2023年新高考数学一轮复习8-2 空间几何体的表面积和体积(知识点讲解)含详解

专题8.2 空间几何体的表面积和体积（知识点讲解）
【知识框架】 【核心素养】
1.通过考查几何体体积和表面积的计算，主要考查棱柱、棱锥或不规则几何体的特征及体积与表面积的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
2.结合三视图、直观图、展开图、轴截面等，考查球的切、接问题，主要考查几何体与球的组合体的识辨，球的体积、表面积的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
【知识点展示】
（一）几何体的表面积
圆柱的侧面积
圆柱的表面积
圆锥的侧面积
圆锥的表面积
圆台的侧面积
圆台的表面积
球体的表面积 柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.
把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积.
（二）几何体的体积圆柱的体积
rl S π2=)(2l r r S +=πrl S π=)(l r r S +=πl r r S )(+'=π)(2
2rl l r r r S +'++'=π24R S π=h r V 2π=
圆锥的体积 圆台的体积 球体的体积 正方体的体积
正方体的体积
（三）常用结论
多面体的内切球与外接球常用的结论
(1)设正方体的棱长为a ，则它的内切球半径r ＝2
a ，外接球半径R
＝2a . (2)设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，则它的外接球半径R
＝2
. (3)设正四面体的棱长为a ，则它的高为H
＝3a ，内切球半径r ＝14H
＝12a ，外接球半径R ＝34
H
＝4a . 【常考题型剖析】
题型一：空间几何体的表面积
例1.（2021·全国·高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O ，半径r 为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为22(1cos )S r πα=-（单位：2km ），则S 占地球表面积的百分比约为（ ）
A ．26%
B ．34%
C ．42%
D ．50%
例2.（2020·全国·高考真题（理））已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ）
A ．64π
B ．48π
C ．36π
D ．32π
例3．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知某圆台的母线长为2，母线与轴所在直线的夹角是60︒，且上、下底面的面积之比为1∶4，则该圆台外接球的表面积为（ ）
A ．56π
B ．64π
C ．112π
D ．128π
h r V 231π=
)(3122r r r r h V '++'=π33
4R V π=3a V =abc V =
几类空间几何体表面积的求法
(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和．
(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．
(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删、补．
(4)若以三视图形式给出，解题的关键是根据三视图，想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数量关系．
题型二：空间几何体的体积
例4. （2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（文））若圆锥的母线与底面所成的角为π
6
，则该圆锥的体积为（ ）
A ．π2
B ．π
C ．2π
D ．3π
例5.（2022·全国·高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.
已知该水库水位为海拔1485m ．时，相应水面的面积为21400km ．；水位为海拔1575m ．
时，相应水面的面积为21800km ．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m ．
上升到1575m ．时，
2.65）（ ）
A ．931.010m ⨯
B ．931.210m ⨯
C ．931.410m ⨯
D ．931.610m ⨯
例6.（2022·全国·高考真题（理））甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S 甲和S 乙，体积分别为V 甲和V 乙．若=2S S 甲乙，则=V V 甲乙
（ ）
A
B ．
C
D 例7.（2022·湖北·黄石市有色第一中学模拟预测）阿基米德多面体也称为半正多面体，是以边数不全相同的正多边形为面围成的多面体．如图，已知阿基米德多面体的所有顶点均是一个棱长为2的正方体各条棱的中点，则该阿基米德多面体的体积为______；若M ，N 是该阿基米德多面体表面上任意两点，则M ，N 两点间距离的最大值为______．
1.处理体积问题的思路
(1)“转”：指的是转换底面与高，将原来不易求面积的底面转换为易求面积的底面，或将原来不易看出的高转换为易看出并易求解长度的高，即等体积法；
(2)“拆”：指的是将一个不规则的几何体拆成几个简单的几何体，便于计算，即分割法；
(3)“拼”：指的是将小几何体嵌入一个大几何体中，如将一个三棱锥复原成一个三棱柱，将一个三棱柱复原成一个四棱柱，这些都是拼补的方法，即补形法．
2.求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.
