第三章(下) 双变量模型：假设检验
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经济计量学第三讲双变量回归模型的区间估计及其假设检验
决策准则:
5. 如果 t > tc 或 -t < - tc , 则拒绝 Ho
or | t | > | tc |
接受域
拒绝 H0 区域
( ) bˆ 2 -
t
c
a
* Se
2, n-2
bˆ 2
b2
东北财经大学数量经济系
拒绝 H0 区域
( ) bˆ 2
+
tc a 2,
*
n-2
Se
bˆ 2
第三节 双变量回归的假设检验（4）
t = 0.5091 - 0.3 = 0.2091 = 5.857 0.0357 0.0357
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第三节 双变量回归的假设检验（7）
One-Tailed t-test (cont.)
2. 查表得知
tc 0.05, 8
where
tc 0.05 ,
8
=1.860
a = 0.05
3. 比较 t 和临界值 t
sˆ 2
Pr[(n - 2)
s 2 (n - 2)
sˆ 2
] =1-a
2 a/2
2 1-a / 2
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第三节 双变量回归的假设检验（1） 第三节 双变量回归的假设检验
一、假设检验的基本问题 1.假设检验的基本思想 2.基本概念
二、假设检验的置信区间方法
东北财经大学数量经济系
一、正态性假定 1.正态性假定的含义 2.随机干扰项做正态假定的理由
二、在正态假定下OLS估计量的性质
东北财经大学数量经济系
第一节 正态性假定：经典正态线性回归模型（2）
三、最大似然法 1.双变量回归模型的最大似然估计 — 似然函数 — 最大似然法的基本思想 — 回归系数和随机干扰项的ML估计量
计量经济学 第3章 双变量模型：假设检验
假设检验的前提是什么？
本章框图 一、古典假设
回归结果好坏？ 三、高斯马尔科夫定理
二、估计量的分布问题
四、 假设 检验
七、正态性检验
方法 统计量 显著性
结论
五、拟合优度 六、预测
一、OLS估计需要的基本假设有哪些？
一、OLS估计需要的基本假设有哪些？
一、OLS估计需要的基本假设有哪些
一、OLS估计需要的基本假设有哪些？
十三、案例2股票价格和利率
理论和假说 变量选择 数据6-13 散点图 估计和结果 结论的经济意义
十四、案例3房价和贷款利率
理论和假说 变量选择 数据6-6 散点图 估计和结果 结论的经济意义
十五、案例4古董和拍卖价格
理论和假说 变量选择 数据6-14 散点图 估计和结果 结论的经济意义
第3章 双变量模型：模型检验
引子、样本回归参数的估计问题
引子、样本回归参数的估计问题
结论：
样本回归系数随样本变化。 样本回归系数是随机变量，如何描述？ 样本回归系数和总体回归参数是什么关系 基于什么条件下，利用最小二乘估计的得
到的样本回归系数可以用来作为总体回归 参数的估计？ 根据什么说明：总体回归函数的模型设定 是正确的。
习题讨论
习题讨论
习题讨论
习题讨论
习题讨论
习题讨论
习题讨论
五、显著性检验方法的原理是什么
五、显著性检验方法的原理是什么
五、显著性检验方法的原理是什么
五、显著性检验方法的原理是什么
六、样本回归函数拟合数据好坏的标准是什么？
六、样本回归函数拟合数据好坏的标准是什么？
六、样本回归函数拟合数据好坏的标准是什么？
七、判决系数的性质有哪些？
计量经济学(第四版)习题参考答案
第一章 绪论1.1 一般说来，计量经济分析按照以下步骤进行：（1）陈述理论（或假说） （2）建立计量经济模型 （3）收集数据（4）估计参数 （5）假设检验 （6）预测和政策分析 1.2 我们在计量经济模型中列出了影响因变量的解释变量，但它（它们）仅是影响因变量的主要因素，还有很多对因变量有影响的因素，它们相对而言不那么重要，因而未被包括在模型中。
为了使模型更现实，我们有必要在模型中引进扰动项u 来代表所有影响因变量的其它因素，这些因素包括相对而言不重要因而未被引入模型的变量，以及纯粹的随机因素。
1.3时间序列数据是按时间周期（即按固定的时间间隔）收集的数据，如年度或季度的国民生产总值、就业、货币供给、财政赤字或某人一生中每年的收入都是时间序列的例子。
横截面数据是在同一时点收集的不同个体（如个人、公司、国家等）的数据。
如人口普查数据、世界各国2000年国民生产总值、全班学生计量经济学成绩等都是横截面数据的例子。
1.4 估计量是指一个公式或方法，它告诉人们怎样用手中样本所提供的信息去估计总体参数。
在一项应用中，依据估计量算出的一个具体的数值，称为估计值。
如Y 就是一个估计量，1nii YY n==∑。
现有一样本，共4个数，100，104，96，130，则根据这个样本的数据运用均值估计量得出的均值估计值为5.107413096104100=+++。
第二章 计量经济分析的统计学基础2.1 略，参考教材。
2.2N SS x ==45=1.25 用α=0.05，N-1=15个自由度查表得005.0t =2.947，故99%置信限为x S t X 005.0± =174±2.947×1.25=174±3.684也就是说，根据样本，我们有99%的把握说，北京男高中生的平均身高在170.316至177.684厘米之间。
2.3 原假设120:0=μH备择假设120:1≠μH检验统计量()10/25XX μσ-Z ====查表96.1025.0=Z 因为Z= 5 >96.1025.0=Z ,故拒绝原假设, 即此样本不是取自一个均值为120元、标准差为10元的正态总体。
第3章 双变量模型-假设检验(1)
n
Xi X Yi Y b2 2 X X i 参数估计量的计算公式为： b1 Y b2 X
消费支出Y 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 0
可支配收入X 1000 2000 3000 4000
小结：用EXCEL和Eviews实现最小二乘法
随机误差项ui的方差2的估计
