告（1）图中箭头指向表示大的数值指向小的数值，所以根据图可以看出，在x的右边，每一个包含5个元素的组中至少有3个元素大于x，在x的左边，每一组中至少有3个元素小于x （保证x分割一边必定有元素存在）。

图中显示的中位数的中位数x的位置，每次选取x作为划分的好处是能够保证必定有一部分在x的一边。

所以算法最坏情况的递归公式可以写成：，使用替换法可以得出）（。

Tncn4、算法代码：#include <iostream>#include <ctime>using namespace std;template <class Type>void Swap(Type &x,Type &y);inline int Random(int x, int y);template <class Type>int Partition(Type a[],int p,int r);template<class Type>int RandomizedPartition(Type a[],int p,int r);template <class Type>Type RandomizedSelect(Type a[],int p,int r,int k);int main(){void SelectionSort(int a[]);int s;int a[2000];int b[2000];for(int i=0; i<2000; i++){a[i]=b[i]=rand()%10000;cout<<a[i]<<" ";}cout<<endl;SelectionSort(b);for(int j=0;j<2000;j++){printf("a[%d]:%d ",j+1,b[j]);}cout<<endl;printf("请输入要求的第几最小数：");scanf("%d",&s);cout<<RandomizedSelect(a,0,1999,s)<<endl; }template <class Type>void Swap(Type &x,Type &y){Type temp = x;x = y;y = temp;}inline int Random(int x, int y){srand((unsigned)time(0));int ran_num = rand() % (y - x) + x;return ran_num;}template <class Type>int Partition(Type a[],int p,int r){int i = p,j = r + 1;Type x = a[p];while(true){while(a[++i]<x && i<r);while(a[--j]>x);if(i>=j){break;}Swap(a[i],a[j]);}a[p] = a[j];a[j] = x;return j;}template<class Type>int RandomizedPartition(Type a[],int p,int r){int i = Random(p,r);Swap(a[i],a[p]);return Partition(a,p,r);}template <class Type>Type RandomizedSelect(Type a[],int p,int r,int k) {if(p == r){return a[p];}int i = RandomizedPartition(a,p,r);int j = i - p + 1;if(k <= j){return RandomizedSelect(a,p,i,k);}else{//由于已知道子数组a[p:i]中的元素均小于要找的第k小元素//因此，要找的a[p:r]中第k小元素是a[i+1:r]中第k-j小元素。

