在直角坐标系xOy中
高考数学-坐标系与参数方程(含22年真题讲解)
高考数学-坐标系与参数方程 （含22年真题讲解）1．【2022年全国甲卷】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2+t 6y =√t（t 为参数），曲线C 2的参数方程为{x =−2+s 6y =−√s（s 为参数）．(1)写出C 1的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 3的极坐标方程为2cosθ−sinθ=0，求C 3与C 1交点的直角坐标，及C 3与C 2交点的直角坐标． 【答案】(1)y 2=6x −2(y ≥0)；(2)C 3,C 1的交点坐标为(12,1)，(1,2)，C 3,C 2的交点坐标为(−12,−1)，(−1,−2)．【解析】 【分析】(1)消去t ，即可得到C 1的普通方程；(2)将曲线C 2,C 3的方程化成普通方程，联立求解即解出． (1) 因为x =2+t 6，y =√t ，所以x =2+y 26，即C 1的普通方程为y 2=6x −2(y ≥0)．(2) 因为x =−2+s 6,y =−√s ，所以6x =−2−y 2，即C 2的普通方程为y 2=−6x −2(y ≤0)，由2cosθ−sinθ=0⇒2ρcosθ−ρsinθ=0，即C 3的普通方程为2x −y =0． 联立{y 2=6x −2(y ≥0)2x −y =0 ，解得：{x =12y =1 或{x =1y =2 ，即交点坐标为(12,1)，(1,2)；联立{y 2=−6x −2(y ≤0)2x −y =0 ，解得：{x =−12y =−1 或{x =−1y =−2 ，即交点坐标为(−12,−1)，(−1,−2)． 2．【2022年全国乙卷】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =√3cos2t y =2sint ，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρsin (θ+π3)+m =0． (1)写出l 的直角坐标方程；(2)若l 与C 有公共点，求m 的取值范围． 【答案】(1)√3x +y +2m =0 (2)−1912≤m ≤52 【解析】 【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；（2）联立l 与C 的方程，采用换元法处理，根据新设a 的取值范围求解m 的范围即可. (1)因为l ：ρsin (θ+π3)+m =0，所以12ρ⋅sinθ+√32ρ⋅cosθ+m =0，又因为ρ⋅sinθ=y,ρ⋅cosθ=x ，所以化简为12y +√32x +m =0，整理得l 的直角坐标方程：√3x +y +2m =0 (2)联立l 与C 的方程，即将x =√3cos2t ，y =2sint 代入 √3x +y +2m =0中，可得3cos2t +2sint +2m =0， 所以3(1−2sin 2t)+2sint +2m =0， 化简为−6sin 2t +2sint +3+2m =0，要使l 与C 有公共点，则2m =6sin 2t −2sint −3有解，令sint =a ，则a ∈[−1,1]，令f(a)=6a 2−2a −3，(−1≤a ≤1)， 对称轴为a =16，开口向上，所以f(a)max =f(−1)=6+2−3=5， f(a)min =f(16)=16−26−3=−196，所以−196≤2m ≤5m 的取值范围为−1912≤m ≤52.1．（2022·宁夏·吴忠中学三模（文））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为244x t y t ⎧=-⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=．(1)求曲线1C 与2C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 的极坐标方程为πR 02θαρα⎛⎫ ⎪=∈⎝<<⎭，，直线l 与曲线1C ，2C 分别交于M ，N （均异于点O ）两点，若4OMON=，求α． 【答案】(1)曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=， (2)π4α=【解析】 【分析】（1）1C 的参数方程消参可求出1C 的直角坐标方程；2C 的极坐标方程同乘ρ，把cos x ρθ=，222x y ρ=+代入2C 的极坐标方程可求出2C 的直角坐标方程.（2）设M 、N 两点的极坐标分别为()1,ρα、()2,ρα，用极径的几何意义表示出4OMON=，即124ρρ=，解方程即可求出α. (1)解：1C 的参数方程为244x t y t ⎧=-⎨=⎩（t 为参数），把2216y t =代入24x t =-中可得，24y x =-，所以曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，即22cos ρρθ=，所以曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，综上所述：曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=， (2)由（1）知，1C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=-， 设M 、N 两点的极坐标分别为()1,ρα、()2,ρα，则21sin 4cos ραα=-，22cos ρα=，由题意知02πα<<可得sin 0α≠，因为4OMON=，所以124ρρ=，所以24cos 42cos sin ααα-=⨯，故21sin 2α=，所以sin 2α=或sin 2α=（舍） 所以π4α=.2．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线2C 的参数方程为2221x t t y t ⎧=-⎨=-⎩（t 为参数）.已知曲线2C 与x ，y 正半轴分别相交于,A B 两点.(1)写出曲线1C 的极坐标方程，并求出,A B 两点的直角坐标；(2)若过原点O 且与直线AB 垂直的直线l 与曲线1C 交于P 点，与直线AB 交于Q 点，求线段PQ 的长度.【答案】(1)2cos ρθ=，A 点为()3,0，B 点为()0,3(2)2【解析】 【分析】（1）普通方程()2211x y -+=，即可得2cos ρθ=（2）求出直线AB 的方程为3y x =-+，然后求出直线l 的方程，然后可求出PQ 的长度 (1)曲线1C 的普通方程()2211x y -+=，极坐标方程()()22cos 1sin 1ρθρθ-+=，∴2cos ρθ=.在曲线2C 上，当0x =时，0=t 或2t =，此时3y =或1y =-（舍），所以B 点为()0,3. 当0y =时，1t =-或1t =，此时3x =或1x =-（舍），所以A 点为()3,0. (2)直线AB 的方程为3y x =-+，极坐标方程为sin cos 3ρθρθ=-+， ∴()sin cos 3ρθθ+=，过原点O 且与直线AB 垂直的直线l 的极坐标方程为4πθ=.4πθ=与2cos ρθ=联立，得1ρ 4πθ=与()sin cos 3ρθθ+=联立，得2ρ=∴21PQ ρρ=-=. 3．（2022·江西·南昌市八一中学三模（理））在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)设点Q的直角坐标为(，P 为C 上的动点，求PQ 中点R 的轨迹的极坐标方程. 【答案】(1)直线l 的普通方程为2x y +=，曲线C 的普通方程为()(2214x y ++=；(2)21ρ= 【解析】 【分析】（1）消去参数t ，即可得到直线l 的普通方程，再由两角和的正弦公式及222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设(),R x y ，即可表示P 点坐标，再根据点P 在曲线C 上，代入C 的方程，即可得到点R 的轨迹方程，再将直角坐标方程化为极坐标方程即可；(1)解：因为直线l的参数方程为11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 所以直线l 的普通方程为2x y +=，因为曲线C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即4sin cos cos sin 66ππρθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即2cos ρθθ=--，所以2sin 2cos ρθρθ=--，又222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，所以222x y x +=--，即()(2214x y +++=，即曲线C 的普通方程为()(2214x y ++=；(2)解：设(),R x y，则(21,2P x y -，因为点P 在曲线C 上，所以()(2221124x y -++=，即221x y +=，所以PQ 中点R 的轨迹方程为221x y +=，即21ρ=4．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2cos θsin θρ=+. (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设点()2,1P ，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求PA PBPB PA+的值. 【答案】(1)10x y --=，22220x y x y +--= (2)4 【解析】 【分析】（1）直接消去参数，将直线l 的方程化为普通方程，利用互化公式将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程（2）将直线的参数方程代入曲线C的普通方程，得到210t -=，得到12121t t t t +==- ，化简()222121212122112122PA PBt t t t t t t t PB PA t t t t t t +-++=+==，代入韦达定理，即可得到答案 (1)直线l的参数方程为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 消去参数t 可得l 的普通方程为10x y --=.曲线C 的极坐标方程为2(cos θsin θ)ρ=+，即22(cos θsin θ)ρρ=+，根据222cos θsin θx y x y ρρρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，可得2222x y x y +=+.∴曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +--= (2)在直线l的参数方程21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）中，设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ， 将直线l的参数方程221x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入22220x y x y +--=，得210t +-=，∴12t t +=121t t =-.∴()2221212121221121224PA PBt t t t t t t t PB PA t t t t t t +-++=+=== 5．（2022·安徽淮南·二模（文））在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（其中α为参数，02πα≤<），以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线1l 的极坐标方程为(R)3πθρ=∈．(1)求曲线C 的极坐标方程与直线1l 的直角坐标方程；(2)设直线1l 与曲线C 交于点O ，A ，直线2l 与曲线C 交于点O ，B ，求AOB 面积的最大值． 【答案】(1)4sin ρθ=，y(2)【解析】【分析】（1）依据参数方程与普通方程的互化和极坐标方程与直角坐标方程的互化即可解决； （2）先求得AOB 面积的表达式，再对其求最大值即可. (1)曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=，展开得2240x y y +-=， 则曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=． 直线1l的直角坐标方程为y (2)由（1）可知π||4sin3OA == 设直线2l 的极坐标方程为(R)θβρ=∈，根据条件知要使AOB 面积取最大值，则ππ3β<<，则||4sin OB β=，于是1ππsin sin 233OAB S OA OB βββ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π6sin cos cos 2)3sin 226ββββββ⎛⎫=-=--=+ ⎪⎝⎭，所以当π3π262β+=即2π3β=时，AOB的面积取最大值，最大值为6．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为))cos sin cos sin 2x y ϕϕϕϕ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同单位长度，直线l 的极坐标方程为2cos 3sin 100ρθρθ+-=. (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 距离的最小值. 【答案】(1)2214x y +=，23100x y +-=；【解析】 【分析】（1）消去曲线C 的参数方程中的参数即可得解，利用极坐标与直角坐标互化得直线l 的直角坐标方程作答.（2）设出曲线C 上任意一点的坐标，利用点到直线距离公式及辅助角公式求解作答. (1)由))cos sin cos sin x y ϕϕϕϕ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（ϕ为参数），消去参数得2214x y +=， 所以曲线C 的普通方程为2214x y +=，把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入直线l 的极坐标方程2cos 3sin 100ρθρθ+-=得：23100x y +-=，所以直线l 的直角坐标方程为23100x y +-=. (2)由（1）知，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），设()2cos ,sin P αα为曲线C 上一点，P 到直线l 的距离为d ，则105sin d αϕ-+===ϕ由4tan 3ϕ=确定，因此，当()sin 1αϕ+=时，d所以曲线C 上的点到直线l 7．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐sin cos 0θρθ-．(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程： (2)若直线与曲线C 交于A ，B 两点，点P 的坐标为(0,1)，求11||||PA PB +的值． 【答案】(1)224x y -=，0x+= (2)5【解析】【分析】（1）消去参数t 可得曲线C 的方程，利用公式法转化得到直线l 的直角坐标方程； （2）利用直线l 的参数方程中t 的几何意义求解. (1)∴11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），∴22222222112112x t t t t y t t t t ⎧⎛⎫=+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-=+- ⎪⎪⎝⎭⎩，所以224x y -=， 所以曲线C 的方程为224x y -=又∴cos x ρθ=，sin y ρθ=，0x - 所以直线l的直角坐标方程为0x =； (2)∴()0,1P 在直线l 上，∴直线l的参数方程为112x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）设A ，B 对应的参数分别为1t 与2t将直线l 的参数方程代入到224x y -=得22100t t --=． ∴2Δ(2)41(10)440=--⨯⨯-=>， ∴122t t +=，12100t t ⋅=-<， ∴1||PA t =，2||PB t =∴1212121111||||-+=+====t tPA PB t t t t，所以11||||+=PA PB 8．（2022·全国·赣州市第三中学模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 满足参数方程2241421t x t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩（t 为参数且11t -≤≤）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点P 为曲线1C 上一动点，且极坐标为(),ρθ. (1)求曲线1C 的直角坐标方程； (2)求()cos 3sin ρθθ+的取值范围.【答案】(1)y =()2204y x y +=≥(2)⎡-⎣ 【解析】 【分析】（1）消去参数t 可得普通方程，由11t -≤≤，得到0y ≥，即可求出曲线1C 的直角坐标方程； （2）先判断出2ρ=利用三角函数出()cos 3sin ρθθ+的范围. (1)由2241421t x t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩消去t 可得：224x y +=. 由于11t -≤≤，则212t +≤，即0y ≥.因此曲线1C的直角坐标方程为y ()2204y x y +=≥(2)曲线1C 为上半圆，点P 在1C 上，因此2ρ=，0,θπ⎡⎤∈⎣⎦ 由三角函数的性质知，在[]0,π上，1cos 3sin θθ-≤+≤因此()cos 3sin 2,ρθθ⎡+∈-⎣9．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为22x y t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩(t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为22cos 4sin 10ρρθρθ---=. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为()2,2，求1PA PB-.【答案】(1)()()22126x y -+-=；【解析】 【分析】(1)将222x y ρ=+、cos x ρθ=、sin y ρθ=代入圆C 的极坐标方程即可求其直角坐标方程； (2)将直线l 的参数方程化为标准形式，代入圆C 的直角坐标方程得到关于参数t 的二次方程，根据韦达定理和直线参数方程参数的几何意义即可求出1PA PB-．(1)∴22cos 4sin 10ρρθρθ---=，∴222410x y x y +---=， 即()()22126x y -+-=； (2)直线l参数方程的标准形式为2122x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)， 代入圆C直角坐标方程整理得250t -=， 设方程的两根为1t 、2t ，则A 、B 对应参数1t 、2t ，则121250t t t t ⋅=-<⎧⎪⎨+⎪⎩，∴1PA PB-121211t t t t ==+-10．（2022·河南·模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为222x m y m⎧=⎨=⎩（m 为参数），直线l 的参数方程为12x tcos y tsin αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 与1C 交于点P ，Q ，与2C 交于点S ，T ，与x 轴交于点R .(1)写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； (2)若()4PR QR SR TR -=-，求直线l 的倾斜角. 【答案】(1)22y x =，()2211x y -+= (2)2π或4π或34π【解析】 【分析】（1）消参求得曲线1C 的普通方程为22y x =.由2cos ρθ=同乘ρ得到2C 的直角坐标方程. （2）l 过定点1,02R ⎛⎫ ⎪⎝⎭.将直线l 的参数方程代入21:2C y x =，整理得22sin 2cos 10t t αα--=，利用参数的几何含义化简求解. (1)曲线1C 的普通方程为22y x =.由2cos ρθ=得22cos ρρθ=.所以2C 的直角坐标方程为222x y x +=，即()2211x y -+=.(2)不妨设0απ<<，则sin 0α>.易知1,02R ⎛⎫ ⎪⎝⎭是l 过的定点.将直线l 的参数方程代入21:2C y x =，整理得22sin 2cos 10t t αα--=，设P ，Q 对应的参数分别为P t ，Q t ，则22cos sin P Q PR QR t t αα-=+=.将直线l 的参数方程代入()222:11C x y -+=，得23cos 04t t α--=， 设S ，T 对应的参数分别为S t ，T t ，则cos S T SR TR t t α-=+=.由()4PR QR SR TR -=-得22cos 4cos sin ααα=，得cos 0α=或sin α=l 的倾斜角为2π或4π或34π. 11．（2022·河南洛阳·三模（理））在直角坐标系xOy 中，直线1l的参数方程为12x ty kt⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），直线2l的参数方程为x m m y k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（m 为参数），设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线1C .(1)求曲线1C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，射线OM ：()04πθρ=≥与1C ，2C 分别交于A ，B 两点，求线段AB 的长.【答案】(1)22163x y +=，()0y ≠(2)2【解析】 【分析】（1）消去参数得到直线1l 、2l 的普通方程，联立两方程消去k ，即可得到P 的轨迹； （2）首先将1C 的方程化为极坐标方程，再将()04πθρ=≥代入两极坐标方程即可求出OA ，OB ，即可得解；(1)解：因为直线1l的参数方程为12x ty kt⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）， 消去参数t 得直线1l的普通方程为(12y k x =①， 直线2l的参数方程为x m m y k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（m 为参数）， 消去参数m 得直线2l的普通方程为(1y x k=-②， 设(),P x y ，由①②联立得((121y k x y x k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去k 得()22162y x =--即曲线1C 的普通方程为22163x y +=，()0y ≠；(2)解：设1OA ρ=，2OB ρ=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线1C 的极坐标方程为2261sin ρθ=+（02θπ<<，θπ≠），代入()04πθρ=≥得12OA ρ==，将()04πθρ=≥代入2cos ρθ=得2OB ρ==所以2AB OA OB =-= 即线段AB的长度为212．（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 3sin x y ββ=+⎧⎨=⎩（β为参数），将曲线1C 经过伸缩变换13x xy y =⎧''⎪⎨=⎪⎩得到曲线2C .以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线2C 的极坐标方程；(2)已知射线():0l θαρ=≥与曲线2C 交于A 、B 两点，若3OB OA =，求tan α的值. 【答案】(1)24cos 30ρρθ-+= (2)0 【解析】 【分析】（1）求出曲线2C 的参数方程，化为普通方程，再利用极坐标方程与直角坐标方程之间的转换关系可得出曲线2C 的极坐标方程；（2）设()1,A ρα、()2,B ρα，则1ρ、2ρ为方程24cos 30ρρα-+=的两根，由已知可得213ρρ=，结合韦达定理可求得cos α的值，利用同角三角函数的基本关系可求得tan α的值. (1)解：由题可得2C 的参数方程为2cos sin x y ββ=+⎧⎨=⎩（β为参数），则2C 的直角方程为()2221x y -+=，即22430x y x +-+=， 因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以24cos 30ρρθ-+=，所以曲线2C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=. (2)解：设()1,A ρα、()2,B ρα，则1ρ、2ρ为方程24cos 30ρρα-+=的两根， 2Δ16cos 120α=->，则124cos ρρα+=①，123ρρ=②， 因为3OB OA =，所以213ρρ=③，由①②③解得cos 1α=，则sin 0α=，tan 0α∴=，此时16120∆=->，合乎题意. 故tan 0α=.13．（2022·贵州遵义·三模（文））在极点为O 的极坐标系中，经过点π2,6M ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与极轴所成角为α，且与极轴的交点为N ． (1)当π2α=时，求l 的极坐标方程； (2)当ππ,43α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求MON △面积的取值范围．【答案】(1)cos ρθ=(2)⋃⎣⎦⎣⎦【解析】 【分析】（1）先求得l 的直角坐标方程，再转化为极坐标方程.（2）对直线l 的倾斜角进行分类讨论，结合三角形的面积公式求得MON △面积的取值范围. (1)点π2,6M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则π2cos 6π2sin 16x y ⎧=⨯=⎪⎪⎨⎪=⨯=⎪⎩，所以M点的直角坐标为)，当π2α=时，直线l的直角坐标方程为x =转化为极坐标方程为cos ρθ=.(2)在极坐标系下：经过点π2,6M ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与极轴所成角为α，在直角坐标系下：经过点)M的直线l 的倾斜角为α或πα-.即直线l 的倾斜角是α或πα-. 当直线l 的倾斜角为α时，直线l 的方程为(1tan y x α-=，令0y =得1tan N x α-=ππ,43α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，tan α⎡∈⎣，111,1,,tan tan tan N x ααα⎤⎡∈-∈-=-⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎦，所以1π111sin 2262tan 2MONSOM ON α⎛=⨯⨯⨯=⨯⨯-+⨯ ⎝11tan 2α⎛=-⨯∈ ⎝⎣⎦.当直线l 的倾斜角为πα-时，直线l 的方程为()((1tan πtan y x x αα-=-=-，令0y =得1tan N x α=11,1tan tan N x αα⎤⎤∈=⎥⎥⎣⎦⎣⎦，所以1π111sin 2262tan 2MONSOM ON α⎛=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯ ⎝11tan 2α⎛=⨯∈ ⎝⎣⎦.综上所述，MON △面积的取值范围是⋃⎣⎦⎣⎦. 14．（2022·江西·上饶市第一中学二模（文））在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的普通方程为：22(2)4x y -+=，曲线2C 的参数方程是2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），点2,2P π⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求曲线1C 和2C 的极坐标方程； (2)设射线(0)3πθρ=>分别与曲线1C 和2C 相交于A ，B 两点，求PAB △的面积.【答案】(1)4cos ρθ=，22123sin ρθ=+(2)1 【解析】 【分析】（1）由公式法求极坐标方程（2）联立方程后分别求出A ，B 坐标，及P 到直线AB 距离后求面积 (1)曲线1C 的直角坐标方程为：2240x y x +-=， 将cos ,sin x y ρθρθ==代入上式并化简， 得曲线1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=. 曲线2C 的普通方程是：22143x y +=， 将cos ,sin x y ρθρθ==代入上式并化简， 得曲线2C 的极坐标方程为：22123sin ρθ=+.(2)设12,,,33A B ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1||4cos23OA πρ===，22221216||53sin 3OB ρπ===+，所以||OB =，所以||||||2AB OA OB =-=-. 又(0,2)P到直线:AB y =的距离为：1d ==所以12112PABS⎛=⨯⨯= ⎝⎭ 15．（2022·全国·模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 4ρθθ=. (1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若点M ，N 分别为曲线C 和直线l 上的动点，求MN 的最小值.【答案】(1)22163x y +=，40x -=2- 【解析】 【分析】（1）利用22cos sin 1θθ+=消去参数θ，可得曲线C 的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式可求出直线l 的直角坐标方程， （2）设曲线C上任意一点)Mθθ到直线l 的距离为d ，然后利用点到直线的距离公式表示出d ，再根据三角函数的性质可求出其最小值 (1)由曲线C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）可知2222cos sin 1θθ+=+=，故曲线C 的直角坐标方程为22163x y +=.由直线l的极坐标方程为cos sin 4ρθθ=，结合cos x ρθ=，sin y ρθ=可知l的直角坐标方程为40x -=. (2)MN 的最小值即为曲线C 上任意一点到直线l 距离的最小值.设曲线C上任意一点)Mθθ到直线l 的距离为d ，则2cos 24d πθ⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，故MN 2..。
