正十二面体与正二十面体互为对偶 作法
第32届中国化学奥林匹克(决赛)试题解析(一)
第32届中国化学奥林匹克(决赛)试题解析(一)曹宇辉;董浩然;傅裕;霍培昊;刘静嘉;杨可心;余子迪【摘要】详细介绍和评析了第32届中国化学奥林匹克决赛试题,提供了解题思路、计算过程,并提供了有关参考文章.【期刊名称】《大学化学》【年(卷),期】2019(034)004【总页数】9页(P84-92)【关键词】化学竞赛;试题分析【作者】曹宇辉;董浩然;傅裕;霍培昊;刘静嘉;杨可心;余子迪【作者单位】北京大学化学与分子工程学院,北京 100871;北京大学化学与分子工程学院,北京 100871;北京大学化学与分子工程学院,北京 100871;北京大学化学与分子工程学院,北京 100871;北京大学化学与分子工程学院,北京 100871;北京大学化学与分子工程学院,北京 100871;北京大学化学与分子工程学院,北京 100871【正文语种】中文【中图分类】G64;O62018年11月30日，第32届中国化学奥林匹克(决赛)理论考试在山东济南顺利举行。
相比于往年，本次决赛的试题考查内容回归基础，引导学生用简单化学原理去解决复杂的化学问题。
在此，我们对第32届中国化学奥林匹克(决赛)理论试题进行了详细的解答，并对试题中涉及的化学问题进行了深入的探讨。
近年来，研究人员制得了一系列含Ir的化合物。
1-1 在该系列化合物中，[IrO4]+有A、B、C三种异构体。
A无对称中心，Ir―O键的键长均为170.8 pm。
B中Ir的配位数为4，氧化态为+7，只有两种Ir―O键，键长分别为188.8 pm和168.0 pm，C中只有一个镜面，也只有两种Ir―O键，键长分别为209.6 pm和167.9 pm。
画出A、B、C的结构。
1-2 IrBr3与N2O5可在室温下反应，得到一紫色配合物Ir3O(NO3)10，同时产生一红棕色的液体单质，并释放出具有顺磁性的无色气体，写出该反应的方程式。
1-3 具有三方双锥构型的Cr(CO)x(NO)y配合物，满足18电子规则，计算x和y。
正二十面体与正十二面体共轭生成的准晶结构模型
正二十面体与正十二面体共轭生成的准晶结构模型的报告，
800字
准晶结构模型由正二十面体(Icosahedron)和正十二面体(Dodecahedron)一起生成，它们共同构成了一个复杂的结构，
称为准晶结构模型。
此模型在物理学和化学中都有重要应用。
正二十面体是一个空心多面体，由12个正五边形构成，它包
含20个三角形面，也可能包含多个不同方向上的顶点。
正二
十面体也隐含着一种十二分之五的比例，因此它有着一定的对称性和美感。
正十二面体是一个空心多面体，其外壳由12个正五边形构成，每个正五边形的内部两条边的长度相等，而外部两条边的长度则在某种程度上保持不变，即使12个正五边形旋转也是如此。
正十二面体也具有一定的规律性，整体看上去具有完美的美感。
准晶结构模型的建立，使正二十面体和正十二面体保持比例并连接，使其形成一个空间多面体的合体，它不能仅仅由正二十面体或正十二面体组成，需要它们合作才能生成空间多晶。
准晶结构模型的建立非常细致，它被应用于物质的结构形状和空间的表示，也有助于提高空间性能，如传播速度、强度和耐久性。
准晶结构模型一般用于设计建筑物、汽车、航空模型等各种产品，既能提高其实用性，又能改善外观设计，使设计变得更加美观大方。
另外，正二十面体和正十二面体还可以用于生物学专业，有助于研究病毒的结构，帮助研究者更好地理解重要的结构特征和
致病机制，从而有效促进病毒的治疗。
从以上可见，正二十面体和正十二面体的准晶结构模型有着广泛的应用，展示了强大的功能和潜力。
因此，深入了解正二十面体和正十二面体的准晶结构模型，将为各行各业提供更多革新性的解决方案。
正多面体
不久（1751 年）欧拉严格证明了上述公式——人称它为欧拉公式。数学界将 V+F-E=2 称为欧拉示性数。 用欧拉公式证明正多面体只有 5 种 证明：对于正多面体，假设它的各面都是正 n 边形，而且每一个顶角处有 r 个边相遇。这样 就有： nF=2E (1) rV=2E (2) (1)的右边系数 2 是因为每边出现在 2 面中， （2）的右边系数 2 是因为每边通过 2 个顶角。 把（1）和（2）代入欧拉公式中，就得到：
四六十式多面体 62 面 三三三三五式多面体 92 面 M27-04t□ 对偶多面体 连结任何正多面体的相邻两面的中心，就形成对偶多面体。非常巧的是，除正四面体的 对偶体仍为正四面体外， 正方体与正八面体互为对偶体， 正十二面体与正二十面体也互为对 偶体。 M27-05d□ 卡塔朗体 卡塔朗立体是对偶的半正多面体，都是凸多面体。1865 年比利时数学家欧仁·查理·卡 塔朗最先描述它们。因为其对偶多面体半正多面体点匀称而面不匀称，卡塔朗立体，面匀称 而点不匀称。只有两个边匀称的卡塔朗立体：菱形十二面体和菱形三十面体。目前共计有 13 种卡塔兰立体，其对偶多面体均为半正多面体(阿基米德立体)。 M27-06t□ 会徽上的失误 美国数学会是一个拥有两万多名会员的组织（学术团体） ，在世界上影响较大。 1924 年美数学会会刊《美国数学月刊》创立，创刊号上刊登了美国数学会会徽，这是 一个以正 20 面体为主旨的图案，几十年来人们对它的权威性从未怀疑过。 上个世纪 80 年代初，美国华盛顿大学的布兰高·格林鲍华从当时民主德国的一枚邮票 上，发现票面图案中的正 20 面体图案有误：正 20 面体原本有一个基本特点：同一个平面内 的棱或交于一点或彼此平行，但邮票上的图案不是那样。 格氏立刻想到美数学会会徽上的图案，看后他不禁惊呆了，数学会的会徽上的图案，竟 然绘错了，更令人不解的是：它竟然错了五十多年而无人发现。 当他将问题指出后，美数学会终于将会徽图案作了修正。