第四讲. 随机模拟蒙特卡罗模拟方法课件

x l sin
针在平行线间的位置
于是相交的概率为曲线 y l sin 与x轴所夹图 形的面积占长方形面积的百分比
1 2l P l sin xdx a 0 a
用N表示投针的次数，n表示其中针与平行线相交的次数 由贝努里定理知，当N充分大的时候，频率接近于概率 n 2lN 即 P , 从而 . N na
i＝0 i＝0 n－1 n
例2. 掷骰子点数的抽样


掷骰子点数X=n的概率为：
P ( X n) 1 6
选取随机数ξ，如
n 1 n 6 6 XF n

则
X F [6 ] 1

在等概率的情况下，可使用如下更简单的 方法：
连续型分布的直接抽样方法
对于连续型分布，如果分布函数 F(x) 的反函数 F－1(x)存在，则直接抽样 方法是 ：
N
A aP bL2 cQ d
收集P,L,Q数据，确定分布函 数 f ( P), f ( L), f (Q) 模拟次数N；根据分 布函数，产生随机数
N
1 2
N
A aP bL2 cQ d
1 2
根据历史数据，预测未来。 产生
N 个 A值
抽取 P,L,Q一 组随机 数，带 入模型
统计分析，估计 均值，标准差
X
模型建立的两点说明
Monte Carlo方法在求解一个问题时，总 是需要根据问题的要求构造一个用于求 解的概率统计模型，常见的模型把问题 的解化为一个随机变量 X 的某个参数 的估计问题。 要估计的参数 通常设定为 X 的数学 期望（亦平均值，即 E( X ) ）。按 统计学惯例， 可用 的样本 ( X1, X 2, ...X n ) 1 X X 的平均值来估计，即 n
用MATLAB产生随机数
语言：连续均匀分布的函数表达式为 R=unifrnd(A,B) 演示：for n=1:100; k=unifrnd(0,1) end
随机抽样及其特点

由巳知分布的随机抽样指的是由己知分 布的总体中抽取简单子样。随机数序列是 由单位均匀分布的总体中抽取的简单子样， 属于一种特殊的由已知分布的随机抽样问 题。下表所叙述的由任意已知分布中抽取 简单子样，是在假设随机数为已知量的前 提下，使用严格的数学方法产生的。
蒙特卡罗模拟方法
Monte Carlo stochastic Simulink
报 告 人 ：胡贵新
蒙特卡罗模拟方法
一、蒙特卡罗方法概述 二、蒙特卡罗方法模型 三、蒙特卡罗方法的优缺点及其适用范围 四、相关案例分析及软件操作 五、问题及相关答案
在用传统方法难以解决的问题中，有很大一 部分可以用概率模型进行描述．由于这类模型含 有不确定的随机因素，分析起来通常比确定性的 模型困难．有的模型难以作定量分析，得不到解 析的结果，或者是虽有解析结果，但计算代价太 大以至不能使用．在这种情况下，可以考虑采用 Monte Carlo方法。下面通过例子简单介绍Monte Carlo方法的基本思想．

分布
a (b a)r1
f [a (b a)r1 ] f (m)r2 b r 1 a s 1 m
r s2
r，s为函数参数
三角分布 三角形概率分布是一种应用较广连续型概率分布,它是一 种3点估计: 特别适用于对那些风险变量缺乏历史统计资 料和数据,但可以经过咨询专家意见,得出各参数变量的 最乐观值( a) ,最可能出现的中间值( b)以及最悲观值 (m ) ,这3个估计值( a,b, m )构成一个三角形分布。
1 N g N g (ri ) N i 1
作为积分的估计值（近似值）。
计算机模拟试验过程
计算机模拟试验过程，就是将试验过 程（如投针问题）化为数学问题，在计算 机上实现。
模拟程序
l=1; %针长为2*l d=2; %两条平行线的距离 m=0; n=10000 for k=1:n; x=unifrnd(0,d/2); %针的重点到最近平行线的距离服从[0,d/2]上的均匀分布 y=unifrnd(0,pi); %针与平行线的交角服从[0,pi]上的均匀分布 if x<0.5*1*sin(y) m=m+1; else end end p=m/n pi_m=1/p
Hale Waihona Puke ①建立概率统计模型N
②收集模型中风险变量的数据 ， 确定风 险因数的分布函数
⑤根据随机数在各风 险变量的概率分布中 随机抽样，代入第一 步中建立的数学模型
N
N
③根据风险分析的精度要求，确 定模拟次数 N
④建立对随机变量的抽样 方法，产生随机数。
⑥
N 个样本值
⑦统计分析，估计均 值，标准差
例子
某投资项目每年所得盈 利额A由投资额P、劳动 生产率L、和原料及能 源价格Q三个因素。
离散型分布的直接抽样方法

