向量法在中学数学中的应用
向量在中学数学中的应用
向量在中学数学中的应用作者：王军林来源：《考试周刊》2013年第21期摘要：本文基于向量的基本理论与性质，主要介绍了向量在中学数学中的应用，并简单分析了向量学习的误区.关键词：向量数量积平面几何立体几何高中数学中引进向量，给中学数学带来了广阔的天地，无论是在平面几何﹑立体几何﹑解析几何﹑三角函数等方面都有着大大拓宽解题思路的重要作用.向量融“形”“数”于一体，既有代数的抽象性，又有几何的直观性，用它研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合.毫不夸张地说，向量的数形迁移思想在中学数学中能得到很好的体现.本文整理了几类向量在中学数学中的应用.一、预备知识1.平面向量的数量积a·b=|a||b|cosθ（a≠0，b≠0，0°≤θ≤180°）坐标运算：设a=（x，y），b=（x，y），则a·b=xx+yy.2.平面向量的基本定理如果e和e是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ、λ，使a=λe+λe.3.两个向量平行的充要条件a∥b？圳a=λb坐标运算：设a=（x，y），b=（x，y），则a∥b？圳xy-xy=0.4.两个非零向量垂直的充要条件a⊥b？圳a·b=0坐标运算：设a=（x，y），b=（x，y），则a⊥b？圳xx+yy=0.二、向量应用的探究1.利用向量解三角问题例1：已知α，β∈（0，），且cosα+cosβ-cos（α+β）=，求α，β的值.解：原条件式可化为sinαsinβ+（1-cosα）cosβ+cosα-=0构造向量={sinα，1-cosα}，={sinβ，cosβ}，|·|=|cosα-|≤？圯（cosα-）≤0？圯cosα=？圯α=由α，β的对称性知β=.2.利用向量解不等式的问题对于不等式问题的解决，有时如果我们利用常规的解法，往往很繁琐.利用两个向量的数量积的一个性质：·=||·||cosθ（其中θ为向量与的夹角），又-1≤cosθ≤1，则易得到以下推论：（1）·≤||·||；（2）|·|≤||·||；（3）当与同向时，·=||·||，当与反向时，·=-||·||；（4）当与共线时，|·|=||·||.下面利用这些性质和推论来看两个例子.例2：已知a和b为正数，求证：（a+b）（a+b）≥（a+b）.证明：设=（a，b），=（a，b）则·=a+b，||=，||=由性质|·|≤||·||，得（a+b）（a+b）≥（a+b）.说明：对于例1根式不等式我们通常采用两边平方的办法，但这种办法运算量大，容易出错.而应用向量法解决不等式的问题，不仅避免了常规解法的不足，而且为解题带来了新的思路.3.利用向量求最值问题最值问题是高中数学中的一个重要问题，在高考中它的考核主要体现在求实际问题，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润最大”或“面积（体积）最大（最小）”等诸多实际问题上.解决这些问题的办法则是将其代数化，转化为函数，再利用所学的方法如：换元法，不等式法等求解.下面将介绍利用向量方法解最值问题.例3：已知m，n，x，y∈R，且m+n=a，x+y=b，求mx+ny的最大值.解：设=（m，n），=（x，y），则由向量积的坐标运算得·=mx+ny.而||=，||=，从而有mx+ny≤·.当与同向时，mx+ny取最大值·=.三、注意向量学习的几个误区误区一：“实数a﹑b﹑c由ab=ac，a≠0推出b=c”这一性质在向量推理中不正确.例4：取||=1，||=，与的夹角为45°，||=，与的夹角为0°.显然 = =，但≠.误区二：“如果ab=0，那么a，b中至少有一个为零”在向量推理中不正确.例5：已知||=2，||=3，与的夹角为90°，则有·=2×3×cos90°=0，显然≠，≠.由·=0，可以推出以下四种可能：①=，≠；②≠，=；③=，=；④≠且≠，但⊥.误区三：乘法结合律（ab）·c=a·（bc）在向量推理中不成立.例6：试说明（·）·=·（·）不成立.解：因为在式中·是一个数量，由实数与向量的积的运算的定义，可知左边表示的是与共线的向量，同理，右边表示的是与共线的向量，而向量与一般是不共线的，故（·）·≠·（·）.误区四：平面几何中的性质在向量中不一定成立.例7：判断下列各命题是否正确，并说明为什么？①若∥，∥，则∥.②若||=||，则=±.③单位向量都相等.解：①不正确，取=，则对两不共线向量与，也有∥，∥，但不平行于.②不正确，因为||=||只是说明这两个向量的模相等，但方向未必相同.③不正确，单位向量是模均是1，但对方向没有要求.综上所述，我们发现向量集数与形于一体，沟通了代数、几何与三角函数的联系.利用向量的运算法则、数量积可解决长度、角度、垂直问题，应用实数与向量的积，则可以证明共线、平行等问题，以及它的巧妙应用.其中运用到的数形迁移思想，是重要的数学思想方法.在高中数学中引进向量，充分体现出新教材新思路﹑新方法的优越性，并且对于培养直觉思维﹑逻辑思维﹑运算求解等理性思维能力，具有重要意义.参考文献：[1]人民教育出版社中学教学室.全日制普通高级中学教科书（试验修订本，必修），数学第一册（下）[M].人民教育出版社，2001，11.[2]沈凯.利用向量解平面几何问题[J].中学数学，2003（1）：15-16.[3]张萍.浅谈用向量法解立体几何题[J].中学数学研究，2004（4）：37-38.[4]邹明.用向量方法求空间角和距离[J].数学通报，2004（5）：36-37.[5]吕林根，许子道.解析几何[M].北京：高等教育出版社，1986.[6]白华玉.巧设法向量求点面距与线面角[J].数学通报，2003.2，25-26.。
向量在中学数学解题中的巧用
例２
如图 ２ ，已知三 菱 锥 Ｄ一 ｝ Ｃ的侧棱 ＯＡ ， Ｄ ， Ｏ Ｃ 两两 垂直 ，且 Ｏ Ａ＝ｌ ， ＝Ｏ Ｃ＝２ Ｅ 是 ＤＣ 的 中点 。 ，
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－ ｌ｝Ｉ 已 ∞ ６， ｌ ： ａ 知 ＝。 丽又 ０
Ａ Ｂ 为正 三 角形 ， Ａ ＝ Ｂ＝ Ｃ＝２ ＡＣ Ｃ Ａ Ｂ 。
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在ＲＡ Ｎ ｔＣ Ｂ中，加 ＝ ２ √ ，可得Ⅳ Ｃ＝√ ２，故：
ｃ ｏ１４ ） （， － ，连结ＭＣ ，作Ｎ ＿ＭＣ￣ Ｈ 。 ，ｉ ＨＬ －
曾经 在 高 中数 学 教学 中解 决一 些 立 体 几何 和代 数 问题 时 ，我 们 仅 仅 应 用 本 书 中 的 定 理 、 公 理 、直 线 的位 置 关 系 ，直线 与 平 面之 间 的关 系 等 。如 果 现 在我 们 重 视用 空 问 向量 概 念来 解 决 问题 的 话 ，在 空 间 中解 决 和证 明较 难 的一 些 问题 时就 会 变 得较 为 容 易 ，而 且还 能 提 高学 生 的 思维 能 力、 分析 能力和 空 间想 象能 力 。 解 （ ） 作 Ｄ 上 Ｃ 垂 足 为 Ｄ ，连 接 Ａ ， 由侧 面 １： Ｏ Ｓ Ｃ为等 要 直 角三 角 形 ， Ａ Ｊ ０ ，如 图 ｌ Ｂ ０ － ，以 ０ 为 标 原点 ， ＯＡ为 轴 正 方向 ，建 立直 角 坐标 系 ｘ ｚ。 ｙ
丽． ： ， ０
相交 直线 Ｓ 、 Ａ 垂赢 ，所 以 ＯＧ 上平 面 Ｓ Ｂ 。 Ｅ Ｂ Ａ
一
Ａ Ｂ＝２，Ｂ ２ ２，Ｓ ＝ Ｂ＝ ３ Ｃ＝ ４ Ａ Ｓ √。
（ ）求 证 ： ． 上 Ｃ ； １
ＯＧ与 一Ｓ的夹 角 记 为 Ｄ ， Ｓ 与平 面 Ｓ Ｂ所 成 的角 Ｄ Ａ
高中数学选择性必修一1 4 空间向量的运用 _1116184420
1.4 空间向量的运用★★★★学习目标★★★★1.能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.3.能用向量方法证明空间线面垂直关系的有关定理．4.理解直线与平面所成角的概念.5.能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题.6.体会用空间向量解决立体几何问题的三步曲★★★★必备知识★★★★平行垂直问题基础知识直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)．平面α，β的法向量u＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(1)线面平行：l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a3＋b1b3＋c1c3＝0(2)线面垂直：l⊥α⇔a∥u⇔a＝k u⇔a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3(3)面面平行：α∥β⇔u∥v⇔u＝k v⇔a3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4(4)面面垂直：α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a3a4＋b3b4＋c3c4＝0例1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，P A⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，P A＝AB＝1，BC＝2.(1)求证：EF∥平面P AB；(2)求证：平面P AD⊥平面PDC.[证明]以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，所以E11,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，F10,1,2⎛⎫⎪⎝⎭，EF＝1,0,02⎛⎫-⎪⎝⎭，PB＝(1,0，－1)，PD＝(0,2，－1)，AP＝(0,0,1)，AD＝(0,2,0)，DC＝(1,0,0)，AB＝(1,0,0)．(1)因为EF＝－12AB，所以EF∥AB，即EF∥AB.又AB⊂平面P AB，EF⊄平面P AB，所以EF∥平面P AB.(2)因为AP ·DC ＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD ·DC ＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，所以AP ⊥DC ，AD ⊥DC ，即AP ⊥DC ，AD ⊥DC .又AP ∩AD ＝A ，AP ⊂平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，所以DC ⊥平面P AD .因为DC ⊂平面PDC ，所以平面P AD ⊥平面PDC .使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进行判定，也可以证明两个平面的法向量垂直.例2、在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上， 且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．求证：(1)B 1D ⊥平面ABD ；(2)平面EGF ∥平面ABD .证明：(1)以B 为坐标原点，BA 、BC 、BB 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B (0,0,0)，D (0,2,2)，B 1(0,0,4)，设BA ＝a ，则A (a,0,0)， 所以BA ＝(a,0,0)，BD ＝(0,2,2)，1B D ＝(0,2，－2)，1B D ·BA ＝0，1B D ·BD ＝0＋4－4＝0，即B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD .又BA ∩BD ＝B ，因此B 1D ⊥平面ABD .(2)由(1)知，E (0,0,3)，G ,1,42a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，F (0,1,4)，则EG ＝,1,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，EF ＝(0,1,1)， 1B D ·EG ＝0＋2－2＝0，1B D ·EF ＝0＋2－2＝0，即B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF .又EG ∩EF ＝E ，因此B 1D ⊥平面EGF . 结合(1)可知平面EGF ∥平面ABD .利用空间向量求空间角基础知识(1)向量法求异面直线所成的角：若异面直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，异面直线所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|＝|a·b ||a ||b |.(2)向量法求线面所成的角：求出平面的法向量n ，直线的方向向量a ，设线面所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，a 〉|＝|n·a ||n ||a |.(3)向量法求二面角：求出二面角α－l －β的两个半平面α与β的法向量n 1，n 2，若二面角α－l －β所成的角θ为锐角，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|； 若二面角α－l －β所成的角θ为钝角，则cos θ＝－|cos 〈n 1，n 2〉|＝－|n 1·n 2||n 1||n 2|. 例1、如图，在直三棱柱A 1B 1C 1ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；(2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．【解析】(1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，A 1(0，0,4)，C 1(0,2,4)，所以1A B ＝(2,0，－4)，1C D ＝(1，－1，－4)．因为cos 〈1A B ，1C D 〉＝1111||||A B C D A B C D ⋅＝310102018=⨯所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010. (2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为AD ＝(1,1,0)，1AC ＝(0,2,4)，所以n 1·AD ＝0，n 1·1AC ＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以，n 1＝(2，－2,1)是平面ADC 1的一个法向量．取平面ABA 1的一个法向量为n 2＝(0,1,0)．设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由|cos θ|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝2391=⨯，得sin θ＝53. 