河南省郑州市名校联考2021届新高三第一次调研考试数学(理科)试题卷(wd无答案)
2021年河南省六市高三第一次联考数学(理科)答案
{
代入 x2+y2-2x-2 3y=0 得:
t2-2(3-1)
s
i
n
φ·t-2 3=0,
设点 A ,
B 所对应的参数分别为t1 和t2,
则t1+t2=2(3-1)
s
i
n
t1·t2=-2 3,
φ,
→
→
2
2
则|PA -PB|=|
t1-t2|= (
t1+t2)
-4
t1t2 = 4(3-1)
s
i
n2φ+8 3 ,
× = ,
2 4 8
4
1
4
1 3 1 1 5
× + × = ,
2 4 2 2 8
5
5
8
6
1
8
1
5
1 39
E(
Z) 13
+5× +6× = ,它与成本价之比为
= , … 11 分
4
8
8 8
5+2+2 24
21 13
∵ < ,
40 24
∴ 从性价比角度考虑,方案乙更实惠 .……………………………………… 12 分
x)≥ (
x-2)
-3(
x-2)成立。 ……………………… 6 分
f(
3
当 x>3 时,设 h(
x)=f(
x)-g(
x)=ex-1-2
l
nx- (
x-2)
+4x-6,
2
2
则h
'(
x)=ex-1- -3(
x-2)
+4,
x
河南省郑州市2021 2021学年高考数学一模试卷(理科) Word版含解析
河南省郑州市2021 2021学年高考数学一模试卷(理科) Word版含解析河南省郑州市2021-2021学年高考数学一模试卷(理科)word版含解析2021-2021学年河南省郑州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分后，共60分后，在每个大题得出的四个选项中，只有一项就是渡河题目建议的.1．设全集u={x∈n*|x≤4}，集合a={1，4}，b={2，4}，则?u（a∩b）=（）a．{1，2，3}b．{1，2，4}c．{1，3，4}d．{2，3，4}2．设z=1+i（i是虚数单位），则=（）a．ib．2ic．1id．0=，则cosb=（）3．b，c所对的边分别为a，b，c，在△abc中，角a，若a．b．c．d．4．函数f（x）=excosx在点（0，f（0））处的切线方程就是（）a．x+y+1=0b．x+y1=0c．xy+1=0d．xy1=05．已知函数f（x）=（）xcosx，则f（x）在[0，2π]上的零点个数为（）a．1b．2c．3d．46．按如下程序框图，若输入结果为273，则推论框内？细细的补足的条件为（）a．i＞7b．i≥7c．i＞9d．i≥97．设双曲线+=1的一条渐近线为y=2x，且一个焦点与抛物线y=x2的焦点相同，则此双曲线的方程为（）a．x25y2=1b．5y2x2=1c．5x2y2=1d．y25x2=18．a4031是函数（fx）=x34x2+6x3的极值点，正项等比数列{an}中的a1，则=（）a．1b．2c．d．19．如图是一个四面体的三视图，这个三视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为（）a．b．c．d．210．已知函数f（x）=x+，g（x）=2x+a，若?x1∈[，1]，?x2∈[2，3]，使得f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是（）a．a≤1b．a≥1c．a≤2d．a≥211．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为f1，f2，过f2的直线与椭圆交于a、b两点，若△f1ab就是以a为直角顶点的全等直角三角形，则距心率为（）a．b．2c．2d．12．未知函数f（x）=，若关于x的不等式[f（x）]2+af（x）b2＜0恰存有1个整数求解，则实数a的最大值就是（）a．2b．3c．5d．8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．二项式的展开式中，x2项的系数为．14．若不等式x2+y2≤2所表示的区域为m，不等式组则表示的平面区域为n，现随机向区域n内抛一粒豆子，则豆子落在区域m内的概率为．15．△abc的三个内角a，b，c，若=tan（π），则2cosb+sin2c的最大值为．16．已知点a（0，1），b（3，0），c（1，2），平面区域p是由所有满足=λ+μ＜λ≤m，2＜μ≤n）的点m组成的区域，若区域p的面积为6，则m+n的最小值为．三、答疑题（满分60分后）17．已知数列{an}的首项a1=1，前n项和sn，且数列{}就是公差为2的等差数列．（2（1）谋数列{an}的通项公式；（2）若bn=（1）nan，求数列{bn}的前n项和tn．18．某中药栽种基地存有两处种植区的药材可于下周一、周二两天内栽种完，基地员工一天可以顺利完成一处种植区的栽种，由于下雪可以影响药材品质，基地收益如下表中右图：周一无雨无雨存有雨存有雨周二无雨存有雨无雨存有雨20万15万10万7.5万收益若基地额外聘用工人，可以在周一当天顺利完成全部栽种任务；无雨时收益为20万元；存有雨时收益为10万元，额外聘用工人的成本为a万元．未知下周一和之下周二存有雨的概率相同，两天与否下雪互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36．（1）若不额外聘用工人，写下基地收益x的原产P43EI245SJ基地的预期收益；（2）该基地是否应该外聘工人，请说明理由．