一个错了近 60 年的象征美国 数学会的会徽终于得以改正。 M27-07d□ 多面体的欧拉公式 欧拉 欧拉 1707 年 4 月 15 日出生于瑞士， 在那里受教育。 他一生大部分时间在俄罗斯帝国和 普鲁士度过。欧拉是一位数学神童。他作为数学教授，先后任教于圣彼得堡和柏林，尔后再 返圣彼得堡。欧拉是有史以来最多遗产的数学家，他的全集共计 75 卷。欧拉实际上支配了 18 世纪的数学， 对于当时的新发明微积分， 他推导出了很多结果。 在他生命的最后 7 年中， 欧拉的双目完全失明，尽管如此，他还是以惊人的速度产出了生平一半的著作。 欧拉公式的发现 1750 年一个阴雨连绵的日子，数学家欧拉（Euler,L.）坐在桌前，摊开书本，拿起纸、 笔又在演算数学问题——这是一道涉及长方体的立体几何题目。 演算完毕， 他漫不经心地看 着所画图形且计算着该长方体中顶点数 8、面数 6 和棱数 12 间的关系。 思来算去他发现：8+6-12=2.随后眼睛一亮：这也许正是这类几何体的共性？ 接着欧拉又从去角立方体和三棱锥中发现： 顶点数+面数-棱数=4+4-6=2。 他又找来几个（凸的）几何体一一计算后发现，对（凸）多面体而言： 顶点数（V）+面数（F）-棱数（E）=2，即 V+F-E=2. 随即他便将此发现写信告诉另一位数学家哥德巴赫（Goldbach,C.） ，信中流露出他发现 此公式时的惊喜。
奥数题及答案：十二面体问题
奥数题及答案：十二面体问题奥数题及答案:十二面体问题店铺导语：奥数学习过程中面对有一定学习难度的内容，我们留下的问题会很多很多，题目的变化也会多种多样，我们要总结老师讲的知识点和做过的题型，在总结的过程中找到知识点的联系，在总结的过程中找出不同，总结越多，思考越多，我们收获的也就越多。
数学网为大家准备了小学五年级奥数题，希望店铺整理奥数题十二面体问题，可以帮助到你们，助您快速通往高分之路!!正十二面体是所谓“柏拉图立体”(Platonic solids)的5种正多面体之一。
其他4种为正四面体、正方体、正八面体与正二十面体。
这些立体的每个面都是正多边形，每个顶点与其他的顶点看起来都一样。
正十二面体有12个面，每一面都是正五边形。
曾有人利用12面，每面代表一个月，做成年历。
以正十二面体为基础，还可以制作出外形非常吸引人的`星状体。
图2是正十二面体展开图的一半。
在纸上或纸板上完成图形之后，只要把纸叠在一起，用圆见的针尖穿刺各个顶点，就可以复制此图形。
(1)画出一个大圆。
(2)由中心O画5条线至圆周，即OA、OB、OC、OD、OE，夹角都是72°。
(3)将AB、BC、CD、DE与EA连线，形成正五边形。
(4)画出ABCDE所有的对角线。
这些对角线会在中心形成较小的五边形PQRST.这个五边形将是正十二面体中的一面。
(5)现在画出PQRST的对角线(以虚线表示)，并作其延长线，以形成其他小五边形的边。
(6)用穿刺卡片纸的方法复制所需要的平面图。
(7)在画好的平面图中加上画斜线的粘贴部分，如图2所示。
(8)仔细剪下平面图，并在所有折线(例如PQ)处用笔或刀背划出刻痕，以便于折叠。
(9)最后用速干胶粘合。
在制作过程中要力求精确，否则最后的模型会无法嵌合在一起。
在完成正十二面体之后，只要在上面加些尖角，就成了绝佳的圣诞节饰品(图3)。
这些尖角呈五面金字塔形，金字塔的每一面都是与正十二面体展开图中APQ相等的等腰三角形。
UG 正多面体建模
UG6.0正多面体建模正多面体又称柏拉图立体,由欧拉定理可证明正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体共五种，均由古希腊人发现。
根据正多面的性质我用UG6.0整理出了建模方法,文中多处运用编辑对象显示和隐藏命令而又没说明，请大家不要奇怪，除此之外任一命令都有说明，有不妥之处希望大家批评指正。
1.计算法2.拉伸法一.正四面体 3.通过曲线组法4.正方体对角线法1.计算法正多面体具有高度对称性,从立体几何角度解析,很容易理解面夹角的关系,也算是从几何中找到了根本吧。
为便于分析构建了如上图正四面体线框,正四面体各面夹角相等,只要求出任两面夹角,在UG6.0中通过两次旋转,N 边曲面再缝合后便能得到正四面体.由上图知线段DF 垂直于线段AD 且∠CAD 就是面1与面2的夹角。
求出∠BAD 再乘以2就是面1与面2的夹角。
线段AB 是正四面体棱切球半径等于4/2a ,线段BD 等于内切球半径12/6a (注a 是正四面体棱长)。
所以∠BA D＝Arcsin 4/212/6a a ＝35.2644°，再乘以2等于70.5288°。
（如若计算的不够精确在UG 6.0里可能不能有效缝合)①引用几何体在草图里创建任一正三角形，而且还要确定出过中心的矢量，下一步作为矢量，角度栏里是计算的角度值。
②引用几何体③N边曲面④缝合2.拉伸法选择拉伸命令进入拉伸草图环境,画任一正三角形,完成草图。
拉伸参数如上图。
这种方法操作少面且结果直接是实体简单,只要明白70.5288度的由来,这种方法使用性更广。
3.通过曲线组在草图环境下画任一正三角形,通过派生曲线,找到三角形中心,完成草图。
建模环境下过中心画一直线垂直于正三角形且长度为边长的3/6倍,这条直线就是正四面体的高。
通过曲线组法建立的也是实体正四面体,这种方法操作起来有点小麻烦,但这种方法本身具有鲜明的特点。
4.正方体对角线法画任一正方体,连接DE,EB,BD,DG,EG,BG。
正二十面体和正十二面体外接、内切球面半径公式的推导
(1) (2)
和内切球面半径公式.虽然有些文献给出了该公式, 但没有给出推导过程,想 来 问 题 可能 在于尺规作图 太繁琐,因为欲推公式,必得辅以图形 ,既 然后者难 以满足,则前者自是省略而不彰显.本文借助梅氏作
后面的运算中会遇到 g 与(1-g)的频繁交换.
