正多面体与平面的展开图

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正二十面体&&正十二面体

展开图如下所示：若以正二十面体的中心为原点，各顶点的坐标分别为Φ,0,±1)}，在此Φ = (1+正十二面体是正二十面体的对偶多面体。

建立模型的基本过程如下：void CTestView::ReadPoint()//点表{double a=180;//长方形的宽double b=a*(1+sqrt(5))/2;//黄金分割的矩形的长double half=0.5;//第一个长方形的各个顶点P[0].x=half*a;P[0].y=0;P[0].z=half*b;P[1].x=-half*a;P[1].y=0;P[1].z=half*b;P[2].x=half*a;P[2].y=0;P[2].z=-1/2.0*b;P[3].x=-1/2.0*a;P[3].y=0;P[3].z=-half*b;//第二个长方形的各个顶点P[4].x=half*b;P[4].y=-half*a;P[4].z=0;P[5].x=half*b;P[5].y=half*a;P[5].z=0;P[6].x=-half*b;P[6].y=half*a;P[6].z=0;P[7].x=-half*b;P[7].y=-half*a;P[7].z=0;//第三个长方形的各个顶点P[8].x=0;P[8].y=-half*b;P[8].z=half*a;P[9].x=0;P[9].y=-half*b;P[9].z=-half*a;P[10].x=0;P[10].y=half*b;P[10].z=half*a;P[11].x=0;P[11].y=half*b;P[11].z=-half*a;}void CTestView::ReadFace()//面表{//面的边数、面的顶点编号F[0].SetEN(3) ;F[0].p[0]=0 ;F[0].p[1]=5 ;F[0].p[2]=10 ;F[1].SetEN(3) ;F[1].p[0]=5 ;F[1].p[1]=2 ;F[1].p[2]=11 ;F[2].SetEN(3) ;F[2].p[0]=11 ;F[2].p[1]=3 ;F[2].p[2]=6 ;F[3].SetEN(3) ;F[3].p[0]=6 ;F[3].p[1]=1 ;F[3].p[2]=10 ;F[4].SetEN(3) ;F[4].p[0]=7 ;F[4].p[1]=1 ;F[4].p[2]=6 ;F[5].SetEN(3) ;F[5].p[0]=1 ;F[5].p[1]=0 ;F[5].p[2]=10 ;F[6].SetEN(3) ;F[6].p[0]=8 ;F[6].p[1]=0 ;F[6].p[2]=1 ;F[7].SetEN(3) ;F[7].p[0]=0 ;F[7].p[1]=4 ;F[7].p[2]=5 ;F[8].SetEN(3) ;F[8].p[0]=4 ;F[8].p[1]=2 ;F[8].p[2]=5 ;F[9].SetEN(3) ;F[9].p[0]=2 ;F[9].p[1]=3;F[9].p[2]=11 ;F[10].SetEN(3);F[10].p[0]=2 ;F[10].p[1]=9;F[10].p[2]=3 ;F[11].SetEN(3);F[11].p[0]=3 ;F[11].p[1]=7 ;F[11].p[2]=6;F[12].SetEN(3);F[12].p[0]=4 ;F[12].p[1]=9;F[12].p[2]=2;F[13].SetEN(3);F[13].p[0]=9;F[13].p[1]=7 ;F[13].p[2]=3 ;F[14].SetEN(3);F[14].p[0]=7 ;F[14].p[1]=8;F[14].p[2]=1 ;F[15].SetEN(3);F[15].p[0]=8;F[15].p[1]=4 ;F[15].p[2]=0;F[16].SetEN(3);F[16].p[0]=10 ;F[16].p[1]=5 ;F[16].p[2]=11;F[17].SetEN(3);F[17].p[0]=6;F[17].p[1]=10;F[17].p[2]=11;F[18].SetEN(3);F[18].p[0]=4 ;F[18].p[1]=8;F[18].p[2]=9 ;F[19].SetEN(3);F[19].p[0]=8 ;F[19].p[1]=7 ;F[19].p[2]=9;}正十二面体正十二面体是五个柏拉图立体之一,共有二十个顶点、三十条边和十二个面,而每一个面皆是正五边形正十二面体是由12 个正五边形所组成的正多面体。

