第三章 直线与方程 单元测试(人教A版必修2)
2017-2018学年人教A版必修2 第三章直线与方程 单元测试
本章测评(用时90分钟,满分100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.（经典回放）若直线x=1的倾斜角为α，则α( )A.等于0°B.等于45°C.等于90°D.不存在 解析:直线x=1是平行于y 轴的直线，故倾斜角为90°.答案：C2.直线（23-）x+y=3和直线x+（32-）y=2的位置关系是( )A.相交不垂直B.垂直C.平行D.重合解析:两条直线的斜率分别为32-和23231+=-，两斜率之积为)23()32(+⨯-=-1,故两直线垂直.答案：B3.点(1，-1)到直线x-y+1=0的距离是( ) A.21 B.23 C.22 D.223 解析:点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离d=223)1(1|1)1(1|22=-++--. 答案：D4.已知过点A(-2，m)和B(m ，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m 的值为( )A.0B.-8C.2D.10解析:直线2x+y-1=0的斜率为-2，A 、B 两点连线的斜率为mm ---24，由两直线平行可得mm ---24=-2⇒m=-8. 答案：B5.过点（-1，3）且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为( )A.2x+y-1=0B.2x+y-5=0C.x+2y-5=0D.x-2y+7=0解析:与直线x-2y+3=0垂直的直线可设为2x+y+m=0，代入点（-1，3）得m=-1，即所求直线方程为2x+y-1=0.答案：A6.直线l 经过点(0,-1),且通过第二、三、四象限，并与坐标轴围成三角形面积为2的直线方程为( )A.x+y+4=0B.x+4y+4=0C.4x+y+16=0D.x+y-4=0解析:由直线l 经过点(0,-1)知：直线l 在y 轴上的截距为-1，由题意知直线l 在x 轴上的截距也为负值，设与x 轴的交点为（-a,0）(a ＞0),则根据面积公式得a=4,即直线方程为044114=++⇒=-+-y x y x .答案：B7.设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2且|PA|=|PB|，若直线PA 的方程为x-y+1=0，则直线PB 的方程是( )A.x+y-5=0B.2x-y-1=0C.2y-x-4=0D.2x+y-7=0解析:由|PA|=|PB|知点P 在线段AB 的垂直平分线上，又直线PA 的方程为x-y+1=0知：A(-1，0)，得B （5，0）、P （2,3），即由两点式方程得PB 的方程为⇒--=--525030x y x+y-5=0. 答案：A8.若点（5，b ）在两条平行直线6x-8y+1=0与3x-4y+5=0之间，则整数b 的值为( )A.5 B ．-5 C ．4 D ．-4解析:两条平行直线6x-8y+1=0与3x-4y+5=0之间的距离为d=1095|215|=-. 要使点（5，b ）在两条平行线之间有该点到两直线的距离均小于109， 即⎪⎩⎪⎨⎧<-<-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<-.29|420|,9|831|1095|420|10910|831|b b b b 代入答案验证，得b=4.答案：C二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）9.已知过两点(5,m)和(m,8)的直线的倾斜角为锐角，则m 的取值范围是______________. 解析:根据两点间连线的斜率公式，得k=⇒>--058mm (m-8)(5-m)＞0.解得5＜m ＜8. 答案：(5,8)10.已知直线l 被坐标轴截得线段中点是(1,-3)，则直线l 的方程是__________________. 解析:设直线l 与两坐标轴的交点分别是（a,0）、(0,b),则根据中点坐标公式，得a=2,b=-6.由截距式直线方程，得直线l 的方程是⇒=-+162y x 3x-y-6=0. 答案：3x-y-6=011.无论k 取何值，直线（2k+1）x-（k-2）y-（k+8）=0恒过点_____________.解析:（2k+1）x-（k-2）y-（k+8）=0变形为x+2y-8+（2x-y-1）k=0,因此直线恒过直线x+2y-8=0和2x-y-1=0的交点，解方程组⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=--=-+,3,2012,082y x y x y x 得即原直线恒过点（2，3）.答案：（2，3）12.若A(2,-3)是直线a 1x+b 1y+1=0和a 2x+b 2y+1=0的公共点,则相异两点(a 1,b 1)和(a 2,b 2)所确定的直线的方程是__________________.解析:由题意知：2a 1-3b 1+1=0，2a 2-3b 2+1=0，即点(a 1，b 1)和点(a 2，b 2)都在直线2x-3y+1=0上，根据两点确定一条直线得：相异两点(a 1,b 1)和(a 2,b 2)所确定的直线的方程是2x-3y+1=0.答案：2x-3y+1=0三、解答题（本大题共4小题，共44分）13.（10分）求点P(-7,1)关于直线l :2x-7-5=0的对称点Q 的坐标.解：设点Q 的坐标为(x 0,y 0)，∵PQ ⊥l ，∴k l ·k PQ =-1. ∴7100+-x y ×2=-1，即x 0+2y 0=-5. ① 设线段PQ 的中点为M ，则M(21,2700+-y x )，∵点M 在直线l 上，∴2127200+--∙y x -5=0，即2x 0-y 0-25=0. ② 联立①②，解得⎩⎨⎧-==.7,900y x ∴点Q 的坐标为(9,-7).14.（10分）已知两定点A （2，5），B （-2，1），M （在第一象限）和N 是过原点的直线l 上的两个动点，且|MN|=22，l ∥AB ，如果直线AM 和BN 的交点C 在y 轴上，求点C 的坐标.解：由点A 、B 的坐标并利用斜率公式得k AB =1,于是k 1=1，从而l 的方程为y=x ，设M （a ，a ）（a ＞0），N （b ，b ），由｜MN ｜=22，得22)()(22=-+-b a b a ，故|a-b|=2，直线AM 的方程为y-5=25--a a (x-2)，令x=0，则得C 的坐标为(0,23-a a )， 直线BN 的方程为y-1=21+-b b (x+2)，令x=0，则得C 的坐标为(0,23+b b )，故2323+=-b b a a ，化简得a=-b ，将其代入|a-b|=2，并注意到a ＞0，得a=1，b=-1,∴C(0,-3).15.（12分）过A(-4,0)、B(0,-3)两点作两条平行线，若这两条直线各自绕A 、B 旋转，使它们之间的距离取最大值，求此最大值?解：当两直线的斜率不存在时，方程分别为x=-4,x=0,它们之间的距离d=4；当两直线的斜率存在时，设方程分别为y=k(x+4)与y=kx-3， d=1|34|2++k k ，∴d 2=19241622+++k k k . ∴(d 2-16)k 2-24k+d 2-9=0.∵k ∈R ,∴Δ≥0，即d 4-25d 2≤0.∴0＜d 2≤25.∴0＜d≤5.∴d max =5.当d=5时，k=34．∴d max =5. 16.（12分）在直角坐标系中，设矩形OPQR 的顶点按逆时针顺序依次为O （0，0），P （1，t ），Q （1-2t ，2+t ），R （-2t ，2），其中t ∈（0，21）.求矩形OPQR 在第一象限部分的面积S （t ）.解：当0＜t ＜21时，点Q 在第一象限，如图，此时S （t ）为四边形OPQK 的面积，直线QR 的方程为y-2=t （x+2t ）.令x=0，得y=2t 2+2，点K 的坐标为（0，2t 2+2）.S 四边形OPQK =S 四边形OPQR -S △OKR =21)1(222-+t (2t 2+2)·2t=2(1-t+t 2-t 3). ∴S(t)=2(1-t+t 2-t 3)(0＜t ＜1).。
人教a版必修2《第3章+直线与方程》2013年单元检测卷
人教A版必修2《第3章 直线与方 程》2013年单元检测卷
参考答案与试题解析
一、选择题 1．（3分）在直角坐标系中，若P（m，m﹣1），Q（m，m+1），下列 关于直线PQ的说法中正确的是（ ） A．倾斜角与斜率都有确定值 B． 倾斜角有确定值，斜率不存在 C． 斜率有确定值，倾斜角不存在 D．倾斜角和斜率都不存在 考 斜率的计算公式． 点： 专 直线与圆． 题： 分 利用斜率与倾斜角的关系即可得出． 析： 解 解：∵PQ⊥x轴，此时倾斜角为90°，斜率不存在． 答： 故选B． 点 正确理解斜率与倾斜角的含义及其关系是解题的关键． 评： 2．（3分）直线 x﹣3y+1=0与直线 x+y﹣2=0的位置关系是（ ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂 D．重合 直
7．（3分）直线x+y﹣6=0经过第一象限内的点A（a，b），则ab的最大 值为（ ） A． 3 B． 6 C． 9 D． 12 考 基本不等式． 点：
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专 不等式的解法及应用． 题： 分 由直线x+y﹣6=0经过第一象限内的点A（a，b），可得a+b=6．再 析： 利用 即可得出． 解 解：直线x+y﹣6=0经过第一象限内的点A（a，b），∴a+b﹣6=0， 答： a+b=6． ∴ = =9，当且仅当a=b=3时取等号． 故选C． 点 熟练掌握结论 评： 是解题的关键． 8．（3分）（2004•安徽）已知直线l：x﹣y﹣1=0，l1：2x﹣y﹣2=0．若 直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是（ ） A． x﹣2y+1=0 考 B． x﹣2y﹣1=0 C． x+y﹣1=0
x﹣y=3 的斜率的相反数，则（ ） A． m=﹣ B． m=﹣ ，n=1 ，n=﹣3
人教新课标版数学高一人教A版必修二测评 第三章 直线与方程
单元测评(三) 直线与方程(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则( )A ．m ＝－3，n ＝1B ．m ＝－3，n ＝－3C ．m ＝3，n ＝－3D ．m ＝3，n ＝1解析：依题意得－3n ＝－3，－mn ＝tan120°＝－3，∴m ＝3，n ＝1.答案：D2．直线2x ＋3y －k ＝0和直线x －ky ＋12＝0的交点在x 轴上，则k 的值为( )A ．－24B ．24C ．6D ．±6解析：直线2x ＋3y －k ＝0与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2，0.直线x －ky ＋12＝0与x 轴的交点为(－12,0)．∵直线2x ＋3y －k ＝0和直线x －ky ＋12＝0的交点在x 轴上，∴k2＝－12，即k ＝－24.答案：A3．直线y ＝mx ＋(2m ＋1)恒过一定点，则此点是( ) A ．(1,2)B ．(2,1)C．(1，－2) D．(－2,1)解析：y＝mx＋(2m＋1)＝m(x＋2)＋1，∴当x＝－2时，不论m取何值，y恒等于1.∴恒过定点(－2,1)．答案：D4．已知直线l1：ax＋2y－1＝0，直线l2：8x＋ay＋2－a＝0，若l1∥l2，则实数a的值为()A．±4 B．－4C．4 D．±2解析：由a2－2×8＝0，得a＝±4.当a＝4时，l1：4x＋2y－1＝0，l2：8x＋4y－2＝0，l1与l2重合．当a＝－4时，l1：－4x＋2y－1＝0，l2：8x－4y＋6＝0，l1∥l2.综上所述，a＝－4.答案：B5．与直线2x＋y－3＝0平行，且距离为5的直线方程是() A．2x＋y＋2＝0B．2x＋y－8＝0C．2x＋y＋2＝0或2x＋y－8＝0D．2x＋y－2＝0或2x＋y＋8＝0解析：设所求直线方程为2x＋y＋C＝0，则|C＋3|5＝5，∴|C＋3|＝5，C＝2或C＝－8.所以所求直线方程为2x＋y＋2＝0或2x＋y－8＝0.答案：C6．直线l 过点A (3,4)，且与点B (－3,2)的距离最远，则直线l 的方程为( )A ．3x －y －5＝0B ．3x －y ＋5＝0C ．3x ＋y ＋13＝0D ．3x ＋y －13＝0解析：当l ⊥AB 时，符合要求，∵k AB ＝4－23＋3＝13，∴l 的斜率为－3.∴直线l 的方程为y －4＝－3(x －3)，即3x ＋y －13＝0.答案：D7．与直线2x ＋3y －6＝0关于点A (1，－1)对称的直线为( ) A ．3x －2y －6＝0 B ．2x ＋3y ＋7＝0 C ．3x －2y －12＝0D ．2x ＋3y ＋8＝0解析：设直线上点P (x 0，y 0)关于点(1，－1)对称的点为P ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02＝1，y ＋y 02＝－1，⎩⎨⎧x 0＝2－x ，y 0＝－2－y .代入2x 0＋3y 0－6＝0得2(2－x )＋3(－2－y )－6＝0，得2x ＋3y ＋8＝0.答案：D8．已知直线l 的方程是y ＝2x ＋3，则l 关于y ＝－x 对称的直线方程是( )A ．x －2y ＋3＝0B ．x －2y ＝0C ．x －2y －3＝0D ．2x －y ＝0解析：在直线l 上取两点A (0,3)，B (－2，－1)，则点A ，B 关于直线y ＝－x 的对称点为A ′(－3,0)，B ′(1,2)，所以所求直线的方程是y 2＝x ＋31＋3，即x －2y ＋3＝0.答案：A9．(2012·许昌高一检测)如图，在同一直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a 正确的是( )A. B.C. D.解析：当a ＞0时，A 、B 、C 、D 均不成立； 当a ＜0时，只有C 成立． 答案：C10．等腰直角三角形ABC 的直角顶点为C (3,3)，若点A (0,4)，则点B 的坐标可能是( )A ．(2,0)或(4,6)B ．(2,0)或(6,4)C ．(4,6)D ．(0,2)解析：设B 点坐标为(x ，y )， 根据题意知⎩⎨⎧k AC ·k BC ＝－1，|BC |＝|AC |，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－43－0×y －3x －3＝－1，(x －3)2＋(y －3)2＝(0－3)2＋(4－3)2，解之，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝0，或⎩⎨⎧x ＝4，y ＝6.答案：A第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11．a 、b 、c 是两两不等的实数，则经过P (b ，b ＋c )、C (a ，c ＋a )两点的直线的倾斜角为__________．解析：k ＝c ＋a －(b ＋c )a －b ＝a －ba －b ＝1，∴直线的倾斜角为45°. 答案：45°12．已知点(m,3)到直线x ＋y －4＝0的距离等于2，则m 的值为__________．解析：由点到直线的距离得|m ＋3－4|2＝ 2.解得m ＝－1，或m ＝3. 答案：－1或313．已知直线l 在y 轴上的截距是－3，它被两坐标轴截得的线段的长为5，则此直线的方程为__________．解析：设直线在x 轴上的截距为a ，则a 2＋32＝5，解得a ＝4或－4，所求直线方程为3x －4y －12＝0或3x ＋4y ＋12＝0.答案：3x －4y －12＝0或3x ＋4y ＋12＝014．直线l 和两条直线l 1：x －3y ＋10＝0，及l 2：2x ＋y －8＝0都相交，且这两个交点所成的线段的中点是P (0,1)，则直线l 的方程是__________．解析：设两交点坐标分别为A (3y 1－10，y 1)、B (x 2，－2x 2＋8)，∵AB 的中点是P (0,1)，得⎩⎨⎧x 2＋3y 1－10＝0，－2x 2＋y 1＋8＝2，解得y 1＝2，x 2＝4.∴A ，B 两点坐标分别为A (－4,2)，B (4,0)． ∴过A ，B 两点的直线方程是x ＋4y －4＝0. 答案：x ＋4y －4＝0三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)求经过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程．解：由⎩⎨⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35，y ＝－75.(6分)又因为所求直线与直线3x ＋y －1＝0平行，所以所求直线为y ＋75＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋35.(10分)化简得：3x ＋y ＋165＝0.(12分)16．(12分)(1)求与直线3x ＋4y －7＝0垂直，且与原点的距离为6的直线方程；(2)求经过直线l 1：2x ＋3y －5＝0与l 2：7x ＋15y ＋1＝0的交点，且平行于直线x ＋2y －3＝0的直线方程．解：(1)设所求的直线方程为4x －3y ＋c ＝0. 由已知|c |42＋32＝6，解得c ＝±30，故所求的直线方程为4x －3y ±30＝0.(6分) (2)设所求的直线方程为 2x ＋3y －5＋λ(7x ＋15y ＋1)＝0， 即(2＋7λ)x ＋(3＋15λ)y ＋λ－5＝0. 由已知－2＋7λ3＋15λ＝－12，解得λ＝1.故所求的直线方程为9x ＋18y －4＝0.(12分)17．(12分)直线l 过点(1,0)且被两条平行直线l 1：3x ＋y －6＝0和l 2：3x ＋y ＋3＝0所截得的线段长为91010，求直线l 的方程．解：方法一：当直线l 与x 轴垂直时，方程为x ＝1，由⎩⎨⎧x ＝1，3x ＋y －6＝0，得l 与l 1的交点为(1,3)．由⎩⎨⎧x ＝1，3x ＋y ＋3＝0，得l 与l 2的交点为(1，－6)，此时两交点间的距离d ＝|－6－3|＝9≠91010. ∴直线l 与x 轴不垂直．(4分) 设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠－3)，解方程组⎩⎨⎧ y ＝k (x －1)，3x ＋y －6＝0，得l 与l 1交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋6k ＋3，3k k ＋3， 同理，由⎩⎨⎧y ＝k (x －1)，3x ＋y ＋3＝0，得l 与l 2的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k －3k ＋3，－6k k ＋3.(8分) 由题意及两点间距离公式得 91010＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k －3k ＋3－k ＋6k ＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k k ＋3－3k k ＋32， 即9k 2－6k ＋1＝0，∴k ＝13，∴直线l 的方程为y ＝13(x －1)， 即x －3y －1＝0.(12分)方法二：由两平行线间的距离公式可得l 1与l 2间的距离d ＝|－6－3|32＋12＝91010.(4分) 而l 被l 1，l 2截得的线段长恰为91010.(6分)∴l 与l 1垂直，由l 1的斜率k 1＝－3知，l 的斜率k ＝13，(10分) ∴l 的方程为y ＝13(x －1)， 即x －3y －1＝0.(12分)18．(14分)在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在的直线方程为y ＝0.若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和点C 的坐标．解：由方程组⎩⎨⎧x －2y ＋1＝0，y ＝0，解得点A 的坐标为(－1,0)．(2分)又直线AB 的斜率k AB ＝1，x 轴是∠A 的平分线，所以k AC ＝－1，则AC 边所在的直线方程为y ＝－(x ＋1)．① 又已知BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0， 故直线BC 的斜率k BC ＝－2，(8分)所以BC 边所在的直线方程为y －2＝－2(x －1)．②解①②组成的方程组得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝－6，(12分)即顶点C 的坐标为(5，－6)．(14分)。
