正十二面体的顶点分布于五个正四面体 作法
多面体的面数、顶点数、棱数之间的关系-概述说明以及解释
多面体的面数、顶点数、棱数之间的关系-概述说明以及解释1.引言1.1 概述多面体是空间中的一种几何体，是由若干个平面多边形构成的立体。
在数学中，多面体是一种具有多个面、顶点和棱的几何体，它具有丰富的性质和特征。
多面体的面数、顶点数、棱数之间存在着一定的关系，这种关系是多面体结构的基础，也是我们理解和研究多面体的重要角度之一。
本文将探讨多面体的面数、顶点数、棱数之间的关系，通过对多面体的定义、性质以及具体例子的分析，希望能够深入理解多面体的结构特征，揭示其隐藏的规律和规则。
同时，我们还将探讨多面体的意义和应用，展望多面体在数学、科学和工程领域的发展前景。
通过本文的阐述，读者将更加全面地认识和了解多面体这一重要的数学概念。
1.2 文章结构本文将分为三个部分，即引言、正文和结论。
在引言部分，我们将概述本文的主题，介绍文章的结构和目的。
引言部分将为读者提供对本文内容的整体了解和预期。
在正文部分，我们将首先介绍多面体的定义，以确保读者对该概念有清晰的认识。
接着，我们将详细讨论面数、顶点数、棱数之间的关系，探讨它们之间的规律和联系。
最后，我们将通过几个具体的例子来说明这种关系，加深读者对该主题的理解。
在结论部分，我们将对本文的内容进行总结，强调面数、顶点数、棱数之间的关系对于多面体的重要性。
我们还将讨论这种关系的意义和应用，展望该领域未来的研究方向和发展前景。
通过结论部分，我们希望读者能够对本文的主题有更深入的理解和思考。
1.3 目的目的部分:在本文中，我们的目的是探究多面体的面数、顶点数、棱数之间的关系。
我们希望通过观察不同类型的多面体，分析它们之间的相互关系，进一步深化对多面体几何特征的理解。
通过研究多面体的几何性质，我们可以更好地理解它们在数学和实际生活中的应用，并为进一步研究和探索多面体提供基础。
同时，我们也希望通过本文的讨论，能够激发读者的兴趣，增强对几何学的认识和理解。
2.正文2.1 多面体的定义多面体是一种由平面多边形组成的立体图形，它具有以下几个特点：1. 多面体的每一个面都是一个平面多边形，这些面可以是三角形、四边形、五边形等各种多边形。
奥数题及答案：十二面体问题
奥数题及答案：十二面体问题奥数题及答案:十二面体问题店铺导语：奥数学习过程中面对有一定学习难度的内容，我们留下的问题会很多很多，题目的变化也会多种多样，我们要总结老师讲的知识点和做过的题型，在总结的过程中找到知识点的联系，在总结的过程中找出不同，总结越多，思考越多，我们收获的也就越多。
数学网为大家准备了小学五年级奥数题，希望店铺整理奥数题十二面体问题，可以帮助到你们，助您快速通往高分之路!!正十二面体是所谓“柏拉图立体”(Platonic solids)的5种正多面体之一。
其他4种为正四面体、正方体、正八面体与正二十面体。
这些立体的每个面都是正多边形，每个顶点与其他的顶点看起来都一样。
正十二面体有12个面，每一面都是正五边形。
曾有人利用12面，每面代表一个月，做成年历。
以正十二面体为基础，还可以制作出外形非常吸引人的`星状体。
图2是正十二面体展开图的一半。
在纸上或纸板上完成图形之后，只要把纸叠在一起，用圆见的针尖穿刺各个顶点，就可以复制此图形。
(1)画出一个大圆。
(2)由中心O画5条线至圆周，即OA、OB、OC、OD、OE，夹角都是72°。
(3)将AB、BC、CD、DE与EA连线，形成正五边形。
(4)画出ABCDE所有的对角线。
这些对角线会在中心形成较小的五边形PQRST.这个五边形将是正十二面体中的一面。
(5)现在画出PQRST的对角线(以虚线表示)，并作其延长线，以形成其他小五边形的边。
(6)用穿刺卡片纸的方法复制所需要的平面图。
(7)在画好的平面图中加上画斜线的粘贴部分，如图2所示。
(8)仔细剪下平面图，并在所有折线(例如PQ)处用笔或刀背划出刻痕，以便于折叠。
(9)最后用速干胶粘合。
在制作过程中要力求精确，否则最后的模型会无法嵌合在一起。
在完成正十二面体之后，只要在上面加些尖角，就成了绝佳的圣诞节饰品(图3)。
这些尖角呈五面金字塔形，金字塔的每一面都是与正十二面体展开图中APQ相等的等腰三角形。
名师辅导 立体几何 第10课 正多面体、球(含答案解析)
