1994考研数二真题及解析

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1994考研数学一真题及答案详解

1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 011lim cot ()sin x x x x→-=_____________. (2) 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.(3) 设sin xx u e y -=,则2ux y∂∂∂在点1(2,)π处的值为_____________.(4) 设区域D 为222x y R +≤,则2222()Dx y dxdy a b +=⎰⎰_____________.(5) 已知11(1,2,3),(1,,)23αβ==,设TA αβ=,其中T α是α的转置,则n A =_________.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1) 设4222sin cos 1x M xdx x ππ-=+⎰,3422(sin cos )N x x dx ππ-=+⎰,23422(sin cos )P x x x dx ππ-=-⎰, 则 ( )(A) N P M << (B) M P N << (C) N M P << (D) P M N <<(2) 二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y '、00(,)y f x y '存在是(,)f x y 在该点连续的 ( ) (A) 充分条件但非必要条件 (B) 必要条件而非充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件 (3) 设常数0λ>,且级数21n n a ∞=∑收敛,则级数1(1)nn ∞=-∑ ( )(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与λ有关 (4) 2tan (1cos )lim2ln(12)(1)x x a x b x c x d e -→+-=-+-,其中220a c +≠,则必有 ( )(A) 4b d = (B) 4b d =- (C) 4a c = (D) 4a c =-(5) 已知向量组1234αααα、、、线性无关,则向量组 ( ) (A) 12αα+、23αα+、34αα+、41αα+线性无关(B) 12αα-、23αα-、34αα-、41αα-线性无关(C) 12αα+、23αα+、34αα+、41αα-线性无关 (D) 12αα+、23αα+、34αα-、41αα-线性无关三、(本题共3小题, 每小题5分,满分15分.)(1)设2221cos(),cos(),t x t y t t udu ⎧=⎪⎨=-⎪⎩⎰ 求dy dx 、22d y dx在t =. (2) 将函数111()ln arctan 412x f x x x x +=+--展开成x 的幂级数. (3) 求sin 22sin dxx x +⎰.四、(本题满分6分)计算曲面积分2222Sxdydz z dxdyx y z +++⎰⎰,其中S 是由曲面222x y R +=及两平面,z R = (0)z R R =->所围成立体表面的外侧.五、(本题满分9分)设()f x 具有二阶连续导数,(0)0,(0)1f f '==,且2[()()][()]0xy x y f x y dx f x x y dy '+-++=为一全微分方程,求()f x 及此全微分方程的通解.六、(本题满分8分)设()f x 在点0x =的某一领域内具有二阶连续导数,且0()lim0x f x x→=,证明级数 11()n f n∞=∑绝对收敛.七、(本题满分6分)已知点A 与B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB 绕z 轴旋转一周所围成的旋转曲面为S .求由S 及两平面0,1z z ==所围成的立体体积.八、(本题满分8分)设四元线性齐次方程组()I 为12240,0,x x x x +=⎧⎨-=⎩ 又已知某线性齐次方程组()II 的通解为12(0,1,10)(1,2,2,1)k k +-.(1) 求线性方程组()I 的基础解系；(2) 问线性方程组()I 和()II 是否有非零公共解？若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.九、(本题满分6分)设A 为n 阶非零方阵,*A 是A 的伴随矩阵,TA 是A 的转置矩阵,当*TA A =时,证明||0A ≠.十、填空题(本题共2小题, 每小题3分,满分6分.)(1) 已知A 、B 两个事件满足条件()()P AB P AB =,且()P A p =,则()P B =__________. (2) 设相互独立的两个随机变量X 、Y 具有同一分布律,且X 的分布律为则随机变量{}max ,Z X Y =的分布律为_______.十一、(本题满分6分)已知随机变量(,)X Y 服从二维正态分布,且X 和Y 分别服从正态分布2(1,3)N 和2(0,4)N ,X 与Y 的相关系数12XY ρ=-,设32X YZ =+,(1) 求Z 的数学期望()E Z 和方差()D Z ； (2) 求X 与Z 的相关系数XZ ρ； (3) 问X 与Z 是否相互独立？为什么？1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】16【解析】原式变形后为“0”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则,有原式20cos (sin )limsin x x x x x x →-=300sin lim cos lim x x x xx x→→-=⋅ 2001cos sin 1lim lim 366x x x x x x →→-===. (由重要极限0sin lim 1x x x→=) (2)【答案】240x y +-=【解析】所求平面的法向量n 为平行于所给曲面在点(1,2,0)处法线方向的方向向量l ,取n l =,又平面过已知点(1,2,0)M .已知平面的法向量(,,)A B C 和过已知点000(,,)x y z 可唯一确定这个平面：000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=.因点(1,2,0)在曲面(,,)0F x y z =上.曲面方程(,,)23z F x y z z e xy =-+-. 曲面在该点的法向量{}{}{}(1,2,0)(1,2,0),,2,2,14,2,022,1,0z F F F n y x e x y z ⎧⎫∂∂∂ ==-==⎨⎬∂∂∂⎩⎭, 故切平面方程为 2(1)(2)0x y -+-=, 即 240x y +-=.(3)【答案】22eπ【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,为了简化运算,所以本题可以先求u y ∂∂,再求u x y ⎛⎫∂∂ ⎪∂∂⎝⎭. 2cos x u x xe y y y-∂=-∂, ()2221112(2,)(2,)2cos xy x x u u uxe x x y y x x y x ππππ-===⎛⎫∂∂∂∂∂===-⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭2222((1)cos )0xx e x x e πππ-==--+=.(可边代值边计算,这样可以简化运算量.)【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数(,),(,)u x y v x y ϕψ==都在点(,)x y 具有对x 及对y 的偏导数,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数((,),(,))z f x y x y ϕψ=在点(,)x y 的两个偏导数存在,且有12z z u z v u v f f x u x v x x x∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂； 12z z u z v u v f f y u y v y y y∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂. (4)【答案】42211()4R a bπ+ 【解析】很显然,根据此题的特征用极坐标变换来计算：原式2222222322220000cos sin cos sin RR d r rdr d r dr ab a b ππθθθθθθ⎛⎫⎛⎫=+=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰. 注意：22220cos sin d d ππθθθθπ==⎰⎰,则原式4422221111144R R a b a b ππ⎛⎫⎛⎫=+⋅=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (5)【答案】111123232133312n -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦【解析】由矩阵乘法有结合律,注意 1111,,23233Tβα⎡⎤⎛⎫⎢⎥== ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦是一个数,而 11123111221,,2123333312TA αβ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥⎢⎥=== ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦,(是一个三阶矩阵)于是,()()()()()()()n T T T T T T T TA αβαβαβαβαβαβαβαβ==11111232332133312n T n αβ--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(D)【解析】对于关于原点对称的区间上的积分,应该关注被积函数的奇偶性.由对称区间上奇偶函数积分的性质,被积函数是奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为0,故0M =,且由定积分的性质,如果在区间[],a b 上,被积函数()0f x ≥,则()0 ()baf x dx a b ≥<⎰.所以 4202cos 0N xdx π=>⎰, 4202cos 0P xdx N π=-=-<⎰.因而 P M N <<,应选(D). (2)【答案】(D)【解析】(,)f x y 在点00(,)x y 连续不能保证(,)f x y 在点00(,)x y 存在偏导数00(,),x f x y '00(,)y f x y '.反之,(,)f x y 在点00(,)x y 存在这两个偏导数00(,),x f x y '00(,)y f x y '也不能保证(,)f x y 在点00(,)x y 连续,因此应选(D).二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数存在和在点00(,)x y 处连续并没有相关性. (3)【答案】(C)【解析】考查取绝对值后的级数.因2222111112222n n a a n n λ≤+<++, (第一个不等式是由2210,0,()2a b ab a b ≥≥≤+得到的.) 又21nn a ∞=∑收敛,2112n n ∞= ∑收敛,(此为p 级数：11p n n∞=∑当1p >时收敛；当1p ≤时发散.)所以2211122n n a n ∞=+∑收敛,由比较判别法,得1n ∞=收敛.故原级数绝对收敛,因此选(C). (4)【答案】(D)【解析】因为 22211cos (),1()2x xx o x e x o x --=-=,故 tan (1cos )(0)a x b x ax a +-≠,2ln(12)(1)2 (0)x c x d e cx c --+--≠,因此,原式左边0lim222x ax acx c→====--原式右边,4a c ⇒=-.当0,0a c =≠时,极限为0；当0,0a c ≠=时,极限为∞,均与题设矛盾,应选(D). 【相关知识点】1.无穷小的比较：设在同一个极限过程中,(),()x x αβ为无穷小且存在极限 ()lim.()x l x αβ= （1）若0,l ≠称(),()x x αβ在该极限过程中为同阶无穷小；（2）若1,l =称(),()x x αβ在该极限过程中为等价无穷小,记为()()x x αβ；（3）若0,l =称在该极限过程中()x α是()x β的高阶无穷小,记为()()()x o x αβ=.若()lim()x x αβ不存在(不为∞),称(),()x x αβ不可比较. 2. 无穷小量的性质：当0x x →时,(),()x x αβ为无穷小,则()()()()(())x x x x o x αβαββ⇔=+.(5)【答案】(C)【解析】这一类题目应当用观察法.若不易用观察法时可转为计算行列式. (A)：由于()()()()122334410αααααααα+-+++-+=,所以(A)线性相关. (B)：由于()()()()122334410αααααααα-+-+-+-=,所以(B)线性相关.对于(C),实验几组数据不能得到0时,应立即计算由α的系数构成的行列式,即100111002001100011-=≠,由行列式不为0,知道(C)线性无关.故应选(C). 当然,在处理(C)有困难时,也可来看(D),由12233441()()()()0αααααααα+-++-+-=,知(D)线性相关,于是用排除法可确定选(C). 【相关知识点】12,,,s ααα线性相关的充分必要条件是存在某(1,2,,)i i s α=可以由111,,,,i i s αααα-+线性表出.12,,,s ααα线性无关的充分必要条件是任意一个(1,2,,)i i s α=均不能由111,,,,i i s αααα-+线性表出.三、(本题共3小题, 每小题5分,满分15分.)(1)【解析】dy dy dt dy dx dtdt dx dt dx =⋅=222221cos 2sin cos 22(0),2sin t t t t t t t y t t t x t t--⋅'===>'- 同理 2()12sin x txx t y y x t t''''=='-, 代入参数值t =则xt y '=, xxt y ''=【相关知识点】1.复合函数求导法则:如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy du dx du dx=⋅. 2.对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.(2)【解析】111()ln(1)ln(1)arctan 442f x x x x x =+--+-. 先求()f x '的展开式.将()f x 微分后,可得简单的展开式,再积分即得原函数的幂级数展开.所以由2(1)(1)(1)(1)1,2!!nn x x x x n ααααααα---++=+++++(11)x -<<该级数在端点1x =±处的收敛性,视α而定.特别地,当1α=-时,有2311(1),1n n x x x x x =-+-++-++ (11)x -<< 2311,1n x x x x x =++++++- (11)x -<< 得 2221111111111()114141212121f x x x x x x '=++-=+-+-+-+ 44401111(||1)1n n n n x x x x ∞∞===-=-=<-∑∑, 积分,由牛顿-莱布尼茨公式得4140011()(0)() (||1)41n xx nn n x f x f f x dx t dt x n +∞∞=='=+==<+∑∑⎰⎰.