高中数学 第三章《直线与方程》单元测试题 新人教A版必修2
第三章《直线与方程》单元测试题人教A 必修2一、选择题：1.若直线过点（１，２），（４，２＋3），则此直线的倾斜角是（ ）Ａ ３０° Ｂ ４５° Ｃ ６０° Ｄ ９０°2. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a=A 、 -3B 、-6C 、23- D 、323.点P （-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ）（A ）2 （B ）21 （C ）1 （D ）27 4. 点Ｍ（４，m ）关于点Ｎ（n, － 3）的对称点为Ｐ（６，－９），则（ ）Ａ m ＝－３，n ＝１０ Ｂ m ＝３，n ＝１０Ｃ m ＝－３，n ＝５ Ｄ m ＝３，n ＝５5.以Ａ（１，３），Ｂ（－５，１）为端点的线段的垂直平分线方程是（ ）Ａ 3x-y-8=0 B 3x+y+4=0C 3x-y+6=0D 3x+y+2=06.过点Ｍ（２,１）的直线与Ｘ轴，Ｙ轴分别交于Ｐ,Ｑ两点，且｜ＭＰ｜＝｜ＭＱ｜,则Ｌ的方程是（ ）Ａ x-2y+3=0 B 2x-y-3=0C 2x+y-5=0D x+2y-4=07. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是A （-2，1）B （2，1）C （1，-2）D （1，2）8. 直线0202=++=++n y x m y x 和的位置关系是（A ）平行 （B ）垂直 （C ）相交但不垂直（D）不能确定9. 如图1，直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则必有A. k1<k3<k2B. k3<k1<k2C. k1<k2<k3D. k3<k2<k110.已知A（1，2）、B（-1，4）、C（5，2），则ΔABC的边AB上的中线所在的直线方程为（）（A）x+5y-15=0 (B)x=3 (C) x-y+1=0 (D)y-3=0二、填空题：11.已知点)4,5A,的距离相等的直(-C且与BA和),2,3(B则过点)2,1(-12．过点Ｐ（１，２）且在Ｘ轴，Ｙ轴上截距相等的直线方程是 .13．直线5x+12y+3=0与直线10x+24y+5=0的距离是 .14．原点Ｏ在直线Ｌ上的射影为点Ｈ（－２，１），则直线Ｌ的方程为 .三、解答题：15. ①求平行于直线3x+4y-12=0,且与它的距离是7的直线的方程；3的直②求垂直于直线x+3y-5=0, 且与点P(-1,0)的距离是105线的方程.16.直线x+m 2y+6=0与直线（m-2）x+3my+2m=0没有公共点，求实数m 的值.17.已知直线l 被两平行直线063=-+y x 033=++y x 和所截得的线段长为3，且直线过点（1，0），求直线l 的方程.参考答案：；；；；；；；；；.+4y-7=0或x=-1;+y-3=0或2x-y=0;13.261;+5=0; 15. (1)3x+4y+23=0或3x+4y-47=0;(2)3x-y+9=0或3x-y-3=0. =0或m=-1;=1或3x-4y-3=0.。
人教A版高中数学必修二第三章直线与方程单元测试卷(三)
5]
11．光线从点 A( －3,5)射到 x 轴上，经反射以后经过点 程为 ( )
B(2,10) ，则光线从 A 到 B 的路
A．5 2 C．5 10
B．2 5 D．10 5
7 12．过点 A(0， 3)与 B(7,0)的直线 l 1 与过点 (2,1)、 (3，k＋ 1)的直线 l 2 和两坐标轴围成的
四边形内接于一个圆，则实数 k 为 ( )
A ．－ 3 C．－ 6 二、非选择题 (每题 5 分，共 20 分 )
B．3 D．6
13．已知 A(a,2)、 B(3,7)、 C(－ 2，－ 9a)三点在同一直线上，则实数 a＝ ________.
14．直线－ x＋ 3y－ 6＝ 0 的倾斜角是 ________，在 y 轴上的截距是 ________． 15．点 A(3，－ 4)与点 B(5,8)关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为 ________．
2 ＋3＝ 0 垂直， ∴ k·k′＝－ 1，即 k′＝－ 2，∴ 所求直线的方程为 y－ 3＝－ 2(x＋ 1)，即 2x＋ y－ 1 ＝0.故选 A.
答案： A
2x＋ 3y＋ 8＝ 0， x＝－ 1，
4.解析： 解方程组
得
代入方程 x＋ ky＝ 0 得－ 1－ 2k＝ 0，
x－ y－ 1＝ 0，
16．若三条直线 l1：x＋ y＝ 7，l2：3x－ y＝ 5，l3：2x＋ y＋c＝0 不能围成三角形，则 c 的 值为 ________．
三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分， 17 题 10 分， 18～ 22 题，每题 12 分，解答应
写出文字说明，证明过程或演算步骤． )
17．(10 分 )求与直线 3x＋ 4y＋ 1＝0 平行，且在两坐标轴上截距之和为
《直线与方程》单元测试题
人教A 必修2第三章《直线与方程》单元测试题（时间：60分钟，满分：100分） 班别 座号 姓名 成绩一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.若直线过点（１，２），（４，２＋3），则此直线的倾斜角是（ ）Ａ ３０° Ｂ ４５° Ｃ ６０° Ｄ ９０°2. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a=A 、 -3B 、-6C 、23-D 、323.点P （-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ）（A ）2 （B ）21 （C ）1 （D ）27 4. 点Ｍ（４，m ）关于点Ｎ（n, － 3）的对称点为Ｐ（６，－９），则（ ） Ａ m ＝－３，n ＝１０ Ｂ m ＝３，n ＝１０Ｃ m ＝－３，n ＝５ Ｄ m ＝３，n ＝５5.以Ａ（１，３），Ｂ（－５，１）为端点的线段的垂直平分线方程是（ ） Ａ 3x-y-8=0 B 3x+y+4=0C 3x-y+6=0D 3x+y+2=06.过点Ｍ（２,１）的直线与Ｘ轴，Ｙ轴分别交于Ｐ,Ｑ两点，且｜ＭＰ｜＝｜ＭＱ｜, 则Ｌ的方程是（ ）Ａ x-2y+3=0 B 2x-y-3=0C 2x+y-5=0D x+2y-4=07. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是A （-2，1）B （2，1）C （1，-2）D （1，2）8. 直线0202=++=++n y x m y x 和的位置关系是（A ）平行 （B ）垂直 （C ）相交但不垂直 （D ）不能确定9. 如图1，直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则必有A. k 1<k 3<k 2B. k 3<k 1<k 2C. k 1<k 2<k 3D. k 3<k 2<k 110.已知A （1，2）、B （-1，4）、C （5，2），则ΔABC 的边AB 上的中线所在的直线方程为（ ）（A ）x+5y-15=0 (B)x=3 (C) x-y+1=0 (D)y-3=011点(3，9)关于直线x +3y －10=0对称的点的坐标是( )A (－1,－3)B (17,－9)C (－1,3)D (－17,9)12方程(a －1)x －y +2a +1=0(a ∈R )所表示的直线( ) A 恒过定点(－2,3) B 恒过定点(2，3) C 恒过点(－2,3)和点(2，3) D 都是平行直线13直线x tan 3π+y =0的倾斜角是（ ） A －3π B 3π C 3π2 D 3π2- 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）1.已知点)4,5(-A 和),2,3(B 则过点)2,1(-C 且与B A ,的距离相等的直线方程为 .2．过点Ｐ（１，２）且在Ｘ轴，Ｙ轴上截距相等的直线方程是 .3．直线5x+12y+3=0与直线10x+24y+5=0的距离是 .4．原点Ｏ在直线Ｌ上的射影为点Ｈ（－２，１），则直线Ｌ的方程为 .三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1. ①求平行于直线3x+4y-12=0,且与它的2.直线x+m 2y+6=0与直线（m-2）x+3my+2m=0距离是7的直线的方程; 没有公共点，求实数m 的值.②求垂直于直线x+3y-5=0, 且与点P(-1,0)的距离是1053的直线的方程.*3.已知直线l 被两平行直线063=-+y x 033=++y x 和所截得的线段长为3，且直线过点（1，0），求直线l 的方程.参考答案：；；；；；；；；； A 12 A 13 C+4y-7=0或x=-1; +y-3=0或2x-y=0; 3.261; +5=0; 15. (1)3x+4y+23=0或3x+4y-47=0;(2)3x-y+9=0或3x-y-3=0. =0或m=-1;=1或3x-4y-3=0.。
第3章直线与方程 基础测试-人教A版高中数学必修二章节复习
人教A 版必修二第三章直线与方程基础测试题一、单选题1．若直线过点()1,2，(42+，，则此直线的倾斜角是（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°2．已知直线l ：2y =-，则直线l 经过哪几个象限（ ） A ．一、二、三象限 B ．一、二、四象限 C ．二、三、四象限D ．一、三、四象限3．直线10ax y ++=与直线420x ay +-=平行，则a 的值为（ ） A ．2-B ．2C ．2±D ．04．已知点(1,0)A ，直线:10l x y -+=，则点A 到直线l 的距离为（ ）A ．1B ．2CD ．5．过点(1,0)且与直线220x y --=垂直的直线方程是（ ） A ．210x y -+=B ．210x y --=C ．210x y +-=D ．220x y +-=6．过点()0,2A 且倾斜角45的直线方程为（ ） A ．20x y +-=B ．20x y -+=C ．20x y --=D ．20x y ++=7．两平行线1:2200x y l ++=与2:20x c l y ++=间的距离为c 等于（ ） A ．0或40B ．10或30C ．20-或10D ．20-或408．若A (－2，3)，B (3，－2)，C 1(,)2m 三点在同一条直线上，则m 的值为（ ）9．直线l 在y 轴上的截距为1，且斜率为2-，则直线l 的方程为（ ） A ．210x y +-= B ．250x y +-= C ．250x y +-= D ．270x y -+=10．在下列四个命题中，正确的是（ ）A ．平面直角坐标系中任意一条直线均有倾斜角和斜率B ．四条直线中斜率最大的直线是3lC ．直线230x y +-=的斜率是2D ．经过()5m ，和()8m ,的直线的斜率是1，则132m = 11．已知()()1231A B ，，，，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．4250x y -+= B ．4250x y --= C ．250x y +-=D ．250x y --=12．已知()2,5A 、()4,1B ，若点(),P x y 在线段AB 上，则2x y -的最小值为（ ） A ．1- B ．3 C ．7 D ．8二、填空题13．已知直线1:10l mx y ++=，2:(1)20l x m y +-+=，若12l l ⊥，则m 值为________.14．若两平行直线3x －2y －1＝0，6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c15．以A (1,1)，B (3,2)，C (5,4)为顶点的△ABC ，其边AB 上的高所在的直线方程是________.16．已知直线l ：20kx y k ++-=过定点M ，点(), P x y 在直线210x y -+=上，则MP 的最小值是______． 三、解答题17．已知直线:3470l x y +-= （1）求直线l 的斜率；（2）若直线m 与l 平行，且过点(2,5)P -，求m 的方程.18．已知直线1l 的方程为34120x y +-=，分别求直线2l 的方程，使得： （1）2l 与1l 平行，且过点(1,3)-；（2）2l 与1l 垂直，且2l 与两坐标轴围成的三角形面积为6.19．在ABC 中，已知 (1,2)A -，BC 边所在直线方程为2150x y +-=. （1）求BC 边上的高AD 所在直线的方程；（2）若AB ，AC 边的中点分别为E ，F ，求直线EF 的方程.20．已知两点(32)(54)M N -，，，，两直线12:270:10l x y l x y -+=+-=，． （1）求过点M 且与直线1l 平行的直线方程；（2）求过线段MN 的中点以及直线1l 与2l 的交点的直线方程．21．直线l 过点()1,4，且倾斜角为45︒. （1）求直线的方程；（2）求直线与坐标轴所围成的三角形面积.22．已知直线:2310l x y -+=，点()1,2--A .求： （1）点A 关于直线l 的对称点A '的坐标；（2）直线:3260m x y --=关于直线l 的对称直线m '的方程； （3）直线l 关于点()1,2--A 对称的直线l '的方程.参考答案1．A 因为直线过点()1,2，(42+，=； 所以直线的倾斜角是30°，故选：A. 2．D直线:2l y =-的斜率为0k =>，在y 轴上的截距为20-<，所以直线经过第一、三和四象限，故选：D ． 3．B当0a =时，直线1y =-与直线12x =垂直，不合题意； 当0a ≠时，因为直线10ax y ++=与直线420x ay +-=平行，所以1142a a =≠-，解得2a =. 故选：B 【点睛】 4．C解：点(1,0)A ，直线:10l x y -+=，则点A 到直线l=故选：C.5．D 直线220x y --=的斜率为12，则所求直线的斜率为2- 即所求直线的方程为02(1)y x -=--，即220x y +-=故选：D6．B所求直线的斜率为tan 451=，因此，所求直线的方程为2y x -=，即20x y -+=. 故选：B.7．B=2010c -=，解得10c =或30c =，故选：B 8．D因为A ，B ，C 三点在同一条直线上，所以k AB ＝k AC ，所以233(2)----＝31(2)2m ---，解得m ＝12.故选：D. 9．A解：根据题意，直线l 在y 轴上的截距为1，且斜率为2-， 则直线l 的方程为21y x =-+，即210x y +-=. 故选：A ． 10．D解：对于A ，当直线的倾斜角为90︒时，斜率不存在，所以A 错误；对于B ，直线3l 倾斜角为钝角，其斜率是负的，而14,l l 的倾斜角是锐角，其斜率为正数，所以B 错误；对于C ，由230x y +-=得1322y x =-+，所以直线230x y +-=斜率为12-，所以C 错误；对于D ，因为经过()5m ，和()8m ,的直线的斜率是1，所以815m m-=-，解得132m =，所以D 正确，故选：D 11．B因为线段AB 的垂直平分线上的点(),x y 到点A ，B 的距离相等，=．即：221244x x y y +-++-229612x x y y =+-++-，化简得：425x y -=．故选：B ． 12．A直线AB 的斜率为51224AB k -==--，所以直线AB 的方程为()124y x -=--，即29y x =-+.所以，线段AB 的方程为()2924y x x =-+≤≤，所以，()[]2229491,7x y x x x -=--+=-∈-，因此，2x y -的最小值为1-.故选：A.13．12解：直线1:10l mx y ++=，2:(1)20l x m y +-+=，若12l l ⊥，则()1110m m ⨯+⨯-=,解得12m =,故答案为：12. 14．2或－6 由两直线平行知，6321a c=≠--，解得4,2a c =-≠-， 即直线60x ay c ++=可化为3202cx y -+=，又两平行线之间的距离为13=c ＝2或－6. 故答案为：2或－6. 15．2x ＋y －14＝0 由A ，B 两点得12AB k =，则边AB 上的高所在直线的斜率为－2， 故所求直线方程是y －4＝－2(x －5)，即2x ＋y －14＝0.故答案为：2x ＋y －14＝0.16由20kx y k ++-=得(1)20k x y -++=，所以直线l 过定点(1,2)M -，依题意可知MP 的最小值是点M 到直线210x y -+=的距离，由点到直线的距离公式可得min ||MP ==17．（1）34-；（2）34140x y +-=. （1）由:3470l x y +-=，可得3743y x =-+， 所以斜率为34-； （2）由直线m 与l 平行，且过点(2,5)P -，可得m 的方程为35(2)4y x -=-+，整理得：34140x y +-=. 18．（1）3490x y +-=；（2）43120x y -+=或43120x y --=.解：（1）因为直线1l 的方程为34120x y +-=，且2l 与1l 平行，所以设直线2l 的方程为340x y m ++=，因为点(1,3)-在直线2l 上，所以3120m -++=，解得9m =-，所以直线2l 的方程为3490x y +-=；（2）因为直线1l 的方程为34120x y +-=，且2l 与1l 垂直，所以设直线2l 的方程为430x y n -+=，当0x =时，3n y =，当0y =时，4n x =-， 因为2l 与两坐标轴围成的三角形面积为6，所以16243n n⨯-⨯=，解得12n =或12n =-， 所以直线2l 的方程为43120x y -+=或43120x y --=. 19．（1）250x y -+=；（2）42150x y +-=.（1）BC 方程为2150x y +-=，AD BC ⊥，设直线AD 方程为20x y a -+=， 点(1,2)A -代入，得5a =，∴直线AD 的方程为250x y -+=.（2）AB ，AC 边的中点分别为E ，F ，∴EF 为ABC 的中位线，//EF BC ∴，且点A 到直线EF 的距离等于直线EF ，BC 之间的距离，设直线EF 的方程为20x y b ++=，=即|||15|b b =+，解得152b =-， ∴直线EF 的方程为42150x y +-=.20．（1）280x y -+=；（2）30.y -=．（1）因为所求直线与直线1l 平行，所以设所求直线方程为20x y C -+=(7)C ≠，因为所求直线经过点(3,2)M -，所以2(3)20C ⨯--+=，得8C =，所以所求直线方程为280x y -+=．（2）因为(32)(54)M N -，，，，所以线段MN 的中点为(1,3)， 联立27010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，得23x y =-⎧⎨=⎩，即直线1l 与2l 的交点为(2,3)-故所求直线方程为30.y -=21．（1）30x y -+=；（2）92. （1）∵倾斜角为45︒，∴斜率tan 451k =︒=， ∴直线l 的方程为：41y x -=-，即30x y -+=；（2）由（1）得30x y -+=，令0x =，则3y =，即与y 轴交点为()0,3； 令0y =，则3x =-，以及与x 轴交点为()3,0-；所以直线与坐标轴所围成的三角形面积为193322S =⨯⨯=. 22．（1）334,1313A ⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）9461020x y -+=；（3）2390x y --=. 【详解】（1）设(),A x y '，则221131223102y x x y x +⎧⨯=-⎪⎪+⎨--⎪⨯-⨯+=⎪⎩，解得3313413x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得334,1313A ⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）在直线m 上取一点，如()2,0M ，则()2,0M 关于直线l 的对称点M '必在直线m '上.设对称点(),M a b '则2023102202123a b b a ++⎧⨯-⨯+=⎪⎪⎨-⎪⨯=-⎪-⎩，可得630,1313M ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设直线m 与直线l 的交点为N ，则由23103260x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得()4,3N ， 又因为m '经过点()4,3N ，所以由两点式得直线m '的方程为9461020x y -+=. （3）因为//l l '，设l '的方程为()2301x y C C -+=≠，因为点()1,2--A 到两直线l ，l '的距离相等，=，解得9C =-(1=C 舍去)，所以l '的方程为2390x y --=.。
