位似图形的性质
初中数学 什么是位似
初中数学什么是位似位似是初中数学中的一个重要概念，它是指由两个图形通过平移、旋转、翻转或者这些变换的组合而得到的相似图形。
在本文中，我们将详细介绍位似的定义、性质以及一些例子来帮助理解这个概念。
首先，让我们来定义位似。
如果有两个图形，它们的形状和大小是相似的，但位置可能不同，那么我们可以说这两个图形是位似的。
换句话说，位似是指通过平移、旋转、翻转或者这些变换的组合，将一个图形变换为另一个图形。
接下来，我们来讨论位似的性质。
位似具有以下性质：1. 形状相似：位似图形的形状是相似的，即它们的对应角相等，对应边的比例相等。
2. 大小相似：位似图形的大小是相似的，即它们的对应边的比例是相等的。
3. 位置可能不同：位似图形的位置可能不同，它们可以通过平移、旋转、翻转或者这些变换的组合来得到。
4. 变换保持相似性：位似图形之间的变换（如平移、旋转、翻转）保持它们的相似性，即变换前后仍然是位似图形。
让我们来看一些例子来帮助理解位似。
例子1：考虑两个三角形ABC和DEF，其中∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
如果我们通过将三角形ABC沿顺时针方向旋转90度，并将它平移到DEF的位置，那么我们可以说三角形ABC和DEF是位似的。
它们具有相似的形状和大小，但位置可能不同。
例子2：考虑一个正方形和一个矩形，它们的边长比例是相等的，但是它们的形状和位置不同。
通过将正方形进行翻转或者旋转，我们可以得到一个与原正方形位似但位置不同的矩形。
例子3：考虑一个正三角形和一个等腰梯形，它们的形状和位置都不同，但是它们的对应边的比例相等。
通过将正三角形进行翻转或者旋转，我们可以得到一个与原正三角形位似但位置不同的等腰梯形。
通过这些例子，我们可以看到位似的性质和应用。
位似可以帮助我们在研究图形的形状和大小时，通过变换来得到相似的图形，从而简化问题的求解。
此外，位似也可以帮助我们理解和应用其他几何概念，如相似三角形、比例关系等。
位似图形及其性质
圆上任取一点P与定点O连线，在OP线段上取点Q,使OQ=a×OP(a是一个常数）,当P点取遍圆周，得到无数个符合条件的点Q，所有这些点形成的图形是什么呢?
这样的任意对应的三角形都相似，从而任意的曲线形都相似，如果下面的是圆，那么上面的图形也是圆。
该原理为祖暅原理提供了充分的证据！
上下平行的图形或几何体
平行投影
仿射几何学（affine geometry）是几何学的一个分支。属于高等数学的一种。主要应用于测量，建筑，摄影等等。
若一个图形具有某种性质或者某个量，在平行射影下，如果不变，称这个性质为仿射不变性质，这个量称为仿射不变量。经过仿射对应它们也是不变的。同素性、结合性都是仿射不变性质（也就是说，仿射对应把共点的线变成共点的线，把共线的点变成共线的点）。平行四边形在仿射对应下的象还是平行四边形。
位似图形（中心投影）
把幻灯片上的图形放大到屏幕上，形成的新图形和原图形就是典型的位似图形。
位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。
同侧的位似（两者在位似中心的同一侧）
异侧的位似（位似中心在两图像之间）
性质
1.位似图形对应线段的比等于相似比。
2.位似图形的对应角都相等。
3.位似图形对应点连线的交点是位似中心。
4.位似图形面积的比等于相似比的平方。
5.位似图形高、周长的比都等于相似比。
6.位似图形对应边互相平行或在同一直线上。
在平面上由O点出发，作射线OK,交平面上的正方形ABCD与点K，取点K1使OK1=1.7OK,如此任意、无限操作，在新作射线上所取的点形成一个新图形，这个图形将与原图形——正方形ABCD相似。
第15讲 位似图形
第15讲位似图形目标导航课程标准1.了解位似图形、位似中心的概念，掌握位似图形的性质，理解位似变换是特殊的相似变换。
2.会画位似图形，能够利用位似把一个图形放大或缩小。
3.掌握位似图形坐标的变化规律，会利用这个规律求某些特殊点的坐标。
知识精讲知识点01 位似多边形的有关概念一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点A，A 所在的直线都，且有，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做。
实际上，k就是这两个相似多边形的相似比。
注意：位似图形与相似图形的区别位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形。
知识点02 位似图形的性质（1）位似图形上任意一对对应点到的距离之比等于相似比；（2) 位似图形上的每组和在同一条直线上；（3）位似图形的对应线段。
（4）位似图形是特殊的相似图形，因此位似图形具有。
知识点03 位似图形的画法1．位似变换利用位似图形的性质将一个图形进行或叫做位似变换。
2．画位似图形的一般步骤（1）确定位似中心。
（2）确定原图形的，通常是多边形的顶点。
（3）分别原图形中的和，并延长（或截取）。