(3)【解析】方法1：利用三角函数的二倍角公式sin 22sin cos ααα=⋅,并利用换元积分,结合拆项法求积分,得sin 22sin 2sin (cos 1)dx dxx x x x =++⎰⎰22sin 11cos 2sin (cos 1)2(1)(1)xdx x u du x x u u ==-+-+⎰⎰ (22sin 1cos x x =-)221(1)(1)1112()4(1)(1)811(1)u u du du u u u u u ++-=-=-++-+-++⎰⎰12ln |1|ln |1|8(1)u u C u ⎡⎤=--+++⎢⎥+⎣⎦()()12ln 1cos ln 1cos 81cos x x C x ⎡⎤=--+++⎢⎥+⎣⎦, 其中C 为任意常数.方法2：换元cos x u =后,有原式22sin 12sin (cos 1)2sin (cos 1)2(1)(1)dx xdx dux x x x u u ===-++-+⎰⎰⎰.用待定系数法将被积函数分解:221(1)(1)11(1)A B Du u u u u =++-+-++ 22()(2)()(1)(1)A B u A D u A B D u u -+-+++=-+, 01120,421A B A D A B D A B D -=⎧⎪⇒-=⇒===⎨⎪++=⎩.于是,2111212()ln 1ln 1811(1)81du u u C u u u u ⎡⎤-++=--+++⎢⎥-+++⎣⎦⎰原式＝ ()()12ln 1cos ln 1cos 81cos x x C x ⎡⎤=--+++⎢⎥+⎣⎦.四、(本题满分6分)【解析】求第二类曲面积分的基本方法:套公式将第二类曲面积分化为第一类曲面积分,再化为二重积分,或用高斯公式转化为求相应的三重积分或简单的曲面积分.这里曲面块的个数不多,积分项也不多,某些积分取零值,如若∑垂直yOz 平面,则0Pdydz ∑=⎰⎰.化为二重积分时要选择投影平面,注意利用对称性与奇偶性.先把积分化简后利用高斯公式也很方便的.方法1：注意 22220Sz dxdy x y z =++⎰⎰,(因为S 关于xy 平面对称,被积函数关于z 轴对称) 所以 222SxdydzI x y z =++⎰⎰. S 由上下底圆及圆柱面组成.分别记为123,,S S S . 12,S S 与平面yOz 垂直⇒122222220s s xdydz xdydzx y z x y z ==++++⎰⎰⎰⎰. 在3S 上将222x y R +=代入被积表达式⇒322s xdydzI R z =+⎰⎰. 3S 在yz 平面上投影区域为:,yz D R y R R z R -≤≤-≤≤,在3S 上,x =,3S 关于yz 平面对称,被积函数对x 为奇函数,可以推出22002222yzR R D dz I R z==⨯⨯ +⎰⎰ 2201arctan 42Rz R R R R ππ1=8⋅⋅=.方法2：S 是封闭曲面,它围成的区域记为Ω,记 22SxdydzI R z =+⎰⎰. 再用高斯公式得 222222()1R R D z x dxdyI dV dV dz x R z R z R z -ΩΩ∂⎛⎫=== ⎪∂+++⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 222201122RRdz R R z ππ==+⎰(先一后二的求三重积分方法)其中()D z 是圆域：222x y R +≤.【相关知识点】高斯公式：设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成,函数(,,)P x y z 、(,,)Q x y z 、(,,)R x y z 在Ω上具有一阶连续偏导数,则有,P Q R dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z Ω∑⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰或()cos cos cos ,P Q R dv P Q R dS x y z αβγΩ∑⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧,cos α、cos β、cos γ是∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦.上述两个公式叫做高斯公式.五、(本题满分9分)【解析】由全微分方程的条件,有2[()()][()]xy x y f x y f x x y y x∂∂'+-=+∂∂, 即 22()()2x xy f x f x xy ''+-=+,亦即 2()()f x f x x ''+=.因而是初值问题 200,0,1,x x y y x y y ==''⎧+=⎪⎨'==⎪⎩ 的解,此方程为常系数二阶线性非齐次方程,对应的齐次方程的特征方程为210r +=的根为1,2r i =±,原方程右端202x x e x =⋅中的0λ=,不同于两个特征根,所以方程有特解形如 2Y Ax Bx C =++. 代入方程可求得 1,0,2A B C ===,则特解为22x -.由题给(0)0,(0)1f f '==,解得 2()2cos sin 2f x x x x =++-.()f x 的解析式代入原方程,则有22[2(2cos sin )][22sin cos ]0xy y x x y dx x y x x x dy +-+++-+=.先用凑微分法求左端微分式的原函数：222211()2()(2sin cos )(2sin cos )022y dx x dy ydx xdy yd x x x x dy +++----=, 221(2(cos 2sin ))02d x y xy y x x ++-=. 其通解为 2212(cos 2sin )2x y xy y x x C ++-= 其中C 为任意常数.【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设*()y x 是二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解.()Y x 是与之对应的齐次方程 ()()0y P x y Q x y '''++=的通解,则*()()y Y x y x =+是非齐次方程的通解.2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解()Y x ,可用特征方程法求解：即()()0y P x y Q x y '''++=中的()P x 、()Q x 均是常数,方程变为0y py qy '''++=.其特征方程写为20r pr q ++=,在复数域内解出两个特征根12,r r ；分三种情况：(1) 两个不相等的实数根12,r r ,则通解为1212;rx r x y C eC e =+(2) 两个相等的实数根12r r =,则通解为()112;rxy C C x e =+(3) 一对共轭复根1,2r i αβ=±,则通解为()12cos sin .xy e C x C x αββ=+其中12,C C 为常数.3.对于求解二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解*()y x ,可用待定系数法,有结论如下：如果()(),xm f x P x e λ=则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*()()kxm y x x Q x e λ= 的特解,其中()m Q x 是与()m P x 相同次数的多项式,而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果()[()cos ()sin ]x l n f x e P x x P x x λωω=+,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的特解可设为*(1)(2)[()cos ()sin ]k x m m y x e R x x R x x λωω=+,其中(1)()m R x 与(2)()m R x 是m 次多项式,{}max ,m l n =,而k 按i λω+(或i λω-)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.六、(本题满分8分) 【解析】0()lim0x f x x→=表明0x →时()f x 是比x 高阶的无穷小,若能进一步确定()f x 是x 的p 阶或高于p 阶的无穷小,1,p >从而1()f n 也是1n的p 阶或高于p 阶的无穷小,这就证明了级数11()n f n∞=∑绝对收敛. 方法一：由0()lim0x f x x→=及()f x 的连续性得知(0)0,(0)0f f '==,再由()f x 在点0x =的某一领域内具有二阶连续导数以及洛必达法则,20()lim x f x x →为“00”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,连续运用两次洛必达法则,有2000()()()1lim lim lim (0)222x x x f x f x f x f x x →→→'''''=== 2()1lim(0)2x f x f x →''⇒=. 由函数极限与数列极限的关系 21()1lim (0)12n f nf n →+∞''⇒=.因211n n ∞=∑收敛11()n f n ∞=⇒∑收敛,即 11()n f n ∞=∑绝对收敛.方法二：由0()lim0x f x x→=得知(0)0,(0)0f f '==,可用泰勒公式来实现估计.()f x 在点0x =有泰勒公式：2211()(0)(0)()()(01,[,])22f x f f x f x x f x x x θθθδδ'''''= ++=<<∈- 因()f x 在点0x =的某一领域内具有二阶连续导数,0,()f x δ''⇒∃>在[,]x δδ∈-有界,即0M ∃>,有|()|,[,]f x M x δδ''≤∈- 2211()(),[,]22f x f x x Mx x θδδ''⇒=≤∈-. 对此0δ>,,N n N ∃>时,211110()2f M n n nδ<<⇒≤. 又211n n ∞=∑收敛11()n f n ∞=⇒∑收敛,即 11()n f n ∞=∑绝对收敛.【相关知识点】正项级数的比较判别法：设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都是正项级数,且lim,nn nv A u →∞=则⑴ 当0A <<+∞时,1nn u∞=∑和1nn v∞=∑同时收敛或同时发散；⑵ 当0A =时,若1nn u∞=∑收敛,则1nn v∞=∑收敛；若1nn v∞=∑发散,则1nn u∞=∑发散；⑶ 当A =+∞时,若1nn v∞=∑收敛,则1nn u∞=∑收敛；若1nn u∞=∑发散,则1nn v∞=∑发散.七、(本题满分6分)【解析】方法1：用定积分.设高度为z 处的截面z D 的面积为()S z ,则所求体积1()V S z dz =⎰.,A B 所在的直线的方向向量为()()01,10,101,1,1---=-,且过A 点,所以,A B 所在的直线方程为1111x y z-== - 或 1x z y z =-⎧⎨=⎩. 截面z D 是个圆形,其半径的平方 22222(1)R x y z z =+=-+,则面积222()[(1)]S z R z z ππ==-+,由此 1220[(1)]V z z dz π=-+⎰()120122z z dz π=-+⎰123023z z z π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭23π=. 方法2：用三重积分.2123V dV d dz ππθΩ===⎰⎰⎰⎰⎰,或者 1122[(1)]zD V dV dz d z z dz σπΩ===-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ()120122z z dz π=-+⎰123023z z z π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭23π=.八、(本题满分8分)【解析】(1)由已知,()I 的系数矩阵,11000101A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.由于()2,n r A -=所以解空间的维数是2.取34,x x 为自由变量,分别令()()()34,1,0,0,1x x =,求出0Ax =的解. 故()I 的基础解系可取为 (0,0,1,0),(1,1,0,1)-. (2)方程组()I 和()II 有非零公共解.将()II 的通解 1221231242,2,2,x k x k k x k k x k =-=+=+=代入方程组()I ,则有212121222020k k k k k k k k -++=⎧⇒=-⎨+-=⎩. 那么当120k k =-≠时,向量121(0,1,1,0)(1,2,2,1)(1,1,1,1)k k k +-=---是()I 与()II 的非零公共解.九、(本题满分6分)【解析】证法一：由于 *TA A =,根据*A 的定义有(,1,2,,)ij ij A a i j n =∀=L ,其中ij A 是行列式||A 中ij a 的代数余子式.由于0A ≠,不妨设0ij a ≠,那么2222112212||0ij i i i i in in i i in A a A a A a A a a a a =+++=+++≥>L L ,故 ||0A ≠.证法二：(反证法)若||0A =,则*TAA AA ==||0A E =.设A 的行向量为(1,2,,)i i n α=L ,则 222120T i i i i in a a a αα=+++=L (1,2,,)i n =L .于是 12(,,,)0i i i in a a a α==L (1,2,,)i n =L . 进而有0A =,这与A 是非零矩阵相矛盾.故||0A ≠.十、填空题(本题共2小题, 每小题3分,满分6分.)(1)【解析】利用随机事件的概率运算性质进行化简.由概率的基本公式(广义加法公式),有()()1()P AB P A B P A B ==-U U1[()()()]P A P B P AB =-+- 1()()()P A P B P AB =--+.因题目已知 ()()P AB P AB =,故有()()1P A P B +=,()1()1P B P A p =-=-.(2)【解析】由于X 、Y 相互独立且同分布,只能取0、1两个数值,易见随机变量{}max ,Z X Y =只取0与1两个可能的值,且{}{}{}0max ,0P Z P X Y ==={}{}{}10,0004P X Y P X P Y =====⋅==, {}{}31104P Z P Z ==-==. 所以随机变量{}max ,Z X Y =的分布律为：十一、(本题满分6分)【解析】此题的第一小问是求数学期望()E Z 和方差()D Z ,是个常规问题；(2)求相关系数XZ ρ,关键是计算X 与Z 的协方差；(3)考查相关系数为零与相互独立是否等价.(1) 由2(1,3)XN ,2(0,4)Y N ,知()1,()9,()0,()16E X D X E Y D Y ====.由数学期望和方差的性质：()()()E aX bY c aE X bE Y c ++=++,22()()()2Cov(,)D aX bY c a D X b D Y ab X Y ++=++,其中,,a b c 为常数.得 111,323EZ EX EY =+= 111Cov(,)943DZ DX DY X Y =++111916943XY ρ=⨯+⨯+115()34 3.32=+⨯-⨯⨯=(2) 因为11Cov(,)Cov(,)32X Z X X Y =+11Cov(,)Cov(,)32X X X Y =+2113(6)032=⋅+-= 所以 0XZ ρ==.(3) 由于(,)X Y 服从二维正态分布,则其线性组合构成的随机变量也服从二维正态分布,而32X YZ =+,0X X Y =+,故X 和Z 都是其线性组合,则(,)X Z 服从二维正态分布,根据 0XZ ρ==,所以X 与Z 是相互独立的.考研专业课：论述题答题技巧▶解析论述题在考研专业课中属于中等偏上难度的题目，考察对学科整体的把握和对知识点的灵活运用，进而运用理论知识来解决现实的问题。