因此，平面ADC 1与平面ABA 15(1)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤： ①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量坐标；④结合公式进行论证、计算；⑤转化为几何结论． (2)求空间角应注意：①两条异面直线所成的角α不一定是直线的方向向量的夹角β，即cos α＝|cos β|.②两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能两法向量夹角的补角为所求．例3、如图，在四棱锥SABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD＝3AB＝3，平面SAD⊥平面ABCD，E是线段AD上一点，AE＝ED3SE⊥AD.(1)证明：平面SBE⊥平面SEC；(2)若SE＝1，求直线CE与平面SBC所成角的正弦值．【解析】(1)证明：∵平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，SE⊂平面SAD，SE⊥AD，∴SE⊥平面ABCD. ∵BE⊂平面ABCD，∴SE⊥BE. ∵AB⊥AD，AB∥CD，CD＝3AB＝3，AE＝ED3，∴∠AEB＝30°，∠CED＝60°. ∴∠BEC＝90°，即BE⊥CE. 又SE∩CE＝E，∴BE⊥平面SEC. ∵BE⊂平面SBE，∴平面SBE⊥平面SEC.(2)由(1)知，直线ES，EB，EC两两垂直．如图，以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，ES为z轴，建立空间直角坐标系．则E(0,0,0)，C (0,23，0)，S(0,0,1)，B(2,0,0)，所以CE＝(0，－3，0)，CB＝(2，－30)，CS＝(0，－31)．设平面SBC的法向量为n＝(x，y，z)，则0,0.n CBn CS⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即230,230.xz⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩令y＝1，得x3，z＝3，则平面SBC的一个法向量为n＝33)．设直线CE与平面SBC所成角的大小为θ，则sin θ＝|n·CE|n|·|CE||＝14，故直线CE与平面SBC所成角的正弦值为1 4 .利用空间向量解决探索性问题例1、如图1，正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角ADCB(如图2)．(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；(2)求二面角EDFC的余弦值；(3)在线段BC 上是否存在一点P ，使AP ⊥DE ？如果存在，求出BP BC的值；如果不存在，请说明理由． 【解析】(1)在△ABC 中，由E ，F 分别是AC ，BC 中点，得EF ∥AB .又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，∴AB ∥平面DEF .(2)以点D 为坐标原点，以直线DB ，DC ，DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则A (0,0,2)，B (2,0,0)，C (0，30)，E (031)，F (13，0)，DF ＝(13，0)，DE ＝(03，1)，DA ＝(0,0,2)．平面CDF 的法向量为DA ＝(0,0,2)．设平面EDF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ DF ·n ＝0， DE ·n ＝0，即30,30,x y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩取n ＝(333)， cos 〈DA ，n 〉＝DA ·n | DA ||n |＝217，所以二面角E DF C 的余弦值为217. (3)存在．设P (s ，t,0)，有AP ＝(s ，t ，－2)，则AP ·DE 3t －2＝0，∴t ＝233， 又BP ＝(s －2，t,0)，PC ＝(－s,3t,0)，∵BP ∥PC ，∴(s －3－t )＝－st ， 3s ＋t ＝3. 把t ＝233代入上式得s ＝43，∴BP ＝13BC ， ∴在线段BC 上存在点P ，使AP ⊥DE . 此时，BP BC ＝13. (1)空间向量法最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断.(2)解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法.例2、.如图所示，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AA 1＝BC ＝2AC ＝2.(1)若D 为AA 1中点，求证：平面B 1CD ⊥平面B 1C 1D ；(2)在AA 1上是否存在一点D ，使得二面角B 1CD C 1的大小为60°？【解析】(1)证明：如图所示，以点C 为原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系．则C (0,0,0)，A (1,0,0)，B 1(0,2,2)，C 1(0,0,2)，D (1,0,1)， 即11C B ＝(0,2,0)，1DC ＝(－1,0,1)，CD ＝(1,0,1)．由11C B ·CD ＝(0,2,0)·(1,0,1)＝0＋0＋0＝0，得11C B ⊥CD ，即C 1B 1⊥CD .由1DC ·CD ＝(－1,0,1)·(1,0,1)＝－1＋0＋1＝0，得1DC ⊥CD ，即DC 1⊥CD . 又DC 1∩C 1B 1＝C 1，∴CD ⊥平面B 1C 1D .又CD ⊂平面B 1CD ，∴平面B 1CD ⊥平面B 1C 1D .(2)存在．当AD ＝2AA 1时，二面角B 1CD C 1的大小为60°.理由如下： 设AD ＝a ，则D 点坐标为(1,0，a )，CD ＝(1,0，a )，1CB ＝(0,2,2)，设平面B 1CD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·1CB ＝0m ·CD ＝0⇒220,0,y z x az +=⎧⎨+=⎩令z ＝－1，得m ＝(a,1，－1)． 又∵CB ＝(0,2,0)为平面C 1CD 的一个法向量，则cos 60°＝|m ·CB ||m |·|CB |＝12，解得a (负值舍去)，故AD ＝2AA 1.∴在AA 1上存在一点D 满足题意． ★★★★综合训练★★★★一、单选题1．（2020·黑龙江省牡丹江一中高一月考）在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面11ADD A 上的动点，1PB 与1A C 垂直，则直线1PB 与直线AB 所成角的正弦值的最小值是（ ）A ．13BC ．12D ．2【答案】B【解析】解法一：如图，连接1111,,B D AD AB ，易证得直线1A C ⊥平面11AB D ．因为1PB 与1A C 垂直，且P 是侧面11ADD A 上的动点，所以点P 是线段1AD 上的动点． 又11//AB A B ，所以直线1PB 与直线AB 所成的角即11A B P ∠．连接1A P ，11A B ⊥平面11AA D D ，1A P ⊂平面11AA D D ，111A B A P ∴⊥，在直角三角形11A B P 中，设111A B =，112A P t t ⎛⎫=≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭，则1B P =11sin A B P ∠==，1t ≤≤，所以当t =时，11sin A B P ∠解法二：以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则11(1,1,1),(1,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(1,1,0)B A C A B ，设(,0,)P a c ，其中01,01a c ≤≤≤≤，则11(1,1,1),(1,1,1),(0,1,0)PB a c AC AB =--=--=， 因为1PB 与1A C 垂直，所以110PB AC ⋅=，所以1a c +=， 所以111cos ,||||(1PB AB PB AB PB AB ⋅〈〉====， 因为01a ≤≤，所以当12a =时，1cos,PB AB <>， 此时1sin ,PB AB <>取得最小值3；解法三：如图，连接1111,,B D AD AB ，易证得直线1A C ⊥平面11AB D ．因为1PB 与1A C 垂直，且P 是侧面11ADD A 上的动点，所以点P 是线段1AD 上的动点， 以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则11(1,0,0),(0,0,1),(1,1,1),(1,1,0)A D B B ，于是1(1,0,1),(0,1,0)AD AB =-=，设1(,0,)(01)AP AD λλλλ==-≤≤，所以(1,0,)P λλ-，所以1(,1,1)PB λλ=-，所以111cos ,||||PB AB PB AB PB AB λ⋅<>====， 因为102λ≤≤，所以当12λ=时，1cos ,PB AB <>取得最大值3， 此时1sin ,PB AB <> 故选：B.2．（2020·江苏省高二期末）若平行六面体1111—ABCD A B C D 的底面ABCD 是边长为2的菱形，且60BAD ∠=︒，1AA ⊥底面ABCD ，11AA =，则异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值为（ ） A ．13 B ． C ．15 D ．15- 【答案】A【解析】连,AC BD 交于O ，1111,ACB D 交于1O ，连1OO ，则11//OO AA， 1AA ⊥底面ABCD ，1OO ∴⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，AC BD ∴⊥，60,2,BAD BD AC ∠=︒∴==，以点O 为坐标原点，1,,OA OB OO 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，11(0,1,1),((A B C C11(23,0,1),(3,1,1)AC B C =-=---，1111116cos ,13||||13AC B C AC B C AC B C ⋅<>===， 所以异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值为13. 故选：A .3．（2020·邢台市第二中学高二开学考试）直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC ＝BC ＝AA′，∠ACB ＝90°，E 为BB′的中点，异面直线CE 与C A '所成角的余弦值是（）AB ．5-C ． D【答案】D【解析】直三棱柱ABC A B C -'''中，AC BC AA =='，90ACB ∠=︒，E 为BB '的中点． 以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC '为z 轴，建立空间直角坐标系，设2AC BC AA =='=，则(0C ，0，0)，(0E ，2，1)，(0C '，0，2)，(2A ，0，0)， (0CE =，2，1)，(2C A '=，0，2)-，设异面直线CE 与C A '所成角为θ， 则||210cos 10||||58CE C A CE C A θ'==='．∴异面直线CE 与C A '所成角的余弦值为10． 故选：D ．4．（2020·邢台市第二中学高二开学考试）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则直线1BC 与平面11BB DD 所成角的正弦值为（ ）A B C D 【答案】D【解析】以D 点为坐标原点，以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则1(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),A B C C (0,2,1),1(2,0,1),(2,2,0),BC AC AC ∴=-=-为平面11BB D D 的一个法向量．1410cos ,558BC AC ∴<>==⋅． ∴直线1BC 与平面11BB DD 所成角的正弦值为105.故选：D ． 5．（2020·浙江省高三其他）如图，三棱锥V ABC -的侧棱长都相等，底面ABC 与侧面VAC 都是以AC 为斜边的等腰直角三角形，E 为线段AC 的中点，F 为直线AB 上的动点，若平面VEF 与平面VBC 所成锐二面角的平面角为θ，则cos θ的最大值是（ ）A ．3B ．23C ．3D ．3【答案】D【解析】底面ABC 与侧面VAC 都是以AC 为斜边的等腰直角三角形，则Rt ABC Rt VAC ≅，所以VA VC BA BC ===设2VA VC BA BC VB =====，由E 为线段AC 的中点，则VE BV ==，由222VE BE VB +=，所以VE EB ⊥，以E 为原点，EB 为x 轴，EC 为y 轴，EV 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则()C，)B，(V，设(),F x x ，(0,VC =，(2,0,VB =，(EV=，(,VF x x =， 设平面VBC 的一个法向量()111,,m x y z =，则00m VC m VB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即111100⎧+=⎪=， 令11x =，则11y =，11z =，所以()1,1,1m =.设平面VEF 的一个法向量()222,,n x y z =，则00n EV n VF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即(222200x x x y =⋅+⋅=⎪⎩， 解得20z =，令21y=，则21x =， 所以21,1,0n x ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭，平面VEF 与平面VBC 所成锐二面角的平面角为θ，则cos 3m n m n θ⋅==， 将分子、分母同除以1x，可得=令()2266632f x x x ⎛=-+=-+ ⎝⎭， 当2x =时，()min 3fx =， 则cos θ3=.故选：D 6．（2020·广西壮族自治区两江中学高二月考（理））在正方体1111-ABCD A B C D 中，已知M N 、分别是11AB BB 、的中点，则直线AM 与CN 所成角的余弦值为（）A ．23B ．10C ．25D ．35【答案】B【解析】建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则()0,1,1AM =，()2,0,1CN =，设直线AM 与CN 所成角为θ，则2cos101AM CNAM CN θ⋅===⋅.