高考数学重要知识点：韦达定理

认识韦达定理：什么是韦达定理？如何应用？

**韦达定理的认识与应用**一、韦达定理的定义与来源韦达定理，也称为韦达公式，是一元二次方程的重要定理之一，由法国数学家弗朗索瓦·韦达在1615年提出。

韦达定理指出，对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），其两个根x₁和x₂满足以下关系：1. x₁ + x₂ = -b/a2. x₁ × x₂ = c/a韦达定理不仅是一元二次方程根与系数之间关系的体现，更是代数学中的基本定理之一，具有广泛的应用价值。

二、韦达定理的详细阐述1. 根与系数的关系韦达定理最核心的内容是一元二次方程的根与系数之间的关系。

对于一个标准形式的一元二次方程ax²+bx+c=0，其两个根x₁和x₂与系数a、b、c之间存在确定的数学关系。

具体来说，就是x₁和x₂的和等于-b除以a，x₁和x₂的乘积等于c除以a。

2. 定理的证明韦达定理的证明主要依赖于一元二次方程的求根公式。

对于一元二次方程ax²+bx+c=0，其求根公式为x=(−b±√(b²-4ac))/(2a)。

通过这个求根公式，我们可以直接计算出x₁和x₂的值，然后验证它们与系数a、b、c之间的关系是否满足韦达定理。

三、韦达定理的应用场景1. 解一元二次方程韦达定理最直接的应用就是解一元二次方程。

通过韦达定理，我们可以根据一元二次方程的系数直接得出其根的和与积，这在某些情况下比使用求根公式更加简便。

2. 判断根的情况通过韦达定理，我们还可以判断一元二次方程根的情况。

例如，如果系数b²-4ac大于0，则一元二次方程有两个不相等的实数根；如果b²-4ac等于0，则一元二次方程有两个相等的实数根；如果b²-4ac小于0，则一元二次方程没有实数根。

3. 解决其他问题除了解决一元二次方程本身的问题外，韦达定理还可以应用于其他数学问题和实际问题中。

例如，在代数式求值、方程组的求解、几何问题的计算等方面都可以看到韦达定理的应用。

韦达定理——精选推荐

则两根与系数关系（韦达定理）1212b x x ac x x a ì+=-ïïíï·=ïî。

推导过程：由求根公式可得2142b b ac x a -+-=，2242b b acx a ---=。

1、2212442222b b ac b b ac b bx x a a a a-+-----+=+==-；2）1211x x +；（3）2112x xx x +；（4）12x x -。

一元二次方程的根与系数关系一、一元二次方程的根与系数关系（一、一元二次方程的根与系数关系（韦达定理韦达定理）如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=¹的两个的两个实数实数根分别是12,x x 。

、22222122244()(4)42244b b ac b b ac b b ac ac cx x a a a aa-+-------·=·===。

二、一元二次方程的根与系数关系定理的主要应用：应用条件：240b ac D =-³。

1、已知一元二次方程的一个根，求另一个根或、已知一元二次方程的一个根，求另一个根或字母字母系数。

系数。

例1、已知关于x 的方程226250x x m m -+-+=的一个根是2，求方程的另一个根及m 的值。

的值。

2、不、不解方程解方程，求关于一元二次方程两根的某些代数式的值。

，求关于一元二次方程两根的某些代数式的值。

例2、已知方程22310x x +-=的两根是12,x x ，利用根与系数的关系求下列各式的值：，利用根与系数的关系求下列各式的值：（1）2212x x +；（2）求作一个一元二次方程，使它的两根分别是122-+和122--；（23、已知、已知一元二次方程一元二次方程的两个根，求这个方程。

的两个根，求这个方程。

例3、解下列各题：、解下列各题：（1）求作一个以2的相反数和2的倒数为根的一元二次方程。

魅力无穷的韦达定理——巧用韦达定理解决高中数学的实际问题

魅力无穷的韦达定理——巧用韦达定理解决高中数学的实际问题湖北省竹溪县第一高级中学442300韦达定理是法国数学家韦达最早发现的关于代数方程的根与系数之间的一种关系。

