三维伊辛模型的蒙特卡罗模拟
Ising模型（伊辛模型）
Ising模型（伊⾟模型）Ising模型（伊⾟模型）是⼀个最简单且能够提供⾮常丰富的物理内容的模型。
可⽤于描写叙述⾮常多物理现象，如：合⾦中的有序-⽆序转变、液氦到超流态的转变、液体的冻结与蒸发、玻璃物质的性质、森林⽕灾、城市交通等。
Ising模型的提出最初是为了解释铁磁物质的相变，即磁铁在加热到⼀定临界温度以上会出现磁性消失的现象，⽽降温到临界温度下⾯⼜会表现出磁性。
这样的有磁性、⽆磁性两相之间的转变。
是⼀种连续相变（也叫⼆级相变）。
Ising模型如果铁磁物质是由⼀堆规则排列的⼩磁针构成，每⼀个磁针仅仅有上下两个⽅向（⾃旋）。
相邻的⼩磁针之间通过能量约束发⽣相互作⽤。
同⼀时候⼜会因为环境热噪声的⼲扰⽽发⽣磁性的随机转变（上变为下或反之）。
涨落的⼤⼩由关键的温度參数决定。
温度越⾼，随机涨落⼲扰越强。
⼩磁针越easy发⽣⽆序⽽剧烈地状态转变。
从⽽让上下两个⽅向的磁性相互抵消，整个系统消失磁性。
如果温度⾮常低，则⼩磁针相对宁静，系统处于能量约束⾼的状态,⼤量的⼩磁针⽅向⼀致,铁磁系统展现出磁性。
科学家对该模型的⼴泛兴趣还源于它是描写叙述相互作⽤的粒⼦（或者⾃旋）最简单的模型。
Ising模型是⼀个很easy的模型，在⼀维、⼆维、三维的每⼀个格点上占领⼀个⾃旋。
⾃旋是电⼦的⼀个内部性质。
每⼀个⾃旋在空间有两个量化⽅向。
即其指向能够向上或者向下。
虽然该模型是⼀个最简单的物理模型。
眼下仅有⼀维和⼆维的精确解。
考虑⼀维Ising模型。
M个⾃旋排成⼀排，每⼀个⾃旋与其左右两个近期邻的⾃旋之间有相互作⽤。
简单起见，我们仅仅考虑倾向于使近邻⾃旋的⽅向⼀致的相互作⽤。
⼆维正⽅Ising模型就是由N个同样的⾃旋排。
每⼀个⾃旋不但与其左右两个近期邻的⾃旋相互作⽤，并且与前后相邻的⾃旋排中两个近期邻的⾃旋相互作⽤，project了⼀个⼆维的⾃旋阵列。
三维⽴⽅Ising模型就是有L个同样的⼆维⾃旋阵列，每⼀个⾃旋与其左右、前后、上下六个近期邻的⾃旋相互作⽤。
蒙特卡洛模拟方法
蒙特卡洛模拟方法蒙特卡洛模拟方法（Monte Carlo simulation）是一种基于随机过程的数值计算方法，通过生成大量随机数来模拟实际问题的概率分布和确定性结果。
它的原理是通过随机抽样和统计分析来近似计算复杂问题的解，适用于各种领域的问题求解和决策分析。
蒙特卡洛模拟方法最早于20世纪40年代在核能研究中出现，命名源于摩纳哥的蒙特卡洛赌场，因为其运作原理与赌场的概率计算类似。
它的核心思想是通过大量的重复实验来模拟问题的解空间，并基于统计原理对结果进行分析。
蒙特卡洛模拟方法的应用领域广泛，包括金融、工程、物理、统计学、风险管理等。
在金融领域，蒙特卡洛模拟方法可以用于模拟股票价格的变动，估计期权的价格和价值-at-risk（风险价值），帮助投资者进行风险管理和资产配置。
在工程领域，蒙特卡洛模拟方法可以用于模拟不同参数对产品性能的影响，优化产品设计和工艺流程。
在物理学中，蒙特卡洛模拟方法可以用于模拟粒子运动轨迹，研究核反应和量子系统的行为。
在统计学中，蒙特卡洛模拟方法可以用于估计未知参数的分布和进行概率推断。
1.明确问题：首先需要明确问题的目标和约束条件。
例如，如果要求估计一个金融产品的价值，需要明确产品的特征和市场环境。
2.设定模型：根据问题的特性，建立模型。
模型可以是概率模型、物理模型、统计模型等，用于描述问题的随机性和确定性因素。
3. 生成随机数：根据问题的特点，选择适当的随机数生成方法。
常见的随机数生成方法包括伪随机数生成器、蒙特卡洛（Monte Carlo）方法、拉丁超立方（Latin Hypercube）采样等。
4.进行实验：根据模型和随机数生成方法，进行大量的实验。
每次实验都是一次独立的抽样过程，生成一个样本，用于计算问题的目标函数或约束条件。
5.统计分析：对实验结果进行统计分析，得到问题的解或概率分布。
常用的统计分析方法包括均值、方差、最大值、最小值、分位数等。
还可以进行敏感性分析，评估输入参数对结果的影响程度。
伊辛模型资料
伊辛模型简介伊辛模型（Ising model）是一种理想磁体的模型，被提出来描述固体中磁性原子的行为。
这个模型虽然简单，但却能够阐明许多磁性材料中的重要现象。
在该模型中，每个原子只有两种可能的自旋状态，即向上或向下。
原子之间通过相邻原子之间的相互作用而相互影响。
历史1936年，物理学家恩斯特·伊辛（Ernst Ising）建立起这个模型，以研究铁磁体的基本性质。
在原始形式的伊辛模型中，只考虑相邻自旋之间的相互作用，这样使得问题更容易求解。
基本假设在伊辛模型中，我们给予每个自旋一个参数，可以是+1（代表向上）或-1（代表向下）。