1994考研数一真题及解析

1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 011lim cot ()sin x x x x→-=_____________. (2) 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.(3) 设sin xx u e y -=,则2ux y∂∂∂在点1(2,)π处的值为_____________.(4) 设区域D 为222x y R +≤,则2222()Dx y dxdy a b +=⎰⎰_____________.(5) 已知11(1,2,3),(1,,)23αβ==,设TA αβ=,其中T α是α的转置,则n A =_________.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1) 设4222sin cos 1x M xdx x ππ-=+⎰,3422(sin cos )N x x dx ππ-=+⎰,23422(sin cos )P x x x dx ππ-=-⎰, 则 ( )(A) N P M << (B) M P N << (C) N M P << (D) P M N <<(2) 二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y '、00(,)y f x y '存在是(,)f x y 在该点连续的 ( ) (A) 充分条件但非必要条件 (B) 必要条件而非充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件 (3) 设常数0λ>,且级数21n n a ∞=∑收敛,则级数1(1)nn ∞=-∑ ( )(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与λ有关 (4) 2tan (1cos )lim2ln(12)(1)x x a x b x c x d e -→+-=-+-,其中220a c +≠,则必有 ( )(A) 4b d = (B) 4b d =- (C) 4a c = (D) 4a c =-(5) 已知向量组1234αααα、、、线性无关,则向量组 ( ) (A) 12αα+、23αα+、34αα+、41αα+线性无关(B) 12αα-、23αα-、34αα-、41αα-线性无关(C) 12αα+、23αα+、34αα+、41αα-线性无关 (D) 12αα+、23αα+、34αα-、41αα-线性无关三、(本题共3小题, 每小题5分,满分15分.)(1)设2221cos(),cos(),t x t y t t udu ⎧=⎪⎨=-⎪⎩⎰ 求dy dx 、22d y dx在t =. (2) 将函数111()ln arctan 412x f x x x x +=+--展开成x 的幂级数. (3) 求sin 22sin dxx x +⎰.四、(本题满分6分)计算曲面积分2222Sxdydz z dxdyx y z +++⎰⎰,其中S 是由曲面222x y R +=及两平面,z R = (0)z R R =->所围成立体表面的外侧.五、(本题满分9分)设()f x 具有二阶连续导数,(0)0,(0)1f f '==,且2[()()][()]0xy x y f x y dx f x x y dy '+-++=为一全微分方程,求()f x 及此全微分方程的通解.六、(本题满分8分)设()f x 在点0x =的某一领域内具有二阶连续导数,且0()lim0x f x x→=,证明级数 11()n f n∞=∑绝对收敛.七、(本题满分6分)已知点A 与B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB 绕z 轴旋转一周所围成的旋转曲面为S .求由S 及两平面0,1z z ==所围成的立体体积.八、(本题满分8分)设四元线性齐次方程组()I 为12240,0,x x x x +=⎧⎨-=⎩ 又已知某线性齐次方程组()II 的通解为12(0,1,10)(1,2,2,1)k k +-.(1) 求线性方程组()I 的基础解系；(2) 问线性方程组()I 和()II 是否有非零公共解？若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.九、(本题满分6分)设A 为n 阶非零方阵,*A 是A 的伴随矩阵,TA 是A 的转置矩阵,当*TA A =时,证明||0A ≠.十、填空题(本题共2小题, 每小题3分,满分6分.)(1) 已知A 、B 两个事件满足条件()()P AB P AB =,且()P A p =,则()P B =__________. (2) 设相互独立的两个随机变量X 、Y 具有同一分布律,且X 的分布律为则随机变量{}max ,Z X Y =的分布律为_______.十一、(本题满分6分)已知随机变量(,)X Y 服从二维正态分布,且X 和Y 分别服从正态分布2(1,3)N 和2(0,4)N ,X 与Y 的相关系数12XY ρ=-,设32X YZ =+,(1) 求Z 的数学期望()E Z 和方差()D Z ； (2) 求X 与Z 的相关系数XZ ρ； (3) 问X 与Z 是否相互独立？为什么？1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】16【解析】原式变形后为“0”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则,有原式20cos (sin )limsin x x x x x x →-=300sin lim cos lim x x x xx x→→-=⋅ 2001cos sin 1lim lim 366x x x x x x →→-===. (由重要极限0sin lim 1x x x→=) (2)【答案】240x y +-=【解析】所求平面的法向量n 为平行于所给曲面在点(1,2,0)处法线方向的方向向量l ,取n l =,又平面过已知点(1,2,0)M .已知平面的法向量(,,)A B C 和过已知点000(,,)x y z 可唯一确定这个平面：000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=.因点(1,2,0)在曲面(,,)0F x y z =上.曲面方程(,,)23z F x y z z e xy =-+-. 曲面在该点的法向量{}{}{}(1,2,0)(1,2,0),,2,2,14,2,022,1,0z F F F n y x e x y z ⎧⎫∂∂∂ ==-==⎨⎬∂∂∂⎩⎭, 故切平面方程为 2(1)(2)0x y -+-=, 即 240x y +-=.(3)【答案】22eπ【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,为了简化运算,所以本题可以先求u y ∂∂,再求u x y ⎛⎫∂∂ ⎪∂∂⎝⎭. 2cos x u x xe y y y-∂=-∂, ()2221112(2,)(2,)2cos xy x x u u uxe x x y y x x y x ππππ-===⎛⎫∂∂∂∂∂===-⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭2222((1)cos )0xx e x x e πππ-==--+=.(可边代值边计算,这样可以简化运算量.)【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数(,),(,)u x y v x y ϕψ==都在点(,)x y 具有对x 及对y 的偏导数,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数((,),(,))z f x y x y ϕψ=在点(,)x y 的两个偏导数存在,且有12z z u z v u v f f x u x v x x x∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂； 12z z u z v u v f f y u y v y y y∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂. (4)【答案】42211()4R a bπ+ 【解析】很显然,根据此题的特征用极坐标变换来计算：原式2222222322220000cos sin cos sin RR d r rdr d r dr a b a b ππθθθθθθ⎛⎫⎛⎫=+=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰.注意：22220cos sin d d ππθθθθπ==⎰⎰,则原式4422221111144R R a b a b ππ⎛⎫⎛⎫=+⋅=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (5)【答案】111123232133312n -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦【解析】由矩阵乘法有结合律,注意 1111,,23233Tβα⎡⎤⎛⎫⎢⎥== ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦是一个数,而 11123111221,,2123333312TA αβ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥⎢⎥=== ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦,(是一个三阶矩阵)于是,()()()()()()()n T T T T T T T TA αβαβαβαβαβαβαβαβ==11111232332133312n T n αβ--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(D)【解析】对于关于原点对称的区间上的积分,应该关注被积函数的奇偶性.由对称区间上奇偶函数积分的性质,被积函数是奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为0,故0M =,且由定积分的性质,如果在区间[],a b 上,被积函数()0f x ≥,则()0 ()baf x dx a b ≥<⎰.所以 4202cos 0N xdx π=>⎰, 4202cos 0P xdx N π=-=-<⎰.因而 P M N <<,应选(D). (2)【答案】(D)【解析】(,)f x y 在点00(,)x y 连续不能保证(,)f x y 在点00(,)x y 存在偏导数00(,),x f x y '00(,)y f x y '.反之,(,)f x y 在点00(,)x y 存在这两个偏导数00(,),x f x y '00(,)y f x y '也不能保证(,)f x y 在点00(,)x y 连续,因此应选(D).二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数存在和在点00(,)x y 处连续并没有相关性. (3)【答案】(C)【解析】考查取绝对值后的级数.因2222111112222n n a a n n λ≤+<++, (第一个不等式是由2210,0,()2a b ab a b ≥≥≤+得到的.) 又21nn a ∞=∑收敛,2112n n ∞= ∑收敛,(此为p 级数：11p n n∞=∑当1p >时收敛；当1p ≤时发散.)所以2211122n n a n ∞=+∑收敛,由比较判别法,得1n ∞=收敛.故原级数绝对收敛,因此选(C). (4)【答案】(D)【解析】因为 22211cos (),1()2x xx o x e x o x --=-=,故 tan (1cos )(0)a x b x ax a +-≠,2ln(12)(1)2 (0)x c x d e cx c --+--≠,因此,原式左边0lim222x ax acx c→====--原式右边,4a c ⇒=-.当0,0a c =≠时,极限为0；当0,0a c ≠=时,极限为∞,均与题设矛盾,应选(D). 【相关知识点】1.无穷小的比较：设在同一个极限过程中,(),()x x αβ为无穷小且存在极限 ()lim.()x l x αβ= （1）若0,l ≠称(),()x x αβ在该极限过程中为同阶无穷小；（2）若1,l =称(),()x x αβ在该极限过程中为等价无穷小,记为()()x x αβ；（3）若0,l =称在该极限过程中()x α是()x β的高阶无穷小,记为()()()x o x αβ=.若()lim()x x αβ不存在(不为∞),称(),()x x αβ不可比较. 2. 无穷小量的性质：当0x x →时,(),()x x αβ为无穷小,则()()()()(())x x x x o x αβαββ⇔=+.(5)【答案】(C)【解析】这一类题目应当用观察法.若不易用观察法时可转为计算行列式. (A)：由于()()()()122334410αααααααα+-+++-+=,所以(A)线性相关. (B)：由于()()()()122334410αααααααα-+-+-+-=,所以(B)线性相关.对于(C),实验几组数据不能得到0时,应立即计算由α的系数构成的行列式,即100111002001100011-=≠,由行列式不为0,知道(C)线性无关.故应选(C). 当然,在处理(C)有困难时,也可来看(D),由12233441()()()()0αααααααα+-++-+-=,知(D)线性相关,于是用排除法可确定选(C). 【相关知识点】12,,,s ααα线性相关的充分必要条件是存在某(1,2,,)i i s α=可以由111,,,,i i s αααα-+线性表出.12,,,s ααα线性无关的充分必要条件是任意一个(1,2,,)i i s α=均不能由111,,,,i i s αααα-+线性表出.三、(本题共3小题, 每小题5分,满分15分.)(1)【解析】dy dy dt dy dx dtdt dx dt dx =⋅=222221cos 2sin cos 22(0),2sin t t t t t t t y t t t x t t--⋅'===>'- 同理 2()12sin x txx t y y x t t''''=='-, 代入参数值t =则xt y '=, xxt y ''=【相关知识点】1.复合函数求导法则:如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy du dx du dx=⋅. 2.对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.(2)【解析】111()ln(1)ln(1)arctan 442f x x x x x =+--+-. 先求()f x '的展开式.将()f x 微分后,可得简单的展开式,再积分即得原函数的幂级数展开.所以由2(1)(1)(1)(1)1,2!!nn x x x x n ααααααα---++=+++++(11)x -<<该级数在端点1x =±处的收敛性,视α而定.特别地,当1α=-时,有2311(1),1n n x x x x x =-+-++-++ (11)x -<< 2311,1n x x x x x =++++++- (11)x -<< 得 2221111111111()114141212121f x x x x x x '=++-=+-+-+-+ 44401111(||1)1n n n n x x x x ∞∞===-=-=<-∑∑, 积分,由牛顿-莱布尼茨公式得4140011()(0)() (||1)41n xx nn n x f x f f x dx t dt x n +∞∞=='=+==<+∑∑⎰⎰.(3)【解析】方法1：利用三角函数的二倍角公式sin 22sin cos ααα=⋅,并利用换元积分,结合拆项法求积分,得sin 22sin 2sin (cos 1)dx dxx x x x =++⎰⎰22sin 11cos 2sin (cos 1)2(1)(1)xdx x u du x x u u ==-+-+⎰⎰ (22sin 1cos x x =-)221(1)(1)1112()4(1)(1)811(1)u u du du u u u u u ++-=-=-++-+-++⎰⎰12ln |1|ln |1|8(1)u u C u ⎡⎤=--+++⎢⎥+⎣⎦()()12ln 1cos ln 1cos 81cos x x C x ⎡⎤=--+++⎢⎥+⎣⎦, 其中C 为任意常数.方法2：换元cos x u =后,有原式22sin 12sin (cos 1)2sin (cos 1)2(1)(1)dx xdx dux x x x u u ===-++-+⎰⎰⎰.用待定系数法将被积函数分解:221(1)(1)11(1)A B Du u u u u =++-+-++ 22()(2)()(1)(1)A B u A D u A B D u u -+-+++=-+, 01120,421A B A D A B D A B D -=⎧⎪⇒-=⇒===⎨⎪++=⎩.于是,2111212()ln 1ln 1811(1)81du u u C u u u u ⎡⎤-++=--+++⎢⎥-+++⎣⎦⎰原式＝ ()()12ln 1cos ln 1cos 81cos x x C x ⎡⎤=--+++⎢⎥+⎣⎦.四、(本题满分6分)【解析】求第二类曲面积分的基本方法:套公式将第二类曲面积分化为第一类曲面积分,再化为二重积分,或用高斯公式转化为求相应的三重积分或简单的曲面积分.这里曲面块的个数不多,积分项也不多,某些积分取零值,如若∑垂直yOz 平面,则0Pdydz ∑=⎰⎰.化为二重积分时要选择投影平面,注意利用对称性与奇偶性.先把积分化简后利用高斯公式也很方便的.方法1：注意 22220Sz dxdy x y z =++⎰⎰,(因为S 关于xy 平面对称,被积函数关于z 轴对称) 所以 222SxdydzI x y z =++⎰⎰. S 由上下底圆及圆柱面组成.分别记为123,,S S S . 12,S S 与平面yOz 垂直⇒122222220s s xdydz xdydzx y z x y z ==++++⎰⎰⎰⎰. 在3S 上将222x y R +=代入被积表达式⇒322s xdydzI R z =+⎰⎰. 3S 在yz 平面上投影区域为:,yz D R y R R z R -≤≤-≤≤,在3S 上,x =,3S 关于yz 平面对称,被积函数对x 为奇函数,可以推出22002222yzR D dz I R z==⨯⨯ +⎰⎰ 2201arctan 42Rz R R R R ππ1=8⋅⋅=.方法2：S 是封闭曲面,它围成的区域记为Ω,记 22SxdydzI R z =+⎰⎰. 再用高斯公式得 222222()1R R D z x dxdyI dV dV dz x R z R z R z -ΩΩ∂⎛⎫=== ⎪∂+++⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 222201122RRdz R R z ππ==+⎰(先一后二的求三重积分方法)其中()D z 是圆域：222x y R +≤.【相关知识点】高斯公式：设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成,函数(,,)P x y z 、(,,)Q x y z 、(,,)R x y z 在Ω上具有一阶连续偏导数,则有,P Q R dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z Ω∑⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰或()cos cos cos ,P Q R dv P Q R dS x y z αβγΩ∑⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧,cos α、cos β、cos γ是∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦.上述两个公式叫做高斯公式.五、(本题满分9分)【解析】由全微分方程的条件,有2[()()][()]xy x y f x y f x x y y x∂∂'+-=+∂∂, 即 22()()2x xy f x f x xy ''+-=+,亦即 2()()f x f x x ''+=.因而是初值问题 200,0,1,x x y y x y y ==''⎧+=⎪⎨'==⎪⎩ 的解,此方程为常系数二阶线性非齐次方程,对应的齐次方程的特征方程为210r +=的根为1,2r i =±,原方程右端202x x e x =⋅中的0λ=,不同于两个特征根,所以方程有特解形如 2Y Ax Bx C =++. 代入方程可求得 1,0,2A B C ===,则特解为22x -.由题给(0)0,(0)1f f '==,解得 2()2cos sin 2f x x x x =++-.()f x 的解析式代入原方程,则有22[2(2cos sin )][22sin cos ]0xy y x x y dx x y x x x dy +-+++-+=.先用凑微分法求左端微分式的原函数：222211()2()(2sin cos )(2sin cos )022y dx x dy ydx xdy yd x x x x dy +++----=, 221(2(cos 2sin ))02d x y xy y x x ++-=. 其通解为 2212(cos 2sin )2x y xy y x x C ++-= 其中C 为任意常数.【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设*()y x 是二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解.()Y x 是与之对应的齐次方程 ()()0y P x y Q x y '''++=的通解,则*()()y Y x y x =+是非齐次方程的通解.2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解()Y x ,可用特征方程法求解：即()()0y P x y Q x y '''++=中的()P x 、()Q x 均是常数,方程变为0y py qy '''++=.其特征方程写为20r pr q ++=,在复数域内解出两个特征根12,r r ；分三种情况：(1) 两个不相等的实数根12,r r ,则通解为1212;rx r x y C eC e =+(2) 两个相等的实数根12r r =,则通解为()112;rxy C C x e =+(3) 一对共轭复根1,2r i αβ=±,则通解为()12cos sin .xy e C x C x αββ=+其中12,C C 为常数.3.对于求解二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解*()y x ,可用待定系数法,有结论如下：如果()(),xm f x P x e λ=则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*()()kxm y x x Q x e λ=的特解,其中()m Q x 是与()m P x 相同次数的多项式,而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果()[()cos ()sin ]x l n f x e P x x P x x λωω=+,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的特解可设为*(1)(2)[()cos ()sin ]k x m m y x e R x x R x x λωω=+,其中(1)()m R x 与(2)()m R x 是m 次多项式,{}max ,m l n =,而k 按i λω+(或i λω-)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.六、(本题满分8分) 【解析】0()lim0x f x x→=表明0x →时()f x 是比x 高阶的无穷小,若能进一步确定()f x 是x 的p 阶或高于p 阶的无穷小,1,p >从而1()f n 也是1n的p 阶或高于p 阶的无穷小,这就证明了级数11()n f n∞=∑绝对收敛. 方法一：由0()lim0x f x x→=及()f x 的连续性得知(0)0,(0)0f f '==,再由()f x 在点0x =的某一领域内具有二阶连续导数以及洛必达法则,20()lim x f x x →为“0”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,连续运用两次洛必达法则,有2000()()()1lim lim lim (0)222x x x f x f x f x f x x →→→'''''=== 2()1lim(0)2x f x f x →''⇒=. 由函数极限与数列极限的关系 21()1lim (0)12n f nf n →+∞''⇒=.因211n n ∞=∑收敛11()n f n ∞=⇒∑收敛,即 11()n f n ∞=∑绝对收敛.方法二：由0()lim0x f x x→=得知(0)0,(0)0f f '==,可用泰勒公式来实现估计.()f x 在点0x =有泰勒公式：2211()(0)(0)()()(01,[,])22f x f f x f x x f x x x θθθδδ'''''= ++=<<∈- 因()f x 在点0x =的某一领域内具有二阶连续导数,0,()f x δ''⇒∃>在[,]x δδ∈-有界,即0M ∃>,有|()|,[,]f x M x δδ''≤∈- 2211()(),[,]22f x f x x Mx x θδδ''⇒=≤∈-. 对此0δ>,,N n N ∃>时,211110()2f M n n nδ<<⇒≤. 又211n n ∞=∑收敛11()n f n ∞=⇒∑收敛,即 11()n f n ∞=∑绝对收敛.【相关知识点】正项级数的比较判别法：设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都是正项级数,且lim,nn nv A u →∞=则⑴ 当0A <<+∞时,1nn u∞=∑和1nn v∞=∑同时收敛或同时发散；⑵ 当0A =时,若1nn u∞=∑收敛,则1nn v∞=∑收敛；若1nn v∞=∑发散,则1nn u∞=∑发散；⑶ 当A =+∞时,若1nn v∞=∑收敛,则1nn u∞=∑收敛；若1nn u∞=∑发散,则1nn v∞=∑发散.七、(本题满分6分)【解析】方法1：用定积分.设高度为z 处的截面z D 的面积为()S z ,则所求体积1()V S z dz =⎰.,A B 所在的直线的方向向量为()()01,10,101,1,1---=-,且过A 点,所以,A B 所在的直线方程为1111x y z-== - 或 1x z y z =-⎧⎨=⎩. 截面z D 是个圆形,其半径的平方 22222(1)R x y z z =+=-+,则面积222()[(1)]S z R z z ππ==-+,由此 1220[(1)]V z z dz π=-+⎰()120122z z dz π=-+⎰123023z z z π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭23π=. 方法2：用三重积分.2123V dV d dz ππθΩ===⎰⎰⎰⎰⎰,或者 1122[(1)]zD V dV dz d z z dz σπΩ===-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ()120122z z dz π=-+⎰123023z z z π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭23π=.八、(本题满分8分)【解析】(1)由已知,()I 的系数矩阵,11000101A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.由于()2,n r A -=所以解空间的维数是2.取34,x x 为自由变量,分别令()()()34,1,0,0,1x x =,求出0Ax =的解. 故()I 的基础解系可取为 (0,0,1,0),(1,1,0,1)-. (2)方程组()I 和()II 有非零公共解.将()II 的通解 1221231242,2,2,x k x k k x k k x k =-=+=+=代入方程组()I ,则有212121222020k k k k k k k k -++=⎧⇒=-⎨+-=⎩. 那么当120k k =-≠时,向量121(0,1,1,0)(1,2,2,1)(1,1,1,1)k k k +-=---是()I 与()II 的非零公共解.九、(本题满分6分)【解析】证法一：由于 *TA A =,根据*A 的定义有(,1,2,,)ij ij A a i j n =∀=L ,其中ij A 是行列式||A 中ij a 的代数余子式.由于0A ≠,不妨设0ij a ≠,那么2222112212||0ij i i i i in in i i in A a A a A a A a a a a =+++=+++≥>L L ,故 ||0A ≠.证法二：(反证法)若||0A =,则*TAA AA ==||0A E =.设A 的行向量为(1,2,,)i i n α=L ,则 222120T i i i i in a a a αα=+++=L (1,2,,)i n =L .于是 12(,,,)0i i i in a a a α==L (1,2,,)i n =L . 进而有0A =,这与A 是非零矩阵相矛盾.故||0A ≠.十、填空题(本题共2小题, 每小题3分,满分6分.)(1)【解析】利用随机事件的概率运算性质进行化简.由概率的基本公式(广义加法公式),有()()1()P AB P A B P A B ==-U U1[()()()]P A P B P AB =-+- 1()()()P A P B P AB =--+.因题目已知 ()()P AB P AB =,故有()()1P A P B +=,()1()1P B P A p =-=-.(2)【解析】由于X 、Y 相互独立且同分布,只能取0、1两个数值,易见随机变量{}max ,Z X Y =只取0与1两个可能的值,且{}{}{}0max ,0P Z P X Y ==={}{}{}10,0004P X Y P X P Y =====⋅==, {}{}31104P Z P Z ==-==. 所以随机变量{}max ,Z X Y =的分布律为：十一、(本题满分6分)【解析】此题的第一小问是求数学期望()E Z 和方差()D Z ,是个常规问题；(2)求相关系数XZ ρ,关键是计算X 与Z 的协方差；(3)考查相关系数为零与相互独立是否等价.(1) 由2(1,3)XN ,2(0,4)Y N ,知()1,()9,()0,()16E X D X E Y D Y ====.由数学期望和方差的性质：()()()E aX bY c aE X bE Y c ++=++,22()()()2Cov(,)D aX bY c a D X b D Y ab X Y ++=++,其中,,a b c 为常数.得 111,323EZ EX EY =+= 111Cov(,)943DZ DX DY X Y =++111916943XY ρ=⨯+⨯+115()34 3.32=+⨯-⨯⨯=(2) 因为11Cov(,)Cov(,)32X Z X X Y =+11Cov(,)Cov(,)32X X X Y =+2113(6)032=⋅+-= 所以 0XZ ρ==.(3) 由于(,)X Y 服从二维正态分布,则其线性组合构成的随机变量也服从二维正态分布,而32X YZ =+,0X X Y =+,故X 和Z 都是其线性组合,则(,)X Z 服从二维正态分布,根据 0XZ ρ==,所以X 与Z 是相互独立的.。

