河南省豫西名校2020-2021学年高二10月联考数学试题及答案
河南省豫西名校2020-2021学年高二上学期第一次联考数学试题(1)
设等差数列 的公差为 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
所以 ，故选C.
【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式，以及前 项和公式的应用，其中解答中利用等差数列的通项公式和前 项和公式，列出方程，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
4．B
【解析】
【分析】
本题首先可以根据“ 、 是方程 的两根”计算出 的值，然后通过等比数列的相关性质得出 ，即可计算出 的值．
7．C
【解析】
【分析】
根据等差数列中， ，得 ，又由 ，得 ，
进而得到 ，即可得到答案。
【详解】
由题意，因为无穷等差数列 中，它的前n项和 ，且 ， ，
由 ，可得 ，又由 ，可得 ，
所以 ，
所以当 时， ，当 时， ．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了等差数列前n项和与通项 的关系的应用，其中解中熟记等差数列的前n项和与通项 之间的关系，合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
8．A
【解析】
分析：设经过x小时两船相距最近，然后分别表示出甲乙距离B岛的距离，再由余弦定理表示出两船的距离，最后根据二次函数求最值的方法可得到答案.
A．1B． C．2D．4
7．已知无穷等差数列 中，它的前n项和 ，且 ， 那么
A． 中 最大B． 中 或 最大
C．当 时， D．一定有
8．甲船在岛B的正南方A处， 千米，甲船以每小时4千米的速度向正北匀速航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东 的方向匀速航行，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是
6．A
【分析】
由 得b2+c2-a2=bc．利用余弦定理，可得A= ．再利用正弦定理可得 2R= ，可得R.
河南省豫西名校2020-2021学年高二上学期第二次联考数学(文)试卷
【市级联考】河南省豫西名校2020-2021学年高二上学期第二次联考数学（文）试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}2=|20A x x x -≤，{}1,0,1,2B =-，则AB 等于（ ）A ．[]0,2B ．{}0,1,2C ．()1,2-D ．{}1,0,1-2．命题“x 1∀>，x 11()22<”的否定是( )A ．x 1∀>，x 11()22≥B ．x 1∀≤，x 11()22≥C ．0x 1∃>，0x 11()22≥D ．0x 1∃≤，0x 11()22≥3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10=5，a 7=1，则a 1=（ ） A ．-1 B ．−12 C ．14 D ．124．已知1F ，2F 为椭圆C ：22x y 195+=的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点(非左右顶点)，则12PFF 的周长为( ) A ．12B ．10C ．8D ．65．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．若实数x ，y 满足条件x y 10x 30y 20--≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则z 2x y =-的最大值为( )A ．8-B ．6-C ．2-D ．47．已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q ：“∀x ∈R ，x 2+4x +a ≠0”，若命题p ∧￢q 是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1,4]B ．[e,4]C ．(4,+∞)D ．(−∞,1]8．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为F ，过点F 的直线交椭圆交于A ，B 两点，若AB 的中点11,2P ⎛⎫-⎪⎝⎭，且直线AB 的倾斜角为4π，则此椭圆的方程为（ ）A ．2224199x y +=B ．22194x y +=C ．22195x y +=D ．222199x y +=9．已知直线2x y 10k -+=与椭圆22x y 19m +=恒有公共点，则实数m 的取值范围为()A ．(]1,9B ．[)1,∞+C ．[)()1,99,∞⋃+ D ．()9,∞+10．若ABC ∆的三个内角A ，B ，C 成等差数列，且BC 边上的中线AD =，又2AB =，则ABC S ∆=（ ）A ．6B ．C ．D ．311．已知在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若ABC 的面积为S ，且222()S a b c =+-，则tan C =（ ） A ．43-B ．34-C ．34D ．4312．斜率为1的直线l 与椭圆22x y 14+=相交于A 、B 两点，则AB 的最大值为()A ．2B ．5C ．5D ．5二、填空题13．已知ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且acosB bcosA 3a +=，则ca=______． 14．若命题“∃x∈R，x 2﹣2x+m≤0”是假命题，则m 的取值范围是__．15．已知点1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且122F PF π∠=．若△12PF F 的面积为9，则b =_______16．椭圆2222x y 1(a b 0)a b+=>>的中心在原点，1F ，2F 分别为左、右焦点，A ，B 分别是椭圆的上顶点和右顶点，P 是椭圆上一点，且1PF x ⊥轴，2PF //AB ，则此椭圆的离心率为______．三、解答题17．设命题p ：a 0>；命题q ：关于x 的不等式a x 0-≥对一切[]x 2,1∈--均成立．(Ⅰ)若命题q 为真命题，求实数a 的取值范围(用集合表示)；(Ⅱ)若命题p q ∨为真命题，且命题p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围．18．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知asinB =．()1求角A 的大小； ()2若a b 2==，求ABC 的面积．19．已知0m >，:p ()()260x x +-≤，:q 22m m -≤+. （1）已知p 是q 成立的必要不充分条件，求实数m 的取值范围； （2）若q ⌝是p ⌝成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.20．已知m R ∈，命题p ：对[]x 0,8∀∈，不等式()213log x 1m 3m +≥-恒成立；命题q ：对()x ,1∞∀∈--，不等式22x x 2mx +>+恒成立．