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高等数学A-第1章-8-7(函数连续性)
lim f [ ( x)] f (a) f [ lim ( x)].
x x0
x x0
当函数连续时，极限符号与函数符号可以交换位置。
定理4 （连续函数的复合函数是连续函数）
设函数 u g( x) 在点 x x0连续, 且 g( x0 ) u0 , 而函数 y f (u) 在点u u0 连续, 则复合函数 y f [g( x)]在点 x x0也连续.
x x0
(2)对于区间的左端点只要右连续则称为连续； 对于区间的右端点只要左连续则称为连续.
4.函数在区间上的连续性
在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续. 如果函数在开区间(a,b)内连续, 并且在左端点 x a处右连续, 在右端点x b处左连续, 则称 函数 f ( x)在闭区间[a,b]上连续.
解： f ( x) 1 在x 0处没有意义, x
x 0为f ( x)的间断点.
又 lim f ( x) lim 1 ,
x0
x0 x
这时称x=0为f(x)的无穷间断点.
例6.设f ( x) sin 1 ,讨论x 0处的连续性. x
解: f ( x) sin 1 在x 0处没有意义, x
可见，f(x)在x0处连续必须满足三个条件：
(1) f ( x0 )有定义 (2) lim f ( x)存在
x x0
(3) lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
3.左右连续定义
若函数f ( x)在(a, x0 ]内有定义, 且f ( x0 0) f ( x0 ), 则称f ( x)在点x0处左连续;
0, 0, 使当 u a 时,
恒有 f (u) f (a) 成立.
无穷级数 函数项级数 幂级数收敛半径
s ( x ) u 1 ( x ) u 2 ( x ) u n ( x ) (定义域是?)
函数项级数的部分和 sn ( x), ln i m sn(x)s(x) 余项 r n (x ) s (x ) s n (x ) ln i m rn(x)0
(x在收敛域上)
4. 标准幂级数收敛半径、收敛域的求法
定理2 如 果 幂 级 数anxn的 所 有 系 数 an0,
n0
设 li a n m 1 n a n
则 (1) 当0时,R1;
(2) 当0时,R ;
( 3 ) 当 时 , R 0 .
证 (1)若liman1 (0)
幂级数的收敛域包括幂级数的收敛区间及端点情况.
(R,R),[R,R), (R,R], [R,R]. 规定 (1 )幂 级 数 只 在 x 0 处 收 敛 ,R0,
收 敛 域 为 {0 };
(2)幂 级 数 对 一 切 x都 收 敛 ,R, 收 敛 域 (, ) .
问题 如何求幂级数的收敛半径?
n 0
当 x x 0 1 即 x x 01 时 , a n (x x 0 )n 发 ; 散 n 0
再讨 xx 论 01时 ,n 0an(xx0)n的敛散性.
一般幂级数收敛域的求法习例
例 3 求n1(x2n1n)n的收敛.域
例 4
当 x1时 ,n l i m sn(x)不存 . 在
xn收敛11于 x,
当x1时 .
n0 发散 ,
当x1时
2. 阿贝尔(Abel)定理
(1)如果级数 anxn在xx0(x00)处收敛,则
n0
它在满足不等式xx0的一切 x 处绝对收敛;
函数项级数的部分和 sn ( x), ln i m sn(x)s(x) 余项 r n (x ) s (x ) s n (x ) ln i m rn(x)0
(x在收敛域上)
4. 标准幂级数收敛半径、收敛域的求法
定理2 如 果 幂 级 数anxn的 所 有 系 数 an0,
n0
设 li a n m 1 n a n
则 (1) 当0时,R1;
(2) 当0时,R ;
( 3 ) 当 时 , R 0 .
证 (1)若liman1 (0)
幂级数的收敛域包括幂级数的收敛区间及端点情况.
(R,R),[R,R), (R,R], [R,R]. 规定 (1 )幂 级 数 只 在 x 0 处 收 敛 ,R0,
收 敛 域 为 {0 };
(2)幂 级 数 对 一 切 x都 收 敛 ,R, 收 敛 域 (, ) .
问题 如何求幂级数的收敛半径?
n 0
当 x x 0 1 即 x x 01 时 , a n (x x 0 )n 发 ; 散 n 0
再讨 xx 论 01时 ,n 0an(xx0)n的敛散性.
一般幂级数收敛域的求法习例
例 3 求n1(x2n1n)n的收敛.域
例 4
当 x1时 ,n l i m sn(x)不存 . 在
xn收敛11于 x,
当x1时 .
n0 发散 ,
当x1时
2. 阿贝尔(Abel)定理
(1)如果级数 anxn在xx0(x00)处收敛,则
n0
它在满足不等式xx0的一切 x 处绝对收敛;
第8章 常微分方程—8-2(齐次、一阶线性)
dv y 1 v 2 dy
x 令v , y
dx dv v y dy dy
积分得 故有
故反射镜面为旋转抛物面.
ln ( v 1 v 2 ) ln y ln C 2 y 2y v y 2 2 1 ( v ) 1 v 2 C C C 得 y 2 2 C ( x C ) (抛物线) 2
2 2
dy 2 求方程 ( 4 x y 1 ) 的通解。 例８ dx 解 令u 4 x y 1, 则u 4 y, y u 4, du 2 原方程可化为 u 4 u , 即 4 u2 . dx 分离变量并积分得 du 1 u dx u2 4 2 arctan 2 x C1
当c c1 0时,
2.解法
令x X h, （其中h和k是待定的常数） y Y k， dx dX , dy dY
dY aX bY ah bk c f( ) dX a1 X b1Y a1h b1k c1
可化为齐次的方程
ah bk c 0, a1h b1k c1 0, a b (1) 0, 有唯一一组解. a1 b1
u 2 tan(2 x C ) , (C 2C1 )
而u 4 x y 1, 故原方程通解为
4 x y 1 2 tan(2 x C ) .
代回原方程, 得齐次方程的解 y u0 x.
例 1 求解微分方程
y y ( x y cos )dx x cos dy 0. x x
例2 解微分方程
例 3 求解微分方程
dx dy 2 . 2 2 x xy y 2 y xy
例 ４ 求方程
3.高阶导数 隐函数求导法则
f ( k ) ( x ) n( n 1)( n 2) ( n k 1) x n k ,
f ( n1) ( x ) n(n 1)( n 2)2 x,
f ( n ) ( x ) n( n 1)( n 2)2 1 n!, f ( n 1 ) ( x ) 0,
x ( n)
(e x ) ( n ) e x
(4) ( x )( n) ( 1)( n 1) x n
(5) (ln(1 x))
(n)
(1)
n 1
(n 1)! (1 x)n
1 (5). 1 x
(n)
n! (1) . n 1 (1 x)
( n)
公式(2)称为Leibniz(莱布尼兹)公式.