多面体的表面展开图

点拨根据这个多面体的表面展开图的特点解答即可；解共有3个长方形组成侧面，2个三角形组成底面，故是三棱柱.
点拨解答案
(2)根据图中所标的尺寸，计算这个多面体的全面积.
点拨这个多面体的全面积是侧面积与上下底面积之和.
解由图可得，AB＝ 32＋42＝5，AD＝3，BE＝4，DF＝6，
则侧面积＝3×6＋5×6＋4×6＝18＋30＋24＝72，上下底面积之和＝3×4＝12，故全面积＝72＋12＝84.
(2)“二三一型”：
(3)“二二二型”：
(4)“三三型”：
基础诊断
1.一个几何体的展开图如图，这个几何体是( C )
A.三棱柱
B.三棱锥
C.四棱柱
D.四棱锥
2.下列图形中，是正方体表面展开图的是( A )
A.3.下列图形中可以作为一个三棱柱的展开图的是( A )
A.
B.
C.
D.
(2)当AB＝4，BC＝4，CC1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长.
解
解
蚂蚁沿着木柜表面经线段 A1B1 到 C′1，爬过的路径长是：AC′1
＝ 42＋5＋42＝ 97；蚂蚁沿着木柜表面经线段 BB1 到 C1 ，爬过的路径长是： AC1 ＝ 52＋4＋42＝ 89. ∵ 89＜ 97， ∴最短路径的长是 AC1＝ 89.
剖析
正确解答
分析与反思
正确解答 B
分析与反思当遇到立方体展开图的问题时，最好先确定两个面，这样
其他的面也就跟着确定了，不会因为旋转的原因而导致错误.
剖析
正确解答
分析与反思
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多面体构成

古希腊时代，柏拉图认为5种多面体结构是构成物质的主要元素，它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。其它类型的多面体都是在此基础上发展而来的。
柏拉图多面体
正四面体展开图
正六面体展开图
正八面体展开图
正十二面体 5-6CM
正二十面体
7-8CM
108度
O 阿基米德多面体——由两种或两
量，也不增形。 A 棱边处理单线变复线，将多面体棱边处理为双线，这样棱边形成了一个狭窄棱面，棱角由尖锐变成了平钝。
折痕线变形将多面体原来笔直的棱边折痕线变成曲线的处理，幅度不宜过大，可使原来严肃的形体变得优美起来。棱边压屈压屈部分的压幅不宜过大。切挖在棱边部位作直线或弧线切挖，切除部分的量，切挖的长度和面积不宜过大，否则多面体的结构会变形，甚至散架。
坚实或轻巧边的处理反折剪边平折等手段进行变化角的处理剪角或内折等方法1面的处理面的处理是在多面体的面上进行开窗附加凹入凸出等变化o开窗在面的某一部位按照设计的需要切口形成窗口状o附加在面上家如别的形态使原有的面形态更富于变化o凹入凸出在面上做折层变化凹入或凸出使平面产生立体感层次变化丰富2边的处理o剪边在多面体的边上进行切除形成在边上开窗的效果o反折在多面体的边上按所涉及的形态划痕然后将划痕部位形态折入反折本来的凸边变得凹进去于是一条边线变成两条o凸边将边向外突出求得形态的变化本体变化就是在多面体的造型处理（效果：坚实或轻巧）
对球体的变化
边的处理进行变化角的处理
反折、剪边、平折等手段剪角或内折等方法
1、面的处理
面的处理是在多面体的面上进行开窗、附加、凹入凸出等变化 O 开窗——在面的某一部位按照设计的需要切口形成窗口状 O 附加——在面上家如别的形态，使原有的面形态更富于变化 O 凹入凸出——在面上做折层变化，凹入或凸出使平面产生立体感，层次变化丰富