安徽省安庆一中七年级数学下册第七章【平面直角坐标系】基础卷
1．在直角坐标系中，ABC 的顶点()1,5A -，()3,2B ，()0,1C ，将ABC 平移得到A B C '''，点A 、B 、C 分别对应A '、B '、C '，若点()1,4A '，则点'C 的坐标（ ） A ．()2,0- B ．()2,2- C ．()2,0 D ．()5,12．已知点32,)6(M a a -+．若点M 到两坐标轴的距离相等，则a 的值为（ ） A ．4 B ．6- C ．1-或4 D ．6-或23 3．如果点A （a ，b ）在第二象限，那么a 、b 的符号是（ ）A ．0＞a ，0＞bB ．0＜a ，0＞bC ．0＞a ，0＜bD ．0＜a ，0＜b 4．如图是轰炸机机群的一个飞行队形，如果最后两架轰炸机的平面坐标分别为A ()2,1-和B ()2,3--，那么第一架炸机C 的平面坐标是（ ）A ．()2,1B ．()3,1-C ．()2,1-D ．()3,15．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（21a +，3-），则点A 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 6．点(,)M x y 在第二象限，且230,40x y -=-=，则点M 的坐标是（ ）A ．(3,2)-B ．(3,2)-C ．(2,3)-D ．(2,3)- 7．在平面直角坐标系中，对于点P (x ，y )，我们把点P ′(－y ＋1，x ＋1)叫做点P 的幸运点．已知点A 1的幸运点为A 2，点A 2的幸运点为A 3，点A 3的幸运点为A 4，……，这样依次得到点A 1，A 2，A 3，…，A n ．若点A 1的坐标为(3，1)，则点A 2020的坐标为（ ）A ．(-3，1)B ．(0，-2)C ．(3，1)D ．(0，4)800412个数为4个，那么a 的取值范围为（ ）A ．﹣1<a ≤0B ．0<a ≤1C ．1≤a <2D ．﹣1≤a ≤1 9．如图，线段OA ，OB 分别从与x 轴和y 轴重合的位置出发，绕着原点O 顺时针转动，已知OA 每秒转动45︒，OB 的转动速度是每秒转动30，则第2020秒时，OA 与OB 之间的夹角的度数为（ ）A ．90︒B ．145︒C ．150︒D ．165︒10．若把点A (－5m ，2m －1)向上平移3个单位后得到的点在x 轴上，则点A 在( ) A ．x 轴上 B ．第三象限 C ．y 轴上 D ．第四象限 11．已知点M (12,﹣5)、N (﹣7,﹣5)，则直线MN 与x 轴、y 轴的位置关系分别为（ ） A ．相交、相交 B ．平行、平行 C ．垂直相交、平行 D ．平行、垂直相交二、填空题12．如图，一只甲虫在55⨯的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A 处出发去看望B ．C ．D 处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负、如果从A 到B 记为：(1,4)A B →++，从B 到A 记为：(1,4)B A →--，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．（1）图中A C →(______，______)，B C →(______，______)，C →______(1+，______)；（2）若图中另有两个格点M ．N ，且M A →(3,4)a b --，M N →(5,2)a b --，则N A →应记为______．131231114．若点p(a+13，2a+23)在第二，四象限角平分线上，则a=_____．15．点P先向左平移4个单位，再向上平移1个单位，得到点Q(2，-3)，则点P坐标为__ 16．在平面直角坐标系中，有点A（a﹣2，a），过点A作AB⊥x轴，交x轴于点B，且AB ＝2，则点A的坐标是___．17．若P(2－a，2a+3)到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是____________________．18．已知点P的坐标为（a，b）（a＞0），点Q的坐标为（c，2），且|a﹣c|+8b-＝0，将线段PQ向右平移a个单位长度，其扫过的面积为24，那么a+b+c的值为_____．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，将四边形ABCD先向下平移，再向右平移得到四边形A1B1C1D1，已知A（﹣3，5），B（﹣4，3），A1（3，3），则B1的坐标为_____．20．在平面直角坐标系中，点A（2，0）B（0，4）,作△BOC，使△BOC和△ABO全等，则点C坐标为________21．若点A（-2，n）在x轴上，则点B(n-2，n+1)在第_____象限．三、解答题22．某部队在大西北戈壁滩上进行军事演习，部队司令部把部队分为“蓝军”、“黄军”两方．蓝军的指挥所在A地，黄军的指挥所地B地，A地在B地的正西边（如图）．部队司令部在C 地．C在A的北偏东60︒方向上、在B的北偏东30方向上．（1）BAC∠=______°；（2）请在图中确定（画出）C的位置，标出字母C；（3）演习前，司令部要蓝军、黄军派人到C地汇报各自的准备情况．黄军一辆吉普车从B 地出发、蓝军一部越野车在吉普车出发3分钟后从A地出发，它们同时到达C地．已知吉普车行驶了18分钟．A到C的距离是B到C的距离的1.7倍．越野车速度比吉普车速度的2倍多4千米．求越野车、吉普车的速度及B地到C地的距离（速度单位用：千米/时）．23．如图，己知()(),2,53,3A C -，将三角形ABC 向右平移3个的单位长度，再向下平移4个单位长度，得到对应的三角形111A B C ．（1）画出三角形111A B C ；（2）直接写出点111A B C 的坐标；（3）求三角形111A B C 的面积．24．如图，四边形ABCD 所在的网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位长度． （1）建立以点B 为原点，AB 边所在直线为x 轴的直角坐标系；（2）写出点A 、B 、C 、D 的坐标；（3）求出四边形ABCD 的面积．25．已知点P （2x ﹣6，3x ＋1），求下列情形下点P 的坐标．（1）点P 在y 轴上；23241．正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 2C 3C 2，…按如图所示的方式放置，点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线y ＝x +1和x 轴上，已知点B 1（1，1），B 2（3，2），则B n 的坐标是（ ）A ．（2n ﹣1，2n ﹣1）B ．（2n ﹣1，2n ﹣1）C ．（2n ﹣1，2n ﹣1）D ．（2n ﹣1，2n ﹣1） 2．已知P(a ，b ）满足ab=0，则点P 在（ ）A ．坐标原点B ．X 轴上C ．Y 轴上D ．坐标轴上 3．在平面直角坐标系中，与点P 关于原点对称的点Q 为()1,3-，则点P 的坐标是（ ） A ．()1,3 B ．()1,3-- C ．()1,3- D ．()1,3- 4．点M 在第二象限，距离x 轴5个单位长度，距离y 轴3个单位长度，则M 点的坐标为（ ）A ．(-3，5)B ．(5，- 3)C ．(-5，3)D ．(3，5)5．若点P(3a+5，-6a-2)在第四象限，且到两坐标轴的距离相等，则a 的值为( ) A ．-1 B ．79- C ．1 D ．26．已知点A 坐标为()2,3-，点A 关于x 轴的对称点为A '，则A '关于y 轴对称点的坐标为（ ）A ．()2,3--B ．()2,3C ．()2,3-D ．以上都不对7．已知点(224)P m m +，﹣在x 轴上，则点P 的坐标是（ ） A ．(40)， B ．(0)4， C ．40)(-， D ．(0,4)-8．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ），我们把点P ′（﹣y +1，x +1）叫做点P 的伴随点．已知点A 1的伴随点为A 2，点A 2的伴随点为A 3，点A 3的伴随点为A 4…，这样依次得到点A 1，A 2，A 3，…，A n ，若点A 1的坐标为（3，1），则点A 2019的坐标为（ ） A ．（0，﹣2） B ．（0，4） C ．（3，1） D ．（﹣3，1）9210．在平面直角坐标系中，将点A （﹣2，﹣2）先向右平移6个单位长度再向上平移5个单位长度得到点A '，则点A '的坐标是（ ）A ．（4，5）B ．（4，3）C ．（6，3）D ．（﹣8，﹣7） 11．已知点M (12,﹣5)、N (﹣7,﹣5)，则直线MN 与x 轴、y 轴的位置关系分别为（ ） A ．相交、相交 B ．平行、平行 C ．垂直相交、平行 D ．平行、垂直相交二、填空题12．某人从A 点沿北偏东60︒的方向走了100米到达点B ，再从点B 沿南偏西10︒的方向走了100米到达点C ，那么点C 在点A 的南偏东__度的方向上．13．点(1,1)P -向左平移2个单位，向上平移3个单位得1P ，则点1P 的坐标是________． 14．在平面直角坐标系中，与点A （5，﹣1）关于y 轴对称的点的坐标是_____． 15．若点M （5，a ）关于y 轴的对称点是点N （b ，4），则（a+b ）2020= __16．已知点P （a ，a +1）在平面直角坐标系的第二象限内，则a 的取值范围___． 17．如图，点A 的坐标（-2,3）点B 的坐标是（3，-2），则图中点C 的坐标是______．18．如图，一个机器人从0点出发，向正东方向走3米到达1A 点，记为()3,0；再向正北方向走6米到达2A 点，记为()3,6：再向正西方向走9米到达3A 点，记为()6,6-；再向正南方向走12米到达4A 点，再向正东方向走15米到达5A 点，按如此规律走下去，当机器人走到99A 点时，则99A 的坐标为________．19．三角形A′B′C′是由三角形ABC 平移得到的，点A(-1，4)的对应点为A′(1，-1)，若点C′的坐标为(0，0)，则点C′的对应点C 的坐标为______．20140021．如果点P （a ﹣1，a +2）在x 轴上，则a 的值为_____．三、解答题22．如图所示，若()34A ，，按要求回答下列问题：（1）在图中建立正确的平面直角坐标系．（2）将ABC 向右平移3个单位，再向下平移2个单位得111A B C ，在图中画出111A B C ，并写出1B 点坐标．（3）求ABC 的面积．23．如图1，长方形OABC 的边OA 在数轴上，O 为原点，长方形OABC 的面积为12，OC 边长为3（1）数轴上点A 表示的数为______．（2）将长方形OABC 沿数轴水平移动，移动后的长方形记为O A B C ''''，移动后的长方形O A B C ''''与原长方形OABC 重叠部分（如图2中阴影部分）的面积记为S①设点A 的移动距离AA x '=．当4S =时，x =______．②当S 恰好等于原长方形OABC 面积的一半时，求数轴上点A '表示的数为多少． 24．已知点P(m ＋2，3)，Q(−5，n−1)，根据以下条件确定m 、n 的值12325．如图，将△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A′B′C′．（1）请画出平移后的图形△A′B′C′．（2）写出△A′B'C'各顶点的坐标．（3）求出△A′B′C′的面积．1．已知点32,)6(M a a -+．若点M 到两坐标轴的距离相等，则a 的值为（ ） A ．4 B ．6- C ．1-或4 D ．6-或23 2．如果点A （a ，b ）在第二象限，那么a 、b 的符号是（ ）A ．0＞a ，0＞bB ．0＜a ，0＞bC ．0＞a ，0＜bD ．0＜a ，0＜b 3．如图，将一颗小星星放置在平面直角坐标系中第二象限内的甲位置，先将它绕原点O 旋转180︒到乙位置，再将它向上平移2个单位长到丙位置，则小星星顶点A 在丙位置中的对应点A '的坐标为（ ）A ．()3,1-B ．()1,3C ．()3,1D ．()3,1- 4．在平面直角坐标系中，点()2,1-关于x 轴对称的点的坐标是（ ）A ．()2,1B ．()2,1-C ．()2,1--D ．()2,1- 5．点()1,3P --向右平移3个单位，再向上平移5个单位，则所得到的点的坐标为（ ） A ．()4,2- B ．()2,2 C ．()4,8-- D ．()2,8- 6．点M 在第二象限，距离x 轴5个单位长度，距离y 轴3个单位长度，则M 点的坐标为（ ）A ．(-3，5)B ．(5，- 3)C ．(-5，3)D ．(3，5) 7．在平面直角坐标系中，点P 在第二象限，且点P 到x 轴的距离为3个单位长度，到y 轴的距离为4个单位长度，则点P 的坐标是（ ）A ．()3,4B ．()3,4--C ．()4,3-D ．()3,4- 8．如图，在棋盘上建立平面直角坐标系，若使“将”位于点(-1，-2)，“象”位于点(4，-1)，则“炮”位于点（ ）A ．(2，-1)B ．(-1，2)C ．(-2，1)D ．(-2，2) 9．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点C 的坐标为()2,0-，点B 的坐标为()1,4，则点A 的坐标为（ ）A ．()6,3-B ．()3,6-C ．()4,3-D ．()3,4- 10．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ），我们把点P ′（﹣y +1，x +1）叫做点P 的伴随点．已知点A 1的伴随点为A 2，点A 2的伴随点为A 3，点A 3的伴随点为A 4…，这样依次得到点A 1，A 2，A 3，…，A n ，若点A 1的坐标为（3，1），则点A 2019的坐标为（ ） A ．（0，﹣2） B ．（0，4） C ．（3，1） D ．（﹣3，1） 11．若点P （﹣m ，﹣3）在第四象限，则m 满足（ ）A ．m ＞3B ．0＜m≤3C ．m ＜0D ．m ＜0或m ＞3二、填空题12．小华在小明南偏西75°方向，则小明在小华______方向．（填写方位角） 13．若点P 位于x 轴上方，y 轴左侧，距离x 轴4个单位长度，距离y 轴2个单位长度，则点P 的坐标是_____________．14．点P 先向左平移4个单位，再向上平移1个单位，得到点Q(2，-3)，则点P 坐标为__ 15．如图，点A 的坐标（-2,3）点B 的坐标是（3，-2），则图中点C 的坐标是______．161111217．在平面直角坐标系中，将点A （5，﹣8）向左平移得到点B （x +3，x ﹣2），则点B 的坐标为_____．18．如图点 A 、B 的坐标分别为（1，2）、（3，0），将△AOB 沿 x 轴向右平移，得到△CDE ． 已知点 D 在的点 B 左侧，且 DB ＝1，则点 C 的坐标为 ____ ．19．如图，已知1(1,0)A ，2(1,1)A ，3(1,1)A -，4(1,1)A --，5(2,1)A -，则2020A 的坐标为_______．20．点A （m ，﹣3），点B （2，n ），AB //x 轴，则n=_____．21．若点()35,62P a a +--到 两坐标轴的距离相等，则a 的值为____________三、解答题22．已知△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示．将△ABC 向右平移6个单位长度，再向下平移4个单位长度得到△A 1B 1C 1．（图中每个小方格边长均为1个单位长度）（1）在图中画出平移后的△A 1B 1C 1；（2）直接写出△A 1B 1C 1各顶点的坐标；（3）求△ABC 的面积．23．在如图的直角坐标系中，将三角形ABC 平移后得到三角形111A B C ，他们的对应点坐标如下表所示：ABC(,0)A a (3,0)B (5,5)C 111A B C △ 1(4,2)A 1(7,)B b1(,)C c d （1）观察表中各对应点坐标变化，写出平移规律：________．（2）在坐标系中画出两个三角形．（3）求出111A B C △面积．24．在平面直角坐标系中，点P(2﹣m ，3m +6)．（1）若点P 与x 轴的距离为9，求m 的值；（2）若点P 在过点A(2，﹣3)且与y 轴平行的直线上，求点P 的坐标．25．如图，平面直角坐标系中，已知点A （－3，3），B （－5，1），C （－2，0），P （ ）是△ABC 的边AC 上任意一点，△ABC 经过平移后得到△A 1B 1C 1，点P 的对应点为 P 1 （ a ＋6，b+2 ）1111 2111（3）求△ABC的面积．。
初一数学《平面直角坐标系》选择题题型大全100题
B．(4,3)
A．1010B． C．1008D．
23．点P（x，y），且xy＜0，则点P在（）
A．第一象限或第二象限B．第一象限或第三象限
C．第一象限或第四象限D．第二象限或第四象限
24．平面坐标系中，点A（n,1-n）不可能是（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
25．如图是某市地图简图的一部分，图中“故宫”、“鼓楼”所在的区域分别是()
A．（7，1）B．B（1，7）C．（1，1）D．（2，1）
21．在平面直角坐标系xOy中，点P在第四象限，且点P到x轴的距离为1，到y轴的距离为3，则点P的坐标为（）
A．(3, 1)B．( 3,1)C．(1, 3)D．( 1,3)
22．如图，在一个单位面积为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，……是斜边在x轴上，且斜边长分别为2，4，6，……的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，-1），A3（0，0），则依图中所示规律，点A2019的横坐标为（ ）
12．如图，在直角坐标系中， ， ，第一次将 变换成 ， ， ；第二次将 变换成 ， ， ，第三次将 变换成 ， ，则 的横坐标为
A． B． C． D．
13．已知点A（a，﹣b）在第二象限，则点B（a﹣3，b﹣2）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
14．如果P(a+b，ab)在第二象限，那么点Q (a，-b)在( ).
A．一B．二C．三D．四
33．如图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示太和门的点的坐标为(0，－1)，表示九龙壁的点的坐标为(4，1)，则表示下列宫殿的点的坐标正确的是( )
在平面直角坐标系xoy中
在平面直角坐标系xoy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y -1)2＝4 和圆C 2：(x －4)2＋(y -5)2＝4（1）若直线l 过点A （4，0），且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P 的坐标.解：（1）由于直线x ＝4与圆C 1不相交；∴ 直线l 的斜率存在，设l 方程为：y ＝k (x －4)圆C 1的圆心到直线l 的距离为d ，∵ l 被⊙C 1截得的弦长为23∴ d ＝22)3(2-＝1 d ＝21|)43(1|k k +---从而k (24k ＋7)＝0即k ＝0或k ＝－247 ∴直线l 的方程为：y ＝0或7x ＋24y －28＝0（2）设点P （a , b ）满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a ), k ≠0则直线l 2方程为：y －b ＝－k 1(x －a ) ∵⊙C 1和⊙C 2的半径相等，及直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，∴⊙C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等 即21|)3(1|k b a k +----＝211|)4(15|kb a k +--+整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |∴1＋3k ＋ak －b ＝±（5k ＋4－a －bk ）即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5 因k 的取值有无穷多个，所以⎩⎨⎧=+-=-+0302a b b a 或⎩⎨⎧=-+=+-0508b a b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==2125b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=21323b a 这样的点只可能是点P 1(25, －21)或点P 2(－23, 213)经检验点P1和P2满足题目条件。
人教版七年级下册数学第七章 平面直角坐标系含答案(各地真题)
人教版七年级下册数学第七章平面直角坐标系含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在矩形COED中，点D的坐标是(1，3)，则CE的长是（）A.3B.C.D.42、在平面直角坐标系xoy中，已知A（4，2），B（2，－2），以原点O为位似中心，按位似比1:2把△OAB缩小，则点A的对应点A′的坐标为（）A.（3，1）B.（－2，－1）C.（3，1）或（－3，－1）D.（2，1）或（－2，－1）3、如图，已知一个直角三角板的直角顶点与原点重合，另两个顶点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（0，）.现将该三角板向右平移使点A与点O重合，得到△OCB′，则点B的对应点B′的坐标是（）A.（1，0）B.（，）C.（1，）D.（﹣1，）4、在平面直角坐标系中，点先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的（）A. B. C. D.5、将△ABC的各点的横坐标都加上3，纵坐标不变，所得图形与原图形相比（）A.向右平移了3个单位B.向左平移了3个单位C.向上平移了3个单位D.向下平移了3个单位6、点P是图①中三角形上一点，坐标为（a，b），图①经过变化形成图②，则点P在图②中的对应点P′的坐标为（）A.（a，b）B.（a﹣1，b）C.（a﹣2，b）D.（a，b）7、在平面直角坐标系中，已知点A（﹣6，9）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A.（﹣2，3）B.（﹣18，27）C.（﹣18，27）或（18，﹣27） D.（﹣2，3）或（2，﹣3）8、在平面直角坐标系中，点P（-2，3-π）所在象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9、在平面直角坐标系中，点P的横坐标是-3，且点P到x轴距离为5，则点P 的坐标是（）A.（5，-3）或（-5，-3）B.（-3，5）或（-3，-5）C.（-3，5）D.（-3，-3）10、将点B（5，－1）向上平移2个单位得到点A（a+b， a－b），则（）A.a=2， b=3B.a=3， b=2C.a=－3， b=－2D.a=－2， b=－311、矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（）A.（3，1）B.（3，）C.（3，）D.（3，2）12、某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形（如图所示）．则小鱼上的点（a，b）对应大鱼上的点（）A.（﹣2a，﹣2b）B.（﹣a，﹣2b）C.（﹣2b，﹣2a）D.（﹣2a，﹣b）13、点M（3，－4）关于x轴的对称点的坐标是（）A.（3， 4）B.（－3，－4）C.（－3， 4）D.（－4，3）14、在平面直角坐标系中，点M（﹣2，3）在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限15、如图是株洲市的行政区域平面地图，下列关于方位的说法明显错误的是A.炎陵位于株洲市区南偏东约35°的方向上B.醴陵位于攸县的北偏东约16°的方向上C.株洲县位于茶陵的南偏东约40°的方向上D.株洲市区位于攸县的北偏西约21°的方向上二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，把一块三角板放在直角坐标系第一象限内，其中30°角的顶点A落在y轴上，直角顶点C落在x轴的（，0）处，∠ACO=60°，点D为AB边上中点，将△ABC沿x轴向右平移，当点A落在直线y=x﹣3上时，线段CD扫过的面积为________．17、我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在轴上，的中点是坐标原点，固定点，，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上点处，则点的对应点的坐标为________.18、已知点A（m，n）在第四象限，那么点B（m，﹣n）在第________象限．19、如图，象棋盘上，若“将”位于点(1，-1)，“车”位于点(-3，-1)，则“马”位于点________．20、点P（m+2，2m+1）向右平移1个单位长度后，正好落在y轴上，则m=________．21、点P（3，﹣2）到y轴的距离为________个单位．22、已知线段MN平行于x轴，且MN的长度为5，若M的坐标为（2，-2），那么点N的坐标是________；23、如界点在平面直角坐标系的第二象限，则m的取值范围是________．24、如图，学校在小明家________偏________度的方向上，距离约是________米．25、同学们玩过五子棋吗？它的比赛规则是只要同色5子先成一条直线就算胜如图是两人玩的一盘棋，若白的位置是（1，﹣5），黑的位置是（2，﹣4），现轮到黑棋走，你认为黑棋放在________位置就获得胜利了．三、解答题(共6题，共计25分)26、如图所示的马所处的位置为（2，3）．⑴你能表示图中象的位置吗？⑵写出马的下一步可以到达的位置．（马走日字）27、如图是边长为4的正方形，请你建立适当的直角坐标系，并写出点A，B，C，D的坐标．28、某市有A、B、C、D四个大型超市，分别位于一条东西走向的平安大路两侧，如图，若C（﹣2，8）、D（0，0），请建立适当的直角坐标系，并写出A、B两个超市相应的坐标．29、王林同学利用暑假参观了幸福村果树种植基地（如图），他出发沿（1，3），（﹣3，3），（﹣4，0），（﹣4，﹣3），（2，﹣2），（5，﹣3），（5，0），（5，4）的路线进行了参观，请你按他参观的顺序写出他路上经过的地方，并用线段依次连接他经过的地点．30、古城黄州以其名胜古迹吸引了不少游客.从地图上看，较有名的六外景点在黄州城内的分布是∶东坡赤壁在市政府以西2km再往南3km处，黄冈中学在市政府以东1 km处，宝塔公园在市政府以东3km处，鄂黄长江桥在市政府以东7 km再往北8 km处，遗爱湖在市政府以东4km再往北4km处，博物馆在市政府以北2 km再往西1 km处。
初中数学函数之平面直角坐标系知识点总复习附答案(1)
