三角学的发展历史
三角学及三角函数的发展历史简述
三角学及三角函数的发展历史简述三角学是研究三角形及其内部各个元素之间关系的数学分支。
它在古代就有所涉及，但真正发展起来是在希腊古代。
三角学的发展历史可以追溯到公元前6世纪的古希腊。
在古代，三角学的发展始于对天文现象的观察和测量。
古希腊的天文学家和数学家通过观察太阳和星星的运动，发现了一些三角形的性质和关系。
例如，他们发现太阳的高度和方位角与观察者的纬度和经度之间存在着一定的关系。
这些发现为后来的三角学发展奠定了基础。
在古希腊，三角学主要是由毕达哥拉斯学派推动发展的。
毕达哥拉斯学派是古希腊最重要的数学学派之一，他们研究了三角形的性质和关系，并建立了一些基本的三角函数。
其中最著名的是毕达哥拉斯定理，它描述了直角三角形中两个直角边的平方和等于斜边的平方。
在古希腊时期，三角学的发展受到了一些限制。
由于希腊人对几何学的偏爱，他们更关注三角形的形状和性质，而不是三角函数的具体计算。
因此，他们没有把三角函数作为一种独立的数学对象进行研究。
然而，他们的工作为后来的数学家提供了宝贵的思路和启示。
在中世纪，阿拉伯数学家对三角学的发展做出了重要贡献。
他们将古希腊的三角学知识与印度的数学知识相结合，创造了一些新的三角函数和计算方法。
其中最重要的是正弦函数和余弦函数，它们被广泛应用于天文学和航海导航中。
在16世纪，欧洲的数学家们开始对三角学进行了系统的研究。
他们发现了三角函数的周期性和对称性，并进一步发展了三角函数的计算方法。
这些发现为三角学的应用提供了更强大的工具，使得三角学成为应用数学的重要分支。
在近代，随着计算机的发展，三角学的应用得到了进一步扩展。
三角函数在图形处理、信号处理、工程建模等领域发挥着重要作用。
同时，三角学也成为其他数学分支的基础，如微积分和复变函数等。
总结起来，三角学的发展历史可以追溯到古希腊时期，经过了古希腊、中世纪和近代的发展阶段。
从古希腊的观测和几何学研究开始，到阿拉伯数学家的创新和欧洲数学家的系统研究，再到近代的应用和扩展，三角学逐渐成为一门独立而重要的数学学科。
三角学的起源及发展
壹、三角學的起源與發展三角學之英文名稱Trigonometry ，約定名於西元1600年，實際導源於希臘文trigono (三角)和metrein (測量)，其原義為三角形測量（解法），以研究平面三角形和球面三角形的邊和角的關係為基礎，達到測量上的應用為目的的一門學科。
早期的三角學是天文學的一部份，後來研究範圍逐漸擴大，變成以三角函數為主要對象的學科。
現在，三角學的研究範圍已不僅限於三角形，且為數理分析之基礎，研究實用科學所必需之工具。
(一)西方的發展三角學﹝Trigonometry﹞創始於西元前約150年，早在公元前300年，古代埃及人已有了一定的三角學知識，主要用於測量。
例如建築金字塔、整理尼羅河泛濫後的耕地、通商航海和觀測天象等。
公元前600年左右古希臘學者泰勒斯(p13)利用相似三角形的原理測出金字塔的高，成為西方三角測量的肇始。
公元前2世紀後希臘天文學家希帕霍斯（Hipparchus of Nicaea）為了天文觀測的需要，作了一個和現在三角函數表相仿的「弦表」，即在固定的圓內，不同圓心角所對弦長的表，他成為西方三角學的最早奠基者，這個成就使他贏得了「三角學之父」的稱謂。
公元2世紀，希臘天文學家數學家托勒密(Ptolemy)(85-165)繼承希帕霍斯的成就，加以整理發揮，著成《天文學大成》13卷，包括從0°到90°每隔半度的弦表及若干等價於三角函數性質的關係式，被認為是西方第一本系統論述三角學理論的著作。
約同時代的梅內勞斯（Menelaus）寫了一本專門論述球三角學的著作《球面學》，內容包球面三角形的基本概念和許多平面三角形定理在球面上的推廣，以及球面三角形許多獨特性質。
他的工作使希臘三角學達到全盛時期。
(二)中國的發展我國古代沒有出現角的函數概念，只用勾股定理解決了一些三角學範圍內的實際問題。
據《周髀算經》記載，約與泰勒斯同時代的陳子已利用勾股定理測量太陽的高度，其方法後來稱為「重差術」。
三角学的起源与发展
三角学的起源与发展三角学是数学的一个分支，研究三角形及其相关的角度、边长、面积等性质。
它在几何学、物理学、工程学等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍三角学的起源、发展和重要里程碑。
一、三角学的起源三角学的起源可以追溯到古代文明，早在公元前2000年摆布，古代埃及人就开始研究三角形的性质。
他们使用了简单的几何方法来测量土地面积和建造物的高度。
此外，古代巴比伦人和古代印度人也对三角形进行了研究，并发现了一些基本的三角关系。
然而，真正将三角学发展为一个独立的学科的是古希腊数学家。
在公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派开始研究三角形的性质和关系。
毕达哥拉斯学派提出了著名的毕达哥拉斯定理，即直角三角形的斜边平方等于两直角边平方和。
这一定理成为了三角学的基础，并为后来的研究奠定了基础。
二、三角学的发展1. 古希腊时期在古希腊时期，欧几里得的《几何原本》对三角学的发展起到了重要的推动作用。
该书系统地整理了古希腊数学的各个方面，包括三角学。
欧几里得在书中提出了许多三角学的定理和证明，对后世的数学家产生了深远的影响。
2. 文艺复兴时期在文艺复兴时期，三角学得到了进一步的发展。
数学家雷纳尔德·斯特尔恩利在16世纪提出了著名的正弦定理和余弦定理，这些定理使得三角学能够应用于更广泛的领域，如天文学和导航。
3. 近代三角学在18世纪和19世纪，三角学的研究进入了一个新的阶段。
数学家们开始研究非欧几何学，这对三角学的发展产生了重要影响。
此外，三角函数的定义和性质也得到了进一步的完善和推广。
