中南大学高等数学课件7-1

练习题答案
一、1、Ⅳ,Ⅴ,Ⅷ,Ⅲ；
2、(-3,2,1),(3,2,-1),(-3,-2,-1),
(-3,-2,1),(3,2,1),(3,-2,-1)；
3、(-4,3,0),(0,3,5),(-4,0,5),
(-4,0,0),(0,3,0),(0,0,5)；
4、(a, a,a), (a, a, a),(a,a, a),(a,a, a) ；
的对称点是 _________，关于 y 轴的对称点是
_________，关于 z 轴的对称点是_________；
3、点 A ( 4 , 3 , 5 )在xoy 平面上的射影点为_____ ______,在 yoz 面上的射影点为__________，在 zox轴上的射影点为_________，在x 轴上 的射影 点为________，在x 轴上 的射影点为______，在 z 轴上 的射影点为_______ ;
7、若直线段落AB 被点C( 2 , 0 , 2 ) 及点D( 5 ,2 , 0 ) 内 分为3 等分，则端点 A 的坐标为_________，端点 B 的坐标为_________ .
二、在 yoz 面上，求与三个已知点A( 3 , 1 , 2 ) ， B( 4 ,2 ,2 )和C ( 0 , 5 , 1 ) 等距离的点 .
第1章 空间解析几何
1.1 向量及其线性运算
1.1.1 向量的概念
M2
向量：既有大小又有方向的量.
向量表示：a 或 M1M2
M1
以M1为起点，M2 为终点的有向线段.
向量的模： 向量的大小.| a| 或 | M1M2 |
单位向量：模长为1的向量. a0
或
M1 M 20
零向量：模长为0的向量. 0
4、已知空间直角坐标系下，立方体的 4 个顶点为 A( a ,a ,a) ，B( a ,a ,a )，C(a , a ,a) 和 D( a , a , a )，则其余顶点分别为_________，____ __________，__________，_________ ;
5、已知三角形的三个顶点A( 2 ,1 ,4 )，B( 3 , 2 ,6 ) ， C(5 , 0 , 2 ) 则（1）过A 点的中线长为__________;
三 、 把 ABC 的 BC 边 五 等 分 ， 设 分 点 依 次 为
D1 , D2 , D3 , D4 ， 再 把 各 分 点 与 点A 连 接 ， 试 以
AB c, BC a 表示向量D1 A , D2 A , D3 A 和 D4 A .
练习题答案
一、1、既有大小,又有方向；
2、大小；
3、模等于 1； 4、模等于零； 5、起点；
设 是一个数，向量a与 的乘积a 规定为
(1) 0, (2) 0, (3) 0,
a与a同向，| a| | a|
a
0
a与a反向，| a|| | | a|
a 2a
1 a 2
数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律：(a) ( a) ()a
（2）分配律：( )a a a
a b
b
分为同向和反向
c
|
c||
a|
|
b|
b a
c
|
c|
|
a|
|
b|
向量的加法符合下列运算规律：
（1）交换律：
a
b
b
a.
（2）结合律：
a
b
c
(a
b)
c
a
(b
c).
（3）
a
(a)
0.
[2]
减法
a
b
a
(b)
b
a
a
b
a
b
b
b
c
a
b
c
a
(b)
a
b
[3] 乘法：
解 M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14, M2M3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M3M1 2 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
M2M3 M3M1 , 原结论成立.
例 4 设P 在x 轴上，它到P1(0, 2,3) 的距离为 到点 P2 (0,1,1)的距离的两倍，求点P 的坐标.
思考题解答 A:Ⅳ; B:Ⅴ; C:Ⅷ; D:Ⅲ;
思考题
2. 已知平行四边形ABCD的对角线
AC a,
BD b
试用
a,
b 表示平行四边形四边上对应的向量.
思考题解答
D b
A
a
C
M
B
BC
AD
AM
MD
1
(a
b ).
2
DC
AB
AM
MB
1 2
(a
b ).
练习题
一、填空： 1、向量是_________的量； 2、向量的___________叫做向量的模； 3、___________的向量叫做单位向量； 4、_____________的向量叫做零向量； 5、与_____无关的向量称为自由向量； 6、平行于同一直线的一组向量叫做_________ ，三 个或三个以上平行于同一平面的一组向量叫做___ _________； 7、两向量___________，我们称这两个向量相等； 8、两个模相等、____________的向量互为逆向量； 9、把空间中一切单位向量归结到共同的始点，则终点 构成____________；
b、 2 , 3 , 4在 ________；
c、 2, 3 ,4在 ________；
d、 2 , 3 , 1在 _______;
2、点 p (3 , 2 ,1) 关于平面 xoy 的对称点是
________，关于平面 yoz 的对称点是 ______,
关于平面 zox 的对称点是 ________，关于 x 轴
6、共线向量,共面向量； 7、模相等且方向相同；
8、方向相反；
9、半径为 1 的球面；
1101、 、a距垂离直等于于b
2 的两点；
；
12、a
与b
同向 .
三、
D1
A
(c
1 5
a),
D2
A
(c
2 5
a),
D3
A
(c
3 5
a),
D4
A
(c
4 5
a).
一、填空题
练习题
1、下列各点所在象限分别是：
a、 1 , - 2, 3在 _________；
10、把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的
11、始 要使点，a则b终点a构 b成成__立__，__向__量_a__,_b_应__满__足_____；_____
12、_要__使__a___b___a____b_成_；立，向量a,
b 应满足_______
___________ .
二、用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平 行四边形 .
zR
M1•
P o
d M1M2 ?
• M2
Q N
在直角M1 NM 2 及 直 角 M1 PN
中，使用勾股定
y 理知
பைடு நூலகம்
x
d 2 M1P 2 PN 2 NM 2 2 ,
M1P x2 x1 , PN y2 y1 , NM 2 z2 z1 ,
zR
M1•
P
o x
d M1P 2 PN 2 NM2 2
（2）过B 点的中线长为________；（3）过B 点的中 线 长为___________；
6、已知平行四边形ABCD 的两个顶点A( 2 ,3 ,5 ) , B(1 , 3 , 2 )的及它的对角线的交点E( 4 ,1 , 7 ) ，则 顶点 D 的坐标 为_________，顶点 D 的坐标 为_____ ______；
解 因为P 在x 轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
PP1 x2 2 2 32 x2 11,
PP2 x2 12 12 x2 2,
PP1 2 PP2 , x2 11 2 x2 2
x 1, 所求点为 (1,0,0), (1,0,0).
3. 小结
(1) 向量的概念 （注意与标量的区别） 向量的加减法（平行四边形法则） 向量与数的乘法（注意数乘后的方向）
b
3a
2
5
解
a
b
5
1
b
b
3a
2
5
(1
3)a
1
5 2
1 5
5
b
2a
5
b.
2
例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的 四边形必是平行四边形.
证 AM MC BM MD
D b
A
a
C
M
B
AD AM MD MC BM BC
AD 与 BC 平行且相等, 结论得证.
1.2 空间直角坐标系
自由向量：不考虑起点位置的向量.
相等向量：大小相等且方向相同的向量.
a
b
负向量：大小相等但方向相反的向量. a
a
a
向径： 空间直角坐标系中任一点 M与原点 构成的向量.OM
1.1.2 向量的线性运算
[1]
加法：
a
b
c
（平行四边形法则）
b
c
a
（平行四边形法则有时也称为三角形法则）
特殊地：若 a‖
Vector in line 11 x Vector in plane 11 (x,y)
••
ox
Vector in space 11 (x,y,z) Similarly Vector in n-space 11 ( x1, x2 , , xn )