由于随机项ui不可观测，只能从ui的估计——残差ei出发， 对随机项ui的方差2进行估计。
由数理统计的基本原理可以证明，2的最小二乘估计量为
ˆ
2
2 e i
n2
或
2 e i
2 2 2 2 e y b x i i 2 i 2 ˆ n 2 n 2
第3章 双变量模型参数的统计检验
一、线性回归模型的基本假设
二、普通最小二乘估计量的方差与标准误
三、OLS估计量的概率分布
四、变量的显著性检验
五、参数的置信区间
§3.1 线性回归模型的基本假设
回归分析的主要目的是要通过样本回归函数（模型）SRF 尽可能准确地估计总体回归函数（模型）PRF。
估计方法有多种，其种最广泛使用的是普通最小二乘法 （ordinary least squares, OLS）。
为保证参数估计量具有良好的性质，使用普通最小二乘法 通常对模型要提出若干基本假设。
线性回归模型的基本假设
假设1、解释变量X是确定性变量，不是随机变量 假设2、随机误差项具有零均值、同方差和不序列相关性
如果假设1、2 满足，则假设 3也满足; 如果假设4满 足，则假设2 也满足
E(ui)=0
量中，OLS估计量是具有最小方差的最优线性无偏估计量。
[农学]B03 假设检验：双变量模型
![[农学]B03 假设检验：双变量模型](https://img.taocdn.com/s3/m/a1aa0806bcd126fff7050b4c.png)
1 1 1
i
ˆ ) Var( ˆ ) / Se( 1 1
ˆ ) Se( 0
ˆ ) 2 [ X 2 / n ( X X )2 ] Var( i i 0
2 ( X X ) i
2 2 X /[ n ( X X ) ] i i
5
计量经济学
一、误差项的概率分布
1、进行OLS估计时，对误差项的概率分布没 有假定。对误差项的假定仅仅是：均值为0、没 有自相关且方差相等，有了这些假定，无论误 差项的分布为何，OLS估计量均为BLUE。 2、如果研究的目的只是估计参数，OLS方法 就可达到目的。但是，OLS估计量是误差项的 线性函数，所以OLS估计量的概率分布依赖于 误差项分布的假设。没有分布假设，就不可能 对估计的参数做出有意义的评价，也不可能进 行假设检验。
计量经济学
2、正态变量经过线性变换后仍为正态变量。 3、分布函数仅涉及两个参数：均值和方差。许 多现象都大致服从正态分布。 4、对于小样本或有限容量的样本，正态性假定 有助于推导出OLS估计量的精确概率分布，而且 2 能够用t、F和 分布来对回归模型的性质进行统 计检验。 ◎当样本容量较小时，应注意正态性假定是否 适当。当样本容量大到合理程度时，或许能够放 松正态性假定。
4
计量经济学
第2节
OLS估计的精度：标准误
一、标准误（Standard Error）
1、OLS估计量是样本的函数，评价估计量 的可信度或精度的工具是标准误。 在CLRM假定下，OLS估计量的标准误为： ˆ ) E( ˆ )2 2 / ( X X )2 Var(
18
计量经济学
五、关于假设检验的说明
i
ˆ ) Var( ˆ ) / Se( 1 1
ˆ ) Se( 0
ˆ ) 2 [ X 2 / n ( X X )2 ] Var( i i 0
2 ( X X ) i
2 2 X /[ n ( X X ) ] i i
5
计量经济学
一、误差项的概率分布
1、进行OLS估计时，对误差项的概率分布没 有假定。对误差项的假定仅仅是：均值为0、没 有自相关且方差相等，有了这些假定，无论误 差项的分布为何，OLS估计量均为BLUE。 2、如果研究的目的只是估计参数，OLS方法 就可达到目的。但是，OLS估计量是误差项的 线性函数，所以OLS估计量的概率分布依赖于 误差项分布的假设。没有分布假设，就不可能 对估计的参数做出有意义的评价，也不可能进 行假设检验。
计量经济学
2、正态变量经过线性变换后仍为正态变量。 3、分布函数仅涉及两个参数：均值和方差。许 多现象都大致服从正态分布。 4、对于小样本或有限容量的样本，正态性假定 有助于推导出OLS估计量的精确概率分布，而且 2 能够用t、F和 分布来对回归模型的性质进行统 计检验。 ◎当样本容量较小时，应注意正态性假定是否 适当。当样本容量大到合理程度时，或许能够放 松正态性假定。
4
计量经济学
第2节
OLS估计的精度：标准误
一、标准误（Standard Error）
1、OLS估计量是样本的函数，评价估计量 的可信度或精度的工具是标准误。 在CLRM假定下，OLS估计量的标准误为： ˆ ) E( ˆ )2 2 / ( X X )2 Var(
18
计量经济学
五、关于假设检验的说明
3第三章双变量模型 假设检验
如何进行呢？
置信区间法 变量的显著性检验
31
3.5假设检验
建立从样本到总体间的联系 数学S.A.T一例
P45见3-16，ˆ1 =0.0013，Sˆ1 =0.000245，自由度为8（n-2）
t
ˆ1 -1
ˆ /
xi 2
tn2
假定显著性水平 为5%据附录P387可查 t0.05/2 8 2.306
那么，在一次抽样中，参数的估计值与真值的差异有 多大，是否显著，这就需要进一步进行假设检验。
若知道某个估计量的概率分布，则可建立从样本到总 体的联系。
26
3.5假设检验
如何建立从样本到总体间的联系
ˆ1 ~ N (1,
2
) xi2
ˆ0 ~ N ( 0 , n
X
2 i
2)
x
2 i
由于 ˆ1服从正态分布，则变量Z服从标准正态分布
Z = ˆ1 -1
ˆ1 -1
S ˆ1
/
xi 2
N 0， 1
由于 未知，需用 ˆ 代替，则变量t服从t分布
t
ˆ1 -1
ˆ /
xi 2
tn2
数学S.A.T一例
27
假设检验
先给定对总体参数值的原假设和备择假设， 然后根据样本信息，对原假设下的结果进行分析， 判断是否拒绝原假设。（拒绝原假设；不拒接原假设）
1
Step4: 如果原假设的 *值落在该区间中，则不拒绝原假设，
否则，拒绝原假设。
29
3.5.2变量的显著性检验
检验步骤：
计量经计学中，主要是针对变量的参 数真值是否为零来进行显著性检验的
（1）对总体参数提出假设 H0： 1=*， H1：1 *
第3章_双变量模型：假设检验
