中考专题几何探究题(图形变换)

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中考数学几何图形的变换历年真题解析

中考数学几何图形的变换历年真题解析几何图形的变换是中考数学中的重要内容，涉及平移、旋转、翻转等多种变换方式。

通过对历年真题的解析，我们可以更好地理解和掌握这些变换的方法和应用。

下面将对数学中考几何图形的变换部分进行详细解析。

一、平移变换平移变换是指将一个图形在平面上沿着一定方向移动一定的距离，保持图形形状和大小不变。

在中考中，常常要求计算平移后的图形坐标或者确定平移向量的特征等。

例题1：已知点A(3,4)，将点A沿向量(2,-3)平移，记平移后的点为B。

求点B的坐标。

解析：根据平移的定义和向量的性质，我们知道平移后点的坐标等于原来点的坐标加上平移向量的坐标。

所以，点B的坐标为(3+2, 4-3)，即B(5,1)。

例题2：如图，平行四边形ABCD经过平移变换得到新的平行四边形A'B'C'D'，其中AB=3cm，CB=4cm，平移向量为v，求平移向量v的坐标。

解析：首先，我们可以利用平行四边形的性质推导出平移向量v的坐标与平行四边形的对应边的向量相等。

由于AB在变换前和变换后分别与A'B'、B'C'平行，所以v的坐标等于AB的坐标，即v=(3, 0)。

二、旋转变换旋转变换是指将一个图形绕着一定的旋转中心按一定的角度旋转。

在中考中，常常要求计算旋转后的图形坐标或者确定旋转角度的特征等。

例题3：如图，A、B、C三点在平面内，点A经过逆时针旋转90°得到点B，点B经过逆时针旋转90°得到点C，求点C的坐标。

解析：根据旋转的性质，我们可以得出旋转90°后，点的坐标分别等于原来点的y坐标、-x坐标。

所以，点C的坐标为(-2, 3)。

例题4：如图，正方形ABCD绕顶点A顺时针旋转90°得到新图形，求旋转后点C的坐标。

解析：根据旋转的性质，我们可以将旋转90°看作将原点逆时针旋转90°。

因此，旋转后点C的坐标为(-1, 1)。

2023年九年级数学中考复习几何图形变换综合压轴题专题训练(含答案)

2023年春九年级数学中考复习《几何图形变换综合压轴题》专题训练（附答案）1．如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，直线AE，BD交于点F．（1）如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，∠AFB的度数为，线段AE与BD的数量关系为．（2）如图2，当△ECD绕点C顺时针旋转α（0°≤α＜360°）时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由；若成立，请就图2给予证明．（3）若AC＝4，CD＝3，当△ECD绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出BD长的取值范围．2．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E两点分别在AC、BC上，且DE∥AB，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现：当α＝0°时，的值为；（2）拓展探究：当0°≤α＜360°时，若△EDC旋转到如图2的情况时，求出的值；（3）问题解决：当△EDC旋转至A、B、E三点共线时，若CE＝5，AC＝4，直接写出线段AD的长．3．已知：如图1，线段AD＝5，点B从点A出发沿射线AD方向运动，以AB为底作等腰△ABC，使得AC＝BC＝AB．（1）如图2，当AB＝10时，求证：CD⊥AB；（2）当△BCD是以BC为腰的等腰三角形时，求BC的长；（3）当AB＞5时，在线段BC上是否存在点E，使得△BDE与△ACD全等，若存在，求出BC的长；若不存在，请说明理由；（4）作点A关于直线CD的对称点A′，连接CA′当CA′∥AB时，CA′＝（请直接写出答案）．4．如图1，在△ABC中，AE⊥BC于点E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD．（1）试判断BD与AC的位置关系是：；数量关系是：；（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；（3）如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．①试猜想BD与AC的数量关系为：；②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由．5．如图，平面直角坐标系中O为原点，Rt△ABC的直角顶点A在y轴正半轴上，斜边BC 在x轴上，已知B、C两点关于y轴对称，且C（﹣8，0）．（1）请直接写出A、B两点坐标；（2）动点P在线段AB上，横坐标为t，连接OP，请用含t的式子表示△POB的面积；（3）在（2）的条件下，当△POB的面积为24时，延长OP到Q，使得PQ＝OP，在第一象限内是否存在点D，使得△OQD是等腰直角三角形，如果存在，求出D点坐标；如果不存在，请说明理由．6．如图1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D在AB边的延长线上，且CD ＝AB．（Ⅰ）求BD的长度；（Ⅱ）如图2，将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'．①若α＝30°，A'D'与CD相交于点E，求DE的长度；②连接A'D、BD'，若旋转过程中A'D＝BD'时，求满足条件的α的度数．（Ⅲ）如图3，将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'，若点M 为AC的中点，点N为线段A'D'上任意一点，直接写出旋转过程中线段MN长度的取值范围．7．如图①，将两个等腰直角三角形纸片OAB和OCD放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（0，+1），点B（+1，0），点C（0，1），点D（1，0）．（Ⅰ）求证：AC＝BD；（Ⅱ）如图②，现将△OCD绕点O顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），连接AC，BD，这一过程中AC和BD是否仍然保持相等？说明理由；当旋转角α的度数为时，AC所在直线能够垂直平分BD；（Ⅲ）在（Ⅱ）的情况下，将旋转角α的范围扩大为0°＜α＜360°，那么在旋转过程中，求△BAD的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数．（直接写出结果即可）8．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，过点A作直线l平行于BC，点D是直线l上一动点，连接CD，射线DC绕点D顺时针旋转α交直线AB于点E．（1）如图1，若α＝60°，当点E在线段AB上时，请直接写出线段AC，AD，AE之间的数量关系，不用证明；（2）如图2，若α＝60°，当点E在线段BA的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明．（3）如图3，若α＝90°，BC＝6，AD＝，请直接写出AE的长．9．有一根直尺短边长4cm，长边长10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长为16cm，如图甲，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D 与点A重合．将直尺沿射线AB方向平移，如图乙，设平移的长度为xcm，且满足0≤x ≤12，直尺和三角形纸板重叠部分的面积为Scm2．（1）当x＝0cm时，S＝；当x＝12cm时，S＝．（2）当0＜x＜8（如图乙、图丙），请用含x的代数式表示S．（3）是否存在一个位置，使重叠部分面积为28cm2？若存在求出此时x的值．10．如图①，C为线段BD上的一点，BC≠CD，分别以BC，BD为边在BD的上方作等边△ABC和等边△CDE，连接AE，F，G，H分别是BC，AE，CD的中点，连接FG，GH，FH．（1）△FGH的形状是；（2）将图①中的△CDE绕点C顺时针旋转，其他条件不变，（1）的结论是否成立？结合图②说明理由；（3）若BC＝2，CD＝4，将△CDE绕点C旋转一周，当A，E，D三点共线时，直接写出△FGH的周长．11．已知，射线AB∥CD，P是直线AC右侧一动点，连接AP，CP，E是射线AB上一动点，过点E的直线分别与AP，CP交于点M，N，与射线CD交于点F，设∠BAP＝∠1，∠DCP＝∠2．（1）如图1，当点P在AB，CD之间时，求证：∠P＝∠1+∠2；（2）如图2，在（1）的条件下，作△PMN关于直线EF对称的△P'MN，求证：∠3+∠4＝2（∠1+∠2）；（3）如图3，当点P在AB上方时，作△PMN关于直线EF对称的△P'MN，（1）（2）的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出∠P，∠1，∠2之间数量关系，以及∠3，∠4与∠1，∠2之间数量关系．12．（1）如图1，平面直角坐标系中A（0，a），B（a，0）（a＞0）．C为线段AB的中点，CD⊥x轴于D，若△AOB的面积为2，则△CDB的面积为．（2）如图2，△AOB为等腰直角三角形，O为直角顶点，点E为线段OB上一点，且OB＝3OE，C与E关于原点对称，线段AB交x轴于点D，连CD，若CD⊥AE，试求的值．（3）如图3，点C、E在x轴上，B在y轴上，OB＝OC，△BDE是以B为直角顶点的等腰直角三角形，直线CB、ED交于点A，CD交y轴于点F，试探究：是否为定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是，请求出其取值范围．13．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．（1）如图1，点P，Q在线段BC上，AP＝AQ，∠BAP＝15°，求∠AQB的度数；（2）点P，Q在线段BC上（不与点B，C重合），AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．①依题意将图2补全；②用等式表示线段BP，AP，PC之间的数量关系，并证明．14．【问题背景】如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上的一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°至AE，连接CE，求证：△ABD≌△ACE；【尝试应用】如图2，在图1的条件下，延长DE，AC交于点G，BF⊥AB交DE于点F，求证：FG＝AE；【拓展创新】如图3，A是△BDC内一点，∠ABC＝∠ADB＝45°，∠BAC＝90°，BD ＝，直接写出△BDC的面积为．15．在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b）分别是x轴负半轴和y轴正半轴上一点，点C与点A关于y轴对称，点P是x轴正半轴上C点右侧一动点．（1）当2a2+4ab+4b2+2a+1＝0时，求A，B的坐标；（2）当a+b＝0时，①如图1，若D与P关于y轴对称，PE⊥DB并交DB延长线于E，交AB的延长线于F，求证：PB＝PF；②如图2，把射线BP绕点B顺时针旋转45o，交x轴于点Q，当CP＝AQ时，求∠APB的大小．16．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，左右作平行移动的等边三角形DEF的两个顶点E、F始终在边BC上，DE、DF分别与AB相交于点G、H．（1）如图1，当点F与点C重合时，点D恰好在斜边AB上，求△DEF的周长；（2）如图2，在△DEF作平行移动的过程中，图中是否存在与线段CF始终相等的线段？如果存在，请指出这条线段，并加以证明；如果不存在，请说明理由；（3）假设C点与F点的距离为x，△DEF与△ABC的重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出定义域．17．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝2，点D为边AC的中点（如图），点P、Q 分别是射线BC、BA上的动点，且BQ＝BP，联结PQ、QD、DP．（1）求证：PQ⊥AB；（2）如果点P在线段BC上，当△PQD是直角三角形时，求BP的长；（3）将△PQD沿直线QP翻折，点D的对应点为点D'，如果点D'位于△ABC内，请直接写出BP的取值范围．18．定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM＝2，MN＝3，求BN的长．（2）如图2，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点M，N为边AB上两点满足∠MCN＝45°，求证：点M，N是线段AB的勾股分割点；阳阳同学在解决第（2）小题时遇到了困难，陈老师对阳阳说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把△CBN绕点C逆时针旋转90°试一试．请根据陈老师的提示完成第（2）小题的证明过程．19．问题背景如图（1），△ABD，△AEC都是等边三角形，△ACD可以由△AEB通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小．尝试应用如图（2），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边，作等边△ACD和等边△ABE，连接ED，并延长交BC于点F，连接BD．若BD⊥BC，求的值．拓展创新如图（3），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，连接PB，直接写出PB的最大值．20．【教材呈现】如图是苏科版九年级下册数学教材第92页的第17题．一块直角三角形木板，它的一条直角边AC长为1.5m，面积为1.5m2．甲乙两人分别按图1、图2把它加工成一个正方形的桌面，请说明哪个正方形的面积较大．【解决问题】（1）记图1、图2中的正方形面积分别为S1，S2，则S1S2．（填“＞”、“＜”或“＝”）．【问题变式】若木板形状是锐角三角形A1B1C1．某数学兴趣小组继续思考：按图3、图4、图5三种方式加工，分别记所得的正方形面积为S3、S4、S5，哪一个正方形的面积最大呢？（2）若木板的面积S仍为1.5m2．小明：记图3中的正方形为“沿B1C1边的内接正方形”，图4中的正方形为“沿A1C1边的内接正方形”，依此类推．以图3为例，求“沿B1C1边的内接正方形DEFG”的面积．设EF ＝x ，B 1C 1＝a ，B 1C 1边上的高A 1H ＝h ，则S ＝ah ．由“相似三角形对应高的比等于相似比”易得x ＝；同理可得图4、图5中正方形边长，再比较大小即可．小红：若要内接正方形面积最大，则x 最大即可；小莉：同一块木板，面积相同，即S 为定值，本题中S ＝1.5，因此，只需要a +h 最小即可．我们可以借鉴以前研究函数的经验，令y ＝a +h ＝a +＝a +（a ＞0）．下面来探索函数y ＝a +（a ＞0）的图象和性质．①根据如表，画出函数的图象：（如图6）a… 1 2 3 4 … y … 12 9 6 4 3 3 4 4…②观察图象，发现该函数有最小值，此时a 的取值；A ．等于2；B ．在1～之间；C ．在～之间；D ．在～2之间．（3）若在△A 1B 1C 1中（如图7），A 1B 1＝5，A 1C 1＝，高A 1H ＝4．①结合你的发现，得到S 3、S 4、S 5的大小关系是（用“＜”连接）． ②小明不小心打翻了墨水瓶，已画出最大面积的内接正方形的△A 1B 1C 1原图遭到了污损，请用直尺和圆规帮他复原△A 1B 1C 1．（保留作图痕迹，不写作法）参考答案1．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°，∵△ECD是等边三角形，∴CE＝CD，∠DCE＝60°，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，在△ABF中，∠AFB＝180°﹣（∠BAF+∠ABF）＝180°﹣（∠BAF+∠CBF+∠ABC）＝180°﹣（∠BAC+∠ABC）＝180°﹣（60°+60°）＝60°，∴∠AFB＝60°，故答案为：∠AFB＝60°，AE＝BD；（2）（1）中结论仍成立，证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°，∵△ECD是等边三角形，∴CE＝CD，∠DCE＝60°，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，∵∠AFB+∠CBD＝∠ACB+∠CAE，∴∠AFB＝∠ACB，∵∠ACB＝60°，∴∠AFB＝60°；（3）在△BCD中，BC+CD＞BD，BC﹣CD＜BD，∴点D在BC的延长线上时，BD最大，最大为4+3＝7，当点D在线段BC上时，BD最小，最小为4﹣3＝1，∴1≤BD≤7，即BD长的取值范围为1≤BD≤7．2．解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∠B＝45°，∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠B＝45°，∠CDE＝∠A＝90°，∴△DEC为等腰直角三角形，∴cos∠C＝＝，∵DE∥AB，∴＝＝，故答案为：；（2）由（1）知，△BAC和△CDE均为等腰直角三角形，∴＝＝，又∠BCE＝∠ACD＝α，∴△BCE∽△ACD，∴＝＝，即＝；（3）①如图3﹣1，当点E在线段BA的延长线上时，∵∠BAC＝90°，∴∠CAE＝90°，∴AE＝＝＝3，∴BE＝BA+AE＝4+3＝7；由（2）知，＝．故AD＝．②如图3﹣2，当点E在线段BA上时，AE＝＝＝3，∴BE＝BA﹣AE＝4﹣3＝1，由（2）知，＝．故AD＝．综上所述，AD的长为或，故答案为：或．3．解：（1）如图2中，∵AB＝10，AD＝5，∴AD＝DB，∵CA＝CB，AD＝DB，∴CD⊥AB．（2）如图1中，当AB＜AD时，BC＝BD．设AB＝10k，则AC＝BC＝6k，∵AD＝5，∴10k+6k＝5，∴k＝，∴BC＝6k＝．如图1﹣1中，当AB＞AD时，BC＝BD，同法可得10k﹣6k＝5，解得k＝，∴BC＝6k＝，综上所述，BC的值为或．（3）如图3﹣1中，当△ADC≌△BED时，BD＝AC＝BC，由（2）可知，BC＝．如图3﹣2中，当△ADC≌△BCE时，点E与C重合，此时AB＝10k＝10，∴k＝1，BC＝6k＝6．综上所述，BC的值为或6．（4）如图3中，当CA′∥AB时，∵CA′∥AB，∴∠ADC＝∠A′CD，由翻折可知，∠A′CD＝∠ACD，∴∠ACD＝∠ADC，∴AC＝AD＝5，∴CA′＝CA＝5．故答案为5．4．解：（1）结论：BD＝AC，BD⊥AC．理由：延长BD交AC于F．∵AE⊥CB，∴∠AEC＝∠BED＝90°．在△AEC和△BED中，，∴△AEC≌△BED（SAS），∴AC＝BD，∠CAE＝∠EBD，∵∠AEC＝90°，∴∠ACB+∠CAE＝90°，∴∠CBF+∠ACB＝90°，∴∠BFC＝90°，∴AC⊥BD，故答案为：BD⊥AC，BD＝AC．（2）如图2中，不发生变化，设DE与AC交于点O，BD与AC交于点F．理由是：∵∠BEA＝∠DEC＝90°，∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中，，∴△BED≌△AEC（SAS），∴BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，∵∠DEC＝90°，∴∠ACE+∠EOC＝90°，∵∠EOC＝∠DOF，∴∠BDE+∠DOF＝90°，∴∠DFO＝180°﹣90°＝90°，∴BD⊥AC；（3）①如图3中，结论：BD＝AC，理由是：∵△ABE和△DEC是等边三角形，∴AE＝BE，DE＝EC，∠BEA＝∠DEC＝60°，∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中，，∴△BED≌△AEC（SAS），∴BD＝AC，故答案为：BD＝AC．②能；设BD与AC交于点F，由①知，△BED≌△AEC，∴∠BDE＝∠ACE，∴∠DFC＝180°﹣（∠BDE+∠EDC+∠DCF）＝180°﹣（∠ACE+∠EDC+∠DCF）＝180°﹣（60°+60°）＝60°，即BD与AC的夹角中的锐角的度数为60°．5．解：（1）∵B、C两点关于y轴对称，且C（﹣8，0），∴点B（8，0），BO＝CO，又∵AO⊥BC，∴AC＝AB，∵∠CAB＝90°，AC＝AB，CO＝BO，∴AO＝CO＝BO＝8，∴点A（0，8）；（2）如图1，过点P作PM⊥OB于M，∵点P的横坐标为t，∴OM＝t，∴MB＝8﹣t，∵∠CAB＝90°，AC＝AB，∴∠ABO＝45°，∴∠BPM＝∠ABO＝45°，∴PM＝MB＝8﹣t，∴S△POB＝×OB×PM＝×8×（8﹣t）＝32﹣4t；（3）∵△POB的面积为24，∴32﹣4t＝24，∴t＝2，∴点P（2，6），如图2，当点Q为直角顶点时，过点Q作HG⊥y轴，过点D作DG⊥HG于点G，∵PQ＝OP，点P（2，6），∴点Q（4，12），∵∠OQD＝90°＝∠OHQ＝∠QGD，∴∠OQH+∠DQG＝90°＝∠OQH+∠HOQ，∴∠HOQ＝∠GQD，又∵OQ＝QD，∴△OHQ≌△QGD（AAS），∴OH＝QG＝12，HQ＝GD＝4，∴HG＝16，∴点D（16，8）；当点D为直角顶点时，过点Q作HG⊥y轴，过点D作DG⊥HG于点G，过点D作DN ⊥y轴于N，同理可求△QDG≌△ODN，∴ON＝QG，DN＝DG，∵DN＝QG+HQ＝4+QG，DG＝HN＝12﹣ON，∴ON＝QG＝4，DN＝DG＝8，∴点D（8，4），综上所述：点D（16，8）或（8，4）．