2011年全国高考理科数学试题及答案-福建
2011年高考试题(全国新课标)数学(理科)试卷及答案
2011年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． (1)复数212ii+-的共轭复数是（A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i （2）下列函数中，既是偶函数、又在(0,)+∞单调递增的函数是 （A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2xy -=（3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是 （A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）5040（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34（5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ= （A ）45-（B ）35- （C ）35 （D ）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的 侧视图可以为（7）设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于 A,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）3（8）512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40 （9）由曲线y x =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（A ）103 （B ）4 （C ）163（D ）6 （10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈⎥⎝⎦3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦其中的真命题是（A ）14,P P （B ）13,P P （C ）23,P P （D ）24,P P （11）设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π,且()()f x f x -=,则（A ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 （B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 （C ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增（D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 (12)函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有焦点的横坐标之和等于 （A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）若变量,x y 满足约束条件329,69,x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩则2z x y =+的最小值为 。
2011年福建高考理科数学真题及答案
2011年福建高考理科数学真题及答案一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）i是虚数单位，若集合S={﹣1，0，1}，则（）A．i∈S B．i2∈S C．i3∈S D．【解答】解：∵S={﹣1.0.1}，∴i∉S，故A错误；i2=﹣1∈S，故B正确；i3=﹣i∉S，故C错误；∉S，故D错误；故选B2．（5分）若a∈R，则a=2是（a﹣1）（a﹣2）=0的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：当a=2时，（a﹣1）（a﹣2）=0成立故a=2⇒（a﹣1）（a﹣2）=0为真命题而当（a﹣1）（a﹣2）=0，a=1或a=2，即a=2不一定成立故（a﹣1）（a﹣2）=0⇒a=2为假命题故a=2是（a﹣1）（a﹣2）=0的充分不必要条件故选A3．（5分）若tanα=3，则的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．6【解答】解：==2tanα=6故选D4．（5分）如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于（）A．B．C．D．【解答】解：由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为P=．故选C．5．（5分）（e x+2x）dx等于（）A．1 B．e﹣1 C．e D．e2+1【解答】解：（e x+2x）dx=（e x+x2）|01=e+1﹣1=e故选C．6．（5分）（1+2x）3的展开式中，x2的系数等于（）A．80 B．12 C．20 D．10【解答】解：展开式的通项为T r+1=2r C3r x r令r=2的展开式中x2的系数等于22C32=12故选B7．（5分）设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则曲线r的离心率等于（）A．B．或2 C． 2 D．【解答】解：依题意设|PF1|=4t，|F1F2|=3t，|PF2|=2t，若曲线为椭圆则2a=|PF1|+|PF2|=6t，c=t则e==，若曲线为双曲线则，2a=4t﹣2t=2t，a=t，c=t∴e==故选A8．（5分）已知O是坐标原点，点A（﹣1，1），若点M（x，y）为平面区域，上的一个动点，则•的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．[0，1] C．[0，2] D．[﹣1，2]【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式当x=1，y=1时，•=﹣1×1+1×1=0当x=1，y=2时，•=﹣1×1+1×2=1当x=0，y=2时，•=﹣1×0+1×2=2故•和取值范围为[0，2]解法二：z=•=﹣x+y，即y=x+z当经过P点（0，2）时在y轴上的截距最大，从而z最大，为2．当经过S点（1，1）时在y轴上的截距最小，从而z最小，为0．故•和取值范围为[0，2]故选：C9．（5分）对于函数f（x）=asinx+bx+c（其中，a，b∈R，c∈Z），选取a，b，c的一组值计算f（1）和f（﹣1），所得出的正确结果一定不可能是（）A．4和6 B．3和1 C．2和4 D．1和2【解答】解：f（1）=asin1+b+c ①f（﹣1）=﹣asin1﹣b+c ②①+②得：f（1）+f（﹣1）=2c∵c∈Z∴f（1）+f（﹣1）是偶数故选：D10．（5分）已知函数f（x）=e x+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，给出以下判断：①△ABC一定是钝角三角形；②△ABC可能是直角三角形；③△ABC可能是等腰三角形；④△ABC不可能是等腰三角形．其中，正确的判断是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【解答】解：由于函数f（x）=e x+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，且横坐标依次增大由于此函数是一个单调递增的函数，故由A到B的变化率要小于由B到C的变化率．可得出角ABC一定是钝角故①对，②错．由于由A到B的变化率要小于由B到C的变化率，由两点间距离公式可以得出AB＜BC，故三角形不可能是等腰三角形，由此得出③不对，④对．故选B．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．（4分）运行如图所示的程序，输出的结果是 3 ．【解答】解：a=1，b=2，接下来：a=1+2=3故最后输出3．故答案为：3．12．（4分）三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P﹣ABC的体积等于．【解答】解：三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，所以底面面积为：；三棱锥的体积为：=故答案为：13．（4分）盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于．【解答】解：从中随机取出2个球，每个球被取到的可能性相同，是古典概型从中随机取出2个球，所有的取法共有C52=10所取出的2个球颜色不同，所有的取法有C31•C21=6由古典概型概率公式知P=故答案为14．（4分）如图，△AB C中，AB=AC=2，BC=，点D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于．【解答】解：由A向BC作垂线，垂足为E，∵AB=AC∴BE=BC=∵AB=2∴cosB==∴B=30°∴AE=BE•tan30°=1∵∠ADC=45°∴AD==故答案为：15．（4分）设V是全体平面向量构成的集合，若映射f：V→R满足：对任意向量=（x1，y1）∈V，=（x2，y2）∈V，以及任意λ∈R，均有f（λ+（1﹣λ））=λf（）+（1﹣λ）f（）则称映射f具有性质P．先给出如下映射：①f1：V→R，f1（）=x﹣y，=（x，y）∈V；②f2：V→R，f2（）=x2+y，=（x，y）∈V；③f3：V→R，f3（）=x+y+1，=（x，y）∈V．其中，具有性质P的映射的序号为①③．（写出所有具有性质P的映射的序号）【解答】解：，则+（1﹣λ）y2}对于①，=λx1+（1﹣λ）x2﹣λy1﹣（1﹣λ）y2=λ（x1﹣y1）+（1﹣λ）（x2﹣y2）而=λ（x1﹣y1）+（1﹣λ）（x2﹣y2）满足性质P对于②f2（λa+（1﹣λb））=[λx1+（1﹣λ）x2]2+[λy1+（1﹣λ）y2]，λf2（a）+（1﹣λ）f2（b）=λ（x12+y1）+（1﹣λ）（x22+y2）∴f2（λa+（1﹣λb））≠λf2（a）+（1﹣λ）f2（b），∴映射f2不具备性质P．对于③=λx1+（1﹣λ）x2+λy1+（1﹣λ）y2+1=λ（x1+y1）+（1﹣λ）（x2+y2）+1而=λ（x1+y1+1）+（1﹣λ）（x2+y2+1）═λ（x1+y1）+（1﹣λ）（x2+y2）+1满足性质p故答案为：①③．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（13分）已知等比数列{a n}的公比q=3，前3项和S3=．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在处取得最大值，且最大值为a3，求函数f（x）的解析式．【考点】等比数列的通项公式；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）根据等比数列的前n项和的公式及q=3化简S3=，得到关于首项的方程，求出方程的解得到首项的值，然后根据首项和公比即可写出数列的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出的通项公式求出a3的值，即可得到A的值，然后把代入正弦函数中得到函数值等于1，根据φ的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出φ的值，把φ的值代入即可确定出f（x）的解析式．【解答】解：（Ⅰ）由q=3，S3=得：=，解得a1=，所以a n=×3n﹣1=3n﹣2；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a n=3n﹣2，所以a3=3，因为函数f（x）的最大值为3，所以A=3；又因为当x=时，f（x）取得最大值，所以sin（2×+φ）=1，由0＜φ＜π，得到φ=．则函数f（x）的解析式为f（x）=3sin（2x+）．【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的前n项和的公式及通项公式化简求值，掌握正弦函数的图象与性质以及会利用待定系数法求函数的解析式，是一道中档题．17．（13分）已知直线l：y=x+m，m∈R．（Ⅰ）若以点M（2，0）为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线l关于x轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C：x2=4y是否相切？说明理由．【考点】直线与圆的位置关系；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题．【分析】（I）利用待定系数法求本题中圆的方程是解决本题的关键，利用直线与圆相切的数学关系列出关于圆的半径的方程，通过求解方程确定出所求圆的半径，进而写出所求圆的方程；（II）设出直线为l'的方程利用直线与抛物线的位置关系解决该题，将几何问题转化为代数方程组问题，注意体现方程有几个解的思想．【解答】解：（I）设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为（x﹣2）2+y2=r2．由题意，所求圆与直线l：y=x+m相切于点P（0，m），则有，解得，所以圆的方程为（x﹣2）2+y2=8．（II）由于直线l的方程为y=x+m，所以直线l′的方程为y=﹣x﹣m，由消去y 得到x2+4x+4m=0，△=42﹣4×4m=16（1﹣m）．①当m=1时，即△=0时，直线l′与抛物线C：x2=4y相切；②当m≠1时，即△≠0时，直线l′与抛物线C：x2=4y不相切．综上，当m=1时，直线l′与抛物线C：x2=4y相切；当m≠1时，直线l′与抛物线C：x2=4y 不相切．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系，考查学生对直线与圆相切，直线与抛物线相切的问题的转化方法，考查学生的方程思想和运算化简能力，属于基本题型．18．（13分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y=+10（x﹣6）2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．【考点】函数模型的选择与应用；利用导数研究函数的单调性．【专题】应用题．【分析】（Ⅰ）由f（5）=11代入函数的解析式，解关于a的方程，可得a值；（Ⅱ）商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x值．【解答】解：（Ⅰ）因为x=5时，y=11，所以+10=11，故a=2（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量y=所以商场每日销售该商品所获得的利润为从而，f′（x）=10[（x﹣6）2+2（x﹣3）（x﹣6）]=30（x﹣6）（x﹣4）于是，当x变化时，f（x）、f′（x）的变化情况如下表：x （3，4） 4 （4，6）f'（x）+0 ﹣f（x）单调递增极大值42 单调递减由上表可得，x=4是函数f（x）在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点．所以，当x=4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．【点评】本题函数解析式的建立比较容易，考查的重点是利用导数解决生活中的优化问题，属于中档题．19．（13分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1，2，…，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准（Ⅰ）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：X15 6 78P 0.4 a b0.1且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；（Ⅱ）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 3 46 3 47 5 3 48 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望．（Ⅲ）在（Ⅰ）、（Ⅱ）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：（1）产品的“性价比”=；（2）“性价比”大的产品更具可购买性．【考点】概率的应用；随机抽样和样本估计总体的实际应用；离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题；应用题．【分析】（Ⅰ）根据题意，结合期望的计算与频率分布列的性质，可得，解即可得答案；（Ⅱ）依据题意中，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，先由数据得到样本的频率分布列，进而可得其概率分布列，由期望公式，计算可得答案；（Ⅲ）由题意与（Ⅱ）的结论，可得两厂产品的期望，结合题意，计算可得他们产品的“性价比”，比较其大小，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，因为X1的数字期望EX1=6，则5×0.4+6a+7b+8×0.1=6，化简可得6a+7b=3.2；又由X1的频率分布列，可得0.4+a+b+0.1=1，即a+b=0.5；即，解可得a=0.3，b=0.2；（Ⅱ）由已知得，样本的频率分布列为X23 4 5 6 7 8f 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1用这个样本的频率分布估计总体的分布，将其频率视为概率，可得X2的概率分布列如下：X23 4 5 6 7 8p 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1所以EX2=3×0.3+4×0.2+5×0.2+6×0.1+7×0.1+8×0.1=4.8．即乙产品的等级系数的数学期望等于4.8；（Ⅲ）乙厂的产品更具有可购买性，理由如下：甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为=1，乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为=1.2；据此乙厂的产品更具有可购买性．【点评】本题考查概率的实际运用，是应用性的题目，整体难度不大；解题时需要认真分析、理解题意，并根据题意，选择合适的数学统计量来计算应用．20．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD=，∠CDA=45°．（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面PAD；（Ⅱ）设AB=AP．（i）若直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长；（ii）在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由．【考点】平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．【专题】压轴题；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】（I）根据线面垂直的定义可得PA⊥AB，再结合DA⊥AB得到AB⊥平面PAD，最后根据平面与平面垂直的判定定理可得平面PAB与平面PAD垂直；（II）（i）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，根据已知数据设出B、P、E、C、D的坐标，用法向量的方法结合数量积计算公式，可得线段AB的长；（ii）先假设存在点G满足条件，再通过计算GB之长，与GD长加以比较，得出GB＞GD，与已知条件GB=GD=1矛盾，故不存在满足条件的点G．