中学阶段，我们学一元二次方程中根和系数关系的重要定理。

它第一次出现在人教版九年级数学上册二十一章——《2.4一元二次方程的根与系数的关系》一节中，为选学内容。

在实数范围内应用韦达定理，必须注意判别式0，a0这两个隐含条件是否成立。

但纵观高中阶段的考试考卷，不难发现，关于韦达定理的题目屡屡出现，包括代数和平面解析几何两个方面，而且我们认识到巧用韦达定理解题的强大作用，也体会到韦达定理的巧妙之处。

下面从两个方面介绍巧用韦达定理解决高中数学的实际问题。

一、在代数方面的应用韦达定理用得最多的就是已知一元二次方程，求根之间的关系；或者由根之间的关系，构建一元二次方程，据此解题。

在高中阶段，用的地方很多，下面从数列、三角函数、解三角形和有关证明几个方面进行说明。

1.已知一元二次方程，求根（或根之间的关系）。

例1：等比数列a n中，a1和a12是方程2x25x10的两个根，求a4.a9的值。

剖析：由于等差数列的性质和等差数列的性质在与形式上正好与韦达定理有相似之处，故有的题会与之结合，这也体现了该定理在解答数列相关题时的巧妙之处。

2.已知一元二次方程的两根，构建一元二次方程。

剖剖析：次题展示了韦达定理在解三角函数中的应用。

此处sin cos与sin.cos也与韦达定理在形式上一致，故可以把它们看做整体构建为一个一元二次方程，便于求解。

在两角和差的正切公式处，tan tan和tan tan也满足韦达定理的形式，所以此处也可以将两者巧妙地结合在一起考查。

剖析：因余弦定理含有两边平方和的关系，将余弦定理转换后与韦达定理有联系之处，这就启发我们构建关于未知数的一元二次方程，从而求得a、b、c的值。

此题展示了韦达定理在解三角形时，与余弦定理的巧妙结合。

剖析：该题证明过程中，也巧妙的运用了构建一元二次方程的方法，结合判别式来进行求解证明。

高中数学韦达定理公式

高中数学韦达定理公式高中数学韦达定理公式韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。

下面是小编为大家带来的高中数学韦达定理公式，欢迎阅读。

韦达定理公式：一元二次方程ax^2+bx+c (a不为0)中设两个根为x和y则x+y=-b/axy=c/a韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。

一般的，对一个n次方程∑AiX^i=0它的根记作X1,X2 (X)我们有∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)…∏Xi=(-1)^n*A(0)/A(n)其中∑是求和，∏是求积。

如果一元二次方程在复数集中的根是，那么法国数学家韦达最早发现代数方程的.根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。

历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。

由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程在复数集中必有根。

因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：其中是该方程的个根。

两端比较系数即得韦达定理。

韦达定理在方程论中有着广泛的应用。

定理的证明设x_1，x_2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个解，且不妨令x_1 ge x_2。

根据求根公式，有x_1=frac{-b + sqrt {b^2-4ac}}，x_2=frac{-b - sqrt {b^2-4ac}} 所以x_1+x_2=frac{-b + sqrt {b^2-4ac} + left (-b ight) - sqrt {b^2-4ac}} =-frac，x_1x_2=frac{ left (-b + sqrt {b^2-4ac} ight) left (-b - sqrt {b^2-4ac} ight)}{left (2a ight)^2} =frac。

韦达定理的数学运用,这类学生很容易搞错

韦达定理的数学运用,这类学生很容易搞错韦达定理是一种基本的数学定理，它在解决三角形问题中有着广泛的应用。

在学习韦达定理时，学生往往会遇到一些困难，容易搞错。

本文将介绍韦达定理的数学运用，并提供一些解决问题的技巧和方法。

一、韦达定理的定义韦达定理是指在三角形ABC中，如果从顶点A向边BC引一条平分线AD，则有：\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}其中，AB、AC、BD、DC分别表示三角形ABC中的边长和平分线AD所分割的边长。