题型三：三视图与几何体的面积、体积
例8．（2020·全国·高考真题（文））下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）
A．6+42B．4+42C．6+23D．4+23例9. （2020·浙江·高考真题）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）是（）
A．7
3
B．
14
3
C．3D．6
例10.（2022·浙江省春晖中学模拟预测）某几何体的三视图如图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧
视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是___________，体积是___________.
【总结提升】
求空间几何体体积的常见类型及思路
（1）规则几何体：若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法
（2）不规则几何体：若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.
题型四：简单几何体的外接球与内切球问题
例11.（2021·天津·高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323π，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A ．3π
B ．4π
C ．9π
D ．12π
例12.（2020·全国高考真题（理））已知△ABC O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）
A B ．32 C ．1 D
例13.（2020·全国·高考真题（理））已知△ABC O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）
A
B ．32
C ．1
D 例14.（2019·全国·高考真题（理））已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，
E ，
F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为（ ）
A
． B
． C
． D
例15.(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )
A ．π
B ．34π
C ．2π
D ．4
π 例16.(2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )
A ．4π
B ．9π2
C ．6π
D ．32π3
例17.（2021·福建·厦门大学附属科技中学高三阶段练习）某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，
如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为6π，则该球的表面积是______．
例18. (2019年高考天津卷理)的正方形，侧棱长均若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________．
例19.（2020·全国·高考真题（文））已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【总结提升】
1.常见类型：
（1）利用长方体的体对角线探索外接球半径；
（2）利用长方体的面对角线探索外接球半径；
（3）利用底面三角形与侧面三角形的外心探索球心；
（4）利用直棱柱上下底面外接圆圆心的连线确定球心；
（5）锥体的内切球问题；
（6）柱体的内切球问题
2.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．
3．若球面上四点P ，A ，B ，C 中PA ，PB ，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方25
体确定直径解决外接问题．
专题8.2 空间几何体的表面积和体积（知识点讲解）
【知识框架】 【核心素养】
1.通过考查几何体体积和表面积的计算，主要考查棱柱、棱锥或不规则几何体的特征及体积与表面积的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
2.结合三视图、直观图、展开图、轴截面等，考查球的切、接问题，主要考查几何体与球的组合体的识辨，球的体积、表面积的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
【知识点展示】
（一）几何体的表面积
圆柱的侧面积
圆柱的表面积
圆锥的侧面积
圆锥的表面积
圆台的侧面积
圆台的表面积
球体的表面积 柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.
把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积.
（二）几何体的体积圆柱的体积
rl S π2=)(2l r r S +=πrl S π=)(l r r S +=πl r r S )(+'=π)(2
2rl l r r r S +'++'=π24R S π=h r V 2π=
圆锥的体积 圆台的体积 球体的体积 正方体的体积
正方体的体积
（三）常用结论
多面体的内切球与外接球常用的结论
(1)设正方体的棱长为a ，则它的内切球半径r ＝2
a ，外接球半径R
＝2a . (2)设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，则它的外接球半径R
. (3)设正四面体的棱长为a ，则它的高为H
＝3a ，内切球半径r ＝14H
＝12a ，外接球半径R ＝34
H
＝4a . 【常考题型剖析】
题型一：空间几何体的表面积
例1.（2021·全国·高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O ，半径r 为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为22(1cos )S r πα=-（单位：2km ），则S 占地球表面积的百分比约为（ ）
A ．26%
B ．34%
C ．42%
D ．50%
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.【详解】
由题意可得，S 占地球表面积的百分比约为： 226400164003600002(1.cos )1cos 44242%22
r r πααπ---+==≈=.
h r V 231π=
)(3122r r r r h V '++'=π33
4R V π=3a V =abc V =
故选：C.
例2.（2020·全国·高考真题（理））已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ）
A ．64π
B ．48π
C ．36π
D ．32π 【答案】A
【解析】
【分析】
由已知可得等边ABC 的外接圆半径，进而求出其边长，得出1OO 的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.