()1若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围； ()2若p q ∧为假，p q ∨为真，求实数m 的取值范围．21．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知1a 2=，对任意*n N ∈，都有()n n 2S n 1a =+．(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若数列()n n 4a a 2⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：n 1T 12≤<．22．已知点A(0,1)与B(√3,12)都在椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上，直线AB 交x 轴于点M ．(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标；(2)设O 为原点，点D 与点B 关于x 轴对称，直线AD 交x 轴于点N ，问：y 轴上是否存在点E ，使得∠OEM =∠ONE ？若存在，求点E 的坐标；若不存在，说明理由．23．已知椭圆C：2222x y1(a b0)a b+=>>的左、右顶点分别为A，B其离心率1e2=，点M为椭圆上的一个动点，MAB面积的最大值是()1求椭圆C的方程；()2若过椭圆C右顶点B的直线l与椭圆的另一个交点为D，线段BD的垂直平分线与y轴交于点P，当PB PD0⋅=时，求点P的坐标．参考答案1．B 【分析】220x x -≤，02x ∴≤≤，{}0,1,2A B ⋂=，选B2．C 【解析】因为“1x ∀>,1122x⎛⎫< ⎪⎝⎭”是全称命题，所以依据含一个量词的命题的否定可知：其否定是存在性命题，即“01x ∃>,01122x⎛⎫≥ ⎪⎝⎭”，应选答案C ．3．B 【解析】试题分析：S 10=5,a 7=1⇒10a 1+45d =5,a 1+6d =1⇒a 1=−1，选B. 考点：等差数列基本量运算 4．B 【分析】根据椭圆的标准方程求得,,a b c 的值，所求三角形周长为22a c +，由此求得正确选项. 【详解】由22195x y +=知，3a =，b =2c =，∴12AF F ∆周长为226410a c +=+=.故选B.【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，考查焦点三角形的周长，属于基础题. 5．B 【分析】由诗句可分析,“返回家乡”之前一定是“攻破楼兰”的,但“攻破楼兰”后还是否有其他任务需要完成诗句中并未提及,进而得到结论. 【详解】由题,“不破楼兰终不还”意味着如果“返回家乡”,则一定“攻破楼兰”；但“攻破楼兰”后,是否还有其他任务,诗句中并未提及,无法判断此时可否“返回家乡”； 故选:B 【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定,属于基础题. 6．D 【解析】作出可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:20l x y -=，当直线l 向下平移时，2z x y =-增大，因此当l 过(3,2)A 时，22324z x y =-=⨯-=为最大值，故选D ．7．B 【解析】试题分析：若p 是真命题则a ≥e .若q 是真命题则16−4a <0.∴a >4.所以¬q:a ≤4.所以p ∧¬q:e ≤a ≤4.故选B.本小题考查命题的相关知识.含特称和全称的命题的运算.涉及对数函数函数和二次函数的知识.考点：1.特称命题和全称命题.2.命题的否定.3.命题的交集的运算. 8．A 【解析】 【分析】利用直线AB 的斜率和倾斜角的对应关系列方程，求得c 的值.利用点差法求得22,a b 的关系式，结合222a b c =+求得,a b 的值，进而求得椭圆方程. 【详解】∵1211c =-，∴32c =，令()11,A x y ，()22,B x y ，则22221x y a b +=，∴()()()()12121212220x x x x y y y y a b +⋅-+⋅-+=，22210a b -+=，∴292a =，294b =.故选A. 【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆标准方程的求法，以及有关点差法的运用.题目给出直线和椭圆相交所得所得弦的中点坐标，还有直线的倾斜角，这里可以根据焦点的坐标列方程求得c 的值.点差法主要用在有关直线和圆锥曲线相交，所得弦的中点有关的题目.属于中档题. 9．C 【分析】先求得直线过的定点，根据这个定点在椭圆内或者椭圆上列不等式，解不等式求得m 的取值范围. 【详解】直线2kx y 10-+=恒过定点()P 0,1，直线2kx y 10-+=与椭圆22x y 19m +=恒有公共点，即点()P 0,1在椭圆内或椭圆上，0119m∴+≤，即m 1≥，又m 9≠， 1m 9∴≤<或m 9>．故选C ． 【点睛】本小题主要考查含有参数的直线过定点，考查直线和椭圆的位置关系，属于基础题. 10．B 【分析】三角形内角成等差数列，可求得60B =，利用余弦定理列方程可求得BD 的长，由此得到BC 的长，利用三角形的面积公式可求得三角形面积.【详解】因为ABC ∆的三个内角A ，B ，C 成等差数列，则60B =︒，在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅，即2742BD BD =+-，所以3BD =或-1（舍去）， 可得6BC =，所以11sin 2622ABC S AB BC B ∆=⋅⋅=⨯⨯=.故选B. 【点睛】本小题主要考查等差中项的性质，考查利用余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题. 11．A 【分析】由三角形面积公式和余弦定理可得C 的等式，利用二倍角公式求得tan 2C，从而求得tan C ． 【详解】∵222222()2S a b c a b ab c =+-=++-，即22212sin 22ab C a b ab c ⨯⋅=++-， ∴222sin 2ab C ab a b c ⋅-=+-，又222sin 2sin cos 1222a b c ab C ab CC ab ab +-⋅-===-，∴sin cos 12C C +=， 即22cos sin cos 222C C C =，则tan 22C =，∴222tan2242tan 1231tan 2CC C ⨯===---， 故选：A ． 【点睛】本题考查三角形面积公式，余弦定理，考查二倍角公式，同角间的三角函数关系，掌握相应的公式即可求解．属于中档题，考查了学生的运算求解能力． 12．C 【分析】设出直线的方程，代入椭圆方程中消去y ，根据判别式大于0求得t 的范围，进而利用弦长公式求得|AB |的表达式，利用t 的范围求得|AB |的最大值． 【详解】解：设直线l 的方程为y ＝x +t ，代入24x +y 2＝1，消去y 得54x 2+2tx +t 2﹣1＝0，由题意得△＝（2t ）2﹣5（t 2﹣1）＞0，即t 2＜5．弦长|AB |＝≤． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系．常需要把直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，判别式找到解决问题的突破口． 