故选：B7．（2020·广东省高三其他（文））已知直三棱柱111ABC A B C -，90ABC ∠=︒，12AB BC AA ===，1BB 和11B C 的中点分别为E 、F ，则AE 与CF 夹角的余弦值为（ ）A B ．25 C ．45 D 【答案】B【解析】如图所示：分别以1,,BA BC BB 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.故()0,2,0A ，()2,0,0C ，()0,0,1E ，()1,0,2F ，故()0,2,1AE =-，()1,0,2CF =-. 2cos ,5AE CF AE CF AE CF ⋅==⋅，即AE 与CF 夹角的余弦值为25. 故选：B .8．（2020·绥德中学高三其他（理））在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别为AA 1、BC 、C 1D 1的中点，现有下面三个结论：①△EFG 为正三角形；②异面直线A 1G 与C 1F 所成角为60°；③AC ∥平面EFG .其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①B ．②③C ．①②D ．①③【答案】A【解析】建立空间直角坐标系如下图所示，设正方体的边长为2：则 ()()()2,0,1,1,2,0,0,1,2E F G ，EF ==EG ==，FG ==EFG 是在三角形，①正确.()()112,0,2,0,2,2A C ，所以()()112,1,0,1,0,2AG C F =-=-，设异面直线1A G 与1C F 所成角为α，则11112cos 55AG C FAG C F α⋅===⋅，所以60α≠，②错误. ()()()2,0,0,0,2,0,2,2,0A C AC =-，()()1,2,2,2,1,1EF EG =--=-，设平面EFG 的法向量为(),,n x y z =，则22020n EF x y z n EG x y z ⎧⋅=-+-=⎨⋅=-++=⎩，令4x =，得5,3y z ==，所以()4,5,3n =，由于81020AC n ⋅=-+=≠，所以③错误.综上所述，正确的命题序号为①.故选：A二、填空题9．（2020·杭州市西湖高级中学高二月考）正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，1AA =D 为棱11A B 的中点，则异面直线AD 与1CB 成角的大小为_______．【答案】6π 【解析】如图，1111111122AD AA A D AA A B AA AB =+=+=+，111CB CA AB BB AA AC AB =++=-+，且12,AB AC BC AA ====，侧棱和底面垂直， ∴1111()2AD CB AA AB AA AC AB ⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪⎝⎭ 2211122AA AB AC AB =-⋅+11182249222=-⨯⨯⨯+⨯=，13,AD CB ====∴1cos ,AD CB <>==，且[]1,0,AD CB π<>∈， ∴1,6AD CB π<>=，∴异面直线AD 与1CB 成角的大小为6π．故答案为：6π． 10．（2020·上海高三专题练习）在长方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为棱1BB ，11B C 的中点，若90CMN ︒∠=，则异面直线1AD 与DM 所成的角为________.【答案】90︒【解析】以1D 为坐标原点,11111,,D A D C D D 所在直线分别为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系,如图,设11111,,D A a D C b D D c ===,则(0,,),(,,),(,,0)22c aC b c M a b N b ,(,0,),(0,0,)A a cD c , (,0,)(,0,)222c a c CM a MN =-=--，,1(,,)(,0,)2c DM a b D A a c =-=， 因为90CMN ∠=︒,所以0CM MN ⋅=,即有222c a =. 因为2222102c DM D A a a a ⋅=-=-=,所以1DM AD ⊥,即异面直线1AD 和DM 所成角为90︒. 故答案为：90︒.11．（2020·邢台市第二中学高二开学考试）在正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别是1BB ，CD 的中点，则异面直线1D F 与DE 所成角的大小为___________.【答案】90【解析】以D 为坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示，设正方体边长为2，故()()()12,2,1,0,0,2,0,1,0E D F ，所以()10,1,2D F =-，设直线1D F 和直线DE 所成角为θ，则11cos 0D F DED F DE θ⋅==⋅，所以90θ=.12．（2020·广西壮族自治区两江中学高二月考（理））已知正四棱锥P -ABCD 的侧棱与底面所成角为60°，M 为P A 中点，连接DM ，则DM 与平面P AC 所成角的大小是________．【答案】45°【解析】设底面正方形的边长为a， 建立如图所示空间直角坐标系，则平面P AC 的法向量为()1,0,0n =，D ,0,02a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，0,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭A ，P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，M 0,a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，DM＝,⎫⎪⎪⎝⎭， 所以cos ,DM n ＝⋅⋅DM DM n n＝，所以DM 与平面P AC 所成角为45°. 三、解答题13．（2020·湖北省高三其他（理））如图所示，多面体是由底面为ABCD 的直四棱柱被截面AEFG 所截而得到的，该直四棱柱的底面为菱形，其中2AB =，5CF =，1BE =，60BAD∠=．(1)求BG 的长；(2)求平面AEFG 与底面ABCD 所成锐二面角的余弦值．【答案】(1) 【解析】因为多面体是由底面为ABCD 的直四棱柱被截面AEFG 所截而得到的，所以平面ADG //平面BCFE ，又平面ADG 平面AEFG AG =,平面BCFE ⋂平面AEFG EF =,所以//AG EF ，同理//AE GF ，所以四边形AEFG 是平行四边形，连结AC ,BD 交于O ，以O 为原点，,OB OC 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则(0,A ，(1,0,0)B ，(1,0,1)E ，F ，所以(4)AG EF ==-，(1,AB =，所以(2,0,4)BG AG AB =-=-，所以||(BG =-=所以BG 的长为(2)根据题意可取平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)m =，由(1)知(4)AG =-，(1,AE =，设平面AEFG 的法向量为(,,)n x y z =，则由00n AE n AG ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得040x z x z ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩，即32y z x z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，令z =，则x =，5y =-，所以(33,5,n =-，所以cos ,||||1m n m n m n ⋅〈〉===⋅⨯， 所以平面AEFG 与底面ABCD 14．（2020·福建省福州第一中学高三其他（理））如图，组合体由半个圆锥S O -和一个三棱锥S ACD -构成，其中O 是圆锥S O -底面圆心，B 是圆弧AC 上一点，满足BOC ∠是锐角，2===AC CD DA .（1）在平面SAB 内过点B 作//BP 平面SCD 交SA 于点P ，并写出作图步骤，但不要求证明； （2）在（1）中，若P 是SA中点，且SO =BP 与平面SAD 所成角的正弦值.【答案】（1）答案见解析；（2）5. 【解析】（1）①延长AB 交DC 的延长线于点Q ；②连接SQ ；③过点B 作//BP QS 交SA 于点P . （2）若P 是SA 中点，则B 是AQ 中点，又因为CB AQ ⊥，所以CA CQ =，所以90QAD ∠=，从而30BAC ∠=.依题意，,,OS OC OD 两两垂直，分别以OC ，OD ，OS 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()()(111,0,0,,,,0,,,2222A D S P B ⎛⎛⎫--- ⎪⎝⎭⎝⎭， 从而()()1,3,0,1,0,3,AD AS BP ⎛===- ⎝⎭， 设平面SAD 的法向量为(),,n x y z =，则0,0,AS n AD n ⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,0,x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩取x =)1,1=--n .则cos ,51n BPn BPn BP ⋅====-+， 所以直线BP 与平面SAD 所成角的正弦值为5.15．（2020·全国高三月考（理））如图，四棱锥P ABCD -中，60,BAD AC ∠=︒平分BAD ∠.AB BC ⊥.AC CD ⊥.（1）设E 是PD 的中点，求证：//CE 平面PAB ；（2）设PA ⊥平面ABCD ，若PD 与平面ABCD 所成的角为45°，求二面角A PC B --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）25【解析】（1）证明：111()222CE CA AE CF FA AP AD AB AP =+=+++=-+，即CE 能被平面PAB 内两个不共线的向量表示，且CE ⊂平面PAB ，//CE ∴平面PAB ；（2）因为PA ⊥平面ABCD ，且PD ⋂平面ABCD D =，故PDA ∠为PD 与平面ABCD 所成的角，故45PDA ︒∠=，从而PA AD =.不妨设AC =BC =，3AB =，2CD =，4=AD ，D 到AB的距离为以A 坐标原点，AB ，AP 分别为y ，z 轴，建立空间直角坐标系Axyz ，如图所示.(0,0,0),(0,3,0),(0,0,4)A B C D P .∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA CD ⊥，又∵CD AC ⊥，∴CD ⊥平面PAC ∴(3,1,0)CD =-是平面PAC 的一个法向量.设平面PCB 的一个法向量为(,,)n x y z =，由0,0,n PB n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩得(,,)(0,3,4)0,(,,)0,x y z x y z ⋅-=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩即得(0,4,3)n =. 设所求的角为θ，则θ为锐角，则||42cos 255||||CD n CD n θ⋅===⨯⋅， 即所求的二面角的余弦值为25. 16．（2020·广西壮族自治区高三其他（理））如图，直三棱柱111ABC A B C-中，底面ABC 为等腰直角三角形，90ACB ∠=，12AA AC =，P 是侧棱1CC 上的点．（1）若60APB ∠=，证明：P 是1CC 的中点；（2）若13CP PC =，求二面角B AP C --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】（1）由直三棱柱111ABC A B C -得1C C ⊥平面ABC ， AC 、BC ⊂平面ABC ，1C C AC ∴⊥，1C C BC ⊥，ABC 为等腰直角三角形，90ACB ∠=，AC BC ∴=且AB =，由勾股定理得AP BP ===，60APB ∠=，ABP ∴是等边三角形，则AP AB ==，由勾股定理得111122PC AC AA CC ====，P ∴为1CC 的中点； （2）易知CA 、CB 、1CC 两两垂直，以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系C xyz -，设2AC =，则()2,0,0A 、()0,2,0B 、()0,0,3P ，(2,2,0)AB =-，()2,0,3AP =-，设平面ABP 的法向量为(),,n x y z =，由00n AB n AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得220230x y x z -+=⎧⎨-+=⎩， 令3x =，得3y =，2z =，()3,3,2n ∴=，又平面ACP 的法向量为()0,1,0m =，3cos ,221m nm n m n ⋅∴<>===⨯⋅，由图形可知，二面角B AP C --为锐角，所以，二面角B AP C --的余弦值为22. 17．（2020·广西壮族自治区南宁三中高二月考（理））如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，4AB =，60DAB ∠=︒，AP PD ⊥，AP =4BP =，M 为AD 的中点.（1）求证：平面BPM ⊥平面APD ；（2）若点N 在线段BC 上，当直线PN 与平面PMC所成角的正弦值为8时，求线段BN 的长. 【答案】(1)见解析.(2)2.【解析】 (1)证明：由题意易得BM AD ⊥，且BM =，在Rt APD ∆中，2PD ==，∴60PDA ∠=︒，∴2PM =，在PMB ∆中，222PM BM BP +=，∴PM MB ⊥，又AD PM M =，∴BM ⊥面APD ，又∴BM ⊂面BPM ，∴平面BPM ⊥平面APD .（2）由（1）可知BM ⊥面APD ，所以以点M 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0M，(P，()4,0C ， 设平面PMC 的一个法向量为(,,)m x y z =，由00040y m MP m MC y ⎧⎧=⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎩⎩，则令2x =，y =1z =，所以(2,m =，∴cos ,m PN <>=8=， 解得2a =或8a =（舍），故BN=2.。
向量的数量积在中学数学解题中的应用
唐咸桂 1- b , b =
2
由 ¹ º 可得 m = n, 则 a = 即 a2 + b 2 = 1- b 2 + 1- a2 . _ a 2 + b 2 = 1.