【解答】解：（I）证明：∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD∴PA⊥AB又∵AB⊥AD，PA∩AD=A∴AB⊥平面PAD又∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD（II）（i）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz（如图）在平面ABCD内，作CE∥AB交于点E，则CE⊥AD 在Rt△CDE中，DE=CD•cos45°=1，CE=CD•sin45°=1设AB=AP=t，则B（t，0，0），P（0，0，t）由AB+AD=4，得AD=4﹣t，所以E（0，3﹣t，0），C（1，3﹣t，0），D（0，4﹣t，0），设平面PCD的法向量为=（x，y，z）由，，得取x=t，得平面PCD的一个法向量为又，故由直线PB与平面PCD所成的角为30°得cos（90°﹣30°）==即解得或t=4（舍去，因为AD=4﹣t＞0）所以AB=（ii）假设在线段AD上存在一个点G到P、B、C、D的距离都相等由GC=GD，得∠GCD=∠GDC=45° 从而∠CGD=90°，即CG⊥AD所以GD=CD•cos45°=1设AB=λ，则AD=4﹣λ，AG=AD﹣GD=3﹣λ在Rt△ABG中，GB=这GB=GD与矛盾．所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到B、C、D的距离都相等．从而，在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P、B、C、D的距离都相等．【点评】本小题主要考查空间中的线面关系，考查面面垂直的判定及线面角的计算，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力，考查转化思想，属于中档题．21．（14分）本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）选修4﹣2：矩阵与变换设矩阵（其中a＞0，b＞0）．（Ⅰ）若a=2，b=3，求矩阵M的逆矩阵M﹣1；（Ⅱ）若曲线C：x2+y2=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：，求a，b的值．（2）（本小题满分7分）选修4﹣4：坐标系与参数方程在直接坐标系xOy中，直线l的方程为x﹣y+4=0，曲线C的参数方程为．（Ⅰ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，），判断点P与直线l的位置关系；（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．（3）（本小题满分7分）选修4﹣5：不等式选讲设不等式|2x﹣1|＜1的解集为M．（Ⅰ）求集合M；（Ⅱ）若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小．【考点】逆变换与逆矩阵；椭圆的参数方程；绝对值不等式的解法．【专题】计算题；压轴题；选作题．【分析】（1）（Ⅰ）直接根据求逆矩阵的公式求解，即M=，则代入a，b即可求解（Ⅱ）设出曲线C：x2+y2=1任意一点为（x0，y0）经矩阵M所对应的线性变换作用下得到的点为（x，y），即可根据矩阵乘法M（x0，y0）=（x，y）得到关于x0，y0与x，y间的关系，即将之代入得到的含x0，y0的方程应与x2+y2=1相同，根据待定系数即可运算（2）（Ⅰ）将P的极坐标（4，）根据公式化为直角坐标坐标为（0，4），则根据直角坐标系下点与直线的位置关系判断即可（Ⅱ）根据曲线C的参数方程为，设出曲线C上任一点到直线l 的距离为d，则根据点到直线的距离公式知d=，即d=，而2sin（）∈[﹣2，2]，则d的最小值为（3）（Ⅰ）直接根据绝对值不等式的意义（（|a﹣b|表示a﹣b与原点的距离，也表示a与b 之间的距离）知：﹣1＜2x﹣1＜1即可求解（Ⅱ）要比较ab+1与a+b的大小，只需比较（ab+1）﹣（a+b）与0的大小，而（ab+1）﹣（a+b）=（a﹣1）（b﹣1）再根据a，b∈M即可得到（a﹣1）（b﹣1）的符号，即可求解．【解答】（1）解：（Ⅰ）∵∴将a=2，b=3代入即得：（Ⅱ）设出曲线C：x2+y2=1任意一点为（x0，y0）经矩阵M所对应的线性变换作用下得到的点为（x，y），∵M（x0，y0）=（x，y）∴将之代入得：即∵a＞0，b＞0∴（2）（Ⅰ）解∵P的极坐标为（4，），∴P的直角坐标为（0，4）∵直线l的方程为x﹣y+4=0∴（0，4）在直线l上（Ⅱ）∵曲线C的参数方程为，直线l的方程为x﹣y+4=0 设曲线C的到直线l的距离为d则d==∵2sin（）∈[﹣2，2]∴d的最小值为（3）（Ⅰ）解：∵|2x﹣1|＜1∴﹣1＜2x﹣1＜1即0＜x＜1即M为{x|0＜x＜1}（Ⅱ）∵a，b∈M∴a﹣1＜0．b﹣1＜0∴（b﹣1）（a﹣1）＞0∴（ab+1）﹣（a+b）=a（b﹣1）+（1﹣b）=（b﹣1）（a﹣1）＞0即（ab+1）＞（a+b）【点评】本题考查了逆变换与逆矩阵，以及待定系数法求解a，b的方法，椭圆的参数方程，绝对值不等式的解法，作差法比较大小的相关知识，属于基础题．。
2011年高考数学真题(全国卷)理科(详细解析)
1. 复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1z z z --=【精讲精析】选B .1,1(1)(1)(1)1z i z z z i i i i =---=+----=- 2. 函数2(0)y x x =≥的反函数为【思路点拨】先反解用y 表示x,注意要求出y 的取值范围，它是反函数的定义域。
【精讲精析】选B .在函数2(0)y x x =≥中，0y ≥且反解x 得24yx =，所以2(0)y x x =≥的反函数为2(0)4xy x =≥.3. 下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是 （A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b >【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出a b ＞，而由a>b 推不出选项的选项.【精讲精析】选A .即寻找命题P 使P ,a b a b ⇒>>推不出P ，逐项验证可选A 。
4. 解：设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = 【思路点拨】思路一：直接利用前n 项和公式建立关于k 的方程解之即可。
思路二： 利用221k k k k S S a a +++-=+直接利用通项公式即可求解，运算稍简。
【精讲精析】2k k S S +-= 21k k a a +++= 11(21)(11)a k d a k d ++-+++-=12(21)a k d ++21(21)244245k k k =⨯++⨯=+=⇒=故选D 。
5. 设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3π是此函数周期的整数倍。
2011年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)解析版--数学理
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学理试题解析本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷第3至6页。
第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题。
满分150分。
注意事项： 1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号，姓名是否一致。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。
3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
参考公式：样本数据x 1,x 2,…，x a 的标准差 锥体体积公式])()()[(122221x x x x x x n S n -++-+-=13V S h = 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式 V=Sh 2344,3S R V R ππ==其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. i 是虚数单位，若集合S=}{1.0.1-，则A.i S ∈B.2i S ∈ C. 3i S ∈ D.2S i∈ 解析：由21i S =-∈得选项B 正确。
2.若a ∈R ，则a=2是（a-1）（a-2）=0的A.充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C.充要条件 C.既不充分又不必要条件 解析：由a=2可得（a-1）（a-2）=0成立，反之不一定成立，故选A.3.若tan α=3，则2sin 2cos aα的值等于 A.2 B.3 C.4 D.6解析：2sin 22tan 6cos aαα==，选D 。
2011年高考理科数学(全国卷)(含答案)
2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷．．．．上作答无效。
．．．．．． 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题 （1）复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= （A ）2i - （B ）i - （C ）i （D ）2i（2）函数2(0)y x x =≥的反函数为（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥（C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥（3）下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是 （A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞（4）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = （A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5（5）设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13 （B ）3 （C ）6 （D ）9(6)已知直二面角α –ι- β，点A ∈α，AC ⊥ι，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥ι，D 为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于 (A)23 (B)33 (C)63(D) 1(7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种(8)曲线y=2xe-+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为(A)13(B)12(C)23(D)1(9)设()f x是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，()f x=2(1)x x-，则5 ()2f-=(A) -12(B)14- (C)14(D)12(10)已知抛物线C：24y x=的焦点为F，直线24y x=-与C交于A，B两点．则cos AFB∠=(A)45(B)35(C)35- (D)45-(11)已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π(12)设向量a，b，c满足a=b =1，a b =12-，,a cb c--=060，则c的最大值等于(A)2 (B)3 (c)2 (D)1第Ⅱ卷注意事项：1、答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。
2011年福建高考数学理科试卷（带详解）
2011福建理第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i 是虚数单位，若集合{}1,0,1S =-，则，则（ ） A ．i S Î B ．2i S Î C ． 3i S ÎD ．2iS Î 【测量目标】复数的基本概念、集合的含义．【测量目标】复数的基本概念、集合的含义．【考查方式】给出虚数单位和集合，判断它们之间的关系．【考查方式】给出虚数单位和集合，判断它们之间的关系． 【难易程度】容易【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】22i 1S =-Î．故选B ．2．若a ÎR ，则2a =是()()120a a --=的 （ ） A ．充分而不必要条件．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件．必要而不充分条件C ．充要条件．充要条件 C ．既不充分又不必要条件．既不充分又不必要条件 【测量目标】充分、必要条件．【测量目标】充分、必要条件．【考查方式】给出两个命题，判断两个命题的关系．【考查方式】给出两个命题，判断两个命题的关系． 【难易程度】容易【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】当2a =时，()()120a a --=，所以2a =是()()120a a --=的充分条件，但是()()120a a --=时，1a =或2a =，所以2a =不是()()120a a --=的必要条件．故选A ．3．若tan 3α=，则2sin 2cos aa的值等于的值等于 （ ） A ．2 B ．3 C ．4D ．6 【测量目标】同角三角函数的基本关系、二倍角公式．【测量目标】同角三角函数的基本关系、二倍角公式．【考查方式】给出式子和正切函数值，利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式求解． 【难易程度】容易【难易程度】容易 【参考答案】D 【试题解析】22sin 22sin cos 2tan 6cos cos ===aa aa a a．故选D ．4．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自ABE △内部的概率等于内部的概率等于 （ ） A ．14 B ．13 C ．12D ．23第4题图题图【测量目标】几何概型．【测量目标】几何概型．【考查方式】给出图形，利用几何概型求事件的概率．【考查方式】给出图形，利用几何概型求事件的概率． 【难易程度】容易【难易程度】容易 【参考答案】C 【试题解析】因为12ABE ABCD S S =△，则点Q 取自ABE △内部的概率12ABE ABCD S P S ==△．故选C ． 5．()1e2xx dx +ò等于等于（ ） A ．1 B ．e 1- C ．eD ．e 1+ 【测量目标】定积分．【测量目标】定积分．【考查方式】给出定积分，求解．【考查方式】给出定积分，求解． 【难易程度】容易【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】()()11200e 2e e 1e 0e x x x dx x +=+=+--=ò．故选C ． 6．()512x +的展开式中，2x 的系数等于的系数等于 （ ） A ．80 B ．40 C ．20 D ．10 【测量目标】二项式定理．【测量目标】二项式定理．【考查方式】给出二项式根据二项展开式的公式特点计算二项式系数．【考查方式】给出二项式根据二项展开式的公式特点计算二项式系数． 【难易程度】容易【难易程度】容易 【参考答案】B 【试题解析】15C 2rrr r Tx +=，令2r =，则2x 的系数等于225C 240=．故选B ． 7．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为12,F F ，若曲线Γ上存在点P 满足1122::4:3:2P F F F P F =，则曲线Γ的离心率等于的离心率等于 （ ） A ．12或32B ．23或2C ．12或2D ．23或32【测量目标】圆锥曲线的定义．【测量目标】圆锥曲线的定义． 【考查方式】通过给出圆锥曲线上的点与两个交点之间的线段长度比例关系，求圆锥曲线的离心率．离心率．【难易程度】中等【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】因为1122::4:3:2PF F F PF =，所以设14PF λ=，123F F λ=，22PF λ=．若Γ为椭圆，则12122426,23,PF PF a λλλF F c λì+==+=ïí==ïî所以12c e a ==．若Γ为双曲线，则12122422,23,PF PF a λλλF F c λì-==-=ïí==ïî所以32c e a ==．故选A ． 8．已知O 是坐标原点，点()1,1A -，若点(),M x y 为平面区域212x y x y +ìïíïî………上的一个动点，则OA OM的取值范围是的取值范围是（ ） A ．[]1,0- B ．[]0,1 C ．[]0,2 D ．[]1,2- 【测量目标】判断不等式组表示的平面区域、向量的数量积．【测量目标】判断不等式组表示的平面区域、向量的数量积．【考查方式】给出点的坐标和不等式组，判断两向量数量积的取值范围．【考查方式】给出点的坐标和不等式组，判断两向量数量积的取值范围． 【难易程度】中等【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】设()()1,1,z OA OM x y x y ==-=-+ ．作出可行域，如图，直线z x y =-+，即y x z =+经过()1,1B 时，z 最小，min 110z =-+=，y x z =+经过()0,2C 时，z 最大，max 022z =+=，所以OA OM 的取值范围是[]0,2．故选C ．第8题图题图9．对于函数()sin f x a x bx c =++(其中，,a b ÎR ，c ÎZ )，选取,,a b c 的一组值计算()1f 和()1f -，所得出的正确结果一定不可能．．．．．是 （ ） A ．4和6 B ．3和1 C ．2和4D ．1和2 【测量目标】函数的求值．【测量目标】函数的求值．【考查方式】给出函数式，判断两函数之和的结果．【考查方式】给出函数式，判断两函数之和的结果． 【难易程度】中等【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】()()()11sin1sin 12f f a b c a b c c +-=+++--+=，因为c ÎZ ，则()()11f f +-为偶数，四个选项中，只有D ，123+=不是偶数．不是偶数．10．已知函数()e xf x x =+，对于曲线()y f x =上横坐标成等差数列的三个点,,A B C ，给出以下判断：给出以下判断：①ABC △一定是钝角三角形②ABC △可能是直角三角形可能是直角三角形 ③ABC △可能是等腰三角形可能是等腰三角形 ④ABC △不可能是等腰三角形不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是其中，正确的判断是（ ） A ．①．①,,③ B ．①．①,,④ C ．②．②,,③ D ．②．②,,④【测量目标】基本不等式、指数函数的性质、函数的单调性、等差数列的性质、函数图象的应用．应用．【考查方式】给出指数函数，判断其图象横坐标上的三个点所成的形状．