蒙特卡洛模拟
分子动力学和蒙特卡罗模拟
分子动力学和蒙特卡罗模拟分子动力学和蒙特卡罗模拟是两种常用的计算物理方法，用于研究原子和分子在宏观条件下的行为。
这两种方法有着各自的特点和适用范围，下面我们将分别对分子动力学和蒙特卡罗模拟进行介绍和比较。
分子动力学是一种模拟系统中原子和分子运动的方法。
通过求解牛顿运动方程，可以得到系统中每个原子或分子的位置和速度随时间的演变。
通过这种方法，我们可以研究系统的动力学性质，如扩散、振动等。
分子动力学模拟通常适用于固体和液体系统，以及温度比较高的气体系统。
在模拟过程中，需要考虑原子之间的相互作用力，通常采用势能函数来描述这种相互作用。
分子动力学模拟的精度较高，能够提供丰富的信息，但计算成本也较高。
蒙特卡罗模拟是一种通过统计抽样的方法来模拟系统行为的方法。
在蒙特卡罗模拟中，系统状态的演化是通过随机抽样进行的，而不是通过求解微分方程来得到。
蒙特卡罗模拟中的每一步都是根据一定的概率规则进行的，因此可以得到系统的平衡态性质。
蒙特卡罗模拟通常适用于温度较低的系统，例如凝聚态物质的相变过程。
蒙特卡罗模拟的优点在于计算成本低，适用于大规模系统的研究，但是通常无法提供系统的动力学信息。
总的来说，分子动力学和蒙特卡罗模拟是两种互补的计算物理方法，各有优点和局限性。
在具体研究问题时，可以根据系统的性质和研究的目的选择合适的方法进行模拟。
同时，两种方法在实际研究中也可以相互结合，以得到更全面的信息和更深入的理解。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解分子动力学和蒙特卡罗模拟这两种重要的计算方法。
蒙特卡洛(Monte Carlo)模拟法
当科学家们使用计算机来试图预测复杂的趋势和事件时, 他们通常应用一类需要长串的随机数的复杂计算。
设计这种用来预测复杂趋势和事件的数字模型越来越依赖于一种称为蒙特卡罗模似的统计手段, 而这种模拟进一步又要取决于可靠的无穷尽的随机数目来源。
蒙特卡罗模拟因摩纳哥著名的赌场而得名。
它能够帮助人们从数学上表述物理、化学、工程、经济学以及环境动力学中一些非常复杂的相互作用。
数学家们称这种表述为“模式”, 而当一种模式足够精确时, 他能产生与实际操作中对同一条件相同的反应。
但蒙特卡罗模拟有一个危险的缺陷: 如果必须输入一个模式中的随机数并不像设想的那样是随机数, 而却构成一些微妙的非随机模式, 那么整个的模拟(及其预测结果)都可能是错的。
最近, 由美国佐治亚大学的费伦博格博士作出的一分报告证明了最普遍用以产生随机数串的计算机程序中有5个在用于一个简单的模拟磁性晶体中原子行为的数学模型时出现错误。
科学家们发现, 出现这些错误的根源在于这5个程序产生的数串其实并不随机, 它们实际上隐藏了一些相互关系和样式, 这一点只是在这种微小的非随机性歪曲了晶体模型的已知特性时才表露出来。
贝尔实验室的里德博士告诫人们记住伟大的诺伊曼的忠告:“任何人如果相信计算机能够产生出真正的随机的数序组都是疯子。
”蒙特卡罗方法（MC）蒙特卡罗（Monte Carlo）方法：蒙特卡罗（Monte Carlo）方法，又称随机抽样或统计试验方法，属于计算数学的一个分支，它是在本世纪四十年代中期为了适应当时原子能事业的发展而发展起来的。
传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
这也是我们采用该方法的原因。
蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：当所要求解的问题是某种事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，它们可以通过某种“试验”的方法，得到这种事件出现的频率，或者这个随机变数的平均值，并用它们作为问题的解。
蒙特卡洛模拟
2013年9月2日
29
蒲丰投针问题
2013年9月2日
30
蒙特卡洛与21点
▪ 大多数赌场使用6副牌或8副牌玩这种游戏，以 防止“数牌点”，在你的模拟中使用两副牌(共 104张)。只有2位参与者，你和庄家。游戏开始 时每人得到两张牌，对于牌面为2~10的牌，点 数和面数相同；对于为人脸(J、Q、K)的牌， 点数为10；牌面为A的牌，点数为1或者11.游 戏的目的是得到总数尽量接近21点的牌，不得 超过(超过称“爆了”)，并使你得到的总点数 多于庄家。
2013年9月2日
3
Monte Carlo方法的发展历史
▪ 1777年，古稀之年的蒲丰在家中请来好些 客人玩投针游戏（针长是线距之半），他事 先没有给客人讲与π有关的事。客人们虽然 不知道主人的用意，但是都参加了游戏。他 们共投针2212次，其中704次相交。蒲丰说， 2212/704=3.142，这就是π值。这着实让人 们惊喜不已。
39
误差具有概率性
▪ 由于蒙特卡罗方法的误差是在一定置信水平下 估计的，所以它的误差具有概率性，而不是一 般意义下的误差。
2013年9月2日
40
蒙特卡罗方法的主要应用范围
▪ 蒙特卡罗方法所特有的优点，使得它的应用范 围越来越广。它的主要应用范围包括：粒子输 运问题，统计物理，典型数学问题，真空技术， 激光技术以及医学，生物，探矿等方面，特别 适用于在计算机上对大型项目、新产品项目和 其他含有大量不确定因素的复杂决策系统进行 风险模拟分析。随着科学技术的发展，其应用 范围将更加广泛。
1不满足相互独立的要求2不可避免的出现重复问题因此我们将计算机产生的随机数称为伪随机数大连大学数学建模工作室产生伪随机数的方法大连大学数学建模工作室matlab中生成随机数的函数大连大学数学建模工作室matlab中生成随机数的函数exprnd指数分布的随机数生成器geornd几何分布的随机数生成器poissrnd泊松分布的随机数生成器unidrnd离散均匀分布的随机数生成器unifrnd连续均匀分布的随机数生成器betarnd贝塔分布的随机数生成器binornd二项分布的随机数生成器matlab中生成随机数的函数大连大学数学建模工作室其它函数大连大学数学建模工作室蒙特卡洛方法的实例讲解计算圆周率在平面上画一个半径r的圆和边长为2r的正方形让他们的中心重合
