UG 正多面体建模

UG6.0正多面体建模
正多面体又称柏拉图立体,由欧拉定理可证明正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体共五种，均由古希腊人发现。

根据正多面的性质我用UG6.0整理出了建模方法,文中多处运用编辑对象显示和隐藏命令而又没说明，请大家不要奇怪，除此之外任一命令都有说明，有不妥之处希望大家批评指正。

1.计算法
2.拉伸法
一.正四面体 3.通过曲线组法
4.正方体对角线法
1.计算法
正多面体具有高度对称性,从立体几何角度解析,很容易理解面
夹角的关系,也算是从几何中找到了根本吧。

为便于分析构建了如上图正四面体线框,正四面体各面夹角相等,只要求出任两面夹角,在UG6.0中通过两次旋转,N 边曲面再缝合后便能得到正四面体.由上图知线段DF 垂直于线段AD 且∠CAD 就是面1与面2的夹角。

求出∠BAD 再乘以2就是面1与面2的夹角。

线段AB 是正四面体棱切球半径等于4/2a ,线段BD 等于内切球半径12/6a (注a 是正四面体棱长)。

所以∠BA D＝Arcsin 4/212/6a a ＝35.2644°，再乘以2等于70.5288°。

（如若计算的不够精确在UG 6.0里可能不能有效缝合)
①引用几何体
在草图里创建任一正三角形，而且还要确定出过中心的矢量，下一步作为矢量，角度栏里是计算的角度值。

②引用几何体
③N边曲面
④缝合
2.拉伸法
选择拉伸命令进入拉伸草图环境,画任一正三角形,完成草图。

拉伸参数如上图。

这种方法操作少面且结果直接是实体简单,只要明白70.5288度的由来,这种方法使用性更广。

3.通过曲线组
在草图环境下画任一正三角形,通过派生曲线,找到三角形
中心,完成草图。

建模环境下过中心画一直线垂直于正三角形且长度为边长的3/6倍,这条直线就是正四面体的高。

通过曲线组法建立的也是实体正四面体,这种方法操作起来有点小麻烦,但这种方法本身具有鲜明的特点。

4.正方体对角线法
画任一正方体,连接DE,EB,BD,DG,EG,BG。

在静态线框显示状态下效果如图:
隐藏正方体后就得到了正四面体的线框,怎样得到实体正四面体,方法与计算法一样。

此时正四面体的棱长是正方体的对角线。

此外还有一种辅助法,原理很好理解,由于正四面体相对来说简单一些,用这种方法构建反而复杂。

不过这种方法在构建其他正多面体时会涉及到。

只要原理明白了,解决正多面体已是一劳永逸的事。

二.正六面体
正六面体就是正方体,生活中经常见到,大家再熟悉不过了。

1.计算法
2.拉伸法
三.正八面体 3.对偶法
4.横截面法
1.计算法
注意图中的矩形ABCD，正多面体各边相等。

线段OF等于线段AC的2
1，在正三角形ABE中，线段EF＝AE*COS30°。

FO＝54.735610317,∠EFH＝109.471220634
COS∠EFO＝
FE
①UG草图里画任一正三角形，并N边曲面
②引用几何体（旋转正三角面）
旋转角度为∠EFH＝109.471220634
③连接点E和点F
④以线段EF为矢量引用几何体
⑤缝合
⒉拉伸法
①UG草图画任一正方形
②拉伸（也可在拉伸里直接草图）
③完成
⒊对偶法
正八面体与正六面对偶,所以根据这种性质可以由正六面体得到正八面体。

多面体的对偶性是点面之间的一种对应关系,这也是它们间的拓补关系。

在做正四面体时也能由正六面体得到正四面体但那不是对偶关系。

对偶性是互逆的以同样的方法由正八面体也可得到正六
面体
①找出面中心
②有序连接各面中心
连接EA,EB,EC,ED,FA,FB,FC,FD(线框显示)③通过曲线组创建实体
带边着色显示并隐藏正方体
以点F为Section2再次通过曲线组
④求合（对两个实体求合）
①草图里画正方形
②旋转
③旋转
连接点A,点B,点C,点D
连接后就是正八面体线框了，N边曲面后旋转缝合就是实体正八面体了。