6．解：（Ⅰ）如图1，过点C作CH⊥AB于H，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，CH⊥AB，∴AB＝CD＝6，CH＝BH＝AB＝3，∠CAB＝∠CBA＝45°，∴DH＝＝＝3，∴BD＝DH﹣BH＝3﹣3；（Ⅱ）①如图2，过点E作EF⊥CD'于F，∵将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A′CD′，∴CD＝CD'＝6，∠DCD'＝30°＝∠CDA＝∠CD'A'，∴CE＝D'E，又∵EF⊥CD'，∴CF＝D'F＝3，EF＝，CE＝2EF＝2，∴DE＝DC﹣CE＝6﹣2；②如图2﹣1，∵∠ABC＝45°，∠ADC＝30°，∴∠BCD＝15°，∴∠ACD＝105°，∵将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A′CD′，∴AC＝A'C，CD＝CD'，∠ACA'＝∠DCD'＝α，∴CB＝CA'，又∵A′D＝BD′，∴△A'CD≌△BCD'（SSS），∴∠A'CD＝∠BCD'，∴105°﹣α＝15°+α，∴α＝45°；如图2﹣2，同理可证：△A'CD≌△BCD'，∴∠A'CD＝∠BCD'，∴α﹣105°＝360°﹣α﹣15°，∴α＝225°，综上所述：满足条件的α的度数为45°或225°；（Ⅲ）如图3，当A'D'⊥AC时，N是AC与A'D'的交点时，MN的长度最小，∵∠A'＝45°，A'D'⊥AC，∴∠A'＝∠NCA'＝45°，∴CN＝A'N＝3，∵点M为AC的中点，∴CM＝AC＝3，∴MN的最小值＝NC﹣CM＝3﹣3；如图4，当点A，点C，点D'共线，且点N与点D'重合时，MN有最大值，此时MN＝CM+CN＝6+3，∴线段MN的取值范围是3﹣3≤MN≤6+3．7．解：（Ⅰ）∵点A（0，+1），点B（+1，0），点C（0，1），点D（1，0），∴OA＝+1，OB＝+1，OC＝1，OD＝1，∴AC＝OA﹣OC＝+1﹣1＝，BD＝+1﹣1＝，∴AC＝BD；（Ⅱ）由题意知，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠COB＝90°﹣∠COB，∠BOD＝∠COD﹣∠COB＝90°﹣∠COB，∴∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD，∠OAC＝∠OBD，如图1（注：点C在x轴上，为了不要出现误解，点C没画在x轴上），延长AC交BD 于D，连接BC，在Rt△AOB中，OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∴∠CAB+∠ABD＝∠OAB﹣∠OAC+∠ABO+∠BOD＝∠OAB+∠OBA＝90°，∴AC⊥BD，∵AC垂直平分BD，∴CD＝BC，设点C的坐标为（m，n），∴m2+n2＝1①，由旋转知，CD＝＝，∵B（+1，0），[m﹣（+1）]2+n2＝2②，联立①②解得，m＝1，n＝0，∴点C在x轴上，∴旋转角为∠AOC＝90°，故答案为：90°；（Ⅲ）如图2，∵OA＝OB＝+1，∴AB＝OA＝2+，过点O作OH⊥AB于H，∴S△AOB＝OA•OB＝AB•OH，∴OH＝＝＝＝，过点D作DG⊥AB于G，S△ABD＝AB•DG＝（2+）DG，要使△ABD的面积最大，则DG最大，由旋转知，点D是以O为圆心，1为半径的圆上，∴点D在HO的延长线上时，DG最大，即DG的最大值为D'H＝OD'+OH＝1+＝，∴S△ABD最大＝AB•D'H＝（2+）×＝，在Rt△AOB中，OA＝OB，OH⊥AB，∴∠BOH＝45°，∴旋转角∠BOD'＝180°﹣45°＝135°．8．解：（1）AC＝AE+AD．证明：连接CE，∵线段DC绕点D顺时针旋转α交直线AB于点E，α＝60°，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴CB＝CA＝AB，∠ACB＝60°，∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠ACB＝60°，∵∠FDC＝∠EAF＝60°，∠AFE＝∠DFC，∴△AFE∽△DFC，∴，∴，∵∠AFD＝∠EFC，∴△AFD∽△EFC，∴∠DAF＝∠FEC＝60°，∴△DEC是等边三角形，∴CD＝CE，∠ECD＝60°，∴∠BCE＝∠ACD，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD，∴AB＝AE+BE＝AE+AD，∴AC＝AE+AD；（2）不成立，AD＝AC+AE．理由如下：在AC的延长线上取点F，使AF＝AD，连接DF，当α＝60°时，∠BAC＝∠EDC＝60°，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC∠BCA＝60°，∵l∥BC，∴∠DAC＝∠BCA＝60°，∠EAD＝∠ABC＝60°，∵AF＝AD，∴∠ADF＝∠AFD＝60°，AD＝FD＝AF，∴∠EDC＝∠ADF＝60°，∴∠EDC﹣∠ADC＝∠ADF﹣∠ADC，即∠EDA＝∠CDF，∵AD＝FD，∠EAD＝∠AFD＝60°，∴△EAD≌△CFD（ASA），∴AE＝CF，∴AD＝AF＝AC+CF＝AC+AE；（3）AE的长为或．当点E在线段AB上，过点D作直线l的垂线，交AC于点F，如图3所示．∵△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，∴∠ACB＝∠B＝45°．∵直线l∥BC，∴∠DAF＝∠ACB＝45°．∵FD⊥直线l，∴∠DAF＝∠DF A＝45°．∴AD＝FD．∵∠EDC＝∠ADF＝90°，∴∠ADE＝∠FDC．由（1）可知DC＝DE，∴△ADE≌△FDC（SAS），∴AE＝CF．∵AD＝，∴AF＝2，∵BC＝6，∴AC＝AB＝3，∴AE＝AC﹣AF＝3﹣2．当点E在线段AB的延长线上时，如图4所示．过点D作直线l的垂线，交AB于点M，同理可证得△ADC≌△MDE（SAS），∴AC＝EM＝3，∵AD＝，∴AM＝2，∴EM+AM＝3+2．综合以上可得AE的长为3+2或3﹣2．9．解：（1）当x＝0cm时，S＝4×4÷2＝8cm2；当x＝12cm时，S＝4×4÷2＝8cm2．故答案为：8cm2；8cm2．（2）①当0＜x＜4时，∵△CAB为等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°，∴△ADG和△AEF都是等腰直角三角形，∴AD＝DG＝x，AE＝EF＝x+4，∴梯形GDEF的面积＝×（GD+EF）×DE＝×（x+x+4）×4＝4x+8．②如图所示：过点C作CM⊥AB于点M．当4＜x＜8时，梯形GDMC的面积＝（GD+CM）×DM＝（x+8）（8﹣x）＝﹣x2+32，梯形CMEF的面积＝（EF+CM）×ME＝[16﹣（x+4）+8][（x+4）﹣8]＝（20﹣x）（x﹣4）＝﹣x2+12x﹣40，S＝梯形GDMC的面积+梯形CMEF的面积＝（﹣x2+32）+（﹣x2+12x﹣40）＝﹣x2+12x ﹣8．综合以上可得，S＝．（3）当0＜x＜4时s最大值小于24，当x＝4时，S＝24cm2，所以当S＝28cm2时，x必然大于4，即﹣x2+12x﹣8＝28，解得x1＝x2＝6，当x＝6cm时，阴影部分面积为28cm2．当8＜≤12时，由对称性可知s的最大值也是小于24，不合题意舍去．∴当x＝6cm时，阴影部分面积为28cm2．10．解：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴∠B＝∠DCE＝60°，AB＝BC，CE＝CD，∴CE∥AB，∵BC≠CD，∴CE≠AB，∴四边形ABCE是梯形，∵点F，G分别是BC，AE的中点，∴FG是梯形ABCE的中位线，∴FG∥AB，∴∠GFC＝60°，同理：∠GHB＝60°，∴∠FGH＝180°﹣∠GFC﹣∠GHB＝60°＝∠GFC＝∠GHB，∴△FGH是等边三角形，故答案为：等边三角形；（2）成立，理由如下：如图1，取AC的中点P，连接PF，PG，∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AB＝BC，CE＝CD，∠BAC＝∠ACB＝∠ECD＝∠B＝60°，又F，G，H分别是BC，AE，CD的中点，∴FP＝AB，FC＝BC，CH＝CD，PG＝CE，PG∥CE，PF∥AB，∴FP＝FC，PG＝CH，∠GPC+∠PCE＝180°，∠FPC＝∠BAC＝60°，∠PFC＝∠B＝60°，∴∠FPG＝∠FPC+∠GPC＝60°+∠GPC，∠GPC＝180°﹣∠PCE，∴∠FCH＝360°﹣∠ACB﹣∠ECD﹣∠PCE＝360°﹣60°﹣60°﹣（180°﹣∠GPC）＝60°+∠GPC，∴∠FPG＝∠FCH，∴△FPG≌△FCH（SAS），∴FG＝FH，∠PFG＝∠CFH，∴∠GFH＝∠GFC+∠CFH＝∠GFC+∠PFG＝∠PFC＝60°，∴△FGH为等边三角形；（3）①当点D在AE上时，如图2，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，AC＝BC＝2，∵△CDE是等边三角形，∴∠CED＝∠CDE＝60°，CE＝CD＝DE＝4，过点C作CM⊥AE于M，∴DM＝EM＝DE＝2，在Rt△CME中，根据勾股定理得，CM＝＝＝2，在Rt△AMC中，根据勾股定理得，AM＝＝＝4，∴AD＝AM﹣DM＝4﹣2＝2，∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，连接BE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE＝AD＝2，∠ADC＝∠BEC，∵∠ADC＝180°﹣∠CDE＝120°，∴∠BEC＝120°，∴∠BEA＝∠BEC﹣∠CED＝60°，过点B作BN⊥AE于N，∴∠BNE＝90°，在Rt△BNE中，∠EBN＝90°﹣∠BEA＝30°，∴EN＝BE＝1，∴BN＝EN＝，DN＝DE﹣EN＝3，连接BD，根据勾股定理得，BD＝＝＝2，∵点H是CD的中点，点F是BC的中点，∴FH是△BCD的中位线，∴FH＝BD＝，由（2）知，△FGH是等边三角形，∴△FGH的周长为3FH＝3，②当点D在AE的延长线上时，如图3，同①的方法得，FH＝，∴△FGH的周长为3FH＝3，即满足条件的△FGH的周长为3或3．11．（1）证明：如图1中，过点P作PT∥AB．∵AB∥CD，AB∥PT，∴AB∥PT∥CD，∴∠1＝∠APT，∠2＝∠CPT，∴∠APC＝∠APT+∠CPT＝∠1+∠2．（2）证明：如图2中，连接PP′．∵∠3＝∠MPP′+∠MP′P，∠4＝∠NPP′+∠NP′P，∠APC＝∠MP′N，∴∠3+∠4＝2∠APC，∵∠APC＝∠1+∠2，∴∠3+∠4＝2（∠1+∠2）．（3）结论不成立．结论是：∠P＝∠2﹣∠1，∠4﹣∠3＝2（∠2﹣∠1）．理由：如图3中，设PC交AB于E，AP交NP′于F．∵AB∥CD，∴∠PEB＝∠2，∵∠PEB＝∠1+∠P，∴∠2＝∠P+∠1，∴∠P＝∠2﹣∠1．∵∠4＝∠P+∠PFN，∠PFN＝∠3+∠P′，∠P＝∠P′，∴∠4＝∠P+∠3+∠P，∴∠4﹣∠3＝2∠P＝2（∠2﹣∠1），∴∠4﹣∠3＝2（∠2﹣∠1）．12．解：（1）∵A（0，a），B（a，0）（a＞0），∴OA＝a，OB＝a，∵△AOB的面积为2，∴S△AOB＝×a×a＝2，∴a＝2（负值舍去），∴A（0，2），B（2，0），∵C为线段AB的中点，∴C（1，1），∴OD＝BD＝CD＝1，∴S△CDB＝×1×1＝．故答案为：．（2）连AC，过点D作DM⊥BC于M，∵△AOB是等腰直角三角形，∴AO⊥BO，AO＝BO，∠B＝∠OAB＝45°，又CO＝EO，∴AO是CE的垂直平分线，∴AE＝AC，不妨设AE、CD交于F，AO、CD交于G，∴∠CGA＝∠OAE+∠AFC＝∠OCD+∠COA，∵∠AFC＝∠COA＝90°，∴∠OAE＝∠OCD＝∠OAC，又∵∠CAD＝∠CAO+∠OAB＝∠OCD+∠B＝∠CDA，∴CD＝CA＝EA，∴△AOE≌△CMD（AAS），∴OE＝DM，∴＝＝＝3，∴＝2；（3）＝2，理由如下：作点C关于y轴的对称点N，连接BN，作DM∥BC交y轴于M，∵OB＝OC＝ON，∠BON＝90°，∴△BON等腰直角三角形，∴∠BNO＝∠BMD＝45°，∴∠MBD＝∠OBE+∠DBE＝∠OBE+∠BOE＝∠BEN，又∵BD＝BE，∴△BMD≌△ENB（AAS），∴EN＝BM，BN＝DM＝BC，又∵∠BFC＝∠DFM，∠BCF＝∠FDM，∴△BCF≌△MDF（AAS），∴BF＝MF，∴CO﹣EO＝NO﹣EO＝NE＝BM＝2BF，即＝2．13．解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵∠APQ是△ABC的一个外角，∴∠APQ＝∠B+∠BAP，∵∠BAP＝15°，∴∠APQ＝60°，∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQB＝60°．（2）①图形如图2所示．②解：结论：PC2+BP2＝2AP2．理由：连接MC．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQP，∴∠BAP＝∠CAQ，∴△ABP≌△ACQ（SAS），∴BP＝CQ，∵点Q关于直线AC的对称点为M，∴AQ＝AM，CQ＝CM，∠CAM＝∠CAQ，∠ACM＝∠ACQ＝45°，∴AP＝AM，∠B＝∠ACM＝45°，∠BAP＝∠CAM，BP＝CM，∴∠BAC＝∠P AM＝90°，在Rt△APM中，AP＝AM，∠P AM＝90°，∴PM＝，∵∠ACQ＝∠ACM＝45°，∴∠PCM＝90°，在Rt△PCM中，∠PCM＝90°，∴PC2+CM2＝PM2，∴PC2+BP2＝2AP2．14．【问题背景】证明：如图1，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠DAB＝∠EAC，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）．【尝试应用】证明：如图2，过点D作DK⊥DC交FB的延长线于K．∵DK⊥CD，BF⊥AB，∴∠BDK＝∠ABK＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠DBK＝∠K＝45°，∴DK＝DB，∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE＝135°，DB＝EC＝DK，∴∠ECG＝45°，∵BF⊥AB，CA⊥AB，∴AG∥BF，∴∠G＝∠DFK，在△ECG和△DKF中，，∴△ECG≌△DKF（AAS），∴DF＝EG，∵DE＝AE，∴DF+EF＝AE，∴EG+EF＝AE，即FG＝AE．【拓展创新】解：如图3中，过点A作AE⊥AD交BD于E，连接CE．．∵∠ADB＝45°，∠DAE＝90°，∴△ADE与△ABC都是等腰直角三角形，同法可证△ABD≌△ACE，∴CE＝BD＝2，∵∠AEC＝∠ADB＝45°，∴∠CED＝∠CEB＝90°，∴S△BDC＝•BD•CE＝×2×2＝6．故答案为：6．15．解：（1）∵2a2+4ab+4b2+2a+1＝0，∴（a+2b）2+（a+1）2＝0，∵（a+2b）2≥0 （a+1）2≥0，∴a+2b＝0，a+1＝0，∴a＝﹣1，b＝，∴A（﹣1，0）B（0，）．（2）①证明：如图1中，∵a+b＝0，∴a＝﹣b，∴OA＝OB，又∵∠AOB＝90°，∴∠BAO＝∠ABO＝45°，∵D与P关于y轴对称，∴BD＝BP，∴∠BDP＝∠BPD，设∠BDP＝∠BPD＝α，则∠PBF＝∠BAP+∠BP A＝45°+α，∵PE⊥DB，∴∠BEF＝90°，∴∠F＝90o﹣∠EBF，又∠EBF＝∠ABD＝∠BAO﹣∠BDP＝45°﹣α，∴∠F＝45o+α，∴∠PBF＝∠F，∴PB＝PF．②解：如图2中，过点Q作QF⊥QB交PB于F，过点F作FH⊥x轴于H．可得等腰直角△BQF，∵∠BOQ＝∠BQF＝∠FHQ＝90°，∴∠BQO+∠FQH＝90°，∠FQH+∠QFH＝90°，∴∠BQO＝∠QFH，∵QB＝QF，∴△FQH≌△QBO（AAS），∴HQ＝OB＝OA，∴HO＝AQ＝PC，∴PH＝OC＝OB＝QH，∴FQ＝FP，又∠BFQ＝45°∴∠APB＝22.5°．16．解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，∴AC＝2，∠A＝60°，∵△DEF是等边三角形，∴∠DCE＝60°，∴∠ACD＝30°，∴∠ADC＝90°，∴CD＝AC＝3，∴△DEF的周长＝9；（2）解：结论：CF＝DG．理由：∵BC＝6，EF＝DF＝DE＝3，∴CF+BE＝BC﹣EF＝6﹣3＝3，∵△DEF是等边三角形，∴∠DEF＝60°，∵∠DEF＝∠B+∠EGB，∴∠B＝∠EGB＝∠DGE＝30°，∴EG＝BE，∵EG+DG＝CF+BE＝3，∴CF＝DG；（3）∵S△DEF＝×32＝，S△DGH＝•GH•DH＝•x•x＝x2，y＝S△DFE﹣S△DHG＝﹣x2（0≤x≤3）．17．解：（1）在Rt△ABC中，AC＝2，BC＝2，根据勾股定理得，AB＝＝＝4，∴＝，∵BQ＝BP，∴＝，∴，∵∠QBP＝∠CBA，∴△BPQ∽△BAC，∴∠BQP＝∠ACB＝90°，∴PQ⊥AB；（2）∵点D是AC的中点，∴AD＝CD＝AC＝1，由（1）知，PQ⊥AB，∴∠AQP＝90°，∴∠PQD＜90°，∵△PQD是直角三角形，∴①当∠DPQ＝90°时，如图1，在Rt△ABC中，AC＝2，AB＝4，∴sin∠ABC＝＝，∴∠ABC＝30°，∴∠QPB＝90°﹣∠ABC＝60°，∴∠DPC＝90°﹣∠BPQ＝30°，∴CP＝＝＝，∴BP＝BC﹣CP＝，②当∠PDQ＝90°时，∴∠ADQ+∠PDC＝90°，如图2，过Q作QE⊥AC于E，∴∠DEQ＝90°＝∠ACB，∴∠ADQ+∠DQE＝90°，∴∠DQE＝∠PDC，∴△EQD∽△CDP，∴，∴，设BP＝t，则CP＝BC﹣BP＝2﹣t，在Rt△BQP中，BQ＝BP cos30°＝t，∴AQ＝AB﹣BQ＝4﹣t，在Rt△AEQ中，QE＝AQ cos30°＝（4﹣t）•＝2﹣t，AE＝AQ＝2﹣t，∴DE＝AD﹣AE＝t﹣1，∴，∴t＝或t＝（大于2，舍去）∴BP＝；即BP＝或；（3）；理由：如图3，①当点D'恰好落在边BC上时，由折叠知，PD'＝PD，PQ⊥DD'，由（1）知，PQ⊥AB，∴DD'∥AB，∴∠DD'C＝∠ABC＝30°，∴CD'＝CD＝，设BP＝m，则CP＝BC﹣BP＝2﹣m，∴DP＝D'P＝CD'﹣CP＝m﹣，在Rt△CDP中，根据勾股定理得，DP2＝CP2+CD2，∴（m﹣）2＝（2﹣m）2+1，∴m＝，②当点D'落在D时，即PQ过点D，在Rt△CDP'中，∠P'＝90°﹣∠DD'P'＝30°，∴CP'＝＝＝，∴BP'＝BC+CP'＝，综上：．18．（1）解：当MN最长时，BN＝＝＝；当BN最长时，BN＝＝＝，综合以上可得BN的长为或；（2）证明：如图，把△CBN绕点C逆时针旋转90°，得到△CAN'，连接MN'，∴△AN'C≌△BNC，∴CN'＝CN，∠ACN'＝∠BCN，∠CBN＝∠CAN'，∵∠MCN＝45°，∴∠N'CA+∠ACM＝∠ACM+∠BCN＝45°，∴∠MCN'＝∠BCM，∴△MN'C≌△MNC（SAS），∴MN'＝MN，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠B＝∠CAM＝45°，∴∠CAN'＝45°，∴∠MAN'＝∠CAN'+∠CAM＝45°+45°＝90°，在Rt△MN'A中，AN'2+AM2＝N'M2，∴BN2+AM2＝MN2，∴点M，N是线段AB的勾股分割点．19．问题背景解：∵△ABD，△AEC都是等边三角形，∴∠BAD＝60°，∠CAE＝60°，AD＝AB，AC＝AE，∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE，∴△ACD≌△AEB（SAS），∴△ACD可以由△AEB绕点A顺时针旋转60°得到，即旋转中心是点A，旋转方向是顺时针，旋转角是60°；尝试应用∵△ACD和△ABE都是等边三角形，∴AC＝AD，AB＝AE，∠CAD＝∠BAE＝60°，∴∠CAB＝∠DAE，∴△ADE≌△ACB（SAS），∴∠ADE＝∠ACB＝90°，DE＝CB，∵∠ADE＝90°，∴∠ADF＝90°，∵∠ADC＝∠ACD＝60°，∴∠DCF＝∠CDF＝30°，∴CF＝DF，∵BD⊥BC，∴∠BDF＝30°，∴BF＝DF，设BF＝x，则CF＝DF＝2x，DE＝3x，∴；拓展创新∵∠ACB＝90°，∴点C在以AB为直径的圆上运动，取AB的中点D，连接CD，∴CD＝AB＝1，如图，过点A作AE⊥AB，且使AE＝AD，连接PE，BE，∵将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，∴∠P AC＝90°，P A＝AC，∵∠EAD＝90°，∴∠P AE＝∠CAD，∴△CAD≌△P AE（SAS），∴PE＝CD＝1，∵AB＝2，AE＝AD＝1，∴BE＝＝＝，∴BP≤BE+PE＝+1，当且仅当P、E、B三点共线时取等号，∴BP的最大值为+1．20．解：（1）由AC长为1.5m，△ABC的面积为1.5m2，可得BC＝2m，如图①，设加工桌面的边长为xcm，∵DE∥CB，∴△ADE∽△ACB，∴＝，即＝，解得：x＝；如图②，设加工桌面的边长为ym，过点C作CM⊥AB，分别交DE、AB于点N、M，∵AC＝1.5m，BC＝2m，∴AB＝＝＝2.5（m），∵△ABC的面积为1.5m2，∴CM＝m，∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴＝，即＝，解得：y＝，∴x＞y，即S1＞S2，故答案为：＞．（2）①函数图象如图6所示：②观察图象，发现该函数有最小值，此时a的取值～2之间．故选D．（3）①由（2）可知，S5＜S4＜S3．故答案为：S5＜S4＜S3．②如图7，△A1B1C1即为所求作．。