Yi = b1 + b2 X i + ui （一元线性） 一元线性）
Yi = b1 + b2 X 2i + b3 X 3i + L + ui
（多元线性） 多元线性）
2. 解释变量X与扰动项u不相关假定 解释变量X与扰动项u
当X是非随机变量，即确定性变量时，该条件 是非随机变量，即确定性变量时， 自动满足； 自动满足； 是随机变量时，该假定要求X 不相关。 当X是随机变量时，该假定要求X与u不相关。
Yi = b1 + b2 X i + ei
ˆ Yi = b1 + b2 Xi
E （ Y X i ）＝ B1＋ B2 X i
Yi = B1＋B2 X i + ui
双变量模型：假设检验 双变量模型：
X是
非随机的 随机误差项u是 随机的 Y 的生成是在随机误差项( 上加上一个非随机项( 由于Y的生成是在随机误差项( u)上加上一个非随机项( X)，因而Y也 就变成了随机变量。 就变成了随机变量。 于是必须对yi的分布做一番讨论 的分布做一番讨论。 于是必须对yi的分布做一番讨论。 所有这些意味着：只有假定随机误差项是如何生成的， 假定随机误差项是如何生成的 所有这些意味着：只有假定随机误差项是如何生成的，才能判定样本 回归函数对真实回归函数拟合的好坏。 回归函数对真实回归函数拟合的好坏。
（博 彩 支 ） 最 小 二 乘 准 则
Y 出
Yi
ˆ SRF : Yi = b1 + b2 X i
e1
e3
e2
e4
X4
X
1
X
2
X
3
X(收入 收入) 收入
B1、B2的估计
Yi = b1 + b2 X 2i + b3 X 3i + L + ui
（多元线性） 多元线性）
2. 解释变量X与扰动项u不相关假定 解释变量X与扰动项u
当X是非随机变量，即确定性变量时，该条件 是非随机变量，即确定性变量时， 自动满足； 自动满足； 是随机变量时，该假定要求X 不相关。 当X是随机变量时，该假定要求X与u不相关。
Yi = b1 + b2 X i + ei
ˆ Yi = b1 + b2 Xi
E （ Y X i ）＝ B1＋ B2 X i
Yi = B1＋B2 X i + ui
双变量模型：假设检验 双变量模型：
X是
非随机的 随机误差项u是 随机的 Y 的生成是在随机误差项( 上加上一个非随机项( 由于Y的生成是在随机误差项( u)上加上一个非随机项( X)，因而Y也 就变成了随机变量。 就变成了随机变量。 于是必须对yi的分布做一番讨论 的分布做一番讨论。 于是必须对yi的分布做一番讨论。 所有这些意味着：只有假定随机误差项是如何生成的， 假定随机误差项是如何生成的 所有这些意味着：只有假定随机误差项是如何生成的，才能判定样本 回归函数对真实回归函数拟合的好坏。 回归函数对真实回归函数拟合的好坏。
（博 彩 支 ） 最 小 二 乘 准 则
Y 出
Yi
ˆ SRF : Yi = b1 + b2 X i
e1
e3
e2
e4
X4
X
1
X
2
X
3
X(收入 收入) 收入
B1、B2的估计
双变量模型假设检验
2
x
2 i
var( b2 )
3.2 普通最小二乘估计量的方差与标准误
2 u 随机误差项 i的方差 的估计：
ˆ
2
e
2 i
n2
它是关于2的无偏估计量。
ei
ˆ
2
2
是残差平方和(RSS)
的正根称为估计值的标准差或是回归标准误
3-12
3.2 普通最小二乘估计量的方差与标准误
3.2.1 数学S.A.T一例的方差和标准误
1010
1010 10-8 3-13
10-8 0.000245
3.2 普通最小二乘估计量的方差与标准误
3.2.2 数学S.A.T一例的小结
估计的数学S.A.T函数如下：
ˆ 432.4138 0.0013 X Y i i se (16.9061) (0.000245)
3.1 古典线性回归模型
古典线性回归模型(CLRM)有如下7个基本 假定： 假定 3.1 回归模型是参数线性的，但不一 定是变量线性的。 假定3.2 解释变量X与扰动误差项不相关。 但是，如果X是非随机的(即其值为固定数 值)，则该假定自动满足
cov( X i , ui ) 0 i=1,2, …,n
3-20
3-10
3.2 普通最小二乘估计量的方差与标准误
普通最小二乘估计量的方差和标准误
X 2 var( b1 ) n x
2 i 2 i
se( b1 ) var( b2 ) se( b2 )
3-11
var( b1 )
一旦知道了 ² ,很容易计 算等式右边的项,从而可 以求得OLS估计量的方 差和标准差
3-3
古扎拉蒂《经济计量学精要》(第4版)笔记和课后习题详解-双变量模型：假设检验(圣才出品)
第3章双变量模型：假设检验3.1 复习笔记一、古典线性回归模型古典线性回归模型假定如下：假定1：回归模型是参数线性的，但不一定是变量线性的。
回归模型形式如下：Y i＝B1＋B2X i＋u i这个模型可以扩展到多个解释变量的情形。
假定2：解释变量X与扰动误差项u不相关。
但是，如果X是非随机的（即为固定值），则该假定自动满足。
即使X值是随机的，如果样本容量足够大，也不会对分析产生严重影响。
假定3：给定X，扰动项的期望或均值为零。
即E（u|X i）＝0（3-1）假定4：u i的方差为常数，或同方差，即var（u i）＝σ2（3-2）假定5：无自相关假定，即两个误差项之间不相关。
即：cov（u i，u j）＝0，i≠j（3-3）无自相关假定表明误差u i是随机的。
由于假定任何两个误差项不相关，所以任何两个Y值也是不相关的，即cov（Y i，Y j）＝0。
由于Y i＝B1＋B2X i＋u i，则给定B值和X值，Y 随u的变化而变化。
因此，如果u是不相关的，则Y也是不相关的。
假定6：回归模型是正确设定的。
换句话说，实证分析的模型不存在设定偏差或设定误差。
这一假定表明，模型中包括了所有影响变量。
二、普通最小二乘估计量的方差与标准误有了上述假定就能够估计出OLS估计量的方差和标准误。
由此可知，教材式（2-16）和教材式（2-17）给出的OLS估计量是随机变量，因为其值随样本的不同而变化。
这种抽样变异性通常由估计量的方差或其标准误（方差的平方根）来度量。
