图论学习报告
图论期末总结
图论期末总结一、引言图论是一门研究图和网络结构的数学学科。
图论不仅在数学领域中有着广泛的应用，而且在计算机科学、物理学、化学、生物学等交叉学科中也扮演着重要的角色。
在本学期的图论课程中，我系统地学习了图论的基本概念、算法和应用，对图论的知识有了更深入的理解和认识。
在本文中，我将对本学期学习的图论知识进行总结和归纳。
二、基本概念1. 图的定义与表示：图是由一组顶点和一组边组成的数学模型。
在图中，顶点表示图中的实体，边表示顶点之间的关系。
图可以用邻接矩阵或邻接表来表示。
2. 图的类型：图可以分为有向图和无向图、加权图和非加权图、简单图和多重图等。
有向图的边具有方向性，无向图的边没有方向性。
加权图的边带有权重，非加权图的边没有权重。
简单图没有自环和平行边，多重图可以有自环和平行边。
3. 图的基本术语：顶点的度数是指与该顶点相关联的边的数量。
入度是有向图中指向该顶点的边的数量，出度是有向图中从该顶点发出的边的数量。
路径是由边连接的一系列顶点，路径的长度是指路径上边的数量。
连通图是指从一个顶点到任意其他顶点都存在路径。
三、图的算法1. 图的遍历算法：深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）是两种常用的图遍历算法。
DFS从一个顶点出发，探索所有可能的路径，直到无法继续深入为止。
BFS从一个顶点开始，逐层探索图中的其他顶点，直到所有顶点都被访问过为止。
2. 最短路径算法：最短路径算法用来计算图中两个顶点之间的最短路径。
迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法是两种常用的最短路径算法。
迪杰斯特拉算法适用于没有负权边的图，通过每次选择到某个顶点的最短路径来逐步扩展最短路径树。
弗洛伊德算法适用于有负权边的图，通过每次更新两个顶点之间的最短路径来逐步求解最短路径。
3. 最小生成树算法：最小生成树算法用于找到连接图中所有顶点的最小代价树。
克鲁斯卡尔算法和普林姆算法是两种常用的最小生成树算法。
克鲁斯卡尔算法通过每次选择代价最小的边来逐步扩展最小生成树。
高等数学中的图论与网络分析
高等数学作为大学数学教育的核心课程之一，包含了许多重要的数学概念和方法。
其中，图论与网络分析是高等数学中的一个重要分支，涉及了图的定义、图的性质以及与网络相关的问题的解决方法。
首先，让我们来了解一下什么是图。
在数学中，图是由若干个节点和连接这些节点的边组成的结构。
节点可以表示各种实体，如人、城市等，而边则表示节点之间的关系。
图可以分为有向图和无向图两种类型。
在有向图中，边具有方向，表示节点之间的单向关系；而在无向图中，边没有方向，表示节点之间的双向关系。
我们可以通过绘制节点之间的边来可视化地表示图的结构。
在高等数学中，我们主要研究的是无向图。
通过图的分析，我们可以更好地理解各种实体之间的相互关系。
例如，在社交网络中，可以用图来表示人与人之间的关系；在物流领域中，可以用图来表示商品与配送中心之间的联系。
通过对图的分析，可以帮助我们揭示隐藏在复杂关系中的规律，并为解决实际问题提供指导。
而图论是研究图的性质和图中问题的解决方法的一门学科。
通过图的性质分析，可以推断出图中节点之间的关系，比如节点的连通性、路径的存在性等。
图论中的常用概念包括度、连通图、路径等。
节点的度表示与该节点相连的边的数量，连通图指的是任意两个节点之间都存在路径的图，而路径则是指从一个节点到另一个节点所经过的边的序列。
借助这些概念，我们可以计算图的直径（即最长路径的长度）、聚类系数（表示节点之间的紧密联系程度）等指标，从而更好地了解图的结构。
在网络分析中，我们关注的是如何在真实世界中获得图的数据并对其进行分析。
近年来，随着互联网的发展，大量的网络数据被生成和存储。
通过网络分析，可以从这些数据中挖掘出有价值的信息。
例如，在社交网络中，可以通过分析用户之间的连接模式，了解人们的兴趣爱好和行为习惯；在生物学中，可以分析蛋白质相互作用网络，推断出未知蛋白质的功能等。
网络分析的方法包括社区发现、中心性分析、网络模型等。
这些方法可以帮助我们揭示网络结构中的规律和特征，并为决策者提供支持。
图论学习笔记
图论学习笔记⽬录图的概念简史欧拉与⼽尼斯堡七桥问题等价问题：“欧拉⼀笔画”\(\equiv\)与任⼀个顶点相关联的边必须是偶数条。
图的基本概念图⽆向图邻接与关联邻接与关联：\((p,q)\)图另⼀种表⽰⽅法：(p,q)图图相等与特殊的图图相等、特殊的图（平凡图、零图）有向图疑惑：⽆向图是集合反⾃反、对称的关系。
有向图中为保证反⾃反性，去掉了⾃⾝到⾃⾝的有向线段\(\{(v,v)|v \in V\}\)。
但是，图是不允许存在⾃⾝到⾃⾝的边吗？答案：是的。
图的表⽰图解法与邻接矩阵法图解法与邻接矩阵法：问题：关系的闭包在图中的意义是什么？图模型利⽤图建模现实问题，并⽤图的理论加以解决的能⼒。
例⼦：结婚问题、地图与导航⼦图⼦图概念⽣成⼦图特例：⽣成⼦图记号：去除顶点u，去除边{u,v}尤其地，注意去除边的记号不是去除u、v两个顶点。
导出⼦图（1）顶点导出⼦图：若V1⊆V(G)，则以V1为顶点集，以两个顶点均在V1中的边集组成的图，称为图G的顶点导出⼦图，记为G(V1)。
例如：求G(V1)，V1 ={1,3,5}则G(V1)为（2）边的导出⼦图：若E1⊆E(G),则以E1为边集，以E1中所有边的顶点为顶点集组成的图，称为图G的边的导出⼦图，记为G(E1)。
例如：求G(E1)，E1 = {13,24,35}则G(E1)为度度的概念定理1——握⼿定理【定理1】握⼿定理证明：每⼀条边对度数总和的贡献为2（每⼀条边对应两个顶点），由于共有q个边，故度数总和为2q。
推论1：握过奇数次数⼿的⼈为偶数个。
证明：将⼈分为两类，握奇数次⼿\(V_1\)和握偶数次⼿\(V_2\)，那么，\(V_1\)与\(V_2\)中顶点的度数总和为偶数（2q），同时，\(V_2\)的度数之和必然为偶数，那么，\(V_1\)的度数之和必然为偶数（偶数-偶数=偶数），同时，由于\(V_1\)中均是握奇数次⼿（\(V_1\)中各顶点度均为奇数），那么，\(V_1\)中顶点数必为偶数个（偶数个奇数之和=偶数）。
