应用于电力系统空间电荷求解的正则化反卷积算法

Abstract:At present in the field ofinsulation materials, the space charge characteristics of the medium to reflect the insulation condition is a hot research direction.Limited by the current measurement technique, the space charge measurement signal is the output signal of the space chargedistribution and the pulse convolution.The space charge distribution is achieved by deconvolution transform, but this is usually ill posed deconvolution.In order to solve this kind of morbid an ill posed problem, the general use of based on regularization method of deconvolution numerical algorithm based on Tikhonov regularization method to the deconvolution method. In this paper, we introduce two kinds of regularization methods, and study the effect of correlation factors on the accuracy of these two methods.
(11)
式中 为球域的中心， 为球域的半径。这样在式（10）和（11）的基础上就可以建立迭代共个梯度投影算法。
现在求解式（8）的离散泛函的极值问题
minJ(u),
J(u)
(12)
式中 是解空间，是D的离散形式， 是z方向上的离散形式， 的离散形式。
式(12)的迭代公式为
(13)
式中s是迭代指标， 是下降步长， 是搜索方向， 是正的系数， 是投影算子，F’是F的共轭算子。
假设式（1）的解 M，M是非空的凸闭集，M .同时假设Fredholm第一类积分算子A（u）是Frechet可微的，其Frechet微分满足Lipschitz条件
,
(9)
现在使用迭代共轭梯度投影法求解式（2）的近似解，迭代公式为
(10)
式中 是下降步长， 是搜索方向， 是投影到非空凸闭集M的投影算子，当M是球域时，
为了求解这类病态的非适定问题，一般采用基于正则化方法的反卷积数值算法。反问题研究领域最常出现的一类方程，就是Fredholm第一类积分方程
(1)
常用的方法主要有两种，一种是迭代正则化算法，另一种是迭代正则化算法基于Tikhonov正则化方法的反卷积算法。本文以压电压力波法（PWP）为例介绍了这两种方法，并通过数值实验讨论了相关因素对数值结果的影响。
Key words:space charge,deconvolution,Tikhonov algorithm,Iterative regularization algorithm
1
空间电荷研究主要是为解释电绝缘介质老化问题，从而寻求抵制或减缓绝缘材料老化，提高绝缘性能。而空间电荷测量技术是一项技术难题。除测量系统搭建较为困难外，空间电荷的信号处理技术目前还很不成熟。
国内外学者此方面在做了大量探索研究，已有可使用的空间电荷测量方法（PEA、PWP），这些方法测量的信号是空间电荷分布与压力脉冲或者电脉冲卷积后的系统输出信号。因此需通过反卷积数值算法得到本来的空间电荷分布信号。
反卷积算法是已知系统和输出求输入的反问题，一般很难得到理想的结果，通常这种情况下的反问题是病态的。如果矩阵A的微小变化会引起所求方程组解的巨大变化，就称此方程组为“病态”方程组。判断方程组是否为“病态”方程组时，一般利用A的条件数或者行列式cond(A)或者行列式的大小为条件。当 大于50或者行列式远小于0.1的时，A就为“病态”矩阵。条件数的值越大，计算机的舍入产生的误差就会越大，计算出来的解就越不精确。
(6)
是压力波传输矩阵， 是离散化的距离间隔。由于在进行数值处理时是针对同一时刻进行的，空间电荷分布随时间的变化极小，这样上式可以化为
(7)
现令 , D= , F=AP[I,j]
式中Y=Y[n,1], D=D[n,1], F=F[n,n],这样方程（7）就化为
Y=FD(8)
空间电荷信号处理问题就转变为求解准确地求解式（8）方程组。已知Y和F矩阵，通过正则化方法可以较好的实现反卷积计算。
图4空间电荷D1的分布
图5模拟的测量信号
图6 的电荷分布的数值解
图7 和 的电荷分布的数值解
4.2.2正则化参数α的影响
现在考察不同的正则化参数α对数值解的影响.采用数值实验2中的电荷分布D2和模拟的含噪观察数据 ，使用反卷积算法时取α1>α2>α3,电荷密度各数值解如图8(a)所示。图8(b)是图8(a)中各电荷密度数值解的积分，即各电场分布的数值解。从图8(a)可以看出，正则化参数α对电荷密度的数值解有较大影响。当α逐渐减少时，一方面，电荷分布(即曲线上的两个主峰)的分辨率会提高；另一方面，随着α逐渐减少，解的震荡也会提高。这是因为式(19)是从泛函取极值时得到的解，显然它是一个有偏估计。有偏估计的精度应该用均方误差来衡量，由于均方误差是由观测误差引起的偏差和估值方差两部分组成，当α减小时，偏差减小，但估值方差增加；当α增加时，偏差增加，但估值方差减小，这样就要求根据实际情况选取α值。从图10(b)可以看出，α对电场分布的数值解影响较小，原因在于，正则化参数α虽然对数值解起着明显的光滑作用，但是对于解的积分值却影响不大。
2
使用PWP法测量时，深度方向输出的一维电流信号的数学表达式为
(2)