(uv) u v uv
(uv) (u v uv) u v 2 u v uv (uv) u v 3uv 3uv uv
注意: 求高阶导数的方法可归纳为三种 方法1(直接法): 即利用高阶导数的定义，再由不完全归 纳法得出结论. 方法2(间接法): 即利用已知的高阶导数公式, 通过四则 运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数. 方法3: 即利用高阶导数的运算法则来得结论.
d 2 y d dy d (dy) d 2 y 2. 记号与求导过程: 2 dx dx dxdx dx dx
类似地，y=f(x)的二阶导数的导数叫做三阶导数. 记为
d3y f ( x ), y, 3 . dx
y=f(x)的三阶导数的导数叫做四阶导数. 记为 4 d y (4) (4) f ( x ), y , 4 . dx
例9
设 y x 2 e 2 x , 求y ( 20) .
f ( n1) ( x ) n(n 1)( n 2)2 x,
f ( n ) ( x ) n( n 1)( n 2)2 1 n!, f ( n 1 ) ( x ) 0,
x ( n)
(e x ) ( n ) e x
(4) ( x )( n) ( 1)( n 1) x n
(5) (ln(1 x))
(n)
(1)
n 1
(n 1)! (1 x)n
1 (5). 1 x
(n)
n! (1) . n 1 (1 x)
( n)
公式(2)称为Leibniz(莱布尼兹)公式.
(uv) u v uv
(uv) (u v uv) u v 2 u v uv (uv) u v 3uv 3uv uv
注意: 求高阶导数的方法可归纳为三种 方法1(直接法): 即利用高阶导数的定义，再由不完全归 纳法得出结论. 方法2(间接法): 即利用已知的高阶导数公式, 通过四则 运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数. 方法3: 即利用高阶导数的运算法则来得结论.
d 2 y d dy d (dy) d 2 y 2. 记号与求导过程: 2 dx dx dxdx dx dx
类似地，y=f(x)的二阶导数的导数叫做三阶导数. 记为
d3y f ( x ), y, 3 . dx
y=f(x)的三阶导数的导数叫做四阶导数. 记为 4 d y (4) (4) f ( x ), y , 4 . dx
例9
设 y x 2 e 2 x , 求y ( 20) .
4.对数求导法 参数方程的求导法则
例4.设y ( x 2 1)sin x , 求y.
解: ln y sin x ln( x 2 1),
d d (ln y ) [sin x ln( x 2 1)], dx dx
1 2x 2 y cos x ln( x 1) sin x 2 , y x 1
dy t dy . d t dx ( t 1 )( 1 cos y ) dx dt
2 t x cos y 0 d y 例8.设 ,求 2 . x dx x te 1 0
解:
因为 x 和 y 都是关于 t 的可微函数, 则
dx dy 1 sin y 0 dt dt dx e x te x dx 0 dt dt
2.1.12 参数方程确定函数的导数
分段函数的求导法 内容小结 课堂思考与练习
一、对数求导法
方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的
求导方法求出导数.
适用范围: 多个函数相乘和幂指函 数 u( x )
v( x )
v( x)
的情形.
dy 设 y u( x ) , 求 . dx 解: 首先, 两边取对数 ln y v( x ) ln u( x ),
高等数学A
第2章 一元函数微分学
2.1 导数及微分
2.1.11 对数求导法 2.1.12 参数方程所确定的函数的导数
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2.1 导数及微分
对数求导法
2.1.11 对数求导法
对数求导法习例1-5 参数方程确定函 数的导数 参数方程确定函数 的导数习例6-9
导 数 及 微 分
例2.设 y x sin x ( x 0), 求y.
高等数学A-第2章-11-4(对数求导法 参数方程的求导法则)
t x cos y 0 d 2 y 例7.设 ,求 2 . x dx x te 1 0
解:
因为 x 和 y 都是关于 t 的可微函数, 则
dx dy 1 sin y 0 dt dt dx e x te x dx 0 dt dt
当 x x0时, H ( x ) g( x ) 当 x x0时,
H ( x ) H ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) ( x0 ) lim H lim , x x0 x x0 x x0 x x0 H ( x ) H ( x0 ) g( x ) f ( x0 ) ( x0 ) lim H lim , x x0 x x0 x x0 x x0
y ( x 1)
2 sin x
2 x sin x cos x ln( x 1) 2 . x 1
2
例5.设y 5
x5
5
x 2
2
, 求y .
1 1 , 2 ln y ln( x 5 ) ln( x 2 ) 解: 5 5
三、由参数方程确定的函数的求导法则
dy a. y f ( x ) f ( x) x ( t ) dx 1. y (t ) b. F ( x , y ) 0 dy f ( x ) dx
2.问题: 消参困难或无法消参时如何求导?
x (t ) 定理: 设 确定了 y为 x的函数, y (t )
x ( t ) 和 y ( t ) 可导, 且 ( t ) 0,
dy ( t ) 则 . dx ( t )
第4章无穷级数3-8(函数项级数 幂级数收敛半径)
n 0
x 处绝对收敛; 它在满足不等式 x x 0 的一切
(2) 如果级数 a n x n 在 x x 0 处发散,则它在满
n 0
足不等式 x x 0 的一切x 处发散.
证
an x0 0, (1) an x0 收敛, lim n
n
n
n 0
M , 使得 an x0 M
1
时, an ( x x0 ) n绝对收敛;
n 0
时, an ( x x0 ) n发散;
n 0
再讨论x x0 时, an ( x x0 ) n的敛散性可得所求 .
n 0
一般幂级数收敛域的求法---例题
( x 1) n 的收敛域. 例 3 求 n n 1 2 n
3. 收敛半径与收敛域 4. 标准幂级数收敛半径的求法 5. 一般幂级数收敛域的求法
注解
演练例题
例题
内容小结与思考
4.3.1 函数项级数
1.定义
设 u1 ( x ), u2 ( x ), , un ( x ), 是定义在I R 上的 函数,则 un ( x ) u1 ( x ) u2 ( x ) un ( x )
当 x 1时, lim sn ( x )不存在.
n
讨论 x n的敛散性.
n 0
n
( x 1)
1 , 当 x 1时 n 收敛于 x . 1 x n 0 当 x 1时 发散,
4.3.2 幂级数及其收敛性
2. 阿贝尔(Abel)定理
(1) 如果级数 a n x n 在 x x 0 ( x 0 0) 处收敛,则
x 处绝对收敛; 它在满足不等式 x x 0 的一切
(2) 如果级数 a n x n 在 x x 0 处发散,则它在满
n 0
足不等式 x x 0 的一切x 处发散.