数理基础科学中的图论问题研究
数理基础科学中的图论问题研究图论是数学中的一个分支，它研究的是图的性质和图之间的关系。
图由节点和边组成，可以用来描述各种事物之间的联系和关联。
在数理基础科学中，图论被广泛应用于各个领域，包括计算机科学、物理学、生物学等。
本文将介绍一些图论问题的研究和应用。
一、最短路径问题最短路径问题是图论中的经典问题之一，它研究的是在图中找到两个节点之间最短路径的方法。
最短路径问题在实际生活中有很多应用，比如导航系统中的路径规划、物流系统中的货物运输等。
为了解决最短路径问题，图论中提出了一些经典算法，如Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
这些算法通过遍历图中的节点和边，计算出节点之间的最短路径。
二、网络流问题网络流问题是图论中的另一个重要问题，它研究的是在网络中如何有效地传输信息或资源。
网络流问题在电信网络、交通网络等领域中有广泛的应用。
为了解决网络流问题，图论中提出了一些经典算法，如最大流算法和最小割算法。
这些算法通过在图中寻找合适的路径和割来确定网络中的流量分布。
三、图的着色问题图的着色问题是图论中的一个经典问题，它研究的是如何用最少的颜色给图中的节点上色，使得相邻节点的颜色不同。
图的着色问题在地图着色、时间表调度等领域中有广泛的应用。
为了解决图的着色问题，图论中提出了一些经典算法，如贪心算法和回溯算法。
这些算法通过遍历图中的节点，逐步确定节点的颜色，直到所有节点都被着色。
四、社交网络分析社交网络分析是图论在计算机科学中的一个重要应用领域，它研究的是社交网络中的节点之间的关系和影响力。
社交网络分析可以帮助我们理解社会关系、预测信息传播等。
为了解决社交网络分析问题，图论中提出了一些经典算法，如PageRank算法和社区发现算法。
这些算法通过分析节点之间的连接和交互，计算节点的重要性和社区结构。
五、生物网络分析生物网络分析是图论在生物学中的一个重要应用领域，它研究的是生物体内分子之间的相互作用和调控关系。
图论(Graph Theory)学习笔记2
图论学习笔记（2）基本概念设图G，u∈V(G)，v∈V(G)，u-v通道（u-v path）是指从结点u出发，经过一个交互的结点和边的序列，最后回到结点v的路径，其中连续的结点和边是关联的。
通道的长度（length）是指通道经过边的数量。
若一个通道中没有重复的边，则称该通道为迹（trace）。
（注：迹中的结点是可以重复的）若迹开始和结束于相同的结点，则称该迹是闭的（closed），称该迹为回路（loop）。
若一个通道中没有重复的节点，则称该通道为路（pathway）。
若u∈V(G)，v∈V(G)，则一个将u和v连接起来的路称为u-v路（u-v pathway）。
注：显然，如果结点不重复，则边必然不重复，所以，一个路也是迹，一个闭路称为圈（circle）。
若图中的任意两个结点间都存在路，则称此图为连通图（connected graph），否则，称之为非连通图（disconnected graph）。
在连通图中，各个分支称为连通分量，严格来说，图的连通分量指的是极大连通子图（[unknown]）。
若u∈V(G)，v∈V(G)，则节点u和v之间的测地线路是指长度最短的u-v路，简称测地线（geodesic）。
注：当你要在最短时间内从u到达v，测地线路是你的最佳选择。
途中可能存在多条测地线路。
测地线路也常被称为最短路。
图G的结点集V(G)，边集E(G)。
当图H满足结点集V(H)的子集，边集E(H)是E(G)的子集，边界对每一条边e=uv∈E(H)，其中u∈V(H)，v∈V(H)，则称图H是G的子图（subgraph），通常称图G为图H的超图（supergraph）。
定义结点都给以标号的图称为标记图（labeled graph），否则，称为非标记图（unlabeled graph）。
注：对标记图G，若S⊆V(G)，并且在标记图G中共有k条边连接了S中的所有结点，那么，G的以S为结点集的子图数为2k。
若V(H)=V(G)，则称子图H是图G的生成子图（spanning subgraph）。
图论学习教导
图论自学指导书前 言图论是一门应用十分广泛其内容非常丰富的数学分支，在物理、化学、生物、计算机科学、工程技术和经济管理等各个领域都可以找到图论的足迹。
它起源很早，瑞土数学家欧拉在1736年解决了当时颇为有名的一个实际问题，哥尼斯堡七桥问题，从而使他成为图论的创始人。
由于基础的图论不需要高深的数学知识，具有一定的初等性，而且图论的思想对于提高分析、解决问题的能力是十分有益的，所以深受数学竟赛命题者的青睐。
在数学竟赛中，经常出现一些以图论为背景的试题，这些试题题型新颖，内容生动诱人。
且在新课标中也已将图论列入中学数学选修课之内。
图论研究的对象是图，但这里所讨论的图并不是几何学中的图，而是客观世界中某些具体事物间某种二元关系的一个数学抽象，用顶点代表事物，用边表示各事物间的二元关系，如果所讨论的某两个事物之间有相应的二元关系，我们就在相应的两个顶点之间连一条边，这种由顶点及连接这些顶点的边所组成的图就是我们图论中所研究的图。
根据图的构造，图论方法来解决数学竞赛题的范围和基本思路是：若问题中所给的条件和结论是讨论关于某些对象之间的二元关系，那我们基本上可以用图的方法来解决该问题。
其方法是用图的顶点表示问题中的对象，某两个事物之间有问题中所关注的二元关系，我们就在相应的两个顶点之间连一条边。
这样，就把一个具体问题抽象成为图论问题，我们就可以用图论的理论和方法进行探讨。
但是对于中学数学竞赛，一般并不要求学生直接用图论的定理去解题，而是运用图论中常见的处理方法（如反证法、数学归纳法、极端原理、抽屉原理、分类讨论、优化假设等）去分析图中的逻辑关系与数量关系，最终找出问题的答案。
用图论思想求解问题有两个较为明显的优点：其一可将实际问题转化为一个数学问题；其二可将抽象的内在关系转化为图的外显关系。
第一章 图论的基本概念通常用G=(V,E)表示图，其中V(G)={v 1,v 2,……,v p }≠Φ表示顶点集合, E(G)={e 1,e 2, ……,e q }表示边的集合。
离散数学中图论部分的教学反思
