第一宇宙速度的两种求解方法

第一宇宙速度的两种求解方法

根据牛顿抛物运动原理图1知，从高山顶A以不同速度V水平抛出的物体，由于受到地球对它的引力使其飞行路线发生弯曲而使物体落回到地面上，当水平抛出物体的速度越大时，物体在地面上的落点离开山脚也越远；如果没有空气阻力，当物体的水平抛出速度足够大时，物体就永远不会落到地面上而将围绕地球球旋转，成为一颗绕地球运动的人造地球卫星；我们将能使抛出的物体达到上述状态（在地球表面附近绕地球作匀速圆周运）的抛出速度V（发射速度）称作人造卫星的第一宇宙速度。

人造卫星围绕地球转动时的速度究竟有多大才能达到上述状态呢？即人造卫星的第一宇宙速度V大小为多少呢？

方法一：数学方法牛顿抛物运动原理图反映出从高山上水平抛出的物体不可能作直线运动。我们要想使水平抛出的物体不再落回到地面，必使物体运动轨迹的弯曲程度与地球表面的弯曲程度相同或更小，即至少使物体的绕地球旋转的轨迹与地球表面相似且二者为同心圆，这样物体就不会落回地面了。如图2示为地球的部分断面，现在把物体从山顶上A点以水平速度V抛射出去，如果没有地球的引力作用则1秒钟后物体将到达B点，但由于地球的引力物体在1秒时实际到达位置C；地球为均匀球体设其表面重力加速度为g，故由自由落体

运动可知；倘若物体到达点C时距地面的高度与点A处距地面的高度相同，则物体就会沿着与地球同心的圆作圆周运动而不再落回地面上；图2中

，AD=6370000米，再由勾股定理有即

，解之得在山顶水平抛出物体的速度为。由此可见：要将物体从山顶A水平抛出后不再落回地球表面，则点A的抛出速度必满足，这就是人造地球卫星的第一宇宙速度。

1．当人造卫星的速度时，卫星必绕地球作轨道半径等于地球半径的匀速圆周运动，轨迹如图3中的“4”示。

2．当人造卫星的速度时，物体将以地球为焦点作椭圆运动，且物体速度V越大椭圆将越扁。图3示轨迹“1”。

3．当人造卫星的速度时物体恰作以地球为焦点的抛物线运动，轨迹图3中“2”。

4．当人造卫星的速度时物体将作双曲线运动，轨迹图3中“3”示。

注意：当物体作抛物线运动、双曲线运动时物体将永远不可能再飞回到地球。

对其它任何星球均可用此方法得出其第一宇宙速度的表达式：由

解之得星球的第一宇宙速度为，其中R为星球的半径、a为星球表面附近的重力加速度。

方法二：物理方法设地球和卫星的质量分别为M、m，卫星到地心的距离为r，卫星运动的速度为v。由于卫星运动所需的向心力是由二者间万有引力提供的，故可得：

有；对于靠近地球表面运行的人造卫星，可以认为此时的轨道半

径r近似等于地球的半径R，故；将地球质量

代入此式可得人造卫星在地面附近绕地球作匀速圆周运动所必须具有的速度即第一宇宙速度为。（也可以得出此结果）。

上述从物理与数学的分析方法来看，无论用哪种方法首先必须准确建立起物理模型与数学模型，然后才能选择合适的处理途径进行解答；因此建立模型是同学们在物理学习中必须时刻培养的基本能力。