19．例如图，矩形cdef和梯形abcd互相横向，∠bad=∠adc=90°，ab=ad=cd，be⊥df．（1）若m位ea的中点，求证：ac∥平面mdf；（2）求平面ead与平面ebc所成的锐二面角的大小．20．未知点m（1，0），n（1，0），曲线e上任一一点到点m的距离均就是至点n的距离的倍．（1）求曲线e的方程；（2）未知m≠0，设立直线l：xmy1=0交曲线e于a，c两点，直线l2：mx+ym=0交曲线e于b，d两点，c，d两点均在x轴下方，当cd的斜率为1时，求线段ab的长．21．设函数f（x）=x2mlnx，g（x）=x2（m+1）x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当m≥1时，探讨函数f（x）与g（x）图象的交点个数．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲.22．例如图，∠bac的平分线与bc和△abc的外接圆分别平行于d和e，缩短ac没上d，e，c三点的圆于点f．（1）澄清：ec=ef；（2）若ed=2，ef=3，谋ac?af的值．选修4-4：坐标系与参数方程23．未知曲线c1的参数方程为曲线c2的极坐标方程为ρ=2cos（θ），以极点为座标原点，极轴为x轴正半轴创建平面直角坐标系则．（1）谋曲线c2的直角坐标方程；（2）求曲线c2上的动点m到直线c1的距离的最大值．报读4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x2||x+1|．（1）解不等式f（x）＞1．（2）当x＞0时，函数g（x）=a的取值范围．（a＞0）的最小值总大于函数f（x），试求实数2021年河南省郑州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是渡河题目要求的.1．设立全集u={x∈n*|x≤4}，子集a={1，4}，b={2，4}，则?u（a∩b）=（）a．{1，2，3}b．{1，2，4}c．{1，3，4}d．{2，3，4}【考点】缴、并、闭集的混合运算．【分析】由已知中全集u={x∈n*|x≤4}，a={1，4}，b={2，4}，根据补集的性质及运算方法，我们求出a∩b，再求出其补集，即可求出答案．【答疑】求解：∵全集u={x∈n*|x≤4}={1，2，3，4}，a={1，4}，b={2，4}∴a∩b={4}，∴?u（a∩b）={1，2，3}故选：a．2．设z=1+i（i就是虚数单位），则=（）a．ib．2ic．1id．0【考点】复数代数形式的秦九韶运算．【分析】把复数z代入，然后直接利用复数代数形式的除法运算化简求值【解答】解：z=1+i（i是虚数单位），则=故选：d．3．b，c面元的边分别为a，b，c，在△abc中，角a，若a．b．c．d．=，则cosb=（）（1i）=1+i=1i1+i=0，【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由已知及正弦定理可得求b=，即可暂解cosb=．=，，cosb=sinb，=，解得tanb=，融合范围0＜b＜π，可以【解答】解：∵又∵由正弦定理可得：∴∴tanb=∴b==，解得：，0＜b＜π，，cosb=．。
2021届河南省郑州市高三高考数学(理)第一次(一模)质量预测试题(解析版)
2021届河南省郑州市高三高考数学（理）第一次（一模）质量预测试题一、单选题1．已知集合{}04P x x =<<，(){}lg 3Q x y x ==-，则P Q =（ ） A ．{}34x x ≤< B ．{}34x x <<C ．{}03x x <<D ．{}03x x <≤【答案】B【分析】由对数函数定义域的求解可求得集合Q ，由交集定义可得结果.【详解】{}{}303Q x x x x =->=>，{}04P x x =<<，{}34P Q x x ∴⋂=<<. 故选：B.2．已知命题p ：x R ∀∈，0x x +≥，则（ ） A ．p ⌝：x R ∀∈，0x x +≤ B ．p ⌝：x R ∃∈，0x x +≤ C ．p ⌝：x R ∃∈，0x x +< D ．p ⌝：x R ∀∈，0x x +<【答案】C【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行否定即可得答案. 【详解】解：因为全称命题的否定为特称命题，所以命题p ：x R ∀∈，0x x +≥的否定为：p ⌝：x R ∃∈，0x x +<. 故选：C.3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若952S =，422S =，则7a =（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】C【分析】设出等差数列的首项和公差，直接由题意列式，由等差数列前n 项和公式作差后求得答案．【详解】解：已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝52，S 4＝22， 设等差数列的首项为a 1，公差为d ， 由S 9＝a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8+a 9＝52， S 4＝a 1+a 2+a 3+a 4＝22，由两式相减可得（S 9﹣S 4）＝a 5+a 6+a 7+a 8+a 9＝52﹣22， 即5a 1+30d ＝30，即a 7＝6， 故选：C ．