初中数学函数之平面直角坐标系知识点总复习附答案(1)一、选择题1．在平面直角坐标系中，点P(－3，4)到x轴的距离为( )A．3 B．－3 C．4 D．－4【答案】C【解析】【分析】纵坐标的绝对值就是点到x轴的距离．【详解】∵|4|=4，∴点P（-3，4）到x轴距离为4．故选C．2．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为（）A．a=b B．2a+b=﹣1 C．2a﹣b=1 D．2a+b=1【答案】B【解析】试题分析：根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上，则P点横纵坐标的和为0，即2a+b+1=0，∴2a+b=﹣1．故选B．3．如图，ABCDEF是中心为原点O，顶点A，D在x轴上，半径为4的正六边形，则顶点F的坐标为（）A ．()2,23B ．()2,2-C ．()2,23-D ．()1,3- 【答案】C【解析】【分析】 连接OF ，设EF 交y 轴于G ，那么∠GOF=30°；在Rt △GOF 中，根据30°角的性质求出GF ，根据勾股定理求出OG 即可．【详解】解：连接OF ，在Rt △OFG 中，∠GOF=13603026⨯=oo ，OF=4． ∴GF=2，3∴F （-2，3）．故选C ．【点睛】本题利用了正六边形的对称性，直角三角形30°的角所对的边等于斜边的一半，勾股定理等知识，熟练掌握正六边形的对称性是解答本题的关键．4．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如()()()()()()1,02,02,11,11,22,2，，，，，······根据这个规律，第2019个点的纵坐标为( )A．5B．6C．7D．8【答案】B【解析】【分析】观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点结束，根据此规律解答即可．【详解】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1＝12，右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4＝22，右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9＝32，右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16＝42，…右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，∵452＝2025，45是奇数，∴第2025个点是（45，0），第2019个点是（45，6），所以，第2019个点的纵坐标为6．故选：B．【点睛】本题考查了点的坐标，观察出点个数与横坐标的存在的平方关系是解题的关键．5．如图，在平面直角坐标系中，□ ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是(0,0)，(5,0)，(2,3)，则顶点C的坐标是（）．A．(3,7)B．(5,3)C．(7,3)D．(8,2)【答案】C【解析】【分析】由平行四边形的对边相等且互相平行可得AB=CD，CD∥AB，因为AB=5，点D的横坐标为2，所以点C的横坐标为7，根据点D的纵坐标和点C的纵坐标相同即可的解．【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，AB=5，∴AB=CD=5，∵点D的横坐标为2，∴点C的横坐标为2+5=7，∵AB∥CD，∴点D和点C的纵坐标相等为3，∴C点的坐标为（7，3）．故选：C．【点睛】本题考查平行四边形的性质以及坐标与图形的性质，解题的关键是熟知与x轴平行的点纵坐标都相等，将点向右移动几个单位横坐标就加几个单位．6．如图，若A、B两点的坐标分别为（﹣3，5）、（3，5），则点C坐标为（）A．（﹣2，6）B．（﹣1，6）C．（﹣2，7）D．（﹣1，7）【答案】D【解析】【分析】根据A、B的坐标判断出y轴在AB的垂直平分线上，结合图形可得点C的纵坐标比A、B 的纵坐标大2，然后解答即可．【详解】如图所示，∵A、B两点的坐标分别为（﹣3，5）、（3，5），∴则点C坐标为（﹣1，7），故选：D．【点睛】本题考查了坐标确定位置，准确识图，判断出y轴的位置以及点C的纵坐标与点A、B的纵坐标的关系是解题的关键．7．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2018次得到正方形OA2018B2018C2018，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2018的坐标为（）A．（1，1）B．（0，2）C．（20，）D．（﹣1，1）【答案】D【解析】分析：根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可得对应点B的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论．详解：∵四边形OABC是正方形，且OA=1，∴B（1，1），连接OB，由勾股定理得：OB=2，由旋转得：OB=OB1=OB2=OB3= (2)∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=…=45°，∴B1（0，2），B2（-1，1），B3（-2，0），…，发现是8次一循环，所以2018÷8=252 (2)∴点B2018的坐标为（-1，1）故选：D．点睛：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法8．如图，小手盖住的点的坐标可能为( )A．(-1，1) B．(-1，-1) C．(1，1) D．(1，-1)【答案】D【解析】【详解】解：根据第四象限的坐标特征，易得小手盖住的点的横坐标为正，纵坐标为负，选项D符合此特征，故选：D9．如果点M（3a﹣9，1+a）是第二象限的点，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：点在第二象限的条件是：横坐标是负数，纵坐标是正数．解：∵点M（3a﹣9，1+a）是第二象限的点，∴，解得﹣1＜a＜3．在数轴上表示为：．故选A．考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组；点的坐标．10．如图，直线m⊥n，在某平面直角坐标系中，x轴∥m，y轴∥n，点A的坐标为（－4，2），点B的坐标为（2，－4），则坐标原点为（）A．O1B．O2C．O3D．O4【答案】A【解析】试题分析：因为A点坐标为（－4，2），所以，原点在点A的右边，也在点A的下边2个单位处，从点B来看，B（2，－4），所以，原点在点B的左边，且在点B的上边4个单位处．如下图，O1符合．考点：平面直角坐标系．11．在平面直角坐标中，点M(－2，3)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】∵−2<0，3>0，∴(−2,3)在第二象限，故选B.12．在平面直角坐标系xOy中，若点P在第四象限，且点P到x轴的距离为1，到y轴的距离为3，则点的坐标为( )A．(3,-1) B．(-3,1) C．(1,-3) D．(-1,3)【答案】A【解析】【分析】根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值，结合第四象限点（+，-），可得答案．【详解】解：若点P在第四象限，且点P到x轴的距离为1，到y轴的距离为3，则点的坐标为（3，-1），故选：A．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．13．已知点P位于y轴右侧，距y轴3个单位长度，位于x轴上方，距离x轴4个单位长度，则点P坐标是( )A．(3,4) B．(-3,4) C．(-4,3) D．(4，3)【答案】A【解析】【分析】根据题意，P点应在第一象限，横、纵坐标为正，再根据P点到坐标轴的距离确定点的坐标．【详解】解：∵P点位于y轴右侧，x轴上方，∴P点在第一象限，又∵P 点距y 轴3个单位长度，距x 轴4个单位长度，∴P 点横坐标为3，纵坐标为4，即点P 的坐标为（3，4）．故选A ．【点睛】本题考查了点的位置判断方法及点的坐标几何意义．14．如果(,)p a b ab +在第二象限，那么点(,)Q a b -在第（ ）象限A ．一B ．二C ．三D ．四【答案】D【解析】【分析】由点P 在第二象限得到a+b<0，ab>0，即可得到a 与b 的符号，由此判断点Q 所在的象限.【详解】∵点P 在第二象限，∴a+b<0，ab>0，∴a<0，b<0，∴-a>0，∴点(,)Q a b -在第四象限，故选：D.【点睛】此题考查象限中点的坐标特点，熟记每个象限中的点坐标特点是解题的关键.15．在平面直角坐标系中，以A （0，2），B （﹣1，0），C （0．﹣2），D 为顶点构造平行四边形，下列各点中，不能作为顶点D 的坐标是（ ）A ．（﹣1，4）B ．（﹣1，﹣4）C ．（﹣2，0）D ．（1，0）【答案】C【解析】【分析】根据平行四边形的判定，可以解决问题．【详解】若以AB 为对角线，则BD ∥AC ，BD=AC=4，∴D （-1，4）若以BC 为对角线，则BD ∥AC ，BD=AC=4，∴D （-1，-4）若以AC 为对角线，B ，D 关于y 轴对称，∴D （1，0）故选C ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，关键是熟练利用平行四边形的判定解决问题．16．会议室2排3号记作（2，3），那么3排2号记作（）A．（3，2）B．（2，3）C．(-3，-2) D．（-2，-3）【答案】A【解析】【分析】根据有序数对的意义求解.【详解】会议室2排3号记作（2，3），那么3排2号记作（3，2）.故选：A【点睛】关键是理解题意，理解有序数对的意义.．17．点P(1，－2)在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】点P（1，-2）所在的象限是第四象限，故选D.18．在平面直角坐标系中，点(一6，5)位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】【分析】根据所给点的横纵坐标的符号可得所在象限．【详解】解：∵所给点的横坐标是-6为负数，纵坐标是5为正数，∴点（-6，5）在第二象限，故选：B．【点睛】本题考查象限内点的符号特点；用到的知识点为：符号为（-，+）的点在第二象限．19．在平面直角坐标系中,点P(1,-2)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可.【详解】∵点P(1,-2),横坐标大于0，纵坐标小于0，∴点P(1,-2)在第三象限,故选D.【点睛】本题考查了象限内点的坐标特征，关键是熟记平面直角坐标系中各个象限内点的坐标符号．20．如果点P（m+3，m+1）在x轴上，则点P的坐标为（）A．（0，2）B．（2，0）C．（4，0）D．（0，﹣4）【答案】B【解析】【分析】根据点P在x轴上，即y=0，可得出m的值，从而得出点P的坐标．【详解】根据点P在x轴上，即y＝0，可得出m的值，从而得出点P的坐标．解：∵点P（m+3，m+1）在x轴上，∴y＝0，∴m+1＝0，解得：m＝﹣1，∴m+3＝﹣1+3＝2，∴点P的坐标为（2，0）．故选：B．【点睛】本题考查了点的坐标，注意平面直角坐标系中，点在x轴上时纵坐标为0，得出m的值是解题关键.。
期末难点特训(三)和平面直角坐标系有关的压轴题-【微专题】七年级数学下册常考点微专题提分精练
七下期末难点特训（三）和平面直角坐标系有关的压轴题1. 在平面直角坐标系xOy 中，对于P ，Q 两点给出如下定义：若点P 到x 、y 轴的距离中的最大值等于点Q 到x 、y 轴的距离中的最大值，则称P ，Q 两点为“等距点”．下图中的P ，Q 两点即为“等距点”．（1）已知点A 的坐标为（﹣3，1），①在点E （0，3），F （3，﹣3），G （2，﹣5）中，为点A 的“等距点”的是 ；②若点B 的坐标为B （m ，m +6），且A ，B 两点为“等距点”，则点B 的坐标为 ；A ．（3，9）B ．（﹣9，﹣3）C ．（﹣3，3）D ．不能确定（2）若1T （﹣1，﹣k ﹣3），2T （4，4k ﹣3）两点为“等距点”，求k 的值．2. 平面直角坐标系中，(),0A a ，()0,B b ，a ，b 均为整数，且满足b =C 在y 轴负半轴上且10ABC S =△，将线段AB 平移到DE ，其中点A 的对应点是点D ．（1）请直接写出点A ，B ，C 的坐标；（2）如图（1），若点D 的坐标为()1,0-，点(),F m n 为线段DE 上一点，且ACF △的面积大于12，求m 的取值范围；（3）如图（2），若DE 与y 轴的交点G 在B 点上方，点P 为y 轴上一动点，请直接写出EBO ∠，BPD ∠，PDA ∠之间的数量关系．3. 如图所示，在平面直角坐标系中，如图①，将线段AB 平移至线段CD ，点A 在x 轴的负半轴，点C 在y 轴的正半轴上，连接AC 、BD ．（1）若(3,0)A -、(2,2)B --，(0,2)C ，直接写出点D 的坐标；（2）如图②，在平面直角坐标系中，已知一定点(2,0)M ，两个动点(,21)E a a +、(,23)F b b -+．请你探索是否存在以两个动点E 、F 为端点的线段EF 平行于线段OM 且等于线段OM ，若存在，求点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图③，在直线EF 上有两点A 、C ，分别引两条射线AB 、CD ．110BAF ∠=︒，60DCF ∠=︒，射线AB 、CD 分别绕A 点，C 点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t ，在射线CD 转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD 与AB 平行？若存在，求出所有满足条件的时间t ．4. 如图，在平面直角坐标系中，AB x ⊥轴，垂足为A ，BC y ⊥轴，垂足为C ，已知(,0)A a ，(0,)C c ，其中a ，c 满足关系式2(6)0a -+=，点P 从O 点出发沿折线OA AB BC --的方向运动到点C 停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点P 的运动时间为t 秒．（1）在运动过程中，当点P 到AB 的距离为2个单位长度时，t =________秒；（2）在点P 的运动过程中，用含t 的代数式表示P 点的坐标；（3）当点P 在线段AB 上的运动过程中，射线AO 上一点E ，射线OC 上一点F （不与C 重合），连接PE ，PF ，使得70EPF ∠=︒，求AEP ∠与PFC ∠的数量关系．5. 在平面直角坐标系中，(),0A a ，()1,B b ，a ，b 满足0a b +=，连接AB 交y 轴于C ．（1）直接写出=a ______，b =______；（2）如图1，点P 是y 轴上一点，且三角形ABP 的面积为12，求点P 的坐标；（3）如图2，直线BD 交x 轴于()4,0D ，将直线BD 平移经过点A ，交y 轴于E ，点(),Q x y 在直线AE 上，且三角形ABQ 的面积不超过三角形ABD 面积的13，求点Q 横坐标x 的取值范围．6. 在平面直角坐标系中，点A ，C 均在x 轴上，点B 在第一象限，直线AB 上所有点的坐标(),x y 都是二元一次方程2x y -=-的解，直线BC 上所有点的坐标(),x y 都是一元一次方程28x y +=的解．（1）求B 点的坐标时，小明是这样想的：先设B 点坐标为()m n ,，因为B 点在直线AB 上，所以()m n ,是方程2x y -=-的解；又因为B 点在直线BC 上，所以()m n ,也是方程28x y +=的解，从而m ，n 满足228m n m n -=-⎧⎨+=⎩，据此可求出B 点坐标为______．再求出A 点坐标为______；C 点坐标为______．（均直接写出结果）（2）若线段BC 上存在一点D ，使12OCD ABC S S =△△（O 为原点），求D 点坐标（3）点(),3E a -是坐标平面内的动点，若满足13ABE ABC S S ≤△△，求a 的取值范围．7. 如图1，在平面直角坐标系中，已知(),0A a ，()0,B b ，(),C a c ．其中a 、b 、c 满足关系式()226a b -=--，()250c -≤．（1）=a _______；b =_______；c =______．（2）如果在第四象限内有一点()1,P m ，使得APO △的面积是ABC 面积的一半，求点P 的坐标．（3）如图2，过点A 作AD AB ⊥，交BC 延长线于点D ，且AB AD =，点(),36M m m -+在直线AB 上，点Q 是x 轴上异于点A 的一个动点，是否存在DQM 为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标．8. 如图，在平面直角坐标系中，已知A （a ，0），B （0，b ），C （a ，c ）．其中a 、b 、c 满足关系式|a ﹣2|＝﹣（b ﹣6）2，（c ﹣5）2≤0．（1）a ＝______，b ＝______，c ＝______；（2）如果在第四象限内有一点P （1，m ），使得△APO 的面积是△ABC 面积的一半，求点P 的坐标．（3）过点A 作AD ⊥AB ，交BC 延长线于点D ，且AB ＝AD ，点M （m ，﹣3m +6）在直线AB 上，点Q 是x 轴上异于点A 的一个动点，是否存在△DQM 为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标．9. 如图1，在平面直角坐标系中，已知点(),A a b ，(),B a b a --，且a ，b 满足：0a +=．（1）求点A ，B 的坐标；（2）如图1，将AB 平移到A B ''，使点B 的对应点B '落在x 轴的正半轴上，在y 轴上有一点P ，且20ABP ∠=︒，试判断PB A ''∠与B PB '∠之间的数量关系，并说明理由；（3）如图2，线段AB 与y 轴交于点M ，将AB 平移到A B ''，连接MA '，MB '，点B 的对应点(),0B n '，若2024A B M S ''≤≤△，求n 的取值范围．10. 如图，在平面直角坐标系中，A 、B 、C 三个点的坐标分别为()4,0-A 、()0,4B 、()3,4C ，D 为OA 中点，BD 与AC 相交于点E ．（1）则点D 坐标为_______，BC =________；（2）点(),F a b 在直线BD 上，且2BF DF =，求b 的值；（3）点(),0M m 在x 轴上，若MCE △的面积大于BCE 的面积，直接写出m 的取值范围_______．11. 在如图所示的平面直角坐标系xOy 中，BC ⊥y 轴于点C ，OA ＝12，BC ＝OC ＝6，点B 在第三象限．设动点P 从A 点出发沿x 轴正方向以每秒3个单位长度匀速移动，同时动点Q 从O 点出发沿y 轴负方向以每秒32个单位长度匀速移动，连接PB ，QB ．（1）直接写出点A 、B 的坐标；（2）当△PAB 的面积是△QBC 的面积的4倍时，求点P 的坐标；（3）若S △OPB 、S △QBC 分别表示△OPB 、△QBC 的面积，说明S △OPB 与S △QBC 的数量关系．12. 在平面直角坐标系中，已知M （0，4），N （3，2），线段MN 平移得到线段PQ ，使点M 的对应点为P ，点N 的对应点为Q ，若点P 的坐标为()2,1--，点Q 的坐标为(),a b ，（1）=a ___________，b =___________；（2）若点E 为x 轴正半轴上的一个动点，探究MNE ∠、NEQ ∠和EQP ∠之间的数量关系并证明；（注：MNE ∠、NEQ ∠和EQP ∠均为大于0︒且小于180︒的角）（3）将线段MN 向下平移得到线段AB ，从使得点N 的对应点B 落在x 轴上，点M 的对应点A 落在y 轴上，动点C 从点B 出发，以每秒钟移动3个单位长度的速度沿x 轴向左运动，动点D 从点A 出发，以每秒钟移动2个单位长度的速度沿y 轴向下运动，直线BD 与直线AC 交于点F ，设点F 的坐标为(),m n ．动点C 和动点D 同时出发且它们的运动时间为t 秒．①在01t <<时，试探究ADF △与BCF △的面积关系，并说明理由；②若在点C 、D 的运动过程中，ABF △的面积为7，请直接写出m 的值．13. 在平面直角坐标系中，如果点P （a ，b ）满足a +1＞b 且b +1＞a ，则称点P 为“自大点”：如果一个图形的边界及其内部的所有点都不是“自大点”，则称这个图形为“自大忘形”．（1）判断下列点中，哪些点是“自大点”，直接写出点名称 ；P1（1，0）P 2P 3（﹣12，13）P 4（﹣1）（2）如果点N （2x +3，2）不是“自大点”，求出x 的取值范围．（3）如图，正方形ABCD 的初始位置是A （0，6），B （0，4），C （2，4），D （2，6），现在正方形开始以每秒1个单位长的速度向下（y 轴负方向）平移，设运动时间为t 秒（t ＞0），请直接写出当正方形成为“自大忘形”时，t 的取值范围： ．七下期末难点特训（三）和平面直角坐标系有关的压轴题【1题答案】【答案】（1）①E ，F ；②C（2）1或2【解析】【分析】（1）①找到x 、y 轴距离最大为3的点即可；②先分析出直线上的点到x 、y 轴距离中有3的点，再根据“等距点”概念进行解答即可；（2）先分析出直线上的点到x 、y 轴距离中有4的点，再根据“等距点”概念进行解答即可．【小问1详解】解：①∵点A (-3,1)到x 、y 轴的距离中最大值为3，又∵点E (0,3)和点F (3,-3)到x 、y 轴的距离中最大值为3，∴与A 点是“等距点”的点是E 、F ；②∵点B 的坐标为(m ,m +6)，且有m ＜m +6，又∵点A 与点B 为“等距点”，点A (-3,1)到x 、y 轴的距离中最大值为3，∴m +6=3，解得m =-3，即B 点的坐标为(-3,3)，故选：C ．故答案为：①E 、F ；②C ；【小问2详解】解：1(1,3)T k ---，()24,43T k -两点为“等距点”，①若|4k -3|≤4时，则4＝-k -3或-4＝-k -3，解得k ＝-7（舍去）或k ＝1；②若|4k -3|＞4时，则|4k -3|＝|-k -3|，解得k ＝2或k ＝0（舍去）．根据“等距点”的定义知，k ＝1或k ＝2符合题意．即k 的值是1或2．【点睛】本题考查了直角坐标系中的坐标中的知识，理解读懂“等距点”的定义是解题的关键．【2题答案】【答案】（1）()4,0A ，()0,2B ，()0,3C -（2）1455m -≤<- （3）当点P 在点B 的下方时，180EBO BPD ADP ∠=∠+︒-∠；当点P 在B 的上方、AD 的延长线与y 轴的交点的下方时，360EBO PDA BPD ∠+∠+∠=︒；当点P 在AD 的延长线与y 轴的交点T 上方时，PDA EBO BPD ∠=∠+∠．【解析】【分析】（1）由非负性可求a ，b 的值，由三角形的面积公式可求点C 坐标；（2）由平移的性质可得AB DE =，AB DE ∥，5AD BE ==，由面积关系可求m ，n 的数量关系，即可求解；（3）分三种情况讨论，由平移的性质，平行线的性质以及角的数量关系可求解．【小问1详解】解：b =- 40a ∴- ，240a - ，24a ∴ ，a ，b 均为整数，4a ∴=，2b =，(4,0)A ∴，(0,2)B ，4∴=OA ，2OB =，10ABC S ∆= ，∴1102BC OA ⨯⨯=，5BC ∴=，点C 在y 轴负半轴上，∴点C 坐标为(0,3)-；【小问2详解】解：如图，连接BE ，BF ，OF ，将线段AB 平移到DE ，AB DE ∴=，AB DE ∥，5AD BE ==，∴四边形ABED 的面积2510=⨯=，152ABF ABEDS S ∆∴==四边形，ABF ADF ABO BFO DFO ABFD S S S S S S ∆∆∆∆∆=+=++ 四边形，111155422()12222n m n ∴+⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯，12m n --∴=，12ACF AFO AOC OCF S S S S ∆∆∆∆=++> ，∴1114433()12222n m ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯->，145m ∴<-；∵F 为线段DE 上一点，∴5,m ≥- ∴145.5m -≤-＜【小问3详解】解：如图，当点P 在点B 的下方时，延长EB 交PD 于F ，将线段AB 平移到DE ，AB DE ∴∥，AD BE ∥，ADP BFD ∴∠=∠，180180PFB BFD PDA ∴∠=︒-∠=︒-∠，EBO BPD BFP ∠=∠+∠ ，180EBO BPD PDA ∴∠=∠+︒-∠，180EBO PDA BPD ∴∠+∠-∠=︒；如图，当点P 在B 的上方、AD 的延长线与y 轴的交点下方时，延长DP 交BE 于点F ，将线段AB 平移到DE ，AD BE ∴∥，180PDA BFD ∴∠+∠=︒，180BFP PDA ∴∠=︒-∠，EBO BFP BPF ∠=∠+∠ ，180180EBO PDA BPD ∴∠=︒-∠+︒-∠，360EBO PDA BPD ∴∠+∠+∠=︒；如图，当点P 在AD 的延长线与y 轴的交点T 上方时，EBO BEG EGB ∠=∠+∠ ，又BE AD ∥，BEG GDT ∴∠=∠，由对顶角得EGB TGD ∠=∠，PTD TGD TDG ∠=∠+∠ ，PTD EBO ∴∠=∠，PDA PTD TPD ∠=∠+∠ ，PDA EBO BPD∴∠=∠+∠综上所述：当点P 在点B 的下方时，180EBO BPD ADP ∠=∠+︒-∠；当点P 在B 、与AD 的延长线与y 轴的交点之间时，360EBO PDA BPD ∠+∠+∠=︒；当点P 在AD 的延长线与y 轴的交点T 上方时，PDA EBO BPD ∠=∠+∠．【点睛】本题是三角形综合题，考查了平移的性质，三角形面积公式，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．【3题答案】【答案】（1）(1,0)D（2）存在，3,42E ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 1,42F ⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）存在，t 为5秒或95秒【解析】【分析】(1)根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状可知对应线段平行且相等，对应点的连线平行且相等；(2) 根据()()0,02,0EF OM EF OM O M =∥，，，，得出21232a b a b +=-+-=，，解答即可．(3) 分①AB 与CD 在EF 的两侧，分别表示出ACD ∠与BAC ∠，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；②CD 旋转到与AB 都在EF 的右侧，分别表示出DCF ∠与BAC ∠，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；③CD 旋转到与AB 都在EF 的左侧，分别表示出DCF ∠与BAC ∠，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解.【小问1详解】解：设(,)D x y ，将线段AB 平移至线段CD ，(3,0)A -、(2,2)B --，(0,2)C ，02(3)x ∴-=---，220y -=--，1x ∴=，0y =，(1,0)D ∴；【小问2详解】解：存在，理由：//EF OM ，EF OM =，(0,0)O ，(2,0)M ，∴点E 与F 的纵坐标相等，横坐标的差的绝对值为2，四边形OMEF 是平行四边形，即2123a b +=-+，||2a b -=，解得：12a =-，32b =或32a =，12b =-，∴点E 的坐标为1(2-，0)，F 的坐标为3(2，0)或点E 的坐标为3(2，4)，F 的坐标为1(2-，4)，当1(2E -，0)，3(2F ，0)时，O 、M 、E 、F 四点均在x 轴上，不能构成平行四边形，舍去；(E ∴32，4)，1(2F -，4)；【小问3详解】解：存在．分三种情况：如图①，AB 与CD 在EF 的两侧时，110BAF ∠=︒ ，60DCF ∠=︒，18060312031203ACD t t t ∴∠=︒-︒-︒⨯=︒-︒⨯=︒-︒，1101110BAC t t ∠=︒-︒⨯=︒-︒，要使//AB CD ，则ACD BAF ∠∠=，即1203110t t ︒-︒=︒-︒，解得5t =，此时(18060)340︒-︒÷︒=，040t ∴<<，②CD 旋转到与AB 都在EF 的右侧时，110BAF ∠=︒ ，60DCF ∠=︒，3603603003DCF t t ∴∠=︒-︒-︒=︒-︒，110BAC t ∠=︒-︒，要使//AB CD ，则DCF BAC ∠∠=，即3003110t t ︒-︒=︒-︒，解得95t =，此时(36060)3100︒-︒÷︒=，40100t ∴<<；③CD 旋转到与AB 都在EF 的左侧时，110BAF ∠=︒ ，60DCF ∠=︒，3(18060180)3300DCF t t ∴∠=︒-︒-︒+︒=︒-︒，110BAC t ∠=︒-︒，要使//AB CD ，则DCF BAC ∠∠=，即3300110t t ︒-︒=︒-︒，解得95t =，此时110t >，95110< ，∴此情况不存在．综上所述，t 为5秒或95秒时，CD 与AB 平行．【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，平行线的判定，三角形的面积，熟记平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法，要注意分情况讨论是解题的关键．【4题答案】【答案】（1）2s 或8s ；（2）当0≤t ≤3时，P （2t ，0）；当3≤t ≤7时，P （6，6−2t ）；当7≤t ≤10时，P （20−2t ，−8）；（3）∠PFC ＋∠PEA ＝160°或∠PFC −∠AEP ＝20°．【解析】【分析】（1）由非负数的性质得a −6＝0，c ＋8＝0，解得a ＝6，c ＝−8，由此即可解决问题；（2）分三种情形：①当0≤t ≤3时，②当3≤t ≤7时，③当7≤t ≤10时，分别求解即可；（3）分两种情形分别画出两个图形，根据三角形外角的性质和三角形内角和定理进行求解即可．【小问1详解】解：∵a ，c 满足关系式2(6)0a -+=，∴a −6＝0，c ＋8＝0，∴a ＝6，c ＝−8，∴A （6，0），B （6，−8）．当点P 到AB 的距离为2个单位长度时，运动路程s ＝6−2＝4或s ＝6＋8＋2＝16，∴4÷2＝2s 或16÷2＝8s ，故答案为：2s或8s；【小问2详解】①当0≤t≤3时，点P在OA上，此时，P（2t，0）；②当3≤t≤7时，点P在AB上，此时PA＝2t−6，由于点P在第四象限，纵坐标小于0，则P（6，6−2t）；③当7≤t≤10时，点P在BC上，此时PB＝2t−OA−AB＝2t−14，PC＝BC−PB＝6−（2t−14）＝20−2t，∴P（20−2t，−8）；【小问3详解】当点P在线段AB上时，分两种情况：①如图3中，结论：∠PEA＋∠PFC＝160°，理由如下：连接OP，∵∠PFC＝∠FPO＋∠FOP，∠AEP＝∠EOP＋∠EPO，∴∠PEA＋∠PFC＝∠FPO＋∠FOP＋∠EOP＋∠EPO＝∠AOF＋∠EPF＝90°＋70°＝160°；②如图4中，结论：∠PFC−∠AEP＝20°，理由如下：设PM 交OC 于G ，∵∠AEP ＋∠EGO ＝90°，∠EGO ＝∠PGF ＝110°−∠PFC ，∴∠AEP ＋110°−∠PFC ＝90°，∴∠PFC −∠AEP ＝20°，综上所述，∠PFC ＋∠PEA ＝160°或∠PFC −∠AEP ＝20°．【点睛】本题是三角形综合题，考查了图形与坐标性质、非负数的性质、三角形的外角性质、直角三角形的性质等知识，综合性强，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属干中考常考题型．【5题答案】【答案】（1）-3，4（2）-3，4 （3）-4≤x ≤-2且x ≠-3【解析】【分析】（1）根据非负数的性质构建方程组，解方程组求出a ，b ；（2）过点B 作BM x ⊥轴于M ，设OC m =，由三角形面积关系得出111()222OA OC OC BM OM AM BM ⋅++⋅=⋅，求出3m =，过点B 作BN y ⊥轴于N ，由三角形面积关系得出1131222CP CP ⨯⨯+=，求出CP 即可；（3）连接DQ ，过点Q 作QR x ⊥轴，分点Q 在第二象限，点Q 在第三象限时，两种情况，分别列出方程，解之即可．【小问1详解】解： |210|0a b -+=，又0，|210|0a b -+ ，∴102100a b a b +-=⎧⎨-+=⎩，解得：34a b =-⎧⎨=⎩，故答案为：-3，4．【小问2详解】过点B 作BM x ⊥轴于M ，设OC m =，三角形AOC 的面积+四边形OCBM 的面积=三角形ABM 的面积，∴111()222OA OC OC BM OM AM BM ⋅++⋅=⋅，即1113(4)144222m m ⨯++⨯=⨯⨯，解得：3m =，点C 的坐标为(0,3)，过点B 作BN y ⊥轴于N ，三角形ABP 的面积=三角形ACP 的面积+三角形BCP 的面积，∴111222OA CP BN CP ⋅+⋅=，即1131222CP CP ⨯⨯+=，6CP ∴=，∴点P 的坐标为(0,3)-或(0,9)．【小问3详解】点B 向左平移4个单位长度，向下平移4个单位长度到点A ，∵点D 向左平移4个单位长度后的对应点正好在y 轴上，∴点D 平移后的对应点恰好是点(0,4)E -，连接DQ ，过点Q 作QR x ⊥轴，如图所示：AE BD ∥，∴三角形ADQ 的面积=三角形ABQ 的面积，当三角形ABQ 的面积13=三角形ABD 的面积时，1433B QR y ==，当点Q 在第三象限时，∴14141(3)(4)()4323232x x +⨯++-=⨯⨯，解得：2x =-，当点Q 在第二象限时，∴11411634(3)()22323x x ⨯⨯+-⨯=-⨯，解得：4x =-，∴当三角形ABQ 的面积不超过三角形ABD 面积的13时，点Q 的横坐标x 的取值范围是42x -- ，且3x ≠-．