证
an x0 0, (1) an x0 收敛, lim n
n
n
n 0
M , 使得 an x0 M
1
时, an ( x x0 ) n绝对收敛;
n 0
时, an ( x x0 ) n发散;
n 0
再讨论x x0 时, an ( x x0 ) n的敛散性可得所求 .
n 0
一般幂级数收敛域的求法---例题
( x 1) n 的收敛域. 例 3 求 n n 1 2 n
3. 收敛半径与收敛域 4. 标准幂级数收敛半径的求法 5. 一般幂级数收敛域的求法
注解
演练例题
例题
内容小结与思考
4.3.1 函数项级数
1.定义
设 u1 ( x ), u2 ( x ), , un ( x ), 是定义在I R 上的 函数,则 un ( x ) u1 ( x ) u2 ( x ) un ( x )
当 x 1时, lim sn ( x )不存在.
n
讨论 x n的敛散性.
n 0
n
( x 1)
1 , 当 x 1时 n 收敛于 x . 1 x n 0 当 x 1时 发散,
4.3.2 幂级数及其收敛性
2. 阿贝尔(Abel)定理
(1) 如果级数 a n x n 在 x x 0 ( x 0 0) 处收敛,则
第6章多元函数微分学4-10(方向导数 梯度)
X 沿 l 趋向于X0 . 另外比值 的分母大于0. 如图 y
l X = (x0+x, y0+y) y
f (X ) f (X0) || X 0 X ||
o
x X0=(x0, y0)
x
2.若 z = f (X) = f (x, y)在 X0 = (x0, y0)处偏导存在. 则在 X0 处沿 x 轴正向的方向导数, (此时, y 0, x 0),
由于l的单位方向向量为e = (cos, cos ), 从而 l 的参数式方程为 x = x0 + tcos y = y0 + tcos
t >0
或 (x, y) = (x0, y0) + t (cos , cos ), 即 X = X0+ te
且 || X 0 X || || X X 0 || || te || t
表示在 (x0, y0)处沿 y 轴负方向的变化率.
但在许多实际问题中, 常需知道 f (X)在 X0 沿任何方向的变化率. 比如, 设 f (X)表示某物 体内部点 X 处的温度. 那么, 这个物体的热传导 就依赖于温度沿各方向下降的速度. 因此有必要引进 f (X)在 X0 沿一给定方向 的方向导数.
f ( X 0 ) f ( X 0 ) cos cos x y
特别:
f f • 当 l 与 x 轴同向 0 , 时, 有 2 l x f f • 当 l 与 x 轴反向 , 时, 有 l x 2
4. 推广 公式可推广到三元函数中去.
z = f ( x, y)
x0
o
X0
T2
y
x
即 f 'y (x0, y0) 表示 x = x0 与 z = f (x, y)
l X = (x0+x, y0+y) y
f (X ) f (X0) || X 0 X ||
o
x X0=(x0, y0)
x
2.若 z = f (X) = f (x, y)在 X0 = (x0, y0)处偏导存在. 则在 X0 处沿 x 轴正向的方向导数, (此时, y 0, x 0),
由于l的单位方向向量为e = (cos, cos ), 从而 l 的参数式方程为 x = x0 + tcos y = y0 + tcos
t >0
或 (x, y) = (x0, y0) + t (cos , cos ), 即 X = X0+ te
且 || X 0 X || || X X 0 || || te || t
表示在 (x0, y0)处沿 y 轴负方向的变化率.
但在许多实际问题中, 常需知道 f (X)在 X0 沿任何方向的变化率. 比如, 设 f (X)表示某物 体内部点 X 处的温度. 那么, 这个物体的热传导 就依赖于温度沿各方向下降的速度. 因此有必要引进 f (X)在 X0 沿一给定方向 的方向导数.
f ( X 0 ) f ( X 0 ) cos cos x y
特别:
f f • 当 l 与 x 轴同向 0 , 时, 有 2 l x f f • 当 l 与 x 轴反向 , 时, 有 l x 2
4. 推广 公式可推广到三元函数中去.
z = f ( x, y)
x0
o
X0
T2
y
x
即 f 'y (x0, y0) 表示 x = x0 与 z = f (x, y)
第一换元积分法与第二换元积分法
例2 计算
3
1 dx. 2x
解
3
1 2
dx x
1 2
3
1 2
x
(3
2x
)dx
1 2
3
1 2x
d
(
3
2
x)
32 xu
1 2
1du u
1 ln u C 2
1 ln 3 2x C. 2
例3 计算
x(1
1 2
ln
dx. x)
解
Hale Waihona Puke x(11 2ln
dx x)
1
1 2 ln
d x
(ln
x)
1 2
1
1 2 ln
d x
(1
2
ln
x
)
u 1 2ln x
1 2
1 du u
1 ln u 2
C
1 ln1 2
2 ln
x
C.
例4 计算
(1
x x
)3
dx
.
解
(1
x x
)3
dx
x 11 (1 x)3 dx
x a
1 arctan a
x C. a
作为公式
练习题
x
2
1 8x
dx. 25
练习题
1
x
2
高等数学A-第5章-6-4(5.4 平面与空间直线(2))
例 2 求过点 M (2,1,3)且与直线 x 1 y 1 z 3 2 1
垂直相交的直线方程.
例 1 求过点(3, 2,5)且与两平面 x 4z 3和
2x y 5z 1的交线平行的直线方程.
解 设所求直线的方向向量为 s {m, n, p},
根据题意知 s n1 ,
MN {2 2,13 1, 3 3} { 12 , 6 , 24},
77 7
77 7
所求直线方程为 x 2 y 1 z 3 . 2 1 4
解2.
设直线方程为 x 2 y 1 z 3,
mn p
由于与已知直线垂直相交得,
3m 2n p 0
高等数学A
第5章 空间解析几何
5.4 平面与空间直线
5.4.6 两直线的夹角 5.4.7 直线与平面的夹角 5.4.8 平面束
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5.4 平面与空间直线
两直线的夹角 习例1-2
直线与平面的夹角及习例3
平
补充内容1---点到直线的距离
面 与
空间直线及其方程
补充内容2---异面直线的距离
z z0 pt
代入Ax By Cz D 0得t, 从而可得交点.
例 3 设直线 L : x 1 y z 1，平面 2 1 2
: x y 2z 3，求直线与平面的夹角. 解 n {1,1, 2}, s {2,1, 2},
sin
3( x 2) 2( y 1) (z 3) 0
再求已知直线与该平面的交点N,
令 x1 y1 z t 3 2 1
x 3t 1
垂直相交的直线方程.
例 1 求过点(3, 2,5)且与两平面 x 4z 3和
2x y 5z 1的交线平行的直线方程.
解 设所求直线的方向向量为 s {m, n, p},
根据题意知 s n1 ,
MN {2 2,13 1, 3 3} { 12 , 6 , 24},
77 7
77 7
所求直线方程为 x 2 y 1 z 3 . 2 1 4
解2.
设直线方程为 x 2 y 1 z 3,
mn p
由于与已知直线垂直相交得,
3m 2n p 0
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第5章 空间解析几何
5.4 平面与空间直线
5.4.6 两直线的夹角 5.4.7 直线与平面的夹角 5.4.8 平面束
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5.4 平面与空间直线
两直线的夹角 习例1-2
直线与平面的夹角及习例3
平
补充内容1---点到直线的距离
面 与
空间直线及其方程
补充内容2---异面直线的距离
z z0 pt
代入Ax By Cz D 0得t, 从而可得交点.
