数学选修空间向量及其运算教案
空间向量及其运算教学设计教案
空间向量及其运算教学设计教案(总9页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除教学准备1. 教学目标1、知识与技能：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。
2、过程与方法：通过类比、推广等思想方法，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会类比、推广的思想方法，对向量加深理解。
3、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断拓展创新的学习习惯和品质。
2. 教学重点/难点重点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；难点：理解空间向量基本定理；3. 教学用具多媒体设备4. 标签教学过程教学过程设计（一）.复习引入1、共线向量定理：2、共面向量定理：3、平面向量基本定理：4、平面向量的正交分解：（二）、新课探究：探究一.空间向量基本定理2、空间向量基本定理3、注意：对于基底{a,b,c},除了应知道向量a,b,c不共面，还应明确（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
（2）由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是零向量。
（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。
4、应用举例析：知识点一向量基底的判断例1.已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，那么向量a＋b，a－b，c能构成空间的一个基底吗为什么解∵a＋b，a－b，c不共面，能构成空间一个基底．假设a＋b，a－b，c共面，则存在x，y，使c＝x(a＋b)＋y(a－b)，∴c＝(x＋y)a＋(x－y)b.从而由共面向量定理知，c与a，b共面．这与a、b、c不共面矛盾．∴a＋b，a－b，c不共面．【反思感悟】解有关基底的题，关键是正确理解概念，只有空间中三个不共面的向量才能构成空间向量的一个基底．知识点二用基底表示向量（学生独立思考，然后讲解，板演解题过程）【反思感悟】利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出所有向量．注意结合图形，灵活应用三角形法则、平行四边形法则．探究二.空间向量的直角坐标系1. 单位正交基底：如果空间一个基底的三个基向量互相垂直，且长度都为1，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示．单位——三个基向量的长度都为1；正交——三个基向量互相垂直．选取空间一点O和一个单位正交基底｛i,j,k｝，以点O为原点，分别以i,j,k 的方向为正方向建立三条坐标轴：x轴、y轴、z轴，得到空间直角坐标系O-xyz，3. 空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系和向量a，且设i、j、k为坐标向量，则存在唯一的有序实数组，使a＝a1i＋a2j＋a3k.以i，j，k为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．【反思感悟】空间直角坐标系的建立必须寻求三条两两垂直的直线．在空间体中不具备此条件时，建系后要注意坐标轴与空间体中相关直线的夹角．课堂小结1、师生共同回忆本节的学习内容:(1)、空间向量的正交分解；(2)、空间向量基本定理；(3）、空间向量直角坐标系；强调以下两个注意点：2．空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量，空间的基底可以有无穷多个．一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量指一个基底的某一个向量．3．对于基底{a，b，c}除了应知道a，b，c不共面，还应明确：(1)空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定以后，空间的所有向量均可由基底惟一表示．(2)由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.课后习题当堂检测作业：请同学们独立完成配套课后练习题。
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第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算教学目标：知识与技能（1）通过本章的学习，使学生理解空间向量的有关概念。
（2）掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解。
过程与方法（1）培养学生的类比思想、转化思想，数形结合思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力。
（2）培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义。
（3）培养学生空间向量的应用意识情感态度与价值观通过本节课的学习，让学生在掌握知识的同时，体验发现数学的乐趣，从而激发学生努力学习的动力。
教学重点：（1）空间向量的有关概念；（2）空间向量的加减运算及其运算律、几何意义；（3）空间向量的加减运算在空间几何体中的应用教学难点：（ 1）空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用。
（2）空间向量的加减运算及其几何的应用和理解。
课堂类型：新授课教学方法：研讨、探究、启发引导教学用具：多媒体教学过程：一、创设情境（老师）：以前我们学过平面向量，请问所有的向量都是平面向量吗？比如：长方体中的过同一点的三条边上的向量（老师）：这三个向量和以前我们学过的向量有什么不同？（学生）：这是三个向量不共面（老师）：不共面的向量问题能直接用平面向量来解决么？（学生）：不能，得用空间向量（老师）：是的，解决这类问题需要空间向量的知识这节课我们就来学习空间向量精品文档板书：空间向量及其运算（老师） : 实际上空间向量我们随处可见，常见的高压电线及支架所在向量。
二、讲授新课（老师） : 接下来我们我们就来研究空间向量的知识、概念和特点，空间向量与平面向量既有联系又有区别，我们将通过类比的方法来研究空间向量，首先我们复习回顾一下平面向量的知识。
（一）复习回顾平面向量的基本概念1.向量概念：在平面上既有大小又有方向的量叫向量；2.画法：用有向线段AB 画出来；3.表示方式：AB或a（用小写的字母表示）；4零向量：在平面中长度为零的向量叫做零向量，零向量的方向是任意的；5.单位向量：在平面中模为 1 的向量称为单位向量；6.相反向量：在平面中长度相等，方向相反的两个向量，互称为相反向量；7.相等向量：在平面中方向相同且模相等的向量称为相等向量；（二）空间向量的基本概念（老师）：其实空间向量就是把向量放到空间中了，请同学们给空间向量下个定义，（学生）在空间中，既有大小又有方向的量（老师）：非常好，请大家类比平面向量得到空间向量的其他相关定义（提问学生）（学生）回答向量概念、画法、 .表示方式及零向量（零向量的方向是任意的）、单位向量、相反向量、相等向量的概念。
(教案)空间向量及其运算
空间向量及其运算【基础知识必备】一、必记知识精选1.空间向量的定义(1)向量：在空间中具有大小和方向的量叫作向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.(2)向量的表示有三种形式：a,AB，有向线段.2.空间向量的加法、减法及数乘运算.(1)空间向量的加法.满足三角形法则和平行四边形法则，可简记为:首尾相连，由首到尾.求空间若干个向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量.首尾相接的若干个向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0，即21A A+32A A+…1A A n=0.(2)空间向量的减法.减法满足三角形法则,让减数向量与被减数向量的起点相同,差向量由减数向量的终点指向被减数向量的终点,可简记为“起点相同,指向一定”,另外要注意OA-OB=BA的逆应用.(3)空间向量的数量积.注意其结果仍为一向量.3.共线向量与共面向量的定义.(1)如果表示空间向量的有向线段在直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b⇔a=λb,若A、B、P三点共线,则对空间任意一点O,存在实数t,使得OP=(1-t)OA+t OB,当t=1时,P是线段AB的中点,则中点2公式为OP=1(OA+OB).2(2)如果向量a所在直线O A 平行于平面α或a在α内,则记为a∥α,平行于同一个平面的向量,叫作共面向量，空间任意两个向量，总是共面的.如果两个向量a、b不共线.则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x、y.使p=xa+yb.对于空间任一点O和不共线的三点A、B、C，A、B、C、P共面的充要条件是OP=x OA+y OB+z OC （其中x+y+z=1）.共面向量定理是共线向量定理在空间中的推广，共线向量定理证三点共线，共面向量定理证四点共面.4.空间向量基本定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个惟一的有序实数组x、y、z，使p=xa+yb+zc.特别的，若a、b、c不共面，且xa+yb+zc=O，则x=y=z=0.常以此列方程、求值.由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，隐含着三向量都不是0.空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底.要注意，一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一向量.5.两个向量的数量积.a·b=|a|·|b|·cos（a,b），性质如下：（1）a·e=|a|·cos<a,e>；（2）a⊥b a·b=0.（3）|a|2=a·a；（4）|a|·|b|≥a·b.二、重点难点突破（一）重点空间向量的加法、减法运算法则和运算律；空间直线、平面向量参数方程及线段中点的向量公式.空间向量基本定理及其推论，两个向量的数量积的计算方法及其应用.（二）难点空间作图，运用运算法则及运算律解决立体几何问题，两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问题转化为向量计算问题.对于重点知识的学习要挖掘其内涵，如从向量等式的学习中可以挖掘出：（1）向量等式也有传递性；（2）向量等式两边加（减）相同的量，仍得等式.即“移项法则”仍成立；（3）向量等式两边同乘以相等的数或点乘相等的向量，仍是等式.这样知识掌握更加深刻.用空间向量解决立体几何问题.一般可以按以下过程进行思考：（1）要解决的问题可用什么向量知识来解决?需要用到哪些向量？（2）所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？（3）所需要的向量若不能直接用已知条件转化为向量表示，则它们分别易用哪个未知向量表示？这些未知向量与已知条件转化而来的向量有何关系？(4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到所需要的结论?三、易错点和易忽略点导析两个向量的夹角应注意的问题：①（a，b）=（b，a）；②（a,b）与表示点的符号（a,b）不同;③如图9-5-1(a)中的∠AOB=<OA,OB>.图(b)中的∠A O B=π-（AO ，OB ）,<-OA ,OB >＝<OA ,-OB >=π-（AO ，OB）. 【综合应用创新思维点拨】一、学科内综合思维点拨【例1】 已知两个非零向量e 1、e 2不共线，如果=e 1+e 2，AC =2e 1+8e 2，AD=3e 1-3e 2.求证：A 、B 、C 、D 共面.思维入门指导：要证A 、B 、C 、D 四点共面，只要能证明三向量AB 、AC 、共面，于是只要证明存在三个非零实数λ、μ、υ使λAB +μAC +υAD=0即可.证明:设λ(e 1+e 2)+μ(2e 1+8e 2)+υ(3e 1-3e 2)=0.则(λ+2μ+3υ)e 1+(λ+8μ-3υ)e 2=0.∵e 1、e 2不共线，∴⎩⎨⎧=-+=++.038,032υμλυμλ上述方程组有无数多组解,而λ=-5,μ=1,υ=1就是其中的一组,于是可知-5AB +AC +AD=0. 故AB 、AC 、AD共面，所以A 、B 、C 、D 四点共面.点拨：寻找到三个非零实数=-5,μ=1,υ=1使三向量符合共面向量基本定理的方法是待定系数法.二、应用思维点拨【例2】某人骑车以每小时α公里的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为2α时，感到风从东北方向吹来.试求实际风速和风向.思维入门指导：速度是矢量即为向量.因而本题先转化为向量的数学模型，然后进行求解，求风速和风向实质是求一向量.解:设a表示此人以每小时α公里的速度向东行驶的向量.在无风时,此人感到风速为-a,设实际风速为v,那么此人感到的风速向量为v-a.如图9-5-2.设=-a,=-2a.由于+=,从而PA=v-a.这就是感受到的由正北方向吹来的风.其次，由于PO+OB=PB，从而v-2=PB.于是，当此人的速度是原来的2倍时感受到由东北方向吹来的风就是PB.由题意,得∠PB O=45°, PA⊥B O，BA=A O，从而△PB O为等腰直角三角形.故P O=PB=2α.即|v|=2α.答：实际吹来的风是风速为2α的西北风.点拨：向量与物理中的矢量是同样的概念，因而物理中的有关矢量的求解计算在数学上可化归到平面向量或空间向量进行计算求解.知识的交叉点正是高考考查的重点，也能体现以能力立意的高考方向.三、创新思维点拨【例3】如图9-5-3(1)，已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点.（1）用向量法证明E、F、G、H四点共面；（2）用向量法证明BD∥平面EFGH.思维入门指导:(1)要证E、F、G、H四点共面，根据共面向量定理的推论，只要能找到实数x,y,使EG=x EF+y EH即可;(2)要证BD∥平面EFGH,只需证向量BD与EH共线即可.证明:(1)如图9-5-3(2),连结BG,则EG=EB +BG=EB+21(BC+BD)=EB+BF+EH=EF+EH.由共面向量定理推论知，E、F、G、H四点共面.(2)∵=-=21-21=21(-)=21,∴EH∥BD.又EH⊂面EFGH，BD⊄面EFGH，∴BD∥平面EFGH.