1994年考研数学试题详解及评分参考

该点连续的
(A) 充分条件而非必要条件 (C) 充分必要条件
(B) 必要条件而非充分条件 (D) 既非充分条件又非必要条件
【答】应选 (D) .
【解】
取
f
ì xy
(x,
y)
=
ï í
x2
+
y2
, x2
+
y2
¹0
，易见
fx¢(0, 0),
fy¢(0, 0) 存在，但
f
(x, y) 在
ïî0,
x2 + y2 = 0
)dxdy
+
D
(
y2 a2
+
x2 b2
)dxdy]
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郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1994 年数学试题详解及评分参考
òò ò ò =
1 2
×
(
1 a2
+
1 b2
)
D
(x2
+
y2 )dxdy
=
1 2
(
1 a2
+
1 b2
)
2p dq
0
R 0
r2
×
rdr
=
1 4
p
R
4
(
1 a2
，其中
S
是由曲面
x2
+
y2
=
R2
及两平面
z = R, z = -R (R > 0) 所围成立体表面的外侧.
1994 年 • 第 4 页
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1994 年数学试题详解及评分参考
解：设 S1,S2 ,S3 依次为 S 的上、下底和圆柱面部分，则

1990-2012考研数学二历年真题word版

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）（1）设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = .（2）设函数()y x 由参数方程 333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为____..（3）1+∞=⎰_____..（4）设函数(,)z z x y =由方程232x zz ey -=+确定, 则3z zx y∂∂+=∂∂______. （5）微分方程3()20y x dx xdy +-=满足165x y ==的特解为_______.（6）设矩阵210120001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 矩阵B 满足2ABA BA E **=+, 其中A*为A 的伴随矩阵, E 是单位矩阵, 则B =______-.二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ）（7）把0x +→时的无穷小量20cos xtdt α=⎰, 20x β=⎰,30t dt γ=⎰排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是[]（A ）,,.αβγ （B ）,,.αγβ（C ）,,.βαγ （D ）,,.βγα （8）设()(1)f x x x =-, 则[]（A ）0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. （B ）0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （C ）0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （D ）0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.（9）22lim (1)n nn→∞+等于[]（A ）221ln xdx ⎰. （B ） 212ln xdx ⎰.（C ） 212ln(1)x dx +⎰. （D ） 221ln(1)x dx +⎰（10）设函数()f x 连续, 且(0)0f '>, 则存在0δ>, 使得 []（A ）()f x 在(0,)δ内单调增加. （B ）()f x 在(,0)δ-内单调减小. （C ）对任意的(0,)x δ∈有()(0)f x f >. （D ）对任意的(,0)x δ∈-有()(0)f x f >.（11）微分方程21sin y y x x ''+=++的特解形式可设为 []（A ）2(sin cos )y ax bx c x A x B x *=++++. （B ）2(sin cos )y x ax bx c A x B x *=++++. （C ）2sin y ax bx c A x *=+++.（D ）2cos y ax bx c A x *=+++（12）设函数()f u 连续, 区域{}22(,)2D x y x y y =+≤, 则()Df xy dxdy ⎰⎰等于[]（A）11()dx f xy dy -⎰⎰.（B）2002()dy f xy dx ⎰⎰.（C ）2sin 200(sin cos )d f r dr πθθθθ⎰⎰. （D ）2sin 200(sin cos )d f r rdr πθθθθ⎰⎰（13）设A 是3阶方阵, 将A 的第1列与第2列交换得B , 再把B 的第2列加到第3列得C , 则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为[]（A ）010100101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （B ）010101001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.（C ）010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （D ）011100001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.（14）设A ,B 为满足0AB =的任意两个非零矩阵, 则必有[]（A ）A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. （B ）A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关. （C ）A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关.（D ）A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关.三. 解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）（15）（本题满分10分）求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（16）（本题满分10分）设函数()f x 在（,-∞+∞）上有定义, 在区间[0,2]上,2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.(Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式; (Ⅱ)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导.（17）（本题满分11分）设2()sin x xf x t dt π+=⎰,(Ⅰ)证明()f x 是以π为周期的周期函数;(Ⅱ)求()f x 的值域.（18）（本题满分12分）曲线2x xe e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形.该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为()V t , 侧面积为()S t , 在x t =处的底面积为()F t .(Ⅰ)求()()S t V t 的值; (Ⅱ)计算极限()lim ()t S t F t →+∞（19）（本题满分12分）设2e a b e <<<, 证明2224ln ln ()b a b a e->-. （20）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700/km h .经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为66.010k =⨯).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?注 kg 表示千克,/km h 表示千米/小时.（21）（本题满分10分）设22(,)xyz f x y e =-,其中f 具有连续二阶偏导数,求2,,z z zx y x y∂∂∂∂∂∂∂. （22）（本题满分9分）设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩ 试问a 取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.（23）（本题满分9分）设矩阵12314315a -⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭的特征方程有一个二重根, 求a 的值, 并讨论A是否可相似对角化.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一．填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）若0→x 时，1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，则a= .（2）设函数y=f(x)由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 .（3） xy 2=的麦克劳林公式中nx 项的系数是__________.（4）设曲线的极坐标方程为)0(>=a e a θρ ，则该曲线上相应于θ从0变到π2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为__________.（5）设α为3维列向量，T α是α的转置. 若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111111111T αα，则ααT = .（6）设三阶方阵A,B 满足E B A B A =--2，其中E 为三阶单位矩阵，若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=102020101A ，则B =________. 二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有[ ](A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立. (C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在.（2）设dx x xa n n nn n +=⎰+-123101, 则极限n n na ∞→lim 等于 (A) 1)1(23++e . (B) 1)1(231-+-e .(C) 1)1(231++-e . (D) 1)1(23-+e .[ ]（3）已知xxy ln =是微分方程)(y x x y y ϕ+='的解，则)(y x ϕ的表达式为 [ ]（A ） .22xy - (B) .22x y(C) .22yx - (D) .22y x（4）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有[ ](A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点. (D) 三个极小值点和一个极大值点.（5）01xdx x 02tan , 则 [ ](A) .121>>I I (B) .121I I >>(C) .112>>I I (D) .112I I >>（6）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则[ ](A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关.(C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关.三、（本题满分10分）设函数 ,0,0,0,4sin1,6,arcsin )1ln()(23>=<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--+-+=x x x xx ax x e x x ax x f ax问a 为何值时，f(x)在x=0处连续；a 为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？四、（本题满分9分）设函数y=y(x)由参数方程)1(,21ln 2112>⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰+t du u e y t x t u所确定，求.922=x dx y d 五、（本题满分9分）计算不定积分 .)1(232arctan dx x xex⎰+六、（本题满分12分）设函数y=y(x)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为y=y(x)满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解. 七、（本题满分12分）讨论曲线k x y +=ln 4与x x y 4ln 4+=的交点个数. 八、（本题满分12分）设位于第一象限的曲线y=f(x)过点)21,22(，其上任一点P(x,y)处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分.(1) 求曲线 y=f(x)的方程；(2) 已知曲线y=sinx 在],0[π上的弧长为l ，试用l 表示曲线y=f(x)的弧长s. 九、（本题满分10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)((≥=y y x ϕ绕y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m.根据设计要求，当以min/33m 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以min /2m π的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.(1) 根据t 时刻液面的面积，写出t 与)(y ϕ之间的关系式； (2) 求曲线)(y x ϕ=的方程.(注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.)十、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且.0)(>'x f 若极限ax a x f ax --+→)2(lim 存在，证明：(1) 在(a,b)内f(x)>0; (2)在(a,b)内存在点ξ，使)(2)(22ξξf dxx f a b ba=-⎰； (3) 在(a,b) 内存在与(2)中ξ相异的点η，使⎰-=-'badx x f a a b f .)(2))((22ξξη十一、（本题满分10分）若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=60028022a A 相似于对角阵Λ，试确定常数a 的值；并求可逆矩阵P 使.1Λ=-AP P十二、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ， :2l 032=++a cy bx ， :3l032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)1．设函数0)(2arcsin 12tan ≤<⎪⎩⎪⎨⎧=-x x aex f xe xx在0=x 处连续，则=a （）． 2．位于曲线xxe y -=（+∞<≤x 0）下方，x 轴上方的无界图形的面积为（）．3．02='+''y y y 满足初始条件21)0(,1)0(='=y y 的特解是（）． 4．1lim 1cos n n →∞++=（）．5．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----222222220的非零特征值是（）．二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．)１．函数)(u f 可导，)(2x f y =当自变量x 在1-=x 处取得增量1.0-=∆x 时，相应的函数增量y ∆的线性主部为０．１，则)1(f '＝（Ａ）－１；（Ｂ）０．１；（Ｃ）１；（Ｄ）０．５．２．函数)(x f 连续，则下列函数中，必为偶函数的是 (A)⎰x dt t f 02)(； (B)⎰x dt t f 02)(；(C)⎰--x dt t f t f t 0)]()([； (D)⎰-+xdt t f t f t 0)]()([．３．设)(x f y =是二阶常系数微分方程xe qy y p y 3=+'+''满足初始条件0)0()0(='=y y 的特解，则极限)()1ln(lim 20x y x x +→(A)不存在；（Ｂ）等于１； (C)等于２； (D) 等于３．４．设函数)(x f 在+R 上有界且可导，则(A)当0)(lim =+∞→x f x 时，必有0)(lim ='+∞→x f x ；（Ｂ）当)(lim x f x '+∞→存在时，必有0)(lim ='+∞→x f x ；(C) 当0)(lim 0=+→x f x 时，必有0)(lim 0='+→x f x ；(D) 当)(lim 0x f x '+→存在时，必有0)(lim 0='+→x f x ．5．设向量组321,,ααα线性无关，向量1β可由321,,ααα线性表示，而向量2β不能由321,,ααα线性表示，则对于任意常数k 必有（Ａ）21321,,,ββααα+k 线性无关；(B) 21321,,,ββααα+k 线性相关；（Ｃ）21321,,,ββαααk +线性无关； (D) 21321,,,ββαααk +线性相关．三、（本题满分6分）已知曲线的极坐标方程为θcos 1-=r ，求该曲线对应于6πθ=处的切线与法线的直角坐标方程．四、（本题满分７分）设函数10012)(2)1(223≤≤<≤-⎪⎩⎪⎨⎧+==+x x xx x f y x x e xe ，求函数⎰-=x dt t f x F 1)()(的表达式．五、（本题满分７分）已知函数)(x f 在+R 上可导，0)(>x f ，1)(lim =+∞→x f x ，且满足x he xf hx x f h 11))()((lim 0=+→，求)(x f ．六、（本题满分７分）求微分方程0)2(=-+dx y x xdy 的一个解)(x y y =，使得由曲线)(x y y =与直线2,1==x x 以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体的体积最小．七、（本题满分7分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l 为对称轴，闸门的上部为矩形ＡＢＣＤ，下部由二次曲线与线段ＡＢ所围成．当水面与闸门的上断相平时，欲使闸门矩形部分与承受的水压与闸门下部承受的水压之比为５：４，闸门矩形部分的高h 应为多少？八、（本题满分８分）设30<<n x ，)3(1n n n x x x -=+（n ＝１，２，３，…）．证明：数列｛n x ｝的极限存在，并求此极限．九、（本题满分８分）设0>>a b ，证明不等式aba b a b b a a 1ln ln 222<--<+．十、（本题满分8分）设函数)(x f 在x ＝０的某邻域具有二阶连续导数，且0)0()0()0(≠'''f f f ．证明：存在惟一的一组实数c b a ,,，使得当0→h 时，)()0()3()2()(2h o f h cf h bf h af =-++．十一、（本题满分６分）已知Ａ，Ｂ为三阶方阵，且满足E B B A 421-=-．⑴证明：矩阵E A 2-可逆；⑵若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200021021B ，求矩阵Ａ．十二、（本题满分６分）已知四阶方阵),,,(4321αααα=A ， 4321,,,αααα均为四维列向量，其中432,,ααα线性无关，3212ααα-=．若4321ααααβ+++=，求线性方程组β=Ax 的通解．2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1、213lim21-++--→x x xx x =（）．2、曲线1)cos(2-=-+e xy eyx 在点（0，1）处的切线方程为：（）． 3、xdx x x 223cos )sin (22⎰-+ππ=（）． 4、微分方程11arcsin 2=-+'x y x y 满足)(21y =0的特解为：（）．5、方程组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛211111111321x x x a a a 有无穷多解，则a =（）．二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．) 1、1101)(>≤⎩⎨⎧=x x x f 则)]}([{x f f f =（ A ） 0；（B ）1；（C ）1101>≤⎩⎨⎧x x ；（D ）111>≤⎩⎨⎧x x ．2、0→x 时，)1ln()cos 1(2x x +-是比n x x sin 高阶的无穷小，而nx x sin 是比12-x e 高阶的无穷小，则正整数n 等于（ A ）1；（B ）2；（C ）3；（D ）4． 3、曲线22)3()1(--=x x y 的拐点的个数为（ A ）０；（B ）１；（C ）２；（D ）３．4、函数)(x f 在区间（1-δ，1+δ）内二阶可导，)(x f ' 严格单调减小，且)1(f =)1(f '=1，则（A ）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有)(x f x <；（B ）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有)(x f x >；（C ）在（1-δ，1）内有)(x f x <，在（1，1+δ）内有)(x f x >；（D ）在（1-δ，1）内有)(x f x >，在（1，1+δ）内有)(x f x <． 5、设函数)(x f 在定义域内可导，)(x f y =的图形如右图所示：则)(x f y '=的图形为 ( )三、（本题满分6分）求⎰++221)12(xxdx．四、（本题满分7分）求函数)(x f =sin sin sin lim()sin xt x t x t x-→的表达式，并指出函数)(x f 的间断点及其类型．五、（本题满分7分）设)(x ρρ=是抛物线x y =上任意一点M （y x ,）（1≥x ）处的曲率半径，)(x s s =是该抛物线上介于点A （1，1）与M 之间的弧长，计算222)(3ds d ds d ρρρ-的值（曲率K ＝23)1(2y y '+''）．六、（本题满分7分）)(x f 在[0，+∞）可导，)0(f =0，且其反函数为)(x g ．若x x f e x dt t g 2)(0)(=⎰，求)(x f ．七、（本题满分7分）设函数)(x f ，)(x g 满足)(x f '=)(x g ， )(x g '=2xe －)(x f且)0(f =0，(0)g =2，求dx x x f x x g ⎰+-+π2])1()(1)([八、（本题满分9分）设L 为一平面曲线，其上任意点P （y x ,）（0>x ）到原点的距离，恒等于该点处的切线在y 轴上的截距，且L 过点（0.5，0）．1、求L 的方程2、求L 的位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围成的图形的面积最小．九、（本题满分7分）一个半球型的雪堆，其体积的融化的速率与半球面积S 成正比比例系数K>0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球形状，已知半径为 r 0 的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的7/8，问雪堆全部融化需要多少时间？十、（本题满分8分）)(x f 在[-a ，a]上具有二阶连续导数，且)0(f =01、写出)(x f 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；2、证明在[-a ，a]上至少存在一点η，使⎰-=''a adx x f f a )(3)(3η十一、（本题满分6分）已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011101110,111011001B A 且满足AXA+BXB=AXB+BXA+E ，求X ．十二、（本题满分6分）设4321,,,αααα为线性方程组AX=O 的一个基础解系， 144433322211,,,ααβααβααβααβt t t t +=+=+=+=，其中t 为实常数试问t 满足什么条件时4321,,,ββββ也为AX=O 的一个基础解系．2000 年全国硕士研究生入学统一考试一、填空题1．2．3.4.5.二、选择题6. 7.8.9.10.三、解答题11.12.13.14.15.16. 17.18.19.20.21.1999 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1998 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1997 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1996 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1995 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1994 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1993 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1992 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1991 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1990 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)。

[考试必备]武汉大学数学分析考研试题集锦(1992,1994-2012年)