几何图形变换中考数学压轴题

几何图形变换压轴题中考整理1（黑龙江省哈尔滨市）已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F．（1）如图l，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，求证：FG＋DC＝AD；（2）如图2，若∠ABC＝135°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，则FG、DC、AD之间满足的数量关系是____________________________________；（3）在（2）的条件下，若AG＝25，DC＝3，将一个45°角的顶点与点B重合并绕点B旋转，这个角的两边分别交线段FG于M、N两点（如图3），连接CF，线段CF分别3，求线段PQ的长．与线段BM、线段BN相交于P、Q两点，若NG＝2（湖北省随州市）如图①，已知△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D是BC 的中点．作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG．（1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论．（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．（3）若BC＝DE＝2，在（2）的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值．3、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转．（1）如图13－2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺GEF 旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．3．在△ABC 中，点P 为BC 的中点．（1）如图1，求证：AP ＜21（AB +BC ）；（2）延长AB 到D ，使得BD =AC ，延长AC 到E ，使得CE =AB ，连结DE ．①如图2，连结BE ，若∠BAC =60°，请你探究线段BE 与线段AP 之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明； ②请在图3中证明：BC ≥21DE ．图13－2图13－3图13－1 A( B ( E )4．我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题：（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称；（2）如图1，在ABC △中，AB=AC ，点D 在BC 上，且CD=CA ，点E 、F 分别为BC 、AD 的中点，连接EF 并延长交AB 于点G ．求证：四边形AGEC 是等邻角四边形；（3）如图2，若点D 在ABC △的内部，（2）中的其他条件不变，EF 与CD 交于点H ．图中是否存在等邻角四边形，若存在，指出是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由．图2图1H GF DE CBAGFE DCBA5．（1）已知：如图1，Rt △ABC 中，︒=∠90ACB ，︒=∠60BAC ，CD 平分ACB ∠，点E 为AB 中点，AB PE ⊥交CD 的延长线于P ，猜想：PBC PAC ∠+∠= °（直接写出结论，不需证明）.（2）已知：如图2，Rt △ABC 中，︒=∠90ACB ，︒≠∠45BAC ，CD 平分ACB ∠，点E 为AB 中点，AB PE ⊥交CD 的延长线于P ，（1）中结论是否成立，若成立，请证明；若不成立请说明理由．7．如图1，一张三角形纸片ABC ，∠ACB ＝90︒，AC ＝8，BC ＝6．沿斜边AB 的中线CD把这张纸片剪成1122AC D BC D ∆∆和两个三角形(如图2)．将11AC D ∆沿直线2D B （AB ）方向平移（点12,A D D B ，，始终在同一直线上），当点1D 与点B 重合时停止平移．在平移的过程中，112C D BC 与交于点E ，1AC 与222C D C B 、分别交于点F 、P ．（1）当11AC D ∆平移到如图3所示位置时，猜想12D E D F 与的数量关系，并证明你的猜想；（2）设平移距离21D D 为x ，1122AC D BC D ∆∆和重叠（阴影）部分面积为y ，试求yABCD EPPED CBA与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围． 10. 如图17、18是两个相似比为1：2的等腰直角△DMN 和△ABC ，将这两个三角形如图19放置，△DMN 的斜边MN 与△ABC 的一直角边AC 重合.⑴ 在图19中，绕点D 旋转△DMN ，使两直角边DM 、DN 分别与BC AC 、交于点F E ,，如图20. 求证：222EF BF AE =+；⑵ 在图19中，绕点C 旋转△DMN ，使它的斜边CM 、直角边CD 的延长线分别与AB 交于点F E 、，如图21，此时结论222EF BF AE =+是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.⑶ 如图22，在正方形ABCD 中，F E 、分别是边CD BC 、上的点且满足CEF ∆的周长等于正方形ABCD 的周长的一半，AF AE 、分别与对角线BD 交于点N M 、. 线段BM 、MN 、DN 恰能构成三角形. 请指出线段BM 、MN 、DN 所构成的三角形的形状，并给出证明.11．（1）如图1，BP 为ABC ∆的角平分线，PM AB ⊥于M ，PN BC ⊥于N ，30,23AB BC ==，请补全图形，并求ABP ∆与BPC ∆的面积的比值；（2）如图2，分别以ABC ∆的边AB 、AC 为边向外作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，CD 与BE 相交于点O ，判断AOD ∠与AOE ∠的数量关系，并证明；（3）在四边形ABCD 中，已知BC DC =，且AB AD ≠，对角线AC 平分BAD ∠，请直接写出B ∠和D ∠的数量关系.OABC图1图2PCM EBAD12．如图1，四边形ABCD ，将顶点为A 的角绕着顶点A 顺时针旋转，若角的一条边与DC 的延长线交于点F ，角的另一条边与CB 的延长线交于点E ，连接EF ．（1）若四边形ABCD 为正方形，当∠EAF=45°时，有EF=DF －BE ．请你思考如何证明这个结论（只思考，不必写出证明过程）；（2）如图2，如果在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠ABC=∠ADC=90°，当∠EAF=21∠BAD 时，EF 与DF 、BE 之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式（只需写出结论）；（3）如图3，如果四边形ABCD 中，AB=AD ，∠ABC 与∠ADC 互补，当∠EAF=21∠BAD 时，EF 与DF 、BE 之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式并给予证明．（4）在（3）中，若BC=4，DC=7，CF=2，求△CEF 的周长（直接写出结果即可）．CD 13. （1）如图1，已知矩形ABCD中，点E是BC上的一动点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，CH⊥BD于点H，试证明CH=EF+EG;图1D(2) 若点E在ＢＣ的延长线上，如图2，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC的延长线于点G，CH⊥BD于点H，则EF、EG、ＣH三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；(3) 如图3，BD是正方形ABCD的对角线,L在BD上，且BL=BC, 连结CL，点E是CL上任一点, EF⊥BD于点F，EG⊥BC于点G，猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；(4) 观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有EF、EG、ＣH这样的线段，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论.。

几何探究题

(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的
关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式；
拓展应用
(3)如图4，在□ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的
中点，BE⊥EG，AD=
AB=3.求AF的长.
类型2
几何变换型探究问题
［方法特点］特征与方法：几何变换型探究性问题是以几何知识和具体的几何图形为背景，通过图形的平移、翻折、旋转等把图形的有关性质和图形之间的数量关系、位置关系看作是在变化的、相互依存的状态之中，要求对变换过程中伴随的数量关系和图形的位置关系等进行探究.解决这类问题，要善于发现全等三角形、等边三角形、直角三角形和相似三角形,或添辅助线构造全等三角形、等边三角形、直角三角形和相似三角形，运用全等三角形来证明，运用勾股定理、相似三角形和锐角三角函数来计算.
的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静，灵活运
用有关数学知识解决问题，在动点的运动过程中观察图形的
变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过
程.在变化中找到不变的性质是解决这类问题的基本思路，这
也是动态几何数学问题中最核心的数学本质.
例4 在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化. (1)如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP 与CE的数量关系是 BP=CE ，CE与AD的位置关系是 CE⊥AD ;
变式训练
5.【操作发现】 (1)如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上． ①请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′； ②在①所画图形中，∠AB′B= 45 °.

人教版中考专题数学图形的变换基础演练方阵学生版

演练方阵图形的变换基础平移类型一：图形的平移☞考点说明：平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作图形的平移运动，简称平移．平移是图形变换的一种基本形式，平移不改变图形的形状和大小，平移可以不是水平的．【易】1.下列几个汽车的车标图案中，可以看做是由“基本图案”经过平移得到的是（）A．B．C．D．【易】2.如图所示的网格中各有不同的图案，不能通过平移得到的是（）A．B．C．D．【易】3.下面的四个图形中，能够通过基本图形平移得到的图形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【易】4.下列生活中的现象，属于平移的是（）A．升降电梯从底楼升到顶楼B．闹钟的钟摆的运动C．DVD片在光驱中运行D．秋天的树叶从树上随风飘落【中】5.如图，将图中的“小船”平移，使点A平移到点A′，画出平移后的小船．【难】6.花园内有一块边长为a的正方形土地，园艺师设计了三种不同的图案，如图（1）、图（2）、图（3）所示，其中的阴影部分用于种植花草，试比较三种方案中用于种植花草部分的面积的大小，并用平移的知识说明理由．类型二：平移的性质及相关计算☞考点说明：根据平移的基本性质可知：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．【易】1.如图，将△ABC平移后得到△DEF，若∠A=44°，∠EGC=70°，则∠ACB的度数是（）A．26°B．44°C．46°D．66°【易】2.如图所示，将△ABC沿着XY方向平移一定的距离成为△MNL，就得到△MNL，则下列结论中正确的有（）①AM∥BN；②AM=BN；③BC=ML；④∠ACB=∠MNL．A．1个B．2个C．3个D．4个【易】3.已知△ABC的边BC在直线l上，且BC=5，现把△ABC沿着直线l向右平移到△DEF 的位置，若EC=2，则△ABC平移的距离为（）A．2 B．3 C．5 D．1【中】4.如图，在△ABC中，BC=6，将△ABC沿BC方向平移得到△A′B′C′，连接AA′，若A′B′恰好经过AC的中点O，则AA′的长度为．【中】5.如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，∠B=90°，AB=8，DH=3，平移距离为4，求阴影部分的面积为（）A．20 B．24 C．25 D．26【中】6.如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，BC=5，将△ABC 沿直线BC 向右平移2个单位得到△DEF ，连接AD ，则下列结论：①AC ∥DF ，AC=DF ；②ED ⊥DF ；③四边形ABFD 的周长是16；④S 四边形ABEO =S 四边形CFDO ，其中结论正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【中】7.如图，把△ABC 沿着BC 的方向平移到△DEF 的位置，它们重叠部分的面积是△ABC 面积的一半，若BC=3，则△ABC 移动的距离是（）A ．23B ．33C ．26D ．263 类型三：坐标轴中的平移变换☞考点说明：根据平移前后点的坐标的变化特点可知：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．而平移作图的一般步骤为：①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．【易】1.如图，在10×6的网格中，每个小方格的边长都是1个单位，将△ABC 平移到△DEF 的位置，下面正确的平移步骤是（）A ．先向左平移5个单位，再向下平移2个单位B．先向右平移5个单位，再向下平移2个单位C．先向左平移5个单位，再向上平移2个单位D．先向右平移5个单位，再向上平移2个单位【易】2.如图，已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，将△ABC先向下平移5个单位，再向左平移2个单位，则平移后C点的坐标是（）A．（5，﹣2）B．（1，﹣2）C．（2，﹣1）D．（2，﹣2）【中】3.已知点A（﹣1，0）和点B（1，2），将线段AB平移至A′B′，点A′与点A对应，若点A′的坐标为（1，﹣3），则点B′的坐标为（）A．（3，0）B．（3，﹣3）C．（3，﹣1）D．（﹣1，3）【中】4.在平面直角坐标系xOy中，线段AB的两个端点坐标分别为A（﹣1，﹣1），B（1，2），平移线段AB，得到线段A′B′，已知A′的坐标为（3，﹣1），则点B′的坐标为（）A．（4，2）B．（5，2）C．（6，2）D．（5，3）【中】5.如图，平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则a，b的值分别为（）A．1，3 B．1，2 C．2，1 D．1，1【中】6.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2），若将△ABC平移后，点A的对应点A1的坐标为（1，2），则点C 的对应点C1的坐标为（）A．（﹣1，5）B．（2，2）C．（3，1）D．（2，1）【难】7.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），线段MN的位置如图所示，其中点M的坐标为（﹣3，﹣1），点N的坐标为（3，﹣2）．（1）将线段MN平移得到线段AB，其中点M的对应点为A，点N的对称点为B．①点M平移到点A的过程可以是：先向平移个单位长度，再向平移个单位长度；②点B的坐标为；（2）在（1）的条件下，若点C的坐标为（4，0），连接AC，BC，求△ABC的面积．【难】8.把△ABC经过平移后得到△A′B′C′，已知A（4，3），B（3，1），B′（1，﹣1），C′（2，0）（1）求A′与C的坐标；（2）求△ABC的面积．【难】9.已知：如图，把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A′B′C′．（1）写出A′、B′、C′的坐标；（2）求出△ABC的面积；（3）点P在y轴上，且△BCP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．【难】10.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．（1）点A的坐标为，点C的坐标为；（2）将△ABC先向左平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度，请画出平移后的△A1B1C1；（3）连接AB1，B1C，△AB1C的面积=．【难】11.画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将△ABC 经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．（1）在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′；利用网格点和三角板画图或计算：（2）画出AB边上的中线CD；（3）画出BC边上的高线AE；（4）△A′B′C′的面积为．类型四：平移在几何证明中的应用☞考点说明：根据平移的基本性质可知：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．在几何综合问题中，平移能够提供边相等、角相等的条件，平移前后的图形大小完全相同，且对应边是互相平行的. 【中】1.如图．在△ABC中．∠ACB=90°，请解答下列问题：（1）如图①，①是边AB上的高．∠A与∠BCD有什么关系？说明理由．（2）如图②，将CD向右平移至ED．∠A与哪个角相等？说明理由．（3）如图③．将CD向左平移至ED．∠A与哪个角相等？说明理由．【中】2.如图，等腰直角三角形ABC以2cm/s的速度沿直线m匀速向正方形CDEF移动，直到AB与EF重合，设移动xs后，三角形与正方形重合部分的面积为y cm2（1）当x=2，7时，y的值分别为多少？（2）求从开始移动时到AB与EF重合时，y与x的函数关系式，并求出x的取值范围．【难】3.如图，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE，BE交于点E，∠CBN=120°．（1）若∠ADQ=110°，求∠BED的度数；（2）将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，若∠ADQ=n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）【难】4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=2，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°得△EDC．将△EDC演这个C方向平移得到△E1D1C1．（1）当点D1刚好落在斜边AB上如图1，求平移距离；（2）设E1D1与边BC交于点N，C1D1与边AB交于点M，当MN∥AC时，求平移的距离．【难】5.如图，已知两条射线OM∥CN，动线段AB的两个端点A、B分别在射线OM、CN 上，且∠C=∠OAB=108°，点F在线段CB上，OB平分∠AOF，OE平分∠COF．（1）求证：AB∥OC（2）求∠BOE的度数；（3）若平行移动AB，那么∠OBC与∠OFC的度数比是否随着AB位置的变化而发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值；（4）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=2∠OBA？若存在，请求出∠OBA度数；若不存在，说明理由．轴对称（翻折）类型一：轴对称图形及轴对称变换☞考点说明：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，而这条直线就是对称轴；若两个图形沿着某条直线折叠后能够重合，则这两个图形成轴对称.【易】1.下列四句话中的文字有三句具有对称规律，其中没有这种规律的一句是（）A．上海自来水来自海上B．有志者事竞成C．清水池里池水清D．蜜蜂酿蜂蜜【易】2.下列图形中，是轴对称图形的有（）①线段；②角；③等腰三角形；④平行四边形；⑤长方形；⑥正方形；⑦圆．A．4个B．5个C．6个D．7个【易】3.如图所示的图形中，不是轴对称的是（）A．B．C．D．【易】4.京剧和民间剪纸是我国的两大国粹，这两者的结合无疑是最能代表中国特色的艺术形式之一．下列四个京剧脸谱的剪纸中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【易】5.指出下列图形中的轴对称图形，并找出它们的对称轴．【易】6.判断下列图形是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．【中】7.如图小明从平面镜里看到镜子对面电子钟显示的时间如图所示，这时的实际时刻应该是（）A．21：10 B．10：21 C．10：51 D．12：01【中】8.下列四个图案中，具有一个共有性质．则下面四个数字中，满足上述性质的一个是（）A．6 B．7 C．8 D．9【中】9.把26个英文字母按规律分成5组，现在还有5个字母D、M、Q、X、Z，请你按原规律补上，其顺序依次为（）（1）F，R，P，J，L，G，（）（2）H，I，O，（）（3）N，S，（）（4）B，C，K，E，（）（5）V，A，T，Y，W，U，（）A．Q，X，Z，M，D B．D，M，Q，Z，XC．Z，X，M，D，Q D．Q，X，Z，D，M【中】10.如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用四种方法分别在如图方格内添涂黑二个小正方形，使阴影部分成为轴对称图形．【中】11.尺规作图：把如图（实线部分）补成以虚线m为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽蝴蝶的图案．（不用写作法，保留作图痕迹）．类型二：轴对称的性质及相关计算☞考点说明：根据轴对称的性质可知：①成轴对称的两个图形是全等形；②对称轴是对应点连线的垂直平分线；③对应线段或者平行，或者重合，或者相交．如果相交，那么交点一定在对称轴上；④对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．【易】1.如图，△AOD关于直线l进行轴对称变换后得到△BOC，下列说法中不正确的是（）A．∠DAO=∠CBO，∠ADO=∠BCO B．直线l垂直平分AB、CDC．△AOD和△BOC均是等腰三角形D．AD=BC，OD=OC【易】2.如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，若∠A=50°，∠C′=30°，则∠B的度数为（）A．30°B．50°C．90°D．100°【易】3.如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点，若GH的长为10cm，求△PAB的周长为（）A．5 cm B．10 cm C．20 cm D．15 cm【易】4.如图，点P在∠AOB内，点M、N分别是P点关于OA、OB的对称点，且MN交OA、OB相交于点E，若△PEF的周长为20，求MN的长．【中】5.如图，点P在∠AOB内，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于E、F，若∠EPF=α，则∠AOB=．类型三：坐标轴中的轴对称变换☞考点说明：根据平面直角坐标系中的点的对称的特点可知：如果两点关于y轴对称，则纵坐标不变，横坐标互为相反数；如果两点关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数. 【易】1.已知：如图，已知△ABC，（1）分别画出与△ABC关于x轴、y轴对称的图形△A1B1C1和△A2B2C2；（2）写出△A1B1C1和△A2B2C2各顶点坐标．【易】2.如图，已知△ABC的三个顶点分别为A（2，3）、B（3，1）、C（﹣2，﹣2）．请在图中作出△ABC关于y轴对称图形△DEF（A、B、C的对应点分别是D、E、F），并直接写出D、E、F的坐标．【中】3.如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1．（2）写出点A1，B1，C1的坐标（直接写答案）A1B1C1（3）求△ABC的面积．【中】4.如图，在直角坐标平面内，已知点A（8，0），点B（3，0），点C是点A关于点B的对称点．（1）求点C的坐标；（2）如果点P在y轴上，过点P作直线l∥x轴，点A关于直线l的对称点是点D，那么当△BCD的面积等于10时，求点P的坐标．【难】5.已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，直线l过点M（3，0）且平行于y轴．（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标．（2）如果点P的坐标是（﹣a，0），其中a＞0，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求P1P2的长．（用含a的代数式表示）（3）通过计算加以判断，PP2的长会不会随点P位置的变化而变化．类型四：折叠问题的处理☞考点说明：根据折叠的性质可知：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等．【易】1.如图，把矩形纸片ABCD纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么下列说法错误的是（）A．△EBD是等腰三角形，EB=ED B．折叠后∠ABE和∠CBD一定相等C．折叠后得到的图形是轴对称图形D．△EBA和△EDC一定是全等三角形【易】2.将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠CED′=60°，则∠BAD′的大小是（）A．30°B．45°C．50°D．60°【易】3.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB为．【中】4.如图，在矩形ABCD 中BC=8，CD=6，将△ABE 沿BE 折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上F 处，则DE 的长是（）A ．3B ．524C ．5D ．1689【中】5.如图，在矩形ABCD 中，点F 在AD 上，点E 在BC 上，把这个矩形沿EF 折叠后，使点D 恰好落在BC 边上的G 点处，若矩形面积为34且∠AFG=60°，GE=2BG ，则折痕EF 的长为（）A ．1B ．3C ．2D ．32【中】6.如图，已知AD 是△ABC 的中线，∠ADC=45°，把△ADC 沿直线AD 翻折，使得点C 落在点E 的位置，BC=6；求线段BE 的长．【中】7.在△ABC 中，∠ACB=90°，D 为AB 边的中点，将△ADC 沿着AC 折叠，得到△AEC ．（1）如图1，求证：四边形ADCE 是菱形；（2）如图2，若BC=43AC ，菱形ADCE 的面积为24，求AB 边的长．【难】8.在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，连接AD ．（1）如图1，E 是AC 的中点，连接DE ，将△CDE 沿CD 翻折到△CDE′，连接AE′，当AD=6时，求AE 的值．（2）如图2，在AC 上取一点E ，使得CE=31AC ，连接DE ，将△CDE 沿CD 翻折到△CDE′，连接AE′交BC 于点F ，求证：DF=CF ．【难】9.如图，长方形纸片ABCD ，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，连接EF ，将∠BEF 对折，点B落在直线EF上的B′处，得到折痕EC，将点A落在直线EF上的点A′处，得到折痕EN．（1）若∠BEB′=110°，则∠BEC=°，∠AEN=°，∠BEC+∠AEN=°．（2）若∠BEB′=m°，则（1）中∠BEC+∠AEN的值是否改变？请说明你的理由．（3）将∠ECF对折，点E刚好落在F处，且折痕与B′C重合，求∠DNA′．类型五：最短路径问题☞考点说明：最短距离的问题是一类问题，其变型问题除了和最短问题外，还包括差最大问题，其本质都是对三点共线问题的应用．【易】1.已知点A，点B都在直线l的上方，试用尺规作图在直线l上求作一点P，使得PA+PB 的值最小，则下列作法正确的是（）A．B．C．D．【易】2.如图，△ABC中，AB=AC，BC=5，S△ABC=15，AD⊥BC与点D，EF垂直平分AB，交AC于F，在EF上确定一点P使PB+PD最小，则这个最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【中】3.如图，平面直角坐标系中，分别以点A （﹣2，3），B（3，4）为圆心，以1、2为半径作⊙A、⊙B，M、N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值等于（）A．74B．74+3 C．74﹣3 D．3【中】4.如图，在半径为1的⊙O中，∠BAC=30°，点D是劣弧CB的中点，点P是直径AB上的一个动点，则CP+DP的最小值为（）A．2B．322C．3D．12【中】5.如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，E是AD的中点，点P是对角线BD 上的动点，当AP+PE的值最小时，PC的长是（）A．3B．23C．332D．33【中】6.如图，已知A、B两点在直线l的同一侧，根据题意，尺规作图．（1）在（图1）直线l上找出一点P，使PA=PB．（2）在（图2）直线l上找出一点P，使PA+PB的值最小．（3）在（图3）直线l上找出一点P，使|PA﹣PB|的值最大．【难】7.已知△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，CD为AB边上的高．动点P从点A出发，沿着△ABC的三条边逆时针走一圈回到A点，速度为2cm/s，设运动时间为ts．（1）求CD的长；（2）t为何值时，△ACP为等腰三角形？（3）若M为BC上一动点，N为AB上一动点，是否存在M，N使得AM+MN的值最小？如果有请求出最小值，如果没有请说明理由．【难】8.阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点A（x1，0），B（x2，0）的距离记作AB=|x1﹣x2|；若A，B是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求AB间的距离，如图，过A ，B 分别向x 轴、y 轴作垂线AM 1、AN 1和BM 2、BN 2，垂足分别是M 1、N 1、M 2、N 2，直线AN 1交BM 2于点Q ，在Rt △ABQ 中，AQ=|x 1﹣x 2|，BQ=|y 1﹣y 2|，∴AB 2=AQ 2+BQ 2=|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|2=（x 1﹣x 2）2+（y 1﹣y 2）2，由此得到平面直角坐标系内任意两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）间的距离公式为：（1）AB= ．（2）直接应用平面内两点间距离公式计算点A （1，﹣3），B （﹣2，1）之间的距离为；（3）根据阅读材料并利用平面内两点间的距离公式，求代数式()2222132+-++x x 的最小值．旋转类型一：旋转对称图形及旋转变换☞考点说明：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．根据旋转的定义可以判断旋转的角度及旋转后的图形．将基本的图形经过多次的旋转就能够设计出美丽的复杂图案.【易】1.将小鱼图案绕着头部某点顺时针旋转90°后可以得到的图案是（）A ．B ．C ．D ．【易】2.下列运动属于旋转的是（）A．扶梯的上升B．一个图形沿某直线对折过程C．气球升空的运动D．钟表的钟摆的摆动【易】3.下列各图形分别绕某个点旋转120°后不能与自身重合的是（）A．B．C．D．【中】4.把如图所示的五角星图案，绕着它的中心旋转，若旋转后的五角星能与自身重合．则旋转角至少为（）A．30°B．45°C．60°D．72°【中】5.如图是一个装饰连续旋转闪烁所成的四个图形，照此规律闪烁，第2012次闪烁呈现出来的图形是（）A．B．C．D．【中】6.如图是万花筒中的一个图案，其中菱形FJKG变成菱形FDAC，如果看成经过以F 点为旋转中心、旋转角为x的旋转移动得到的，那么x等于多少度？请从下面的四个答案中选出一个正确的答案来．（A）60°；（B）120°；（C）180°；（D）以上答案都不对．类型二：中心对称及作图☞考点说明：如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．如果一个图形绕着某一个点旋转180°后能够与另一个图形重合，这两个图形就是成中心对称关系.根据中心对称及中心对称图形的定义可以进行相关的作图.【易】1.已知△ABC和△DEF关于点O对称，相应的对称点如图所示，则下列结论正确的是（）A．AO=BO B．BO=EOC．点A关于点O的对称点是点D D．点D 在BO的延长线上【易】2.如图，四边形ABD与四边形FGHE关于一个点成中心对称，则这个点是（）A．O1B．O2C．O3D．O4【易】3.下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【中】4.如图，△ABC与△A′B′C′成中心对称，ED是△ABC的中位线，E′D′是△A′B′C′的中位线，已知BC=4，则E′D′=（）A．2 B．3 C．4 D．1.5【中】5.已知六边形ABCDEF是以O为中心的中心对称图形（如图），画出六边形ABCDEF 的全部图形，并指出所有的对应点和对应线段．【中】6.在艺术字中，有些汉字或字母是中心对称图形．下面的汉字或字母，是中心对称图形吗？如果是，请标出它们的对称中心．类型三：平面直角坐标系中的旋转变换☞考点说明：根据旋转的性质可知，对应点与旋转中心连线所成的角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，因此可以利用这一性质，在平面直角坐标系（或网格）中进行相关的点的坐标的计算及作图.其中，旋转180°即为中心对称.【易】1.线段MN在直角坐标系中的位置如图所示，将MN绕点M逆时针旋转90°得到线段M1N1，则点N的对应点N1的坐标为（）A．（0，0）B．（﹣5，﹣4）C．（﹣3，1）D．（﹣1，﹣3）【易】2.如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为（）A．（0，1）B．（0，﹣1）C．（1，﹣1）D．（1，0）【易】3.在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣4，3），B（﹣6，1），C （﹣1，1），将△ABC绕着原点O顺时针旋转180°后得到△A1B1C1，则点B的对应点B1的坐标是（）A．（1，﹣1）B．（4，﹣3）C．（﹣1，﹣1）D．（6，﹣1）【中】4.已知点A的坐标为（2，3），O为坐标原点，连接OA，将线段OA绕点A按顺时针方向旋转90°得AB，则点B的坐标为（）A．（5，1）B．（﹣3，2）C．（﹣1，5）D．（3，﹣2）【中】5.如图，正方形OABC在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），将正方形OABC 绕点O顺时针旋转45°，得到正方形OA′B′C′，则点C′的坐标为（）A．（2，2）B．（﹣2，2）C．（2，﹣2）D．（22，22）类型四：旋转的性质及相关计算☞考点说明：根据旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．旋转前后的图形全等，则可以为几何的证明和计算提供相等的边和相等的角.【易】1.如图，△OAB绕点O逆时针旋转85°得到△OCD，若∠A=110°，∠D=40°，则∠α的度数是（）A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°【易】2.如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转，使点B 落在AB 边上点B′处，此时，点A 的对应点A′恰好落在BC 边的延长线上，下列结论错误的是（）A ．∠BCB′=∠ACA′B ．∠ACB=2∠BC ．∠B′CA=∠B′ACD ．B′C 平分∠BB′A′【中】3.如图，将△ABC 沿BC 翻折得到△DBC ，再将△DBC 绕C 点逆时针旋转60°得到△FEC ，延长BD 交EF 于H ．已知∠ABC=30°，∠BAC=90°，AC=1，则四边形CDHF 的面积为（）A ．123 B ．63 C ．33 D ．23【中】4.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，将△ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到△A'B'C ，M 是BC 的中点，P 是A'B'的中点，连接PM ．若BC=2，∠BAC=30°，则线段PM 的最大值是（）A．4 B．3 C．2 D．1【中】5.如图，在△AOB中，OA=OB，∠AOB=50°，将△AOB绕O点顺时针旋转30°，得到△COD，OC交AB于点F，CD分别交AB、OB于点E、H．求证：EF=EH．【难】6.已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连结BC′，求BC′的长．【难】7.如图1，四边形ABCD，将顶点为A的∠EAF绕着顶点A顺时针旋转，角的一条边与DC的延长线交于点F，角的另一边与CB的延长线交于点E，连接EF．（1）如果四边形ABCD为正方形，当∠EAF=45°时，有EF=DF﹣BE．请你思考如何证明这个结论（只需思考，不必写出证明过程）；（2）如图2，如果在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠ABC=∠ADC=90°，当∠EAF=21∠BAD 时，EF 与DF 、BE 之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式（只需写出结论）；（3）如图3，如果在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠ABC 与∠ADC 互补，当∠EAF=21∠BAD 时，EF 与DF 、BE 之间有怎样的数学关系？请写出它们之间的关系式并给予证明；（4）在（3）中，若BC=4，DC=7，CF=2，求△CEF 的周长（直接写出结果即可）．。