自旋之间的相互作用用参数J描述，表征相邻自旋之间的相互作用强度。
另外，温度参数T也是一个重要的因素，用于描述外界环境对磁体的影响。
模型描述伊辛模型可以表示为以下的哈密顿量：H = -J * Σs_i * s_j其中，J定义了相邻自旋之间的耦合强度，s_i和s_j分别是第i和第j个自旋的取值。
在伊辛模型中，我们通常采用蒙特卡罗模拟的方法来对系统进行计算，模拟系统在不同温度和参数下的自旋状态。
通过统计大量的自旋状态，我们能够获得磁体的平均磁矩、比热容等物理量。
应用伊辛模型虽然简单，却被广泛应用于各种磁性系统的研究。
从铁磁体到自旋玻璃等复杂的系统，伊辛模型都能提供重要的参考。
通过调节参数J和温度T，我们能够模拟出不同体系下的磁性行为，为材料科学和凝聚态物理学的研究提供了重要的参考。
总结伊辛模型作为一种理想磁体模型，为我们理解磁性材料中的重要现象提供了一个简单而有力的工具。
通过建立模型、模拟计算，我们能够更好地理解材料的性质，并为新材料的设计提供指导。
这个简单却丰富的模型，一直在吸引着物理学家和材料科学家的关注，带动着磁性材料研究的进步。
伊辛模型自旋状态的模特卡罗模拟
《计算材料学》课程设计指导老师：江建军教授电子科学与技术系2004年6月１２伊辛模型自旋状态的蒙特卡罗模拟宋银锋 李敏 易冬柏 刘嘉 周磊朱颖 吴华 刘文俊 沈文轶 罗睿 彭晓风（华中科技大学电子科学与技术系，武汉 430074）摘要:以Metropolis 蒙特卡罗模拟方法考察了20×20正方格子上的二维伊辛模型自旋模型，采用C 语言和LABVIEW 程序分别得到了该模型不同温度下自旋状态的图样，符合统计力学分析，并将该模型推广到三维情况，得到了相似的结论。
关键词:伊辛模型；自旋状态；Metropolis 蒙特卡罗模拟SPIN CONFIGURATIONS OF THE ISING MODEL IN MONTE CARLO SIMULATION Abstract : Monte Carlo studies of the two-dimensional Ising model on 20×20 square lattice with periodic boundary conditions and nearest neighbor interactions are presented. The spin configurations of this model at various temperatures are obtained, consistent with the analyses of statistical mechanics. Three-dimensional Ising model is deduced, and similar conclusions are obtained.Key words : Ising model; spin configuration; Metropolis Monte Carlo Simulation 引言伊辛自旋模型是一个十分重要的统计模型。
蒙特卡洛仿真法
蒙特卡洛仿真法
蒙特卡洛仿真法（Monte Carlo Simulation）是一种基于随机抽样的数值计算方法，用于模拟和估计复杂系统或过程的行为和特性。
它通过生成大量随机数，并利用这些随机数对系统进行多次模拟，从而获得系统的统计特征或输出结果。
蒙特卡洛仿真法的基本思想是基于概率分布的采样。
首先，需要确定系统中各个变量或参数的概率分布函数。
然后，通过随机生成符合这些概率分布的样本值，来代表系统在不同情况下的可能状态。
接下来，对每个生成的样本进行计算或模拟，得到相应的输出结果。
通过重复这个过程多次（通常是数千或数万次），可以获得大量的样本结果。
根据这些样本结果，可以计算出系统的统计指标，如均值、标准差、概率分布等，从而对系统的行为进行估计和预测。
蒙特卡洛仿真法的优点包括：
1. 能够处理复杂的系统和不确定性问题；
2. 可以提供系统的统计特征和概率分布信息；
3. 适用于难以通过解析方法求解的问题。
蒙特卡洛仿真法在许多领域都有广泛的应用，如金融工程、风险管理、物理科学、工程设计等。
它可以帮助决策者在不确定性环境下进行风险评估、优化设计和决策制定。
需要注意的是，蒙特卡洛仿真法的准确性和可靠性取决于所选择的概率分布函数、抽样次数以及对结果的统计分析方法。
在实际应用中，需要合理选择和验证这些参数和方法，以确保模拟结果的有效性和可靠性。
蒙特卡洛模拟方法
1707-1788
1777年，古稀之年的蒲丰在家中请来 好些客人玩投针游戏（针长是线距之半）， 他事先没有给客人讲与π 有关的事。客人 们虽然不知道主人的用意，但是都参加了 游戏。他们共投针2212次，其中704次相交。 蒲丰说，2212/704=3.142，这就是π 值。 这着实让人们惊喜不已。