【详解】
设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意，
得24,2r r ππ=∴=，ABC 为等边三角形，
由正弦定理可得2sin 60AB r =︒=，
1OO AB ∴==1OO ⊥平面ABC ，
11,4OO O A R OA ∴⊥====，
∴球O 的表面积2464S R ππ==.
故选：A
例3．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知某圆台的母线长为2，
母线与轴所在直线的夹角是60︒，且上、下底面的面积之比为1⊙4，则该圆台外接球的表面积为（ ） A ．56π
B ．64π
C ．112π
D ．128π 【答案】C
【解析】
【分析】
作出圆台的轴截面等腰梯形，其外接圆是圆台外接球的大圆，在这个轴截面中进行计算可得．
【详解】
如图等腰梯形ABCD 是圆台的轴截面，EF 是圆台的对称轴，
圆台上、下底面的面积之比为1：4，则半径比为1：2，设圆台上、下底面半径分别为r ，2r ，
因母线与轴的夹角是60︒，母线长为2，可得圆台的高为1，r =R ，球心到下
底面（大圆面）的距离为x ，若球心在圆台两底面之间，如图点M 位置，则222R x =+且
222(1)R x =-+，无解；
若圆台两底面在球心同侧，如图点O 位置，则222R x =+且222(1)R x =++，解得4x =，则228R =， 则该圆台外接球的表面积为2112R 4π=π．
故选：C ．
【总结提升】
几类空间几何体表面积的求法
(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和．
(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．
(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删、补．
(4)若以三视图形式给出，解题的关键是根据三视图，想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数量关系．题型二：空间几何体的体积
例4. （2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（文））若圆锥的母线与底面所成的角为π6
，则该圆锥的体积为（ ）
A ．π2
B ．π
C ．2π
D ．3π
【答案】B
【解析】
【分析】
设圆锥的高为h ，利用母线与底面所成角求出高即可得解.
【详解】
设圆锥的高为h ， 因为母线与底面所成的角为
π
6，所以πtan 61h =．
圆锥的体积2π1π3
=
⨯⨯=V ． 故选：B
例5.（2022·全国·高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.
已知该水库水位为海拔1485m ．时，相应水面的面积为21400km ．；水位为海拔1575m ．
时，相应水面的面积为21800km ．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m ．上升到1575m ．时，
2.65）（ ）
A ．931.010m ⨯
B ．931.210m ⨯
C ．931.410m ⨯
D ．931.610m ⨯ 【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．
【详解】
依题意可知棱台的高为157.5148.59MN =-=(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V ．
棱台上底面积262140.014010S ==⨯km m ，下底面积262180.018010S '==⨯km m ，
∴((66119140101801033V h S S =+=⨯⨯⨯+⨯' ()()679933320607109618 2.6510 1.43710 1.410(m )=⨯+⨯≈+⨯⨯=⨯≈⨯．
故选：C ．
例6.（2022·全国·高考真题（理））甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积
分别为S 甲和S 乙，体积分别为V 甲和V 乙．若=2S S 甲乙，则=V V 甲乙
（ ） A
B
．C
D
【答案】C
【解析】
【分析】 设母线长为l ，甲圆锥底面半径为1r ，乙圆锥底面圆半径为2r ，根据圆锥的侧面积公式可得122r r =，再结合圆心角之和可将12,r r 分别用l 表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.
【详解】
解：设母线长为l ，甲圆锥底面半径为1r ，乙圆锥底面圆半径为2r ， 则1122
2S rl r S r l r ππ===甲乙， 所以122r r =， 又
12222r r l l
πππ+=， 则121r r l +=， 所以1221,33
r l r l ==，
所以甲圆锥的高1h ==，
乙圆锥的高2h ==
，所以221122214313r h l V V r h ππ==甲乙 故选：C.
例7.（2022·湖北·黄石市有色第一中学模拟预测）阿基米德多面体也称为半正多面体，是以边数不全相同的正多边形为面围成的多面体．如图，已知阿基米德多面体的所有顶点均是一个棱长为2的正方体各条棱的中点，则该阿基米德多面体的体积为______；若M ，N 是该阿基米德多面体表面上任意两点，则M ，N 两点间距离的最大值为______．
【答案】 203##263 22##322 【解析】
【分析】
第一空，将该多面体置于正方体中，由此可知该阿基米德多面体是由正方体切掉8个全等的三棱锥形成，由此可求得其体积；
第二空，结合阿基米德多面体的外接球刚好是补形后正方体的棱切球，再求M ，N 两点间距离的最大值即可.