简单正多面体问题探究

1、正六面体的截面图
把一些简单的多面体沿着多面体的某些棱将它剪开而成平面图形，这个平面图形叫做该多面体的平面展开图
正十二面体的平面展开图
五个正多面体的平面展开图
2、正六面体的平面展开图
B B A
B
A
正六面体的平面展开图有多少种形状呢？
由于正方体共有12条棱、6个面，剪开表面展成一个平面图形后，其面与面之间相连的棱（即未剪开的棱）有5条，因此须且仅须剪开7条棱.尝试各种可行的组合方式，可以发现正六面体共有下列11种侧面展开方式：
B O C
F
6 同理有， EC BD a ， 4
∴ EA=EB=EC=ED，高线AO的四等分点E是中心.
问题四
AB、BC、CD、DA各边中点 E、F、G、H 构成正方形四个顶点.
A H D B F C G
证明：∵EF是三角形ABC中位线，
∴ 2EF＝AC,且 EF∥AC，
E
同理2GH＝AC,且 GH∥ AC ， ∴ EF＝HG，且 EF ∥ HG ∴ EFGH是平行四边形. 由问题一知AC⊥BD, AC＝ BD, ∵EF、FG是三角形ABC与BCD的中位线， ∴ EF⊥FG， EF＝FG. ∴ 四边形EFGH是正方形.
正多面体是由古希腊哲学家柏拉图发现的，所以又称正多面体为柏拉图体，它由全等的正多边形构成．柏拉图证明了宇宙间只存在五种正多面体．它们的面数分别是四、六、八、十二和二十．
柏拉图（前４２７—前３４７年），是古希腊最著名的唯心论哲学家和思想家。据说，柏拉图在雅典曾开办了一所学园，一边教学，一边著书，他的学园门口挂着一个牌子：“不懂几何学者免进”.没有几何学的知识是不能登上柏拉图的哲学殿堂的.

多面体的概念由若干个多边形围成的空间图形叫多面体

A'
∴ BO AC ，∴ BOB 是二面角 B AC B 的平面角，
D
在 RtBOB 中， OB 1 AC 2 ，又 BB 2 ， 2
A
B'
H
C
O
B
∴ BOB 45 ，∴二面角 B AC B 为 45 ．
（2）作 BH BO 于 H ，∵ AC 平面 BOB ，∴ BH AC ， ∴ BH 平面 ABC ，即 BH 为点 B 到平面 ABC 的距离，
B
AB
AD
a,
AA
b ，求对角面
BBDD
的面积新疆王新敞奎屯
3．已知：正四棱柱 ABCD ABCD 的底面边长为 2 ，侧棱长为 2 ，
（1）求二面角
B
AC
B
的大小；（2）求点
B
到平面
ABC
的距离新疆王新敞
奎屯
D'
C'
A' D
A
B'
H
C
O
B
4．棱长为 a 的正方体 OABC OABC 中，E, F 分别为棱 AB, BC 上的动点， O'
新疆王新敞
奎屯
如图棱锥可表示为 S ABCDE ，或 S AC ．
11．棱锥的分类：（按底面多边形的边数）分别称底面是三角形，四边形，五边形……的棱锥为三棱锥，四棱锥，五棱锥……（如图） 12．棱锥的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积比等于顶点到截面的距离与棱锥高的平方比．中截面：经过棱锥高的中点且平行于底面的截面，叫棱锥的中截面
DEB 是二面角 P AC B 的平面角， DEB 120 ，

正多面体的展开图

兩個不能在同一邊。
參考資料
正多面體
/~cyclcc/science/maths/polyhedron.htm /~leeleung/geom _001.html
報告完畢謝謝大家
A點
圖一
正四面體
正六面體
正八面體
討論
.正四面體的展開圖總共有兩種
.正六面體的展開圖共有11種 .由四個正三角形所拼成的圖共有三種 .由六個正方形所拼成的圖共有37種
結論
正四面體每個頂點只能接三面正三角形
正六面體每個頂點只能接三面正方形當正六面體有四個正方形連在一起時，另外
研究方法
1.
2. 3. 4. 5.
電腦、積木、紙、筆在網路上查明正多面體的特性和資料用積木拼成其正多面體用不同的角度切割成展開圖紀錄其展開圖觀察其規律
研究過程

我們一開始打算用地毯式的方法,舉例來說：正八面體是要怎麼找呢？首先從一個三角形慢慢的增加到兩個、三到……… 八個，找出所有展開圖的拼法，又因為正八面体的畫所有頂點只能圍接4個面，所以我們在展開時會把頂點連結五個面的圖形停止衍生，如5個三角形可拼成圖一但在A點以連了5 個面，所以停止去拼之後的圖形，列出有可能的圖，最後試著去拼所有的圖形，把不能拼成正八面體的圖刪除，列出所有可能性，結果我們發現正八面體的展開圖只有12個，而其他正多面體也使用此方法。
正多面體ห้องสมุดไป่ตู้展開圖
製作人: 劉廷揚、宋智翰陳勝峰、林彥男指導老師: 王嘉瑛
研究目的
了解各個正多面體的展開圖找出共有幾
種，有沒有其規律。怎樣的展開圖不能拼成正多面體。
研究動機
經常看到生活中有許多和正多面