离散数学中图论部分的教学反思在离散数学这门课程中，图论是一个非常重要且有趣的部分。
作为教师，我在教学图论时认识到了其中的一些问题，并进行了反思和改进。
本文将对离散数学中图论部分的教学进行反思，并提出相应的改进措施。
首先，我认识到在讲解图的基本概念时，我可能没有足够地简化抽象概念的表达。
图是一个由节点和边组成的数据结构，但对于大部分学生来说，这个概念可能并不容易理解。
我应该更多地引入实际生活中的例子，以帮助学生建立对图的直观认识。
例如，在介绍节点和边的概念时，我可以通过城市和道路的关系来进行解释，这样学生更容易理解。
其次，我反思到我在讲解图的表示方法时可能过于依赖于数学符号和抽象的描述。
虽然这是图论中常用的表示方式，但对于初学者来说，数学符号可能会让他们望而却步。
因此，我决定在讲解时增加更多的图示，用可视化的方式展示节点和边的关系。
这样不仅可以帮助学生更好地理解图的概念，也增强了他们的学习兴趣。
第三，我注意到在解答习题时，学生们可能会陷入机械化的解题模式中，不容易将理论与实际应用相结合。
因此，我决定在教学中增加一些实际问题的案例分析，让学生将所学的图论知识应用于实际问题的解决中。
例如，在介绍最短路径算法时，我可以用一个实际的路径规划问题来进行讲解，这样学生就能更好地理解算法的应用和意义。
最后，我反思到我在评价学生的学习成果时，可能没有充分注意到他们的思维过程和解题思路。
我过于注重结果的正确性，而忽略了中间的思考过程。
因此，我决定在考试中增加开放性的问题，要求学生详细说明他们的解题思路和步骤。
这样不仅可以评估学生的理解程度，也能鼓励他们在学习过程中更加深入地思考问题。
通过以上的反思和改进措施，我相信离散数学中图论部分的教学将更加有效和有趣。
通过更直观的解释、可视化的图示、实际问题的应用和注重学生的思维过程，我希望能够激发学生对图论的兴趣，提高他们的学习效果，并培养他们的问题解决能力。
总之，作为离散数学中图论部分的教学者，我认识到了一些不足之处，并进行了相应的反思和改进。
图论学习——最大团与最大独立集
图论学习——最⼤团与最⼤独⽴集
最⼤团定义：即为最⼤完全⼦图。
给定⽆向图G=(V,E)。
如果U是V的⼀个⼦集，且对任意u，v属于U 有(u，v)属于E，则称U 是G 的完全⼦图。
G 的完全⼦图U是G的团当且仅当U不包含在G 的更⼤的完全⼦图中，即U就是最⼤完全⼦图。
G 的最⼤团是指G中所含顶点数最多的团。
最⼤独⽴集定义：
独⽴集是指图 G 中两两互不相邻的顶点构成的集合。
当且仅当对于U 中任意点u 和v所构成的边(u , v) 不是G 的⼀条边时，U 定义了⼀个空⼦图。
当且仅当⼀个⼦集不被包含在⼀个更⼤的点集中时，该点集是图G 的⼀个独⽴集（independent set ），同时它也定义了图G 的空⼦图。
最⼤独⽴集是具有最⼤尺⼨的独⽴集。
对于不同图⽽⾔，我们有以下结论：
1、对于⼀般图⽽⾔：原图的最⼤独⽴集 = 补图的最⼤团
2、对于⼆部图⽽⾔：最⼤独⽴集 = 点数 - 最⼩点覆盖（最⼤匹配数）
⼀、对于⼀般图，图的最⼤团（最⼤独⽴集）问题是⼀个NP问题，因此我们可以采⽤搜索的⽅式求解问题。
例题：
此题需要我们求解图的最⼤独⽴集，我们只需要求出补图的最⼤团即可（此处⽤的是求最⼤团的dfs模板，如果采⽤的原图建图求出来的就是最⼤团）
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⼆、对于⼆分图，根据定理，我们可以采⽤匈⽛利或者⽹络流的算法求出⼆部图的最⼤匹配然后求解最⼤独⽴集。
图论课期末总结
图论课期末总结首先，我在课程中学习了图的基本概念和性质。
图是由一组顶点和一组边组成的数据结构，可以用来描述很多现实生活中的问题。
在图的定义中，顶点表示问题中的对象，而边表示对象之间的关系。
图可以分为有向图和无向图，有向边表示关系有方向性，无向边表示关系无方向性。
另外，图还可以分为带权图和非带权图，带权图中的边上有权重，非带权图中的边没有权重。
接着，我学习了图的连通性和路径的概念。
在图中，如果任意两个顶点之间都存在路径，那么这个图就是连通的。
连通图中的任意两个顶点都是连通的，非连通图中存在孤立的顶点。
路径是从一个顶点出发，经过若干个顶点，到达另一个顶点的序列。
在有向图中，路径有方向性，即从起点到终点的方向。
而在无向图中，路径没有方向性，即可以从任意一端出发。
然后，我学习了图的表示方法。
常见的图的表示方法有邻接矩阵和邻接表。
邻接矩阵是一个二维数组，其中数组的行和列分别代表图的顶点，数组元素的值表示顶点之间是否有边相连。
邻接表是由一组链表组成的数据结构，链表的每个节点表示一个顶点，链表节点中存储了与该顶点相邻的其他顶点。
除了学习图的基本概念和表示方法，我还学习了一些图的算法和应用。
其中包括最短路径算法、最小生成树算法和网络流算法等。
最短路径算法是用来寻找图中两个顶点之间最短路径的算法，其中最著名的算法是Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
最小生成树算法是用来寻找连通图中一棵包含所有顶点的生成树的算法，其中最著名的算法是Prim算法和Kruskal算法。
网络流算法是用来解决网络中最大流和最小割问题的算法，其中最著名的算法是Ford-Fulkerson算法和Edmonds-Karp算法。
在图的应用方面，图论在计算机科学、通信网络、交通运输等领域都有广泛的应用。
在计算机科学中，图可以用来表示网页链接、社交网络和路由问题等。
在通信网络中，图可以用来建模网络拓扑和路由算法。
在交通运输中，图可以用来建模交通流量和路径规划。
图论(Graph Theory)学习笔记5
图论学习笔记（5）
树
基本概念
若一个图的任何子图都不是圈，则称此图为无圈图。
连通无圈图称为树（tree）。
若一个连通图删除某便后变为非连通的，则被删除的边称为图的桥（bridge），故树的每一条边都是桥。
注：对于非连通图来说，如果删除某边会增加连通分量的数目，则此边也同样称为图的桥。
森林是指所有连通分量都为树的图。
若一棵有根数每个结点的至多有两个孩子，则称该树为二叉树（binary tree）。