设 为t时刻时压力波到达的位置，这样式（2）可以化为
(3)
式中，A=u ，u=
对式（3）进行分部积分，并考虑到在波前处的压力为零,
(4)
利用Poisson方程，上式可以化为
(5)
这是一个含有空间电荷密度分布 的Fredholm第一类积分方程。根据积分方程理论，积分方程可化为一组含有无穷多个未知量的线性方程组。对（5）进行离散化，考虑有限维近似，引入矩阵记号，得
4 Tikhonov
4.1算法描述
为了解决病态问题，Tikhonov提出了正则化方法，他对一个光滑泛函取极值，从而得到在一定条件下的近似解，也叫做正则化解。
对于方程（8），将F看作一个线性算子，使用Tikhonov正则化技术，引入正则化参数，进行反卷积求解，得
(18)
(19)
式中 是伴随算子。现在F是一个矩阵，这样 就是伴随矩阵。H是一个特殊矩阵，Tikhonov选择单位矩阵，Philips D.L.则是按照先验知识来确定，α是正则化参数。
由于式（7）中的E（0）是未知的，对此用一般的迭代法进行计算，迭代过程如下：取迭代的初始值E(0)0,由反卷积算法得到空间电荷分布，即成立
(14)
从而得到E(0)i，这样逐步迭代，判断 ，直到 。
3.2相关因素影响讨论
3.2.1信噪比对解的影响
一般实验中遇到的噪声可以看作是加性高斯白噪声，现在假设输出信号S上伴随有一个正态分布的随机噪声信号N，定义信噪比(SNR)如下
Tikhonov反卷积算法步骤如下：
从p(0,t)和p(d0,t)建立压力波传输矩阵P[I,j];
取H为单位矩阵，或者按照先验知识建立特殊矩阵H；
令α有表达式： ,初值 ，解方程（19）直到 ;
由Poisson方程得到电场分布，从而得到E(0)k；
判断 ，如果 ，令 ，重新求解方程（19），直到 。
关键词:空间电荷，反卷积，Tikhonov算法，迭代正则化算法
Applied to theRegularizationDeconvolutionAlgorithm forSpaceChargeDistribution
Gao Chaofei
(North China Electric Power University)
图2δ和 之间的关系
图3δ和 之间的关系
考虑SNR =60dB时的情形。图3是δ和 之间的变化关系，图4是δ和 之间的变化关Biblioteka Baidu，图5是随着δ变小，数值解和真解的比较。从图3和图4可以看出，随着迭代停止标准的减小， 和 将逐渐变小，图5中的数值解越来越接近于真解。可以证明，在 时，数值解将收敛到真解.
图1 F[i,j]的传播图形
表1 SNR和 ， 之间的关系
表1表明，在相同的迭代停止标准下，迭代法对不同SNR数据得到的解的 和 相差不大，这说明在相同的迭代停止标准下迭代法对SNR不敏感。
3.2.2迭代停止标准对解的影响
通过在合适的迭代指标处停止，迭代正则化方法可以获得对真解稳定的近似值。当迭代指标只依赖噪声水平时，就是一种先验停止规则；当停止迭代标志同时依赖数据和迭代本身的结果时，就是一种后验停止规则。后一方法的一种常用停止规则是差异原则。本文使用差异原则确定迭代停止标准，定义输出偏差因子， 现在研究在SNR给定的条件下δ和 ， 之间的关系。
（a）电荷密度各数值解的比较
4.2相关因素影响讨论
4.2.1信噪比（SNR）的影响
建立压力波传输矩阵如图1所示。假设空间电荷D1的分布如图4所示，在传输函数的作用下，按照式（8）得到输出的测量信号 如图5所示。对 用反卷积算法，得到空间电荷分布的数值解如图6所设。比较图4和图6，数值解与假设的空间电荷D1的分布非常接近。现在假设 上伴随有一个在一定范围内均匀分布的随机噪声信号S。若S的信噪比SNR=20dB，这样 变为 。现在用反卷积算法，得到 的空间电荷分布数值解如图7中实线所示。当提高数据的信噪比,比如SNR=60 dB时， 的电荷分布的数值解如图7中虚线所示。由图7可知，测量信号的信噪比，对于反卷积算法得到的数值解的精度有重要的影响。
(15)
式中 ， 分别为无噪信号何噪声信号的最大值，定义一阶偏差因子 和二阶偏差因子 ，
(16)
(17)
式中， 节点位置， 表征了数值解的偏差情况， 越大，数值解的偏差就越严重。
首先建立压力波传播矩阵F[i,j]，此处取n=1200。F[I,j]在不同时刻和不同位置的传播图形见图1。可证，信号F的含噪数据对解的影响与信号Y的含噪数据对解的影响相似，故本文在研究噪声的影响时，假设F[i,j]不带误差，只研究Y有误差是对解的影响。设真解为
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3.1迭代公式
迭代法是求解线性算子方程最常用的一种方法。对方程(1)使用正则化方法处理以后由原问题的病态性所造成的解的不稳定能够在某种程度上被抑制住。目前有许多种迭代法可以用来求解Fredholm第一类积分方程，最常见的是共轭梯度法和基于共轭梯度的投影法。由于共轭梯度投影法是一种既稳定，收敛速度又快的迭代法，目前已经得到了深入研究，其原理就是把原问题转化为泛函的极值问题，然后构造一个凸集，使用投影算子结合共轭梯度的方法，可以得到原问题非常逼近的数值解。在以迭代公式 求解式(1)的过程中，对于某个特定的迭代指标，如果满足 (这里k为迭代停止指标，为原问题的真解)，这种迭代法就是一种正则化方法。通常需要考虑在合适的迭代指标处结束迭代过程，因为从这个迭代指标开始，数值噪声在解中的放大将危害计算结果。
应用于电力系统空间电荷求解的正则化反卷积算法
摘要:目前在绝缘材料研究领域中，通过介质中空间电荷特性来反映绝缘状况是比较热门的科研方向。受限于当前的测量技术，空间电荷实测信号是空间电荷分布与脉冲卷积后的系统输出信号，如何将系统测量信号还原成实际的空间电荷分布是一项难题。空间电荷分布是通过反卷积变换实现，但这种反卷积通常是病态的。为了求解这类病态的非适定问题，一般采用基于正则化方法的反卷积数值算法和基于Tikhonov正则化方法的反卷积算法。本文介绍了此两种常用的正则化方法，并分别通过数值实验研究相关因素对这两种方法处理精度的影响。