第一节向量及其线性运算讲解

a
11可aa见a;a ;
分配律
(a
b)
a
b
则有与a同向的单位向量 a
1 a
a.
因此 a a a
定理1. 设 a 为非零向量 , 则 a∥b
( 为唯一实数)
证: “ ”. 设 a∥b , 取 ＝±
, a , b 同向时
取正号, 反向时取负号, 则 b 与 a 同向, 且
b
故 b a. 再证数 的唯一性 . 设又有 b＝ a , 则 ( ) a 0 故 0, 即 .
1. 向量的加法
平行四边形法则:
b ab
(a b) c
c
bc
a (b c)
a
三角形法则:
ab
b
ab b a
a
三角形法则可推广到多个向量相加 .
运算规律 : 交换律 a b b a
结合律 ( a b ) c a (b c ) a b c
s a1 a2 a3 a4 a5
bx ax by ay
bz az
例2. 求解以向量为未知元的线性方程组
其中
a
5x 3x
3 2
y y
a b
（2，1，2）, b （1，1，
2）.
① ②
解:
2×①
x
－23a× ②3b,得
(7
,
1,10)
代入②得
y 3a 5b (11, 2,16)
练习：P12-1
例3. 已知两点 在AB直线上求一点 M , 使
高等数学
第八章：空间解析几何与向量代数
第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何
在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面
数量关系 —坐标,方程（组）
基本方法 — 坐标法; 向量法
第一节 向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
得定比分点公式:
A
x1 x2 1
,
y1 y2 1
,
z1 z2 1
M B
当 1时, 点 M 为 AB 的中点 ,于是得
o
A
中点公式:
x1 x2 2
,
y1
2
y2
,
z1 z2 2
B M
五、向量的模、方向角、投影
1.
设
向量的模与两点间的距离公式
r
(x,
y , z ), 作 OM
r,
则有
z R
解：因为 P 在 x轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
PP1 x2 2 2 32 x2 11,
PP2 x2 12 12 x2 2,
PP1 2 PP2 , x2 11 2 x2 2
x 1, 所求点为 (1,0,0), (1,0,0).
点 M 11 有序数组 (x, y, z) 11 向径 r
(称为点 M 的坐标) 特殊点的坐标 :
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ;
坐标面上的点 A , B , C
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C(x, o, z)
r
o
x P(x,0,0)
M y
Q(0, y,0)
A(x, y,0)
z
o
x 坐标面 :
坐标轴 : y
2. 向量的坐标表示
以在空i ,间j ,直k 分角别坐标表系示下x,,
任意向量 r 可用向径 OM 表示.
y , z 轴上的单位向量 , 设点 M
的坐标为 M (x , y , z), 则
z OM ON NM OA OB OC C
r xi y j z k (x, y,z)
M
r
OM
OP
OQ OR
o
Q y
由勾股定理得
P
x
N
r OM
x2 y2 z2
对两点
与
因
得两点间的距离公式:
(x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
例 4 设P 在 x轴上，它到P1(0, 2,3)的距离为
到点 P2(0,1,1)的距离的两倍，求点P 的坐标.
“ ” 已知 b＝ a , 则 b＝0 a , b 同向 a , b 反向
a∥b
例1. 设 M 为 ABCD 对角线的交点,
试用a 与b 表示 MA, MB , MC , MD.
解: a b AC
2 MA
D
C
b a BD
2 MB
bM
MA
1 2
(
a
b)
MB
1 2
(
b
a
)
A
a
B
MC
1 2
(
及实数 1,
解: 设 M 的坐标为
如图所示
AM MB
AM OM OA MB OB OM
OM O A (OB OM )
A
M B
o
A
得 即
OM
1
1
(OA
OB
B
1
1
(x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
M
说明: 由
1
1
(x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
一、向量的概念
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a ,
向径 (矢径): 起点为原点的向量. 自由向量: 与起点无关的向量.
向量的模 : 向量的大小,
单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量,
M2 M1
二、向量的线性运算
a4
a5
a3 s
a2 a1
若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ;
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ;
与 a 的大小相等相同, 但方向相反的向量称为 a 的 负向量, 记作－a ;
因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
2. 向量的减法
a
三角不等式
3. 向量与数的乘法
是一个数
,
与
a
的乘积是一个新向量,
记作
a
.
规定 :
总之: a a
运算律 : 结合律
(
a)
(
a)
此式称为向量 r 的坐标分解式 ,
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ko i
j
r
M B y
A
x
N
沿三个坐标轴方向的分向量.
设四a、 利(aa用x,baa坐y,((标aazx)a作,x b,b向xa, (a量yby,x的,babyzy线,),baz性z),运bz为)算实数，则
=当>平a 行0向时量, 对应坐标成比例 bx by bz ax ay az
a
b
)
MD
1 2
(b
a
)
三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念
过空间一定点 o ,由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
z z 轴(竖轴)
Ⅱ
• 坐标轴 • 坐标面 • 卦限(八个)
Ⅳ
Ⅶ
x
x轴(横轴) Ⅷ
yoz面 o xoy面
Ⅴ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
在直角坐标系下