第7关以几何图形中的图形操作与变换问题为背景的解答题(原卷版)-中考数学专题复习

第七关以几何图形中的图形操作与变换问题为背景的解答题【考查知识点】图形的变换有轴对称、平移和旋转，在此类问题中轴对称问题多以折叠的形式出现。

折叠问题也是最近中考的热点，这类问题不但考察学生对基本几何图形性质的掌握情况，而且可以培养学生的空间思维能力和运动变化观念，提高学生的实践操作水平。

图形的旋转是中考题的新题型，热点题型，考察内容：①中心对称和中心对称图形的性质和别。

②旋转，平移的性质.【解题思路】折叠类题目的主要出题结合点有：与三角形结合，与平行四边形结合，与圆结合，与函数图像结合，题型多以选择题和填空题的形式出现，少数题目也会在大题中作为辅助背景。

在解决这类问题时，要注意折叠出等角，折叠出等长，折叠出等腰三角形，折叠出全等与相似等。

图形的旋转是中考题的新题型，热点题型，解题方法①熟练掌握图形的对称，图形的平移，图形的旋转的基本性质和基本作图法。

②结合具体的问题大胆尝试，动手操作平移，旋转，探究发现其内在的规律。

③注重对网格内和坐标内的图形的变换试题的研究，熟练掌握其常用的解题方法。

④关注图形与变换创新题，弄清其本质，掌握基本解题方法，如动手操作法，折叠法，旋转法,旋转可以移动图形的位置而不改变图形的大小，是全等变换.变换的目的是为了实现已知与结论中的相关元素的相对集中或分散重组，使表面上不能发生联系的元素联系起来．在转化的基础上为问题的解决铺设桥梁，沟通到路．一些难度较大的问题借助平移、对称、旋转的合成及相互关系可能会更容易一些．【典型例题】【例1】（2019·河北中考模拟）如图1，在▱ABCD中，DH⊥AB于点H，CD的垂直平分线交CD于点E，交AB于点F，AB=6，DH=4，BF：FA=1：5．（1）如图2，作FG⊥AD于点G，交DH于点M，将△DGM沿DC方向平移，得到△CG′M′，连接M′B．①求四边形BHMM′的面积；②直线EF上有一动点N，求△DNM周长的最小值．（2）如图3，延长CB交EF于点Q，过点Q作QK∥AB，过CD边上的动点P作PK∥EF，并与QK交于点K，将△PKQ沿直线PQ翻折，使点K的对应点K′恰好落在直线AB上，求线段CP的长．【例2】（2019·湖南中考模拟）在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；（2）如图2，①求证：BP=BF；②当AD=25，且AE＜DE时，求cos∠PCB的值；③当BP=9时，求BE•EF的值．【例3】（2019·辽宁中考真题）思维启迪：（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是米．思维探索：（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE 绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．①如图2，当△ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是；②如图3，当α＝90°时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论；③当α＝150°时，若BC＝3，DE＝l，请直接写出PC2的值．【方法归纳】实践操作性试题以成为中考命题的热点，很多省市的压轴的都是这类题型，解决这种类型的题目可从以下方面切入：1.构造定理所需的图形或基本图形.在解决问题的过程中，有时添辅助线是必不可少的。

中考数学题型八几何图形探究题

例2 (2020·东营)如图①，在等腰三角形ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，
点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接BE，点M，N，P分别为DE，
BE，BC的中点．
(1)观察猜想图①中，线段NM，NP的数量关系是___N__M_＝__N__P____，∠MNP的大小为 ____6_0_°___；
2. (2020·泰安)小明将两个直角三角形纸片如图①那样拼放在同一平面上，抽象出如图②的平面图形，∠ACB与∠ECD恰好为对顶角，∠ABC＝ ∠CDE＝90°，连接BD，AB＝BD，点F是线段CE上一点．
探究发现： (1)当点F为线段CE的中点时，连接DF(如图②)，小明经过探究，得到结论：BD⊥DF.你认为此结论是否成立？_是___．(填“是”或“否” )
又∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠CAB＝∠FAE， ∵EF∥BC，∴∠F＝∠FCB， ∴EF＝AE，∴AE＝FE＝FM＋ME＝CF＋BC；
(3)解：CF＝18或CF＝6，当DE＝2AE＝6时，题图①中，由(1)得：AE＝3，BC＝AB＝BD＋DE ＋AE＝15， ∴CF＝AE＋BC＝3＋15＝18；题图②中，由(2)得：AE＝AD＝3，BC＝AB＝BD＋AD＝9，∴CF＝ BC－AE＝9－3＝6；题图③中，DE小于AE，故不存在．故答案为18或6.
拓展创新：解：AD 的长为 5 .[解法提示]如解图②，过点 A 作 AB 的垂线，过点 D 作 AD 的垂线，两垂线交于点 M，连接 BM，∵∠BAD＝30°，∴∠DAM ＝60°，∴∠AMD＝30°，
∴∠AMD＝∠DBC，又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，∴△BDC∽△MDA，∴MBDD
＝DDCA ，又∠BDC＝∠ADM，∴∠BDC＋∠CDM＝∠ADM＋∠CDM，即∠BDM

初中数学图形变换综合题探究专题(word版+详解答案)

图形变换综合题探究专题【考题研究】本专题主要包括图形的变换和相似形．其中轴对称图形、平移、中心对称图形的识别，相似三角形性质以填空和选择题为主，主要是考查对图形的识别和性质；图形的折叠、平移、旋转与几何图形面积相关的计算问题以填空题和解答题为主，主要是考查对几何问题的综合运用能力；而相似三角形的性质及判断定的应用往往还会结合圆或者解直角三角形等问题一并考查，主要是以解答题为主。

【解题攻略】图形的轴对称、平移、旋转是近年中考的新题型、热点题型，它主要考查学生的观察与实验能力，探索与实践能力，因此在解题时应注意以下方面：1.熟练掌握图形的轴对称、图形的平移、图形的旋转的基本性质和基本方法。

2.结合具体问题大胆尝试，动手操作平移、旋转，探究发现其内在规律是解答操作题的基本方法。

3．注重图形与变换的创新题，弄清其本质，掌握其基本的解题方法，尤其是折叠与旋转等。

【解题类型及其思路】1.变换中求角度注意平移性质：平移前后图形全等，对应点连线平行且相等．2．变换中求线段长时把握折叠的性质：折线是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上．3．变换中求坐标时注意旋转性质：对应线段、对应角的大小不变，对应线段的夹角等于旋转角.4．变换中求面积，注意前后图形的变换性质及其位置等情况。

【典例指引】类型一【图形的平移】【典例指引1】1．两个三角板ABC，DEF按如图所示的位置摆放，点B与点D重合，边AB与边DE在同一条直线上(假设图形中所有的点、线都在同一平面内)，其中，∠C＝∠DEF＝90°，∠ABC＝∠F＝30°，AC＝DE＝4 cm.现固定三角板DEF，将三角板ABC沿射线DE方向平移，当点C落在边EF上时停止运动．设三角板平移的距离为x(cm)，两个三角板重叠部分的面积为y(cm2)．(1)当点C落在边EF上时，x＝________cm；(2)求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；(3)设边BC的中点为点M，边DF的中点为点N，直接写出在三角板平移过程中，点M与点N之间距离的最小值．【举一反三】如图①，将两块全等的三角板拼在一起，其中△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，EF⊥FP且EF=FP．（1）在图①中，通过观察、测量，猜想直接写出AB与AP满足的数量关系和位置关系，不要说明理由；（2）将三角板△EFP沿直线l向左平移到图②的位置时，EP交AC于点Q，连接AP、BQ．猜想写出BQ 与AP满足的数量关系和位置关系，并说明理由．类型二【图形的轴对称--折叠】【典例指引2】将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点.是边上的一点(点不与点，重合)，沿着折叠该纸片，得点的对应点.(Ⅰ)如图①，当时，求点的坐标；(Ⅱ)如图②，当点落在轴上时，求点的坐标；(Ⅲ)当与坐标轴平行时，求点的坐标(直接写出结果即可).【举一反三】如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作FG∥CD，交AE于点G，连接DG．（1）求证：四边形DEFG为菱形；（2）若CD=8，CF=4，求CEDE的值．类型三【图形的旋转】【典例指引3】如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．（1）求证：DE⊥AG；（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如图2．①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．【举一反三】（1）（问题发现）如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为（2）（拓展研究）在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）（问题发现）当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出线段AF的长．类型四【图形的位似】【典例指引4】如图，二次函数y=x2﹣3x的图象经过O（0，0），A（4，4），B（3，0）三点，以点O为位似中心，在y轴的右侧将△OAB按相似比2：1放大，得到△OA′B′，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过O，A′，B′三点．（1）画出△OA′B′，试求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的表达式；（2）点P（m，n）在二次函数y=x2﹣3x的图象上，m≠0，直线OP与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交于点Q（异于点O）．①连接AP，若2AP＞OQ，求m的取值范围；②当点Q在第一象限内，过点Q作QQ′平行于x轴，与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交于另一点Q′，与二次函数y=x2﹣3x的图象交于点M，N（M在N的左侧），直线OQ′与二次函数y=x2﹣3x的图象交于点P′．△Q′P′M∽△QB′N，则线段NQ的长度等于．【举一反三】如图所示，网格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC是格点三角形．在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为(－1，－1)．(1)把△ABC向下平移5格后得到△A1B1C1，写出点A1，B1，C1的坐标，并画出△A1B1C1；(2)把△ABC绕点O按顺时针方向旋转180°后得到△A2B2C2，写出点A2，B2，C2的坐标，并画出△A2B2C2；(3)把△ABC以点O为位似中心放大得到△A3B3C3，使放大前后对应线段的比为1∶2，写出点A3，B3，C3的坐标，并画出△A3B3C3.【新题训练】1．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣4，5），（﹣1，3）．（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；（2）写出点B的坐标；（3）将△ABC向右平移5个单位长度，向下平移2个单位长度，画出平移后的图形△A′B′C′；（4）计算△A′B′C′的面积﹒（5）在x轴上存在一点P，使PA+PC最小，直接写出点P的坐标.2．如图（1），在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），将线段AB先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到线段CD，连接AC，BD，构成平行四边形ABDC．（1）请写出点C的坐标为，点D的坐标为，S四边形ABDC；（2）点Q在y轴上，且S△QAB＝S四边形ABDC，求出点Q的坐标；（3）如图（2），点P是线段BD上任意一个点（不与B、D重合），连接PC、PO，试探索∠DCP、∠CPO、∠BOP之间的关系，并证明你的结论．3．（问题情境）在综合实践课上，同学们以“图形的平移”为主题开展数学活动，如图①，先将一张长为4，宽为3的矩形纸片沿对角线剪开，拼成如图所示的四边形ABCD ，3AD =，4BD =，则拼得的四边形ABCD 的周长是_____.（操作发现）将图①中的ABE △沿着射线DB 方向平移，连结AD 、BC 、AF 、CE ，如图②.当ABE △的平移距离是12BE 的长度时，求四边形AECF 的周长. （操作探究）将图②中的ABE △继续沿着射线DB 方向平移，其它条件不变，当四边形ABCD 是菱形时，将四边形ABCD 沿对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形周长.4．如图，在66⨯的正方形方格中，每个小正方形的边长都为1，顶点都在网格线交点处的三角形，ABC V 是一个格点三角形．()1在图①中，请判断ABC V 与DEF V 是否相似，并说明理由；()2在图②中，以O 为位似中心，再画一个格点三角形，使它与ABC V 的位似比为2：1()3在图③中，请画出所有满足条件的格点三角形，它与ABC V 相似，且有一条公共边和一个公共角．5．已知：AD 是ABC ∆的高，且BD CD =.（1）如图1，求证：BAD CAD ∠=∠；（2）如图2，点E 在AD 上，连接BE ，将ABE ∆沿BE 折叠得到'A BE ∆，'A B 与AC 相交于点F ，若BE=BC ，求BFC ∠的大小；（3）如图3，在（2）的条件下，连接EF ，过点C 作CG EF ⊥，交EF 的延长线于点G ，若10BF =，6EG =，求线段CF 的长.图1. 图2. 图3. 6．如图，长方形OABC 在平面直角坐标系xOy 的第一象限内，点A 在x 轴正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，点D 、E 分别是OC 、BC 的中点，30∠=︒CDE ，点E 的坐标为()2,a .（1）求a 的值及直线DE 的表达式；（2）现将长方形OABC 沿DE 折叠，使顶点C 落在平面内的点'C 处，过点'C 作y 轴的平行线分别交x 轴和BC 于点F ，G .①求'C 的坐标；②若点P 为直线DE 上一动点，连接'PC ，当'PC D ∆为等腰三角形，求点P 的坐标.（说明：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）7．如图1，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，OB=OD ，OC=OA+AB ，AD=m ，BC=n ，∠ABD+∠ADB=∠ACB ．（1）填空：∠BAD与∠ACB的数量关系为________；（2）求mn的值；（3）将△ACD沿CD翻折，得到△A′CD（如图2），连接BA′，与CD相交于点P．若CD=5+12，求PC的长．8．如图，直线：y＝﹣33x+4与x轴、y轴分别別交于点M、点N，等边△ABC的高为3，边BC在x轴上，将△ABC沿着x轴的正方向平移，在平移过程中，得到△A1B1C1，当点B1与原点O重合时，解答下列问题：（1）点A1的坐标为．（2）求△A1B1C1的边A1C1所在直线的解析式；（3）若以P、A1、C1、M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出P点坐标．9．已知：△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BE，CD，点F，G，H分别为DE，BE，CD中点．（1）当△ADE绕点A旋转时，如图1，则△FGH的形状为，说明理由；（2）在△ADE旋转的过程中，当B，D，E三点共线时，如图2，若AB=3，AD=2，求线段FH的长；（3）在△ADE旋转的过程中，若AB=a，AD=b（a＞b＞0），则△FGH的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．10．综合与实践问题背景折纸是一种许多人熟悉的活动，将折纸的一边二等分、四等分都是比较容易做到的，但将一边三等分就不是那么容易了，近些年，经过人们的不懈努力，已经找到了多种将正方形折纸一边三等分的精确折法，最著名的是由日本学者芳贺和夫发现的三种折法，现在被数学界称之为芳贺折纸三定理．其中，芳贺折纸第一定理的操作过程及内容如下（如图1）：操作1：將正方形ABCD对折，使点A与点D重合，点B与点C重合．再将正方形ABCD展开，得到折痕EF；操作2：再将正方形纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边BC翻折至B'E的位置，得到折痕MN，B'E与AB交于点P．则P即为AB的三等分点，即AP：PB=2：1．解决问题（1）在图1中，若EF与MN交于点Q，连接CQ．求证：四边形EQCM是菱形；（2）请在图1中证明AP：PB=2：l．发现感悟若E为正方形纸片ABCD的边AD上的任意一点，重复“问题背景”中操作2的折纸过程，请你思考并解决如下问题：（3）如图2．若DEAE=2．则APBP=；（4）如图3，若DEAE=3，则APBP=；（5）根据问题（2），（3），（4）给你的启示，你能发现一个更加一般化的结论吗？请把你的结论写出来，不要求证明．11．在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点(0,0)O ，点(5,0)A ，点(0,3)B .以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F .（Ⅰ）如图①，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标；（Ⅱ）如图②，当点D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点H .①求证ADB AOB △△≌；②求点H 的坐标.（Ⅲ）记K 为矩形AOBC 对角线的交点，S 为KDE △的面积，求S 的取值范围（直接写出结果即可）. 12．已知O 为直线MN 上一点，OP ⊥MN ，在等腰Rt △ABO 中，90BAO ∠=︒，AC ∥OP 交OM 于C ，D 为OB 的中点，DE ⊥DC 交MN 于E ．(1) 如图1，若点B 在OP 上，则①AC OE (填“＜”，“＝”或“＞”)；②线段CA 、CO 、CD 满足的等量关系式是；(2) 将图1中的等腰Rt △ABO 绕O 点顺时针旋转α(045α︒<<︒)，如图2，那么(1)中的结论②是否成立？请说明理由；(3) 将图1中的等腰Rt △ABO 绕O 点顺时针旋转α()，请你在图3中画出图形，并直接写出线段CA 、CO 、CD 满足的等量关系式；13．如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点.（1）观察猜想图1中，线段与的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值.14．已知∠MAN=135°，正方形ABCD绕点A旋转．（1）当正方形ABCD旋转到∠MAN的外部（顶点A除外）时，AM，AN分别与正方形ABCD的边CB，CD的延长线交于点M，N，连接MN．①如图1，若BM=DN，则线段MN与BM+DN之间的数量关系是；②如图2，若BM≠DN，请判断①中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图3，当正方形ABCD旋转到∠MAN的内部（顶点A除外）时，AM，AN分别与直线BD交于点M，N，探究：以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由．15．已知：如图，是由一个等边△ABE和一个矩形BCDE拼成的一个图形，其点B，C，D的坐标分别为(1，2)，(1，1)，(3，1)．(1)直接写出E点和A点的坐标；(2)试以点B为位似中心，作出位似图形A1B1C1D1E1，使所作的图形与原图形的位似比为3∶1；(3)直接写出图形A1B1C1D1E1的面积．16．如图1，将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到OB，点A的运动轨迹为»AB，P是半径OB上一动点，Q是»AB上的一动点，连接PQ.发现：∠POQ＝________时，PQ有最大值，最大值为________；思考：（1）如图2，若P是OB中点，且QP⊥OB于点P，求»BQ的长；（2）如图3，将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B′恰好落在OA的延长线上，求阴影部分面积；探究：如图4，将扇形OAB沿PQ折叠，使折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切，切点为C，若OP＝6，求点O到折痕PQ的距离．17．（本小题10分）将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A（3，0），点B（0，1），点O（0，0）．过边OA上的动点M（点M不与点O，A重合）作MN⊥AB于点N，沿着MN折叠该纸片，得顶点A的对应点A′．设OM =m，折叠后的△A′MN与四边形OMNB重叠部分的面积为S．图①（Ⅰ）如图①，当点A′与顶点B 重合时，求点M 的坐标；（Ⅱ）如图②，当点A′落在第二象限时，A′M 与OB 相交于点C ，试用含m 的式子表示S ；（Ⅲ）当S=324时，求点M 的坐标（直接写出结果即可）． 18．如图1，一副直角三角板满足AB=BC ，AC=DE ，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°操作：将三角板DEF 的直角顶点E 放置于三角板ABC 的斜边AC 上，再将三角板DEF 绕点E 旋转，并使边DE 与边AB 交于点P ，边EF 与边BC 于点Q ．探究一：在旋转过程中，（1）如图2，当1CEEA =时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明；（2）如图3，当2CEEA=时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？并说明理由；（3）根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当CEm EA=时，EP 与EQ 满足的数量关系式为，其中m 的取值范围是．（直接写出结论，不必证明）探究二：若2CEEA=且AC=30cm ，连接PQ ，设△EPQ 的面积为S （cm 2），在旋转过程中：（1）S 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由．（2）随着S 取不同的值，对应△EPQ 的个数有哪些变化，求出相应S 的值或取值范围．图形变换综合题探究专题【考题研究】本专题主要包括图形的变换和相似形．其中轴对称图形、平移、中心对称图形的识别，相似三角形性质以填空和选择题为主，主要是考查对图形的识别和性质；图形的折叠、平移、旋转与几何图形面积相关的计算问题以填空题和解答题为主，主要是考查对几何问题的综合运用能力；而相似三角形的性质及判断定的应用往往还会结合圆或者解直角三角形等问题一并考查，主要是以解答题为主。