点拨：利用向量证明平行、共面是创新之处，比较以前纯几何的证明，显而易见用向量证明比较简单明快.这也正是几何问题研究代数化的特点.【例4】如图9-5-4，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为D1C1的中点，试求A1C1与DE所成角.思维入门指导：在正方体AC1中，要求A 1C 1与DE 所成角,只需求11C A 与DE 所成角即可.要求11C A 与DE所成角，则可利用向量的数量积，只要求出11C A ·DE 及|11C A |和|DE|即可. 解:设正方体棱长为m,=a,=b,1AA =c. 则|a |=|b |=|c |=m ，a ·b =b ·c =c ·a =0. 又∵11C A =11B A +11C B =AB +AD=a +b , =1DD +D 1=1DD +2111C D =c +21a , ∴11C A ·=(a+b)(c+21a)=a ·c +b ·c +21a 2+21a ·b =21a 2=21m 2.又∵|11C A |=2m,||=25m, ∴cos<11C A ,||||1111DE C A ∙m m m 252212∙=1010. ∴<11C A ,DE >=arccos 1010.即A 1C 1与DE 所成角为arccos 1010. 点拨：A 1C 1与DE 为一对异面直线.在以前的解法中求异面直线所成角要先找（作），后求.而应用向量可以不作或不找直接求.简化了解题过程，降低了解题的难度.解题过程中先把11C A 及DE 用同一组基底表示出来,再去求有关的量是空间向量运算常用的手段.四、高考思维点拨【例5】 （2000，全国，12分）如图9-5-5，已知平行六面体ABCD 一A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB=∠C 1CD=∠BCD.(1)求证：C 1C ⊥BD ；(2)当1CC CD的值为多少时,能使A 1C ⊥平面C 1BD?请给出证明.思维入门指导：根据两向量的数量积公式a ·b =|a |·|b |cos<a,b >知，两个向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0,即a ⊥b ⇔a ·b =0, 所以要证明两直线垂直,只要证明两直线对应的向量数量积为零即可.(1)证明:设CD =a ,CB =b ,1CC =c .由题可知|a |=|b |.设CD 、CB 、1CC 中两两所成夹角为θ,于是BD =CD -CB =a -b ,1CC ·BD=c ·(a -b )=c ·a -c ·b =|c |·|a |cos θ-|c |·|b |cos θ=0, ∴C 1C ⊥BD.(2)解:若使A 1C ⊥平面C 1BD,只须证A 1C ⊥BD,A 1C ⊥DC 1,由于:1CA ·C 1=(+1AA )·(-1CC )=(a +b +c )·(a -c )=|a |2+a ·b -b ·c -|c |2=|a |2+|b |·|a |·cos θ-|b |·|c |c os θ-|c |2=0,得 当|a |=|c |时A 1C ⊥DC 1.同理可证当|a |=|c |时,A 1C ⊥BD. ∴1CC CD=1时,A 1C ⊥平面C 1BD. 点拨：对于向量数量积的运算一些结论仍是成立的.（a -b ）·（a +b ）=a 2-b 2；(a±b)2=a2±2a·b+b2.五、经典类型题思维点拨【例6】证明：四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点，且互相平分.（此点称为四面体的重心）思维入门指导：如图9-5-6所示四面体ABCD中，E、F、G、H、P、Q分别为各棱中点.要证明EF、GH、PQ相交于一点O，且O为它们的中点.可以先证明两条直线EF、GH相交于一点O，然后证明P、O、Q三点共线，即OP、共线.从而说明PQ直线也过O点.证明：∵E、G分别为AB、AC 的中点，∴EG∥1BC.同理HF∥21BC.∴EG2∥HF.从而四边形EGFH为平行四边形，故其对角线EF、GH相交于一点O，且O为它们的中点，连接O P、O Q.∵OP=OG+GP,OQ=OH+HQ,而O为GH的中点，∴OG +OH =0,GP ∥21CD ，21CD. ∴GP =21CD ,QH =21CD . ∴OP +OQ =OG +OH +GP +HQ =0+21-21=0. ∴OP =-OQ. ∴PQ 经过O 点，且O 为PQ 的中点.点拨:本例也可以用共线定理的推论来证明,事实上,设EF 的中点为O .连接O P 、O Q,则FQ =EQ -EF ,而EQ =21=-FP ,EF =-2,则FQ =-FP +2,∴FO =21(+)，从而看出O 、P 、Q 三点共线且O 为PQ 的中点，同理可得GH边经过O点且O为GH的中点，从而原命题得证.六、探究性学习点拨【例7】如图9-5-7所示，对于空间某一点O，空间四个点A、B、C、D（无三点共线）分别对应着向量a=OA，b=OB,c=OC,d=OD.求证：A、B、C、D四点共面的充要条件是存在四个非零实数α、β、γ、δ，使αa+βb+γc+δd=0，且α+β+γ+δ=0.思维入门指导：分清充分性和必要性，应用共面向量定理.证明：(必要性)假设A、B、C、D共面，因为A、B、C三点不共线，故AB，AC两向量不共线，因而存在实数x、y，使AD=x AB+y AC,即d-a=x(b-a)+y(c-a),∴(x+y-1)a -xb-yc+d=0.令α=x+y-1, β=-x,γ=-y,δ=1.则αa+βb+γc+δd=0,且α+β+γ+δ=0.（充分性）如果条件成立，则δ=-(α+β+γ),代入得αa+βb+γc+δd=αa+βb+γc-(α+β+γ)d=0.即α(a-d)+ β(b-d)+γ(c-d)=0.又∵a-d=-=,b-d=,c-d=,∴α+β+γ=0.∵α、β、γ为非零实数,不妨设γ≠0.则DC=-α-γβ.γ∴DC与DA、DB共面，即A、B、C、D共面.点拨：在讨论向量共线或共面时，必须注意零向量与任意向量平行，并且向量可以平移，因而不能完全按照它们所在直线的平行性、共面关系来确定向量关系.【同步达纲训练】A 卷:教材跟踪练习题 （60分 45分钟）一、选择题（每小题5分，共30分）1.点O 、A 、B 、C 为空间四个点，又OA 、OB 、OC 为空间一个基底，则下列结论不正确的是（）A.O、A、B、C四点不共线B. O、A、B、C四点共面，但不共线C. O、A、B、C四点中任三点不共线D. O、A、B、C四点不共面2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中,下列各式中运算的结果为的共有( )①（AB+BC）+1CC②（1AA+11D A）+11C D③（AB+1BB）+11C B④（1AA+11B A）+11C BA.1个B.2个C.3个D.4个3.设命题p：a、b、c是三个非零向量;命题q：{a,b,c}为空间的一个基底，则命题p是命题q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足AB·AC=0，AC·AD=0，·=0,则△BCD是（）A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定5.下列命题中，正确的是（）A.若a与b共线，则a与b所在直线平行B.若a∥平面β，a所在直线为a，则a∥βC.若｛a,b,c ｝为空间的一个基底，则{a-b,b-c,c-a}构成空间的另一个基底D.若OP =21OA +21OB ,则P 、A 、B 三点共线6.若a =e 1+e 2+e 3，b =e 1-e 2-e 3，c =e 1+e 2，d =e 1+2e 2＋3e 3，且d =x a+y b+z c ，则x 、y 、z 分别为（ ） A.25,-21,-1 B.25,21,1 C.-25,21,1 D.25,-21,1二、填空题（每小题4分，共16分）7.设向量a与b互相垂直，向量c与它们构成的角都是60°，且|a|=5，|b|=3，|c|=8，那么（a+3c）·（3b-2a）；（2a+b-3c）2= .8.已知向量n A A1=2a，a与b的夹角为30°，且|a|=3，则21A A+32A A+…+n n A A1 在向量b的方向上的射影的模为 .9.如图9-5-8，已知空间四边形O ABC，其对角线为O B、AC，M 是边O A的中点,G是△ABC的重心，则用基向量OA、OB、OC表示向量MG的表达式为 .10.已知P、A、B、C四点共面且对于空间任一点O都有OP=2OA +34OB+λOC,则λ= .三、解答题（每小题7分，共14分）11.如图9-5-9，已知点O是平行六面体ABCD—A1B1C1D1体对角线的交点，点P是空间任意一点.求证：PA +PB +PC +PD +1PA +1PB +1PC +1PD =8PO. 12.如图9-5-10，已知线段AB在平面α内，线段AC ⊥α，线段BD ⊥AB,且与α所成角是30°.如果AB=a,AC=BD=b,求C 、D 间的距离.B 卷:综合应用创新练习题（90分 90分钟）一、学科内综合题(10分)1.如图9-5-11所示，已知□ABCD ，O 是平面AC 外一点，1OA =2,1OB =2,1OC =2,1OD =2OD.求证：A 1、B 1、C 1、D 1四点共面.二、应用题（10分）2.在△ABC 中，∠C=60°,CD 为∠C 的平分线,AC=4，BC=2，过B 作BN ⊥CD 于N 延长交CA 于E ，将△BDC 沿CD 折起，使∠BNE=120°，求折起后线段AB 的长度.三、创新题（60分）（一）教材变型题(10分)3.（P 35练习2变型）如图9-5-12已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，求AB 与CD 的夹角. （二）一题多解(15分)4.已知矩形ABCD,P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且M 分PC 成定比2，N 分PD成定比1，求满足=x +y +z 的实数x 、y 、z 的值. （三）一题多变(15分)5.设a ⊥b,<a,c>=3π,<b,c>=6π，且|a |=1，|b |=2，|c |=3，求|a +b +c |.（1）一变：设a⊥b，<a，c>=π，3<b，c>=π，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，6求|a+2b-c|.（2）二变：设a⊥b，<a，c>=π，3且|a|=1，|b|=2，|c|=3，|a+b+c|=3617+，求-b与c的夹角.（四）新解法题（10分）6.如图9-5-13，正方形ABCD 和正方形ABEF交于AB，M、N分别是BD、AE上的点，且AN=DM，试用向量证明MN∥平面EBC.7.O为空间任意一点,A、B、C是平面上不共线的三点，动点P 满足OP=OA+λ),λ∈[0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心四、高考题(10分)8.（2002,上海,5分）若a、b、c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是( )A.(a+b)+c=a+(b+c)B.(a+b)·c=a·c+b·cC.m(a+b)=ma+m bD.(a·b)·c=a·(b·c)加试题：竞赛趣味题（10分）证明：ab b a-+22+ac c a-+22＞bc c b-+22(a，b，c为正实数).【课外阅读】用向量表示三角形的四心由高中数学新教材中的向量知识出发，利用定比分点的向量表达式，可以简捷地导出三角形的重心、内心、垂心、外心这四心的向量表达式.【例】 如图9-5-14，在△ABC 中，F 是AB 上的一点,E 是AC 上的一点,且FBAF=l m ,EC AE =ln (通分总可以使两个异分母分数化为同分母分数)，连结CF 、BE 交于点D.求D 点的坐标.解：在平面上任取一点O ，连结O A 、O B 、O C 、O D 、O E 、O F ，由定比分点的向量表达式，得：OF=(OA+lm ·OB)÷(1+lm )=ml m l +∙+∙ ①=ln OC l nOA +∙+1=nl OCn OA l +∙+∙ ② 又OD=λλ+∙+1OCOF =uOE u OB +∙+1 ③(其中DCFD =λ,u DEBD=).整理①、②、③式得λ=1+m n . 所以OD=nm l l++OA+nm l m++OB+nm l n++OC④由④式出发，可得三角形四心的向量表达式：（1）若BE 、CF 是△ABC 两边上的中线，交点G 为重心.由④式可得重心G 的向量表达式：OG=31(OA+OB+OC).（2）若BE 、CF 是△ABC 两内角的平分线，交点I 是内心.因为FBAF=a b ,EC AE =ac ,由④式可得内心I 的向量表达式：OI=cb a a++OA+cb a b++OB+cb a c++OC.（3）若BE 、CF 是△ABC 两边上的高，交点H 是垂心.ECAE =Ca A c cos cos ∙∙=Aa C c cos cos .同理FBAF =Aa Bb cos cos .由④式可得垂心H 的向量表达式：=OA CcB b A aC a cos cos cos cos +++OB CcB b A aC b cos cos cos cos +++OC CcB b A aC c cos cos cos cos ++.（4）若BE 、CF 的交点O ′是△ABC 的外心，即三边中垂线交点，则O ′A=O ′B=O ′C.根据正弦定理：ECAE =CBE CBEEBA A BE∠∙∠∙sin sin sin sin =)(21sin sin )(21sinsin C BO A B AO C '∠-∙'∠-∙ππ=AA C C cos sin cos sin ∙∙=AC 2sin 2sin .同理FBAF =AB 2sin 2sin .由④式可得外心O ′的向量表达式：OO=CB A A2sin 2sin 2sin 2sin ++OA+CB A B2sin 2sin 2sin 2sin ++OB+OCCB A C2sin 2sin 2sin 2sin ++.这四个向量表达式，都由④式推出，都有着各自轮换对称的性质.好记，好用!新教材的优越性,由此可见.参考答案A 卷一、1.B 点拨：空间向量的一组基底是不共面的.2.D 点拨:+BC+1CC =AC+1CC =1AC ,同理根据空间向量的加法运算法则可知(2)、(3)、(4)的计算结果也为1AC.3.B 点拨：当三个非零向量a、b、c共面时，a、b、c不能构成空间的一个基底，但是｛a，b,c｝为空间的一个基底时，必有a、b、c都是非零向量.因此由P推不出q，而由q可推出P.4.B 点拨：AC·AB=0⇒AC⊥AB.同理可得AC⊥AD,AB⊥AD.设AB=a，AC=b，AD=c.则BC=22b a+,CD=22c b+,BD=22c a+.∵cos∠BCD=CDBC BD CD BC ∙-+2222＞0,故△BCD 为锐角.同理∠CBD 、∠BDC 亦为锐角.则△BCD 为锐角三角形.5.D 点拨:向量共线则其所在直线平行或重合,故A 错误;向量平行于平面,则向量在面内或所在直线与面平行,故B 错误;取λ1=λ2=λ3=1,则λ1(a-b)+λ2(b-c)+λ3(c-a)=0,即a-b,b-c,c-a 是共面向量,不能构成空间的基底,故C 错.x+y+z=1x=5,26.A 点拨: x-y+z=2 ⇒y=-1,2x-y=3 z=-1.二、7.-62，373 点拨：（a+3c）·（3b-2a）=3a·b-2a2+9c·b-6a·c=3|a|·|b|·cos90°-2|a|2+9|c|·|b|·cos60°-6|a|·|c|·c os60°=-62.8.3 点拨：∵21A A+32A A+…+n n A A1-=n A A1,。