算法复杂度的计算方法

算法复杂度的计算方法算法复杂度的计算方法什么是算法复杂度算法复杂度是衡量一个算法执行效率的指标，常用来评估算法的时间和空间消耗情况。

它能够帮助我们选择更加高效的算法，在解决问题时更有效地利用计算资源。

时间复杂度常见的时间复杂度•O(1)：常数时间复杂度，表示算法的执行时间是固定的，不随问题规模的增加而变化。

例如，查找数组中某个元素的索引。

•O(logn)：对数时间复杂度，表示算法的执行时间随问题规模的增加而呈对数增长。

例如，二分查找算法。

•O(n)：线性时间复杂度，表示算法的执行时间随问题规模的增加而呈线性增长。

例如，遍历数组求和。

•O(n^2)：平方时间复杂度，表示算法的执行时间随问题规模的增加而呈平方增长。

例如，多次嵌套循环遍历二维数组。

•O(2^n)：指数时间复杂度，表示算法的执行时间随问题规模的增加而呈指数增长。

例如，解决旅行商问题的暴力穷举法。

如何计算时间复杂度通常情况下，通过分析算法中的循环次数或者递归调用次数，可以推导出算法的时间复杂度。

以下是一些常见的情况和计算方法：•单条语句执行：如果算法中只包含一条语句，那么它的时间复杂度为O(1)，即常数时间复杂度。

•顺序执行：如果算法中包含多条语句，并且按照顺序执行，那么算法的时间复杂度取决于耗时最长的那条语句的复杂度。

•循环语句：根据循环的次数和循环体内的代码复杂度，可以推导出循环语句的时间复杂度。

•递归调用：递归算法的时间复杂度和递归调用的次数以及每次调用的复杂度有关。

空间复杂度常见的空间复杂度•O(1)：常数空间复杂度，表示算法的额外空间消耗是固定的，不随问题规模的增加而变化。

•O(n)：线性空间复杂度，表示算法的额外空间消耗随问题规模的增加而线性增长。

•O(n^2)：平方空间复杂度，表示算法的额外空间消耗随问题规模的增加而平方增长。

•O(2^n)：指数空间复杂度，表示算法的额外空间消耗随问题规模的增加而指数增长。

如何计算空间复杂度空间复杂度的计算方法与时间复杂度类似，但要注意算法中需要额外使用的空间。

算法分析

算法分析算法分析是计算机科学中的一个重要领域，主要研究的是对算法进行评估、优化和推导的方法和技巧。

在计算机科学中，算法是一系列解决问题的指令或步骤，它们可以帮助我们解决各种复杂的计算问题。

算法分析的主要目的是了解算法的效率和性能，以便选择最优的算法来解决问题。

在进行算法分析时，我们通常关注算法的时间复杂度和空间复杂度。

时间复杂度是用来衡量算法执行时间的指标，它表示随着输入规模增加，算法执行所需的时间增长的速度。

常见的时间复杂度有常数时间复杂度O(1)、线性时间复杂度O(n)、对数时间复杂度O(log n)、平方时间复杂度O(n^2)等。

而空间复杂度则是用来衡量算法执行所需的额外空间的指标，通常以内存占用量来表示。

为了分析算法的时间复杂度和空间复杂度，我们可以使用大O符号来表示。

大O符号是一种渐近符号，表示算法的复杂度的上界。

例如，如果一个算法的时间复杂度是O(n)，那么它的执行时间不会超过一个与n成线性关系的常数倍。

通过分析算法的时间复杂度和空间复杂度，我们可以评估算法的效率，并选择适合的算法来解决问题。

在进行算法分析时，我们通常使用一些常见的技巧和方法。

例如，我们可以使用递归关系式来求解递归算法的时间复杂度。

递归关系式是一种递归定义的函数，描述了算法的执行次数与输入规模之间的关系。

通过求解递归关系式，我们可以得到算法的时间复杂度的一个上界。

另外，我们还可以使用渐进分析法来评估算法的时间复杂度。

渐进分析法是一种比较不同算法的复杂度的方法，它通过分析算法的增长率来判断算法的效率。

常见的渐进分析法有最坏情况分析和平均情况分析。

最坏情况分析是指在最坏的输入情况下算法的执行时间复杂度；而平均情况分析是指在平均输入情况下算法的执行时间复杂度。

除了时间复杂度和空间复杂度，我们还可以对算法进行其他方面的分析。

例如，我们可以对算法的稳定性进行分析。

算法的稳定性是指排序算法在排序相等元素时是否能够保持它们的相对顺序不变。

线性时间选择实验报告

一、实验目的本次实验旨在掌握线性时间选择算法的基本原理，通过实现该算法，解决在未排序数组中查找第k小的元素的问题，并分析算法的时间和空间复杂度。

二、实验环境1. 操作系统：Windows 102. 编程语言：C++3. 开发工具：Visual Studio 2019三、实验原理线性时间选择算法是一种高效的算法，能够在O(n)时间复杂度内找到未排序数组中第k小的元素。