1- a ,
2
点评 : 向量的数量积除用来证明等式外, 还可以 用来证明不等式, 一般比用常规方法证明来得简明. 二、 求函数最值问题
已知 a, b I R, 且 a
2
1- b + b
2
2
1- a
2
2
=例 2> 值.
求函 数 f ( x ) =
5x +
6- x 的最 大
= 1, 求证: a + b = 1. 证明: 构造向量 m = ( a, 1- a ) , n= (
2
1- b ,
解: 令 a= ( 5, 1 ) , b= ( x , x = 5
图 1- 2 由已知3DH , DA 4= 60 b, _ DA # DH = | D A | # | DH | cos3 DH , D A 4, 即 2m = 2 , 1) . 2 2 2 @ 0+ @ 0+ 1 @ 1 2 2 ( 1 ) 因为 co s3H D, CCc4= 1@ 2 = 2 , 所以3DH , DCc4= 45b, 即 DP 与 CCc所成的角 2 为 45 b. ( 2) 平面 A AcDcD 的一个法向量是 DC = ( 0, 1, 0) . 2 2 @ 0+ @ 1+ 1 @ 0 2 2 因为 cos 3DH , DC 4= = 1@ 2 1 , 所以3DH , DC4= 60b, 可得 D P 与平面 A A cDcD 2 所成的角为 30 b. 点评: 本例用向量方法求立体几何中/ 线线角 0 、 / 线面角0 的优势十分明显 , 避开了找角的麻烦 , 更使 运算趋于简单. 另外求二面角也可以通过法向量转化 为/ 线线角0 来解决. 四、 解决解析几何中有关角度的问题 2 m 2 + 1 , 解得 m = 2 2 , 所以 DH = ( , 2 2
初中数学向量的运算与应用知识点
初中数学向量的运算与应用知识点提起初中数学的向量，那可真是一段让我又爱又恨的回忆。
还记得当初刚接触向量的时候，我整个人都是懵的。
看着那些带着箭头的线段，脑袋里就像一团乱麻。
老师在讲台上讲得口沫横飞，我在下面听得云里雾里。
向量的运算，什么加法、减法，还有数乘，一开始对我来说简直就是天书。
就拿向量的加法来说吧，两个向量相加，居然不是简单地把它们的长度相加，而是要遵循平行四边形法则或者三角形法则。
当时我就想，这数学怎么这么爱“刁难”人呐！比如说，有两个向量 a 和 b ，a 的坐标是（3，4），b 的坐标是（1，2），要计算它们的和。
按照三角形法则，得把 b 的起点平移到 a 的终点，然后连接 a 的起点和 b 的终点，得到的新向量就是 a ＋ b 。
这过程中，得仔细算坐标，可不能马虎。
就这一个简单的例子，我当时做练习的时候，那是算了一遍又一遍，草稿纸都用了好几张。
向量的减法也不简单。
它可不是直接把长度相减，而是要把减的那个向量取反，然后再做加法。
有一次做作业，遇到一个向量减法的题目，我想当然地就把长度一减，结果答案错得一塌糊涂。
被老师批改后，那一个个大红叉，真让我面红耳赤。
不过，向量的数乘倒是相对简单一些。
一个向量乘以一个实数，就是把向量的长度放大或者缩小，方向相同或者相反。
但这里也有容易出错的地方，比如符号问题，一不小心就会搞错方向。
在学习向量运算的过程中，我还闹过不少笑话。
有一次课堂小测验，有道题是计算两个向量相加的结果。
我信心满满地做完交了上去，结果老师发下来的时候，我发现自己居然把方向搞反了。
当时我那个懊恼啊，恨不得找个地缝钻进去。
随着不断地学习和练习，我渐渐摸到了向量运算的门道。
我发现，只要认真画图，按照法则一步一步来，其实也没有那么难。
向量的应用那也是相当广泛。
在物理学中，力、速度、位移这些都可以用向量来表示和计算。
就拿扔铅球来说吧。
铅球出手时的速度就是一个向量，它有大小和方向。
要计算铅球能扔多远，就得分析这个速度向量。
向量在平面几何、解析几何中的应用
摘要：向量在平面几何与解析几何中多有应用，在历年来的高考试卷中也涉及部分向量知识。
向量知识不但让难题迎刃而解，还可让学生形成通用性规则，利用平面向量视角研究几何问题将取得良好成果与进展。
关键词：平面向量平面几何解析几何高中数学一、引言使用向量方法解题存在对应解题步骤，各步骤间联系紧密，存在逻辑顺序，在审题后需仔细核对题目题干，寻求问题突破口，在将几何问题转化为代数问题后，可实现题目的高精度运算，达到预期目的。
因此类题型具有复杂特点，在学生做题量得到提升后，学生对解答此类题目将拥有独到的个人见解，不但让图形对应特征得以描述，也让问题解决难度有所降低，下面将对相关题型与具体解题思路进行说明论证，在同学们阅读对应题干时，需带着对问题的解决思路求解。
二、向量教学存在的问题向量是高中数学的一大重点内容，在历年的高考试卷中有所涉及，也常与其他学科一同考试，为此提升向量教学效率，让学生灵活掌握向量知识，在拥有基本阅读审题能力的同时，提前了解向量习题的解题策略，不但有效保证做题效率，还让学生在复习前即可拥有一定知识储备，但现阶段教学存在的问题也较明显。
1.课内教学内容与高考试题具有脱轨性。
学生在学习人教版数学教材时，会学到复杂、零碎的知识，教师讲解新知识点时，也会向学生传授以往讲授过的知识点，用温故而知新的教学方法试图让学生快速进入学习状态，并建立对应向量学习思维。
高考试卷题量有限，不但要做到对高中阶段全部知识的灵活考查，还要做到面面俱到、照顾各个学习层次学生，并具有区分性，向量本身具有一定基础性，学生在初中阶段即接触过向量知识，在培养学生独立完成习题能力的同时，即使学生完全掌握教材教学内容，也不一定做对高考对应的向量试题，在与平面几何和立体几何综合出题考查的同时，学生对知识的综合运用能力也将决定做题准确率与效率。
面临新高考的改革，数学教师还需明确自身育人使命，适当给学生传授高考习题解题技巧，改变以往题海战术的陈旧教学模式，让学生热爱学习数学学科知识，并善于发现生活中的数学元素。
向量法解几何问题
向量法解几何问题作者：孙海明来源：《科技资讯》 2012年第18期孙海明(秦皇岛市第五中学河北秦皇岛 066000)摘要:向量作为高中数学的新增内容,同时具有代数形式和几何形式,能容数形于一体,通常作为解决问题的载体,本文主要侧重向量在几何问题中的应用进行了探讨。
关键词:向量解析几何立体几何中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1672-3791(2012)06(c)-0186-02向量作为高中数学新引入的基本内容之一,不仅具有代数的抽象,同时还具有几何的直观,是集“数”和“形”于一身的数学概念,完美的体现了数形结合思想。
向量与中学数学的许多主干知识综合,形成知识的交汇点。
因此, 它或作为知识的载体,或作为解决问题的工具,几乎渗透到数学的所有分支之中。
它的引入给高中数学增添了新的活力,给学生的思维搭建了一个更加广阔的平台。
高中数学中许多难度较大的问题,用向量来处理就能迎刃而解。
自从向量引入高中数学后,高考每年都考查一个向量基本知识的选择或填空题,并在很多解答题中都有体现。
因此向量的教学和学习在现在的教学中就显得尤为重要。
本文主要就向量在解析几何、立体几何等问题中的应用进行了详细的探讨。
1 在解析几何中的应用向量与解析几何都是代数形式和几何形式的统一体,有着异曲同工之妙。
向量既能体现“形”的直观位置特征,又具有“数”的良好运算性质,是数形结合与转换的桥梁和纽带;而解析几何也具有数形结合与转换的特征。
因此在平面解析几何的考查中,经常以向量为载体给出各类几何条件,在解题中,以向量的基本知识为切入点,考查解析几何的知识,体现了高考在知识的交汇点处命题的原则,成为中学数学命题的一个新的亮点。
分析:本题是运用向量的数量积公式将两向量的夹角余弦值分别求出来,再作论证。
运用向量的数量积,可以把有关的角度几何关系迅速转化为数量关系,从而“计算”出所要求的结果。
2 在立体几何中的应用以多面体为载体,论证线线关系、线面关系、面面关系和求解空间角、距离等问题,是立体几何题的主要特征。
向量法在高中数学中的应用_毕业设计(论文)
向量法在高中数学中的应用the application of vector method in high school mathematics摘要向量是高中数学的一个重要的知识点，运用于方方面面，主要运用在圆锥曲线与立体几何两方面。
由于联系到许多其他知识点，向量掌握的好与坏，直接影响学生的高中数学学习质量。
近几年的高考趋势表明，向量在高中扮演的角色越来越重要。
Vector Method is a significant and widely-used knowledge point in high school mathematics, and it mainly used in terms of conic section and solid geometry. As Vector Method is linked to many other math knowledge points, therefore, students’mastery degree of it directly influences the quality of high school math studies. Furthermore, the trend of College Entrance Examination in recent years has clearly indicated the increasing importance of Vector Method in high school mathematics.关键词：向量；平面几何；立体几何；代数Keyword：Vector；planimetry；stereometry；algebra目录引言 (4)1、平面几何 (6)1.1、利用向量解决基础平面图形问题 (6)1.2、利用向量求解圆锥曲线问题 (7)2、立体几何 (9)2.1、利用向量解决平行问题 (9)2.2、利用向量解决垂直问题 (10)2.3、利用向量来求空间角问题 (11)2.4、空间距离 (13)2.4.1、两点距离 (13)2.4.2、点到直线距离 (13)2.4.3、点到平面距离 (14)2.4.4、异面直线距离 (14)3、代数 (15)3.1、不等式问题 (15)3.2、求最值问题 (16)3.3、三角函数中的应用 (16)结论 (17)参考文献 (18)致谢 (18)引 言向量是高中数学的重要内容，也是数学的重要概念之一，由于它既有几何的表示方法又有代数表示方法，与中学数学的许多主干知识交汇。
向量法在求二面角中的应用
向量法在求二面角中的应用本文通过对近几年高考立体几何综合题的分类分析研究,阐述了用向量方法在解立体几何的综合题中，针对学生比较模糊的二面角与法向量夹角的关系问题，对二者关系进行分析，用法向量与检验向量的乘积同号还是异号来判断二面角跟它关系是相等还是互补，并对二者关系的实际应用进行了探讨。
标签：向量；法向量；二面角；平面角；立体几何；高考向量是高中数学中的一个重要知识点，是刻画现实和描述现实世界的重要数学模型，是沟通代数、几何、三角的桥梁，用向量方法解决立体几何问题,可使立体几何问题代数化，降低难度。
长期以来，高中立体几何教材采用”形到形”的推理论证方法，这样的安排对于培养学生的推理论证能力和空间想象能力十分有益。
但一步步的推理过程，很多学生掌握起来比较困难。
近年来，在中学数学的教学中，向量及其教学已经受到人们广泛的关注，同时也是新教材高二数学第九章(B)的新增内容,是数形结合的一种典型体现,具有几何形式与代数形式的“双重身份”。
[1]历年全国各省、市高考立体几何综合题中，关于空间角、空间距离及空间平行、垂直问题是考查的重点和热点。