（4）根据已知的相似比，确定所画位似图形 的位置。
（5） 各点，得到放大或缩小后的图形。
3．实例知识点04 平面直角坐标系中的位似变换1．位似多边形对应点的坐标的变化规律在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数)0( k k ，则所对应的图形与原图形位似，位似中心是 ，它们的相似比为 。
2．平移、轴对称、旋转与位似变换的坐标变化规律 名称 变换规律变换方式平移对应点的横坐标（或纵坐标）加上（或减去）平移的单位长度全等变换轴对称 若以x 轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；若以y 轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数。
旋转若一个图形绕原点旋转180，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标均互为相反数。
位似当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的横坐标、纵坐标之比的绝对值均等于相似比。
位似图形的定义及性质
位似图形的定义及性质什么是位似图形？位似图形（IsomorphicGraphs）是由同一类图形组成的图，它们的全部节点及边都相同，但是它们的外形可能不太一样。
位似图形的定义主要指的是一种同构的连通图，它们之间的节点和边都是相似的。
准确来说，这些图形之间的数量和结构是相同的，只是它们的外形不同。
位似图形的研究可以追溯到1890年，当时首先由荷兰数学家安德森威尔金斯提出。
它是一种独特的结构，可以通过某种形式从一个图中转换到另一个图，而且，只要这两个图是位似图形，它就能够完全保持它们之间的联系。
从数学上来看，位似图形可以被表示为一对有向图。
它们中可能包含一个或多个节点和一个或多个边，这些边可以有不同的方向。
两个位似图形的关系可以用一个分析函数来表示，这个函数的输入是一对图，而输出是一个布尔值，如果给定的两个图形是位似图形，它就会返回一个真值，反之亦然。
位似图形的性质是相当有用的，特别是在研究图论的早期，位似图形的研究有助于数学家们理解图论中的基本概念以及图结构之间的联系。
它也帮助人们发现更多有关任意给定图结构的细节，例如有关它的节点数量、边数量、节点之间的关系等等。
位似图形的研究也是一个重要的工具，它帮助数学家们研究不同图论结构之间的关系。
例如，研究人员可以比较两个不同的图形，看看它们之间有何不同，从而发现它们之间的联系，从而给出更深入的结论。
另外，位似图形在算法和机器学习方面也有很多应用，它们可以帮助计算机程序发现图形之间的关系，并找出有用的特征以及对它们进行分类。
有时，它们甚至可以帮助计算机解决复杂的问题，比如解决最短路径问题。
总的来说，位似图形的定义和性质有助于数学家们更好地理解图结构之间的联系，从而发现更多有用的信息。
它们也有许多应用，例如在计算机程序，机器学习，以及算法研究方面。
位似图形-精品文档
根据定义判定
1 2
平行
如果两个图形是位似图形，那么它们的对应线 段互相平行或共线。
比例
如果两个图形是位似图形，那么它们的对应角 相等，并且对应线段成比例。
3
合同
如果两个图形是位似图形，那么它们具有相同 的形状和大小，只是位置不同。
利用坐标判定
设两个点$P(x_1, y_1)$和$Q(x_2, y_2)$，它们之间的坐标距离为$d(P,Q)$，如果存在一个实数$k$，使得$d(P,Q)=k\cdot d(P',Q')$，则称这两个点之间的距离为位似距离。
加强位似图形的基础理论研究和探索，为未来的应用 创新提供更多理论支撑和实践指导。
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旋转变换
要点一
平面直角坐标系下
将一个图形绕原点旋转一定的角度。
要点二
矩阵表示
旋转变换矩阵为$[\begin{matrix} cos\theta & sin\theta \\ \end{matrix}\begin{matrix} sin\theta & cos\theta \\ \end{matrix}]$，其中$\theta$为旋转 的角度。
位似中心
在位似图形中，对应线段的交点称为位似中心。
位似图形的分类
简单位似
位似中心与任意两对应点连线的交点重合。
复杂位似
位似中心与任意两对应点连线的交点不重合。
位似图形的几何意义
相似图形的对应线 段长度成比例。
位似图形之间的距 离可以表示相似比 。
位似图形的对应角 相等或互补。
02
位似图形的应用
在相似三角形中的应用
判定相似三角形
利用位似图形，可以将两个三角形的对应角相等，对应边成 比例，判定为相似三角形。
位似图形精品课件
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相似多边形位似
总结词
多边形位似是指两个多边形在平面上 以相同的方向和比例放大或缩小，从 而得到的两个位似多边形。
详细描述
多边形位似的判断条件与四边形相似， 需要满足对应角相等和对应边成比例。 此外，还需要考虑多边形的边数和顶 点数是否相等。