（3）在 (0,0) 附近，是否存在过在 (0,0) 的唯一连续隐函数？为什么？
（3）若存在隐函数过 (0,0) 点，问其导函数为何？
武汉大学数学分析 1996
1．设 an → a(n → +∞) ，令
a
+ n
=
⎩⎨⎧a0n,,
an an
> ≤
0 ，a
0
=
⎧a, ⎩⎨0,
a>0 a≤0
证明：
a
+ n
4．设 u = u(t, x, y, z) 有二阶连续偏导数， Ω 为 (x, y, z) 空间的一有界闭集，它有光滑边界
∂Ω ， ∂Ω 处的单位外法向矢量为 ν ，证明：
∫∫∫ Ω
∂u ∂t
⋅
∆udxdydz
=
∫∫
∂Ω
∂u ∂t
⋅
∂u ∂ν
dS
−
1 2
d dt
∫∫∫ Ω
∇u
2
dxdydz
(外侧）
其中 N > 0 为一常数，且逐点有 fn (x) → f (x) （当 n → +∞ ）。证明：（1） f (x) 在[a,b] 上连续。
（2） fn (x)→ f (x) 。
6．设
f
(x,
y)
=
⎪⎪⎧ g ( x, ⎨
y ) sin
⎪0,
⎪⎩
1, x2 + y2
(x, y) ≠ (0,0)
，证明
→
a+ (n
→
+∞) 。
( ) 2．设 lim ( x, y)→( x0 , y0 )
f
(x,
y)

1994考研数学一真题及答案详解

中科院遗传学考研真题分析

中科院遗传学考研真题分析中国科学院遗传研究所硕⼠学位研究⽣1991年⼊学考试普通遗传学试题⼀、名词解释（20分）剂量补偿作⽤组成性突变性选择压⼒渐渗杂交转染 F因⼦回⽂环异源多倍体反义核酸克隆（⽆性繁殖系）选择学说⼆、选择题（10分）1、某⼈是⼀个常染⾊体基因的杂合⼦Bb，⽽他带有⼀个隐性的X连锁基因d。

在他的精⼦中有多⼤⽐例带有bd基因。

(a)0；(b)1/2；(c)1/8；(d)1/16；（e）1/4。

2、有图谱系中，涂⿊者为带有性状的W个体，这种性状在群体中是罕见的。

如下哪种情况是于谱系中的传递情况⼀致的？●□●□□●■○●●●●■○(a)常染⾊体隐性；(b)常染⾊体显性；（c）X连锁隐性；（d）X连锁显性；（e）Y连锁。

3、在⼀个突变过程中，⼀对额外的核苷酸插⼊DNA内，会得什么样的结果？(a)完全没有蛋⽩产物；(b)产⽣的蛋⽩中有⼀个氨基酸发⽣变化。

(c)产⽣的蛋⽩中有三个氨基酸发⽣变化。

(d)产⽣的蛋⽩中有⼀个氨基酸发⽣变化。

(e)产⽣的蛋⽩中，插⼊部位以后的⼤部分氨基酸都发⽣变化。

4、假设某种⼆倍体植物的细胞质在遗传上不同于植物B。

为了研究核-质关系，想获得⼀种植株，这种植株具有A的细胞质，⽽细胞核却主要是B的基因组，应该怎样做？(a)A×B的后代连续⾃交(b)B×A的后代连续⾃交(c) A×B的后代连续与B回交(d) A×B的后代连续与A回交(e) B×A的后代连续与B回交；（f）B×A的后代连续与A回交。

三、问答题：1、某城市医院的94,075个新⽣⼉中，有10个是软⾻发育不全的侏儒（软⾻发育不全是⼀种充分表现的常染⾊体显性突变），其中只有2个侏儒的⽗亲或母亲是侏儒。

试问在配⼦中来⾃软⾻发育不全的突变频率是多少？（10分）2、某种介壳⾍的⼆倍体数为10，在雄性细胞中，5个染⾊体总是呈异染⾊质状态，另外5个染⾊体呈常染⾊质状态。

1994考研数学二真题及答案解析

f ′′(x0 ) + f ′(x0 ) = esin x0 .
又由 f ′(x0 ) = 0 ,有 f ′′(= x0 ) esin x0 > 0 ,因而点 x0 是 f (x) 的极小值点,应选(C).
(4)【答案】(B)
【解析】用换元法求极限,令 t = 1 ,则当 x → ±∞ 时, t → 0 ,且有 x
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【解析】本题利用不定积分的分部积分法求解.显然是 ex2 先进入积分号,
∫ ∫ = 原式
1 2
x= 2d (ex2 )
1 2
x
2e
x2
−
e
x2
d
(
x
2
)
= 1 (x2 −1)ex2 + C 2
其中 C 为任意常数.
注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计
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1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.)
(1)
若
sin 2x + e2ax
f
(
x)
=
x
−1, x
≠ 0, 在 (−∞, +∞) 上连续,则 a
= ＿＿＿＿＿＿.
a,
x=0
(2)
设函数 y
=
x =t − ln(1+ t),
在点 x 可导,且其导数为
= dy f ′(u) ⋅ g′(x) 或 d=y dy ⋅ du .
dx
dx du dx
(2)【解析】用换元积分法.
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观察被积函数的特点,可考虑引入三角函数化简.

1994年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及其参考答案

1994年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及其参考答案(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)一、选择题：本大题共15小题；第(1)—(10)题每小题4分，第(11)—(15)题每小题5分，共65分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) 设全集I ={0，1，2，3，4}，集合A ={0，1，2，3}，集合B ={2，3，4}，则B A ⋃( )(A) {0} (B) {0，1}(C) {0，1，4}(D) {0，1，2，3，4}(2) 如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是 ( ) (A) (0，+∞)(B) (0，2)(C) (1，+∞)(D) (0，1)(3) 极坐标方程⎪⎭⎫⎝⎛-=θπρ4cos 所表示的曲线是 ( )(A) 双曲线(B) 椭圆(C) 抛物线(D) 圆(4) 设θ是第二象限的角，则必有 ( )(A) 2ctg2tgθθ> (B) 2ctg2tgθθ< (C) 2cos2sinθθ>(D) 2cos2sinθθ<(5) 某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)．经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成( )(A) 511个(B) 512个(C) 1023个(D) 1024个(6) 在下列函数中，以2π为周期的函数是 ( )(A) y =sin2x +cos4x (B) y =sin2x cos4x (C) y =sin2x +cos2x(D) y =sin2x cos2x(7) 已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为 ( )(A) 323(B) 283(C) 243(D) 203(8) 设F 1和F 2为双曲线42x －y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2=90°，则△F 1PF 2的面积是( )(A) 1(B)25 (C) 2(D)5(9) 如果复数z 满足│z +i │+│z －i │=2，那么│z +i +1│的最小值是 ( )(A) 1(B)2(C) 2(D)5(10) 有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担．从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有( )(A) 1260种(B) 2025种(C) 2520种(D) 5040种(11) 对于直线m 、n 和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是 ( ) (A) m ⊥n ，m ∥α，n ∥β (B) m ⊥n ，α∩β=m ，n ⊂α (C) m ∥n ，n ⊥β，m ⊂α(D) m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β(12) 设函数f (x )=1－21x -(－1≤x ≤0)，则函数y =f －1(x )的图像是( )(13) 已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB =BC =CA =2，则球面面积是( )(A)916π (B)38π (C) 4π (D)964π (14) 函数y =arccos(sin x )⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-323ππx 的值域是 ( )(A) ⎪⎭⎫⎝⎛656ππ， (B) ⎪⎭⎫⎢⎣⎡650π，(C) ⎪⎭⎫⎝⎛323ππ， (D) ⎪⎭⎫⎢⎣⎡326ππ，(15) 定义在(－∞，+∞)上的任意函数f (x )都可以表示成一个奇函数g (x )和一个偶函数h (x )之和，如果f (x )=lg(10x +1)，x ∈(－∞，+∞)，那么( )(A) g (x )=x ，h (x )=lg(10x +10－x +2)(B) g (x )=21[lg(10x +1)+x ]，h (x )=21[lg(10x +1)－x ] (C) g (x )=2x ，h (x )=lg(10x +1)－2x(D) g (x )=－2x ，h (x )=lg(10x +1)+2x第Ⅱ卷(非选择题共85分)二、填空题 (本大题共5小题，共6个空格；每空格4分，共24分．把答案填在题中横线上)(16) 在(3－x )7的展开式中，x 5的系数是 (用数字作答)(17) 抛物线y 2=8－4x 的准线方程是，圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程是(18) 已知sin θ +cos θ =51，θ∈(0，π)，则ctg θ的值是_____________ (19) 设圆锥底面圆周上两点A 、B 间的距离为2，圆锥顶点到直线AB 的距离为3，AB 和圆锥的轴的距离为1，则该圆锥的体积为_________(20) 在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n 次测量分别得到a 1，a 2，…a n ，共n 个数据，我们规定所测量物理量的“最佳近似值” a 是这样一个量：与其他近似值比较，a 与各数据的差的平方和最小．依此规定，从a 1，a 2，…，a n 推出的a =三、解答题(本大题共5小题，共61分；解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤)(21) (本小题满分11分) 已知z =1+i ．(1)设ω=z 2+3z －4，求ω的三角形式；(2)如果i z z baz z -=+-++1122，求实数a ，b 的值． (22) (本小题满分12分)已知函数f (x )=tg x ，x ∈(0，2π)．若x 1，x 2∈(0，2π)，且x 1≠x 2，证明21[f (x 1)+f (x 2)]>f (221x x +) (23) (本小题满分12分)如图，已知A 1B 1C 1－ABC 是正三棱柱，D 是AC 中点． (1)证明AB 1∥平面DBC 1；(2)假设AB 1⊥BC 1，求以BC 1为棱，DBC 1与CBC 1为面的二面角α的度数．(24) (本小题满分12分)已知直线l 过坐标原点，抛物线C 顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上．若点)0,1(-A 和点B (0，8)关于l 的对称点都在C 上，求直线l 和抛物线C 的方程．(25) (本小题满分14分)设{a n }是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，并且对于所有的自然数n ，a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项．(1)写出数列{a n }的前3项；(2)求数列{a n }的通项公式(写出推证过程)； (3)令()N ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++n a a a a b n n n n n 1121，求().lim 21n b b b n n -+++∞→1994年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答一、选择题(本题考查基本知识和基本运算)1．C 2．D 3．D 4．A 5．B 6．D 7．B 8．A 9．A 10．C 11．C 12．B 13．D 14．B 15．C二、填空题(本题考查基本知识和基本运算)16．－189 17．x =3，(x －2)2+y 2=1 18．43- 19． π322 20．()n a a a n+++ 211三、解答题21．本小题考查共轭复数、复数的三角形式等基础知识及运算能力．解：(1)由z ＝1+i ，有 ω=z 2+3z －4 =(1+i )2+3()i +1－4 =2i +3(1－i )－4=－1－i ，ω的三角形式是⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππ45sin 45cos 2i ． (2)由z =1+i ，有()()()()1111112222++-+++++=+-++i i bi a i z z b az z =()()ii a b a 2+++()()i b a a +-+=2 由题设条件知(a +2)－(a +b )i =1－i ．根据复数相等的定义，得⎩⎨⎧-=+-=+1)(12b a a解得⎩⎨⎧=-=.2,1b a22．本小题考查三角函数基础知识、三角函数性质及推理能力．证明：tg x 1+tg x 2=2211cos sin cos sin x x x x +212121cos cos sin cos cos sin x x x x x x +=()2121cos cos sin x x x x +=()()()212121cos cos sin 2x x x x x x -+++=∵x 1，x 2∈(0，2π)，x 1≠x 2， ∴2sin(x 1+x 2)>0，cos x 1cos x 2>0，且0<cos (x 1－x 2)<1，从而有0<cos (x 1+x 2)+cos (x 1－x 2)<1+cos (x 1+x 2)，由此得tg x 1+tg x 2>()()2121cos 1sin 2x x x x +++=，∴21( tg x 1+tg x 2)>tg 221x x +，即21[f (x 1)+f (x 2)]>f (221x x +)23．本小题考查空间线面关系、正棱柱的性质、空间想象能力和逻辑推理能力．(1)证明：∵A 1B 1C 1－ABC 是正三棱柱，∴四边形B 1BCC 1是矩形．连结B 1C 交BC 1于E ，则B 1E =EC ．连结DE ．在△AB 1C 中，∵AD =DC ，∴DE ∥AB 1．又AB 1⊄平面DBC 1，DE ⊂平面DBC 1，∴AB 1∥平面DBC 1．(2)解：作DF ⊥BC ，垂足为F ，则DF ⊥面B 1BCC 1，连结EF ，则EF 是ED 在平面B 1BCC 1上的射影．∵AB 1⊥BC 1，由(1)知AB 1∥DE ，∴DE ⊥BC 1，则BC 1⊥EF ，∴∠DEF 是二面角α的平面角．设AC =1，则DC =21．∵△ABC 是正三角形，∴在Rt △DCF 中， DF =DC ²sin C =43，CF =DC ²cos C =41．取BC 中点G ．∵EB =EC ，∴EG ⊥BC ．在Rt △BEF 中，EF 2=BF ·GF ，又BF =BC －FC =43，GF =41，∴EF 2=43·41，即EF =43．∴tg ∠DEF =14343==EF DF ．∴∠DEF =45°．故二面角α为45°．24．本小题考查直线与抛物线的基本概念和性质，解析几何的基本思想方法以及综合运用知识解决问题的能力．解法一：依题设抛物线C 的方程可写为y 2=2px (p >0)，且x 轴和y 轴不是所求直线，又l 过原点，因而可设l 的方程为y =kx (k ≠0)．①设A '、B '分别是A 、B 关于l 的对称点，因而A 'A ⊥l ，直线A 'A 的方程为()11+-=x ky ② 由①、②联立解得AA '与l 的交点M 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-11122k k k ，．又M 为AA '的中点，从而点A '的坐标为x A '=111112222+-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-k k k ， y A '=1201222+-=+⎪⎭⎫⎝⎛+-k k k k ． ③ 同理得点B '的坐标为x B '=1162+k k ， y B '= ()11822+-k k ． ④ 又A '、B '均在抛物线y 2=2px (p >0)上，由③得112122222+-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-k k p k k ，由此知k ≠±1，即 1242-=k k p ⑤同理由④得()11621182222+⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-k k p k k ．即 ()()kk k p 112222+-=．从而 1242-k k=()()kk k 112222+-，整理得 k 2－k －1=0．解得.25125121-=+=k k ，但当251-=k 时，由③知055<-='A x ，这与A '在抛物线y 2=2px (p >0)上矛盾，故舍去2512-=k ．设251+=k ，则直线l 的方程为x y 251+=．将251+=k 代入⑤，求得552=p ．所以直线方程为x y 251+=．抛物线方程为x y 5542=．解法二：设点A 、B 关于l 的对称点分别为A '(x 1、y 1)、B '(x 2，y 2)，则|OA '|=|OA |=1，|OB '|=|OB |=8．设由x 轴正向到OB '的转角为α，则x 2=8cos α，y 2=8s in α． ①因为A '、B '为A 、B 关于直线l 的对称点，而∠BOA 为直角，故∠B 'OA '为直角，因此 x 1=cos ⎪⎭⎫⎝⎛-2πα=sin α，y 1=sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2πα=－cos α， ②由题意知x 1>0，x 2>0，故α为第一象限角．因为A '、B '都在抛物线y 2=2px 上，将①、②代入得cos 2α=2p ²sin α，64sin 2α=2p ²8cos α．∴8sin 3α=cos 3α， ∴2sin α=cos α，解得 52cos 51sin ==αα，．将52cos 51sin ==αα，代入cos 2α=2p sin α得552sin 2cos 2==ααp ， ∴抛物线C 的方程为x y 5542=．因为直线l 平分∠B 'OB ，故l 的斜率 ⎪⎭⎫⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=42221πααπαtg tg k 251sin 1cos 2cos 12sin +=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ααπαπα ∴直线l 的方程为x y 215+=． 25．本小题考查等差数列、等比数列、数列极限等基础知识考查逻辑推理能力和分析问题与解决问题的能力．解：(1)由题意，当n =1时有11222S a =+，S 1=a 1， ∴11222a a =+，解得a 1=2．当n =2时有22222S a =+，S 2=a 1+ a 2，a 1=2代入，整理得 (a 2－2)2=16．由a 2>0，解得 a 2=6．当n =3时有33222S a =+，S 3=a 1+ a 2+ a 3，将a 1=2，a 2=6代入，整理得 (a 3－2)2=64．由a 3>0，解得 a 3=10．故该数列的前3项为2，6，10．(2)解法一：由(1)猜想数列{a n }有通项公式a n =4n －2．下面用数学归纳法证明数列{ a n }的通项公式是a n =4n －2 (n ∈N )．①当n =1时，因为4³1－2=2，又在(1)中已求出a 1=2，所以上述结论成立． ②假设n =k 时结论成立，即有a k =4k －2．由题意，有k k S a 222=+，将a k =4k －2代入上式，得2k =k S 2，解得S k =2k 2．由题意，有11222++=+k k S a ，S k +1=S k +a k +1，将S k =2k 2代入，得2122⎪⎭⎫ ⎝⎛++k a =2(a k +1+2k 2)，整理得21+k a －4 a k +1+4－16 k 2=0．由a k +1>0，解得a k +1=2+4k ．所以a k +1=2+4k =4(k +1)－2．这就是说，当n =k +1时，上述结论成立．根据①、②，上述结论对所有的自然数n 成立．解法二：由题意，有()N n S a n n ∈=+222，整理得S n =81(a n +2)2，由此得 S n +1 =81(a n +1+2)2， ∴a n +1= S n +1－S n =81[(a n +1+2)2－(a n +2)2]，整理得(a n +1+ a n )( a n +1－a n －4)=0，11 由题意知 a n +1+a n ≠0，∴a n +1－a n =4．即数列{ a n }为等差数列，其中a 1=2，公差d =4．∴a n =a 1+(n －1)d =2+4(n －1)，即通项公式为a n =4n －2．(3)解：令c n =b n －1，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=++22111n n n n n a a a a c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=112121121221n n n n 121121+--=n n ， b 1+b 2+…+b n －n =c 1+c 2+…+c n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-1211215131311n n 1211+-=n ． ∴()11211lim lim 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+++∞→∞→n n b b b n n n。