4. 现代三角学随着计算机科学和应用数学的发展，三角学在现代得到了广泛的应用。
三角函数在计算机图形学、信号处理、物理摹拟等领域中发挥着重要作用。
此外，近年来，三角学在机器学习和人工智能领域也得到了广泛应用。
三、三角学的重要里程碑1. 毕达哥拉斯定理的发现毕达哥拉斯定理是三角学中最重要的定理之一，它的发现标志着三角学的起源和发展。
2. 正弦定理和余弦定理的提出正弦定理和余弦定理是三角学中的两个重要定理，它们使得三角学能够应用于更广泛的领域，并为后来的研究奠定了基础。
三角学的历史
三角学的历史早期三角学不是一门独立的学科，而是依附于天文学，是天文观测结果推算的一种方法，因而最先发展起来的是球面三角学．希腊、印度、阿拉伯数学中都有三角学的内容，可大都是天文观测的副产品．例如，古希腊门纳劳斯（Ｍenelaus of Ａlexandria，公元100年左右）著《球面学》，提出了三角学的基础问题和基本概念，特别是提出了球面三角学的门纳劳斯定理；50年后，另一个古希腊学者托勒密（Ｐtolemy）著《天文学大成》，初步发展了三角学．而在公元499年，印度数学家阿耶波多（ryabhata Ｉ）也表述出古代印度的三角学思想；其后的瓦拉哈米希拉（Ｖarahamihira，约505～587）最早引入正弦概念，并给出最早的正弦表；公元10世纪的一些阿拉伯学者进一步探讨了三角学．当然，所有这些工作都是天文学研究的组成部分．直到纳西尔丁（Ｎasir ed-Ｄin al Ｔusi，1201～1274）的《横截线原理书》才开始使三角学脱离天文学，成为纯粹数学的一个独立分支．而在欧洲，最早将三角学从天文学独立出来的数学家是德国人雷格蒙塔努斯（ＪＲegiomontanus，1436～1476）．雷格蒙塔努斯的主要著作是1464年完成的《论各种三角形》．这是欧洲第一部独立于天文学的三角学著作．全书共5卷，前2卷论述平面三角学，后3卷讨论球面三角学，是欧洲传播三角学的源泉．雷格蒙塔努斯还较早地制成了一些三角函数表．雷格蒙塔努斯的工作为三角学在平面和球面几何中的应用建立了牢固的基础．他去世以后，其著作手稿在学者中广为传阅，并最终出版，对16世纪的数学家产生了相当大的影响，也对哥白尼等一批天文学家产生了直接或间接的影响．三角学一词的英文是trigonometry，来自拉丁文tuigonometuia．最先使用该词的是文艺复兴时期的德国数学家皮蒂斯楚斯（Ｂ．Ｐitiscus，1561～1613），他在1595年出版的《三角学：解三角形的简明处理》中创造这个词．其构成法是由三角形（tuiangulum）和测量（metuicus）两字凑合而成．要测量计算离不开三角函数表和三角学公式，它们是作为三角学的主要内容而发展的．16世纪三角函数表的制作首推奥地利数学家雷蒂库斯（Ｇ．Ｊ．Ｒhetucus，1514～1574）．他1536年毕业于滕贝格（Ｗittenbery）大学，留校讲授算术和几何．1539年赴波兰跟随著名天文学家哥白尼学习天文学，1542年受聘为莱比锡大学数学教授．雷蒂库斯首次编制出全部6种三角函数的数表，包括第一张详尽的正切表和第一张印刷的正割表．17世纪初对数发明后大大简化了三角函数的计算，制作三角函数表已不再是很难的事，人们的注意力转向了三角学的理论研究．不过三角函数表的应用却一直占据重要地位，在科学研究与生产生活中发挥着不可替代的作用．三角公式是三角形的边与角、边与边或角与角之间的关系式．三角函数的定义已体现了一定的关系，一些简单的关系式在古希腊人以及后来的阿拉伯人中已有研究．文艺复兴后期，法国数学家韦达（Ｆ．Ｖieta）成为三角公式的集大成者．他的《应用于三角形的数学定律》（1579）是较早系统论述平面和球面三角学的专著之一．其中第一部分列出6种三角函数表，有些以分和度为间隔．给出精确到5位和10位小数的三角函数值，还附有与三角值有关的乘法表、商表等．第二部分给出造表的方法，解释了三角形中诸三角线量值关系的运算公式．除汇总前人的成果外，还补充了自己发现的新公式．如正切定律、和差化积公式等等．他将这些公式列在一个总表中，使得任意给出某些已知量后，可以从表中得出未知量的值．该书以直角三角形为基础．对斜三角形，韦达仿效古人的方法化为直角三角形来解决．对球面直角三角形，给出计算的完整公式及其记忆法则，如余弦定理，1591年韦达又得到多倍角关系式，1593年又用三角方法推导出余弦定理．1722年英国数学家棣莫弗（Ａ．Ｄe Ｍeiver）得到以他的名字命名的三角学定理?（cosisin）n＝cosn＋isinn，并证明了n是正有理数时公式成立；1748年欧拉（Ｌ．Ｅuler）证明了n是任意实数时公式也成立，他还给出另一个著名公式?ei＝cos＋isin，对三角学的发展起到了重要的推动作用．近代三角学是从欧拉的《无穷分析引论》开始的．他定义了单位圆，并以函数线与半径的比值定义三角函数，他还创用小写拉丁字母a、b、c表示三角形三条边，大写拉丁字母Ａ、Ｂ、Ｃ表示三角形三个角，从而简化了三角公式．使三角学从研究三角形解法进一步转化为研究三角函数及其应用，成为一个比较完整的数学分支学科．而由于上述诸人及19世纪许多数学家的努力，形成了现代的三角函数符号和三角学的完整的理论．参考文献1梁宗巨，等．世界数学通史（下）．沈阳：辽宁教育出版社，2001。
三角的历史一．简介：1．三角学创始于公元前约150年，为当时
三角的历史一．简介：１．三角学创始于公元前约１５０年，为当时天文学家希伯诸斯（Hipparchus of Nicaea）用以作为研究天文的工具。
至十五世纪中叶，三角学始突飞猛进，有关平面三角及球面三角之解法，均曾详细论及。
故三角学从开始长足的进展至目前之规模，不过四百余年而已。
２．三角学之英文名称Trigonometry ，约定名于公元１６００年，实际导源于希腊文trigono (三角) 和metrein (测量)，其原义为三角形测量（解法）。