若出叶子外的其他所有结点都有两个孩子，则称该二叉树为完全二叉树（complete binary tree）。
若一个图连通且含有一个圈，则称该图为单圈图。
基本性质
P5.1 每个非平凡树至少有两个端结点。
P5.2 删除树的任意一条边都会变为非连通图。
P5.3 对树的任意给定的两个结点x、y，树中存在唯一一条x-y路，故此路为测地线。
换句话说，在图中两结点中没有可供选择的其他路可走。
P5.4 若树有n个结点，q条边，则q = n - 1，故树是最小连通的。
基本定理
定理 5.1 设S为n个正整数组成的序列d1,d2,...,dn，其中d1≥d2≥...≥dn，并且d1+d2+...+dn=2(n-1)，其度序列为S。
定理5.2 对一非平凡树T，度为i的结点数记为ni。
n1=2+n3+2n4+3n5+...。
补充内容
判断树是否同构的方法是比较它们的度序列、最长路的长度和对给定的唯一度数相应结点间
最短的长度。
图论学习报告
图论学习报告报告内容:一．基本概念：1.叙述图：所谓图G是一个三元组，记做G=<V(G),E(G), ψ(G)>,其中V(G)={v1,v2,v3,…,vn},V(G)≠∅，称为图G的结点集合；E（G）=（e1，e2,…,en），是G的边的集合。
ψ(G)称为关联函数。
2.有向图：每一条边都是有向边的图称为有向图。
3.无向图：每一条边都是无向边的图称为有向图。
4.欧拉图：含欧拉回路的无向连通图与含有有向欧拉回路的弱连通有向图统称为欧拉图。
5.哈密顿图：具有哈密顿回路的无向图，与具有哈密顿有向回路的有向图统称为哈密顿图。
6.最短路径：在加权图中找出二个指定点之间的最短路叫做最短路径。
7.树：无圈连通无向图叫做树。
8.二叉树：每个节点最多只有二个子树的树叫做二叉树。
9.最小支撑树：连通加权图里权和最小的支撑树称为最小支撑树。
10.最优二叉树：在所有的带权w1,w2,w3,…,wt的二叉树中，带权最小的二叉树称为最优二叉树。
11.平面图：如果图G能够示画在曲面S上，且使得它的边近在断点处相交，则称G可嵌入曲面S。
如果图G可以嵌入平面上，则称G是可平面图，已经嵌入平面上的图g称为G 的平面表示。
G与g都简称为平面图。
二．算法设计1：写出Dijkstra算法{G带有顶点a=v0,v1,…,vn=z和权w（vi，vj），若{vi，vj}不是G中的边，则w(vi,vj)=∞} For i:=1 to nL(vi): ∞L(a):=0S:= ¢{初始化标记，a的标记为0，其余结点标记为∞，S是空集}While z∉SBeginu:=不属于S的L（u）最小的一个顶点S：=S∪{u}For所有不属于S的顶点vIf L(u)+w(u,v)<L(v)Then L(v):=L(u)+w(u,v){这样就给S中添加带最小标记点并且更新不在S中的顶点的标记}End{L（z）=从a到z的最短路长度}2：写出Floyd算法把图用邻接矩阵G表示出来，如果从Vi到Vj有路可达，则G[i,j]=d，d表示该路的长度；否则G [i,j]=空值。
图论(Graph Theory)学习笔记9
图论学习笔记（9）距离与连通性基本概念设u和v为图G中给定的两个结点，则两者间的距离是指G中任意u-v测地线中边的数目，记作d(u,v)。
图论中的距离函数满足如下公理（这三个公理称为三角不等式）：d(u,v) ≥0，当且仅当u = v 时，d(u,v) = 0。
对任意结点u、v都有d(u,v) = d(v,u)。
对任意结点u、v和w都有d(u,v) ≤d(u,v) + d(w,v)。
设v为图G的给定结点，v的偏心距是指v与和它相距最远的结点间的距离e(v)，用数学公式表示为：e(v) = d(u,v)。
相关结论：对图G的某个结点v若有e(v) = t，则：图G的任意其他结点与v间的距离都不大于t。
图G中至少存在一个结点与v间的距离为t。
若结点w满足d(v,w) = e(v)，则称w为偏心结点。
若两个结点中的任意一个都是另一个的偏心结点，则称它们是互为偏心的。
图G的所有结点中最小偏心距称为G的半径，记作rad(G)。
具有最小偏心距的结点组成的集合称为G的中心，记作C(G)。
图G的边界是指具有最大偏心距的结点组成的集合，记作P(G)。
图G中最大偏心距称为G的直径，记作diam(G)。
非平凡图的边界至少包含一对结点u、v，满足d(u,v) = diam(G)，此对结点称为相对结点对或者径向结点对，其中的一个结点为另一个结点的相对结点。
相对结点总是互为偏心的。
注：其逆命题不成立。
中心结点集中的某个结点与其偏心结点间的测地线称为半径路，其长度必然是rad(G)。
相对结点对间的测地线称为直径路，其长度必然是diam(G)。
数学中的图论问题研究
数学中的图论问题研究图论是数学中一个重要的分支，研究的是描述多个对象之间关系的图模型的性质和结构。
图论问题广泛应用于计算机科学、运筹学、电路设计等领域，并在实际生活中有很多应用。
本文将从几个重要的图论问题入手，探讨它们的理论背景和实际应用。
一、最短路径问题在图论中，最短路径问题是指连接图中两个顶点的路径中，边权之和最小的那条路径。
解决最短路径问题的方法有很多，常用的有迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。
迪杰斯特拉算法适用于求解单源最短路径问题，而弗洛伊德算法则能够求解全局最短路径问题。
最短路径问题在实际生活中有广泛应用，比如地图导航、物流路径规划等。
地图导航中，我们需要找到起点和终点之间的最短路径，而物流路径规划中，我们需要找到运输货物所需的最短路径。
通过最短路径算法，我们可以高效地解决这些实际问题。
二、最小生成树问题最小生成树问题是指在带权无向图中找到一个边的子集，使得这个子集包含图中的所有顶点，并且边的权值之和最小。
在解决最小生成树问题时，常用的算法有普利姆算法和克鲁斯卡尔算法。
最小生成树问题在实际应用中也有很多。
比如，我们在设计电力输电网络时，需要将各个电力站点用最小的输电线路连接起来，以降低成本和能量损耗。
此外，最小生成树问题还可以应用于通信网络、铁路规划等领域。
三、旅行商问题旅行商问题是指在带权完全图中找到一条经过所有顶点的哈密顿回路，并且使得回路总权值最小。