南开中国史考研真题94151

南开大学1994年历史学考研真题【中国通史】1、春秋争霸的具体情况如何？它说明了什么问题？10分2、论述三国两晋南北朝中外文化交流。

10分3、试述元、明两朝对西藏的管辖10分4、清代考据学述评10分5、简述总理各国事务衙门的建立经过及其影响10分6、谭嗣同《仁学》的历史评判10分7、林纾其人10分8、简述东北“易帜”的经过及其影响10分9、评述抗战时期的中苏关系20分南开大学1995年历史学考研真题【中国通史】1、简述儒家与墨家的主要观点，并比较二者之异同10分2、湖北云梦睡虎地秦墓、湖南长沙马王堆汉墓出土了哪些资料？并介绍其史料价值10分3、南朝时南方经济有哪些发展？其原因是什么？10分4、叙述明清资本主义萌芽的表现及其缓慢发展的原因10分5、简述洋务运动时期在教育领域的更新10分6、评述邹容所著《革命军》的主要内容与时代意义10分7、简答北洋时期“府院之争”的历史经过10分8、曹锟是怎样当上总统的？10分9、评述塘沽协定对华北政局的影响10分10、评述建国初期中共七届三中全会10分南开大学1996年历史学考研真题【中国通史】1、简述春秋战国时期的商业发展状况，并分析商业在社会经济中的作用。

10分2、简述汉唐时期佛教在中国的传播，并分析佛学与中国传统文化的关系。

10分3、简述宋元时期的地方行政制度，并做出评价10分4、简述东林党的政治活动，并对比做出评价10分5、请介绍明清时期的园林建筑，并概括其文化特征10分6、简述郑观应及其《盛世危言》10分7、试友谊赛南京临时政府1912年颁布的《南京临时约法》10分8、简答民国初年的护国运动10分9、简答郭松龄反奉事件的原因及其影响10分10、简述百团大战的意义10分11、中共七届二中全会制定了哪些主要方针10分(注:第4、5题任选做一题。

)南开大学1997年历史学考研真题【中国通史】1、介绍商代铜器的种类，并举例说明其制造技术与艺术价值10分2、简述汉武帝经济政策的内容并评价10分3、简述唐代三省与宰相制度的内容并做出评价10分4、简述魏晋与两宋时期经济重心南移的历史过程及原因10分5、明末西方传教士在中国的活动状况，并对其活动做出评价10分6、简述近代有关香港问题的三个条约10分7、太平天国永安建制的主要内容及其意义10分8、评述陈天华其人其事10分9、简述《塘沽协定》的主要内容及其影响10分10、抗日民族统一战线的特点及其意义是什么？10分11、简述解放战争时期国统区的“五.二0”事件。

考研数学历年真题(1987-1997)年数学二

1997 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)（1）已知()()==⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-a x x a x xosx x f x 处连续，则，在，，0002_____________.（2）设则,11ln2xxy +-==''=0x y _____________.（3）()=-⎰x x dx4_____________.（4）设=++⎰+∞284x x dx_____________.（5）已知向量组)2,5,4,0(,0,0,21,12,132,1--==-=ααα），（），（t 的秩为2，则t =_____________. 二、选择题 1.设n x xx e e x 与时，-→tan ,0是同阶无穷小，则n 为（）（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4(2)设在区间[,]a b 上()0,()0,()0.f x f x f x '''><>记1231(),()(),[()()](),2b a S f x dx S f b b a S f a f b b a ==-=+-⎰则（） (A)123S S S << (B) 231S S S << (C)312S S S <<(D)213S S S <<(3)已知函数()x f y =对一切x 满足()()()()则若,00,1][3002≠='-='+''-x x f e x f x x f x x（）(A)()()的极大值是x f x f 0 (B)()()的极小值是x f x f 0(C)()）的拐点（是，x f y x f x =)(00(D)()()()()的拐点也不是曲线的极值，不是x f y x f x x f x f =)(,000 (4)设2sin ()e sin ,x t xF x tdt π+=⎰则()F x （）(A)为正常数(B)为负常数(C)恒为零(D)不为常数（5）.设()()()为则][,0,0,,0,20,22x f g x x x x x f x x x x x g ⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧≥-<=>+≤-=（）（A ）⎧<+0,22x x（B ）⎧<-0,22x x1996 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)（1）设='+==-0x 322y ,)(则x e x y _____________.（2）=-+⎰-dx x x 21121）（_____________.（3）微分方程的052=+'+''y y y 通解为_____________.（4）=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+∞→)11ln(sin )31ln(sin lim x x x x _____________.（5）由曲线22,1==+=y x x y 及所围图形的面积=S _____________.(2)设函数()x f 在区间），（δδ-内有定义，若当),(δδ-∈x 时，恒有()0,2=≤x x x f 则必是()x f 的（） (A)间断点(B)连续而不可导的点 (C)可导的点，且0)0(='f(D)可导的点，且()00≠'f(3)设)(x f 处处可导，则（）(A)()()-∞='-∞=-∞→-∞→x f x f x x lim ,lim 必有当(B)()()-∞=-∞='-∞→-∞→x f x f x x lim ,lim 必有当(C)()()+∞='+∞=-∞→-∞→x f x f x x lim ,lim 必有当(D)()()+∞=+∞='-∞→-∞→x f x f x x lim ,lim 必有当(4)在区间0cos 2141=-+∞+∞-x x x ）内，方程，（（） (A)无实根 (B)有且仅有一个实根 (C)有且仅有两个实根(D)有无穷多个实根（5）.设),()()()(],[)(),(x g y m m x f x g b a x g x f =<<，由曲线为常数上连续，且在区间b x a x x f y ===及),(所围平面图形绕直线m y =旋转体体积为（）（A ）⎰-+-badx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π（B ）⎰---badx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π（C ）⎰-+-bdx x g x f x g x f m )]()()][()([π（D ）⎰---bdx x g x f x g x f m )]()()][()([π（1）计算.12102dx e n x ⎰--（2）求.sin 1⎰+x dx（3）设⎪⎩⎪⎨⎧==⎰,)]([,)(2202t f y du u f x t其中)(u f 具有二阶导数，且.,0)(22dx y d u f 求≠（4）求函数011)(=+-=x xxx f 在点处带拉格朗日型余项n 阶泰勒展开式。

1994考研数学一真题及答案解析

1 a2
1 b2
1 4
R4
4
R4
1 a2
1 b2
.
1
1 2
1
3
(5)【答案】
3n1
2
1
2 3
3
3
1
2
1
【解析】由矩阵乘法有结合律,注意
T
1,
1 2
,
1 3
2 3
3
是一个数,
1
1
1 2
1
3
而
A
T
2 3
1,
1 2
,
1 3
2
3
1 3
2 3
,(是一个三阶矩阵)
1
2
于是,
k1(0,1,10) k2 (1, 2, 2,1) .
(1) 求线性方程组 () 的基础解系；
(2) 问线性方程组 () 和 () 是否有非零公共解？若有,则求出所有的非零公共解.若没
有,则说明理由.
九、(本题满分 6 分)
设 A 为 n 阶非零方阵, A* 是 A 的伴随矩阵, AT 是 A 的转置矩阵,当 A* AT 时,证明 | A | 0 .
dx
(3) 求
.
sin 2x 2sin x
四、(本题满分 6 分)
计算曲面积分 xdydz z2dxdy ,其中 S 是由曲面 x2 y2 R2 及两平面 z R, S x2 y2 z2 z R(R 0) 所围成立体表面的外侧.
五、(本题满分 9 分)
设 f (x) 具有二阶连续导数, f (0) 0, f (0) 1 ,且
由对称区间上奇偶函数积分的性质,被积函数是奇函数,积分区间关于原点对称,则积分