教材式（2-16）和式（2-17）中OLS估计量的方差及标准误是：（3-4）（3-5）（3-6）（3-7）其中，var表示方差，se表示标准误，σ2是扰动项u i的方差。
根据同方差假定，每一个u i具有相同的方差σ2。
一旦知道了σ2，就很容易计算等式右边的项，从而求得OLS估计量的方差和标准误。
根据下式估计σ2：（3-8）其中，σ∧2是σ2的估计量，是残差平方和，是Y的真实值与估计值差的平方和，即()122212var ibiXbn xσσ==∑∑1se()b=()22222varbibxσσ==∑()2se b=22ˆ2ienσ=−∑2ie∑n －2称为自由度，可以简单地看作是独立观察值的个数。
计量经济学第3章习题作业
出参数估计量，所要求的最小样本容量为（ ）
A n ≥ k +1 B n ≤ k +1 C n ≥ 30 D n ≥ 3(k +1)
6. 对于 Yi =βˆ0 + βˆ1Xi +ei ，以σˆ 表示估计标准误差，r 表示相关系数，则有（ ） A σˆ＝0时，r=1
B σˆ＝0时，r=-1
C σˆ＝0时，r=0
7. 简述变量显著性检验的步骤。 8. 简述样本相关系数的性质。 9. 试述判定系数的性质。
五、综合题
1. 为了研究深圳市地方预算内财政收入与国内生产总值的关系，得到以下数据：
年份
地方预算内财政收入 Y
国内生产总值(GDP)X
（亿元）
（亿元）
1990
21.7037
171.6665
1991
27.3291
184.7908
1436.0267
2000
225.0212
1665.4652
2001
265.6532
1954.6539
要求：
（1）建立深圳地方预算内财政收入对 GDP 的回归模型；
（2）估计所建立模型的参数，解释斜率系数的经济意义；
（3）对回归结果进行检验；
（4）若是 2005 年的国内生产总值为 3600 亿元，确定 2005 年财政收入的预测值和预
）
A 可靠性
B 合理性
C 线性
D 无偏性
E 有效性
5. 剩余变差是指（
）
A 随机因素影响所引起的被解释变量的变差
B 解释变量变动所引起的被解释变量的变差
C 被解释变量的变差中，回归方程不能做出解释的部分
D 被解释变量的总变差与回归平方和之差
A n ≥ k +1 B n ≤ k +1 C n ≥ 30 D n ≥ 3(k +1)
6. 对于 Yi =βˆ0 + βˆ1Xi +ei ，以σˆ 表示估计标准误差，r 表示相关系数，则有（ ） A σˆ＝0时，r=1
B σˆ＝0时，r=-1
C σˆ＝0时，r=0
7. 简述变量显著性检验的步骤。 8. 简述样本相关系数的性质。 9. 试述判定系数的性质。
五、综合题
1. 为了研究深圳市地方预算内财政收入与国内生产总值的关系，得到以下数据：
年份
地方预算内财政收入 Y
国内生产总值(GDP)X
（亿元）
（亿元）
1990
21.7037
171.6665
1991
27.3291
184.7908
1436.0267
2000
225.0212
1665.4652
2001
265.6532
1954.6539
要求：
（1）建立深圳地方预算内财政收入对 GDP 的回归模型；
（2）估计所建立模型的参数，解释斜率系数的经济意义；
（3）对回归结果进行检验；
（4）若是 2005 年的国内生产总值为 3600 亿元，确定 2005 年财政收入的预测值和预
）
A 可靠性
B 合理性
C 线性
D 无偏性
E 有效性
5. 剩余变差是指（
）
A 随机因素影响所引起的被解释变量的变差
B 解释变量变动所引起的被解释变量的变差
C 被解释变量的变差中，回归方程不能做出解释的部分
D 被解释变量的总变差与回归平方和之差
4--双变量回归：假设检验
（Z b2 B2 ~ N (0,1)） SE (b2 )
b2 Z 2 SE (b2 )
3、总体服从正态分布（ 2未知，即SE （b2）未知）
t
b2 B2 ~ t (n 2) ˆ (b ) SE 2
对给定的置信概率1 ，查t分布表确定临界值 t 2，由
P{t （ ） t t （ ） } 1 2 n2 2 n2
b2 B2 ~ N (0,1) SE (b2 )
P[b2 Z 2 SE (b2 ) b2 b2 Z 2 SE （b2） ] 1
参数B 2的置信度为1 的置信区间为
b2 z 2 SE (b2 )
2、 2未知（即SE （b2）未知），且为大样本时，B2的置信度为1 的置信区间为
第三讲 双变量模型：假设检验
• 假设检验 • 估计回归直线的“优度” • 怎样判别它确实是真实的总体回归函数的 一个好的估计量呢？ • 如何仅仅根据一个样本，来确定样本回归 函数确实是真实总体回归函数的一个好的 近似呢？
ui是如何生成的
• 只有对ui的生成做一些特殊的假定，才能完 成假设检验。 • 古典线性回归模型 • (Classical Linear Regression Model, CLRM)。
假定5：随机扰动项服从正态分布
ui ~ N (0, )
2
Yi ~ N （b1 b2 X i ， 2 ）
7
6.2 普通最小二乘估计量的方差与标准差
为估计值的标准差(standard error of the estimate)或是回归标准差(s t a n d a r d error of theregression)， Y值偏离估计的回归直线的标准方 差。 估计回归线的拟合优度(goodness of fit)的简单度量，
b2 Z 2 SE (b2 )
3、总体服从正态分布（ 2未知，即SE （b2）未知）
t
b2 B2 ~ t (n 2) ˆ (b ) SE 2
对给定的置信概率1 ，查t分布表确定临界值 t 2，由
P{t （ ） t t （ ） } 1 2 n2 2 n2
b2 B2 ~ N (0,1) SE (b2 )
P[b2 Z 2 SE (b2 ) b2 b2 Z 2 SE （b2） ] 1
参数B 2的置信度为1 的置信区间为
b2 z 2 SE (b2 )
2、 2未知（即SE （b2）未知），且为大样本时，B2的置信度为1 的置信区间为
第三讲 双变量模型：假设检验
• 假设检验 • 估计回归直线的“优度” • 怎样判别它确实是真实的总体回归函数的 一个好的估计量呢？ • 如何仅仅根据一个样本，来确定样本回归 函数确实是真实总体回归函数的一个好的 近似呢？