旅行商问题是一个典型的NP完全问题，没有多项式时间的解法。
即使旅行商问题没有高效解法，但是它在实际生活中有很多应用。
比如，物流公司需要规划送货员的路线，使得送货员能够高效地访问每个客户。
其他应用还包括航空航天领域中的轨道规划、城市旅游规划等。
四、最大流问题最大流问题是指在有向图中找到从一个源点到一个汇点的最大流量。
最大流问题与最小割问题密切相关，可以通过最大流最小割定理相互转化。
最大流问题在网络流中有重要应用。
比如，在通信网络中，我们需要确定数据流从源点到目的地的最大传输量。
图论数学建模实验报告
图论数学建模实验报告1. 引言图论作为一门数学分支学科，研究由节点和边构成的图结构，被广泛应用于物理、计算机科学、社交网络等领域。
本实验旨在利用图论的基本概念和算法，对一个特定问题进行建模与求解。
2. 实验目的通过图论数学建模实验，我们希望能够掌握以下几个方面的能力：1. 理解图论的基本概念，如图、节点、边等；2. 熟悉图的表示方法，如邻接矩阵、邻接表等；3. 掌握常见的图算法，如最短路径算法、最小生成树算法等；4. 能够将实际问题抽象为图论问题，并利用图论算法进行求解。
3. 实验内容3.1 问题描述我们将研究一个城市的交通网络，并希望找到最佳的交通路径。
给定城市的道路和交通流量数据，我们需要确定最短路径、最大流量等指标，以便优化交通网络。
3.2 数据处理与图建模首先，我们需要将所给的数据进行处理，提取出城市的地理结构和交通流量信息。
根据道路的起点和终点，我们可以将城市的地理结构抽象为一个有向无环图（DAG）。
每个交通路线可以表示为一个有向边，边的权重代表着该路线的长度或交通流量。
3.3 最短路径算法为了确定最佳交通路径，我们需要使用最短路径算法来找到两个节点之间的最短路径。
在本实验中，我们选择使用Dijkstra算法来计算最短路径。
该算法基于贪心策略，从起点节点开始，逐步选择距离最短的节点，并更新路径和距离。
3.4 最大流量算法另外，我们还需要确定最大的交通流量。
为了实现这一目标，我们使用Ford-Fulkerson算法来计算最大流量。
该算法通过不断寻找增广路径，逐渐增加流量直到不能再增加。
3.5 结果分析与优化根据最短路径算法和最大流量算法的结果，我们可以分析交通网络的拓扑结构和瓶颈位置。
进一步，我们可以提出优化策略，如增加道路容量、改变交通流量分配等，以改善交通网络的性能。
4. 结论通过本次图论数学建模实验，我们深入学习了图论的基本概念和常用算法，掌握了将实际问题抽象为图论问题的方法。
通过分析城市交通网络的最短路径和最大流量，我们可以为优化交通网络提供科学的依据和指导。
图论(Graph Theory)学习笔记8
图论学习笔记（8）基本概念图的匹配M是有一些边组成的集合，其中的任何两个边都不关联。
注：设X，Y是二分图G中的两个部分，则图G一个匹配中的每一条边关联的两个结点满足：一个在X中，另一个在Y中。
事实上，图G的每条边也都满足。
若X中的每个结点都关联于匹配M中的一条边，则称M为从X到Y的一个完全匹配。
注：此时M未必是从Y到X的一个完全匹配。
若M是从X到Y的一个完全匹配也是从Y到X的一个完全匹配，则称M为一个完美匹配。
这要求|X| = |Y|，即图G是平衡的，从X到Y的一个完全匹配仅要求|X|≤|Y|。
若匹配M在图G的所有匹配中最大，则称M为最大匹配。
也就是说，若M'是图G的任意一个匹配，则|M'|≤|M|。
若不存在更大的匹配M'包含匹配M，则称M为一个极大匹配。
因此，极大匹配是指不能通过增加边而扩大的匹配。
设M是图G的一个匹配。
图G的M-交错路是由在M中的边和不再M中的边交替出现构成的。
若结点v与M中的某条边相关联，则称v为M-匹配的，否则，称v为M-不匹配的。
M-增广路是指连接两个M-不匹配结点的交错路。
注：M-增广路不必包含M的所有边。
M-增广路开始并终止于不在M中的边。
基本定理定理8.1 Berge匹配定理图G的匹配M是最大匹配当且仅当G中没有M-增广路。
预备：对于结点v，用n(v)表示所有与v邻接的结点集。
对于图G结点集的任意子集S，N(S)表示所有与S中的结点相邻接的结点集的并集，即N(S)=n(v)。
定理8.2 Hall匹配定理二分图G的两个部分为X、Y，若存在从X到Y的完全匹配当且仅当对任意S⊆X，都有|N(S)|≥|S|。
定理8.3 Hall婚配定理二分图G的两个部分X、Y满足|X| = |Y|时，图G存在完美匹配当且仅当对任意子集S⊆X，都有|N(S)| ≥|S|。
引理8.3.1 正则二分图G一定平衡，即G的两个部分X、Y一定有相同的结点数。
定理8.4 若二分图是正则图，则它一定存在完美匹配。
电路分析-图论基础学习
图论基础学习
电路分析
图论基础学习
• 什么是电路的拓扑图？
➢ 我们在应用基尔霍夫定律解决电路问题时，知道例析 KCL和KVL方程只与电路的结构有关，而与元件的性质 无关，因此，研究这种约束关系时可只考虑电路的结 构，不考虑元件的性质。这样，将电路图中每个支路 用线段(与线段的长短、曲直无关)代替，可得到一个 线段与节点组成的图形，称为电路的拓扑图，简称 “图”，图-a的拓扑图如图-b所示。
➢ 右图的节点3就是孤立节点。 ➢ 右图中如果删除节点2，得到的
新图就只有节点1、节点4、节 点3和线段1-4了！
电路分析
图论基础学习
• 图的基本概念-什么是子图？
• 如果一个图的每个节点和每条支路都是另一个 图的节点和支路，那么这个图就是另一个图的 子图。
是
的子图
是
的子图
是
的子图
电路分析
图论基础学习
• 图的基本概念-什么是路劲？
• 从某个节点开始，经过不同支路及节点，到达 另一个节点的支路序列，我们就把这个序列叫 做路劲。
• 上图从节点1到节点3的路 径如下：
① ﹛ a﹜ ② ﹛ b, c﹜ ③ ﹛ d, f﹜ ④ ﹛ b, e, f﹜ ⑤ ﹛ d, e, c﹜
电路分析
图论基础学习
• 图的基本概念-连通图和非连通图？
• 如果一个图中，任意连点之间至少有一条路径， 我们就把这个图叫连通图，否则就叫非连通图。
• 这个图是连通图 • 这个图是连通图 • 这个图是非连通图
电路分析
图论基础学习
• 树的基本概念