该算法基于快速选择（Quickselect）算法，通过随机划分和递归的方式实现。

算法步骤如下：1. 随机选择一个元素作为基准（pivot）。

2. 将数组划分为两部分，小于基准的元素放在基准的左侧，大于基准的元素放在基准的右侧。

3. 根据k的值，判断第k小的元素在哪个子数组中：a. 如果k小于等于左子数组的长度，则在左子数组中递归查找第k小的元素。

b. 如果k大于左子数组的长度且小于左子数组的长度加1，则基准元素即为第k小的元素。

c. 如果k大于左子数组的长度加1，则在右子数组中递归查找第k小的元素。

4. 重复步骤1-3，直到找到第k小的元素。

四、实验过程1. 设计线性时间选择算法的C++实现。

2. 编写主函数，输入数组元素和k的值。

3. 调用线性时间选择算法函数，输出第k小的元素。

五、实验结果与分析1. 实验数据给定一个未排序的数组：2, 9, 11, 3, 14, 7, 10, 8, 15, 4, 13, 1, 6, 5, 12。

要求找到第k小的元素，其中k的值为8。

2. 实验结果通过线性时间选择算法，找到第8小的元素为7。

3. 算法复杂度分析- 时间复杂度：平均情况下，线性时间选择算法的时间复杂度为O(n)，最坏情况下为O(n^2)。

但在实际应用中，通过随机化选择基准，可以保证算法的时间复杂度接近O(n)。

- 空间复杂度：线性时间选择算法的空间复杂度为O(1)，因为它在原数组上进行操作，不需要额外的存储空间。

六、实验总结本次实验成功实现了线性时间选择算法，并验证了其在实际应用中的高效性。

时间复杂度的计算方法

时间复杂度的计算方法时间复杂度是算法效率的一种度量，它表示随着问题规模的增大，算法的运行时间的增长率。

在计算机科学中，我们常常需要分析算法的时间复杂度，以便选择最优的算法来解决问题。

本文将介绍时间复杂度的计算方法，帮助读者更好地理解和分析算法的效率。

首先，我们需要了解时间复杂度的概念。

时间复杂度通常用大O符号（O(n)）来表示，其中n代表输入规模。

它描述了算法的运行时间与输入规模之间的关系，即算法的时间消耗随着输入规模的增大而增大的趋势。

时间复杂度越低，算法的效率越高。

接下来，我们来看一些常见的时间复杂度计算方法。

首先是常数时间复杂度O(1)，它表示算法的运行时间与输入规模无关，即无论输入规模大小，算法的运行时间都保持不变。

例如，对一个数组进行索引操作就是常数时间复杂度的算法。

其次是线性时间复杂度O(n)，它表示算法的运行时间与输入规模成线性关系，即随着输入规模的增大，算法的运行时间呈现线性增长趋势。

例如，对一个包含n个元素的数组进行遍历操作就是线性时间复杂度的算法。

再次是对数时间复杂度O(log n)，它表示算法的运行时间与输入规模的对数成正比关系，即算法的运行时间随着输入规模的增大而增长，但增长速度较慢。

例如，二分查找算法就是对数时间复杂度的算法。

另外还有平方时间复杂度O(n^2)、立方时间复杂度O(n^3)等，它们分别表示算法的运行时间与输入规模的平方、立方成正比关系。

这些时间复杂度通常出现在嵌套循环的算法中。

在实际分析算法时间复杂度时，我们通常采用以下几种方法：1. 直接计算法，根据算法中的基本操作数量，直接计算出算法的时间复杂度。

2. 递归法，对递归算法进行递归树分析，得出算法的时间复杂度。

3. 主定理法，主定理是分析递归算法时间复杂度的重要工具，能够快速得出递归算法的时间复杂度。

4. 循环展开法，对循环结构进行展开，得出算法的时间复杂度。

5. 估算法，通过估算算法中基本操作的执行次数，得出算法的时间复杂度的上界或下界。

时间复杂度名词解释

时间复杂度名词解释时间复杂度是一种衡量一个程序运行时间长短的量度，也是衡量算法的最终效率的指标。

在算法分析中，时间复杂度是以多项式时间来描述算法的执行时间与输入规模之间的增长比例，它可以用来评估算法的效率和优劣。

换句话说，时间复杂度是一个描述算法运行时间随输入数据规模n的变化情况的函数。

时间复杂度可以分为三种基本的概念：线性时间(O(n))、方时间(O(n2))和立方时间(O(n3))。

线性时间是最常见的时间复杂度，大部分的算法中都存在经典的O(n)时间复杂度，比如冒泡排序和插入排序，它们的时间复杂度都是线性的，即与输入规模n成正比。

它们的运行时间是线性的，可用公式 T(n)=an+b表示，其中ab是常数，n是输入规模。

平方时间是比较常见的时间复杂度，很多算法都具有O(n2)时间复杂度，比如选择排序，其时间复杂度是平方时间，可用公式T(n)=an2+bn+c表示，其中a，b和c都是常数，n是输入规模。

立方时间也是一种较为常见的时间复杂度，有些算法的时间复杂度就达到了立方时间。

像归并排序等算法运行时间是O(n3)，可用公式T(n)=an3+bn2+cn+d表示，其中a，b，c和d都是常数，n是输入规模。

这三种基本的概念是时间复杂度的基础，但是也有更高级的时间复杂度如O(nlogn)、O(n!)等。

O(nlogn)时间复杂度是比较高级的，它是由组合算法和分治算法得出的，比如快速排序和归并排序，它们的运行时间都是O(nlogn)，可用T(n)=anlogn+bn2+cn+d来表示，其中a，b，c和d都是常数，n 是输入规模。