需要先画母体图形.欧氏采用球形、立方体分别作为 具体作法完全不同于欧氏而优于欧氏.
长为 1,以 及 NK ≡g,且 由 文 献 [1] 知 NKLQT 为正二 十面体的共同中心点,外接半径显然为 R 外 =OK 2=Os 2+sK 2= 即
2
如图 1 所示,采用立方体为母体,令立方体的边
十面体的 一个 平 面 ,s 为 NK 中点 ,O 为 母 体和正二 g + = 1 (2-g), (1 2 ) (2 ) 4
1
（2017） 第 22 卷第 12 期
蒋德瀚： 正二十面体和正十二面体外接、 内切球面半径公式的推导
Vol.22 No.12 （2017）
式,补加了若干线条和笛卡尔坐标.
本 文 沿用 了文 献 [1] 中 部分 图 , 为了 推导半径公 即 r内 =
3
正二十面体外接和内切球面半径
点便是正二十面体的全部顶点.
1
前言
2010 年,《高等数学研究》发表数学史家沈康身
[1]
半径公式的过程,因与下文大同小异,故不再考虑.
些证明提出些许补充.至于利用欧几里德作图法推导
(1923—2009) 专题研究论文 , 对自古以来关于正 究和综合评述,结论指出,中国清代学贯中西 、著作
2
常识温故
对于平面上 的正 n 边 形 (n=3,4,…),尺规作图
一般化,设正二十面体的棱长为 a,则 g= √ 5 -1 ,g2= 3- √ 5 ,所以 2 2 R外 R外 R外 1 = = = a NK g 2
约翰逊多面体的一种再分类
约翰逊多⾯体的⼀种再分类说明：本⽂为第⼀届和乐杯数学科普⼤赛参赛作品本⽂为第⼀届和乐杯数学科普⼤赛参赛作品说明：约翰逊多⾯体的⼀种再分类第⼀节前⾔约翰逊多⾯体是指除了正多⾯体、半正多⾯体（包括13种阿基⽶德多⾯体、⽆穷多种侧棱与底棱相等的正棱柱、⽆穷多种正反棱柱）以外，所有由正多边形⾯组成的凸多⾯体。
为了知识上的连贯性，同时也是⽅便理解，在讨论约翰逊多⾯体之前，我们先介绍⼀下正多⾯体和半正多⾯体。
1.正多⾯体正多⾯体也叫柏拉图多⾯体，由柏拉图及其追随者对它们所作的研究⽽得名。
正多⾯体具有⾼度对称的特点，其每个⾯都相同、每条棱都相同、每个顶点都相同。
正多⾯体共有5个，分别是正四⾯体、正六⾯体、正⼋⾯体、正⼗⼆⾯体、正⼆⼗⾯体。
正多⾯体我们都⽐较熟悉，这⾥就不作过多介绍。
2.半正多⾯体根据托罗尔德⼽塞特在1900年给出的定义，半正多⾯体有下⾯⼏种：阿基⽶德多⾯体，⽆穷多个侧棱与底棱相等的正棱柱，以及⽆穷多个侧棱与底棱相等的正反棱柱。
1）阿基⽶德多⾯体是以两种及以上的正多边形为⾯的凸多⾯体，并且都可以从正多⾯体经过截⾓、截半、扭棱等操作构造出来，其每个顶点都是全等的。
阿基⽶德体共有13个，因阿基⽶德的研究⽽命名，遗憾的是其研究记录已遗失。
2）侧棱垂直于底⾯的棱柱叫直棱柱，底⾯为正多边形的直棱柱叫正棱柱。
其中，侧⾯为正⽅形，也就是所有棱长都相同的正棱柱即属于半正多⾯体。
根据底⾯边数的不同，这样的正棱柱有⽆穷多个[2]。
⽅便起见，后⾯分别简称“正3/4/5棱柱”、“棱柱”。
3）由两个边数相同的平⾏基底和侧⾯的三⾓形组成的多⾯体叫反棱柱。
特别的，基底是两个正多边形，侧⾯是等腰三⾓形的反棱柱叫正反棱柱。
其中侧⾯为正三⾓形，也就是所有棱长都相同的正反棱柱即属于半正多⾯体。
根据底⾯边数的不同，这样的正反棱柱同样有⽆穷多个。
⽅便起见，后⾯简称“反棱柱”。
3.约翰逊多⾯体1966年，美国数学家诺曼·约翰逊发现了92种约翰逊多⾯体。
正二十面体&&正十二面体
展开图如下所示：若以正二十面体的中心为原点，各顶点的坐标分别为Φ,0,±1)}，在此Φ = (1+正十二面体是正二十面体的对偶多面体。
建立模型的基本过程如下：void CTestView::ReadPoint()//点表{double a=180;//长方形的宽double b=a*(1+sqrt(5))/2;//黄金分割的矩形的长double half=0.5;//第一个长方形的各个顶点P[0].x=half*a;P[0].y=0;P[0].z=half*b;P[1].x=-half*a;P[1].y=0;P[1].z=half*b;P[2].x=half*a;P[2].y=0;P[2].z=-1/2.0*b;P[3].x=-1/2.0*a;P[3].y=0;P[3].z=-half*b;//第二个长方形的各个顶点P[4].x=half*b;P[4].y=-half*a;P[4].z=0;P[5].x=half*b;P[5].y=half*a;P[5].z=0;P[6].x=-half*b;P[6].y=half*a;P[6].z=0;P[7].x=-half*b;P[7].y=-half*a;P[7].z=0;//第三个长方形的各个顶点P[8].x=0;P[8].y=-half*b;P[8].z=half*a;P[9].x=0;P[9].y=-half*b;P[9].z=-half*a;P[10].x=0;P[10].y=half*b;P[10].z=half*a;P[11].x=0;P[11].y=half*b;P[11].z=-half*a;}void CTestView::ReadFace()//面表{//面的边数、面的顶点编号F[0].SetEN(3) ;F[0].p[0]=0 ;F[0].p[1]=5 ;F[0].p[2]=10 ;F[1].SetEN(3) ;F[1].p[0]=5 ;F[1].p[1]=2 ;F[1].p[2]=11 ;F[2].SetEN(3) ;F[2].p[0]=11 ;F[2].p[1]=3 ;F[2].p[2]=6 ;F[3].SetEN(3) ;F[3].p[0]=6 ;F[3].p[1]=1 ;F[3].p[2]=10 ;F[4].SetEN(3) ;F[4].p[0]=7 ;F[4].p[1]=1 ;F[4].p[2]=6 ;F[5].SetEN(3) ;F[5].p[0]=1 ;F[5].p[1]=0 ;F[5].p[2]=10 ;F[6].SetEN(3) ;F[6].p[0]=8 ;F[6].p[1]=0 ;F[6].p[2]=1 ;F[7].SetEN(3) ;F[7].p[0]=0 ;F[7].p[1]=4 ;F[7].p[2]=5 ;F[8].SetEN(3) ;F[8].p[0]=4 ;F[8].p[1]=2 ;F[8].p[2]=5 ;F[9].SetEN(3) ;F[9].p[0]=2 ;F[9].p[1]=3;F[9].p[2]=11 ;F[10].SetEN(3);F[10].p[0]=2 ;F[10].p[1]=9;F[10].p[2]=3 ;F[11].SetEN(3);F[11].p[0]=3 ;F[11].p[1]=7 ;F[11].p[2]=6;F[12].SetEN(3);F[12].p[0]=4 ;F[12].p[1]=9;F[12].p[2]=2;F[13].SetEN(3);F[13].p[0]=9;F[13].p[1]=7 ;F[13].p[2]=3 ;F[14].SetEN(3);F[14].p[0]=7 ;F[14].p[1]=8;F[14].p[2]=1 ;F[15].SetEN(3);F[15].p[0]=8;F[15].p[1]=4 ;F[15].p[2]=0;F[16].SetEN(3);F[16].p[0]=10 ;F[16].p[1]=5 ;F[16].p[2]=11;F[17].SetEN(3);F[17].p[0]=6;F[17].p[1]=10;F[17].p[2]=11;F[18].SetEN(3);F[18].p[0]=4 ;F[18].p[1]=8;F[18].p[2]=9 ;F[19].SetEN(3);F[19].p[0]=8 ;F[19].p[1]=7 ;F[19].p[2]=9;}正十二面体正十二面体是五个柏拉图立体之一,共有二十个顶点、三十条边和十二个面,而每一个面皆是正五边形正十二面体是由12 个正五边形所组成的正多面体。
素描：二十面体绘画技巧哦，24面体
素描：二十面体绘画技巧哦，24面体素描教程平台 2018-07-20 08:41:00二十面体是一种由12个角顶及20个面组成的多面体，其每一个面是一个等边三角形。
绘画时，要抓准形体。
对棱边的刻画要突出石膏的质感。
素描二十面体素描二十面体绘画角度1【重点剖析】1、构图时，准确把握好物体的比例、透视关系。
对各个面也要耐心刻画。
黑白灰块面要清晰。
素描二十面体绘画要领12、对画面进行全面调整，其中包括对形体结构、色调、质感、空间等几个方面进行统一完善和处理。
素描二十面体绘画要领2素描二十面体绘画步骤1、使用2B铅笔，画出物体的基本形态。
注意把握好透视关系。
素描二十面体绘画步骤12、依据光源位置，画出物体的投影。
随后确定并画出背景线。
素描二十面体绘画步骤23、以较密的线条，画出物体的暗面与投影的调子。
素描二十面体绘画步骤34、使用纸笔，对暗面调子进行统一涂抹。
涂抹力度要轻。
素描二十面体绘画步骤45、使用4B铅笔，画出物体后方的背景调子，并对暗部进行刻画。
素描二十面体绘画步骤56、使用6B铅笔，深入刻画物体的暗面及投影的调子，以较密的线条进行绘画。
素描二十面体绘画步骤67、对物体左侧下方块面的暗面与灰面进行统一绘画。
使用4B铅笔，画出物体左侧下方块面的暗部调子。
素描二十面体绘画步骤7-1使用2B铅笔，画出物体左侧下方块面的灰面调子。
素描二十面体绘画步骤7-28、使用2B铅笔，画出物体右侧中部块面的灰面调子，增强体积感。
素描二十面体绘画步骤89、接着对左侧块面细致绘画。
注意排线的深浅变化。
素描二十面体绘画步骤910、对画面进行整体观察，对细节处进行细致的调整。
素描二十面体绘画步骤10使用2B铅笔，画出顶部的亮面与灰面调子，增强立体感。
素描二十面体绘画步骤10-1画出画面的整体调子，使画面整体统一。
素描二十面体绘画步骤10-2素描二十面体绘画角度2二十面体的另一种摆放方式。
注意画面的构图，把握好物体的透视关系。
烷烃同系物和金刚烷同系物分子结构分析
烷烃同系物和金刚烷同系物分子结构分析作者：卓峻峭杨鑫王昀之来源：《化学教学》2021年第10期摘要：通过分析烷烃同系物和金刚烷同系物的分子结构，建立分析金刚烷同系物分子结构的方法，强化对烷烃分子构象的认识，指出这两种分子结构之间的相似性和关联性源于正四面体的对偶性质以及多面体对偶性质在立体化学中的应用意义，旨在为深化立体化学的学习提供新的思路和方法。
关键词：烷烃; 金刚烷; 同系物; 分子结构分析文章编号： 1005-6629（2021）10-0082-05中图分类号： G633.8文献标识码： B立体化学是研究分子的立体结构、反应的立体性及相关规律和应用的科学[1]。