江苏连云港02-13中考数学试题分类解析专题04：图形的变换

专题4：图形的变换（1）选择题1. （2002年江苏连云港3分）用两张全等的矩形纸片分别卷成两个形状不同的柱面（圆柱的侧面），设较高圆柱的侧面积底面半径分别为S1和r1,较矮圆柱的侧面积和底面半径分别为S2和r2,那么【】A．S1=S2，r1=r2B．S1=S2，r1>r2C．S1=S2，r1<r2D．S1≠S2，r1≠r22. （2002年江苏连云港3分）下面每个图片都是由6个大小相同的正方形组成的，其中不能折成正方体的是【】3. （2003年江苏连云港3分）如图，一块边长为8cm的正方形木板ABCD，在水平桌面上绕点A按逆时针方向旋转至AB′C′D′的位置，则顶点C从开始到结束所经过的路径长为【】(A) 16 cm (B) 162cm (C) 8πcm (D) 4π2cm4. （2006年江苏连云港3分）有一圆柱形储油罐，其底面直径与高相等。

现要在储油罐的表面均匀涂上一层油漆(不计损耗)，则两个底面所需油漆量与侧面所需油漆量之比是【】A、1∶1B、2∶1C、1∶2D、1∶45. （2007年江苏连云港3分）如图，水平放置的下列几何体，主视图不是．．长方形的是【】6. （2007年江苏连云港3分）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB 的长为【】Ａ．2cmＢ．3cmＣ．23cmＤ．25cm7. （2008年江苏连云港3分）若一个几何体的主视图、左视图、俯视图分别是三角形、三角形、圆，则这个几何体可能是【】A．球B．圆柱C．圆锥D．棱锥8.（2009年江苏省3分）下面四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有【】A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B。

【考点】简单几何体的三视图。

【分析】四个几何体的左视图：圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，正方体是正方形，由此可确定左视图是四边形的几何体是圆柱和正方体。

故选B。

方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角9.（2009年江苏省3分）如图，在55形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是【】A．先向下平移3格，再向右平移1格B．先向下平移2格，再向右平移1格C．先向下平移2格，再向右平移2格D．先向下平移3格，再向右平移2格11.（2011年江苏连云港3分）如图，是由8个相同的小立方块搭成的几何体的左视图，它的三个视图是2×2的正方形．若拿掉若干个小立方块后（几何体不倒掉．．．），其三个视图仍都为2×2的正方形，则最多能拿掉小立方块的个数为【】A．1B．2 C．3 D．4【答案】B。

九年级中考数学图形变换压轴题专题练习

九年级中考数学图形变换压轴题专题练习1、在图1-3中，四边形ABCD和CGEF都是正方形，M是AE的中点．（1）如图1，点F在BC延长线上，求证：DM=MG；（2）在图1的基础上，将正方形CGEF绕点C顺时针旋转到图2位置，此时点E在BC延长线上．求证：DM=MG；（3）在图2的基础上，将正方形CGEF绕点C在任一旋转一个角度到如图3位置，此时DM和MG还相等吗？请证明。

2、已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB 为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．（1）连结AD、BC，相交于点Q，设∠AQC=α，那么α的大小是否会随点P的移动而变化？请说明理由；（2）如图2，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？3、已知正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在直线上，且随着点P的运动而运动，PE＝PD总成立．(1)如图(1)，当点P在对角线AC上时，请你通过测量、观察，猜想PE与PB有怎样的关系？(直接写出结论不必证明)；(2)如图(2)，当点P运动到CA的延长线上时，(1)中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；(3)如图(3)，当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图(3)画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？(直接写出结论不必证明)4、如图（1），Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F（1）求证：CE=CF．（2）将图（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使点E′落在BC边上，其它条件不变，如图（2）所示．试猜想：BE′与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论．5、如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA、OD到点F、E，使OF＝2OA，OE ＝2OD，连接EF．将△EOF绕点O逆时针旋转α角得到△E1OF1(如图2)．(1)探究AE1与BF1的数量关系，并给予证明；(2)当α＝30°时，求证：△AOE1为直角三角形．6、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中点．（1）求证：△MDC是等边三角形；（2）将△MDC绕点M旋转，当MD（即MD′）与AB交于一点E，MC（即MC′）同时与AD交于一点F时，点E，F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值．7、如图(1)，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D在AC上，点E在BC上，且CD＝CE，连接DE.(1)线段BE与AD的数量关系是________，位置关系是________．(2)如图(2)，当△CDE绕点C顺时针旋转一定角度α后，(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．(3)绕点C继续顺时针旋转△CDE，当90°＜α＜180°时，延长DC交AB于点F，请在图(3)时，旋转角α的度数．中补全图形，并求出当AF＝1＋338、已知菱形ABCD的边长为5，∠DAB＝60°.将菱形ABCD绕着A逆时针旋转得到菱形AEFG，设∠EAB＝α，且0°＜α＜90°，连接DG、BE、CE、CF.(1)如图(1)，求证：△AGD≌△AEB；(2)当α＝60°时，在图(2)中画出图形并求出线段CF的长；(3)若∠CEF＝90°，在图(3)中画出图形并求出△CEF的面积．(1)(2)9、已知，点O为矩形ABCD的对称中心，过O点的直线L交直线AD于M，ON⊥OM交直线DC于N，连MN，现将直线L绕点O顺时针旋转。

中考几何探究题精选(2)

中考几何探究题精选（2）1.如图，已知Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，连结EC，取EC中点M，连结DM和BM，若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，求证：BM=DM且BM⊥DM；2.如图⑴，已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE 为边在直线MN的上方作正方形AEFG．⑴连接GD，求证：△ADG≌△ABE；⑵连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由；⑶如图⑵，将图⑴中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．3.已知：在△ABC中，BC＞AC，动点D绕△ABC的顶点A逆时针旋转，且AD=BC，连结DC．过AB、DC的中点E、F作直线，直线EF与直线AD、BC分别相交于点M、N．⑴如图1，当点D旋转到BC的延长线上时，点N恰好与点F重合，取AC的中点H，连结HE、HF，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论∠AMF=∠BNE（不需证明）．⑵当点D旋转到图2或图3中的位置时，∠AMF与∠BNE有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明．4.如图①，四边形ABCD是正方形, 点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F.⑴求证：DE－BF = EF．⑵当点G为BC边中点时, 试探究线段EF与GF之间的数量关系，并说明理由．⑶若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）．5.九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：⑴如图1，正三角形ABC中，在AB、AC边上分别取点M、N，使BM=AN，连接BN、CM，发现BN=CM，且∠NOC=60°．请证明以上结论．⑵如图2，正方形ABCD中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、DM，那么AN= ，且∠DON = 度．⑶如图12-3，正五边形ABCDE中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、DM，那么AN= ，且∠EON= 度．⑷在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论．请大胆猜测，用一句话概括你的发现：．6.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC所在的直线上运动，作∠ADE=45°（A，D，E按逆时针方向）．⑴如图1，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E．①求证：△ABD∽△DCE；②当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．⑵①如图2，若点D在BC的延长线上运动，DE的反向延长线与AC的延长线相交于点E'，是否△是等腰三存在点D，使ADE'角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由；。

中考数学专题复习_几何探究题

专题复习几何探究问题一、结论探究【例1】如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=900，点D是BC中点，作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE、BG（1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论（2）将正方形DEFG绕点D逆时针旋转一定角度后（旋转角大于00，小于或等于3600），如图②，通过观察和测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由。

（3）若BC=DE=2，在（2）的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值。

'变式练习：已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）直接写出线段EG与CG的数量关系；（2）将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图2所示，取DF中点G，连接EG，CG．你在（1）中得到的结论是否发生变化写出你的猜想并加以证明．（3）将图1中△BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立（不要求证明）| A D]G图1FA[EG图2、AE图3DFEC BAB'C'二、条件探究【例2】已知两个全等的直角三角形纸片ABC 、DEF ，如图（1）放置，点B 、D 重合，点F 在BC 上，AB 与EF 交于点G ，∠C=∠EFB=900，∠E=∠ABC=300，AB=DE=4 （1）求证：△EGB 是等腰三角形（2）若纸片DEF 不动，问△ABC 绕点F 旋转最小度时，四边形ACDE 成为以ED 为底的梯形（如图（2）），求此梯形的高。

,【例3】如图，Rt △AB C 是由Rt △ABC 绕点A 顺时针旋转得到的，连结CC 交斜边于点E ，CC 的延长线交BB 于点F ． |（1）证明：△ACE ∽△FBE ；（2）设∠ABC =α，∠CAC =β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE 与△FBE 是全等三角形，并说明理由．；E图1A:CD图2三、类比探究【例4】（1）操作发现：如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，且点G 在举行ABCD 内部．小明将BG 延长交DC 于点F ，认为GF =DF ，你同意吗说明理由．（2）问题解决：保持（1）中的条件不变，若DC =2DF ，求ABAD的值； /（3）类比探求：保持（1）中条件不变，若DC =nDF ，求ABAD的值．【例5】如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．如，平行四边形的一条对线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有________；（（2）如图1，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，如果延长DC 到E ，使CE ＝AB ，连接AE ，那么有S 梯形ABCD＝S △ABE ．请你给出这个结论成立的理由，并过点A 作出梯形ABCD 的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；（3）如图，四边形ABCD 中，AB 与CD 不平行，S △ADC ＞S △ABC ，过点A 能否作出四边形ABCD 的面积等分线若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由．AB。