【考查方式】给出指数函数，判断其图象横坐标上的三个点所成的形状． 【难易程度】较难【难易程度】较难 【参考答案】B【试题解析】设a b <．首先证明()()22f a f ba b f ++æö>ç÷èø．()()22f a f b a b f ++æö-ç÷èø2eee22a baba ba b +++++=--2e e e2a b ab++=-222e e e e e 0a ba ba bab+++-=-= …，（步骤1）当且仅当a b =时等号成立，由于a b <，所以等号不成立，于是，所以等号不成立，于是 ()()022f a f b a b f ++æö->ç÷èø， ()()22f a f b a b f ++æö>ç÷èø． ① （步骤2） 设点(),A A A x y ，(),B B B x y ，(),C C C C x x y y，且,,A B C x x x 成等差数列，A B C x x x <<．由()f x 是R 上的增函数，则A B C y y y <<， ② （步骤3） 如图，D 为AC 的中点，过,,A B C 作x 轴的垂线，垂足依次为,,M N P ． 因为2A CB x x x +=，所以D 在直线BN 上，作AE BN ^交BN 于E ，作B F C P ^交CP 于F ．因为()()22A C A CD f x f x y y y ++==，2A CB x x y f +æö=ç÷èø， 由①式，D B y y >，（步骤4）D A DE y y =-，D B DB y y =-，由②，DE DB >，所以点B 在DE 内部，（步骤5）因而90DBA DEA °Ð>Ð=，又CB A D B A Ð>Ð，所以ABC △一定是钝角三角形．结论①正确．（步骤6）若ABC △是等腰三角形，因为D 为AC 的中点，则BD AC ^，因而AC x 轴，这是不可能的，所以ABC △不是等腰三角形．结论④正确；不是等腰三角形．结论④正确； 所以结论①，④正确．故选B ．（步骤7）第10题图题图二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置． 11．运行如图所示的程序，输出的结果是_______．第11题图题图【测量目标】程序语句．【测量目标】程序语句．【考查方式】给出程序语句，计算求解．【考查方式】给出程序语句，计算求解． 【难易程度】容易【难易程度】容易【参考答案】3【试题解析】123a =+=．所以输出的结果是3．12．三棱锥P ABC -中，PA ABC ^底面，3PA =，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥P ABC -的体积等于______． 【测量目标】三棱锥的体积．【测量目标】三棱锥的体积．【考查方式】给出三棱锥的底边边长和高，求其体积．【考查方式】给出三棱锥的底边边长和高，求其体积． 【难易程度】容易【难易程度】容易 【参考答案】3【试题解析】2113233334ABCV SPA ==´´´=△． 13．盒子装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于_______． 【测量目标】随机事件与概率．【测量目标】随机事件与概率．【考查方式】给出条件，利用随机概率求解．【考查方式】给出条件，利用随机概率求解． 【难易程度】中等【难易程度】中等 【参考答案】35【试题解析】所取出的2个球颜色不同的概率113225C C 233C 105P ´===． 14．如图，ABC △中，2AB AC ==，23BC =，点D 在BC 边上，45ADC °Ð=，则AD 的长度等于______．第14题图（1）【测量目标】余弦定理、正弦定理．【测量目标】余弦定理、正弦定理．【考查方式】给出三角形边长及角度，利用余弦定理和正弦定理求长度．【考查方式】给出三角形边长及角度，利用余弦定理和正弦定理求长度． 【难易程度】中等【难易程度】中等【参考答案】2【试题解析】解法一：由余弦定理【试题解析】解法一：由余弦定理22241243c o s 222223AC BC AB C AC BC +-+-===´´ ,（步骤1） 所以30C °=．（步骤2） 再由正弦定理再由正弦定理s i n s i n A D A C C A D C =Ð，即2sin 30sin 45AD °°=，所以2AD =．（步骤3） 解法二：作AE BC ^于E ，因为2AB AC ==，所以E 为BC 的中点，因为23BC =，则3EC =．（步骤1）于是221AE AC EC =-=，（步骤2）因为ADE △为有一角为45°的直角三角形．且1AE =，所以2AD =．（步骤3）第14题图（2） 15．设V 是全体平面向量构成的集合，若映射:f V ®R 满足：对任意向量()11,x y V =Îa ，()22,x y V =Îb ，以及任意λÎR ，均有，均有()()()()()11f f f l l l l +-=+-a b a b则称映射f 具有性质P ．先给出如下映射：先给出如下映射：① ()()11:,,,f V f x y x y V®=-=ÎR m m ；② ()()222:,,,f V f x y x y V ®=+=ÎR m m ； ③ ()()33:,1,,f V f x y x y V ®=++=ÎR m m ．其中，具有性质P 的映射的序号为________．（写出所有具有性质P 的映射的序号）． 【测量目标】向量的坐标运算、映射．【测量目标】向量的坐标运算、映射．【考查方式】给出三个映射，利用向量的坐标运算求出与f 具有相同性质的映射．具有相同性质的映射． 【难易程度】较难【难易程度】较难 【参考答案】①，③【参考答案】①，③【试题解析】设()11,x y V =Îa ，()22,x y V =Îb ，则，则()()()()11221,1,x y x y l l l l +-=+-a b()()()12121,1x x y y l l l l =+-+-．（步骤1） 对于①，对于①， ()()()()()()1212111fx x y y l l l l l l +-=+--+-a b()()()11221x y x y =-+--l l ，（步骤2）()()()()()()112211f f x y x y l l l l +-=-+--a b ，所以()()()()()11f f f l l l l +-=+-a b a b 成立，①是具有性质P 的映射；（步骤3）对于②，()()()()()()21212111f x x y y l l l l l l +-=+-++-a b()()()()2121211x x y y =+-++-l l l l()()()22221122121121x y x y x x =++-+-+-l l l l l l ，（步骤4） ()()()()()()22112211f f x y x y l l l l +-=++--a b ， 显然，不是对任意λÎR ，()()()()()11ff f l l l l +-=+-a b a b 成立，成立，所以②不是具有性质P 的映射；（步骤5） 对于③，()()()()()()12121111fx x y y l l l l l l +-=+-++-+a b()()()112211x y x y =++-++l l ，（步骤6）()()()()()()11221111f f x y x y l l l l +-=+++-++a b()()()()112211x y x y =++-+++-l l l l ()()()112211x y x y =++-++l l ． 所以()()()()()11ff f l l l l +-=+-a b a b 成立，③是具有性质P 的映射．的映射．（步骤7）因此，具有性质P 的映射的序号为①，③．（步骤8）三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．已知等比数列{}n a 的公比3q =，前3项和3133S =． （Ⅰ）求数列{{}}n a 的通项公式；的通项公式；（Ⅱ）若函数()sin(2)(0,0π)f x A x A j j =+><<在π6x =处取得最大值，且最大值为3a ，求函数()f x 的解析式．的解析式．【测量目标】等比数列的通项、性质及前n 项和、函数sin()y A x w j =+的图象及性质．的图象及性质． 【考查方式】给出等比数列的公比和前几项的和，给出等比数列的公比和前几项的和，求其通项公式；求其通项公式；求其通项公式；已知函数的最大值为数列已知函数的最大值为数列的一项，求其解析式．的一项，求其解析式． 【难易程度】中等【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）由3q =，3133S =Þ()311313133a -=-，解得113a =．（步骤1）所以11211333n n n n a a q---==´=．（步骤2） （Ⅱ）由（Ⅰ），32333a -==，所以函数()f x 的最大值为3，于是3A =．（步骤3） 又因为函数()f x 在π6x =处取得最大值，处取得最大值， 则πsin 216jæö´+=ç÷èø，因为0πj <<，所以π6j =．（步骤4） 函数()f x 的解析式为π()3sin 26f x x æö=+ç÷èø．（步骤5） 17．已知直线:l y x m =+，m ÎR ．（Ⅰ）若以点()2,0M 为圆心的圆与直线l 相切与点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程；方程；（Ⅱ）若直线l 关于x 轴对称的直线为l ¢，问直线l ¢与抛物线2:4C x y =是否相切？说明理由．明理由．【测量目标】圆的方程、直线与圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系．【测量目标】圆的方程、直线与圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系．【考查方式】给出直线方程，根据圆与直线的位置关系求圆的方程；根据圆与直线的位置关系求圆的方程；给出抛物线方程和直线给出抛物线方程和直线的条件，判断两者之间的位置关系．的条件，判断两者之间的位置关系． 【难易程度】较难【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）解法一：由题意，点P 的坐标为(())0,m ．因为以点()2,0M 为圆心的圆与直线l 相切与点P ，所以MP l ^．01102MP l m k k -==-- ，所以2m =．（步骤1） 点P 的坐标为()0,2．设圆的方程为()2222x y r -+=， 则()()2202208r MP ==-+-=，（步骤2） 所以，所求的圆的方程为()2228x y -+=．（步骤3）第17题图（1）解法二：设圆的方程为()2222x y r -+=，因为以点()2,0M 为圆心的圆与直线l 相切与点()0,P m ，所以224202m r mr ì+=ï-+í=ïî，解得222m r =ìïí=ïî．（步骤1） 所以，所求的圆的方程为()2228x y -+=．（步骤2）（Ⅱ）解法一：因为直线:l y x m =+，且，且直线l ¢与直线l 关于x 轴对称，则:l y x m ¢=--．（步骤4）由24,,x y y x m ì=í=--î得2440x x m ++=， 2Δ4440m =-´=，解得1m =．（步骤5）所以，当1m =时，Δ0=，直线l ¢与抛物线2:4C x y =相切，当1m ¹时，Δ0¹，直线l ¢与抛物线2:4C x y =不相切．（步骤6）解法二：因为直线:l y x m =+，且直线l ¢与直线l 关于x 轴对称，则:l y x m ¢=--．设直线l ¢与抛物线214y x =相切的切点为()00,x y ， 由214y x =得12y x ¢=，则0112x =-，02x =-， ()022y m m =---=-．（步骤3） 所以切点为()2,2m --，切点在抛物线214y x =上，则21m -=，1m =．（步骤4）所以，当1m =时，直线l ¢与抛物线2:4C x y =相切，当1m ¹时，直线l ¢与抛物线2:4C x y =不相切．（步骤5）第17题图（2）18．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3ay x x =+--，其中36x <<，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．千克． （Ⅰ）求a 的值；的值；（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．所获得的利润最大．【测量目标】一元二次函数模型，利用倒数求函数的最值．【测量目标】一元二次函数模型，利用倒数求函数的最值．【考查方式】给出函数关系式，根据条件求解，再利用导数求利润最大时的销售价格． 【难易程度】中等【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）因为5x =时，11y =，由函数式，由函数式210(6)3ay x x =+--得 11102a =+，所以2a =．（步骤1） （Ⅱ）因为2a =，所以该商品每日的销售量为2210(6)3y x x =+--，()36x <<．每日销售该商品所获得的利润为每日销售该商品所获得的利润为()()()222310(6)2103(6)3f xx x x x x éù=-+-=+--êú-ëû，()36x <<．（步骤2）()()()()()()21062363064f x x x x x x éù¢=-+--=--ëû．（步骤3） 于是，当x 变化时，()f x ¢，()f x 的变化情况如下表：的变化情况如下表：x()3,44()4,6()f x ¢+-()f x极大值由上表可以看出，4x =是函数在区间()3,6内的极大值点，也是最大值点．（步骤4） 所以，当4x =时，函数()f x 取得最大值42．因此当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．（步骤5） 19．某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2,,8…，其中5X …为标准A ，3X …为标准B ，已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准行标准（Ⅰ）已知甲厂产品的等级系数1X 的概率分布列如下所示：的概率分布列如下所示：1X 5 6 7 8P0.4 a b0.1且1X 的数字期望16EX =，求,a b 的值；的值；（Ⅱ）为分析乙厂产品的等级系数2X ，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 34 6 3 4 75 3 4 8 53 8 34 3 4 4 75 67 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数2X 的数学期望．的数学期望． （Ⅲ）在（Ⅰ），（Ⅱ）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．可购买性？说明理由．注：（1）产品的“性价比”=产品的零售价期望产品的等级系数的数学；（2）“性价比”大的产品更具可购买性．“性价比”大的产品更具可购买性． 【测量目标】离散型随机变量的期望和方差．【测量目标】离散型随机变量的期望和方差．【考查方式】给出分布列和期望，求分布列中的未知数；【考查方式】给出分布列和期望，求分布列中的未知数；根据样本数据求期望；给出产品性根据样本数据求期望；给出产品性价比的公式，判断购买性．价比的公式，判断购买性． 【难易程度】中等【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）因为16EX =，所以，所以50.46780.16a b ´+++´=，即67 3.2a b +=，（步骤1）又0.40.11a b +++=， 所以0.5a b +=，解方程组67 3.20.5a b a b +=ìí+=î解得0.3a =，0.2b =．（步骤2）（Ⅱ）由样本的数据，样本的频率分布表如下：（Ⅱ）由样本的数据，样本的频率分布表如下：2X3 45 6 7 8 f0.30.20.20.10.10.1（步骤3）用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数2X 的概率分布列如下表：列如下表：2X 345 6 7 8P0.3 0.20.2 0.1 0.1 0.1（步骤4） 所以230.340.250.260.170.180.1 4.8EX =´+´+´+´+´+´=．（步骤5） （Ⅲ）甲厂的产品的等级系数的数学期望为6，价格为6元/件，所以性价比为616=，（步骤6）甲厂的产品的等级系数的数学期望为4.8，价格为4元/件，所以性价比为4.81.214=>．所以，乙厂的产品更具可购买性．（步骤7）20．如图甲，四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ^底面，四边形ABCD 中，AB AD ^，4AB AD +=，2CD =，45CDA °Ð=．（Ⅰ）求证：PAB ^平面平面P AD ； （Ⅱ）设AB AP =．（i ）若直线PB 与平面PCD 所成的角为30°，求线段AB 的长；的长；（ii ）在线段AD 上是否存在一个点G ，使得点G 到点,,,P B C D 的距离都相等？说明理由．明理由．第20题图题图【测量目标】面面垂直的判定、线面角、立体几何中的探索性问题．【测量目标】面面垂直的判定、线面角、立体几何中的探索性问题．【考查方式】给出四棱锥及其边角关系和条件，证明面面垂直；根据线面角求解线段长度，探索点的存在性．探索点的存在性． 【难易程度】较难【难易程度】较难 【试题解析】（Ⅰ）因为PA ABCD ^底面，AB ABCD Ì底面，所以PA AB ^．（步骤1）又AB AD ^，PA AD A =∩，所以AB ^平面P AD ，又AB Ì平面P AB ， PAB ^平面平面P AD ．（步骤2）（Ⅱ）以A 为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系A xyz -．在平面ABCD 内，作//CE AB 交AD 于E ． 则CE AD ^．（步骤3）在Rt CDE △中，2cos 45212DE CD °===．（步骤4） 设AB AP t ==，则(),0,0B t ，()0,0,P t ．由4AB AD +=，则4AD t =-，所以()0,3,0E t -，()0,4,0D t -，()1,3,0C t -．()1,1,0CD =- ，()0,4,PD t t =--，（步骤5）（i ）设平面PCD 的法向量为(),,x y z =n ，由CD ^ n ，PD ^ n 得00CDPD ì=ïí=ïîn n , ()040x y t y tz -+=ìí--=î取x t =，则y t =，4z t =-．(),,4n t t t =- ，（步骤6） 又(),0,PB t t =-，由直线PB 与平面PCD 所成的角为30°，得，得22222241cos602(4)2PB t t PBt t t t °-===++- n n ．（步骤7） 解得45t =或4t =（因为40,4AD t t =-><，故舍去），故舍去）所以45AB =．（步骤8）第20题图（1）（ii ）假设线段AD 上存在一个点G ，使得点G 到点,,,P B C D 的距离都相等，的距离都相等， 设()0,,0G m ，()04mt -剟．则()1,3,0GC t m =-- ，()0,4,0GD t m =-- ，()0,,GP m t =-，（步骤9）则由GC GD = 得()()22134t m t m +--=--，即3t m =-， ①由GP GD =得()2224t m m t --=+， ②（步骤10）从①，②消去t ，并化简得2340m m -+= ③方程③没有实数根，所以在线段AD 上不存在一个点G ，使得点G 到点,,,P B C D 的距离都相等．