➢ 树是一种特殊的图，是指 联通所有的节点，但不含回 路的图。右图中都是树，我 们可以理解到树是连通图， 它包括所有的节点，但不包 括回路。树是图的子图。
图论学科前沿心得体会
图论学科前沿心得体会图论作为一门研究图形及其属性的学科，已经在计算机科学、数学和工程等领域发展了几十年。
作为一个研究者，在学习和参与图论研究的过程中，我有几点心得体会。
首先，图论具有广泛的应用领域。
图论在计算机网络、社交网络、电路设计、运筹学、计算机视觉等领域都具有重要的应用。
通过对图形的建模和优化算法的设计，能够解决很多实际问题，提高计算效率和资源利用率。
在实际应用中，我注意到图论的方法和思想可以很大程度地推动技术的发展和进步。
其次，图论研究需要综合运用数学和计算机科学的知识。
图论的理论研究离不开数学的支撑，许多重要的结果和证明都依赖于数学的理论工具。
同时，图论的应用需要设计和实现高效的算法，这就需要运用计算机科学的知识和技术。
在进行图论研究时，我深刻体会到数学和计算机科学的紧密联系，相互融合能够产生更好的研究结果。
第三，图论研究需要不断地进行创新和探索。
作为前沿学科，图论中仍然存在很多未解决的问题和挑战，需要持续地进行创新和探索。
在我的研究过程中，我发现有时候需要跳出已有的框架和思维模式，尝试新的方法和思路，以应对复杂的问题。
这种创新思维和勇于尝试的精神对于图论研究的进展是至关重要的。
第四，与他人的交流和合作对于图论研究非常重要。
图论研究涉及多个学科和领域，很多复杂的问题需要多个专家的协作才能解决。
在我的研究中，我积极与其他研究者进行交流和讨论，分享自己的想法和研究成果，从他人的建议和意见中获得启发和帮助。
与他人的交流和合作不仅能够加速研究进展，还能够拓宽自己的视野，获取更多的学术资源和机会。
最后，图论研究需要坚持不懈的努力和持续的学习。
图论作为一门前沿学科，新的理论和算法不断涌现，研究者需要不断地学习和掌握最新的研究成果，在这门学科中不断提升自己的能力和水平。
在自己的研究过程中，我明白只有不断学习和探索，保持好奇心和求知欲，才能在图论研究的前沿保持竞争力。
总之，通过学习和参与图论研究，我深刻体会到图论作为一门前沿学科的重要性和广泛应用。
图论课程的教学感悟
图论课程的教学感悟隋丽丽;张守成;韩元良;于健【摘要】In view of the course of graph theory and its application in the north China institute of science and technology,the research in the teaching to avoid its abstract and hard to understand has been studied.Case teaching has been illustrated to reduce the difficulty of the course.The practical application in some majors and the cohesion with some professional knowledge has been pointed out.In order to promote students’learn-ing interest,improve the quality of teaching in our school,the solutions have been put forward.%本文主要针对华北科技学院开设的图论及其应用课程，研究在教学中避免图论理论的抽象难懂性的办法，阐明了在教学中案例教学的应用，简化这门课程理论难度。
并指出图论在一些专业中的切实应用，注重和专业知识的衔接，结合教学经验，为提升学生学习兴趣，提升我校图论及其应用课程的教学质量提出解决方案。
【期刊名称】《华北科技学院学报》【年(卷),期】2014(000)011【总页数】3页(P96-97,107)【关键词】图论;应用案例;教学;学习效果【作者】隋丽丽;张守成;韩元良;于健【作者单位】华北科技学院基础部，北京东燕郊 101601;华北科技学院基础部，北京东燕郊 101601;华北科技学院基础部，北京东燕郊 101601;华北科技学院基础部，北京东燕郊 101601【正文语种】中文【中图分类】G642.00 背景我校开设这门课程已有7年时间，是一门比较有历史的理工专业的公共选修课。
【论文】图与网络模型及方法学习心得
图与网络模型及方法学习心得摘要：图论起源于18世纪。
第一篇图论论文是瑞士数学家欧拉于1736年发表的《哥尼斯堡的七座桥》。
1847年，克西霍夫为了给出电网络方程而引进了“树”的概念。
1857年，凯莱在计算烷烃的同分异构体时，也发现了“树”。
哈密尔顿于1859年提出“周游世界”游戏，用图论的术语，就是如何找出一个连通图中的生成圈。
近几十年来，计算机技术和科学的飞速发展，大大促进了凸轮的研究和应用，凸轮的理论和方法已经渗透到物理、化学、通信科学、建筑学、运筹学、生物遗传学、心理学、经济学、社会学等学科中。
图论中所谓的“图”是指某类具体事物和这些事物之间的联系。
如果我们用点来表示这些具体的事物，用连接两点的线段（直的或曲的）表示两个事物的特定的联系，就得到了描述这个“图”的几何形象。
图论为任何一个包含了二元关系的离散系统提供了一个数学模型，借助于图论的概念、理论和方法，可以对该模型求解。
哥尼斯堡七桥问题就是一个典型的例子。
在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与河岸联结起来，问题是要从这块陆地中的任何一块开始通过每一座桥正好一次，再回到起点。
当然可以通过试验去尝试解决这个问题，但该城居民的任何尝试均未成功。
欧拉为了解决这个问题，采用了建立数学模型的方法。
他将每一块陆地用一个点来代替，将每一座桥用连接相应两点的一条线来代替，从而得到一个有四个“点”、七条“线”的“图”。
问题成为从任一点出发一笔画出七条线再回到起点。
欧拉考察了一般一笔画的结构特点，给出了一笔画的一个判定法则，得到了“不可能走通”的结果，不但彻底解决了这个问题，而且开创了图论研究的先河。
正文：在寒假中，学习了图论这一章以后，对于此类问题的解决方法就是构造一个模型图，再根据图来完成题目的要求。