分子的立体结构包括构型和构象等内容，与化合物的物理、化学、生理性质密切相关。
立体化学的观念贯穿于有机化学的整个学习过程中，是有机化学不可或缺的重要组成部分。
同时，由于立体化学对学生空间思维能力要求较高，是比较难理解、难掌握的内容，使不少初学者感到有一定的困难。
烷烃是最简单的一类有机物，其同系物结构是学习立体化学的重要模型。
金刚烷是经典的桥环烷烃，其特殊结构在有机化学和无机化学中都有举足轻重的地位。
本文对烷烃同系物和金刚烷同系物在立体化学中的相似性和关联性进行分析，揭示了金刚烷同系物和交叉型烷烃结构之间的特殊对应关系，指出了多面体对偶性质在立体结构化学中的应用价值。
一方面为这些内容的教学提供一种可参考的方法，帮助学生理解复杂分子结构，另一方面让学生感受不同分子立体结构之间的关联，掌握利用结构模型学习立体化学的方法，增强学生对立体化学的学习兴趣[2，3]。
1 烷烃同系物分子的构象烷烃同系物中从乙烷开始，由于碳碳单键的旋转，出现了构象异构，其中最典型的两种构象分别是重叠型构象和交叉型构象（见图1）。
其中交叉型构象能量较低，是最稳定构象。
在丙烷和丁烷等烷烃的同系物中，多个碳碳单键的旋转使分子的构象更加复杂，会出现多种不同的交叉型构象。
烷烃分子的构象是研究复杂有机分子构象的基础。
多面体简介
MTS2007第一屆全國高中數學教學研討會論文集市立高雄女中林義強第九場次第177頁至第192頁多面體簡介{P o l y h e d r o n}kghs_john@高雄市立高雄女中 林義強 編授[ Contents ] :{1}.從柏拉圖多面體談起( Platonic Solids ){2}.阿基米得多面體( Archimedean Solids ){3}.加泰朗多面體( Catalan Solids ){4}.喀卜勒-龐索多面體( Kepler-Poinsot Solids ){5}.自製多面體模型玩具{6}.參考資料『Geometry is a skill of the eyes and the hands as well as of the mind.』『幾何 是 眼、手 及 心靈 的 技能。
』J e a n J.P e d e r s o n177多面體簡介 { Polyhedron }178{1}. 從柏拉圖多面體談起( P l a t o n i c S o l i d s )[1]. Construct Platonic Solids[2]. Important facts about Platonic Solids柏拉圖多面體每面均由全等的正多邊形所組成，且要求每個頂點的組態一致；為＂凸＂的正多面體，共有正四面體( T e t r a h e d r o n ) , 正六面體( H e x a h e d r o n 或C u b e ) , 正八面體( O c t a h e d r o n ) , 正12面體( D o d e c a h e d r o n ) , 正20面體( I c o s a h e d r o n )等五個。
古希臘人已經知道有上述五個正多面體，柏拉圖( P l a t o , B C 427-B C 347 )在其著作( T i m a e u s )中已有描述；時約公元前350年。
正多面体及其自同构群
正多面体及其自同构群作者：孔婷婷来源：《各界·下半月》2017年第07期摘要：本文主要应用群论的初等技巧和方法，通过群论与几何的分析给出了欧几里得空间中5个正多面体的自同构群。
关键词：正多面体；自同构群；对称一、前言群论是研究对称的学科，正因为如此，它在物理，化学，生物，晶体学等诸多学科中才有着重要的应用。
因此利用群论来研究几何的组合的方法是非常重要的。
从古代希腊时代，人们就已经知道只有五种正多面体，即正四面体，正六面体，正八面体，正是二面体，正二十面体。
我们先给出关于这些正多面体的一些基本事实。
1.正多面体的诸面都是全等的正多边形，正六面体是正方形，正十二面体的面是正五边形，而其他三种正多面体的面是正三角形。
2.正多面体的诸多面角也彼此全等。
3.每个正多面体都内接于一个球，如果它的两个定点的连线经过球心，则称这两个顶点是互相对极的顶点。
4.以一个正多面体诸面的中心作为顶点，相邻两个面中点连线作为边，得到的多面体也是正多面体，叫作原正多面体的对偶。
容易看出，正四面体自对偶，正六面体和正八面体互相对偶，正十二面体和正二十面体互相对偶。
5.正多面体的一个旋转变换如果保持三个顶点不动，则它是恒等变换。
而本文正是通过应用群论的初等技巧和方法，通过群论与几何的分析给出了欧几里得空间中5个正多面体的自同构群。
二、定理设 A，B，C，D，E 分别为欧几里得空间中的正四面体，正方形，正八面体，正是二面体，正二十面体。
记Aut（x）为X的旋转变换群。
这样我们就有以下结果：1.Aut（A） = Alt（4），即四次交错群；2.Aut（B） = Sym（4），即四次对称群；3.Aut（C） = Sym（4），即四次对称群；4.Aut（D） = Alt（5），即五次对称群；5.Aut（E） = Alt（5），即五次对称群。
若无特殊说明，本文所涉及的概念以及符号均取自文献【1-7】。
三、预备知识在本文的证明过程中，我们将要用到以下群论的熟知结果，所以我们列为引理而略去证明。
数学问题解决——正十二面体的制作与涂色问题