现在，三角学的研究范围已不仅限于三角形，且为数理分析之基础，研究实用科学所必需之工具。
３．希伯诸斯据说曾编着了第一个三角函数表，这个成就使他赢得了「三角学之父」的称谓。
４．三角学有两大分支：球面三角（研究球面）与平面三角（研究平面）。
５．十六世纪末期，三角学已成为一个内容清晰可辨的数学体系。
一连串的改进一直延续至今，三角学实质上已广泛地应用于天文、地理、航海、物理、建筑、测量、工程、航空、音乐和经济学等。
三角学可以说是最实际与最具应用性的数学分支之一。
二．希帕克、梅内劳斯、托勒密和希腊的三角学关于三角学的起源还说不清。
在兰德纸草书中有一些涉及棱锥体底上二面角的余切的问题，巴比伦楔形书板普林顿３２２号实际上包括一个重要的余割表。
也许现代对古代美索不达米亚数学的研究将揭示实用三角学的显著进展。
公元前四、五世纪的巴比伦天文学家已经收集了大量的观察数据，现在知道，其中大部分传到了希腊。
这就是说古代的天文学产生了球面三角学。
也许最著名的古代天文学家是希帕克（Hipparchus），他生活在大约公元前１４０年。
虽然希帕克于公元前１４６年在历山大里亚做过春分的观察，但是他最重要的观察是在罗得岛商业中心的著名的天文台进行的。
希帕克是一位十分仔细的观察者，他所确定的平均太阴月与现在测得的数值相比，其误差不超过”１”。
他准确地计算了黄道的倾角，发现并估计了秋分点的岁差。
这些业绩使他在天文学上享有盛誉。
数学史话之三角学发展简史
数学史话之三角学发展简史三角学是数学中的一个重要分支，它研究三角形及其相关性质和应用。
三角学的发展可以追溯到古代文明，其历史可以追溯到公元前2000年左右的古代埃及和美索不达米亚，这些文明开始研究土地测量和天文观测中出现的角度和三角形。
在古代埃及，人们开始使用简单的三角形来测量和标记土地。
他们观察到当太阳在天空中升起和落下时，影子的长度会发生变化。
通过使用简单的测量工具，如半影棒等，他们用一根竖直的杆子和影子的长度来创造出直角三角形。
这种观察和实践的尝试是三角学发展的一个重要起点。
在古代美索不达米亚，人们开始用勾股定理来解决实际问题。
勾股定理是三角学中一个重要的原理，它在埃及和美索不达米亚独立地被发现和使用。
这个定理认为，在一个直角三角形中，直角边的平方和等于两个其他边平方的和。
这一定理为三角学的发展奠定了坚实的基础。
随着时间的推移，古希腊数学家开始全面发展三角学。
毕达哥拉斯学派是古希腊数学中最早研究三角学的学派之一、毕达哥拉斯定理是该学派的代表作，它指出在一个直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边平方的和。
这个定理被用来解决各种与测量和计算有关的问题。
在古希腊的经典时代，欧几里得对三角学进行了系统的研究和整理。
他的著作《几何原本》中包含了关于三角学的大量内容，尤其是保持了勾股定理和其他基本性质的证明。
这个著作对欧洲和中东的数学发展起到了至关重要的作用，并且在许多世纪里成为欧洲数学教育的基础。
在印度，数学家阿耶尔比则开创了一种关于三角学的新的研究方法。
他发展了一种被称为三角函数的概念，这是今天三角学的核心之一、三角函数是一种描述角度和边长之间关系的数学函数。
阿耶尔比的研究成果对印度和伊斯兰数学的发展产生了深远影响。
到了十六世纪，三角学开始成为天文学研究的重要工具。
尼科洛·达·科内利是十六世纪意大利的一位数学家和天文学家，他开创了三角学在天文学中的应用。
他发现了一种称为科内利定理的三角函数关系，它描述了一个三角形的余弦与正弦之间的关系。
三角学的发展历史精修订
三角学的发展历史集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#三角学的发展历史摘要：三角学是现代中学数学教育内容的重要部分，作为未来的中学教育工作者，了解三角学的发展史，是中学数学教教师应具备的素养。
本文从三角学的兴起，希腊学者由于天文学研究的需要确定三角形边与角的精确关系；三角学的发展与改进过程这一部分主要介绍了阿拉伯地区三角学的发展与改进；文艺复兴以后三角学更加完善并且深化。
这几部分所涉及的三角学内容与当今中学课程标相关，本文探讨中学的三角学的教育存在的问题并提出解决的方法。
关键词：三角学发展史教育1．三角学的兴起古希腊天文学中的三角学古希腊天文学家们为了做出一份天体运行位置以及日月食的详细记录，需要对天体的距离和角度十分熟悉。
他们采用日晷仪指针。
一种通过垂直杆的影长显示时间的简单装置，实质上是一种类似计算余切函数的装置。
如图1，h表示杆的高度，s表示它影子的长度，当太阳与地平线成α角时，s=h cosα,然而发明该指针的古人对余切函数没有研究，只是将其作为时间计时器。
但是这种“投影计算”被古代学者得到良好的应用，这可称作三角学比例的先驱。
后来，这种简单的方法被成功的运用于测量地球的大小，以及行星之间的距离。
后来希腊人创立了一门知识来预报天体的运行路线和位置以帮助报时，计算日历、航海和研究地理。
三角学的兴起的标志性人物是古希腊天文学家、数学家希帕霍斯。
他在爱琴海的罗德岛建造了一座天文台，应用自己发明的仪器进行天文观测。
由于天文研究的需要，希帕霍斯对球面上的角度和距离进行计算，制作了一个和现今三角函数表相仿的“弦表”，即在固定的圆内，不同的圆心角所对应的弦长（相当于现在圆心角一半的正弦线的两倍的表）。
为了定出数值，他采用了巴比伦人的60进制。
对于一定度数的圆弧，可以得到相应弦的长度数。
在希帕霍斯的三角学中，一个基本元素为单位圆中已知弧（或中心角）所对的弦，这里α表示弧长，crd(α)表示对应的弧长，如图2因为角度和弧度的度量单位是“度”或“分”，为了统一单位希帕霍斯将圆半径的度量单位也转换成“度”或“分”。