教学设计3：空间向量及其运算（理）
第6课时 空间直角坐标系及空间向量1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置． 2．会推导空间两点间的距离公式．3．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．4．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．5．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．【梳理自测】一、空间直角坐标系及空间向量的概念1．在空间直角坐标系O －xyz 中，点P (3,2，－1)关于x 轴的对称点的坐标为( ) A ．(3,2,1) B ．(－3,2,1) C ．(3，－2,1) D ．(－3，－2,1)2．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( ) A ．2，12 B ．－13，12C ．－3,2D ．2,23．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋cC ．－12a －12b ＋c D.12a －12b ＋c【答案】1.C 2.A 3.A◆以上题目主要考查了以下内容：(一)(1)空间直角坐标系：名称 内容空间直角坐标系 以空间一点O 为原点，具有相同的单位长度，给定正方向，建立三条两两垂直的数轴：x 轴、y 轴、z 轴，这时建立了一个空间直角坐标系O －xyz坐标原点 点O 坐标轴 x 轴、y 轴、z 轴 坐标平面通过每两个坐标轴的平面(2)空间中点M 的坐标：空间中点M 的坐标常用有序实数组(x ，y ，z )来表示，记作M (x ，y ，z )，其中x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标．建立了空间直角坐标系后，空间中的点M 和有序实数组(x ，y ，z )可建立一一对应的关系．(二)空间两点间的距离(1)设点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)， 则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12＋z 2－z 12.特别地，点P (x ，y ，z )与坐标原点O 的距离为 |OP →|＝x 2＋y 2＋z 2.(2)设点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)是空间中两点，则线段AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22.(三)空间向量的有关概念名称 概念 表示 零向量 模为0的向量 0 单位向量 长度(模)为1的向量 相等向量 方向相同且模相等的向量 a ＝b 相反向量方向相反且模相等的向量a 的相反向量为－a(1)定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算，如下：OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ；BA →＝OA →－OB →＝a －b ；OP →＝λa (λ∈R )．(2)运算律：①加法交换律：a ＋b ＝b ＋a ； ②加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )； ③数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb . (五)空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb .(2)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在实数x ，y 的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .(3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c .其中，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底．二、空间向量的数量积及运算律1．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值为( ) A ．1 B.15C.35D.752．已知向量a ＝(4，－2，－4)，b ＝(6，－3,2)，则(a ＋b )·(a －b )的值为________． 【答案】1.D 2.－13◆以上题目主要考查了以下内容： (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是[0，π]，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 垂直，记作a ⊥b .②两向量的数量积已知空间两个非零向量a ，b ，则|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a ·(b ＋c )＝a·b ＋a·c .【指点迷津】1．一种方法用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是： (1)适当的选取基底{a ，b ，c }； (2)用a ，b ，c 表示相关向量； (3)通过运算完成证明或计算问题．2．二个原则——建立空间直角坐标系的原则 (1)合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直； (2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上． 3．二个推论 ①共线向量定理推论若OA →，OB →不共线，则P ，A ，B 三点共线的充要条件是OP →＝λOA →＋μOB →且λ＋μ＝1. ②共面向量定理推论若OM →、OA →、OB →不共面，则P 、M 、A 、B 四点共面的充要条件是OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →且x ＋y ＋z ＝1.考向一 空间向量的线性运算如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →＋NC 1→.【审题视点】 逐步用三角形法则及向量运算法则 【典例精讲】 (1)∵P 是C 1D 1的中点，∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC →＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(3)∵M 是AA 1的中点， ∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →＝－12a ＋⎝⎛⎭⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c ， 又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ， ∴MP →＋NC 1→＝⎝⎛⎭⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝⎛⎭⎫a ＋12c ＝32a ＋12b ＋32c . 【类题通法】 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．1．(2014·舟山月考)如图所示，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ，y ，z 的值分别为________．【解析】连结ON ， OG →＝OM →＋MG →＝OM →＋23MN →＝OM →＋23(ON →－OM →)＝13OM →＋23ON →＝13OM →＋23×12(OB →＋OC →) ＝13×12OA →＋13OB →＋13OC → ＝16OA →＋13OB →＋13OC → x ＝16，y ＝13，z ＝13. 【答案】16，13，13考向二 共线、共面向量定理及应用(2014·上饶调研)已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，(1)求证：E 、F 、G 、H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH ；(3)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有OM →＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)．【审题视点】 (1)利用向量共面与点共面的关系证明．(2)根据向量共线的关系证．(3)根据向量运算求证．【典例精讲】 (1)连接BG ， 则EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →， 由共面向量定理的推论知： E 、F 、G 、H 四点共面． (2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →， 所以EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH .(3)找一点O ，并连接OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG . 由(2)知EH →＝12BD →，同理FG →＝12BD →，所以EH →＝FG →，即EH 綊FG ， 所以四边形EFGH 是平行四边形．所以EG ，FH 交于一点M 且被M 平分． 故OM →＝12(OE →＋OG →)＝12OE →＋12OG →＝12⎣⎡⎦⎤12OA →＋OB →＋12⎣⎡⎦⎤12OC →＋OD → ＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)． 【类题通法】 空间共线向量定理、共面向量定理的应用三点(P ，A ，B )共线空间四点(M ，P ，A ，B )共面P A →＝λPB →MP →＝xMA →＋yMB →对空间任一点O ，OP →＝OA →＋tAB →对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋(1－x )OB →对空间任一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋(1－x －y )OB →2．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为BC 边上的中点，求证：A 1B ∥平面AC 1D .证明：设BA →＝a ，BB 1→＝c ，BC →＝b ， 则BA 1→＝BA →＋AA 1→＝BA →＋BB 1→ ＝a ＋c ，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →＝－a ＋12b ，AC 1→＝AC →＋CC 1→＝BC →－BA →＋BB 1→＝b －a ＋c ， BA 1→＝AC 1→－2AD →， ∵A 1B ⊄平面AC 1D ， ∴A 1B ∥平面AC 1D .考向三 空间向量数量积的应用已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)． (1)求以AB →，AC →为边的平行四边形的面积；(2)若|a |＝3，且a 分别与AB →，AC →垂直，求向量a 的坐标．【审题视点】 ①利用向量夹角公式求sin 〈AB →，AC →〉，代入面积公式． ②向量垂直，数量积为0.【典例精讲】 (1)由题意可得： AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)， ∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝－2＋3＋614×14＝714＝12.∴sin 〈AB →，AC →〉＝32，∴以AB →，AC →为边的平行四边形的面积为 S ＝2×12|AB →|·|AC →|·sin 〈AB →，AC →〉＝14×32＝7 3.(2)设a ＝(x ，y ，z )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋z 2＝3－2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1z ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1，z ＝－1∴向量a 的坐标为(1,1,1)或(－1，－1，－1)．【类题通法】 (1)当题目条件有垂直关系时，常转化为数量积为零进行应用； (2)当异面直线所成的角为α时，常利用它们所在的向量转化为向量的夹角θ来进行计算；(3)通过数量积可以求向量的模．3．已知空间四边形OABC 中，M 为BC 的中点，N 为AC 的中点，P 为OA 的中点，Q 为OB 的中点，若AB ＝OC ，求证：PM ⊥QN .证明：连结PB 、PC ∴PM →＝12PB →＋12PC →＝12(OB →－12OA →)＋12(OC →－12OA →)＝12OB →＋12OC →－12OA →QN →＝12QA →＋12QC →＝12(OA →－12OB →)＋12(OC →－12OB →) ＝12OA →＋12OC →－12OB →∴PM →·QN →＝⎣⎡⎦⎤12OC →＋12OB →－OA →⎣⎡12OC →－⎦⎤12OB →－OA →＝14|OC →|2－14(OB →－OA →)2＝14|OC →|2－14|AB →|2＝0 ∴PM ⊥QN .空间“向量平行”与“向量同向”已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(x ，x 2＋y －2，y )，并且a 、b 同向，则x ，y 的值分别为________．【正解】 由题意知a ∥b ，所以x 1＝x 2＋y －22＝y 3.