中考数学重难点题型：12道几何探究题解析

中考数学重难点题型---12道几何探究题解析考点1 三角形几何探究1．如果三角形的两个内角α与β满足2α＋β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．(1)若△ABC 是“准互余三角形”，∠C ＞90°，∠A ＝60°，则∠B ＝15°；(2)如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝5.若AD 是∠BAC 的平分线，不难证明△ABD 是“准互余三角形”．试问在边BC 上是否存在点E(异于点D)，使得△ABE 也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE 的长；若不存在，请说明理由．(3)如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝7，CD ＝12，BD ⊥CD ，∠ABD ＝2∠BCD ，且△ABC 是“准互余三角形”，求对角线AC 的长．解：(1)∵△ABC 是“准互余三角形”，∠C ＞90°，∠A ＝60°，∴2∠B ＋∠A ＝90°，解得∠B ＝15°. (2)如答图1，在Rt △ABC 中，∵∠B ＋∠BAC ＝90°，∠BAC ＝2∠BAD ，∴∠B ＋2∠BAD ＝90°， ∴△ABD 是“准互余三角形”． ∵△ABE 也是“准互余三角形”， ∴只有2∠B ＋∠BAE ＝90°.∵∠B ＋∠BAE ＋∠EAC ＝90°，∴∠CAE ＝∠B. ∵∠C ＝∠C ＝90°，∴△CAE ∽△CBA ，∴CA 2＝CE·CB， ∴CE ＝165，∴BE ＝5－165＝95.(3)如答图2，将△BCD沿BC翻折得到△BCF，∴CF＝CD＝12，∠BCF＝∠BCD，∠CBF＝∠CBD.∵∠ABD＝2∠BCD，∠BCD＋∠CBD＝90°，∴∠ABD＋∠DBC＋∠CBF＝180°，∴点A，B，F共线，∴∠A＋∠ACF＝90°，∴2∠ACB＋∠CAB≠90°，∴只有2∠BAC＋∠ACB＝90°，∴∠FCB＝∠FAC.∵∠F＝∠F，∴△FCB∽△FAC，∴CF2＝FB·FA，设FB＝x，则有x(x＋7)＝122，∴x＝9或x＝－16(舍去)，∴AF＝7＋9＝16，在Rt△ACF中，AC＝AF2＋CF2＝162＋122＝20.2．将一副三角尺按图1摆放，等腰直角三角尺的直角边DF恰好垂直平分AB，与AC相交于点G，BC＝2 3 cm.(1)求GC的长；(2)如图2，将△DEF绕点D顺时针旋转，使直角边DF经过点C，另一直角边DE与AC相交于点H，分别过H，C作AB的垂线，垂足分别为M，N，通过观察，猜想MD与ND的数量关系，并验证你的猜想．(3)在(2)的条件下，将△DEF沿DB方向平移得到△D′E′F′，当D′E′恰好经过(1)中的点G时，请直接写出DD′的长度．解：(1)在Rt△ABC中，∵BC＝23，∠B＝60°，∴AC＝BC·tan60°＝6，AB＝2BC＝43，在Rt△ADG中，AG＝ADcos30°＝4，∴CG＝AC－AG＝6－4＝2.(2)结论：DM＋DN＝2 3.理由：∵HM⊥AB，CN⊥AB，∴∠AMH＝∠DMH＝∠CNB＝∠CND＝90°.∵∠A＋∠B＝90°，∠B＋∠BCN＝90°，∴∠A＝∠BCN，∴△AHM∽△CBN，∴AMCN＝HMBN①，同理可证：△DHM∽△CDN，∴DNMH＝CNDM②由①②可得AM·BN＝DN·DM，∴DMAM＝BNDN，∴DM＋AMAM＝BN＋DNDN，∴ADAM＝BDDN.∵AD＝BD，∴AM＝DN，∴DM＋DN＝AM＋DM＝AD＝2 3.第2题答图(3)如答图，作GK∥DE交AB于K.在△AGK中，AG＝GK＝4，∠A＝∠GKD＝30°，作GH⊥AB于H.则AH＝AG·cos30°＝23，可得AK＝2AH＝43，此时K与B重合．∴DD′＝DB＝2 3.考点2四边形几何探究3．我们定义：有一组邻角相等且对角线相等的凸四边形叫做邻对等四边形．概念理解(1)我们所学过的特殊四边形中的邻对等四边形是矩形或正方形；性质探究(2)如图1，在邻对等四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠DCB ，AC ＝DB ，AB>CD ，求证：∠BAC 与∠CDB 互补；拓展应用(3)如图2，在四边形ABCD 中，∠BCD ＝2∠B ，AC ＝BC ＝5，AB ＝6，CD ＝4.在BC 的延长线上是否存在一点E ，使得四边形ABED 为邻对等四边形？如果存在，求出DE 的长；如果不存在，说明理由．(1)解：矩形或正方形．(2)证明：如答图1，延长CD 至E ，使CE ＝BA ，连接BE.在△ABC 和△ECB 中，⎩⎨⎧AB ＝EC ，∠ABC ＝∠ECB ，BC ＝CB ，∴△ABC ≌△ECB(SAS)， ∴BE ＝CA ，∠BAC ＝∠E.∵AC ＝DB ，∴BD ＝BE ，∴∠BDE ＝∠E ，∴∠CDB ＋∠BDE ＝∠CDB ＋∠E ＝∠BAC ＋∠CDB ＝180°，即∠BAC 与∠CDB 互补．(3)解：存在这样一点E ，使得四边形ABED 为邻对等四边形，如答图2，在BC 的延长线上取一点E ，使得CE ＝CD ＝4，连接DE ，AE ，BD ，则四边形ABED 为邻对等四边形．理由如下：∵CE ＝CD ，∴∠CDE ＝∠CED. ∵∠BCD ＝2∠ABC ，∴∠ABC ＝∠DEB ，∴∠ACE ＝∠BCD.在△ACE 和△BCD 中，⎩⎨⎧AC ＝BC ，∠ACE ＝∠BCD ，CE ＝CD ，∴△ACE ≌△BCD(SAS)，∴BD ＝AE ，四边形ABED 为邻对等四边形． ∵∠CBA ＝∠CAB ＝∠CDE ＝∠CED ， ∴△ABC ∽△DEC ， ∴AB BC ＝65＝DE CE ＝DE 4，∴DE ＝245.4．将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转α(0°＜α＜360°)，得到矩形AEFG.(1)如图，当点E 在BD 上时．求证：FD ＝CD ；(2)当α为何值时，GC ＝GB ？画出图形，并说明理由．解：(1)由旋转可得，AE ＝AB ，∠AEF ＝∠ABC ＝∠DAB ＝90°，EF ＝BC ＝AD ，∴∠AEB ＝∠ABE. ∵∠ABE ＋∠EDA ＝90°＝∠AEB ＋∠DEF ， ∴∠EDA ＝∠DEF.∵DE ＝ED ，∴△AED ≌△FDE(SAS)， ∴DF ＝AE ，∵AE ＝AB ＝CD ，∴CD ＝DF.(2)当GB ＝GC 时，点G 在BC 的垂直平分线上，分两种情况讨论： ①当点G 在AD 右侧时，如答图1，取BC 的中点H ，连接GH 交AD 于M ， ∵GC ＝GB ，∴GH ⊥BC ，∴四边形ABHM 是矩形， ∴AM ＝BH ＝12AD ＝12AG ，∴GM 垂直平分AD ，∴GD ＝GA ＝DA ， ∴△ADG 是等边三角形，∴∠DAG ＝60°， ∴旋转角α＝60°；②当点G 在AD 左侧时，如答图2，同理可得△ADG 是等边三角形，∴∠DAG ＝60°， ∴旋转角α＝360°－60°＝300°. 综上，α为60°或300°时，GC ＝GB.5．如图1，边长为4的正方形ABCD 中，点E 在AB 边上(不与点A ，B 重合)，点F 在BC 边上(不与点B ，C 重合)．第一次操作：将线段EF 绕点F 顺时针旋转，当点E 落在正方形上时，记为点G ；第二次操作：将线段FG 绕点G 顺时针旋转，当点F 落在正方形上时，记为点H ；依此操作下去…(1)图2中的△EFD 是经过两次操作后得到的，其形状为等边三角形，求此时线段EF 的长； (2)若经过三次操作可得到四边形EFGH.①请判断四边形EFGH 的形状为正方形，此时AE 与BF 的数量关系是AE ＝BF ；②以①中的结论为前提，设AE 的长为x ，四边形EFGH 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式及面积y 的取值范围．解：(1)如题图2，由旋转性质可知EF ＝DF ＝DE ，则△DEF 为等边三角形．在Rt △ADE 和Rt △CDF 中，⎩⎨⎧AD ＝CD ，DE ＝DF ，∴Rt △ADE ≌Rt △CDF(HL)．∴AE ＝CF. 设AE ＝CF ＝x ，则BE ＝BF ＝4－x ∴△BEF 为等腰直角三角形．∴DE ＝DF ＝EF ＝2(4－x)．在Rt △ADE 中，由勾股定理得AE 2＋AD 2＝DE 2，即x 2＋42＝[2(4－x)]2，解得x 1＝8－43，x 2＝8＋43(舍去)． ∴EF ＝2(4－x)＝46－4 2.△DEF 的形状为等边三角形，EF 的长为46－4 2.第5题答图(2)①四边形EFGH 的形状为正方形，此时AE ＝BF.理由如下：依题意画出图形，如答图所示，连接EG ，FH ，作HN ⊥BC 于N ，GM ⊥AB 于M. 由旋转性质可知，EF ＝FG ＝GH ＝HE ， ∴四边形EFGH 是菱形，由△EGM ≌△FHN ，可知EG ＝FH ，∴四边形EFGH 的形状为正方形，∴∠HEF ＝90°. ∵∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3. ∵∠3＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠2＝∠4.在△AEH 和△BFE 中，⎩⎨⎧∠1＝∠3，EH ＝EF ，∠2＝∠4，∴△AEH ≌△BFE(ASA)，∴AE ＝BF.②利用①中结论，易证△AEH ，△BFE ，△CGF ，△DHG 均为全等三角形， ∴BF ＝CG ＝DH ＝AE ＝x ，AH ＝BE ＝CF ＝DG ＝4－x.∴y ＝S 正方形ABCD －4S △AEH ＝4×4－4×12·x·(4－x)＝2x 2－8x ＋16，∴y ＝2x 2－8x ＋16(0＜x ＜4)．∵y ＝2x 2－8x ＋16＝2(x －2)2＋8，∴当x ＝2时，y 取得最小值8；当x ＝0或4时，y ＝16.∴y的取值范围为8≤y＜16.6．提出问题如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点P是线段AD边上的一动点(不与端点A，D重合)，连接PC，过点P作PE⊥PC交AB于点E，在点P的运动过程中，图中各角和线段之间是否存在某种关系和规律？特殊求解当点E为AB的中点，且AP>AE时，求证：PE＝PC.深入探究当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求整个运动过程中BE的取值范围．解：特殊求解∵PE⊥PC，∴∠APE＋∠DPC＝90°.∵∠D＝90°，∴∠DPC＋∠DCP＝90°.∴∠APE＝∠DCP.∵∠A＝∠D＝90°，∴△APE∽△DCP，∴APDC＝AEDP.设AP＝x，则有DP＝3－x.而AE＝BE＝1，∴x(3－x)＝2×1，解得x1＝2，x2＝1.∵AP>AE，∴AP＝2，AE＝PD＝1，∴△APE≌△DCP，∴PE＝PC.深入探究设AP＝x，AE＝y，由AP·DP＝AE·DC，可得x(3－x)＝2y.∴y＝12x(3－x)＝－12x2＋32x＝－12(x－32)2＋98.∴在0<x<3范围内，当x ＝32时，y 最大＝98.∵当AE ＝y 取得最大值时，BE 取得最小值为2－98＝78，∴BE 的取值范围为78≤BE<2.7．已知Rt △OAB ，∠OAB ＝90°，∠ABO ＝30°，斜边OB ＝4，将Rt △OAB 绕点O 顺时针旋转60°，如图1，连接BC.(1)填空：∠OBC ＝60°；(2)如图1，连接AC ，作OP ⊥AC ，垂足为P ，求OP 的长度；(3)如图2，点M ，N 同时从点O 出发，在△OCB 边上运动，M 沿O→C→B 路径匀速运动，N 沿O→B→C 路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M 的运动速度为1.5单位/秒，点N 的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x 秒，△OMN 的面积为y ，求当x 为何值时y 取得最大值．最大值为多少？解：(1)由旋转性质可知OB ＝OC ，∠BOC ＝60°， ∴△OBC 是等边三角形，∴∠OBC ＝60°.第7题答图1(2)如答图1中， ∵OB ＝4，∠ABO ＝30°， ∴OA ＝12OB ＝2，AB ＝3OA ＝23，∴S △AOC ＝12·OA·AB＝12×2×23＝2 3.∵△BOC 是等边三角形，∴∠OBC ＝60°，∠ABC ＝∠ABO ＋∠OBC ＝90°， ∴AC ＝AB 2＋BC 2＝2r(32＋42)＝27，∴OP ＝2S △AOC AC ＝4327＝2217.第7题答图2(3)①当0＜x≤83时，M 在OC 上运动，N 在OB 上运动，此时过点N 作NE ⊥OC 且交OC 于点E.如答图2，则NE ＝ON·sin60°＝32x ，∴S △OMN ＝12·OM·NE＝12×1.5x×32x ，∴y ＝338x 2，∴当x ＝83时，y 有最大值，最大值为833.第7题答图3②当83＜x≤4时，M 在BC 上运动，N 在OB 上运动．如答图3，作MH ⊥OB 于H.则BM ＝8－1.5x ，MH ＝BM·sin60°＝32(8－1.5x)，∴y ＝12×ON×MH＝－338x 2＋23x.当x ＝83时，y 取得最大值，最大值为833.第7题答图4③当4＜x≤4.8时，M，N都在BC上运动，作OG⊥BC于G.如答图4，MN＝12－2.5x，OG＝AB＝23，∴y＝12·MN·OG＝123－532x，当x＝4时，y有最大值，最大值为2 3.综上所述，y有最大值，最大值为83 3.8．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E 的位置随着点P的位置变化而变化．(1)如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是PB＝EC，CE与AD 的位置关系是CE⊥AD；(2)当点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理)；(3)如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE.若AB＝23，BE＝219，求四边形ADPE的面积．解：(1)结论：PB＝EC，CE⊥AD.理由：如答图1中，连接AC.∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°.∵△APE是等边三角形，∴AB＝AC，AP＝AE，∠BAC＝∠PAE＝60°，∴△BAP≌△CAE，∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°，延长CE交AD于H，∵∠CAH＝60°，∴∠CAH＋∠ACH＝90°，∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD.第8题答图2(2)结论仍然成立．理由：如答图2，连接AC交BD于O，设CE交AD于H.∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°.∵△APE是等边三角形，∴AB＝AC，AP＝AE，∠BAC＝∠PAE＝60°，∴△BAP≌△CAE，∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°，∵∠CAH＝60°，∴∠CAH＋∠ACH＝90°，∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD.(3)如答图3，连接AC 交BD 于点O ，连接CE 交AD 于点H ，由(2)可知EC ⊥AD ，CE ＝BP ，在菱形ABCD 中，AD ∥BC ， ∴EC ⊥BC.∵BC ＝AB ＝23，BE ＝219， ∴在Rt △BCE 中，EC ＝2r(192－2r(3)2)＝8，∴BP ＝CE ＝8.∵AC 与BD 是菱形的对角线， ∴∠ABD ＝12∠ABC ＝30°，AC ⊥BD ，∴BD ＝2BO ＝2AB·cos30°＝6，∴OA ＝12AB ＝3，DP ＝BP －BD ＝8－6＝2，∴OP ＝OD ＋DP ＝5，在Rt △AOP 中，AP ＝AO 2＋OP 2＝27， ∴S 四边形ADPE ＝S △ADP ＋S △AEP ＝12DP·AO＋34·AP 2＝12×2×3＋34×(27)2＝8 3.考点3 三角形、四边形混合几何探究9．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF ，BE 是△ABC 的中线，AF ⊥BE ，垂足为P ，像△ABC 这样的三角形均称为“中垂三角形”，设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c.特例探索(1)如图1，当∠ABE ＝45°，c ＝22时，a ＝____25____，b ＝____25____. 如图2，当∠ABE ＝30°，c ＝4时，a ＝____213____，b ＝____27____. 归纳证明(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想a 2，b 2，c 2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．拓展应用(3)如图4，在□ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝25，AB＝3，求AF的长．解：(1)∵AF⊥BE，∠ABE＝45°，∴AP＝BP＝22AB＝2.∵AF，BE是△ABC的中线，∴EF∥AB，EF＝12AB＝2，∴∠PFE＝∠PEF＝45°，∴PE＝PF＝1.在Rt△FPB和Rt△PEA中，AE＝BF＝12＋22＝5，∴AC＝BC＝25，∴a＝b＝2 5.如答图1，连接EF.同理可得EF＝12×4＝2.∵EF∥AB，∴△PEF∽△PBA，∴PFAP＝PEPB＝EFAB＝12.在Rt△ABP中，AB＝4，∠ABP＝30°，∴AP＝2，PB＝23，∴PF＝1，PE＝ 3.在Rt△APE和Rt△BPF中，AE＝7，BF＝13，∴a＝213，b＝27.(2)猜想：a2＋b2＝5c2，证明如下：如答图2，连接EF.设∠ABP＝α，∴AP＝csinα，PB＝ccosα，由(1)同理可得PF＝12PA＝csinα2，PE＝12PB＝ccosα2， ∴AE 2＝AP 2＋PE 2＝c 2sin 2α＋c 2cos 2α4，BF 2＝PB 2＋PF 2＝c 2cos 2α＋c 2sin 2α4，∴(b 2)2＝c 2sin 2α＋c 2cos 2α4，(a 2)2＝c 2sin 2α4＋c 2cos 2α，∴a 24＋b 24＝c 2sin 2α4＋c 2cos 2α＋c 2sin 2α＋c 2cos 2α4， ∴a 2＋b 2＝5c 2.(3)如答图3，连接AC ，EF 交于点H ，AC 与BE 交于点Q ，设BE 与AF 的交点为P. ∵点E ，G 分别是AD ，CD 的中点，∴EG ∥AC. ∵BE ⊥EG ，∴BE ⊥AC.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ＝25，∴∠EAH ＝∠FCH. ∵E ，F 分别是AD ，BC 的中点， ∴AE ＝12AD ，BF ＝12BC ，∴AE ＝BF ＝CF ＝12AD ＝ 5.∵AE ∥BF ，∴四边形ABFE 是平行四边形， ∴EF ＝AB ＝3，AP ＝PF.在△AEH 和△CFH 中，⎩⎨⎧∠EAH ＝∠FCH ，∠AHE ＝∠FHC ，AE ＝CF ，∴△AEH ≌△CFH ，∴EH ＝FH ，∴EP ，AH 分别是△AFE 的中线，由(2)的结论得AF 2＋EF 2＝5AE 2，或连接F 与AB 的中点M ，证MF 垂直BP ，构造出“中垂三角形”，由AB ＝3，BC ＝12AD ＝5及(2)中的结论，直接可求AF.10．我们定义：如图1，在△ABC 中，把AB 绕点A 顺时针旋转α(0°＜α＜180°)得到AB′，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′.当α＋β＝180°时，我们称△AB′C′是△ABC 的“旋补三角形”，△AB′C′边B′C′上的中线AD 叫做△ABC 的“旋补中线”，点A 叫做“旋补中心”．特例感知(1)在图2，图3中，△AB′C′是△ABC 的“旋补三角形”，AD 是△ABC 的“旋补中线”． ①如图2，当△ABC 为等边三角形时，AD 与BC 的数量关系为AD ＝12BC ；②如图3，当∠BAC ＝90°，BC ＝8时，则AD 长为4. 猜想论证(2)在图1中，当△ABC 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并给予证明．拓展应用(3)如图4，在四边形ABCD ，∠C ＝90°，∠D ＝150°，BC ＝12，CD ＝23，DA ＝6.在四边形内部是否存在点P ，使△PDC 是△PAB 的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB 的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．图1 图2 图3 图4解：(1)①∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ＝AB′＝AC′.∵DB′＝DC′， ∴AD ⊥B′C′.∵∠BAC ＝60°，∠BAC ＋∠B′AC′＝180°， ∴∠B′AC′＝120°，∴∠B′＝∠C′＝30°， ∴AD ＝12AB′＝12BC.②∵∠BAC ＝90°，∠BAC ＋∠B′AC′＝180°，∴∠B′AC′＝∠BAC＝90°.∵AB＝AB′，AC＝AC′，∴△BAC≌△B′AC′，∴BC＝B′C′.∵B′D＝DC′，∴AD＝12B′C′＝12BC＝4.(2)结论：AD＝12 BC.证明如下：如答图1，延长AD到M，使得AD＝DM，连接B′M，C′M.∵B′D＝DC′，AD＝DM，∴四边形AC′MB′是平行四边形，∴AC′＝B′M＝AC.第10题答图1∵∠BAC＋∠B′AC′＝180°，∠B′AC′＋∠AB′M＝180°，∴∠BAC＝∠MB′A.∵AB＝AB′，∴△BAC≌△AB′M，∴BC＝AM，∴AD＝12 BC.(3)存在．理由：如答图2，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA，PD，PC，作△PCD的中线PN，第10题答图2连接DF交PC于O.∵∠ADC＝150°，∴∠MDC＝30°.在Rt△DCM中，CD＝23，∠DCM＝90°，∠MDC＝30°，∴CM＝2，DM＝4，∠M＝60°.在Rt△BEM中，∠BEM＝90°，BM＝14，∠MBE＝30°，∴EM＝12BM＝7，∴DE＝EM－DM＝3.∵AD＝6，∴AE＝DE.∵BE⊥AD，∴PA＝PD，PB＝PC.在Rt△CDF中，CD＝23，CF＝6，∴tan∠CDF＝3，∴∠CDF＝60°＝∠CPF，易证△FCP≌△CFD，∴CD＝PF.∵CD∥PF.∴四边形CDPF是矩形，∴∠CDP＝90°，∴∠ADP＝∠ADC－∠CDP＝60°，∴△ADP是等边三角形，∴∠ADP＝60°.∵∠BPF＝∠CPF＝60°，∴∠BPC＝120°，∴∠APD＋∠BPC＝180°，∴△PDC是△PAB的“旋补三角形”．在Rt△PDN中，∠PDN＝90°，PD＝AD＝6，DN＝3，∴PN＝DN2＋PD2＝r(32＋62)＝39.考点4 多边形几何探究11．【图形定义】如图，将正n边形绕点A顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O，连接AO，我们称AO为“叠弦”；再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P，连接PO，我们称∠OAB为“叠弦角”，△AOP为“叠弦三角形”；【探究证明】(1)请在图1和图2中选择其中一个证明：“叠弦三角形”(△AOP)是等边三角形．(2)如图2，求证：∠OAB＝∠OAE′；【归纳猜想】(3)图1、图2中的“叠弦角”的度数分别为15°，24°；(4)图n中，“叠弦三角形”是等边三角形(填“是”或“不是”)；(5)图n中，“叠弦角”的度数为60°－180°n.(用含n的式子表示)解：(1)∵四边形ABCD是正方形，由旋转知，AD＝AD′，∠D＝∠D′＝90°，∠DAD′＝∠OAP＝60°，∴∠DAP＝∠D′AO，∴△APD≌△AOD′(ASA)，∴AP＝AO.∵∠OAP＝60°，∴△AOP是等边三角形；第11题答图(2)如答图，作AM⊥DE于M，作AN⊥CB于N.∵五边形ABCDE是正五边形，由旋转知，AE＝AE′，∠E＝∠E′＝108°，∠EAE′＝∠OAP＝60°，∴∠EAP＝∠E′AO.在Rt△AEM和Rt△ABN中，∠AEM＝∠ABN＝72°，AE＝AB，∴Rt△AEM≌Rt△ABN (AAS)，∴∠EAM ＝∠BAN ，AM ＝AN.在Rt △APM 和Rt △AON 中，AP ＝AO ，AM ＝AN ， ∴Rt △APM ≌Rt △AON (HL)， ∴∠PAM ＝∠OAN ，∴∠PAE ＝∠OAB, ∴∠OAE′＝∠OAB.(3)由(1)知，△APD ≌△AOD′， ∴∠DAP ＝∠D′AO.在Rt △AD′O 和Rt △ABO 中，⎩⎨⎧AD′＝AB ，AO ＝AO ，∴Rt △AD′O≌Rt △ABO(HL)， ∴∠D′AO＝∠BAO.由旋转得，∠DAD′＝60°.∵∠DAB ＝90°， ∴∠D′AB＝∠DAB －∠DAD′＝30°， ∴∠D′AO＝12∠D′AB＝15°，∵题图2的多边形是正五边形， ∴∠EAB ＝5－2×180°5＝108°，∴∠E′AB＝∠EAB －∠EAE′＝108°－60°＝48°， ∴同理可得，∠E′AO＝12∠E′AB＝24°.(4)是(5)同(3)的方法得，∠OAB ＝[(n －2)×180°÷n－60°]÷2＝60°－180°n.考点5 圆形几何探究12．如图，在半径为3 cm 的⊙O 中，A ，B ，C 三点在圆上，∠BAC ＝75°.点P 从点B 开始以π5cm/s 的速度在劣弧BC 上运动，且运动时间为t s ，∠AOB ＝90°，∠BOP ＝n°.(1)求n与t之间的函数关系式，并求t的取值范围；(2)试探究：当点P运动多少秒时，①在BP，PC，CA，AB四条线段中有两条相互平行？②以P，B，A，C四点中的三点为顶点的三角形是等腰三角形？解：(1)∵∠BOP＝n°，∴π5t＝3πn180，n＝12t.当n＝150时，150＝12t，t＝12.5.∴t的取值范围为0≤t≤12.5.(2)①∠BOP＝n°，n＝12t.如答图1，当BP∥AC时，t＝5.理由：∵∠PBA＝180°－75°＝105°，∠OBA＝45°，∴∠OBP＝60°.∵OB＝OP，∴∠BOP＝60°，∴60＝12t，t＝5.如答图2，当PC∥AB时，t＝10.理由：易得∠PBA＝∠BAC＝75°，∴∠PBO＝∠BPO＝30°，∴∠BOP＝120°，∴120＝12t，t＝10.综上所述，当点P的运动时间为5 s时，BP∥AC.当点P的运动时间为10 s时，PC∥AB.②在△ABP中，以AB为腰时(如答图3)，∠BPA＝∠BAP＝45°，∠BOP＝90°，∴t＝7.5. 以AB为底边时(如答图4)，∠BPA＝45°，∠BAP＝67.5°，∠BOP＝2×67.5°＝135°，∴t＝11.25.如答图5，在△APC中，易得∠AOC＝120°，∴∠APC＝60°，△APC是等边三角形．∴∠AOP＝120°，∴∠BOP＝30°，t＝2.5.如答图6，在△BPC中，∠BPC＝105°，只有BP＝PC这种情况．此时点P是弧BC的中心，∴∠BOP＝75°，t＝6.25.综上所述，当点P的运动时间为7.5 s或11.25 s时，△ABP为等腰三角形；当点P的运动时间为2.5 s时，△APC为等边三角形；当点P的运动时间为6.25 s时，△BPC为等腰三角形．。

《几何综合探究问题》(共48题)中考专项配套练习(重庆专用)