【人教A版】数学必修二：第三章《直线与方程》单元试卷(1)(Word版,含解析)
第三章过关检测(时间90分钟,满分100分)知识点分布表知识点 题号 分值 倾斜角与斜率 7,15 9 平行与垂直 4,5,9,11,12,13,18 22 直线的方程 2,3,4,5,6,8,11,12,15,18 36 交点坐标与距离公式1,10,12,14,16,1733一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1.动点P 到点A(3,3)的距离等于它到点B(1,－3)的距离,则动点P 的轨迹方程是( ) A.x ＋3y －2＝0B.x ＋3y ＋2＝0 C.3x ＋y ＋2＝0D.3x ＋y －2＝02.直线Ax ＋By ＋C ＝0与两坐标轴都相交的条件是( ) A.A 2＋B 2≠0 B.C ≠0 C.AB ≠0 D.AB ≠0,C ≠03.直线3x －2y ＝4的截距式方程是( )A.1243=-y x B.42131=-yxC.1243=-+y x D.1234=-+y x4.已知点P (3,2)与点Q (1,4)关于直线l 对称,则直线l 的方程为( ) A.x －y ＋1＝0B.x －y ＝0 C.x ＋y ＋1＝0D.x ＋y ＝05.过点P (－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( )A.2x ＋y －1＝0B.2x ＋y －5＝0C.x ＋2y －5＝0D.x －2y ＋7＝06.已知直线Ax ＋By ＋C ＝0在横轴上的截距大于在纵轴上的截距,则A 、B 、C 应满足的条件是( ) A.A ＞B B.A ＜B C.0>+B C A C D.0<-BCA C 7.已知点P (x ,－4)在点A(0,8)和B(－4,0)的连线上,则x 的值为( ) A.－2B.2C.－8D.－68.直线(m ＋2)x ＋(m 2－2m －3)y ＝2m 在x 轴上的截距为3,则实数m 的值为( ) A.56B.－6C.56- D.6 9.P 1(x 1,y 1)是直线l :f (x ,y )＝0上一点,P 2(x 2,y 2)是直线l 外一点,则方程f (x ,y )＋f (x 1,y 1)＋f (x 2,y 2)＝0所表示的直线与l 的位置关系是( ) A.重合B.平行C.垂直D.相交10.若点P (4,a )到直线4x －3y ＝1的距离不大于3,则a 的取值范围是( ) A.［0,10］ B.(0,10) C.]133,131[D.(－∞,0］∪［10,＋∞)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)11.P (－1,3)在直线l 上的射影为Q (1,－1),则直线l 的方程是_________.12.已知直线l :x －3y ＋2＝0,则平行于l 且与l 的距离为10的直线方程是_________. 13.若三条直线2x －y ＋4＝0,x －y ＋5＝0,2mx －3y ＋12＝0围成直角三角形,则m ＝__________.14.不论M 为何实数,直线l :(m －1)x ＋ (2m －1) y ＝m －5恒过一个定点,则此定点坐标为_______.三、解答题(本大题共4小题,共44分)15.(10分)求倾斜角为直线y ＝－x ＋1的倾斜角的31,且分别满足下列条件的直线方程: (1)经过点(－4,1); (2)在y 轴上的截距为－10.16.(10分)某供电局计划年底解决本地区最后一个村庄的用电问题,经过测量,若按部门内部设计好的坐标图(即以供电局为原点,正东方向为x 轴的正半轴,正北方向为y 轴的正半轴,长度单位千米),得到这个村庄的坐标是(15,20),离它最近的一条线路所在直线的方程为3x －4y －10＝0.问要完成任务,至少需要多长的电线?17.(10分)在△ABC 中,A (m ,2),B (－3,－1),C (5,1).若BC 的中点M 到AB 的距离大于M 到AC 的距离,试求实数M 的取值范围.18.(14分)一条光线经过P (2,3)点,射在直线l :x ＋y ＋1＝0上,反射后穿过点Q (1,1). (1)求入射光线的方程;(2)求这条光线从P 到Q 的长度.参考答案1解析：线段AB 的中点坐标是(2,0),AB 的斜率31333=-+=AB k , 又∵P 点的轨迹为过AB 的中点且与AB 垂直的直线, ∴)2(31--=x y ,即x ＋3y －2＝0. 答案：A2解析：直线与两坐标轴都相交,即直线不平行于坐标轴, 则A≠0,B≠0,即AB ≠0. 答案：C3解析：直线方程的截距式为1=+b y a x .由此可将方程化为1234=-+y x .答案：D4解析：由条件知,l 为PQ 的中垂线. ∵13124-=--=PQ k , ∴k l ＝1.又PQ 的中点为(2,3),∴由点斜式方程知,l 的方程为y －3＝x －2.∴x －y ＋1＝0. 答案：A5解析：设2x ＋y ＋c ＝0,又过点P (－1,3),则－2＋3＋c ＝0,c ＝－1,即2x ＋y －1＝0. 答案：A6解析：由条件,知A·B·C≠0.在方程Ax ＋By ＋C ＝0中,令x ＝0,得B C y -=;令y ＝0,得ACx -=. 由B C A C ->-,得0<-BCA C . 答案：D7解析：由条件知A 、B 、P 三点共线,由k AB ＝k AP 得x8448--=,∴x ＝－6. 答案：D8解析：由条件知直线在x 轴上截距为3,即直线过点(3,0),代入得3(m ＋2)＝2m . ∴m ＝－6. 答案：B9解析：f (x 1,y 1)＝0,f (x 2,y 2)＝常数,f (x ,y )＋f (x 1,y 1)＋f (x 2,y 2)＝0的斜率和f (x ,y )＝0的斜率相等,而与y 轴的交点不同,故两直线平行. 答案：B10解析：由点到直线的距离公式得3)3(4|136|22≤-+--a ,即15|153|≤-a ,∴|a －5|≤5.∴－5≤a －5≤5,即0≤a ≤10. 答案：A11解析：由已知l ⊥PQ ,21113-=--+=PQ k ,∴211=k . ∴l 的方程为)1(211-=+x y .∴x －2y －3＝0. 答案：x －2y －3＝012解析：设所求直线为x －3y ＋C ＝0,由两平行线间的距离,得1031|2|22=+-C ,解得C ＝12或C ＝－8.故所求直线方程为x －3y ＋12＝0或x －3y －8＝0. 答案：x －3y ＋12＝0或x －3y －8＝013解析：设l 1:2x －y ＋4＝0,l 2:x －y ＋5＝0,l 3:2mx －3y ＋12＝0,l 1不垂直l 2,要使围成的三角形为直角三角形,则l 3⊥l 1或l 3⊥l 2. 答案：43-或23- 14解法一:只要取两条直线求其交点即可,令M ＝1,则l 化为y ＝－4;令21=m 得l 方程为2921-=-x ,即x ＝9. 由⎩⎨⎧-==,4,9y x 得定点(9,－4).解法二:l 方程可化为M (x ＋2y －1)－x －y ＋5＝0, 由⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=+--=-+.4,9,05,012y x y x y x 得∴定点为(9,－4). 答案：(9,－4)15解:由于直线y ＝－x ＋1的斜率为－1,所以其倾斜角为135°,由题意知所求直线的倾斜角为45°,所求直线的斜率k ＝1.(1)由于直线过点(－4,1),由直线的点斜式方程得y －1＝x ＋4,即x －y ＋5＝0;(2)由于直线在y 轴上的截距为－10,由直线的斜截式方程得y ＝x －10,即x －y －10＝0. 16解:根据题意可知点(15,20)到直线3x －4y －10＝0的距离即为所求. ∴9545169|10204315|==+-⨯-⨯=d (千米). ∴至少需9千米长的电线. 17解:BC 的中点M 的坐标为(1,0), 设M 到AB ,AC 的距离分别为d 1,d 2, 当m ≠－3且m ≠5时,直线AB 的方程:32121++=++m x y ,即3x －(m ＋3)y ＋6－m ＝0. 直线AC 的方程:55121--=--m x y , 即x －(m －5)y ＋m －10＝0.所以由点到直线的距离公式得186|9|21++-=m m m d ,2610|9|22+--=m m m d .由题意得d 1＞d 2, 即2610|9|186|9|22+-->++-m m m m m m ,解得21<m . 当m ＝－3时,d 1＝4,65122=d 满足d 1＞d 2. 当m ＝5时,7341=d ,d 2＝4,不满足d 1＞d 2. 综上所述, 21<m 时满足题意. 18解:如下图.(1)设点Q ′(x ′,y ′)为Q 关于直线l 的对称点且QQ ′交l 于M 点. ∵1-=l k ,∴k QQ ′＝1.∴QQ ′所在直线方程为y －1＝1·(x －1), 即x －y ＝0. 由⎩⎨⎧=-=++,0,01y x y x解得l 与QQ ′的交点M 的坐标为)21,21(--. 又∵M 为QQ ′的中点,由此得⎩⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+.2',2',212'1,212'1y x ，y x 得解之∴Q ′(－2,－2).设入射光线与l 交点为N ,则P 、N 、Q ′共线. 又P (2,3),Q ′(－2,－2),得入射光线的方程为222232++=++x y , 即5x －4y ＋2＝0.(2)∵l 是QQ ′的垂直平分线,从而|NQ |＝|NQ ′|,∴|PN |＋|NQ |＝|PN |＋|NQ ′|＝|PQ ′|＝41)22()23(22=+++,即这条光线从P 到Q 的长度是41.。
人教A版必修二第三章直线与方程基础测试题
人教A 版必修二第三章直线与方程基础测试题一、单选题1．直线260x y -+=的斜率为（ ）A ．2B ．－2C ．12D ．12- 2．如果直线l 的倾斜角为6π，则该直线的斜率为（ ）A ．12B ．3CD 3．直线l 的方程是3260x y -+=，则直线l 经过（ ）A ．一、二、三象限B ．一、二、四象限C ．一、三、四象限D ．二、三、四象限 4．直线210x y -+=在x 轴上的截距是（ ）A ．1B ．1-C ．12-D ．125．已知点(),1M m -，()5,N m ，且MN =m 等于（ ） A ．1B ．3C ．1或3D ．1-或36．直线l 经过点()2,3P -，且倾斜角45α=︒，则直线的点斜式方程是（ ） A ．32y x +=-B ．32y xC ．23y x +=-D ．23y x -=+7．直线1y ax a =+-()a R ∈所过定点的坐标为（ ）A ．()1,1--B ．()1,1-C ．()1,1-D ．()1,1 8．过直线30x y +-=和260x y -+=的交点，且与直线230x y +-=垂直的直线方程是（ ）A ．4290x y +-=B ．4290x y -+=C ．290x y +-=D ．290x y -+=9．过点()4,3M -和()2,1N -的直线方程是（ ）A ．30x y -+=B ．10x y ++=C ．10x y --=D ．30x y +-=10．已知直线1l ：3420x y --=和直线2l ：3430x y -+=，则1l 与2l 之间的距离为（ ）A ．1BC ．2D ．311．若直线l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角的范围（ ）A ．π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．[)0,π C ．π,π2⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭12．若()2,3A -、()3,2B -、()1,C m 三点共线，则m 的值为（ ）A ．12B ．1-C ．2-D ．0二、填空题13．点()2,3P 到直线320x -=的距离为________14．若直线:120()l kx y k k R -++=∈不经过第四象限，则k 的取值范围为_______． 15．已知直线12:32,:1,l y x l y kx =+=+若12l l //，则k =______.16．已知直线1:10l mx y ++=，2:(1)20l x m y +-+=，若12l l ⊥，则m 值为________.三、解答题17．已知直线1l ：()2320m x y m -++=，2l ：60x my ++=（1）若直线1l 与2l 垂直，求实数m 的值；（2）若直线1l 与2l 平行，求实数m 的值．18．已知直线:3470l x y +-=（1）求直线l 的斜率；（2）若直线m 与l 平行，且过点(2,5)P -，求m 的方程.19．已知直线1l 的方程为34120x y +-=，分别求直线2l 的方程，使得： （1）2l 与1l 平行，且过点(1,3)-；（2）2l 与1l 垂直，且2l 与两坐标轴围成的三角形面积为6.20．已知点()13A ,，()3,1B ，()2,0-C ，（1）求直线AB 的方程；（2）求ABC 的面积.21．已知直线1l ： ()()212430m x m y m ++-+-=.(1)求证：无论m 为何实数，直线1l 恒过一定点M ；(2)若直线2l 过点M ，且与x 轴负半轴、y 轴负半轴围成三角形面积最小，求直线2l 的方程.22．已知直线1l 斜率为2-，在y 轴上的截距为2；直线2l 过定点()1,3，()2,4. （1）求直线1l ，2l 的方程；（2）求1l ，2l 的交点P 的坐标，并求点P 到坐标原点O 的距离.参考答案1．C【分析】根据直线方程求出直线的斜率即可．【详解】解：由260x y -+=，得：132y x =+， 故直线的斜率12k =， 故选：C ．2．B【分析】根据直线的斜率的定义可得选项．【详解】因为直线l 的倾斜角为6π，所以该直线的斜率为3tan 6π=， 故选：B ．3．A【分析】画出图形即可判断.【详解】画出直线图形如下：由图可得直线过一、二、三象限.故选：A.4．C【分析】令0y =，即可求出.【详解】因为当0y =时，12x =-，所以直线210x y -+=在x 轴上的截距是12-.故选：C.5．C【分析】根据两点间的距离公式可解得结果.【详解】因为||MN ===2430m m -+=，解得1m =或3m =， 故选：C6．A【分析】首先求出直线的斜率，再利用点斜式写出直线方程即可.【详解】因为倾斜角45α=︒，所以1k =.故直线方程为32y x +=-.故选：A7．A【分析】提取公因数a ，得()11y a x =+-，即得1x =-时，1y =-，即得定点.【详解】直线1y ax a =+-，整理得()11y a x =+-，故对于a R ∈，恒有1x =-时，1y =-.故直线恒过点()1,1--.故选：A.8．D【分析】联立30260x y x y +-=⎧⎨-+=⎩求出交点，再由垂直关系得出所求直线方程.【详解】联立30260x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得1x =-，4y =.设与直线230x y +-=垂直的直线方程是20x y m -+=将1x =-，4y =代入方程，解得9m =故所求方程为290x y -+=故选：D.9．B【分析】由两点式方程即可求出.【详解】 由两点式得，()()431324x y ---=----， 整理得10x y ++=.故选B.10．A【分析】由平行线间距离公式计算．【详解】由题意可知两直线平行，由平行线之间距离公式计算可得1d ==．故选：A ．11．D【分析】由直线l 的倾斜角为钝角得出答案.【详解】直线l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角为钝角即直线l 的倾斜角的范围为π,π2⎛⎫⎪⎝⎭故选：D12．D【分析】由已知条件得出AB AC k k =，结合斜率公式可求得实数m 的值.【详解】 由于()2,3A -、()3,2B -、()1,C m 三点共线，则AB AC k k =，即3232312m +-=--+，解得0m =. 故选：D.13．43【分析】由点到直线距离公式可直接求得结果.【详解】 由点到直线距离公式得：62433d -==. 故答案为：43. 14．[0,)+∞【分析】直线l 过定点()2,1-，根据点所在的象限可得斜率k 的取值范围.【详解】因为120kx y k -++=可化为()210k x y +-+=，故直线l 过定点()2,1-， 而()2,1-为第二象限中的点，且直线l 不经过第四象限，故斜率0k ≥. 故答案为：[0,)+∞.15．3【分析】根据平行可得两条直线斜率的关系，从而可得k 的值.【详解】因为12l l //，故3k =，而当3k =时，两条直线的纵截距不相等，故答案为：3.16．12【分析】本题考查两直线的垂直的条件，根据两直线垂直的条件列出关于m 的方程，求解.【详解】解：直线1:10l mx y ++=，2:(1)20l x m y +-+=，若12l l ⊥，则()1110m m ⨯+⨯-=, 解得12m =, 故答案为：12. 【点睛】两直线1110a x b y c ++=,2220a x b y c ++=垂直的充分必要条件是12120a a b b +=. 17．（1）12；（2）1-． 【分析】（1）由题意可得()2130m m -⨯+=，解方程即可求解；（2）由已知条件利用直线与直线平行的条件直接求解.【详解】（1）∵直线1l ：()2320m x y m -++=，2l ：60x my ++=，直线1l 与2l 垂直， ∴()2130m m -⨯+=， 解得12m =． （2）∵直线1l ：()2320m x y m -++=，2l ：60x my ++=，若直线1l 与2l 平行，∴23216m m m -=≠， 解得：1m =-． 18．（1）34-；（2）34140x y +-=. 【分析】（1）将直线变形为斜截式即可得斜率；（2）由平行可得斜率，再由点斜式可得结果.【详解】（1）由:3470l x y +-=，可得3743y x =-+， 所以斜率为34-； （2）由直线m 与l 平行，且过点(2,5)P -，可得m 的方程为35(2)4y x -=-+，整理得：34140x y +-=. 19．（1）3490x y +-=；（2）43120x y -+=或43120x y --=.