MonteCarlo模拟
counter=counter+1; %统计针与线相交的次数 frame(counter)=getframe; %描点并取帧
end
end
fren=counter/n; pihat=2*l/(a*fren) %用频率近似计算π
1901 3408
3.1415929
蒙特卡罗投点法是蒲丰投针实验的推广：
在一个边长为a的正方形内随机投点，
该点落在此正方形的内切圆中的概率 y
(a/2,a/2)
应为该内切圆与正方形的面积比值，
即 πa/22 : a2 π/4
n=10000; a=2; m=0; for i=1:n
ox
x=rand(1)*a; y=rand(1)*a;
rand(1) %每次重新启动matlab时，输出的随机数不一样
注意: 产生一个参数为λ的指数分布的随机数应输入 exprnd(1/λ)
产生m×n阶参数为A1,A2,A3的指定分布'name'的随机数矩阵 random('name',A1,A2,A3,m,n)
举例: 产生2×4阶的均值为0方差为1的正态分布的随机数矩阵 random('Normal',0,1,2,4) 'name'的取值可以是(详情参见help random)： 'norm' or 'Normal' / 'unif' or 'Uniform' 'poiss' or 'Poisson' / 'beta' or 'Beta' 'exp' or 'Exponential' / 'gam' or 'Gamma' 'geo' or 'Geometric' / 'unid' or 'Discrete Uniform' ……
分子动力学和蒙特卡罗模拟
分子动力学和蒙特卡罗模拟在物理学和化学领域，分子动力学和蒙特卡罗模拟是两种被广泛应用的计算方法，用于研究原子和分子的行为以及宏观系统的性质。
本文将介绍这两种模拟方法的原理、应用领域以及优缺点。
一、分子动力学模拟分子动力学模拟是一种通过数值积分求解牛顿运动方程模拟粒子运动的方法。
该方法基于分子间相互作用力学模型和独立粒子近似，将原子或分子看作质点，通过数值积分方法模拟它们在力场作用下的运动轨迹。
分子动力学模拟可以用于研究各种系统，包括固体、液体和气体等。
通过模拟原子和分子的位置、速度以及相互作用力，可以计算系统的能量、物理性质和动力学过程。
此外，分子动力学模拟还常用于研究相变、化学反应和生物分子等复杂系统。
优点：1. 可以直观地观察和研究分子和原子的运动轨迹。
2. 可以计算系统的热力学性质和物理性质，如能量、压力、粘度等。
3. 可以模拟复杂系统的动力学过程，比如化学反应和相变等。
4. 可以优化材料结构和探索新材料。
缺点：1. 计算时间较长，尤其是对于大规模系统或长时间尺度的模拟。
2. 对于某些复杂系统，需要建立准确的力场模型，这可能需要大量的计算和实验数据。
3. 分子动力学模拟只能模拟系统的经典力学行为，对于量子效应的研究有一定局限性。
二、蒙特卡罗模拟蒙特卡罗模拟是一种基于随机数和统计方法的计算方法，用于模拟复杂的物理系统和统计问题。
该方法通过大量的随机抽样来获取系统的统计信息，模拟系统的行为和性质。
在分子模拟中，蒙特卡罗模拟主要用于模拟平衡态系统，例如气体、液体等。
通过定义某些物理量的随机变化规则，如位移、转动或粒子交换等，通过大量的模拟实验得到系统的平均状况。
优点：1. 能够模拟大尺度的系统和长时间尺度的过程，对于平衡态系统研究有很大优势。
2. 能够计算系统的平均性质，如平均能量、平均密度等。
3. 对于某些统计问题，蒙特卡罗模拟可以得到准确的解析解或数值解。
缺点：1. 不能直接观察粒子的运动轨迹，只能获得平均性质。
蒙特卡罗模拟
@qfdist(p, v1, v2)
Gamma 分布 @rgamma(b, r)
@cgamma(x, b, r) @dgamma(x, b, r)
@qgamma(p, b, r )
logistic 分布 @rlogistic
@clogistic(x)
@dlogistic(x)
@qlogistic(p)
“蒙特卡罗模拟”这个术语是美国物理学家 Metropolis 在第 2 次世界大战时期执 行曼哈顿计划(Manhattan Project)过程中提出的。
作为地名，蒙特卡罗在欧洲的摩那哥（Monaco），以著名赌城而得名。若再晚些 时候，蒙特卡罗模拟也许就称作 Las Vegas（在美国的 Nevada 州，著名赌城）模拟方 法了。
@cnorm(x)
@dnorm(x)
@qnorm(p)
泊松分布
@rpoisson(m)
@cpoisson(x, m) @dpoisson(x, m)
@qpoisson(p, m)
t 分布
@rtdist(v)
@ctdist(x, v)
@dtdist(x, v)
@qtdist(p, v)
均匀分布
@runif(a, b)
@cunif(x, a, b)
@dunif(x, a, b)
@qunif(p, a, b)
8
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第7章 蒙特卡罗模拟
（1）生成服从某种分布的随机数序列 【例】生成标准正态分布、指数分布、poisson分布、t分布的随机数序列 EViews 程序如下：（file：gener2-text01）
series Z=nrnd series X=Z*2+50
蒙特卡罗模拟与历史模拟方法的异同点
蒙特卡罗模拟（Monte Carlo Simulation）和历史模拟方法（Historical Simulation）都是在金融风险管理、工程计算以及其他领域中常用的模拟技术，它们的主要异同点如下：相同点：1.随机性：两种方法都依赖于随机性来模拟现实世界的不确定性。