5年（2016-2020）中考1年模拟数学试题分项详解（重庆专用）专题13 几何综合探究问题（共48题）一．解析题（共10小题）1．（2020•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．（1）求证：CF=√22AD；（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当BD＝2CD时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG 与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使P A+PB+PC的值最小．当P A+PB+PC的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．2．（2020•重庆）△ABC为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE＝2√3．以AE 为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点．（1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG，求线段NG的长；（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；（3）连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出△ADN的面五年中考真题积．3．（2019•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连接AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD 于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP．（1）若DP＝2AP＝4，CP=√17，CD＝5，求△ACD的面积．（2）若AE＝BN，AN＝CE，求证：AD=√2CM+2CE．4．（2019•重庆）在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E．（1）如图1，若∠D＝30°，AB=√6，求△ABE的面积；（2）如图2，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，且AB＝AF．求证：ED﹣AG＝FC．5．（2018•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB＝AE，连接EO并延长交AD于点F．过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G．（1）若AH＝3，HE＝1，求△ABE的面积；（2）若∠ACB＝45°，求证：DF=√2CG．6．（2018•重庆）如图，在▱ABCD中，∠ACB＝45°，点E在对角线AC上，BE＝BA，BF⊥AC于点F，BF的延长线交AD于点G．点H在BC的延长线上，且CH＝AG，连接EH．（1）若BC＝12√2，AB＝13，求AF的长；（2）求证：EB＝EH．7．（2017•重庆）在△ABM中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．（1）如图1，若AB＝3√2，BC＝5，求AC的长；（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．8．（2017•重庆）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是AC上一点，连接BE．（1）如图1，若AB＝4√2，BE＝5，求AE的长；（2）如图2，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD、CF，当AF＝DF时，求证：DC＝BC．9．（2016•重庆）在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，点D是BC上一点，连接AD，过点A作AG⊥AD，在AG上取点F，连接DF．延长DA至E，使AE＝AF，连接EG，DG，且GE＝DF．（1）若AB ＝2√2，求BC 的长；（2）如图1，当点G 在AC 上时，求证：BD =12CG ；（3）如图2，当点G 在AC 的垂直平分线上时，直接写出ABCG 的值．10．（2016•重庆）已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，CD =12BC ，DE ⊥CE ，DE ＝CE ，连接AE ，点M 是AE 的中点．（1）如图1，若点D 在BC 边上，连接CM ，当AB ＝4时，求CM 的长；（2）如图2，若点D 在△ABC 的内部，连接BD ，点N 是BD 中点，连接MN ，NE ，求证：MN ⊥AE ；（3）如图3，将图2中的△CDE 绕点C 逆时针旋转，使∠BCD ＝30°，连接BD ，点N 是BD 中点，连接MN ，探索MNAC 的值并直接写出结果．一．解答题（共38小题）1．（2020•渝中区校级二模）如图，CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，点D 为AB 的中点，连接CD ；点E 为CD 的中点，EF ＝EG ＝EC ，且∠FEG ＝90°；点O 为CB 的中点，直线GO 与直线CF 交于点N ．（1）如图1，若∠FCD ＝30°，OC =√2，求CF 的长；（2）连接BG 并延长至点M ，使BG ＝MG ，连接CM ．①如图2，若NG ⊥MB ，求证：AB =√10CM ；②如图3，当点G 、F 、B 共线时，BM 交AC 于点H ，AH =14AC ，请直接写出FCMH 的值．一年模拟新题2．（2020•渝中区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，E为线段CD上一点（不含端点），连接AE，设F为AE的中点，作CG⊥CF交直线AB于点G．（1）猜想：线段AG、BC、EC之间有何等量关系？并加以证明；（2）如果将题设中的条件“E为线段CD上一点（不含端点）”改变为“E为直线CD上任意一点”，试探究发现线段AG、BC、EC之间有怎样的等量关系，请直接写出你的结论，不用证明．3．（2020•沙坪坝区校级一模）在△ABC中，AE⊥CD且AE＝CD，∠CAE+2∠BAE＝90°．（1）如图1，若△ACE为等边三角形，CD＝2√3，求AB的长；（2）如图2，作EG⊥AB，求证：AD=√2BE；（3）如图3，作EG⊥AB，当点D与点G重合时，连接BF，请直接写出BF与EC之间的数量关系．4．（2020•南岸区模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，AD⊥BC于点D．点G是射线AD上一点．（1）若GE⊥GF，点E，F分别在AB，AC上，当点G与点D重合时，如图①所示，容易证明AE+AF=√2AD．当点G在线段AD外时，如图②所示，点E与点B重合，猜想并证明AE，AF与AG存在的数量关系．（2）当点G在线段AD上时，AG+BG+CG的值是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．5．（2020•南岸区校级模拟）△ABC与△ADE都是等边三角形，DE与AC交于点P，点P恰为DE的中点，延长AD交BC于点F，连结BD、CD，取CD的中点Q，连结PQ．求证：PQ=12BD．（1）如图1，理清思路，完成解答：本题证明的思路可以用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程；（2）如图2，特殊位置，求线段长：若点P为AC的中点，连接PF，已知PQ=√3，求PF的长．（3）知识迁移，探索新知：若点P是线段AC上任意一点，直接写出PF与CD的数量关系．6．（2020•九龙坡区校级模拟）【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F 在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．7．（2019•渝中区校级一模）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，点F为BE中点，连结DF，CF．（1）如图1，点D在AC上，请你判断此时线段DF，CF的关系，并证明你的判断；（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45时，若AD＝DE＝2，AB＝6，求此时线段CF的长．8．（2019•重庆模拟）一节数学课后，老师布置了一道课后练习：△ABC是等边三角形，点D是线段BC上的点，点E为△ABC的外角平分线上一点，且∠ADE＝60°，如图①，当点D是线段BC上（除B，C 外）任意一点时，求证：AD＝DE（1）理清思路，完成解答本题证明思路可以用下列框图表：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程；（2）特殊位置，计算求解当点D为BC的中点时，等边△ABC的边长为6，求出DE的长；（3）知识迁移，探索新知当点D在线段BC的延长线上，且满足CD＝BC时，若AB＝2，请直接写出△ADE的面积（不必写解答过程）9．（2020•南岸区校级模拟）如图1，直角三角形△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，∠A＝60°，O为BC中点，将△ABC 绕O 点旋转180°得到△DCB ．一动点P 从A 出发，以每秒1的速度沿A →B →D 的路线匀速运动，过点P 作直线PM ⊥AC 交折线段A ﹣C ﹣D 于M ．（1）如图2，当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A →B →D 的路线运动，且在AB 上以每秒1的速度匀速运动，在BD 上以每秒2的速度匀速运动，过Q 作直线QN ∥PM 交折线段A ﹣C ﹣D 于N ，设点Q 的运动时间为t 秒，（0＜t ＜10）直线PM 与QN 截四边形ABDC 所得图形的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并求出S 的最大值．（2）如图3，当点P 开始运动的同时，另一动点R 从B 处出发沿B →C →D 的路线运动，且在BC 上以每秒√32的速度匀速运动，在CD 上以每秒2的速度匀速运动，是否存在这样的P 、R ．使△BPR 为等腰三角形？若存在，直接写出点P 运动的时间m 的值，若不存在请说明理由．10．（2019秋•沙坪坝区校级期末）如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，连接AC ，动点P 从A 点出发沿射线AB 方向运动，同时动点Q 从B 点出发以与P 点相同的速度沿射线BC 方向运动，连接AQ ，CP ，直线AQ 与直线CP 交于点H ．（1）如图1，当P ，Q 两点分别在线段AB 和线段BC 上时，直接写出∠CHQ 的度数；（2）如图2，当P ，Q 两点分别运动到线段AB 和线段BC 的延长线上时，试问（1）问中的结论是否成立：若成立请说明理由，若不成立，请求出∠CHQ 的度数；（3）如图3，在（2）问的前提下，连接DH ，过点D 作DE ⊥PH 交PH 延长线于点E ．求证：AH ﹣CE =12DH ．11．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，点E ，点F 分别在线段OB ，线段AB 上，且AF ＝OE ，连接AE 交OF 于G ，连接DG 交AO 于H ．（1）如图1，若点E为线段BO中点，AE=√5，求BF的长；（2）如图2，若AE平分∠BAC，求证：FG＝HG；（3）如图3，点E在线段BO（含端点）上运动，连接HE，当线段HE长度取得最大值时，直接写出cos ∠HDO的值．12．（2020•沙坪坝区自主招生）在▱ABCD中，AF平分∠BAD交BC于点F，∠BAC＝90°，点E是对角线AC上的点，连结BE．（1）如图1．若AB＝AE，BF＝3，求BE的长；（2）如图2，若AB＝AE，点G是BE的中点，∠F AG＝∠BFG，求证：AB=√10FG；（3）如图3，以点E为直角顶点，在BE的右下方作等腰直角△BEM，若点E从点A出发，沿AC运动到点C停止，设在点E运动过程中，BM的中点N经过的路径长为m，AC的长为n，请直接写出nm的值．13．（2020•巴南区自主招生）已知，在矩形ABCD中，AB＝2，点E在边BC上，且AE⊥DE，AE＝DE，点F是BC的延长线上一点，AF与DE相交于点G，DH⊥AF，垂足为H，DH的延长线与BC相交于点K．（1）如图1，求AD的长；（2）如图2，连接KG，求证：AG＝DK+KG；（3）如图3，设△ADM与△ADH关于AD对称，点N、Q分别是MA、MD的中点，请直接写出BN+NQ 的最大值．14．（2020•南岸区自主招生）如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，连接AE，过点E作EM ⊥AE，交对角线AC于点M，过点M作MN⊥AB，垂足为N，连接NE．（1）求证：AE=√2NE+ME；（2）如图2，延长EM至点F，使EF＝EA，连接AF，过点F作FH⊥DC，垂足为H．猜想CH与FH存在的数量关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，若点G是AF的中点，连接GH．当GH＝CH时，直接写出GH与AC之间存在的数量关系．15．（2020•北碚区自主招生）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E为线段BO上一点，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转90°得到CF，连接EF交CD于点G．（1）若AB＝4，BE=√2，求△CEF的面积．（2）如图2，线段FE的延长线交AB于点H，过点F作FM⊥CD于点M，求证：BH+MG=√22BE；（3）如图3，点E为射线OD上一点，线段FE的延长线交直线CD于点G，交直线AB于点H，过点F 作FM垂直直线CD于点M，请直接写出线段BH、MG、BE的数量关系．16．（2019秋•九龙坡区校级期末）已知，在平行四边形ABCD中，∠D＝60°，点F，G在边BC上，且AF＝AG．（1）如图1，若AG平分∠F AC，∠AFC＝5∠BAF，且AF＝4，求线段AC的长；（2）如图2，点E在边AB上，且BE＝EF，证明：AE＝BG；（3）在（2）的条件下，连接CE（如图3），若∠AEC＝∠ACD，你能得到AD，FG，BE怎样的数量关系？试证明你的猜想．17．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，已知在矩形ABCD中，AD＝8，CD＝4，点E从点D出发，沿线段DA以每秒1个单位长的速度向点A方向移动，到达A点停止运动；同时点F从点C出发，沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度移动，到达D点停止运动，设点E移动的时间为t（秒）．（1）当t＝1时，求四边形BCFE的面积；（2）设四边形BCFE的面积为S，求S与t之间的关系式，并写出t的取值范围；（3）若F点到达D点后立即返回，并在线段CD上往返运动，当E点到达A点时它们同时停止运动，求当t为何值时，以E，F，D三点为顶点的三角形是等腰三角形，并求出此的等腰三角形的面积S△EDF．18．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知，在▱ABCD中，AB⊥BD，AB＝BD，E为射线BC上一点，连接AE 交BD于点F．（1）如图1，若点E与点C重合，且AF＝2√5，求AD的长；（2）如图2，当点E在BC边上时，过点D作DG⊥AE于G，延长DG交BC于H，连接FH．求证：AF＝DH+FH；（3）如图3，当点E在射线BC上运动时，过点D作DG⊥AE于G，M为AG的中点，点N在BC边上且BN＝1，已知AB＝4√2，请直接写出MN的最小值．19．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC．（1）如图1，若点D、E分别在BC、AC边上，且CD＝CE，连接AD、BE，点O、M、N分别是AB、AD、BE的中点．求证：△OMN是等腰直⻆三角形；（2）将图1中△CDE绕着点C顺时针旋转90°如图2，O、M、N分别为AB、AD、BE中点，则（1）中的结论是否成⽴，并说明理由；（3）如图3，将图1中△CDE绕着点C顺时针旋转，记旋转⻆为α（0＜α＜360°），O、M、N分别为AB、AD、BE中点，当MN=√10，请求出四边形ABED的⽴积．20．（2019秋•九龙坡区期末）（1）如图1，四边形EFGH中，FE＝EH，∠EFG+∠EHG＝180°，点A，B分别在边FG，GH上，且∠AEB=12∠FEH，求证：AB＝AF+BH．（2）如图2，四边形EFGH中，FE＝EH，点M在边EH上，连接FM，EN平分∠FEH交FM于点N，∠ENM＝α，∠FGH＝180°﹣2α，连接GN，HN．①找出图中与NH相等的线段，并加以证明；②求∠NGH的度数（用含α的式子表示）．21．（2019秋•吉州区期末）【问题情境】如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．【探究展示】（1）直接写出AM、AD、MC三条线段的数量关系：；（2）AM＝DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展延伸】（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．22．（2019春•江北区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，点A （﹣2，0），线段AB＝8，线段AD＝6，且∠BAD＝60°，AD与y的交点记为E，连接BE．（1）求▱ABCD的面积．（2）如图2，在线段BE上有两个动点G、K（G在K点上方），且KG=√3，点F为BC中点，点P为线段CD上一动点，当FG+GK+KP的值最小时，求出此时P点的坐标；此时在y轴上找一点H，x轴上线一点M，使得PH+HM−√22AM取得最小值，请求出PH+HM−√22AM的最小值．（3）如图3，将△AOE沿射线EB平移到△A′O'E'的位置，线段E′A′的中点N落在x轴上，此时再将△A′O'E'绕平面内某点W旋转90°，旋转后的三角形记为△A''O''E''，若△A''O''E'恰好只有两个顶点同时落在直线BC和直线BE上，且△A''E''B''的边均不在直线BC或直线BE上，请求出满足条件的W的坐标．23．（2019秋•北碚区校级月考）已知平行四边形ABCD中，N是边BC上一点，延长DN、AB交于点Q，过A作AM⊥DN于点M，连接AN，则AD⊥AN．（1）如图①，若tan∠ADM=34，MN＝3，求BC的长；（2）如图②，过点B作BH∥DQ交AN于点H，若AM＝CN，求证：DM＝BH+NH．24．（2019秋•沙坪坝区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，过A作AE⊥CD于点E，点G，F分别为AD，BC上一点，连接CG交AE于点H，连接AF，AF＝AH，∠GCF＝∠F AE＝45°．（1）若tan∠DAE=23，GH＝4，求AF的长；（2）求证：AG+√2GH＝GC．25．（2020春•北碚区校级期末）已知在△ABC和△ADE中，∠ACB+∠AED＝180°，CA＝CB，EA＝ED，AB＝3．（1）如图1，若∠ACB＝90°，B、A、D三点共线，连接CE：①若CE=5√22，求BD长度；②如图2，若点F是BD中点，连接CF，EF，求证：CE=√2EF；（2）如图3，若点D在线段BC上，且∠CAB＝2∠EAD，试直接写出△AED面积的最小值．26．（2020春•重庆期末）已知三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D（0，﹣4），M（4，﹣4）．（1）如图1，若点C与点O重合，A（﹣2，2）、B（4，4），求△ABC的面积；（2）如图2，AC经过坐标原点O，点C在第三象限且点C在直线DM与x轴之间，AB分别与x轴，直线DM交于点G，F，BC交DM于点E，若∠AOG＝55°，求∠CEF的度数；（3）如图3，AC经过坐标原点O，点C在第三象限且点C在直线DM与x轴之间，N为AC上一点，AB分别与x轴，直线DM交于点G，F，BC交DM于点E，∠NEC+∠CEF＝180°，求证：∠NEF＝2∠AOG．27．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为斜边作Rt△AEC，∠AEC＝90°，AB与CE相交于点D．（1）如图1，AB平分∠CAE，BD＝4，CD＝5，求AC；（2）如图2，若AC＝BC，点F在EA的延长线上，连接FB、FC，FB与CE相交于点G，且∠EAD＝∠ACF，求证：AF＝2GE；（3）如图3，在（2）的条件下，CE的中垂线与AB相交于点Q，连接EQ，若∠DEQ+2∠ACE＝90°，请直接写出线段FC、ED、EQ的关系．28．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是AC边上一点，以BD为边作等腰直角△BDE，其中BD＝BE，∠DBE＝90°，边AB与DE交于点F，点G是BC上一点．（1）如图1，若DG⊥DE，连接FG．①若∠ABD＝30°，DE=√6+√2，求BF的长度；②求证：DG＝EF﹣FG；（2）如图2，若DG⊥BD，EP⊥BE交BA的延长线于点P，连接PG，请猜想线段PG，DG，PE之间的数量关系，并证明．29．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，在等边△ABC中，延长AB至点D，延长AC交BD的中垂线于点E，连接BE，DE．（1）如图1，若DE＝3√10，BC＝2√3，求CE的长；（2）如图2，连接CD交BE于点M，在CE上取一点F，连接DF交BE于点N，且DF＝CD，求证：AB=12EF；（3）在（2）的条件下，若∠AED＝45°，直接写出线段BD，EF，ED的等量关系．30．（2020春•沙坪坝区校级月考）在△ABC中，AC＝BC，点G是直线BC上一点，CF⊥AG，垂足为点E，BF⊥CF于点F，点D为AB的中点，连接DF．（1）如图1，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，设CF交AB于点R，且E为CR的中点，若CG＝1，求线段BG的长；（2）如图2，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，求证：EF=√2DF；（3）如图3，如果∠ACB＝60°，且G在CB的延长线上，∠BAG＝15°，请探究线段EF、BD之间的数量关系，并直接写出你的结论．31．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图所示，△ABC为等边三角形，点D，点E分别在CA，CB的延长线上，连接BD，DE，DB＝DE．（1）如图1，若CA：AD＝3：7，BE＝4，求EC的长；（2）如图2，点F在AC上，连接BE，∠DBF＝60°，连接EF，①求证：BF+EF＝BD；②如图3，若∠BDE＝30°，直接写出EFBF的值．32．（2020春•沙坪坝区校级月考）在△ABC，△CDE中，∠BAC＝∠DEC＝90°，连接BD，F为BD中点，连接AF，EF．（1）如图1，若A，C，E三点在同一直线上，∠ABC＝∠EDC＝45°，已知AB＝3，DE＝5，求线段AF的长；（2）如图2，若∠ABC＝∠EDC＝45°，求证：△AEF为等腰直角三角形；（3）如图3，若∠ABC＝∠EDC＝30°，请判断△AEF的形状，并说明理由．33．（2019秋•渝中区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，以AC为边作等边△ACD，连接BD．（1）如图1，若∠ACB＝90°，AB＝4，求△BCD的面积；（2）如图2，若∠ACB＜90°，点E为BD中点，连接AE、CE，且AE⊥CE，延长BC至点F，连接AF，使得∠F＝30°，求证：AF＝CE+√3AE．34．（2020春•南岸区期末）把△ABC绕着点A逆时针旋转α，得到△ADE．（1）如图1，当点B恰好在ED的延长线上时，若α＝60°，求∠ABC的度数；（2）如图2，当点C恰好在ED的延长线上时，求证：CA平分∠BCE；（3）如图3，连接CD，如果DE＝DC，连接EC与AB的延长线交于点F，直接写出∠F的度数（用含α的式子表示）．35．（2020春•渝中区期末）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，以DE为边向外作正方形DEFG，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，连接AG．（1）如图1，若AD＝2√3、DE＝2，当∠ADG＝150°时，求AG的长；（2）如图2，正方形DEFG绕点D旋转的过程中，取AG的中点M，连接DM、CE，猜想：DM和CE 之间有何等量关系？并利用图2加以证明．36．（2020春•沙坪坝区校级月考）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点M是对角线BD上一动点，将线段CM绕点C顺时针旋转120°到CN，连接DN，连接NM并延长，分别交AB、CD于点P、Q．（1）如图1，若CM⊥BD且PQ＝4√3，求菱形ABCD的面积；（2）如图2，求证：PM＝QN．37．（2019秋•江津区期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC＝CD，∠BAC＝90°，点E为BC边上一点，将AE绕点A顺时针旋转90°后得到线段AF，连接FB，FB⊥BC．且FB的延长线与AE的延长线交于点G，点E是AG的中点．（1）若BG＝2，BE＝1，求FG的长；（2）求证：√2AB＝BG+2BE．38．（2020春•渝北区期中）如图1，光线照射在光滑表面上时会发生反射现象，入射光线与镜面的夹角等于出射光线与镜面的夹角，即∠1＝∠2．（1）如图1，AB、BC为两个平面镜，∠B＝90°，一束光线l经两次反射后，经点D，由从点E射出，求证：DM∥EN；（2）如图2，AB、BC为两个平面镜，∠B＝122°，一束光线l经两次反射后，经点D，且由从点E射出，且EN⊥AB，求∠ADM的度数；（3）如图3，已知FL∥GS，FG⊥GS，∠LPK＝∠SQK＝30°，∠PKQ绕点K顺时针旋转，旋转速度为5°/秒，记旋转角α（0＜α≤360°），同时，射线FG绕点F顺时针旋转，旋转速度为3°/秒，记旋转角β（0＜β≤360°），当FG所在直线平行于∠PKQ边所在直线时，直接写出对应时间t的所有值．。

中考数学《二次函数图像的几何变换》专项练习题及答案

中考数学《二次函数图像的几何变换》专项练习题及答案一、单选题1．在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2﹣4先向右平移两个单位，再向上平移两个单位，得到的抛物线的解析式是（）A．y=（x+2）2+2B．y=（x﹣2）2﹣2C．y=（x﹣2）2+2D．y=（x+2）2﹣22．将抛物线影响y=-x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（）A．y=-（x+2）2B．y=-x2+2C．y=-（x-2）2D．y=-x2-23．若将抛物线y=5x2先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，可得到新的抛物线是（）A．y=5(x+2)2+3B．y=5(x−2)2+3C．y=5(x+2)2−3D．y=5(x−2)2−34．在平面直角坐标系内，将抛物线y=(x+2)2−3经过两次平移后，得到的新抛物线为y=(x−1)2−4.下列对这一平移过程描述正确的是（）A．先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B．先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C．先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D．先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度5．下列平移中，不能使二次函数y=2x2+4x−6经过原点的是（）A．向左平移1个单位B．向右平移3个单位C．向上平移6个单位D．向上平移8个单位6．二次函数y＝x2－1的图象可由下列哪个函数图象向右平移2个单位，向下平移2个单位得到（）A．y=(x−2)2+1B．y=(x+2)2+1C．y=(x−2)2−3D．y=(x+2)2+37．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，点A（4，0），以OA为对角线作正方形ABOC，若将抛物线y= 12x2沿射线OC平移得到新抛物线y= 12（x-m）2+k（m＞0）．则当新抛物线与正方形的边AB有公共点时，m的值一定是（）A．2，6，8B．0<m≤6C．0<m≤8 D．0<m≤2 或6 ≤ m≤88．将抛物线y＝3x2的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后，得到的抛物线解析式是（）A．y＝3（x﹣2）2﹣5B．y＝3（x﹣2）2+5C．y＝3（x+2）2﹣5D．y＝3（x+2）2+59．在平面直角坐标系中，对于二次函数y=(x−2)2+1，下列说法中错误的是（）A．y的最小值为1B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x=2C．当x<2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小D．它的图象可以由y=x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到10．抛物线y＝12x2向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式是（）A．y＝12（x+1）2﹣2B．y＝12（x﹣1）2+2C．y＝12（x﹣1）2﹣2D．y＝12（x+1）2+211．将二次函数y=x2的图象如何平移可得到y=x2+4x+3的图象（）A．向右平移2个单位，向上平移一个单位B．向右平移2个单位，向下平移一个单位C．向左平移2个单位，向下平移一个单位D．向左平移2个单位，向上平移一个单位12．把抛物线y=(x+2)2向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得抛物线是（）A．y=(x+2)2+2B．y=(x+1)2−2C．y=x2+2D．y=x2−2二、填空题13．将抛物线y=﹣x2先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后所得抛物线的解析式为．14．抛物线y=-x2-2x+3可由抛物线y=ax2平移得到，则a的值是。

专题04图形的变换-2021版[中考15年]河北省2002-2021年中考数学试题分项解析(原卷版)

]河北省2002-2021专题04 图形的变换1. （2004年河北省大纲2分）如图，一个经过改造的台球桌面上四个角的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入【】球袋A、1号B、2号C、3号D、4号2. （2004年河北省课标2分）图中几何体的主视图是【】A．B．C．D．3. （2004年河北省课标2分）如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多反射），那么该球最后将落入的球袋是【】4. （2005年河北省大纲2分）一根绳子弯曲成如图1所示的形状．当用剪刀像图2那样沿虚线a把绳子剪断时，绳子被剪为5段；当用剪刀像图3那样沿虚线b（b∥a）把绳子再剪一次时，绳子就被剪为9段．若用剪刀在虚线a，b之间把绳子再剪（n﹣2）次（剪刀的方向与a平行），这样一共剪n次时绳子的段数是【】A．4n+1 B．4n+2 C．4n+3D．4n+55. （2005年河北省课标2分）图中几何体的主视图是【】A．B．C．D．6. （2005年河北省课标2分）将一正方形纸片按图中⑴、⑵的方式依次对折后，再沿⑶中的虚线裁剪，最后将⑷中的纸片打开铺平，所得图案应该是下面图案中的【】A．B．C．D．7. （2006年河北省大纲课标2分）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是3x2y19x4y23+=⎧⎨+=⎩类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为【】A．2x y114x3y27+=⎧⎨+=⎩B．2x y114x3y22+=⎧⎨+=⎩C．3x2y19x4y23+=⎧⎨+=⎩D．2x y64x3y27+=⎧⎨+=⎩8. （2006年河北省大纲2分）观察图给出的四个点阵，s表示每个点阵中的点的个数，按照图形中的点的个数变化规律，猜想第n个点阵中的点的个数s为【】A ．3n 2-B ．3n 1-C ．4n 1+D ．4n 3-9. （2006年河北省大纲2分）小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张矩形纸片按图1的方式进行折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm ；展开后按图2的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm ，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是【】A ．0.5cmB ．1cmC ．1.5cmD ．2cm10. （2006年河北省课标2分）图中几何体的主视图是【】A ．B ．C ．D ．11. （2006年河北省课标2分）如图，现有一圆心角为90°，半径为8cm 的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为【】A ．4cmB ．3cmC ．2cmD ．1cm12. （2007年河北省2分）我国古代的“河图”是由3×3的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等．图给出了“河图”的部分点图，请你推算出P 处所对应的点图是【】A．B．C．D．13. （2008年河北省2分）有一个四等分转盘，在它的上、右、下、左的位置分别挂着“众”、“志”、“成”、“城”四个字牌，如图1．若将位于上下位置的两个字牌对调，同时将位于左右位置的两个字牌对调，再将转盘顺时针旋转90，则完成一次变换．图2，图3分别表示第1次变换和第2次变换．按上述规则完成第9次变换后，“众”字位于转盘的位置是【】A．上B．下C．左D．右14. （2009年河北省2分）从棱长为2的正方体毛坯的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的表面积是【】A．20 B．22 C．24 D．2615. （2009年河北省2分）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是【】A．13 = 3+10 B．25 = 9+16 C．36 = 15+21 D．49 = 18+3116. （2010年河北省2分）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1．在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是【】A．6 B．5 C．3 D．217. （2011年河北省2分）将图①围成图②的正方体，则图②中的红心“”标志所在的正方形是正方体中的【】A．面CDHE B．面BCEF C．面ABFG D．面ADHG18. （2011年河北省3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=6，D，E分别在AB，AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为【】A．12B．5 C．6 D．719. （2012年河北省2分）图中几何体的主视图为【】A．B．C．D．A．70°B．40°C．30°D．20°21. （2012年河北省3分）如图，两个正方形的面积分别为16，9，两阴影部分的面积分别为a，b（a＞b），则（a－b）等于【】A．7 B．6 C．5 D．422.【2014中考河北3分】图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中正方形顶点A，B在围成的正方体的距离是【】A、0B、1C、2D、3对于两人的观点，下列说法正确的是【】A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对24.【2015中考河北3分】一张菱形纸片按图1-1、图1-2依次对折后.再按图l-3打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是（）A. B. C. D.25.【2015中考河北3分】图中的三视图所对应的几何体是（）A. B.C. D.26. 【2016中考河北3分】下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A B C D27.【2016中考河北2分】如图，将ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B’处.若∠1=∠2=44°，则∠B为（）第13题图A．66°B．104°C．114°D．124°1. （2003年河北省2分）如图，是用火柴棍摆出的一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当边上摆8（即n=8）根时，需要的火柴总数为▲ 根.2. （2005年河北省大纲2分）如图，已知圆锥的母线长OA=8，底面圆的半径r=2．若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到了A点，求小虫爬行的最短路线的长▲ ．3. （2006年河北省课标3分）图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为▲ m．（结果保留根号）4. （2006年河北省课标3分）小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张矩形纸片按图1的方式进行折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm；展开后按图2的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是▲ cm．5. （2007年河北省3分）如图，在10×6的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位长），⊙A的半径为1，⊙B的半径为2，要使⊙A与静止的⊙B内切，那么⊙A由图示位置需向右平移▲ 个单位长．6. （2009年河北省3分）如图，等边△ABC的边长为1 cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为▲ cm．7. （2011年河北省3分）如图中图①，两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置得到图②，则阴影部分的周长为▲8. （2012年河北省3分）用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为▲ 。