（步骤11）第20题图（2）解法二：假设线段AD 上存在一个点G ，使得点G 到点,,,P B C D 的距离都相等，的距离都相等， 由GC GD =得45GCD GDC °Ð=Ð=， 从而90CGD °Ð=，则CG GD ^，（步骤9）设AB λ=，则由4AB AD +=，得4AD λ=-，（步骤10）3AG AD GD λ=-=-．（步骤11） 在Rt ABG △中，()222223932122GB ABAG λλλæö=+=+-=-+>ç÷èø． （步骤12）与1GB GD ==矛盾，矛盾，所以在线段AD 上不存在一个点G ，使得点G 到点,,,P B CD 的距离都相等．的距离都相等． （步骤13）第20题图（3）21．本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，做答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．号涂黑，并将所选题号填入括号中． （1）选修42-：矩阵与变换：矩阵与变换设矩阵设矩阵 00a Mb æö=ç÷èø（其中0a >， 0b >）． （Ⅰ）若2,3a b ==，求矩阵M 的逆矩阵1M -；（Ⅱ）若曲线22:1C x y +=在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线22:14x C y ¢+=，求,a b 的值．的值．【测量目标】矩阵与行列式初步．【测量目标】矩阵与行列式初步．【考查方式】给出矩阵，求其逆矩阵；给出曲线方程及其在矩阵对应的线性变化作用下得到的曲线方程，求未知量．的曲线方程，求未知量． 【难易程度】中等【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）设矩阵M 的逆矩阵11122xy Mx y -æö=ç÷èø，则11001MM -æö=ç÷èø，（步骤1） 因为2003M æö=ç÷èø，所以112220100301x y x y æöæöæö=ç÷ç÷ç÷èøèøèø，（步骤2） 所以121x =，120y =，230x =，231y =， 即112x =，10y =，20x =．213y =，（步骤3） 所以1102103M -æöç÷=ç÷ç÷ç÷èø．（步骤4） （Ⅱ）设曲线C 上的任意一点为(),P x y ，在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点(),P x y ¢¢¢．则00a x x b y y ¢æöæöæö=ç÷ç÷ç÷¢èøèøèø，即ax x by y ¢=ìí¢=î，（步骤5） 又点(),P x y ¢¢¢在曲线22:14x C y ¢+=上，所以2214x y ¢¢+=，（步骤6） 即222214a xb y +=为曲线22:1C x y +=的方程，则24a =，21b =，（步骤7）又因为0,0a b >>，则2,1a b ==．（步骤8） （2）选修44-：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程在直接坐标系x O y 中，直线l 的方程为40x y -+=，曲线C 的参数方程为3c o s s i nx θy θì=ïí=ïî（θ为参数）．（Ⅰ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为π4,2æöç÷èø，判断点P 与直线l 的位置关系；的位置关系； （Ⅱ）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值.【测量目标】坐标系与参数方程、点与直线的位置关系．【测量目标】坐标系与参数方程、点与直线的位置关系．【考查方式】给出直线方程和点的极坐标，判断点与直线的位置关系；给出曲线的参数方程，求曲线上的动点到直线的最小距离．求曲线上的动点到直线的最小距离． 【难易程度】中等【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）点P 的极坐标为π4,2æöç÷èø，则直角坐标为()0,4，把()0,4P 代入直线l 的方程40x y -+=，（步骤1）因为0440-+=，所以点P 在直线l 上．（步骤2）（Ⅱ）因为点Q 是曲线C 上的一个动点，则点Q 的坐标可设为()3cos ,sin Q αα．点Q 到直线l 的距离为的距离为π2cos 43cos sin 4π62cos 22622αααdαæö++ç÷-+æöèø===++ç÷èø．（步骤3） 所以当πcos 16αæö+=-ç÷èø时，d 取得最小值2．(步骤4) （3）选修45-：不等式选讲：不等式选讲设不等式211x -<的解集为M ． （Ⅰ）求集合M ；（Ⅱ）若,a b M Î，试比较1ab +与a b +的大小．的大小．【测量目标】不等式选讲．【测量目标】不等式选讲．【考查方式】给出不等式，求其解集；给出关于集合两个元素的式子，比较它们的大小． 【难易程度】中等【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）由211x -<得1211x -<-<，解得01x <<， 所以{}01M x x =<<．（步骤1）（Ⅱ）因为,a b M Î，则01a <<，01b <<，（步骤2）()()()()1110ab a b a b +-+=-->，所以1ab a b +>+．（步骤3）。
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样本数据 x1 ， x2 ，…， xn 的标准差
s
1[ n
(
x1
其中 x 为样本平均数
柱体体积公式
V Sh
其中 S 为底面面积， h 为高
x)2
(
x2
x)2
++(
xn
x)2
第Ⅰ卷（选择题 共 50 分）
]
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，
x2
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13 16.（本小题满分 13 分）已知等比数列{ an }的公比 q =3，前 3 项和 S3 = 3 . （I）求数列{ an }的通项公式； （II）若函数 f (x) = Asin(2x ) （ A ＞0,0＜ ＜ ）在 x 处取得最大值，且最大
y)
D.10
为平面区域
C.2 和 4
23
D. 或
32
x y 2
x
y 2
1
D.[-1.2]
上的一个动
D.1 和 2
2 / 18
15.设V 是全体平面向量构成的集合，若映射
∈V ， b =( x2 ， y2 )∈V 以及任意 ∈ R ，均有 f (a+(1 )b) = f (a)+(1 ) f (b)
B 必要而不充分条件
C.既不充分又不必要条件
C.4
4.如图，矩形 ABCD 中，点 E 为边 CD 的中点，若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q，则
点 Q 取自△ABE 内部的概率等于
2011年高考福建省数学试卷-理科(含详细答案)
2011年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i 是虚数单位，若集合{}1,0,1S =-，则（ ）．A ．i S ∈B ．2i S ∈C ． 3i S ∈D ．2iS ∈ 【解】2i 1S =-∈．故选B ．2．若a ∈R ，则2a =是()()120a a --=的（ ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件 C ．既不充分又不必要条件【解】当2a =时，()()120a a --=，所以2a =是()()120a a --=的充分条件， 但是()()120a a --=时，1a =或2a =，所以2a =不是()()120a a --=的必要条件．故选A ． 3．若tan 3α=，则2sin 2cos αα的值等于（ ）． A ．2 B ．3 C ．4 D ．6【解】22sin 22sin cos 2tan 6cos cos ===αααααα．故选D ． 4．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自ΔABE 内部的概率等于（ ）．A ．14B ．13C ．12D ．23 【解】因为Δ12ABE ABCD S S =，则点Q 取自ΔABE 内部的概率Δ12ABE ABCD S P S ==．故选C ． 5．()10e 2x x dx +⎰等于（ ）．A ．1B ．e 1-C ．eD ．e 1+【解】()()112000e 2e e 1e 0e x x x dx x +=+=+--=⎰．故选C ． 6．()512x +的展开式中，2x 的系数等于（ ）．A ．80B ．40C ．20D ．10D C BE A【解】15C 2r r r r T x +=，令2r =，则2x 的系数等于225C 240=．故选B ．7．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为12,F F ，若曲线Γ上存在点P 满足1122::4:3:2PF F F PF =，则曲线Γ的离心率等于（ ）． A ．12或32 B ．23或2 C ．12或2 D ．23或32【解】因为1122::4:3:2PF F F PF =，所以设14PF λ=，123F F λ=，22PF λ=．若Γ为椭圆，则12122426,23,PF PF a λλλF F c λ⎧+==+=⎪⎨==⎪⎩所以12c e a ==． 若Γ为双曲线，则12122422,23,PF PF a λλλF F c λ⎧-==-=⎪⎨==⎪⎩所以32c e a ==．故选A ． 8．已知O 是坐标原点，点()1,1A -，若点(),M x y 为平面区域2,1,2x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OA OM ⋅的取值范围是（ ）．A ．[]1,0-B ．[]0,1C ．[]0,2D ．[]1,2-【解】设()()1,1,z OA OM x y x y =⋅=-⋅=-+．作出可行域，如图．直线z x y =-+，即y x z =+经过()1,1B 时，z 最小，min 110z =-+=，y x z =+经过()0,2C 时，z 最大，max 022z =+=，所以OA OM ⋅的取值范围是[]0,2．故选C ．9．对于函数()sin f x a x bx c =++(其中，,a b ∈R ，c ∈Z )，选取,,a b c 的一组值计算()1f 和()1f -，所得出的正确结果一定不可能是（ ）．A ．4和6B ．3和1C ．2和4D ．1和2【解】()()()11sin1sin 12f f a b c a b c c +-=+++--+=，因为c ∈Z ，则()()11f f +-为偶数，四个选项中，只有Ｄ，123+=不是偶数.故选D ．10．已知函数()e x f x x =+，对于曲线()y f x =上横坐标成等差数列的三个点,,A B C ，给出以下判断：①ΔABC 一定是钝角三角形②ΔABC 可能是直角三角形③ΔABC 可能是等腰三角形④ΔABC 不可能是等腰三角形其中，正确的判断是（ ）．A ．①,③B ．①,④C ．②,③D ．②,④【解】设a b <．首先证明()()22f a f b a b f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭． ()()22f a f b a b f ++⎛⎫- ⎪⎝⎭222a b a b e a e b a b e +++++=-- 22a b a be e e ++=-2220a ba b a b e e e +++≥=-=，当且仅当a b =时等号成立，由于a b <，所以等号不成立，于是()()022f a f b a b f ++⎛⎫-> ⎪⎝⎭， ()()22f a f b a b f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭． ① 设点(),A A A x y ，(),B B B x y ，(),C C C x y ，且,,A B C x x x 成等差数列，A B C x x x <<．由()f x 是R 上的增函数，则A B C y y y <<， ②如图，D 为AC 的中点，过,,A B C 作x 轴的垂线，垂足依次为,,M N P ． 因为2A CB x x x +=，所以D 在直线BN 上，作AE BN ⊥交BN 于E ，作B FC P ⊥交CP 于F ． 因为()()22A C A CD f x f x y y y ++==，2AC B x x y f +⎛⎫= ⎪⎝⎭， 由①式，D B y y >，，D A DE y y =-，D B DB y y =-，由②，DE DB >，所以点B 在DE 的内部， 因而90DBA DEA ∠>∠=︒，又CBA DBA ∠>∠，所以ABC ∆一定是钝角三角形．结论①正确．若ABC ∆是等腰三角形，因为D 为AC 的中点，则BD AC ⊥，因而//AC x 轴，这是不可能的，所以ABC ∆不是等腰三角形．结论④正确；所以结论①，④正确．故选Ｂ．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．11．运行如图所示的程序，输出的结果是_______．【解】3．123a =+=．所以输出的结果是3．12．三棱锥P ABC -中，PA ABC ⊥底面，3PA =，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥P ABC -的体积等于______．【解2Δ1123334ABC V S PA =⋅=⨯⨯= 13．何种装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于_______．【解】35． 所取出的2个球颜色不同的概率113225C C 233C 105P ⨯===． 14．如图，ΔABC 中，2AB AC ==，BC =点D 在BC边上，45ADC ∠=︒，则AD 的长度等于______．【解．解法1．由余弦定理222cos 22AC BC AB C AC BC +-===⋅⋅, 所以30C =︒.再由正弦定理s i n s i n A D A C C A D C =∠，即2sin 30sin 45AD =︒︒，所以AD = 解法2．作AE BC ⊥于E ，因为2AB AC ==，所以E 为BC的中点，因为BC =，则EC =．D B C AE D B CA于是1AE ==，因为ΔADE 为有一角为45︒的直角三角形．且1AE =，所以AD =15．设V 是全体平面向量构成的集合，若映射:f V →R 满足：对任意向量()11,a x y V =∈，()22,b x y V =∈，以及任意λ∈R ，均有()()()()()11f a b f a f b +-=+-λλλλ则称映射f 具有性质P ．先给出如下映射：① ()()11:,,,f V f m x y m x y V→=-=∈R ； ② ()()222:,,,f V f m x y m x y V →=+=∈R ；③ ()()33:,1,,f V f m x y m x y V →=++=∈R ．其中，具有性质P 的映射的序号为________．（写出所有具有性质P 的映射的序号）．【解】①，③．设()11,a x y V =∈，()22,b x y V =∈，则()()()()()()()112212121,1,1,1a b x y x y x x y y +-=+-=+-+-λλλλλλλλ． 对于①，()()()()()()1212111f a b x x y y +-=+--+-λλλλλλ()()()11221x y x y =-+--λλ， ()()()()()()112211f a f b x y x y +-=-+--λλλλ，所以()()()()()11f a b f a f b +-=+-λλλλ成立，①是具有性质P 的映射； 对于②， ()()()()()()21212111f a b x x y y +-=+-++-λλλλλλ()()()()2121211x x y y =+-++-λλλλ ()()()22221122121121x y x y x x =++-+-+-λλλλλλ， ()()()()()()22112211f a f b x y x y +-=++--λλλλ，显然，不是对任意λ∈R ，()()()()()11f a b f a f b +-=+-λλλλ成立，所以②不是具有性质P 的映射；对于③， ()()()()()()12121111f a b x x y y +-=+-++-+λλλλλλ()()()112211x y x y =++-++λλ， ()()()()()()11221111f a f b x y x y +-=+++-++λλλλ()()()()112211x y x y =++-+++-λλλλ()()()112211x y x y =++-++λλ．所以()()()()()11f a b f a f b +-=+-λλλλ成立，③是具有性质P 的映射． 因此，具有性质P 的映射的序号为①，③．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.（本小题满分13分）已知等比数列{}n a 的公比3q =，前3项和3133S =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若函数()sin(2)(0,0)f x A x A =+><<ϕϕπ在6x π=处取得最大值，且最大值为3a ，求函数()f x 的解析式．【解】（Ⅰ）由3q =，3133S =得()311313133a -=-，解得113a =． 所以11211333n n n n a a q ---==⨯=． （Ⅱ）由（Ⅰ），32333a -==，所以函数()f x 的最大值为3，于是3A =．又因为函数()f x 在6x π=处取得最大值， 则sin 216⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭πϕ，因为0<<ϕπ，所以6=πϕ． 函数()f x 的解析式为()3sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π． 17.（本小题满分13分）已知直线:l y x m =+，m ∈R ．（Ⅰ）若以点()2,0M 为圆心的圆与直线l 相切与点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线l 关于x 轴对称的直线为l '，问直线l '与抛物线2:4C x y =是否相切？说明理由．【解】（Ⅰ）解法1．由题意，点P 的坐标为()0,m ．因为以点()2,0M 为圆心的圆与直线l 相切与点P ，所以MP l ⊥．01102MP l m k k -⋅=⋅=--，所以2m =． 点P 的坐标为()0,2．设圆的方程为()2222x y r -+=， 则r MP === 所以，所求的圆的方程为()2228x y -+=．解法2．设圆的方程为()2222x y r -+=， 因为以点()2,0M 为圆心的圆与直线l 相切与点()0,P m ，所以224,,m r r ⎧+==解得2,m r =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以，所求的圆的方程为()2228x y -+=． （Ⅱ）解法1．因为直线:l y x m =+，且直线l '与直线l 关于x 轴对称，则:l y x m '=--．由24,,x y y x m ⎧=⎨=--⎩得2440x x m ++=，2Δ4440m =-⨯=，解得1m =．所以，当1m =时，Δ0=，直线l '与抛物线2:4C x y =相切，当1m ≠时，Δ0≠，直线l '与抛物线2:4C x y =不相切．解法2．因为直线:l y x m =+，且直线l '与直线l 关于x 轴对称，则:ly xm '=--．设直线l '与抛物线214y x =相切的切点为()00,x y ， 由214y x =得12y x '=，则0112x =-，02x =-，()022y m m =---=-． 所以切点为()2,2m --，窃电在抛物线214y x =上，则21m -=，1m =． 所以，当1m =时，直线l '与抛物线2:4C x y =相切，当1m ≠时，直线l '与抛物线2:4C x y =不相切．18．（本小题满分13分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3a y x x =+--，其中36x <<，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。