即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ， ①x 2＋y －2＝2x ， ② 把①代入②得x 2＋x －2＝0，(x ＋2)(x －1)＝0， 解得x ＝－2，或x ＝1.当x ＝－2时，y ＝－6；当x ＝1时，y ＝3.当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－6时，b ＝(－2，－4，－6)＝－2a ，两向量a ，b 反向，不符合题意，所以舍去．当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝3时，b ＝(1,2,3)＝a ，a 与b 同向，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3. 【答案】 1,3【易错点】 两向量平行和两向量同向不是等价的，同向是平行的一种情况．两向量同向能推出两向量平行，但反过来不成立，也就是说，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件．错解就忽略了这一点．【警示】 a 与b 同向是a ∥b 的充分而不必要条件．a ∥b 是a 与b 同向的必要而不充分条件．1．(2013·高考全国新课标Ⅱ卷)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )【解析】选A.结合已知条件画出图形，然后按照要求作出正视图．根据已知条件作出图形：四面体C 1－A 1DB ，标出各个点的坐标如图(1)所示，可以看出正视图是正方形，如图(2)所示．故选A.2．(2014·辽宁大连一模)长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为( )A.1010 B.3010C.21510D.31010【解析】选B.建立坐标系如图，则A (1,0,0)，E (0,2,1)， B (1,2,0)，C 1(0,2,2)．BC 1→＝(－1,0,2)，AE →＝(－1,2,1)，cos 〈BC 1→，AE →〉＝BC 1→·AE →|BC 1→|·|AE →|＝3010. 所以异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为3010.3．(2012·高考陕西卷)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( ) A.55 B.53 C.255 D.35【解析】选A.不妨令CB ＝1，则CA ＝CC 1＝2.可得O (0,0,0)，B (0,0,1)，C 1(0,2,0)，A (2,0,0)，B 1(0,2,1)， ∴BC 1→＝(0,2，－1)，AB 1→＝(－2,2,1)，∴cos 〈BC 1→，AB 1→〉＝BC 1→·AB 1→|BC 1→||AB 1→|＝4－15×9＝15＝55＞0.∴BC 1→与AB 1→的夹角即为直线BC 1与直线AB 1的夹角， ∴直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为55.4．(2012·高考四川卷)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱CD 、CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是________．【解析】以D 为原点，DA 、DC 、DD 1为坐标轴建系，设A 1(1,0,1)，M (0，12，0)，N (0,1，12)，∴DN →＝(0,1，12)，A 1M →＝(－1，12，－1)∴DN →·A 1M →＝0，∴A 1M ⊥DN .【答案】90°。
苏教版选修(2-1)3.1《空间向量及其运算》word教案
3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算教学目标：㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学方法：讨论式．教学过程：Ⅰ.复习引入［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB．［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：⒈向量的加法：⒉向量的减法：⒊实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa ＝0.［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？ ［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a ＋b ＝b ＋a加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ） 数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P 26～P 27．Ⅱ.新课讲授［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．起点与重点重合的向量叫做零向量。
空间向量及其运算教学设计
课题：空间向量及其线性运算（人教A版 3.1.1+3.1.2部分内容）教学内容解析：本节课的教学内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学（选修2-1）》（人教A 版）第3章“空间向量与立体几何”第1节“空间向量及其加减运算”和第2节“空间向量的数乘运算”的部分内容。
向量是既有大小又有方向的量，既能像数一样进行运算本身又是一个“图形”所以它可以作为沟通代数和几何的桥梁在很多数学问题的解决中有着重要的应用。
本章要学习的空间向量将为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供一个十分有效的工具。
本小节的主要内容可分为两部分一是空间向量的相关概念；二是空间向量的线性运算。
空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角，本课作为章节的起始课，是学生学习了平面向量的基础之后展开的，经历了向量及其运算由平面向空间推广的过程，既复习巩固了平面向量的有关内容，又为后面用向量解决立体几何问题做好铺垫，起到承前启后的作用。
教学过程中应充分让学生类比猜想、自主探索，得出相应的法则和性质，引导学生主动学习类比、归纳、推广、化归等思想方法，提高数学素养。
学情分析：1.学生已经学习过平面向量的概念及其相关运算，为本节空间向量及其线性运算的学习打下了坚实的知识基础。
2.学生在探究问题以及合作交流的意识等方面，发展不够均衡，尚有待加强，必须在教师一定的指导下才能进行。
教学目标：1.知识与技能目标：（1）了解空间向量的概念；（2）掌握空间向量的加减数乘运算；（3）掌握空间向量的运算律。
2.过程与方法目标：（1）理解空间向量的概念，掌握空间向量的表示方法；（2）会用图形说明空间向量加法，减法，数乘向量及它们的运算律；（3）用空间向量的运算及运算律解决简单的立体几何问题。
3.情感态度价值观目标：（1）形成事物与事物之间普遍联系及其相互转化的辨证观点；（2）通过变式训练，提高学生对事物个性与共性之间联系的认识水平。
教学重点：空间向量的线性运算；教学难点：体会类比的数学方法；（平面向量向空间向量的推广过程中学生对于其相同点与不同点的理解有一定的困难）教学策略：多媒体教学、问题式教学、讲授法、类比法、讨论法、自主学习、合作探究教学设计：1.教学结构设计B2.教学过程设计（一）创设情境，导入新课国庆期间，某游客从上海世博园（O）游览结束后乘车到外滩（A）观赏黄浦江，然后抵达东方明珠（B）游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？图1图2如果游客还要登上东方明珠顶端（D）俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那它实际发生的位移是什么？又如何表示呢？设计意图及效果评价：图1中的引入情境即为必修四中“平面向量”章节的引入情境，于学生而言，非常熟悉。
教学设计5：8.6 空间向量及其运算
8.6 空间向量及其运算[知识回顾]一、空间向量及其有关概念语言描述共线向量(平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合．共面向量平行于同一平面的向量．共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb.共面向量定理若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b.空间向量基本定理(1)定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}使得p＝x a＋y b＋z c．(2)推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间一点P都存在唯一的三个有序实数x、y、z使OP＝x OA＋y OB＋z OC且x＋y＋z＝1.二、数量积及坐标运算1．两个向量的数量积(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；(2)a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；(3)|a|2＝a2，|a|＝x2＋y2＋z2.2．向量的坐标运算a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)向量和a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)向量差a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数量积a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3共线a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)垂直a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0公式cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23b21＋b22＋b23三、平面的法向量(1)所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量有无数多个，它们是共线向量．(2)在空间中，给定一个点A 和一个向量a ，那么以向量a 为法向量且经过点A 的平面是唯一的．[高频考点]考点一空间向量的线性运算典题导入[例1] 如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中G 为△A 1BD 的重心，设AB ＝a ， AD ＝b ，1AA ＝c ，试用a ，b ，c 表示1AC ，AG .本例条件不变，设A 1C 1与B 1D 1交点为M ，试用a ，b ，c 表示MG .由题悟法用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键，要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，灵活运用三角形法则及四边形法则．以题试法1.如图所示，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝2GN ，若OG ＝x OA ＋y OB ＋z OC ，则x ，y ，z 的值分别为________．考点二共线、共面向量定理的应用典题导入[例2]如图，已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，E、F、G、H分别是棱A′D′、D′C′、C′C和AB的中点，求证E、F、G、H四点共面．由题悟法应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较：三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面PA＝λPB且同过点P MP＝x MA＋y MB对空间任一点O，OP＝OA→＋t AB 对空间任一点O，OP＝OM＋x MA＋y MB对空间任一点O，OP＝x OA＋(1－x) OB对空间任一点O，OP＝x OM＋y OA＋(1－x－y) OB以题试法2.已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用向量方法，求证：(1)E、F、G、H四点共面；(2)BD∥平面EFGH.考点三利用空间向量证明平行或垂直典题导入[例3]已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，边长为2a，AD ＝DE＝2AB，F为CD的中点．(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求证：平面BCE⊥平面CDE.由题悟法利用直线的方向向量与平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直．(1)设直线l1的方向向量v1＝(a1，b1，c1)，l2的方向向量v2＝(a2，b2，c2)．则l1∥l2⇔v1∥v2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)设直线l的方向向量为v＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为n＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔v ⊥n⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.l⊥α⇔v∥n⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)．(3)设平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2，α⊥β⇔n1⊥n2.以题试法3．如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC 与BD的交点，BB1＝2，M是线段B1D1的中点．(1)求证：BM∥平面D1AC；(2)求证：D1O⊥平面AB1C.[方法总结]1.用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．2．直线的方向向量与平面的法向量的确定：(1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB 为直线l 的方向向量，与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.