13．3 【分析】利用正弦定理将题目所给已知条件转化为角的形式，化简后再次利用正弦定理将角的形式转化为边的形式，由此求得ca的值. 【详解】法一：由已知及正弦定理得sin cos sin cos 3sin A B B A A +=，∴()sin 3sin A B A +=， ∴sin 3sin C A =，∴3ca=. 法二：cos cos 3ac B bc A c a +==，∴3ca=. 【点睛】本小题主要考查利用正弦定理进行边角互化，求得边的比值.属于基础题. 14．m ＞1 【分析】结合命题的否定与原命题真假对立，将原命题转化为命题的否定，结合二次函数的性质，即可计算m 的范围． 【详解】若命题“∃x∈R，x 2﹣2x+m≤0”是假命题， 则命题“∀x∈R，x 2﹣2x+m ＞0”是真命题， 即判别式△=4﹣4m ＜0， 解得m ＞1，故答案为m ＞1 【点睛】本道题考查了命题的否定与原命题的关系，可以通过命题的否定找出解题切入点，即可． 15．3 【分析】利用椭圆的标准方程定义及其三角形面积计算公式、勾股定理即可得出． 【详解】 解：122F PF π∠=,12PF F ∆的面积为9，设1||PF m =，2||PF n =．则22221924m n a mn m n c +=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩可得：224364c a +=， 即2229a c b -==， 解得3b =． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程定义及其性质、三角形面积计算公式、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 16【分析】先求得P 点的坐标，根据两直线平行，斜率相等列出方程，化简这个方程后可求得离心率. 【详解】如图所示，把x c =-代入椭圆方程22221x ya b +=（0a b >>）可得2,b P c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()0,A b ，(),0B a ，()2,0F c ，∴2AB bk ac=-，∵2PF AB ，∴22b b a ac-=-，化简得2b c =.∴22224c b a c ==-，即225a c =，∴5e ==.【点睛】本小题考查椭圆的标准方程和几何性质.通过椭圆上常见点的坐标和两直线平行这个条件，列方程后，将方程转化为ca的形式，由此求得离心率.属于基础题. 17．（Ⅰ）[)1,-+∞；（Ⅱ） []1,0- 【解析】 试题分析：(Ⅰ)由题意可知0a x -≥对一切[]2,1x ∈--均成立，结合一次函数的性质可得实数a 的取值范围是[)1,-+∞；(Ⅱ)由题意可得命题p q 、一真一假，据此分类讨论可得实数a 的取值范围是[]1,0-. 试题解析：（Ⅰ）当命题q 为真命题时，不等式0a x -≥对一切[]2,1x ∈--均成立，∴1a ≥ ∴实数a 的取值范围是[)1,-+∞；（Ⅱ）由命题p q ∨为真，且p q ∧为假，得命题p q 、一真一假 当p 真q 假时，则01a a >⎧⎨<-⎩，a ∈∅；当p 假q 真时，则01a a ≤⎧⎨≥-⎩，得10a -≤≤，∴实数a 的取值范围是[]1,0-18．（1）3π；（2. 【解析】试题分析：（1）因为正弦定理，所以sin 3cos 0a B b A -=化为sin 3cos 0sinA B sinB A -=，因为三角形内角有，所以即tan 3A =，所以3A π=；（2）由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，而7,2a b ==，3A π=，得，即2230c c --=，因为三角形的边0c >，所以3c =，则133sin 22bc A =．试题解析：（1）因为sin cos 0a B A =由正弦定理，得sin cos 0sinA B A =，又sin 0B ≠，从而tan A =0A π<<所以3A π=（2）解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，而2a b ==，3A π=，得，即2230c c --=因为0c >，所以3c =，故ABC ∆面积为1sin 2bc A =2sin sin3B =从而sin 7B =又由a b >知A B >，所以cos 7B =故sin sin()sin()3C A B B π=+=+sin coscos sin3314B B ππ=+=所以ABC ∆面积为1sin 2ab C =． 考点：1．正弦定理与余弦定理；2．三角形的面积公式． 19．(1)(0,4)；(2) (4，＋∞).【解析】 【分析】（1）求出p 的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义转化为不等式关系进行求解即可； （2）根据￢q 是￢p 成立的充分不必要条件，转化为p 是q 的充分不必要条件进行求解即可. 【详解】（1）由（x+2）（x ﹣6）≤0得﹣2≤x≤6，即p ：﹣2≤x≤6∵p 是q 成立的必要不充分条件，则[2﹣m ，2+m]是[﹣2，6]的真子集，有222226m m m m -<+⎧⎪--⎨⎪+⎩，解得0＜m≤4， 又当m ＝4时，[2﹣m ，2+m]＝[﹣2，6]，不合题意， ∴m 的取值范围是（0，4）．（2）∵￢q 是￢p 的充分不必要条件，∴p 是q 的充分不必要条件，则[﹣2，6]是[2﹣m ，2+m]的真子集，则02226m m m >⎧⎪-<-⎨⎪+⎩，解得m≥4，又当m ＝4时，不合题意． ∴m 的取值范围为（4，+∞）． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合不等式的关系是解决本题的关键,属于中档题．20．（1）[]1,2（2）()2,+∞ 【分析】（1）利用单调性求得()13log 1x +的最小值，利用23m m -小于或等于这个最小值求得m 的取值范围.（2）利用分离常数法，将命题q 所给不等式分离常数后，求得m 的取值范围.根据题目所给已知条件“p q ∧为假，p q ∨为真，”可知,p q 一真一假，分成p 真q 假，和p 假q 真两类，列不等式组求得m 的取值范围. 【详解】（1）令()()13log 1f x x =+，则()f x 在()1,-+∞上为减函数，因为[]0,8x ∈，所以当8x =时，()()min 82f x f ==-，不等式()213log 13x m m +≥-恒成立，等价于223m m -≥-，解得12m ≤≤，故命题p 为真，实数m 的取值范围为[]1,2. （2）若命题q 为真，则221m x x>-+，对(),1x ∀∈-∞-上恒成立， 令()21g x x x =-+，因为()g x 在(),1x ∈-∞-上为单调增函数， 则()()11g x g <-=，故1m ≥，即命题q 为真，1m ≥ 若p q ∧为假，p q ∨为真，则命题p ，q 中一真一假； ①若p 为真，q 为假，那么121m m <<⎧⎨<⎩，则无解；②若p 为假，q 为真，那么121m m m 或⎧⎨≥⎩，则2m >.综上m 的取值范围为()2,+∞. 【点睛】本小题主要考查不等式恒成立问题的主要解题策略，考查已知含有逻辑连接词命题真假性来求参数的取值范围.属于中档题. 21．(1) 2n a n =；(2）证明见解析. 