数学问题解决
神奇的数学折纸：正十二面体
步骤1：制作一个正五边形的纸带结
把纸带打个结，轻拉两端至最紧，压平（如图2左），得到一个 正五边形的纸带结。
数学问题解决
神奇的数学折纸：正十二面体
步骤2：制作插合正十二面体所需的零件 （1）用纸带折叠一道折痕，使其形成的内角正好符合五边形带结的顶角。（图2右）
（2）折叠后的纸带重叠区域有一个36°为底角的等腰三角形。现在请 将它的两腰以外的纸带贴着边折到背后，然后再把底边以外的部分剪去。 （图3）
数学问题解决
神奇的数学折纸：正十二面体
步骤2：制作插合正十二面体所需的零件 （3） 打开重新将两侧翼藏在夹层内，并且让它们在内部彼此勾起来， 压平。我们得到了一个有108°顶角的等腰三角形（图4左）。 （4）折叠找到每一腰所对角的角分线与该腰的交点，将相应锐角折到 这个点。可以证明，这两道折痕与三角形三边围成一个正五边形（图4 右）。至此我们就完成了第一个插接件。
数学问题解决
Hale Waihona Puke 探究十二面体的着色关于地图的着色有一条著名的定理——四色定理。定理说，任何复杂的 地图都可以用不超过四种的颜色给它涂色来区分相邻区域。这条定理至 今仍然没有一个简洁的证法，人类对它的认识停留在计算机给出的大规 模分类穷举证明。 如果将正十二面体的每个面当成地图上需要区分的一个个区域，请 大家用不超过四种颜色完成以上的着色要求，并拍照上传。
小贴士 1、下料时有一个高效省纸的方法：拿第一个三角形展开图（一个平行四边形） 作模板，从长条纸上比着连续裁剪下来11个这样的图形即可。
数学问题解决
神奇的数学折纸：正十二面体
步骤3：准备插合制作正十二面体（十二个小零件） （1）每个三角形插接零件上既有榫 头也有卯眼：两锐角前端是榫头，两 腰靠近顶点的缝隙是卯眼。插合时有 一定规则，为了保证这个规则不被破 坏，我们给每个插接件上标注一些记 号。 （2）作标记的规律：在每片插接件 的里侧左下角标为红点榫头，左腰缝 隙标为红点卯眼；相应地，右下角为 蓝点榫头，右腰缝隙为蓝点卯眼（图 5上左）。 （3）插合时只要保证榫头插入同色 的卯眼（图5上右），就可以顺利完 成一个完美的十二面体（图5下）。
正多面体和正多边形的对称群
(2)绕V1O
轴逆时针旋转
2 3
；
(3)绕V1O
轴逆时针旋转
4 3
；
(4)关于平面V1V2 A 的镜面反射；
(5)关于平面V1V3B 的镜面反射；
(6)关于平面V1V4C 的镜面反射．
V1
V2
B
O
C
V4 A
V3
由以上描述，得 OV1 =4 ， StabG (V1) =6 由轨道公式得 G StabG (V1) OV1 4 6 24
V1
E1
E4
V2
O
E2
V4 E3
V3
由以上描述，得 OE1 =6 ， StabG(E1) =4 ，由轨道公式得
G StabG (E1) OE1 4 6 24
正六面体(正八面体)的对称群
从面的角度研究正六面体的对称群
设保持 F1 不变的稳定子群为 StabG (F1) ，它共有 8 个元：
正十二面体(正二十面体)的对称群
设保持 F1不变的稳定子群为 StabG (F1) ，则 StabG (F1) 是正五边形的对称群。由第四章的内容
F1
可知，正五边形对称群的阶为 10.由轨道公式，
G StabG (F1) OF1 10 12 120
即正十二面体的对称群的阶为 120.
群
设G 是一个非空集合，如果在G 上定义了一个定义了一 个二元运算 ,满足： （1） 结合律： (a b) c a (b c) (a,b,c G) （2） 存在幺元：存在 eG ,使得
e a a e (a G) ( e 称为G 的幺元) （3） 存在逆元：对任意的 a G ,存在b G ,使得
结论：保持正四面体某个顶点不变的稳定子群的阶为 6， 而对称群作用于顶点的轨道长为 4，因此正四面体的对称群 共有 24 个元素，这个对称群的结构已由以上描述给出.
湖南省邵阳市第二中学2023届高三下学期高考全真模拟数学试题(含解析)
z1
对应的点与
z2
1 2i i
对应的点关于虚轴对称，则
z1
等于（
）
A． 2 i
B． 2 i
C． 2 i
D． 2 i
3．已知点
P
在单位圆
x2
y2
1 上，点
A 2, 0
，点
B 0, 2
，则
PA PB
的取值范围是
（）
A． 1, 3
B． 1, 3
C． 2 2 1, 2 2 1
D． 1, 2 2 1
则 a 的取值范围是______.
五、解答题
17．在 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ，若 3cos A B cos 2C 2 .
(1)求角 C 的大小； (2)若 c 6 ，求 ABC 的面积 S 的最大值.
18．已知数列an 的前 n 项和为 Sn ，且满足 an2 2an1 an ， a5 14 ， S4 26 . (1)求数列an 的通项公式；
B．
f
x
在区间
5π 12
,
π 6
上单调递减
C．将 f x 的图象向左平移 π 个单位所得函数为奇函数
12
D．方程 f x 1 在区间0, 2π 内有 4 个根
2
11．定义在 R 上的奇函数 f x 满足： f 2 3x 是偶函数，且 f 1 2 ，则（ ）
A． f 4 0
B． f 7999 2
可得正方体的边长.