名师辅导 立体几何 第10课 正多面体、球（含答案解析）●考试目标 主词填空1.多面体欧拉公式（1）欧拉公式V ＋F －E ＝2，是描述简单多面体的顶点数、面数、棱数之间特有规律的一个公式.2. 球的概念和性质（1）定义：半圆以它的直径为旋转轴旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫球体，简称球.3.球面的距离 在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫做两点的球面距离.4.球的表面积和体积球的表面积和体积都是球半径R 的函数.(1)半径为R 的球表面积公式是：S ＝4πR 2,(2)半径为R 的球体积公式是：S =334R π.●题型示例 点津归纳【例1】 已知铜的单晶的外形是简单几何体，单晶铜有三角形和八边形两种晶面，如果铜的单晶有24个顶点，每个顶点处都有三条棱，计算单晶铜的两种晶面的数目.【解前点津】 设三角形晶面有x 个，八边形晶面有y 个.则单晶铜的面数F =x +y ,且棱数E =21(3x +8y ). 又因为铜的单晶的顶点数V =24,且每个顶点处都有3条棱所以棱数 E =21×（3×24）＝36 由欧拉公式得 24+(x +y )-36=2 所以x +y =14,再由21(3x +8y )=36 可解得x =8,y =6所以单晶铜的三角形晶面有8个，八边形晶面有6个.【解后归纳】 本题考查多面体，凸多面体和多面体的欧拉定理及其应用.【例2】 一个简单多面体共有16个顶点，每个顶点都引出3条棱，且只有三角形和五边形两种面，求该简单多面体中三角形和五边形的数目各是多少?【解前点津】 设该简单多面体中三角形和五边形数目分别为x 个、y 个，一方面可根据欧拉定理计算棱数，另一方面可由各面边数计算棱数，这样可以得到一个二元一次方程组，求解即可.【规范解答】 设三角形有x 个，五边形有y 个，∵共有16个顶点，每个顶点引出三条棱，∴棱数E =2316⨯=24, 一方面相邻两个面的两条边重合为一条棱， ∴棱数为253y x +,∴253y x +=24 ① 另一方面，由题意知面数F =x +y ，由欧拉定理得：16+(x +y )-24=2 ②由①②联立可得：x =1,y =9，即三角形面有1个，五边形面有9个.【例3】 一个圆锥形漏斗口的内周长为8πcm ．漏斗深9.6cm ，将一个球放进漏斗里，球的最高点比漏斗口所在平面高出2.4cm ，求球的体积.【解前点津】 作出轴截面图.【规范解答】 作共同的轴截面图(如图)，得等腰△PAB 和圆O ，球的最高点C ，球心O 和圆锥顶点P 三点共线，D =AB ∩PC ,依题设：PD =9.6,CD =2.4,AD =428=ππ. 过C 作A 1B 1∥AB 与PA 、PB 的延长线分别交于点A 1、B 1，则A 1B 1与圆O 相切于C . 且有25.16.9121===PD PC AD C A . ∴A 1C =1.25AD =5.PA 1=.13221=+PC C A记PA 1与圆O 的切点为E ，则A 1C =A 1E ，且△PEO ∽△PCA 1， 得C A OE PC PE 1=,PE =PA 1-A 1E =13-5=8, ∵OE =3101=⋅PC C A PE , 即得球半径R =310,所以它的体积为814000343π=π=R V (cm 3). 【解后归纳】 作出圆锥与球共同的轴截面，则圆锥与球的重要几何量与几何关系都在这一平面图形上充分展现出来了，通过对此平面图形的分析，即可求出球半径，从而求得球体积.【例4】 在北纬45°的纬度圈上有A 、B 两点,它们分别在东经70°与东经160°的经度圈上，设地球半径为R ，求A 、B 两点的球面距离.【规范解答】 如图,设北纬45°圈的圆为O 1,地球中心为O ,则∠AO 1B =160°-70°=90°,∠OBO 1=45°,OB =R .∴O 1B =O 1A =R 22,AB =R , 连接AO ,AB ,则AO =BO =AB =R , ∴∠AOB =60°,∴=61·2πR =31πR . 故A 、B 两点间的球面距离为31πR . 【解后归纳】 为求A 、B 两点间球面的距离,要把它组织到△AOB 中去分析，只要求得∠AOB 的度数便可求得球面距离，注意余弦定理的应用.●对应训练 分阶提升一、基础夯实1.正三棱锥是正四面体的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分不必要条件2.正六面体的顶点数V 和棱数E 分别是 ()例3题图例4题图A.V =8,E =12B.V ＝12，E ＝8C.Ｖ＝6，E ＝8D.V ＝6，E ＝103.球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么球的半径为 ( ) A.43 B.23 C.2 D. 3 4.正十二面体的面是正三角形，且每一个顶点为其一端都有五条棱，则其顶点数V 和棱数E 的值应是( )A.V ＝30，E ＝12B.Ｖ＝12，E ＝30C.