椭圆双曲线知识点总结

椭圆知识点
【知识点1】椭圆的概念: 在平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．
当动点设为M 时，椭圆即为点集P ={}12|2M MF MF a += 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；
若)(2121
F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形。

【知识点2】椭圆的标准方程
焦点在x 轴上椭圆的标准方程: ()22
2210x y a b a b += >>，焦点坐标为（c ，0)，（-c ，0)
焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为：()22
2210x y a b b a
+= >>焦点坐标为（0，c ，）(o ，-c )
【知识点3】椭圆的几何性质:
规律:
(1)椭圆焦点位置与x 2，y 2系数间的关系：焦点在分母大的那个轴上.
(2)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .
(3)在椭圆中，离心率
2
222
2a b a a c a c e -===(4)椭圆的离心率e 越接近１椭圆越扁；e 越接近于０，椭圆就接近于圆； (5)离心率公式：在21PF F ∆中，α=∠21F PF ，β=∠12F PF ，()β
αβαsin sin sin ++=e
二、椭圆其他结论
1、若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y
a b
+=
若已知切线斜率K ，切线方程为222b k a kx y +±=
2、若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是
00221x x y y
a b
+= 3、椭圆22
221x y a b
+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点θ=∠21PF F ，则椭圆的焦点
角形的面积为2
tan
2
21θ
b S PF F =∆
4、以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5、过焦点的弦中，通径(过焦点且与焦点所在坐标轴垂直的弦)最短a
b 2
2
6、过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF 。

7、AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2
2OM AB b k k a
⋅=-，
即0
20
2y a x b K AB
-=。

8、若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+
9、若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y
x y a b a b
+=+
10、若P 为短轴顶点，则θ=∠21PF F 最大
【知识点4】椭圆中的焦点三角形:
定 义:∣PF 1∣+∣PF 2∣＝2a ∣F 1F 2∣＝2c
余弦定理:∣F 1F 2∣2=∣PF 1∣2+∣PF 2∣2-2∣PF 1∣∣PF 2∣cosθ(∠F 1PF 2=θ)
面积公式:在椭圆122
22=+b
y a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点，
θ=∠21PF F ，则2
tan
2
21θ
b S PF F =∆
【知识点5】点(x 0,y 0)与椭圆22
221x y a b
+=(a >b >0)的位置关系:
点P 在椭圆上⇔22
00221x y a b
+=
点P 在椭圆内部⇔2200221x y a b +< 点P 在椭圆外部⇔22
00221x y a b
+>
【知识点6】直线与椭圆位置关系的判断：
① 直线斜率存在时22
1
y kx b
mx ny =+⎧⎨+=⎩⇒222()210m k n x kbnx b +++-= 直线与椭圆相交0>∆⇔ 直线与椭圆相切0=∆⇔ 直线与椭圆相离0<∆⇔
② 直线斜率不存在时22221
x m x y a
b =⎧⎪
⎨+=⎪⎩判断y 有几个解
例1.
已知：椭圆19
162
2=+y x 与直线l 交于A 、B 两点，A 、B 中点为()1,1M ，求直线l 的方程 (点差法：025169=-+y x )
例2.
求过点()
3,2且与椭圆13522=+y x 有相同焦点的椭圆方程 (16
82
2=+y x ) 设：所求椭圆方程为
13522=+++k
y k x 例3.
求过点()
22,2且与椭圆18422=+y x 有相同离心率的椭圆方程 (116822=+y x 、120
102
2=+x y ) 设：所求椭圆方程为
18422=+k
y k x 例4.
已知椭圆1522=+m y x 的离心率510=e ，求m 的值 (3
25
=m 、3=m )
例5.
若椭圆13
22
2=+y x 上存在A 、B 两点，关于直线 m x y +=4，对称。

求m 的取值范围。

双曲线知识点
【知识点1】双曲线的概念:
在平面内到两定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫双曲线．这两定点叫做椭圆
的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．
当动点设为M 时，椭圆即为点集P ={}
12|2M MF MF a -= 注意：若)(2121F F MF MF =-，则动点P 的轨迹为两条射线；
若)(2121F F MF MF >-，则动点P 的轨迹无图形。

焦点在x 轴上双曲线的标准方程: ()22
2210,0x y a b a b -= >>，焦点坐标为（c ，0)，（-c ，0)
焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为：()22
2210,0y x a b b a
-= >>焦点坐标为（0，c ，）(o ，-c )
规律:
2.区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2. (2)双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e ∈(0,1)．
(3)在双曲线中，离心率c e a ====(4)双曲线的离心率e 越大,开口越阔.
【知识点4】双曲线中的焦点三角形:
定 义:∣PF 1∣-∣PF 2∣＝±2a ∣F 1F 2∣＝2c
余弦定理:∣F 1F 2∣2=∣PF 1∣2+∣PF 2∣2-2∣PF 1∣∣PF 2∣cosθ(∠F 1PF 2=θ)
面积公式:在双曲线122
22=+b
y a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是双曲线上任意一点，
θ=∠21PF F ，则
122tan
2
F PF b S θ
∆=
【知识点5】直线与双曲线的位置关系的判断：
设直线)0(:≠+=m m kx y l ，双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 联立解得
（1）若02
2
2
=-k a b 即a b
k ±
=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； （2）若02
22≠-k a b 即a
b k ±≠时，))((4)2(222222222b a m a k a b mk a -----=∆
①0>∆⇒直线与双曲线相交，有两个交点； ②0=∆⇒直线与双曲线相切，有一个交点； ③0<∆⇒直线与双曲线相离，无交点；
:
│AB │12||x x -==
12AB y y ==-= （其中k 为直线斜率） （点差法）：遇到弦中点，两式减一减。

若要求弦长，韦达来帮忙。