因此，可以通俗地说，蒙特卡罗方法是用随机试 验的方法计算积分，即将所要计算的积分看作服从某 种分布密度函数f(r)的随机变量ｇ(r)的数学期望
g g (r ) f (r )dr
0
通过某种试验，得到Ｎ个观察值r1，r2，…，rN（用 概率语言来说，从分布密度函数 f(r) 中抽取 Ｎ 个子样 r1 ， r2 ， … ， rN ，），将相应的 Ｎ 个随机变量的值 g(r1) ， g(r2)，…，g(rN)的算术平均值
离散型分布的直接抽样方法
对于任意离散型分布：
F ( x) Pi
xi x
其中 x1 ， x2 ， … 为离散型分布函数的跳跃点， P1 ， P2，… 为相应的概率，根据前述直接抽样法，有离散型 分布的直接抽样方法如下：
X F xI , 当 Pi Pi
i＝1 i＝1 I－1 I
0, x 0 F ( x ) x, 0 x 1 特征：独立性、均匀性 1, x 1
分布函数为：
随机数的产生方法
随机数表 物理方法 计算机方法
随机数表
随机数表是由0,1,2,…,9十个数字组成，每 个数字以0.1的概率出现，数字之间相互独 立。 方法：如果要得到n位有效数字的随机数， 只需将表中每n个相邻的随机数字合并在一 起，且在最高位的前边加上小数点即可。
伊辛模型的研究进展简介
大家对伊辛模型感兴趣的主要原因就是它能很好 地显示连续相变过程 ,特别是在相变的临界温度附近的 临界现象 [224 ] 。对临界现象的研究可以追溯到 1869 年 安住斯 (A nd rew s)引入临界点的概念 , 1873 年范德瓦尔 斯 ( van der W aa ls) 用分子动力理论讨论了气液两相转 变和临界点的问题 。1895年居里 ( C u rie)研究了铁磁体 的铁磁 顺磁相变 , 并指出铁磁 顺磁相变与气 液相变 的相似性 ,所以相变的临界点也称为居里点 。1907 年外 斯 (W eiss)提出了铁磁 顺磁相变的分子场理论 , 也称为 平均场理论 。铁磁 顺磁相变的平均场理论与范德瓦尔 斯的气 液相变理论又是相对应的 。现在可以证明平均
本文首先简单地介绍了伊辛 ( Is in g )模型及其应用的范围 、二维伊辛模型精确解的求解过程 、三维伊辛模型精 确解所面临的困难 。然后回顾并总结了人们用分子场理论及其改进理论 、高温级数展开 、低温级数展开 、重整化群理 论 、蒙特 ·卡罗模拟等近似计算三维伊辛模型的物理性质和临界指数的研究进展 。最后 , 介绍了我们对三维简单正 交晶格伊辛模型的猜想以及推定的精确解 。
为了获得更多的信息 , 一些科学家试图对平均场理 论进行改进 。在 20世纪 30年代布喇格 、威廉斯 、肖克莱 ( S hock ley)等人在研究合金中的有序 无序转变时将伊 辛模型的研究向前推进 [ 5, 6 ] , 并引起更多的关注 。如布 喇格 威廉斯近似忽略了自旋间的短程关联 ; B ethe 近似 对布喇格 威廉斯 (B ragg2W illiam s) 近似进行改进 , 考虑 了短程序 ; ……但这些改进属于小打小敲的修修补补 , 没有逃脱掉平均场理论影子 。而且 , 也无法进一步按其 路线再发展下去 。突破还需要求出伊辛模型的精确解 , 才能获得精确的物理信息 。1941 年 K ram e rs和 W ann ie r 以及 M on tro ll分别利用二维伊辛模型的对偶性精确地
蒙特卡罗方法PPT课件
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蒙特卡 罗方法
直接方法
可以分解为各个独立 过程的随机性事件
统计方法 数值求解多维定积分
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5.1 基本思想和一般过程
• Buffon投针实验
• 1768年，法国数学家Comte de Buffon利用投针实验估计 值
L
d
p 2L
d
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• 长度为 l的针随机地落在相距为d>l 的一组水平线之间， 求针与线相交的概率？
分布的随机数的抽样，进行大量的计算随机模拟实验，从中获得随机变量 的大量试验值。各种概率模型具有不同的概率分布，因此产生已知概率分 布的随机变量，是实现Monte Carlo方法的关键步骤。最简单、最基本、 最重要的一个概率分布是(0，1)上的均匀分布 (或称矩形分布)。随机数就 是具有这种均匀分布的随机变量。对于其他复杂概率模型的概率分布可以 用数学方法在此基础上产生。因此，随机数是Monte Carlo模拟的基本工 具。
方法就叫做简单抽样法或非权重随机抽样法。