Ｖ＝32，E ＝10D.Ｖ＝10，E ＝325.在底面直径为2的等边圆柱中,分别以两底为底面,以圆柱的轴上任一点为顶点的两个圆锥的体积之和是(轴截面为正方形的圆柱称为等边圆柱) ( ) A.34π B.32π C. 3π D.值不确定 6.设正多面体的每个面都是正n 边形，以每个顶点为端点的棱有m 条，棱数是E ，面数是F ，顶点数是V ，则它们之间的关系不正确的是 ( )A.nF =2EB.mV =2EC.V ＋F ＝E ＋2D.mF =2E7.把一个半径为R 的实心铁球熔化后铸成两个小球(不计损耗)，两个小球的半径之比为1∶2，则其中较小球半径为 ( ) A.R 31 B.R 333 C.R 5253 D.R 33 8.在地球表面北纬60°线上有两点，它的经度差为180°，则A 、B 两点的纬度线的距离与A 、B 两点的球面距离之比为 ( )A.1∶3B.2∶3C.3∶2D.3∶59.半径为R 的三个球两两外切放置桌面上，与这三个球都外切的第四个小球也放在桌面上，则小球的半径为 ( )A.RB.21RC.31R D.R 32 10.已知过球面上三点A 、B 、C 的截面与球心距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球的半径等于 ( )A.1B.34C.32 D.332 二、思维激活11.一个简单多面体每个顶点处都有三条棱，则它的顶点数V 和面数F 的关系是 .12.半球内有一内接正方体，则这半球的全面积与正方体的全面积之比为 .13.在120°的二面角内，放一个半径为5 cm 的球切两半平面于A 、B 两点，那么这两个切点在球面上最短距离是 .14.地球半径为6 370km ，地球表面北纬30°圈上有A 、B 两个卫星地面接收站，它们在北纬 30°圈上的距离是336370πkm ，则这两地间的经度差是 . 三、能力提高15.求证：正四面体的二面角与正八面体的二面角互为补角.16.制作两个正四面体的模型，再把它们拼成一个六面体，观察一下这个六面体是否为正六面体.17.C 70分子有70个顶点，以每个顶点为一端都有3条棱，各面是五边形或六边形，求C 70分子中五边形和六边形的个数.18.如图所示，三棱锥V —ABC 中，VA ⊥底面ABC ，∠ABC ＝90°.(1)求证：V 、A 、B 、C 四点在同一球面上.(2)过球心作一平面与底面内直线AB 垂直.求证：此平面截三棱锥所得的截面是矩形.19.如图所示,在棱长为a 的正方体AC 1中求,(1)过BD 1所作的最小截面面积;(2)过BD 1所作截面周长最小时的截面面积.第10课 正多面体、球习题解答1.B 正四面体为正三棱锥，而正三棱锥不一定为正四面体.2.A 由欧拉定理可得.3.B 设球半径为R ，小圆半径为r ，则2πr =4π，∴r =2.设这三点为A 、B 、C ，球心为O ，则根据球面距离意义可知∠AOB =∠BOC =∠COA =362π=π. 第18题图第19题图∴△ABC 为正△且边长为R ,又r 为△ABC 外接圆半径.∴r =R AB 3333=,∴R =3r =23. 4.B 顶点为12个，棱数E =30.5.B 画图运用等边圆柱的概念即得.6.D 只有mF =2E 不正确.7.B 设较小的半径为r ， ∴34πr 3+34π(2r )3=34πR 3，∴r =333R . 8.C 2:3360cos 221RR π︒⋅π⋅. 9.C 设第四个小球的半径为x ， ∴x +.)32232()(22R R R x =⋅⋅-+ 解得：x =3R . 10.B 32232222⋅⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-R R ，∴R =34. 11.V =2F -4 利用多面体结构特点易知. 12.43π 如图设正方体棱长为x ，球半径为R ， ∴R =.262222x x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ S 半球全=21·4πR 2+πR 2=3πR 2， S 正方体=6x 2=6·262⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛R =4R 2， ∴.434322π=π=R R S S 正方体半球全 13.35π 两切点对球心的张角为3π，∴球面距为35π . 14.120° 北纬30°圈的半径为6370·23, ∴6370·23·θ=6370·23π， ∴θ=32π，即经度差为120°. 15.设正四面体有S —ABC 和正八面体AC 的棱长都为a ,正四面体的二面角为α，正八面体的二面角为2β. 