福建2011数学高考真题
福建2011数学高考真题在2011年的福建数学高考中，共有100道选择题和两道解答题。
以下是部分选择题的解题过程和答案。
1. 若α和β是方程x^2 - 2x - 1 = 0的两个根，那么α^2 + β^2的值是多少？解：首先，我们知道根据韦达定理，两个根的和等于-(-2) = 2，两个根的乘积等于1。
所以α^2 + β^2 = (α + β)^2 - 2αβ = 2^2 - 2×1 = 4 - 2 = 2。
2. 若a和b是方程x^2 + 3x + 2 = 0的两个根，那么a^2 + b^2的值是多少？解：同样地，根据韦达定理，两个根的和等于-3，两个根的乘积等于2。
所以a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = (-3)^2 - 2×2 = 9 - 4 = 5。
3. 若a、b、c、d是等差数列的四个连续项，且ab = 3, bc = 5, cd = 7，则这个等差数列的首项是多少？解：由题意可知，差为2，设首项为x，所以a = x，b = x + 2，c =x + 4，d = x + 6。
将ab = 3, bc = 5, cd = 7代入得：x(x + 2) = 3，(x +2)(x + 4) = 5，(x + 4)(x + 6) = 7。
解得x = -1，所以首项为-1。
4. 若把平行四边形的对角线等分，会得到什么图形？解：如果平行四边形的对角线等分，会得到一个由四个三角形组成的菱形。
5. 若已知a^2 + b^2 = 34，c^2 + d^2 = 34，a + b = c + d = 3，则a和b的乘积是多少？解：根据已知条件，a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = 34，且a + b = c + d = 3。
则a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2cd + d^2，化简得ab = cd，所以a和b的乘积是34。
以上是部分2011年福建数学高考的选择题解答，希望对您有帮助。
2011年福建卷(理科数学)
2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（福建卷）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.i 是虚数单位，若集合{1,0,1}S =-，则A.i S ∈B.2i S ∈C.3i S ∈D.2S i∈ 2.若a R ∈，则“2a =”是“(1)(2)0a a --=”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.若tan 3α=，则2sin 2cos aα的值等于 A ．2 B ．3 C ．4 D ．64.如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自ABE ∆内部的概率等于 A.14 B.13 C.12 D.235.10(2)x e x dx +⎰等于 A ．1 B ．1e - C ．e D ．1e +6.5(12)x +的展开式中，2x 的系数等于A ．80B ．40C ．20D ．107.设圆锥曲线C 的两个焦点分别为1F ，2F ，若曲线C 上存在点P 满足112::PF F F 2PF 4:3:2=，则曲线C 的离心率等于 A.12或32 B.23或2 C.12或2 D.23或32B8.已知O 是坐标原点，点(1,1)A -，若点(,)M x y 为平面区域21y 2x y x +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OA u u u r ·OM u u u u r 的取值范围是A.[1,0]-B.[0,1]C.[0,2]D.[1,2]-9.对于函数()sin f x a x bx c =++(其中a ，b R ∈，c Z ∈),选取a ，b ，c 的一组值计算(1)f 和(1)f -，所得出的正确结果一定不可能．．．．．是 A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和210.已知函数()x f x e x =+，对于曲线()y f x =上横坐标成等差数列的三个点A ，B ，C ，给出以下判断：①ABC ∆一定是钝角三角形 ②ABC ∆可能是直角三角形③ABC ∆可能是等腰三角形 ④ABC ∆不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是A.①③B.①④C.②③D.②④二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11.运行如图所示的程序，输出的结果是 .12.三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，3PA =，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥P ABC -的体积等于 .13.盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个.若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于 .14.如图，ABC ∆中，2AB AC ==，BC =D 在BC 边上，45ADC ∠=o ，则AD 的长度等于 .15.设V 是全体平面向量构成的集合，若映射f ：V R →满足：对任意向量a=1 b=2 a=a+b PRINT a END A CB11(,)a x y =rV ∈，22(,)b x y V =∈r ，以及任意R λ∈，均有)()1()())1((b f a f b a f λλλλ-+=-+ 则称映射f 具有性质P .先给出如下映射：（1）1f ：V R →，1()f m x y =-，(,)m x y V =∈；（2）2f ：V R →，22()f m x y =-，(,)m x y V =∈；（3）3f ：V R →，3()1f m x y =++，(,)m x y V =∈；，其中，具有性质P 的映射的序号为 .（写出所有具有性质P 的映射的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分13分）已知等比数列{}n a 的公比3q =，前3项和3133S =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若函数()sin(2)f x A x ϕ=+（0A >，0p ϕπ<<<）在6x π=处取得最大值，且最大值为3a ，求函数()f x 的解析式.17.（本小题满分13分）已知直线l ：y x m =+，m R ∈.（Ⅰ）若以点(2,0)M 为圆心的圆与直线l 相切与点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线l 关于x 轴对称的直线为l '，问直线l '与抛物线C ：24x y =是否相切？说明理由.18.（本小题满分13分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3a y x x =+--，其中36x <<，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.（Ⅰ）求a 的值（Ⅱ）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.19.（本小题满分13分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1，2，3，4，5，6，7，8，其中5X ≥为标准A ，3X ≥为标准B ，已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准（Ⅰ）已知甲厂产品的等级系数1X 的概率分布列如下所示：且1X 的数学期望16EX =，求a ，b 的值；（Ⅱ）为分析乙厂产品的等级系数2X ，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 3 46 3 47 5 3 48 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数2X 的数学期望.（Ⅲ）在（Ⅰ）、（Ⅱ）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.注：（1）产品的“性价比”=产品的零售价期望产品的等级系数的数学； （2）“性价比”大的产品更具可购买性.20.（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 中，AB AD ⊥，4AB AD +=，CD =45CDA ∠=o .（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面PAD ；（Ⅱ）设AB AP =.①若直线PB 与平面PCD 所成的角为30o ，求线段AB 的长；②在线段AD 上是否存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等？说明理由.21.本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分.（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a M 00（其中0a >，0b >）.（Ⅰ）若2a =，3b =，求矩阵M 的逆矩阵1M -； （Ⅱ）若曲线C ：221x y +=在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线1C ：2214x y +=，求a ，b 的值. （2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy 中，直线l 的方程为40x y -+=，曲线C 的参数方程为x y sin θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）. （Ⅰ）已知在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为(4,)2π，判断点P 与直线l 的位置关系； （Ⅱ）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值.（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 设不等式211x -<的解集为M .（Ⅰ）求集合M ； A B C D P（Ⅱ）若a，b M+的大小.∈，试比较1ab+与a b。
2011年福建高考数学答案(理科)
2010年普通高等学校招生统一考试（福建卷）数学试题（理工农医类）Daan一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。
每小题5分，满分50分。
1.A 2.D 3.A 4.C 5.C 6.D 7.B 8.B 9.B 10.C 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。
每小题4分，满分20分。
11. 14-n 12. 326+ 13. 128.0 14. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,2315.①②④ 三、解答题：本大题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题主要考查概率与统计、不等式等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想。
满分13分。
解：（I ）由062≤--x x 得32≤≤-x ，即{}32|≤≤-=x x S由于Z n m ∈,，S n m ∈,且0=+n m ，所以A 包含的基本事件为： )2,2(-，)2,2(-，)1,1(-，)1,1(-，)0,0( （II ）由于m 的所有不同取值为-2，-1,0,1,2,3， 所以2m =ξ的所有不同取值为0,1,4,9， 且有()610==ξP ，()31621===ξP ，()31624===ξP ，()619==ξP故ξ的分布列为： ξ149P61 31 31 61所以619619314311610=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE17.本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。
满分13分。
解法一：（I ）依题意，可设椭圆C 的方程为12222=+by ax （a>b>0），且可知左焦点为)0,2(-'F 2=c2=c 解得从而有853||||2=+='+=F A AF a ， 4=a又222c b a =+，所以122=b ，故椭圆C 的方程为 1121622=+yx（II ）假设存在符合题意的直线l ，其方程为t x y +=23t x y +=23 得0123322=-++t tx x由1121622=+yx因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以()()01234322≥-⨯-=∆t t ， 解得3434≤≤-t另一方面，由直线OA 与l 的距离4=d 可得4149||=+t ，从而132±=t 。
2011年全国高考数学试题及答案(理科)
2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学（理工农医类）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。
1.复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i2. 3. 4. 5. 6. 7.1本，则不同的赠送方法共有(A) 4种 (B) 10种 (C) 18种 (D) 20种 8.曲线12+=-xe y 在点()0,2处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为(A)13 (B) 12 (C) 23(D) 1 9.设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()()21f x x x =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(A) 12-(B) 14- (C) 14 (D) 1210.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A 、B 两点，则cos AFB ∠=(A)45 (B) 35 (C) 35- (D) 45- 11.已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60二面角的平面β截该球面得圆N ，若该球面的半径为4.圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(C) 11π (D) 13π 11,,,602a b a b a c b c ===---=，则c 的最大值等于 (D) 1小题，每小题5分，共其答案按先后次序填写的系数与x )，AM ,17.,a c +18.（本小题满分12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立。
（Ⅰ）求该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（Ⅱ）X 表示该地的100为车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X 的期望。
19.（本小题满分12分）如图，四棱锥S-ABCD 中，//,AB CD BC CD ⊥,侧面SAB 为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1.（Ⅰ）证明：SD SAB ⊥平面;（Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成的角的大小。
2011年福建高考理科数学试卷及答案解析(Word)
2011年普通高等学校招生全国统一考试【福建卷】（理科数学）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分）【2011⋅福建理，1】1．i 是虚数单位，若集合=S {1,0,1}-，则( )． A ．i S ∈ B ．2i S ∈ C ．3i S ∈ D ．2S i∈ 【答案】B ．【解析】2i 1S =-∈．故选B ．【2011⋅福建理，2】2．若a R ∈，则2a =是()()120a a --=的( )． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 【答案】A ．【解析】 当2a =时，()()120a a --=，所以2a =是()()120a a --=的充分条件， 但是()()120a a --=时，1a =或2a =，所以2a =不是()()120a a --=的必要条件．故选A ． 【2011⋅福建理，3】3．若tan 3α=，则2sin 2cos aα的值等于( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 【答案】D ． 【解析】22sin 22sin cos 2tan 6cos cos ===αααααα．故选D ．【2011⋅福建理，4】4．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自ABE ∆内部的概率等于( )．A ．14 B ．13 C ．12 D ．23【答案】C ． 【解析】因为Δ12ABE ABCD S S =，则点Q 取自ΔABE 内部的概率Δ12ABE ABCD S P S ==．故选C ．【2011⋅福建理，5】5．1⎰()2xe x dx +等于( )．A ．1B ．1e -C ．eD ．1e + 【答案】C ． 【解析】()()11200210xxex dx e xe e e +=+=+--=⎰．故选C ．【2011⋅福建理，6】6．()312x + 的展开式中，2x 的系数等于( )． A ．80 B ．40 C ．20 D ．10 【答案】B ．【解析】 15C 2r r r r T x +=，令2r =，则2x 的系数等于225C 240=．故选B ．【2011⋅福建理，7】7．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为1F ，2F ，若曲线Γ上存在点P 满足1PF ：12F F ：2PF 4:3:2=，则曲线Γ的离心率等于( )．A ．1322或B ．223或C ．122或D ．2332或 【答案】A ．【解析】 因为1122::4:3:2PF F F PF =，所以设14PF λ=，123F F λ=，22PF λ=． 若Γ为椭圆，则1212242623PF PF a λλλF F c λ⎧+==+=⎪⎨==⎪⎩ ， 所以12c e a ==．若Γ为双曲线，则1212242223PF PF a λλλF F c λ⎧-==-=⎪⎨==⎪⎩ ， 所以32c e a ==．故选A ．【2011⋅福建理，8】8．已知O 是坐标原点，点(1,1)A -若点(,)M x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OA OM ⋅u u u r u u u u r的取值范围是( )．