综观近几年全国各省、市高考试题，可以发现立体几何综合题可用现代向量方法,也可用古老的几何法求解或证明。
用向量方法解决立体几何问题，可以把立体几何问题代数化，降低难度,避免了繁琐的定性分析,通过建立空间直角坐标系进行定量计算，使得问题得到简化。
引入空间向量，并利用空间向量解决立体几何问题，这样既保留了传统推理论证的内容，又不断充实了向量的内容。
保留传统推理论证的内容有助于培养学生的空间想象能力与推理能力。
引进向量方法后，可以开阔学生的眼界，降低解题难度。
1、在向量方法解立体几何中,二面角的平面角与两平面法向量夹角的关系是学生比较模糊的问题例如：在2005年全国（1）高考数学（文）阅卷工作中,立体几何题第18题,解法很多,但概括起来只有两类方法:几何法和向量法。
由于该题比较容易建立空间直角坐标以及在坐标系中找出各点的坐标,因而对第2、第3两问，约有90%的同学都采用空间向量的方法求两条异面直线所成的角,跨越了将两条异面直线通过平移转化为一个三角形问题来解决的具体思维过程这一难点，但在这一问题的法向量解法中，有些阅卷教师对如何快捷、准确确定二面角平面角的大小，提出了质疑,首先请看原题:（图1）已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD,∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点(Ⅰ)证明:面PAD⊥面PCD；(Ⅱ)求AC与PB所成的角；(Ⅲ)求面AMC与面BMC所成二面角的大小。
向量在中学数学中的应用
向量在中学数学中的应用向量在解决高中数学问题中的应用主要体现在许多方面，如：空间几何向量、线性向量等。
比较突出的就是空间几何向量，应用比较广泛，主要应用于证明，计算等方面。
由于空间几何类的数学问题比较抽象，要想解决此类问题就需要向量来将其转化，将几何问题转化为比较简单的代数问题，以便于计算和证明。
通过调查分析，学生反映在证明几何问题时，大部分首选向量这一计算方式来解决问题。
在传统的计算方法对比下，无论是学生还是教师更愿意采用向量的方法来解决问题。
立体几何引入空间向量以后确实降低了解题的难度，而在求解过程中，要求学生有很强的运算能力，但由于计算繁琐，直观性较差，学生还是会有很多问题。
最突出的问题就是缺乏空间立体感，还有繁琐的计算容易出现错误。
数学几何的学习空间想象力十分重要，这就给向量使用带来一定的困难，许多学生在确定坐标时不确定，导致解决问题时出现各种错误。
对空间向量的运用不熟练等问题也会直接影响解题速度。
由此可见，向量的使用不能过于盲目，需要具体问题具体分析。
另外，向量在高中数学中使用较多，这就在一定程度上让学习养成依赖的习惯，虽然有些题目可以使用向量，解答稳定。
但是确阻碍了学生思考和探究的热情，只依赖于基础的公式，不能学会活学活用，阻碍了学生创新能力的全面发展，思维过于狭隘，不懂得多方位思考问题。
有些题只是简单的公式代入，甚至有时连图都不用参考，这将不利于培养学生的分析能力、空间想象能力。
此外，学生对于向量知识结构体系了解不够全面。
向量具有形与数的双重身份，它成为高中数学知识的交汇点，成为联系多项数学内容的桥梁，所以学习向量有助于学生理清各种知识间的联系，学生理解了这种联系，可以去构建和改善自己的数学认知结构。
而现实过程中学生们掌握的.向量知识是片面的、独立的，不能建立完整的知识结构体系，这也不利于学生对向量的学习。
最后，高中数学教材中对于向量的了解比较粗略，无法协助学生更加深入细致的介绍，在一定程度上无法满足用户学生的自学，种种问题都就是影响向量化解数学问题的因素。
向量在数学中的作用
向量在数学中的作用有人说，中学数学中引入向量，用向量来处理几何问题，是因为用向量比用综合几何的方法简单、容易。
这种看法是不全面的。
虽然有许多问题，用向量处理确实比用综合几何方法简单，但也可以找到用综合几何的方法处理更简单的问题。
向量之所以被引入到中学，这是因为向量在数学中占有重要的地位。
向量作为一个既有方向又有大小的量，在数学中是一个最基本的概念。
在现代数学的发展中起着不可替代的作用。
是代数、几何、泛函分析等基础学科研究的基本内容。
向量是代数的对象。
运算及其规律是代数学的基本研究对象。
向量可以进行多种运算，如，向量的加法、减法，数与向量的乘法（数乘），向量与向量的数量积（也称点乘），向量与向量的向量积（也称叉乘）等。
向量的这些运算包含了三种不同类型的代数运算。
向量的运算具有一系列丰富的运算性质。
与数运算相比，向量运算扩充了运算的对象和运算的性质。
向量是几何的对象。
向量可以用来表示空间中的点、线、面。
如果，以坐标系的原点为起点，向量就与空间中的点建立了一一对应关系；一点和一个非零向量可以唯一确定一条直线，它通过这个点且与给定向量平行；同样，一个点和一个非零向量，可以唯一确定一个平面，它过这个点且与给定向量垂直。
在高维空间中，这种表示十分有用，还可以表示曲线，曲面。
因此，向量可以描述、刻画和替代几何中的基本研究对象——点、线、面，它也是几何研究的对象。
向量是几何研究对象，这种认识很重要。
在立体几何中，可用向量来讨论空间中点、线、面之间的位置关系；判断线线、线面、面面的平行与垂直，用向量来度量几何体：计算长度、角度、面积等。
随着数学视野不断拓展，这样的观念会给我们越来越多的用处。
向量是沟通代数与几何的一座天然桥梁。
它不需要什么过渡。
在数学中，我们有两座沟通代数与几何的桥梁，一是向量，一是坐标系。
坐标系依赖于原点的选择。
向量的优越性在于可以不依赖于原点，空间中每一点的地位是平等的，它不依赖坐标，因此，它比坐标系更一般、更重要。
初中数学阅读课教学的实践与思考——以“用向量方法证明几何问题”一课为例
《义务教育数学课程标准（2011年版》）（以下简称《标准》）中指出，自学能力对每个人都是终身有用的，阅读是提高自身能力的重要途径.数学阅读是理解数学语言的过程，是学生用特定的数学符号及符号之间的关系对自身原有认知结构进行改造、调整和建构；数学阅读也是心理活动的过程，包含语言符号（文字、数学符号、术语、公式、图表等）的感知和认读、新概念的同化和顺应、阅读材料的理解和记忆等；数学阅读还是一个不断假设、证明、想象、推理的思维认知过程.可见，数学阅读对提升学生的数学学习能力有着极大的价值，是促进学生数学思维和数学素养发展的重要途径.沪教版《九年义务教育课本·数学》（以下统称“沪教版教材”）中编排了许多阅读材料，按功能大致可以分为以下几类：介绍知识，开阔视野；激发兴趣，发展思维；培养爱国主义思想，增强民族自豪感；加强知识和技能的实际应用，培养学生的应用意识，提高解决问题的能力.值得一提的是，沪教版教材将平面向量的部分基础内容纳入初中数学课程中.一方面，为学生的几何学习提供了“新观点”和“新手段”；另一方面，有助于让学生逐步体会数学与物理等其他学科的联系.我们知道，一些平面几何问题经过转化，可以通过向量运算来解决.这样的学习经验可以促进学生数学思维的灵活性和创新性，有利于学生数学素养的培育.同时，教材对初中平面向量主要采用直观描述，控制了难度（仅限于认识向量、表示向量；用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减法、向量分解的作图操作；至于向量的数量积与坐标运算，仍然是高中的学习内容）.为此，作为一个良好的内容载体，本文谨以阅读材料“用向量方法证明几何问题”为例，谈谈对数学阅读课的教学实践与思考.一、教学实践“用向量方法证明几何问题”是沪教版教材八年级第二学期第二十二章“四边形”章末的一篇阅读材料，安排在第四节“平面向量及其加减运算”的学习之后，用举例说明的方式介绍了用向量方法证明一些简单平面几何问题的基本思路，是对向量知识的进一步拓展.希望学生通过阅读、讨论与交流，初步了解平面向量及其加减运算在平面几何中的运用，感受几何证明的新方法，开阔眼界；同时，在数学问题解决初中数学阅读课教学的实践与思考——以“用向量方法证明几何问题”一课为例罗佳骏收稿日期：2020-08-15作者简介：罗佳骏（1984—），男，中学高级教师，主要从事初中数学教学研究.摘要：数学阅读是学生数学素养发展的重要方法之一.沪教版初中数学教材中编排了较多阅读材料，这些材料紧扣教材中的相关知识，丰富了教学内容，是拓展学生数学知识、提升学生数学阅读能力、激发学生数学学习兴趣、培养学生创新意识的有效载体.这些内容的教学成为上海市数学素质教育综合体现的重要组成部分.文章以“用向量方法证明几何问题”一课为例，给出关于初中数学阅读课教学的一些思考.关键词：数学阅读；数学交流；实践与思考··21过程中，增进对平面向量的理解，初步体会平面向量的工具价值，领略用向量方法证明一些几何问题的过程和优越性，激发学生学习向量知识的兴趣和运用向量知识的积极性.对于本节阅读课，笔者设计了“泛读—通读—精读—解读—延读”五个环节.1.泛读——初步感知泛读是本节课的准备阶段.通过观看微视频，梳理“四边形”这一章的主要内容，引起学生思考：将平面向量这一内容安排在“四边形”一章的原因，初步认识平面向量与四边形内容之间的联系；同时，梳理演绎证明的一般过程，为后面的学习做好铺垫. 2.通读——问题展示通读是整体感知阶段.通过通读初步了解阅读材料的主要内容和知识点.为了让学生的阅读有更明确的指向性，从而提高阅读效率，教师可以布置一些阅读任务，通常包含学习目标、导读问题、阅读检测、阅读体会等，带着任务阅读能使学生的阅读更有针对性，更能启发学生去思考、探究.这无疑对提高学生的阅读能力是很有帮助的.以“用向量方法证明几何问题”一课为例，笔者布置的阅读任务如下：①圏划你认为重要的部分；②记录你在阅读过程中的困惑或不理解的地方；③比较用向量方法证明几何问题与演绎证明的区别与联系.学生通过通读阅读材料，初步了解向量知识在平面几何中的运用，感受用向量方法证明几何问题的新方法.通过比较阅读材料中给出的两道例题的不同解法，初步感受两种解法的区别与联系.由于学生的个体差异性，不同层次的学生在阅读后对新知会有不同程度的理解，形成自己尚不完善的认识，也会产生许多疑问.例如，下面是一些学生的疑问.生1：如何用向量方法证明几何问题？生2：如何选取合适的向量？生3：向量关系与几何关系如何转化？生4：已经学习了演绎证明的方法，阅读材料中给出的两道例题都可以通过演绎证明来解决，为什么还要学习向量方法？向量方法似乎并没有简单很多. 3.精读——问题解决精读是本节数学阅读课的核心环节.数学阅读的目的在于理解，每个数学概念、符号、术语都有其精确性和逻辑性.当一名学生试图阅读、理解一段阅读材料或一个概念、定理或其证明时，他必须了解其中出现的每个数学术语和每个数学符号的精确含义.这就要求学生必须在通读材料、提出问题的基础上，运用分析、联想、类比、归纳、猜想、反思等思维方法，对疑难点各个击破.这里，活动的设计尤为关键，以“用向量方法证明几何问题”一课为例，笔者设计了讨论和交流两个活动，放手让学生自己解决问题，大胆地让学生展示自己的阅读与思考成果.以下为节选的部分小组交流片断.第一组：演绎证明是运用相关定义、定理、公理，按照逻辑规则进行推导，也就是从几何问题的已知条件出发得到结论.向量证明的方法是适当选取向量，进行正确的向量运算得到结论.第二组：我们分析比较了例1中的解法.例1是根据已知条件引出向量，给出的条件是“如图1，四边形ABCD，AC与BD交于点O，AO=OC，DO=OB”，求证“四边形ABCD是平行四边形”.首先，这个条件给出的意义是线段相等，还有AC和BD各自是一条直线，向量需要两个条件，一个是大小，一个是方向.已知条件已经给出了向量的大小，我们只要判断它的方向就可以从条件中选取向量，然后通过向量的加法，能得出AO+OB=AB，DO+OC=DC.