4．水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等，常被人们制作成饰品．如图所示，现有棱长为2cm 的正方体水晶一块，将其裁去八个相同的四面体，打磨成某饰品，则该饰品的表面积为（单位：cm 2）（ ）A ．123+B ．1643+C ．1233+D ．1633+【答案】A【分析】截去8个四面体后，还剩6个正方形，8个正三角形，只需求出对应面边长，即可求解【详解】设截去8个四面体后，该几何体棱长为a ，则有22112a +=， 此时，该几何体表面由8个正三角形和6个正方形构成，6个正方形的面积为：62212，8个正三角形面积为：23823=123+故选：A5．若3cos28sin 5αα=-，则tan α=（ ） A ．25B 25C ．5D ．25【答案】D【分析】利用二倍角余弦公式化简已知等式可求得sin α，由同角三角函数平方和商数关系可求得结果.【详解】由已知等式可得：()2312sin 8sin 5αα-=-，整理可得：23sin 4sin 40αα+-=，解得：2sin 3α=或sin 2α=-（舍），25cos 1sin αα∴=±-= sin 25tan cos ααα∴==6．如图是某主题公园的部分景观平面示意图，圆形池塘以O 为圆心，以452m 为半径，B 为公园入口，道路AB 为东西方向，道路AC 经过点O 且向正北方向延伸，10m OA =，100m AB =，现计划从B 处起修一条新路与道路AC 相连，且新路在池塘的外围，假设路宽忽略不计，则新路的最小长度为（单位：m ）（ ）A ．1002B ．1003C ．1502D ．1503【答案】A【分析】根据题意可知新路和圆相切时距离最短，建系求得过点B 的直线方程，可得和OC 的交点，即可得解.【详解】以O 为原点建立如图直角坐标系，可得B 点坐标为(100,10)--， 如若要新路的长度最短，则新路和圆线切， 设过点B 的直线方程为(100)10y k x =+-，根据圆心到直线的距离等于半径可得：211940790k k --=， 根据图可得0k >，所以1k =，所以90y x =+，所以和OC 的交点为(0,90)D ，所以100AD =， 根据勾股定理可得：22100+100=1002BD =7．如图所示，平面向量OA ，OB 的夹角为60°，22OB OA==，点P 关于点A 的对称点Q ，点Q 关于点B 的对称点为点R ，则PR 为（ ）A 3B ．23C ．4D ．无法确定【答案】B【分析】首先根据条件转化向量()2PR OB OA =-，再利用向量数量积求模. 【详解】()()222PR QR QP QB QA AB OB OA =-=-==-，()2222222PR OB OA OB OAOB OA OB OA ∴=-=-=+-⋅241221cos60=+-⨯⨯⨯23=故选：B8．已知函数()cos ,0,0x x f x kx x >⎧=⎨≤⎩，若方程()()0f x f x +-=有n 个不同的实根，从小到大依次为1x ，2x ，3x ，…，n x ，则下列说法错误．．的是（ ） A ．1230n x x x x ++++=… B ．当1n =时，1k π<-C ．当3n =且0k <时，331tan x x =- D ．当12x π>时，3n = 【答案】D【分析】令()()()g x f x f x =+-，判断()g x 的奇偶性，即可判断选项A ；利用分段函数的解析式得到0x =是函数的一个零点，利用()g x 为偶函数，只需研究0x >的情况，作出函数y kx =和cos y x =的图像，数形结合判断选项B 、C 、D.【详解】令()()()g x f x f x =+-，则()()()()g x f x f x g x -=-+=，所以()g x 为偶函数，所以零点关于0x =对称，则所有的零点之和为0，故A 正确；因为()cos ,0,0x x f x kx x >⎧=⎨≤⎩，所以()00f =，所以0x =是函数的一个零点，由上述过程可知，()g x 为偶函数，故只需研究0x >的情况即可，当0x >时，令()()()cos 0g x f x f x x kx =+-=-=，即cos x kx =，作出函数y kx =和cos y x =的图像，观察可知，当0k ≥时，y kx =与cos y x =至少有一个交点，即()()0f x f x +-=至少有3个根，不符合n =1；当0k <时，图中直线1l 为临界值，设其斜率为1k ，此时1l 与cos y x =相切， 若1k k <，则n =1，若10k k ≤<，则n 至少为3； 再作出斜率21k π=-的直线2l ，观察1l 与2l 的位置关系可知，121k k π<=-，所以n =1时，11k k π<<-，故B 正确；当3n =且0k <时，即为B 选项中讨论的1l ，此时直线1l 与cos y x =相切， 设切点(),cos m m ，则有3个不同的实数根123,0,x m x x m =-==，cos y x =的导数为sin y x '=-，故有cos sin m km m k =⎧⎨-=⎩，消去k 得：1tan m m =-，所以331tan x x =-，故C 正确； 作出如图示的3l 和4l ，其中3l 和cos y x =相切，4l 的斜率为412k π=， 设3l 的斜率为3k ，则34k k >. 