1994考研数二真题及解析

1994年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1) 若2sin 21,0,() , 0ax x e x f x xa x ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在(,)-∞+∞上连续,则a =＿＿＿＿＿＿. (2) 设函数()y y x =由参数方程32ln(1),x t t y t t=-+⎧⎨=+⎩所确定,则22d ydx =＿＿＿＿＿＿. (3)cos30()x d f t dtdx ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰＿＿＿＿＿＿. (4) 23x x e dx =⎰＿＿＿＿＿＿.(5) 微分方程2(4)0ydx x x dy +-=的通解为＿＿＿＿＿＿.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设220ln(1)()lim2x x ax bx x →+-+=,则 ( ) (A) 51,2a b ==-(B) 0,2a b ==- (C) 50,2a b ==- (D) 1,2a b ==-(2) 设322,1()3 , 1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩,则()f x 在点1x =处的 ( )(A) 左、右导数都存在 (B) 左导数存在,但右导数不存在 (C) 左导数不存在,但右导数存在 (D) 左、右导数都不存在(3) 设()y f x =是满足微分方程sin 0xy y e'''+-=的解,且0()0f x '=,则()f x 在 ( ) (A) 0x 的某个领域内单调增加 (B) 0x 的某个领域内单调减少 (C) 0x 处取得极小值 (D) 0x 处取得极大值(4) 曲线2121arctan (1)(2)x x x y e x x ++=-+的渐近线有 ( )(A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条(5)设43422222sin cos ,(sin cos )1x M xdx N x x dx x ππππ--==++⎰⎰,23422(sin cos )P x x x dx ππ-=-⎰,则有 ( )(A) N P M << (B) M P N << (C) N M P << (D) P M N <<三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)(1) 设()y f x y =+,其中f 具有二阶导数,且其一阶导数不等于1,求22d ydx.(2) 计算3142(1)x x dx -⎰.(3) 计算2lim tan ()4nn nπ→∞+.(4) 计算sin 22sin dxx x+⎰.(5) 如图,设曲线方程为212y x =+,梯形OABC 的面积为D ,曲边梯形OABC 的面积为1D ,点A 的坐标为(,0)a ,0a >,证明：3D <.四、(本题满分9分)设当0x >时,方程211kx x +=有且仅有一个解,求k 的取值范围.五、(本题满分9分)设324x y x +=,(1) 求函数的增减区间及极值； (2) 求函数图像的凹凸区间及拐点； (3) 求其渐近线； (4) 作出其图形.六、(本题满分9分)求微分方程2sin y a y x ''+=的通解,其中常数0a >.七、(本题满分9分)设()f x 在[0,1]上连续且递减,证明：当01λ<<时,1()()f x dx f x dx λλ≥⎰⎰.八、(本题满分9分)求曲线23|1|y x =--与x 轴围成的封闭图形绕直线3y =旋转所得的旋转体体积.1994年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】2-【解析】2sin 21ax x e x+-在0x ≠时是初等函数,因而连续；要使()f x 在(,)-∞+∞上连续,()f x 在0x =处也连续,这样必有0lim ()(0)x f x f →=.由极限的四则混合运算法则和等价无穷小,0x →时,sin xx ；1x e x -.2200sin 21sin 21lim lim()ax ax x x x e x e x x x→→+--=+ 0022limlim 22x x x axa a x x→→=+=+=,从而有2a =-. (2)【答案】(1)(65)t t t++【解析】 dy dy dt dydx dtdt dx dt dx =⋅=2232352111t t y t t t t x t'+===++'-+, ()65(1)(65)111x txx t y t t t y x t t''+++''==='-+. 【相关知识点】复合函数求导法则：如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy dudx du dx=⋅. (3)【答案】3sin3(cos3)xf x -【解析】原式(cos3)(cos3)(cos3)(sin3)33sin3(cos3)f x x f x xxf x '=⋅=⋅-⋅=-. 【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.(4)【答案】221(1)2x x e C -+,其中C 为任意常数【解析】本题利用不定积分的分部积分法求解.显然是2x e 先进入积分号,原式22222211()()22x x x x d e x e e d x ⎡⎤==-⎣⎦⎰⎰ 221(1)2x x e C =-+ 其中C 为任意常数. 注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验.【相关知识点】分部积分公式：假定()u u x =与()v v x =均具有连续的导函数,则,uv dx uv u vdx ''=-⎰⎰ 或者 .udv uv vdu =-⎰⎰(5)【答案】4(4)x y Cx -⋅=,C 为任意常数【解析】这是可分离变量的方程. 分离变量得0(4)dx dyx x y+=-,两项分别对x 和对y 积分得到114ln ln ,4x y C x-+= 化简有44x y C x-⋅=,即 4(4)x y Cx -⋅=,C 为任意常数.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(A)【解析】方法1：将极限中的分子用泰勒—皮亚诺公式展开得2222ln(1)()(())()2x x ax bx x o x ax bx +-+=-+-+221(1)()()2a xb x o x =--++,由假设,应该有101()22a b -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩,故由此51,2a b ==-,故应选(A).方法2：用洛必达法则.220ln(1)()lim x x ax bx x →+-+为“0”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,所以,0121lim 2x a bxxx→--+=原式左边 20(1)(2)2lim 2(1)x a a b x bx x x →--+-=+(若10a -≠,则原式极限为∞,必有10a -=)122,2b +=-= 51,2a b ⇒==-. 故应选(A).(2)【答案】(B)【解析】方法1：因32(),(1)()3f x x x f x =≤⇒左可导,312(1)23x f x --='⎛⎫'== ⎪⎝⎭.又211lim ()lim 1(1)()x x f x x f f x ++→→==≠⇒不右连续()f x ⇒在1x =的右导数不存在, 故选(B). 方法2：2(1)3f =,而 211lim ()lim 1(1)x x f x x f ++→→==≠, 所以,()f x 在1x =点不连续,故不可导,但左,右导数可能存在,这只需要用左,右导数定义进行验证.2113112()(1)3(1)lim lim ,1122()(1)33(1)lim lim 2.11x x x x x f x f f x x x f x f f x x ++--+→→-→→--'===+∞----'===--故()f x 在1x =点左导数存在,但右导数不存在,故应选(B). (3)【答案】(C)【解析】由于()f x 满足微分方程sin 0xy y e'''+-=,当0x x =时,有0sin 00()()x f x f x e '''+=.又由0()0f x '=,有0sin 0()0x f x e ''=>,因而点0x 是()f x 的极小值点,应选(C).(4)【答案】(B)【解析】用换元法求极限,令1t x=,则当x →±∞时,0t →,且有 2201lim lim arctan ,(1)(12)4t x t t t y e t t π→±∞→++==-+ 0lim x y →=-∞,所以y 轴和4y π=是曲线的两条渐近线.而1x =和2x =-并非曲线的渐近线,因当1x =和2x =-时,y 分别趋向于2eπ±和142eπ±.故应选(B).【相关知识点】渐近线的相关知识：水平渐近线：若有lim ()x f x a →∞=,则y a =为水平渐近线；铅直渐近线：若有lim ()x af x →=∞,则x a =为铅直渐近线；斜渐近线：若有()lim,lim[()]x x f x a b f x ax x→∞→∞==-存在且不为∞,则y ax b =+为斜渐近线.(5)【答案】(D)【解析】对于关于原点对称的区间上的积分,应该关注被积函数的奇偶性.由对称区间上奇偶函数积分的性质,被积函数是奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为0,故0M =,且由定积分的性质,如果在区间[],a b 上,被积函数()0f x ≥,则()0 ()baf x dx a b ≥<⎰.所以 4202cos 0N xdx π=>⎰, 4202cos 0P xdx N π=-=-<⎰.因而 P M N <<,应选(D).三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)(1)【解析】方程两边对x 求导,得(1)y f y '''=⋅+,两边再求导,得2(1)y f y f y ''''''''=⋅++⋅,由于一阶导数不等于1,所以10f '-≠. 以1f y f ''='-代入并解出y '',得 3(1)f y f ''''='-. 【相关知识点】复合函数求导法则：如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy dudx du dx=⋅. (2)【解析】用换元积分法.观察被积函数的特点,可考虑引入三角函数化简.令2sin x t =,则2cos xdx tdt =.当0x =时,0t =；当1x =时,2t π=,故原式4201cos 2tdt π=⎰1313()242232ππ=⋅⋅⋅=.【相关知识点】定积分关于单三角函数的积分公式：2200(1)!!, !!2sin cos (1)!!, !!n n n n n n I xdx xdx n n n πππ-⎧⎪⎪===⎨-⎪⎪⎩⎰⎰为偶数为奇数，.注：对于双阶乘!!n 的定义如下:当n 为奇数时,!!13n n =⨯⨯⨯；当n 为偶数时,!!24n n =⨯⨯⨯.(3)【解析】方法1：用三角函数公式将2tan()4n π+展开,再化为重要极限1lim(1)x x e x→∞+=的形式,利用等价无穷小因子替换,即0x →时,tan x x ,从而求出极限.221tan 2tan 2lim tan ()lim lim 12241tan 1tan nnn n n n n n n n n π→∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥+==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ 221tan 4tan 124tan22212tan 1tanlim221tan422tan lim 121tan n n n n n n nnnn n ee n →∞-⋅⋅-⋅-→∞⎡⎤⎢⎥=+==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.方法2：先取自然对数,求出极限后再用恒等式 lim ln ()lim ()x f x x e f x →∞→∞=.因为221tan2tan2lim ln tan ()lim ln lim ln 12241tan1tan n n n n n n n n n n n π→∞→∞→∞⎡⎤+⎢⎥+==+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ 222tan tan 4lim lim 42221tan 1tann n n n n n n n →∞→∞⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥--⎣⎦, 于是 2ln tan ()442lim tan ()lim 4n nn n n e e n ππ+→∞→∞+==.(4)【解析】方法1：利用三角函数的二倍角公式sin 22sin cos ααα=⋅,并利用换元积分,结合拆项法求积分,得sin 22sin 2sin (cos 1)dx dxx x x x =++⎰⎰22sin 11cos 2sin (cos 1)2(1)(1)xdx x u du x x u u ==-+-+⎰⎰(22sin 1cos x x =-)221(1)(1)1112()4(1)(1)811(1)u u du du u u u u u ++-=-=-++-+-++⎰⎰12ln |1|ln |1|8(1)u u C u ⎡⎤=--+++⎢⎥+⎣⎦()()12ln 1cos ln 1cos 81cos x x C x ⎡⎤=--+++⎢⎥+⎣⎦, 其中C 为任意常数.方法2：换元cos x u =后,有原式22sin 12sin (cos 1)2sin (cos 1)2(1)(1)dx xdx dux x x x u u ===-++-+⎰⎰⎰.用待定系数法将被积函数分解:221(1)(1)11(1)A B Du u u u u =++-+-++22()(2)()(1)(1)A B u A D u A B D u u -+-+++=-+,1120,421A B A D A B D A B D -=⎧⎪⇒-=⇒===⎨⎪++=⎩.于是,2111212()ln 1ln 1811(1)81du u u C u u u u ⎡⎤-++=--+++⎢⎥-+++⎣⎦⎰原式＝ ()()12ln 1cos ln 1cos 81cos x x C x ⎡⎤=--+++⎢⎥+⎣⎦. (5)【解析】对梯形OABC 的面积为D ,可用梯形面积公式()2ha b +,其中h 为梯形的高,a 、b 分别为上底和下底长度.对于曲边梯形OABC 的面积则用积分式求解.222231011()(1)22,22111(32)().2326a a a a D a a a D x dx a a +++==+=+=+=⎰ 由于 22312a a +<+,所以221132a a +<+,由此, 2222221(1)3(1)31323(32)322226a a D a a a a D a a +++===<+++.四、(本题满分9分)【解析】方程211kx x +=的解即为32()1x kx x ϕ=-+的零点. 要证明方程211kx x+=有且仅有一个解,只需要证明()x ϕ是单调函数,且它的函数图像仅穿过x 轴一次就可以了.以下是证明过程.对()x ϕ求一阶导数,有2()32(32)x kx x x kx ϕ'=-=-.当0k ≤时,()0x ϕ'<,()x ϕ单调减少,(0)10,lim (),x x ϕϕ→+∞=>=-∞()x ϕ在0x >有唯一的零点；当0k >时,()x ϕ在2(0,)3k 单调减少,在2(,)3k +∞单调增加,224()1327k k ϕ=-,而(0)10,lim (),x x ϕϕ→+∞=>=+∞当且仅当最小值2()03k ϕ=时,()x ϕ才在0x >有唯一零点,这时应该有k =总之,当0k ≤或k =,原方程有唯一实根.五、(本题满分9分)【解析】求函数的增减区间一般先求出函数的不连续点和驻点,根据这些点将函数的定义域分成不同区间,然后根据y '在此区间上的正负来判断该区间上函数的增减性以及极值点；根据y ''的正负判定区间的凹凸性；求渐近线时除判定是否存在水平或垂直渐近线外,还要注意有没有斜渐近线.作函数图形时要能综合(1)、(2)、(3)所给出的函数属性,尤其注意渐近线、拐点、极值点和零点.2344824,1,0y x y y x x x '''=+=-=>. 无定义点：0x =,驻点：2x =.函数在(,0)(2,)-∞+∞单调增加,在(0,2)单调减少,在(,0)(0,)-∞+∞凹,在2x =取极小值23x y ==；由于 0lim ,x y →=∞所以0x =为垂直渐近线.由于 24lim1,lim()lim 0,x x x y y x xx →∞→∞→∞=-==所以y x =是斜渐近线.粗略草图如下：【相关知识点】渐近线的相关知识：水平渐近线：若有lim ()x f x a →∞=,则y a =为水平渐近线；铅直渐近线：若有lim ()x af x →=∞,则x a =为铅直渐近线；斜渐近线：若有()lim,lim[()]x x f x a b f x ax x→∞→∞==-存在且不为∞,则y ax b =+为斜渐近线.六、(本题满分9分)【解析】所给方程为常系数的二阶线性非齐次方程,对应的齐次方程的特征方程220r a +=有两个根为12,r r ai =±.当1a ≠时,非齐次方程的特解应设为 sin cos Y A x B x =+.代入方程可以确定 221sin ,0,11xA B Y a a ===--. 当1a =时,应设 sin cos Y xA x xB x =+,代入方程可以确定 10,,cos 22xA B Y x ==-=-.由此,所求的通解为当1a ≠时,122sin cos sin 1xy c ax c ax a =++-；当1a =时,12cos sin cos 2xy c x c x x =+-. 【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设*()y x 是二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解.()Y x 是与之对应的齐次方程 ()()0y P x y Q x y '''++=的通解,则*()()y Y x y x =+是非齐次方程的通解.2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解()Y x ,可用特征方程法求解：即()()0y P x y Q x y '''++=中的()P x 、()Q x 均是常数,方程变为0y py qy '''++=.其特征方程写为20r pr q ++=,在复数域内解出两个特征根12,r r ；分三种情况：(1) 两个不相等的实数根12,r r ,则通解为1212;rx r x y C eC e =+(2) 两个相等的实数根12r r =,则通解为()112;rxy C C x e =+(3) 一对共轭复根1,2r i αβ=±,则通解为()12cos sin .xy e C x C x αββ=+其中12,C C 为常数.3.对于求解二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解*()y x ,可用待定系数法,有结论如下：如果()(),x m f x P x e λ=则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*()()k xm y x x Q x e λ=的特解,其中()m Q x 是与()m P x 相同次数的多项式,而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果()[()cos ()sin ]xl n f x e P x x P x x λωω=+,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的特解可设为*(1)(2)[()cos ()sin ]k x m m y x e R x x R x x λωω=+,其中(1)()m R x 与(2)()m R x 是m 次多项式,{}max ,m l n =,而k 按i λω+(或i λω-)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.七、(本题满分9分)【解析】方法一：用积分比较定理.首先需要统一积分区间：换元,令x t λ=,则 1()()f x dx f t dt λλλ=⎰⎰,由此[]11()()()()f x dx f x dx f x f x dx λλλλ-=-⎰⎰⎰.因为()f x 递减而x x λ<,所以()()f x f x λ≥,上式的右端大于零,问题得证. 方法二：用积分中值定理.为分清两中值的大小,需要分别在(0,),(,1)λλ两区间内用积分中值定理：11()()()f x dx f x dx f x dx λλ=+⎰⎰⎰,由此,11()()(1)()()f x dx f x dx f x dx f x dx λλλλλλ-=--⎰⎰⎰⎰12(1)()(1)()f f λλξλλξ=-⋅-⋅-[]12(1)()()f f λλξξ=-⋅-,其中,1201ξλξ<<<<；又因()f x 递减,12()()f f ξξ≥.上式的右端大于零,问题得证. 方法三：作为函数不等式来证明.令1()()()f x dx f x dx λϕλλ=-⎰⎰, [0,1]λ∈.则 1()()()f f x dx ϕλλ'=-⎰.由积分中值定理,有()()()f f ϕλλξ'=-,其中(0,1)ξ∈为常数.由()f λ递减,λξ=为唯一驻点,且()ϕλ'在λξ=由正变负,λξ=是()ϕλ的极大值点也是最大值点；由此,最小点必为端点0λ=或1.从而有()(0)(1)0,0 1.ϕλϕϕλ≥==<<命题得证.【相关知识点】积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.八、(本题满分9分)【解析】如右图所示,曲线左右对称, 与x 轴的交点是(2,0),(2,0)-. 只计算右半部分即可.作垂直分割, 相应于[],x x dx +的小竖条的体积微元：222223(3)3(1)dV y dx x dx π⎡⎤⎡⎤=--=--⎣⎦⎣⎦24(82),02x x dx x π=+-≤≤,于是 22404482(82)15V x x dx ππ=+-=⎰.y =。

浙江大学数据结构考研试题

1.画出在上图中插入关键字为 5 的结点后的最小最大堆。 2.画出在上图中插入关键字为 80 的结点后的最小最大堆； 3.编写一算法实现最小最大值的插入功能。假定最小最大堆存放在数组中，关键字为整数。 4.用 C 或 PASCA；实现上述算法。（26 分）
浙江大学 1997 年考研题
一、下列语句是否有错，解释错误原因（10 分） 1.TYPE ALERTNES-TYPE=ALERT，SLEEPY，DRUGGED，EXCITED 2.TYPE NON-NEG-RANGE=（0…MAXINT） 3.TYPE LETTER-RANGE=‘A’ 。。 ‘Z’OR‘a’..‘Z’ 4.TYPE PUNC-TYPE=（ ‘， ’ ， ‘.’ ， ‘.’ ， ‘， ’ ） 5.TYPE X=ARRAY[1、2、3]OF CHAR 6.TYPE Y=ARRAY[（A，B，C）]OF （A，B，C） 7.TYPE Z=ARRAY[-5…5]OF Z 8.TYPE W=ARRAY[10]OF BOOLEAN 9.TYPE DOG=ARRAY[（TRUE，FALSE）]OF （BOXER，POOCH） 10.TYPE LING=ARRAY[INTEGER]OF BOOLEAN 二、写出下列语句的输出（10 分） 1.设有过程说明 PROCEDURE q（VAR h１：integer；h· ：integer）； BEGIN h1：=2*h2； END；语句为：BEGIN t：=1；q（t，t）；writeln（t） END 2.设有过程说明 PROCEDURE p（VAR x，I：integer）； BEGIN j：=1；x：=5；ｉ：=2；ｘ：＝７ＥＮＤ并设有ｂ：ＡＲＲＡＹ［１。。４］ＯＦｉｎｔｅｇｅｒ；ｊ：ｉｎｔｅｇｅｒ；ｂ＝（５，７，１３，１５）；Ｊ＝２。语句：ＢＥＧＩＮｐ（ｂ［ｊ＊２］ｉ）；ｗｒｉｔｅｌｎ（ｊ〈ｂ［１］，ｂ［２］，ｂ［３］，ｂ［４］〉ＥＮＤ 3.有过程说明 PROCEDURE t（VAR a〈b：integer〉； BEGIN a：=1；b：=-a END；语句：ＢＥＧＩＮｄ：＝１；ｔ（ｄ，ｄ）；ｗｒｉｔｅｌｎ（ｄ）ＥＮＤ

