1-1 直角坐标系中的运动

❖ 解答：从速度定义式v = dx/dt 可得 dx = vdt
❖ 例 设运动沿x 轴进行．令初始位置是x0 ，初始速度 是v0 ，加速度a 是常量 ❖ 解答：加速度a = dv/dt 可得 dv = adt
速度 v = dx/dt 可得 dx = vdt
❖ 例1.4 已知质点的运动学方程 ❖ 解： （1）轨迹方程，根据
r(t)
2
运动方程 x(t)i y(t
)
j
z
(t)k
z
y
r P
o x
yP
x x(t) 分量式 y y(t)
y(t)
r(t)
z z(t)
从中消去参数 t 得轨迹方程
o
z(t)
x(t)
x
f (x, y, z) 0
z
3 位移
y
rvA A
r rvB
B
y
yB yA
rvA A
r rvB
B
yB yA
o
xA
xB x
若质点在三维空间中运动
xB xA
r
(xB
xA
)i (Βιβλιοθήκη yByA)j
(zB
z A )k
位移的大小为 r x2 y2 z2
4 路程（s ）: 质点实际运动轨迹的长度.
位移的物理意义
y
A) 确切反映物体在空间
位置的变化, 与路径无关，只
P1 rs P2
决定于质点的始末位置. B）反映了运动的矢量
第1章 质点力学
直角坐标系中的运动
一 参考系 质点 1 参考系 为描述物体的运动而选择的标准物叫做参考系.
➢ 选取的参考系不同，对物体运动情况的描述不 同，这就是运动描述的相对性.
➢ 坐标系：参考系的数学抽象. 2 质点
如果我们研究某一物体的运动，而可以忽略其 大小和形状对物体运动的影响，若不涉及物体的转 动和形变，我们就可以把物体当作是一个具有质量 的点（即质点）来处理 .
➢ 物体能否抽象为质点，视具体情况而定．
太阳 r
地
R球
地球
绕
太
阳
公
转
地——日间平均距离 r ：1.5 ×108 km
地球半径 R ： 6.37 × 103 km r
➢ 质点是经过科学抽象而形成的理想化的物理模 型 . 目的是为了突出研究对象的主要性质 , 暂不考 虑一些次要的因素 .
二 位置矢量 运动方程 位移
d r （C） dt
（D）
(dx)2 (dy)2 dt dt
四 加速度 （反映速度变化快慢的物理量）
1） 平均加速度
单位时间内的速度增
量即平均加速度
av vv
av
与
vv
t
同方向
.
2）（瞬时）加速度
av lim vv dvv t0 t dt
y vvA
vvB
B
A
O
x
vvA
vv
vvB
加速度
av
d2z dt 2
❖ 例1.1 质点沿直线运动，加速度a = 2 + 2t ，且t = 0 s 时，x0 = 2 m; v0 = 1 m/s，求质点的运动方程
❖ 解答：从加速度定义式a = dv/dt 可得 dv = adt
❖ 例1.2 质点沿直线运动，速度v(t) = 2 exp(-t)，求质 点在0 < t < 1 s 内的位移
（B） 一般情况, 位移
大小不等于路程.
y
s
p1
'
rs
p2
r(t1)
r(t2 )
vr s
O
z
x
（C）什么情况 r s？
不改变方向的直线运动; 当 t 0 时 r s .
（D）位移是矢量, 路程是标量.
三 速度
1 平均速度
在t 时间内, 质点从点
A 运动到点 B, 其位移为
y
r (t
t)
B
s r
o
x
o
xA
xB x
xB xA
经过时间间隔 t 后, 质点位置矢量发生变化, 把B 的由位始移点矢A量指,向简终称点位B移的. 有向线r段rrB称为rA点 A 到
rA
rB
xAi xBi
yA
yB
j
j
位移 r rB rA
y
yB yA
rvA A
r rvB
B
yB yA
(xB xA)i ( yB yA) j
r r(t t) r(t)
A
tv时间内r, 质点x的i平均y速j度 o
r(t)
x
或
vtvxit
vy
t j
平均速度 vv 与 r同方向.
平均速度大小 v (x)2 (y)2 t t
2 瞬时速度
当 t 0 时平均速度的极限值叫做瞬时速度，
简称速度
v lim
r
dr
t0 t dt
v
lim
x
i
（2）求解 瞬时速度矢量，瞬时加速度矢量
❖ 例1.5 已知质点匀速圆周运动的运动学方程 ❖ 解： 求解速度
求解 加速度
1 位置矢量
确定质点P某一时刻在
y
坐位标置系矢里 量的, 简位称置位的矢物r理.量称
r
xi
yj
zk
z
y j
o
k
r
i x
*P
x
式中 i、j 、k 分别为x、y、z z
方向的单位矢量.
位矢r的值为
r rv x2 y2 z2
r 位矢 的方向余弦
cos x r
cos y r
cos z r
r(t1)
r
r(t2 )
性和r叠加性xi.
yj
zk
z
O
P1(x1, y1, z1)
x
r x2 y 2 z 2
注意 r r
P2 (x2 , y2 , z2 ) 位矢长度的变化
r
x2 2
y22 z22
x12 y12 z12
讨论 位移与路程
（A）P1P2 两点间的路程
是而不位移唯一r的是, 唯可一以的是.s或s
v
ds dt
et
v vv (dx )2 (dy )2 (dz )2 v ds
dt dt dt
dt
平均速率 v s t
瞬时速率 v ds
y r(t t)
B s r
讨论
dt
r (t)
A
o
x
一运动质点在某瞬时位于矢径 r(x, y) 的端点
处，其速度大小为
dr （A） dt
dr （B） dt
lim
y
j
t0 t t0 t
当 t 0 时，dr ds
v
ds dt
et
当质点做曲线运动时，质点在某一点的速度方向
就是沿该点曲线的切线方向 .
v
dx
i
dy
j
v
dt vxi
dt
vy
j
y vy
若质点在三维空间中运动,
v
vx
其速度为
v
dx
i
dy
j
dz
k
o
x
dt
瞬时速率：速度
vvd的t 大小d称t 为速率
dvv dt
d 2 rv dt 2
dvx
i
dv
y
dt dt
j
加速度大小 a lim v t0 t
ax2
a
2 y
质点作三维运动时加速度为
av
v axi
ay
v j
v azk
加速度大小
ax
dvx dt
d2x dt 2
ay
dvy dt
d2 y dt 2
a ax2 ay2 az2
az
dvz dt