易求得tan α＝22 (0<α<2π). 在正八面体AC 中，连EF 交截面ABCD 于O ，取AB 的中点G .连EG 、FG 、OG ，则EG ⊥AB ,FG ⊥AB ,所以∠EGF 为二面角的平面角.由对称性知∠EGO =∠OGF ＝β，又EG =23a ,GO =21a ,∴EO =a 22. 第12题图解∴tan ∠EGO =tan ∠β=2222=aa . ∴tan2β＝22tan 1tan 22-=β-β(0<2β<π) ∴α与β互补. 16.不是正六面体，正六面体即为正方体.17.设C 70分子中五边形和六边形分别有x 个和y 个，C 70分子这个多面体的顶点数V ＝70，面数F =x +y ,棱数E =21(3×70) ，根据欧拉公式，可得70+(x +y )-21(3×70)=2, 由棱数相等有：21(5x +6y )= 21×(3×70). 解得：x =12,y =25∴C 70分子中五边形有12个，六边形有25个.18.(1)取VC 的中点M ，∵VA ⊥底面ABC ，∠ABC ＝90°，∴BC ⊥VB ，在Rt △VBC 中，M 为斜边 VC 的中点.∴MB ＝MC ＝MV ，同理在Rt △VAC 中，MA ＝MV ＝MC ，∴MV ＝MC ＝MA ＝MB ，∴V 、A 、B 、C 四点在同一圆面上，M 是球心.(2)取AC ，AB ，VB 的中点分别为N 、P 、Q ，连结NP 、PQ 、QM 、MN .则MNPQ 就是垂直于AB 的三棱锥V —ABC 的截面，易证PQMN 是平行四边形，又VA ⊥BC ，PQ ∥VA ，NP ∥BC ，∴QP ⊥PN ，故截面MNPQ 是矩形.19.这是一道有关立体几何最值问题的题目,比较综合,我们可对本题作简单分析:(1)设经过BD 1的截面为BMD 1N ,因为正方体相对侧面平行,故BMD 1N 是平行四边形,这样S 截=2S △BMD 1显然欲使S 截最小,只需S △BMD 1最小,而BD 1为定值,故只需M 到BD 1的距离最小,M 可在AA 1上移动,所以这个问题可转化为求异面直线AA 1与BD 1之间的距离,而求异面直线间的距离又可化为线面间的距离(AA 1与面BB 1D 1D 间的距离)(2)沿侧棱将侧面AD 1与侧面AB 1展开如图所示,D 1M +MB 的最小值就是侧面展开图中的D 1B ,设D 1B 与AA 1交于M ,由于侧面为全等的正方形，故M 为AA 1的中点,同理N 为CC 1的中点,此时MB ∥ND 1为所求截面.第19题图解。
三维化学正十二、二十面体与碳60
真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。
1 / 4第五节 正十二、二十面体与碳－60在学习完正四面体、正方体、正八面体以后，我们再来学另两种正多面体——正十二面体与正二十面体，以及用它们完美组合而成的碳－60的空间模型。
【讨论】在平面上，我们用单位正方形，可紧密地铺满一个无限平面；用单位正六边形也是可以紧密地铺满一个平面的；那么单位正三角形可以吗？由于一个六边形可分割成六个完全相同的正三角形，显然，单位正三角形也是可以的；再来看正五边形，它的每个顶点是108°（不是360°的约数），如右图5-1所示，它在平面不可能铺满而不留任何空隙。
在空间正多面体中，共一顶点的棱至少3条，共一顶点的夹角之和应小于360（如正方体270º，正八面体240º），因此正六边形不能在空间构成一个每个面是正六边形的正多面体，那么五边形是否可以构成正多面体呢？由于3×108º＜360º，因此就存在可能性。
如右图5-2所示，这就由正五边形构成的正多面体——正十二面体。
请看例题1。
【例题1】如图5-2所示是十二面体烷的空间构型，写出它的化学式并计算它的一氯取代物和二氯取代物的数目。
【分析】在前几节，我们曾探讨了空间多面体中点、线、面的关系。
在正十二面体中，每个面是正五边形，三条棱共一顶点，因此顶点数应为12×5/3=20，而棱数应为12×5/2=30。
既然是空间正多面体，它的每个顶点必须是等价的，一氯取代物只可能是一种。
我选定一个顶点，与它最近的顶点是3个（共棱），然后是6个，然后依次是6个，3个，1个，故二氯取代物有5种。
【解答】化学式C 20H 20，1种一氯取代物，5种二氯取代物。
【讨论】继续讨论上文的话题，当用正方形（90º）构成空间正多面体时，共顶点的也只可以是三条棱，故只有一种正多面体—正方体；当用正三角形（60º）构成空间正多面体时，共顶点的棱可以是三条、四条、五条，三条时是正四面体，四条时是正八面体，五条时就是最后一个正多面体——正十二面体。
2023年十二面体魔方教程
基本操作方法