【分析】（1）由于2l 与1l 平行，所以设直线2l 的方程为340x y m ++=，然后把点(1,3)-代入方程中可求出m 的值，从而可得直线2l 的方程，（2）由于2l 与1l 垂直，所以设直线2l 的方程为430x y n -+=，然后求出直线在坐标轴上的截距，由2l 与两坐标轴围成的三角形面积为6，列方程求出n 的值，从而可得直线2l 的方程，【详解】解：（1）因为直线1l 的方程为34120x y +-=，且2l 与1l 平行， 所以设直线2l 的方程为340x y m ++=，因为点(1,3)-在直线2l 上，所以3120m -++=，解得9m =-， 所以直线2l 的方程为3490x y +-=；（2）因为直线1l 的方程为34120x y +-=，且2l 与1l 垂直，所以设直线2l 的方程为430x y n -+=，当0x =时，3n y =，当0y =时，4n x =-， 因为2l 与两坐标轴围成的三角形面积为6， 所以16243n n ⨯-⨯=，解得12n =或12n =-， 所以直线2l 的方程为43120x y -+=或43120x y --=.【点睛】此题考查由平行、垂直关系求直线方程，考查计算能力，属于基础题20．（1）40x y +-=；（2）6【分析】（1）利用点斜式可求出直线方程；（2）求出高和底边长即可得面积.【详解】解：（1）由已知31113AB k -==--， 则:13AB l y x ， 即:40AB l x y ；（2）由（1）得点()2,0-C 到直线AB 243211， 又22133122AB ， 1223262ABC S .【点睛】本题考查直线方程的求解，点面距离，点点距离，是基础题.21．(1)无论m 为何实数，直线1l 恒过一定点(1,2)M --,(2) 240.x y ++=【解析】试题分析：()1直线()()1:212430l m x m y m ++÷+-=化为()()m 23240x y x y --+++=,联立230240x y x y --=⎧⎨++=⎩，解出即可得出结论． ()2设直线2l 的方程为()y 2k 1x +=+,k 0<,可得1214S 21422k k k k =-⋅-=--,由基本不等式可得．解析：（1）证明：1l ：()()()()21243023240m x m y m m x y x y ++-+-=⇒--+++=．23012402x y x x y y --==-⎧⎧⇒⎨⎨++==-⎩⎩则()1,2M -- 所以无论m 为何实数，直线1l 恒过一定点()1,2M --．（2）由题知直线2l 的斜率0k <，设直线2l ：()21y k x +=+，0, 2.x y k 令==- 20, 1.y x k ==-令 12141421224222S k k k k k k=-⋅-=--+=--，40,0,0.k k k ∴--> 44k k ∴--≥=， 4=2k k k当且仅当即时取等--=-， ()221y x ∴+=-+即：240x y ++=点睛：直线恒过定点在求解过程中先整理直线解析式，根据性质联立方程组即可求出直线恒过定点坐标，欲求面积最小值，给出面积表达式，利用基本不等式求解．22．（1）22y x =-+，20x y -+=；（2）()0,2，2.【分析】（1）由截距式得得1l 方程，求出2l 斜率，由点斜式得2l 方程，然后化为一般式； （2）列方程组妥之可得交点坐标，由两点间距离公式可得【详解】解：（1）由题意知，直线1l 的方程为22y x =-+， 即220x y +-=；设直线2l 的斜率为k ，则43121k -==-， 所以2l 的方程为31y x -=-，即20x y -+=； （2）联立20220x y x y -+=⎧⎨+-=⎩， 得02x y =⎧⎨=⎩， 所以交点坐标为()0,2，所以OP =2=。
人教版数学A版必修2第三章 直线与方程 测试题
第三章知识点直线与方程测试题（时间：120分钟满分：150分）学号：______ 班级：______ 姓名：______ 得分：______一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．斜率为2的直线经过点(3，5)，(a，7)，(－1，b)三点，则a、b的值为( )A．a＝4，b＝0 B．a＝－4，b＝－3C．a＝4，b＝－3 D．a＝－4，b＝32．点(1,1)到直线x＋y－1＝0的距离为( )A．1 B．2 C.22D. 23．如图，在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是( )4．若直线(a＋2)x＋(1－a)y＝3与直线(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，则a等于( )A．1 B．－1C．±1 D．－25．过点P(4，－3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有( ) A．1条 B．2条 C．3条D．4条6.若直线y ＝x ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点在第一象限，则实数k 的取值范围是( ) A.51,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ B.21,52⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.51,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D.21,52⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7.直线kx －y ＋1－3k ＝0，当k 变动时，所有直线都通过定点( )A ．(0，0)B ．(0，1)C ．(3，1)D ．(2，1)8.已知A(2,4)与B(3,3)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y ＝0B ．x －y ＝0C ．x ＋y －6＝0D ．x －y ＋1＝09.直线l 过点A(3,4)且与点B(－3,2)的距离最远，那么l 的方程为( )A ．3x －y －13＝0B ．3x －y ＋13＝0C ．3x ＋y －13＝0D ．3x ＋y ＋13＝010.若直线l 与直线y ＝1，x ＝7，分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13 C ．－32 D.2311.已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为( )A.79 B ．－13 C ．－79或－13 D.79或1312.等腰Rt △ABC 的直角顶点为C(3,3)，若点A 的坐标为(0,4)，则点B 的坐标可能是( )A ．(2,0)或(4,6)B ．(2,0)或(6,4)C ．(4,6)D ．(0,2)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中的横线上.）已知点A(－1,2)，B(－4,6)，则|AB|=________．14.已知点M(5,3)、N(－3,2)，若直线PM 和PN 的斜率分别为2和－74，则点P 的坐标为________． 15.已知点(m ，3)到直线x ＋y －4＝0的距离等于2，则m 的值为________．16.已知直线l 在y 轴上的截距是－3，它被两坐标轴截得的线段的长为5，则此直线的方程为________．解答题（本大题共6小题，共60分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(10分)已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求BC 边所在的直线方程，以及该边上的高线方程．18.(12分)已知直线l 平行于直线3x ＋4y －7＝0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l 的方程．19.(12分)求经过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程．20.(12分)已知两条直线l1：x ＋m2y ＋6＝0，l2：(m －2)x ＋3my＋2m ＝0，当m 为何值时，l1与l2(1)相交；(2)平行；(3)重合．21.(12分)直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2的距离为5，求直线l1与l2的方程．22.(12分)如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M(2，0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T(－1，1)在AD 边所在直线上．求：(1)AD 边所在直线的方程；DC 边所在直线的方程．参考答案一、选择题1.C2.C3.C4.C5.B6.A7.C8.D9.C 10.B11.C 12.A提示：1.由7－5a －3＝2，得a ＝4；由b －5－1－3＝2，得b ＝－3. 2.由点到直线的距离公式d ＝|1＋1－1|12＋12＝22. 3.当a>0时，A 、B 、C 、D 均不成立；当a<0时，只有C 成立．4.由题知(a ＋2)(a －1)＋(1－a)(2a ＋3)＝0，得a ＝±1.5.过原点的直线y ＝－34x ，截距不为零时x a ＋y a ＝1，代入，4a ＋－3a＝1，∴a ＝1，x ＋y －1＝0.6.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2k ＋1，y ＝－12x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝21－2k 3，y ＝2k ＋53.因为直线y ＝x ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 21－2k 3＞0，2k ＋53＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＜12，k ＞－52，所以－52＜k ＜12. 7.由kx －y ＋1－3k ＝0，得k(x －3)－(y －1)＝0，∴x ＝3，y ＝1，即过定点(3，1)．8.由已知得直线l 是线段AB 的垂直平分线，所以直线l 的斜率为1，且过线段中点57,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，由点斜式得方程为y －72＝x －52，化简得x －y ＋1＝0.故选D.9.因为过点A 的直线l 与点B 的距离最远，所以直线AB 垂直于直线l ，所以直线AB 的斜率为－3，由点斜式可得直线方程为3x ＋y －13＝0.故选C.10.设P(xP ，yP)，由题意及中点坐标公式，得xP ＋7＝2，解得xP ＝－5，∴P(－5,1)，∴直线l 的斜率k ＝1－－1－5－1＝－13. 11.由题意及点到直线的距离公式得，|－3a －4＋1|a2＋1＝|6a ＋3＋1|a2＋1，解得a ＝－13或－79. 12.根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ kAC ·kBC ＝－1，|BC|＝|AC|，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3－43－0·y －3x －3＝－1，x －32＋y －32＝0－32＋4－3 2. 整理可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝6，所以B(2,0)或B(4,6)．二、填空题13.514.(1，－5)15.－1或316.3x －4y －12＝0或3x ＋4y ＋12＝0提示：13.|AB|＝－1＋42＋2－62＝5.14.设P(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧ kPM ＝y －3x －5＝2，kPN ＝y －2x ＋3＝－74.解得x ＝1，y ＝－5.15.由点到直线的距离得|m ＋3－4|2＝ 2.解得m ＝－1，或m ＝3. 16.设直线在x 轴上的截距为a ，则a2＋32＝5，解得a ＝4或－4，所求直线方程为3x －4y －12＝0或3x ＋4y ＋12＝0.三、解答题17.解：由两点式得BC 的方程为：y ＋32＋3＝x －30－3，即5x ＋3y －6＝0，由kBC ＝－53得BC 的高线方程l 的斜率k1＝35， 所以l ：y ＝35(x ＋5)， 即所求直线方程为3x －5y ＋15＝0.18.解：设l ：3x ＋4y ＋m ＝0， 当y ＝0时，x ＝－m 3；当x ＝0时，y ＝－m 4. 因为直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为24， 所以12·|－m 3|·|－m 4|＝24.所以m ＝±24. 所以直线l 的方程为3x ＋4y ＋24＝0或3x ＋4y －24＝0.19.解：由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35，y ＝－75. 又因为所求直线与直线3x ＋y －1＝0平行，所以所求直线为y ＋75＝－3(x ＋35)．化简得3x ＋y ＋165＝0. 20.解：当m ＝0时，l1：x ＋6＝0，l2：x ＝0，所以l1∥l2； 当m ＝2时，l1：x ＋4y ＋6＝0，l2：3y ＋2＝0，所以l1与l2相交；当m ≠0且m ≠2时，由1m －2＝m23m ，得m ＝－1或m ＝3，由1m －2＝62m，得m ＝3. 故(1)当m ≠－1且m ≠3且m ≠0时，l1与l2相交；(2)当m ＝－1或m ＝0时，l1∥l2；(3)当m ＝3时，l1与l2重合．21.解：当l1，l2的斜率不存在，即l1：x ＝0，l2：x ＝5时，满足条件．当l1，l2的斜率存在时，设l1：y ＝kx ＋1，即kx －y ＋1＝0， l2：y ＝k(x －5)，即kx －y －5k ＝0，由两条平行直线间的距离公式得|1－－5k |k2＋－12＝5， 解得k ＝125. 此时l1：12x －5y ＋5＝0，l2：12x －5y －60＝0.综上所述，所求直线l1，l2的方程为l1：x ＝0，l2：x ＝5或l1：12x －5y ＋5＝0，l2：12x －5y －60＝0.22.解：(1)由题意：ABCD 为矩形，则AB ⊥AD ，又AB 边所在的直线方程为：x －3y －6＝0，所以AD所在直线的斜率kAD＝－3，而点T(－1，1)在直线AD上．所以AD边所在直线的方程为：3x＋y＋2＝0.(2)由ABCD为矩形可得，AB∥DC，所以设直线CD的方程为x－3y＋m＝0.由矩形性质可知点M到AB、CD的距离相等所以|2－3×0－6|1＋（－3）2＝|2－3×0＋m|1＋（－3）2,解得m＝2或m＝－6(舍)．所以DC边所在的直线方程为x－3y＋2＝0。
新人教A版)2020高中数学第三章直线与方程单元测试(二)必修2
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知直线l 经过两点()()1,2,2,1P Q -，那么直线l 的斜率为（ ）A ．3-B ．13-C ．13D ．32．直线l 过点P (－1,2)，倾斜角为45°，则直线l 的方程为（ ） A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x －y －3＝0D ．x －y ＋3＝03．如果直线ax ＋2y ＋2＝0与直线3x －y －2＝0平行，则a 的值为（ ） A ．－3 B ．－6C ．32D ．234．直线2x a －2y b ＝1在y 轴上的截距为（ ） A ．|b |B ．－b 2C ．b 2D ．±b5．已知点A (3,2)，B (－2，a )，C (8,12)在同一条直线上，则a 的值是（ ） A ．0B ．－4C ．－8D ．46．如果AB <0，BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0， 则实数m 的值是（ ） A ．－2B ．－7C ．3D ．18．经过直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＝5＝0的交点，并且经过原点的直线方程是（ ） A ．19x －9y ＝0 B ．9x ＋19y ＝0 C ．3x ＋19y ＝0D ．19x －3y ＝09．已知直线(3k －1)x ＋(k ＋2)y －k ＝0，则当k 变化时，所有直线都通过定点（ ） A ．(0,0)B ．(17，27) C ．(27，17) D ．(17，114) 10．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是（ ） A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝011．已知直线l 的倾斜角为135°，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于（ ） A ．－4 B ．－2 C ．0 D ．212．等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，若点A ，C 的坐标分别为(0,4)，(3,3)， 则点B 的坐标可能是（ ） A ．(2,0)或(4,6)B ．(2,0)或(6,4)C ．(4,6)D ．(0,2)二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．直线l 与直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率为_________．14．点A (3，－4)与点B (5,8)关于直线l 对称，则直线l 的方程为_________．15．若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为_________．16．若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°，其中正确答案的序号是_________．(写出所有正确答案的序号)三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(10分)已知直线l 经过点P (－2,5)且斜率为－34，（1）求直线l 的方程；（2）若直线m 平行于直线l ，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程．18．(12分)求经过两直线3x－2y＋1＝0和x＋3y＋4＝0的交点，且垂直于直线x＋3y＋4＝0的直线方程．19．(12分)已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，求一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离等于2．20．(12分)△ABC中，A(0,1)，AB边上的高CD所在直线的方程为x＋2y－4＝0，AC边上的中线BE所在直线的方程为2x＋y－3＝0．（1）求直线AB的方程；（2）求直线BC的方程；（3）求△BDE的面积．21．(12分)直线过点P (43，2)且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件： （1）△AOB 的周长为12； （2）△AOB 的面积为6．若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由．22．(12分)在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB ，AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合，如图，将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上． （1）若折痕所在直线的斜率为k ，试求折痕所在直线的方程； （2）当－2＋3≤k ≤0时，求折痕长的最大值．答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【答案】C【解析】根据斜率公式可得，直线l的斜率121213k-==--，故选C．