相等向量所在的有向线段DC=AB，这是数量关系.还有平行关系，得出线段AB∥DC，且AB=DC，然后再回到几何证明.图1第三组：用向量方法证明几何问题是因为向量既具有代数的特征，又具有几何的形态.由于向量有运算系统，并且与几何图形有密切联系，所以它才可以用来证明几何问题.第四组：向量的证明方法比演绎推理的证明方法更加简洁.用几何方法要证明线段平行且相等，用向量方法只需要说明“向量相等”就能说明“两条线段平行且相等”.可以看到，整个活动过程中，学生的思维是无限··22的，在师生、生生合作交流中梳理形成用向量方法证明几何问题的基本步骤、要点和依据，提高了对“用平面向量的运算来作为推理方法”的认识，增进对平面向量“数”与“形”双重特征的理解.期间，笔者仅对学生分析过程中存在的不足做必要的补充和调整，让学生获得了准确、完整和深刻的认识，最终得到如图2所示的知识框架图.演绎推理方法证明几何题图24.解读——巩固练习解读是检验与完善的阶段.在学生对阅读内容有了比较清晰的认识以后，通过适当的练习加以巩固，进一步理解和内化知识.以“用向量方法证明几何问题”为例，笔者设计了如下一道练习题.已知：如图3，四边形ABCD 是平行四边形，CN =AM ，AE =CF.求证：四边形NEMF 是平行四边形.AB CD E FM N图3考虑到沪教版教材定位“在初中的向量教学中，不要求学生会用向量方法证明几何问题”，故而采用让学生独立思考与相互交流相结合的方式研究.以下是学生的交流片断.生1：根据已知条件，作 EA ， AM ， EM ，CF ， NC ，NF .因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB 平行且等于CD.因为CN =AM ，所以 AM =NC .因为AE和CF 在同一直线上，且AE =CF ，所以 EA =CF .所以 EA + AM = CF + NC ，即 EM =NF .所以EM ∥NF ，且EM =NF.所以四边形NEMF 是平行四边形.5.延读——拓展延伸阅读型作业的思路来源是数学阅读教学和分层作业理念的结合.一方面，数学阅读课的目标之一是学生数学阅读能力的发展和自学能力的提升；另一方面，课堂教学的时间是有限的，教师可以根据相关知识点设计一些与阅读材料有关的问题，或者收集、编制一些阅读材料，让学生带着这些问题继续阅读、思考，并做出解答，以此来优化教学效果.以“用向量方法证明几何问题”一课为例，笔者设计了如下阅读作业.阅读下列材料，并完成证明.我们知道，两个相同的实数a 相加，结果为2a ，即a +a =2a .那么两个相同的向量a 相加，是否也有类似的结果呢？即a +a =2a 吗？如图4，已知向量a ，在平面内取一点O ，作向量OA =a ， AB =a ，由向量加法运算法则，得OB =a +a .aOA B图4同时，我们不难看到：向量OB 的方向与向量a 的方向相同，向量OB 的长度是向量a 的长度的2倍，即|| OB =2||a .我们把这样的向量OB 记为向量2a ，即OB =2a .由上可知，2a 表示这样的一个向量，其方向与向量a 的方向相同，且长度是向量a 长度的2倍.类似地，3a 表示这样的一个向量，其方向与向量a 的方向相同，且长度是向量a 长度的3倍.那么，32a 表示为；12()a +b 表示为.反过来，如果 MN =2PQ ，则意味着MN 和PQ 平行（或共线），且MN =2PQ .上述结论可用于研究几何中有关两直线平行及线段长度的问题，如三角形中位线定理.请同学们小组合作，用向量方法证明该定理.求证：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.已知：如图5，点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点.求证：EF ∥BC ，EF =12BC .··23ACE F图5该作业的主要任务是开展“拓展阅读”.学生需要在完成阅读后，理解实数和向量的乘法的基本概念及其表示方法，然后用所学的向量方法尝试证明三角形中位线定理.其目的在于通过对阅读材料的学习，进一步让学生体会材料中用向量方法证明一些简单的平面几何问题的基本思路，了解平面向量及其运算在解决一些平面几何问题中的作用，增进对平面向量“数”与“形”双重特征的理解，体会平面向量的学习价值，发展自主学习和数学阅读的能力.在布置作业时，要求学生先独立阅读材料并尝试完成材料中提出的学习任务，然后撰写简单的学习体会并与其他学生交流.二、几点思考1.阅读课的目标定位读有所得、读有所疑、读有所悟、读有所用是一切阅读活动的共同目标.数学学科还有自己的特点，即高度的抽象、严密的逻辑和广泛的应用.这决定了数学阅读不同于一般的阅读，不仅要理解文本、获取知识，还要了解知识产生的背景和内在的逻辑关系，经历知识的形成过程，并能合理运用到实际生活中.在“用向量方法证明几何问题”一课的教学过程中，笔者布置了阅读任务，目的是让学生有充裕的阅读和思考的时间，使学生不仅仅了解用向量方法证明几何问题这个方法；还能在阅读和思考过程中不断产生疑问.例如，向量关系与几何关系如何转化？两种方法孰优孰劣？学生在交流合作中经历用向量方法证明几何问题的过程，梳理了知识框架图，从中获得数学阅读和思考的一般方法，引发对数学阅读和思考的兴趣.2.阅读课的主体定位数学阅读课的整个教学过程是教师协助学生主动建构知识的过程，这极大地凸显了学生的主体地位.在“用向量方法证明几何问题”这节课阅读课的教学过程中，笔者的任务首先是倾听，其次是捕捉、梳理和完善学生思维中零散、不完全准确的结论.学生在阅读中产生疑问，在交流中解决疑问，再围绕笔者提出的较深层次的问题阅读、思考、交流.这些做法使得学生获得了更多的自主阅读与思考的时间和空间.3.阅读课的方式定位数学阅读课的学习方式通常是开放式的.数学阅读过程是不断假设、证明、想象、推理的积极能动的认知过程，在向知识的广度和深度进军的过程中遇到问题或者困惑是在所难免的.开放的阅读方式能让学生在阅读与思考活动中分享信息结论和疑问，通过交流合作解决疑问，达到阅读和思考的最优效果.另外，在当今的信息时代，学生阅读的渠道不仅仅是教材和教师给予的阅读材料，还可以借助网络资源搜索相关资料进行深入学习.4.阅读素材的选择各地现行的初中数学教材普遍编排了许多阅读材料，主要包括：透过数学历史故事，学生可以感受到数学知识在研究过程中的曲折、艰辛，以及获得成功后的快乐，感悟理性精神；通过知识拓展或运用数学知识解决生活中的问题，可以增进数学与生活的联系，理解数学的学习价值等.随着数学学习的深入，笔者认为阅读不能仅仅局限于教材的阅读，应该给学生提供更多的课内外阅读资料.以平面向量为例，该部分知识虽然没有纳入《标准》，但是从上海市的经验来看，平面向量的初步知识在初中阶段的讲授还是具有较好的可操作性的.即使其他地区的数学教材中没有向量知识，教师也可以通过阅读材料的方式呈现给学生，让其自主学习.通过学习，学生有机会从运算的视角看待几何证明，丰富学生解决平面几何问题的手段，以更好地促进学生思考，挖掘学生的思维潜力，发展数学素养.5.阅读课的评价方式不同于重结果轻过程的传统数学评价，数学阅读课更侧重于学习过程，应采用多样化的评价方式.笔者认为可以从课堂评价和作业评价的转变开始.（1）课堂评价.学生的能力是多方面的，每名学生都有各自的优势.在阅读活动中，学生表现出来的能力不是单一维度的··24数值反映，而是多维度、综合能力的体现，因此对学生的学习评价应该是多方面的.在“用向量方法证明几何问题”一课的教学中，笔者采用了学生自评、小组互评和教师评价相结合的方式，从阅读表现、合作表现、交流表现、理答表现四个方面进行评价.（2）作业评价.传统的作业评价大多数基于知识与技能，更侧重于学生对知识的掌握情况、解题表现等，评价的维度比较单一.如何才能更好地发挥评价的导向、调控和激励功能？以“用向量方法证明几何问题”的阅读型作业为例，对于该作业的批改，笔者采用等第制评价的方法，学生互评和教师评价相结合，从阅读表现、解题表现和交流表现等方面重点开展评价，以下是评价标准.优秀：能圈划阅读材料中的关键词和重要信息，准确理解材料的内容；在解决问题的过程中，表现出对阅读材料介绍的方法的正确运用；解题过程完整，能用规范、简洁的语句进行交流；能清晰地向他人介绍自己的解题思路和阅读体会.良好：能圈划阅读材料，材料分析基本准确；解题过程基本正确；能用较为规范、简洁的语句进行交流；能较清楚地向他人介绍自己的解题思路和阅读体会.合格：基本理解阅读材料，材料分析不够准确；有解题过程，但解答存在一定错误；能与他人进行一定交流，但解题思路和阅读体会介绍较为简单. 6.阅读课的局限性（1）不同学生的差异.不同层次的学生受益效果不同，无法带动所有学生.笔者执教的班级学生水平差异较大，通过多次实践发现：原本学习能力强的学生在这样的课堂上学习方法能有提高，学习能力能有进步，对相关知识点的迁移，学习效率很高，他们学习的自信和主动性都会有飞跃；但是对于学困生却不一定有帮助.虽然笔者教学中一直关注个体差异，一有机会就会对学困生进行个别辅导，但是在自主阅读环节，学困生的学习效率非常低.没有了教师的教，学生不知道阅读和思考的方向，寸步难行.（2）阅读时间的把握.确定阅读时间是数学阅读课的重点和难点.阅读时间长了，留给学生对话交流的时间就少了，有些问题得不到解决，能力的发展受到限制，也就失去了阅读课的价值；阅读时间少了，学生对材料的理解不充分，思考的深度不够，也达不到效果.这就对教师提出了很高的要求，既要研读材料，把握教学的学习内容，又要研究学生，把握学生的学习水平，在此基础上，做出规划和预设.另外，数学阅读教学是学生、教师、文本之间对话的过程.学生作为读者，是富有巨大认知潜力和主观能动性的，尤其是经历交流对话后会生成新的学习需求，需要二次阅读甚至三次阅读，这就需要教师对预设的教学做出及时调整，朝着有利于加深对数学阅读文本的理解和感悟、有利于学生数学素养发展的方向转化.参考文献：［1］倪湘丽.初中数学阅读教学的实践研究：以苏科版教材七上、八上的教学实践为例［D］.苏州：苏州大学，2014.［2］朱丽霞.数学阅读为学生的思维进阶插上翅膀：以“三角形内接正方形的作法”阅读课为例［J］.上海中学数学，2020（1/2）：42-44，64.［3］谷荷莲.高中数学“阅读与思考”栏目的教学实践与思考：以《圆锥曲线的光学性质及其应用》阅读与思考教学为例［J］.数学教学通讯，2020（9）：3-4，10.［4］朱纪英.初中数学阅读教学有效性研究与实践［D］.上海：上海师范大学，2012.··25。
浅谈用向量法求三角形面积
浅谈用平面向量求三角形面积新编中学数学教材在内容上增加了平面向量，这就给中学数学增加了一个全新的解题工具和方法，平面向量具有代数形式和几何形式的“双重身份”，平面向量作为数学知识网络的一个交汇点，它是联系众多知训的桥梁，因此以平面向量为工具成为高考的一个亮点，本文就结合实例谈谈如何应用平面向量解决三角形面积：结论1：在ABC ∆中，()11,y x AB =，()22,y x AC =，则三角形ABC 的面积：122121y x y x S ABC -=∆ 证明：由()11,y x AB =，()22,y x AC =222221212121cos yx yx y y x x AC AB A +++==π<<A 0 A A 2cos 1sin -=∴ 故 22222121122122222212121211sin yx yx y x y x y x y x y y x x A ++-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++-=又ABC ∆的面积A S 21⋅=1221222221211221222221212121y x y x y x y x y x y x y x y x S ABC -=++-++=∴∆ 用上述结论可以解决很多问题。