• 随机抽样法的真正优势表现在对较高维积分的近似求解，诸如在多体动力
学和统计力学中所遇到的问题。蒙待卡罗方法对较高维体系的积分误差仍
是
，而这时梯形定则给出的误差变为1/m2/D，这里D为维数。
1m
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5.3.1 简单抽样 • 将其推广到多维的情况
模拟这个概率过程。对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积 分、解线性方程组及偏微分方程边值问题等，要用蒙特卡罗方法求解，就 必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求的问题的 解。
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5.1 基本思想和一般过程 • (2) 实现从已知概率分布的抽样 • 有了明确的概率过程后，为了实现过程的数字模拟，必须实现从已知概率
数学建模十大经典算法之蒙特卡罗原理及其应用
数学建模十大经典算法之蒙特卡罗原理及其应用
一、蒙特卡罗原理
蒙特卡罗原理又称模拟原理，是20世纪40年代初提出的一种统计学
原理，该原理可以用数量模拟技术，即使不知道具体方程，也能近似计算
系统的一些重要性质，如热力学量、电学量等。
蒙特卡罗原理要求使用随
机序列来近似的计算现实系统的一些量：求出给定的实际系统的概率分布，可以用概率理论；求出实际系统的热力学量，可以用热力学理论；求出实
际系统的电学量，可以用电磁学理论等，但如果知道了一个系统的三维几
何结构，就可以用数量模拟技术，全部用随机序列来模拟这个系统的物理
性质。
蒙特卡罗原理的思想是：如果一个实际操作中随机过程可以通过已知
的概率分布表示，那么它的平均值可以用一定的近似误差表示。
例如要求
一个整数百分位点的参数，若把它的概率分布看作一个均匀分布，这时可
以把它看作是一个随机变量，并求该随机变量的百分位点。
这是蒙特卡罗
原理的基本思想。
二、蒙特卡罗原理的应用
蒙特卡罗原理（模拟原理）在数学建模中有着重要的应用。
1、蒙特卡罗法可以用来模拟热力学量。
蒙特卡罗方法详细讲解
蒙特卡罗方法详细讲解下面将详细介绍蒙特卡罗方法的几个重要步骤：1.问题建模：首先需要将实际问题转化为数学模型，明确需要求解的数值或概率。
例如，计算圆周率π的值可以将问题建模为在单位正方形内随机生成点，并计算落入圆内的点的比例。
2.随机数生成：通过随机数生成器产生均匀分布的随机数，这些数将作为样本用于模拟和统计分析。
随机数的质量对结果的准确性有着重要影响，因此需要选择合适的随机数生成器。
3.样本模拟：根据问题的需要，利用随机数生成的样本进行模拟。
模拟的过程可以是简单的数学计算，也可以是复杂的物理模拟。
例如，在金融领域，可以使用蒙特卡罗方法对期权的价格进行模拟计算。
4.统计分析：对模拟得到的样本进行统计分析，以得到问题的结果。
常见的统计分析包括计算样本均值、方差、协方差等。
通过统计分析可以估计出结果的概率、置信区间等。
5.结果评估：评估模拟得到的结果的准确性和可靠性。
通常可以通过增加样本数量来提高结果的准确性，也可以通过统计分析来评估结果的可靠性。
1.金融建模：蒙特卡罗方法可以用于模拟股票价格的随机波动，并计算期权的价格和风险价值。
模拟得到的结果可以帮助金融机构进行风险管理和决策分析。
2.污染传输模拟：蒙特卡罗方法可以用于模拟大气中的污染物传输路径和浓度分布，帮助环境科学家评估污染物的扩散范围和健康风险。
3.工程优化：蒙特卡罗方法可以用于优化设计参数和优化方案的评估。
通过进行大量的模拟计算，可以找到最优的设计方案和最小化的成本。
总之，蒙特卡罗方法是一种基于随机模拟和统计分析的强大计算工具。
它的优势在于处理复杂问题的能力和适用性广泛，但需要合理的问题建模、高质量的随机数生成和准确的统计分析。
通过蒙特卡罗方法，我们可以得到数值和概率分布的估计结果，并对结果的可靠性进行评估。
Monte-Carlo(蒙特卡洛方法)解析
常用的线性同余生成器
Modulus m 2^31-1
=2147483647
2147483399 2147483563
Multiplier a 16807
在 n 次中出现的频率。假如我们取 fn ( A) 作为 p P(A) 的估计，即 pˆ fn ( A) 。
然后取 ˆ
2l afn ( A)
作为
的估计。根据大数定律，当 n 时，
pˆ
fn ( A) a.s.
p.
从而有ˆ 2l P 。这样可以用随机试验的方法求得 的估计。历史上 afn ( A)
(2) 计算 X F -1(U ) ,则 X 为来自 F(x) 分布的随机数.