正方体的十一种平面展开图(宜兴李保中)

11中正方体展开图正方体的十一种平面展开图可记忆成下面口诀：一三二，一四一，一在同层可任意，两个三，日状连，三个二，成阶梯，相邻必有日，整体没有田。

相对的两个面之间总隔着一个面正方体：中间四个面，上下各一面（6种摆法-141）中间三个面，一二隔河见（3种摆法-132/231）中间二个面，楼梯天天见（1种摆法-222)中间没有面，三三连一线（1种摆法-33）例1 在图13中（每个小四边形皆为全等的正方形），可以是一个正方体表面展开图的是( ).例2图14是一个正方体包装盒的表面展开图，若在其中的三个正方形A、B、C内分别填上适当的数,使得这个表面展开图沿虚线折成正方体后,相对面上的两个数互为相反数,则填在A、B、C内的三个数依次是( ).A.0,-2,1B.0,1,-2C.1,0,-2D.-2,0,1例3图15所示的是一个正方体包装盒的表面展开图，各个面上标注的数字分别为1，2，3，4，5，6。

现将表面展开图复原为正方体包装盒，则标注数字1和3的两个面是互相平行的，请你写出另一组相互平行的面上所对应的数字：_______。

注：例1、例2、例3的答案分别为：C;A;2与5或4与6。

是不是有点多此一举？例4 一个无盖的正方体纸盒，将它展开成平面图形，可能情况总共有（）。

A．12种 B.11种 C.9种 D.8种千万注意，你可不要选B呦！选D才对。

我又在炫耀了，不过你能很快画出这8个平面展开图吗？下面是示意图，黑方块表示展开图，白方块表示空缺。

（一）□■□■■■□■□（二）■■■■■□□□（三）■■■■□■□□（四）■■■■□□■□（五）■■■■□□□■（六）□■□■■■□□■（七）□□■■■■□□■（八）■□□■■■□□■。

正方体11种平面展开图(精心整理)

正方体的11种平面展开图
正方体的平面展开图共有11种（那些经旋转或翻转后方向不同但实质相同的图形不重复计算），具体来讲分以下4类。

口诀：需背诵
正方体：中间四个面，上下各一面（6种摆法-141）
中间三个面，一二隔河见（3种摆法-132/231）
中间二个面，楼梯天天见（1种摆法-222)
中间没有面，三三连一线（1种摆法-33）
“田”“凹”应弃之
第一类：“1—4—1”型，其特点是有4个连成一排的正方形，两侧又各有1个正方形，共有6种。

口诀：中间四个面，上下各一面（上下面随便放）
第二类：“1—3—2”型，其特点是有3个连成一排的正方形，这一排正方形的一侧有1个正方形，另一侧有2个正方形（其中只有1个与中间那一排相连），共有3种。