2．【答案】D【解析】由题意k＝tan45°＝1，∴直线l的方程为y－2＝1·(x＋1)，即x－y＋3＝0，故选D．3．【答案】B【解析】由题意得a·(－1)－2×3＝0，∴a＝－6，故选B．4．【答案】B【解析】令x＝0，则y＝－b2，故选B．5．【答案】C【解析】根据题意可知k AC＝k AB，即12283--＝223a---，解得a＝－8，故选C．6．【答案】D【解析】Ax＋By＋C＝0可化为y＝－ABx－CB，由AB<0，BC<0，得－AB>0，－CB>0，故直线Ax＋By＋C＝0经过第一、二、三象限，不经过第四象限．故选D．7．【答案】C【解析】由已知条件可知线段AB的中点(12m+，0)在直线x＋2y－2＝0上，把中点坐标代入直线方程，解得m＝3，故选C．8．【答案】C【解析】解340250x yx y-+=⎧⎨-+=⎩得19737xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即直线l1，l2的交点是(－197，37)，由两点式可得所求直线的方程是3x＋19y＝0，故选C．9．【答案】C【解析】直线方程变形为k(3x＋y－1)＋(2y－x)＝0，则直线通过定点(27，17)．故选C．10．【答案】D【解析】将“关于直线对称的两条直线”转化为“关于直线对称的两点”：在直线x－2y＋1＝0上取一点P(3,2)，点P关于直线x＝1的对称点P′(－1,2)必在所求直线上，故选D．11．【答案】B【解析】因为l 的斜率为tan135°＝－1，所以l 1的斜率为1，所以k AB ＝()213a---＝1，解得a ＝0．又l 1∥l 2，所以－2b＝1，解得b ＝－2，所以a ＋b ＝－2，故选B ． 12．【答案】A【解析】设B (x ，y )，根据题意可得1AC BC k k BC AC ⋅=-⎧⎪⎨=⎪⎩，即3431303y x --⎧⋅=-⎪--⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝6，所以B (2,0)或B (4,6)．故选A ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．【答案】－23【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 22＝－1，又y 1＝1，∴y 2＝－3，代入方程x －y －7＝0，得x 2＝4，即B (4，－3)，又x 1＋x 22＝1，∴x 1＝－2，即A (－2,1)，∴k AB ＝()3142----＝－23．14．【答案】x ＋6y －16＝0【解析】直线l 就是线段AB 的垂直平分线，AB 的中点为(4,2)，k AB ＝6， 所以k l ＝－16，所以直线l 的方程为y －2＝－16(x －4)，即x ＋6y －16＝0．15．【答案】3 2【解析】依题意，知l 1∥l 2，故点M 所在直线平行于l 1和l 2，可设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式，得|m ＋7|2＝|m ＋5|2⇒|m ＋7|＝|m ＋5|⇒m ＝－6，即l ：x ＋y －6＝0，根据点到直线的距离公式，得M 到原点的距离的最小值为|－6|2＝32．16．【答案】①⑤【解析】两平行线间的距离为d ＝|3－1|1＋1＝2，由图知直线m 与l 1的夹角为30°，l 1的倾斜角为45°，所以直线m 的倾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）3x ＋4y －14＝0；（2）3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0． 【解析】（1）直线l 的方程为：y －5＝－34(x ＋2)整理得3x ＋4y －14＝0．（2）设直线m 的方程为3x ＋4y ＋n ＝0，d＝3，解得n ＝1或－29．∴直线m 的方程为3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0． 18．【答案】3x －y ＋2＝0．【解析】解法一：设所求直线方程为3x －2y ＋1＋λ(x ＋3y ＋4)＝0，即(3＋λ)x ＋(3λ－2)y ＋(1＋4λ)＝0，由所求直线垂直于直线x ＋3y ＋4＝0， 得－13·(－3＋λ3λ－2)＝－1，解得λ＝310，故所求直线方程是3x －y ＋2＝0．解法二：设所求直线方程为3x －y ＋m ＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＋1＝0，x ＋3y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即两已知直线的交点为(－1，－1)．又3x －y ＋m ＝0过点(－1，－1)，故－3＋1＋m ＝0，m ＝2． 故所求直线方程为3x －y ＋2＝0． 19．【答案】P (1，－4)或P (277，－87)． 【解析】解法1：设点P (x ，y )．因为|PA |＝|PB |，① 又点P 到直线l 的距离等于2，所以|4x ＋3y －2|5＝2．②由①②联立方程组，解得P (1，－4)或P (277，－87)．解法2：设点P (x ，y )．因为|PA |＝|PB |，所以点P 在线段AB 的垂直平分线上．由题意知k AB ＝－1，线段AB 的中点为(3，－2)，所以线段AB 的垂直平分线的方程是y ＝x －5，所以设点P (x ，x －5)．因为点P 到直线l 的距离等于2，所以()|4352|5x x +--＝2，解得x ＝1或x ＝277，所以P (1，－4)或P (277，－87)．20．【答案】（1）2x －y ＋1＝0；（2）2x －y ＋1＝0；（3）110．【解析】（1）由已知得直线AB 的斜率为2，∴AB 边所在的直线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0．（2）由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，2x ＋y －3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2.即直线AB 与直线BE 的交点为B (12，2)．设C (m ，n )，则由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2n －4＝0，2·m 2＋n ＋12－3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1，∴C (2,1)．∴BC 边所在直线的方程为y －12－1＝x －212－2，即2x ＋3y －7＝0．（3）∵E 是线段AC 的中点，∴E (1,1)．∴|BE |＝52，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，x ＋2y －4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝95，∴D (25，95)，∴D 到BE 的距离为d ＝|2×25＋95－3|22＋12＝255，∴S △BDE ＝12·d ·|BE |＝110． 21．【答案】）存在，3x ＋4y －12＝0． 【解析】设直线方程为x a ＋yb＝1(a >0，b >0)， 若满足条件(1)，则a ＋b ＋a 2＋b 2＝12 ① 又∵直线过点P (43，2)，∵43a ＋2b＝1．②由①②可得5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝125，b ＝92，∴所求直线的方程为x 4＋y 3＝1或5x 12＋2y9＝1，即3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0，若满足条件(2)，则ab ＝12，③ 由题意得，43a ＋2b ＝1，④由③④整理得a 2－6a ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝6，∴所求直线的方程为x 4＋y 3＝1或x 2＋y6＝1，即3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0．综上所述：存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程，为3x ＋4y －12＝0．22．【答案】（1）y ＝kx ＋k 22＋12；（2）2(6－2)．【解析】(1)①当k ＝0时，A 点与D 点重合，折痕所在的直线方程为y ＝12．②当k ≠0时，将矩形折叠后A 点落在线段DC 上的点记为G (a,1)， ∴A 与G 关于折痕所在的直线对称，有k OG ·k ＝－1⇒1a·k ＝－1⇒a ＝－k ，故G 点坐标为(－k,1)，从而折痕所在直线与OG 的交点坐标(即线段OG 的中点)为M (－k 2，12)．故折痕所在的直线方程为y －12＝k (x ＋k 2)，即y ＝kx ＋k 22＋12．由①②得折痕所在的直线方程为y ＝kx ＋k 22＋12．(2)当k ＝0时，折痕的长为2．当－2＋3≤k ＜0时，折痕所在直线交直线BC 于点E (2，2k ＋k 22＋12)，交y 轴于点N (0，k 2＋12)．则|NE |2＝22＋[k 2＋12－(2k ＋k 22＋12)]2＝4＋4k 2≤4＋4(7－43)＝32－163． 此时，折痕长度的最大值为32－163＝2(6－2)． 而2(6－2)＞2，故折痕长度的最大值为2(6－2)．。
2021年人教A版必修2数学第3章_直线与方程单元测试卷含答案
2021年人教A版必修2数学第3章直线与方程单元测试卷含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（本题共计 11 小题，每题 5 分，共计55分，）1. 若点P(m,n)在直线x+y−2=0上，则m2+n2的最小值是( )A.2√2B.2C.√2D.162. 已知直线l经过点A(1, 3)，B(−2, −5)，则直线l的斜率为( )A.−2B.−83C.2 D.833. 在平面直角坐标系xOy中，M,N分别是x轴正半轴和y=x(x>0)图像上的两个动点，且|MN|=√2，则|OM|2+|ON|2的最大值是()A.4−2√2B.43C.4D.4+2√24. 若直线x+(1+m)y−2=0和直线mx+2y+4=0平行，则m的值为()A.1B.−2C.1或−2D.−235. “a=−1”是“直线ax+(2a−1)y+1=0和直线3x+ay+3=0垂直”的（）A.充分不必要的条件B.必要不充分的条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6. 已知两条直线l1:kx+(1−k)y−3=0和l2：(k−1)x+2y−2=0互相垂直，则k=()A.1或−2B.−1或2C.1或2D.−1或−27. 经过点(1,0)且与直线x−2y−2=0平行的直线方程为( )A.x−2y−1=0B.x−2y+1=0C.2x+y−2=0D.2x−y−2=08. 已知A(1,4),B(−3,2)，直线l：ax+y+2=0，若直线l过线段AB的中点，则a=()A.−5B.5C.−4D.49. 直线x−2y=0与直线2x−4y+a=0的距离为√5，则a的值为（）A.±5B.±10C.10D.2√510. 已知直线l在x轴上的截距是−5，在y轴上的截距是6，则直线l的方程是( )A.6x−5y+30=0B.6x+5y−30=0C.6x−5y−30=0D.6x+5y+30=011. 已知P1(a1, b1)与P2(a2, b2)是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于的解的情况是( )x和y的方程组{a1x+b1y=1，a2x+b2y=1A.无论k，P1，P2如何，总是无解B.无论k，P1，P2如何，总有唯一解C.存在k，P1，P2，使之恰有两解D.存在k，P1，P2，使之有无穷多解二、填空题（本题共计 4 小题，每题 6 分，共计24分，）12. 求直线x+y−3=0关于A(6, 8)对称直线方程________．13. 若点(1,t)在过点(0,1)和(3,4)的直线上，则实数t的值为________.14. 经过点R(−2, 3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是________．15. 已知实数x、y满足关系式5x+12y−60＝0，则的最小值为________三、解答题（本题共计 6 小题，每题 11 分，共计66分，）16. 写出满足下列条件的直线的方程：（1）过点(3, 2)，斜率为2；3（2）过点(−1, 2)，斜率为√3；（3）过点(0, 2)，斜率为−1；（4）过点(−3, 1)，平行于x轴；（5）过点(2, −1)，(−2, 3)；（6）过点(−3, 1)，(1, 4)．17. 已知△ABC 的顶点A (2,3),B (−1,0),C (2,0)，求△ABC 的周长．18. 经过点P (1,−1)作直线l ，若直线l 与线段AB 总有公共点，且A (2,−2)，B (4,2).(1)求当斜率为12，−12时直线l 的方程；(2)求直线l 的斜率k 的范围.19. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点D (1,2)为正方形OABC 的中心．(1)求直线OD 的方程；(2)若M ，N 分别是OA ，OC 的中点，求直线MN 的方程．20. 已知直线l 1:3x +4y −7＝0与l 2:3x +4y +8＝0．（1）若A(x 1, y 1)、B(x 2, y 2)两点分别在直线l 1、l 2上运动，求AB 的中点D 到原点的最短距离；（2）若M(2, 3)，直线l 过点M ，且被直线l 1、l 2截得的线段长为3，求直线l 的方程．21. 已知△ABC 的顶点A 的坐标为(2,−4)，C 的坐标为(8,−1)，∠B 的平分线所在的直线方程为x +y −2=0.(1)求BC 所在的直线方程；(2)求点B 的坐标．参考答案与试题解析2021年人教A 版必修2数学第3章 直线与方程单元测试卷含答案一、 选择题 （本题共计 11 小题 ，每题 5 分 ，共计55分 ）1.【答案】B【考点】点到直线的距离公式【解析】m 2+n 2表示原点到点P 距离的平方．利用点到直线的距离公式求解即可.【解答】解：∵ 点P (m,n )在直线x +y −2=0上，∴ m 2+n 2表示原点到点P 距离的平方．又原点到直线x +y −2=0的距离为√2， ∴ m 2+n 2的最小值为(√2)2=2. 故选B ．2.【答案】D【考点】直线的斜率【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ 直线l 过点A(1, 3)，B(−2, −5)，∴ 斜率=3+51+2=83. 故选D .3.【答案】D【考点】两点间的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：由题可设，M(a,a),N(b,0),a >0,b >0，则(a −b)2+a 2=2，所以2a 2+b 2=2+2ab ≥2√2ab ， 即2√2−2=1+√2≥ab ，因为|OM|2+|ON|2=b2+2a2≥2√2ab=2√2+4，当且仅当b=√2a时，上式取等号，故|OM|2+|ON|2的最大值是4+2√2.故选D.4.【答案】A【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】由直线平行可得1×2−(1+m)m=0，解方程排除重合可得．【解答】解：∵直线x+(1+m)y−2=0和直线mx+2y+4=0平行，∴1×2−(1+m)m=0，解得m=1或−2，当m=−2时，两直线重合．∴m=1故选A．5.【答案】A【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【解析】当a=−1时直线ax+(2a−1)y+1=0的斜率和直线3x+ay+3=0的斜率都存在，只要看是否满足k1⋅k2=−1即可．【解答】，直线3x+ay+3=0的斜率是3，当a=−1时直线ax+(2a−1)y+1=0的斜率是−13∴满足k1⋅k2=−1a=0时，直线ax+(2a−1)y+1=0和直线3x+ay+3=0垂直，∴a=−1是直线ax+(2a−1)y+1=0和直线3x+ay+3=0垂直的充分条件．6.【答案】C【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】根据直线的一般式方程垂直的条件，直接代入即可求解K的值【解答】解：∵直线l1:kx+(1−k)y−3=0和l2：(k−1)x+2y−2=0互相垂直∴k(k−1)+2(1−k)=0∴k2−3k+2=0∴k=2或k=1故选：C．7.【考点】直线的点斜式方程两条直线平行与倾斜角、斜率的关系【解析】此题暂无解析【解答】解：所求直线与直线x−2y−2=0平行，．故所求直线的斜率k=12又直线过点(1,0)，(x−1)，利用点斜式得所求直线的方程为y−0=12即x−2y−1=0．故选A．8.【答案】B【考点】待定系数法求直线方程中点坐标公式【解析】此题暂无解析【解答】解：因为A(1,4),B(−3,2)，所以线段AB的中点为(−1,3)，因为直线l过线段AB的中点，所以−a+3+2=0，解得a=5，故选B.9.【答案】B【考点】两条平行直线间的距离【解析】利用两条平行线之间的距离公式即可得出．【解答】解：直线x−2y=0化为2x−4y=0，∵直线x−2y=0与直线2x−4y+a=0的距离为√5，∴=√5，√22+(−4)2化为|a|=10，解得a=±10．故选：B．10.【考点】各直线方程式之间的转化直线的一般式方程直线的截距式方程【解析】利用截距式的直线方程，再化为一般式.【解答】解：已知直线l在x轴上截距−5，在y轴上的截距6，由截距式得：x−5+y6=1，化为一般式，得6x−5y+30=0.故选A.11.【答案】B【考点】方程组解的个数与两直线的位置关系斜率的计算公式【解析】判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出a1，b1，P2，a2，b2的关系，然后求解方程组的解即可．【解答】解：P1(a1, b1)与P2(a2, b2)是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y= kx+1的斜率存在，∴k=b2−b1a2−a1，即a1≠a2，并且b1=ka1+1，b2=ka2+1，∴a2b1−a1b2=ka1a2−ka1a2+a2−a1=a2−a1，{a1x+b1y=1①a2x+b2y=1②①×b2−②×b1得：(a1b2−a2b1)x=b2−b1，即(a1−a2)x=b2−b1．∴方程组有唯一解．故选B.二、填空题（本题共计 4 小题，每题 6 分，共计24分）12.【答案】x+y−25=0【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程【解析】设直线x+y−3=0关于A(6, 8)对称直线上任意一点P(x, y)，则P(x, y)关于A(6, 8)的对称点(12−x, 16−y)在直线x′+y′−3=0上，代入即可得出．【解答】解：设直线x+y−3=0关于A(6, 8)对称直线上任意一点P(x, y)，则P(x, y)关于A(6, 8)的对称点(12−x, 16−y)在直线x′+y′−3=0上，∴12−x+16−y−3=0，化为x+y−25=0．故要求的直线方程为：x+y−25=0．故单为：x+y−25=0．13.【答案】2【考点】直线的点斜式方程三点共线【解析】此题暂无解析【解答】解：过点(0,1)和(3,4)的直线方程为y=x+1，当x=1时，y=2，∴t=2.故答案为：2.14.【答案】y=−3x或x+y−1=02【考点】直线的截距式方程【解析】分类讨论：当直线经过原点时，当直线不经过原点时两种情况，求出即可．【解答】x；解：①当直线经过原点时，直线方程为y=−32②当直线不经过原点时，设所求的直线方程为x+y=a，则a=−2+3=1，因此所求的直线方程为x+y=1．x或x+y−1=0．故答案为：y=−3215.