例 1 ：设 X ~ U (a,b) ，则其分布函数为
0
F
(
x)
x b
a a
1,
xa a xb
xb
F -1( y) a (b a) y ， 0 y 1
生成 U (0,1) 随机数 U，则 a (b - a)U 是来自
算法实现
许多程序语言中都自带生成随机数的方法, 如 c 中的 random() 函数, Matlab中的rand()函数等。 但这些生成器生成的随机数效果很不一样, 比如 c 中的函数生成的随机数性质就比较差, 如果用 c , 最好自己再编一个程序。Matlab 中的 rand() 函数, 经过了很多优化。可以产生性质很好的随 机数, 可以直接利用。
U (a,b) 的随机数。
例 2：
设 X ~ exp( ) 服从指数分布，则 X 的分布函数为：
伊辛模型的基本方法 -回复
伊辛模型的基本方法-回复伊辛模型的基本方法是一种统计物理学中用来研究自旋系统的模型。
它是由德国物理学家Ernst Ising在1924年提出的，被广泛应用于物理、化学、生物、经济等众多领域的研究中。
伊辛模型的主要特点是将系统中各个粒子视为一个个具有自旋的单元，通过定义相邻自旋之间的相互作用及外部参数来描述整个系统的行为。
本文将详细介绍伊辛模型的基本方法，并逐步回答相关问题。
1. 什么是自旋？自旋是微观粒子（如电子、原子核等）的一个基本属性，用来描述其内禀的角动量。
自旋可以看作是一个虚拟的矢量，它具有量子化的性质，只能取固定的几个值，如自旋1/2、自旋1等。
在伊辛模型中，自旋被用来表示系统的状态，例如在铁磁体中，自旋可以取两个值分别表示磁场的方向。
2. 伊辛模型的基本假设是什么？伊辛模型的基本假设是系统中每个自旋只与其相邻的自旋相互作用，并且自旋之间的相互作用是一种简化的形式，即只有一种类型的相互作用。
此外，伊辛模型中假设自旋之间的相互作用是有方向的，即自旋可能会影响其相邻自旋的状态。
3. 伊辛模型的哈密顿量是什么？伊辛模型的哈密顿量是描述整个系统能量的函数，它由两部分组成：内能项和相互作用项。
内能项描述了自旋在外部参数下的行为，相互作用项描述了自旋之间的相互作用。
伊辛模型的哈密顿量通常由以下形式表示：E = -JΣsi⋅sj - hΣsi其中，si和sj分别表示相邻自旋的自旋状态，J是相互作用强度的参数，h是外部参数（如磁场）的强度。
4. 伊辛模型如何求解系统的状态？伊辛模型的求解方法有很多种，其中最常用的方法之一是蒙特卡罗模拟。
蒙特卡罗模拟是一种基于统计抽样的方法，通过随机的抽样过程来生成系统的各种状态，并以概率的形式进行分析。
在伊辛模型中，可以采用Metropolis算法进行状态的抽样和分析，其基本步骤如下：a. 随机选择一个自旋；b. 改变选定自旋的状态；c. 计算状态改变前后的能量差；d. 根据Metropolis准则确定是否接受状态改变；e. 重复步骤a-d，直到达到平衡状态。
introduction on ising model
introduction on ising model
伊辛模型（Ising model）是物理学中一个经典的模型，主要用于描述物质的磁性行为。
它由德国物理学家厄尔文·伊辛提出，最初用于解释铁磁性材料的磁性行为。
该模型在数学上是一个离散的图模型，可以表示为一个由节点和边构成的图。
每个节点代表一个磁偶极子（或称为“自旋”），可以有两种状态：+1（向上）和-1（向下）。
节点之间的边表示它们之间的相互作用。
伊辛模型的数学表述如下：每个节点的状态由其邻居的状态决定，具体规则如下：如果一个节点的两个邻居都向上，则该节点更有可能也向上；如果一个节点的两个邻居都向下，则该节点更有可能也向下；如果一个节点的两个邻居的朝向不同，则该节点更有可能与其邻居的朝向相反。
这种规则可以用能量函数表示，当系统的总能量最低时，系统达到稳定状态。
伊辛模型在理论上可以用许多不同的方法进行求解，但在实际应用中，通常使用蒙特卡洛方法进行模拟。
通过随机选择一些节点，并尝试改变其状态，然后计算新的能量函数值，如果新的能量值更低，则接受这个变化；否则，拒绝这个变化。
通过重复这个过程，系统最终会达到一个平衡状态。
伊辛模型的应用非常广泛，不仅限于物理学和材料科学，还涉及到生物学、神经科学、社会学等领域。
例如，在生物学中，可以用伊辛模型来描述DNA的碱基配对行为；在社会学中，可以用伊辛模型来描述群体的意见形成过程。
总的来说，伊辛模型是一个简单但功能强大的模型，它可以用来描述许多不同的现象。
通过理解和应用伊辛模型，我们可以更好地理解物质的性质和行为。
伊辛模型的基本方法
伊辛模型的基本方法
伊辛模型（Ising model）是一种描述物质相变的随机过程模型，主要用于解释铁磁系统的相变。
该模型由多维周期性点阵组成，点阵的几何结构可以是立方的或六角形的，每个阵点上都赋予一个取值表示自旋变数，即自旋向上或自旋向下。
伊辛模型假设只有最近邻的自旋之间有相互作用，点阵的位形用一组自旋变数来确定。
伊辛模型的计算方法通常包括以下步骤：