ui是如何生成的
• 只有对ui的生成做一些特殊的假定，才能完 成假设检验。 • 古典线性回归模型 • (Classical Linear Regression Model, CLRM)。
假定5：随机扰动项服从正态分布
ui ~ N (0, )
2
Yi ~ N （b1 b2 X i ， 2 ）
7
6.2 普通最小二乘估计量的方差与标准差
为估计值的标准差(standard error of the estimate)或是回归标准差(s t a n d a r d error of theregression)， Y值偏离估计的回归直线的标准方 差。 估计回归线的拟合优度(goodness of fit)的简单度量，
第3章 双线性模型：假设检验
第一部分 线性回归 模型
Chp 3 双变量模型：假设检验
主要内容
古典线性回归模型的假定 OLS估计量及其性质 OLS估计量的方差与标准误 OLS估计量的抽样分布（概率分布） 假设检验 拟合优度 正态性检验 预测
3.1
古典线性回归模型
线性回归模型的基本假设
假设1. 回归模型是参数线性的，但不一定是变量 线性； Yi=B1+B2Xi+ui
高 斯 — 马 尔 可 夫 定 理 (Gauss-Markov theorem)
在给定经典线性回归的假定下，最小 二乘估计量是具有最小方差的线性无偏估 计量。
蒙特卡洛试验 OLS估计量的无偏性可以通过蒙特卡洛试验验证。 假设有如下信息：
与相应的真实值1.5、2、4很接近，反复的应用最小二乘法，平均的看，估计值将 等于真实值。
同方差
异方差
假设5. 无自相关假定，即：
Cov(ui, uj)=0, ij 由该假定可得，Cov(Yi, Yj)=0, ij ，即Y也不相 关。
假设6. 回归模型是正确设定的，即模型不存在设 定误差（错误）无自相关假定，即： Cov(ui, uj)=0, ij
由该假定可得，Cov(Yi, Yj)=0, ij ，即Y也不相关。
n xi
2 X i
2 2
var （b2） =
2 b2
x
2
2 i
se （b2） var （b2）
其中 var 表示方差， se 表示标准误， 是
2
扰动项i的方差。
一旦知道了 2，就可以求出等式右边的项， 从而求出OLS的方差和标准误。通常根据 下式估价
2
=
Chp 3 双变量模型：假设检验
主要内容
古典线性回归模型的假定 OLS估计量及其性质 OLS估计量的方差与标准误 OLS估计量的抽样分布（概率分布） 假设检验 拟合优度 正态性检验 预测
3.1
古典线性回归模型
线性回归模型的基本假设
假设1. 回归模型是参数线性的，但不一定是变量 线性； Yi=B1+B2Xi+ui
高 斯 — 马 尔 可 夫 定 理 (Gauss-Markov theorem)
在给定经典线性回归的假定下，最小 二乘估计量是具有最小方差的线性无偏估 计量。
蒙特卡洛试验 OLS估计量的无偏性可以通过蒙特卡洛试验验证。 假设有如下信息：
与相应的真实值1.5、2、4很接近，反复的应用最小二乘法，平均的看，估计值将 等于真实值。
同方差
异方差
假设5. 无自相关假定，即：
Cov(ui, uj)=0, ij 由该假定可得，Cov(Yi, Yj)=0, ij ，即Y也不相 关。
假设6. 回归模型是正确设定的，即模型不存在设 定误差（错误）无自相关假定，即： Cov(ui, uj)=0, ij
由该假定可得，Cov(Yi, Yj)=0, ij ，即Y也不相关。
n xi
2 X i
2 2
var （b2） =
2 b2
x
2
2 i
se （b2） var （b2）
其中 var 表示方差， se 表示标准误， 是
2
扰动项i的方差。
一旦知道了 2，就可以求出等式右边的项， 从而求出OLS的方差和标准误。通常根据 下式估价
2
=
第3章 双变量模型：假设检验
2X
例题2 假设有人做了如下的回归
yi b1 b2 xi ei
其中，yi，xi分别为Yi，Xi关于各自均值的 离差。 问b1和b2将分别取何值？
解： 1 1 记 x n xi ， y n yi ，则易知
于是
b2
x y 0
( x x )( y y ) x y (x x) x
6．回归模型是正确设定的。
3.2 OLS估计量的方差与标准差
var(b1 ) b21 n xi X i2
2 2
se(b1 ) var(b1 )
var(b2 ) b22
x
2
2 i
se(b2 ) var(b2 )
ˆ
2
e
2 i
n2
3.3 OLS估计量的性质
(5) 利用前面所产生的10个 值，将Yi 对 X 进行回归，并 得到b1和b2的值。
(6)重复上述过程21次，我们 将得到如表3-2所示的结果 （即Table 3-2）。
结论： 假如反复利用最小二乘法求解参数 的估计值，所估计出的参数的平均值将 等于其真值。也就是说，OLS 估计量是 无偏的。
故有：
e
2 i
[( B2 b2 ) 2 xi2 2( B2 b2 ) xi (ui u ) (ui u ) 2 ] ( B2 b2 ) xi2 (ui u ) 2 [( ki ui ) xi (ui u )]
2 2 2 2
ˆ ( yi yi ) [( B2 b2 ) xi (ui u )]
2
k
2 i
(c i k i )
2 k i2
第三章 双变量模型
暨南大学金融系 ZHT 23
ˆ) = β 同样的方法可以证明： E ( β 1 1
暨南大学金融系 ZHT 24
3、有效性（最小方差）
u
3、有效性（最小方差）
u
u
OLS参数估计量的有效性指的是： 在一切线性、无偏估计量中，OLS参数估计量是方 差最小的。 高斯－马尔可夫定理：在给定经典线性回归模型的 假定下，最小二乘估计量，在无偏线性估计量中， 有最小方差。也就是说它们是BLUE（Best Linear Unbiased Estimator ）。 通俗地讲，就是估计量围绕真实值的波动是最小 的，或者说最估计量最密集地分布在真实值附近。
暨南大学金融系 ZHTFra bibliotekb 的方差： Var (b) = σ 2 ∑ hi2 = σ 2 ∑ (hi − wi + wi )