1. 转动魔方：将任意一层的任意一面旋转90度，可通过顶面中心点展开。 2. 翻转魔方：将整个魔方上下翻转，可通过左右面中心点展开。 3. 还原魔方：使用基本操作方法依次还原各个小面块，最终组合成一个十二面体魔方。 4. 手指控制：用手指按住需要旋转的小面块，然后轻轻地沿着旋转方向转动魔方。 5. 转动中心点：将手指放在魔方中心点处，用手掌左右摆动，即可实现魔方转动。 6. 转动层次：将手指放在需要旋转的层次上，用另一只手拍打相对面，即可将需要旋转的层次旋转。 7. 单手翻转：用一只手按住左右两块面，将魔方朝上颠倒翻转即可。 8. 双手协作：双手各自按住左右两块面，同时向上翻转，再将魔方顺时针旋转90度，最后再次向上翻转即可。 9. 桥形翻转：双手各自按住魔方两侧，将魔方向上翻转并放置在平面上，再将手指从两侧滑过，抬起魔方即可。
十二面体魔方基础
1. 魔方构造：十二面体魔方是由12个正五边形、20个正三角形组成的立体图形，共有12个面，每个面都由同类多边形组成。 2. 魔方转动：十二面体魔方可以进行6个基本操作：顺时针/逆时针转动前、后、左、右、上、下六个面，每个面都可以转动90度。 3. 魔方还原：还原十二面体魔方是指将其恢复到初始状态，每个面都是同色的状态。还原魔方需要借助特定的算法和技巧，建议初学者先尝试还原 三阶魔方，掌握一定的魔方基础后再尝试还原十二面体魔方。 4. 魔方记号：为了方便操作和还原魔方，十二面体魔方可以用一套记号系统表示转动和位置，掌握魔方记号可以大大提高还原魔方的效率。
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04
独特魔幻之旅：探索十二面体魔方魅力
Unique magic journey: explore the charm of Dodecahedron magic cube
多面体欧拉定理的发现 (1)2
多面体欧拉定理的发现我们知道，平面多边形由它的边围成，它的顶点数与边数相等，按边数可以对多边形进行分类，同类的多边形具有某些相同的性质。
多面体是由它的面围成立体图形，这些面的交线形成棱，棱与棱相交形成顶点。
在研究多面体的分类等问题中，人们逐步发现它的顶点数，面数和棱数之间有特定的关系。
以下我们将体验这种关系的发现及证明过程。
探索研究问题1：下列共有五个正多面体，分别数出它们的顶点数V、面数F和棱数E，并填表1观察表中填出的数据，请找出顶点数V、面数F及棱数E之间的规律。
教师巡视指导，如正十二面体，先定面数E＝12；再定棱数，每个面有5条棱，共有12×5＝60条，由于每条棱都是两个面的公共边，所以上面的计算每条棱被算过两次，于是棱数E＝60/2＝30；最后算顶点数，每个顶点处连有三条棱，所以它共有3V条棱，又因为每条棱连着两个顶点，所以上面的计算每条棱被算过两次，因此实际上只有3V/2条棱，即E＝3V/2，所以V＝20。
表1中多面体的面数F都随顶点数目V的增大而增大吗？（不一定）.请举例说明.（如八面体和立方体的顶点数由6增大到8，而面数由8减小到6）.此时棱的数目呢？（棱数都是一样的）.所以我们得到：棱的数目也并不随顶点数目的增大而增大.大家从表中还发现了其他的什么规律，请积极观察，勇于发言.（当多面体的棱数增加时，它的顶点与面数的变化也有一定规律）.上面的归纳引导去猜想，棱数与顶点数+面数即E与V+F是否有某种关系，请大家按这个方向考察表中的数据，发现并归纳出它们都满足的关系.（积极验证，得出）V+F－E=2以上同学们得到的V+F－E=2这个关系式是由表1中的五种多面体得到，那么这个关系式对于其他的多面体是否也成立吗？请大家尽可能的画出多个其他多面体去验证.（许多同学可能举出前面学过的图形）四棱锥、五棱锥、六棱柱等.（教师应启发学生展开想象，举出更多的例子）一个三棱锥截去含3条棱的一个顶得到的图形、一个立方体截去一个角所得的图形等.好，同学们现在想象，例如：n棱锥在它的n边形面上增加一个“屋顶”或截去含n条棱的一个顶后，刚才的猜想是否成立？能证明吗？所得的多面体的棱数E为3n条，顶点数V为2n个，面数V为2+n 个，因2n +（2+n ）－3n =2,故满足V +F －E =2这个关系式.请继续来观察下面的图形，填表2，并验证得出的公式工V ＋F －E ＝2_A（学生观察，数它们的顶点数V、面数F、棱数E，并填入表2，可能有些同学出错，教师在巡视时要及时给予指导，帮助学生填完）观察你们的数据，请验证这些图形是否符合前面找出的规律吗？其中哪些图形符合？一起来设想问题1和问题2中的图形.在某个橡皮膜上，当橡皮膜变形后，有的地方伸长、有的地方压缩，但不能破裂或折叠，橡皮膜上的图形的形状也跟着改变，这种图形的变化过程我们称之为连续变形.那么请大家试想这些图形中的哪些在连续变形中最后其表面可变为一个球面？