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，非负数的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．【6题答案】【答案】（1）（2，4），（-2，0），（4，0）（2）（52，3）（3）-7≤a≤-3且a≠-5【解析】【分析】（1）解方程组可求出B点坐标，解方程可求出A和C的坐标；（2）求出三角形ABC的面积=12，则可求出D点的纵坐标，代入2x+y=8求出x，可得答案；（3）设直线BA交直线y=-3于点F，过点B作x轴的垂线分别交x轴，直线y=-3于M，N，根据S△ABM+S梯形AMNF=S△FBN求出FN=7，得出S△ABE≤4，令S△ABE=4，得出方程|a+5|=2，解出a=-7或-3，则可得出答案．【小问1详解】解：∵m，n满足2 28m nm n-=-⎧⎨+=⎩，解得：24mn=⎧⎨=⎩，∴B（2，4），∵点A在x轴上，又在直线AB上，令y=0，则x-0=-2，∴x=-2，∴A（-2，0），同理，令y=0，∴2x+0=8，∴x=4，∴C（4，0），故答案为：（2，4），（-2，0），（4，0）；【小问2详解】∵B（2，4），A（-2，0），C（4，0）；∴AC=4+2=6，∴S△ABC=12AC×4=12×6×4=12，∵S△OCD=12S△ABC，∴S △OCD =12OC •y D =6，∴y D =3，代入2x +y =8得，x =52，∴D （52，3）；【小问3详解】设直线BA 交直线y =-3于点F ，过点B 作x 轴的垂线分别交x 轴，直线y =-3于M ，N ，∵S △ABM +S 梯形AMNF =S △FBN ，∴12×4×4+12（4+FN ）×3=12×FN ×7，∴FN =7，∴F （-5，-3），∵S △ABE ≤13S △ABC ，∴S △ABE ≤4，令S △ABE =4，∵S △BEF -S △AEF =S △ABE ，∴12|a +5|×7-12|a +5|×3=4，∴|a +5|=2，解得a =-7或-3，∵S △ABE ≤4，∴-7≤a ≤-3且a ≠-5．【点睛】本题是三角形综合题，考查了二元一次方程组的解法，坐标与图形的性质，三角形的面积公式，熟练掌握坐标与图形的性质是解题的关键．【7题答案】【答案】（1）2，6，5（2）（1，52 -）（3）存在，点Q的坐标为（-3，0）或（22，0）或（-18，0）【解析】【分析】（1）根据非负数的性质，即可解答；（2）根据△APO的面积是△ABC面积的一半列方程，即可解答；（3）存在，分三种情况：当∠DQM=90°时，点Q与A重合，此种情况不成立，有∠DMQ=90°和∠MDQ=90°，分情况正确画图，证明三角形全等，求出m的值，即可解答．【小问1详解】解：∵|a-2|=-（b-6）2，∴|a-2|+（b-6）2=0，∴a=2，b=6，∵（c-5）2≤0，（c-5）2≥0，∴c-5=0，∴c=5，故答案为：2，6，5；【小问2详解】∵a=2，b=6，c=5，∴A（2，0），B（0，6），C（2，5），∴AC∥y轴，AC=5，OB=6，AO=2，∵P（1，m），使得△APO的面积是△ABC面积的一半，∴S△APO=12S△ABC，∴12•2•（-m）=12×12×5×2，∴m=52 -，∴P（1，52 ）；【小问3详解】存在，①如图2，∠DMQ=90°，△MDQ是等腰直角三角形，过点M作GH∥x轴，过点D作DG⊥GH于G，过点Q作QH⊥GH于H，∵点M（m，-3m+6）在直线AB上，∴FM=m，QH=3m-6，∵AB⊥AD，∴∠BAD=∠BAO+∠DAE=90°，∵∠BAO+∠ABO=90°，∴∠DAE=∠ABO，∵AB=AD，∠AOB=∠AED=90°，∴△ABO≌△DAE（AAS），∴AE=OB=6，DE=OA=2，∵△DQM是等腰直角三角形，∴同理得△QHM≌△MGD（AAS），∴MG=QH=3m-6，∵OE=FG，∴2+6=m+3m-6，∴m=72，∴OQ=FH=HM-FM=DG-FM=2+3m-6-m=2m-4=7-4=3，∴Q（-3，0）；②如图3，∠MDQ=90°，△MDQ是等腰直角三角形，过点D作DG⊥x轴于E，过点M作MG⊥DG于G，同理得△BOA≌△AED，△MGD≌△DEQ，∴DE=MG=OA=2，OE=2+6=8，∴OE=8=m+2，∴m=6，∴OQ=OE+EQ=OE+DG=8+2+3m-6=3m+4=22，∴Q（22，0）；③如图4，∠MDQ=90°，△MDQ是等腰直角三角形，过点D作DE⊥x轴于E，过M作MG∥y轴，过点D作DG⊥MG于G，同理得：OA=DE=DG=2，∴m=2+6+2=10，∴OQ=EQ-OE=MG-OE=2+3m-6-8=18，∴Q（-18，0）；综上，点Q的坐标为（-3，0）或（22，0）或（-18，0）．【点睛】本题是三角形的综合题，考查了坐标与图形性质及非负数的性质，等腰直角三角形的性质和判定，三角形全等的性质和判定等知识，解决本题的关键是作辅助线构建三角形全等．【8题答案】【答案】（1）2，6，5（2）P（1，﹣52）（3）存在，点Q的坐标为（﹣3，0）或（22，0）或（﹣18，0）【解析】【分析】（1）根据非负数的性质，即可解答；（2）根据△APO的面积是△ABC面积的一半列方程，即可解答；（3）存在，分三种情况：当∠DQM=90°时，点Q与A重合，此种情况不成立，有∠DMQ=90°和∠MDQ=90°，分情况正确画图，证明三角形全等，求出m的值，即可解答．【小问1详解】解：∵|a﹣2|＝﹣（b﹣6）2，∴|a﹣2|+（b﹣6）2＝0，∴a＝2，b＝6，∵（c﹣5）2≤0，（c﹣5）2≥0，∴c﹣5＝0，∴c＝5，故答案为：2，6，5；【小问2详解】∵a＝2，b＝6，c＝5，∴A（2，0），B（0，6），C（2，5），∴AC∥y轴，AC＝5，OB＝6，AO＝2，∵P（1，m），使得△APO的面积是△ABC面积的一半，∴S△APO＝12S△ABC，∴12•2•（﹣m）＝12×12×5×2，∴m＝﹣52，∴P（1，﹣52）；【小问3详解】存在，①如图2，∠DMQ＝90°，△MDQ是等腰直角三角形，过点M作GH∥x轴，过点D作DG⊥GH于G，过点Q作QH⊥GH于H，∵点M（m，﹣3m+6）在直线AB上，∴FM＝m，QH＝3m﹣6，∵AB⊥AD，∴∠BAD＝∠BAO+∠DAE＝90°，∵∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠DAE＝∠ABO，∵AB＝AD，∠AOB＝∠AED＝90°，∴△ABO≌△DAE（AAS），∴AE＝OB＝6，DE＝OA＝2，∵△DQM是等腰直角三角形，∴同理得△QHM≌△MGD（AAS），∴MG＝QH＝3m﹣6，∵OE＝FG，∴2+6＝m+3m﹣6，∴m＝72，∴OQ＝FH＝HM﹣FM＝DG﹣FM＝2+3m﹣6﹣m＝2m﹣4＝7﹣4＝3，∴Q（﹣3，0）；②如图3，∠MDQ＝90°，△MDQ是等腰直角三角形，过点D作DG⊥x轴于E，过点M作MG⊥DG于G，同理得△BOA≌△AED，△MGD≌△DEQ，∴DE＝MG＝OA＝2，OE＝2+6＝8，∴OE＝8＝m+2，∴m＝6，∴OQ＝OE+EQ＝OE+DG＝8+2+3m﹣6＝3m+4＝22，∴Q（22，0）；③如图4，∠MDQ＝90°，△MDQ是等腰直角三角形，过点D 作DE ⊥x 轴于E ，过M 作MG ∥y 轴，过点D 作DG ⊥MG 于G ，同理得：OA ＝DE ＝DG ＝2，∴m ＝2+6+2＝10，∴OQ ＝EQ ﹣OE ＝MG ﹣OE ＝2+3m ﹣6﹣8＝18，∴Q （﹣18，0）；综上，点Q 的坐标为（﹣3，0）或（22，0）或（﹣18，0）．【点睛】本题是三角形的综合题，考查了坐标与图形性质及非负数的性质，等腰直角三角形的性质和判定，三角形全等的性质和判定等知识，解决本题的关键是作辅助线构建三角形全等．【9题答案】【答案】（1）()4,2A -、()4,6B（2）当点P 在AB 上方时，20PB A B PB '''∠-∠=︒；当点P 在AB 下方时，20B PB PB A '''∠-∠=︒（3）24n ≤≤【解析】【分析】（1）由非负数的性质求出a =-4，b =2，则可得出答案；（2）①当点P 在AB 上方时，如图1，过点P 作PQ ∥AB ，②当点P 在AB 下方时，如图2，过点P 作PQ ∥AB ，由平行线的性质可得出答案；（3）如图3，过点A 作AC ⊥x 轴于C 、过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，过点A '、B '构造矩形A 'GEF ，设M （0，m ），根据S 梯形ACDB =S 梯形ACOM +S 梯形OMDB 得出12×8×(2+6)＝12×（2+m ）+12×4×（6+m ），求出m =4，求出S △A ′B ′M =2n +16，解不等式组可得出答案．【小问1详解】解：0a +=，∴4020a b +=⎧⎨-=⎩，解得：42a b =-⎧⎨=⎩，∴()4,2A -、()4,6B ；【小问2详解】解：①当点P 在AB 上方时，如图1，过点P 作PQ AB ∥，∵由平移得：AB A B ''∥∴PQ A B ''∥∴QPB PB A '''∠=∠，20QPB PBA ∠=∠=︒∴20PB A QPB B PB QPB B PB PBA B PB ''''''∠=∠=∠+∠=∠+∠=∠+︒∴20PB A B PB '''∠-∠=︒②当点P 在AB 下方时，如图2，过点P 作PQ AB ∥，同①可证：20B PB B PQ QPB PB A PBA PB A ''''''∠=∠+∠=∠+∠=∠+︒∴20B PB PB A '''∠-∠=︒；【小问3详解】解：如图3，过点A 、B 构造梯形ABDC ，过点A '、B '构造矩形A GEF '，设()0,M m∵ACDB ACOM OMDBS S S =+梯形梯形梯形∴()()()111826246222m m ⨯⨯+=⨯++⨯⨯+解得：4m =如图3，过点A '、B '构造矩形A GEF '，∴A B M A GB MEB A FMA GEF S S S S S '''''''=---矩形△△△△()1118884488222n n =⨯-⨯⨯-⨯⋅-⨯⋅-64162324n n---+216n =+∵2024A B M S ''≤≤△∴201624n ≤+≤∴24n ≤≤；【点睛】本题是三角形综合题，考查了平方根与绝对值的非负性质、三角形面积计算、平面直角坐标系与点的坐标、平移的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握平移的性质、平行线的性质是解题的关键．【10题答案】【答案】（1）()2,0, 3.D BC -=（2）43b =或 4.b =- （3）7m <-或 1.m >-【解析】【分析】（1）先由A 的坐标结合D 为OA 的中点可得D 的坐标，由B ，C 的坐标可得BC 的长度；（2）如图，当F 在线段BD 上时，过F 作FN AM ⊥于N ，连接OF ，由2BF DF =，:1:3,DOF BOD S S = 而()2,4,,,OD OB F a b == 再建立方程求解即可；当F 在BD 的延长线上时，如图，当F 在线段BD 的延长线上时，可得D 是线段BF 的中点，再利用中点坐标公式可得答案；（3）如图，过(),E x y 作EN AM ⊥于,N 作EK OB ⊥于,K 过C 作CH AM ⊥于,H 由,DOE BOE BOD S S S += 可得24,y x =+ 同理：由ACH AEH ECH S S S =+ 可得：7416,y x -= 再联立两个方程求解68,,55E ⎛⎫ ⎪- ⎪⎝⎭再求解11818||3|4|2255BCE E B B S C y y ∆=⋅-=⨯⨯-=，MCE AMC AME S S S ∆∆∆=-6|4|5m =+，再建立不等式，利用绝对值的含义解不等式即可．【小问1详解】解：(4,0)- A ，4,OA ∴=∵D 为OA 中点，2,OA ∴=∴()2,0,D -∵()()0,4,3,4,B C BC x ∴∥轴， 3.BC =【小问2详解】如图，当F 在线段BD 上时，过F 作FN AM ⊥于N ，连接OF ，90FND BOD ︒∴∠=∠=，∵2BF DF =，∴:2,BOF DOF S S =∴:1:3,DOF BOD S S = 而()2,4,,,OD OB F a b ==1212,13242b ⨯∴=⨯⨯ 解得：4.3b = 当F 在线段BD 的延长线上时，如图，∵2,BF DF =∴D 是线段BF的中点，∴4+20,b =⨯解得：4,b =- 综上：43b =或 4.b =-【小问3详解】如图，过(),E x y 作EN AM ⊥于,N 作EK OB ⊥于,K 过C 作CH AM ⊥于,H ,DOE BOE BOD S S S +=()1112442,222y x ∴⨯⨯+⨯⨯-=⨯⨯ 整理得：24,y x =+同理：由ACH AEH ECH S S S =+ 可得：7416,y x -=∴24,7416y x y x ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩解得：65,85x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即68,,55E ⎛⎫ ⎪- ⎪⎝⎭ 11818||3|4|2255BCE E B C S B y y ∆=⋅-=⨯⨯-=∴，∵(),0,M m|4||4|AM m m ∴=--=+，MCE AMC AMES S S ∆∆∆=-∴11||||22C E AM y AM y =⋅-⋅118|4|4|4|225m m =⨯+⨯-⨯+⨯6|4|5m =+∵MCE △的面积大于BCE 的面积，618|4|55m ∴+>，解得：7m <-或 1.m >-【点睛】本题考查的是坐标与图形，中点坐标公式的应用，图形面积与坐标之间的关系，二元一次方程组的解法，一元一次不等式的解法，熟练的求解（3）中的点E 的坐标是解本题的关键．【11题答案】【答案】（1）A （-12，0），B （-6，-6）（2）点P （-4，0）或（12，0）（3）2OPB QBCS S ∆∆=【解析】【分析】（1）根据OA =12可得 A 坐标，OC =6可得 C 坐标，再由BC ⊥y 轴，BC =OC =6可得B 坐标；（2）设运动时间为t 秒，然后分0＜t ＜4、t =4、t ＞4三种情况建立方程求解即可；（3）由运动可得OP =|12-3m |、QC =|6-32m |=12|12-3m |可得OP =2QC ，再结合△OPB 与△QBC 分别以OP ，OC 为底、高为6即可解答．【小问1详解】解：∵OA =12，BC ＝OC ＝6，∴A （-12，0），C （0，-6）∵BC ⊥y 轴于点C ，点B 在第三象限，∴B （-6，-6）．【小问2详解】解：设运动时间为t 秒，当点Q 在O 、C 之间，点P 在A 、O 之间时，即0<t <4，∵△PAB 的面积是△QBC 的面积的4倍，∴113364(6)6222t t ⋅⋅⋅=⨯-⋅，解得：t =83， ∴点P 的横坐标为83×3-12=-4，∴点P （-4，0）；当t =4时，不符合题意；当t >4时，∵△PAB 的面积是△QBC 的面积的4倍，∴113364(6)6222t t ⋅⋅=⨯-⋅，解答t =8，∴点P 的横坐标为83×8-12=12，∴点P （12，0）；综上，点P （-4，0）或（12，0）．【小问3详解】解：设运动时间为m ，由题意知，OP =|12-3m |，QC =|6-32m |=12|12-3m |，∴OP =2QC ，∵△OPB 与△QBC 分别以OP ，OC 为底，高为6，∴2OPB QBC S S ∆∆=．【点睛】本题主要考查了三角形的面积的计算方法、坐标与图形的性质等知识点，用方程和分类讨论的思想解决问题是解答本题的关键．【12题答案】【答案】（1）1,3a b ==-（2）NEQ EQP MNE ∠=∠+∠或360MNE NEQ EQP ∠+∠+∠=︒或PQF MNE NEQ ∠=∠-∠（3）①ADF BCF S S =△△；②m 的值为2-或5.【解析】【分析】（1）由由()0,4M 平移到()2,1P --确定平移的方式，从而可得答案；（2）分三种情况讨论：如图，当E 在NQ 的左边时，连接NQ ，如图，当E 在NQ 的右边，直线MN 的左边时，（包括E 在这两条直线上），如图，当E 在直线MN 的右边时，记直线MN 与EQ 的交点为F ，再根据平行线的性质，三角形的内角和定理与三角形的外角的性质可得答案；（3）①当01t <<时，如图，由题意可得：()()0,2,3,0,A B2,3,22,33,AD t BC t OD t OC t ===-=- 记四边形OCFD 的面积为m ，再分别表示两个三角形的面积即可得到答案；②由7,ABF S = 可得,C D 都在负半轴上，再分两种情况讨论：交点F 在第三象限，如图，证明2,3n m = 即2,,3F m m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 作A ，F 作x 轴的平行线，过F ，B 作y 轴的平行线，交点分别即为L ，P ，Q ，则四边形LFQP 为矩形，再利用面积列方程，如图，当交点F 在第一象限，同理利用面积列方程即可．【小问1详解】解：由()0,4M 平移到()2,1,P -- 而()3,2N 平移到(),,Q a b∴321,253,a b =-==-=-【小问2详解】如图，当E 在NQ 的左边时，连接NQ ，由平移可得：,MN PQ ∥180,MNQ PQN EQP MNE ENQ EQN ∴∠+∠=︒=∠+∠+∠+∠180,NEQ ENQ EQN ∠+∠+∠=︒,NEQ EQP MNE ∴∠=∠+∠如图，当E 在NQ 的右边，直线MN 的左边时，（包括E 在这两条直线上），同理可得：180,180,MNQ PQN QNE NEQ NQE ∠+∠=︒∠+∠+∠=︒ 360,MNE NEQ EQP ∴∠+∠+∠=︒如图，当E 在直线MN 的右边时，记直线MN 与EQ 的交点为F ，同理：,PQF NFE ∠=∠ ,NFE MNE NEQ ∠=∠-∠ ∴PQF MNE NEQ∠=∠-∠【小问3详解】①当01t <<时，如图，由题意可得：()()0,2,3,0,A B 2,3,22,33,AD t BC t OD t OC t ===-=- 记四边形OCFD 的面积为m ，()123333,2ADF AOC S S m t m t m ∴=-=⨯⨯--=--()132233,2BCF BOD S S m t m t m =-=⨯⨯--=-- ∴.ADF BCF S S =②7,ABF S = 则,C D 都在负半轴上，交点F 在第三象限，如图，同理可得：,ADF BCF S S = 而(),,F m n()()1123,22t m t n ∴⨯-=⨯- 解得：2,3n m = 即2,,3F m m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭7,ABF S = 作A ，F 作x 轴的平行线，过F ，B 作y 轴的平行线，交点分别即为L ，P ，Q ，则四边形LFQP 为矩形，()()()2112123223237,322323m m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪∴---⨯⨯-⨯-⨯--⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得：2,m =-如图，当交点F 在第一象限，同理可得：()21211222337,323223m m m m m m ⎛⎫ ⎪---⨯⨯-⨯-= ⎪⎝⎭ 解得：5,m =综上：m 的值为2-或5.【点睛】本题考查的是坐标与图形，坐标系内图形的平移，平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，利用割补法求解图形的面积，一元一次方程的应用，整式的乘法运算，本题的综合程度高，清晰的分类讨论是解本题的关键．【13题答案】【答案】（1）2P ，3P ；（2）1x - 或0x ；（3）1t 或7t 【解析】【分析】（1）根据点(,)P a b 满足1a b +>且1b a +>，则称点P 为“自大点”， a ，b 满足11b a -<-<，根据关系式逐个判断即可；（2）先求出点(23,2)N x +是“自大点”时x 的取值范围，再求点(23,2)N x +不是“自大点”时x 的取值范围即可；（3）根据“自大点”的纵横坐标满足的关系列出关系式求出t 的范围即可．【小问1详解】点(,)P a b 满足1a b +>且1b a +>，则称点P 为“自大点”，a ∴，b 满足11b a -<-<，1(1,0)P ，011-=-，故1(1,0)P 不是“自大点”，2P ，11-<，故2P 是“自大点”，31(2P -，1)3，111()132-<--<，故31(2P -，1)3是“自大点”，4(1,P -，(1)1--=4(1,P -不是“自大点”，故答案为：2P ，3P ；【小问2详解】如果点(23,2)N x +是“自大点”，则12(23)1x -<-+<，解得，10x -<<，故当1x - 或0x 时，点(23,2)N x +不是“自大点”，x ∴的取值范围是1x - 或0x ；【小问3详解】正方形ABCD 的初始位置是(0,6)A ，(0,4)B ，(2,4)C ，(2,6)D ，∴平移之后的坐标分别为(0,6)t -，(0,4)B t -，(2,4)C t -，(2,6)D t -，当A 点平移后的点是“自大点时”， 161t -<-<，解得，57t <<，故A 点平移后的点不是“自大点时”， 5t 或7t ，同理，当B 点和D 点平移后的点不是“自大点时”， 3t 或5t ，同理，当C 点平移后的点不是“自大点时”， 1t 或3t ，∴当平移后的正方形边界及其内部的所有点都不是“自大点”时，1t 或7t ，故答案为：1t 或7t ．【点睛】本题主要考查正方形的性质，坐标与图形的平移变化，根据题意，准确找出“自大点”的纵横坐标满足的关系是解答此题的关键．。
在平面直角坐标系xoy中,已知点a
在平面直角坐标系xoy中,已知点a
点a是一个平凡的点，它有着平凡的位置，位置就是在平面直角坐标系xoy中。
点a被写成坐标形式，它的横坐标为x，纵坐标为y。
在平面直角坐标系xoy中，点a的位置可以由x和y轴决定，我们可以使用点a的横坐标和纵坐标来计算它在xoy平面上的位置。
其实，点a还有更多有趣的信息，它也可以被用
来对xoy平面中的物体进行补充和分析。
点a所在的位置也可以用一些函数来描述，比如可以用圆心为原点、半径为2的圆来描述点a，也可以用一元二次函数来表示，比如y = 3x2 - 1。
由于x和y轴的定位，点a为平
面图形的锚点，它的位置也可以用于标记物体的位置或变形。
点a在xoy平面上的位置是它所属的空间中的位置，它可以被用来表示一个给定点相对于xoy平面上其他点的位置。
这一点也可以抽象为一个数学公式，表示点a在xoy平面上的
物理位置。
点a是一个一般的点，它的位置在平面直角坐标系xoy中，它的横坐标为x，纵坐标为y。
由点a的横纵坐标，我们可以计算它在xoy平面上的位置，而且点a的位置也可以用一些函数描述，它也可以被用来表示一个给定点相对于xoy平面上其他点的位置。
函数与几何综合问题专练2023中考真题分类汇编(共25题)(解析版)
专题32函数与几何综合问题（25题）一、填空题1．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为()86-，，过点B 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为点C 、点A ，直线26y x =--与AB 交于点D ．与y 轴交于点E ．动点M 在线段BC 上，动点N 在直线26y x =--上，若AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形，则点M 的坐标为【答案】()8,6M -或28,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】如图，由AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形，可得N 在以AM 为直径的圆H 上，MN AN =，可得N 是圆H 与直线26y x =--的交点，当,M B 重合时，符合题意，可得()8,6M -，当N 在AM 的上方时，如图，过N 作NJ y ⊥轴于J ，延长MB 交BJ 于K ，则90NJA MKN ∠=∠=︒，8JK AB ==，证明MNK NAJ ≌，设(),26N x x --，可得MK NJ x ==-，266212KN AJ x x ==---=--，而8KJ AB ==，则2128x x ---=，再解方程可得答案．【详解】解：如图，∵AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形，∴N 在以AM 为直径的圆H 上，MN AN =，∴N 是圆H 与直线26y x =--的交点，当,M B 重合时，∵()8,6B -，则()4,3H -，∴4MH AH NH ===，符合题意，∴()8,6M -，当N 在AM 的上方时，如图，过N 作NJ y ⊥轴于J ，延长MB 交BJ 于K ，则90NJA MKN ∠=∠=︒，8JK AB ==，∴90NAJ ANJ ∠+∠=︒，【答案】392【分析】作出点()32C -，，作CD 直角三角形求得1103F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，利用待定系数法求得直线DG y ⊥轴于点G ，此时35BH +【详解】解：∵直线123y x =-+则2CP =，3OP =，∵CFP AFD ∠=∠，∴FCP FAD ∠=∠，∴tan tan FCP FAD ∠=∠，∴PF OB PC OA=，即226PF =，∴23PF =，则1103F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，设直线CD 的解析式为y kx =+则321103k b k b +=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得311k b =⎧⎨=-⎩∴直线CD 的解析式为3y x =联立，311123y x y x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩即3971010D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，；过点D 作DG y ⊥轴于点G ，②如图2，直线BM过AC中点，直线BM解析式为1522y x=-+，AC中点坐标为910a=；③如图3，直线CM过AB中点，AB中点坐标为()3,0，5⑤如图5，直线ME ∥AC ，MN CO ∥，则EMN ACO∽∴12BE AB =，又4AB =，∴22BE =，∵53222BN =-=<，∴不成立；⑥如图6，直线ME ∥BC ，同理可得12AE AB =，∴22AE =，222NE =-，tan tan MEN CBO ∠∠=，∴155222a =-，解得212a +=；综上所述，910a =或225+或212+．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识，并分类讨论是解题的关键．二、解答题4．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，ABCD Y 的顶点B ，C 在x 轴上，D(1)求点B 的坐标；(2)若:2:1OD OC =，直线y x b =-+分别交x DC 延长线于点N ，求tan MND ∠的值；(3)在（2）的条件下，点P 在y 轴上，在直线存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点【答案】(1)()4,0B -(2)1tan 3MND ∠=(3)存在，等腰三角形的个数是8个，1652Q ⎛- ⎝【分析】（1）解方程得到OB ，OC 的长，从而得到点（2）由:2:1OD OC =，2OC =，得4OD =线y x b =-+中，求得b 的值，从而得到直线的解析式，进而求得点45FEO ∠=︒．过点C 作CH EN ⊥于H ，过点::2:1DO OC NK CK ==，进而得到2NK CK =EC CK =，由211EC OC OE =-=-=可得CK 得到22cos EK EN KEN ==∠，在Rt ECH △中，322NH EN EH =-=，最终可得结果tan MND ∠（3）分PN PQ =，PN NQ =，PQ NQ =三大类求解，共有【详解】（1）解方程2680x x -+=，得14x =OB OC > ，（3）解：由（2）知：直线EF 解析式为设()0,P p ，(),1Q q q -+，①当5PN QN ==时，()()2223025p -+--=，()23q -+解得6p =-或2p =，6522q +=或∴1652524,22Q ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，2652Q ⎛+ ⎝如图，11PQ N 、12PQ N 、21P Q N ；②当5PQ QN ==时，由①知：1652524,22Q ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，2652,2Q ⎛+ ⎝；③当5PN PQ ==时，由①知：()10,6P -，()20,2P ，当()10,6P -时，()()22061q q -+-+-解得13q =（舍去），24q =，∴()34,3Q -，如图，当()20,2P 时，()()220215q q -++-=解得13q =（舍去），24q =-，综上，等腰三角形的个数是8个，符合题意的Q 坐标为16525,2Q ⎛- ⎝【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质，一次函数与平行四边形，等腰三角形的综合问题，数形结合思想是解题的关键．5．（2023·湖南·统考中考真题）如图，点使得DBC CAB ∠=∠，点E 是弦AC 上一动点（不与点交BC 的延长线于点N ，交O 于点M (1)BD 是O 的切线吗？请作出你的判断并给出证明；(2)记BDC ABC ADB ，，的面积分别为(3)若O 的半径为1，设FM x =，FE 自变量x 的取值范围．【答案】(1)BD 是O 的切线，证明见解析(2)152+∴在Rt OFM △中，2OF OM =∴211BF BO OF x =+=+-，AF2②若a c=，则A、B关于y轴对称，以综上，以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，此时【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用、正方形的性质等知识点，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题．(1)当45QPB ∠=︒时，求四边形(2)当点P 在线段AB 上移动时，设【答案】(1)438+(2)23234312x S x =++【分析】（1）连接BD 、可得PBQ 为等腰直角三角形，则 四边形ABCD 为菱形，∠PB x=，23BQ=，PBQ(1)求点,A B 的坐标；(2)随着点E 在线段BC 上运动．①EDA ∠的大小是否发生变化？