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1994年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1) 若2sin 21,0,() , 0ax x e x f x xa x ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在(,)-∞+∞上连续,则a =＿＿＿＿＿＿. (2) 设函数()y y x =由参数方程32ln(1),x t t y t t =-+⎧⎨=+⎩所确定,则22d ydx =＿＿＿＿＿＿. (3) cos30()xd f t dt dx ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰＿＿＿＿＿＿. (4) 23x x e dx =⎰＿＿＿＿＿＿.(5) 微分方程2(4)0ydx x x dy +-=的通解为＿＿＿＿＿＿.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设220ln(1)()lim2x x ax bx x →+-+=,则 ( ) (A) 51,2a b ==-(B) 0,2a b ==- (C) 50,2a b ==- (D) 1,2a b ==-(2) 设322,1()3 , 1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩,则()f x 在点1x =处的 ( )(A) 左、右导数都存在 (B) 左导数存在,但右导数不存在 (C) 左导数不存在,但右导数存在 (D) 左、右导数都不存在(3) 设()y f x =是满足微分方程sin 0xy y e '''+-=的解,且0()0f x '=,则()f x 在 ( )(A) 0x 的某个领域内单调增加 (B) 0x 的某个领域内单调减少 (C) 0x 处取得极小值 (D) 0x 处取得极大值(4) 曲线121arctan (1)(2)x x x y e x x ++=-+的渐近线有 ( )(A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条(5)设43422222sin cos ,(sin cos )1x M xdx N x x dx x ππππ--==++⎰⎰,23422(sin cos )P x x x dx ππ-=-⎰,则有 ( )(A) N P M << (B) M P N << (C) N M P << (D) P M N <<三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)(1) 设()y f x y =+,其中f 具有二阶导数,且其一阶导数不等于1,求22d ydx.(2) 计算3142(1)x x dx -⎰.(3) 计算2lim tan ()4nn nπ→∞+.(4) 计算sin 22sin dxx x+⎰.(5) 如图,设曲线方程为212y x =+,梯形OABC 的面积为D ,曲边梯形OABC 的面积为1D ,点A 的坐标为(,0)a ,0a >,证明：3D <.四、(本题满分9分)设当0x >时,方程211kx x+=有且仅有一个解,求k 的取值范围.五、(本题满分9分)设324x y x+=, (1) 求函数的增减区间及极值； (2) 求函数图像的凹凸区间及拐点； (3) 求其渐近线； (4) 作出其图形.六、(本题满分9分)求微分方程2sin y a y x ''+=的通解,其中常数0a >.七、(本题满分9分)设()f x 在[0,1]上连续且递减,证明：当01λ<<时,1()()f x dx f x dx λλ≥⎰⎰.八、(本题满分9分)求曲线23|1|y x =--与x 轴围成的封闭图形绕直线3y =旋转所得的旋转体体积.1994年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】2-【解析】2sin 21ax x e x+-在0x ≠时是初等函数,因而连续；要使()f x 在(,)-∞+∞上连续,()f x 在0x =处也连续,这样必有0lim ()(0)x f x f →=.由极限的四则混合运算法则和等价无穷小,0x →时,sin xx ；1x e x -.2200sin 21sin 21lim lim()ax ax x x x e x e x x x→→+--=+ 0022limlim 22x x x axa a x x→→=+=+=,从而有2a =-. (2)【答案】(1)(65)t t t++【解析】dy dy dt dy dx dtdt dx dt dx =⋅=2232352111t t y t t t t x t'+===++'-+,()65(1)(65)111x txx t y t t t y x t t''+++''==='-+. 【相关知识点】复合函数求导法则：如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy dudx du dx=⋅. (3)【答案】3sin 3(cos3)xf x -【解析】原式(cos3)(cos3)(cos3)(sin3)33sin3(cos3)f x x f x xxf x '=⋅=⋅-⋅=-. 【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.(4)【答案】221(1)2x x e C -+,其中C 为任意常数【解析】本题利用不定积分的分部积分法求解.显然是2x e 先进入积分号,原式22222211()()22x x x x d e x e e d x ⎡⎤==-⎣⎦⎰⎰ 221(1)2x x e C =-+ 其中C 为任意常数. 注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验.【相关知识点】分部积分公式：假定()u u x =与()v v x =均具有连续的导函数,则,uv dx uv u vdx ''=-⎰⎰ 或者 .udv uv vdu =-⎰⎰(5)【答案】4(4)x y Cx -⋅=,C 为任意常数【解析】这是可分离变量的方程. 分离变量得0(4)dx dyx x y+=-,两项分别对x 和对y 积分得到114ln ln ,4x y C x-+= 化简有44x y C x-⋅=,即 4(4)x y Cx -⋅=,C 为任意常数.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(A)【解析】方法1：将极限中的分子用泰勒—皮亚诺公式展开得2222ln(1)()(())()2x x ax bx x o x ax bx +-+=-+-+221(1)()()2a xb x o x =--++,由假设,应该有101()22a b -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩,故由此51,2a b ==-,故应选(A).方法2：用洛必达法则.220ln(1)()lim x x ax bx x→+-+为“00”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,所以,0121lim 2x a bx x x→--+=原式左边 20(1)(2)2lim 2(1)x a a b x bx x x →--+-=+(若10a -≠,则原式极限为∞,必有10a -=)122,2b +=-= 51,2a b ⇒==-. 故应选(A).(2)【答案】(B)【解析】方法1：因32(),(1)()3f x x x f x =≤⇒左可导,312(1)23x f x --='⎛⎫'== ⎪⎝⎭.又211lim ()lim 1(1)()x x f x x f f x ++→→==≠⇒不右连续()f x ⇒在1x =的右导数不存在, 故选(B). 方法2：2(1)3f =,而 211lim ()lim 1(1)x x f x x f ++→→==≠, 所以,()f x 在1x =点不连续,故不可导,但左,右导数可能存在,这只需要用左,右导数定义进行验证.2113112()(1)3(1)lim lim ,1122()(1)33(1)lim lim 2.11x x x x x f x f f x x x f x f f x x ++--+→→-→→--'===+∞----'===--故()f x 在1x =点左导数存在,但右导数不存在,故应选(B). (3)【答案】(C)【解析】由于()f x 满足微分方程sin 0xy y e '''+-=,当0x x =时,有0sin 00()()x f x f x e '''+=.又由0()0f x '=,有0sin 0()0x f x e ''=>,因而点0x 是()f x 的极小值点,应选(C).(4)【答案】(B)【解析】用换元法求极限,令1t x=,则当x →±∞时,0t →,且有 2201lim lim arctan ,(1)(12)4t x t t t y e t t π→±∞→++==-+ 0lim x y →=-∞,所以y 轴和4y π=是曲线的两条渐近线.而1x =和2x =-并非曲线的渐近线,因当1x =和2x =-时,y 分别趋向于2e π±和 142eπ±.故应选(B).【相关知识点】渐近线的相关知识：水平渐近线：若有lim ()x f x a →∞=,则y a =为水平渐近线；铅直渐近线：若有lim ()x af x →=∞,则x a =为铅直渐近线；斜渐近线：若有()lim,lim[()]x x f x a b f x ax x→∞→∞==-存在且不为∞,则y ax b =+为斜渐近线.(5)【答案】(D)【解析】对于关于原点对称的区间上的积分,应该关注被积函数的奇偶性.由对称区间上奇偶函数积分的性质,被积函数是奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为0,故0M =,且由定积分的性质,如果在区间[],a b 上,被积函数()0f x ≥,则()0 ()baf x dx a b ≥<⎰.所以 4202cos 0N xdx π=>⎰, 4202cos 0P xdx N π=-=-<⎰.因而 P M N <<,应选(D).三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)(1)【解析】方程两边对x 求导,得(1)y f y '''=⋅+,两边再求导,得2(1)y f y f y ''''''''=⋅++⋅,由于一阶导数不等于1,所以10f '-≠. 以1f y f ''='-代入并解出y '',得 3(1)f y f ''''='-. 【相关知识点】复合函数求导法则：如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy dudx du dx=⋅. (2)【解析】用换元积分法.观察被积函数的特点,可考虑引入三角函数化简.令2sin x t =,则2cos xdx tdt =.当0x =时,0t =；当1x =时,2t π=,故原式4201cos 2tdt π=⎰1313()242232ππ=⋅⋅⋅=. 【相关知识点】定积分关于单三角函数的积分公式：2200(1)!!, !!2sin cos (1)!!, !!n n n n n n I xdx xdx n n n πππ-⎧⎪⎪===⎨-⎪⎪⎩⎰⎰为偶数为奇数，.注：对于双阶乘!!n 的定义如下:当n 为奇数时,!!13n n =⨯⨯⨯；当n 为偶数时,!!24n n =⨯⨯⨯.(3)【解析】方法1：用三角函数公式将2tan()4n π+展开,再化为重要极限1lim(1)x x e x→∞+=的形式,利用等价无穷小因子替换,即0x →时,tan x x ,从而求出极限.221tan 2tan 2lim tan ()lim lim 12241tan 1tan n nn n n n n n n n n π→∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥+==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ 221tan4tan 124tan22212tan 1tanlim221tan422tan lim 121tan n n n n n n nnnn n ee n →∞-⋅⋅-⋅-→∞⎡⎤⎢⎥=+==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.方法2：先取自然对数,求出极限后再用恒等式 lim ln ()lim ()x f x x e f x →∞→∞=.因为221tan2tan2limln tan ()lim ln lim ln 12241tan1tan n n n n n n n n n n n π→∞→∞→∞⎡⎤+⎢⎥+==+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ 222tan tan 4lim lim 42221tan 1tann n n n n n n n →∞→∞⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥--⎣⎦, 于是 2ln tan ()442lim tan ()lim 4n nn n n e e n ππ+→∞→∞+==.(4)【解析】方法1：利用三角函数的二倍角公式sin 22sin cos ααα=⋅,并利用换元积分,结合拆项法求积分,得sin 22sin 2sin (cos 1)dx dxx x x x =++⎰⎰22sin 11cos 2sin (cos 1)2(1)(1)xdx x u du x x u u ==-+-+⎰⎰(22sin 1cos x x =-)221(1)(1)1112()4(1)(1)811(1)u u du du u u u u u ++-=-=-++-+-++⎰⎰12ln |1|ln |1|8(1)u u C u ⎡⎤=--+++⎢⎥+⎣⎦()()12ln 1cos ln 1cos 81cos x x C x ⎡⎤=--+++⎢⎥+⎣⎦, 其中C 为任意常数.方法2：换元cos x u =后,有原式22sin 12sin (cos 1)2sin (cos 1)2(1)(1)dx xdx dux x x x u u ===-++-+⎰⎰⎰.用待定系数法将被积函数分解:221(1)(1)11(1)A B Du u u u u =++-+-++ 22()(2)()(1)(1)A B u A D u A B D u u -+-+++=-+, 01120,421A B A D A B D A B D -=⎧⎪⇒-=⇒===⎨⎪++=⎩.于是,2111212()ln 1ln 1811(1)81du u u C u u u u ⎡⎤-++=--+++⎢⎥-+++⎣⎦⎰原式＝ ()()12ln 1cos ln 1cos 81cos x x C x ⎡⎤=--+++⎢⎥+⎣⎦. (5)【解析】对梯形OABC 的面积为D ,可用梯形面积公式()2ha b +,其中h 为梯形的高,a 、b 分别为上底和下底长度.对于曲边梯形OABC 的面积则用积分式求解.222231011()(1)22,22111(32)().2326a a a a D a a a D x dx a a +++==+=+=+=⎰ 由于 22312a a +<+,所以221132a a +<+,由此, 2222221(1)3(1)31323(32)322226a a D a a a a D a a +++===<+++.四、(本题满分9分) 【解析】方程211kx x +=的解即为32()1x kx x ϕ=-+的零点. 要证明方程211kx x+=有且仅有一个解,只需要证明()x ϕ是单调函数,且它的函数图像仅穿过x 轴一次就可以了.以下是证明过程.对()x ϕ求一阶导数,有2()32(32)x kx x x kx ϕ'=-=-.当0k ≤时,()0x ϕ'<,()x ϕ单调减少,(0)10,lim (),x x ϕϕ→+∞=>=-∞()x ϕ在0x >有唯一的零点；当0k >时,()x ϕ在2(0,)3k 单调减少,在2(,)3k +∞单调增加,224()1327k kϕ=-,而(0)10,lim (),x x ϕϕ→+∞=>=+∞当且仅当最小值2()03k ϕ=时,()x ϕ才在0x >有唯一零点,这时应该有k =总之,当0k ≤或k =,原方程有唯一实根.五、(本题满分9分)【解析】求函数的增减区间一般先求出函数的不连续点和驻点,根据这些点将函数的定义域分成不同区间,然后根据y '在此区间上的正负来判断该区间上函数的增减性以及极值点；根据y ''的正负判定区间的凹凸性；求渐近线时除判定是否存在水平或垂直渐近线外,还要注意有没有斜渐近线.作函数图形时要能综合(1)、(2)、(3)所给出的函数属性,尤其注意渐近线、拐点、极值点和零点.2344824,1,0y x y y x x x'''=+=-=>. 无定义点：0x =,驻点：2x =.函数在(,0)(2,)-∞+∞单调增加,在(0,2)单调减少,在(,0)(0,)-∞+∞凹,在2x =取极小值23x y ==；由于 0lim ,x y →=∞所以0x =为垂直渐近线.由于 24lim1,lim()lim 0,x x x y y x xx →∞→∞→∞=-==所以y x =是斜渐近线.粗略草图如下：【相关知识点】渐近线的相关知识：水平渐近线：若有lim ()x f x a →∞=,则y a =为水平渐近线；铅直渐近线：若有lim ()x af x →=∞,则x a =为铅直渐近线；斜渐近线：若有()lim,lim[()]x x f x a b f x ax x→∞→∞==-存在且不为∞,则y ax b =+为斜渐近线.六、(本题满分9分)【解析】所给方程为常系数的二阶线性非齐次方程,对应的齐次方程的特征方程220r a +=有两个根为12,r r ai =±.当1a ≠时,非齐次方程的特解应设为 sin cos Y A x B x =+.代入方程可以确定 221sin ,0,11xA B Y a a ===--. 当1a =时,应设 sin cos Y xA x xB x =+,代入方程可以确定 10,,cos 22xA B Y x ==-=-.由此,所求的通解为当1a ≠时,122sin cos sin 1xy c ax c ax a =++-；当1a =时,12cos sin cos 2xy c x c x x =+-. 【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设*()y x 是二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解.()Y x 是与之对应的齐次方程 ()()0y P x y Q x y '''++=的通解,则*()()y Y x y x =+是非齐次方程的通解.2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解()Y x ,可用特征方程法求解：即()()0y P x y Q x y '''++=中的()P x 、()Q x 均是常数,方程变为0y py qy '''++=.其特征方程写为20r pr q ++=,在复数域内解出两个特征根12,r r ；分三种情况：(1) 两个不相等的实数根12,r r ,则通解为1212;rx r x y C eC e =+(2) 两个相等的实数根12r r =,则通解为()112;rxy C C x e =+(3) 一对共轭复根1,2r i αβ=±,则通解为()12cos sin .xy e C x C x αββ=+其中12,C C 为常数.3.对于求解二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解*()y x ,可用待定系数法,有结论如下：如果()(),x m f x P x e λ=则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*()()k xm y x x Q x e λ=的特解,其中()m Q x 是与()m P x 相同次数的多项式,而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果()[()cos ()sin ]xl n f x e P x x P x x λωω=+,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的特解可设为*(1)(2)[()cos ()sin ]k x m m y x e R x x R x x λωω=+,其中(1)()m R x 与(2)()m R x 是m 次多项式,{}max ,m l n =,而k 按i λω+(或i λω-)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.七、(本题满分9分)【解析】方法一：用积分比较定理.首先需要统一积分区间：换元,令x t λ=,则 1()()f x dx f t dt λλλ=⎰⎰,由此[]11()()()()f x dx f x dx f x f x dx λλλλ-=-⎰⎰⎰.因为()f x 递减而x x λ<,所以()()f x f x λ≥,上式的右端大于零,问题得证. 方法二：用积分中值定理.为分清两中值的大小,需要分别在(0,),(,1)λλ两区间内用积分中值定理：11()()()f x dx f x dx f x dx λλ=+⎰⎰⎰,由此,11()()(1)()()f x dx f x dx f x dx f x dx λλλλλλ-=--⎰⎰⎰⎰12(1)()(1)()f f λλξλλξ=-⋅-⋅-[]12(1)()()f f λλξξ=-⋅-,其中,1201ξλξ<<<<；又因()f x 递减,12()()f f ξξ≥.上式的右端大于零,问题得证. 方法三：作为函数不等式来证明.令1()()()f x dx f x dx λϕλλ=-⎰⎰, [0,1]λ∈.则 1()()()f f x dx ϕλλ'=-⎰.由积分中值定理,有()()()f f ϕλλξ'=-,其中(0,1)ξ∈为常数.由()f λ递减,λξ=为唯一驻点,且()ϕλ'在λξ=由正变负,λξ=是()ϕλ的极大值点也是最大值点；由此,最小点必为端点0λ=或1.从而有()(0)(1)0,0 1.ϕλϕϕλ≥==<<命题得证.【相关知识点】积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.八、(本题满分9分)【解析】如右图所示,曲线左右对称, 与x 轴的交点是(2,0),(2,0)-. 只计算右半部分即可.作垂直分割, 相应于[],x x dx +的小竖条的体积微元：222223(3)3(1)dV y dx x dx π⎡⎤⎡⎤=--=--⎣⎦⎣⎦24(82),02x x dx x π=+-≤≤,于是 22404482(82)15V x x dx ππ=+-=⎰.y =。