【详解】设正方体棱长为 2a ，
可得正八面体是由两个四棱锥构成，四棱锥的底面为边长为 2a 的正方形，高为 a ，
答案第 1 页，共 21 页
对称 妙联趣事 对称无处不在
四. 妙联趣事 对称无处不在世界著名数学家华罗庚(1910.11.12～1985.6.12)，出生于江苏金坛金城镇，是中国解析数论、矩阵几何学、典型群、函数论等多方面研究的创始人和开拓者. 在国际上以华氏命名的数学科研成果就有“华氏定理”、“怀依～华不等式”、“华氏不等式”、“普劳威尔～加当华定理”、“华氏算子”、“华～王方法”等. 他为中国数学的发展作出了举世瞩目的贡献. 美国著名数学家贝特曼著文称：“华罗庚是中国的爱因斯坦，足够成为全世界著名科学院院士”. 被列为芝加哥科学技术博物馆中当今世界88位数学伟人之一.一九五三年，中国科学院组织出国考察团，由著名科学家钱三强任团长. 团员有华罗庚、张钰哲、赵九章、吕淑湘等人. 途中闲暇无事，少不得谈今论古. 这时华罗庚即景生情，出了一则上联：三强韩魏赵，求对下联. 这里的：“三强”说的是战国时期韩、魏、赵三个强国，却又隐喻代表团团长钱三强的名字，这就不仅要解决数字联中难对的困难，而且要在下联中嵌入一位科学家的名字. 华老上联一出，诸人大费踌躇. 隔了一阵，只见华罗庚不慌不忙地吟出了下联：九章勾股弦.“九章”是我国古代著名的数学著作，这本书首次记载了我国数学家所发现的勾股定理. 同时，“九章”又恰好是代表团另一位成员、大气物理学家赵九章的名字. 对得如此之妙，使满座为之倾倒！对联与对仗是中华文化中特有的对称形式.1. 文化中的对称中华文化博大精深，绝非三言两语所能涵盖的. 因为它是多点多面又多体的. 但有一突出特点非常明显：受儒家中庸之道和《易经》阴阳学说的影响，非常讲究对称性，追求对称美.中国传统文化中，在许多古城、园林里，门窗都是——对开，庭院门前的一对石狮，庙宇边上的两个钟鼓楼，楹柱上的一副对联，桌案上的一对花瓶，座椅的两个扶手，等等都要求严格的左右对称，令人叹为观止. 这种对称性设计，是对大自然的有机模仿，在这种模仿中人们得到感官的愉悦和情操的陶冶，进而产生有益于人身心健康的审美感受.皇宫里百官上朝议政，分列两旁，一边文，一边武，也“对称”着. 流传至今，开会时台上的座次也是按职位左右对称，体现了对称美的一种历史内涵.我国源远流长的汉字是很讲究对称的. 例如中国的“中”字恰好形象地体现了对称美，中间一竖把“口”字一分为二，左右两边对称. 意思是四条边代表东西南北四面八方，一竖立于正中. 汉字是象形字，是由图形演变来的，很多对称的汉字保留了图形对称的特征，例如严格轴对称的有二、三、土等，还有繁体字如華、車、當等，既轴对称又中心对称的有一、十、工等，再加上上下对称、内外对称、部分对称、旋转对称、平移对称等对称结构，数不胜数. 初步统计，在《现代汉语通用字表》收集的7000个常用汉字中，各种对称的汉字就达612个. 对称的汉字突出了“中华文化”的精髓：和谐、平衡. 在剪“双喜（囍）”的过程中，我们同时可以感受到汉字的对称和喜庆的欢乐.值得指出的是，古代对联有时候使用篆体刻在玻璃上，为了达到在玻璃的两面看到的字是一样的. 古人在撰写楹联时特意选用左右对称的字. 这些字称为玻璃字，有1268个. 例如对联“甲申吉興春来早，中土興昌业更荣”.根据汉字的对称性，北京的王子善先生发明了对称输入法，把总字数约7亿的汉字分成十类：独体类、包围类、上对称类、下对称类、左对称类、右对称类、左右对称类、左右非对称类、上下非对称类和中心对称类.“对称码输入法”操作简单，运用方便，中小学生掌握这套方法的应用仅需40分钟. 生僻字或罕见的古籍汉字全部可迅速完成输入. 新颖的对称码输入法突破了目前“形码、音码”输入法的限制，将有助于汉字在全世界的普及.对称不仅对人的视觉感染力很强，抽象在文字之中的对称同样简略而且美观，中国文学从楚辞汉赋以来就有讲求对称的传统，大量成语例如有借有还、有始有终、言行一致、你来我往、左邻右舍、欢天喜地等等就反映了社会生活中的对称规律.作为中华民族非常典型而又为人们喜闻乐见的对联，也具有高度艺术性的文字对称美. 作者本人陶醉在不少名联之中，于是在编写《破解数据信息—统计与概率趣引》一书时，情不自禁地也试写了几幅对联，书的第一章引子与全书结尾分别写的是：酒醉在山水山山水水美不尽，情钟于学问学学问问乐无穷.山峻水秀形成山水美正是青山绿水孕育着千年复千年文明古国，学精问透方有学问乐恰因勤学好问造就了一代又一代智慧新人.我国古诗文化也充满了对称的韵味. 唐诗是中华民族最珍贵的文化遗产之一，是中华文化宝库中的一颗明珠，同时也对世界上许多民族和国家的文化发展产生了很大影响. 在五言律诗、七言律诗、五言绝句、七言绝句中都有极具抽象美的对称要求，不仅字数、外观上对称，内容、词性、意义上也对称，在平平仄仄中蕴含着对称美的精髓. 典型代表作要推“诗圣”杜甫的七言律诗《登高》：风急天高猿啸哀，渚清沙白鸟飞回.无边落木萧萧下，不尽长江滚滚来.万里悲秋常作客，百年多病独登台.艰难苦恨繁霜鬓，潦倒新停浊酒杯.全诗在声律句式上有着极精密的考究. 一般律诗只有中间两联需用对仗，而《登高》的八句皆对. 严整的对仗被形象的流动感掩盖起来了，严密变得疏畅，对称在这里更加富有感染力，精彩极了.人们对于对称美的追求是“贪婪”的，并不满足字、词、句的对称. 作文写作中的首尾呼应亦是典型的对称要求.在我国古汉语中有一类使用词序回环往复的修辞手法—回文，也体现了一种对称美. 被世界纪录协会收录的最早的回文诗是西晋的盘中诗. 后来历代诗家争相仿效、创新，回文诗出现了千姿百态的形式. 仅举宋朝李禺写的《夫妻相思》一例，正读是夫思妻，倒读是妻想夫. 这首写情的回文诗把孤灯之下夫妻互忆的深厚情感表达得淋漓尽致. 无论顺读还是倒读，中间两联的对仗都非常工整，令人拍案叫绝. 真是：回文诗兮诗文汇，伉俪情深相思泪. 唐宋才子知多少，万千妙著后人醉. 啊，自古就追对称美！顺便提及，以英语字母为代表的西方国家语言文字，也是很在意对称性的，例如，简简单单的26个英文大写字母就有20个是对称的；又如广告语句“NOW NO SWIMS ON MON”也可以倒过来看；很有哲理味道的关于对称的英语诗：“不对称是对称，奇怪吗？对称是不对称. 多么奇怪”也可以逆向阅读，蕴藏着丰富的对称思想.2. 