二、韦达定理的数学运用1. 求三角形的内心内心是三角形三条角平分线的交点，也是三角形内接圆的圆心。

利用韦达定理可以求出三角形的内心坐标。

假设三角形ABC的三个顶点坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，则三角形内心的坐标为：x=\frac{ax1+bx2+cx3}{a+b+c}y=\frac{ay1+by2+cy3}{a+b+c}其中，a、b、c分别表示三角形BC、AC、AB的边长。

2. 求三角形的外心外心是三角形三条垂直平分线的交点，也是三角形外接圆的圆心。

利用韦达定理可以求出三角形的外心坐标。

假设三角形ABC的三个顶点坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，则三角形外心的坐标为：x=\frac{a(x1^2+y1^2)+b(x2^2+y2^2)+c(x3^2+y3^2)}{2S}y=\frac{a(x1^2+y1^2)+b(x2^2+y2^2)+c(x3^2+y3^2)}{2S}其中，a、b、c分别表示三角形BC、AC、AB的边长，S表示三角形的面积。

3. 求三角形的垂心垂心是三角形三条高线的交点。

利用韦达定理可以求出三角形的垂心坐标。

假设三角形ABC的三个顶点坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，则三角形垂心的坐标为：x=\frac{(x1+x2+x3)(a^2+b^2-c^2)}{2(a^2+b^2+c^2)-(x1^2+x2^2+x3 ^2)}y=\frac{(y1+y2+y3)(a^2+b^2-c^2)}{2(a^2+b^2+c^2)-(y1^2+y2^2+y3 ^2)}其中，a、b、c分别表示三角形BC、AC、AB的边长。

韦达定理——精选推荐

韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。

法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。

历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。

韦达定理在方程论中有着广泛的应用。

韦达定理介绍韦达定理英文名称：Viete theorem韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。

这里讲一元二次方程两根之间的关系。

一元二次方程aX^2+bX+C=0﹙a≠0﹚中，两根X1,X2有如下关系：X1+ X2=-b/a，X1·X2=c/a.韦达简介韦达他1540年生于法国的普瓦图。

1603年12月13日卒于巴黎。

年轻时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。

韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。

韦达在欧洲被尊称为“现代数学之父”。

韦达最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展。

韦达用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法。

他创设了大量的代数符号，用字母代替未知数，系统阐述并改良了三、四次方程的解法，指出了根与系数之间的关系。

给出三次方程不可约情形的三角解法。

著有《分析方法入门》、《论方程的识别与订正》等多部著作。

韦达从事数学研究只是出于爱好，然而他却完成了代数和三角学方面的巨著。

他的《应用于三角形的数学定律》（1579年）是韦达最早的数学专著之一，可能是西欧第一部论述6种三角形函数解平面和球面三角形方法的系统著作。

他被称为现代代数符号之父。

韦达还专门写了一篇论文"截角术"，初步讨论了正弦，余弦，正切弦的一般公式，首次把代数变换应用到三角学中。

他考虑含有倍角的方程，具体给出了将COS(nx)表示成COS(x)的函数并给出当n≤11等于任意正整数的倍角表达式了。

一元二次方程韦达定理的内容

一元二次方程韦达定理的内容
韦达定理，又称二次方程求根公式，是解一元二次方程的重要工具。

它能帮助我们快速找到方程的根，并且在实际问题中有广泛的应用。

本文将介绍一元二次方程韦达定理的基本概念和应用。

一元二次方程的一般形式为：ax²+bx+c=0，其中a、b、c为常数，且a不等于0。

我们的目标是求出方程的根，即满足方程的x 值。

根据韦达定理，一元二次方程的根可以通过以下公式求得：
x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)
公式中的±表示两个根的取值情况，√表示平方根。