例 3 设直线 L : x 1 y z 1，平面 2 1 2
: x y 2z 3，求直线与平面的夹角. 解 n {1,1, 2}, s {2,1, 2},
sin
3( x 2) 2( y 1) (z 3) 0
再求已知直线与该平面的交点N,
令 x1 y1 z t 3 2 1
x 3t 1
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高等数学 A
第1章 函数与极限1.来自 函数及其性质1.1.1 集合的概念 1.1.2 集合的运算 1.1.3 区间与邻域 1.1.4 函数的映射 1.1.5 函数的概念 1.1.6 函数的特性 1.1.7 反函数与复合函数 1.1.8 函数的四则运算 1.1.9 初等函数
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i1
i1
设A, B是两个非空集合,且x A, y B,则称有次序的一对元素 x, y为一个序偶,记作(x, y). 由集合A, B中所有元素作成的序偶 构成的集合,称为A与B的直积或Cartesian乘积,记作A B,即
A B {(x, y) | x A, y B}
例如, R R {(x, y) | x R, y R}表示整个坐标平面, 记作R2,即R2 R R {(x, y) | x R, y R}.
练习:A {1, 2}, B {1, 2,3},求A B.
1.1.3 区间与邻域
区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a,b R,且a b. {x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
oa
b
x
{x a x b} 称为闭区间, 记作[a,b]
数集{x x x0 }称为点x0的邻域 ,
点x0叫做这邻域的中心 ,
叫做这邻域的半径 .
x0
x0
x0 x
U(x0, ) {x x0 x x0 }.
点x0的去心的 邻域,记作U (x0 , )
U (x0, ) {x 0 x x0 }.
x0
x0
x0 x
邻域引入的作用:根据(>0)的变化,刻画
变量x逼近常量x0 (即x x0 )的程度.
第1章 函数与极限1.来自 函数及其性质1.1.1 集合的概念 1.1.2 集合的运算 1.1.3 区间与邻域 1.1.4 函数的映射 1.1.5 函数的概念 1.1.6 函数的特性 1.1.7 反函数与复合函数 1.1.8 函数的四则运算 1.1.9 初等函数
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i1
i1
设A, B是两个非空集合,且x A, y B,则称有次序的一对元素 x, y为一个序偶,记作(x, y). 由集合A, B中所有元素作成的序偶 构成的集合,称为A与B的直积或Cartesian乘积,记作A B,即
A B {(x, y) | x A, y B}
例如, R R {(x, y) | x R, y R}表示整个坐标平面, 记作R2,即R2 R R {(x, y) | x R, y R}.
练习:A {1, 2}, B {1, 2,3},求A B.
1.1.3 区间与邻域
区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a,b R,且a b. {x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
oa
b
x
{x a x b} 称为闭区间, 记作[a,b]
数集{x x x0 }称为点x0的邻域 ,
点x0叫做这邻域的中心 ,
叫做这邻域的半径 .
x0
x0
x0 x
U(x0, ) {x x0 x x0 }.
点x0的去心的 邻域,记作U (x0 , )
U (x0, ) {x 0 x x0 }.
x0
x0
x0 x
邻域引入的作用:根据(>0)的变化,刻画
变量x逼近常量x0 (即x x0 )的程度.
极限的四则运算
x3 x2 2
lim
x x2
x 1
1 x
2 x3
0
1
0,
lim x x 2 2 x
.
目录 上一页 下一页 退 出
B[ f (x)
A]
A[g( x ) B ]
g( x ) B
Bg ( x )
B g( x )
f ( x ) A A g( x ) B
g( x )
B g( x )
因 l i m g x ， B对于0正数 ， x x0
使B 得当1 0 时， 0 x x0 1
2
有 g x B,所 以B 2
u u0
则 lim f [ g ( x )] A lim f ( u ).
x x0
u u0
证:
当
时, 有
对上述
当
时, 有
取
则当
时
故
因此①式成立.
此定理表明： 若f (u )与g ( x )满足定理的条件
则可作代换 u g ( x )把求 lim f [ g ( x )]转化为
xx0
lim f (u ), 这里u0 lim g ( x—) —极限过程的转化
x x0
x x0
1 0, 当0
x x0
1时, 有
f (x)
A
,
2
2 0, 当0 x x 0 2时, 有 g ( x ) B ,
2
取 min{ 1 , 2 }, 当 0 x x 0 时,
[ f (x)
g ( x )] ( A
B)
.
22
lim [ f ( x ) g ( x )] A B .
由极限运算法则可知：
lim
x x2
x 1
1 x
2 x3
0
1
0,
lim x x 2 2 x
.
目录 上一页 下一页 退 出
B[ f (x)
A]
A[g( x ) B ]
g( x ) B
Bg ( x )
B g( x )
f ( x ) A A g( x ) B
g( x )
B g( x )
因 l i m g x ， B对于0正数 ， x x0
使B 得当1 0 时， 0 x x0 1
2
有 g x B,所 以B 2
u u0
则 lim f [ g ( x )] A lim f ( u ).
x x0
u u0
证:
当
时, 有
对上述
当
时, 有
取
则当
时
故
因此①式成立.
此定理表明： 若f (u )与g ( x )满足定理的条件
则可作代换 u g ( x )把求 lim f [ g ( x )]转化为
xx0
lim f (u ), 这里u0 lim g ( x—) —极限过程的转化
x x0
x x0
1 0, 当0
x x0
1时, 有
f (x)
A
,
2
2 0, 当0 x x 0 2时, 有 g ( x ) B ,
2
取 min{ 1 , 2 }, 当 0 x x 0 时,
[ f (x)
g ( x )] ( A
B)
.
22
lim [ f ( x ) g ( x )] A B .
由极限运算法则可知：
高等数学A第6章多元函数微分学9-10(多元函数的极值 条件极值—拉格朗日乘数法则).
函数 z 3x2 4 y2
在 (0,0) 处有极小值．
(1)
函数 z x2 y2
(2)
在 (0,0) 处有极大值．
函数 z xy
在 (0,0) 处无极值．
(3)
2.极值存在的必要条件和充分条件 定理1（极值存在的必要条件） 设z f ( x, y)在( x0 , y0 )具有偏导数, 且在( x0 , y0 )取得 极值,则fx ( x0 , y0 ) 0, fy ( x0 , y0 ) 0. 证 设z f ( x, y)在( x0 , y0 )取得极小值,
Q(h, k)
1 A
[(
Ah
2
2ABhk
B2k 2 )
( AC
B2)k2]
1A[(Ah Bk)2 ) ( AC B2 ) k 2 ]
可见 , 当A 0 时,Q(h, k) 0, 从而△z＞0 , 因此 f (x, y)
在点 (x0, y0 ) 有极小值 ;
当A 0 时,Q(h, k) 0, 从而 △z＜0, 因此 f (x, y) 在点
则称z f ( x, y)在P0 ( x0 , y0 )有极大值 或极小值f ( x0, y0 ).
极大值与极小值统称为极值. P0 ( x0 , y0 )为极值点.
若引进点函数, 则 当f (P ) f ( P0 )时, f (P0 )为极大值; 当f ( P ) f ( P0 )时, f ( P0 )为极小值.
＋
所以， f(x,y) 没有极值.
－
二、多元函数的最值问题
1.多元函数的最值问题
(1) 闭区域上的连续函数一定有最大值和最小值: 将函数 f (x,y) 在D内的所有驻点处的函数值与在D 的边界上的函数值相互比较，其中最大的就是最 大值，最小的就是最小值.
第章无穷级数-(函数项级数幂级数收敛半径)
当y 2时, 可得n1n1发散,
当y
2时,
可得
(
n1
1)n收敛. n
2 y 2, 从而 2 x 1 2 1 x 3
收敛域为[1,3).