2.风险评估：两者都被广泛用于风险评估，特别是在金融市场风险分析中，如计算金融资产的价值变动、估计潜在损失（如Value at Risk，VaR）等。
3.计算机模拟：这两种方法都需要通过计算机程序生成大量随机数据来模拟未来可能发生的情景。
不同点：1.数据来源：o蒙特卡罗模拟：通过随机数生成器模拟未来可能发生的各种状态，这些状态不一定基于历史数据，而是基于预设的概率分布和模型参数。
o历史模拟：直接使用历史数据来模拟未来情况，假设未来发生的可能性与过去相似。
这种方法假设历史数据可以很好地代表未来的不确定性。
2.模拟过程：o蒙特卡罗模拟：构建模型并设定参数后，反复模拟未来可能出现的各种情景，多次迭代计算期望结果和风险指标。
o历史模拟：收集一段时间的历史数据，然后对这些数据进行重采样（bootstrap）或随机排列以创建大量不同的模拟路径。
3.模型依赖：o蒙特卡罗模拟：通常涉及更多对底层风险因素的模型假设，如资产价格变化服从某种特定分布。
o历史模拟：较少依赖复杂的模型，更多依赖实际历史数据，因此对于非线性关系和极端事件的捕捉可能更为直观，但可能无法很好地处理未曾经历过的极端情况。
4.适应性：o蒙特卡罗模拟：适用于对尚未发生或未来可能发生的新情况建模，特别适合于处理复杂的金融衍生品定价和风险评估。
o历史模拟：更适合于已有充足历史数据可供分析的情况，尤其在市场行为可能具有较强历史趋势和周期性的时候。
5.局限性：o蒙特卡罗模拟：对模型假设的依赖较大，如果假设偏差可能影响模拟结果的准确性。
o历史模拟：依赖于历史数据的质量和完整性，且可能低估极端事件发生的概率（即所谓的“肥尾”问题）。
蒙特卡罗模拟
则 [0,1] 的一串数称为 [0,1] 上均匀分 R 的样本值，即以即以等概率取自 则R 的样本值，即以即以等概率取自 [0,1] 的一串数称为 [0,1] 上均匀分 0 , 其他 1, x 1 布的随机数。 布的随机数。 （ 2 ）产生方法 R 则 的样本值，即以即以等概率取自[0,1]的一串数称为[0,1]上均匀分 ② 产生方法 ② 产生方法 物理方法： 一是放射性物质随机蜕变； 二是电子管回路的热噪声。 （如 布的随机数。 物理方法： 一是放射性物质随机蜕变； 二是电子管回路的热噪声。 （如 可将热噪声源装于计算机外部， 按其噪声电压的大小表示不同的随机 ② 产生方法 可将热噪声源装于计算机外部， 按其噪声电压的大小表示不同的随机 数。此法产生的随机性最好，但产生过程复杂。 ） 物理方法： 一是放射性物质随机蜕变； 二是电子管回路的热噪声。 （如 数。此法产生的随机性最好，但产生过程复杂。 ） 查随机数表 ---”” Rand ”（ 1955 年由美国兰德公司编制，有随机数 可将热噪声源装于计算机外部， 按其噪声电压的大小表示不同的随机 查随机数表 ---RandTable Table ”（ 1955 年由美国兰德公司编制，有随机数 100 ）随机数表中的数字具有均匀的随机性，没有周期性。使 数。此法产生的随机性最好，但产生过程复杂。 ） 100 万个。 万个。 ）随机数表中的数字具有均匀的随机性，没有周期性。使 用时，可根据需要任取一段（横或竖） 。如需 个，便可从中取（顺 查随机数表 ----”Rand Table”（1955 年由美国兰德公司编制，有随机数 用时，可根据需要任取一段（横或竖） 。如需20 20 个，便可从中取（顺 次） 20 100 万个。 ）随机数表中的数字具有均匀的随机性，没有周期性。使 次） 20 个，需要几位取几位，随机数表无所谓位数，不能四舍五入。 个，需要几位取几位，随机数表无所谓位数，不能四舍五入。 由递推公式（如同余数公式）在计算机内产生伪随机数：由于第 i+1 用时，可根据需要任取一段（横或竖） 。如需 20 个，便可从中取（顺 由递推公式（如同余数公式）在计算机内产生伪随机数：由于第 i+1 我们在使用中可以在 Excel中产生随机数，命令为Rand（） 个随机数是由第 i 个按一定公式推算出来的，故并非真正的随机数。 次） 20 个，需要几位取几位，随机数表无所谓位数，不能四舍五入。 个随机数是由第 i 个按一定公式推算出来的，故并非真正的随机数。 但满足： 由递推公式（如同余数公式）在计算机内产生伪随机数：由于第 i+1 但满足： a）有较好的随机、均匀性。 个随机数是由第 i 个按一定公式推算出来的，故并非真正的随机数。 a）有较好的随机、均匀性。 b）周期长、重复性差。 但满足： b）周期长、重复性差。 c）算法过程不退化（即不能反复出现某一常数。 ） ac ）有较好的随机、均匀性。 ）算法过程不退化（即不能反复出现某一常数。 c）算法过程不退化） d）算法可再现，速度快。 bd ）周期长、重复性差。 ）算法可再现，速度快。 d）算法可再现，速度快。 故这是目前最常用的方法。 c）算法过程不退化（即不能反复出现某一常数。 ） 故这是目前最常用的方法。
蒙托卡罗模拟法
蒙托卡罗模拟法
蒙特卡罗模拟法是一种基于随机数生成的计算方法，用于模拟现实世界中的复杂问题。
该方法源于20世纪40年代的核物理研究，当时科学家们需要模拟核反应的概率和能量分布。
随后，这种方法被广泛应用于金融、物理、统计学、计算机科学等领域。
蒙特卡罗模拟法的核心思想是通过多次重复随机实验，统计得到问题的概率分布和平均值。
在金融领域，该方法常用于风险管理和投资组合优化。
例如，模拟股票价格的随机波动和投资组合的收益分布，可以估计风险和回报的概率分布，并制定相应的投资策略。
在物理学和工程学领域，蒙特卡罗模拟法可以用于计算复杂系统的性质和行为。
例如，通过随机生成粒子的位置和速度，可以模拟原子核反应、分子运动和材料性质等问题。
在计算机科学领域，蒙特卡罗模拟法也被广泛应用于优化算法、人工智能和游戏设计等方面。