问题1中的（1）~（5）和问题2中的（1）个图形表面经过连续变形能变为一个球面.请同学们继续设想问题2中⑴~⑻在连续变形中，其表面最后将变成什么图形？问题2中第⑻个图形；表面经过连续变形能变为环面像以上那些在连续变形中，表面能变为一个球面的多面体叫简单多面体.请大家判断我们前面所学的图哪些是简单多面体？棱柱、棱锥、正多面体、凸多面体是简单多面体.简单多面体的顶点数V、面数F的和与棱数E之间存在规律V+F －E=2.我们将它叫做欧拉公式，以上3个问题的解决让我们体会到了数学家欧拉发现V+F－E=2的过程.那么如何证明欧拉公式呢？请大家打开课本P65的欧拉公式证明方法中的一种，认真体会它的证明思路和其间用到的数学思想.（学生自学、教师查看，发现问题，收集问题下节课处理）在欧拉公式中，令f(p)＝V＋F－E。
使用GeoGebra软件构造多面体立体图形
使用GeoGebra软件构造多面体立体图形摘要：本文主要介绍使用软件GeoGebra绘制多面体的方法。
首先简单介绍GeoGebra软件的窗口功能，简单绘图方法；之后对几种常见的多面体进行简单介绍；然后，结合具体实例介绍在GeoGebr中实现三维空间中动态旋转的正八面体和截角正四面体、截半正方体的构造，进而展现多面体构造过程和使用GeoGebra 软件给数学学习带来的便利。
最后，介绍足球、菱形六十面体等复杂多面体的构造方法。
关键词：GeoGebra 多面体1. GeoGebra软件简介GeoGebra是一款动态数学画图软件，绘图内容包含几何、代数、图形、表格等。
GeoGebra的优越性体现在：一方面，GeoGebra是一个几何软件，可以在上面画点、线段、向量、多边形、直线、圆锥曲线和函数，也可以根据需要设计图形的颜色、显示方式等；另一方面，也可以通过直接输入曲线方程或点坐标或图形名称的方式，直接画出所需要的图形。
因此，GeoGebra既可以处理变化的量（例如数据、向量、角度等），也可以对数值进行计算（例如函数的微分和积分，求解方程等）。
由此可见，GeoGebra是一款可以处理代数问题也可以处理几何图形问题的软件。
下面首先介绍一下GeoGebra软件的操作界面及基本使用规则。
图1.1如图1.1所示，用户操作界面是标准的窗口操作界面，有代数区、绘图区、菜单栏和工具栏。
其中代数区显示图形中的点、线、面、变量等基本要素信息；绘图区显示所画出的图形，可以隐藏、设置颜色等；菜单栏中的“窗口”选项和文件中的“新建”选项都可以创建新的图形。
创建时可以建立新的绘图区域，在视图中可以选择该区域的类型（绘图区2、代数运算区、作图过程、概率统计、3D绘图区等）。
GeoGebra的重要的窗口有几何窗口、代数窗口和工作表窗口。
12. 多面体图形简介2.1多面体图形的基本性质多面体是指由多个平面多边形围成的几何体。
常见的多面体有凸多面体、简单多面体、正多面体等，多面体图形有以下简单的性质：i. 一个多面体最少由四个面组成。
正12面体画法
高中数学解题指导八个无敌模型全搞定空间几何的外接球和内切球问题
高中数学解题指导八个无敌模型全搞定空间几何的外接球和内切球问题八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型墙角模型是指三条线段两两垂直的几何体，通过公式(2R) = a + b + c，即2R = a^2 + b^2 + c^2，可以求出其外接球半径R。
例1：1）已知顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，求该球的表面积。
解：由V = ah = 16，得a = 2，4R = a + a + h = 4 + 4 + 16 = 24，S = 24π，答案为C。
2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，求其外接球的表面积。
解：由2R = a + b + c = 3 + 3 + 3 = 9，得R = 9/4，S =4πR^2 = 9π。
3）在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM⊥MN，若侧棱SA = 23，求正三棱锥S-ABC外接球的表面积。
解：由墙角模型的特点可知，正三棱锥的对棱互垂直。
连接AB、BC的中点D、E，连接AE、CD，交于H，则H是底面正三角形ABC的中心。
由AM⊥MN，SB//MN，可得AM⊥SB，AC⊥SB，故SB⊥平面SAC，SB⊥SA，SB⊥SC，即SB⊥SA，BC⊥SA，故SA⊥平面SBC，SA⊥SC。