三角学的发展
3、公元3世纪齐徽所注的《海岛算经》中解决了不可 达高度和距离问题的测量
4、17世纪第一部中文的平面三角学《大测》和《测 量全义元499年，印度数学家阿耶波多表达了古代印 度的三角思想
5、公元10世纪，阿拉伯学者进一步解释了三角学
二、发展期
1、德国人波伊尔巴赫将《天文大成》译成拉丁文， 并编制了正弦表
2、雷格蒙塔努斯编著了《论各种三角形》，在《方 位表》中制定了正余弦表和正切表
3、维尔纳的《论球面三角》改进并发展了前者的思 想
一、萌芽期
1、古希腊自然科学家泰勒斯（公元前624年---公元 前546年）的相关理论成为三角学萌芽
2、古希腊天文学家希帕恰斯是三角学的创始者，著 有三角学12卷，并制成弦表（固定的圆内，不同圆 心角所对应的弦长，确定相应数值）
3、公元50年左右，希腊学者托勒密的《天文大成》 初步发展了三角学
4、雷提库斯改进三角函数关系并采用了六个函数 5、法国数学家韦达的《标准数学》和《斜截面》中
做了三角的系统化工作，给出了大量的三角公式
三、形成期
17世纪以后，牛顿、莱布尼茨、伯努利、欧拉以及傅 里叶等等许许多多学者研究了现代符号及三角学的 完整理论
四、三角学在我国的发展
1、春秋战国时期，齐国《考工记》记载了几种特殊 角的名称
三角学的发展历史
三角学的发展历史
三角学是一个古老的学科，起源可以追溯到古代的埃及、巴比伦和印度。
在古代，三角学主要用于测量和计算土地的大小和形状，是一种实用的学科。
随着时间的推移，三角学逐渐发展成为一门独立的数学学科。
在公元前6世纪，希腊数学家泰勒斯提出了用三角形面积比来计算高度和距离的方法，这被认为是三角学的开端。
公元前3世纪的欧多克索斯和希帕索斯是最早研究三角函数的数学家，他们提出了正弦、余弦和正切等概念。
后来，在印度的数学家阿耶巴塔和阿里·伊本·伊斯哈克等人的努力下，三角学的发展又取得了重大进展。
在中世纪，阿拉伯数学家穆罕默德·本·穆萨·阿尔·花腔提出了正割、余割等新的三角函数，其著作《裴利查和斯汀》对欧洲的数学家产生了很大的影响。
到了16世纪，德国数学家约翰内斯·开普勒的工作使得三角学的应用得到了广泛的发展。
在18世纪，欧拉等数学家通过对三角函数的研究，进一步完善了三角学的理论体系。
同时，三角学的应用领域也继续扩大，如在物理学、工程学和天文学中的应用迅速增多。
到了现代，随着计算机技术和数值方法的发展，三角学的应用范围更加广泛和深入，成为计算机图形学、计算机视觉以及三维建模和游戏开发等领域必不可少的基础知识。
三角函数的发展历史
壹、三角学的起源与发展三角学之英文名称Trigonometry ，约定名于公元1600年，实际导源于希腊文trigono (三角)和metrein (测量)，其原义为三角形测量（解法），以研究平面三角形和球面三角形的边和角的关系为基础，达到测量上的应用为目的的一门学科。
早期的三角学是天文学的一部份，后来研究范围逐渐扩大，变成以三角函数为主要对象的学科。
现在，三角学的研究范围已不仅限于三角形，且为数理分析之基础，研究实用科学所必需之工具。
(一)西方的发展三角学﹝Trigonometry﹞创始于公元前约150年，早在公元前300年，古代埃及人已有了一定的三角学知识，主要用于测量。
例如建筑金字塔、整理尼罗河泛滥后的耕地、通商航海和观测天象等。
公元前600年左右古希腊学者泰勒斯(p13)利用相似三角形的原理测出金字塔的高，成为西方三角测量的肇始。
公元前2世纪后希腊天文学家希帕霍斯（Hipparchus of Nicaea）为了天文观测的需要，作了一个和现在三角函数表相仿的「弦表」，即在固定的圆内，不同圆心角所对弦长的表，他成为西方三角学的最早奠基者，这个成就使他赢得了「三角学之父」的称谓。
公元2世纪，希腊天文学家数学家托勒密(Ptolemy)(85-165)继承希帕霍斯的成就，加以整理发挥，着成《天文学大成》13卷，包括从0°到90°每隔半度的弦表及若干等价于三角函数性质的关系式，被认为是西方第一本系统论述三角学理论的著作。
约同时代的梅内劳斯（Menelaus）写了一本专门论述球三角学的著作《球面学》，内容包球面三角形的基本概念和许多平面三角形定理在球面上的推广，以及球面三角形许多独特性质。
他的工作使希腊三角学达到全盛时期。
(二)中国的发展我国古代没有出现角的函数概念，只用勾股定理解决了一些三角学范围内的实际问题。
据《周髀算经》记载，约与泰勒斯同时代的陈子已利用勾股定理测量太阳的高度，其方法后来称为「重差术」。
三角学的发展历史
三角学的发展历史摘要：三角学是现代中学数学教育内容的重要部分，作为未来的中学教育工作者，了解三角学的发展史，是中学数学教教师应具备的素养。
本文从三角学的兴起，希腊学者由于天文学研究的需要确定三角形边与角的精确关系；三角学的发展与改进过程这一部分主要介绍了阿拉伯地区三角学的发展与改进；文艺复兴以后三角学更加完善并且深化。
这几部分所涉及的三角学内容与当今中学课程标相关，本文探讨中学的三角学的教育存在的问题并提出解决的方法。
关键词：三角学发展史教育1．三角学的兴起1.1古希腊天文学中的三角学古希腊天文学家们为了做出一份天体运行位置以及日月食的详细记录，需要对天体的距离和角度十分熟悉。
他们采用日晷仪指针。
一种通过垂直杆的影长显示时间的简单装置，实质上是一种类似计算余切函数的装置。
如图1，表示杆的高度，表示它影子的长度，当太阳与地平线成角时，,然而发明该指针的古人对余切函数没有研究，只是将其作为时间计时器。
但是这种“投影计算”被古代学者得到良好的应用，这可称作三角学比例的先驱。
后来，这种简单的方法被成功的运用于测量地球的大小，以及行星之间的距离。
后来希腊人创立了一门知识来预报天体的运行路线和位置以帮助报时，计算日历、航海和研究地理。
三角学的兴起的标志性人物是古希腊天文学家、数学家希帕霍斯。