当b²-4ac大于0时，方程有两个不相等的实数根；当b²-4ac等于0时，方程有两个相等的实数根；当b²-4ac小于0时，方程没有实数根，但可以有复数根。

通过韦达定理，我们可以解决许多与一元二次方程相关的问题。

例如，可以利用韦达定理求解物理学中的抛物线运动问题，或者计算图形的顶点、焦点等重要参数。

然而，在使用韦达定理时，我们需要注意以下几点。

首先，要确保方程是一元二次方程，即次数为2，且系数a不等于0。

其次，要仔细计算方程中的系数，确保不出现计算错误。

最后，要注意方程是否有实数根或复数根，在实际问题中需要对结果进行合理的解释和应用。

总之，一元二次方程韦达定理是解决二次方程的重要方法，具有广泛的应用价值。

通过理解和掌握韦达定理，我们能够更加轻松地解决与一元二次方程相关的问题，并在实际应用中发挥其作用。

高次韦达定理

高次韦达定理高次韦达定理的内容是，不可以用“公比”来代替“ 1”，韦达定理说明的是关于两个集合间的关系。

这和我们平时说的“在公式中，只要符合条件的就是等价条件，没有的不是等价条件”这个概念有所不同，大家对这些概念不要搞混了。

一、韦达定理，英文为“ a rate theorem”，其表示任何一个不超过两个集合，且他们之间的元素关系，都可以由下面这组等价条件表示出来：二、韦达定理与基本韦达定理的关系。

1。

因为，两个集合具有等价关系，如果存在一个集合A，使得如果对集合B的每一个元素X，若存在集合C，使得X，但是，对集合A的每一个元素Y，不一定存在集合C，使得Y，这样，只要对集合B的元素X，存在集合C，使得X，那么，对集合A的每一个元素Y，必定也存在集合C，使得Y。

3。

因为，任何一个集合与另外一个集合都是等价的，所以，存在一个集合A，使得对集合B的元素X，存在集合C，使得X，如果存在另一个集合C，使得Y，则必须存在一个集合D，使得X，如果对集合B的元素X，存在集合C，使得X，但是，对集合C的每一个元素Y，并不一定存在集合D，使得Y，这样，只要对集合B的元素X，存在集合C，使得X，则一定存在集合D，使得Y。

4。

韦达定理说明的是两个集合之间的关系，而基本韦达定理说明的是两个集合的相互包含关系，如果A、 B互相包含，则A必定包含B，反之亦然。

5。

因为集合A包含集合B，所以，只要集合B包含集合C，则必然存在集合D，使得X，而这个集合的最小者，就是集合B。

6。

对于一个非空的集合B，假设一个元素X存在于集合B中，那么，我们把元素X称为X集合的基数。

7。

在集合B中，每一个元素都可以写成基数值加上非零元素的个数。

8。

如果集合B不能由集合A或集合C的一个元素构成，则必须存在一个非基数，使得集合B可以构成集合A或集合C 的一个元素。

9。

不是集合A或集合C的元素的集合是基数。

3。

因为，任何一个集合与另外一个集合都是等价的，所以，存在一个集合A，使得对集合B的元素X，存在集合C，使得X，如果存在另一个集合C，使得Y，则必须存在一个集合D，使得X，如果对集合B的元素X，存在集合C，使得X，但是，对集合C的每一个元素Y，并不一定存在集合D，使得Y，这样，只要对集合B的元素X，存在集合C，使得X，则一定存在集合D，使得Y。