【分析】（1）运用数列的递推式，化简整理即可得到所求通项公式； （2）b n ()()()44111222211n n a a n n n n n n ====-++++，由裂项相消求和即可得到所求和． 【详解】（1）因为()21n n S n a =+，当2n ≥时，112n n S na --= 两式相减得：()121n n n a n a na -=+- 即()11n n n a na --=， 所以当2n ≥时，11n n a a n n -=-.所以121n a a n ==，即2n a n =. （2）因为2n a n =，()42n n n b a a =+，*N n ∈，所以()()411122211n b n n n n n n ===-+++.所以12112n n T b b b ⎛⎫=+++=-+ ⎪⎝⎭ 11111123111n n n n n ⎛⎫⎛⎫-++-=-= ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭， 因为101n >+，所以1111n -<+. 又因为()11f n n =+在*N 上是单调递减函数，所以111n -+在*N 上是单调递增函数.所以当1n =时，n T 取最小值12，所以112n T ≤<.【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2） 1k=； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++ ()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.22．（Ⅰ）x 24+y 2=1，M(2√3,0)（Ⅱ）在y 轴上存在点E ，使得∠OEM =∠ONE ，且点E 的坐标为(0,2)或(0,−2)． 【解析】试题分析：（Ⅰ）将两点坐标代入椭圆方程，解方程组得{a 2=4,b 2=1.（Ⅱ）求定点问题，一般以算代定. 解几中角的问题，一般转化成坐标问题：∠OEM =∠ONE⇒|OM||OE|=|OE||ON|⇒y E 2=|x M ||x N |，从而确定y E =±2试题解析：（Ⅰ）由题意得∴{a 2=4,b 2=1.故椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．直线AB 方程为y =2√3+1，与x 轴交点M(2√3,0)．（Ⅱ）因为点D 与点B 关于x 轴对称，所以D(√3,−12)， 直线AD 的方程为y =−√32x +1，与x 轴交于点N(2√33,0)． “存在点E(0,y E )使得∠OEM =∠ONE ”等价于“存在点E(0,y E )使得|OM||OE|=|OE||ON|”，即y E 满足y E 2=|x M ||x N |，∴y E 2=2√3×2√33=4，∴y E =±2，故在y 轴上存在点E ，使得∠OEM =∠ONE ，且点E 的坐标为(0,2)或(0,−2)． 考点：椭圆方程，定点问题【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.23．（1）22143x y +=（2）当34k =时，20,7P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当34k =-时，20,7P ⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）由题意可知2221,2122,c e a ab a b c ⎧==⎪⎪⎪⨯=⎨⎪=+⎪⎪⎩解方程即可得解；（2）设直线BD 的方程为()2y k x =-，()11,D x y ，由直线与椭圆联立得()2222241616120k xk x k +-+-=，由根与系数的关系可得1x ，从而得BD 中点的坐标，进而得BD 的垂直平分线方程，令x=0可得P ，再由0PB PD ⋅=，用坐标表示即可解k . 【详解】（1）由题意可知2221,2122,c e a ab a b c ⎧==⎪⎪⎪⨯=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得2a =，b =所以椭圆方程为22143x y +=.（2）由（1）知()2,0B ，设直线BD 的方程为()2y k x =-，()11,D x y ，把()2y k x =-代入椭圆方程22143x y +=，整理得()2222241616120kxk x k +-+-=，所以221122168623434k k x x k k -+=⇒=++，则2228612,3434k k D k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 所以BD 中点的坐标为22286,3434k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 则直线BD 的垂直平分线方程为2226183434k k y x k k k ⎛⎫--=-- ⎪++⎝⎭，得220,34k P k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭又0PB PD ⋅=，即2222286142,,0343434k k k k k k ⎛⎫--⎛⎫-⋅= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， 化简得()424226428360642836034k k k k k+-=⇒+-=+， 解得34k =± 故当34k =时，20,7P ⎛⎫⎪⎝⎭，当34k =-时，20,7P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，用到了向量问题坐标化，坐标通过设而不求的方程灵活处理，考查了学生的运算能力，属于中档题.。
河南省豫西名校2020-2021学年高二10月联考数学试题
A．180B． C．162D．
4．在 中,内角 , , 所对的边分别是 , , ,已知 , ,则 的值为（）
A． B． C． D．
5．已知数列 的前 项为和 ，且 ，则 （ ）
A．5B． C． D．9
6．已知 中， ，其中A，B，C为 的内角，a，b，c分别为A，B，C的对边，则 （ ）
【详解】
由等比中项的性质可得 ，解得 ，因此， .
故选：B.
【点睛】
本题考查利用等比中项求值，考查计算能力，属于基础题.
3．B
【分析】
先利用等差数列的通项公式，求出等差数列的首项和公差，再根据前 项和公式即可求出 .
【详解】
， ，
,
解得 ，
， ，
，
.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查等差数列的性质和前 项和公式，考查学生的运算求解能力，属于基础题.
三、解答题
17．如图, 是直角 斜边 上一点, ．
（Ⅰ）若 ，求角 的大小；
（Ⅱ）若 ，且 ，求 的长．
18．设等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，且满足 ， .等比数列 满足 ， .
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
19．已知等差数列 中， ， .
（1）求数列 的通项公式；
14．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，如果 ， ， 面积为 ，那么 _________.