数字的对称雄伟壮观、千姿百态的宝塔，是我国古代文明的瑰宝. 例如杭州六和塔，位于钱塘江北岸月轮峰上，是北宋时吴越王为镇钱塘潮而建. 六和塔中须弥座上砖雕约二百处，题材丰富，构思精巧，结构奇妙，造型生动，刻画精细. 有斗艳争妍的石榴、荷花、宝相；有展翅飞翔的凤凰、孔雀、鹦鹉；有舞腾跳跃的狮子、麟麟、棱猊；还有昂首起舞的飞仙、嫔伽等. 塔身自下而上塔檐逐级缩小，塔檐翘角上挂了104只铁铃. 檐上明亮，檐下阴暗，明暗相从，远处观看，显得十分和谐. 是我国古代建筑艺术又一对称的杰作. 又如作为太原标志的双塔，犹如两根擎天巨柱，南北对峙，就像一座宝塔平移变换而得，对称而平衡. 北塔全部用素砖砌筑，底座为八角形，琉璃剪边，色彩绚丽，是不可多见的明代砖雕艺术品.在数学王国中，也有许许多多的“数字宝塔”，有些极其对称，令人感到数学的无穷神奇和无比巧妙.数字宝塔每层的基本结构相同，既美妙动人，又神秘莫测. 不过，有的只能添有限层，有的能添无限层，试试看，如图给出的两座“数字宝塔”能不能再添几层？在“数字宝塔”中，最著名的例子就是“杨辉三角”，杨辉三角并不是杨辉发明的.早在北宋年间，约1023～1050年，我国数学家贾宪所著的《黄帝九章算法细草》中首先给出了这张图. 贾宪称此图为“开方作法本源图”. 遗憾的是《黄帝九章算法细草》已经失传. 我们所见到的图是在南宋末年数学家杨辉(约13世纪)的名著《详解九章算法》中保存的. 书中自注称：此图“出《释锁算术》，贾宪用此术”. 在欧洲，这图形称为“帕斯卡三角”. 一般认为这是法国著名数学家、物理学家、哲学家和散文家布莱士·帕斯卡（Blaise Pascal，1623.6.19～1662.8.19）在1654年发明的.贾宪三角中的数字左、右对称，这些数排列的形状像等腰三角形，两腰上的数都是1，中间的数都等于它“肩上”的两数之和. 对称轴是贾宪三角形底边上的“高”. 这种精妙的对称构造深刻地刻画了著名的二项式定理系数的规律:n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a 222110)(.二项式定理与贾宪三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学. 求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题. 用系数通项公式来计算，称为“式算”；用贾宪三角形来计算，称作“图算”. 贾宪三角有很多性质、应用，有兴趣的读者可以查阅相关著作. 这些与对称紧密相连的性质与应用又一次说明了对称的意义.数字的对称不仅是三角形形状的“数字宝塔”，正方形中的数字也具有对称性.长方形的数字表格称为矩阵，正方形的数字表格称为方阵. 如果在方阵的元素满足ji ij a a ，这个矩阵称为对称矩阵. 如 2113，564632421等等，它们以主对角线(左上角到右下角的一条直线)为对称轴，两边的数字相等. 这种对称矩阵是二次齐次多项式(二次型)的另一种表示方法，例如前一个二阶对称矩阵表示22223y xy x ，后一个三阶对称矩阵表示yz xz xy z y x 128453222 . 用构造出来的对称矩阵可以更加方便的研究几何图形(二次曲线或二次曲面)，这里图形的对称等价于数的对称. 对称可以带给人们方便，对称意味着简单！另外，数的运算也有巧合的对称等式，如“回文”等式：23×64=46×32，18×891=198×81等等. 它们的等号两边等距的数字相等. 构造这类对称只要解不定方程就可以求得.例 y x b a ,,,表示1到9中的4个不同数字，求数字对称等式ba yx xy ab 的个数.略解 只要解方程(10a+b)(10x+y)=(10y+x)(10b+a)，化简得ax =by，用列举法可得ax =by 的全部解：1×6=2×3，1×8=2×4，2×6=3×4，2×9=3×6，3×8=4×6，交换位置，可以得到所求的对称等式一共有20个.无论是文字对称，还是数字对称，其实质仍然是图形对称，或者说是图形对称概念的延拓。
欧几里得原本十三卷
主讲人：xxxx
《几何原本》（希腊语Στοιχεῖ）
是古希腊数学家欧几里得所著的一部数
学著作，共13卷。这本著作是现代数学
的基础，在西方是仅次于《圣经》而流
传最广的书籍。
欧几里得约于前300年写成《几何
原本》。它翻译成阿拉伯文，然后再
二手翻译成拉丁文。最先的印制本出 现于1482年。希腊文版的文字仍然存
足球是由二十个正六边形、十二个正五边形组成若 正二十面体棱边的三分之一处切去角。
食盐的结晶体是正六面体，明矾的结晶体是正八面
体,硫化铁结晶体有时会出现接近正十二面体的形状。
金字塔是正四面体。
病毒都是正二十面体（SARS） 具有正二十面体的艾滋病病毒 ——魔鬼与天使的结合体
构 成 面 正 八 面 体 等 边 三 角 形
图形
几何数据
表面积： 12a 2 体积： 2 a 3 3 二面角角度： arccos( 1 ) 外接球半径：
内接球半径：
2 a 2 a 6
3
构 成 面 正 十 二 面 体 正 五 边 形
图形
几何数据
表面积： 25 10 5 a 2 3
1 (15 7 5 ) a 3 4 5 arccos( ) 二面角角度： 5
对称性:每个正多面体是相似多 面体所属点群中对称性最高的。 对偶性：正六面体与正八面体对 偶，正十二面体与正二十面体对偶。 欧拉公式：V-E+F=2 五个正多面体间的关系
正四面体
正八面体
正六面体
正二十面体
正十二面体
正多面体的应用：
柏拉图视火、空气、水、土四个元
素为原子，其形状如正多面体中 其中四个 。
体积：
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作法
先做一正十二体在平面上，先点选平面
在点选中心点，选择原点为中心点
拉开至所需要的大小
做相邻形，分别点选三个 点
点选完即出现新三角形
用轴反射反射新三角形的顶点，分别以对 边反射对顶点，先点选其中一边
在点选对顶点
同样作法，反射其余两点
再做三顶点的正三角形，分别点选三顶点
点选完即为左图
做此三角形的内正二十面体，移至里面在 作正二十面体
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