相似圆位似
总结词
圆位似是指两个圆在平面上以相同的方向和比例放大或缩小，从而得到的两个位似圆。
图形。
利用位似变换作图
要点一
总结词
通过位似变换，可以将一个图形放大或缩小，从而得到另 一个图形。
要点二
详细描述
位似变换是一种常见的几何变换，它可以将一个图形放大 或缩小，同时保持其形状不变。利用这个变换，我们可以 方便地作出各种不同大小的位似图形。
利用位似图形构造复杂图形
总结词
通过组合和拼接位似图形，可以构造出复杂 的几何图形。
强化位似图形的应用能力培养
总结词
提升应用能力
详细描述
位似图形的应用是教学的重点和难点，教师需要结合实 际问题，引导学生运用位似图形的知识解决实际问题。 可以通过设计案例分析、数学建模等方式，提高学生的 应用能力。
提倡探究学习和合作学习相结合的教学方式
总结词
创新教学方式
详细描述
探究学习和合作学习是促进学生主动学习和合作学习 的有效方式。教师可以设置探究性问题，引导学生自 主探究，同时组织学生进行合作学习，通过交流、讨 论、分享等方式，促进学生对位似图形知识的深入理 解和掌握。
详细描述
位似图形是研究图形相似性的基础，它们在几何学中扮演着重要的角色。通过研 究位似图形的性质和特点，可以深入了解图形的相似性，进而解决各种几何问题 。位似图形在几何学中具有广泛的应用，如建筑设计、地图绘制等领域。
图形的位似
图形的位似要点一、位似多边形1.位似多边形定义:如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.要点诠释：位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.3.平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．4.作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接各对应点.要点诠释：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.要点二、坐标系中的位似图形在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k (k ≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k |.要点诠释：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标等于原来点的坐标乘以（或除以）k 或-k.一、典型例题类型一、位似多边形1. 下列每组的两个图形不是位似图形的是（ ）.A. B. C. D.举一反三【变式】在小孔成像问题中， 根据如图4所示，若O 到AB 的距离是18cm ，O 到CD 的距离是6cm ，则像CD 的长是物AB 长的 （ ）.A. 3倍B.21 C.31 D.不知AB 的长度，无法判断2. 利用位似图形的方法把五边形ABCDE 放大1.5倍.举一反三【变式】在已知三角形内求作内接正方形．类型二、坐标系中的位似图形3.如图，在10×10的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，以点A为位似中心画四边形AB′C′D′，使它与四边形ABCD位似，且相似比为2．（1）在图中画出四边形AB′C′D′；（2）填空：△AC′D′是三角形．4.如图△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，3），C（3，0）．（1）以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC位似，且相似比为2．（2）在（1）的条件下，若M（a，b）为△ABC边上的任意一点，则△DEF的边上与点M对应的点M′的坐标为．举一反三：【变式】如图，将△AOB中各顶点的纵坐标，横坐标分别乘-1，•得到的图形与原图形相比有什么变化？作出所得的图形，这个过程可以看作是一个什么图形变换？二、巩固练习一. 选择题1.下面给出了相似的一些命题：（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似；其中正确的有（）.A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2.下列说法错误的是（）.A.位似图形一定是相似图形.B.相似图形不一定是位似图形.C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行.3.下列说法正确的是（） .A.分别在ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E，使DE∥BC，则ADE是ABC放大后的图形.B.两位似图形的面积之比等于相似比.C.位似多边形中对应对角线之比等于相似比.D.位似图形的周长之比等于相似比的平方.4．