口诀：中间三个面，一二隔河见（二三位置是固定的）
第三类：“2—2—2”型，其特点是有2个连成一排的正方形，其两侧又各有2个连成一排的正方形，只有1种。

口诀：中间二个面，楼梯天天见
第四类：“3—3”型，其特点是有3个连成一排的正方形，其一侧还有3个连成一排的正方形，只有1种。

中间没有面，三三连一线（1种摆法-33）。

正方体11种展开图

类型六：十字型
总结词
由两个相同的等腰直角三角形和两个相同的矩形组成的展开图，呈十字形状。
详细描述
这种类型的展开图在正方体的两个相对的面上保留了一个矩形，而其他面则由两个等腰直角三角形组成，整体呈十字形状。
类型七：二字型
总结词
由两个相同的矩形和两个相同的等腰直角三角形组成的展开图，呈二字形状。
详细描述
正方体11种展开图
• 正方体的基本特性 • 正方体的11种展开图 • 正方体展开图的制作方法 • 正方体展开图的应用场景 • 正方体展开图的挑战与未来发展
01
正方体的基本特性
定义与特性
01
正方体是一种三维几何体，由六个正方形面组成，每个面都是等大的正方形。
02
正方体的体对角线、棱和面都是对称的，具有高度的空间对称性。
05
正方体展开图的挑战与未来发展
当前面临的挑战
寻找新的展开方式
目前已知的正方体展开图种类有限，需要探索新的展开方式以丰
富其多样性。
证明无解的存在
对于某些特定条件下的正方体展开问题，需要证明无解的存在，这需要深入的数学理论支持。
实际应用中的限制
正方体展开图在实际应用中可能受到材料、工艺等因素的限制，需要解决这些实际问题。
正方体的几何属性
正方体的体积是边长的三次方，记作 V=a^3，其中a是正方体的边长。
正方体的表面积是6倍的边长的平方，记作A=6a^2。
正方体的展开与折叠
正方体的展开是将正方体的表面沿某些边展开成平面的过程，通常用于制作纸盒等包装材料。
正方体的折叠则是将展开的平面重新折回成立体的过程，常用于制作纸艺模型和玩具。
详细描述

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正多
面体
与平面展开图
By Laurinda..201604开始总结，网络搜集
正四面体正六面体正八面体正十二面体正二十面体正四面体正六面体
正八面体正十二面体
正二十面体
正方体展开图
相对的两个面涂上相同颜色，正方体平面展开图共有以下11种。

邻校比我们学校早了几天举行段考，拿他们的数学卷子提供给学生充做模拟考，其中有一题作图题，不好做，它要求将右图，一个由正方形和等腰直角三角形组成的五边形，以两条线切割，重组成一个等面积的等腰直角三角形。

这题让学生和我「奋战」了几节课，却总是画不成。

理论上它是可以成立的，因为等腰直角三角形可以和一个正方形等面积，而且由商高定理可以知道，存在一个正方形A，它的面积等于任意两个正方形B、C的面积和。

只要A的边长是这两个正
方形B、C的边长平方和的正平方根即可。

而正方形当然可以等积于一个等腰直角
三角形。

但是如何以两条直线完成这道题呢?
今天(5/19)，我利用周休继续思考这道题，终于完成了，做法如左。

多面体之Euler's 公式(V - E + F = 2)
V =顶点数( number of vertices) ; E = 边数(number of edges) ; F = 面数(number of faces)
正四面体(Tetrahedron)
V=4,E=6,F=4, 4 - 6 + 4 = 2
正六面体(Cube)
V=8,E=12,F=6, 8 - 12 + 6 = 2
正八面体(Octahedron)
V=6,E=12,F=8, 6 - 12 + 8 = 2
正十二面体(Dodecahedron)
V=20,E=30,F=12, 20 - 30 + 12 = 2
正二十面体(Icosahedron)
V=12,E=30,F=20,12 - 30 + 20 = 2
Buckyball
V=60,E=90,F = 32 (12 pentagons + 20 hexagons),60 - 90 + 32 = 2
补充说明：
1.用Euler示性数可以证明正多面体恰好有五种;或者假设每一顶点聚集有m条线,每一条线是正n边形的一边,则因为每一正n边形的一个内角为180(n-2)/2 度,围绕此顶点的m个角的和小于360度,否则此顶点附近便变成一个平面,所以
m[180(n-2)/n]<360,同样可以导出(m-2)(n-2)< 4.
2.很多病毒是正20面体(icosahedron),例如:疱疹(herpes)病毒,水痘(chickenpox)病毒,人体疣(human wart)病毒,犬类传染性肝炎病毒,腺病毒(adenovirus)等.
3.巴克球就是足球的样子,叫作"准正多面体".
标尺作图正多边形
正三、六边形正四、八边形正五边形
直尺、圆规和量角器可以画出任意正多边形。

但是在古希腊时，作图只使用没有刻度的直尺（unmarked ruler）和圆规（compass）。

用标尺作正偶边形如2n,3
×2n,5×2n等正多边形并非难事。

但对正奇边形如3,5,7,9,11,13,15等的作图，在当时是件困难的事，而且并非全都可以作图成功。

1798年，德国数学家高斯只有19岁，他成功的以圆规直尺做出一个正十七边形，并证明了正奇边形的边数只有是费马质数或不同的费马质数乘积才可以标尺作图出来（费马质数是质数且型如, k是非负正整数）。