【中考12年】福建省福州市2001-2012年中考数学试题分类解析专题4 图形的变换

1111
的渐开线”，其中 DA1、A1B1、B1C1、C1D1 …的圆心依次按 A、B、C、D 循环，它依次连接．取 AB＝1，则曲线 DA1B1C2D2A2 的长是 ▲ （结果保留 π）．
【答案】18 。
【考点】新定义，正方形的性质。
【分析】根据“正方形的渐开线”的定义，DA1、A1B1、B1C1、C1D1 C2D2 分别为半径为 1，
2，…7，8
的
1 4
圆弧，因此，曲线
DA B …C D
11
22
的长是
1 4
2+4+6+8+10+12+14+16 =18
。
6 / 29
word
2. （2004 年某某某某 3 分）图中是一幅“苹果图”，第一行有 1 个苹果，第二行有 2 个，第三行有 4 个，第四行有 8 个，…，你是否发现苹果的排列规律？猜猜看，第六行有 ▲ 个苹果、第十行有
D．15+ 5 5
【答案】C。
【考点】动点问题，圆心角、弧、弦的关系，勾股定理。
【分析】∵由于 AC 和 BC 值固定，点 P 在弧 AD 上，而 B 是圆心，所以 PB 的长也是定值，因
此，只要 AP 的长为最大值。
∴当 P 的运动到 D 点时，AP 最长为 5 2 。
∴四边形 ACBP 周长的最大值是 5×3+5 2 =15+5 2 。故选 C。 10. （2010 年某某某某 4 分）下面四个立体图形中，主视图是三角形的是【】
2
∵这三个数中 36 最大，∴使花坛面积最大的图案是圆。故选 C。
2. （2004 年某某某某 4 分）下列图形中能够用来作平面镶嵌的是【】

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中国最负责的教育品牌河南省数学中考专题----几何图形变换1、（09年河南中考题）21. (10分)如图，在Rt△ABC 中，∠ACB =90°, ∠B =60°，BC =2．点0是AC 的中点，过点0的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB 边于点D .过点C 作CE ∥AB 交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α.(1)①当α=________度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为_________； ②当α=________度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为_________；(2)当α=90°时,判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．2、（10年河南中考题）19．（9分）如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，E 是BC 的中点，AD =5，BC =12，CD =42，∠C =45°，点P 是BC 边上一动点，设PB 的长为x ．（1）当x 的值为____________时，以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形为直角梯形；（2）当x 的值为____________时，以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形为平行四边形；（3）点P 在BC 边上运动的过程中，以P 、A 、D 、E 为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．3、（11年河南中考题）22. （10分）如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，BC =53，∠C =30°.点D 从点C 出发沿CA 方向以每秒2个单位长的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D 、E 运动的时间是t 秒（t ＞0）.过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE 、EF .（1）求证：AE =DF ；（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由.（3）当t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由.A DB P E C4、（12年河南中考题）18.（9分）如图，在菱形ABCD 中，AB =2，∠DAB =60°，点E 是AD 边的中点，点M 是AB 边上一动点（不与点A 重合），延长ME 交射线CD 于点N ，连接MD 、AN 。

（1）求证：四边形AMDN 是平行四边形；（2）填空：①当AM 的值为_____时，四边形AMDN 是矩形；②当AM 的值为_______时，四边形AMDN 是菱形。

5、（13年河南中考题）18.（9分）如图，在等边三角形ABC 中，BC =6cm. 射线AG //BC ，点E 从点A 出发沿射线AG 以1cm/s 的速度运动，同时点F 从点B 出发沿射线BC 以2cm/s 的速度运动，设运动时间为t (s).（1）连接EF ，当EF 经过AC 边的中点D 时，求证：△ADE ≌△CDF ；（2）填空：①当t 为_________s 时，四边形ACFE 是菱形；②当t 为_________s 时，以A 、F 、C 、E 为顶点的四边形是直角梯形.6、（10年郑州市实验中学模拟试卷）23．如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=8cm ，动点P 从点A 开始沿AC 向点C 以每秒2厘米的速度运动，同时动点Q 从点C 开始沿CB 边向点B以每秒1厘米的速度运动．设运动的时间为t 秒（0＜t ＜5），△PQC 的面积为Scm 2．（1）求S 与t 之间函数关系式．（2）当t 为何值时，△PQC 的面积最大，最大面积是多少？（3）在P 、Q 的移动过程中，△PQC 能否为直角三角形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由．E CD M B NA第18题E F C D B A7、（12年郑州市模拟试卷）20．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，E为AB上任意一动点，以CE为斜边作等腰直角△CDE，连接AD，（1）当点E运动过程中∠BCE与∠ACD的关系是（2）AD与BC有什么位置关系？说明理由．（3）四边形ABCD的面积是否有最大值？如果有，最大值是多少？如果没有，说明理由．8、（11年郑州市模拟试卷）24．如图，△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，到达点B后，立刻以原速度返回，到达C后再返回，如此循环；点Q同时从点B出发，向点A以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止运动，当点Q停止运动时点P也停止运动．设点P、Q运动的时间为t秒（t ＞0），（1）当t=2时，BP= ___________；Q到BC的距离是 ____________。

（2）在点P第一次向B运动的过程中，求四边形ACPQ的面积与t的函数关系式（不写t 的取值范围）；（3）在点P、Q运动的过程中，四边形ACPQ能否成为直角梯形？若能，请直接写出t的值；若不能，请说明理由．9、（13年郑州市模拟试卷）30．如图①，四边形AEFG和ABCD都是正方形，它们的边长分别为a，b（b≥2a），且点F在AD上（以下问题的结果均可用a，b的代数式表示）．（1）求S△DBF；（2）把正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的S△DBF；（3）把正方形AEFG绕点A旋转一周，在旋转的过程中，S△DBF是否存在最大值、最小值？如果存在，直接写出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由．10、（12年信阳市二中模拟试卷）19．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E是AD的中点，AD=4，BC=6，点P是BC边上的动点（不与点B重合），PE与BD相交于点O，设PB的长为x．（1）当P点在BC边上运动时，求证：△BOP∽△DOE．（2）当x= _______时，四边形ABPE是平行四边形；当x= _________时，四边形ABPE是直角梯形；（3）当P在BC上运动的过程中，四边形ABPE会不会是等腰梯形？试说明理由．11、（12年信阳市淮滨县模拟试卷）22．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=6，BC=12．动点P从D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向终点C运动，动点Q从C点出发沿CB以每秒2个单位的速度向B点运动．两点同时出发，当P点到达C点时，Q点随之停止运动．（1）梯形ABCD的面积等于 __________（2）当PQ∥AB时，P点离开D点的时间等于 ____________秒；（3）当P，Q，C三点构成直角三角形时，P点离开D点多少时间？12、（2010年南阳油田二模试卷）23．正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时x的值．13、（2011年南阳市宛城区模拟试卷）22．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=90°，E是AD的中点，点P是BC边上的动点（不与点B重合），EP与BD相交于点O．（1）当P点在BC边上运动时，求证：△BOP∽△DOE；（2）设（1）中的相似比为k，若AD：BC=2：3．请探究：当k为下列三种情况时，四边形ABPE是什么四边形？①当k=1时，是 ___________；②当k=2时，是 ____________；③当k=3时，是 _________。

并证明k=2时的结论．14、（2010年漯河市龙城一中模拟试卷）21．在正方形ABCD中，点P是CD边上一动点，连接PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为E、F，如图①．（1）请探究BE、DF、EF这三条线段的长度具有怎样的数量关系？若点P在DC的延长线上，如图②，那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P在CD的延长线上呢，如图③，请分别直接写出结论；（2）就（1）中的三个结论选择一个加以证明．15、（2009年新乡市模拟试卷）22．在如图所示的网格中，每个小正方形边长为1．（1）以MN所在的直线为对称轴，画出四边形ABCD的轴对称图形AB1C1D1；（2）将△ABD以点B为旋转中心，顺时针旋转90°后，再向下平移8个单位长度，然后向左平移6个单位长度，得到△A2B2C2，请将（1）、（2）中得到的图形用铅笔涂黑，你得到一幅美丽的图案；（3）计算CC1的长．16、（2009年新乡市模拟试卷）26．已知菱形ABCD中，∠BAD=120°，过点A分别作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，且∠EAF=60°，易证：BE+DF=AB；当∠EAF绕着点A逆时针方向旋转到∠EAF的两边与菱形的两边BC、CD（或两边BC、CD的延长线）相交，但不垂直时（如图2、图3），上述结论是否还成立．如果成立，请给予证明；如果不成立，请直接写出线段BE、DF、AB三者之间的数量关系，不用证明．17、（2010年新乡市模拟试卷） 21．已知△ABC和△FDE是顶角相等的两个等腰三角形，AB=AC，FD=FE，把点F放到与A点重合，E在线段BC的延长线上．（1）如图1，若∠BAC=∠DFE=60°，此时∠DCE= ___________；（2）如图2，若∠BAC=∠DFE=95°，此时∠DCE= _____________；（3）若∠BAC=∠DFE=n°，将△FDE沿线段AC向下滑动，如图3所示，试猜想此时∠DCE 的度数，并写出详细求解过程18、（2012年新乡市调研试卷）22．如图，△ABC中AB=6cm，BC=4cm，∠B=60°．动点P，Q分别从A，B两点同时出发，分别沿AB，BC方向匀速移动．它们的速度分别为2cm/s和1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；当点P运动到什么位置时，四边形APQC的面积最小，并求出最小面积．19、（2011年商丘市外国语中学模拟试卷）17．如图，网络中每个小正方形的边长为1，点C的坐标为（0，1）．（1）画出直角坐标系（要求标出x轴，y轴和原点）并写出点A的坐标；（2）以△ABC为基本图形，利用轴对称或旋转或平移设计一个图案，说明你的创意．20、（2011年驻马店市模拟试卷）20．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．21、（2013年郑州市荥阳四中模拟试卷）22．如图1，若四边形ABCD、四边形GFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE；（1）当正方形GFED绕D旋转到如图2的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（2）当正方形GFED绕D旋转到如图3的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M．①求证：AG⊥CH；②当AD=4，DG= 时，求CH的长．22．(2011 安阳模拟)如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，∠ABC=60°，AB=1，E、F分别是线段BO、DO上不与点O重合的点，且BE=DF．（1）探究：当BC的长为多少时，四边形AECF是菱形？并说明理由．（2）当四边形AECF是正方形时，求DF的长．23．(2012 安阳模拟)已知，如图，在△ABC中，AB=AC，点P是△ABC的中线AD上的任意一点（不与点A重合．将线段AP绕点A逆时针旋转到AQ，使∠PAQ=∠BAC，连接BP，CQ（1）求证：BP=CQ．（2）设直线BP与直线CQ相交于点E，∠BAC=α，∠BEC=β，①若点P在线段AD上移动（不与点A重合），则“α与β之间有怎样的数量关系？并说明理由．②若点P在直线AD上移动（不与点A重合）．则α与β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．24．(2013洛阳模拟2)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在射线DE上，并且EF=AC．（1）求证：AF=CE；（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论；（3）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？25．(2013洛阳模拟3)将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB=2AC上的一个动点．（1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，连接DP，求DP的长；（2）当点P在运动过程中出现PD=BC时，求此时∠PDA的度数；（3）当点P运动到什么位置时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上？求出此时▱DPBQ的面积．26．(2013 洛阳模拟1)如图，△ABC中AB=6cm，BC=4cm，∠B=60°．动点P，Q 分别从A，B两点同时出发，分别沿AB，BC方向匀速移动．它们的速度分别为2cm/s和1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；当点P运动到什么位置时，四边形APQC的面积最小，并求出最小面积．27．(2012 开封模拟1)刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见下图①、②．图①中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm；图②中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4cm．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上（移动开始时点D与点A重合）．（1）在△DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离．（填“不变”、“变大”或“变小”）（2）刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：问题①：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行？问题②：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形？请你分别完成上述二个问题的解答过程．28．(2012 开封模拟2)如图．△ABC中AB=6cm，BC=4cm，∠B=60°，动点P、Q 分别从A、B两点同时出发．分别沿AB、BC方向匀速移动；它们的速度分别为2cm/s和1cm/s．当点P到达点B时．P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s）．当t为时，△PBQ为直角三角形29．(2011 平顶山模拟角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．30．(2011 平顶山模拟)如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1关于点E成中心对称．（1）画出对称中心E，并写出点E、A、C的坐标；（2）P（a，b）是△ABC的边AC上一点，△ABC经平移后点P的对应点为P2（a+6，b+2），请画出上述平移后的△A2B2C2，并写出点A2、C2的坐标；（3）判断△A2B2C2和△A1B1C1的位置关系．（直接写出结果）31．(2012 平顶山模拟)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10，P 是AB边上的一个动点（异于A、B两点），过点P作PQ⊥AC于Q，以PQ为边向下作等边三角形PQR．设AP=x，△PQR与△ABC重叠部分的面积为y，连接RB．（1）当x=2时，求y的值；（2）当x取何值时，四边形AQRB是等腰梯形；当x取何值时，四边形PQRB是平行四边形．32．(2013 平顶山模拟)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6．P是AB 边上的一个动点（异于A、B两点），过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足为M、N．设AP=x．（1）在△ABC中，AB= ；（2）当x= 时，矩形PMCN的周长是14；（3）是否存在x的值，使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等？请说出你的判断，并加以说明．33．（2011 鹤壁模拟）如图，一个直角三角形纸片的顶点A在∠MON的边OM上移动，移动过程中始终保持AB⊥ON于点B，AC⊥OM于点A．∠MON的角平分线OP分别交AB、AC于D、E两点．（1）点A在移动的过程中，线段AD和AE有怎样的数量关系，并说明理由．（2）点A在移动的过程中，若射线ON上始终存在一点F与点A关于OP所在的直线对称，判断并说明以A、D、F、E为顶点的四边形是怎样特殊的四边形？（3）若∠MON=45°，猜想线段AC、AD、OC之间有怎样的数量关系，只写出结果即可．不用证明．34．（2013 鹤壁模拟）如图，四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP垂直x轴于点P，连接AC交NP于Q，连接MQ．（1）点（填M或N）能到达终点；（2）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．35．（2010 许昌模拟1）如图，直线l与x轴、y轴分别交于点M（8，0），点N（0，6）．点P从点N出发，以每秒1个单位长度的速度沿N⇒O方向运动，点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿O→M的方向运动．已知点P、Q同时出发，当点Q达点M时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒．（1）设四边形MNPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围．（2）当t为何值时，PQ与l平行．36．（2010 许昌模拟2）（1）把两个含有45°角的直角三角板如图1放置，点D在BC上，连接BE，AD，AD的延长线交BE于点F．求证：AF⊥BE．（2）把两个含有30°角的直角三角板如图2放置，点D在BC上，连接BE，AD，AD的延长线交BE于点F．问AF与BE是否垂直？并说明理由．37．（2011 鹤壁模拟）（1）如图，△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC于D，E 两点，过点E作EF∥AB交BC于点F．请按图示数据填空：四边形DBFE的面积S= ，△EFC的面积S1= ，△ADE的面积S2= ．探究发现（2）在（1）中，若BF=a，FC=b，DE与BC间的距离为h．请证明S2=4S1S2．拓展迁移（3）如图，▱DEFG的四个顶点在△ABC的三边上，若△ADG、△DBE、△GFC的面积分别为2、5、3，试利用（2）中的结论求△ABC的面积．38．（2012 鹤壁模拟）已知，四边形ABCD是正方形，∠MAN=45°，它的两边AM、AN分别交CB、DC与点M、N，连接MN，作AH⊥MN，垂足为点H（1）如图1，猜想AH与AB有什么数量关系？并证明；（2）如图2，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，且BD=2，CD=3，求AD的长；小萍同学通过观察图①发现，△ABM和△AHM关于AM对称，△AHN和△ADN关于AN对称，于是她巧妙运用这个发现，将图形如图③进行翻折变换，解答了此题．你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗？39．（2011 焦作模拟）某物流公司的甲、乙两辆货车分别从A、B两地同时相向而行，并以各自的速度匀速行驶，途经配货站C，甲车先到达C地，并在C地用1小时配货，然后按原速度开往B地，乙车从B地直达A地，图是甲、乙两车间的距离y（千米）与乙车出发x（时）的函数的部分图象．（1）A、B两地的距离是千米，甲车出发小时到达C地；（2）求乙车出发2小时后直至到达A地的过程中，y与x的函数关系式及x的取值范围，并在图中补全函数图象；（3）乙车出发多长时间，两车相距150千米．40．（2011 焦作模拟）如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点，…，最后一个△A n B n C n的顶点B n、C n在圆上．（1）如图1，当n=1时，求正三角形的边长a1；（2）如图2，当n=2时，求正三角形的边长a2；（3）如题图，求正三角形的边长a n（用含n的代数式表示）41．（2013焦作模拟）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABO的三个顶点都在格点上．（1）以O为原点建立直角坐标系，点B的坐标为（-3，1），直接写出点A的坐标；（2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后的△OA1B1，并求点B旋转到B1所经过的路线的长度．42．（2013焦作模拟）以原点为圆心，1cm为半径的圆分别交x、y轴的正半轴于A、B两点，点P的坐标为（2，0）．（1）如图1，动点Q从点B处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动一周，设经过的时间为t秒，当t=1时，直线PQ恰好与⊙O第一次相切，连接OQ．求此时点Q的运动速度（结果保留）；（2）若点Q按照（1）中的方向和速度继续运动，①当t为何值时，以O、P、Q为顶点的三角形是直角三角形；②在①的条件下，如果直线PQ与⊙O相交，请求出直线PQ被⊙O所截的弦长．43．（2013焦作模拟）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm，AC=4cm．动点P从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动．当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC，交AC于点F．设点P 的运动时间为ts，正方形和梯形重合部分的面积为Scm2．（1）当t= s时，点P与点Q重合；（2）当t= s时，点D在QF上；（3）当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，求S与t之间的函数关系式．44．（2013 周口模拟）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为，线段CF、BD的数量关系为；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．45．（2013 周口模拟）已知，四边形ABCD是正方形，∠MAN=45°，它的两边AM、AN分别交CB、DC与点M、N，连接MN，作AH⊥MN，垂足为点H（1）如图1，猜想AH与AB有什么数量关系？并证明；（2）如图2，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，且BD=2，CD=3，求AD的长；小萍同学通过观察图①发现，△ABM和△AHM关于AM对称，△AHN和△ADN关于AN对称，于是她巧妙运用这个发现，将图形如图③进行翻折变换，解答了此题．你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗？46．（2011 周口模拟）在图1至图3中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1=∠2=45°．（1）如图1，若AO=OB，请写出AO与BD的数量关系和位置关系；（2）将图1中的MN绕点O顺时针旋转得到图2，其中AO=OB．求证：AC=BD，AC ⊥BD；（3）将图2中的OB拉长为AO的k倍得到图3，求BDAC的值．47．（2010 周口模拟）如图，在10×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为单位1，将△ABC向右平移4个单位，得到△A′B′C′，再把△A′B′C′绕点A′逆时针旋转90°得到△A″B″C″，请你画出△A′B′C′，和△A″B″C″（不要求写画法）．48．（2010 周口模拟）如图，在△ABC中，∠A=90°，BC=10，△ABC的面积为25，点D为AB边上的任意一点（D不与A、B重合），过点D作DE∥BC，交AC 于点E．设DE=x，以DE为折线将△ADE翻折（使△ADE落在四边形DBCE所在的平面内），所得的△A'DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y．（1）用x表示△ADE的面积；（2）求出0＜x≤5时y与x的函数关系式；（3）求出5＜x＜10时y与x的函数关系式；（4）当x取何值时，y的值最大，最大值是多少？49．（2010 周口模拟）在平面直角坐标系中，图形①与图形②关于点P成中心对称．（I）画出对称中心P，并写出点P的坐标；（II）将图形①向下平移4个单位，画出平移后的图形③；（III）判断图形③与图形②是中心对还是轴对称．50、（2013年郑州市二模23．如图，四边形OABC为正方形，点A在x轴上，点C在y轴上，点B（8，8），点P在边OC上，点M在边AB上．把四边形OAMP沿PM对折，PM为折痕，使点O落在BC边上的点Q处．动点E从点O出发，沿OA边以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，运动时间为t，同时动点F从点O出发，沿OC边以相同的速度向终点C运动，当点E到达点A时，E、F同时停止运动．（1）若点Q为线段BC边中点，直接写出点P、点M的坐标；（2）在（1）的条件下，设△OEF与四边形OAMP重叠面积为S，求S与t的函数关系式；（3）在（1）的条件下，在正方形OABC边上，是否存在点H，使△PMH为等腰三角形，若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由；（4）若点Q为线段BC上任一点（不与点B、C重合），△BNQ的周长是否发生变化，若不发生变化，求出其值，若发生变化，请说明理由．。