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣1，2）B．（﹣9，18）C．（﹣9，18）或（9，﹣18）D．（﹣1，2）或（1，﹣2）5. 下列命题：①两个正方形是位似图形；②两个等边三角形是位似图形；③两个同心圆是位似图形；④平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得的三角形与原三角形是位似图形.其中正确的有( ).A.1个B.2个C.3个D.4个6．如果点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列各式不正确的是（）.A. AB：AC=AC：BCB. AC=512AB-C.AB=512AC+D.BC≈0.618AB7.已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）.A. 512-B.512+C.3D.2二.填空题8. 如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm，且较小图形周长为30cm，则较大图形周长为__________.9.如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB=1.5，则DE=．10．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A B C D E'''''，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A B C D E'''''的周长的比值是__________．11. △ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，△ADE是△ABC缩小后的图形.若DE把△ABC的面积分成相等的两部分，则AD：AB=________.12. 把一矩形纸片对折，如果对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的长与宽之比为____________________.13.如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第，三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，…，依次规律，经第n次变化后，所得正方形OA n B n C n的边长为正方形OABC边长的倒数，则n=．14. 如图，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=36°，∠ABC的平分线与AC边的交点D为边AC的黄金分割点（AD＞DC），则BC=______________.三．综合题15.如图，D、E分别AB、AC上的点.(1)如果DE∥BC，那么△ADE和△ABC是位似图形吗？为什么？(2)如果△ADE和△ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？16.如图，F在BD上，BC、AD相交于点E，且AB∥CD∥EF，（1）图中有哪几对位似三角形，选其中一对加以证明；（2）若AB=2，CD=3，求EF的长．17. 如图1，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=43．（1）求矩形ODEF的面积；（2）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，△ACE的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．。
初中数学知识点精讲精析 位似图形
第五节 位似图形要点精讲（1）位似图形的定义：如果两个多边形相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这两个多边形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。
（2）位似图形的性质：如果两图形F 与是位似图形，它们的位似中心是点O ，相似比为k ，那么：①设A 与是一双对应点，则直线过位似中心O 点，并且．②设A 与，B 与是任意两双对应点，则；若直线AB 、不通过位似中心O ，则．（3）位似图形是相似图形的一种特殊情况，利用位似，可以将一个图形放大或缩小。
（4）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或。