对于任意离散型分布：
F ( x) Pi
xi x
其中 x1 ， x2 ， … 为离散型分布函数的跳跃点， P1 ， P2，… 为相应的概率，根据前述直接抽样法，有离散型 分布的直接抽样方法如下：
X F xI , 当 Pi Pi
i＝1 i＝1 I－1 I
一些人进行了实验，其结果列于下表 ：
实验者 沃尔弗(Wolf) 年份 1850 投计次数 5000 π的实验值 3.1596
斯密思(Smith)
福克斯(Fox) 拉查里尼 (Lazzarini)
1855
1894 1901
3204
1120 3408
3.1553
3.1419 3.1415929
20 世纪四十年代，由于电子计算机的出现，利用电子计算机可以 实现大量的随机抽样的试验，使得用随机试验方法解决实际问题 才有了可能。 其中作为当时的代表性工作便是在第二次世界大战期间，为解 决原子弹研制工作中，裂变物质的中子随机扩散问题，美国数学 家冯.诺伊曼（Von Neumann）和乌拉姆（Ulam）等提出蒙特卡 罗模拟方法。 由于当时工作是保密的，就给这种方法起了一个代 号叫蒙特卡罗，即摩纳哥的一个赌城的名字。用赌城的名字作为 随机模拟的名称，既反映了该方法的部分内涵，又易记忆，因而 很快就得到人们的普遍接受。
蒙特卡罗方法的基本思想
蒙特卡罗方法又称计算机随机模拟方法。 它是以概率统计理论为基础的一种方法。 由蒲丰试验可以看出，当所求问题的解是 某个事件的概率，或者是某个随机变量的 数学期望，或者是与概率、数学期望有关 的量时，通过某种试验的方法，得出该事 件发生的频率，或者该随机变量若干个具 体观察值的算术平均值，通过它得到问题 的解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。
常用概率分布的抽样公式
分布名称 [a，b]均匀分布 指数分布 抽样公式 注
a b a r
ln r
12 ri 6 i 1
正态分布
三角分布
ca a b a c a r ,0 r ba a，b，c为三角分布 ca 的参数 b b a b c 1 r , r 1 ba

该结果表明，为了实现由任意离散型分布的随机抽 样，直接抽样方法是非常理想的。
例1. 二项分布的抽样

为：
二项分布为离散型分布，其概率函数
n P( x n) Pn CN P n (1 P) N n

其中，P为概率。对该分布的直接抽 样方法如下：
X F n, 当 Pi Pi
Monte Carlo方法是计算机模拟的基础，它 的名字来源于世界著名的赌城——摩纳哥的 蒙特卡洛，其历史起源于1777年法国科学家 蒲丰提出的一种计算圆周 π的方法——随机 投针法，即著名的蒲丰投针问题。
Monte Carlo方法的基本思想是首先建立一个 概率模型，使所求问题的解正好是该模型的 参数或其他有关的特征量．然后通过模拟一 统计试验，即多次随机抽样试验（确定m和 n），统计出某事件发生的百分比．只要试验 次数很大，该百分比便近似于事件发生的概 率．这实际上就是概率的统计定义．利用建 立的概率模型，求出要估计的参数．蒙特卡 洛方法属于试验数学的一个分支．
0, x 0 F ( x ) x, 0 x 1 特征：独立性、均匀性 1, x 1
分布函数为：
随机数的产生方法
随机数表 物理方法 计算机方法
随机数表
随机数表是由0,1,2,…,9十个数字组成，每 个数字以0.1的概率出现，数字之间相互独 立。 方法：如果要得到n位有效数字的随机数， 只需将表中每n个相邻的随机数字合并在一 起，且在最高位的前边加上小数点即可。
X
n k 1 k
随机数
随机数的定义
用Monte Carlo方法模拟某过程时，需要产生各种概率分布的随机变 量。最简单、最基本、最重要的随机变量是在［0，1］上均匀分布 的随机变量。由该分布抽取的简单子样称为随机数序列，其中每一 个体称为随机数。随机数属于一种特殊的由已知分布的随机抽样问 题。随机数是随机抽样的基本工具。 ［0，1］上均匀分布（单位均匀分布），其分布密度函数为： 1, 0 x 1 f ( x) 0, 其他
Monte Carlo方法的发展历史
早在17世纪，人们就知道用事件发生的 “频率”来决定事件的“概率”。从方法 特征的角度来说可以一直追溯到18世纪后 半叶的蒲丰（Buffon）随机投针试验，即 著名的蒲丰问题。
1707-1788
例．蒲丰氏问题

设针投到地面上的位置 可以用一组参数（x,θ）来描 述，x为针中心的坐标，θ为针 与平行线的夹角，如图所示。 任意投针，就是意味着x 与θ都是任意取的，但x的范围 限于［0，a］，夹角θ的范围 限于［0，π］。在此情况下， 针与平行线相交的数学条件是