u
暨南大学金融系 ZHT 7
最小二乘法的数学原理
u
纵向距离是Y的实际值与拟合值之差，差异大 拟合不好，差异小拟合好，所以称为残差、拟 合误差或剩余。 将所有纵向距离平方后相加，即得误差平方 和，“最好”直线就是使误差平方和最小的直 线。拟合直线在总体上最接近实际观测点。 于是可以运用求极值的原理，将求最好拟合直 线问题转换为求误差平方和最小的问题— — OLS。
i 1 2 2 2
i
i
1， 2，3都是有限样本 性质；4 是渐进性质
19 暨南大学金融系 ZHT 20
暨南大学金融系 ZHT
ˆ= ∑ (Y − Y )( X − X ) ＝ ∑ Y ( X − X ) β ∑( X − X ) ∑( X − X )
i i i i 2 2 2 i i
1、线性
＝∑ [
∑ (X
ˆ) = β 同样的方法可以证明： E ( β 1 1
暨南大学金融系 ZHT 24
3、有效性（最小方差）
u
3、有效性（最小方差）
u
u
OLS参数估计量的有效性指的是： 在一切线性、无偏估计量中，OLS参数估计量是方 差最小的。 高斯－马尔可夫定理：在给定经典线性回归模型的 假定下，最小二乘估计量，在无偏线性估计量中， 有最小方差。也就是说它们是BLUE（Best Linear Unbiased Estimator ）。 通俗地讲，就是估计量围绕真实值的波动是最小 的，或者说最估计量最密集地分布在真实值附近。
暨南大学金融系 ZHTFra bibliotekb 的方差： Var (b) = σ 2 ∑ hi2 = σ 2 ∑ (hi − wi + wi )
u
暨南大学金融系 ZHT 7
最小二乘法的数学原理
u
纵向距离是Y的实际值与拟合值之差，差异大 拟合不好，差异小拟合好，所以称为残差、拟 合误差或剩余。 将所有纵向距离平方后相加，即得误差平方 和，“最好”直线就是使误差平方和最小的直 线。拟合直线在总体上最接近实际观测点。 于是可以运用求极值的原理，将求最好拟合直 线问题转换为求误差平方和最小的问题— — OLS。
i 1 2 2 2
i
i
1， 2，3都是有限样本 性质；4 是渐进性质
19 暨南大学金融系 ZHT 20
暨南大学金融系 ZHT
ˆ= ∑ (Y − Y )( X − X ) ＝ ∑ Y ( X − X ) β ∑( X − X ) ∑( X − X )
i i i i 2 2 2 i i
1、线性
＝∑ [
∑ (X
计量经济学：第3章 双变量模型：估计与检验
xi2
ˆ
的方差：Var (ˆ )
X
2 i
nxi2
2
ˆ Y ˆ X
ˆ
xi yi xi2
2 的估计量
e2
ˆ 2
i
n2
ˆ：残差的标准差s，又称为回归标准误，
度量了真实值与估计量的离差。
7
3.3 OLS估计量的性质
高斯-马尔可夫定理 （Gauss-Markov theorem） 如果满足古典线性回归模型的基本假 定，则在所有线性无偏估计量中， OLS估计量具有最小方差。即OLS估 计量是最优线性无偏估计量（BLUE） （Best Linear Unbiased Estimator）。
y | Coef. Std. Err. t P>|t| -----------------------------------------------------------
x | -.479529 .1140218 -4.21 0.002 _cons | 2.691124 .1216225 22.13 0.000
Var( X )
0 C ov( X , X ) C ov( X , u)
Var( X )
C ov( X , u)
Var( X )
11
回归估计量的性质 Y X u
Yˆ ˆ ˆX
ˆ C ov( X ,Y ) C ov( X ,[ X u])
Var( X )
Var( X )
Var( X )
0 C ov( X , X ) C ov( X , )
Var( X )
C ov( X , )
Var( X )
10
回归估计量的性质 Y X u
Yˆ ˆ ˆX
ˆ
的方差：Var (ˆ )
X
2 i
nxi2
2
ˆ Y ˆ X
ˆ
xi yi xi2
2 的估计量
e2
ˆ 2
i
n2
ˆ：残差的标准差s，又称为回归标准误，
度量了真实值与估计量的离差。
7
3.3 OLS估计量的性质
高斯-马尔可夫定理 （Gauss-Markov theorem） 如果满足古典线性回归模型的基本假 定，则在所有线性无偏估计量中， OLS估计量具有最小方差。即OLS估 计量是最优线性无偏估计量（BLUE） （Best Linear Unbiased Estimator）。
y | Coef. Std. Err. t P>|t| -----------------------------------------------------------
x | -.479529 .1140218 -4.21 0.002 _cons | 2.691124 .1216225 22.13 0.000
Var( X )
0 C ov( X , X ) C ov( X , u)
Var( X )
C ov( X , u)
Var( X )
11
回归估计量的性质 Y X u
Yˆ ˆ ˆX
ˆ C ov( X ,Y ) C ov( X ,[ X u])
Var( X )
Var( X )
Var( X )
0 C ov( X , X ) C ov( X , )
Var( X )
C ov( X , )
Var( X )
10
回归估计量的性质 Y X u
Yˆ ˆ ˆX
双变量模型之假设检验
3）当 X 与 Y 在统计上独立时，r 必定等于零。但 r 0 ，令仅
说明 X 与Y 之间不存在线性相关，并不说明 X 与 Y 之间独立。因为这 时 X 与 Y 之间还可能存在非线性相关。
2020/2/10
qcc
14
（4）相关分析与回归分析的联系
（1） r r 2