【答案】【考点】点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（本题共计 6 小题，每题 11 分，共计66分）16.【答案】过点(3, 2)，斜率为23，则直线的方程为y −2=23(x −3)，变形可得2x −3y ＝0； 过点(−1, 2)，斜率为√3；则直线的方程为y −2=√3(x +1)，变形可得√3x −y +2+√3=0；过点(0, 2)，斜率为−1；则直线的方程为y −2＝−x(x −0)，变形可得x +y −2＝0； 过点(−3, 1)，平行于x 轴；则直线的方程为y ＝1，过点(2, −1)，(−2, 3)；直线的斜率k =3−(−1)(−2)−2=−1，则直线的方程为y −3＝−(x +2)，变形可得x +y −1＝0；过点(−3, 1)，(1, 4)；直线的斜率k =4−11−(−3)=34，则直线的方程为y −1=34(x +3)，变形可得3x −4y +13＝0．【考点】直线的斜率【解析】对于（1）（2）（3），由直线的点斜式方程求出直线的方程，变形为一般式方程即可； 对于（4）（5）（6），先分析直线的斜率，由直线的点斜式方程求出直线的方程，变形为一般式方程即可．【解答】过点(3, 2)，斜率为23，则直线的方程为y −2=23(x −3)，变形可得2x −3y ＝0； 过点(−1, 2)，斜率为√3；则直线的方程为y −2=√3(x +1)，变形可得√3x −y +2+√3=0；过点(0, 2)，斜率为−1；则直线的方程为y −2＝−x(x −0)，变形可得x +y −2＝0； 过点(−3, 1)，平行于x 轴；则直线的方程为y ＝1，过点(2, −1)，(−2, 3)；直线的斜率k =3−(−1)(−2)−2=−1，则直线的方程为y −3＝−(x +2)，变形可得x +y −1＝0；过点(−3, 1)，(1, 4)；直线的斜率k =4−11−(−3)=34，则直线的方程为y −1=34(x +3)，变形可得3x −4y +13＝0．17.【答案】解：|AB|=√(2+1)2+32=3√2，|BC|=√(2+1)2+0=3,|AC|=√(2−2)2+32=3，则△ABC 的周长为6+3√2.【考点】两点间的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：|AB|=√(2+1)2+32=3√2，|BC|=√(2+1)2+0=3,|AC|=√(2−2)2+32=3，则△ABC 的周长为6+3√2.18.【答案】解：(1)由题知，当斜率为12时，直线l 的方程为y −(−1)=12(x −1)，即x −2y −3=0； 当斜率为−12时，直线l 的方程为y −(−1)=−12(x −1)，即x +2y +1=0.(2)k PA =−2−(−1)2−1=−1，k PB =2−(−1)4−1=1.因为l 与线段AB 相交，所以k PA ≤k ≤k PB ，所以−1≤k ≤1．【考点】直线的点斜式方程斜率的计算公式【解析】【解答】解：(1)由题知，当斜率为12时，直线l 的方程为y −(−1)=12(x −1)，即x −2y −3=0； 当斜率为−12时，直线l 的方程为y −(−1)=−12(x −1)，即x +2y +1=0.(2)k PA =−2(−1)2−1=−1，k PB =2−(−1)4−1=1，因为l 与线段AB 相交，所以k PA ≤k ≤k PB ．所以−1≤k ≤1．19.【答案】解：(1)设直线OD 的方程为y =kx ，将D (1,2)代入，得k =2，所以直线OD 的方程为y =2x ．(2)因为k OD =2，AC ⊥OD ，所以k AC =−12，因为M ，N 分别是OA ，OC 的中点，所以MN//AC ，所以k MN =−12，又OD的中点坐标为(12,1)，所以直线MN的方程为y−1=−12(x−12)，即y=−12x+54．【考点】待定系数法求直线方程直线的点斜式方程【解析】（1）设直线OD的方程为y=kx，将D(1,2)代入解得k=2，所以直线OD的方程为y=2x．【解答】解：(1)设直线OD的方程为y=kx，将D(1,2)代入，得k=2，所以直线OD的方程为y=2x．(2)因为k OD=2，AC⊥OD，所以k AC=−12，因为M，N分别是OA，OC的中点，所以MN//AC，所以k MN=−12，又OD的中点坐标为(12,1)，所以直线MN的方程为y−1=−12(x−12)，即y=−12x+54．20.【答案】设与直线l1及l2平行且到此两条直线的距离相等的直线上的任意一点为P(x, y)，则＝，化为：6x+8y−1＝0，可得：AB的中点D到原点的最短距离为原点O到上述直线的距离＝＝；设要求的直线方程为：y−3＝k(x−2)，分别联立：，，解得：，，由题意可得：＝3，化为：11k2+24k+4＝0，解得k＝−2，或-．∴直线l的方程为：y＝−2x+7，或y＝-x+．【考点】直线的一般式方程与直线的性质【解析】（1）设与直线l1及l2平行且到此两条直线的距离相等的直线上的任意一点为P(x, y)，可得：＝，化简即可得出方程．可得：AB的中点D到原点的最短距离为原点O到上述直线的距离．（2）设要求的直线方程为：y−3＝k(x−2)，分别联立：，，解得交点，利用两点之间的距离公式进而得出结论．【解答】设与直线l1及l2平行且到此两条直线的距离相等的直线上的任意一点为P(x, y)，则＝，化为：6x+8y−1＝0，可得：AB的中点D到原点的最短距离为原点O到上述直线的距离＝＝；设要求的直线方程为：y−3＝k(x−2)，分别联立：，，解得：，，由题意可得：＝3，化为：11k 2+24k +4＝0， 解得k ＝−2，或-．∴ 直线l 的方程为：y ＝−2x +7，或y ＝-x +．21. 【答案】解：(1)因为点A 关于∠B 的平分线所在直线的对称点在直线BC 上， 设点A 关于∠B 的平分线所在直线的对称点为A ′(m,n )，则 {n+4m−2⋅(−1)=−1，m+22+n−42−2=0，解得m =6，n =0，故A ′(6,0).由两点式y−0−1−0=x−68−6，整理得x +2y −6=0，即BC:x +2y −6=0.(2)B 点在∠B 的平分线所在直线上，也在边BC 所在直线上， 解{x +2y −6=0，x +y −2=0，得x =−2，y =4， 故B (−2,4).【考点】两条直线的交点坐标直线的一般式方程与直线的性质直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系【解析】【解答】解：(1)因为点A 关于∠B 的平分线所在直线的对称点在直线BC 上， 设点A 关于∠B 的平分线所在直线的对称点为A ′(m,n )，则 {n+4m−2⋅(−1)=−1，m+22+n−42−2=0，解得m =6，n =0，故A ′(6,0).由两点式y−0−1−0=x−68−6，整理得x +2y −6=0，即BC:x +2y −6=0.(2)B 点在∠B 的平分线所在直线上，也在边BC 所在直线上， 解{x +2y −6=0，x +y −2=0，得x =−2，y =4， 故B (−2,4).。
高中数学第三章 直线与方程单元测试新课标人教A版必修2
学生眼中的直线题：很有意思的解法
1、设a、b满足a+2b-2=0，则直线ax+3y+b=0必经过点（）
A.(1／2,-1／3) B（-1／3,1／2） C（1／3,1／2） D（-1／2,1／3）
学生这样想：比较两式的对应项
a+2b-2=0 （1）
ax+3y+b=0 （2）
将（1）改为： a -2 +2b=0 （3）
将（2）改为： 2ax+6y+2b=0 （4）
比较（3）（4）得2x=1 ，6y=－2
解得：x=1／2， y=-1／3
选A
2、已知点A（1，3），B（3,1）C（-1,0）,则△ABC的面积为
学生的想法是：
将△ABC放入矩形中，用矩形DECF面积减去3个小三角形面积得△ABC的面积矩形面积为：DE×EC=3×4=12
3个小三角形面积： 1／2（BE×CE＋BD×AD＋AF×CF）=7
所以△ABC的面积： 12-7=5
以下两题也是与初中知识联系，学生喜欢做、可以掌握的题：
3、已知点A（2,5）,B （4,-1）若在y轴上存在一点p，使︱PA︱＋︱PB︱最小，
则点p的坐标（0，3）
4、已知点A（2,5）,B （4,-7）若在y轴上存在一点p，使︱︱PA︱－︱PB︱︱
最大，则点p的坐标（0，17）
应用的是三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，相求和最小、
差最大，应该令A、B、P在同一直线上。
5、三条直线x－y=0、x－y-2=0、5x－ky-15=0构成一个三角形，则k的取值范
围是
本题学生易错在忽略三线共点的情况。
人教A版必修二第三章直线与方程综合测试题
人教A 版必修二第三章直线与方程综合测试题一、单选题1．在平面直角坐标系中，直线x y -0=的倾斜角是（ ） A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．3π42．若直线(1)2m x y m +++=与直线42180x my m +++=平行，则实数m 的值等于（ ）A ．1B ．2-C ．1或2-D ．1-或2- 3．过点()1,0且与直线220x y --=垂直的直线的方程是（ ）A ．220x y +-=B ．210x y -+=C ．210x y --=D ．210x y +-= 4．已知ab ＜0，bc ＞0，则直线ax ＋by ＋c ＝0通过（ ）象限A ．第一、二、三B ．第一、二、四C ．第一、三、四D ．第二、三、四 5．已知直线l 经过点()0,4A ，且与直线230x y --=垂直，则直线l 的方程是（ ） A ．280x y +-=B ．280x y ++=C ．240x y +-=D ．240x y -+=6．顺次连接点()4,3A -，()2,5B ，()3,2C ，()3,0D -所构成的图形是（ ） A ．平行四边形 B ．直角梯形 C ．等腰梯形 D ．以上都不对 7．点()0,1到直线1y kx =-距离的最大值是（ ）A ．1BCD ．28．已知(43)A -，，(21)B -，和直线l ：4320x y +-=，若在坐标平面内存在一点P ，使||||PA PB =，且点P 到直线l 的距离为2，则P 点坐标为（ ）A ．21()33-，或(1)4-， B ．(1)4-，或6(1)5， C ．(1)4-，或278()77-， D ．6(1)5，或278()77-， 9．已知直线l ：20ax y a -+-=的横截距与纵截距相等，则a 的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．1-或2 D ．210．已知直线1l ：20ax y +-=，2l ：()()32100,0a x by a b +-+=>>互相垂直，则a b的取值范围为（ ）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭ D ．()3,+∞11．P 、Q 分别为3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋6＝0上任一点，则|PQ |的最小值为 ( ) A ．95 B ．185 C ．3 D ．612．已知直线1l ：10ax y -+=，2l ：10x ay ++=，a R ∈，以下结论不正确的是（ ）A ．不论a 为何值时，1l 与2l 都互相垂直B ．当a 变化时，1l 与2l 分别经过定点()0,1A 和()1,0B -C ．不论a 为何值时，1l 与2l 都关于直线0x y +=对称D ．如果1l 与2l 交于点M ，则MO第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．经过点P (1，-2)且与两个坐标轴上的截距相等的直线方程____________.14．已知直线l 的倾斜角为135°，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于_______15．过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为_________．16．已知点()5,0A ，()0,4B ，动点P ，Q 分别在直线2y x =+和y x =上，且PQ 与两直线垂直，则AQ QP PB ++的最小值为______.三、解答题17．求经过直线1:3450l x y +-=，2:2380l x y -+=的交点M ，且满足下列条件的直线的方程.（1）经过点()1,3P ；（2）与直线250x y ++=平行.18．已知1:60l x my ++=，()2:2320l m x y m -++=，分别求m 的值，使得1l 和2l ， （1）垂直；（2）平行；19．已知直线1l 的方程为240x y +-=，若2l 在x 轴上的截距为32，且12l l ⊥. （1）求直线1l 与2l 的交点坐标； （2）已知直线3l 经过1l 与2l 的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求3l 的方程．20．已知()1,2A ，直线l 经过直线250x y +-=与直线20x y -=的交点P ． （1）若直线l 与直线3250x y ++=平行，求直线l 的方程；（2）当点A 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程．21．根据所给条件求直线的方程：（1）直线过点()3,4-，且在两坐标轴上的截距之和为12；（2）直线m ：3260x y --=关于直线l ：2310x y -+=的对称直线m '的方程． 22．已知平行四边形ABCD 的三个顶点坐标为(2,1),(4,1),(2,3).A B C --（1）求平行四边形ABCD 的顶点D 的坐标；（2）求平行四边形ABCD 的面积；（3）在ABC 中，求外心M 的坐标.参考答案1．B【分析】由直线方程得斜率，从而得倾斜角．【详解】由直线方程知直角斜率为1，在[0,)π上正切值为1的角为4π，即为倾斜角． 故选：B ．2．A【分析】利用两直线平行斜率相等且截距不相等或斜率都不存在即可求解.【详解】直线(1)2m x y m +++=的斜率为()11k m =-+，斜率存在，直线42180x my m +++=的斜率为：242k m =-， 若两直线平行则()412m m -+=-，即220m m +-=， 解得：2m =-或1m =，当2m =-时两直线重合，所以1m =，故选：A3．A【分析】由垂直得直线斜率，写出点斜式方程后化简即可得．【详解】与直线220x y --=垂直的直线的斜率为2-，所求直线方程为2(1)y x =--，即220x y +-=．故选：A ．【点睛】本题考查两直线垂直的条件，由两直线垂直求直角方程，解题方法是垂直求得斜率，然后可得直线方程．4．C【分析】将方程整理为斜截式，即可根据斜率以及y 轴上的截距的正负判断直线经过的象限.【详解】0ax by c 等价于a c y x b b=--， 根据题意0,ab <∴0a b->，故直线必经过第一、三象限； 又因为0,bc >∴0c b-<，故直线必经过第三、四象限， 故直线必经过第一、三、四象限.故选：C.【点睛】本题考查由直线方程的系数，确定直线经过的象限，属基础题.关键是转化为斜截式，然后根据斜率和截距的正负进行判定.5．A【分析】由直线垂直可得直线l 的斜率，再由点斜式方程即可得解.【详解】因为直线230x y --=的斜率为2，直线l 与该直线垂直，所以直线l 的斜率12l k =-， 又直线l 经过点()0,4A ，所以直线l 的方程为142y x -=-即280x y +-=. 故选：A.6．A【分析】由四个点的坐标可求出AB k ，BC k ，CD k ，AD k 根据斜率关系以及线段的长度，即可得结果.【详解】因为()4,3A -，()2,5B ，()3,2C ，()3,0D -，所以()531243AB k -==--，52323BC k -==--，()201333CD k -==--，()30343AD k -==---- 所以AB CD k k =，BC AD k k =，所以四边形ABCD 是平行四边形.故选：A【点睛】本题主要考查了两直线平行的条件，考查了直线的斜率公式，属于基础题.7．D【分析】由点到直线距离公式求得距离，然后由函数的知识得最大值．【详解】由题意所求点到直线距离为d ==1≥，当且仅当0k =时等号成立，所以2≤d ．d 的最大值为2．故选：D ．8．C【分析】设点P 的坐标为()a b ，，根据||||PA PB =，点P 到直线l 的距离为2，联立方程组即可求解.【详解】设点P 的坐标为()a b ，，线段AB 的中点M 的坐标为(32)-，， 31142AB k -+==--， ∴AB 的垂直平分线方程为23y x +=-，即50x y --=，∵点()P a b ，在直线50x y --=上，∴50a b --=，又点()P a b ，到直线l ：4320x y +-=的距离为2，2=，即43210a b +-=±，联立可得1a =-、4b =-或277a =、87b =-， ∴所求点P 的坐标为(1)4-，或278()77-，， 故选：C9．C【分析】由直线方程，分别令0y =，0x =，然后根据直线横截距与纵截距相等求解.【详解】由题意得：0a ≠，由直线l ：20ax y a -+-=，令0y =，得2a x a-= 令0x =，得2y a =-因为直线l ：20ax y a -+-=的横截距与纵截距相等， 所以22a a a-=-，即220a a --=， 解得2a =或1a =-，故选：C10．B【分析】 由直线与直线垂直的性质得23a b a =+，再上0a >，0b >，能求出a b 的取值范围. 【详解】解：∵直线1l ：20ax y +-=，2l ：()()32100,0a x by a b +-+=>>互相垂直， ∴()320a a b +-=，∴23a b a =+， ∵0a >，0b >，∴220,33a ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭. ∴a b 的取值范围为20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：B .【点睛】本题考查两直线垂直的条件的应用，属于中档题.11．C【详解】|PQ |的最小值是这两条平行线间的距离．6x ＋8y ＋6＝0化为3430x y ++=，3=，所以|PQ |的最小值为3.故选：C .12．C【分析】利用直线垂直，系数满足()110a a ⨯+-⨯=即可判断A ；根据直线过定点与系数无关即可判断B ； 在1l 上任取点(),1x ax +，关于直线0x y +=对称的点的坐标为()1,ax x ---，代入2:10l x ay ++=，左边可得不恒为0，从而可判断C ；将两直线联立求出交点，在利用两点间的距离公式即可求解.【详解】对于A ，()110a a ⨯+-⨯=恒成立，1l 与2l 都互相垂直恒成立，故A 正确；对于B ，直线1:10l ax y -+=，当a 变化时，0x =，1y =恒成立，所以1l 恒过定点(0,1)A ；2:10l x ay ++=，当a 变化时，1x =-，0y =恒成立，所以2l 恒过定点(1,0)B -，故B 正确.对于C ，在1l 上任取点(),1x ax +，关于直线0x y +=对称的点的坐标为()1,ax x ---，代入2:10l x ay ++=，得20ax =，不满足不论a 为何值时，20ax =成立，故C 不正确；对于D ，联立1010ax y x ay -+=⎧⎨++=⎩，解得221111a x a a y a --⎧=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩， 即2211,11a a M a a ---+⎛⎫ ⎪++⎝⎭，所以MO ==≤， 所以MO，故D 正确.故选：C.【点睛】本题考查了直线垂直时系数之间的关系、直线过定点问题、直线关于直线对称问题、两直线的交点、两点间的距离公式，考查了考生的计算求解能力，综合性比较强，属于中档题. 13．20x y +=或10x y ++=【分析】分类讨论：截距等于0或截距不等于0，设出截距式，将点代入即可求解.