当43k k k <<时，即312k k π<<，y kx =与cos y x =有3个交点，此时n =7； 当3k k =时，y kx =与cos y x =有2个交点，此时n =5；当3k k >时，y kx =与cos y x =有1个交点，此时n =3； 故D 错误. 故选：D.【点睛】判断函数有零点(方程有根)的常用方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．二、多选题9．将函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位长度得到函数()f x 图象，则（ ）A ．sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是函数()f x 的一个解析式B ．直线712x π=是函数()f x 图象的一条对称轴 C ．函数()f x 是周期为π的奇函数D ．函数()f x 的递减区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 【答案】BD【分析】先求出()f x 的解析式，对四个选项一一验证： 对于A ：直接利用解析式验证； 对于B ：直接求出对称轴方程进行验证； 对于C ：利用奇函数的定义进行否定； 对于D ：直接求出函数()f x 的递减区间.【详解】由函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位长度得到函数()f x 图象，所以()5cos 2cos 2436f x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 对于A ：()5cos 2cos 2=sin 24363f x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ：()sin 23x f x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，要求()y f x =的对称轴，只需令()232x k k Z πππ+=+∈，当k =1时，解得：712x π=，所以直线712x π=是函数()f x 图象的一条对称轴，故B 正确；对于C ：()5cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为()()55cos 2cos 266f x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=-+=-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 不是奇函数，故C 错误；对于D ：要求函数()f x 的递减区间，只需52226k x k ππππ≤+≤+，解得：51212k x k ππππ-+≤≤+，即函数()f x 的递减区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，故D 正确. 故选：BD10．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过F 且斜率为C 于A 、B 两点，其中A 在第一象限，若3AF =，则（ ）A ．1p =B ．32BF =C ．以AF 为直径的圆与y 轴相切D ．3OA OB ⋅=-【答案】BCD【分析】写出焦点F 的坐标，设出直线l 的方程，并与抛物线方程联立，根据点A 在第一象限即可求出点A ，B 的横坐标，进而可以求出p 的值，即可求出抛物线的方程，再对应各个选项逐个验证即可．【详解】设(2pF ，0)，则过F 的直线斜率为)2p y x =-，代入抛物线方程消去y 可得：22450x px p -+=， 解得124p x p x ==，，因为点A 在第一象限，所以A x p =，4B px =，则3||322A p pAF x =+==，所以2p =，A 错误， 33||4242B p p p BF x ==+==，B 正确，由2p =可得抛物线的方程为：24y x =，且(2A ，，1(,2B ，所以1(,1432OA OB ⋅=⋅=-=-，D 正确， AF 的中点横坐标为32，以AF 为直径的圆的半径为32， 所以圆心到y 轴的距离等于半径，则以AF 为直径的圆与y 轴相切，C 正确， 故选：BCD ．11．已知0a >，0b >，下列命题中正确的是（ ） A ．若2a b +=，则lg lg 0a b +≤ B ．若20ab a b --=，则29a b +≥C ．若2a b +=，则112a b ab +-≥D ．若111123a b +=++，则14ab a b ++≥+【答案】ACD【分析】利用已知的等式，将其进行变形，利用基本不等式对选项逐一分析判断即可． 