A ．[-1.0]B ．[0.1]C ．[0.2]D ．[-1.2] 【答案】C ．【解析】 设()()1,1,z OA OM x y x y =⋅=-⋅=-+u u u r u u u u r．作出可行域，如图．直线z x y =-+，即y x z =+经过()1,1B 时，z 最小，min 110z =-+=，y x z =+经过()0,2C 时，z 最大，max 022z =+=，所以OA OM ⋅u u u r u u u u r的取值范围是[]0,2．故选C ．解析二：【2011⋅福建理，9】9．对于函数()sin f x a x bx c =++(其中，,a b R ∈，c Z ∈)，选取,,a b c 的一组值计算()1f 和()1f -，所得出的正确结果一定不可能．．．．．是( )． A ．4和6 B ．.3和1 C ．2和4 D ．1和2 【答案】D ．【解析】 ()()()11sin1sin 12f f a b c a b c c +-=+++--+=，因为c ∈Z ，(1,1)(1,2)21BAOy C则()()11f f +-为偶数，四个选项中，只有Ｄ，123+=不是偶数．故选D ．【2011⋅福建理，10】10．已知函数()xf x e x =+，对于曲线()y f x =上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，给出以下判断： ①△ABC 一定是钝角三角形； ②△ABC 可能是直角三角形； ③△ABC 可能是等腰三角形； ④△ABC 不可能是等腰三角形． 其中，正确的判断是 ( )．A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 【答案】B ．【解析】设a b <．首先证明()()22f a f b a b f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭．()()22f a f b a b f ++⎛⎫- ⎪⎝⎭222a b a b e a e b a b e +++++=--22a ba b e e e ++=-2220a b a b a b a be e eee+++≥⋅-=-=，当且仅当a b =时等号成立，由于a b <，所以等号不成立， 于是()()022f a f b a b f ++⎛⎫-> ⎪⎝⎭，()()22f a f b a b f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭． ①设点(),A A A x y ，(),B B B x y ，(),C C C x y ，且,,A B C x x x 成等差数列，A B C x x x <<． 由()f x 是R 上的增函数，则A B C y y y <<， ②如图，D 为AC 的中点，过,,A B C 作x 轴的垂线，垂足依次为,,M N P ． 因为2A CB x x x +=，所以D 在直线BN 上，作AE BN ⊥交BN 于E ，作BF CP ⊥交CP 于F ． 因为()()22AC A CD f x f x y y y ++==，2AC B x x y f +⎛⎫= ⎪⎝⎭， 由①式，D B y y >，，D A DE y y =-，D B DB y y =-，由②，DE DB >，所以点B 在DE 的内部，因而90DBA DEA ∠>∠=︒，又CBA DBA ∠>∠，所以ABC ∆一定是钝角三角形．结论①正确．若ABC ∆是等腰三角形，因为D 为AC 的中点，则BD AC ⊥，因而//AC x 轴，这是不可能的，所以ABC ∆不是等腰三角形．结论④正确； 所以结论①，④正确．故选Ｂ．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（每小题4分，共16分）【2011⋅福建理，11】11．运行如图所示的程序，输出的结果是 ．【答案】 3．【解析】 123a =+=．所以输出的结果是3．【2011⋅福建理，12】12．三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，3PA =，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥P ABC -的体积等于 ．【解析】2Δ1123334ABC V S PA =⋅=⨯⨯⨯=ED BCA【2011⋅福建理，13】13．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于 ． 【答案】35． 【解析】所取出的2个球颜色不同的概率113225C C 233C 105P ⨯===． 【2011⋅福建理，14】14．如图，ABC ∆中，2AB AC ==，3BC =D 在BC 边上，ADC ∠=45o ，则AD 的长度等于 ．2．【解析】解法1：由余弦定理2223cos 22223AC BC AB C AC BC +-===⋅⋅⨯⨯所以30C =︒. 再由正弦定理sin sin AD AC C ADC =∠，即2sin 30sin 45AD =︒︒，所以2AD = 解法2：作AE BC ⊥于E ，因为2AB AC ==，所以E 为BC 的 中点，因为23BC =3EC =． 于是221AE AC EC -=，因为ΔADE 为有一角为45︒的直角三角形．且1AE =，所以2AD =【2011⋅福建理，15】15．设V 是全体平面向量构成的集合，若映射:f V R →满足：对任意向量1122(,),(,),a x y V b x y V =∈=∈以及任意R λ∈，均有((1))()(1)(),f a b f a f b λλλλ=-=+-则称映射f 具有性质P ．先给出如下映射：① 1:f V R → ()1f m x y =- (),m x y V =∈；② 2:f V R → ()2f m x y =+ (),m x y V =∈； ③ 3:f V R → ()31f m x y =++ (),m x y V =∈．其中，具有性质P 的映射的序号为 ．（写出所有具有性质P 的映射的序号） 【答案】①③．【解析】设()11,a x y V =∈r，()22,b x y V =∈r ，则()()()()()()()112212121,1,1,1a b x y x y x x y y +-=+-=+-+-λλλλλλλλr r．对于①，()()()()()()1212111f a b x x y y +-=+--+-λλλλλλr r()()()11221x y x y =-+--λλ，()()()()()()112211f a f b x y x y +-=-+--λλλλr r，所以()()()()()11f a b f a f b +-=+-λλλλr r r r成立，①是具有性质P 的映射；对于②，()()()()()()21212111f a b x x y y +-=+-++-λλλλλλr r()()()()2121211x x y y =+-++-λλλλ()()()22221122121121x y x y x x =++-+-+-λλλλλλ，()()()()()()22112211f a f b x y x y +-=++--λλλλr r ，显然，不是对任意λ∈R ，()()()()()11f a b f a f b +-=+-λλλλr r r r成立，所以②不是具有性质P 的映射； 对于③，()()()()()()12121111f a b x x y y +-=+-++-+λλλλλλr r()()()112211x y x y =++-++λλ，()()()()()()11221111f a f b x y x y +-=+++-++λλλλr r()()()()112211x y x y =++-+++-λλλλ()()()112211x y x y =++-++λλ．所以()()()()()11f a b f a f b +-=+-λλλλr r r r成立，③是具有性质P 的映射．因此，具有性质P 的映射的序号为①、③．三、解答题：（本大题共6小题，共80分）【2011⋅福建理，16】16．（本小题满分13分）已知等比数列{}n a 的公比3q =，前3项和S 3=133． (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 若函数()sin(2)(0,0)f x A x A p ϕϕπ=+><<<在6x π=处取得最大值，且最大值为3a ，求函数()f x 的解析式．【解析】本小题主要考查等比数列、三角函数等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．（Ⅰ）由3q =，3133S =得()311313133a -=-，解得113a =．所以11211333n n n n a a q---==⨯=． （Ⅱ）由（Ⅰ），32333a -==，所以函数()f x 的最大值为3，于是3A =．又因为函数()f x 在6x π=处取得最大值，则sin(2)16πϕ⨯+=，因为0<<ϕπ，所以6=πϕ．函数()f x 的解析式为()3sin(2)6f x x π=+．【2011⋅福建理，17】17．（本小题满分13分）已知直线:l y x m =+，m R ∈．(Ⅰ) 若以点()2,0M 为圆心的圆与直线l 相切与点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程； (Ⅱ) 若直线l 关于x 轴对称的直线为l '，问直线l '与抛物线2:4C x y =是否相切？说明理由． 【解析】本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．（Ⅰ）解法1：由题意，点P 的坐标为()0,m ． 因为以点()2,0M 为圆心的圆与直线l 相切与点P ，所以MP l ⊥．01102MP l m k k -⋅=⋅=--，所以2m =． 点P 的坐标为()0,2．设圆的方程为()2222x y r -+=，则()()2202208r MP ==-+-=，所以，所求的圆的方程为()2228x y -+=． 解法2：设圆的方程为()2222x y r -+=，因为以点()2,0M 为圆心的圆与直线l 相切与点()0,P m ，所以224,20,2m r m r ⎧+=-+=解得2,2 2.m r =⎧⎪⎨=⎪⎩所以，所求的圆的方程为()2228x y -+=．（Ⅱ）解法1：因为直线:l y x m =+，且直线l '与直线l 关于x 轴对称，则:l y x m '=--．由24,,x y y x m ⎧=⎨=--⎩得2440x x m ++=， 2Δ4440m =-⨯=，解得1m =．所以，当1m =时，Δ0=，直线l '与抛物线2:4C x y =相切，当1m ≠时，Δ0≠，直线l '与抛物线2:4C x y =不相切．解法2：因为直线:l y x m =+，且直线l '与直线l 关于x 轴对称，则:l y x m '=--． 设直线l '与抛物线214y x =相切的切点为()00,x y ， 由214y x =得12y x '=，则0112x =-，02x =-，()022y m m =---=-．所以切点为()2,2m --，窃电在抛物线214y x =上，则21m -=，1m =． 所以，当1m =时，直线l '与抛物线2:4C x y =相切，当1m ≠时，直线l '与抛物线2:4C x y =不相切．【2011⋅福建理，18】18．（本小题满分12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3ay x x =+--，其中36x <<，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (Ⅰ) 求a 的值；(Ⅱ) 若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．【解析】本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想． （Ⅰ）因为5x =时，11y =，由函数式210(6)3ay x x =+-- 得 11102a=+，所以2a =． （Ⅱ）因为2a =，所以该商品每日的销售量为2210(6)3y x x =+--，()36x <<． 每日销售该商品所获得的利润为()()()222310(6)2103(6)3f x x x x x x ⎡⎤=-+-=+--⎢⎥-⎣⎦，()36x <<．()()()()()()21062363064f x x x x x x ⎡⎤'=-+--=--⎣⎦．于是，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：x()3,44 ()4,6()f x ' +-()f x单调递增极大值42单调递减由上表可以看出，4x =是函数在区间()3,6内的极大值点，也是最大值点．所以，当4x =时，函数()f x 取得最大值42．因此当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．【2011⋅福建理，19】19．（本小题满分13分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2，……，8，其中5X ≥为标准A ，3X ≥为标准B ，已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准．(Ⅰ) 已知甲厂产品的等级系数1X 的概率分布列如下所示：且1X 的数字期望16EX =，求,a b 的值；(Ⅱ) 为分析乙厂产品的等级系数2X ，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 34 6 3 4 75 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数2X 的数学期望． (Ⅲ) 在(Ⅰ)、(Ⅱ)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：（1）产品的“性价比”=产品的零售价期望产品的等级系数的数学；（2）“性价比”大的产品更具可购买性．【解析】本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、必然与或然思想、分类与整合思想．（Ⅰ）因为16EX =，所以50.46780.16a b ⨯+++⨯=，即67 3.2a b +=， 又0.40.11a b +++=，所以0.5a b +=，解方程组67 3.2,0.5a b a b +=⎧⎨+=⎩解得0.3a =，0.2b =．（Ⅱ）由样本的数据，样本的频率分布表如下：2X3 4 5 6 7 8 f0.30.20.20.10.10.1用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数2X 的概率分布列如下表：2X3 4 5 6 7 8P 0.3 0.20.2 0.1 0.1 0.1所以230.340.250.260.170.180.1 4.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． （Ⅲ）甲厂的产品的等级系数的数学期望为6，价格为6元/件，所以性价比为616=， 甲厂的产品的等级系数的数学期望为4.8，价格为4元/件，所以性价比为4.81.214=>． 所以，乙厂的产品更具可购买性．【2011⋅福建理，20】20．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 中，AB AD ⊥，4AB AD +=，2CD =，CDA ∠=45o ．(Ⅰ) 求证：平面PAB ⊥平面PAD ； (Ⅱ) 设AB AP =．()i 若直线PB 与平面PCD 所成的角为︒30，求线段AB 的长；()ii在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由．【解析】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、抽象根据能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．【解析二】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、抽象根据能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．（Ⅰ）因为PA ABCD ⊥底面，AB ABCD ⊂底面，所以PA AB ⊥．又AB AD ⊥，PA AD A =∩，所以P AB AD ⊥面平，又P AB AB ⊂面平，P PAB AD ⊥面平面平．（Ⅱ）以A 为坐标原点，建立如图乙的空间直角坐 标系A xyz -．在平面ABCD 内，作//CE AB 交AD 于E ． 则CE AD ⊥．在Rt ΔCDE 中，2sin 45212DE CD =︒=⋅=． 设AB AP t ==，则(),0,0B t ，()0,0,P t ．由4AB AD +=，则4AD t =-，所以()0,3,0E t -，()0,4,0D t -，()1,3,0C t -．()1,1,0CD =-u u u r ，()0,4,PD t t =--u u u r，（i ）设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =r ，由n CD ⊥u u u r r ，n PD ⊥u u u r r 得0,0,n CD n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u rr ()0,40,x y t y tz -+=⎧⎨--=⎩取x t =，则y t =，4z t =-．(),,4n t t t =-r， 又(),0,PB t t =-u u u r，由直线PB 与平面PCD 所成的角为︒30，得()22222241cos 60242t t n PB n PB t t t t -⋅︒===⋅++-⋅u u u r r u u u r r ． 解得45t =或4t =（因为40,4AD t t =-><，故舍去） 所以45AB =． （ii ）假设线段AD 上存在一个点G ，使得点G 到点,,,P B C D 的距离都相等，设()0,,0G m ，()04m t ≤≤-．则()1,3,0GC t m =--u u u r， ()0,4,0GD t m =--u u u r ，()0,,GP m t =-u u u r，则由GC GD =u u u r u u u r 得()()22134t m t m +--=--，即3t m =-，① 由GP GD =u u u r u u u r 得()2224t m m t --=+， ②从①，②消去t ，并化简得2340m m -+= ③ 方程③没有实数根，所以在线段AD 上不存在一个点G ，使得点G 到点,,,P B C D 的距离都相等．解法2：假设线段AD 上存在一个点G ，使得点G 到 点,,,P B C D 的距离都相等，由GC GD =得45GCD GDC ∠=∠=︒， 从而90CGD ∠=︒，则CG GD ⊥，设AB λ=，则由4AB AD +=，得4AD λ=-，3AG AD GD λ=-=-．在Rt ΔABG 中，()222223932122GB AB AG λλλ⎛⎫=+=+-=-+> ⎪⎝⎭与1GB GD ==矛盾，所以在线段AD 上不存在一个点G ，使得点G 到点,,,P B C D 的距离都相等．【2011⋅福建理，21】21．（本小题满分14分）本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，做答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． (1)（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换设矩阵 00a M b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（其中0a >，0b >）．