因此，三棱锥S-ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，由2R^2 = 23^2 + 23^2 + 23^2 = 36，得R^2 = 9，S = 36π。
类型二、棱台模型棱台模型是指上底面和下底面都是正多边形，且两底面中心连线与侧棱垂直的几何体。
通过勾股定理和相似三角形，可以求出其外接球半径R和内切球半径r。
例2：1）已知棱台的上底面和下底面都是正三角形，上底边长为3，下底边长为6，侧棱长为5，求其外接球半径R和内切球半径r。
解：由勾股定理可得棱台的高为4√3.设外接球半径为R，内切球半径为r，则有R/r = (a + b + c)/(a + b - c) = (3 + 6 +5)/(3 + 6 - 5) = 7，解得R = 7r。
数学问题解决——正十二面体的制作与涂色问题
数学问题解决
神奇的数学折纸：正十二面体
步骤1：制作一个正五边形的纸带结
把纸带打个结，轻拉两端至最紧，压平（如图2左），得到一个 正五边形的纸带结。
数学问题解决
神奇的数学折纸：正十二面体
步骤2：制作插合正十二面体所需的零件 （1）用纸带折叠一道折痕，使其形成的内角正好符合五边形带结的顶角。（图2右）
（2）折叠后的纸带重叠区域有一个36°为底角的等腰三角形。现在请 将它的两腰以外的纸带贴着边折到背后，然后再把底边以外的部分剪去。 （图3）
数学问题解决
神奇的数学折纸：正十二面体
步骤2：制作插合正十二面体所需的零件 （3） 打开重新将两侧翼藏在夹层内，并且让它们在内部彼此勾起来， 压平。我们得到了一个有108°顶角的等腰三角形（图4左）。 （4）折叠找到每一腰所对角的角分线与该腰的交点，将相应锐角折到 这个点。可以证明，这两道折痕与三角形三边围成一个正五边形（图4 右）。至此我们就完成了第一个插接件。
数学问题解决
Hale Waihona Puke 探究十二面体的着色关于地图的着色有一条著名的定理——四色定理。定理说，任何复杂的 地图都可以用不超过四种的颜色给它涂色来区分相邻区域。这条定理至 今仍然没有一个简洁的证法，人类对它的认识停留在计算机给出的大规 模分类穷举证明。 如果将正十二面体的每个面当成地图上需要区分的一个个区域，请 大家用不超过四种颜色完成以上的着色要求，并拍照上传。
小贴士 1、下料时有一个高效省纸的方法：拿第一个三角形展开图（一个平行四边形） 作模板，从长条纸上比着连续裁剪下来11个这样的图形即可。
数学问题解决
神奇的数学折纸：正十二面体
步骤3：准备插合制作正十二面体（十二个小零件） （1）每个三角形插接零件上既有榫 头也有卯眼：两锐角前端是榫头，两 腰靠近顶点的缝隙是卯眼。插合时有 一定规则，为了保证这个规则不被破 坏，我们给每个插接件上标注一些记 号。 （2）作标记的规律：在每片插接件 的里侧左下角标为红点榫头，左腰缝 隙标为红点卯眼；相应地，右下角为 蓝点榫头，右腰缝隙为蓝点卯眼（图 5上左）。 （3）插合时只要保证榫头插入同色 的卯眼（图5上右），就可以顺利完 成一个完美的十二面体（图5下）。
正十二面体正方体正四面体之间的关系
正十二面体正方体正四面体之间的关系触碰标题下面一行的“邵勇老师”查看所有文章；触碰“数学教学研究”, 关注本微信公众号(sx100sy)。
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今天讲如标题所说的三种正多面体之间的关系，这些关系很重要，很有趣。
然后我们便得到几种复合体。
复合体相对有些复杂，但我用简单易懂的语言，主要是用适合人们思维的方式来讲解，所以相信你一定可以看懂。
（1）下图是一个正十二面体（上半截6个正五边形面被涂以蓝色，以增加正十二面体的立体效果，所以看上去是不是像个小房子，只是不是方方正正的那种）。
正十二面体有20个顶点（用V表示），30条棱（用E表示），12个面（用F表示），V、E、F满足欧拉公式：V-E+F=2。
（2）上图中，我们把正十二面体的20个顶点涂以四种不同的颜色：红、黄、绿、蓝，每种颜色五个点。
我们选择一个正五边形的5个顶点（这里选择了靠上的面）并涂以一种颜色（这里是涂以红色）。
我们就从这个选择开始进行下面的研究。
这5个红点是一个正五边形的顶点，它们位于一个平面内，可以算做一层。
我们暂时称这一层为“红点层”。
其他15个顶点中离这5个涂以红色的顶点最近的顶点有5个，它们分别与5个红色顶点有棱相连接。
我们给这5个点涂以黄色，它们也位于一个平面内，我们把它们算做一层，称其为“黄点层”。
黄点层与红点层是互相平行的。
黄点层位于红点层的下方，如下图所示。
同理可以在黄点层的下方定义一个“绿点层”，剩余的10个顶点中有5个顶点（上图及下图中绿色点）位于这一层上。
最后定义“蓝点层”，它是最后5个顶点（图中蓝点）所在的平面。