【详解】
依题意，可将该多面体补成一个棱长为2的正方体，如图，
所以该阿基米德多面体是由正方体切掉8个全等的三棱锥形成，其体积
112088111323
V =-⨯⨯⨯⨯⨯=; 该阿基米德多面体的外接球刚好是正方体的棱切球，即与正方体的各条棱相切于棱的中点的球，
该球直径为M ，N 两点间距离的最大值为外接球的直径，
则max MN =
故答案为:203
； 【总结提升】
1.处理体积问题的思路
(1)“转”：指的是转换底面与高，将原来不易求面积的底面转换为易求面积的底面，或将原来不易看出的高转换为易看出并易求解长度的高，即等体积法；
(2)“拆”：指的是将一个不规则的几何体拆成几个简单的几何体，便于计算，即分割法；
(3)“拼”：指的是将小几何体嵌入一个大几何体中，如将一个三棱锥复原成一个三棱柱，将一个三棱柱复原成一个四棱柱，这些都是拼补的方法，即补形法．
2.求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.
题型三：三视图与几何体的面积、体积
例8．（2020·全国·高考真题（文））下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）
A．6+42B．4+42C．6+23D．4+23
【答案】C
【解析】【分析】
根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积.
【详解】
根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形
根据立体图形可得：
1
222
2
ABC ADC CDB
S S S
===⨯⨯=△△△
根据勾股定理可得：AB AD DB
===∴
ADB
△是边长为
根据三角形面积公式可得：
211sin 6022ADB S AB AD =⋅⋅︒==△该几何体的表面积是：632⨯++ 故选：C.
例9. （2020·浙江·高考真题）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ）
A ．73
B ．143
C ．3
D ．6
【答案】A
【解析】
【分析】根据三视图还原原图，然后根据柱体和锥体体积计算公式，计算出几何体的体积.
【详解】
由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱，
且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为1，
棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，
所以几何体的体积为：
11117211212232233⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 故选：A
例10.（2022·浙江省春晖中学模拟预测）某几何体的三视图如图，其中
正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是___________，体积是___________.
【答案】232π
+
3
3
π##
3π
3
【解析】
【分析】
先画出直观图，再求出圆锥的高，求出两个半圆锥的侧面积之和，从而求出此几何体的表面积和体积.【详解】
该几何体为两个底面半径为1，母线长为2的半圆锥拼接而成，
设圆锥的高为h，由勾股定理得：413
h=-=，
则两个半圆锥的侧面积之和为
1
2π22π
2
⨯⨯=，
如图，
AB =2CD =，且AB CD ⊥，
所以四边形ADBC 的面积为22÷=， 该几何体的表面积为232π+，
该几何体的体积为21π13⨯=
故答案为：2π 【总结提升】 求空间几何体体积的常见类型及思路
（1）规则几何体：若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法
（2）不规则几何体：若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.题型四：简单几何体的外接球与内切球问题
例11.（2021·天津·高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323
π，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A ．3π
B ．4π
C ．9π
D ．12π 【答案】B
【解析】
作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.
【详解】
如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D ，
设圆锥AD 和圆锥BD 的高之比为3:1，即3AD BD =，
设球的半径为R ，则343233
R ππ=，可得2R =，所以，44AB AD BD BD =+==， 所以，1BD =，3AD =，
CD AB ⊥，则90CAD ACD BCD ACD ∠+∠=∠+∠=，所以，CAD BCD ∠=∠，
又因为ADC BDC ∠=∠，所以，ACD CBD △∽△，
所以，AD CD CD BD
=，CD ∴= 因此，这两个圆锥的体积之和为()21134433
CD AD BD πππ⨯⋅+=⨯⨯=. 故选：B.
例12.（2020·全国高考真题（理））已知△ABC O 的球面上.