典型例题【例1】如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心．【答案】解：图（1）、（2）和（4）三个图形中的两个图形都是位似图形，位似中心分别是图（1）中的点A ，图（2）中的点P 和图（4）中的点O ．（图（3）中的点O 不是对应点连线的交点，故图（3）不是位似图形，图（5）也不是位似图形）【解析】未似图形是特殊位置上的相似图形，因此判断两个图形是否为位似图形，首先要看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否都经过同一点，这两个方面缺一不可．【例1】 把下图中的四边形ABCD 缩小到原来的21．【答案】（1）在四边形ABCD 外任取一点O ；（2）过点O 分别作射线OA ，OB ，OC ，OD ；（3）分别在射线OA ，OB ，OC ，OD 上取点A ′、B ′、C ′、D ′， 使得21OD D O OC C O OB B O OA A O ='='='='； （4）顺次连接A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′A ′，得到所要画的四边形A ′B ′C ′D ′，如下图。
【解析】：把原图形缩小到原来的21，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2 ．。
位似图形的定义及性质
位似图形的定义及性质
位似图形是一种强大的几何图形，由它可以刻画出许多几何概念，从而使得几何知识更加容易理解和运用。
它已经被广泛应用于许多领域，如研究物理学，以及一些工程领域。
那么，位似图形究竟是什么？以及位似图形的性质有哪些？
一、位似图形的定义
位似图形是一种可以用来描述几何形状的图形。
它被称为位似图形，是因为它由一系列的位置感知的图案组成，它们几乎可以完全重叠，而不会改变它们的形状，大小以及位置。
例如，圆形是一个最常见的位似图形，它是一个由很多小的圆点组成，而这些小圆点几乎可以重叠并且完全相同。
二、位似图形的性质
1、符号化：位似图形能将复杂的空间状态用简单的符号来表示，从而使得几何知识更加容易理解和运用。
2、视觉感知：位似图形的形状和大小可以在视觉上进行感知，
可以更加直观地感受几何状态。
3、精确度高：位似图形可以很好地反映几何形状的精确度，它
可以准确地反映几何的形状和大小，使得几何知识更加有效。
4、信息量大：位似图形能够精确表达出几何形状的详细信息，
能够体现出几何形状的复杂性并反映出它在特定空间位置的信息。
由以上性质可知，位似图形是一种获取几何信息的有效工具，能够较为准确地描述出几何形状的精细细节。
它既适用于描述几何图形，
也可以用来描述物理、空间等属性。
位似图形性质的学习，可以帮助我们更好地理解几何知识，更好地应用几何知识。
综上所述，位似图形是一种具有符号化、视觉感知、精确度高、信息量大等性质的一种几何图形。
它为学习和应用几何知识提供了一个良好的视角，可以让我们更加清晰地感受到几何形状的变化，辅助我们更好地理解和应用几何知识。
位似图形-精品文档
针对位似图形的算法设计和优化，研究更加高效的算 法，提高位似图形的处理速度和精度。
结合人工智能和机器学习的技术，研究更加智能的位 似图形处理方法，以满足更加复杂的应用需求。
加强位似图形的基础理论研究和探索，为未来的应用 创新提供更多可能性。
求解多边形的面积
通过位似变换，可以将一个多边形映射到另一个多边形上， 利用已知面积求解未知面积。
在测量学中的应用
地图比例尺
利用位似图形可以模拟地图的缩小和放大，从而得到地图比例尺。
距离测量
通过位似图形可以建立实际距离和地图距离之间的比例关系，从而进行距离定义判定
在动画制作中的应用
角色动画制作
位似图形可以用于制作角色动画，通过对角色模型的控制点进行调整，达到 调整角色姿势和表情等效果。
图形动画制作
利用位似图形还可以实现图形的动画效果，如将一张图片通过位似变换实现 动画效果，或者将一组图片通过位似变换实现无缝衔接的动画效果。
06
位似图形的学习总结与展望
位似图形的学习总结
图形识别
利用位似图形的方法可以识别特定的图形或标志，这种方法可以在计算机视觉和 模式识别领域中应用。
在三维建模中的应用
三维模型构建
位似图形可以用于构建复杂的三维模型，如通过将已有的二 维图形通过拉伸、旋转和放缩等操作生成三维模型。
三维模型处理
在三维模型处理中，可以利用位似图形进行模型的优化和简 化，改变模型的表现形式，以及进行模型的修复和检测等操 作。
THANKS
在几何、建筑、设计等领域中，平移变换被广泛用于图形的排列和组合。
旋转变换
定义
旋转变换是指将图形绕着某个 点旋转一定的角度。
位似图形的性质
所有对应点连线交于一 点，该点称为位似中心 。
所有对应点到位似中心 的距离之比等于相似比 。
坐标变换原理及应用
原理
在平面直角坐标系中，一个图形经过位似变换后，其各顶点的坐标会发生变化。若位似中心为原点， 则各顶点坐标的变化规律为：横、纵坐标均乘以相似比或相似比的倒数。若位似中心不是原点，则需 先将图形平移到原点，进行位似变换后再平移回原位置。
THANKS
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例3
利用位似性质解题
• 题目描述
利用位似图形的性质解决与图形变换相关的问 题。
•Байду номын сангаас解析过程
根据题目的具体条件，结合位似图形的性质，通过逻辑推理和计算求解问题。
解题思路与方法总结
2. 分析图形特点，识别是 否为位似图形。