（I ）若2a =，3b =，求矩阵M 的逆矩阵1M -；（II ）若曲线22:1C x y +=在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C '：2214x y +=，求,a b 的值．【解析】本小题主要考查矩阵与交换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想． （Ⅰ）设矩阵M 的逆矩阵11122x y Mx y -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则11001MM -⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因为2003M ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以112220100301x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以121x =，120y =，230x =，231y =，即112x =，10y =，20x =．213y =， 所以1102103M -⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． （Ⅱ）设曲线C 上的任意一点为(),P x y ，在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点(),P x y '''．则00a x x b y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即,ax x by y'=⎧⎨'=⎩， 又点(),P x y '''在曲线22:14x C y '+=上，所以2214x y ''+=， 即222214a xb y +=为曲线22:1C x y +=的方程，则24a =，21b =， 又因为0,0a b >>，则2,1a b ==．(2)（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在直接坐标系xOy 中，直线l 的方程为40x y -+=，曲线C的参数方程为sin x ay a⎧=⎪⎨=⎪⎩.（I ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为(4,)2π，判断点P 与直线l 的位置关系；（II ）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．【解析】本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想． （Ⅰ）点P 的极坐标为(4,)2π，则直角坐标为()0,4，把()0,4P 代入直线l 的方程40x y -+=，因为0440-+=，所以点P 在直线l 上．（Ⅱ）因为点Q 是曲线C 上的一个动点，则点Q的坐标可设为,sin )Q αα． 点Q 到直线l 的距离为2cos()4)6d παπα++===++．所以当cos()16πα+=-时，d．(3)（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 设不等式211x -<的解集为M ． （I ）求集合M ；（II ）若,a b M ∈，试比较1ab +与a b +的大小．【解析】本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想． （Ⅰ）由|21|1x -<得1211x -<-<，解得01x <<， 所以{}01M x x =<<．（Ⅱ）因为,a b M ∈，则01a <<，01b <<，(1)()(1)(1)0ab a b a b +-+=-->，所以1ab a b +>+．。
2011年福建省高考数学试卷(理科)答案与解析
2011年福建省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2011•福建）i是虚数单位，若集合S={﹣1，0，1}，则（）23∈S C．i∈S D． A．i∈S B．i【考点】虚数单位i及其性质．【专题】计算题．23【分析】根据虚数单位i及其性质，我们分别计算出i，i，，再根据集合元素与集合的关系，逐一判断它们与集合S的关系，即可得到答案．【解答】解：∵S={﹣1.0.1}，∴i∉S，故A错误； 2i=﹣1∈S，故B正确； 3i=﹣i∉S，故C错误；∉S，故D错误；故选B 【点评】本题考查的知识点是虚数单位i及其性质，元素与集合的关系，其中利用虚数单位23i及其性质，计算出i，i，，是解答本题的关键．2．（5分）（2011•福建）若a∈R，则a=2是（a﹣1）（a﹣2）=0的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据一元二次方程根的定义，我们判断出a=2⇒（a﹣1）（a﹣2）=0及（a﹣1）（a ﹣2）=0⇒a=2的真假，进而根据充要条件的定义即可得到答案．【解答】解：当a=2时，（a﹣1）（a﹣2）=0成立故a=2⇒（a﹣1）（a﹣2）=0为真命题而当（a﹣1）（a﹣2）=0，a=1或a=2，即a=2不一定成立故（a﹣1）（a﹣2）=0⇒a=2为假命题故a=2是（a﹣1）（a﹣2）=0的充分不必要条件故选A 【点评】本题考查的知识点是充要条件，其中判断a=2⇒（a﹣1）（a﹣2）=0及（a﹣1）（a﹣2）=0⇒a=2是解答本题的关键．3．（5分）（2011•福建）若tanα=3，则的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．6 【考点】二倍角的正弦；弦切互化．【专题】计算题． 1【分析】利用两角和公式把原式的分母展开后化简，把tanα的值代入即可．【解答】解：==2tanα=6 故选D 【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换及化简求值．考查了基础知识的运用． 4．（5分）（2011•福建）如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于（）A． B． C． D．【考点】几何概型．【专题】常规题型．【分析】利用几何概型的计算概率的方法解决本题，关键要弄准所求的随机事件发生的区域的面积和事件总体的区域面积，通过相除的方法完成本题的解答．【解答】解：由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为P=．故选C．【点评】本题考查概率的计算，考查几何概型的辨别，考查学生通过比例的方法计算概率的问题，考查学生分析问题解决问题的能力，考查学生几何图形面积的计算方法，属于基本题型．x5．（5分）（2011•福建）（e+2x）dx等于（）2A．1 B．e﹣1 C．e D．e+1 【考点】定积分．【专题】计算题．【分析】求出被积函数的原函数，将积分的上限代入减去将下限代入求出差．xx21【解答】解：（e+2x）dx=（e+x）|=e+1﹣1=e 0故选C．【点评】本题考查利用微积分基本定理求定积分值．326．（5分）（2011•福建）（1+2x）的展开式中，x的系数等于（）A．80 B．12 C．20 D．10 【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题．2【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为2，求出展开式的x的系数．rrr【解答】解：展开式的通项为T=2Cx r+13 2222令r=2的展开式中x的系数等于2C=12 3故选B 【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题． 7．（5分）（2011•福建）设圆锥曲线r的两个焦点分别为F，F，若曲线r上存在点P满足12|PF|：|FF|：|PF|=4：3：2，则曲线r的离心率等于（）1122A． B．或2 C．2 D．【考点】圆锥曲线的共同特征．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据题意可设出|PF|，|FF|和|PF|，然后分曲线为椭圆和双曲线两种情况，分别1122利用定义表示出a和c，则离心率可得．【解答】解：依题意设|PF|=4t，|FF|=3t，|PF|=2t，1122若曲线为椭圆则2a=|PF|+|PF|=6t，c=t 12则e==，若曲线为双曲线则，2a=4t﹣2t=2t，a=t，c=t ∴e== 故选A 【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．关键是利用圆锥曲线的定义来解决．8．（5分）（2011•福建）已知O是坐标原点，点A （﹣1，1），若点M（x，y）为平面区域，上的一个动点，则•的取值范围是（） A．[﹣1，0] B．[0，1] C．[0，2] D．[﹣1，2] 【考点】简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算．【专题】数形结合．【分析】先画出满足约束条件的平面区域，求出平面区域的角点后，逐一代入•分析比较后，即可得到•的取值范围．的平面区域如下图所示：【解答】解：满足约束条件 3将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式当x=1，y=1时，•=﹣1×1+1×1=0 当x=1，y=2时，•=﹣1×1+1×2=1 当x=0，y=2时，•=﹣1×0+1×2=2 故•和取值范围为[0，2] 解法二：z=•=﹣x+y，即y=x+z 当经过P点（0，2）时在y轴上的截距最大，从而z最大，为2．当经过S点（1，1）时在y轴上的截距最小，从而z最小，为0．故•和取值范围为[0，2] 故选：C 【点评】本题考查的知识点是线性规划的简单应用，其中画出满足条件的平面区域，并将三个角点的坐标分别代入平面向量数量积公式，进而判断出结果是解答本题的关键． 9．（5分）（2011•福建）对于函数f（x）=asinx+bx+c（其中，a，b∈R，c∈Z），选取a，b，c的一组值计算f（1）和f （﹣1），所得出的正确结果一定不可能是（）A．4和6 B．3和1 C．2和4 D．1和2 【考点】函数的值．【专题】计算题；压轴题．【分析】求出f（1）和f（﹣1），求出它们的和；由于c∈Z，判断出f（1）+f（﹣1）为偶数．【解答】解：f（1）=asin1+b+c ① f（﹣1）=﹣asin1﹣b+c ② ①+②得： f（1）+f （﹣1）=2c 4∵c∈Z ∴f（1）+f（﹣1）是偶数故选：D 【点评】本题考查知函数的解析式求函数值、考查偶数的特点．x+x10．（5分）（2011•福建）已知函数f（x）=e，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，给出以下判断：①△ABC一定是钝角三角形；②△ABC可能是直角三角形；③△ABC可能是等腰三角形；④△ABC不可能是等腰三角形．其中，正确的判断是（） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【考点】数列与函数的综合．【专题】综合题；压轴题；探究型；数形结合；数形结合法．x【分析】由于函数f（x）=e+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，由函数的定义及函数单调性进行判断即可得出正确选项，对于①正确，由函数的图象可以得出，角ABC是钝角，②亦可由此判断出；③④可由变化率判断出．x【解答】解：由于函数f（x）=e+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，且横坐标依次增大由于此函数是一个单调递增的函数，故由A到B的变化率要小于由B到C的变化率．可得出角ABC一定是钝角故①对，②错．由于由A到B的变化率要小于由B到C的变化率，由两点间距离公式可以得出AB＜BC，故三角形不可能是等腰三角形，由此得出③不对，④对．故选B．【点评】此题考查了数列与函数的综合，求解本题的关键是反函数的性质及其变化规律研究清楚，由函数的图形结合等差数列的性质得出答案．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．（4分）（2011•福建）运行如图所示的程序，输出的结果是3 ．【考点】伪代码．【专题】图表型．【分析】根据赋值语句的含义对语句从上往下进行运行，最后的a就是所求．【解答】解：a=1，b=2，接下来：a=1+2=3 故最后输出3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了赋值语句，理解赋值的含义是解决问题的关键，属于基础题． 512．（4分）（2011•福建）三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P﹣ABC的体积等于．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；压轴题．【分析】由题意求出底面面积，然后求出三棱锥的体积．【解答】解：三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，所以底面面积为：；三棱锥的体积为：= 故答案为：【点评】本题是基础题，考查三棱锥的体积的计算，注意三棱锥的特征是解题的关键． 13．（4分）（2011•福建）盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题．【分析】先判断出此题是古典概型；利用排列、组合求出随机取出2个球的方法数及取出的2个球颜色不同的方法数；利用古典概型概率公式求出值．【解答】解：从中随机取出2个球，每个球被取到的可能性相同，是古典概型2从中随机取出2个球，所有的取法共有C=10 511所取出的2个球颜色不同，所有的取法有C•C=6 32由古典概型概率公式知P= 故答案为【点评】本题考查利用排列、组合求完成事件的方法数、考查利用古典概型概率公式求事件的概率．14．（4分）（2011•福建）如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=，点D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于．【考点】解三角形．【专题】计算题；压轴题．【分析】由A向BC作垂线，垂足为E，根据三角形为等腰三角形求得BE，进而再Rt△ABE中，利用BE和AB的长求得B，则AE可求得，然后在Rt△ADE中利用AE和∠ADC求得AD．【解答】解：由A向BC作垂线，垂足为E，∵AB=AC ∴BE=BC= 6∵AB=2 ∴cosB== ∴B=30°∴AE=BE•tan30°=1 ∵∠ADC=45°∴AD== 故答案为：【点评】本题主要考查了解三角形问题．考查了学生分析问题和解决问题的能力．15．（4分）（2011•福建）设V是全体平面向量构成的集合，若映射f：V→R满足：对任意向量=（x，y）∈V，=（x，y）∈V，以及任意λ∈R，均有f（λ+（1﹣λ））=λf（）1122+（1﹣λ）f（）则称映射f具有性质P．先给出如下映射：①f：V→R，f（）=x﹣y，=（x，y）∈V；112②f：V→R，f（）=x+y，=（x，y）∈V；22③f：V→R，f（）=x+y+1，=（x，y）∈V．33其中，具有性质P的映射的序号为①③ ．（写出所有具有性质P的映射的序号）【考点】映射．【专题】压轴题；阅读型．【分析】求出两个向量的和的坐标；分别对三个函数求与的值，判断哪个函数具有．【解答】解：，则+（1﹣λ）y} 2对于①，=λx+（1﹣λ）x﹣λy﹣（1﹣λ）y=λ（x﹣y）+（1﹣λ）121211（x﹣y）22而=λ（x﹣y）+（1﹣λ）（x﹣y）满足性质P 11222]]，λf对于②f（λa+（1﹣λb））=[λx+（1﹣λ）x+[λy+（1﹣λ）y（a）+（1﹣λ）f（b）212122222=λ（x+y）+（1﹣λ）（x+y）1122∴f（λa+（1﹣λb））≠λf（a）+（1﹣λ）f（b），∴映射f不具备性质P．2222 7对于③=λx+（1﹣λ）x+λy+（1﹣λ）y+1=λ（x+y）+（1﹣λ）121211（x+y）+1 22而=λ（x+y+1）+（1﹣λ）（x+y+1）═λ（x+y）+（1112211﹣λ）（x+y）+1 22满足性质p 故答案为：①③．【点评】本题考查理解题中的新定义、考查利用映射的法则求出相应的像．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（13分）（2011•福建）已知等比数列{a}的公比q=3，前3项和S=．n3（Ⅰ）求数列{a}的通项公式；n（Ⅱ）若函数f （x）=Asin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在处取得最大值，且最大值为a，求函数f（x）的解析式．3【考点】等比数列的通项公式；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）根据等比数列的前n项和的公式及q=3化简S=，得到关于首项的方程，3求出方程的解得到首项的值，然后根据首项和公比即可写出数列的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出的通项公式求出a的值，即可得到A的值，然后把代入正弦函3数中得到函数值等于1，根据φ的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出φ的值，把φ的值代入即可确定出f（x）的解析式．【解答】解：（Ⅰ）由q=3，S=得：=，解得a=，31n1n2﹣﹣所以a=×3=3；nn2﹣（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a=3，所以a=3，n3因为函数f（x）的最大值为3，所以A=3；又因为当x=时，f（x）取得最大值，所以sin（2×+φ）=1，．由0＜φ＜π，得到φ=）．则函数f（x）的解析式为f （x）=3sin（2x+【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的前n项和的公式及通项公式化简求值，掌握正弦函数的图象与性质以及会利用待定系数法求函数的解析式，是一道中档题．17．（13分）（2011•福建）已知直线l：y=x+m，m∈R．（Ⅰ）若以点M（2，0）为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程； 82（Ⅱ）若直线l关于x轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C：x=4y是否相切？说明理由．【考点】直线与圆的位置关系；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题．【分析】（I）利用待定系数法求本题中圆的方程是解决本题的关键，利用直线与圆相切的数学关系列出关于圆的半径的方程，通过求解方程确定出所求圆的半径，进而写出所求圆的方程；（II）设出直线为l'的方程利用直线与抛物线的位置关系解决该题，将几何问题转化为代数方程组问题，注意体现方程有几个解的思想．222【解答】解：（I）设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为（x﹣2）+y=r．由题意，所求圆与直线l：y=x+m相切于点P（0，m），则有22，解得，所以圆的方程为（x﹣2）+y=8．（II）由于直线l的方程为y=x+m，所以直线l′的方程为y=﹣x﹣m，由消去y22得到x+4x+4m=0，△=4﹣4×4m=16（1﹣m）．2①当m=1时，即△=0时，直线l′与抛物线C：x=4y相切；2②当m≠1时，即△≠0时，直线l′与抛物线C：x=4y不相切．22综上，当m=1时，直线l′与抛物线C：x=4y相切；当m≠1时，直线l′与抛物线C：x=4y不相切．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系，考查学生对直线与圆相切，直线与抛物线相切的问题的转化方法，考查学生的方程思想和运算化简能力，属于基本题型．18．