用沿引导线的扫掠命令也可以创建正八面体实体。

连接EH,HF
（H为线段AB中点）,在H点分割线段AB（为什么要分割线段AB？）
①如果直接曲线分割的话，结果是
点，分割后H是端点了。

这不是想要的结果，只有先分割再连接。

③沿引导线扫掠（扫后隐藏曲线）
④如果不分割线段AB扫出的结果有多余部分
1.计算法
四.正十二面体 2.拉伸法
3.辅助线法⒈计算法
为了避免观看时产生歧义我只画了正十二面体的两个面。

从上图可知∠EBD就是两面夹角。

∠EBD等于2倍的∠OBD。

在三角形OBD中线段OB是体心到棱中点的距离(切棱球半径)＝a*4
(+,
5
)3
OD＝线段OD是内切球半径＝a*
(+,∠OBD＝arcsin
)5
110
20
250
OB
58.2825°则∠EBD＝2*∠OBD＝116.5651。

下面开始创建:
①画任意正多边形,且要画过中心的垂直矢量
②引用几何体(旋转)
角度对话框的角度值就是两面夹角的度数
③作旋转正五边形的垂直矢量
⑴先做两直线找出中心(下面还要以此线作为旋转矢量)
⑵以两直线所在平面建一基准平面
⑶建WCS(格式—WCS—定向)
画垂直于该基准面的直线
④以两五边形为边界进行N边曲面命令(隐藏没用线各基准面并关闭WCS并编辑对象颜色)
⑤以N边曲面为对象,垂直面的直线为矢量轴旋转对象(第一次旋转)
第二次旋转
第三次旋转
第四次旋转(也是最后一次)
⑥缝合
⒉拉伸法
正十二面体的内切球半径＝a*
250
(+，内切球直径就
110
20
)5
是就是正十二面体的高
①画任一正五边形
②在内接球直径为高的平面上画同心同大小正五边形，还要旋转36
度（或建模正五边形方位角36°）
③拉伸
由于选择的直至延伸对象是侧面所以产生了警报，也就是说软件本身判断不了这种方式的正确性。

④隐藏第一步拉伸实体
⒊辅助线法
①画任一正多边形
②两次旋转
③延长线段AB和BC
为了准确的作垂线需要更改WCS（更改后还要复原）
⑤两次草图画圆（先以Z轴为矢量分别拉伸直线AB,BC）
⑥连接TB并旋转
⑦在OA,BT所在平面画相切圆
⑧画过圆心垂直于圆的直线（旋转矢量）
⑨旋转出正五边形
⑩两次N边曲面
⑾复原WCS(格式－WCS－定向－绝对CSYS)
⑿旋转缝合后就是正十二面体实体了
1.计算法
五．正二十面体
2.对偶法
⒈计算法
正二十面体内切球半径12)1533(*+a ，切棱球半径4)15(*+a ，求面夹角∠CT D＝2*∠OTF。

Arcsin∠CT D＝OT OF ＝69.0948456,面夹角∠CT D＝138.18968512①画任一正三角形并N 边曲面
②旋转四次
③缝合
⒉对偶法
在欧拉正多面体中，正十二面体与正二十面体对偶。

①画圆找出正十二面体中心（并连接AB）
②旋转
③有序连线
④四次N边曲面
⑤旋转
⑥缝合（并更改对象显示）
计算出所需高度和角度后，正二十面体分三次拉伸也能做出，但是计算有点复杂，复杂的话拉伸法就不实用了，可是这却说明了在UG6.0里可以用拉伸法做任一正多面体。

六.足球三十二面体
足球是三十二面体与正二十面体有截角关系，也就是对正二十面体3
1处截角？
1截角就是三十二面体，为什么在3
①在顶点3
1处做基准面
②旋转
③修剪体
七.足球
①抽取三十二面体平面
②画球
③投影曲线
④分割球面
⑤抽取曲面（被分割后的曲面）
⑤加厚片体
⑥旋转
以上除辅助线法外都是根据正多面体的性质计算出面夹角关系，然后用UG 6.0诸多命令创建正多面体实体。

以前总在脑海的正多面体，现在多了份看得见摸得着的感觉。

多面体不仅有对称美，从不同的角度去观察它全是一样的，好象永远不会变，更有了永恒美的感觉，就这样好象从三维空间静态美突有（不知道用什么词来形容这样的一种感觉）四维的动态美。

正多面体在自然界中很少，而正多面体的美绝不仅此（上面的文字只是一种个人对正多面体美的感觉，理论上没。