【详解】当直线的截距等于0时，即直线过()0,0， 所以直线的斜率20210k --==--， 所以直线方程为：2y x =-，即20x y +=；当直线的截距不等于0时， 设直线为1x y a a+=，将点P (1，-2)代入方程可得121a a-+=，所以1a =-， 所以直线方程为1x y +=-，即10x y ++=.故答案为：20x y +=或10x y ++=【点睛】本题考查了直线的截距式方程，考查了基本运算能力以及分类讨论的思想，属于基础题. 14．－2.【解析】由直线l 的倾斜角得l 的斜率为-1,l 1的斜率为.∵直线l 与l 1垂直,∴=1,得a=0.又∵直线l 2的斜率为-,l 1∥l 2,∴-=1,b=-2.因此a+b=-2.15．x ＋4y －4＝0【分析】设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，求得A 关于P 的对称点坐标，利用对称点在直线2l 上求得a ，即得A 点坐标，从而得直线l 方程．【详解】设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上， 代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.故答案为：x ＋4y －4＝0.【点睛】本题考查求直线方程，解题方法是根据点关于点的对称点求解，直线l 与已知两直线各有一个交点，P 是这两个交点连线段中点，因此可设其中一点坐标，由对称性表示出另一点坐标，代入第二条直线方程可求得交点坐标，从而得直线方程．16．52【分析】设(),Q x x ，求出P 点坐标，计算AQ QP PB ++，再用几何意义求出AQ BP +的最小值即得．【详解】解：设(),Q x x ，由于PQ 与两直线垂直且2PQ =，则()1,1P x x -+， 故()()()2222513AQ BP x x x x +=-++-+-.此式可理解为点(),Q x x 到()5,0A 及()1,3C的距离之和，其最小值即为5AC =.故所求最小值为52+.故答案为：52+. 【点睛】方法点睛：本题考查距离之和的最值问题，解题方法是：用坐标表示距离，化几何问题为代数问题，利用函数知识求解，对平方和（或二次根式下的平方和）形式，或一次分式形式的代数式又可利用几何意义：两点间的距离公式，点到直线的距离，直线的斜率，可代数问题转化为平面上的几何问题，利用图形易得结论．17．（1）250x y -+=；（2）20x y +=.【分析】（1）联立直线1l 、2l 的方程，求出交点M 的坐标，然后求出直线MP 的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程；（2）求出直线250x y ++=的斜率为2-，然后利用点斜式可写出所求直线的方程.【详解】（1）联立34502380x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得12x y =-⎧⎨=⎩，即点()1,2M -， 直线MP 的斜率为321112MP k -==+， 所以，直线MP 的方程为()1212y x -=+，即250x y -+=；（2）直线250x y ++=的斜率为212k =-=-， 因此，所求直线的方程为()221y x -=-+，即20x y +=.【点睛】结论点睛：已知直线l 的一般方程为0Ax By C ++=.（1）与直线l 平行的直线的方程可设为()110Ax By C C C ++=≠；（2）与直线l 垂直的直线的方程可设为20Bx Ay C -+=.18．（1）12m =；（2）1m =-. 【分析】由直线垂直和平行的性质直接列出关系即可求出.【详解】（1）1l 和2l 垂直，则1213m m -⎛⎫⎛⎫-⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得12m =； （2）1l 和2l 平行，则23216m m m -=≠，22303m m m ⎧--=∴⎨≠±⎩，1m ∴=-． 19．（1）()2,1 ；（2）12y x =或250x y +-=. 【分析】（1）先根据12l l ⊥设出直线2l 的方程，再将点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭代入即可求得直线2l 的方程，与直线1l 联立即可求解；（2）讨论直线3l 过原点和不过原点两种情况，3l 过原点结合过1l 与2l 的交点即可写出方程，3l 不过原点时，设出其截距式方程，即可求解.【详解】（1）设2l 的方程为20x y m -+=，.因为2l 在x 轴上的截距为32，所以32002m ⨯-+=，解得3m =-， 即2l ：230x y --=，联立240230x y x y +-=⎧⎨--=⎩，得21x y =⎧⎨=⎩所以直线1l 与2l 的交点坐标为()2,1 ．（2）当3l 过原点时，3l 的方程为12y x =， 当3l 不过原点时，设3l 的方程为12x y a a+=， 又直线3l 经过1l 与2l 的交点，所以2112a a +=，得52a =， 3l 的方程为250x y +-=，综上，3l 的方程为12y x =或250x y +-=. 【点睛】易错点睛：题目中给的条件在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，容易忽略横纵截距都为0的情况也符合题意.20．（1）3280x y +-=；（2）10x y --=．【分析】（1）先求出两直线的交点P 的坐标，设所求直线l 的方程为320x y C ++=，将点P 的坐标代入可得答案.（2）当AP l ⊥时，点A 到直线l 的距离最大，从而可求出答案.【详解】解：联立250x y +-=与20x y -=，解得2,1x y ==，即(2,1)P（1）直线l 的方程为320x y C ++=，将()2,1P 代入得620,8c C ++=∴=- ∴直线l 的的方程为3280x y +-=（2）当点A 到直线l 的距离最大时，AP l ⊥． 21112AP k -==-- 1l k ∴= ∴直线l 的的方程为11(2)y x -=⋅-，化简得10x y --=．21．（1）4160x y -+=或390x y +-=；（2）9461020x y -+=【分析】（1）设出截距式方程，由条件列出式子即可求出；（2）在直线m 上取一点，如()2,0M ，求出()2,0M 关于直线l 的对称点M '，求出m 与l 的交点，即可求出直线方程.【详解】（1）由已知得直线不过原点，设直线方程为1x y a b+=， 则可得34112a b a b -⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得416a b =-⎧⎨=⎩或93a b =⎧⎨=⎩， 则直线方程为1416x y +=-或193x y +=， 整理可得4160x y -+=或390x y +-=；（2）在直线m 上取一点，如()2,0M ，则()2,0M 关于直线l 的对称点M '必在直线m '上，设(),M a b '，则2023102202123a b b a ++⎧⨯-⨯+=⎪⎪⎨-⎪⨯=-⎪-⎩，解得630,1313M '⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设直线m 与l 的交点为N ，则联立方程32602310x y x y --=⎧⎨-+=⎩可解得()4,3N ， 则m '的方程为34306341313y x --=--，即9461020x y -+=. 【点睛】方法点睛：关于轴对称问题：（1）点(),A a b 关于直线0Ax By C ++=的对称点(),A m n '，则有1022n b A m a B a m b n A B C ⎧-⎛⎫⨯-=- ⎪⎪⎪-⎝⎭⎨++⎪⋅+⋅+=⎪⎩；（2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.22．（1）()4,1D -；（2）12；（3）()1,0M .【分析】（1）根据中点坐标公式得到结果；（2）以BC 为底，有点线距离求得四边形的高，进而得到面积；（3）根据三角形的外心的性质：外心到三角形的三个顶点的距离相等列出方程，解之可求得外心的坐标.【详解】(1)AC 中点为()0,1，该点也为BD 中点，设(),D x y ，根据中点坐标公式得到：+4+10,122x y ==，解得：4,1x y =-=， 所以()4,1D -；（2）()()4,1,2,3B C 故得到斜率为：31124k -==--，代入点()4,1B 坐标可得到直线BC ：+50x y -= ，∴A 到BC=，又根据两点间距离公式得到：BC =，∴四边形ABCD 的面积为12=.(3) 设点(),M x y ，则MA MB MC ==，即()()()()()()222222+2+14123x y x y x y +=-+-=-+-， 化简得：3+3010x y x y -=⎧⎨--=⎩ ，解得10x y =⎧⎨=⎩，所以外心M 的坐标为()1,0M ． 【点睛】本题考查了直线方程的求法，点斜式方程的写法，以及点线距离公式的应用，三角形的外心的求解方法，属于有一定的综合性的题目，关键在于将所需求的条件转化到点的坐标上去，理解解析几何的思考要点，点的坐标间的关系.。
高中数学 第三章 直线与方程单元质量测评(含解析)新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学试题
第三章 单元质量测评对应学生用书P77 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．斜率为2的直线的倾斜角α所在的X 围是( ) A ．0°＜α＜45° B．45°＜α＜90° C ．90°＜α＜135° D．135°＜α＜180° 答案 B解析 ∵k＝2＞1，即tanα＞1，∴45°＜α＜90°． 2．在x 轴上的截距为2且倾斜角为135°的直线方程为( ) A ．y ＝－x ＋2 B ．y ＝－x －2 C ．y ＝x ＋2 D ．y ＝x －2 答案 A解析 由题可知直线方程为y ＝tan135°·(x－2)，即y ＝－x ＋2． 3．若三点A(4，3)，B(5，a)，C(6，b)共线，则下列结论正确的是( ) A ．2a －b ＝3 B ．b －a ＝1 C ．a ＝3，b ＝5 D ．a －2b ＝3 答案 A解析 由k AB ＝k AC 可得2a －b ＝3，故选A ．4．若实数m ，n 满足2m －n ＝1，则直线mx －3y ＋n ＝0必过定点( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，13 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，13C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－13D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－13答案 D解析 由已知得n ＝2m －1，代入直线mx －3y ＋n ＝0得mx －3y ＋2m －1＝0，即(x ＋2)m＋(－3y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，－3y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－13，所以此直线必过定点⎝⎛⎭⎪⎫－2，－13，故选D ．5．设点A(－2，3)，B(3，2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，则a 的取值X 围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，43 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－43∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ 答案 B解析 直线ax ＋y ＋2＝0过定点C(0，－2)，k AC ＝－52，k BC ＝43．由图可知直线与线段没有交点时，斜率－a 的取值X 围为－52＜－a ＜43，解得a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52．6．和直线5x －4y ＋1＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．5x ＋4y ＋1＝0 B ．5x ＋4y －1＝0 C ．－5x ＋4y －1＝0 D ．－5x ＋4y ＋1＝0 答案 A解析 设所求直线上的任一点为(x′，y′)，则此点关于x 轴对称的点的坐标为(x′，－y′)．因为点(x′，－y′)在直线5x －4y ＋1＝0上，所以5x′＋4y′＋1＝0，即所求直线方程为5x ＋4y ＋1＝0．7．已知直线x ＝2及x ＝4与函数y ＝log 2x 图象的交点分别为A ，B ，与函数y ＝lg x 图象的交点分别为C ，D ，则直线AB 与CD( )A ．平行B ．垂直C ．不确定D ．相交 答案 D解析 易知A(2，1)，B(4，2)，原点O(0，0)，∴k OA ＝k OB ＝12，∴直线AB 过原点，同理，C(2，lg 2)，D(4，2lg 2)，k OC ＝k OD ＝lg 22≠12，∴直线CD 过原点，且与AB 相交．8．过点M(1，－2)的直线与x 轴、y 轴分别交于P ，Q 两点，若M 恰为线段PQ 的中点，则直线PQ 的方程为 ( )A ．2x ＋y ＝0B ．2x －y －4＝0C ．x ＋2y ＋3＝0D ．x －2y －5＝0 答案 B解析 设P(x 0，0)，Q(0，y 0)．∵M(1，－2)为线段PQ 的中点，∴x 0＝2，y 0＝－4，∴直线PQ 的方程为x 2＋y－4＝1，即2x －y －4＝0．故选B ．9．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋ny ＋5＝0相交于同一点，则点(m ，n)到原点的距离的最小值为( )A ． 5B ． 6C ．2 3D ．2 5 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.把(1，2)代入mx ＋ny ＋5＝0可得m ＋2n ＋5＝0， ∴m＝－5－2n ，∴点(m ，n)到原点的距离d ＝ m 2＋n 2＝5＋2n 2＋n 2＝5n ＋22＋5≥5，当n ＝－2时等号成立，此时m ＝－1．∴点(m ，n)到原点的距离的最小值为5．故选A ．10．点F(3m ＋3，0)到直线3x －3my ＝0的距离为( ) A ． 3 B ．3m C ．3 D ．3m 答案 A解析 由点到直线的距离公式得点F(3m ＋3，0)到直线3x －3my ＝0的距离为3·3m ＋33m ＋3＝3．11．若直线l 经过点A(1，2)，且在x 轴上的截距的取值X 围是(－3，3)，则其斜率的取值X 围是( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫－1，15 B ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(1，＋∞) C ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞D ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 D解析 在平面直角坐标系中作出点A(1，2)，B(－3，0)，C(3，0)，过点A ，B 作直线AB ，过点A ，C 作直线AC ，如图所示，则直线AB 在x 轴上的截距为－3，直线AC 在x 轴上的截距为3．因为k AB ＝2－01－－3＝12，k AC ＝2－01－3＝－1，所以直线l 的斜率的取值X 围为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞．12．已知△ABC 的边AB 所在的直线方程是x ＋y －3＝0，边AC 所在的直线方程是x －2y ＋3＝0，边BC 所在的直线方程是2x －y －3＝0．若△ABC 夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A ．355B ． 2C ．322D ． 5答案 B解析 联立直线方程，易得A(1，2)，B(2，1)．如图所示，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点A ，B ，又两平行直线的斜率为1，直线AB 的斜率为－1，所以线段AB 的长度就是过A ，B 两点的平行直线间的距离，易得|AB|＝2，即两条平行直线间的距离的最小值是2．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知直线l 的倾斜角是直线y ＝x ＋1的倾斜角的2倍，且过定点P(3，3)，则直线l 的方程为________．答案 x ＝3解析 直线y ＝x ＋1的斜率为1，倾斜角为45°．直线l 的倾斜角是已知直线y ＝x ＋1的倾斜角的2倍，所以直线l 的倾斜角为90°，直线l 的斜率不存在，所以直线l 的方程为x ＝3．14．直线x 3＋y4＝t 被两坐标轴截得的线段长度为1，则t ＝________．答案 ±15解析 直线与x ，y 轴的交点分别为(3t ，0)和(0，4t)，所以线段长为3t2＋4t2＝1，解得t ＝±15．15．已知点A(2，4)，B(6，－4)，点P 在直线3x －4y ＋3＝0上，若满足|PA|2＋|PB|2＝λ的点P 有且仅有1个，则实数λ的值为________．答案 58解析 设点P 的坐标为(a ，b)．∵A(2，4)，B(6，－4)，∴|PA|2＋|PB|2＝[(a －2)2＋(b －4)2]＋[(a －6)2＋(b ＋4)2]＝λ，即2a 2＋2b 2－16a ＋72＝λ．又∵点P 在直线3x －4y ＋3＝0上，∴3a－4b ＋3＝0，∴509b 2－803b ＋90＝λ．又∵满足|PA|2＋|PB|2＝λ的点P 有且仅有1个，∴Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8032－4×509×(90－λ)＝0，解得λ＝58．16．在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a|－1的图象只有一个交点，则a 的值为________．答案 －12解析 因为y ＝|x －a|－1＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a －1，x≥a，－x ＋a －1，x<a ，所以该函数的大致图象如图所示．又直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a|－1的图象只有一个交点，则2a ＝－1，即a ＝－12．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)已知Rt△ABC 的顶点坐标A(－3，0)，直角顶点B(－1，－22)，顶点C 在x 轴上．(1)求点C 的坐标； (2)求斜边所在直线的方程．解 (1)解法一：依题意，Rt△ABC 的直角顶点坐标为B(－1，－22)， ∴AB⊥BC，∴k AB ·k BC ＝－1．又∵A(－3，0)，∴k AB ＝0＋22－3－－1＝－2，∴k BC ＝－1k AB ＝22，∴边BC 所在的直线的方程为y ＋22＝22(x ＋1)，即x －2y －3＝0． ∵直线BC 的方程为x －2y －3＝0，点C 在x 轴上，由y ＝0，得x ＝3，即C(3，0)． 解法二：设点C(c ，0)，由已知可得k AB ·k BC ＝－1，即0＋22－3－－1·0＋22c ＋1＝－1，解得c ＝3，所以点C 的坐标为(3，0)． (2)由B 为直角顶点，知AC 为直角三角形ABC 的斜边． ∵A(－3，0)，C(3，0)，∴斜边所在直线的方程为y ＝0．18．(本小题满分12分)点M(x 1，y 1)在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x 1∈[2，5]时，求y 1＋1x 1＋1的取值X 围． 