例1、ABC ∆的三个顶点是()0,5-A ，()3,3-B ，()2,0C ，求ABC ∆的面积。
解：由()3,8-=AB ，()2,5=AC ， 得()231532821211221=⨯--⨯=-=∴∆y x y x S ABC 结论2：在ABC ∆中，m AC AB =⋅，且θ=，则三角形ABC 的面积：θtan AC S ABC⋅=∆证明：θθsin 21==∆S ABCθθθθtan cos sin cos 21AC =⋅=例2：已知O 是ABC ∆内部一点，0=++OC OB OA ，32=⋅AC AB且030=，则AOB ∆的面积为（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）21 （D ）31 解：因32=⋅AC AB30=则ABC ∆的面积：1333221tan =⨯=⋅=∆θAC S ABC 又0=++OC OB OA ，可得O 为ABC ∆的重心∴AOB ∆的面积3131==∆∆ABC AOB S S 故选D 引申：在ABC ∆中，3=⋅BC AB ，ABC ∆的面积⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,23S ，则AB和BC 夹角的取值范围是（ ）（A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,4ππ （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,6ππ （C ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππθ=⋅，由θθθtan 23tan 321tan =⨯⨯=⋅=∆AC S ABC 由题意得23tan 2323≤≤θ 1tan 33≤≤∴θ 解得46πθπ≤≤，故选B 结论3：平面上B A O ,,三点不共线，设b OB a OA ==,，则OAB ∆的面积等于证明：设a ，b 的夹角为θ，由条件得b a =θcos2cos 1sin ==-=∴θθSOAB⋅=⋅=∴∆θ=例3、已知ABC∆中，向量()0066sin,24sin=BA，()0032sin,58sin3=BC，求ABC∆的面积。
向量法在解决直线问题中的应用
向量法在解决直线问题中的应用摘要：直线和向量是中学数学中的两个原始概念，但是把向量运用于解决直线问题却能收到奇特的效果。
本文就给大家介绍了向量法在直线问题中的应用。
关键词：直线问题；向量；方程；位置关系作者简介：蓝兴华，任教于浙江省衢州高级中学。
直线和向量是中学数学中的两个原始概念，利用向量把有关直线问题进行相应转化，有利于迅速准确地解题。
本文介绍了一些用向量的思维解决直线问题的例子，方法简单，结论易为中学生接受，是解析几何与向量相结合进行解题的一种有益尝试。
空间向量中垂直于平面的向量叫法向量。
受此启发，我们也可把垂直于直线的向量叫直线的法向量。
设直线，则当时，此时的斜率，而向量所在的直线的斜率，可知，故；当时，的斜率不存在，向量所在的直线的斜率也有，即不管直线的斜率是否存在都有，故是直线的法向量。
这样便有下面的定理:证明时利用平面几何的知识，（1）、（2）两个命题易证，（3）中两直线所成的角与两个法向量所成的角互补或相同也易证明。
在现行教材和资料书上直线方程都以一般形式给出，学生在解决直线平行和垂直时往往都要把直线转化为斜截式，还要考虑斜率是否存在，非常复杂而且易错，有了上述定理就可以很好地解决这些问题。
下面举例说明定理的应用;一、判定两直线的位置关系The Application of Vector Method in Solving Linear ProblemLAN XinghuaAbstract: Linear and vector are two original concepts in midle school mathematics teaching and applying vector to solve linear problem can achieve better effect. This paper introduces the application of vector method in linear problem.Key words: linear problem; vector; equation; position relation。
向量在中学数学知识体系中应用论文
向量在中学数学知识体系中的应用【摘要】为了加深对向量思想方法的理解，提高学生的数学思维品质，本文介绍了向量在函数、不等式、平面几何、平面解析几何、立体几何等知识体系中的巧妙运用。
【关键词】中学数学向量知识体系向量是近代数学中重要的基本数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具。
兼有代数与几何两种形式，具有代数的抽象与严谨和几何的直观，运算简洁而富有新意，有深刻的几何、物理背景。
向量思想方法在教学中的渗透，对提高学生数学解题能力，培养学生数学创造性思维，提高学生数学素质，实现中学数学课程目标等具有很强的现实意义。
向量在初中引入到高中阶段的深入，这深刻体现了向量在整个中学数学中占有特别重要的位置。
高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。
为了使学生进一步提高向量思维方法的领悟能力，需要通过一些实际案例的学习和分析，阐述与交流来提高对向量思想方法体现的理解力，对向量思想方法渗透的感知力，对向量思想方法运用的辨析力。
下面主要举例说明向量思想方法在中学数学中的典型运用。
1.向量在函数中的运用向量与函数表面看来没什么联系，但是深入思考可知向量的模和向量的数量积是联系向量与函数的纽带。
比如函数中求最值问题，就可以采用向量的两个不等关系来进行联系，其，其二。
运用向量思想方法求解函数最值问题时，就应该首先想到上面的两个不等式，运用函数与向量的关系，可以引导学生把向量思想运在解决函数问题，进而加深学生对向量的认识。
案例1 已知,求的最小值。
分析：从所求的式子的特点，可以发现可分别构造向量进行求解。
解：构造向量，则当且仅当同时平行即时等号成立。
解得：评注：由上案例可知，运用向量求函数的最大值的最大优点是解法简单、有规律、较容易理解、易于掌握。
2.向量在不等式的运用向量可以用几何表示（即用有向线段表示）也可以用代数表示（即用坐标表示）。
因此我们必须把图形和数字牢牢的联系起来，也是说向量和图形可以相互转化，用代数方法研究。
例谈向量法解题在高中数学中的应用
（） ３求证 ： ＣＭ Ａ Ｂｊ ＿
技巧与方法
标。
可以先找到底面坐标 面 ｘ ｙ内的Ａ、 、 Ｏ Ｂ
Ｃ点坐标 ， 然后利用 向量 的模及方 向来找出其他 的点的坐 （）求 Ｄ １ Ｐ与 Ｃ 。 Ｃ 所成 角的大小 ；（ ）求 Ｄ ２ Ｐ与平面
Ａ Ｄ。 所成 角 的大 小 。 Ａ。 Ｄ
（ ） 有 针 对性 三 要
意力 都很 集 中 ， 他们 对 教师 所授 知 识能 顺利 接 受 ， 时用 不 此
教学中类 比要用得好、 用得巧， 必须具有针对性 。即：
用无关紧要。用多了， 用得不 当， 反而会产生负作用 ， 影响
（） １针对不同的学生选用不同的类 比材料 。 例如， 教师 比喻 说： 二极管的单向导 电性就象 自 商场入 口处的门， 选 许进不 许 出。城市 的学生可能明 白， 山村 的学生却不知道 自选 可
高中数 学新教材增加 了平面和空间向量的 内容 ， 以实例 阐述 了向量在解题 中的应 用。在教 学过
文章编号 ：０ ２７ ６ （０ ０ ０ —０ ６０ １０ ．６ １２ １ ）５０ ９ ．２ 与ｏ０ 的半径不相等。所 以模等于半径的向量只 可能是 ０ （ １ ， ８两类． Ａ 与ＡＯ ｉ ， …，） ＝ ２
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例谈 向量法解题在高中数学中的应用
赵 成令 凌 海 市职 业教 育 中心 ，辽 宁 摘 要 凌海 １１０ ２２ ０
论 一程 中运 用向量解析例题 ， 可以培养学生观 察 、 、 分析 解决问题 的能力。
坛
关键 词 向量 数形结合 文献标识码 ： Ａ 中图分类号： ６ ３６ Ｇ ３．
／
０
用向量方法解决数学问题
用向量方法解决数学问题将向量引入高中数学教材，并做为一种基础理论和基本方法要求学生掌握。
这是由于向量知识具有以下几大特点和需要。
首先，利用向量解决一些数学问题，将大大简化原本利用其他数学工具解题的步骤，使学生多掌握一种行之有效的数学工具。
其次，向量的引入将使高中数学中“数形结合”理论得到新的解析，为在高中数学贯彻“数形结合”的教学理念提供一种崭新的方法。
向量具有很好的“数形结合”特性。
一是“数”的形式，即利用一对实数对既可表示向量大小，又可以表示向量的方向；二是“形”的形式，即利用一条有向线段来表示一个向量。
而且这两种形式又是密切联系的，它们之间可以利用简单的运算进行相互转化。
可以说向量是联系代数关系与几何图形的最佳纽带。
它可以使图形量化，使图形间关系代数化，使我们从复杂的图形分析中解脱出来，只需要研究这些图形间存在的向量关系，就可以得出精确的最终结论。
使分析思路和解题步骤变得简洁流畅，又不失严密。
第三，向量概念本身来源于对物理系中既有方向、又有大小的物理量，即物理学中所称的“矢量”的研究。
其实，“向量”和“矢量”是在数学和物理两门学科对同一量的两种不同称呼而已。
在物理学中，矢量是相对于有大小而没有方向的“标量”的另一类重要物理量。
几乎全部的高中物理学理论都是通过这两类量来阐释的。
矢量广泛地应用于力学（如力，速度，加速度等）和电学（如电流方向，电场强度等）理论之中，在高中新教材中引入向量章节，对向量进行系统深入的学习和研究。
对学生在物理课上学习和理解矢量知识无疑将提供一个数学根据和许多运算便利。
同样，学生在物理课上碰到的与矢量有关的物理实际又会使他们对向量也有更深入了解，并激发他们学习向量知识的兴趣和热情。
如在力学中，对力、速度等的分解和合成，使用的就是向量的加减理论，数学和物理的完美结合，起到异曲同工之作用。
第四，把向量理论引入高中教材，也是当今世界中等教育的一种普遍趋势，是教育顺应时代发展的必然结果。
向量的数量积在中学数学解题中的应用
一 一
解 题 方 法 与 技 巧
向量 的数 量 积在 中学数 学解 题 中的应 用
广 西贺 州市桂 梧 高级 中学（ ４ ８ ０ 唐咸 桂 ５２ ０ ） 向量 的数 量积作 为 向量乘 法 的一 种 重要 运算 ， 在
向量理 论 中 占有 十分重要 的位 置 ， 证 明垂 直 、 行 、 对 平
离 一 ￣（ １ ） 十（ —２ 一 １ ， 过 点 Ａ 的 最 短 ／ １ ＋１ 。 ２ ） ２则
弦 长为 ２￣１ ， 长 弦 长 为 ２ ｌ ＝２． 过 点 ／３一 最 × ３ ６故
Ａ 的 弦 长 范 围 为 ［ Ｏ ２ ］ 在 （ Ｏ ２ ） 的整 数 共 有 １ ，６ ． １ ，６ 问
Ｂ Ｄ 于 Ｈ． 设 茸一 （ ，） ＞ｏ ． Ⅲ， １ （ ）
则 一 ｚ， 一÷ ， － 华 （。 ； ） － ｚ （
， 一 。
÷， （ ｛． ） ｚ ） 葡一 一
ｄ ＋ ６ 一 １ 。 ．
点评 ： 向量 的数 量 积 除用 来 证 明 等式 外 ， 可 以 还 用来 证 明不等式 ， 般 比用常规 方法 证 明来 得简 明． 一