请说明理由；②线段BF 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；(3)当线段DE 的中点在该二次函数的因象的对称轴上时，【答案】(1)()20A ，，()13B ，；∵()2313y x =--+，∴抛物线对称轴为1x =，即1ON =，∵将线段AB 绕点A 按顺时针方向旋转∵2OA OB AC BC ====，∴四边形OACB 是菱形，∴BC OA ∥，∵DH BN ⊥，AN BN ⊥，∴DH BC OA ∥∥，∴MBE MHD ∠∠=，MEB MDH ∠∠=∵DE 的中点为点M ，∴MD ME =，∴MBE MHD ≌，∴DH BE =，∵90ANM ∠=︒，∴1809090MBE ANM ∠∠=︒-︒=︒=，∵DE 的中点为点M ，DAE 是等边三角形，∴AM DE ⊥，∴90AME ∠=︒，∴180BME NMA ∠∠+=︒，∴BME NAM ∠∠=，(1)求点,,D E C 的坐标；(2)F 是线段OE 上一点()OF EF <，连接,AF DF ①求证：DFC △是直角三角形；②DFC ∠的平分线FK 交线段DC 于点,K P 是直线坐标．【答案】(1)(3,1)C ，(0,2)D ，(6,0)E (2)①证明见解析，②点P 的坐标为(1,3)或(7,3【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点及一次函数与二次函数的交点求解即可；（2）①设(,0),F m 然后利用勾股定理求解，m-①抛物线231y x x =-++交y 轴于点A ，当0x =时，1,y =．(0,1),A ∴1OA ∴=,在Rt AOF 中，90AOF ∠=︒，由勾股定理得222AF OA OF +=，设(,0),F m ,OF m ∴=221AF m ∴=+，(6,0),E ．6,OE ∴=6EF OE OF m ∴=-=-，2221,AF EF += 221(6)21,m m ∴++-=122,4m m ∴==，,OF EF < 2,m ∴=2OF ∴=，(2,0)F ∴．(0,2),D 2OD ∴=，OD OF ∴=．DOF ∴ 是等腰直角三角形，45OFD ∴∠=︒．过点C 作CG x ⊥轴，垂足为G ．(3,1),C 1,3CG OG ∴==，1,GF OG OF =-= ,CG GF ∴=CGF ∴ 是等腰直角三角形，45,GFC ∴∠︒=90,DFC ∴∠=︒DFC ∴ 是直角三角形．②FK 平分,90,DFC DFC ∠∠=︒(1)BP 的长为__________，CM 的长为_________(2)求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．(3)当四边形PQMN 是轴对称图形时，直接写出x 【答案】(1)()4x -；x(2)()(241216024162x x y x x ⎧-+⎪=⎨-+<≤⎪⎩(3)43x =或83x =【分析】（1）根据正方形中心对称的性质得出OM ANP CQM ≌即可；（2）分02x <≤，2<两种情况分别画出图形，根据正方形的面积，以及平行四边形的性质即可求解；（3）根据（2）的图形，分类讨论即可求解．【详解】（1）解：依题意，1AP x x =⨯=()cm ，则∵四边形ABCD 是正方形，∴,90AD BC DAB ∠=∠=︒∥，∵点O 是正方形对角线的中点，∴,OM OP OQ ON ==，则四边形PQMN 是平行四边形，∴MQ PN =，MQ NP ∥∴PNQ MQN ∠=∠，又AD BC ∥，∴ANQ CQN ∠=∠，∴ANP MQC ∠=∠，在,ANP CQM 中，ANP MQC NAP QCM NP MQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ANP CQM ≌，∴()cm MC AP x ==故答案为：()4x -；x ．（2）解：当02x <≤时，点Q 在BC 上，由（1）可得ANP CQM ≌，同理可得PBQ MDN ≌，∵4,2,PB x QB x MC x =-==，42QC x =-，则222MCQ BPQy AB S S =-- ()()164242x x x x =--⨯--241216x x =-+；当24x <≤时，如图所示，则AP x =，224AN CQ x CB x ==-=-，()244PN AP AN x x x =-=--=-+，∴()44416y x x =-+⨯=-+；综上所述，()()2412160241624x x x y x x ⎧-+<≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩；当四边形PQMN 是菱形时，则∴()()2242x x x -+=解得：0x =（舍去）②如图所示，当PB =424x x -=-，解得x 当四边形PQMN 是菱形时，则综上所述，当四边形【点睛】本题考查了正方形的性质，动点问题，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质，轴对称图形，熟练掌握以上知识是解题的关键．(1)当旋转角COF ∠为多少度时，OE OF =；（直接写出结果，不要求写解答过程）(2)若点(4,3)A ，求FC 的长；(3)如图3，对角线AC 交y 轴于点M ，交直线y x =于点N ，连接FN ，将OFN △1S 与2S ，设12S S S =-，AN n =，求S 关于n 的函数表达式．【答案】(1)22.5︒(2)154FC =(3)212S n =【分析】（1）根据正方形的性质及直角三角形全等的判定及性质得出AOG ∠=45EOG ∠=︒，即可求解；（2）过点A 作AP x ⊥轴，根据勾股定理及点的坐标得出5OA =，再由相似三角形的判定和性质求解即可；（3）根据正方形的性质及四点共圆条件得出O 、C 、F 、N 四点共圆，再由圆周角定理及等腰直角三角形的判定和性质得出FN ON =，90FNO ∠=︒，过点N 作GQ BC ⊥于点G ，交OA 于点形的判定和性质得出,CG OQ CO QG ==，结合图形分别表示出1S ，2S ，得出（2）过点A 作AP x ⊥轴，如图所示：∵(4,3)A ，∴3,4AP OP ==，∴5OA =，∵正方形OABC ，∴5OC OA ==，90C ∠=∴90C APO ∠∠==︒，∵AOP COF ∠∠=，∴OCF OPA ∽ ，∴OC FC OP AP=即543FC =，∴154FC =；（3）∵正方形OABC ，∵BC OA ∥，∴GQ OA ⊥，∵90FNO ∠=︒，∴1290∠∠+=︒，∵1390∠∠+=︒，∴23∠∠=，∴(AAS)FGN NQO ≌ ∴,GN OQ FG QN ==，∵GQ BC ⊥，FCO COQ ∠∠=∴四边形COQG 为矩形，∴,CG OQ CO QG ==，∴(211S S ON OQ ===(1)直接写出结果；b =_____，c =_____，点A 的坐标为_____，tan ABC ∠=______(2)如图1，当2PCB OCA ∠=∠时，求点P 的坐标；(3)如图2，点D 在y 轴负半轴上，OD OB =，点Q 为抛物线上一点，90QBD ∠=︒，点的边,DQ DB 上的动点，QE DF =，记BE Q F +的最小值为m ．①求m 的值；②设PCB 的面积为S ，若214S m k =-，请直接写出k 的取值范围．【答案】(1)32，2，()1,0-，12(2)()2,3（3）解：①如图2，作DH ⊥∵90BQD BDQ ︒∠+∠=，HDF ∠∴QD HDF ∠=∠，∵QE DF =，DH BQ =，∴(SAS)BQE HDF ≌，∴BE FH =，∴BE QF FH QF QH +=+≥，∴Q ，F ，H 共线时，BE Q F +②如图3，作PT y ∥轴，交设22,1T a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，,P a ⎛ ⎝则21132222S a a ⎛=-+++ ⎝∴04S <≤，∴21044m k <-≤，∴0174k <-≤，∴1317k ≤<．【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、二次函数与(1)直接判断AOB 的形状：AOB 是_________三角形；(2)求证：AOE BOD △≌△；(3)直线EA 交x 轴于点(,0),2C t t >．将经过B ，C 两点的抛物线21y ax =物线2y ．①若直线EA 与抛物线1y 有唯一交点，求t 的值；②若抛物线2y 的顶点P 在直线EA 上，求t 的值；③将抛物线2y 再向下平移，22(1)t -个单位，得到抛物线3y ．若点D 在抛物线【答案】(1)等腰直角三角形(2)详见解析(3)①3t =；②6t =；③126,55D ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）由(0,2),(2,0)A B 得到2OA OB ==，又由90AOB ∠=︒，即可得到结论；（2）由90EOD ∠=︒，90AOB ∠=︒得到AOE BOD ∠=∠，又有AO OB =AOE BOD △≌△；（3）①求出直线AC 的解析式和抛物线1y 的解析式，联立得()23x t -+22(3)43(3)0t t t ∆=+-⨯=-=即可得到t 的值；∵90EOD ∠=︒，90AOB ∠=︒，AOB AOD DOE ∴∠-∠=∠-∠AOE BOD ∴∠=∠，∵,AO OB OD OE ==，(SAS)AOE BOD ∴△≌△；（3）①设直线AC 的解析式为(0,2),(,0)A C t ，∴90EMO OND ∠=∠=︒，90DOE ∠=︒ ，∴EOM MEO EOM NOD ∠+∠=∠+∠∴MEO NOD ∠=∠，∵OD OE =，∴(AAS)ODN EOM ≌，∴,ON EM DN OM ==，∵OE 的解析式为2y x =-，∴设22EM OM m ==,∴DN OM m ==，EM x ⊥ 轴,∴OA EM ∥,∴~CAO CEM ，::OC CM OA EM ∴=,22t t m m∴=+,1t m t ∴=-,∴2221t EM ON OM m t ====-，DN 2,11t t D t t ⎛⎫∴ ⎪--⎝⎭, 抛物线2y 再向下平移22(1)t -个单位，得到抛物线2222(2)y x t x(1)求S 关于x 的函数解析式；(2)当x 取何值时，S 的值最大？请求出最大值．【答案】(1)23232S x x =-+(2)当2x =时，S 的最大值为23∵顶点A 的坐标为()2,23，∴()222234OA =+=，2OG =，∴1cos 2OG AOG AO ∠==，①如图②，当边E F ''与AB 相交于点M 、边G H ''与BC 相交于点N ，且矩形E F G H ''''与菱形为五边形时，试用含有t 的式子表示S ，并直接写出t 的取值范围：②当2311334t ≤≤时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】(1)()3,2，33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)①332t <≤；②3316S ≤≤【分析】（1）根据矩形及菱形的性质可进行求解；（2）①由题意易得3,1EF E F EH E H ''''====，然后可得60ABO ∠=︒，则有32EM =，进而根据割补∵四边形ABCD 是菱形，且(3,0),(0,1),(2A B D ∴()()2230012AB AD ==-+-=，AC BD ⊥∴2AC =，∴()3,2C ，故答案为()3,2，33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）解：①∵点10,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点13,2F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点∴矩形EFGH 中，EF x ∥轴，EH x ⊥轴，EF ∴矩形E F G H ''''中，E F x ''∥轴，E H x ''⊥轴，由点()3,0A ，点()0,1B ，得3,1OA OB ==．在Rt ABO △中，tan 3OA ABO OB ∠==，得ABO ∠在Rt BME △中，由1tan 60,12EM EB EB =⋅︒=-此时面积S 最大，最大值为133S =⨯=当1134t =时，矩形E F G H ''''和菱形ABCD 由（1）可知B 、D 之间的水平距离为23，则有点由①可知：60D B ∠=∠=︒，(1)求CE的长和y关于x的函数表达式．(2)当PH PN<，且长度分别等于PH，PN，a的三条线段组成的三角形与(3)延长PN交半圆O于点Q，当1534NQ x=-时，求【答案】(1)165CE=，25412y x=-+(2)1615或2740或6041(3)17 8【分析】（1）如图1，连接OD，根据切线的性质得出出165CE=；证明四边形APMC是平行四边形，得出MN（2）根据BCE三边之比为3:4:5，可分为三种情况．当:3:4PH PN=时，分别列出比例式，进而即可求解．∵CD 切半圆O 于点D ，∴OD CE ⊥．∵32OA =，1AC =，∴52OC =，∴2CD =．∵BE CE ⊥，∴OD BE ∥，∴CD CO CE CB=，即5224CE =，∴165CE =．∵MN CB ∥，∴四边形APMC 是平行四边形，∴sin 1sin PH PH CM PA ===∠∵MN ME BC CE =，则90AQB AGQ ∠=∠=︒，∴QAB BQG ∠=∠．∵1534NQ x =-，PN y =。
一次函数压轴题精选（含详细答案）
一次函数压轴题精选（含详细答案答案）1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+2与y轴交于点A，与x轴交于点B．直线l⊥x轴负半轴于点C，点D是直线l上一点且位于x轴上方．已知CO=CD=4．（1）求经过A，D两点的直线的函数关系式和点B的坐标；（2）在直线l上是否存在点P使得△BDP为等腰三角形，若存在，直接写出P 点坐标，若不存在，请说明理由．2．如图，直线L：y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点N（0，4），动点M从A点以每秒1个单位的速度匀速沿x轴向左移动．（1）点A的坐标：；点B的坐标：；（2）求△NOM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；（3）在y轴右边，当t为何值时，△NOM≌△AOB，求出此时点M的坐标；（4）在（3）的条件下，若点G是线段ON上一点，连结MG，△MGN沿MG的坐标．折叠，点N恰好落在x轴上的点H处，求点G3．如图①，平面直角坐标系中，O为原点，点A坐标为（﹣4，0），AB∥y轴，点C在y 轴上，一次函数y=x+3的图象经过点B、C．第1页（共99页）的坐标为 ；（1）点C的坐标为的坐标为 ，点B的坐标为（2）如图②，直线l经过点C，且与直线AB交于点M，O'与O关于直线l对称，连接CO'并延长，交射线AB于点D．①求证：△CMD是等腰三角形；②当CD=5时，求直线l的函数表达式．4．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣2x+8的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，过点A作AB⊥x轴，垂足为点A，过点C作CB⊥y轴，垂足为点C，两条垂线相交于点B．（1）线段AB，BC，AC的长分别为AB=，BC=，AC=；（2）折叠图1中的△ABC，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE交AB于点D，交AC于点E，连接CD，如图2．两题中任选一题作答，我选择 题．请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择A：①求线段AD的长；②在y轴上，是否存在点P，使得△APD为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．B：①求线段DE的长；②在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得以点A，P，C为顶点的三角形与△ABC全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，一次函数y=x+6的图象交x轴于点A、交y轴于点B，∠ABO的平分线交x轴于点C，过点C作直线CD⊥AB，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求直线CE的解析式；（2）在线段AB上有一动点P（不与点A，B重合），过点P分别作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足为点M、N，是否存在点P，使线段MN的长最小？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图1，已知▱ABCD，AB∥x轴，AB=6，点A的坐标为（1，﹣4），点D的坐标为（﹣3，4），点B在第四象限，点P是▱ABCD边上的一个动点．（1）若点P在边BC上，PD=CD，求点P的坐标．（2）若点P在边AB，AD上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y=x﹣1上，求点P的坐标．（3）若点P在边AB，AD，CD上，点G是AD与y轴的交点，如图2，过点P 作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM 沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标．（直接写出答案）7．如图1，在直角坐标系中放入一个边长AB长为6，BC长为10的矩形纸片ABCD，B点与坐标原点O重合．将纸片沿着折痕AE翻折后，点D恰好落在x轴上，记为F．（1）求折痕AE所在直线与x轴交点的坐标；（2）求过D，F的直线解析式；（3）将矩形ABCD水平向右移动m个单位，则点B坐标为（m，0），其中m＞0．如图2所示，连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值．8．阅读理解：运用“同一图形的面积相等”可以证明一些含有线段的等式成立，这种解决问题的方法我们称之为面积法．如图1，在等腰△ABC中，AB=AC，AC 边上的高为h，点M为底边BC上的任意一点，点M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2，连接AM，利用S△ABC=S△ABM+S△ACM，可以得出结论：h=h1+h2．类比探究：在图1中，当点M在BC的延长线上时，猜想h、h1、h2之间的数量关系并证明你的结论．拓展应用：如图2，在平面直角坐标系中，有两条直线l1：y=x+3，l2：y=﹣3x+3，若l2上一点M到l1的距离是1，试运用“阅读理解”和“类比探究”中获得的结论，求出点M的坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO为正方形，A点坐标为（0，2），点P为x轴负半轴上一动点，以AP为直角作等腰直角三角形APD，∠APD=90°（点D落在第四象限）（1）当点P的坐标为（﹣1，0）时，求点D的坐标；（2）点P在移动的过程中，点D是否在直线y=x﹣2上？请说明理由；（3）连接OB交AD于点G，求证：AG=DG．10．如图所示，在平面直角坐标系中，过点A （﹣，0）的两条直线分别交y轴于B 、C 两点，且B 、C 两点的纵坐标分别是一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0的两个根（Ⅰ）试问：直线AC 与直线AB 是否垂直？请说明理由；（Ⅱ）若点D 在直线AC 上，且DB=DC ，求点D 的坐标；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，在直线BD 上寻找点P ，使以A 、B 、P 三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P 点的坐标．11．（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，CB=CA ，直线ED 经过点C ，过A 作AD ⊥ED 于D ，过B 作BE ⊥ED 于E ．求证△BEC ≌△CDA ；（2）模型应用：①已知直线y=x +4与y 轴交于A 点，与x 轴交于B 点，将线段AB 绕点B 逆时针旋转90度，得到线段BC ，过点A ，C 作直线，求直线AC 的解析式；②如图3，矩形ABCO ，O 为坐标原点，B 的坐标为（8，6），A ，C 分别在坐标轴上，P 是线段BC 上动点，已知点D 在第一象限，且是直线y=2x ﹣6上的一点，若△APD 是不以A 为直角顶点的等腰Rt △，请直接写出所有符合条件的点D 的坐标．12．将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A（，0），点B（0，3），点O（0，0）（1）过边OB上的动点D（点D不与点B，O重合）作DE丄OB交AB于点E，沿着DE折叠该纸片，点B落在射线BO上的点F处．①如图，当D为OB中点时，求E点的坐标；②连接AF，当△AEF为直角三角形时，求E点坐标；（2）P是AB边上的动点（点P不与点B重合），将△AOP沿OP所在的直线折叠，得到△AʹOP，连接BAʹ，当BAʹ取得最小值时，求P点坐标（直接写出结果即可）．13．如图1，在平面直角坐标系中，点A坐标为（﹣4，4），点B的坐标为（4，0）．（1）求直线AB的解析式；（2）点M是坐标轴上的一个点，若AB为直角边构造直角三角形△ABM，请求出满足条件的所有点M的坐标；（3）如图2，以点A为直角顶点作∠CAD=90°，射线AC交x轴的负半轴与点C，射线AD交y轴的负半轴与点D，当∠CAD绕点A旋转时，OC﹣OD的值是否发生变化？若不变，直接写出它的值；若变化，直接写出它的变化范围（不要解题过程）．14．如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A、B 分别在x轴与y轴上，已知OA=6，OB=10．点D为y轴上一点，其坐标为（0，2），点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿线段AC﹣CB的方向运动，当点P 与点B重合时停止运动，运动时间为t秒．（1）当点P经过点C时，求直线DP的函数解析式；（2）①求△OPD的面积S关于t的函数解析式；②如图②，把长方形沿着OP折叠，点B的对应点Bʹ恰好落在AC边上，求点P 的坐标．（3）点P在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），点C是x轴上的一个动点，当点C移动到点O时，得是等边三角形，当点始终保持△ACP是等边三角形，轴上移动时，始终保持△点C在x轴上移动时，到等边三角形AOB（此时点P与点B重合）．（1）直线AB：y=mx+n与直线OB：y=kx相交于点B，不解关于x，y的方程组，请你求出它的解；（2）点C在移动的过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时（如图所示），求证：△AOC≌△ABP；由此你发现什么结论？（3）求点C在x轴上移动时，点P所在函数图象的解析式．16．在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+4交x轴，y轴分别于点A，点B，将△AOB绕坐标原点逆时针旋转90°得到△COD，直线CD交直线AB于点E，如图1：（1）求：直线CD的函数关系式；（2）如图2，连接OE，过点O作OF⊥OE交直线CD于点F，如图2，①求证：∠OEF=45°；②求：点F的坐标；（3）若点P是直线DC上一点，点Q是x轴上一点（点Q不与点O重合），当△DPQ和△DOC全等时，直接写出点P的坐标．17．已知，Rt△OAB的两直角边OA、OB分别在x轴和y轴上，如图1，A，B坐标分别为（﹣2，0），（0，4），将△OAB绕O点顺时针旋转90°得△OCD，连接AC、BD交于点E．（1）求证：△ABE≌△DCE．（2）M为直线BD上动点，N为x轴上的点，若以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，求出所有符合条件的M点的坐标．（3）如图2，过E点作y轴的平行线交x轴于点F，在直线EF上找一点P，使△PAC的周长最小，求P点坐标和周长的最小值．18．平面直角坐标系中，直线l1：y=﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y=kx+2k与x轴交于点C，与直线l1交于点P．（1）当k=1时，求点P的坐标；（2）如图1，点D为P A的中点，过点D作DE⊥x轴于E，交直线l2于点F，若DF=2DE，求k的值；（3）如图2，点P在第二象限内，PM⊥x轴于M，以PM为边向左作正方形PMNQ，NQ的延长线交直线l1于点R，若PR=PC，求点P的坐标．19．如图，直线y=kx+k交x轴，y轴分别于A，C，直线BC过点C交x轴于B，OC=3OA，∠CBA=45°．（1）求直线BC的解析式；（2）动点P从A出发沿射线AB匀速运动，速度为2个单位/秒，连接CP，设△PBC的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式，直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当点P在AB的延长线上运动时，过点O作OD⊥PC于D，交BC于点E，连接AE，当∠EAB=∠CPA时，在坐标轴上有点K，且KC=KP，求点K的坐标．20．如图，平面直角坐标系中，直线AB：y=﹣x+b交y轴于点A（0，1），交x 轴于点B，过点E（1，0）作x轴的垂线EF交AB于点D，点P从D出发，沿着射线ED的方向向上运动，设PD=n．（1）求直线AB的表达式；（2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）；（3）若以P为直角顶点，PB为直角边在第一象限作等腰直角△BPC，请问随着点P的运动，点C是否也在同一直线上运动？若在同一直线上运动，请求出直线解析式；若不在同一直线上运动，请说明理由．21．如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）如图1，若点E是边BC的中点，M是边AB的中点，连接EM，求证：AE=EF．（2）如图2，若点E在射线BC上滑动（不与点B，C重合）．①在点E滑动过程中，AE=EF是否一定成立？请说明理由；②在如图所示的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在直线y=﹣2x+6上，求此时点F的坐标．22．如图，将一个正方形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，其中A（1，0），C（0，1），P为AB边上一个动点，折叠该纸片，使O点与P点重合，折痕l与OP交于点M，与，与 对角线AC交于Q点（Ⅰ）若点P的坐标为（1，），求点M的坐标；（Ⅱ）若点P的坐标为（1，t）①求点M的坐标（用含t的式子表示）（直接写出答案）②求点Q的坐标（用含t的式子表示）（直接写出答案）（Ⅲ）当点P在边AB上移动时，∠QOP的度数是否发生变化？如果你认为不发生变化，写出它的角度的大小．并说明理由；如果你认为发生变化，也说明理由．23．如图，边长为1的正方形OABC的顶点O为坐标原点，为坐标原点，点点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上．动点D在线段BC上移动（不与B，C重合），连接OD，过点D作DE⊥OD，交边AB于点E，连接OE．记CD的长为t．（1）当t=时，求直线DE的函数表达式：（2）如果记梯形COEB的面积为S，那么是否存在S的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由；（3）当OD 2+DE2取最小值时，求点E的坐标．24．如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC （1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE．（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（，k）是线段BC 上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图，在平面直角坐标系中，直线OA的函数表达式为y=2x，直线AB的函数表达式为y=﹣3x+b，点B的坐标为．点P沿折线OA﹣AB运动，且不与点O和点B重合．设点P的横坐标为m，△OPB的面积为S．（1）请直接写出b的值．（2）求点A的坐标．（3）求S与m之间函数关系，并直接写出对应的自变量m的取值范围．（4）过点P作OB边的高线把△OPB分成两个三角形，当其中一个是等腰直角三角形时，直接写出所有符合条件的m的值．26．如图①，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，OA、OB的长度分别为a和b，且满足a 2﹣2ab+b2=0．（1）判断△AOB的形状；（2）如图②，△COB和△AOB关于y轴对称，D点在AB上，点E在BC上，且AD=BE，试问：线段OD、OE是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论并证明；（3）将（2）中∠DOE绕点O旋转，使D、E分别落在AB，BC延长线上（如图③），∠BDE与∠COE有何关系？直接说出结论，不必说明理由．27．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为（4，0），点B 的坐标为（0，b）（b＞0），点P是直线AB上位于第二象限内的一个动点，过点P作PC⊥x轴于点C，记点P关于y轴的对称点为Q，设点P的横坐标为a．（1）当b=3时，①求直线AB的解析式；②若QO=QA，求P点的坐标．（2）是否同时存在a、b，使得△QAC是等腰直角三角形？若存在，求出所有满足条件的a、b的值；若不存在，请说明理由．28．如图，平面直角坐标系中，已知直线y=x上一点P（1，1），C为y轴上一点，平面直角坐标系中，已知直线连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B；直线AB与直线y=x交于点A，连接CD，直线CD与直线y=x交于点Q．（1）求证：OB=OC；（2）当点C坐标为（0，3）时，求点Q的坐标；（3）当△OPC≌△ADP时，直接写出C点的坐标．29．如图1，直线AB：y=﹣x﹣b分别与x，y轴交于A（6，0）、B两点，过点B 的直线交x轴负半轴与C，且OB：OC=3：1．（1）求直线BC的函数表达式；（2）直线EF：y=x﹣k（k≠0）交直线AB于E，交直线BC于点F，交x轴于D，是否存在这样的直线EF，使得S△EBD=S△FBD？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．