方 由比值法得，
法
二
lim un1 n un
lim
n
( x 1)n1 2n1(n 1)
(
2n x
n 1)
n
x 1 ,
2
当 x 1 1即 1 x 3时,原幂级数绝对收敛; 2
当 x 1 1即x 1或x 3时,原幂级数发散;
当x
2
3时,
原幂级数成为
1,
发散,
n1n
当x
1时, 原幂级数成为
(
收敛域为[1,3).
n1
1)n n
(1)计算 lim an1 ;
n an
(2)由的值得R 1 ;
(3)由数项级数判定x R时 an xn的敛散性得收
n0
敛域[R, R]或[R, R)或(R, R]或(R, R).
标准幂级数收敛域的求法习例
例 2 求下列幂级数的收敛半径和收敛域
（1）
形如
an xn a0 a1x an xn
n0
的函数项级数称为幂级数的标准形式.
an xn a0 a1 x an xn
(1)
n0
an ( x x0 )n a0 a1( x x0 ) an ( x x0 )n
n0
幂级数与函数
s( x ) ln( 3 x ) ln 3,
x [3,3).
例 2 求 nx
n 1
n 1
的收敛域与和函数, 并求
n
n 1
n 1 2
.
解
an1 n1 (1) lim lim 1, R 1. n an n n
当x 1时, 原幂级数成为 n, 发散;
n( n 1) 例 4 求 的和. n 2 n 1
方法: 通过恒等变形或遂项求导或遂项求积把原级 数化为可求和的级数(等比级数).
x x2 x3 xn 例1 求 的和函数. 2 3 n 1 3 2 3 3 3 n 3 an1 n3 n 1 解 lim lim , R 3. n 1 n an n ( n 1) 3 3 1 当x 3时, 原幂级数成为 , 发散; n 1 n ( 1) n 当x 3时, 原幂级数成为 , 收敛. n1 n 收敛域为[3, 3).
1 1 1 1 1 例4 讨论级数 1 的敛散性 . 3 4 5 6 2 如果收敛，说明是条件收敛还是绝对收敛 .
2. 求幂级数的收敛半径与收敛域
3. 求幂级数的和函数 4. 求数项级数的和
例1 判断级数敛散性 :
n 1( n
n
n
1 n
1 n ) n
;
ln( n 2) 例2 判断级数敛散性 : (a 0). 1 n 1 ( a ) n n
( 1)n 例3 判断级数 是否收敛？如果收敛， n 1n ln n 是条件收敛还是绝对收敛？
( 1)n 是交错 级数, 由莱布尼茨定理： n1 n ln n 1 1 lim lim n 0, ln n n n ln n n 1 n
x [3,3).
例 2 求 nx
n 1
n 1
的收敛域与和函数, 并求
n
n 1
n 1 2
.
解
an1 n1 (1) lim lim 1, R 1. n an n n
当x 1时, 原幂级数成为 n, 发散;
n( n 1) 例 4 求 的和. n 2 n 1
方法: 通过恒等变形或遂项求导或遂项求积把原级 数化为可求和的级数(等比级数).
x x2 x3 xn 例1 求 的和函数. 2 3 n 1 3 2 3 3 3 n 3 an1 n3 n 1 解 lim lim , R 3. n 1 n an n ( n 1) 3 3 1 当x 3时, 原幂级数成为 , 发散; n 1 n ( 1) n 当x 3时, 原幂级数成为 , 收敛. n1 n 收敛域为[3, 3).
1 1 1 1 1 例4 讨论级数 1 的敛散性 . 3 4 5 6 2 如果收敛，说明是条件收敛还是绝对收敛 .
2. 求幂级数的收敛半径与收敛域
3. 求幂级数的和函数 4. 求数项级数的和
例1 判断级数敛散性 :
n 1( n
n
n
1 n
1 n ) n
;
ln( n 2) 例2 判断级数敛散性 : (a 0). 1 n 1 ( a ) n n
( 1)n 例3 判断级数 是否收敛？如果收敛， n 1n ln n 是条件收敛还是绝对收敛？
( 1)n 是交错 级数, 由莱布尼茨定理： n1 n ln n 1 1 lim lim n 0, ln n n n ln n n 1 n
高等数学A第6章多元函数微分学8-10(曲线的切线与法平面 曲面的切平面及法线)
x x0 Fx ( M ) y y0 Fy ( M ) z z0 Fz ( M ) 0
也可表为
Gx (M ) G y (M ) Gz (M )
曲线方程为一般方程的求切线方程和法平面方程习例
例4 求曲线x y z 6, x y z 0, 在 (1,2,1)处的切线及法平面 .
为 r (t) 的矢端曲线, 而在 t0 处的导向量 就是该点的切向量.
r (t0 ) ( (t0 ) , (t0 ) , (t0 ))
曲线方程为参数方程的求切线方程和法平面方程习例
x x 例2 求曲线 y ( x )在( x0 , y0 , z0 )处的切线与法平面 . z ( x)
n
M0
T
该曲线在M0的切向量为 T { ( t0 ), ( t0 ), ( t0 )}
又F [ ( t ), ( t ), ( t )] 0,
则Fx ( t0 ) Fy ( t0 ) Fz ( t0 ) 0.
即Fx , Fy , Fz ( t0 ), ( t0 ), ( t0 ) 0, n { Fx , Fy , Fz }与切向量T垂直, n即为切平面的法向量.
空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限 位置. 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法 平面.
M
T
点击图中任意点动画开始或暂停
1. 曲线方程为参数方程的情况
T M
设 t t0 对应M ( x0 , y0 , z0 )
t t0 t 对应 M ( x0 x, y0 y, z0 z )
y y0 z z0 切线方程为 x x0 , ( x0 ) ( x0 )
也可表为
Gx (M ) G y (M ) Gz (M )
曲线方程为一般方程的求切线方程和法平面方程习例
例4 求曲线x y z 6, x y z 0, 在 (1,2,1)处的切线及法平面 .
为 r (t) 的矢端曲线, 而在 t0 处的导向量 就是该点的切向量.
r (t0 ) ( (t0 ) , (t0 ) , (t0 ))
曲线方程为参数方程的求切线方程和法平面方程习例
x x 例2 求曲线 y ( x )在( x0 , y0 , z0 )处的切线与法平面 . z ( x)
n
M0
T
该曲线在M0的切向量为 T { ( t0 ), ( t0 ), ( t0 )}
又F [ ( t ), ( t ), ( t )] 0,
则Fx ( t0 ) Fy ( t0 ) Fz ( t0 ) 0.
即Fx , Fy , Fz ( t0 ), ( t0 ), ( t0 ) 0, n { Fx , Fy , Fz }与切向量T垂直, n即为切平面的法向量.
空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限 位置. 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法 平面.