他在爱琴海的罗德岛建造了一座天文台，应用自己发明的仪器进行天文观测。
由于天文研究的需要，希帕霍斯对球面上的角度和距离进行计算，制作了一个和现今三角函数表相仿的“弦表”，即在固定的圆内，不同的圆心角所对应的弦长（相当于现在圆心角一半的正弦线的两倍的表）。
为了定出数值，他采用了巴比伦人的60进制。
对于一定度数的圆弧，可以得到相应弦的长度数。
在希帕霍斯的三角学中，一个基本元素为单位圆中已知弧（或中心角）所对的弦，这里表示弧长，表示对应的弧长，如图2因为角度和弧度的度量单位是“度”或“分”，为了统一单位希帕霍斯将圆半径的度量单位也转换成“度”或“分”。
三角学的起源及发展
三角学的起源及发展三角学是数学的一个分支，研究与三角形及其相关的几何形状和函数的关系。
它起源于古代文明，并在欧洲文艺复兴时期得到了重大发展。
本文将详细介绍三角学的起源和发展历程。
1. 古代文明中的三角学三角学最早可以追溯到古代文明，特别是古埃及和古希腊。
在古埃及，人们使用三角形来测量土地面积和建造物的高度。
古希腊的数学家毕达哥拉斯提出了著名的毕达哥拉斯定理，将三角形的边长和角度联系起来。
这些发现为后来的三角学奠定了基础。
2. 欧洲文艺复兴时期的发展在欧洲文艺复兴时期，三角学得到了重大发展。
数学家和天文学家开始使用三角函数来解决实际问题，例如测量地球的大小和距离。
尼科洛·塔尔西亚尼是这一时期最重要的三角学家之一，他发现了正弦、余弦和正切函数的性质，并提出了三角函数的基本公式。
3. 三角学的应用随着三角学的发展，它的应用范围也越来越广泛。
三角学在测量、建造、航海、天文学等领域都有重要的应用。
例如，在建造中，三角学可以匡助工程师计算建造物的高度和角度，确保结构的稳定性。
在航海中，三角学可以匡助船员确定船只的位置和航向。
在天文学中，三角学可以匡助天文学家测量星体的距离和角度。
4. 现代三角学的发展随着科学技术的进步，三角学在现代得到了更广泛的应用。
计算机科学、物理学、工程学等领域都离不开三角学的应用。
例如，在计算机图形学中，三角学可以匡助计算机生成三维模型和动画。
在物理学中，三角学可以匡助解决力学和波动等问题。
5. 三角学的未来发展随着科技的不断进步，三角学在未来将继续发展。
随着人工智能和大数据的兴起，三角学的应用将更加广泛和深入。
例如，在机器学习中，三角学可以匡助处理复杂的数据集和模式识别问题。
在无人驾驶技术中，三角学可以匡助车辆确定位置和行驶路径。
总结：三角学起源于古代文明，经过欧洲文艺复兴时期的发展，逐渐成为数学的一个重要分支。
它的应用范围广泛，涉及测量、建造、航海、天文学等领域。
随着科学技术的进步，三角学在现代得到了更广泛的应用，并将在未来继续发展。
三角学的发展历史
三角学的发展历史三角学的发展历史三角学简称三角，包括平面三角和球面三角。
传统的三角学以研究平面三角形和球面三角形的边角关系为基础，达到测量上的应用目的，我国中学数学课程现已包含平面三角和球面几何。
三角学起源于对三角形边角关系的定量考察，这始于古希腊的喜帕恰斯、梅内劳斯和托勒密等人对天文的测量，因此在相当长的一个时期里，三角学隶属于天文学，而在它的形成过程中利用了当时已经积累得相当丰富的算术、几何（包括球面几何）和天文知识。
鉴于此种原因，作为独立的数学分支前，它的贡献者主要是一些天文学家，如印度的阿耶婆多、阿拉伯的尔。
坦尼（Al-Batbani）、纳速拉丁等人。
13世纪起，含于天文学中的三角知识传入欧洲，并在欧洲出现新的发展。
1464年数学家雷基奥蒙坦著《论各种三角形》，独立于天文学之外对三角知识作了较系统的阐述；1595年，德国的皮蒂斯楚斯（Pitiscus，1561~1613年）著《三角学，解三角形的简明处理》，首次将拉丁文“trigonon（三角形）”和“metron（测量）”组合成trigonametriae，即“三角形”。
14~16世纪，三角学曾一度成为欧洲数学的主要内容，研究的方面包括三角函数值表的编制，平面三角形和球面三角形的解法，三角恒等式的建立和推导，主要的方法则是几何的。
17世纪，函数概念的引入为三角函数成为三角学的基本概念奠定了基础。
1748年，欧拉在他的《无穷分析引论》中对三角函数和三角函数线作出明确区分，使全部的三角公式能从三角函数的定义中逻辑地得到，从而使三角函数与几何脱钩。
1807年，法国数学家傅立叶在研究热传导问题时，提出把函数看作三角函数的无穷级数之和，三角函数就成为调和分析的基石，于是三角学成为分析学的.一部分。
1631年，三角学传入中国。
同年，德国传教士邓玉函、汤若望和明朝学者徐光启编译成《大测》一书。
“大测者，观三角形之法也。
”可见“大测”与当时的“三角学”的意义是一样的。
三角学的发展历史
三角学的发展历史摘要：三角学是现代中学数学教育内容的重要部分，作为未来的中学教育工作者，了解三角学的发展史，是中学数学教教师应具备的素养。
本文从三角学的兴起，希腊学者由于天文学研究的需要确定三角形边与角的精确关系；三角学的发展与改进过程这一部分主要介绍了阿拉伯地区三角学的发展与改进；文艺复兴以后三角学更加完善并且深化。
这几部分所涉及的三角学内容与当今中学课程标相关，本文探讨中学的三角学的教育存在的问题并提出解决的方法。
关键词：三角学发展史教育1．三角学的兴起1.1古希腊天文学中的三角学古希腊天文学家们为了做出一份天体运行位置以及日月食的详细记录，需要对天体的距离和角度十分熟悉。
他们采用日晷仪指针。
一种通过垂直杆的影长显示时间的简单装置，实质上是一种类似计算余切函数的装置。
如图1，表示杆的高度，表示它影子的长度，当太阳与地平线成角时，,然而发明该指针的古人对余切函数没有研究，只是将其作为时间计时器。
但是这种“投影计算”被古代学者得到良好的应用，这可称作三角学比例的先驱。