1. 仔细审题，明确题目要 求。
解题思路
01
03 02
解题思路与方法总结
• 根据位似图形的性质，确定解题思路。
拓展题1
复杂图形的位似判断
• 题目描述
给出两个复杂图形，判断是否位似 ，并说明理由。
• 解题思路
首先识别图形的关键点，然后比较 关键点之间的距离比例是否相等来 判断两个图形是否位似。
拓展题2
动态变化的位似图形
• 题目描述
描述一个动态变化的图形过程，判 断过程中哪些时刻的图形是位似的 。
• 解题思路
分析动态变化过程中图形的特点， 找出满足位似条件的时刻，并说明 理由。
判定方法及证明
对应点连线交于一点。
证明：通过证明两个三角形对应角相等和对应边成比例，可以证明它们是相似的 。如果进一步证明它们的对应点连线交于一点，则可以证明它们是位似的。具体 证明过程可以通过几何作图、代数运算等方法进行。
4.8图形的位似
讲
授
在射线OA，OB，OC上分别取点D，E，F，使
新
OD=2OA，OE=2OB，OF=2OC；
课
顺次连接D，E，F，则△ DEF与△ABC位似，相似
比为２．
满足条件的 △DEF可以在点
Ｏ的另一侧吗？
知识点 3 位似图形的画法
画位似图形的步骤：
第一步：确定位似中心O(位似中心可以在图形外部，也可以
在图形内部，还可以在图形的边上，还可以在某一个顶点上)；
注意：①这里的相似比指的是新图形与原图形的对应边 的比.②一般情况下，若没有限定条件，此种类型的题目 要注意多种可能．
1. 【中考·辽阳】如图，在边长为1的小正方形组成的网
随
堂
格中，建立平面直角坐标系，△ABO与△A′B′O′是
检
以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格
测
点(网格线的交点)上，则点P的坐标为( )
A．(0，0)
B．(0，1)
C．(－3，2)
D．(3，－2)
【中考·烟台】如图，在平面直角坐标系中 ，正方形
随 堂
ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，
检 测
且相似比为
1 3
，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的
边长为6，则C点坐标为( A )
A．(3，2)
B．(3，1)
C．(2，2)
第二步：画出图形各顶点与位似中心O的连线；
第三步：按相似比取点； 第四步：顺次连接各点，所得的图形就是所求的图形．
知识点 3 位似图形的画法
注意： (1)位似中心的选取要使画图方便且符合要求，一般以多 边形的一个顶点为位似中心画图最简便． (2)画位似图形时，要弄清相似比，即分清是已知图形与 新图形的相似比，还是新图形与已知图形的相似比． (3)一般情况下，画已知图形的位似图形的结果不唯一．
九年级位似图形知识点归纳
九年级位似图形知识点归纳九年级位似图形是数学中的一个重要内容，它涉及到平面几何中的相似性质以及相似图形的相关知识。
在这篇文章中，我将对九年级位似图形的知识点进行归纳总结。
1. 什么是位似图形位似图形指的是具有相同形状但是大小不同的图形。
在位似图形中，图形的内部角度是相等的，各边的对应长度按比例关系成立。
2. 相似比位似图形中，相似比是一个重要的概念。
相似比指的是两个位似图形的相应边长度之比。
在位似图形中，相似比相等，即对应边长度的比例相等。
3. 判断位似图形判断位似图形时，需要考虑以下几个条件：- 内部角度相等：对应角度相等，即对应顶点的角度相等。
- 对应边按比例关系成立：对应边之间的比例相等。
4. 位似图形的性质位似图形具有一些特点和性质，主要包括：- 边比相等：在位似图形中，对应边的长度比例相等。
- 面积比相等：在位似图形中，对应面积之比等于边比的平方。
- 周长比相等：在位似图形中，对应边长之比等于周长比。
5. 图形变换对位似图形进行变换是学习位似图形的重要环节之一。
常见的图形变换包括：- 平移：图形在平面上的位置保持不变，只改变其位置。
- 旋转：图形按照一定的角度绕着某个固定点进行旋转。
- 缩放：图形按照一定的比例进行放大或缩小。
6. 练习题为了加深对位似图形知识点的理解和掌握，我们可以进行一些练习题。
以下是一些例题：例题1：已知两个三角形ABC和DEF，且∠A=∠D，AB:DE=3:5，BC:EF=4:7，AC:DF=2:3。
判断两个三角形是否位似，并说明理由。
解答：根据给定条件，可以发现两个三角形的内部角度相等，且对应边的比例关系成立。
因此，根据位似图形的判断条件，可以判断两个三角形是位似的。
例题2：已知两个矩形ABCD和EFGH，且AB:EF=2:3，BC:FG=3:5，CD:GH=4:7。
计算两个矩形的面积比。
解答：根据给定的边比关系，可以算出两个矩形的边长比例分别为2:3和3:5。
位似图形的定义及性质
位似图形的定义及性质
位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
位似图形的性质：
1、位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等与相似比。