韦达定理7个公式

韦达定理7个公式韦达定理是高等数学中的重要概念之一，是描述多个向量之间关系的一种方法。

在三维空间中，韦达定理可以表示为：若三个向量a,b,c满足a·b×c=0，则这三个向量共面。

其中，a·b表示向量a与向量b的点积，a×b表示向量a与向量b 的叉积。

在韦达定理的基础上，可以推导出一系列与向量相关的公式。

以下是七个基于韦达定理的公式。

公式一：点积的分布律若a,b,c为任意三个向量，则(a+b)·c=a·c+b·c证明：(a+b)·c=(a+b)·c=a·c+b·c公式二：叉积的分布律若a,b,c为任意三个向量，则a×(b+c)=a×b+a×c证明：左边等于(a×(b+c))=a·(b+c)×(b+c)=(a·b+a·c)×(b+c)=a·b×b+a·b×c+a ·c×b+a·c×c=a×b+a×c公式三：叉积的差的负若a,b为任意两个向量，则a×(b-c)=a×b-a×c证明：左边等于(a×(b-c))=a·(b-c)×(b-c)=(a·b-a·c)×(b-c)=(a·b-a·c)×b+(a·b-a·c)×c=a×b-a×c公式四：叉积的反交换若a,b为任意两个向量，则a×b=-b×a证明：a×b=a·b×b=-b·a×b=-b×a公式五：叉积与点积的混合积若a,b,c为任意三个向量，则a×(b×c)=(a·c)b-(a·b)c证明：右边等于(a·c)b-(a·b)c=(a·b)c-(a·c)b+a·b×c=(a·c-b·c)a+a·b×c=a×(b×c)公式六：叉积与向量长度的关系若a, b为任意两个向量，则，a×b， = ，a，b，sinθ其中，θ为a、b之间的夹角。

韦达定理经典例题及解题过程

韦达定理经典例题及解题过程韦达定理经典例题及解题过程一、概述韦达定理是初中数学中的一个重要定理，它是数学中的基本原理之一，广泛应用于初中数学和高中数学的相关知识点中。

韦达定理通过等比的概念，可以解决一些复杂的代数方程问题，具有很强的普适性和实用性。

本文将重点介绍韦达定理的相关概念、经典例题及解题过程，希望能让读者对韦达定理有更深入的理解。

二、韦达定理的相关概念1. 韦达定理的基本概念韦达定理是数学上一个重要的定理，它通过等比的概念，解决了关于代数方程的一些问题。

韦达定理的基本说法是：对于一元三次方程ax³+bx²+cx+d=0，如果它有三个不等实根，那么这三个根分别是p、q、r，那么有以下等式成立：p+q+r=-b/apq+qr+rp=c/apqr=-d/a2. 韦达定理的证明韦达定理的证明可以通过多种方式来完成，其中一种比较常见的方法是使用代数方程的解法和数学归纳法。

我们可以通过对一元三次方程的通解进行分析，最终得到韦达定理的结论。

这个过程需要一定的代数方程知识和数学推理能力。

三、经典例题及解题过程为了更好地理解韦达定理，我们将通过几个经典例题来演示解题过程。

例题一：已知一元三次方程x³-6x²+11x-6=0的根为p、q、r，求p+q+2r的值。

解题过程：根据韦达定理，我们可以得到以下等式：p+q+r=6pq+qr+rp=11pqr=6根据题目中的要求，我们需要求p+q+2r的值，所以我们可以先求出p+q+r的值，然后再将r的值替换为2r即可。

通过代数方程的解法，我们可以求得p+q+r=6，再将r替换为2r，得到p+q+2r=6+2r的值。

例题二：已知一元三次方程2x³-7x²+7x-3=0的根为p、q、r，求p²+q²+r²的值。

解题过程：同样地，根据韦达定理我们可以得到以下等式：p+q+r=7/2pq+qr+rp=7/2pqr=3/2题目中要求的是p²+q²+r²的值，我们可以通过(p+q+r)²-2(pq+qr+rp)的公式来求得。

高考数学专题讲解：圆锥曲线韦达定理

高考数学专题讲解：圆锥曲线韦达定理第一部分：韦达定理解法设计【题型一】：已知直线的斜率例题一：已知斜率为1的直线l 与椭圆12:22=+y x C 相交于A 、B 两点。

解法设计：假设：直线l 与y 轴的截距为m 。

根据直线的斜截式方程得到直线l 的方程：m x y +=。

假设：两个交点的坐标。

A 点的坐标为),(11y x ，B 点的坐标为),(22y x 。

联立直线l 的方程和椭圆C 的方程： m x y +=022122222=-+⇒=+y x y xm x y +=代入02222=-+y x 得到：02)2(202)(222222=-+++⇒=-++m mx x x m x x022430224222222=-++⇒=-+++⇒m mx x m mx x x 。