M
T
点击图中任意点动画开始或暂停
1. 曲线方程为参数方程的情况
T M
设 t t0 对应M ( x0 , y0 , z0 )
t t0 t 对应 M ( x0 x, y0 y, z0 z )
y y0 z z0 切线方程为 x x0 , ( x0 ) ( x0 )
第4章无穷级数3-7(函数项级数 幂级数收敛半径)
对一切x , an x n绝对收敛. R .
n 0
an1 ( 3)若 lim , n an un1 an1 则 lim lim x ( x 0) n un n an
则 lim un 0, 故 an x n发散. R 0. 定理证毕.
(2) 幂级数对一切x 都收敛,R ,
收敛域( , ).
问题
如何求幂级数的收敛半径?
4. 标准幂级数收敛半径、收敛域的求法
n a x 如果幂级数 定理2 n 的所有系数a n 0 , n 0
a n1 设 lim n a n
1 则 (1) 当 0 时, R ; (2) 当 0 时, R ;
当 x 1时, lim sn ( x )不存在.
n
1 , 当 x 1时 n 收敛于 x . 1 x n 0 当 x 1时 发散,
2. 阿贝尔(Abel)定理
(1) 如果级数 a n x n 在 x x 0 ( x 0 0) 处收敛,则
n 0
函数项级数的部分和 s n ( x ), lim sn ( x ) s( x ) 余项 rn ( x ) s( x ) sn ( x )
lim rn ( x ) 0
n
n
(x在收敛域上)
注意: (1) 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数 项级数的收敛问题.
( 2)
n 1
n
1 a n 1 lim 0, 解 lim n n 1 n a n
R ,
收敛域( , ).
5. 一般幂级数收敛域的求法
对于 an ( x x0 )n有两种方法求其收敛域.
n 0
an1 ( 3)若 lim , n an un1 an1 则 lim lim x ( x 0) n un n an
则 lim un 0, 故 an x n发散. R 0. 定理证毕.
(2) 幂级数对一切x 都收敛,R ,
收敛域( , ).
问题
如何求幂级数的收敛半径?
4. 标准幂级数收敛半径、收敛域的求法
n a x 如果幂级数 定理2 n 的所有系数a n 0 , n 0
a n1 设 lim n a n
1 则 (1) 当 0 时, R ; (2) 当 0 时, R ;
当 x 1时, lim sn ( x )不存在.
n
1 , 当 x 1时 n 收敛于 x . 1 x n 0 当 x 1时 发散,
2. 阿贝尔(Abel)定理
(1) 如果级数 a n x n 在 x x 0 ( x 0 0) 处收敛,则
n 0
函数项级数的部分和 s n ( x ), lim sn ( x ) s( x ) 余项 rn ( x ) s( x ) sn ( x )
lim rn ( x ) 0
n
n
(x在收敛域上)
注意: (1) 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数 项级数的收敛问题.
( 2)
n 1
n
1 a n 1 lim 0, 解 lim n n 1 n a n
R ,
收敛域( , ).
5. 一般幂级数收敛域的求法
对于 an ( x x0 )n有两种方法求其收敛域.
一元函数积分(定积分的几何应用)
(3,9).
选x为积分变量, x [2, 3] x [2, 0], dA1 ( x3 6x x2 )dx
x [0,3], dA2 ( x2 x3 6x)dx
A
0 (x3 2
6x
x2 )dx
3(x2 0
x3
6x)dx
253 . 12
例2 计算由曲线 y2 2x 和直线 y x 4 所围成的
y f1( x)
b
x
A( x) f22( x) f12( x)
dV [ f22( x) f12( x)]dx
V ab [ f22( x) f12( x)]dx.
计算立体体积习例
2
2
2
例8 求星形线 x 3 y 3 a 3 (a 0)绕 x 轴旋转
构成旋转体的体积.
例9
求椭圆
例11 求由曲线 y 4 x2及 y 0所围成的图形绕 直线 x 3旋转构成旋转体的体积.
取积分变量为y , y [0,4]
解 体积元素为 dV [PM 2 QM 2 ]dy
P
dy Q
M
[(3 4 y)2 (3 4 y)2]dy
3
12 4 ydy,
4
V 120 4 ydy 64.
(1)求总体量, 先求部分量(以不变代变). (2)对部分量求和取极限.
若所求量U须满足条件：
(1) U是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量.
(2) U对于区间[a,b]具有可加性, 就是说, 如果把区间 [a,b]分成许多部分区间, 则U相应地分成许多部 分量, 而U等于所有部分量之和.
(3)部分量Ui的近似值可表示为f (i )xi .
例3
求椭圆 x2 a2
选x为积分变量, x [2, 3] x [2, 0], dA1 ( x3 6x x2 )dx
x [0,3], dA2 ( x2 x3 6x)dx
A
0 (x3 2
6x
x2 )dx
3(x2 0
x3
6x)dx
253 . 12
例2 计算由曲线 y2 2x 和直线 y x 4 所围成的
y f1( x)
b
x
A( x) f22( x) f12( x)
dV [ f22( x) f12( x)]dx
V ab [ f22( x) f12( x)]dx.
计算立体体积习例
2
2
2
例8 求星形线 x 3 y 3 a 3 (a 0)绕 x 轴旋转
构成旋转体的体积.
例9
求椭圆
例11 求由曲线 y 4 x2及 y 0所围成的图形绕 直线 x 3旋转构成旋转体的体积.
取积分变量为y , y [0,4]
解 体积元素为 dV [PM 2 QM 2 ]dy
P
dy Q
M
[(3 4 y)2 (3 4 y)2]dy
3
12 4 ydy,
4
V 120 4 ydy 64.
(1)求总体量, 先求部分量(以不变代变). (2)对部分量求和取极限.
若所求量U须满足条件：
(1) U是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量.
(2) U对于区间[a,b]具有可加性, 就是说, 如果把区间 [a,b]分成许多部分区间, 则U相应地分成许多部 分量, 而U等于所有部分量之和.
(3)部分量Ui的近似值可表示为f (i )xi .
例3
求椭圆 x2 a2
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证明: x 1, 不妨设 x 1 1, 得 0 x 2 但 x 1.
f (x) A x3 1 3 x2 x 2 x 2 x 1 x 1 ( x 2) x 1 4 x 1
0, 要使 f ( x) A ,
只要 4 x 1 , 即 x 1 ,
取
0,X 0,使当 x X时,恒有 f ( x) A .
lim f (x) A x
自变量趋于无穷大时函数的极限举例:
例1. 证明 lim sin x 0. x x
例2. 证明 lim 1 0
x x
例3. 证明 lim cos x 0
x x
例1. 证明 lim sin x 0. x x
证明： 设 lim f ( x) A,
x x0
对于 1,
0 ,当x U( x~0, )时,有
f (x) A
1,
故 f (x) f (x) A A f (x) A A 1 A M
3. 函数极限的局部保号性
定理 3 （局部保号性）
若 lim f ( x) A, 且 A 0(或 A 0), 则 0,
2
取 2 ,
当 0 x 0 时, 则有 cos x 1 .
lim cos x 1.
x0
函数单侧极限
函数单侧极限的描述定义
从 x0 的左侧( x x0 )趋于x0时函数的极限称为左极限.
记为
f ( x0
0)
lim
x x0
f (x)
从 x0 的右侧( x x0 )趋于x0时函数的极限称为右极限.
lim f ( x) A
x x0
或 f ( x) A(当x x0时)
注意: (1) 依赖于 ，但不是由 唯一确定，
如取 可以,则取 , 等也可以.
