(完整)空间向量__新高中数学教学教学教案
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空间向量
1.理解空间向量的概念;掌握空间向量的加法、减法和数乘.
2.了解空间向量的基本定理;理解空间向量坐标的概念;掌握空间向量的坐标运算.
3.掌握空间向量的数量积的定义及其性质;掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式;掌握空间两点间的距
离公式.
理解空
间向量的夹角的概念;掌握空间向量的数量积的概念、
性质和运算律;了解空间
向量的数量积的几何意义;掌握空间向量的数量积的坐标形式;能用向量的数量积判断向量的共线与垂直.
第1课时 空间向量及其运算
空间向量是平面向量的推广.在空间,任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量.因此,空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广.本节知识点是:
1.空间向量的概念,空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积;(1) 向量:具有 和 的量.(2) 向量相等:方向 且长度 .(3) 向量加法法则: .(4) 向量减法法则: .(5) 数乘向量法则: .3.共线向量
(1)共线向量:表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 .
(2) 共线向量定理:对空间任意两个向量a 、b (b ≠0),a ∥b 等价于存在实数λ,使 .
(3) 直线的向量参数方程:设直线l 过定点A 且平行于非零向量a ,则对于空间中任意一点O ,点P 在l 上等价于存在R t ∈,使 .4.共面向量
(1) 共面向量:平行于 的向量.
基础过关
考纲导读
高考导航 空间向量
定义、加法、减法、数乘运算
数量积
坐标表示:夹角和距离公式
求距离
求空间角
证明平行与垂直
2.线性运算律
(1) 加法交换律:a +b = .
(2) 加法结合律:(a +b )+c = .(3) 数乘分配律:λ(a +b )= .
(2) 共面向量定理:两个向量a 、b 不共线,则向量P 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对(y x ,),使P .
共面向量定理的推论: .5.空间向量基本定理
(1) 空间向量的基底: 的三个向量.
(2) 空间向量基本定理:如果a ,b ,c 三个向量不共面,那么对空间中任意一个向量p ,存在一个唯一的有序实数组z y x ,,,使 .
空间向量基本定理的推论:设O ,A ,B ,C 是不共面的的四点,则对空间中任意一点P ,都存在唯一的有序实数组z y x ,,,使 .6.空间向量的数量积
(1) 空间向量的夹角: .
(2) 空间向量的长度或模: .
(3) 空间向量的数量积:已知空间中任意两个向量a 、b ,则a ·b = .空间向量的数量积的常用结论:
(a) cos 〈a 、b 〉= ; (b) ?a ?2= ;
(c) a ⊥b ⇔ .
例1.已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,点F 是侧面CDD 1C 1的中心,若1AA y AB x AD AF ++=,求x -y 的值.
解:易求得0
,2
1
=-∴==y x y x 变式训练1. 在平行六面体1111D C B A ABCD -中,M 为AC 与BD 的交点,若=11B A a ,
=11D A b ,=A A 1c ,则下列向量中与M B 1相等的向量是
( )
A .?2
1a +2
1b +c B .2
1a +2
1b +c
C .2
1a ?2
1b +c
D .?2
1a ?2
1b +c
解:A
例2. 底面为正三角形的斜棱柱ABC -A 1B 1C 1中,D 为AC 的中点,求证:AB 1∥平面C 1BD.
证明:记,,,1c AA b AC a AB ===则
c b CC DC DC b a AD AB DB c a AB +=+=-
=-=+=2
1
,21,111∴11AB c a DC DB =+=+,∴1
1,,
DC DB AB 共面.
∵B 1∉平面C 1BD, AB 1//平面C 1BD.
变式训练2:正方体ABCD -EFGH 中,M 、N 分别是对角线AC 和BE 上的点,且AM =EN .
典型例题
A
B
C
D A
C 1
B 1
(4) 空间向量的数量积的运算律:
(a ) 交换律a ·b = ;
(b ) 分配律a ·(b +c )= .
(1) 求证:MN ∥平面FC ; (2) 求证:MN ⊥AB ;
(3) 当MA 为何值时,MN 取最小值,最小值是多少?解:(1) 设
.)1(,BF k BC k MN k AC
MC
EB NB +-===则(2) .0)1(=⋅-⋅-=⋅AB BF k AB BC k AB MN (3) 设正方体的边长为a ,也即时AC AM
21
=
,a 22=
0=.
G 、H ,求
19
变式训练4:已知空间四边形OABC 中,M 为BC AB =OC ,求证QN PM ⊥.
证明:法一:)
(2
1OC OB OM +=)(2
1
OC AB OM PO PM +=
+=∴故QN PM ⊥B 1