如page40的例题4.1，某超市在六个城市C1...C6中有分公司，从Ci到Cj 的直接航程票价记在下述矩阵的（i,j）位置上。
请帮助该公司设计一张城市C1到其他城市间的票价最便宜的路线图。
图论与代数实验报告
图论与代数实验报告旅行售货员问题（TSP）某售货员要到若干城市去推销商品，一直各城市之间的路程，他要选定一条从驻地出发，经过每个城市一遍，最后回到住地的路线，使总的路程最短。
我用分支限界法解决问题。
1、分支限界法基本思想分支限界法常以广度优先或以最小耗费(最大效益)优先的方式搜索问题的解空间树。
在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。
活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。
在这些儿子结点中，导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，其余儿子结点被加入活结点表中。
此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上述结点扩展过程。
这个过程一直持续到找到所需的解或活结点表为空时为止。
2、常见的两种分支限界法（1）队列式(FIFO)分支限界法按照队列先进先出（FIFO）原则选取下一个节点为扩展节点。
（2）优先队列式分支限界法按照优先队列中规定的优先级选取优先级最高的节点成为当前扩展节点。
最大优先队列：使用最大堆，体现最大效益优先。
最小优先队列：使用最小堆，体现最小费用优先。
该问题是一个NP完全问题，有(n-1)!条可选路线。
路线是一个带权图。
图中各边的费用（权）为正数。
图的一条周游路线是包括V中的每个顶点在内的一条回路。
周游路线的费用是这条路线上所有边的费用之和。
旅行售货员问题的解空间可以组织成一棵树，从树的根结点到任一叶结点的路径定义了图的一条周游路线。
旅行售货员问题要在图G 中找出费用最小的周游路线。
即：设G(V,E)是一带权有向图,V={1,2,…n },其耗费矩阵C=(ci,j)，当时, 记ci,j=无穷大且ci,j=无穷大.问如何选择周游路线使耗费最小？算法思路:设周游路线从结点1开始,解为等长数组X=(1,x2,...xn)则解空间树为排列树，在树中做广度优先搜索。
约束条件: xi 不等于xj ,i 不等于j;目标函数:解向量对应的边权之和∑Cij目标函数限界初值:U=无穷大C=算法描述：①算法开始时创建一个最小堆，用于表示活结点优先队列②堆中每个结点的子树费用的下界lcost 值是优先队列的优先级。
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图论学习报告报告内容:一．基本概念：1.叙述图：所谓图G是一个三元组，记做G=<V(G),E(G), ψ(G)>,其中V(G)={v1,v2,v3,…,vn},V(G)≠∅，称为图G的结点集合；E（G）=（e1，e2,…,en），是G的边的集合。
ψ(G)称为关联函数。
2.有向图：每一条边都是有向边的图称为有向图。
3.无向图：每一条边都是无向边的图称为有向图。
4.欧拉图：含欧拉回路的无向连通图与含有有向欧拉回路的弱连通有向图统称为欧拉图。
5.哈密顿图：具有哈密顿回路的无向图，与具有哈密顿有向回路的有向图统称为哈密顿图。
6.最短路径：在加权图中找出二个指定点之间的最短路叫做最短路径。
7.树：无圈连通无向图叫做树。
8.二叉树：每个节点最多只有二个子树的树叫做二叉树。
9.最小支撑树：连通加权图里权和最小的支撑树称为最小支撑树。
10.最优二叉树：在所有的带权w1,w2,w3,…,wt的二叉树中，带权最小的二叉树称为最优二叉树。
11.平面图：如果图G能够示画在曲面S上，且使得它的边近在断点处相交，则称G可嵌入曲面S。
如果图G可以嵌入平面上，则称G是可平面图，已经嵌入平面上的图g称为G 的平面表示。
G与g都简称为平面图。
二．算法设计1：写出Dijkstra算法{G带有顶点a=v0,v1,…,vn=z和权w（vi，vj），若{vi，vj}不是G中的边，则w(vi,vj)=∞} For i:=1 to nL(vi): ∞L(a):=0S:= ¢{初始化标记，a的标记为0，其余结点标记为∞，S是空集}While z∉SBeginu:=不属于S的L（u）最小的一个顶点S：=S∪{u}For所有不属于S的顶点vIf L(u)+w(u,v)<L(v)Then L(v):=L(u)+w(u,v){这样就给S中添加带最小标记点并且更新不在S中的顶点的标记}End{L（z）=从a到z的最短路长度}2：写出Floyd算法把图用邻接矩阵G表示出来，如果从Vi到Vj有路可达，则G[i,j]=d，d表示该路的长度；否则G [i,j]=空值。
定义一个矩阵D用来记录所插入点的信息，D[i,j]表示从Vi到Vj需要经过的点，初始化D[i,j]=j。
把各个顶点插入图中，比较插点后的距离与原来的距离，G[i,j] = min( G[i,j], G[i,k]+G[k,j] )，如果G[i,j]的值变小，则D[i,j]=k。
在G中包含有两点之间最短道路的信息，而在D中则包含了最短通路径的信息。
比如，要寻找从V5到V1的路径。
根据D，假如D(5,1)=3则说明从V5到V1经过V3，路径为{V5,V3,V1}，如果D(5,3)=3，说明V5与V3直接相连，如果D(3,1)=1，说明V3与V1直接相连。