解y 1＋1x 1＋1＝y 1－－1x 1－－1的几何意义是过M(x 1，y 1)，N(－1，－1)两点的直线的斜率．点M 在直线y ＝－2x ＋8的线段AB 上运动，其中A(2，4)，B(5，－2)．∵k NA ＝53，k NB ＝－16，∴－16≤y 1＋1x 1＋1≤53，∴y 1＋1x 1＋1的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，53． 19．(本小题满分12分)已知直线l 经过直线3x ＋4y －2＝0与直线2x ＋y ＋2＝0的交点P ，且垂直于直线x －2y －1＝0．(1)求直线l 的方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S ．解 (1)联立两直线方程⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，则两直线的交点为P(－2，2)．∵直线x －2y －1＝0的斜率为k 1＝12，所求直线垂直于直线x －2y －1＝0，那么所求直线的斜率k ＝－112＝－2，∴所求直线方程为y －2＝－2(x ＋2)，即2x ＋y ＋2＝0．(2)对于方程2x ＋y ＋2＝0，令y ＝0则x ＝－1，则直线与x 轴交点坐标A(－1，0)， 令x ＝0则y ＝－2，则直线与y 轴交点坐标B(0，－2)， 直线l 与坐标轴围成的三角形为直角三角形AOB ， ∴S＝12|OA||OB|＝12×1×2＝1．20．(本小题满分12分)一条光线经过点P(2，3)射在直线l ：x ＋y ＋1＝0上，反射后经过点Q(1，1)，求：(1)入射光线所在直线的方程； (2)这条光线从P 到Q 所经路线的长度．解 (1)设点Q′(x′，y′)为点Q 关于直线l 的对称点，QQ′交l 于点M ．∵k l ＝－1，∴k QQ′＝1， ∴QQ′所在直线的方程为y －1＝1·(x－1)， 即x －y ＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝－12，∴交点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋x′2＝－12，1＋y′2＝－12.解得⎩⎪⎨⎪⎧x′＝－2，y′＝－2，∴Q′(－2，－2)．设入射光线与l 交于点N ，则P ，N ，Q′三点共线， 又∵P(2，3)，Q′(－2，－2)，∴入射光线所在直线的方程为y －－23－－2＝x －－22－－2，即5x －4y ＋2＝0．(2)|PN|＋|NQ|＝|PN|＋|NQ′|＝|PQ′| ＝[2－－2]2＋[3－－2]2＝41，即这条光线从P 到Q 所经路线的长度为41．21．(本小题满分12分)设直线l 经过点(－1，1)，此直线被两平行直线l 1：x ＋2y －1＝0和l 2：x ＋2y －3＝0所截得线段的中点在直线x －y －1＝0上，求直线l 的方程．解 设直线x －y －1＝0与l 1，l 2的交点分别为C(x C ，y C )，D(x D ，y D )，则⎩⎪⎨⎪⎧x C ＋2y C －1＝0，x C －y C －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x C ＝1，y C ＝0，∴C(1，0)⎩⎪⎨⎪⎧x D ＋2y D －3＝0，x D －y D －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x D ＝53，y D＝23，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，23． 则C ，D 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13， 即直线l 经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13． 又直线l 经过点(－1，1)，由两点式得直线l 的方程为 y －131－13＝x －43－1－43，即2x ＋7y －5＝0． 22．(本小题满分12分)已知三条直线l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510．(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件： ①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶5．若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．解 (1)直线l 2的方程等价于2x －y －12＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1222＋－12＝7510，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72．又因为a ＞0，解得a ＝3．(2)假设存在点P ，设点P(x 0，y 0)，若点P 满足条件②，则点P 在与l 1，l 2平行的直线l′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋125，解得c ＝132或116，所以2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0．若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式， 得|2x 0－y 0＋3|5＝25·|x 0＋y 0－1|2， 即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|， 所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0． 若点P 满足条件①，则3x 0＋2＝0不合适． 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－y 0＋132＝0，x 0－2y 0＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12.不符合点P 在第一象限，舍去．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0＋116＝0，x 0－2y 0＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝19，y 0＝3718.符合条件①．所以存在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718同时满足三个条件．。
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第三章测试(时间：120分钟总分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出以下命题：①任意一条直线有唯一的倾斜角；②一条直线的倾斜角可以为－30°；③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；④按照直线的倾斜角的概念，直线集合与集合{α|0°≤α<180°}建立了一一对应的关系．正确的命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析仅有①正确，其他均错．答案 A2．过点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y等于() A．1 B．－1C．5 D．－5解析由题意可知y＋34－2＝tan135°＝－1，∴y＝－5.答案 D3．与原点距离为22，斜率为1的直线方程为()A．x＋y＋1＝0或x＋y－1＝0 B．x＋y＋2＝0或x＋y－2＝0 C．x－y＋1＝0或x－y－1＝0 D．x－y＋2＝0或x＋y－2＝0解析 可设直线方程为y ＝x ＋b ，则|b |2＝22，∴|b |＝1，b ＝±1，故直线方程为x －y ＋1＝0或x －y －1＝0.答案 C4．如果点(5，a )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间，则整数a 的值为( )A ．5B ．4C ．－5D ．－4解析 由题意可知(5，a )到两平行线间距离之和等于两平行线间的距离，∴|30－8a ＋1|62＋82＋|30－8a ＋10|62＋82＝|10－1|62＋82，即|31－8a |＋|40－8a |＝9，把选项代入，知a ＝4，(a ＝5舍去)．答案 B5．过点(5,2)且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线方程是( )A ．2x ＋y －12＝0B ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0C ．x －2y －1＝0D ．x ＋2y －9＝0或2x －5y ＝0解析 解法1：验证知D 为所求．解法2：当直线过原点时，设y ＝kx ，代入点(5,2)求得k ＝25， ∴y ＝25x ，即2x －5y ＝0；当直线不过原点时，可设方程为x 2a ＋ya ＝1，代入点(5,2)求得a ＝92.∴方程为x ＋2y －9＝0.故所求方程为x ＋2y －9＝0，或2x －5y ＝0. 答案 D6．直线2x －y ＋k ＝0与4x －2y ＋1＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．不平行C ．平行或重合D ．既不平行又不重合解析 因为2x －y ＋k ＝0与4x －2y ＋1＝0可变形为y ＝2x ＋k 和y ＝2x ＋12，所以当k ＝12时，两直线重合；当k ≠12时，两直线平行．故应选C.答案 C7．方程ax ＋by ＋c ＝0表示倾斜角为锐角的直线，则必有( ) A ．ab >1 B ．ab <0 C ．a >0且b <0D ．a >0或b <0解析 由题意知直线的斜率存在，且k ＝－ab >0，∴ab <0. 答案 B8．已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在斜率为k 的直线上，若|AB |＝a ，则|y 2－y 1|等于( )A ．|ak |B ．a 1＋k 2 C.a1＋k2 D.a |k |1＋k2 解析 设AB 的方程为y ＝kx ＋b ，则a ＝|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1k 2|y 2－y 1|，∴|y 2－y 1|＝a |k |1＋k2.答案 D9．如图，在同一直角坐标系中表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a ，正确的是( )解析 当a >0时，由y ＝ax 可知，C 、D 错误；又由y ＝x ＋a 又知A 、B 也不正确．当a <0时，由y ＝ax 可知A 、B 错误；又由y ＝x ＋a 可知D 也不正确．答案 C10．已知直线l ：x sin θ＋y cos θ＝1，点(1，cos θ)到l 的距离为14，且0≤θ≤π2，则θ等于( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析 由点到直线的距离公式，可得|sin θ＋cos 2θ－1|sin 2θ＋cos 2θ＝14，即|sin θ－sin 2θ|＝14，经验证知θ＝π6满足题意．答案 B11．一条线段的长是5，它的一个端点A (2,1)，另一端点B 的横坐标是－1，则B 的纵坐标是( )A ．－3B ．5C ．－3或5D ．－5或3解析 设点B 的坐标为(－1，y )，由题意得(－1－2)2＋(y －1)2＝52，∴(y －1)2＝16.解得y ＝5或－3.答案 C12．若A (－4,2)，B (6，－4)，C (12,6)，D (2,12)，下面四个结论正确的个数是( )①AB ∥CD ；②AB ⊥AD ；③|AC |＝|BD |；④AC ⊥BD . A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析 ①k AB ＝－4－26＋4＝－35，k CD ＝12－62－12＝－35，∴AB ∥CD .②k AB ＝－35，k AD ＝12－22＋4＝53，∵k AB ·k AD ＝－1，∴AB ⊥AD . ③|AC |＝(12＋4)2＋(6－2)2＝272，|BD |＝(2－6)2＋(12＋4)2＝272.∴|AC |＝|BD |.④k AC ＝6－212＋4＝14，k BD ＝12＋42－6＝－4，∵k AC ·k BD ＝－1，∴AC ⊥BD .综上知，①、②、③、④均正确．故选D. 答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知A (a,3)，B (3,3a ＋3)两点间的距离是5，则a 的值为________．解析(3－a )2＋(3a ＋3－3)2＝5，即(3－a )2＋9a 2＝25，解得a ＝－1或85. 答案 －1或8514．两条平行直线分别过点A (6,2)和B (－3，－1)，各自绕A ，B 旋转．若这两条平行线距离取最大时，两直线方程是________．解析 根据题意，当这两条直线平行旋转到与直线AB 垂直时，距离取得最大值．∵k AB ＝13， ∴两直线分别为y －2＝－3(x －6)和y ＋1＝－3(x ＋3)，即3x ＋y －20＝0和3x ＋y ＋10＝0. 答案 3x ＋y －20＝0,3x ＋y ＋10＝015．已知直线l 1与直线l 2：x －3y ＋6＝0平行，与两坐标轴围成的三角形面积为8，则直线l 1的方程为________．解析 ∵l 1与l 2平行，故可设l 1的方程为x －3y ＋m ＝0.与两坐标轴的交点(0，m3)，(－m,0)．由题意可得12|－m ×m3|＝8. ∴m ＝43，或m ＝－4 3. 答案 x －3y ±43＝016．设点P 在直线x ＋3y ＝0上，且P 到原点的距离与P 到直线x ＋3y －2＝0的距离相等，则点P 坐标是________．解析 ∵点P 在直线x ＋3y ＝0上，可设P 的坐标为(－3a ，a )．依题意可得(－3a )2＋a 2＝|－3a ＋3a －2|12＋32，化简得10a 2＝410，∴a＝±15.故P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，15，或⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫35，－15，或⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，15 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知直线l 经过点(0，－2)，其倾斜角为60°.(1)求直线l 的方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成三角形的面积． 解 (1)依题意得斜率k ＝tan60°＝ 3.又经过点(0，－2)，故直线l 的方程为y ＋2＝3(x －0)，即3x －y －2＝0.(2)由(1)知，直线l ：3x －y －2＝0在x 轴、y 轴上的截距分别为23和－2，故直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12×23×2＝233.18．(12分)直线l 在两坐标轴上的截距相等，且点P (4,3)到直线l 的距离为32，求直线l 的方程．解 (1)当所求直线经过坐标原点时，设其方程为y ＝kx ，由点到直线的距离公式，可得32＝|4k －3|1＋k2，解k ＝－6±3214.故所求直线的方程为y ＝(－6±3214)x .(2)当直线不经过坐标原点时，设所求直线为x a ＋ya ＝1，即x ＋y －a ＝0.由题意可得|4＋3－a |2＝32，解a ＝1，或a ＝13.故所求直线的方程为x ＋y －1＝0或x ＋y －13＝0.综上，可知所求直线的方程为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－6±3214x ，或x ＋y －1＝0，或x ＋y －13＝0.19．(12分)当m 为何值时，直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1.(1)倾斜角为π4； (2)在x 轴上的截距为1. 解 (1)倾斜角为π4，则斜率为1. ∴－2m 2＋m －3m 2－m ＝1. 解得m ＝1，或m ＝－1.当m ＝1时，m 2－m ＝0，不符合题意．当m ＝－1时，直线方程为2x －2y －5＝0符合题意， ∴m ＝－1.(2)当y ＝0时，x ＝4m －12m 2＋m －3＝1，解得m ＝－12，或m ＝2.当m ＝－12，或m ＝2时都符合题意， ∴m ＝－12，或m ＝2.20．(12分)求经过直线l 1：3x ＋4y ＋5＝0与l 2：2x －3y －8＝0的交点M ，且满足下列条件的直线方程．(1)经过原点；(2)与直线2x ＋y ＋5＝0平行；(3)与直线2x ＋y ＋5＝0垂直． 解由⎩⎨⎧3x ＋4y ＋5＝0，2x －3y －8＝0，得交点M 的坐标为(1，－2)．(1)直线过原点，可得直线方程为2x ＋y ＝0.(2)直线与2x ＋y ＋5＝0平行，可设为2x ＋y ＋m ＝0，代入M (1，－2)，得m ＝0.∴直线方程为2x ＋y ＝0. (3)直线与2x ＋y ＋5＝0垂直， ∴斜率为k ＝12，又过点M (1，－2)． 故所求方程为y ＋2＝12(x －1)． 即x －2y －5＝0.21．(12分)已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0.求分别满足下列条件的a 和b 的值．(1)求直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与直线l 2垂直； (2)直线l 1与l 2平行，并且坐标原点到l 1，l 2的距离相等． 解 (1)∵l 1⊥l 2， ∴(a －1)a ＋(－b )×1＝0. 即a 2－a －b ＝0.① 又点(－3，－1)在l 1上，∴－3a ＋b ＋4＝0.②由①②解得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 1∥l 2，且l 2的斜率为1－a ，∴l 1的斜率也存在，即b ≠0. ∴a b ＝1－a .∴b ＝a 1－a(a ≠1)． 故l 1、l 2的方程分别可以表示为l 1：(a －1)x ＋y ＋4(a －1)a ＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋a 1－a＝0. ∵原点到l 1和l 2的距离相等．∴4|a －1a |＝|a 1－a|， 解得a ＝2，或a ＝23，因此⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝23，b ＝2.22．(12分)等腰直角三角形斜边所在直线的方程是3x －y ＝0，一条直角边所在的直线l 的斜率为12，且经过点(4，－2)，且此三角形的面积为10，求此直角三角形的直角顶点的坐标．解 设直角顶点为C ，C 到直线y ＝3x 的距离为d .则12·d ·2d ＝10，∴d ＝10.又l 的斜率为12，∴l 的方程为y ＋2＝12(x －4)．即x －2y －8＝0.设l ′是与直线y ＝3x 平行且距离为10的直线， 则l ′与l 的交点就是C 点，设l ′的方程是3x －y ＋m ＝0， 则|m |10＝10， ∴m ＝±10，∴l ′的方程是3x －y ±10＝0，由方程组⎩⎨⎧ x －2y －8＝0，3x －y －10＝0，及⎩⎨⎧ x －2y －8＝0，3x －y ＋10＝0，得C 点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫125，－145，或⎝ ⎛⎭⎪⎫－285，－345.。