后来，这种简单的方法被成功的运用于测量地球的大小，以及行星之间的距离。
后来希腊人创立了一门知识来预报天体的运行路线和位置以帮助报时，计算日历、航海和研究地理。
1.1.1希帕霍斯和三角学的兴起三角学的兴起的标志性人物是古希腊天文学家、数学家希帕霍斯。
他在爱琴海的罗德岛建造了一座天文台，应用自己发明的仪器进行天文观测。
由于天文研究的需要，希帕霍斯对球面上的角度和距离进行计算，制作了一个和现今三角函数表相仿的“弦表”，即在固定的圆内，不同的圆心角所对应的弦长（相当于现在圆心角一半的正弦线的两倍的表）。
为了定出数值，他采用了巴比伦人的60进制。
对于一定度数的圆弧，可以得到相应弦的长度数。
在希帕霍斯的三角学中，一个基本元素为单位圆中已知弧（或中心角）所对的弦，这里表示弧长，表示对应的弧长，如图2因为角度和弧度的度量单位是“度”或“分”，为了统一单位希帕霍斯将圆半径的度量单位也转换成“度”或“分”。
三角学发展简史
三角学发展简史三角学简称三角，包括平面三角和球面三角。
传统的三角学以研讨平面三角形和球面三角形的边角关系为基础，到达测量上的运用目的，我国中学数学课程现已包括平面三角和球面几何。
三角学来源于对三角形边角关系的定量调查，这始于古希腊的喜帕恰斯、梅内劳斯和托勒密等人对天文的测量，因此在相当长的一个时期里，三角学附属于天文学，而在它的构成进程中应用了事先曾经积聚得相当丰厚的算术、几何〔包括球面几何〕和天文知识。
鉴于此种缘由，作为独立的数学分支前，它的贡献者主要是一些天文学家，如印度的阿耶婆多、阿拉伯的尔。
坦尼〔Al-Batbani〕、纳速拉丁等人。
13世纪起，含于天文学中的三角知识传入欧洲，并在欧洲出现新的开展。
1464年数学家雷基奥蒙坦著«论各种三角形»，独立于天文学之外对三角知识作了较系统的论述；1595年，德国的皮蒂斯楚斯〔Pitiscus，1561~1613年〕著«三角学，解三角形的简明处置»，初次将拉丁文〝trigonon〔三角形〕〞和〝metron〔测量〕〞组分解trigonametriae，即〝三角形〞。
14~16世纪，三角学曾一度成为欧洲数学的主要内容，研讨的方面包括三角函数值表的编制，平面三角形和球面三角形的解法，三角恒等式的树立和推导，主要的方法那么是几何的。
17世纪，函数概念的引入为三角函数成为三角学的基本概念奠定了基础。
1748年，欧拉在他的«无量剖析引论»中对三角函数和三角函数线作出明白区分，使全部的三角公式能从三角函数的定义中逻辑地失掉，从而使三角函数与几何脱钩。
1807年，法国数学家傅立叶在研讨热传导效果时，提出把函数看作三角函数的无量级数之和，三角函数就成为谐和剖析的基石，于是三角学成为剖析学的一局部。
1631年，三角学传入中国。
同年，德国传教士邓玉函、汤假定望和明朝学者徐光启编译成«大测»一书。
三角学的发展
三角学的发展三角学的发展三角学的发展，由起源迄今差不多经历了三四千年之久。
在古代，由于古代天文学的需要，为了计算某些天体的运行行程问题，需要解一些球面三角形，在解球面三角形时，往往把解球面三角形的问题归结为解平面三角形，这些问题的积累便形成了所谓的古代球面三角学、古代平面三角学。
虽然古代球面三角学的发展早于古代平面三角学，但古代平面三角学却是古代球面三角学发展的基础。
在古希腊，为了便于观察天体的运行即解球面三角形，著名天文学家托勒密在前人希巴卡斯的基础上，编制了所谓“弦表”，他借助于几何知识，编制了从0度到90度每隔0.5度弧的弦长表，在编制中，也曾发现一些球面三角学与平面三角学的关系式。
可是，希腊人却未引用“a的余弦”或“余弦”这类名称。
8-12世纪，希腊文化传入印度以及阿拉伯，在这些国家里，不但提出“正弦”一词，还以几何方法定义了“余弦线”“正切线”“余切线”以及“正弦线”的意义，并编制了各种三角表，其编制方法虽不相同，但编制的数值却相当精密，为三角学的发展做出了不少贡献。
阿拉伯天文学家纳速拉丁在他的著作《论四边形》里，首先把三角学从天文学分割出来，作为一门独立的学科。
12-15世纪，三角学传入欧洲，德国著名数学家列吉奥蒙坦与纳速拉丁一样，也把三角学看作一门独立学科，著有《论各种三角形》，其中重点讨论了三角形的解法，并编制了十分精密的“正弦表”，还创造了一些三角公式，使三角学理论提高到一定的水平，对三角学的发展起到了不可忽视的作用。
中国古代有关三角的一些研究我国春秋战国时期，齐国出了一本有名的工具书，名叫《考工记》，书中记载了几种特殊角的名称：90度角叫做“矩”，45度角叫做“宣”，135度角叫做“馨折”等，公元前1世纪成书的数学著作《周髀算经》里，已记载了平面测量的内容，其中包括利用直角三角形和勾股定理来解决一些实际问题.公元3世纪我国著名数学家刘徽在计算单位圆的内接正六边形等圆形的边长时，实际上已求得了某些特殊角的正弦值。
《三角学》的追根溯源-4页word资料
《三角学》的追根溯源人教版普通高中课程标准实验教科书《数学》中设置的阅读材料，栏目有“阅读与思考”、“探究与发现”、“信息技术应用” 、“观察与猜想”等，融趣味性、科学性、知识性及教育性于一体，成为教学内容的有益补充。
笔者就人教版普通高中课程标准实验教科书《数学•必修4》第一章三角函数中的阅读材料“三角学与天文学”查阅了一些相关资料，阐述笔者的一些见解。
一、三角学的起源三角学之英语名称Trigonometry，德国数学家皮蒂斯楚斯在1595年出版一本著作《三角学:解三角学的简明处理》创造了这个新词。
它是由希腊文trigono（三角）和metrein（测量）两个词构成的，古希腊文里没有这个字，原因是当时三角学还没有形成一门独立的科学，而是依附于天文学。
可以说，三角学是紧密地同天文学相联系而迈出自己发展史的第一步的。
二、三角学的发展（一）“弦表”的出现公元前600年左右古希腊学者泰勒斯利用相似三角形的原理测出金字塔的高，成为西方三角测量的肇始。