3：写出求最小支撑树的算法普林算法：(G:带n个顶点的连通无向图)T：=权最小的边For i:=1 to n-2Begine :=与T里顶点相关联的权最小的边，并且若添加到T里则不形成圈T：=添加e之后的TEnd{T是G的最小支撑树}普林算法的另一种形式（G：加权连通图）Forj :=1 to n dobeginLj :=w(s,j){临时标号}B（j）：=s；EndLs :=0设置Ls为固定的While 遗留临时标号doBegin选择最小临时标号Li设置Li为固定的边{i，B（i）}加入T结点i加入Tfor每个临时标号Lk doIf w（i，k）＜Lk thenBeginLk：=w（i，k）B（k）：=iEndEndReturnEnd{T为G的最小支撑树}克鲁斯卡尔算法（G：n个顶点的连通加权无向图）T：=空图For i：=1 to n-1Begine ：=当添加到T里时不形成圈的G里权最小的边T：=添加e之后的TEnd{T是G的最小支撑树}三：程序实现1：写出Warshall算法的C语言程序#include<stdio.h>#include<math.h>Void mian(){Int A[10][10];Int n,I,j,k;Printf(“输入关系矩阵的维数n（n<10）\n”);Scanf(“%d”,&n);Printf(“输入n*n个数据（0 or 1）\n”);For(i=1;i<=n;i++){For(j=1;j<=n;j++){Scanf(“%d”,&A[i][j]);If(A[i][j]!=1&&A[i][j])Printf(“there is a error”);}}For(i=1;i<=n;i++){For(j=1;j<=n;j++){For(k=1;k<=n;k++){If(A[i][j]&&(A[i][k]||A[j][k]))A[i][k]=1;}}}Printf(“传递闭包的关系矩阵：\n”);For(i=1;i<=n;i++){For(j=1;j<=n;j++)Printf(“%2d”,A[i][j]);Printf(“\n”);}}2：写出深度优先搜索算法的C语言程序#include <iostream>#define INFINITY 32767#define MAX_VEX 20 //最大顶点个数#define QUEUE_SIZE (MAX_VEX+1) //队列长度using namespace std;bool *visited; //访问标志数组//图的邻接矩阵存储结构typedef struct{char *vexs; //顶点向量int arcs[MAX_VEX][MAX_VEX]; //邻接矩阵int vexnum,arcnum; //图的当前顶点数和弧数}Graph;//队列类class Queue{public:void InitQueue(){base=(int *)malloc(QUEUE_SIZE*sizeof(int));front=rear=0;}void EnQueue(int e){base[rear]=e;rear=(rear+1)%QUEUE_SIZE;}void DeQueue(int &e){e=base[front];front=(front+1)%QUEUE_SIZE;}public:int *base;int front;int rear;};//图G中查找元素c的位置int Locate(Graph G,char c){for(int i=0;i<G.vexnum;i++)if(G.vexs[i]==c) return i;return -1;}//创建无向网void CreateUDN(Graph &G){int i,j,w,s1,s2;char a,b,temp;printf("输入顶点数和弧数:");scanf("%d%d",&G.vexnum,&G.arcnum);temp=getchar(); //接收回车G.vexs=(char *)malloc(G.vexnum*sizeof(char)); //分配顶点数目printf("输入%d个顶点.\n",G.vexnum);for(i=0;i<G.vexnum;i++){ //初始化顶点printf("输入顶点%d:",i);scanf("%c",&G.vexs[i]);temp=getchar(); //接收回车}for(i=0;i<G.vexnum;i++) //初始化邻接矩阵for(j=0;j<G.vexnum;j++)G.arcs[i][j]=INFINITY;printf("输入%d条弧.\n",G.arcnum);for(i=0;i<G.arcnum;i++){ //初始化弧printf("输入弧%d:",i);scanf("%c %c %d",&a,&b,&w); //输入一条边依附的顶点和权值temp=getchar(); //接收回车s1=Locate(G,a);s2=Locate(G,b);G.arcs[s1][s2]=G.arcs[s2][s1]=w;}}//图G中顶点k的第一个邻接顶点int FirstVex(Graph G,int k){if(k>=0 && k<G.vexnum){ //k合理for(int i=0;i<G.vexnum;i++)if(G.arcs[k][i]!=INFINITY) return i;}return -1;}//图G中顶点i的第j个邻接顶点的下一个邻接顶点int NextVex(Graph G,int i,int j){if(i>=0 && i<G.vexnum && j>=0 && j<G.vexnum){ //i,j合理for(int k=j+1;k<G.vexnum;k++)if(G.arcs[i][k]!=INFINITY) return k;}return -1;}//深度优先遍历void DFS(Graph G,int k){int i;if(k==-1){ //第一次执行DFS时,k为-1for(i=0;i<G.vexnum;i++)if(!visited[i]) DFS(G,i); //对尚未访问的顶点调用DFS}else{visited[k]=true;printf("%c ",G.vexs[k]); //访问第k个顶点for(i=FirstVex(G,k);i>=0;i=NextVex(G,k,i))if(!visited[i]) DFS(G,i); //对k的尚未访问的邻接顶点i递归调用DFS }}//主函数void main(){int i;Graph G;CreateUDN(G);visited=(bool *)malloc(G.vexnum*sizeof(bool));printf("\n深度优先遍历: ");for(i=0;i<G.vexnum;i++)visited[i]=false;BFS(G);printf("\n程序结束.\n");}。