二 、 函数 最 值 问 题 求
量 法去思 考 ， 能 另辟 蹊径 ， 则 大大 降低求 解难 度．
一
、
证明等 式 、 等式 问题 不
分组 方法 ， 配 到 ３个 奥 运 场 馆 有 Ａｊ种 方 法 ， 有 分 共
×Ａｊ 分配 方 案． 上 可 得 每个 场 馆 至 少 分 配 种 综
１２
一
名 志愿 者 的方 案 为 ｃ Ａｉ ｉ ＋
×Ａｊ ５ 一１ ｏ种．
考 点 ６ 考 查等价 转化 的计 数 问题 考点 剖 析 ： 何 图形 的计 数 问题 是 常考 点． 解 几 求 时一要熟 悉 几 何 图形 概 念 性 质 ； 要 按 同 一 标 准 分 二 类； 三若 直接 求解 困难 ， 则可从 反 面人手 ． 【 ６ （ 【 ８ 湖 北 ） 点 （ ， ） 圆 。 例 】 ２） ， （ ］ 过 １ ２作 １ ＋ ＋２ ｚ一 ４ 一 １ ４— ０ 的 弦 ， 中 弦 长 为 整 数 的 共 ６ 其
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XXX大学高等教育(本科) 毕业论文题目：向量法在中学数学中的应用学院：数学科学学院专业：数学与应用数学年级：×××姓名：指导教师：邮箱地址：×××联系电话：×××完成时间：2016年9月向量法在中学数学中的应用专业：学生：指导教师：摘要在数学学习中，涉及到的相关解题方法是非常多的，如向量法、几何法、面积法、三角法等，本论文主要针对向量法在中学数学中的应用来进行研究及分析，对与向量法相关的解题方法及技巧进行了详细的研究。
正如大家所知道的一样，向量法在中学数学中是非常重要的一个解题方法。
本论文采用归纳演绎的方法对向量法的相关概念、常用公式及定理等进行了介绍，接下来，采用举例分析法对向量法在解题中的实际应用进行了论证。
本论文选择了几个不同的方面来对向量法在中学数学中解题的巧用进行了研究，希望本论文的研究及分析工作能够为类似数学方面的研究带来一定的指导意义。
关键词：向量法；应用；举例分析法；中学数学abstractIn Learning Mathematics, related to problem-solving approach is very much involved, such as Vector, geometric method, area method, trigonometry, etc., the main application of Vector paper in middle school mathematics for research and analysis carried out on solving Problems associated with the vector methods and techniques have been studied in detail. As you know, like vector method it is a very important problem-solving approach in middle school mathematics. This paper uses the method of induction and deduction related concepts vector method, commonly used formulas and theorems were introduced, and then, using the example of vectoranalysis method in solving problems of practical application were demonstrated. The paper chose several different aspects of vector method in middle school mathematics problem solving clever use were studied, hoping to research and analysis work in this paper can bring a certain significance for the study of mathematics is similar.Keywords: Vector; applications; for example analysis; Middle School Mathematics目录摘要 (Ⅰ)1 引言 (1)2 相关理论知识介绍 (1)2.1 向量的概念 (1)2.2 向量的运算 (1)2.2.1 减法运算 (2)2.2.2 数乘运算 (2)2.2.3 向量的数量积 (2)2.2.4 加法运算 (2)2.2.5 向量的平移公式 (2)2.2.6 线段定比分点公式 (2)2.3 向量的基本定理 (2)2.3.1 空间向量的基本定理 (2)2.3.2 平面向量的基本定理 (2)2.3.3 共面向量的基本定理 (2)2.3.4 共线向量的基本定理 (2)2.4 向量的表示 (2)3 向量法在中学几何中的应用 (2)3.1 向量法在平面几何中的应用 (2)3.2 向量法在解析几何中的应用 (8)3.3 向量法解决立体几何问题 (12)4 向量法在中学代数中的应用 (2)4.1 求函数的最值 (2)4.2 求参变数范围 (8)4.3 解方程 (12)4.4 解复数问题 (8)4.5 证明条件等式 (12)4.6 向量法在证明解不等式问题中的应用 (8)4.7 向量法解决方程组问题 (12)5 向量法解三角函数的问题 (2)5.1 求值 (2)5.2 证明恒等式 (8)结论 (14)参考文献 (15)致谢 (16)1 引言对于向量及向量法在中学数学中的应用等相关理论知识而言，它是我国中学数学进行改革之后新增加的内容，目的在于为学生提供更好的工具来解决相关数学问题及更好的拓展学生的思维能力。
它具有代数形式以及几何形式等的双重身份，即它把数、形融为一体，从而更好的帮助解决相关几何及代数问题。
在中学数学的诸多知识点里面，向量法及其计算应用等是一个非常重要的交汇点，它经常与复数、平面解析几何、函数、导数、空间解析几何等方面的内容进行交叉渗透，从而使得相关的数学问题更加具有综合性、更加具有新颖性，这样才能够更好的反应学生对所学知识的融会贯通的能力。
向量法作为中学数学一项有力的解题工具，通过对其熟练掌握和灵活应用，能够帮助我们提高解题的效率、拓展我们解题的思维能力、以及对知识进行融会贯通的能力等。
向量作为中学数学的一个基本概念，只有对其进行良好的掌握及理解，才能够更好的把向量法应用到相关数学问题中去求解。
对于向量而言，它除了具有方向之外，还具有大小的一个量。
因此，其对我国中学数学的发展起着非常重要的作用，向量是代数课程、函数分析、几何分析等相关课程研究的基本内容。
向量及向量法在相关数学问题中的应用等理论知识是作为我国新课改之后引入的新的内容，对我国数学的发展起到很重要的作用。
它不但具有代数形式的身份，而且还具有几何形式的身份，可见，它是中学数学的一个交汇点。
通过把向量引入到我国中学数学课程里面，它能够促进高中数学的整个体系架构更加完善，通过对向量法进行灵活应用，能够把许多传统的代数问题、几何问题等变得简单化，从而进一步的拓展了学生解决数学问题的思维能力及方法，也为学生进行创新等方面奠定了良好的基础。
对于平面向量而言，它主要是将代数知识以及几何知识等进行有机的结合到一起，从而更好的帮助解决相关数学问题，它主要渗透到函数、平面几何、数列、三角函数、解析几何、立体几何等相关的知识体系中，并且，在研究这些数学问题的时候得到了非常广泛的应用。
2、相关理论知识介绍2.1 向量的概念在中学数学的学习中，向量是一个非常重要的知识点，只要把向量的相关理论知识及应用掌握透彻了，便可以灵活的应用向量法在中学几何中进行解题或者在代数中进行应用。
在进行向量法的基本应用之前，我们需要先了解向量的基本理论知识，那么，什么是向量？我们把既有大小又有方向的量称之为向量。
我们把具有方向的线段称之为有向的线段，比如，以A 作为起点，B 作为终点的有向线段，可以把它记为。
另外，对于有向线段AB 的长度，则把它称为向量的模，故把其记为∣∣。
通过上述介绍可以很明确的知道向量的三要素为：起点、方向以及长度。
我们把两个方向相反或者方向相同的非零向量称之为平行向量，如向量a 、b 平行，可以把它记为a →//b →。
把长度相等并且方向也相同的向量称之为相等向量。
对于任何一组平行向量来讲，都可以把它移动到同一条直线上面，因此，也可以把平行向量叫做共线向量。
对于长度为0的向量，把它称之为零向量，记为0。
零向量具有很多特点，如它与任何向量都是垂直的，它的方向也是任意的，与任意向量也都是平行的。
把长度等于1个单位长度的向量称之为单位向量。
2.2 向量的运算 2.2.1 减法运算假设向量a →、b →，并且在平面内任意取一点O ，作=a →，=b →，那么，=a →-b →，即a →-b →可以表示为向量b →的终点指向向量a →的终点的向量。
对于这种求差的方法，我们把它称之为向量减法的三角形法则。
对向量减法来讲，它的实质就是加法的一种逆运算。
2.2.2 数乘运算对于实数与向量a →来讲，它们的积是一个向量，因此，我们把这种运算叫做向量的数乘，把它记为，对于∣∣=∣∣∣a →∣而言，如果<0，则的方向与a →的方向是相反的；如果＞0，则的方向与a →的方向是相同的；如果=0，则=0. 设定、μ为实数，那么，实数与向量的积有：1）()a b a b λλλ→→→→+=+2）()a a b λμλμ→→→+=+3）()()a a λμλμ→→=2.2.3 向量的数量积已知，两个非零向量a →、b →，它们之间的夹角为θ，那么，它的数量积定义表达式为cos ,a b a b a b →→→→→→⋅=〈〉，当,2a b π→→〈〉=时，称向量a → 与b →互相垂直，记作a →⊥b →． 零向量与任意向量的数量积都是为0的。
2.2.4 加法运算已知，向量a →、b →，在空间平面之内任意取一个点A ，做=b →，=a →，故向量被称之为向量a →与向量b →的和，把它记为a →+b →，即+=，故把这种求和的方法叫做向量加法的三角形法则。
向量加法的运算规律为：a b b a →→→→+=+；()()a b c a b c →→→→→→++=++。
2.2.5 向量的平移公式如果点(,)P x y 按照向量(,)a h k →=平移至(,)P x y '''，则⎩⎨⎧+=+=k y y h x x ''，则分别称(,)x y ，(,)x y ''为旧、新坐标，a →为平移法则．2.2.6 线段定比分点公式如下图2-1所示，设→--→--=21PP P P λ,则定比分点向量式：→--→--→--+++=21111OP OP OP λλλ； 定比分点坐标式：设111222(,),(,),(,)P x y P x y P x y ， 则 1212,11x x y y x y λλλλ++==++．图2-1 线段定比分点图形2.3 向量的基本定理2.3.1 空间向量的基本定理对于空间向量来讲，它的基本定理为：假设三个向量,,a b c →→→不共面，那么，对于空间里面的任一向量p →，它是存在一个唯一的有序实数组,,x y z , 使p x a y b z c →→→→=++．2.3.2 平面向量的基本定理 假设a →、b →是同一个平面之内的两个不共线的向量，那么，对于该平面之内的任何一个向量p →，则有且只有一对实数λ、μ，从而使得p →=λa →+μb →。