1. 定义模型参数：包括自旋的相互作用强度、温度等。
2. 初始状态设置：根据问题背景和具体要求，设置初始的自旋状态。
3. 迭代更新：根据伊辛模型的更新规则，对每个自旋进行状态更新，通常采用Metropolis算法或其他相关算法。
4. 统计测量：在更新完成后，统计各种物理量的测量值，如总自旋向上或向下的数量、磁化强度等。
5. 结果分析：根据测量结果，进行分析和解读，以了解相变的过程和性质。
需要注意的是，伊辛模型的计算方法可能因具体问题和要求而有所不同，上述步骤仅为一般性的流程。
同时，由于伊辛模型的计算复杂度较高，对于大规模系统的模拟需要借助高性能计算机和高效的算法设计。
维伊辛模型的蒙特卡罗数值模拟
毕业论文题目：二维伊辛模型的蒙特卡罗数值模拟二〇一一年五月目录摘要........................................................... .. (1)Abstract............................................. .. (2)第一章引言 (3)第二章伊辛模型 (4)2.1 伊辛模型的意义 (4)2.2 伊辛模型的历史与发展 (4)2.3 二维伊辛模型的基本结构 (5)第三章蒙特卡罗方法............................................. (6)3.1 蒙特卡罗方法的产生与发展 (6)3.2 蒙特卡罗方法的基本思想 (6)3.3 文中采用蒙特卡罗方法时用到的的基本理论 (7)第四章模拟的理论和过程 (8)4.1 计算理论........................................................ . (8)4.2 模拟过程....................................................... .. (9)第五章数据分析和讨论 (10)参考文献....................................................... . (14)附录....................................................... (15)致谢....................................................... (19)二维伊辛模型的蒙特卡罗数值模拟摘要：本文主要介绍应用蒙特卡罗方法对二维伊辛模型进行数值模拟的基本思路和方法，然后具体应用Fortran语言进行数值模拟的过程。
文中首先介绍了伊辛模型对解决相变问题的意义及其历史与发展，然后介绍了蒙特卡罗方法的产生与发展及其基本内容和思想，最后具体应用计算机Fortran语言用蒙特卡罗方法对二维伊辛模型的相关物理量进行数值模拟的方法和过程，并对所得数据进行分析和讨论。
蒙特卡罗方法
蒙特卡罗方法
蒙特卡罗方法是一种通过随机抽样来解决问题的数值计算方法。
它的名称来源于摩纳哥蒙特卡罗赌场，因为在这种方法中，随机数起着核心作用，就像赌场中的随机事件一样。
蒙特卡罗方法在统计学、物理学、金融学、计算机图形学等领域得到了广泛的应用，它的核心思想是通过大量的随机抽样来近似地求解问题，从而避免了复杂问题的精确求解。
蒙特卡罗方法最早是由美国科学家冯·诺伊曼在20世纪40年代提出的，用于研究核爆炸的中子输运问题。
随后，蒙特卡罗方法在众多领域得到了广泛的应用，并且随着计算机技术的发展，它的应用范围变得越来越广泛。
在实际应用中，蒙特卡罗方法通常包括以下几个步骤，首先，确定问题的随机模型；然后，进行大量的随机抽样；接着，根据抽样结果进行统计分析；最后，得出问题的近似解。
蒙特卡罗方法的优势在于，它可以处理各种复杂的问题，不受问题维度的限制，而且在一定条件下可以得到问题的近似解。
在统计学中，蒙特卡罗方法被广泛应用于概率分布的模拟和统计推断。
通过大量的随机抽样，可以得到概率分布的近似结果，从而对统计问题进行求解。
在物理学中，蒙特卡罗方法可以用于模拟粒子的输运过程、热力学系统的平衡态分布等问题。
在金融学中，蒙特卡罗方法可以用于期权定价、风险管理等领域。
在计算机图形学中，蒙特卡罗方法可以用于光线追踪、体积渲染等领域。
总的来说，蒙特卡罗方法是一种强大的数值计算方法，它通过随机抽样来解决各种复杂问题，具有广泛的应用前景。
随着计算机技术的不断发展，蒙特卡罗方法将会在更多的领域得到应用，并为解决实际问题提供更加有效的数值计算手段。
蒙特卡洛模型方法
在解决实际问题的时候应用蒙特·卡罗方法主要有两部分工作：
1．用蒙特·卡罗方法模拟某一过程时，需要产生各种概率分布的随机变量。
2．用统计方法把模型的数字特征估计出来，从而得到实际问题的数值解。
蒙特卡罗方法分子模拟计算的步骤
使用蒙特·卡罗方法进行分子模拟计算是按照以下步骤进行的：
1．使用随机数发生器产生一个随机的分子构型。
通常蒙特·卡罗方法通过构造符合一定规则的随机数来解决数学上的各种问题。对于那些由于计算过于复杂而难以得到解析解或者根本没有解析解的问题，蒙特·卡罗方法是一种有效的求出数值解的方法。一般蒙特·卡罗方法在数学中最常见的应用就是蒙特·卡罗积分。