公元前2世纪希腊天文学家希帕霍斯为了天文观测的需要，作了一个和现在三角函数表相仿的“弦表”，他成为西方三角学的最早奠基者，这个成就也使他?A得了“三角学之父”的称谓。
公元2世纪，希腊天文学家数学家托勒密继承希帕霍斯的成就，著成《天文学大成》13卷，包括从0°到90°每隔半度的弦表及若干等价于三角函数性质的关系式，被认为是西方第一本系统论述三角学理论的著作。
约同时代的梅内劳斯写了一本专门叙述球三角学的著作《球面学》，他的工作使希腊三角学达到全盛时期。
（二）“三角学术语”的由来对希腊三角学加以系统化的工作是由9世纪阿拉伯天文学家阿尔•巴塔尼（850-929）作出的，而且他也是中世纪对欧洲影响最大的天文学家。
他的《天文论著》（又名《星的科学》）颇具学术价值，后来的一大批天文学家诸如哥白尼、第谷、开普勒、伽利略等人，无不研习巴塔尼的著作并受益匪浅。
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三角学的发展历史摘要：三角学是现代中学数学教育内容的重要部分，作为未来的中学教育工作者，了解三角学的发展史，是中学数学教教师应具备的素养。
本文从三角学的兴起，希腊学者由于天文学研究的需要确定三角形边与角的精确关系；三角学的发展与改进过程这一部分主要介绍了阿拉伯地区三角学的发展与改进；文艺复兴以后三角学更加完善并且深化。
这几部分所涉及的三角学内容与当今中学课程标相关，本文探讨中学的三角学的教育存在的问题并提出解决的方法。
关键词：三角学发展史教育1．三角学的兴起1.1古希腊天文学中的三角学古希腊天文学家们为了做出一份天体运行位置以及日月食的详细记录，需要对天体的距离和角度十分熟悉。
他们采用日晷仪指针。
一种通过垂直杆的影长显示时间的简单装置，实质上是一种类似计算余切函数的装置。
如图1，表示杆的高度，表示它影子的长度，当太阳与地平线成角时，,然而发明该指针的古人对余切函数没有研究，只是将其作为时间计时器。
但是这种“投影计算”被古代学者得到良好的应用，这可称作三角学比例的先驱。
后来，这种简单的方法被成功的运用于测量地球的大小，以及行星之间的距离。
后来希腊人创立了一门知识来预报天体的运行路线和位置以帮助报时，计算日历、航海和研究地理。
1.1.1希帕霍斯和三角学的兴起三角学的兴起的标志性人物是古希腊天文学家、数学家希帕霍斯。
他在爱琴海的罗德岛建造了一座天文台，应用自己发明的仪器进行天文观测。
由于天文研究的需要，希帕霍斯对球面上的角度和距离进行计算，制作了一个和现今三角函数表相仿的“弦表”，即在固定的圆内，不同的圆心角所对应的弦长（相当于现在圆心角一半的正弦线的两倍的表）。
为了定出数值，他采用了巴比伦人的60进制。
对于一定度数的圆弧，可以得到相应弦的长度数。
在希帕霍斯的三角学中，一个基本元素为单位圆中已知弧（或中心角）所对的弦，这里表示弧长，表示对应的弧长，如图2因为角度和弧度的度量单位是“度”或“分”，为了统一单位希帕霍斯将圆半径的度量单位也转换成“度”或“分”。
已知单位圆的周长为,取的六十进制近似值为3；8,30，他算得近似到最接近整数的半径R的度数为：，则在该圆中任意角的度数（其对应的圆弧长除以圆的半径等于它对应的弧长的度数。
为了制作弦表，希帕霍斯从角所对应的弦长等于半径值，即。
而角所对应的弦长。
为了计算其他角度的对弦，他利用两个几何结果，如图3，因为，而且角所对的弦与其正弦之间有下述关系：所以(1)的结果就相当于其次，希帕霍斯利用一种半角公式算出了,得出半角公式的过程如下：假设角被OD平分。
如图3为了用来表达,在AC上选一点E，使得AE=AB.那么与全等，从而,而。
如果从D作EC的垂线DF，则有.但由于与DCF相似，因而,因此,将上式用现代符号表示即得:,如果用代替得：，这便是标准的半角公式。
希帕霍斯在运算过程中得到的三角学公式不仅是以上两个，还包括，这些三角形角与边之间关系公式都是用纯粹的几何学知识推导而得。
用这样的方法算出来的弦表虽然所含元素数量有限，但足以使希帕霍斯在求三角形问题上取得一定进展，并利用他们完成天体模型。
以上的，，这三个公式是高中数学课程标准所要求的内容，多数教师没有对公示的推导进行展示，仅仅只是教学生记忆公式，如果按照公式的推导进行讲解，学生会更加容易记住公式，为学生减负。
1.1.2托勒密和弦表的计算希腊天文学家、数学家克劳蒂乌斯.托勒密，长期居住在亚历山大，并在那里进行大量的天文观测。
托勒密最享盛名的著作是《大成》，书中对希腊人的宇宙模型给出了完整的数学描述，包括有太阳、月亮和行星的各种运动参数。
给出了计算行星位置所必需的相关平面三角学与球面三角学的数学知识。
托勒密创造出比希帕霍斯弦表更完整的弦表，托勒密列出从到，且以为间隔的弦表，并且找出了能在两个值之间的插值方法，同时考虑到原来的在计算中很不方便，他采用了。
这是六十进制中的单位值。
托勒密弦表的计算大体可以分为三部分，首先他根据欧几里得《原本》中的定理计算出一些基本弦值；其次根据前人的三角学公式的方法，如希帕霍斯的半角公式计算出一部分弦值；最后，他证明了一个新定理并根据从中推出来的和角与差角公式完成了他的弦表。
首先托勒密计算了的对弦，即圆内接十边行的边长，如图4AC是以D为圆心的圆的直径，BD垂直于ADC，E平分DC，取点F使得EF=EB.根据《原本》得，所以，从而D以黄金分割比分割CF，又根据《原本》，若将同一个圆的内接正六边形和正十边行的边排成一直线，则其交接点分割这条直线段成黄金分割比。
因为半径CD与圆的内接正六边形的边长相等，因此托勒密证明了DF是正十边行的边长，也就是；且再根据《原本》，正五边行的边长的平方等于正十边行的边长的平方与正六边形的边长的平方之和，又因为因此由于存在公式,因而对于任何一个已知其对弦值的角度，托勒密也能算出其补角的对弦值。