2、位似多边形的对应边平行或共线。
3、位似的作用利用：位似可以将一个图形放大或缩小。
4、位似中心的落点：位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。
根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形，这两个图形分布在位似中心的两侧，并且关于位似中心对称。
如何学好位似图形
如何学好位似图形如何学好位似图形如何学好位似图形位似图形是以相似形为基础，是研究图形的放大或缩小的重要理论，那么如何才能学好位似图形呢？笔者以为应从以下几个方面入手：一、正确理解位似图形的概念及其性质位似图形的概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比叫做位似比.由此，我们要判断两个图形是位似图形可以从以下两个方面进行：一是这两个图形是相似的；二是这两个图形对应点的连线交于一点.同时符合这两个条件的两个图形才是是位似图形，否则就不是位似图形.位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比. 由此，我们可以知道，位似与相似既有联系又有区别，即相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点；如果两个图形是位似图形，那么这两个图形必是相似图形，但是相似的两个图形不一定是位似图形，因此位似是相似的特殊情况；利用图形位似，可以把一个图形放大或缩小.二、注意掌握位似变换中对应点的坐标变化规律在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k.由此可知，以坐标原点为位似中心的两个位似图形存在两种情况，若在同一象限，那么它们横坐标的比、纵坐标的比分别为k；若不在同一象限，则它的横坐标的比、纵坐标的比分别为－k.三、注意位似变换与平移、轴对称、旋转三种变换的联系和区别我们知道，常见的图形变换有：位似、平移、轴对称、旋转都是图形变换的基本形式.这些图形的变换有着本质的区别，即平移、轴对称、旋转三种变换是全等变换，而位似变换则是相似变换.由此我们知道，在直角坐标系中，把一个图形进行平移、轴对称、旋转和位似变换，其对应点的坐标都有各自的变化规律：①平移变换是横坐标或纵坐标加上（或减去）平移单位；②轴对称变换，以_轴为对称轴则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；以y轴为对称轴则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数；③在旋转变换中，一个图形绕原点旋转180__176;，则旋转前后两个图形的横坐标与纵坐标都互为相反数；④位似变换时，当以原点为位似中心时变换前后两个图形的同名坐标之比等于相似比.四、注意典型习题的训练与巩固例1（淮安市中考试题）如图1，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，－1）、（2，1）.（1）以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新三角形与原三角形的相似比为2），画出图形.（2）分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标.（3）如果△OBC内部一点M的坐标为（_，y），写出M的对应点M′的坐标.分析由于所画新三角形与原三角形的相似比为2，就是说新三角形是放大的图形，即顶点的横坐标之比和纵坐标之比都应该是－2∶1，于是以下两个问题京可以进一步解决了. 解（1）因为所画新三角形与原三角形的相似比为2，所以新三角形与原三角形的对应顶点的横坐标之比和纵坐标之比都是－2∶1.由此可画出图形，如图1所示.（2）由（1）可得，B、C两点的对应点B′、C′的坐标分别为（－6，2）、（－4，－2）.（3）由（1）可得，点M（_，y）的对应点M′的坐标（－2_，－2y）.说明两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的相似图形叫做。
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位似图形
这两个图形有哪些特征呢？ 放幻灯片
1．两图形相似． 在幻灯机放映图 2．每组对应点所在直线都 幻灯机在 片的过程中，这 经过同一点． 哪儿呢？ 些图片有什么关 3. 对应边互相平行， 系呢？
D A
C D/ A/
B
C/ B/
O
如果两个相似图形的每组对应点所在的 直线都交于一点,对应边互相平行，那 么这样的两个图形叫做位似图形, 这个 交点叫做位似中心, 这时两个相似图形 的相似比又叫做它们的位似比.
同时满足下面三个条件的两个 图形才叫做位似图形．三条件缺一不可． 1．两图形相似． 2．每组对应点所在直线都 经过同一点． 3. 对应边互相平行，
显然，位似图形是相似图形的特殊情形， 其相似比又叫做它们的位似比.