总之，蒙特卡罗模拟法是一种重要的计算方法，具有广泛的应用前景。
它不仅可以解决现实世界中的复杂问题，还可以帮助人们更好地理解自然和社会现象。
- 1 -。
蒙特卡罗模拟的原理和应用
蒙特卡罗模拟的原理和应用1. 蒙特卡罗模拟的概念蒙特卡罗模拟是一种使用随机数和概率统计方法来解决具有随机性问题的模拟方法。
它是通过在一定范围内生成随机数，然后根据概率统计来模拟和计算某种情况发生的可能性。
2. 蒙特卡罗模拟的原理蒙特卡罗模拟的原理基于随机数的生成和概率统计的原理。
它通过生成大量的随机数，然后根据某种概率统计来计算模拟结果。
其基本步骤如下： - 设定问题的数学模型 - 生成随机数 - 根据随机数和概率统计计算模拟结果 - 重复上述步骤多次，计算模拟结果的平均值或概率分布3. 蒙特卡罗模拟的应用蒙特卡罗模拟在各个领域都有广泛的应用，下面列举了几个常见的应用场景：3.1 蒙特卡罗模拟在金融领域的应用•金融风险评估：通过蒙特卡罗模拟，可以模拟不同投资组合的风险和回报，帮助投资者评估风险并做出决策。
•期权定价：蒙特卡罗模拟可以用来计算期权的合理价格，根据大量模拟结果计算期望收益或期望损失。
3.2 蒙特卡罗模拟在工程领域的应用•结构设计：通过蒙特卡罗模拟可以对结构的安全性进行评估，模拟不同参数下的结构响应，并根据概率统计计算结构的可靠性。
•制造过程优化：蒙特卡罗模拟可以根据制造参数和随机变量的分布，模拟不同制造过程的结果，并优化制造参数以提高产品质量。
3.3 蒙特卡罗模拟在医学领域的应用•生物统计学分析：蒙特卡罗模拟可以用来模拟不同的实验结果，根据实验数据和概率统计计算结果的可靠性。
•临床试验设计：通过蒙特卡罗模拟可以模拟不同的临床试验方案，评估试验效果和样本量大小。
4. 蒙特卡罗模拟的优缺点4.1 优点•可以模拟复杂的问题，不受问题的数学形式限制。
•可以处理概率和随机性问题，提供定量的结果。
•可以通过增加模拟次数提高结果的准确性。
4.2 缺点•需要大量的计算资源和时间。
•模拟结果的准确性受到模拟次数的影响，需要进行准确的收敛判断。
•对于复杂问题，难以确定合适的概率分布。
5. 总结蒙特卡罗模拟是一种基于随机数和概率统计的模拟方法，通过生成大量的随机数并根据概率分布计算模拟结果。
蒙特卡罗模拟在金融领域中的应用
蒙特卡罗模拟在金融领域中的应用1. 引言金融领域是多变而复杂的，许多风险和不确定性的因素使得金融决策变得困难。
蒙特卡罗模拟作为一种强大的数学工具，被广泛应用于金融领域，用于模拟和评估投资、风险管理等方面的决策。
本文将详细探讨蒙特卡罗模拟在金融领域中的应用。
2. 蒙特卡罗模拟概述蒙特卡罗模拟是一种基于统计学原理的方法，通过随机抽样来模拟不同的情景，并基于这些情景做出决策。
它通常由以下几个步骤组成：(1) 确定要研究的问题及问题中的各个参数。
(2) 设定参数的概率分布，并生成随机数，通过模拟生成可能的情景。
(3) 根据模拟结果，计算出相应的指标，例如预期收益、风险等。
(4) 通过对多次模拟的结果进行统计分析，得出在不同情景下的期望和方差等指标。
(5) 最终根据这些指标做出相应的金融决策。
3. 蒙特卡罗模拟在投资决策中的应用蒙特卡罗模拟在投资决策中的应用主要集中在评估不同投资组合的效果和风险。
通过模拟随机变量的分布，可以模拟出不同投资组合在不同市场情况下的收益和风险水平。
基于这些结果，投资者可以选择最佳的投资组合，同时也可以评估投资组合可能面临的风险。
4. 蒙特卡罗模拟在风险管理中的应用风险管理在金融领域中是至关重要的。
蒙特卡罗模拟可以用于评估不同金融产品或投资组合的风险水平，并对可能的风险进行量化。
例如，在衍生品交易中，可以利用模拟方法对风险敞口进行估计和管理。
通过模拟大量情景，可以得出不同市场状态下的风险值，帮助机构或个人制定风险控制策略。
5. 蒙特卡罗模拟在期权定价中的应用期权是金融市场中常见的金融工具之一。
蒙特卡罗模拟在期权定价中的应用是一种有效的方法。
通过模拟资产价格的路径，可以得到不同期权价格的分布。
这对于评估期权的价值和风险至关重要，同时也有助于为期权交易提供参考。
6. 蒙特卡罗模拟在保险行业中的应用保险行业是与风险紧密相关的行业，蒙特卡罗模拟在保险公司的风险评估和资本管理中有重要作用。
蒙特卡洛模拟法
( exact ) one component failure Probability of event = 3.689875E-001 ( +/- 5.682113E-003 )
蒙特卡洛模拟法应用实例
Rank Failure mode
Failures Estimated Probability Importance 1 ac 1421 1.243375E-001 ( +/- 3.298413E-003 ) 33.70% 2 ab 1413 1.236375E-001 ( +/- 3.289116E-003 ) 33.51% 3 abc 1383 1.210125E001 ( +/- 3.254012E-003 ) 32.80%
蒙特卡洛模拟法应用实例
Primary Event Analysis: Event
a
b
c
Failure contrib. Importance 4.900000E-001 132.80% 2.446500E-001 66.30% 2.453500E-001 66.49%
差等），所构造的模型在主要特征参量方面 要与实际问题或系统相一致 2 .根据模型中各个随机变量的分布，在计算 机上产生随机数，实现一次模拟过程所需的 足够数量的随机数。通常先产生均匀分布的 随机数，然后生成服从某一分布的随机数， 方可进行随机模拟试验。
蒙特卡洛模拟法步骤
3. 根据概率模型的特点和随机变量的分布特 性，设计和选取合适的抽样方法，并对每个 随机变量进行抽样（包括直接抽样、分层抽
蒙特卡洛模拟法应用实例