当高斯去世后，人们为了纪念这位伟大的数学家，在他的故乡(Brunschweig)的纪念碑上刻了这个正17边形。

k0 1 2 3 4 5
3 5 17 257 65537 429496729
7
当k=0,1,2,3,4,5时都是质数，但一般猜测k＞5时，都不是质数。

由于我们目前知道只有五个费马质数存在，所以用圆规可以做出的正奇边形是3,5 ,17,257,65537,以及这五个数的两两相乘积。

如3×5,3×17,17×257等共31个。

而最大的正奇边形的边数是是4294967297。

边数小于100，可以标尺作图的正多边形如下：
3 4 5 6 8 10 12 15 16 17 20 24
30 32 34 40 48 51 60 64 68 80 85 96
正三边形和正六边形
取适当长为半径画圆，以同半径在圆周上取弧，再连续可取二个等弧，连接端点，可以连得正三边形。

（下图，红色部分）。

如果取三个等弧的中点，可以连成正六边形（下图，绿色部分）。

↑
正四边形和正八边形
取适当长为半径画圆，画二条互相垂直的直径，连接端点，可以连得正四边形（下图，紫色部分）。

如果取四个等弧的中点，可以连成正八边形（下图，红色部分）。

↑
正五边形
1.画一圆C。

2.作直径AB。

3.取BC中点D。

4.过C点作AB的垂直线交圆C于P点。

5.以D点为圆心，DP为半径画弧交AB于E点。

6.以P点为圆心，PE为半径画弧交圆于一点。

再连续可取四个等弧，
连接端点，就可以做出正五边形。

说明：
如果圆半径是r，圆内接正五边形的边长是a。

则a2=r2+r2-2×r×r×cos72°=2r2(1-)=r2，
因此a=r。

证明：CP= r，CD=，因此PD=r。

而CE=r，所以PE=
×r = r 。

雪花
圣诞节又来临了，昌爸老师建议同学在窗户装饰一些雪花来应景。

先画出以适当长度为一边长的正三角形，在每边中间的三分之一的区段再贴上一块新的正三角形，边长是原来正三角形边长的三分之一，如此重复下去，将可做出如上图的卡区雪花。

每一区段是著名的卡区曲线(Koch curve)，这条既非笔直又非圆形的连结曲线，是瑞典数学家范卡区(Helge vou Koch)在1904年首创。

卡区雪花是一种饶富趣味的雪花，在制作成长的过程中，周长越长越长，面积越来越大，但不会自我交叉。

每变形一次，其周长变成原来的三分之四倍，如果一直重复下去，周长将变得无限大。

面积虽然也变大了，但不会超过原正三角形外接圆的面积。

卡区曲线(Koch curve)是一条在有限区间内却能容纳无限长度且不会自我交叉的曲线，它和直线一样有无限长的长度，不够它却占了空间，但又不像平面一般，因此其维度比1大，但应该比2小，直线是1度而平面是2度。

等积变形
你相信一个广口瓶(如右图），可以在经过切割后，
重新组合成等积的正方形吗？你试着将它切割成左
下图，并将A、B、C、D四区域，移动到右下图正
方形内的对应区域内。

下面两个图形由于都以圆形部分为周界，若要计算其面积，我们起初总会觉得必然涉及的数值。

但若细心观察下列的切割互补程序，轻易可以看出两个图形的面积相等并且等于一个简单的长方形面积。

正多边形的滚动
二个全等的正三角形，其中一个沿着另一个三角形周边滚动一圈后，会转动多少度呢？结果是720度。

换作是其它正多边形，是否也一样是720度呢？
圖解cos(x+y)
∠BEO = 90∘，∠BAO = 90∘，∠
ACB = 90∘，
∠ADE = 90∘。

右圖，如果∠AOD = x∘，∠BOA =
y∘，
則∠ABC = x∘。

圖解sin(x+y)
∠BEO = 90∘，∠BAO = 90∘，∠ACB = 90
∘，
∠ADE = 90∘。

右圖，如果∠AOD = x∘，∠BOA = y∘，
，sin(x+y) =
則∠ABC = x∘
=
= cos(x)sin(y)+sin(x)cos(y)=
sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)。