相关系数等于判定系数开方。 但是，我们必须明白，尽管相关系数r 与判定系数r 2 在计算上具 有 r r 2 这样的内在联系，但两者在概念和作用上仍是有本质区 别的：前者以相关分析理论为基础，研究的是两个随机变量之间的 线性相关关系，不反映变量之间的因果关系；后者则是以回归分析 理论为基础，研究的是一个随机变量如何随着另一个非随机变量的 变动而变动。前者描述的是两个随机变量线性相关的方向和程度； 后者描述的是样本回归直线对被解释变量变动的解释程度。因此， 我们决不能将两者混淆。
2020/2/10
qcc
2
一、拟合优度检验 二、变量的显著性检验 三、参数的置信区间检验 四、预测
一、拟合优度检验
拟合优度检验：对样本回归直线与样本观测值之间 拟合程度的检验。
判定系数（可决系数）：度量拟合优度的指标R2
其含义是解释变差占总变差的比重，用来描述解释 变量对被解释变量变动的解释程度。
qcc
12
3、衡量简单线性相关的指标：相关系数
相关系数是衡量双变量间线性相关的方向和密切程度的指标。
（1）总体相关系数。
CovX ,Y
x y
总体相关系数是描述总体 X 与 Y 之间真实的相关情况的，知道
总体相关系数是相关分析的目的所在。
（2）样本相关系数
r X i X Yi Y
R 2
说明 X 与Y 之间不存在线性相关，并不说明 X 与 Y 之间独立。因为这 时 X 与 Y 之间还可能存在非线性相关。
2020/2/10
qcc
14
（4）相关分析与回归分析的联系
（1） r r 2
相关系数等于判定系数开方。 但是，我们必须明白，尽管相关系数r 与判定系数r 2 在计算上具 有 r r 2 这样的内在联系，但两者在概念和作用上仍是有本质区 别的：前者以相关分析理论为基础，研究的是两个随机变量之间的 线性相关关系，不反映变量之间的因果关系；后者则是以回归分析 理论为基础，研究的是一个随机变量如何随着另一个非随机变量的 变动而变动。前者描述的是两个随机变量线性相关的方向和程度； 后者描述的是样本回归直线对被解释变量变动的解释程度。因此， 我们决不能将两者混淆。
2020/2/10
qcc
2
一、拟合优度检验 二、变量的显著性检验 三、参数的置信区间检验 四、预测
一、拟合优度检验
拟合优度检验：对样本回归直线与样本观测值之间 拟合程度的检验。
判定系数（可决系数）：度量拟合优度的指标R2
其含义是解释变差占总变差的比重，用来描述解释 变量对被解释变量变动的解释程度。
qcc
12
3、衡量简单线性相关的指标：相关系数
相关系数是衡量双变量间线性相关的方向和密切程度的指标。
（1）总体相关系数。
CovX ,Y
x y
总体相关系数是描述总体 X 与 Y 之间真实的相关情况的，知道
总体相关系数是相关分析的目的所在。
（2）样本相关系数
r X i X Yi Y
R 2
第3章双变量模型假设检验
正态分布随机变量的线 性函数也服从正态分布
应变量Y也服从正态分布
OLS估计量是线性估计量，是应变量Y的线性函数 正态分布随机变量的线性 函数也服从正态分布
OLS估计量也服从正态分布
b1
N ( B1 ,
X n x
2 2
2
)
b2
N ( B2 ,
x
2 2
)
为什么要推导OLS估计量的抽样分布？
异方差
Y
var(i | X i ) i 2
var(i | X1 ) 12
var(i | X 3 ) 32
X1
X2
X3
X
假定3.5 无自相关假定， Cov(ui , u j ) 0
i j
ui
ui
ui
uj
uj
uj
3.2 OLS估计量的方差与标准误
OLS估计量是随机变量,这样，就会产生抽样误差， 即不同样本的估计值的差异。
2 var( | X ) 假定3.4 同方差假定 i i
Y
var(i | X 3 ) 2
var(i | X1 ) 2
X1
X2
X3
X
假定同方差的目的是从不同的子总体中抽取 的Y值都是同样可靠的。因为它们各自的方 差是相等的，其分散程度相同。
相反，如果存在异方差，不同的子总体的方差 不同，那么一般说来，从方差较大的子总体中 抽取的Y值代表性较____。
Y
E(u | X 3 ) 0
E(u | X1 ) 0
X1
X2
X3
X
对于确定性的总体回归函数
E(Y | X i ) B1 B2 X i
计量经济学：第3章 双变量模型：假设检验
异方差(Heteroscedasticity)
Y
.
.
E(Y|Xi) = B1 + B2Xi
.
X1
X2
X3
X
10
3.1 古典线性回归模型
假定3.5 随机误差项无自相关（no autocorrelation)， 又称序列相关，即
• Cov(ui, uj) = 0 for all ij
假定3.6 回归模型设定是正确的。 上述几条假设称为经典线性模型基本假设（CLRM）
t
2
sˆ
Xi X
2
,
b2
+ t
2
sˆ
Xi X
2
给定显著性水平，如果上述置信区间不包括0，
则说明，B2在的显著性水平下，显著不为0。
32
3.5.1 置信区间法
数学S.A.T一例中，共有10个观察值，自由度为（10-2）=8， 假定显著水平为5%。
33
34
3.5 假设检验
36
37
n
sˆ ei2 n 2 i 1
18
3.2 OLS估计量的方差与标准差
var
b2
n
sˆ 2
X
X
2
i 1
seb2
var b2
sˆ
n
X
X
2
i 1
var b1 = n
X
2 i
2 sˆ 2 ,
Xi X
seb1 sˆ
X
2 i
n Xi X 2
19
3.2.1 普通最小二乘估计量的方差与标准 误
一决定。
25
3.4 OLS估计量的抽样分布或概率 分布
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
偏度和峰度，详见335页附录B.6； 卡方分布，详见355页附录C.3 卡方分布表，详见394页表E-4
第三章 双变量模型：假设检验
第三章 双变量模型：假设检验
EVIEWS 正态性检验的输出结果
第三章 双变量模型：假设检验
关于检验，有话要说
简单地讲，无论哪种检验(拟合优度检验除外)，过程分以下三步： 1. 知道该检验的原假设H0是什么。 2. 在EVIEWS输出表格中准确地找到该检验的结果——p值，即 错误地拒绝掉了一个真实的H0的概率。 3. 将p值与某一选定的显著水平(一般选5%)去比，如果p值小于 5%则拒绝H0，大于5%则不拒绝H0 。
Thank you!