15．如图，一热气球在海拔60m的高度飞行，在空中A处测得前下方河流两侧河岸 ， 的俯角分别为75°，30°，则河流的宽度 等于_____m．
16．已知数列 满足： ，数列 的前n项和为 ，则 ______．
数学丨河南省2025届高三上学期10月联考(二)数学试卷及答案
2024-2025年度河南省高三年级联考（二）数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，函数与导数，三角函数，平面向量，数列，不等式.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21A x x =-<，{}3B x a x a =<<+.，若{}15A B x x =<< ，则a =（）A.0B.1C.2D.32.已知符号）（表示不平行，向量(1,2)a =--，(,7)b m m =+ .设命题:(0,)p m ∀∈+∞，a ）（b ，则（）A.:(0,)p m ⌝∃∈+∞，//a b，且p ⌝为真命题B.:(0,)p m ⌝∀∈+∞，//a b，且p ⌝为真命题C.:(0,)p m ⌝∃∈+∞，//a b，且p ⌝为假命题D.:(0,)p m ⌝∀∈+∞，//a b，且p ⌝为假命题3.若||0a b >>，则下列结论一定成立的是（）A.22a b ab> B.2211ab a b> C.33a b< D.a c c b->-4.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且31S ma =，则“7m =”是“{}n a 的公比为2”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知函数3()log f x x =，若0b a >>，且a ，b 是()f x 的图像与直线(0)y m m =>的两个交点对应的横坐标，则4a b +的最小值为（）A.2B.4C.6D.86.三角板主要用于几何图形的绘制和角度的测量，在数学、工程制图等领域被广泛应用.如图，这是由两块直角三角板拼出的一个几何图形，其中||||AB AC = ，||||BD BC =，0BD BC ⋅= .连接AD ，若AD x AB y AC =+，则x y -=（）A.1B.2D.327.若0a ≠，()2ππsin 066x ax bx c ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭对[0,8]x ∈恒成立，则（）A.0a > B.0bc +> C.0c > D.16b c a-=-8.已知A 是函数()e 3xf x x =+图象上的一点，点B 在直线:30l x y --=上，则||AB 的最小值是（）A.72e 22e- B.3C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且3n an b =，则下列结论不正确的是（）A.若{}n a 是递增数列，则{}n S 是递增数列B.若{}n a 是递减数列，则{}n S 是递减数列C.若{}n a 是递增数列，则{}n T 是递增数列D.若{}n a 是递减数列，则{}n T 是递减数列10.已知(31)f x +为奇函数，(3)1f =，且对任意x ∈R ，都有(2)(4)f x f x +=-，则必有（）A.(11)1f =-B.(23)0f =C.(7)1f =- D.(5)0f =11.已知函数()sin sin 3f x x x =+，则（）A.()f x 的图象关于点(π,0)中心对称B.()f x 的图象关于直线π4x =对称C.()f x 的值域为⎡⎢⎣⎦D.()f x 在π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且1a =，3b =，1cos 3C =，则ABC △外接圆的面积是__________.13.已知某种污染物的浓度C （单位：摩尔/升）与时间t （单位：天）的关系满足指数模型(1)0ek t C C -=，其中0C 是初始浓度（即1t =时该污染物的浓度），k 是常数.第2天（即2t =）测得该污染物的浓度为5摩尔/升，第4天测得该污染物的浓度为15摩尔/升，若第n 天测得该污染物的浓度变为027C ，则n =__________.14.1796年，年仅19岁的高斯发现了正十七边形的尺规作图法.要用尺规作出正十七边形，就要将圆十七等分.高斯墓碑上刻着如图所示的图案.设将圆十七等分后每等份圆弧所对的圆心角为α，则162121tan2k k α==+∑__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，4cos 5A =，2cos 3cos a C c A =.（1）求sin C 的值；（2）若3a =，求ABC △的周长.16.（15分）已知函数()sin()(0,0,0π)f x A x b A ωϕωϕ=++>><<的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的零点；（3）将()f x 图象上的所有点向右平移π12个单位长度，得到函数()g x 的图象，求()g x 在7π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.17.（15分）已知函数3()33xx a f x ⋅=+，且()()66log 3log 122f f +=.（1）求a 的值；（2）求不等式()22310f x x +->的解集.18.（17分）已知函数2()(2)ln(1)2f x ax x x x =++--.（1）当0a =时，求()f x 的单调区间与极值；（2）当0x ≥时，()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围.19.（17分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的n +∈N ，都有2n n S kS =（k 为非零常数），则称数列{}n a 为“和等比数列”，其中k 为和公比.（1）若23n a n =-，判断{}n a 是否为“和等比数列”.（2）已知{}n b 是首项为1，公差不为0的等差数列，且{}n b 是“和等比数列”，2n b nc =，数列{}n c 的前n 项和为n T .①求{}n b 的和公比；②求n T ；③若不等式2134(1)22nn n n T m -+->--对任意的n +∈N 恒成立，求m 的取值范围.2024-2025年度河南省高三年级联考（二）数学参考答案1.C 由题意可得{}13A x x =<<.因为{}15A B x x =<< ，所以1,35a a ≥⎧⎨+=⎩，解得2a =.2.A :(0,)p m ⌝∃∈+∞，//a b ，当(7)2m m -+=-，即7m =时，//a b，所以p ⌝为真命题.3.B 当3a =，2b =-时，2218,12a b ab =-=，此时22a b ab <，则A 错误.因为||0a b >>，所以a b >，且0ab ≠，所以2210a b >，所以2211ab a b>，则B 正确.当2a =，1b =-时，338,1a b ==-，此时33a b >，则C 错误.当2a =，1b =，3c =时，1a c -=-，2c b -=，此时a c c b -<-，则D 错误.4.A 设{}n a 的公比为q ，则()23123111S a a a q q a ma =++=++=.因为10a ≠，所以21q q m ++=.由7m =，得217q q ++=，即260q q +-=，解得2q =或3q =-.由2q =，得7m =，则“7m =”是“{}n a 的公比为2”的必要不充分条件.5.B 由题意可得01a b <<<，1b a=，则44a b +≥，当且仅当42a b ==时，等号成立.故4a b +的最小值为4.6.A 如图，以A 为原点，AB ，AC的方向分别为x ，y 轴的正方向，建立直角坐标系，设1AB =，则(0,0)A ，(1,0)B ，(0,1)C ，故(1,0)AB = ，(0,1)AC =.作DF AB ⊥，交AB 的延长线于点F .设||1AB = ，则||||1BF DF ==，所以(2,1)D ，所以(2,1)AD = .因为AD x AB y AC =+，所以2,1x y ==，则1x y -=.7.B 因为[0,8]x ∈，所以πππ7π,6666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦.当[0,1)x ∈时，ππsin 066x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭；当()1,7x ∈时，ππsin 066x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭；当(7,8]x ∈时，ππsin 066x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭.因为()2ππsin 066x ax bx c ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭对[0,8]x ∈恒成立，所以1，7是20ax bx c ++=的两根，且0a <，则17,17,b ac a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩故80b a =->，70c a =<，15b c a -=-，0b c a +=->.8.D由题意可得()(1)e x x f x +'=.设()()g x f x '=，则()(2)e xg x x '=+，当1x <-时，()0f x '<，当1x >-时，()0g x '>，()f x '单调递增.因为(0)1f '=，所以()(1)e 1xf x x '=+=，得0x =，此时(0,3)A ，故min ||AB ==.9.ABD当7n a n =-时，{}n a 是递增数列，此时{}n S 不是递增数列，则A 错误.当12n a n =-+时，{}n a 是递减数列，此时{}n S 不是递减数列，则B 错误.由{}n a 是递增数列，得{}n b 是递增数列，且0n b >，则{}n T 是递增数列，故C 正确.由{}n a 是递减数列，得{}n b 是递减数列，且0n b >，则{}n T 是递增数列，故D 错误.10.CD由(31)f x +为奇函数，可得(31)(31)f x f x -+=-+，则()f x 的图象关于点(1,0)对称.又(2)(4)f x f x +=-，所以()f x 的图象关于直线3x =对称，则()f x 是以8为周期的周期函数，所以(7)(3)1f f =-=-，(5)(1)0f f ==，(11)(3)1f f ==，(23)(7)1f f ==-，故选CD.11.ACD因为(π)(π)sin(π)sin 3(π)sin(π)sin 3(π)0f x f x x x x x ++-=++++-+-=，所以()f x 的图象关于点(π,0)中心对称，则A 正确.由题意可得()sin sin 32sin 2cos f x x x x x =+=，则ππππ2sin 2cos 2cos 2cos 4244f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，ππππ2sin 2cos 2cos 2cos 4244f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于直线π4x =对称，则B 错误.由题意可得3()2sin 2cos 4sin 4sin f x x x x x ==-.设sin [1,1]t x =∈-，则3()44y g t t t ==-+，故()22()124431g t t t '=-+=--.由()0g t '>，得3333t -<<；由()0g t '<，得313t -≤<-或313t <≤，则()g t 在31,3⎡⎫--⎪⎢⎣⎭和3,13⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，在33,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增.因为(1)(1)0g g -==，38339g ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，38339g ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以8383()99g t ⎡∈-⎢⎣⎦，即()f x 的值域是838399⎡-⎢⎣⎦，则C 正确.当π3π,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2sin 2t x ⎤=∈⎥⎣⎦.因为sin t x =在π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且()g t在,13⎤⎥⎣⎦上单调递减，所以()f x 在π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则D 正确.12.9π4由余弦定理可得22212cos 1921383c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，则c =因为1cos 3C =，所以22sin 3C =，则ABC △外接圆的半径32sin 2c R C ==，故ABC 外接圆的面积为29ππ4R =.13.7由题意可得030e 5,e 15,k kC C ⎧=⎨=⎩则2e 3k =，解得ln32k =.因为(1)00e 27k n C C -=，即3ln(1)200e 27n C C -=，所以ln 3(1)2e 27n -=，所以ln 3(1)ln 273ln 32n -==，解得7n =.14.15由题可知2π17α=，则222π11tan 1tan π217cos 17k k k α+=+=，则161616162211112π2π2π2cos 1cos 16cos 1717171tan 2k k k k k k k k α====⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭+∑∑∑∑.由161611π2π(21)π(21)π33πππ2sin cos sin sin sin sin 2sin 17171717171717k k k k k ==+-⎡⎤⋅=-=-=-⎢⎥⎣⎦∑∑，得1612πcos117k k ==-∑，故原式16115=-=.15.解：（1）因为4cos 5A =，且0πA <<，所以3sin 5A ==.因为2cos 3cos a C c A =，所以2sin cos 3sin cos A C C A =，所以342cos 3sin 55C C ⨯=⨯，即cos 2sin C C =.因为22sin cos 1C C +=，所以21sin 5C =.因为0πC <<，所以5sin 5C =.（2）由（1）可知3sin 5A =，4cos 5A =，5sin 5C =，25cos 5C =，则3254525sin sin()sin cos cos sin 55555B AC A C A C =+=+=⨯+⨯=.由正弦定理可得sin sin sin a b cA B C==，则sin sin a B b A ==sin sin a Cc A==，故ABC △的周长为3a b c ++=+.16.解：（1）由图可知3(1)22A --==，3(1)12b +-==，()f x 的最小正周期7ππ2π1212T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.因为2π||T ω=，且0ω>，所以2ω=.因为()f x 的图象经过点π,312⎛⎫⎪⎝⎭，所以ππ2sin 2131212f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πsin 16ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以ππ2π()62k k ϕ+=+∈Z ，即π2π()3k k ϕ=+∈Z .因为0πϕ<<，所以π3ϕ=.故π()2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（2）令()0f x =，得π1sin 232x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则ππ22π()36x k k +=-∈Z 或π5π22π()36x k k +=-∈Z ，解得ππ4x k =-或7ππ()12k k -∈Z ，故()f x 的零点为ππ4k -或7ππ()12k k -∈Z .