根据韦达定理得到：3421mx x -=+，322221-=⋅m x x 。

A ，B 为直线l 与椭圆C 的两个交点),(11y x A ⇒，),(22y x B 为直线:l m x y +=上的两点m x y +=⇒11，m x y +=22；322342212121mm m m x x m x m x y y =+-=++=+++=+； 2222121221212121)34(322)()()(m mm m m x x m x x m mx mx x x m x m x y y +-⋅+-=+++=+++=+⋅+=⋅3233422343222222222-=+--=+--=m m m m m m m 。

【题型二】：已知直线与y 轴的截距例题二：已知：过点)2,0(的直线l 与双曲线C ：x y 42=相交于A ，B 两点。

解法设计：假设：直线l 的斜率为k ，直线l 过点⇒)2,0(根据直线的斜截式方程的直线l ：2+=kx y 。

假设：两个交点的坐标。

点A 的坐标为),(11y x ，点B 的坐标为),(22y x 。

韦达定理公式介绍及典型例题

韦达定理公式介绍及典型例题韦达定理公式介绍及典型例题韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。

法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,因此,人们把这个关系称为韦达定理。

这里讲一元二次方程两根之间的关系。

一元二次方程aX²+bX+C=0﹙a≠0﹚中,两根X1,X2有如下关系：X1+X2=-b/a ,X1·X2=c/a【定理内容】一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac>0)中,设两个根为x1 ,x2 那么X1+X2= -b/aX1·X2=c/a1/X1+1/X2=X1+X2/X1·X2用韦达定理判断方程的根一元二次方程ax²+bx+c=0 (a≠0)中,假设b²-4ac<0 那么方程没有实数根假设b²-4ac=0 那么方程有两个相等的实数根假设b²-4ac>0 那么方程有两个不相等的实数根【定理拓展】(1)假设两根互为相反数,那么b=0(2)假设两根互为倒数,那么a=c(3)假设一根为0 ,那么c=0(4)假设一根为1 ,那么a+b+c=0(5)假设一根为-1 ,那么a-b+c=0(6)假设a、c异号,方程一定有两个实数根【例题】p+q=198 ,求方程x^2+px+q=0的整数根. (94祖冲之杯数学邀请赛试题)解：设方程的两整数根为x1、x2 ,不妨设x1≤x2.由韦达定理,得x1+x2=-p ,x1x2=q.于是x1·x2-(x1+x2)=p+q=198 ,即x1·x2-x1-x2+1=199.&there4;运用提取公因式法(x1-1)·(x2-1)=199.注意到(x1-1)、(x2-1)均为整数,解得x1=2 ,x2=200;x1=-198 ,x2=0.。

韦达定理公式介绍及典型例题

韦达定理公式介绍及典型例题集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-韦达定理公式介绍及典型例题韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。

法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。

这里讲一元二次方程两根之间的关系。

一元二次方程aX+bX+C=0﹙a0﹚中，两根X1,X2有如下关系：X1+X2=-b/a，X1X2=c/a【定理内容】一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a0 且△=b^2-4ac0)中，设两个根为x1，x2 则X1+X2= -b/aX1X2=c/a1/X1+1/X2=X1+X2/X1X2用韦达定理判断方程的根一元二次方程ax+bx+c=0 (a0)中，若b-4ac0 则方程没有实数根若b-4ac=0 则方程有两个相等的实数根若b-4ac0 则方程有两个不相等的实数根【定理拓展】(1)若两根互为相反数，则b=0(2)若两根互为倒数，则a=c(3)若一根为0，则c=0(4)若一根为1，则a+b+c=0(5)若一根为-1，则a-b+c=0(6)若a、c异号，方程一定有两个实数根【例题】已知p+q=198，求方程x^2+px+q=0的整数根. (94祖冲之杯数学邀请赛试题)解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1x2.由韦达定理，得x1+x2=-p，x1x2=q.于是x1x2-(x1+x2)=p+q=198，即x1x2-x1-x2+1=199.运用提取公因式法(x1-1)(x2-1)=199.注意到(x1-1)、(x2-1)均为整数，解得x1=2，x2=200;x1=-198，x2=0.。