Compressed: Rank Failure mode
Failures Estimated Probability Importance 1 ab 2796 2.446500E-001 ( +/- 4.626756E-003 ) 66.30% 2 ac 2804 2.453500E-001 ( +/- 4.633371E-003 ) 66.49%
《蒙特卡罗模拟》课件
蒙特卡罗模拟的基本原理
重复实验：多次重复抽样实 验，得到大量样本
统计分析：对样本进行统计 分析，得到估计值
随机抽样：从概率分布中随 机抽取样本
误差估计：计算估计值的误 差，评估模拟结果的准确性
蒙特卡罗模拟的应用领域
金融领域：风 险评估、投资 决策、期权定
价等
工程领域：可 靠性分析、优 化设计、系统
建立模型：根据问 题建立数学模型
设定参数：设定模 型中的参数
模拟实验：进行模 拟实验，验证模型 的准确性
实现随机抽样
确定抽样范围：确定需要抽样的总体范围
生成随机数：使用随机数生成器生成随机数
确定抽样方法：选择合适的抽样方法，如简单随机抽样、 分层抽样等
实施抽样：根据抽样方法，从总体中抽取样本
Part Four
蒙特卡罗模拟的案 例分析
金融衍生品定价
蒙特卡罗模拟在金融 衍生品定价中的应用
案例分析：期权定价 模型
蒙特卡罗模拟在期权 定价中的应用
案例分析：利率衍生 品定价模型
蒙特卡罗模拟在利率 衍生品定价中的应用
风险评估
蒙特卡罗模拟是一种风险评估方法，通过模拟随机事件来预测可能的结果 案例分析可以帮助我们更好地理解蒙特卡罗模拟的应用场景和效果 风险评估可以帮助我们更好地理解风险，并采取相应的措施来降低风险 蒙特卡罗模拟在金融、工程、医学等领域都有广泛的应用
统计分析：对计算得到的统计量进行统计分析，得出结论
分析和解读结果
蒙特卡罗模拟是一种随机模拟方法，通过模拟随机事件来估计概率分布
实现步骤包括：设定随机变量、设定随机数生成器、设定模拟次数、模拟随机事件、计算结 果
结果分析：通过模拟结果可以估计出概率分布，从而进行决策
蒙特卡罗模拟
一，蒙特卡罗模拟的由来蒙特卡洛(Monte Carlo)模拟是一种通过设定随机过程，反复生成时间序列，计算参数估计量和统计量，进而研究其分布特征的方法。
具体的，当系统中各个单元的可靠性特征量已知，但系统的可靠性过于复杂，难以建立可靠性预计的精确数学模型或模型太复杂而不便应用时，可用随机模拟法近似计算出系统可靠性的预计值；随着模拟次数的增多，其预计精度也逐渐增高。
由于涉及到时间序列的反复生成，蒙特卡洛模拟法是以高容量和高速度的计算机为前提条件的，因此只是在近些年才得到广泛推广。
这个术语是二战时期美国物理学家Metropolis执行曼哈顿计划的过程中提出来的。
蒙特卡洛模拟方法的原理是当问题或对象本身具有概率特征时，可以用计算机模拟的方法产生抽样结果，根据抽样计算统计量或者参数的值；随着模拟次数的增多，可以通过对各次统计量或参数的估计值求平均的方法得到稳定结论。
二，蒙特卡罗模拟产生随机数的方法(1),用Excel菜单工具产生随机数。
(2),用Excel函数产生随机变量。
三，蒙特卡罗模的应用(1),估计面积和体积(2),MC模拟1，生日问题假设有N个人在一起，各自的生日为365天之一，根据概率理论，与很多人的直觉相反，只需有23个人便有大于50%的几率人群中至少有两个人的生日相同。
2，薄丰的投针问题3，中子屏蔽问题4，21点问题5，参数模拟问题6，辐射转移问题7，在数学中的应用通常蒙特·卡罗方法通过构造符合一定规则的随机数来解决数学上的各种问题。
对于那些由于计算过于复杂而难以得到解析解或者根本没有解析解的问题，蒙特·卡罗方法是一种有效的求出数值解的方法。
一般蒙特·卡罗方法在数学中最常见的应用就是蒙特·卡罗积分。
非权重蒙特卡罗积分，也称确定性抽样，是对被积函数变量区间进行随机均匀抽样，然后对被抽样点的函数值求平均，从而可以得到函数积分的近似值。
此种方法的正确性是基于概率论的中心极限定理。
蒙特卡罗模拟方法
蒙特卡罗模拟方法的优点： （1）模拟算法简单，过程灵活； （2）可模拟分析多元风险因素变化 对结果的影响； （3）模拟成本低，并可方便地补充 更新数据。
蒙特卡罗模拟方法的局限性： （1）蒙特卡罗方法要求的数据信息较多。 （2）进行模拟的前提是各输入变量是相 互独立的。 （3）对一些复杂问题，要想达到较高的 模拟精度需要进行较多的模拟次数。
有了这些随机产生函数，就 可以直接产生满足分布F(x)的随 机数了，而无需通过先求出连 续均匀分布的随机数，在通过 抽样公式得出所求分布的随机 数。下面来通过一个实例来加 深对蒙特卡罗模拟方法的理解。
第五节 项目风险案例分析
现以成都某房地产开发公司对一综合开 发用地进行投资开发为例，用基于蒙特卡 罗模拟方法为原理的 EXCEL 插件—— Crystal Ball工具对该开发项目进行风险决 策分析。 一、项目概况和基本数据的确定
a，b，c为三角分布 的参数
分布
a ( b a ) r1
f [ a ( b a ) r1 ] f ( m ) r2 b r 1 a s 1
m rs2
r，s为函数参数
实际上，Matlab软件为我们提供了一种 简单快捷的产生各种常用分布随机数的方 法。其功能和特点： （1）界面友好，编程效率高。 （2）功能强大，可扩展性强。 （3）强大的数值计算功能和符号计算功 能。 （4）图形功能灵活方便。
二、采用蒙特卡罗方法进行风险决策分析
（一）、识别项目风险 在投资开发项目时，实际情况千差万别，重要 的风险变量也各不相同，这就需要分析人员根据 项目的具体情况，运用适当的风险辨识的方法从 影响投资的众多因素中找出关键的风险变量。本 案例采用“德尔菲法”确定影响该项目的7个主要 风险变量：住宅销售收入（P1*S1）、商业销售 收入（P2*S2）、土地费用（K1）、前期费用 （K2）、开发建设费用（K3）、营销费用 （K4）、其他费用（K5）。