蒙特卡罗方法的应用领域
蒙特卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，生物医学，计算物理学（如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算）等领域应用广泛。
*若这个随机数大于所计算出的玻尔兹曼因子，则放弃这个构型，重新计算。
*若这个随机数小于所计算出的玻尔兹曼因子，则接受这个构型，使用这个构型重复再做下一次迭代。
5．如此进行迭代计算，直至最后搜索出低于所给能量条件的分子构型结束。
蒙特卡罗模型的发展运用
从理论上来说，蒙特卡罗方法需要大量的实验。实验次数越多，所得到的结果才越精确。以上Buffon的投针实验为例、历史上的记录如下表1。
考虑平面上的一个边长为1的正方形及其内部的一个形状不规则的“图形”，如何求出这个“图形”的面积呢?MonteCarlo方法是这样一种“随机化”的方法：向该正方形“随机地”投掷N个点，有M个点落于“图形”内，则该“图形”的面积近似为M/N。可用民意测验来作一个不严格的比喻。民意测验的人不是征询每一个登记选民的意见，而是通过对选民进行小规模的抽样调查来确定可能的优胜者。其基本思想是一样的。
伊辛模型
Metropolis Monte Carlo方法
个自旋位形中，任何一个位形S 在正则系模型中的宏观统计量
∑−a
a
S B )
)(1)(S H e
Z S w −=
∑a
a S H
Dr. Ernest Ising,
1900-1998
)
伊辛模型的蒙特卡罗模拟基本步骤
E new <E old E new ≥E old
不接受这次自旋翻转
建立晶格，并定义与所考察系综相对应的自旋和哈
密顿量，假定计数从n =1开始，同时设定n 0和n m a x
自旋翻转
接受这次自旋翻转计算变量A n 的值，并存储n >n 0的每一步A n 值
计算平均值，输出结果
计算p =e x p [-ΔH /(k B T )]
产生随机数，0<z <1
z>p z ≤p n=n+1MC 抽样下宏观统计量的表达
N H
E =∑=i
i
S N M 1
∑∑−−=),(,j i a
a
j i j i S B S S J H •伊辛模型系统的哈密顿量
•平均每个格点的磁场能•平均每个格点的磁化强度•平均定场比热容)
(1
223H H T
Nk C B B −=
A 2D lattice MC code
•Origin 7.5
•\samples\programming\Ising model.opj
结果举例—E-T曲线
磁畴结构。
Ising模型简述
Ising模型简述Lenz曾向他的学生Ising提出一个研究铁磁性的简单模型，而Ising于1925年发表了他对此模型求解的结果，所以这个模型被称为Ising模型。
当时Ising 只做出了该模型一维下的严格解，在一维情况下并没有自发磁化的发生。
另外他还由此错误地推断出在更高维的情况下，这个模型也不存在自发磁化。
这个推断在后来被证明是错误的。
1936年Peierls论证了二维或三维的Ising模型存在着自发磁化，虽然当时他并没有能够给出模型的严格解。
1944年，当Onsager给出了二维Ising模型的严格解之后，Ising模型开始引起人们广泛的关注。
这次求解是相变理论发展上的一个重要进展，它第一次清楚地证明了从没有奇异性的哈密顿量体系出发，在热力学极限下能导致热力学函数在临界点附近的奇异行为，而Onsager本人也因此获得了诺贝尔奖。
在此之后很多人又相继发表Ising模型的各种不同解法，Baxter甚至有篇论文叫‘Ising模型的第399种解法’。
但至今没有被学术界公认的三维Ising模型精确解。
甚至有人发表论文证明无法解出三维Ising 模型的精确解，因为三维Ising模型存在拓扑学的结构问题。
人们通常用分子场理论及其改进理论、高温级数展开、低温级数展开、重整化群理论、蒙特-卡罗模拟等近似计算三维Ising模型的居里温度和临界指数，而其中Wilson于1971年发展的重整化群理论能以较高精度计算三维Ising模型的近似结果[18-20]。
我国科学家张志东提出三维“Ising模型”精确解猜想。
张志东的出发点就是拓扑学中的一个常识：低维空间的扭曲和纽结可以被高一维空间的旋转打开。
通过引入第四卷曲起来的维与本征矢量上的权重这两个猜想作为处理三维Ising模型拓扑学问题的边界条件，并应用这些猜想用自旋分析法评估了三维简单正交晶格Ising模型的配分函数。
当系统的对称性越高，居里温度也越高。
他猜测三维系统具有最高对称性的简单立方Ising模型具有最高的居里温度黄金解，在二维系统具有最高对称性的正方Ising模型具有最高的居里温度白银解。
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三维伊辛模型的蒙特卡罗模拟吴洋新疆大学物理科学与技术学院，新疆乌鲁木齐（830046）E-mail: 328627928@摘要: 本文采用蒙特卡罗方法模拟三维晶格系统伊辛模型。