（3）由题意可得πππ()2sin 212sin 211236g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=++ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦.因为7π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ4π2,663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.当ππ262x +=，即π6x =时，()g x 取得最大值π36g ⎛⎫= ⎪⎝⎭；当π4π263x +=，即7π12x =时，()g x 取得最小值7π112g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故()g x 在7π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1⎡⎤⎣⎦.17.解：（1）因为3()33x x a f x ⨯=+，所以221393(2)333933x x x x a a af x --+⨯-===+++，则33()(2)3333x xx a a f x f x a ⨯+-=+=++.又666log 3log 12log 362+==，所以()()66log 3log 12f f a +=，从而2a =.（2）由（1）可知236()23333x x x f x ⨯==-++，显然()f x 在R 上单调递增.因为1(0)2f =，所以由()22310f x x +->，可得()23(0)f x x f +>，则230x x +>，解得3x <-或0x >，故不等式()22310f x x +->的解集为(,3)(0,)-∞-+∞ .18.解：（1）当0a =时，2()2ln(1)2f x x x x =+--，其定义域为(1,)-+∞，则()222(2)22111x x x x f x x x x x ---+'=--==+++.当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 的单调递增区间为(1,0)-，当(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 的单调递减区间为(0,)+∞，故()f x 的极大值为(0)0f =，无极小值.（2）设1t x =+，[1,)t ∈+∞，2()(2)ln 1g t at a t t =+--+，[1,)t ∈+∞，则2()ln 2at a t t a tg -=+-+'.设()()h t g t '=，则222222()2a a t at a h t t t t --++-'=--=.设2()22m t t at a =-++-，则函数()m t 的图象关于直线4at =对称.①当2a ≤时，()m t 在[1,)+∞上单调递减.因为(1)240m a =-≤，所以2()220m t t at a =-++-≤在[1,)+∞上恒成立，即()0h t '≤在[1,)+∞上恒成立，则()h t 在[1,)+∞上单调递减，即()g t '在[1,)+∞上单调递减，所以()(1)0g t g ''≤=，所以()g t 在[1,)+∞上单调递减，则()(1)0g t g ≤=，即()0f x ≤在[0,)+∞上恒成立，故2a ≤符合题意.②当2a >时，()m t 在[1,)+∞上单调递减或在[1,)+∞上先增后减，因为(1)240m a =->，所以存在01t >，使得()00m t =.当()01,t t ∈时，()0m t >，即()0h t '>，所以()g t '在()01,t 上单调递增.因为(1)0g '=，所以()0g t '>在()01,t 上恒成立，所以()g t 在()01,t 上单调递增，则()0(1)0g t g >=，故2a >不符合题意.综上，a 的取值范围为(,2]-∞.19.解：（1）因为23n a n =-，所以121n a n +=-，所以12n n a a +-=.因为11a =-，所以{}n a 是首项为-1，公差为2的等差数列，则22n S n n =-，所以2244n S n n =-，所以222444422n n S n n n S n n n --==--.因为442n n --不是常数，所以{}n a 不是“和等比数列”.（2）①设等差数列{}n b 的公差为d ，前n 项和为n S ，则21(1)1222n n n d d S nb d n n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，所以222(2)n S dn d n =+-.因为{}n b 是“和等比数列”，所以2n n S kS =，即222(2)22kd kd dn d n n k n ⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭，所以2,22,2kd d kd d k ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得4,2,k d =⎧⎨=⎩即{}n b 的和公比为4.②由①可知12(1)21n b n n =+-=-，则212n n n c -=，所以35211232222n n n T -=++++ ，所以2352121112122222n n n n nT -+-=++++ ，所以235212121211122311111422222212nn n n n n n T -++⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=++++-=- ，即2132344332n n n T ++=-⨯，所以21834992nn n T -+=-⨯.③设2121212134834348103429922992n n n n n n n n n n P T ----++++=-=--=-⨯⨯，12121103710345(1)092924n n n n nn n n P P ++-+++-=-⨯+⨯=>.不等式2134(1)22n n n n T m -+->--对任意的n +∈N 恒成立，即不等式(1)2n n P m >--对任意的n +∈N 恒成立.当n 为奇数时，()1min 23n m P P --<==-，则1m >；当n 为偶数时，()2min 122n m P P -<==-，则32m <.综上，m 的取值范围是31,2⎛⎫⎪⎝⎭.。
2020-2021学年河南省濮阳市、安阳市、鹤壁市高二10月联合调研考试理科数学试题 PDF版
【解析】 因为
ａ７ ｂ７
＝２２ａｂ７７
＝ａｂ１１
＋ａ１３ ＋ｂ１３
＝１３（ｂ１２＋ｂ１３）＝ＢＡ１１３３
＝７×１３１３＋＋３４５＝１２７．
２
５．【答案】 Ａ
【解析】 ∵ｓｉｎＢ＝２ｓｉｎＣ，则由正弦定理得 ｂ＝２ｃ，又 ａ＝２槡２，ｃｏｓＡ＝３ ４，
∴由余弦定理 ａ２＝ｂ２＋ｃ２－２ｂｃｃｏｓＡ得 ８＝４ｃ２＋ｃ２－２·２ｃ·ｃ· ３，ｃ２＝４， ４
( )－１２ ＝１３，故 ＡＣ＝槡１３，故 Ｃ正确．对于 Ｄ，设∠ＡＤＣ＝θ，则 ＡＣ２ ＝１＋９－２×１×３×ｃｏｓθ，故
四边形 ＡＢＣＤ的面积为
Ｓ＝１２×１×３×ｓｉｎθ＋( １０－６ｃｏｓθ) ×槡４３＝３２ｓｉｎθ－３２槡３ｃｏｓθ＋５２槡３，
( ) 故 Ｓ＝３ｓｉｎ θ－π３ ＋５２槡３，当 θ＝５６π时，Ｓ有最大值 ３＋５２槡３，故 Ｄ错误．
{１０ｎ－ｎ２，１≤ｎ≤５
即有 Ｔｎ＝
ｎ２
． －１０ｎ＋５０，ｎ≥６
１０分
１８．【答案】 见解析 【解析】 （１）由题意可知，关于 ｘ的一元二次方程 ｘ２－( ｍ＋３) ｘ＋３ｍ＝０的两根分别为 －２，３， 则( －２) ２＋２( ｍ＋３) ＋３ｍ＝０，整理得 ５ｍ＋１０＝０，解得 ｍ＝－２； ４分 （２）不等式 ｘ２－( ｍ＋３) ｘ＋３ｍ＜０即为( ｘ－ｍ) ( ｘ－３) ＜０ ５分
∴ －２Ｔｎ＝３＋４×３２＋４×３３＋… ＋４×３ｎ－( ４ｎ－３) ×３ｎ＋１ ８分
[ ] ＝３＋４
９(
１－３ｎ－１) １－３
－( ４ｎ－３) ×３ｎ＋１＝－１５＋( ５－４ｎ)３ｎ＋１， １０分
所以 Ｔｎ＝１２５＋４ｎ２－５３ｎ＋１． １２分
河南省豫西名校2020-2021学年高二下学期第一次联考数学(理)试题
【解析】
令 ，得 ，
可得极大值为 ，极小值为 .