蒙特卡罗模拟在物理化学中的应用
蒙特卡罗模拟在物理化学中的应用随着科技的发展，计算机在科学研究中的应用越来越广泛，特别是在物理化学中的应用更是不可或缺。
原子、分子在运动中的各种行为，如化学反应、扩散、聚集等都可以通过计算机模拟来展现。
而蒙特卡罗（Monte Carlo）模拟作为一种常用的计算方法在物理化学领域具有重要的应用，下面将从蒙特卡罗模拟的基本原理及其应用进行介绍。
一、蒙特卡罗模拟的基本原理蒙特卡罗模拟是指通过随机采样的方式对一定的物理系统进行模拟的方法。
其基本思想是将物理系统内部的问题抽象出来，用一组可重复的伪随机数来生成系统的各种状态，模拟物理过程的发展，得到物理系统的性质。
其中，伪随机数是一种依据某个确定的产生规律而生成的数列，是一个随机分布，其各个数之间的关系是以概率的方式随机进行的。
而在蒙特卡罗模拟中，产生的伪随机数会被用来作为物理系统中各个分子的运动轨迹的随机性。
二、1. 分子动力学模拟物质在微观层面上的运动行为是分子动力学模拟的研究对象。
在分子动力学模拟中，蒙特卡罗模拟是一种常用的手段。
通过随机生成分子的位置、速度等初始状态，模拟分子在固定温度、压力等条件下的运动轨迹，以此研究分子之间的相互作用，并分析物质的热力学性质、结构性质和动力学性质等。
2. 热力学模拟在热力学模拟中，蒙特卡罗模拟可以用来模拟统计性质以及研究相互作用的效应。
例如，在晶体学中，可以使用蒙特卡罗模拟来确定一个晶体状态下分子间的相互作用力和位点之间的相互关系。
通过模拟不同的温度下的晶体状态，研究其相变规律和物质的相变过程。
3. 化学反应模拟化学反应是物理化学研究中最重要的问题之一。
在化学反应模拟中，蒙特卡罗模拟可以用来模拟分子之间的结构和相互作用，预测化学反应的热力学和动力学性质。
例如，通过模拟光合作用的反应机理，研究植物光合作用的分子机制，预测光合作用的产物。
4. 电子结构模拟电子结构是物理化学中的重要问题，决定了原子和分子的化学性质。
在电子结构模拟中，蒙特卡罗模拟可以用来计算原子和分子的基态电子能级和电子云的分布。
蒙特卡罗模拟磁结构
蒙特卡罗模拟磁结构蒙特卡罗模拟作为一种统计学的计算方法，被广泛应用于各个科学研究领域。
在磁学领域，蒙特卡罗模拟对于理解和预测复杂磁结构的行为起到了至关重要的作用。
本文旨在探讨蒙特卡罗模拟在磁结构研究中的应用，阐述其基本原理、方法，并结合具体案例展示其在解决磁学问题中的优势与挑战。
一、蒙特卡罗模拟原理蒙特卡罗方法是一种以概率为基础的数值计算方法。
它的基本思想是通过随机抽样来估计数学上的积分或求解复杂系统的问题。
在磁学模拟中，蒙特卡罗方法通常用于模拟磁矩在给定温度下的热涨落行为。
在蒙特卡罗模拟中，每个磁矩被视为一个具有特定方向和大小的矢量。
系统的总能量由磁矩之间的相互作用能决定，这通常包括交换能、磁晶各向异性能和偶极-偶极相互作用能等。
模拟过程中，随机选择一个磁矩，并尝试改变其方向。
根据Metropolis算法，如果新的磁矩方向导致系统总能量降低，则接受该变化；如果总能量增加，则以一定的概率接受该变化，这个概率与能量增加量和温度有关。
通过这种方式，蒙特卡罗模拟能够在有限的计算资源下，有效地模拟出大量磁矩的集体行为，从而揭示出磁结构的宏观性质。
二、蒙特卡罗模拟在磁结构研究中的应用1.磁相变研究蒙特卡罗模拟在磁相变研究方面发挥着重要作用。
通过模拟不同温度下磁矩的排列情况，可以研究磁体从有序相到无序相的转变过程。
例如，在铁磁材料中，随着温度的升高，磁矩的热涨落增强，最终导致磁序的破坏和磁相变的发生。
蒙特卡罗模拟可以定量地描述这一过程中的磁化强度、磁化率等物理量的变化。
2.磁畴结构模拟磁畴是铁磁材料中自发形成的微小磁化区域，其内部的磁矩排列具有一致性。
蒙特卡罗模拟可以用于研究磁畴的形成、演化和消失过程。
通过模拟不同条件下的磁畴结构，可以深入了解磁畴壁的运动规律、磁畴之间的相互作用以及外场对磁畴结构的影响。
3.磁化动力学模拟蒙特卡罗模拟还可以用于研究磁化动力学过程。
通过引入时间依赖的磁场或温度场，可以模拟磁矩随时间的演化过程。
蒙特卡罗模拟微分方程
蒙特卡罗模拟微分方程蒙特卡罗模拟是一种数值计算方法，可以用来解决各种复杂的问题，包括微分方程。
在本文中，我们将介绍蒙特卡罗模拟在微分方程求解中的应用，并详细讨论其原理和步骤。
首先，让我们来了解一下微分方程。
微分方程是描述自然界中各种变化和关系的数学工具。
一般由未知函数及其导数或微分的关系式组成。
微分方程在科学和工程领域有着广泛的应用，例如描述物理系统的运动、描述化学反应的过程等等。
对于一些简单的微分方程，我们可以使用解析方法来求解，但是对于复杂的微分方程来说，解析方法往往很难找到，这时就需要借助数值计算方法来求解。
而蒙特卡罗模拟就是其中一种重要的数值计算方法之一。
蒙特卡罗模拟是一种基于随机数的模拟方法，它通过随机数的重复抽样计算和统计来模拟实际问题的数学模型。
在微分方程求解中，蒙特卡罗模拟可以通过生成大量的随机数样本，从而估计微分方程的数值解。
蒙特卡罗模拟求解微分方程的步骤如下：1.确定微分方程的边界条件和初始条件。
微分方程通常需要给定初始条件和边界条件，这些条件是求解微分方程的前提。
2.将微分方程转化为一阶微分方程组。
大多数微分方程可以通过变量替换或者积分方法转化为一阶微分方程组的形式。
将微分方程转化为一阶微分方程组有助于蒙特卡罗模拟进行数值计算。
3.选择步长。
步长是指将时间或者空间区间离散为一系列点的间隔。
步长设置过大会导致精度降低，步长设置过小则计算量太大。
通常需要根据微分方程的特点和计算要求来确定合适的步长。
4.生成随机数样本。
通过随机数生成器生成一系列服从特定分布的随机数样本，这些样本将用于模拟微分方程的求解过程。
5.进行模拟计算。
使用随机数样本和选定的步长来进行模拟计算，根据微分方程的初边值条件和转化后的一阶微分方程组，计算出微分方程的数值解。