在不同温度下，分别模拟了具有简立方晶格、体心立方晶格及面心立方晶格相互作用的三维伊辛模型。
模拟结果表明：在高温下，系统磁化消失。
在低温下，系统具有磁性，并存在一个临界状态。
同时研究了三种晶格的磁化率、能量及比热随温度的变化趋势。
关键词:三维伊辛模型；蒙特卡罗方法；临界态中图分类号：0552.61．引言伊辛模型是一个简单但很重要的物理模型[1-5]，伊辛在1925年解出的精确解表明一维伊辛模型中没有相变发生。
二维伊辛模型[6-10]的临界问题及精确解在40年代由昂萨格严格求出。
人们采用了分子场理论及其改进理论、高温级数展开、低温级数展开、重整化群理论等多种方法计算三维伊辛模型[11-16]的解，但至今没有被学术界公认的三维伊辛模型的精确解。
本文通过蒙特卡罗方法模拟得到三维伊辛模型的近似解。
2．模型分析与计算2.1 模型格点选取本文研究三维伊辛模型的解，选取三维格点。
首先我们选取最简单的简立方格点，因为它具有典型性和代表性，它是直接由二维平面4个最近邻延伸到三维空间6个最近邻。
然后，再推广到体心立方晶格和面心立方晶格，只是最近邻点数目增加，处理问题的方法是相同的。
2.2 模型边界条件分析我们选取周期性边界条件，因为考虑到计算机的运算能力有限，所研究模型的大小也应是有限的。
但我们又要模拟无限大的空间系统，只有将边界条件取为周期性，才很好的解决了这个问题。
无论是对于简立方格点还是体心立方格点和面心立方晶格，只要是处于边界的格点，可以通过周期边界条件进行延伸，从而保证每个格点周围的最近邻格点数是一致的。
使用周期性边界条件，通常还可以减小来自边界的干扰。
2.3 反转概率函数选取采用蒙特卡罗模拟方法研究三维伊辛模型，反转概率的选取是很关键的一步。
假设一个自旋反转使系统的能量降低，由于我们总是想要处于或靠近模型的基态，我们应当以概率为1接受这一变动。
因此，在能量变化为负的情形下，我们取跃迁概率为1。
但是，这样一来，我们就陷入能量极小之中。
为了避免发生这种情况，我们也要接受能量增加的变动。
不过我们只允许能量增加的变动很少发生，因此它们的反转概率很低。
我们可以将反转概率和[0，1]之间的随机数比较，确定是否反转。
2.4 具体计算步骤1) 先选定格点规格L*L*L,对温度(即J/KT)赋初值. 任选一个自旋点阵排列为起始状态,由每一格点及其邻近自旋情况,可得反转的概率.当格点为点阵边缘的格点时,可采取周期性边界条件确定格点的近邻.2) 由[0,1]均匀分布产生一个随机数,与所求的概率值比较,判断是否接受反转.3) 按上面的方法确定点阵上所有格点的自旋指向,即完成一个蒙特卡罗步(MCS).4) 演化足够的MCS,使系统达到平衡状态,以后每隔若干MCS抽取一格状态为样本,计算样本的每格点磁化强度M,收集足够的样本,求平均每格点的磁化强度<M>.5) 将J/KT值加上一增量作为新的J/KT值,重复以上步骤,即可得到<M>随J/KT值的变化关系,同样可得到能量、磁化率、比热随J/KT的变化关系.3. 数据结果及分析3.1 数据绘图按上述算法编程,即可进行模拟计算，模拟数据结果绘图如下：3.1.1 简立方格点图（1）磁距、磁化率随温度变化图（2）能量、比热随温度变化3.1.2 体心立方格点图（3）磁距、磁化率随温度变化图（4）能量、比热随温度变化3.1.3 面心立方格点图（5）磁距、磁化率随温度变化图（6）能量、比热随温度变化3.2 结果分析从图（1）--图（6）：分别表示简立方格子、体心立方格子及面心立方格子的每个格点平均磁距（M）和磁化率（XT）随温度（J/KT）的变化关系以及能量（E）和比热（CH）随温度（J/KT）的变化关系。
从图中我们可以得到，对于三种不同的格子，随着温度减小（相对应图中JKT值的增大），有着共同的顺磁态向铁磁态转变的规律，并且磁距对应的磁化率和能量对应的比热在突变处出现尖峰，与热力学公式是相符的。
但是，不同的是后二种格子相对简立方格子临界值向高温方向偏移。
在二维情形中，我们知道平均场结果：J/KT=1/Zd（Zd为格点最近邻配位数）.假设在三维情形中该结论仍成立，考虑到简立方格点的配位数较小，其J/KT的临界值较高。
4．论文结论本文通过蒙特卡罗模方法模拟三维格点伊辛模型，通过数据结果分别得出简立方格子，体心立方格子，面心立方格子顺磁态向铁铁磁态转变临界值J/KT分别为：0.22、0.16、0.10。
与参考文献[15]、[16]中简立方格点结果J/KT=0.22165以及文献[14]中面心立方格点结果J/KT=0.102比较，在本文所研究的精度范围内（精确到小数点后两位数字）是完全一致的。
，我们可以将JKT做更精确的循环以得出更精确的结果，本文的研究结果可以为以后进一步探讨三维伊辛模型的精确解提供一定的参考依据。
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