2
34
(2)函数极限与f ( x)在点x0是否有定义无关.
函数极限 lim f ( x) A 的几何解释
x x0
当0 x x0 时有 f ( x) A 成立,
(3)x可正可负且x , 记为x
与函从数数y列 1{xn(}x:x(n0,1n )) x
的图形可以看出:
lim 1 0, lim 1 0.
n n
x x
y
y1
x
O
1
2
xn
1 n
3
n
x
如何描述它？
回忆数列{xn} :
xn
1 n
极限的定义：
0, 若 N 0, 使当n N 时, 有 | xn a |
即要使 f ( x) A 必须有 x x0 , 说明 随着 的指定而确定，有时也记为().
定义2 函数极限的精确定义,即 ( )定义
设f(x)在x0的某去心邻域内有定义，A是一个确定的常数.
若 0, 0,当0 x x0 时有 f ( x) A 成立,
则称A是当x x0时f ( x)的极限.记为
则称A是f ( x)当x 时的极限.记为
lim f ( x) A
x
或 f ( x) A(当x 时)
结论：
lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A
x
x
x
现在从整体上来看这个图形 , 你有什么想法?
y
y f (x)
y a
ya
你能否由此得出 一个极限的定义
f (x) A
x
x0
x x0 x x0 ,
x x0
x0
0, 要使 f ( x) A ,
只要 x x0 ,
x0
取 min x0 , x0,
当 0 x x0 时, 则有
即 x x0 x0 , x x0 .
lim x x0 .
x x0
例7. 证明 lim x3 1 3. x1 x 1
y
y f (x)
A
A
A
o x0 x0 x0
x
当x在x0的去心邻域时,函数y f ( x)图形完全落在以 直线y A为中心线,宽为2的带形区域内.
显然,找到一个后, 越小越好.
用定义验证函数极限的步骤：
(1)通过计算或估计得
(有时要事先给出某个限制不等式 x x0 1)
f ( x) A g( x x0 ) 是 x x0 的简单函数式
(2) 0, 要使 f ( x) A ,
只要 g( x x0 ) , 解得 x x0 ( ),
取 ( ) 或 min ( ),1.
当 0 x x0 时,有 f ( x) A .
(3)得出结论.
用定义验证函数极限习例4-8
例4. 证明 lim(2x 1) 5.
x2
例5. 证明 lim x2 4 4. x2 x 2
例6.
证明 :当x0
0时, lim x x0
x
x0 .
例7. 证明 lim x3 1 3. x1 x 1
例8. 证明 lim cos x 1.
x0
例4. 证明 lim(2x 1) 5.
x2
证明: f ( x) A 2x 1 5 2 x 2,
例9
设函数
f
x
0, x
x 1,
0, x 0.
证明极限
lim
x0
f
x
不存在.
证明:
容易证明当
x0
时，f x 的左极限
lim
x0
f x lim x 1 1 x0
而右极限 lim f x lim x 1 1
x0
x0
可见 f x 在0处的左、右极限存在但不相等，
所以，lim f x 不存在. x0
lim f ( x) A
x
或 f ( x) A(当x 时)
注意：
(1)与数列极限情形相比较，X的作用与数列极限中的N
一样，说明x充分大的程度，依赖于 ；所不同的是这
里必须考虑比X大的所有实数，而不仅仅是自然数n.
(2)几何解释：当x X时, f ( x)的图形全部位于两直线
y A 与y A 之间.
注意: (1)左右极限统称为单侧极限.
(2)通常在考虑区间端点的极限与分段函数分段点处的极限时 碰到左右极限问题.
(3)对于区间的左端点只求右极限，右端点只求左极限.
(4) lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A.
x x0
x x0
x x0
x 1, x 0,
0, 要使 f ( x) A ,
只要 2 x 2 , 取 ,
2
即 x2 ,
2
当0 x 2 ,有 2x 15 .
lim(2x 1) 5.
x2
例5. 证明 lim x2 4 4. x2 x 2
证明: 尽管f(x)在x=2处没有意义，但函数当x2时极 限存在与否与它无关. f (x) A x2 4 4 x 2, x2
成立, 则称函数 f (x) 当 x 时, 以 a 为极限, 记为
好像没有问题.
lim f (x) a .
x
有问题没有？
定义1 设f ( x)定义在[a,)上, A是一个确定的数,
若 0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x) A .
则称A是f ( x)当x 时的极限.记为
高等数学 A
第1章 函数与极限
1.3 函数的极限
1.3.1 函数极限的概念 1.3.2 函数极限的性质
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
1.3 函数的极限
自变量趋于无穷大时函数的极限及习例1-3
1.3.1 函数极限的概念 自变量趋于有限值时函数的极限
函数极限的几何解释
步骤
函
用定义验证函数极限 lim f (x) A xx0
2. 自变量趋于有限值时函数的极限
实例分析 y
(1) f ( x) 2x 1
y
5 4
(2) f ( x) x2 4 x2
1 o2
x
o2
x
当x 2时f ( x) 5
当x 2时f ( x) 4
两实例归结为" x x0(但不等于x0 )时f ( x) A(常数)"
这两个“趋于”反映了f(x)与A和x与x0无限接近程度之间的联 系.
X O 和一个重X 要的定理.
y a
x
| x | X 0 x X 或 x X
x 时的极限定义:
设f ( x)定义在(,)上, A是一个确定的数,
若 0, X 0,使当 x X时, 恒有 f ( x) A .
则称A是f ( x)当x 时的极限.记为
lim f ( x) A
习例4-8
数 函数单侧极限的定义
极
函数极限的唯一性
限
收敛函数的局部有界性
1.3.2 函数极限的性质
函数极限的局部保号性
函数极限与数列极限的关系
证明极限不存在的方法
一、函数极限的概念
1. 自变量趋于无穷大时函数的极限 (1)x 0且 x ,记为x
x 有三种情况:(2)x 0且 x ,记为x
x
或 f ( x) A(当x 时)
y
A
A
X1
X2
o
A
x
由于 | x | > X > 0 x > X 或 x < X, 所以, x 按绝对值无限增大时,
既包含了 x +, 又包含了 x 的情形.
定理
lim f (x) a lim f (x) lim f (x) a .
x
x
x
由绝对值关系式: | x | X x X 或 x X (X 0)
证明: sin x 0 sin x 1 ,
x
xx
0, 要使 sin x 0 ,
f (x) A x3 1 3 x2 x 2 x 2 x 1 x 1 ( x 2) x 1 4 x 1
0, 要使 f ( x) A ,
只要 4 x 1 , 即 x 1 ,
取
0,X 0,使当 x X时,恒有 f ( x) A .
lim f (x) A x
自变量趋于无穷大时函数的极限举例:
例1. 证明 lim sin x 0. x x
例2. 证明 lim 1 0
x x
例3. 证明 lim cos x 0
x x
例1. 证明 lim sin x 0. x x
证明： 设 lim f ( x) A,
x x0
对于 1,
0 ,当x U( x~0, )时,有
f (x) A
1,
故 f (x) f (x) A A f (x) A A 1 A M
3. 函数极限的局部保号性
定理 3 （局部保号性）
若 lim f ( x) A, 且 A 0(或 A 0), 则 0,
2
取 2 ,
当 0 x 0 时, 则有 cos x 1 .
lim cos x 1.
x0
函数单侧极限
函数单侧极限的描述定义
从 x0 的左侧( x x0 )趋于x0时函数的极限称为左极限.