若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）A B ．
32 C ．1 D ．2
【答案】C
【解析】 设球O 的半径为R ，则2416R ππ=，解得：2R =.
设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，
ABC
21224a ∴⨯=，解得：3a =，2233r ∴===，
∴
球心O 到平面ABC 的距离1d ===.
故选：C.
例13.（2020·全国·高考真题（理））已知△ABC O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）
A
B ．32
C ．1
D 【答案】C
【解析】
【分析】
根据球O 的表面积和ABC 的面积可求得球O 的半径R 和ABC 外接圆半径r ，由球的性质可知所求距离
d = 【详解】
设球O 的半径为R ，则2416R ππ=，解得：2R =.
设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，
ABC
212a ∴=3a =，2233r ∴==
∴
球心O 到平面ABC 的距离1d .
故选：C.
【点睛】
本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.
例14.（2019·全国·高考真题（理））已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为（ ）
A ．
B ．
C ． D
【答案】D
【解析】
【分析】
先证得PB ⊥平面PAC ，再求得PA PB PC ===P ABC -为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.
【详解】
解法一:,PA PB PC ABC ==∆为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，
PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点，
//EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CE AC C EF =∴⊥平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，
APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，2R ==
34433R V R =∴=π==π，故选D ． 解法二:
设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，
//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆为边长为2的等边三角形，
CF ∴=90CEF ∠=︒1,2
CE AE PA x ∴=== AEC ∆中余弦定理()
2243cos 22x x EAC x +--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =， D 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x
+-+∴=，
221
2122x x x ∴+=∴==PA PB PC ∴=====2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，
2R ∴R ∴=，34433V R ∴=π==，故选D. 例15.(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．π B ．
34π C ．2π D ．4
π 【答案】B 【解析】设圆柱的底面半径为r ，球的半径为R ，且R ＝1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r ，R 及圆柱的高的一半构成直角三角形．
∴2
r ==. ∴圆柱的体积为V ＝πr 2h ＝
34π×1＝34π. 故选B ．
例16.(2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )
A ．4π
B ．9π2
C ．6π
D ．32π3
【答案】B
【解析】由题意得要使球的体积最大，则球与直三棱柱的若干面相切．设球的半径为R ，∵△ABC 的内切圆半径为68102
+-＝2，∴R ≤2. 又2R ≤3，
∴R ≤32，∴V ma x ＝3439()322
ππ=.故选B ． 点睛：解答本题的关键是当V 取得最大值时，球与上下底面还是与侧面相切的问题．
例17.（2021·福建·厦门大学附属科技中学高三阶段练习）某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，
如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为6π，则该球的表面积是______．
【答案】144π
【解析】
【分析】
设球心为O ，作出过球心的截面图如图所示，然后根据已知条件结合球的性质求解即可.【详解】 设球心为O
，作出过球心的截面图如图所示，则OA =
由截面圆的周长为6π，得26AB ππ⨯=，∴3AB =，
6．
所以该球的表面积为246=144ππ⨯.
故答案为：144π.
例18. (2019年高考天津卷理)
的正方形，侧棱长若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________．
【答案】
，借助勾股定理，可知四棱锥的高
.
若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为，圆柱的底面半径为
， 故圆柱的体积为. 例19.（2020·全国·高考真题（文））已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．
【解析】
【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.
【详解】 25π4
2=11221ππ124⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭
易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，
其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点，
设内切圆的圆心为O ， 由于223122AM =-=，故1222222
S =⨯⨯=△ABC ， 设内切圆半径为r ，则：
ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()13322
r =⨯++⨯=
解得：22r
，其体积：343V r π==.
. 【总结提升】
1.常见类型：
（1）利用长方体的体对角线探索外接球半径；
（2）利用长方体的面对角线探索外接球半径；
（3）利用底面三角形与侧面三角形的外心探索球心；
（4）利用直棱柱上下底面外接圆圆心的连线确定球心；
（5）锥体的内切球问题；
（6）柱体的内切球问题
2.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．3．若球面上四点P ，A ，B ，C 中PA ，PB ，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．。