6-5宇宙速度

题组一 宇宙速度
1．人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其速度是下列的( ) A ．一定等于7.9 km/s B ．等于或小于7.9 km/s C ．一定大于7.9 km/s D ．介于7.9和11.2 km/s 之间
解析：7.9 km/s 是人造卫星在近地圆形轨道上的运行速度，若轨道半径增大，则速度减小．
答案：B
2．已知地球半径为R ，地球的表面重力加速度为g ，不考虑地球自转的影响． (1)推导第一宇宙速度v 1的表达式；
(2)若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h ，求卫星的运行周期T . 解析：(1)设卫星的质量为m ，地球的质量为M ，地球表面附近满足G Mm
R 2＝mg ，得
GM ＝R 2g .①
卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力 m v 12R ＝G Mm R
2.② ①式代入②式，得到v 1＝Rg . (2)结合①式，卫星受到的万有引力为 F ＝G Mm (R ＋h )2＝mg R 2(R ＋h )2
.③
由牛顿第二定律F ＝m 4π2
T 2(R ＋h )，④
③、④联立解得T ＝
2π
R
(R ＋h )3
g
. 答案：(1)v 1＝Rg (2)2π
R
(R ＋h )3/g
3．已知物体从地球上的逃逸速度(第二宇宙速度)v ＝2GM E
R E ，其中G 、M E 、R E 分别是万有引力常量，地球的质量和半径．已知G ＝6.67×10－11
N·m 2/kg 2，c ＝2.9979×108 m/s ，求
下列问题：
(1)逃逸速度大于真空中光速的天体叫做黑洞，设某黑洞的质量等于太阳的质量M ＝1.98×1030kg ，求它的可能最大半径(这个半径叫Schwarzchild 半径)．
(2)在目前天文观测范围内，物质的平均密度为10－27kg/m 3，如果认为我们的宇宙是这样
一个均匀大球体，其密度使得它的逃逸速率大于光在真空中的速度c ，因此任何物质都不能
脱离宇宙，问宇宙半径至少多大？
解析：(1)由题目提供的信息可知，任何天体均存在其所对应的逃逸速度v ＝
2GM
R
，
其中M 、R 为天体的质量和半径，对于黑洞模型来说，其逃逸速度大于真空中的光速，即
v >c ，所以R <2GM c 2＝2×6.67×10－
11×1.98×10
30
(2.9979×108)2
km ＝2.94 km.
即质量为1.98×1030 kg 的黑洞的最大半径为2.94 km. (2)把宇宙视为一普通天体，则其质量为M ＝ρV ＝ρ·4
3πr 3.①
其中r 为宇宙的半径，ρ为宇宙的密度， 则宇宙对应的逃逸速度为v 2＝
2GM
r
.② 由于宇宙密度使得其逃逸速度大于光速c ，即v 2>c .③ 由①②③式可得r >
3c 2
8πρG
＝4.23×1010光年． 即宇宙的半径至少为4.23×1010光年． 答案：(1)2.94 km (2)4.23×1010光年 题组二 人造地球卫星
4．(2010·高考安徽卷)为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国预计于2011年10月发射第一颗火星探测器“萤火一号”．假设探测器在离火星表面高度分别为h 1和h 2的圆轨道上运动时，周期分别为T 1和T 2.火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，引力常量为G .仅利用以上数据，可以计算出( )
A ．火星的密度和火星表面的重力加速度
B ．火星的质量和火星“萤火一号”的引力
C ．火星的半径和“萤火一号”的质量
D ．火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力
解析：本题主要考查天体运动知识，意在考查考生对天体运动中的一些基本公式的理解和应用．由G Mm (R ＋h 1)2＝m 4π2T 12(R ＋h 1)及G Mm (R ＋h 2)2＝m 4π2
T 22(R ＋h 2)可求出火星的半径R 和质量
M ，再由G Mm R 2＝mg 及M ＝ρ·4
3
πR 3可求出火星的密度和表面的重力加速度，A 项对．
答案：A