1.判断下列各图形哪些是位似图形：
（1）五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′；
（3）扇形ABC与扇形 A′B′C′，（B、A 、B′在 一条直线上，C、A 、C′在 一条直线上）
（4）△ABC与△ADE（①DE∥BC ②∠AED＝∠B）
3.以下说法对吗？
１．位似图形必是全等图形。
２．不是位似图形必定不相似。 ３．相似图形一定位似。 ４．位似图形不一定相似。
4．如图，已知△ABC和点O.以O为位似中
下列图形中,每个图中的四边形ABCD和四边形 A/B/C/D/都是位似图形.分别观察这五个图,你发现每 个图中的两个四边形各对应点的连线有什么特征? D C D/ O C/
A D A B A/
B/
O
B C
A/
D
C
O
D/
A A/
C/
B/ B
D/
B/ C/
在下列每个图形中,位似图形的对应线段AB与A′B′是 否平行？BC与B′C′,CD与C′D′, AD与A′D′是否平行？为什么？ D C D/ O C/
A D A B A/
B/
O
B C
A/
D
C
O
D/
A A/
C/
B/ B
D/
B/ C/
观察下图中的五个图，回答下列问题： 在各图中，位似图形的位似中心与这两个图形有 什么位置关系？ D C D/ O C/
A D A B A/
B/
O
B C
A/
D
C
O
D/
A A/
C/
B/ B
位置不一样，位似 中心就不一样.
D/
A
1.如图,已知 △ABC∽△DEF， 它们对 应顶点的连线AD,BE,CF 相交于点O,这两个三角形 是不是位似三角形?
D
B E
0 F C
2.练一练：判断下列各对图形哪些是位似图形， 哪些不是.
（1）正方形ABCD与正 方形A′B′C′D′.
（2）等边三角形ABC O 与等边三角形 A′B′C′
B/ C/
如图位似图形中，我们可以看到， A △OAB∽△O A′B′,则 OA OB AB ＝ ＝ . OA′ OB′ A′B′ B 从下图中同样可以看到 AF AP AE EP FP ＝ ＝ ＝ ＝ AD AC AB BC DC
C
C/ O A/
B/
A B
பைடு நூலகம்C/ O A/
B/
C
位似图形有以下性质：
课堂小结
1. 位似图形的概念 如果两个相似图形的每组对应点所在的直 线都交于一点,对应边互相平行，那么这样 的两个图形叫做位似图形, 这个交点叫做位 似中心, 这时两个相似图形的相似比又叫做 它们的位似比.
2.位似图形的性质 位似图形的对应点和位似中心在同一条直 线上,它们到位似中心的距离之比等于相 似比.（位似比）
１．位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上
２．位似图形上任意一对对应点到位似中心的 距离之比等于位似比.
如图，D，E分别AB，AC上的点. （1）如果DE∥BC，那么∆ADE和 ∆ABC是位似图形吗？为什么？ B
A
D
E C
解：（1） ∆ADE和 ∆ABC是位似图形.理由是：
DE∥BC，所以∠ADE和＝∠B， ∠AED ＝∠C.所以∆ADE∽ ∆ABC.
又因为 点A是∆ADE和 ∆ABC的公共点，点D 和点B是对应点，点E和点C是对应点，直线 BD与CE交于点A，所以∆ADE和 ∆ABC是位似 图形.
如图，D，E分别AB，AC上的点. （1）如果DE∥BC，那么∆ADE和 ∆ABC是位似图形吗？为什么？
A D B E C
（2）如果∆ADE和 ∆ABC是位似图形，那么 DE∥BC吗？为什么？ 解：（2） DE∥BC.理由是： ∆ADE和 ∆ABC是位似图形， ∠ADE＝∠B ∆ADE∽ ∆ABC DE∥BC.
心，求作△ABC的位似图形，并把△ABC的边
长缩小到原来的一半.
5.作△ABC与的位似图形△DEF
且位似比为１／２
即将△ABC的三边缩小为原来的1/2:
如图,任取一点O,连接AO,BO,CO,并取它们的中 点D,E,F; △DEF就是所求
O
B
E
●
F
●
●
C D A
做一做： 任意画一个三角形,用上面的方法 亲自试一试.
（１）－１
（１）－２
（2）等边三角形ABC与等边三角形A′B′C′
（2）
6 6 （4）反比例函数 y＝ （x>0）的图像与 y＝ （x<0）的图像 x x
（５）△ABC与△A′B′C′
（４）
（５）
（6）在平行四边形ABCD中， △ABO与△CDO
2．如图P，E，F分别是AC，AB，AD的 中点，四边形AEPF与四边形ABCD是位似 图形吗？如果是位似图形，说出位似中 心和位似比.