答案[例1]【答案】 1AC ＝AB ＋BC ＋1CC ＝AB ＋AD ＋1AA ＝a ＋b ＋c .AG ＝1AA ＋1A G＝1AA ＋13(1A D ＋1A B )＝1AA ＋13(AD －1AA )＋13(AB －1AA )＝131AA ＋13AD ＋13AB ＝13a ＋13b ＋13c .解：如图，MG ＝1MA ＋1A G＝－12(11A B ＋11A D )＋13(1A D ＋1A B )＝－12a －12b ＋13(AD －1AA )＋13(AB －1AA )＝－12a －12b ＋13b －13c ＋13a －13c＝－16a －16b －23c1.【解析】∵OG ＝OM ＋MG ＝12OA ＋23MN＝12OA ＋23(ON －OM ) ＝12OA ＋23ON －23OM ＝12OA ＋23×12(OB ＋OC )－23×12OA ＝16OA ＋13OB ＋13OC ∴x ，y ，z 的值分别为16，13，13.【答案】16，13，13[例2]【答案】 取ED '＝a ，EF ＝b ，EH ＝c ， 则HG ＝HB ＋BC ＋CG ＝D F '＋2ED '＋12AA '＝b －a ＋2a ＋12(AH ＋HE ＋EA ')＝b ＋a ＋12(b －a －c －a )＝32b －12c ，∴HG 与b 、c 共面．即E 、F 、G 、H 四点共面． 2.证明：(1)连接BG ，则EG ＝EB ＋BG ＝EB ＋12(BC ＋BD )＝EB ＋BF ＋EH ＝EF ＋EH ， 由共面向量定理知： E 、F 、G 、H 四点共面． (2)因为EH ＝AH －AE＝12AD －12AB ＝12(AD －AB )＝12BD ， 又因为E 、H 、B 、D 四点不共线，所以EH ∥BD . 又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH . [例3]【答案】 依题意，以AC 所在的直线为x 轴，AB 所在的直线为z 轴，过点A 且垂直于AC 的直线为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，C (2a,0,0)，B (0,0，a )，D (a ，3a,0)，E (a ，3a,2a )．∵F 为CD 的中点，∴F ⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0.(1)易知，AF ＝⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，BE ＝(a ，3a ，a )，BC ＝(2a,0，－a )，∵AF ＝12(BE ＋BC )，AF ⊄平面BCE ，∴AF ∥平面BCE .(2)∵AF ＝⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，CD ＝(－a ，3a,0)，ED ＝(0,0，－2a )，∴AF ·CD ＝0，AF ·ED ＝0，∴AF ⊥CD ，AF ⊥ED ，即AF ⊥CD ，AF ⊥ED . 又CD ∩ED ＝D ，∴AF ⊥平面CDE .又AF ∥平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE . 3．证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则点O (1,1,0)、D 1(0,0，2)， ∴1OD ＝(－1，－1，2)， 又点B (2,2,0)，M (1,1，2)， ∴BM ＝(－1，－1，2)， ∴1OD ＝BM ， 又∵OD 1与BM 不共线， ∴OD 1∥BM .又OD 1⊂平面D 1AC ，BM ⊄平面D 1AC ， ∴BM ∥平面D 1AC .(2)连接OB 1.∵1OD ·1OB ＝(－1，－1，2)·(1,1，2)＝0，1OD ·AC ＝(－1，－1，2)·(－2,2,0)＝0，∴1OD ⊥1OB ，1OD ⊥AC ， 即OD 1⊥OB 1，OD 1⊥AC ，又OB 1∩AC ＝O ，∴D 1O ⊥平面AB 1C .。
北师大版数学高二-选修2教案 2.2《空间向量及其运算》
2.2《空间向量及其运算》教学设计【教学目标】1.了解空间向量与平面向量的联系与区别；了解向量及其运算由平面向空间推广的过程。
2.了解空间向量、共线向量、共面向量等概念；理解空间向量共线、共面的充要条件；了解空间向量的基本定理及其意义；掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。
3 .掌握空间向量的线性运算及其性质；掌握空间向量的坐标运算。
4 .理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
【导入新课】复习引入1.有关平面向量的一些知识：什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：用有向线段表示；用字母a 、b等表示；用有向线段的起点与终点字母：AB ．长度相等且方向相同的向量叫相等向量.2. 向量的加减以及数乘向量运算： 向量的加法： 向量的减法： 实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，其长度和方向规定如下：|λa |＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa 与a 同向； 当λ＜0时，λa 与a 反向； 当λ＝0时，λa＝0.3. 向量的运算运算律：加法交换律：a ＋b ＝b ＋a新授课阶段一. 空间向量及其加减与数乘运算1. 定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模。
得到： 零向量、 单位向量、 相反向量的概念。
相等向量： 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． 2. 空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：OB OA AB =+=a +b，AB OB OA =-（指向被减向量）， OP =λa()R λ∈3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律．⑴加法交换律：a +b = b + a；⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b+ c )；⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa+λb ； ⑶数乘结合律：λ(u a ) =(λu )a． 4. 推广：⑴ 12233411n n n A A A A A A A A A A -++++=；⑵ 122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++=；⑶ 空间平行四边形法则．例1判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.⑴ 向量AB 与AC 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上；⑵ 单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB =DC ；⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解 ①不正确，共线向量即平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB，CD 在同一条直线上.②不正确，单位向量模均相等且为1，但方向并不一定相同.③不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④不正确，因为A 、B 、C 、D 可能共线.⑤正确.⑥不正确，如图所示，AC 与BC 共线，虽起点不同，但终点却相同.点评：解此类题主要是透彻理解概念，对向量、零向量、单位向量、平行向量(共线向量)、共面向量的概念特征及相互关系要把握好．二、空间向量的数乘运算1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作a //b。
教案)空间向量及其运算
教案)空间向量及其运算教案内容：一、教学目标1. 了解空间向量的概念，理解向量的几何表示和坐标表示。
2. 掌握空间向量的线性运算，包括加法、减法、数乘和点乘。
3. 能够应用空间向量的运算解决实际问题。
二、教学重点与难点1. 空间向量的概念及其几何表示。
2. 空间向量的坐标表示及其运算。
3. 空间向量的应用问题。
三、教学准备1. 教师准备PPT或黑板，用于展示向量的图形和运算过程。
2. 准备一些实际问题，用于引导学生应用向量知识解决。
四、教学过程1. 引入：通过展示一些实际问题，如物体运动、几何图形等，引导学生思考向量的概念和作用。
2. 讲解：向学生介绍空间向量的概念，讲解向量的几何表示和坐标表示。
通过示例和图形，让学生理解向量的加法、减法、数乘和点乘运算。
3. 练习：让学生通过练习题的方式，巩固对向量运算的理解和掌握。
可以提供一些选择题和填空题，以及一些应用问题。
4. 应用：引导学生将向量知识应用到实际问题中，如物体运动、几何图形等。
可以让学生分组讨论和展示解题过程。
5. 总结：对本节课的主要内容和知识点进行总结，强调重点和难点。
五、作业布置1. 完成课后练习题，包括选择题、填空题和应用问题。
2. 准备下一节课的预习内容，了解空间向量的线性组合和叉乘。
六、教学反思在课后，教师应反思本节课的教学效果，包括学生的参与度、理解程度和掌握情况。
根据学生的反馈和表现，调整教学方法和策略，以便更好地进行后续教学。
六、教学评价1. 评价方式：通过课堂讲解、练习题和实际问题解决，评价学生对空间向量的概念理解和运算掌握程度。
2. 评价标准：学生能准确地描述空间向量的概念，理解向量的几何表示和坐标表示；能熟练地进行向量的加法、减法、数乘和点乘运算；能将向量知识应用到实际问题中，解决问题。
七、拓展与延伸1. 向量的线性组合：向学生介绍空间向量的线性组合概念，讲解线性组合的性质和运算规律。
2. 向量的叉乘：向学生介绍空间向量的叉乘概念，讲解叉乘的性质和运算规律。
高中数学人教A版2019选修第一册教案空间向量及其运算
1.1 空间向量及其运算本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第一章《空间向量与立体几何》，本节课主要学习空间向量及其运算。
平面向量是重要的数学概念，它是链接代数与几何的桥梁。
将平面向量拓展到空间，进一步提升了向量的应用。
本节是在学习了简单的立体几何与平面向量及其运算的基础上进行教学的。
通过本节课的学习，既可以对向量的知识进一步巩固和深化，又可以为后面解决立体几何问题打下基础，所以学好这节内容是尤为重要的。
2.教学难点：掌握空间向量的运算及其应用多媒体概念和表示开始。
二、探究新知知识点一 空间向量的概念思考1. 类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.答案 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量.(1)在空间，把具有_____和_____的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的_____或___.空间向量用有向线段表示，有向线段的_____表示向量的模，a 的起点是A ，终点是B ，则a 也可记作AB ―→，其模记为__________. 方向；大小；长度；模；长度；|a |或|AB ―→| (2)几类特殊的空间向量名称 定义及表示零向量 规定长度为0的向量叫_______，记为0单位向量______的向量叫单位向量相反向量与向量a 长度_____而方向_____的向量，称为a 的相反向量，记为－a相等向量 方向_____且模_____的向量称为相等向量，_____且由回顾知识出发，提出问题，让学生感受到平面向量与空间向量的联系。
即空间向量是平面向量向空间的拓展，处理空间向量问题要转化为平面向量解决。
_____的有向线段表示同一向量或相等向量零向量；模为1；相等；相反；相同；相等；同向；等长 知识点二 空间向量的加减运算及运算律思考2. 下面给出了两个空间向量a 、b ，作出b ＋a ，b －a .答案 如图，空间中的两个向量a ，b 相加时，我们可以先把向量a ，b 平移到同一个平面α内，以任意点O 为起点作OA →＝a ，OB ―→＝b ，则OC ―→＝OA ―→＋OB ―→＝a ＋b ，AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝b －a .(1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算.OB ―→＝OA ―→＋AB ―→＝a ＋b CA ―→＝OA ―→－OC ―→＝a －bOB ―→＝OA ―→＋AB ―→＝OA ―→＋OC ―→＝a ＋b (2)空间向量加法交换律 a ＋b ＝b ＋a思考4. 回顾平面向量中关于向量共线知识，给出空间中共线向量的定义.答案 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.平行或重合；a ＝λb ；方向向量；OP →＝OA →＋t a ；AB →定义 平行于同一个平面的向量三个向量共面的充要条件向量p 与不共线向量a ，b 共面的充要条件是存在______的有序实数对(x ，y )使__________ 点P 位于平 面ABC 内 的充要条件存在有序实数对(x ，y )，使AP ―→＝___________对空间任一点O ，有OP ―→＝OA ―→＋__________惟一；p ＝x a ＋y b ；xAB ―→＋yAC ―→；xAB ―→＋yAC ―→做一做1.如图，已知长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量.(1)AA ―→′－CB ―→； (2)AA ′―→＋AB ―→＋B ′C ―→′.解（1） AA ′―→－CB ―→＝AA ′―→－DA →＝AA ′→＋AD →＝AD ′→.（2） AA ′→＋AB →＋B ′C ′→＝(AA ′→＋AB →)＋B ′C ′→＝AB ′→＋B ′C ′→＝AC ′→.向量AD ′→、AC ′→如图所示.例1.已知平行四边形ABCD 从平面AC 外一点O 引向量．＝k ，＝k ，＝k ，＝k ．