中南大学高等数学课件7-1

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10、把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的
11、始 要使点,a则b终点a构 b成成__立__,__向__量_a__,_b_应__满__足_____;_____
12、_要__使__a___b___a____b_成_;立,向量a,
b 应满足_______
___________ .
二、用向量方法证明:对角线互相平分的四边形是平 行四边形 .
(a
b)
a
b
两个向量的平行关系
定理 设向量 a 0,那末向量b平行于 a的充
分必要条件是:存在唯一的实数
,使
b
a.
证 充分性显然;

必要性

b‖
a

b

a同向时
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取正值,
b a ,

b

a
反向时
取负值,
即有
b
a.
此时
b

的唯一性.
a同向. 且 a

b
a,又设
b
a
aba, a
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P, Q, R, 坐标面上的点 A, B, C, O(0,0,0)
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C( x,o, z)
o x P( x,0,0)
• M(x, y, z)
y
Q(0, y,0) A( x, y,0)
I( ), II( ), III( ), IV( ) V( ), VI( ), VII( ), VIII( ) ( x, y, z) (0,0,0)( x, y,z) ( x, y, z) x-axis( x, y,z) ( x, y, z) xoy( x, y,z) ( x, y, z) y-axis( x, y,z) ( x, y, z) yoz( x, y, z) ( x, y, z) z-axis( x, y, z) ( x, y, z) zox( x, y, z)
(2) 空间直角坐标系 (轴、面、卦限)
(注意它与平面直角坐标系的区别)
空间两点间距离公式
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
思考题
1. 在空间直角坐标系中,指出下列 各点在哪个卦限?
A(1,2,3), B(2,3,4), C(2,3,4), D(2,3,1) .
解 M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14, M2M3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M3M1 2 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
M2M3 M3M1 , 原结论成立.
例 4 设P 在x 轴上,它到P1(0, 2,3) 的距离为 到点 P2 (0,1,1)的距离的两倍,求点P 的坐标.
zR
M1•
P o
d M1M2 ?
• M2
Q N
在直角M1 NM 2 及 直 角 M1 PN
中,使用勾股定
y 理知
x
d 2 M1P 2 PN 2 NM 2 2 ,
M1P x2 x1 , PN y2 y1 , NM 2 z2 z1 ,
zR
M1•
P
o x
d M1P 2 PN 2 NM2 2
Vector in line 11 x Vector in plane 11 (x,y)
••
ox
Vector in space 11 (x,y,z) Similarly Vector in n-space 11 ( x1, x2 , , xn )
Difinition:Ordered of real numbers (a1, a2, , an )
is called n - dimensional vector.
a1, a2 , , an are called component of .
Vector
is
denoted
,
,
.
Namely, (a1, a2 , , an )
a1
a2
an
1.2.2 空间两点间的距离
设M1 ( x1 , y1 , z1 )、M 2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点
b
3a
2
5