的大致图象如图所示，观察图象，得当 时恰有三个不同的交点.
16．
【解析】
令函数 ， ， ， 在区间 单调递增，且 ， 在区间 上恒成立，所以 在区间 上单调递增，
当 时， ，所以 在区间 单调递增，由F(0)=0,即 恒成立，符合。
当 时， 在区间 上单调递增，所以 =0有唯一根，设为 ，所以
11．已知双曲线 ： 的左焦点为 ，右顶点为 ，过点 且垂直于 轴的直线与双曲线 相交于不同的两点 ，若 为锐角三角形，则双曲线 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．偶函数 定义域为 ，其导函数是 .当 时，有 ，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知 ，则 ______.
所以 ， .
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，解得 .
因为点 位于第一象限，所以 ，则 .
所以 的方程为 .
21．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .
【解析】
试题分析：（1）求得定义域 ，再求导得 ，再考虑导函数是否有零点，是否是有效零点。（2）函数 ，求导得 ，只需让函数的最大值小于0即可，要注意函数有渐近线。
， ，因为 ，所以 ，从而解得得 .
试题解析：
（1）由题意可得 ，又直线 的斜率为 ，所以直线 的方程为 .
与抛物线方程联立得 ，解之得 ， .
所以点 ， 的坐标分别为 ， .
所以 ， ， ，
所以四边形 的面积为 .
（2）由题意可知直线 的斜率存在，设直线 的斜率为 ，则直线 ： .设 ， ，
由 化简可得 ，
11．A
河南省豫西名校2020-2021学年高二下学期第二次联考数学(理)试题
【解析】
分析：设数列{an}的公差是d，由2S3﹣3S2=15，可得2（a1+a2+a3）﹣3（a1+a2）=15，再利用等差数列的通项公式即可得出．
详解：设等差数列{an}的公差为d，
∵ ，
∴3a1﹣2（a1+a2+ a3）=15=3a1-6 a2
∴
故选：C．
点睛：本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题，对于等比等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.
参考公式： ， .
参考数据： ， ， .
21．（江苏省南京市2018届高三第三次模拟考试数学试题）在平面直角坐标系 中，抛物线 的焦点为 ，点 是抛物线 上一点，且 ．
（1）求 的值；
（2）若 为抛物线 上异于 的两点，且 ．记点 到直线 的距离分别为 ，求 的值．
22．已知函数 有两个不同的零点 .
5．A
【解析】
分析：结合题意设出 的坐标，求出 的坐标，从而求出 的模即可．
详解：平面向量 的夹角为 ，且 ，
不妨设 =（1，0）， =（ ， ），
则 =（ ，﹣ ），
故| |=1，
故选A．
点睛：这个题目考查了向量的点积运算和模长的求法；对于向量的题目一般是以小题的形式出现，常见的解题思路为：向量基底化，用已知长度和夹角的向量表示要求的向量，或者建系实现向量坐标化，或者应用数形结合.
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
20．某餐厅通过查阅了最近5次食品交易会参会人数 （万人）与餐厅所用原材料数量 （袋），到如下统计表：
第一次
第二次
河南省豫西名校2020-2021学年高一10月联考数学试题
【分析】
根据偶次根式下不小于0列出不等式解出即可.
【详解】
要使函数有意义，需满足 ，即： ，
因为 为增函数，所以 ，解得： .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了具体函数定义域的求法，指数不等式的解法，属于基础题.
7．B
【分析】
求出二次函数的对称轴，判断其在 上的单调性，属于基础题.
【详解】
对称轴为 ，
9．B
【分析】
已知 的定义域和值域，然后可根据各选项所给函数的特点分别分析函数的值域；这里的选项所给的均是常见的平移、伸缩、对称、翻折变换，可从这几个方面入手.
【详解】
的定义域为 ，值域为 ，即 ；
∴A． ，即 的值域为 ，∴该选项错误；
B． ，即 的值域为 ，∴该选项正确；
C． ，即 的值域为 ，∴该选项错误；
3．A
【分析】
由 可知 ，然后对每个选项中的集合 是否满足 进行检验，由此可得出合适的选项.
【详解】
由于 ， ，则 .
对于A选项， ， 成立；
对于B选项， 或 ，此时 ；
对于C选项， ，此时 ；
对于D选项， ，此时 .
故选：A.
【点睛】
本题考查集合包含关系的判断，同时也考查了指数不等式以及二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.
D选项中， 定义域为 ， 的定义域为 ，所以二者不是同一函数，所以D错误.
故选：B
【点睛】
本题考查函数的定义，解题关键是确定函数的三要素，只有函数的三要素完全相同，才能是同一函数．
5．B
【分析】
直接代入化简求解即可.
【详解】
解：因为 ，
所以 ．
故选：B
【点睛】