（3）如图2，P为x轴上A点右侧的一动点，以P为直角顶点，BP为一腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K．当P点运动时，K点的位置是否发生变化？如果不变请求出它的坐标；如果变化，请说明理由．30．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣8，0），点B的坐标是（0，n）（n＞0）．P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为Pʹ（点Pʹ不在y轴上），连接PPʹ，PʹA，PʹC．设点P的横坐标为m．（1）若点P在第一象限，记直线AB与PʹC的交点为D．当PʹD：DC=5：13时，求m的值；（2）若∠ACPʹ=60°，试用m的代数式表示n；（3）若点P在第一象限，是否同时存在m，n，使△PʹCA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的m，n的值；若不存在，请说明理由．31．如图①所示，直线L：y=m（x+10）与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．（1）当OA=OB时，试确定直线L的解析式；（2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=8，BN=6，求MN的长；（3）当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y 轴于P点，如图③．问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由．32．如图，一次函数的函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC=30°；（1）如果点P（m，）在第二象限内，试用含m的代数式表示四边形AOPB 的面积，并求当△APB与△ABC面积相等时m的值；（2）如果△QAB是等腰三角形并且点Q在坐标轴上，请求出点Q所有可能的坐标；（3）是否存在实数a，b使一次函数和y=ax+b的图象关于直线y=x 对称？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+2与y轴交于点A，与x轴交于点B．直线l⊥x轴负半轴于点C，点D是直线l上一点且位于x轴上方．已知CO=CD=4．（1）求经过A，D两点的直线的函数关系式和点B的坐标；（2）在直线l上是否存在点P使得△BDP为等腰三角形，若存在，直接写出P 点坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）对于y=2x+2，分别令x与y为0求出A与B坐标，根据CO=CD=4，求出D坐标，确定出直线AD解析式即可；（2）存在，如图所示，设出P（﹣4，p），分三种情况考虑：当BD=P1D时；当BP3=BD时；当BP4=DP4，分别求出P坐标即可．【解答】解：（1）对于直线y=2x+2，当x=0时，y=2；当y=0时，x=﹣1，∴点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（﹣1，0），又∵CO=CD=4，∴点D的坐标为（﹣4，4），设直线AD的函数表达式为y=kx+b，则有，解得：，∴直线AD的函数表达式为y=﹣x+2；（2）存在，设P（﹣4，p），分三种情况考虑：当BD=P1D时，可得（﹣1+4）2+（0﹣4）2=（p﹣4）2，解得：p=9或p=﹣1，此时P1（﹣4，9），P2（﹣4，﹣1）；当BP3=BD时，则有（﹣1+4）2+（0﹣p）2=（﹣1+4）2+（0﹣4）2，解得：p=﹣4，此时P 3（﹣4，﹣4）；当BP 4=DP 4时，（﹣1+4）2+（0﹣p ）2=（p ﹣4）2，解得：p=，此时P 4（﹣4，），综上，共有四个点满足要求．分别是P 1（﹣4，9），P 2（﹣4，﹣4），P 3（﹣4，﹣1），P 4（﹣4，）．【点评】此题属于一次函数综合题，此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：涉及的知识有：涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握一次函数性质是解本题的关键．2．如图，直线L ：y=﹣x +2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，在y 轴上有一点N （0，4），动点M 从A 点以每秒1个单位的速度匀速沿x 轴向左移动． （1）点A 的坐标：的坐标： （4，0） ；点B 的坐标：的坐标： （0，2） ；（2）求△NOM 的面积S 与M 的移动时间t 之间的函数关系式；（3）在y 轴右边，当t 为何值时，△NOM ≌△AOB ，求出此时点M 的坐标； （4）在（3）的条件下，若点G 是线段ON 上一点，连结MG ，△MGN 沿MG 折叠，点N 恰好落在x 轴上的点H 处，求点G 的坐标．【分析】（1）在y=﹣x+2中，令别令y=0和x=0，则可求得A、B的坐标；（2）利用t可表示出OM，则可表示出S，注意分M在y轴右侧和左侧两种情况；（3）由全等三角形的性质可得OM=OB=2，则可求得M点的坐标；（4）由折叠的性质可知MG平分∠OMN，利用角平分线的性质定理可得到=，则可求得OG的长，可求得G点坐标．【解答】解：（1）在y=﹣x+2中，令y=0可求得x=4，令x=0可求得y=2，∴A（4，0），B（0，2），故答案为：（4，0）；（0，2）；（2）由题题意可知AM=t，①当点M在y轴右边时，OM=OA﹣AM=4﹣t，∵N（0，4），∴ON=4，∴S=OM•ON=×4×（4﹣t）=8﹣2t；②当点M在y轴左边时，则OM=AM﹣OA=t﹣4，∴S=×4×（t﹣4）=2t﹣8；（3）∵△NOM≌△AOB，∴MO=OB=2，∴M（2，0）；（4）∵OM=2，ON=4，∴MN==2，∵△MGN沿MG折叠，∴∠NMG=∠OMG，∴=，且NG=ON﹣OG，∴=，解得OG=﹣1，∴G（0，﹣1）．【点评】本题为一次函数的综合应用，涉及函数与坐标轴的交点、三角形的面积、全等三角形的性质、角平分线的性质定理及分类讨论思想等知识．在（1）中注意求函数图象与坐标轴交点的方法，在（2）中注意分两种情况，在（3）中注意全等三角形的对应边相等，在（4）中利用角平分线的性质定理求得关于OG的等式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性很强，但难度不大．3．如图①，平面直角坐标系中，O为原点，点A坐标为（﹣4，0），AB∥y轴，点C在y轴上，一次函数y=x+3的图象经过点B、C．的坐标为 （﹣4，2）；（1）点C的坐标为的坐标为 （0，3），点B的坐标为（2）如图②，直线l经过点C，且与直线AB交于点M，O'与O关于直线l对称，连接CO'并延长，交射线AB于点D．①求证：△CMD是等腰三角形；②当CD=5时，求直线l的函数表达式．【分析】（1）设点C的坐标为（0，y），把x=0代入y=x+3中得y=3，即可求出C点的坐标；设点B的坐标为（﹣4，y），把x=﹣4代入y=x+3中得y=2，即可求出B点的坐标；（2）①根据对称的性质和平行线的性质，推知∠CMD=∠MCD，故MD=CD，所以CMD是等腰三角形；②如图②，过点D作DP⊥y轴于点P．利用勾股定理求得CP的长度，然后结合坐标与图形的性质求得点M的坐标，利用待定系数法求得直线l的解析式即可．【解答】解：（1）如图①，∵A（﹣4，0），AB∥y轴，直线y=x+3经过点B、C，设点C的坐标为（0，y），把x=0代入y=x+3x+3中得y=3，∴C（0，3）；设点B的坐标为（﹣4，y），把x=4代入y=x+3中得y=2，∴B（﹣4，2）；故答案是：（0，3）；（﹣4，2）；（2）①证明：∵AB∥y轴，∴∠OCM=∠CMD．∵∠OCM=∠MCD，∴∠CMD=∠MCD，∴MD=CD，∴CMD是等腰三角形；②如图②，过点D作DP⊥y轴于点P．在直角△DCP中，由勾股定理得到：CP==3，∴OP=AD=CO+CP=3+3=6，∴AB=AD﹣DM=6﹣5=1，∴点M的坐标是（﹣4，1）．设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0）．把M（﹣4，1）、C（0，3）分别代入，得，解得，故直线l的解析式为y=x+3．【点评】此题考查了一次函数综合题，此题考查了一次函数综合题，需要综合利用勾股定理，需要综合利用勾股定理，需要综合利用勾股定理，等腰三角形的判等腰三角形的判定与性质，对称的性质以及待定系数法求一次函数解析式等知识点，难度不是很大，但是需要学生对所学知识有一个系统的掌握．4．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣2x +8的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，点C ，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为点A ，过点C 作CB ⊥y 轴，垂足为点C ，两条垂线相交于点B ．（1）线段AB ，BC ，AC 的长分别为AB= 8 ，BC= 4 ，AC= 4 ；（2）折叠图1中的△ABC ，使点A 与点C 重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接CD ，如图2． 请从下列A 、B 两题中任选一题作答，我选择两题中任选一题作答，我选择 A 题． A ：①求线段AD 的长；②在y 轴上，是否存在点P ，使得△APD 为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由． B ：①求线段DE 的长；②在坐标平面内，是否存在点P （除点B 外），使得以点A ，P ，C 为顶点的三角形与△ABC 全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先确定出OA=4，OC=8，进而得出AB=8，BC=4，利用勾股定理即可得出AC ；（2）A 、①利用折叠的性质得出BD=8﹣AD ，最后用勾股定理即可得出结论； ②分三种情况利用方程的思想即可得出结论；B 、①利用折叠的性质得出AE ，利用勾股定理即可得出结论； ②先判断出∠APC=90°，再分情况讨论计算即可．【解答】解：（1）∵一次函数y=﹣2x +8的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，点C ，∴A （4，0），C （0，8）， ∴OA=4，OC=8，∵AB ⊥x 轴，CB ⊥y 轴，∠AOC=90°， ∴四边形OABC 是矩形， ∴AB=OC=8，BC=OA=4，在Rt △ABC 中，根据勾股定理得，AC==4，故答案为：8，4，4；（2）A 、①由（1）知，BC=4，AB=8， 由折叠知，CD=AD ，在Rt △BCD 中，BD=AB ﹣AD=8﹣AD ， 根据勾股定理得，CD 2=BC 2+BD 2， 即：AD 2=16+（8﹣AD ）2， ∴AD=5，②由①知，D （4，5）， 设P （0，y ）， ∵A （4，0），∴AP 2=16+y 2，DP 2=16+（y ﹣5）2， ∵△APD 为等腰三角形， ∴Ⅰ、AP=AD ， ∴16+y 2=25，∴y=±3，∴P （0，3）或（0，﹣3） Ⅱ、AP=DP ， ∴16+y2=16+（y ﹣5）2，∴y=， ∴P （0，），Ⅲ、AD=DP ，25=16+（y ﹣5）2， ∴y=2或8，∴P （0，2）或（0，8）．B 、①、由A ①知，AD=5， 由折叠知，AE=AC=2，DE ⊥AC 于E ，在Rt △ADE 中，DE==，②、∵以点A ，P ，C 为顶点的三角形与△ABC 全等， ∴△APC ≌△ABC ，或△CPA ≌△ABC ， ∴∠APC=∠ABC=90°， ∵四边形OABC 是矩形，∴△ACO ≌△CAB ，此时，符合条件，点P 和点O 重合， 即：P （0，0）， 如图3，过点O 作ON ⊥AC 于N ， 易证，△AON ∽△ACO ， ∴，∴， ∴AN=，过点N 作NH ⊥OA ， ∴NH ∥OA ，∴△ANH ∽△ACO ， ∴，∴，∴NH=，AH=， ∴OH=， ∴N （，），而点P 2与点O 关于AC 对称， ∴P 2（，），同理：点B 关于AC 的对称点P 1，同上的方法得，P 1（﹣，）， 即：满足条件的点P 的坐标为：（0，0），（，），（﹣，）．【点评】此题是一次函数综合题，此题是一次函数综合题，主要考查了矩形的性质和判定，主要考查了矩形的性质和判定，主要考查了矩形的性质和判定，相似三角形的相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，对称的性质，解（1）的关键是求出AC ，解（2）的关键是利用分类讨论的思想解决问题．5．如图，一次函数y=x +6的图象交x 轴于点A 、交y 轴于点B ，∠ABO 的平分线交x 轴于点C ，过点C 作直线CD ⊥AB ，垂足为点D ，交y 轴于点E ． （1）求直线CE 的解析式；（2）在线段AB 上有一动点P （不与点A ，B 重合），过点P 分别作PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，垂足为点M 、N ，是否存在点P ，使线段MN 的长最小？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先求出AB=10，进而判断出Rt△BCD≌Rt△BCO，和△ACD∽△ABO，确定出点C（﹣3，0），再判断出△EBD≌△ABO，求出OE=BE﹣OB=4，即可得出点E坐标，最后用待定系数法即可；（2）设P（﹣m，﹣m+6），∴PN=m，PM=﹣m+6，根据勾股定理得，MN 2 =（m﹣）2+，即可得出点P横坐标，即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意得点B的横坐标为0，点A的纵坐标为0，∴B（0，6），A（﹣8，0），∴OA=8，OB=6，∴AB==10，∵CB平分∠ABO，CD⊥AB，CO⊥BO，∴CD=CO，∵BC=BC，∴Rt△BCD≌Rt△BCO，∴BD=BO=6，∴AD=AB﹣BD=4，∵∠ADC=∠AOB=90°，∠CAD=∠BAO，∴△ACD∽△ABO，∴，∴，∴AC=5，∴OC=OA ﹣AC=3， ∴C （﹣3，0），∵∠EDB=∠AOB=90°，BD=BO ，∠EBD=∠ABO ， ∴△EBD ≌△ABO ， ∴BE=AB=10， ∴OE=BE ﹣OB=4， ∴E （0，﹣4），设直线CE 的解析式为y=kx ﹣4， ∴﹣3k ﹣4=0， ∴k=﹣，∴直线CE 的解析式为y=﹣x ﹣4，（2）解：存在，（﹣，），如图，∵点P 在直线y=x +6上，∴设P （﹣m ，﹣m +6），∴PN=m ，PM=﹣m +6，根据勾股定理得，MN 2=PN2+PM2=m2+（﹣m +6）2=（m ﹣）2+，∴当m=时，MN 2有最小值，则MN 有最小值，当m=时，y=﹣x +6=﹣×+6=，∴P （﹣，）．【点评】此题是一次函数综合题，此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，主要考查了待定系数法，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解（1）的关键是求出点C 的坐标，解（2）的关键是得出MN 2的函数关系式，是一道中等难度的中考常考题．6．如图1，已知▱ABCD ，AB ∥x 轴，AB=6，点A 的坐标为（1，﹣4），点D 的坐标为（﹣3，4），点B 在第四象限，点P 是▱ABCD 边上的一个动点． （1）若点P 在边BC 上，PD=CD ，求点P 的坐标．（2）若点P 在边AB ，AD 上，点P 关于坐标轴对称的点Q 落在直线y=x ﹣1上，求点P 的坐标．（3）若点P 在边AB ，AD ，CD 上，点G 是AD 与y 轴的交点，如图2，过点P 作y 轴的平行线PM ，过点G 作x 轴的平行线GM ，它们相交于点M ，将△PGM 沿直线PG 翻折，当点M 的对应点落在坐标轴上时，求点P 的坐标．（直接写出答案）【分析】（1）由题意点P 与点C 重合，可得点P 坐标为（3，4）；（2）分两种情形①当点P 在边AD 上时，②当点P 在边AB 上时，分别列出方程即可解决问题；（3）分三种情形①如图1中，当点P 在线段CD 上时．②如图2中，当点P 在AB 上时．③如图3中，当点P 在线段AD 上时．分别求解即可； 【解答】解：（1）∵CD=6， ∴点P 与点C 重合， ∴点P 坐标为（3，4）．（2）①当点P 在边AD 上时， ∵直线AD 的解析式为y=﹣2x ﹣2， 设P （a ，﹣2a ﹣2），且﹣3≤a ≤1，若点P关于x轴的对称点Q1（a，2a+2）在直线y=x﹣1上，∴2a+2=a﹣1，解得a=﹣3，此时P（﹣3，4）．若点P关于y轴的对称点Q3（﹣a，﹣2a﹣2）在直线y=x﹣1上时，∴﹣2a﹣2=﹣a﹣1，解得a=﹣1，此时P（﹣1，0）②当点P在边AB上时，设P（a，﹣4）且1≤a≤7，若等P关于x轴的对称点Q2（a，4）在直线y=x﹣1上，∴4=a﹣1，解得a=5，此时P（5，﹣4），若点P关于y轴的对称点Q4（﹣a，﹣4）在直线y=x﹣1上，∴﹣4=﹣a﹣1，解得a=3，此时P（3，﹣4），综上所述，点P的坐标为（﹣3，4）或（﹣1，0）或（5，﹣4）或（3，﹣4）．（3）①如图1中，当点P在线段CD上时，设P（m，4）．在Rt△PNMʹ中，∵PM=PMʹ=6，PN=4，∴NMʹ==2，在Rt△OGMʹ中，∵OG 2+OMʹ2=GMʹ2，∴22+（2+m）2=m2，解得m=﹣， ∴P （﹣，4）根据对称性可知，P （，4）也满足条件．②如图2中，当点P 在AB 上时，易知四边形PMGMʹ是正方形，边长为2，此时P （2，﹣4）．③如图3中，当点P 在线段AD 上时，设AD 交x 轴于R ．易证∠MʹRG=∠MʹGR ，推出MʹR=MʹG=GM ，设MʹR=MʹG=GM=x ．∵直线AD 的解析式为y=﹣2x ﹣2， ∴R （﹣1，0），在Rt △OGMʹ中，有x 2=22+（x ﹣1）2，解得x=，。
2024年初中数学中考高频考点解答题测试卷 (52)
一、解答题1. 在平面直角坐标系xOy中，如图，已知Rt△DOE，∠DOE=90°，OD=3，点D在y轴上，点E在x轴上，在△ABC中，点A，C在x轴上，AC=5．∠ACB+∠ODE=180°，∠ABC=∠OED，BC=DE．按下列要求画图（保留作图痕迹）：（1）将△ODE绕O点按逆时针方向旋转90°得到△OMN（其中点D的对应点为点M，点E的对应点为点N），画出△OMN；（2）将△ABC沿x轴向右平移得到△A′B′C′（其中点A，B，C的对应点分别为点A′，B′，C′），使得B′C′与（1）中的△OMN的边NM重合；（3）求OE的长．2. 如图所示，请用尺规作图法在上找一点，使点到、的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）3. 如图，四边形是矩形，对角线与相交于点．（1）尺规作图：作的角平分线，交于点，不写作法，保留作图痕迹，标明字母；（2）与交于点F，若，求的度数．4. 如图是一个由1×1的正方形点阵组成的点阵图，请用无刻度的直尺按要求作图．（1）如图1，点A，B是点阵中的两个点，请作出线段AB的两个三等分点．（保留作图痕迹）（2）如图2，点A，B是点阵中的两个点，请作出线段AB的两个三等分点．（保留作图痕迹）5. 某校为了解九年级全体学生物理实验操作的情况，随机抽取了30名学生的物理实验操作考核成绩，并将数据进行整理，分析如下（说明：考核成绩均取整数，A级：10分，B级：9分，C级：8分，D级：7分及以下）：收集数据：10，8，10，9，5，10，9，9，10，8，9，10，9，9，8，9，8，10，6，9，8，10，9，6，9，10，9，10，8，10整理数据，并绘制统计表如下：成绩等级A B C D人数（名）10m n3根据表中信息，解答下列问题：(1)______，______．(2)计算这30名学生的平均成绩．(3)若成绩不低于9分为优秀，该校九年级参加物理实验操作考核成绩达到优秀的有560名，试估计该校有多少名学生参加物理实验操作？6. 在图中按要求作出点P：（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）如图：已知和两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即，且P到，两条公路的距离相等．7. 在中，，，点D是所在直线上的点，，．（1）根据题意画出图形，求的长；（2）若点E是边上的动点，连接，求线段的最小值（结果精确到0.1）．（参考数据：，，）8. 如图，在直角坐标系中，三角形的顶点都在网格上，其中C点坐标为．(1)写出点A、B的坐标：A（______，______）、B（______，______）；(2)将三角形先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到三角形，请你画出平移后的三角形；(3)求三角形的面积．9. 如图，已知．（1）画出关于轴对称的；（2）写出关于轴对称的各顶点的坐标．10. 2022年2月4日冬奥会开幕式在北京举行。
七年级数学下册 坐标及其性质的综合应用专项练习
【人教版七年级下册期末复习】坐标及其性质的综合应用专项练习『经典题例』例1：如图，在平面直角坐标系xOy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一种实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n 个单位，得到正方形及其内部的点，其中点A、B 的对应点分别为，已知正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点与点F重合，则点F 的坐标是A ．B ．C ．D ．例2：已知四边形AOCD是放置在平面直角坐标系内的梯形，其中O是坐标原点，点A，C，D的坐标分别为（0，8），（5，0），（3，8）．若点P在梯形内，且△PAD的面积等于△POC的面积，△PAO的面积等于△PCD 的面积．求点P的坐标．『专项测试』一．选择题1．如下图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，1)，(3，O)，(3，-l)，…，根据技个规律探索可得，第100个点的坐标为()A．(14，0)B．(14，-1)C．(14，1)D．（14，2)2．如图所示，一只电子跳蚤在第一象限及轴、轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0，0)→>(0，1)→(1，1)→>(1，0)→…]且每秒跳动一个单位，那么第45秒时跳蚤所在位置的坐标是()A．(5，6) B．(6，0) C．(6，3) D．(3，6)3．如图，在直角坐标系中，四边形ABCD各个顶点的坐标分别是A（2，3）、B（5，2）、C（2，4）、D（2，2），求这个四边形的面积。
A．32 B．32．5 C．33 D．33．54．已知：点A、B在平面直角坐标系中的位置如图所示，求△AOB的面积．A．2 B．3 C．4 D．．55．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，把一根长为2019个单位长度且没有弹性的细线线的粗细忽略不计的一端固定在A处，并按的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是A．B．C．D．6．在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点，且规定，正方形的内部不包含边界上的点，观察如图所示的中心在原点、一边平行于x轴的正方形：边长为1的正方形内部有1个整点，边长为3的正方形内部有9个整点，，则边长为8的正方形内部整点个数为．A．64 B．49 C．36 D．257．如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点D、C、P、H在x轴上，，，，，，把一条长为2018个单位长度且没有弹性的细线线粗细忽略不计的一端固定在点A处，并按的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是A．B．C．D．8．如图，在平面直角坐标系上有点，点A第一次跳动至点，第二次向右跳动3个单位至点，第三次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，，以此规律跳动下去，点A第2020次跳动至点的坐标是A． B． C．D．9．如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，三点，且a，b满足关系式。
2023学年北师大版八年级数学上学期压轴题专题09 一次函数与几何图形综合问题的五种类型含解析
专题09 一次函数与几何图形综合问题的五种类型类型一、面积问题例1．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线AB 与x 轴交于A 点 （2，0）与y 轴交于点B （0，1）． （1）求直线AB 的解析式；（2）点M （-1，y 1），N （3，y 2）在直线AB 上，比较y 1与y 2的大小. （3）若x 轴上有一点C ，且S △ABC =2，求点C 的坐标【变式训练1】已知一次函数12y kx =+的图象与x 轴交于点(2,0)B -，与正比例函数2y mx =的图象交于点(1,)A a ．（1）分别求k ，m 的值；（2）点C 为x 轴上一动点，如果ABC 的面积是6，请求出点C 的坐标．【变式训练2】如图，在正方形ABCD 中，4AB =，点P 为线段DC 上的一个动点．设DP x =，由点,,,A B C P 首尾顺次相接形成图形的面积为y ．（1）求y 关于x 的函数表达式及x 的取值范围；（2）设（1）中函数图象的两个端点分别为M N 、，且P 为第一象限内位于直线MN 右侧的一个动点，若MNP △正好构成一个等腰直角三角形，请求出满足条件的P 点坐标；（3）在（2）的条件下，若l 为经过(1,0)-且垂直于x 轴的直线，Q 为l 上的一个动点，使得MNQNMPS S=，请直接写出符合条件的点Q 的坐标．【变式训练3】如图，已知直线1:3l y x =+与过点A （3，0）的直线2l 交于点C （1，m ），且与x 轴交于点B ，与y 轴交于点D ． （1）求直线2l 的解析式；（2）若点D 关于x 轴的对称点为P ，求△PBC 的面积．类型二、一次函数与平行四边形例1.如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x ，y 轴分别交于点(4,0)A ，(0,3)B ，点C 是直线554y x =-+上的一个动点，连接BC ．（1）求直线AB 的函数解析式；（2）如图1，若//BC x 轴，求点C 到直线AB 的距离；（3）如图2，点(1,0)E ，点D 是直线AB 上的动点，试探索点C ，D 在运动过程中，是否存在以B ，C ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点C ，D 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练1】一次函数y = kx+1（k ≠ 0）的图象过点P （-3，2），与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）求k 的值及点A 、B 的坐标；（2）已知点C （-1，0），若以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点D 的坐标．【变式训练2】平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：2y x b =+与直线2l ：12y x =交于点()2,P m ． （1）求m ，b 的值；（2）直线()0x n n =≠与直线1l ，2l 分别交于M ，N 两点，当MN ＝3时，若以M ，N ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q 的坐标．类型三、一次函数与等腰三角形例1．一次函数的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 0），B （0，1），以AB 为边在第一象限内做等边△ABC ． （1）线段AB 的长是 ，△BAO ＝ °，点C 的坐标是 ；（2）如果在第二象限内有一点P （a ，1），试用含a 的代数式表示四边形ABPO 的面积． （3）在y 轴上存在点M ，使△MAB 为等腰三角形，请直接写出点M 的坐标．【变式训练1】如图一，已知直线l ：6y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线m 与v 轴交于点(0,2)C -，与直线l 交于点(,1)D t ．（1）求直线m 的解析式；（2）如图二，点P 在直线l 上且在y 轴左侧，过点P 作//PQ y 轴交直线m 于点Q ，交x 轴于点G ，当2PCG QCG S S ∆∆=，求出P ，Q 两点的坐标；（3）将直线l ：6y x =-+向左平移12个单位得到直线n 交x 轴于E 点，点F 是点C 关于原点对称点．过点F 作直线//k x 轴．点M 在直线k 上，写出以点C ，E ，M ，为顶点且CE 为腰的等腰三角形，并把求其中一个点M 的坐标的过程写出来．【变式训练2】在如图的平面直角坐标系中，直线n 过点A （0，﹣2），且与直线l 交于点B （3，2），直线l 与y 轴交于点C ．（1）求直线n 的函数表达式；（2）若△ABC 的面积为9，求点C 的坐标；（3）若△ABC 是等腰三角形，求直线l 的函数表达式．【变式训练3】如图，直线1:l y ax a =-，1l 与x 轴交于点B ，直线2l 经过点(4,0)A ，直线1l ，2l 交于点(2,3)C -．（1）a =______；点B 的坐标为______． （2）求直线2l 的解析表达式； （3）求ABC 的面积；（4）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ABP △为等腰三角形，请直接写出P 点的横坐标？类型四、一次函数与直角三角形例1.如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝－x ＋2的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，与函数y ＝13x ＋b 的图象交于点C （－2，m ）． （1）求m 和b 的值；（2）函数y ＝－x ＋b 的图象与x 轴交于点D ，点E 从点D 出发沿DA 向，以每秒2个单位长度匀速运动到点M （到A 停止运动），设点E 的运动时间为t 秒． ①当ΔACE 的面积为12时，求t 的值；②在点E 运动过程中，是否存在t 的值，使ΔACE 为直角三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．