记为
f ( x0
0)
lim
x x0
f (x)
从 x0 的右侧( x x0 )趋于x0时函数的极限称为右极限.
lim f ( x) A
x x0
或 f ( x) A(当x x0时)
注意: (1) 依赖于 ，但不是由 唯一确定，
如取 可以,则取 , 等也可以.
2
34
(2)函数极限与f ( x)在点x0是否有定义无关.
函数极限 lim f ( x) A 的几何解释
x x0
当0 x x0 时有 f ( x) A 成立,
(3)x可正可负且x , 记为x
与函从数数y列 1{xn(}x:x(n0,1n )) x
的图形可以看出:
lim 1 0, lim 1 0.
n n
x x
y
y1
x
O
1
2
xn
1 n
3
n
x
如何描述它？
回忆数列{xn} :
xn
1 n
极限的定义：
0, 若 N 0, 使当n N 时, 有 | xn a |
即要使 f ( x) A 必须有 x x0 , 说明 随着 的指定而确定，有时也记为().
定义2 函数极限的精确定义,即 ( )定义
设f(x)在x0的某去心邻域内有定义，A是一个确定的常数.
若 0, 0,当0 x x0 时有 f ( x) A 成立,
则称A是当x x0时f ( x)的极限.记为
则称A是f ( x)当x 时的极限.记为
lim f ( x) A
x
或 f ( x) A(当x 时)
结论：
lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A
x
x
x
现在从整体上来看这个图形 , 你有什么想法?
y
y f (x)
y a
ya
你能否由此得出 一个极限的定义
f (x) A
x
x0
x x0 x x0 ,
x x0
x0
0, 要使 f ( x) A ,
只要 x x0 ,
x0
取 min x0 , x0,
当 0 x x0 时, 则有
即 x x0 x0 , x x0 .
lim x x0 .
x x0
例7. 证明 lim x3 1 3. x1 x 1
y
y f (x)
A
A
A
o x0 x0 x0
x
当x在x0的去心邻域时,函数y f ( x)图形完全落在以 直线y A为中心线,宽为2的带形区域内.
显然,找到一个后, 越小越好.
用定义验证函数极限的步骤：
(1)通过计算或估计得
(有时要事先给出某个限制不等式 x x0 1)
f ( x) A g( x x0 ) 是 x x0 的简单函数式
(2) 0, 要使 f ( x) A ,
只要 g( x x0 ) , 解得 x x0 ( ),
取 ( ) 或 min ( ),1.
当 0 x x0 时,有 f ( x) A .
(3)得出结论.
用定义验证函数极限习例4-8
例4. 证明 lim(2x 1) 5.
x2
例5. 证明 lim x2 4 4. x2 x 2
例6.
证明 :当x0
0时, lim x x0
x
x0 .
例7. 证明 lim x3 1 3. x1 x 1
例8. 证明 lim cos x 1.
x0
例4. 证明 lim(2x 1) 5.
x2
证明: f ( x) A 2x 1 5 2 x 2,
例9
设函数
f
x
0, x
x 1,
0, x 0.
证明极限
lim
x0
f
x
不存在.
证明:
容易证明当
x0
时，f x 的左极限
lim
x0
f x lim x 1 1 x0
而右极限 lim f x lim x 1 1
x0
x0
可见 f x 在0处的左、右极限存在但不相等，
所以，lim f x 不存在. x0
lim f ( x) A
x
或 f ( x) A(当x 时)
注意：
(1)与数列极限情形相比较，X的作用与数列极限中的N
一样，说明x充分大的程度，依赖于 ；所不同的是这
里必须考虑比X大的所有实数，而不仅仅是自然数n.
(2)几何解释：当x X时, f ( x)的图形全部位于两直线
y A 与y A 之间.
注意: (1)左右极限统称为单侧极限.
(2)通常在考虑区间端点的极限与分段函数分段点处的极限时 碰到左右极限问题.
(3)对于区间的左端点只求右极限，右端点只求左极限.
(4) lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A.
x x0
x x0
x x0
x 1, x 0,
0, 要使 f ( x) A ,
只要 2 x 2 , 取 ,
2
即 x2 ,
2
当0 x 2 ,有 2x 15 .
lim(2x 1) 5.
x2
例5. 证明 lim x2 4 4. x2 x 2
证明: 尽管f(x)在x=2处没有意义，但函数当x2时极 限存在与否与它无关. f (x) A x2 4 4 x 2, x2
成立, 则称函数 f (x) 当 x 时, 以 a 为极限, 记为
好像没有问题.
lim f (x) a .
x
有问题没有？
定义1 设f ( x)定义在[a,)上, A是一个确定的数,
若 0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x) A .
则称A是f ( x)当x 时的极限.记为
高等数学 A
第1章 函数与极限
1.3 函数的极限
1.3.1 函数极限的概念 1.3.2 函数极限的性质
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
1.3 函数的极限
自变量趋于无穷大时函数的极限及习例1-3
1.3.1 函数极限的概念 自变量趋于有限值时函数的极限
函数极限的几何解释
步骤
函
用定义验证函数极限 lim f (x) A xx0
2. 自变量趋于有限值时函数的极限
实例分析 y
(1) f ( x) 2x 1
y
5 4
(2) f ( x) x2 4 x2
1 o2
x
o2
x
当x 2时f ( x) 5
当x 2时f ( x) 4
两实例归结为" x x0(但不等于x0 )时f ( x) A(常数)"
这两个“趋于”反映了f(x)与A和x与x0无限接近程度之间的联 系.
X O 和一个重X 要的定理.
y a
x
| x | X 0 x X 或 x X
x 时的极限定义:
设f ( x)定义在(,)上, A是一个确定的数,
若 0, X 0,使当 x X时, 恒有 f ( x) A .
则称A是f ( x)当x 时的极限.记为
lim f ( x) A
习例4-8
数 函数单侧极限的定义
极
函数极限的唯一性
限
收敛函数的局部有界性
1.3.2 函数极限的性质
函数极限的局部保号性
函数极限与数列极限的关系
证明极限不存在的方法
一、函数极限的概念
1. 自变量趋于无穷大时函数的极限 (1)x 0且 x ,记为x
x 有三种情况:(2)x 0且 x ,记为x
x
或 f ( x) A(当x 时)
y
A
A
X1
X2
o
A
x
由于 | x | > X > 0 x > X 或 x < X, 所以, x 按绝对值无限增大时,
既包含了 x +, 又包含了 x 的情形.
定理
lim f (x) a lim f (x) lim f (x) a .
x
x
x
由绝对值关系式: | x | X x X 或 x X (X 0)
证明: sin x 0 sin x 1 ,
x
xx
0, 要使 sin x 0 ,