5．据报道，我国数据中继卫星“天链一号01星”于2008年4月25日在西昌发射中心发射升空，经过4次变轨控制后，于5月1日成功定点在东经77°赤道上空的同步轨道。

关于成功定点后的“天链一号01星”，下列说法正确的是( )
A ．运行速度大于7.9 km/s
B ．离地面高度一定，相对地面静止
C ．绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大
D ．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等
解析：卫星的最大环绕速度为7.9 km/s ，不会大于它，A 错；因为是同步卫星，所以相对地面静止，高度一定，B 对；同步卫星的周期小于月球的运转周期，根据ω＝2π
T 知C 对；
根据a ＝ω2·r ，知同步卫星的角速度与赤道上的物体相同，但半径r 比地球上的物体大，所以D 错．
答案：BC
6．据观测，某行星外围有一模糊不清的环，为了判断该环是连续物还是卫星群，又测出了环中各层的线速度v 的大小与该层至行星中心的距离R ，则以下判断中正确的是( )
A ．若v 与R 成正比，则环是连续物
B ．若v 与R 成反比，则环是连续物
C ．若v 2与R 成正比，则环是卫星群
D ．若v 2与R 成反比，则环是卫星群
解析：若环为连续物，则角速度ω一定，由v ＝Rω，知v 与R 成正比，所以A 选项正确．若环为卫星群，由G Mm
R 2＝m v 2R
，得v ＝
GM R
，v 2
与R 成反比， 所以D 选项正确． 答案：AD
图6－5－8
7．(2010·四川卷)a 是地球赤道上一幢建筑，b 是在赤道平面内做匀速圆周运动、距地面9.6×106 m 的卫星，c 是地球同步卫星，某一时刻b 、c 刚好位于a 的正上方(如图6－5－8所示)，经过48 h ，a 、b 、c 的大致位置是图6－5－9中的(取地球半径R ＝6.4×106 m ，地球表面重力加速度g ＝10 m/s 2，π＝10)( )
A ．
B ．
C ． D.
图6－5－9
解析：本题考查万有引力与人造地球卫星，意在考查考生对同步卫星运动特点的理解，并能正确利用卫星做圆周运动所需的向心力即卫星所受的万有引力解答卫星运动问题．对b 有G Mm (R ＋h )
2＝m (2πT b )2(R ＋h )，而G Mm R 2＝mg ，所以b 的运动周期T b ＝2π(R ＋h )3
gR 2
，即T b ＝2.0×104 s ＝509h.故b 经48 h 转过的圈数为n ＝t
T b ＝8.64圈．而c 的周期与地球的自转周期相
同，即a 与c 都转过2圈，回到原处，所以答案应为B.
答案：B
题组三 人造卫星的发射和变轨
8．航天飞机在进入绕地球做匀速圆周运动的轨道后，有一个宇航员缓慢走出机外，他将( )
A ．向着地球中心方向落向地球
B ．做平抛运动
C ．由于惯性做匀速直线运动
D ．仍沿原轨道做匀速圆周运动
解析：航天飞机和宇航员均由地球对其万有引力提供向心力．所以宇航员仍沿原轨道做匀速圆周运动．
答案：D
9．宇宙飞船在半径为R 1的轨道上运行，变轨后的半径为R 2，R 1＞R 2.宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动，则变轨后宇宙飞船的( )
A ．线速度变小
B ．角速度变小
C ．周期变大
D ．向心加速度变大
解析：根据G m M r 2＝m v 2r ＝mω2
r ＝m 4π2 r T 2＝m a 向，得v ＝
GM
r
，可知变轨后飞船的线速度变大，A 错．角速度变大，B 错．周期变小，C 错．向心加速度变大，D 正确．
答案：D
10．两颗卫星在同一轨道平面绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R ，卫星a 离地面的高度等于R ，卫星b 离地面的高度为3R ，则
(1)a 、b 两卫星周期之比T a ∶T b 是多少？
(2)若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点的正上方，则a 至少经过多少个周期两卫星相距最远？
解析：(1)由卫星运动规律知 T a ∶T b ＝R 32a ∶R 3
2
b ＝1∶2 2.
(2)T a ＜T b ，当二者相距最远时，即a 比b 多转半圈，即t T a －t T b ＝0.5，则t ＝0.5T a T b
T b －T a ≈0.77T a .
答案：(1)1∶22 (2)0.77。