我们这里不厌其烦地把这些点分层，是为了下面说明问题的方便。
下图所示就是这四个层，它们都是互相平行的（为清楚起见，原图中上半部分的6个蓝色面被隐藏了起来）。
内接于正十二面体五个正方体 作法
内接于正十二面体五个正方体
作法Five Cubes in a Dodecahedron
做一正十二面体在平面上
做一多边形，如左图分别点选4个顶点
最后再按一次左键，确认多边形
移至内部做一立方体在正方形上
做一直线在Z轴向量上，直至向量点击
即可
做旋转先选择直线
再选择正方体
选择如左图的映射点
再选择如左图的映射到的顶点
同上作法先选择直线
此时选择刚刚产生的新正方体选择跟刚刚相同的映射点
选择相同映射到的顶点
以此类推，共旋转四次
把不必要的对象ctrl+M隐藏即可。
正多面体及其自同构群
正多面体及其自同构群本文主要应用群论的初等技巧和方法，通过群论与几何的分析给出了欧几里得空间中5个正多面体的自同构群。
标签：正多面体；自同构群；对称一、前言群论是研究对称的学科，正因为如此，它在物理，化学，生物，晶体学等诸多学科中才有着重要的应用。
因此利用群论来研究几何的组合的方法是非常重要的。
从古代希腊时代，人们就已经知道只有五种正多面体，即正四面体，正六面体，正八面体，正是二面体，正二十面体。
我们先给出关于这些正多面体的一些基本事实。
1.正多面体的诸面都是全等的正多边形，正六面体是正方形，正十二面体的面是正五边形，而其他三种正多面体的面是正三角形。
2.正多面体的诸多面角也彼此全等。
3.每个正多面体都内接于一个球，如果它的两个定点的连线经过球心，则称这两个顶点是互相对极的顶点。
4.以一个正多面体诸面的中心作为顶点，相邻两个面中点连线作为边，得到的多面体也是正多面体，叫作原正多面体的对偶。
容易看出，正四面体自对偶，正六面体和正八面体互相对偶，正十二面体和正二十面体互相对偶。
5.正多面体的一个旋转变换如果保持三个顶点不动，则它是恒等变换。
而本文正是通过应用群论的初等技巧和方法，通过群论与几何的分析给出了欧几里得空间中5个正多面体的自同构群。
二、定理设A，B，C，D，E 分别为欧几里得空间中的正四面体，正方形，正八面体，正是二面体，正二十面体。
记Aut（x）为X的旋转变换群。
这样我们就有以下结果：1.Aut（A）= Alt（4），即四次交错群；2.Aut（B）= Sym（4），即四次对称群；3.Aut（C）= Sym（4），即四次对称群；4.Aut（D）= Alt（5），即五次对称群；5.Aut（E）= Alt（5），即五次对称群。
若无特殊说明，本文所涉及的概念以及符号均取自文献【1-7】。
三、预备知识在本文的证明过程中，我们将要用到以下群论的熟知结果，所以我们列为引理而略去证明。
我们把三维欧式空间理解为实数域上定义了距离函数的三维向量空间，记做R 。
多面体的几何算法
正多面体：各个面是全等的正多边形并且各个多面角也是全等的多面角的多面体。
正多面体只有五种，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。
五种正多面体又称为柏拉图氏体。
以下均以a表示棱长。
一、正四面体：由四个全等的正三角形所组成的几何体。
它有四个面、四个 顶点、六条棱。
每个二面角均为70°32′。
有四个三面角， 每个三面角的面角均为60°。
a=
Area=0
V=0
二、正六面体：又称“正方体”、“立方体”、“六等面体”或“直角方体 ”。
指由六个全等的正方形组成的几何体。
它有六个面、八 个顶点、十二条棱。
每一棱上的二面角均为90°。
有八个三 面角，每个三面角的面角都是90°。
a=
Area=0
V=0面对角线长0体对角线长0
内切球V=0
外切球V=0
正 多 面 体 类 形 体 几 何 计 算
三、正八面体：由八个全等的正三角形组成的几何体。
它有八个面、六个顶 点及十二条棱。
每个二面角约为109°28′。
有六个四面角 ，每个四面角的面角均为60°。
a=Area=0V=
四、正十二面体：又名“十二等面体”。
由十二个全等的正五边形组成的几
a=Area=0V=。
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作法
做一正十二面体在平面上
做一三角形如左图分别点选图上三顶 点
移至内部作正四面体再正十二面体里
做一直线在 Z 轴向量上， 直至向量点击 即可
做旋转先选择直线
再选择正四面体
选择如左图的映射点
再选择如左图的映射到的顶点
同上作法先选择直线ຫໍສະໝຸດ 此时选择刚刚产生的新正四面体
选择跟刚刚相同的映射点
选择相同映射到的顶点
以此类推，共旋转四次
把不必要的对象 ctrl+M 隐藏即可