（13分）（2011•福建）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：2千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y=+10（x﹣6），其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．【考点】函数模型的选择与应用；利用导数研究函数的单调性．【专题】应用题．【分析】（Ⅰ）由f（5）=11代入函数的解析式，解关于a的方程，可得a值；（Ⅱ）商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x 值．【解答】解：（Ⅰ）因为x=5时，y=11，所以+10=11，故a=2 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量y= 所以商场每日销售该商品所获得的利润为 92从而，f′（x）=10[（x﹣6）+2（x﹣3）（x﹣6）]=30（x﹣6）（x﹣4）于是，当x变化时，f（x）、f′（x）的变化情况如下表：x 4 （3，4）（4，6） + 0 f'（x）﹣ f（x）单调递增极大值42 单调递减由上表可得，x=4是函数f（x）在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点．所以，当x=4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42 答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．【点评】本题函数解析式的建立比较容易，考查的重点是利用导数解决生活中的优化问题，属于中档题．19．（13分）（2011•福建）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1，2， (8)其中X≥5为标准A，X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准（Ⅰ）已知甲厂产品的等级系数X的概率分布列如下所示：15 6 7 8 X 1 P 0.4 a b 0.1 且X的数字期望EX=6，求a，b 的值；11（Ⅱ）为分析乙厂产品的等级系数X，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系2数组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X的数学期望．2（Ⅲ）在（Ⅰ）、（Ⅱ）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：（1）产品的“性价比”=；（2）“性价比”大的产品更具可购买性．【考点】概率的应用；随机抽样和样本估计总体的实际应用；离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题；应用题．【分析】（Ⅰ）根据题意，结合期望的计算与频率分布列的性质，可得，解即可得答案；（Ⅱ）依据题意中，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，先由数据得到样本的频率分布列，进而可得其概率分布列，由期望公式，计算可得答案；（Ⅲ）由题意与（Ⅱ）的结论，可得两厂产品的期望，结合题意，计算可得他们产品的“性价比”，比较其大小，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，因为X的数字期望EX=6，则5×0.4+6a+7b+8×0.1=6，化简11可得6a+7b=3.2； 10又由X的频率分布列，可得0.4+a+b+0.1=1，即a+b=0.5；1即，解可得a=0.3，b=0.2；（Ⅱ）由已知得，样本的频率分布列为3 4 5 6 7 8 X 2 f 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 用这个样本的频率分布估计总体的分布，将其频率视为概率，可得X的概率分布列如下：2 3 4 5 6 7 8 X 2p 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 所以EX=3×0.3+4×0.2+5×0.2+6×0.1+7×0.1+8×0.1=4.8．2即乙产品的等级系数的数学期望等于 4.8；（Ⅲ）乙厂的产品更具有可购买性，理由如下：甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为=1，乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为=1.2；据此乙厂的产品更具有可购买性．【点评】本题考查概率的实际运用，是应用性的题目，整体难度不大；解题时需要认真分析、理解题意，并根据题意，选择合适的数学统计量来计算应用．20．（14分）（2011•福建）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD=，∠CDA=45°．（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面PAD；（Ⅱ）设AB=AP．（i）若直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长；（ii）在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由．【考点】平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．【专题】压轴题；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】（I）根据线面垂直的定义可得PA⊥AB，再结合DA⊥AB得到AB⊥平面PAD，最后根据平面与平面垂直的判定定理可得平面PAB与平面PAD垂直；（II）（i）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，根据已知数据设出B、P、E、C、D的坐标，用法向量的方法结合数量积计算公式，可得线段AB的长；（ii）先假设存在点G满足条件，再通过计算GB之长，与GD长加以比较，得出GB＞GD，与已知条件GB=GD=1矛盾，故不存在满足条件的点G．【解答】解：（I）证明：∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD ∴PA⊥AB 11又∵AB⊥AD，PA∩AD=A ∴AB⊥平面PAD 又∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD （II）（i）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz（如图）在平面ABCD内，作CE∥AB交于点E，则CE⊥AD 在Rt△CDE中，DE=CD•cos45°=1，CE=CD•sin45°=1 设AB=AP=t，则B（t，0，0），P（0，0，t）由AB+AD=4，得AD=4﹣t，所以E（0，3﹣t，0），C（1，3﹣t，0），D（0，4﹣t，0），设平面PCD 的法向量为=（x，y，z）由，，得取x=t，得平面PCD的一个法向量为又，故由直线PB与平面PCD所成的角为30°得cos（90°﹣30°）== 即解得或t=4（舍去，因为AD=4﹣t＞0）所以AB= （ii）假设在线段AD上存在一个点G到P、B、C、D 的距离都相等由GC=GD，得∠GCD=∠GDC=45°从而∠CGD=90°，即CG⊥AD 所以GD=CD•cos45°=1 设AB=λ，则AD=4﹣λ，AG=AD﹣GD=3﹣λ 在Rt△ABG中，GB= 这GB=GD与矛盾．所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到B、C、D的距离都相等． 12从而，在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P、B、C、D的距离都相等．【点评】本小题主要考查空间中的线面关系，考查面面垂直的判定及线面角的计算，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力，考查转化思想，属于中档题． 21．（14分）（2011•福建）本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）选修4﹣2：矩阵与变换设矩阵（其中a＞0，b＞0）．1﹣（Ⅰ）若a=2，b=3，求矩阵M的逆矩阵M；22（Ⅱ）若曲线C：x+y=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：，求a，b的值．（2）（本小题满分7分）选修4﹣4：坐标系与参数方程在直接坐标系xOy中，直线l的方程为x﹣y+4=0，曲线C的参数方程为．（Ⅰ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，），判断点P与直线l的位置关系；（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．（3）（本小题满分7分）选修4﹣5：不等式选讲设不等式|2x﹣1|＜1的解集为M．（Ⅰ）求集合M；（Ⅱ）若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小．【考点】逆变换与逆矩阵；椭圆的参数方程；绝对值不等式的解法．【专题】计算题；压轴题；选作题． 13【分析】（1）（Ⅰ）直接根据求逆矩阵的公式求解，即M=，则代入a，b即可求解22（Ⅱ）设出曲线C：x+y=1任意一点为（x，y）经矩阵M所对应的线性变换作用下得到00的点为（x，y），即可根据矩阵乘法M（x，y）=（x，y）得到关于x，y与x，y间的关000022系，即将之代入得到的含x，y的方程应与x+y=1相同，根据待定系00数即可运算（2）（Ⅰ）将P的极坐标（4，）根据公式化为直角坐标坐标为（0，4），则根据直角坐标系下点与直线的位置关系判断即可（Ⅱ）根据曲线C的参数方程为，设出曲线C上任一点到直线l的距离为d，则根据点到直线的距离公式知d=，即d=，而2sin（）∈[﹣2，2]，则d的最小值为（3）（Ⅰ）直接根据绝对值不等式的意义（（|a﹣b|表示a﹣b与原点的距离，也表示a与b之间的距离）知：﹣1＜2x﹣1＜1即可求解（Ⅱ）要比较ab+1与a+b的大小，只需比较（ab+1）﹣（a+b）与0的大小，而（ab+1）﹣（a+b）=（a﹣1）（b﹣1）再根据a，b∈M即可得到（a﹣1）（b﹣1）的符号，即可求解．【解答】（1）解：（Ⅰ）∵∴将a=2，b=3代入即得：22（Ⅱ）设出曲线C：x+y=1任意一点为（x，y）经矩阵M所对应的线性变换作用下得到00的点为（x，y），∵M（x，y）=（x，y）00∴ 14将之代入得：即∵a＞0，b＞0 ∴），（2）（Ⅰ）解∵P 的极坐标为（4，∴P的直角坐标为（0，4）∵直线l的方程为x﹣y+4=0 ∴（0，4）在直线l上（Ⅱ）∵曲线C的参数方程为，直线l的方程为x﹣y+4=0 设曲线C的到直线l的距离为d 则d== ∵2sin（）∈[﹣2，2] ∴d的最小值为（3）（Ⅰ）解：∵|2x﹣1|＜1 ∴﹣1＜2x﹣1＜1 即0＜x＜1 即M为{x|0＜x＜1} （Ⅱ）∵a，b∈M ∴a﹣1＜0．b﹣1＜0 ∴（b﹣1）（a﹣1）＞0 ∴（ab+1）﹣（a+b）=a（b﹣1）+（1﹣b）=（b﹣1）（a﹣1）＞0 即（ab+1）＞（a+b）【点评】本题考查了逆变换与逆矩阵，以及待定系数法求解a，b的方法，椭圆的参数方程，绝对值不等式的解法，作差法比较大小的相关知识，属于基础题． 15。
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A.[-1.0] B.[0.1] C.[0.2] D.[-1.2]
9.对于函数f（x）=asinx+bx+c(其中，a,bR,cZ),选取a,b,c的一组值计算f（1）和f（-1），所得出的正确结果一定不可能是
11.运行如图所示的程序，输出的结果是_______。
12.三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P-ABC的体积等于______。
13.何种装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个。若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于_______。
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望.
* 在（I）、（II）的条件下，若以"性价比"为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.
（ii）在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由。
21. 本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，做答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。
（I）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；
（II）若直线l关于x轴对称的直线为，问直线与抛物线C：x2=4y是否相切？说明理由。
18.（本小题满分13分）
某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中3<x<6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。
3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
参考公式：
样本数据x1,x2,...，xa的标准差 锥体体积公式
2.若aR，则a=2是（a-1）（a-2）=0的
A.充分而不必要条件 B必要而不充分条件
C.充要条件 C.既不充分又不必要条件
3.若tan=3，则的值等于
A.2 B.3 C.4 D.6
14.如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=，点D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于______。
15.设V是全体平面向量构成的集合，若映射满足：对任意向量以及任意∈R，均有
则称映射f具有性质P。
先给出如下映射：
其中，具有性质P的映射的序号为________。（写出所有具有性质P的映射的序号）
（I）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，），判断点P与直线l的位置关系；
（II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值.
（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
设不等式的解集为M.
（I）求集合M；
（II）若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小.
高考轻松提高50-120分
（I）求a的值
（II）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。
19.（本小题满分13分）
某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，......，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准
（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
设矩阵 （其中a＞0，b＞0）.
（I）若a=2，b=3，求矩阵M的逆矩阵M-1；
（II）若曲线C：x2+y2=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C'：，求a，b的值.
（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直接坐标系中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为.
（I）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：
且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；
（II）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
4.如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于
A. B.
C. D.
5.（e2+2x）dx等于
A.1 B.e-1 C.e D.e+1
A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和2
10.已知函数f(x)=e+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C，给出以下判断：
①△ABC一定是钝角三角形
②△ABC可能是直角三角形
③△ABC可能是等腰三角形
④△ABC不可能是等腰三角形
其中，正确的判断是
A.①③ B.①④ C. ②③ D.②④
2011年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
数 学(理工农医类)
注意事项：
用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写答案，在试题卷上作答，答案无效。
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置。
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分13分）
已知等比数列{an}的公比q=3，前3项和S3=。
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）若函数在处取得最大值，且最大值为a3，求函数f（x）的解析式。
17.（本小题满分13分）
已知直线l：y=x+m，m∈R。
其中为样本平均数 其中S为底面面积，h为高
柱体体积公式 球的表面积，体积公式
V=Sh
注：（1）产品的"性价比"=；
（2）"性价比"大的产品更具可购买性.
20.（本小题满分14分）
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD=，.
（I）求证：平面PAB⊥平面PAD；
（II）设AB=AP.
（i）若直线PB与平面PCD所成的角为，求线段AB的长；
绝密☆启用前
2011年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
数学（理工农医类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷第3至6页。第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题。满分150分。
注意事项：
1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的"准考证号，姓名"与考生本人准考证号，姓名是否一致。
其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. i是虚数单位，若集合S=，则
A. B. C. D.
6.(1+2x)3的展开式中，x2的系数等于
A.80 B.40 C.20 D.10
7.设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足=4:3:2，则曲线r的离心率等于
A. B.或2 C.2 D.