求证：四点E ，F ，G ，H 共面【分析】（1）可画出图形，根据便可得到，从而得出EF ∥AB ，同理HG ∥DC ，且有EF ＝HG ，这便可判断四边形EFGH 为平行四边形，从而得出四点E ，F ，G ，H 共面；解：（1）证明：如图， ∵；∴；EF ∥AB ，且EF ＝|k |AB ；同理HG ∥DC ，且HG ＝|k |DC ，AB ＝DC ； ∴EF ∥HG ，且EF ＝HG ； ∴四边形EFGH 为平行四边形； ∴四点E ，F ，G ，H 共面； 知识点五 空间向量数量积的概念思考 如图所示，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，类比平面向量有关运算，如何求向量OA ―→与BC ―→的数量积？并总结求两个向量数量积的方法.解 ∵BC ―→＝AC ―→－AB ―→， ∴OA ―→·BC ―→＝OA ―→·AC ―→－OA ―→·AB ―→＝|OA ―→||AC ―→|cos 〈OA ―→，AC ―→〉－|OA ―→||AB ―→|cos 〈OA ―→，AB ―→〉 ＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16 2.求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角，当夹角和长度不确定时，可用已知夹角和长度的向量来表示该向量，再代入计算.a·a；a·b|a||b|；a·b＝0；|a|·|b|；－|a|·|b|；|a|2例2．已知平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，（1）求AC′的长；（如图所示）（2）求与的夹角的余弦值．【分析】（1）可得＝＝，由数量积的运算可得，开方可得；（2）由（1）可知，又可求和，代入夹角公式可得．解：（1）可得＝＝，＝＝+2（）＝42+32+52+2（4×3×0+4×）＝85故AC′的长等于＝（2）由（1）可知＝，＝故＝（）•（）＝＝＝又＝＝＝＝5故与的夹角的余弦值＝＝例3．已知：m，n是平面α内的两条相交直线，直线l与α的交点为B，且l⊥m，l⊥n．求证：l⊥α解：设直线m的方向向量为，直线n的方向向量为，直线l的方向向量为，∵m，n是平面α内的两条相交直线∴与是平面α内的两个不共线向量，设平面α内的任一向量为，由平面向量基本定理，存在唯一实数λ，μ，使＝λ+μ又∵l⊥m，l⊥n，∴＝0，＝0∴•＝＝λ+μ＝0∴∴直线l垂直于平面α内的任意直线，由线面垂直的定义得：l⊥α三、达标检测答案－8解析 BD ―→＝CD ―→－CB ―→＝e 1－4e 2，AB ―→＝2e 1＋k e 2， 又A 、B 、D 三点共线，由共线向量定理得AB ―→＝λBD ―→， ∴12＝－4k.∴k ＝－8. 6.已知a 、b 是异面直线，且a ⊥b ，e 1、e 2分别为取自直线a 、b 上的单位向量，且a ＝2e 1＋3e 2，b ＝k e 1－4e 2，a ⊥b ，则实数k 的值为___.答案 6解析 由a ⊥b ，得a ·b ＝0，∴(2e 1＋3e 2)·(k e 1－4e 2)＝0，∴2k －12＝0，∴k ＝6.7.BB 1⊥平面ABC ，且△ABC 是∠B ＝90°的等腰直角三角形，▱ABB 1A 1、▱BB 1C 1C 的对角线都分别相互垂直且相等，若AB ＝a ，求异面直线BA 1与AC 所成的角.解 如图所示.∵BA ―→1＝BA ―→＋BB ―→1，AC ―→＝AB ―→＋BC ―→，∴BA ―→1·AC ―→＝(BA ―→＋BB ―→1)·(AB ―→＋BC ―→)＝BA ―→·AB ―→＋BA ―→·BC ―→＋BB ―→1·AB ―→ ＋BB ―→1·BC ―→.教学中主要突出了几个方面：一是创设问题情景，充分调动学生求知欲，并以此来激发学生的探究心理。
《空间向量及其运算》第一课时示范公开课教学设计【高中数学】
《空间向量及其运算》教学设计◆教学目标1、了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共面向量等概念．提升学生的数学运算、逻辑推理素养；.2、会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，掌握数乘向量运算的意义及运算律．提高运算、抽象、推理等数学思维能力．◆教学重难点◆教学重点：熟练掌握空间向量的加法、减法、数乘的计算方法.教学难点：利用空间向量的加法、减法、数乘的计算方法解决简单的问题.◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、整体概览问题1：阅读课本第2页，回答下列问题：（1）本章将要研究哪类问题？（2）本章要研究的对象在高中的地位是怎样的？（3）本章研究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.预设的答案：（1）本章内容共分为空间向量及其运算和空间向量在立体几何中的应用两大部分.第一部分空间向量及其运算,包含空间向量及其运算、空间向量基本定理、空间向量的坐标与空间直角坐标系三小节内容.第二部分空间向量在立体几何中的应用包含五小节内容.首先将立体几何中的基本研究对象空间中的点、直线和平面用空间向量表示,然后把点、线、面的位置关系和向量运算建立联系,通过向量运算研究平行、垂直、角和距离等位置和数量关系．（2）本章是“几何与代数”这条内容主线在选择性必修部分的承接.空间向量的引入,为解决三维空间中的图形的位置关系和度量关系提供了一个十分有效的工具.在本章中,学生将在学习平面向量的基础上,把平面向量及其运算推广到空间,运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题,体会向量方法在研究几何图形中的作用,进一步发展学生的直观想象、数学运算的核心素养．（3）本章的起点是空间向量的概念，通过学生已经学习过的平面向量的概念，通过例题说明向量源于实际并应用于实际，这符合学生的认知规律，在实际教学中，要利用学生的生活经验以及他们学过的其他学科，创设丰富的情景，使学生进一步理解空间向量概念的实质，激发学生的学习兴趣,引导学生用数学眼光观察世界,用数学思维思考世界,用数学语言表达世界．设计意图：通过章引言内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.二、探索新知1、复习概念问题2：我们在必修第二册第六章中曾经学习过平面向量的相关概念，请同学们回忆平面向量的相关概念．（板书：空间向量及其运算）师生活动：在教师的指导下共同回忆平面向量的相关概念．教师讲解：①在平面内，既有大小又有方向的量称为向量(也称为矢量)．②向量的大小也称为向量的模(或长度)．③可以用有向线段来直观地表示向量,其中有向线段的长度表示向量的大小,有向线段箭头所指的方向表示向量的方向.有向线段不带箭头的端点称为向量的始点(或起点),带箭头的端点称为向量的终点.④有向线段始点和终点的相对位置确定向量的大小与方向.始点为A，终点为B的向量,记为AB,向量的模用|AB|表示,还可用一个小写字母来表示向量:在印刷时,通常用加粗的斜a b c来表示向量.此时,向体小写字母如a,b,c来表示向量;在书写时,用带箭头的小写字母如,,量a的模也用|a|或|a|来表示．⑤始点和终点相同的向量称为零向量,零向量的方向是不确定的.零向量在印刷时,通常用0表示;书写时,用0表示.零向量的模为|0|,即|0|=0.⑥模等于1的向量称为单位向量.因此,e是单位向量的充要条件是|e|=1.a b.⑦大小相等、方向相同的向量称为相等的向量.向量a和b相等,记作⑧如果两个非零向量的方向相同或者相反,则称这两个向量平行.通常规定零向量与任意a b,两个向量平行也称为两个向量共线.向量平行.两个向量a和b平行,记作//设计意图：通过复习,引导学生把握数学内容的本质,使学生对平面向量的相关概念加深理解,为下面学习空间向量的相关概念打下坚实的基础.2、形成定义观察上述平面向量的有关概念,思考能否将它们从平面推广到空间中，如果能,尝试说出推广后的不同之处;如果不能,说明理由．师生活动：通过类比，学生自己得出空间向量的概念．教师讲解：只要去掉“在平面内”的限定，就都可以原封不动地推广到空间中，因此，我们仍使用上述向量的概念与约定如下.（1）空间向量①空间向量的定义在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．②空间向量及其模的表示方法空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模．如图，a 的起点是A ，终点是B ，则a 也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|.③特殊向量不同之处：空间中的向量，除了共线之外，我们还要讨论共面的情形.一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移之后，都能在同一平面内，则称这些向量共面；否则，称这些向量不共面.设计意图：通过回顾平面向量的相关概念可以知道,对于一个向量,只要不改变它的大小和方向,是可以任意平行移动的.不过平面向量仅限于研究同一平面内的平移,而空间向量研究的是空间中的平移.提高学生的逻辑推理素养．问题3：如图1-1-2，请指出下列各组向量的位置关系.（1）1AA ，1DD ； （2）1AA ，11B C ； （3）1AA ，1DD ，11B C ； （4）1AA ，AD ，AB ；师生活动：学生观察图，自己写出答案，教师给出答案．预设的答案：（1）共线向量；（2）不共线向量，但是共面向量；（3）共面向量；（4）不共面向量.设计意图：充分体会空间向量的方向和模的大小，强化概念理解．问题4:回忆平面向量的加法运算，思考如何定义空间向量的加法，并尝试总结空间向量加法运算与平面向量加法运算有何不同？ 师生活动：学生根据平面向量的加法运算给出空间向量的加法运算．教师讲解：我们知道,给定两个平面向量,a b ,在该平面内任取一点A ,作,==AB a BC b ,作出向量AC ,则AC 是向量,a b 的和(也称AC 为向量,a b 的和向量).向量,a b 的和向量记作+a b ,因此+=AB BC AC .当平面向量,a b 不共线时,,a b ,+a b 正好能构成一个三角形,如图1-1-4所示,因此这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则.因为空间中的任意两个向量都共面，所以空间中两个向量的和，除了A 点可以在空间中任意选定之外，其他的与平面情形完全一样.特别地，向量加法的三角形法则和平行四边形法则在空间中也成立.空间向量的加法也可用平行四边形法则:任意给定两个不共线的向量,a b ,在空间中任取一点A ,作,==AB a AC b ,以AB ,AC 为邻边作个平行四边形ABDC ,作出向量AD ,则=+AD AB AC .问题5：如图1-1-5所示的长方体1111-ABCD A BC D 中，求下列向量的和．（1）111+AA B C (2)1++AB AD AA师生活动：学生根据空间向量的加法运算进行计算．预设的答案：（1）1111111+=+=AA BC AA AD AD (2)111++=+=AB AD AA AC AA AC设计意图：通过具体实例加强对平行四边形法则或者三角形法则的理解和应用．问题6：向量加法的运算法则(1)交换律 a ＋b ＝b ＋a ；(2)结合律 (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．它们在空间中是否成立呢？尝试证明结合律．预设的答案：如图可知，两个运算法则均成立.如图1-1-6，其中，,,===AB a BC b CO c ，而且，a ,=+=+AC AB BC bb ,=+=+BO BC COc 所以，(a )c,=+=++AO AC CO b(b ),=+=++AO AB BO a c 因此，()()++=++a b c a b c设计意图：通过对空间向量的加法交换律、结合律的推理论证,让学生知晓平面向量的加法交换律、结合律在空间依然成立,进一步培养学生的逻辑推理能力,促使学生提升数形结合的能力,发展几何直观和空间想象能力,使学生增强运用几何直观和空间想象思考问题的意识,进一步形成数学直观,能在具体的情境中感悟事物的本质.三、初步应用例 1 如图1-1-7中所示是一个平行六面体1111-ABCD A BC D ，化简1++DA DC DD师生活动：学生自行解答，由老师指定学生回答．预设的答案：因为底面ABCD 是一个平行四边形，所以,+=DA DC DB 又因为11=DD BB ,因此，111++=+=DA DC DD DB BB DB设计意图：例1旨在说明,三个不共面的向量的和,等于以这三个向量为邻边的平行六面体中,与这三个向量有共同始点的体对角线所表示的向量.问题7：结合平面向量的差向量概念，能否给出空间向量的差向量的概念及空间向量减法的法则？师生活动：学生先回顾平面向量的减法法则，总结给出空间向量的减法法则．预设的答案：在空间中任取一点O,作,==OA a OB b,作出向量BA,则向量BA就是向量,a b的差(也称BA为向量,a b的差向量),即-=OA OB BA,当,a b不共线时,向量,a b ,-a b正好能构成一个三角形,因此这种求两向量差的作图方法称为向量减法的三角形法则.设计意图：通过类比平面向量的减法法则得出空间向量减法法则，加强学生逻辑推理素养，并进一步认识空间向量的减法运算.问题8：结合平面向量的相反向量概念，能否给出空间向量相反向量的概念？师生活动：学生先回顾平面向量的相反向量，总结给出空间向量相反向量的概念．预设的答案：同平面中的情形一样,给定一个空间向量,我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量,向量a的相反向量记作-a.因此AB的相反向量是-AB,而且-AB=BA.追问：相反向量的性质有哪些？师生活动：学生空间向量相反向量的概念给出相反向量的性质，教师总结．预设的答案：（1）零向量的始点与终点相同,所以-=0；（2）--=（）a a；（3）()();+-=-+a a a a（4）若向量,a b互为相反向量，则0,,+==-=-a b a b b a设计意图：通过相反向量的概念及性质的学习，点通向量减法和加法之间的关系，融汇知识点，使学生更加方便理解概念.问题9：结合平面向量的数乘向量，能否给出空间向量数乘向量？师生活动：学生先回顾平面向量的相反向量，总结给出空间向量相反向量的概念．预设的答案：实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作λa，称为向量的数乘运算．（1）当λ≠0或a ≠0时，λa 的模是|λ||a|，且有①当λ>0时，λa 与向量a 方向相同；②当λ<0时，λa 与向量a 方向相反；（2）当λ=0或a=0时，λa=0.（3）空间向量的数乘运算满足分配律与结合律：分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb ，结合律：λ(μa )＝(λμ)a .设计意图：通过数乘向量的概念及性质的学习，清楚数乘向量的几何意义是把向量a 沿着a 的方向或a 的反方向扩大或缩小．例2 ：设AB 是空间中的任意一条线段，O 是空间中任意一点，求证：M 为线段中点的充要条件是1()2=+OM OA OB 师生活动：学生根据所学知识自己证明，教师根据学生所做情况给出讲解．预设的答案：因为M 为AB 中点⇔=AM MB ,1()2⇔-=-⇔=+OM OA OB OM OM OA OB ,所以结论成立．