a
b
5
1
b
b
3a
2
5
(1
3)a
1
5 2
1 5
5
b
2a
5
b.
2
例2 试用向量方法证明:对角线互相平分的 四边形必是平行四边形.
证 AM MC BM MD
D b
A
a
C
M
B
AD AM MD MC BM BC
AD 与 BC 平行且相等, 结论得证.
1.2 空间直角坐标系
的对称点是 _________,关于 y 轴的对称点是
_________,关于 z 轴的对称点是_________;
3、点 A ( 4 , 3 , 5 )在xoy 平面上的射影点为_____ ______,在 yoz 面上的射影点为__________,在 zox轴上的射影点为_________,在x 轴上 的射影 点为________,在x 轴上 的射影点为______,在 z 轴上 的射影点为_______ ;
三 、 把 ABC 的 BC 边 五 等 分 , 设 分 点 依 次 为
D1 , D2 , D3 , D4 , 再 把 各 分 点 与 点A 连 接 , 试 以
AB c, BC a 表示向量D1 A , D2 A , D3 A 和 D4 A .
练习题答案
一、1、既有大小,又有方向;
2、大小;
3、模等于 1; 4、模等于零; 5、起点;
解 因为P 在x 轴上,设P点坐标为 ( x,0,0),
PP1 x2 2 2 32 x2 11,
PP2 x2 12 12 x2 2,
PP1 2 PP2 , x2 11 2 x2 2
x 1, 所求点为 (1,0,0), (1,0,0).
3. 小结
(1) 向量的概念 (注意与标量的区别) 向量的加减法(平行四边形法则) 向量与数的乘法(注意数乘后的方向)
自由向量:不考虑起点位置的向量.
相等向量:大小相等且方向相同的向量.
a
b
负向量:大小相等但方向相反的向量. a
a
a
向径: 空间直角坐标系中任一点 M与原点 构成的向量.OM
1.1.2 向量的线性运算
[1]
加法:
a
b
c
(平行四边形法则)
b
c
a
(平行四边形法则有时也称为三角形法则)
特殊地:若 a‖
a b
b
分为同向和反向
c
|
c||
a|
|
b|
b a
c
|
c|
|
a|
|
b|
向量的加法符合下列运算规律:
(1)交换律:
a
b
b
a.
(2)结合律:
a
b
c
(a
b)
c
a
(b
c).
(3)
a
(a)
0.
[2]
减法
a
b
a
(b)
b
a
a
b
a
b
b
b
c
a
b
c
a
(b)
a
b
[3] 乘法:
7、若直线段落AB 被点C( 2 , 0 , 2 ) 及点D( 5 ,2 , 0 ) 内 分为3 等分,则端点 A 的坐标为_________,端点 B 的坐标为_________ .
二、在 yoz 面上,求与三个已知点A( 3 , 1 , 2 ) , B( 4 ,2 ,2 )和C ( 0 , 5 , 1 ) 等距离的点 .
设 是一个数,向量a与 的乘积a 规定为
(1) 0, (2) 0, (3) 0,
a与a同向,| a| | a|
a
0
a与a反向,| a|| | | a|
a 2a
1 a 2
数与向量的乘积符合下列运算规律:
(1)结合律:(a) ( a) ()a
(2)分配律:( )a a a
4、已知空间直角坐标系下,立方体的 4 个顶点为 A( a ,a ,a) ,B( a ,a ,a ),C(a , a ,a) 和 D( a , a , a ),则其余顶点分别为_________,____ __________,__________,_________ ;
5、已知三角形的三个顶点A( 2 ,1 ,4 ),B( 3 , 2 ,6 ) , C(5 , 0 , 2 ) 则(1)过A 点的中线长为__________;
b、 2 , 3 , 4在 ________;
c、 2, 3 ,4在 ________;
d、 2 , 3 , 1在 _______;
2、点 p (3 , 2 ,1) 关于平面 xoy 的对称点是
________,关于平面 yoz 的对称点是 ______,
关于平面 zox 的对称点是 ________,关于 x 轴
定义2.1.13 在空间取定一点O和三个两
两垂直的单位向量 i, j, k,就确定了三条 都以O为原点的两两垂直的数轴,依次记 为x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴),统 称为坐标轴.它们构成一个空间直角坐标 系,称为Oxyz坐标系或[O,i,j,k]坐标系.
如下所示:
1.2.1 空间点的直角坐标
• M2
Q Ny
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 .
空间两点间距离公式
特殊地:若两点分别为 M( x, y, z) , O(0,0,0)
d OM x2 y2 z2 .
例 3 求证以M1(4,3,1)、M 2 (7,1,2)、M 3 (5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
思考题解答 A:Ⅳ; B:Ⅴ; C:Ⅷ; D:Ⅲ;
思考题
2. 已知平行四边形ABCD的对角线
AC a,
BD b
试用
a,
b 表示平行四边形四边上对应的向量.
思考题解答
D b
A
a
C
M
B
BC
AD
AM
MD
1
(a
b ).
2
DC
AB
AM
MB
1 2
(a
b ).
练习题
一、填空: 1、向量是_________的量; 2、向量的___________叫做向量的模; 3、___________的向量叫做单位向量; 4、_____________的向量叫做零向量; 5、与_____无关的向量称为自由向量; 6、平行于同一直线的一组向量叫做_________ ,三 个或三个以上平行于同一平面的一组向量叫做___ _________; 7、两向量___________,我们称这两个向量相等; 8、两个模相等、____________的向量互为逆向量; 9、把空间中一切单位向量归结到共同的始点,则终点 构成____________;
(2)过B 点的中线长为________;(3)过B 点的中 线 长为___________;
6、已知平行四边形ABCD 的两个顶点A( 2 ,3 ,5 ) , B(1 , 3 , 2 )的及它的对角线的交点E( 4 ,1 , 7 ) ,则 顶点 D 的坐标 为_________,顶点 D 的坐标 为_____ ______;
6、共线向量,共面向量; 7、模相等且方向相同;
8、方向相反;
9、半径为 1 的球面;
1101、 、a距垂离直等于于b
2 的两点;

12、a
与b
同向 .
三、
D1
A
(c
1 5
a),
D2
A
(c
2 5
a),
D3
A
(c
3 5
a),
D4
A
(c
4 5
a).
一、填空题
练习题
1、下列各点所在象限分别是:
a、 1 , - 2, 3在 _________;
三个坐标轴的正方向 符合右手系.
z 竖轴
即以右手握住z 轴,
当右手的四个手指
从正向x 轴以 角
2
度转向正向y 轴
时,大拇指的指向
就是z 轴的正向.
定点 o •
y 纵轴
横轴 x 空间直角坐标系

yoz面

xoy面

x

z zox 面

o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
空间的点 11 有序数组( x, y, z)
第1章 空间解析几何
1.1 向量及其线性运算
1.1.1 向量的概念
M2
向量:既有大小又有方向的量.
向量表示:a 或 M1M2
M1
以M1为起点,M2 为终点的有向线段.
向量的模: 向量的大小.| a| 或 | M1M2 |
单位向量:模长为1的向量. a0

M1 M 20
零向量:模长为0的向量. 0
b.
两式相减,得 ( )a 0, 即 a 0,
a 0, 故 0, 即 .
设a0表示与非零向量a同方向的单位向量,
按照向量与数的乘积的规定,
a | a| a0
|
a a
|
a0
.
上式表明:一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量.
例1
化简
a
b
5
1
b
练习题答案
一、1、Ⅳ,Ⅴ,Ⅷ,Ⅲ;
2、(-3,2,1),(3,2,-1),(-3,-2,-1),
(-3,-2,1),(3,2,1),(3,-2,-1);
3、(-4,3,0),(0,3,5),(-4,0,5),
(-4,0,0),(0,3,0),(0,0,5);
4、(a, a,a), (a, a, a),(a,a, a),(a,a, a) ;
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