接下来的弦表制作过程中除了借鉴希帕霍斯的三角学公式外，托勒密还运用了“托勒密定理”。
定理的内容是：给定一个圆内接四边形，对角线的乘积等于两对边乘积之和。
如图5.应用三角形相似和等式的变换，易得出定理对的证明，为了推导两条弧长之差对弦公式，托勒密在上述定理中令,将定理的结论应用于四边形ABCD有：由于则（1）式变为又由于公式crd与则（2）式变为.令，即得到差角正弦公式：类似可以证明和角余弦公式：弦表方便与三角计算，推动三角学的发展。
托勒密定理是几何学上伟大的定理，在此为几何学和三角学搭建了桥梁，差角正弦公式、和角余弦公式并不是简单的公式而已，它是三角学发展的产物。
托勒密定理在高中数学课程标准中是不做要求的，但是差角正弦公式和和角余弦公式均是在托勒密定理的基础上推导出来的，所以应该向学生介绍托勒密定理，以便于讲解差角正弦公式和和角余弦公式。
2.三角学的发展与改进如同希腊和印度三角学的发展情形一样，阿拉伯地区也是紧密与天文学联接在一起，三角学的内容总存在于天文学著作的某个章节中。
而且阿拉伯地区的数学家十分热衷于解球面三角形，因为伊斯兰法律要求穆斯林在祈祷时必须面向麦加的方向。
这就需要在地球这个球面上解三角形，并且平面和球面三角形的解对于确定祷告者的正确时刻也十分重要。
比鲁尼曾到印度考察，整理和总结了这个国家的科学成就，特别是数学方面的成果，并分别研究过平面三角学和球面三角学。
比鲁尼在他的《测影通论》中对正、余切和正、余割函数进行讨论。
正影子（余切）的一个例子是：设A为太阳，BG为垂直于EG的日晷指针，EG平行水平面，而ABE为通过顶头的日光光线，EG就是那个被称作正影子的线段，他的基点为G而尾端为E。
连接影子与指针顶端的直线EB是这个影子的斜边（余割）。
比鲁尼说明了三角函数之间的各种关系。
他指出“指针与斜边之比同于高的正弦与正弦之比。
”比鲁尼说的“总正弦”是指弧的正弦即取的那个圆的半径，那么此公式可以翻译成（这里表示指针的长度），或者表示为(1)比鲁尼进一步指出，“如果我们已知在某时刻的影子，而想要求在那个时刻的太阳高度，我们将影长的等量又将指针乘以它的等量并取和（的平方根），他就是余割。
然后以它去除指针长和总弦的乘积，便得到高度的正弦。
再由正弦表查出它对应的弧，就得到了在影子的那个时刻太阳的高度。
”比鲁尼用了以下关系式：这个公式与前面的公式（1）确定了以特定半径值R的正弦函数，然后参照正弦表从逆向定出，类似的比鲁尼给出了等价于以下两个公式的规则：并且比鲁尼还制作了一张正切和余切表，在表中它使用了关系。
3.文艺复兴以后三角学的完善和深化文艺复兴以后，人类摆脱了中世纪束缚思想的精神枷锁，迎接一个新时代的到来，各方面科学文化都取得了突破性进展，三角学也随之发展成相当成熟的科目。
法国数学家韦达首先在平面三角和球面三角中使用了6个三角函数，他的第一本三角学著作是《应用三角形的数学定理》，是较系统论述平面和球面三角学的专著之一，其中第一部列出6种三角函数表，有些以分和度为间隔，书中给出精确到5位和10位小数的三角函数表，还整理了了解平面直角和斜三角行的公式，还附有与三角值有关的乘法表、商表等。
第二部分给出造表的方法，解释了三角形中诸三角线量值关系的运算公式。
除总结前人的成果外，还补充了自己发现的新公式。
如正切定律、和差化积公式等等。
他将这些公式列在一个总表中，使得任意给出某些已知量后，可以从表中得出未知量的值。
1951年韦达得到多倍角关系式，对球面三角形，韦达介绍了一套完整公式及其记忆方法，他还提出涉及球面钝角三角形的余弦定律：以及他首次发现的正切定理：由于韦达等人的工作，三角学从天文学中分离出来，成为数学的一个分支，并获得独立的发展。
这门科学在天文、航海、测量等方面发挥了越来越大的作用。
3.2三角学的分析化哥白尼提出的地动学说后，他的弟子雷蒂库斯见到当时天文观测日益精密，推算详细的三角函数以为刻不容缓的事，于是令半径等于，做出每隔的正弦、正切及正割表。
这项工作全靠手算，花了12年的时间，知道雷蒂库斯死后才由其弟子奥托于1596年完成刊行于世。
1613年皮蒂楚斯加以修订，从新出版。
至此为止，三角数表已精密的算出，但他的效用和必要性知道对数的发现之后才完全显露出来。
17世纪，数学从运动的研究中引出了一个基本概念，在那以后的二百年里，这个概念在几乎所有的工作中占中心位置，三角函数变得越来越系统化，牛顿和莱布尼茨给出了三角函数的级数展开式。
约翰.伯努利等人在和差公式的基础上推导了解析三角的一般恒等式。
欧拉的《无穷小分析引论》是一部划时代的著作，即使仅就三角学来说也是这样。
欧拉在他的著作中把三角学解析的叙述，并从不多的几个基本公式推导出全部三角公式。
欧拉提出的三角函数是对应的函数线与圆半径的比值，这种数学思想是他的重要功绩之一。
他还令圆的半径等于1，并引入弧度制，从而使三角公式的计算大为简化。
他认为如果半径是一个单位，那么半圆周的长就是，所对圆心角的正弦是0，即。
同样14 圆周的长是2π ；所对圆心角的正弦值等于1，计作sin 12π= 。
欧拉指出： sin ,cos 22iz iz iz ize e e e Z Z i ---+== 展开式3524sin ...3!5!cos 1...2!4!z z Z z z z Z =-+-=-+-它使三角学从静态的只是研究三角形的狭隘天地中解放出来，可以去描述现实世界中一切能用三角函数反映的运动或变化，从而使三角学成为一门具有现代特征的分析学的分支，欧拉在1748-1749年推广了“棣莫弗定理”()cos sin cos sin nx i x nx i nx +=+ n 是实数。
19世纪的法国数学家傅里叶发现相当广阔的一类函数都可以展开为三角级数： 0()(a sin cos )n n n f x nx b nx ∞==+∑ 这一发现，使得三角函数成为表示一般函数的基础。