第三章 双变量模型：假设检验
3.5 参数的显著性检验
提出假设： H0：B2 = 0 (零假设、原假设) H1：B2 ≠ 0 (备择假设)
第三章 双变量模型：假设检验
3.5 参数的显著性检验
检验统计量 — t 统计量
第353页 t分布
第三章 双变量模型：假设检验
3.5 参数的显著性检验
t 检验 （t -test）
注：显著水平
是犯第一类错误的概率，即当H0为真时却拒绝H0
第373页 第一类错误 和第二类错误
第三章 双变量模型：假设检验
3.5 参数的显著性检验
第387页 t分布表
第三章 双变量模型：假设检验
3.5 参数的显著性检验
第387页 t分布表
第三章 双变量模型：假设检验
EVIEWS 回归结果
Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 09/10/02 Time: 18:06 Sample: 1966 1992 Included observations: 27 Variable C P T I H R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat Coefficient Std. Error t-Statistic 85.43924 -1.617484 0.643769 -0.047475 1.943791 0.960015 0.952745 20.48984 9236.342 -117.0847 1.384853 492.8046 0.495976 0.262358 0.012311 0.349156 0.173373 -3.261216 2.453782 -3.856162 5.567113 Prob. 0.8639 0.0036 0.0225 0.0009 0 1026.222 94.25756 9.043312 9.283282 132.0525 0
t Std. Error t-Statistic Coefficient
85.43924 -1.617484 0.643769 -0.047475 1.943791 0.960015 0.952745 20.48984 9236.342 -117.0847 1.384853 492.8046 0.495976 0.262358 0.012311 0.349156 0.173373 -3.261216 2.453782 -3.856162 5.567113
利用统计推断的原理，对模型和参数的可靠性进行检验 （包括参数的显著性检验、拟合优度检验、模型的显著性检验等）
计量经济学检验：
计量经济学所特有的统计检验方法 （包括多重共线性检验、异方差检验、自相关检验等）
第三章 双变量模型：假设检验
3.9 正态性检验
检验随机误差项ui是否服从正态分布 • 由于随机误差项ui 无法观测，因此使用ui的估计量ei替代
第三章 双变量模型：假设检验
3.5 参数的显著性检验
考虑一个双变量模型：
其中B2反映了自变量X对Y的影响：
如果B2 =0，则表明X对Y没有影响，参数的不显著的； 如果B2显著地不等于0，则表明X对Y有显著影响，参数是显著的。
因此有必要用数理统计的方法对参数B2是否为0 进行检验, 这样的检验称为参数的显著性检验。
Prob. 0.8639 0.0036 0.0225 0.0009 0 1026.222 94.25756 9.043312 9.283282 132.0525 0
Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)
第三章 双变量模型：假设检验
3.6 拟合优度检验
与古典线性回归模型有关的一些检验：
统计学检验：
利用统计推断的原理，对模型和参数的可靠性进行检验 （包括参数的显著性检验、拟合优度检验、模型的显著性检验等）
计量经济学检验：
计量经济学所特有的统计检验方法 （包括多重共线性检验、异方差检验、自相关检验等）
Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)
第三章 双变量模型：假设检验
3.5 参数的显著性检验
参数显著性检验的三种方法：
｜t｜与临界值做比较
Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)
第三章 双变量模型：假设检验
3.9 正态性检验
与古典线性回归模型有关的一些检验：
统计学检验：
第三章 双变量模型：假设检验
3.5 参数的显著性检验
与古典线性回归模型有关的一些检验：
统计学检验：
利用统计推断的原理，对模型和参数的可靠性进行检验 （包括参数的显著性检验、拟合优度检验、模型的显著性检验等）
计量经济学检验：
计量经济学所特有的统计检验方法 （包括多重共线性检验、异方差检验、自相关检验等）
第三章 双变量模型：假设检验
相对而言，哪一个拟合得更好？ 如何判断？
第三章 双变量模型：假设检验
3.6 拟合优度检验
第三章 双变量模型：假设检验
3.6 拟合优度检验
第三章 双变量模型：假设检验
3.6 拟合优度检验
判定系数 统计量：
第三章 双变量模型：假设检验
3.6 拟合优度检验
判定系数R2度量了回归模型对因变量Y变异(总离差的平方和) 的解释比例(百分比)。因此，在建立计量经济模型时，人们往往 将R2作为评选模型的一个重要标准。 但有时也会为了模型有一个明确的经济解释必须放弃对高的R2 的要求，这一点在宏观计量经济模型(主要是时间序列分析)中是 常见的。 当然，如果能够兼顾其他的评选标准和模型的经济解释，R2 越高越好。
将｜t｜与某一选定的显著水平(1%、5%或10%)所对应的临界值比较， 如果大于临界值，则拒绝H0
“2倍”检验法
将｜t｜直接和2比较，如果大于2，则拒绝H0
p值检验法
算出｜t｜所对应的p值(精确的显著水平)，如果p值足够小，则拒绝H0
第三章 双变量模型：假设检验
EVIEWS 回归结果
Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 09/10/02 Time: 18:06 Sample: 1966 1992 Included observations: 27 Variable C P T I H R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat
检验方法有很多， 例如Anderson-Darling检验、Kolmogorov-Smirnov检验、 Shapiro-Wilk 检验等，其中现在最常用的是Jarque-Bera检验。
第三章 双变量模型：假设检验
3.9 正态性检验
Jarque-Bera检验
H0：被检验的对象服从正态分布
统计量
n：样本容量Байду номын сангаасS：偏度，K：峰度 雅克和贝拉证明了, 在正态性假设下，JB统计量渐近地(asymptotically)服从自由 度为2的卡方分布：
第三章 双变量模型：假设检验
EVIEWS 回归结果
Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 09/10/02 Time: 18:06 Sample: 1966 1992 Included observations: 27 Variable C P T I H R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat Coefficien 85.43924 -1.617484 0.643769 -0.047475 1.943791 0.960015 0.952745 20.48984 9236.342 -117.0847 1.384853 Std. Error t-Statistic 492.8046 0.495976 0.262358 0.012311 0.349156 0.173373 -3.261216 2.453782 -3.856162 5.567113 Prob. 0.8639 0.0036 0.0225 0.0009 0 1026.222 94.25756 9.043312 9.283282 132.0525 0