高一升高二暑假数学补课专题三

专题三、函数的单调性与最值

一、基础知识

1、单调函数的定义

2

)单3

4

（

函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的

特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调。

（2）函数的单调区间的求法

函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；

如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．

（3）单调区间的表示

单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．

二、典例讲解

题型一 函数单调性的判断 例1 试讨论函数f (x )＝

ax

x －1

(a ≠0)在(－1,1)上的单调性． 探究提高 证明函数的单调性用定义法的步骤：取值—作差—变形—确定符号—下结论． 变式1：(1)已知a >0，函数f (x )＝x ＋a x

(x >0)，证明函数f (x )在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数；

(2)求函数y ＝x 2

＋x －6的单调区间． 题型二 利用函数单调性求参数

例2

若

函数f (x )＝

ax －1

x ＋1

在(－∞，－1)上是减函数，求实数a 的取值范围． 思维启迪：利用函数的单调性求参数的取值范围，解题思路为视参数为已知数，依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参．

探究提高 已知函数的单调性确定参数的值或范围，可以通过解不等式或转化为不等式 恒成立问

题求解；需注意的是，若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的 任意子集上也是单

调的．

变式2： (1)若函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 是R 上的减函数，则a 的取值范围为____________．

(2)函数y ＝

x －5

x －a －2

在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )

A ．a ＝－3

B ．a <3

C ．a ≤－3

D ．a ≥－3

题型三 利用函数的单调性求最值

例3 已

知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－2

3.

(1)求证：f (x )在R 上是减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．

思维启迪：问题(1)对于抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值，证明f (x )为单调减函数的首选方法是用单调性的定义来证．问题(2)用函数的单调性即可求最值．

探究提高 对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x 1，x 2在所给区间内比较f (x 1)－f (x 2)与0的大小，或

f ?x 1?

f ?x 2?

与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x 1＝x 2·x 1x 2

或x 1＝x 2＋x 1－x 2等；利用函数单调性可以求函数最值．

变式3：已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0. (1)求f (1)的值； (2)判断f (x )的单调性； (3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值． 典例4：求函数y ＝log 13

(x 2

－3x )的单调区间．

温馨提醒 函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的

定义域．如果是复合函数，应该根据复合函数单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，根据同增异减的法则求解函数的单调区间．由于思维定势的原因，容易忽视定义域。

典例5：函数f (x )对任意的m 、n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x >0时，恒有f (x )>1. (1)求证：f (x )在R 上是增函数； (2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2

＋a －5)<2.

审题视角 (1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义．应该构造出f (x 2)－f (x 1)并与0比较大

小．(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f ”运用单调性“去掉”是本小题的切入点．要构造出

f (M )

解函数不等式问题的一般步骤：

第一步：确定函数f (x )在给定区间上的单调性；

第二步：将函数不等式转化为f (M )

第三步：运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f ”， 转化成一般的不等式或不等式组； 第四步：解不等式或不等式组确定解集；

第五步：反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．

温馨提醒 本题对函数的单调性的判断是一个关键点．不会运用条件x >0时，f (x )>1.构造不出f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1的形式，找不到问题的突破口．第二个关键应该是将不等式化为f (M )

三、专项练习

A 组 专项基础训练

(时间：35分钟，满分：57分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1． 下列函数中，在(－∞，0)上为增函数的是

( )

A ．y ＝1－x 2

B ．y ＝x 2

＋2x C ．y ＝

1

1＋x

D ．y ＝

x

x －1

2． 已知函数f (x )＝2ax 2

＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( )

A.⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，34 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34 D.⎣⎢⎡⎦

⎥⎤0，34 3． 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

a x

?x >1?，⎝ ⎛⎭

⎪⎫

4－a 2x ＋2 ?x ≤1?是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )

A ．(1，＋∞)

B ．[4,8)

C ．(4,8)

D ．(1,8)

4． 给定函数①y ＝x 12，②y ＝log 12

(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1

，其中在区间(0,1)上单调递减的函

数的序号是 ( ) A ．①②

B ．②③

C ．③④

D ．①④

二、填空题(每小题5分，共15分)

5． f (x )＝x 2

－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为__________；f (x )max ＝________. 6． 函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2

)的单调递减区间是__________．

7． 若函数f (x )＝a |x －b |＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a 、b 的取值范围是_________． 三、解答题(共22分)

8．(10分)已知函数f (x )＝1a －1

x

(a >0，x >0)，

(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数；

(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦

⎥⎤12，2，求a 的值．