【变式训练1】如图1，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，对角线AC BD 、交于点,O P 从B 点出发，沿B DC →→方向匀速运动，P 点运动速度为1cm/s ．图2是点P 运动时，APC △的面积2()cm y 随P 点运动时间()s x变化的函数图像．（1）AB =_______cm,a =_____；（2）P 点在BD 上运动时，x 为何值时，四边形ADCP ； （3）在P 点运动过程中，是否存在某一时刻使得APB △为直角三角形，若存在，求x 的值；若不存在，请说明理由．【变式训练2】在平面直角坐标系xOy 中，将直线2y x =向下平移2个单位后，与一次函数132y x =-+的图象相交于点A ．（1）将直线2y x =向下平移2个单位后对应的解析式为 ； （2）求点A 的坐标；（3）若P 是x 轴上一点，且满足△OAP 是等腰直角三角形，直接写出点P 的坐标．类型五、最值问题例1．如图，将直线34y x=-向上平移后经过点()4,3A，分别交x轴y轴于点B、C．（1）求直线BC的函数表达式；（2）点P为直线BC上一动点，连接OP．问：线段OP的长是否存在最小值？若存在，求出线段OP的最小值，若不存在，请说明理由．【变式训练1】如图，四边形OABC是张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，5OC=，点E在边BC上．（1）若点N的坐标为(3,0)，过点N且平行于y轴的直线MN与EB交于点M，将纸片沿直线OE折叠，顶点C恰好落在MN上，并与MN上的点G重合．①求点G、点E的坐标；②若直线:l y mx n=+平行于直线OE，且与长方形ABMN有公共点，请直接写出n的取值范围．（2）若点E为BC上的一动点，点C关于直线OE的对称点为G，连接BG，请求出线段BG的最小值．专题09 一次函数与几何图形综合问题的五种类型类型一、面积问题例1．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线AB 与x 轴交于A 点 （2，0）与y 轴交于点B （0，1）． （1）求直线AB 的解析式；（2）点M （-1，y 1），N （3，y 2）在直线AB 上，比较y 1与y 2的大小. （3）若x 轴上有一点C ，且S △ABC =2，求点C 的坐标 【答案】（1）112y x =-+；（2）y 1＞y 2；（3）()6,0C 或()2,0-． 【解析】（1）解：设直线AB 的解析式为y kx b =+△A （2，0）B （0,1），△201k b b +=⎧⎨=⎩，解得：k =12-，b =12△直线AB 的解析式为112y x =-+ （2）△y ＝﹣12x +1中k ＝﹣12＜0，△y 值随x 值的增大而减小， △﹣1＜3，△y 1＞y 2；（3）△x 轴上有一点C ，设点C （x ，0），△AC ＝|2﹣x |， △S △ABC ＝2，△12×|2﹣x |×1＝2，△x ＝﹣2或x ＝6， △C （﹣2，0）或C （6，0）． 故答案为：（1）112y x =-+；（2）y 1＞y 2；（3）()6,0C 或()2,0-． 【变式训练1】已知一次函数12y kx =+的图象与x 轴交于点(2,0)B -，与正比例函数2y mx =的图象交于点(1,)A a ．（1）分别求k ，m 的值；（2）点C 为x 轴上一动点，如果ABC 的面积是6，请求出点C 的坐标． 【答案】（1）1k =，3m =；（2）点C 的坐标为(2,0)或(6,0)- 【解析】（1）一次函数1=2y kx +的图象与x 轴交于点2,0B -（），220k ∴-+=1k ∴=12y x ∴=+一次函数12y x =+的图象与正比例函数2y mx =的图象交于点(1,)A a ，12a ∴=+，a m =，3m ∴=； （2）设点C 的坐标为(,0)n ，过点A 作AD x ⊥轴，垂足为点D ．ABC 的面积是6，162BC AD ∴⋅=，1|(2)|362n ∴--⨯=，2n ∴=或6n =-∴点C 的坐标为(2,0)或(6,0)-，或过点A 作AD x ⊥轴，垂足为点D ．ABC 的面积是6，162BC AD ∴⋅=，1362BC ∴⨯=，4BC ∴=，点B 的坐标为(2,0)-，∴点C 的坐标为(2)0，或(60)-，． 【变式训练2】如图，在正方形ABCD 中，4AB =，点P 为线段DC 上的一个动点．设DP x =，由点,,,A B C P 首尾顺次相接形成图形的面积为y ．（1）求y 关于x 的函数表达式及x 的取值范围；（2）设（1）中函数图象的两个端点分别为M N 、，且P 为第一象限内位于直线MN 右侧的一个动点，若MNP △正好构成一个等腰直角三角形，请求出满足条件的P 点坐标；（3）在（2）的条件下，若l 为经过(1,0)-且垂直于x 轴的直线，Q 为l 上的一个动点，使得MNQNMPS S=，请直接写出符合条件的点Q 的坐标．【答案】（1）y =-2x +16，0＜x ＜4；（2）（12，12）或（8，20）或（6，14）；（3）（-1，-2）或（-1，8）或（-1，38）或（-1，28）【解析】（1）由线段的和差，得PC =（4-x ），由梯形的面积公式，得y =-2x +16， △四边形ABCD 是正方形，△AB =CD =4，△x 的取值范围是0＜x ＜4； （2）设P 点坐标是（a ，b ），M （0，16），N （4，8），以MN 为边，在MN 右侧做正方形，MNAB ，正方形中心为H ，则易知A ，B ，H 即为所求P 的坐标；示意图如下求得A （12，12），B （8，20），O （6，14），故P 点可能的坐标为（12，12）或（8，20）或（6，14）； （3）由S △MNQ =S △NMP ，设Q （-1，m ），QN 所在直线方程为y =kx +b ， 把Q 和N 代入方程，求得b =845m +，则可求S △NMP =12|16-b |×[4-（-1）]=|36-2m |当P 为（12，12）时，S △MNQ =40，△|36-2m |=40；解得m =-2或38，当P （8，20），同理解得m =-2或38，当P （8，20），有S △MNQ =20，解得m =8或28， 综上，符合条件的Q 的坐标为（-1，-2）或（-1，8）或（-1，38）或（-1，28）．【变式训练3】如图，已知直线1:3l y x =+与过点A （3，0）的直线2l 交于点C （1，m ），且与x 轴交于点B ，与y 轴交于点D ． （1）求直线2l 的解析式；（2）若点D 关于x 轴的对称点为P ，求△PBC 的面积．【答案】（1）-26y x =+；（2）12．【解析】（1）把(1,)C m 代入y ＝x ＋3，得1＋3＝m ，△m ＝4，△(1,4)C设2l 的解析式为：y ＝kx ＋b （k ≠0），将点A ,C 的坐标代入，则430k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得26k b =-⎧⎨=⎩，△2l 的解析式为：-26y x =+（2）当y ＝0时，30x += ，△3x =-，△(3,0)B -， 当x =0时，y =3，△(0,3)D ，△点P 、D 关于x 轴对称，△(0,3)P - ,如图，连接BP ,PC ,设PC 与x 轴的交点为Q ，设直线PC 的解析式为(0)y kx b k =+≠，将点(1,4),(0,3)C P -代入：43k b b +=⎧⎨=-⎩，解得73k b =⎧⎨=-⎩，△直线PC 的解析式为：73y x =-，令y =0，解得37x =， △BPCBQP BQCSSS=+1122c BQ OP BQ y =+1124()712227c BQ OP y =+=⨯⨯=．类型二、一次函数与平行四边形例1.如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x ，y 轴分别交于点(4,0)A ，(0,3)B ，点C 是直线554y x =-+上的一个动点，连接BC ．（1）求直线AB 的函数解析式；（2）如图1，若//BC x 轴，求点C 到直线AB 的距离；（3）如图2，点(1,0)E ，点D 是直线AB 上的动点，试探索点C ，D 在运动过程中，是否存在以B ，C ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点C ，D 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）334y x =-+；（2）2425；（3）17(2，45)8-、15(2-，69)8或1(2-，45)8、1(2，21)8或17(2，45)8-、15(2，21)8- 【解析】（1）设直线AB 的表达式为y kx b =+，则304b k b =⎧⎨=+⎩，解得343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，故AB 的表达式为334y x =-+；（2）//BC x 轴，故点C 的纵坐标为3，当3y =时，即5534y x =-+=，解得85x =，即点C 的坐标为8(5，3)，则85BC =；由点A 、B的坐标得，5AB ==，过点C 作CH AB ⊥于点H ，在△ABC 中，S △ABC =1122BC OB AB CH ⨯⨯=⨯⨯，即18135252CH ⨯⨯=⨯⨯，解得：2425CH =，即点C 到直线AB 的距离为2425；（3）设点C 、D 的坐标分别为5(,5)4m m -+、3(,3)4n n -+，当EB 是对角线时，由中点坐标公式得：01m n +=+且53305344m n +=-+-+，解得172152m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故点C 、D 的坐标分别为17(2，45)8-、15(2-，69)8；当EC 是对角线时，同理可得：1m n +=且5353344m n -+=-++，解得，1212m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故点C 、D 的坐标分别为1(2-，45)8、1(2，21)8；当ED 是对角线时，同理可得：1n m +=且35035344n m -+=-++，解得152172m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故点C 、D 的坐标分别为17(2，45)8-、15(2，21)8-．综上，点C 、D 的坐标分别为17(2，45)8-、15(2-，69)8或1(2-，45)8、1(2，21)8或17(2，45)8-、15(2，21)8-．【变式训练1】一次函数y = kx+1（k ≠ 0）的图象过点P （-3，2），与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）求k 的值及点A 、B 的坐标；（2）已知点C （-1，0），若以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点D 的坐标．【答案】（1）13k =-，与x 轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B （0，1）；（2）D （4，1）或D （2，-1）或D （-4，1）．【解析】（1）将P （-3，2）代入()10y kx k =+≠，得：13k =-函数表达式：113y x =-+，令y =0，x =3，令x =0，y =1，△与x 轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B （0，1）；（2）分三种情况：①BC 为对角线时，点D 的坐标为（-4，1）；②AB 为对角线时，点D 的坐标为（4，1），③AC 为对角线时，点D 的坐标为（2，-1）．综上所述，点D 的坐标是（4，1）或（-4，1）或（2，-1）．【变式训练2】平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：2y x b =+与直线2l ：12y x =交于点()2,P m ． （1）求m ，b 的值；（2）直线()0x n n =≠与直线1l ，2l 分别交于M ，N 两点，当MN ＝3时，若以M ，N ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q 的坐标．【答案】（1）13m b ==-,；（2）点Q 的坐标为()2,4，()2,2-或()6,6 【解析】（1）△直线1l ：2y x b =+与直线2l ：12y x =交于点()2,P m ，△4122m b m =+⎧⎪⎨=⨯⎪⎩，△1 3.m b ==-， （2）依题意可得直线1l ：23y x =-，△直线1l 与y 轴的交点为（0，-3） △直线()0x n n =≠与直线1l ，2l 分别交于M ，N 两点， MN ＝3， △M ，N 不是y 轴上的点，设M （x ，2x -3），则N （x ，12x ） 由MN ＝3，得（2x -3）-12x =3，解得x =4，△M （4，5），则N （4，2） △以M ，N ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，①当MN 为四边形MPNQ 的对角线时，MN 的中点坐标为（4，3.5） 故()2,1P 、Q 关于（4，3.5）对称，△点Q 的坐标为()6,6，②当MN 为四边形MNQP 的一边时，MN =PQ =3，且PQ 与y 轴平行，故点Q 的坐标为()2,4或()2,2- 综上，点Q 的坐标为()2,4，()2,2-或()6,6． 类型三、一次函数与等腰三角形例1．一次函数的图像与x 轴、y 轴分别交于点A0），B （0，1），以AB 为边在第一象限内做等边△ABC ． （1）线段AB 的长是 ，△BAO ＝ °，点C 的坐标是 ；（2）如果在第二象限内有一点P （a ，1），试用含a 的代数式表示四边形ABPO 的面积． （3）在y 轴上存在点M ，使△MAB 为等腰三角形，请直接写出点M 的坐标．【答案】（1）2，30，C2）；（22a-；（3）（0，-1）或（0，3）【解析】（1）(3A ，0)，(0,1)B ，在Rt AOB ∆中，2AB =，2OB =AB ，可30BAO ∴∠=︒，以AB 为边在第一象限内做等边ABC ∆，60ACB ∠=︒∴，AB AC =，90OAC ∴∠=︒，C ∴2)，故答案为2，30，C 2)；（2）四边形ABPO 的面积BAO =∆的面积OBP +∆的面积1111()222a a =+⨯⨯-=；（3）2AB =，30BAO ∠=︒，60OBA ∴∠=︒，①当AB BM =时，2BM =，(0,1)M -或(0,3)M ；②当AB AM =时，ABM ∆是等边三角形，M ∴与B 关于x 轴对称，(0,1)M ∴-； ③当BM AM =时，ABM ∆是等边三角形，M ∴与B 关于x 轴对称，(0,1)M ∴-； 综上所述：MAB ∆为等腰三角形时，M 点坐标为(0,1)-或(0,3)．【变式训练1】如图一，已知直线l ：6y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线m 与v 轴交于点(0,2)C -，与直线l 交于点(,1)D t ．（1）求直线m 的解析式；（2）如图二，点P 在直线l 上且在y 轴左侧，过点P 作//PQ y 轴交直线m 于点Q ，交x 轴于点G ，当2PCG QCG S S ∆∆=，求出P ，Q 两点的坐标；（3）将直线l ：6y x =-+向左平移12个单位得到直线n 交x 轴于E 点，点F 是点C 关于原点对称点．过点F 作直线//k x 轴．点M 在直线k 上，写出以点C ，E ，M ，为顶点且CE 为腰的等腰三角形，并把求其中一个点M 的坐标的过程写出来． 【答案】（1）直线m 的解析式为325y x =-；（2）P 点的坐标为（-10，16），Q 点坐标为（-10，-8）；（3）当CE 为腰时，点M 的坐标为：M （2）或M （-2）或M （0，2）．过程见解析． 【解析】（1）△D （t ，1）在直线l ：y =-x +6上，△1=-t +6，△t =5，△D （5，1），设直线m 的解析式为y =kx +b ，将点C ，D 代入得，512k b b +=⎧⎨=-⎩，解得，352k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以，直线m 的解析式为325y x =-； （2）设P （a ，6-a ），△点P 在x 轴的左侧，△0a < △PQ △轴，G （a ，0），Q （a ，325a -），如图，点P 、Q 在x 轴两侧，△S △PCG =12PG •（-a ），S △QCG =12GQ •(-a )且S △PCG =2S △QCG ， △PG =2QG ，△6-a =2（2-35a ），解得：a =-10， △66(10)16a -=--=，332(10)2855a -=⨯--=-△P 点的坐标为（-10，16），Q 点坐标为（-10，-8）；（3）对于直线l ：y =-x +6，当x =0时，y =6；当y =0时，x =6．△A （6，0），B （0，6），△将直线l ：y =-x +6向左平移12个单位得直线n 交x 轴于点E ，点F 是点C 关于原点的对称点．点C （0，-2）， △E （-6，0），F （0，2）， 如图，△将直线l ：y =-x +6向左平移12个单位得直线n ，△直线n ：y =-x -6， 又△F （0，2）△k 的解析式为：y =2，设M （a ，2），则MCME，CE ，当△MCE 为等腰三角形，且CE 为腰，有：①CE =MCa =a =-M （2）．M （-2）， ②ME =CE解得，a =0或a =-12（此时三点共线，不构成三角形，舍去），即M （0，2），综上，当CE 为腰时，点M 的坐标为：M （2）或M （-2）或M （0，2）．【变式训练2】在如图的平面直角坐标系中，直线n 过点A （0，﹣2），且与直线l 交于点B （3，2），直线l 与y 轴交于点C ．（1）求直线n 的函数表达式；（2）若△ABC 的面积为9，求点C 的坐标；（3）若△ABC 是等腰三角形，求直线l 的函数表达式．【答案】（1）y ＝43x ﹣2；（2）C （0，4）或（0，﹣8）；（3）直线l 的解析式为：y ＝﹣13x +3或y ＝3x ﹣7或y ＝﹣43x +6或y ＝724x +98 【解析】（1）设直线n 的解析式为：y ＝kx +b ，△直线n ：y ＝kx +b 过点A （0，﹣2）、点B （3，2），△232b k b =-⎧⎨+=⎩ ，解得：432k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ，△直线n 的函数表达式为：y ＝43x ﹣2； （2）△△ABC 的面积为9，△9＝12•AC •3，△AC ＝6， △OA ＝2，△OC ＝6﹣2＝4或OC ＝6+2＝8，△C （0，4）或（0，﹣8）； （3）分四种情况：①如图1，当AB ＝AC 时，△A （0，﹣2），B （3，2），△AB 22(22)＝5，△AC ＝5，△OA ＝2，△OC ＝3，△C （0，3），设直线l 的解析式为：y ＝mx +n ，把B （3，2）和C （0，3）代入得：323m n n +=⎧⎨=⎩ ，解得：133m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ，△直线l 的函数表达式为：y ＝13-x +3； ②如图2，AB ＝AC ＝5，△C （0，﹣7），同理可得直线l 的解析式为：y ＝3x ﹣7； ③如图3，AB ＝BC ，过点B 作BD △y 轴于点D ，△CD ＝AD ＝4，△C （0，6），同理可得直线l 的解析式为：y ＝43-x +6； ④如图4，AC ＝BC ，过点B 作BD △y轴于D ，设AC ＝a ，则BC ＝a ，CD ＝4﹣a ，根据勾股定理得：BD 2+CD 2＝BC 2，△32+（4﹣a ）2＝a 2，解得：a ＝258， △OC ＝258﹣2＝98 ，△C （0，98），同理可得直线l 的解析式为：y ＝724x +98； 综上，直线l 的解析式为：y ＝13-x +3或y ＝3x ﹣7或y ＝43-x +6或y ＝724x +98． 【变式训练3】如图，直线1:l y ax a =-，1l 与x 轴交于点B ，直线2l 经过点(4,0)A ，直线1l ，2l 交于点(2,3)C -．（1）a =______；点B 的坐标为______． （2）求直线2l 的解析表达式； （3）求ABC 的面积；（4）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ABP △为等腰三角形，请直接写出P 点的横坐标？【答案】（1）3a =-，()10B ,；（2）362y x =-；（3）92；（4）52，2813【解析】（1）△直线1:l y ax a =-经过点(2,3)C -，32a a ∴-=-，解得：3a =-；即直线1:l y ax a =-的解析式为33y x =-+；当y =0时，-3x +3=0，解得1x =，则()10B ,；故答案为：-3，（1,0）；（2）设直线2l 的解析式为:y kx b =+， △经过点()4,0A 和点(2,3)C -，△0432k b k b=+⎧⎨-=+⎩，解得：32k ，6b =-．△直线2l 的解析式为：362y x =-； （3）设ABC 的面积的面积为ABC S ；则413AB =-=，ABC 的高为3，则193322ABCS=⨯⨯=； （4）存在，设点P 的坐标为（x ，362x ），分三种情况： ①当AP=BP 时，点P 在线段AB 的垂直平分线上，△A （4,0），B （1,0），△点P 的横坐标为：41522+=； ②当AP=AB =3时，过点P 作PH △x 轴于点H ，△222PH AH AP +=，△2223(6)(4)32x x -+-=，解得x③当AB=BP =3时，作PM △x 轴于点M ， △222PM BM BP +=，△2223(6)(1)32x x -+-=，解得x =2813或x =4（舍去）；综上，符合条件的P 点的横坐标是52，2813，5213± 类型四、一次函数与直角三角形例1.如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝－x ＋2的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，与函数y ＝13x ＋b 的图象交于点C （－2，m ）． （1）求m 和b 的值；（2）函数y ＝－x ＋b 的图象与x 轴交于点D ，点E 从点D 出发沿DA 向，以每秒2个单位长度匀速运动到点M （到A 停止运动），设点E 的运动时间为t 秒． ①当ΔACE 的面积为12时，求t 的值；②在点E 运动过程中，是否存在t 的值，使ΔACE 为直角三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）m =4，b =143；（2）①t =5；②t ＝4或t ＝6 【解析】（1）△点C （−2，m ）在直线y ＝−x ＋2上， △m ＝−（−2）＋2＝2＋2＝4，△点C （−2，4）， △函数y ＝13x ＋b 的图象过点C （−2，4），△4＝13×（−2）＋b ，得b =143，即m 的值是4，b 的值是143； （2）①△函数y ＝−x ＋2的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，△点A （2，0），点B （0，2）， △函数y ＝13x ＋143的图象与x 轴交于点D ，△点D 的坐标为（−14，0），△AD ＝16， △△ACE 的面积为12，△(16−2t )×4÷2＝12，解得，t ＝5．即当△ACE 的面积为12时，t 的值是5； ②当t ＝4或t ＝6时，△ACE 是直角三角形，理由：当△ACE ＝90°时，AC △CE ， △点A （2，0），点B （0，2），点C （−2，4），点D （−14，0），△OA ＝OB ，AC ＝，△△BAO ＝45°，△△CAE ＝45°，△△CEA ＝45°，△CA ＝CE ＝，△AE ＝8， △AE ＝16−2t ，△8＝16−2t ，解得，t ＝4；当△CEA ＝90°时，△AC ＝，△CAE ＝45°，△AE ＝4， △AE ＝16−2t ，△4＝16−2t ，解得，t ＝6；由上可得，当t ＝4或t ＝6时，△ACE 是直角三角形．【变式训练1】如图1，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，对角线AC BD 、交于点,O P 从B 点出发，沿B DC →→方向匀速运动，P 点运动速度为1cm/s ．图2是点P 运动时，APC △的面积2()cm y 随P 点运动时间()s x变化的函数图像．（1）AB =_______cm,a =_____；（2）P 点在BD 上运动时，x 为何值时，四边形ADCP； （3）在P 点运动过程中，是否存在某一时刻使得APB △为直角三角形，若存在，求x 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2；（2；（3或1【解析】（1）在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，则ABC ∆、ACD ∆为全等的两个等边三角形，设ABC ∆的边长为a，则其面积为24a ， 由图2知，当点P 在点A 时，y ABC =∆的面积2=，解得2a =（负值已舍去）， 即菱形的边长为2，则2()AB cm =，由题意知，点P 与点O 重合时，对于图2的a 所在的位置，则1AO =，故a BO ====2（2）由（1）知点P 在BO 段运动时，对于图2第一段直线，而该直线过点、0)，设其对应的函数表达式为y kx t =+，则0t t ⎧=⎪+=，解得1k t =-⎧⎪⎨=⎪⎩，故该段函数的表达式为=-+y x ，当点P 在BD 上运动时，四边形ADCP，则点P 只能在BO 上，则四边形ADCP 的面积ACD S y ∆=+=x x =；（3）存在，理由：由（1）知，菱形的边长为2，则BP =1AO =，过点A 作AP DC ''⊥于点P ''交BD 于点P '，ABC ∆、ACD ∆均为等边三角形，则30PAP DAP ∠'=∠''=︒，①当点P 和点O 重合时，APB ∠为直角，则x BP ==②当BAP ∠'为直角时，则同理可得：PP '=x BP PP =+'=；③当BAP ∠''为直角时，则112x BD DP AD =+''=+=，综上，x 或1． 【变式训练2】在平面直角坐标系xOy 中，将直线2y x =向下平移2个单位后，与一次函数132y x =-+的图象相交于点A ．（1）将直线2y x =向下平移2个单位后对应的解析式为 ； （2）求点A 的坐标；（3）若P 是x 轴上一点，且满足△OAP 是等腰直角三角形，直接写出点P 的坐标．【答案】（1）22y x =-；（2）（2，2）；（3）（2，0）或（4，0）．【解析】（1）根据题意，得22y x =-；故答案为：22y x =-．（2）由题意得：22132y x y x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得：22x y =⎧⎨=⎩，△点A 的坐标为（2，2）； （3）如图所示，△P 是x 轴上一点，且满足△OAP 是等腰直角三角形，当OA =OP 时，P 点坐标为（4，0），当OP =AP 时，P 点坐标为（2，0）， 综上，P 点的坐标为：（2，0）或（4，0）． 类型五、最值问题 例1．如图，将直线34y x =-向上平移后经过点()4,3A ，分别交x 轴y 轴于点B 、C ．（1）求直线BC 的函数表达式；（2）点P 为直线BC 上一动点，连接OP ．问：线段OP 的长是否存在最小值？若存在，求出线段OP 的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）364y x =-+；（2）存在，线段OP 的最小值为4.8．【解析】（1）设平移后的直线BC 的解析式为34y x b =-+，代入()4,3A 得3344b =-⨯+，解得6b = △直线BC 的解析式为364y x =-+； （2）存在，理由如下：令x =0，得y =6，△C （0，6），故OC =6令y =0，得x =8，△B （8，0）故OB =8△BC 10= △OP △BC 时，线段OP 最小， △S △ABC =12BO CO ⨯=12BC OP ⨯，△OP = 4.8BO COBC⨯=，即线段OP 的最小值为4.8． 【变式训练1】如图，四边形OABC 是张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O 与坐标原点重合，点A 在x 轴正半轴上，点C 在y 轴正半轴上，5OC =，点E 在边BC 上．（1）若点N 的坐标为(3,0)，过点N 且平行于y 轴的直线MN 与EB 交于点M ，将纸片沿直线OE 折叠，顶点C 恰好落在MN 上，并与MN 上的点G 重合． ①求点G 、点E 的坐标；②若直线:l y mx n =+平行于直线OE ，且与长方形ABMN 有公共点，请直接写出n 的取值范围． （2）若点E 为BC 上的一动点，点C 关于直线OE 的对称点为G ，连接BG ，请求出线段BG 的最小值．【答案】（1）①G （3，4），E （53，5）；②-15≤n ≤-4；（2）5【解析】（1）由折叠的性质可知，OG =OC =5，由勾股定理得，GN 4=， △点G 的坐标为（3，4）；设CE =x ，则EM =3-x ，由折叠的性质可知：EG =CE =x ， △GN =4，△GM =5-4=1，在Rt △EMG 中，222EG EM MG =+，即()22231x x =-+，解得：x =53， △点E 的坐标为（53，5）；设OE所在直线的解析式为：y=kx，则53k=5，解得，k=3，△OE所在直线的解析式为：y=3x，△直线l：y=mx+n平行于直线OE，△m=3，即直线l的解析式为y=3x+n，当直线l经过点M（3，5）时，5=3×3+n，解得，n=-4，当直线l经过点A（5，0）时，0=3×5+n，解得，n=-15，△直线l与长方形ABMN有公共点时，-15≤n≤-4；（3）连接OB，OG，△OC=BC=5，△OCB=90°，△BC OC=△点C关于直线OE的对称点为点G，△OC=OG=5，△BG≥OB-OG，△当O、B、G三点共线时，BG取得最小值，△BG的最小值为5．。
2021年北京中考数学一模分类——新定义(学生版)