例3：如图1-1-10所示，三棱锥A -BCD 中，O 为CD 的中点，化简1()2+-AB BC DB ，并在图中作出表示化简结果的向量.师生活动：学生根据所学知识自己证明，教师根据学生所做情况给出讲解．预设的答案： 1()21=()2+-++=+=AB BC DB AB BC BD AB BOAO四、归纳小结，布置作业问题10：（1）什么是空间向量？空间向量的模？向量的始点和终点？（2）什么是零向量、单位向量？（3）什么是相等向量？相反向量？（4）什么是数乘向量？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：（1）在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量及其模的表示方法空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模．如图，a 的起点是A ，终点是B ，则a 也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|.（2）规定长度为0的向量叫零向量，记为0，模为1的向量叫单位向量．（3）方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量；与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量记为－a ．（4）实数λ与空间向量a 的乘积仍然是一个向量，记作λa ，称为向量的数乘运算． 设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确空间向量的概念的有关知识． 布置作业：教科书第11页练习A 2, 5题．五、目标检测设计1.如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量AC 1→的共有( )①(＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个设计意图：考查学生对空间向量的加法运算．2.化简：(1)12(a ＋2b －3c )＋5⎝⎛⎭⎫23a －12b ＋23c ＝________； (2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝________．设计意图：考查学生对空间向量线性运算简单应用．3．下列说法中正确的是 ( )A ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．空间向量的减法满足结合律D ．在四边形ABCD 中，一定有AB →＋AD →＝AC →设计意图：考查学生对向量概念的理解．参考答案：1．D [根据空间向量的加法法则以及正方体的性质逐一进行判断：①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→．②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→．③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→．④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→．所以，所给4个式子的运算结果都是AC 1→．]2．(1)236a －32b ＋116c (2)0 [(1)原式＝12a ＋b －32c ＋103a －52b ＋103c ＝236a －32b ＋116c ． (2)原式＝AB →－AC →－CD →＋BD →＝CB →＋BD →－CD →＝CD →－CD →＝0．]3．B [|a |＝|b |，说明a 与b 模长相等，但方向不确定．对于a 的相反向量b ＝－a ，故|a |＝|b |，从而B 正确．只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有AB→＋AD→＝AC→，只有平行四边形才能成立．故A、C、D均不正确．]。
高中数学选修2-1-第三章第一节《3.1空间向量及其运算》全套教案
高中数学选修2-1-第三章第一节《3.1空间向量及其运算》全套教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN空间向量及其运算课时分配:第一课空间向量及其加减运算 1个课时第二课空间向量的数乘运算 1个课时第三课空间向量的数量积运算 1个课时第四课空间向量运算的坐标表示1个课时3. 1.1 空间向量及其加减运算【教学目标】1．了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法；2．理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件；3．会用上述知识解决立体几何中有关的简单问题。
【教学重点】点在已知平面内的充要条件。
共线、共面定理及其应用。
【教学难点】对点在已知平面内的充要条件的理解与运用。
b a AB OA OB+=+=；b a OB OA BA-=-=；)(R a OP ∈=λλ3．平行六面体：平行四边形ABCD 平移向量a 到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。
4．平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量。
由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量。
向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa 。
这个定理称为平面向量共线定理，要注意其中对向量a 的非零要求。
条有向线段来表示。
思考：运算律：（1）加法交换律：a b b a+=+ （2）加法结合律：)()(c b a c b a++=++（3）数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(C BAOb bb aa a C'B'A'D'DABC数t 满足等式t OA OP +=a。
其中向量a 叫做直线l 的方向向量。
人教A版高中数学选修空间向量及其运算教案新(5)
第二课时3.1.2空间向量的数乘运算（一）教学要求：了解共线或平行向量的概念，掌握表示方法；理解共线向量定理及其推论；掌握空间直线的向量参数方程；会运用上述知识解决立体几何中有关的简单问题．教学重点：空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式． 教学过程：一、复习引入1. 回顾平面向量向量知识：平行向量或共线向量？怎样判定向量b 与非零向量a是否共线？方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa.称平面向量共线定理， 二、新课讲授1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作a //b．2．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0），a //b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .理解：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若a ∥b （a ≠0），则有b ＝λa，其中λ是唯一确定的实数。
②判断定理：若存在唯一实数λ，使b ＝λa （a ≠0），则有a∥b （若用此结论判断a 、b 所在直线平行，还需a （或b ）上有一点不在b （或a）上）.⑵对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa|，当λ>0时与a 同向，当λ<0时与a反向的所有向量.3. 推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式 OP OA t =+a． 其中向量a叫做直线l 的方向向量. 推论证明如下：∵ l //a ，∴ 对于l 上任意一点P ，存在唯一的实数t ，使得AP t =a．(*) 又∵ 对于空间任意一点O ，有AP OP OA =-， ∴ OP OA t -=a ， OP OA t =+a． ①若在l 上取AB =a，则有OP OA t AB =+．(**)又∵ AB OB OA =- ∴ ()OP OA t OB OA =+-(1)t OA tOB =-+．② 当12t =时，1()2OP OA OB =+．③理解：⑴ 表达式①和②都叫做空间直线的向量参数表示式，③式是线段的中点公式．事实上，表达式(*)和(**)既是表达式①和②的基础，也是直线参数方程的表达形式．⑵ 表达式①和②三角形法则得出的，可以据此记忆这两个公式． ⑶ 推论一般用于解决空间中的三点共线问题的表示或判定． 空间向量共线（平行）的定义、共线向量定理与平面向量完全相同，是平面向量相关知识的推广．4. 出示例1：用向量方法证明顺次连接空间四边形四边中点的四边形是平行四边形. （ 分析：如何用向量方法来证明？）5. 出示例2：如图O 是空间任意一点，C 、D 是线段AB 的三等分点，分别用OA 、OB 表示OC 、OD . 三、巩固练习： 作业：。
人教A版高中数学选修空间向量及其运算教案新(2)
第六课时3.1.5空间向量运算的坐标表示（夹角和距离公式）教学要求：掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式解决有关问题．教学重点：夹角公式、距离公式． 教学难点：夹角公式、距离公式的应用． 教学过程：一、复习引入1. 向量的直角坐标运算法则：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则⑴a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； ⑵a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； ⑶λa ＝123(,,)a a a λλλ()R λ∈； ⑷a ·b ＝112233a b a b a b ++上述运算法则怎样证明呢？（将a ＝1a i ＋2a j ＋3a k 和b ＝1b i ＋2b j ＋3b k 代入即可） 2. 怎样求一个空间向量的坐标呢？（表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．） 二、新课讲授⒈ 向量的模：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，求这两个向量的模.｜a，｜b向量的长度公式．这个公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度． 2. 夹角公式推导：∵ a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞∴ 112233a b a b a b ++cos ＜a ,b ＞由此可以得出：cos ＜a ,b这个公式成为两个向量的夹角公式．利用这个共识，我们可以求出两个向量的夹角，并可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系：当cos ＜a 、b ＞＝1时，a 与b 同向；当cos ＜a 、b ＞＝－1时，a 与b 反向； 当cos ＜a 、b ＞＝0时，a ⊥b ．3. 两点间距离共识：利用向量的长度公式，我们还可以得出空间两点间的距离公式：在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则A B d 、A B d 、表示A 与B 两点间的距离．3. 练习：已知A (3,3,1)、B (1，0，5)，求：⑴线段AB 的中点坐标和长度；⑵到A 、B 两点距离相等的点(,,)P x y z 的坐标x 、y 、z 满足的条件． （答案：(2,32,3)；；46870x y z +-+=）说明：⑴中点坐标公式：1()2OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r ＝121212(,,)222x x y y z z +++；⑵中点p 的轨迹是线段AB 的垂直平分平面．在空间中，关于x 、y 、z 的三元一次方程的图形是平面．4. 出示例5：如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1111114A B B E D F ==，求1BE 与1DF 所成的角的余弦值．分析：如何建系？ → 点的坐标？ → 如何用向量运算求夹角？ → 变式：课本P 104、例65. 用向量方法证明：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行． 三.巩固练习 作业：课本P 105练习 3题.。
2-1.3.2空间向量及其运算
一、课题：空间向量及其运算（2）二、教学目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．三、教学重、难点：共线、共面定理及其应用． 四、教学过程：（一）复习：空间向量的概念及表示； （二）新课讲解：1．共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。
读作：a r平行于b r ，记作：//a b r r ．2．共线向量定理：对空间任意两个向量,(0),//a b b a b ≠r r rr r r 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=r r （λ唯一）．推论：如果l 为经过已知点A ，且平行于已知向量a r的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式OP OA t AB =+u u u r u u u r u u u r ①，其中向量a r 叫做直线l 的方向向量。