6.结果分析。
对计算得到的数值解进行分析和验证，包括误差估计、稳定性分析等。
可以通过比较模拟结果和已知解析解来验证模拟的准确性。
蒙特卡罗模拟在微分方程求解中具有一定的灵活性和适用性，可以较好地应用于复杂的微分方程求解。
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0, x 0 分布函数为： F ( x ) x ,0 x 1 1, x 1
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2013年9月2日
随机数的定义及其性质
由于随机数在蒙特卡罗方法中占有极其重要的位置， 我们用专门的符号ξ表示。由随机数序列的定义可知， ξ1，ξ2，…是相互独立且具有相同单位均匀分布的随机 数序列。也就是说，独立性、均匀性是随机数必备的两 个特点。 随机数具有非常重要的性质：对于任意自然数s， 由s个随机数组成的s维空间上的点（ξn+1，ξn+2，…ξn+s） 在s维空间的单位立方体Gs上均匀分布，即对任意的ai， 0≤ai≤1，i=1,2,…,s 如下等式成立：
P( n 1 ai ) ai
i 1
2013年9月2日
s
i 1,..., s
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随机数的定义及其性质
其中P(M)表示事件M发生的概率。反之，如果 随机变量序列ξ1, ξ2…对于任意自然数s，由s个 元素所组成的s维空间上的点（ξn+1，…ξn+s） 在Gs上均匀分布，则它们是随机数序列。 由于随机数在蒙特卡罗方法中所处的特殊地位， 它们虽然也属于由具有已知分布的总体中产生 简单子样的问题，但就产生方法而言，却有着 本质上的差别。
福克斯（Fox） 投计次数：1120次 pi的实验值：3.1419
斯密思（Smith） 投计次数：3204次 pi的实验值：3.1553
2013年9月2日 大连大学数学建模工作室
Monte Carlo方法的发展历史
20世纪四十年代，由于电子计算机的出现，利用电子计算机可以实 现大量的随机抽样的试验，使得用随机试验方法解决实际问题才有 了可能。其中作为当时的代表性工作便是在第二次世界大战期间， 为解决原子弹研制工作中，裂变物质的中子随机扩散问题，美国数 学家冯.诺伊曼和乌拉姆等提出蒙特卡罗模拟方法.由于当时工作是保 密的，就给这种方法起了一个代号叫蒙特卡罗，即摩纳哥的一个赌 城的名字。用赌城的名字作为随机模拟的名称，既反映了该方法的 部分内涵，又易记忆，因而很快就得到人们的普遍接受。
Matlab中生成随机数的函数
exprnd 指数分布的随机数生成器 geornd 几何分布的随机数生成器 poissrnd 泊松分布的随机数生成器 unidrnd 离散均匀分布的随机数生成器 unifrnd 连续均匀分布的随机数生成器 betarnd 贝塔分布的随机数生成器 binornd 二项分布的随机数生成器
2013年9月2日
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例.蒲丰氏问题
设针投到地面上的位置可以用一组参数 （x,θ）来描述,x为针中心的坐标,θ为针 与平行线的夹角,如图所示。 任意投针，就是意味着x与θ都是任意取 的，x的范围限于［0，a/2］，夹角θ的 范围限于［0，π］。
2013年9月2日
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2013年9月2日
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Monte Carlo方法的基本思想
蒙特卡罗方法又称计算机随机模拟方法。它是以概 率统计理论为基础的一种方法。 由蒲丰实验可以知道，当所求问题的解是某个事件 的概率，或者是某个随机变量的数学期望，或者是 与概率、数学期望有关的量时。通过某种试验的方 法，得出该事件发生的频率，或者该随机变量若干 个具体观察值的算术平均值，通过它得到问题的解。 这就是蒙特卡洛方法的基本思想。
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2013年9月2日
其它函数
2013年9月2日
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蒙特卡洛方法的实例讲解
计算圆周率 在平面上画一个半径r的圆和边 长为2r的正方形，让他们的中心 重合。随机的向正方形内投点N 次，观察投在圆内的点的数目m。 计算点投在圆内的概率。
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A aP bL cQ d
2 1 2
N 抽取P,L,Q一组 随机数，代入 模型
收集P,L,Q数据，确定分布函数 f(P),f(L),f(Q)
N
模拟次数N；根据分布函数， 产生随机数
N
建立对随机变量的抽样方 法，产生随机数 产生N个A值 统计分析，估计均 值，标准差
2013年9月2日
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2013年9月2日 大连大学数学建模工作室
受几何条件限制小
在计算s维空间中的任 一区域Ds上的积分，无 论区域Ds的形状多么特 殊，只要能给出描述Ds 的几何特征的条件，就 可以从Ds中均匀产生N 个点
随机数的定义及其性质
随机数的定义 用Monte Carlo方法模拟某过程时，需要产生各种概率分布的随机 变量。最简单、最基本、最重要的随机变量是在［0，1］上均匀分 布的随机变量。由该分布抽取的简单子样称为随机数序列，其中每 一个体称为随机数。随机数属于一种特殊的由已知分布的随机抽样 问题。随机数是随机抽样的基本工具。 ［0，1］上均匀分布（单位均匀分布），其分布密度函数为：