高考数学圆锥曲线专题：韦达定理

高考数学圆锥曲线专题：韦达定理第一部分：直线的斜截式方程使用条件一：已知斜率第一类直线的方程：直线的斜截式方程直线的斜截式方程：b kx y +=，其中k 为斜率，b 为与y 轴的截距。

第一种使用条件：已知直线的斜率。

【例题一】：已知：斜率为1的直线与椭圆C ：1222=+y x 相交于A ，B 两点。

【本题解析】：第一部分：韦达定理的计算部分。

韦达定理的使用条件：直线与曲线相交于两点。

第一步：假设两个交点的坐标。

假设：点A 的坐标为),(11y x ，点B 的坐标为),(22y x 。

第二步：假设直线的方程。

本题已知直线l 的斜率为1，需要假设直线l 与y 轴的截距得到直线l 的方程。

假设：直线l 的方程为：m x y +=。

第三步：联立直线l 的方程和椭圆C 的方程。

mx +022********=-+⇒=+⇒=+y x y x y 把m x y +=代入02222=-+y x 得到：02)2(202)(222222=-+++⇒=-++m mx x x m x x 0)22(430224222222=-++⇒=-+++⇒m mx x m mx x x 。

第四步：韦达定理计算两个交点的横坐标之和21x x +，横坐标之积21x x 。

原理：一元二次方程02=++c bx ax 的两个根1x ，2x ：a b x x -=+21，ac x x =21。

340)22(432122mx x m mx x -=+⇒=-++，322221-=m x x 。

第五步：根据直线的方程的纵坐标之和21y y +，纵坐标之积21y y 。

),(11y x A ，),(22y x B 为直线m x y l +=:上两点m x y +=⇒11，m x y +=22；3236342342212121mm m m m m x x m x m x y y =+-=+-=++=+++=+；2222121221212121)34(322)()()(m mm m m x x m x x m mx mx x x m x m x y y +-⋅+-=+++=+++=+⋅+=⋅323342233343222222222-=+--=+--=m m m m m m m 。

数学公式-韦达定理公式

韦达定理公式韦达定理公式：一元二次方程ax^2+bx+c (a不为0)中设两个根为x和y则x+y=-b/axy=c/a韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。

一般的，对一个n次方程AiX^i=0它的根记作X1,X2,Xn我们有Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)Xi=(-1)^n*A(0)/A(n)其中是求和，是求积。

如果一元二次方程在复数集中的根是，那么法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。

历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。

由代数基本定理可推得：任何一元n 次方程在复数集中必有根。

因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：其中是该方程的个根。

两端比较系数即得韦达定理。

韦达定理在方程论中有着广泛的应用。

定理的证明设mathx_1/math，mathx_2/math是一元二次方程mathax^2+bx+c=0/math的两个解，且不妨令mathx_1 \ge x_2/math。

根据求根公式，有mathx_1=\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}/math，mathx_2=\frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}/math所以mathx_1+x_2=\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac} + \left (-b \right) - \sqrt {b^2-4ac}} =-\frac/math，mathx_1x_2=\frac{ \left (-b + \sqrt {b^2-4ac} \right) \left (-b - \sqrt {b^2-4ac} \right)}{\left (2a \right)^2} =\frac/math。

韦达定理(常见经典题型)

韦达定理(常见经典题型)一、一元二次方程的基本概念及解法一元二次方程是指等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），未知数的最高次数是2（二次）的方程。

通常可写成如下的一般形式：ax²+bx+c=0，其中a、b、c为常数，且a≠0.一元二次方程的解法有三种：直接开平方法、配方法和公式法。

1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的平方，而另一边是一个常数时，可以根据平方的意义，通过开平方法求出这个方程的解。