在l 上取AB a =u u u r r ，则①式可化为OP OA t AB =u u u r u u u r u u u r 或(1)OP t OA tOB =-+u u u r u u u r u u u r ②当12t =时，点P 是线段AB 的中点，此时1()2OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ③①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段AB 的中点公式．3．向量与平面平行：如果两个向量,a b r r 不共线，p r与向量,a b r r 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+r r r．alPBA O推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+u u u r u u u r u u u r 或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++u u u r u u u u r u u u r u u u r ①上面①式叫做平面MAB 的向量表达式． （三）例题分析：例1．已知,,A B C 三点不共线，对平面外任一点，满足条件122555OP OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r，试判断：点P 与,,A B C 是否一定共面？解：由题意：522OP OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r，∴()2()2()OP OA OB OP OC OP -=-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴22AP PB PC =+u u u r u u u r u u u r ，即22PA PB PC =--u u u r u u u r u u u r ，所以，点P 与,,A B C 共面．说明：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算． 【练习】：对空间任一点O 和不共线的三点,,A B C ，问满足向量式OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r（其中1x y z ++=）的四点,,,P A B C 是否共面？解：∵(1)OP z y OA yOB zOC =--++u u u r u u u r u u u r u u u r，∴()()OP OA y OB OA z OC OA -=-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴AP y AB z AC =+u u u r u u u r u u u r，∴点P 与点,,A B C 共面．例2．已知ABCD Y ，从平面AC 外一点O 引向量,,,OE kOA OF KOB OG kOC OH kOD ====u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r ，（1）求证：四点,,,E F G H 共面； （2）平面AC //平面EG ．OABC DHFE解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r，∵EG OG OE =-u u u r u u u r u u u r，()()()k OC k OA k OC OA k AC k AB AD k OB OA OD OA OF OE OH OE EF EH=⋅-⋅=-==+=-+-=-+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r ∴,,,E F G H 共面；（2）∵()EF OF OE k OB OA k AB =-=-=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，又∵EG k AC =⋅u u u r u u u r ，∴//,//EF AB EG AC所以，平面//AC 平面EG ．五、课堂练习：课本第96页练习第1、2、3题．六、课堂小结：1．共线向量定理和共面向量定理及其推论；2．空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式．七、作业：1．已知两个非零向量21,e e u r u u r 不共线，如果21AB e e =+u u u r u r u u r ，2128AC e e =+u u u r u r u u r ，2133AD e e =-u u u r u r u u r，求证：,,,A B C D 共面．2．已知324,(1)82a m n p b x m n yp =--=+++r r r r r r r r ，0a ≠rr ，若//a b r r ，求实数,x y 的值。
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第三章空间向量与立体几何§3.1空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算师：这节课我们学习空间向量及其加减运算，请看学习目标。
学习目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．师：在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了平面向量的一些知识，现在我们一起来复习。
（不要翻书）（在黑板或背投上呈现或边说边写）1、在平面中，我们把具有__________________的量叫做平面向量；2、平面向量的表示方法：①几何表示法：_________________________②字母表示法：_________________________（注意：向量手写体一定要带箭头）3、平面向量的模表示_________________，记作____________4、一些特殊的平面向量：①零向量：__________________________，记作___（零向量的方向具有任意性）②单位向量：______________________________（强调：都只限制了大小，不确定方向）③相等向量：____________________________④相反向量：____________________________5、平面向量的加法：6、平面向量的减法：7、平面向量的数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0.8、向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a＋b＝b＋a加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb数乘结合律：λ（aμ）=a)(λμ[师]：刚才我们复习了平面向量，那空间向量会是怎样，与平面向量有怎样的区别和联系呢?请同学们阅读书P84-P86.（5分钟）[师]：对比平面向量，我们得到空间向量的相关概念。
（在刚复习的黑板或幻灯片上，只需将平面改成空间）[师]：空间向量与平面向量有什么联系？[生]：向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．所以凡涉及空间两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。
［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点：⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++-因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：011433221=+++++-A A A A A A A A A A n n n ．⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．[师]：请同学们试着完成P85的探究。
在平行六面体ABCD-A ’B ’C ’D ’中，AB+AD+ AA ’=AC ’AB+ AA ’+ AD= AC ’所以 （AB+AD ）+AA ’=（AB+AA ’）+AD所以 三个不共面向量的和等于以该三个向量为邻边的平行六面体的体对角线所表示的向量。
完成书P86的练习3师：下面来练习打开同步P95 做 1、2、3、5师：今天的作业：1、同步P95 练习二十五 做完2、书P97 习题3.1 A 组 1、2做书上反思：3.1.2 空间向量的数乘运算（可分两课时）[师]：上节课我们学习了空间向量的相关概念，这节课我们来学习共线向量与共面向量定理，请看学习目标。
（展示学习目标）学习目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．[师]：请看自学指导请同学们认真阅读书P86-87的内容，⑴怎样的向量叫做共线向量？⑵两个向量共线的充要条件是什么？⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？⑷什么叫做空间直线的向量表示式？⑸怎样的向量叫做共面向量？⑹向量p 与不共线向量a 、b 共面的充要条件是什么？⑺空间一点P 在平面MAB 内的充要条件是什么？（结合自学指导，略作解答）1、共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。
读作：a 平行于b ，记作：//a b ．注意：零向量与任意向量都是共线向量。
2、共线向量定理：对空间任意两个向量,(0),//a b b a b ≠的充要条件是存在实数λ，使a b λ=（λ唯一）．推论：如果l 为经过已知点A ，且平行于已知向量a 的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式OP OA t AB =+①，其中向量a 叫做直线l 的方向向量。
在l 上取AB a =，则①式可化为OP OA t AB =+或(1)OP t OA tOB =-+②（要知道这个推论的条件） [师]：如何证明这两个推论呢？ 因为l ∥a ，满足AP=ta,又因AP=OP-OA,所以OP=OA+ta,若在l 上取AB=a ，则有OP=OA+tAB ，进一步， 因为AB=OB-OA,所以OP=OA+t(OB-OA)=(1-t)OA+tOB[师]：若当12t =时，点P 是什么？向量OP 会怎样？ [生]：点P 是线段AB 的中点，此时1()2OP OA OB =+③ [师]：所以把①和②都叫空间直线的向量表示式，也叫做空间直线的向量参数方程，③是线段AB 的中点公式．[师]：结合推论的条件，请同学们思考，空间中的任意直线是由哪些因素确定的？[生]：空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定。
[师]：共线向量定理及其推论有何应用？[生]：与平面向量一样，可以判断空间任意三点共线。
3、共面向量：通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．[师]：根据定义，说明空间任意的两向量都是共面的，为什么？[生]：因为总可以找到一个平面，使得这两个向量和平面平行[师]：空间中任意三个向量是不是一定共面呢？什么情况下三个向量共面？[生]：不一定，比如（自举例）。
4．共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+．推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++① 上面①式叫做平面MAB 的向量表达式．[师]：这与平面向量基本定理类似，a ，b 叫做基底，请同学们完成P87的探究 a lPB AO前者与平面向量基本定理吻合，后者可结合图3.1-9 讲解（因为xa ，yb 与a ，b 共线，所以xa ，yb 都在a ，b 确定的平面内。
又因为xa+yb 是以|xa|，|yb|为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量，并且此平行四边形在a ，b 确定的平面内，所以p=xa+yb 在a ，b 确定的平面内，即p 与a ，b 共面。
）[师]：共面向量定理和推论有何应用？[生]：可以判断四点共面。
师生共同完成例1补充：证明平面A C ∥平面EG 。
（选讲）∵()EF OF OE k OB OA k AB =-=-=⋅，又∵EG k AC =⋅，∴//,//EF AB EG AC 所以，平面//AC 平面EG ．例2．已知,,A B C 三点不共线，对平面外任一点，满足条件122555OP OA OB OC =++，试判断：点P 与,,A B C 是否一定共面？ 解：由题意：522OP OA OB OC =++，∴()2()2()OP OA OB OP OC OP -=-+-，∴22AP PB PC =+，即22PA PB PC =--，所以，点P 与,,A B C 共面．推广：对空间任一点O 和不共线的三点,,A B C ，问满足向量式OP xOA yOB zOC =++ （其中1x y z ++=）的四点,,,P A B C 是否共面？（仿照例2独立完成，写在练习本上或P88思考处，请一位同学上黑板板书） 解：∵(1)OP z y OA yOB zOC =--++，∴()()OP OA y OB OA z OC OA -=-+-，∴AP y AB z AC =+，∴点P 与点,,A B C 共面．注意：可作为结论来判断四点共面。
[师]：剩下时间请同学们完成P89 练习1、2、3[师]：我们一起来小结本节课的内容：（师生共同完成）1、共线向量、共线向量定理及其推论，以此来判断三点共线（与平面向量类似）2、共面向量、共面向量定理及其推论，可判断空间四点共面。
布置作业：同步P96 练习二十六反思：3.1.3 空间向量的数量积运算（一）师：这节课我们来学习空间向量的数量积运算（板书）请看本节课的学习目标。
展示学习目标。
学习目标：1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。
师：目标明确的同学请举手。
（老师根据情况进行下一步）。
请看自学指导。
（展示自学指导）认真阅读书P90的内容，完成下列问题。
（时间5分钟）1、空间两个向量的夹角：已知两个_____a，b，在空间中任取一点O，作_________________，则_______叫做向量a与b的夹角，记作_______,且规定夹角范围为___________.若夹角为90°，则称a与b_________，记作_______；当非零向量同向时夹角为______,反向时夹角为______.零向量与其他向量之间不定义夹角，所以约定：零向量与任何向量都共线，即_______，在研究垂直时，也认为0⊥a.（空间向量的夹角特点：___________________2、两个向量的数量积：a·b=_______________________规定：零向量与任何向量的数量积为________3、空间向量数量积的运算律：a)(λ______________=⋅b交换律：________________ 分配律：________________师：通过看书，同学们已经掌握了空间向量数量积的基本概念，请思考下面的问题。
问题1：类比平面向量，你能说出a·b的几何意义吗？问题2：你能证明这些运算定律吗？（简要解释）问题3：完成P90的思考。
（2）向量没有除法；（3）向量的数量积不满足结合律师：请阅读P91的例1、例2（5分钟）这两题都用向量法证明了三垂线定理和线面垂直的判断定理，主要用到了空间向量a ⊥b⇔a·b=0这个结论。