O(n!)时间复杂度是最高级别的时间复杂度，它表示运行时间随着输入数据规模n的增大而指数级增长。

它是由搜索问题和动态规划算法得出的，比如汉诺塔问题，其运行时间是O(2n)，可用T(n)=an!+bn+c来表示，其中a，b和c都是常数，n是输入规模。

总之，时间复杂度是衡量算法效率优劣的重要指标，熟知其相关概念对于深入研究算法非常重要。

复杂度的量级分类

复杂度的量级分类复杂度的量级分类复杂度是算法分析中的一个重要概念，它用来描述算法运行时间或空间资源的需求。

通常情况下，我们使用“大 O 记号”（Big O Notation）来表示一个算法的复杂度。

在计算机科学中，我们将算法的复杂度分为不同的量级，以便于比较和评估不同算法之间的性能差异。

一、常数时间复杂度常数时间复杂度（O(1)）指算法执行所需时间不随输入规模增加而增加。

例如，给定两个整数 a 和 b，计算它们的和 a+b 的时间复杂度是O(1)，因为无论 a 和 b 的值如何变化，计算它们的和所需时间都是相同的。

二、线性时间复杂度线性时间复杂度（O(n)）指算法执行所需时间随输入规模n 线性增长。

例如，在一个长度为 n 的数组中查找某个元素是否存在需要遍历整个数组，因此其时间复杂度是 O(n)。

三、对数时间复杂度对数时间复杂度（O(log n)）指算法执行所需时间随输入规模 n 增加而增长但增长速率逐渐减慢。

例如，在一个有序数组中查找某个元素是否存在可以使用二分查找算法，其时间复杂度是 O(log n)。

四、平方时间复杂度平方时间复杂度（O(n^2)）指算法执行所需时间随输入规模 n 的平方增长。

例如，在一个长度为 n 的数组中进行冒泡排序需要进行 n^2 次比较和交换操作，因此其时间复杂度是 O(n^2)。

五、指数时间复杂度指数时间复杂度（O(2^n)）指算法执行所需时间随输入规模 n 指数级增长。

例如，在一个长度为 n 的集合中求其所有子集需要枚举所有可能的组合，因此其时间复杂度是 O(2^n)。

六、多项式时间复杂度多项式时间复杂度（O(n^k)）指算法执行所需时间随输入规模 n 的 k 次幂增长。

例如，在一个长度为 n 的矩阵中进行矩阵乘法需要进行n^3 次乘法和加法操作，因此其时间复杂度是 O(n^3)。

七、指数级别的递归调用在某些情况下，递归调用会导致指数级别的运行时间。

例如，在斐波那契数列中，递归计算第n 个斐波那契数会导致指数级别的运行时间。

算法时间复杂度曲线

算法时间复杂度曲线算法的时间复杂度曲线描述了算法所需的运行时间随着输入规模的增大而变化的关系。

常见的时间复杂度曲线有以下几种：1. O(1)：常数时间复杂度，表示算法的运行时间不会随着输入规模的增加而变化。

例如，数组中获取某个元素的时间复杂度就是O(1)，因为可以直接通过索引获取。

2. O(logn)：对数时间复杂度，表示算法的运行时间随着输入规模的增加而以对数的方式增长。

例如，二分查找算法的时间复杂度就是O(logn)，因为每次查找都可以将搜索空间减半。

3. O(n)：线性时间复杂度，表示算法的运行时间随着输入规模的增加呈线性增长。

例如，线性搜索算法的时间复杂度就是O(n)，因为需要遍历整个数组来查找目标元素。

4. O(nlogn)：线性对数时间复杂度，表示算法的运行时间随着输入规模的增加而以nlogn的方式增长。

例如，快速排序算法的时间复杂度就是O(nlogn)，因为分区和递归操作都需要n次，而每次操作的元素数量是logn。

5. O(n^2)：平方时间复杂度，表示算法的运行时间随着输入规模的增加呈平方增长。

例如，冒泡排序算法的时间复杂度就是O(n^2)，因为需要比较n次并进行n次交换。

6. O(2^n)：指数时间复杂度，表示算法的运行时间随着输入规模的增加呈指数增长。

例如，求解全排列问题的暴力穷举算法的时间复杂度就是O(2^n)，因为在每个位置上都有两种选择。

以上只是常见的时间复杂度曲线，实际上还有更多的时间复杂度曲线，例如O(n!)、O(n^n)等。

不同的时间复杂度曲线描述了不同算法的运行效率，我们可以根据输入规模和算法的时间复杂度来选择最合适的算法。