2）配方法：用配方法解一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为一次项和常数项，右边为零；③配方，即方程两边都加上b²/4a²的平方；④化原方程为(x+m)²=n的形式，如果n是非负数，即n≥0，就可以用公式法求出方程的解。

如果n＜0，则原方程无实数解。

3）公式法：方程ax²+bx+c=0（a≠0），当b²-4ac＞0时，x1=(-b+√(b²-4ac))/2a，x2=(-b-√(b²-4ac))/2a，即方程有两个不相等的实数解；当b²-4ac=0时，x1=x2=-b/2a，即方程有两个相等的实数解；当b²-4ac＜0时，方程无实数解。

二、一元二次方程的应用一元二次方程可以应用于解决实际问题，例如求解某个物体的运动轨迹、面积和体积等问题。

通过列出方程，可以得到实际问题的答案。

三、___定理韦达定理是指一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根x1和x2的和为-x1-x2=-b/a，乘积为x1x2=c/a。

这个定理可以在解一元二次方程时起到重要的作用。

注：原文中存在格式错误和明显有问题的段落，已在修改过程中删除。

1.已知一元二次方程的两个根分别为$x_1$和$x_2$，求其系数$a$、$b$、$c$的值。

韦达定理

根与系数的关系（韦达定理）一、知识要点1、根与系数的关系:若一元二次方程()002≠=++a c bx ax 中，两根为1x ，2x 。

则a b x x -=+21，a c x x =⋅21；补充公式:ax x ∆=-21。

特别的，若二次项系数为1，则02=++q px x 的两根为1x ，2x 。

则p x x -=+21，q x x =⋅21注意：根与系数的关系是在04,02≥-≠ac b a 的前提下得出的关系式。

2、以1x ，2x 为两根的方程为()021212=⋅++-x x x x x x 3、用韦达定理分解因式()()2122x x x x a a c x a b x a c bx ax --=⎪⎭⎫⎝⎛++=++ 常用变形：定理巩固1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 4、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值:（1）2212x x += ；（2）2111x x += ；（3）=-221)(x x ；（4）)1)(1(21++x x = .5、如果1x ，2x 是方程0652=+-x x 的两个根，那么21x x ⋅＝．6、已知1x ，2x 是方程2630x x ++=的两实数根，则2112x x x x +的值为______． 7、已知1x 、2x 是关于x 的方程01)1(22=-++-a x x a 的两个实数根，且1x ＋2x ＝31，则21x x ⋅＝．8、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = .例1、若方程072=+-mx x 的一个根是23-，则另一根是，m 的值是 . 练1、已知：关于x 的方程0122=-+kx x（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是-1，求另一个根及k 的值。

高考重点数学公式：韦达定理-最新教育文档

高考重点数学公式：韦达定理韦达定理公式：一元二次方程ax^2+bx+c (a不为0)中设两个根为x和y则x+y=-b/axy=c/a韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。

一般的，对一个n次方程∑AiX^i=0它的根记作X1，X2 (X)我们有∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)∏Xi=(-1)^n*A(0)/A(n)其中∑是求和，∏是求积。

如果一元二次方程在复数集中的根是，那么法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。

历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。

由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程在复数集中必有根。

因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：其中是该方程的个根。

两端比较系数即得韦达定理。

韦达定理在方程论中有着广泛的应用。

定理的证明设x_1，x_2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个解,高中历史，且不妨令x_1 ge x_2.根据求根公式，有x_1=frac{-b + sqrt {b^2-4ac}}，x_2=frac{-b - sqrt {b^2-4ac}}所以x_1+x_2=frac{-b + sqrt {b^2-4ac} + left (-b ight) - sqrt {b^2-4ac}} =-frac，x_1x_2=frac{ left (-b + sqrt {b^2-4ac} ight) left (-b - sqrt {b^2-4ac} ight)}{left (2a ight)^2} =frac。