2021年北京中考数学一模分类——新定义1．在平面直角坐标系xOy中，对于点A和线段MN，如果点A，O，M，N按逆时针方向排列构成菱形AOMN，且∠AOM＝α，则称线段MN是点A的“α﹣相关线段”．例如，图1中线段MN是点A的“30°﹣相关线段”．（1）已知点A的坐标是（0，2）．①在图2中画出点A的“30°﹣相关线段”MN，并直接写出点M和点N的坐标；②若点A的“α﹣相关线段”经过点（，1），求α的值；（2）若存在α，β（α≠β）使得点P的“α﹣相关线段”和“β﹣相关线段”都经过点（0，4），记PO＝t，直接写出t的取值范围．2．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点A是平面内一点，过点A的直线交⊙O 于点B和点C（AB≤AC），0≤BC≤1，我们把点B称为点A关于⊙O的“斜射点”．（1）如图，在点A1（﹣1，1），A2（0，），A3（，0）中，存在关于⊙O的“斜射点”的是．（2）已知若A（0，2），点A关于⊙O的斜射点”为点B，则点B的坐标可以是．（写出两个即可）（3）若点A直线y＝kx+k上，点A关于⊙O的“斜射点”为B（﹣1，0），画出示意图，直接写出k的取值范围．3．对于平面直角坐标系xOy中的点M和图形G1，G2给出如下定义：点P为图形G1上一点，点Q为图形G2上一点，当点M是线段PQ的中点时，称点M是图形G1，G2的“中立点”．如果点P（x1，y1），Q（x2，y2），那么“中立点”M的坐标为（，）．已知，点A（﹣3，0），B（4，4），C（4，0）．（1）连接BC，在点D（，0），E（0，1），F（，）中，可以成为点A和线段BC 的“中立点”的是；（2）已知点G（3，0），⊙G的半径为2．如果直线y＝x﹣1上存在点K可以成为点A 和⊙G的“中立点”，求点K的坐标；（3）以点C为圆心，半径为2作圆．点N为直线y＝2x+4上的一点，如果存在点N，使得y轴上的一点可以成为点N与⊙C的“中立点”．直接写出点N的横坐标n的取值范围．4．在平面直角坐标系xOy中，已知正方形ABCD，其中A（﹣，0），B（0，），C （，0），D（0，﹣）．M，N为该正方形外两点，MN＝1．给出如下定义：记线段MN的中点为P，平移线段MN得到线段M′N′，使点M′，N′分别落在正方形ABCD的相邻两边上，或线段M′N′与正方形的边重合（M′，N′，P′分别为点M，N，P的对应点），线段PP′长度的最小值称为线段MN到正方形ABCD 的“平移距离”．（1）如图1，平移线段MN，得到正方形ABCD内两条长度为1的线段M1N1，M2N2，则这两条线段的位置关系是；若P1，P2分别为M1N1，M2N2的中点，在点P1，P2中，连接点P与点的线段的长度等于线段MN到正方形ABCD 的“平移距离”．（2）如图2，已知点E（+1，0），若M，N都在直线BE上，记线段MN到正方形ABCD的“平移距离”为d1，求d1的最小值；（3）若线段MN的中点P的坐标为（2，2），记线段MN到正方形ABCD的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．5．对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P，给出如下定义：将图形M绕点P顺时针旋转90°得到图形N，图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”．例如，图1中点D 为点C关于点P的“垂直图形”（1）点A关于原点O的“垂直图形”为点B．①若点A的坐标为（0，2），则点B的坐标为；②若点B的坐标为（2，1），则点A的坐标为；（2）E（﹣3，3），F（﹣2，3），G（a，0）．线段EF关于点G的“垂直图形”记为E′F′，点E的对应点为E′，点F的对应点为F′．①求点E′的坐标（用含a的式子表示）；②若⊙O的半径为2，E′F′上任意一点都在⊙O内部或圆上，直接写出满足条件的EE′的长度的最大值．6．对于平面直角坐标系xOy中的⊙O和图形N，给出如下定义：如果⊙O平移m个单位后，图形N上的所有点在⊙O内或⊙O上，则称m的最小值为⊙O对图形N的“覆盖近距”．（1）当⊙O的半径为1时，①若点A（3，0），则⊙O对点A的“覆盖近距”为；②若⊙O对点B的“覆盖近距”为1，写出一个满足条件的点B的坐标；③若直线y＝2x+b上存在点C，使⊙O对点的“覆盖近距”为1，求b的取值范围；（2）当⊙O的半径为2时，D（3，t），E（4，t+1），且﹣1≤t≤2．记⊙O对以DE为对角线的正方形的“覆盖近距”为d，直接写出d的取值范围．7．对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ，给出如下定义：若存在△PQR使得S△PQR＝PQ2，则称△PQR为线段PQ的“等幂三角形”，点R称为线段PQ的“等幂点”．（1）已知A（3，0）．①在点P1（1，3），P2（2，6），P3（﹣5，1），P4（3，﹣6）中，是线段OA的“等幂点”的是；②若存在等腰△OAB是线段OA的“等幂三角形”，求点B的坐标；（2）已知点C的坐标为C（2，﹣1），点D在直线y＝x﹣3上，记图形M为以点T（1，0）为圆心，2为半径的⊙T位于x轴上方的部分．若图形M上存在点E，使得线段CD 的“等幂三角形”△CDE为锐角三角形，直接写出点D的横坐标x D的取值范围．8．在平面直角坐标系xOy中，对于点p和线段ST，我们定义点P关于线段ST的线段比k ＝．（1）已知点A（0，1），B（1，0）．①点Q（2，0）关于线段AB的线段比k＝；②点C（0，c）关于线段AB的线段比k＝，求c的值．（2）已知点M（m，0），点N（m+2，0），直线y＝x+2与坐标轴分别交于E，F两点，若线段EF上存在点使得这一点关于线段MN的线段比k≤，直接写出m的取值范围．9．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点M（x1，y1），N（x2，y2），若|x1﹣x2|+|y1﹣y2|＝k（k为常数且k≠0），则称点M为点N的k倍直角点．根据以上定义，解决下列问题：（1）已知点A（1，1），①若点B（﹣2，3）是点A的k倍直角点，则k的值是；②在点C（2，3），D（﹣1，1），E（0，﹣2），O（0，0）中是点A的2倍直角点的是；③若直线y＝﹣2x+b上存在点A的2倍直角点，求b的取值范围；（2）⊙T的圆心T的坐标为（1，0），半径为r，若⊙T上存在点O的2倍直角点，直接写出r的取值范围．10．在平面直角坐标系xOy中，任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2），定义线段PQ的“直角长度”为d PQ＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|．（1）已知点A（3，2）．①d OA＝；②已知点B（m，0），若d AB＝6，求m的值；（2）在三角形中，若存在两条边“直角长度”之和等于第三条边的“直角长度”，则称该三角形为“和距三角形”．已知点M（3，3）．①点D（0，d）（d≠0），如果△OMD为“和距三角形”，求d的取值范围；②在平面直角坐标系xOy中，点C为直线y＝﹣x﹣4上一点，点K是坐标系中的一点，且满足CK＝1，当点C在直线上运动时，点K均满足使△OMK为“和距三角形”，请你直接写出点C的横坐标x的取值范围．11．如图，直线l和直线l外一点P，过点P作PH⊥l于点H，任取直线l上点Q，点H关于直线PQ的对称点为点H'，称点H'为点P关于直线l的垂对点．在平面直角坐标系xOy中，（1）已知点P（0，2），则点O（0，0），A（2，2），B（0，4）中是点P关于x轴的垂对点的是；（2）已知点M（0，m），且m＞0，直线y＝﹣x+4上存在点M关于x轴的垂对点，求m的取值范围；（3）已知点N（n，2），若直线y＝x+n上存在两个点N关于x轴的垂对点，直接写出n 的取值范围．12．对于平面内的点P和图形M，给出如下定义：以点P为圆心，r为半径作圆．若⊙P与图形M有交点，且半径r存在最大值与最小值，则将半径r的最大值与最小值的差称为点P视角下图形M的“宽度d M”（1）如图1．点A（4，3），B（0，3）．①在点O视角下，则线段AB的“宽度d AB”为；②若⊙B半径为1.5，在点A视角下，⊙B的“宽度d⊙B”为．（2）如图2，⊙O半径为2．点P为直线y＝﹣x+1上一点．求点P视角下⊙O“宽度d⊙O”的取值范围；（3）已知点C（m，0），CK＝1，直线y＝x+3与x轴，y轴分别交于点D，E．若随着点C位置的变化，使得在所有点K的视角下，线段DE的“宽度”均满足0＜d DE＜6，直接写出m的取值范围．13．已知点P、Q分别为图形M和图形N上的任意点，若存在点P、Q使得PQ＝1，我们就称图形M、N为友好图形，P、Q为关于图形M、N的一对友好点．（1）已知点A（1，0），，C（﹣1，1）中，与点O为一对友好点；（2）已知⊙O半径r＝1，若直线y＝x+b与⊙O有且只有一对友好点，求b的值；（3）已知点，⊙D半径r＝1，若直线y＝x+m与⊙D是友好图形，求m的取值范围．14．规定如下：图形M与图形N恰有两个公共点（这两个公共点不重合），则称图形M与图形N是和谐图形．（1）在平面直角坐标系xOy中，已知⊙O的半径为2，若直线x＝k与⊙O是和谐图形，请你写出一个满足条件的k值，即k＝；（2）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（t，0），直线l：y＝x+3与x轴、y轴分别交于B，C两点（其中点A不与点B重合），则线段AB与直线l组成的图形我们称为图形V；①t＝时，以A为圆心，r为半径的⊙A与图形V是和谐图形，求r的取值范围；②以点A为圆心，2为半径的⊙A与图形V均组成和谐图形，求t的取值范围．。
解析几何第四章习题及解答
第4章 二次曲线和二次曲面习题4.11.在直角坐标系x O y 中，以直线:43120l x y -+=为新坐标系的x '轴，取通过(1,3)A -且垂直于l 的直线为y '轴，写出点的坐标变换公式， 并且求直线1:3250l x y -+=在新坐标系中的方程。
解：直线:43120l x y -+=的方向是(3,4)，与它垂直的方向是(4,3)±-，新坐标系的x '轴的坐标向量取为34(,)55，y '轴坐标向量取为43(,)55-，与直线:43120l x y -+=垂直且的直线方程可设为340x y c ++=，由于过点(1,3)A -，得到直线方程是3490x y ++=，两直线的交点(3,0)-是新坐标原点，所以点的坐标变换公式：34355.43055x x y y ⎡⎤-⎢⎥'-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦直线1:3250l x y -+=在新坐标系中的方程：13443:3(3)2()505555l x y x y ''''---++=，化简有1:18200.l x y ''--=2.作直角坐标变换，已知点(6,5),(1,4)A B --的新坐标分别为(1,3),(0,2)-，求点的坐标变换公式。
解：设同定向的点的坐标变换公式是：cos sin .sin cos x x a y y b θθθθ'-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦它的向量的坐标变换公式是：cos sin .sin cos u u v v θθθθ'-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦由题意知向量(5,1) A B =-变为(1,5)A B ''=-，于是有5cos sin 1.1sin cos 5θθθθ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦得到125s i n ,c o s .1313θθ==于是点的坐标变换公式是：5121313.1251313x x a y y b ⎡⎤-⎢⎥'⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦将点(1,4)B -及它的像点(0,2)代入得到3713,6213a b ⎡⎤⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦所以点的坐标变换公式是： 51237131313.12562131313x x y y ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥'⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设反定向的点的坐标变换公式是：cos sin .sin cos x x a y y b θθθθ'-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦它的向量的坐标变换公式是：cos sin .sin cos u u v v θθθθ'-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦由题意知向量(5,1)A B =-变为(1,5) A B ''=-，于是有5cos sin 1.1sin cos 5θθθθ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦得到s i n 1,c o s 0.θθ=-=于是点的坐标变换公式是：01.10x x a y y b '-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦将点(1,4B -及它的像点(0,2)代入得到3,4a b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦所以点的坐标变换公式是： 013.104x x y y '-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦3.设新旧坐标系都是右手直角坐标系，点的坐标变换公式为5,3,22(1)(2) 2.3;22x x y x y y x y x y ⎛''=++ '=-+⎧⎨' =-⎩''=-+- ⎝ 其中，(,)x y 与(,)x y ''分别表示同一点的旧坐标与新坐标，求新坐标系的原点的旧坐标，并且求坐标轴旋转的角θ。
参数方程
π (θ 为参数)，直线 l 经过点 P(2，2)，倾斜角 α＝ . 3 (1)写出圆的标准方程和直线 l 的参数方程； (2)设 l 与圆 C 相交于 A、B 两点，求|PA|· |PB|的值．
解析：(1)由圆 C 的参数方程可得其标准方程为 x 2＋y2＝16.因为直线 l 过点 P(2，2)，倾 π 斜角 α＝ ， 3 π x＝2＋tcos 3 ， 所以直线 l 的参数方程为 π y ＝ 2 ＋ t sin ， 3 1 x＝2＋ t， 2 即 (t 为参数)． 3 y＝2＋ 2 t 1 x＝2＋ t， 2 (2)把直线 l 的参数方程 3 y＝2＋ t 2 代入圆 C：x 2＋y 2＝ 16 中，
1．参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点 ________的坐标 x，
x＝f（ t） y 都是某个变数 t 的函数： ，并且对于 t 的每一个允许值， y＝g（ t）
这条曲线上 ，那么方程就叫做这 由方程组所确定的点 M(x，y)都在____________
2 x＝ 2＋ sin θ ， (3) (θ 为参数)． y ＝－ 1 ＋ cos 2 θ
（1）4x＋3y－4＝0，它表示的是一条直线 （2）(x－1)2＋(y＋2)2＝16(－3≤x≤5，－2≤y≤2)， 它表示的曲线是以(1，－2)为圆心，半径为4的上半圆 （3）2x＋y－4＝0(2≤x≤3)，它表示的是一条线段
小结
1． 参数方程化为普通方程即为解方程组， 常用代入法、 加减消元法、三角恒等式消元法等，但要注意保持同解变 形． 2．求曲线参数方程的一般步骤：①画图，设点；②选 参数；③建方程，关键是选取适当的参数．选参数时，一 是曲线上每一点的坐标 x，y 与参数的关系比较明显，容易 列出方程；二是 x，y 的值可以由参数唯一确定．选取的参 数不同，其方程是不一样的．参数可以是一个有物理意义 或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．
2023年九年级数学中考专题训练——二次函数与特殊的三角形
中考专题训练——二次函数与特殊的三角形1．如图1，抛物线y =﹣x 2+2x +3与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ．（1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）如图2，连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF DE ∥交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ；用含m 的代数式表示线段PF 的长；并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？（3）如图3，连接AC ，在x 轴上是否存在点Q ，使△ACQ 为等腰三角形，若存在，请求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．2．已知抛物线21y x bx c =++的顶点坐标为（﹣1，1），直线l 的解析式为2222344y mx m nm n =+++，且l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点．（1）求b 、c 的值；（2）若函数12y y +的图象与x 轴始终有公共点，求直线l 的解析式；（3）点P 是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P ，使PAB ∆为等腰三角形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）交x 轴于A （﹣1，0），B （5，0）两点，与y 轴交于点C （0，2）（1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为抛物线的顶点，连接BC 、CM 、BM ，求△BCM 的面积；（3）连接AC ，在x 轴上是否存在点P 使△ACP 为等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线L：y=ax2+bx+c与x轴交于A、B（3，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，3），已知对称轴x=1．（1）求抛物线L的解析式；（2）将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内（包括△OBC的边界），求h的取值范围；（3）设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线l：x=﹣3上，△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．5．在平面直角坐标系中，抛物线223=--+与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，y x x顶点为D．（1）请直接写出点A，C，D的坐标；（2）如图（1），在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；（3）如图（2），F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．6．在直角坐标系xOy中，定义点C（a，b）为抛物线L：y=ax2+bx（a≠0）的特征点坐标．（1）已知抛物线L经过点A（﹣2，﹣2）、B（﹣4，0），求出它的特征点坐标；（2）若抛物线L1：y=ax2+bx的位置如图所示：①抛物线L1：y=ax2+bx关于原点O对称的抛物线L2的解析式为；②若抛物线L1的特征点C在抛物线L2的对称轴上，试求a、b之间的关系式；③在②的条件下，已知抛物线L1、L2与x轴有两个不同的交点M、N，当一点C、M、N为顶点构成的三角形是等腰三角形时，求a的值．7．已知函数C1：y=kx2+（43﹣3k）x﹣4．（1）求证：无论k为何值，函数图象与x轴总有交点？（2）当k≠0时，（n﹣3，n﹣7）、（﹣n+1，n﹣7）是抛物线上的两个不同点，①求抛物线的表达式；②求n；（3）当k≠0时，二次函数与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，是否存在实数k，使△ABC为等腰三角形？若存在，请求出实数k；若不存在，请说明理由？8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣1）2+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点B 的坐标为（3，0）．点P在这条抛物线上，且不与B、C两点重合．过点P作y轴的垂线与射线BC交于点Q以PQ为边作Rt△PQF，使∠PQF=90°，点F在点Q的下方，且QF=1．设点P的横坐标为m．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）若线段PQ的长度为d．①求d与m之间的函数关系式；②当Rt△PQF的边PF被y轴平分时，求d的值．（3）以OB为边作等腰直角△OBD，当0＜m＜3时，直接写出点F落在△OBD的边上时m的值．9．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （﹣3，0）、B （1，0）、C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 为抛物线在第二象限上的一点，设△PAC 的面积为S ，求S 的最大值并求出此时点P 的坐标；（3）设抛物线的顶点为D ，DE ⊥x 轴于点E ，在y 轴上是否存在点M ，使得△ADM 是等腰三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图①，在平面直角坐标系中，平行于x 轴的直线与抛物线y =ax ²(a >0)相交于A 、B 两点.设点B 的横坐标为m (m >0).(1)求AB 的长（用含m 的代数式表示）.(2)如图②，点C 在直线AB 上，点C 的横坐标为2m .若a =1，m =2，求顶点在x 轴上且经过B 、C 两点的抛物线的顶点坐标.(3)点D 在直线AB 上，BD =2AB ，过O 、B 、D 三点的抛物线的顶点为P ，其对应函数的二次项系数为a 1. ①求1a a的值. ②当m =2，△BPD 为等腰直角三角形，直接写出a 的值.11．如图，抛物线与x 轴交于A (x 1，0)、B (x 2，0)两点，且x 1＞x 2，与y 轴交于点C (0，4)，其中x 1、x 2是方程x 2－2x －8＝0的两个根．(1)求这条抛物线的解析式；(2)点P 是线段AB 上的动点，过点P 作PE AC ，交BC 于点E ，连接CP ，当△CPE 的面积最大时，求点P 的坐标；(3)探究：若点Q 是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q ，使△QBC 成为等腰三角形？若存在，请直．接写出．．．所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图（1），抛物线2316y x =-平移后过点A （8,0）和原点，顶点为B ，对称轴与x 轴相交于点C ，与原抛物线相交于点D ．(1)求平移后抛物线的解析式及点D 的坐标；(2)直接写出阴影部分的面积S ；(3)如图（2），直线AB 与y 轴相交于点P ，点M 为线段OA 上一动点（点M 不与点A ，O 重合），∠PMN 为直角，MN 与AP 相交于点N ，设OM =t ，试探究：t 为何值时，△MAN 为等腰三角形？13．如图，抛物线2y ax bx c =++经过点A (5,0)，B (-3,0),C (0,4).（1）求这条抛物线的函数关系式；（2）过C 作CD ∥x 轴交抛物线于D , 连续BC 、AD ,两个动点P 、Q 分别从A 、B 两点同时出发,都以每秒1个单位长度的速度运动.其中，点P 沿着线段AB 向B 点运动，点Q 沿着折线B→C→D 的路线向D 点运动.设这两个动点运动的时间为t （秒)(0＜t ＜7)，△PQB 的面积记为S .①求S 与t 的函数关系式；②当t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？③是否存在这样的t 值，使得△PQB 是直角三角形?若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由.14．如图1，对称轴为直线1x 2=的抛物线经过B （2，0）、C （0，4）两点，抛物线与x 轴的另一交点为A（1）求抛物线的解析式； （2）若点P 为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP 的面积为S ，求S 的最大值；（3）如图2，若M 是线段BC 上一动点，在x 轴是否存在这样的点Q ，使△MQC 为等腰三角形且△MQB 为直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图①,已知抛物线233384y x x =--与轴交于A 和B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴相交于点C ．顶点为D ．(1)求出点A,B,D 的坐标(2)如图①,若线段OB 在x 轴上移动,点O,B 移动后的对应点为O´,B´.首尾顺次连接点O´、B´、D 、C 构成四边形O´B´DC,当四边形O´B´DC 的周长有最小值时,在第四象限的抛物线上找一点P,使得△PO´C 的面积最大,求出此时点P 的坐标:(3)如图②,若点M 是抛物线上一点,点N 在y 轴上,连接CM 、MN.是否存在一点N,使△CMN 为等腰直角三角形,若存在,直接写出点N 的坐标;若不存在,说明理由.16．如图，已知直线y=3x ﹣3分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，抛物线y=2x +bx+c 经过A 、B 两点，点C 是抛物线与x 轴的另一个交点，该抛物线的对称轴与x 轴交于点E ．（1）直接写出抛物线的解析式为；（2）以点E 为圆心的⊙E 与直线AB 相切，求⊙E 的半径；（3）连接BC ，点P 是第三象限内抛物线上的动点，连接PE 交线段BC 于点D ，当△CED 为直角三角形时，求点P 的坐标．17．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （c ≠4a ），其图象L 经过点A （－2，0）.（1）求证：b 2－4ac ＞0；（2）若点B （－，b ＋3）在图象L 上，求b 的值；（3）在（2）的条件下，若图象L 的对称轴为直线x ＝3，且经过点C （6，－8），点D （0，n ）在y 轴负半轴上，直线BD 与OC 相交于点E ，当△ODE 为等腰三角形时，求n 的值.18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线233384y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ． （1）请直接写出A 、B 、C 三点的坐标：A B C（2）点P 从点A 出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动的时间为t(秒)，① 当t 为何值时，BP ＝BQ ？② 是否存在某一时刻t ，使△BPQ 是直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t 的值，若不存在，请说明理由．19．如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过A （3，0），B （0，1），C （2，2）三点.（1）求二次函数2y ax bx c =++的解析式；（2）设点D （65，m ）在二次函数的图象上，将∠ACB 绕点C 按顺时针方向旋转至∠FCE ，使得射线CE 与y 轴的正半轴交于点E ，且经过点D ，射线CF 与线段OA 交于点F ．求证：BE ＝2FO ；（3）是否存在点H （n ，2），使得点A 、D 、H 构成的△ADH 是直角三角形？若存在，有几个符合条件的点H ？（直接回答，不必说明理由）20．如图，在平面直角坐标系中，直线483y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A 、B ，抛物线24y ax ax c =-+经过点A 和点B ，与x 轴的另一个交点为C ，动点D 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度向O 点运动，同时动点E 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度向A 点运动，设运动的时间为t 秒，0<t <5．(1)求抛物线的解析式；(2)当t为何值时，以A、D、E为顶点的三角形与△AOB相似；(3)当△ADE为等腰三角形时，求t的值；(4)抛物线上是否存在一点F，使得以A、B、D、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出F点的坐标；若不存在，说明理由．。
在直角坐标系中表示角
例二：请用集合表示下列轴线角：（用弧度制）
y
2 k (2k 1)
k , k Z 2
O
x
2k
二、表示轴线角之二:“多条终边”的角
例三：写出终边落在坐标轴上的角的集合
第1题图：y
2 2 1
重 合 2 k 2 k 终边 终边关于 x 轴对称 2k 2k 终边关于 y 轴对称 2k 2k 终边关于原点对称 2k 2k
在直角坐标系中表示角在平面直角坐标系中在直角坐标系xoy中在直角坐标系中如图在直角坐标系中平面直角坐标系xoy中平面直角坐标系中在空间直角坐标系中直角坐标系xoy中在同一直角坐标系中
第三课时
桃浦中学 付敏忠
三角知识回顾：
1、我们学习了任意角的概念，并学习了角的分类， 请回答：任意角分为哪几类？ （1）按旋转方向分：
正角——按逆时针方向旋转所形成的角。 负角——按顺时针方向旋转所形成的角。 零角——一条射线没有作任何旋转，规定形成零角。
B
O
A
D
O
0
0
C
（2）在直角坐标系中，按照终边的位置分：
象限角——终边位于象限内部的角。 非象限角（轴线角）——终边落在坐标轴上的角。
第二象 限角
y
x
第一 象限 角
O
轴线角
2、在直角坐标系中研究角，为了引入象限角的 概念，进而定义任意角的三角比，在没有特别说 明的情况下，角的顶点、始边的位置通常在哪里？
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(1)求C2的参数方程；
(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.
4.圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝4co2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过圆O1、圆O2交点的直线的直角坐标方程．
在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系的原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos.若直线l与曲线C交于A，B两点，则|AB|＝________.
在直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.
(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；
(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程．
已知直线C1：(t为参数)，
圆C2：(θ为参数)．
(1)当α＝时，求C1与C2的交点坐标；