2013年9月2日
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物理方法
基本原理：利用某些物理现象，在计算机上增 加些特殊设备，可以在计算机上直接产生随机 数。 缺点：无法重复实现 费用昂贵
2013年9月2日
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计算机产生随机数
由于在计算机上产生随机数最实用、最常见的 方法是数学法，即采用递推的公式产生随机数。 但随之也带来问题： 1，不满足相互独立的要求 2，不可避免的出现重复问题 因此，我们将计算机产生的随机数称为伪随机数
2013年9月2日
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Monte Carlo方法的基本思想
蒙特卡罗方法又称计算机随机模拟方法。它是以概 率统计理论为基础的一种方法。 由蒲丰实验可以知道，当所求问题的解是某个事件 的概率，或者是某个随机变量的数学期望，或者是 与概率、数学期望有关的量时。通过某种试验的方 法，得出该事件发生的频率，或者该随机变量若干 个具体观察值的算术平均值，通过它得到问题的解。 这就是蒙特卡洛方法的基本思想。
2013年9月2日
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蒙特卡洛的优缺点及其适用范围
1. 2. 3.
缺点 收敛速度慢。 误差具有概率性。 进行模拟的前提是各输入变量是相互独立的。
2013年9月2日
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能够比较逼真地描述具有随机性质的事物的特点及物理实 验过程
从这个意义上讲，蒙特 卡罗方法可以部分代替 物理实验，甚至可以得 到物理实验难以得到的 结果。用蒙特卡罗方法 解决实际问题，可以直 接从实际问题本身出发， 而不从方程或数学表达 式出发。它有直观、形 象的特点。
N个样本值 统计分析，估计均 值，标准差
2013年9月2日
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Monte Carlo方法的框图实例
某投资项目每年所得盈利额A由投资额P、 劳动生产率L、和原料及能源价格Q三个因 素。
1 2
A aP bL cQ d
2
2013年9月2日
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Monte Carlo方法的思想框图实例
2013年9月2日
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蒲丰投针问题
2013年9月2日
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蒙特卡洛与21点
大多数赌场使用6副牌或8副牌玩这种游戏，以 防止“数牌点”，在你的模拟中使用两副牌(共 104张)。只有2位参与者，你和庄家。游戏开始 时每人得到两张牌，对于牌面为2~10的牌，点 数和面数相同；对于为人脸(J、Q、K)的牌， 点数为10；牌面为A的牌，点数为1或者11.游 戏的目的是得到总数尽量接近21点的牌，不得 超过(超过称“爆了”)，并使你得到的总点数 多于庄家。
1 sind g的面积 2 0 2l P a G的面积 a 2
2013年9月2日 大连大学数学建模工作室
Monte Carlo方法的发展历史
历史上的实验
1850 1894
1901
沃尔弗（Wolf） 投计次数：5000次 pi的实验值：3.1596 1855
拉查里尼（Lazzarini） 投计次数：3408次 pi的实验值：3.141592
蒙特卡洛模拟方法
主讲人：李彬
大连大学数学建模工作室 2013年9月2日
蒙特卡洛模拟方法
1
2 3
蒙特卡罗方法概述
蒙特卡洛方法思想框图
相关案例分析及其软件操作
4
蒙特卡洛的优缺点及其适用范围
2013年9月2日
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Monte Carlo方法的发展历史
早在17世纪，人们就知道用事件发生的 “频率”来决定事件的“概率”。从方法特 征的角度来说可以一直追溯到18世纪后半 叶的蒲丰（Buffon）随机投针试验，即著 名的蒲丰问题。
2013年9月2日
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与蒙特卡洛相关的赛题
2010年全国赛A题
2013年9月2日
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蒙特卡洛的优缺点及其适用范围
优点 1. 能够比较逼真地描述具有随机性质的事物的特 点及物理实验过程。 2. 受几何条件限制小。 3. 收敛速度与问题的维数无关。 4. 误差容易确定。 5. 程序结构简单，易于实现。
2013年9月2日
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产生伪随机数的方法
乘同余方法 乘加同余方法 取中方法 加同余方法
2013年9月2日
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Matlab中生成随机数的函数
2013年9月2日
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Matlab中生成随机数的函数
2013年9月2日
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