【详解】因为0a >，0b >，所以22a b ab =+，故1ab ，当且仅a b =时取等号， 此时()lg lg lg lg10a b ab +==，故选项A 正确；因为20ab a b --=，所以222ab a b ab =+，当且仅当2a b =时取等号， 所以228a b ab ，解得8ab ，则28a b +，故选项B 错误； 因为2a b +=，所以2b a =-，则22111111212(2)2211a a ab ab a a a ++-=-=-+--+，令21a t +=，则221411151522a a t t t +-=-++-⋅- 因为0a >，0b >，2a b +=，所以2a <，则22a a <，所以221101a a +->+， 故22151011a a +-<-+，所以1152a b ab +-，故选项C 正确； 因为111123a b +=++，所以27ab a b =++，所以271b ab +=-， 因为0a >，0b >，所以1b >， 所以41418237373(1)14254141411bab a b a b b b b b +++=++=++=-+++=+--，当且仅当1b 时取等号， 故1466ab a b +++D 正确． 故选：ACD ．12．已知函数()()e 1xf x x =+，()()1lng x x x =+，则（ ）A ．函数()f x 在R 上无极值点B ．函数()g x 在()0,∞+上存在唯一极值点C ．若对任意0x >，不等式()()2ln f ax f x ≥恒成立，则实数a 的最大值为2eD ．若()()()120f x g x t t ==>，则()12ln 1t x x +的最大值为1e【答案】AD【分析】利用导数可求得()()20f x f ''≥->，得到()f x 在R 上单调递增，知A 正确； 利用导数可求得()()10g x g ''≥>，得到()g x 在()0,∞+上单调递增，知B 错误； 由()f x 在R 上单调递增得到2ln ax x ≥，利用分离变量的方法可得()2ln xa h x x≥=，利用导数可求得()max 2h x e=，可求得a 的范围，知C 错误； 易得12x e x =，()()()111121ln 1ln ln 11x x x e t k x x k x e ⎡⎤+⎣⎦==++，令()ln k m k k =，利用导数可求得()()max m k m e =，可知D 正确.【详解】对于A ，()()11xf x x e '=++，()()2x f x x e ''=+，当2x <-时，()0f x ''<；当2x >-时，()0f x ''>；()f x '∴在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增，()()2210f x f e -''∴≥-=-+>，()f x ∴在R 上单调递增，无极值点，A 正确；对于B ，()1ln 1g x x x '=++，()22111x g x x x x -''=-=，当01x <<时，()0g x ''<；当1x >时，()0g x ''>；()g x '∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()120g x g ''∴≥=>，()g x ∴在()0,∞+上单调递增，无极值点，B 错误；对于C ，由A 知：()f x 在R 上单调递增，则由()()2ln f ax f x ≥得：2ln ax x ≥，当0x >时，2ln 2ln x xa x x≥=， 令()2ln x h x x =，则()()2221ln 22ln x x h x x x --'==， ∴当0x e <<时，()0h x '>；当x e >时，()0h x '<；()h x ∴在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，()()max 2h x h e e∴==，2a e ∴≥，则a 的最小值为2e，无最大值，C 错误；对于D ，()()112211ln x x e x x t +=+=，0t >，10x ∴>，21>x ，由A 知()()1xf x x e=+是增函数，所以12x e x =，()()()111121ln 1ln 11x x x e t x x x e ⎡⎤+⎣⎦∴=++ 设()111xk x e =+，则()12ln ln 1t kx x k=+，令()ln km k k=，则()21ln k m k k -'=，∴当0k e <<时，()0m k '>；当k e >时，()0m k '<；()m k ∴在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减， ()()max 1m k m e e∴==，此时()()112211ln x e x e x x =+=+，()12ln 1t x x ∴+的最大值为1e ，D 正确. 故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题考查导数在研究函数中的综合应用问题，选项D 中，对于多个变量的式子最值的求解关键是能够通过等价代换的方式，将所求式子化简为关于一个变量的函数的形式，从而利用导数求得函数最值得到结果.三、填空题13．已知1F ，2F 为双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 作x 轴的垂线交C 于A 、B 两点，若122AB F F =，则C 的离心率为___________．1【分析】可令x ＝﹣c ，求得|AB |，再由|AB |＝2|F 1F 2|，结合a ，b ，c 的关系和离心率公式，解方程可得所求值．【详解】解：可令x ＝﹣c ，代入双曲线的方程可得y ＝±2b a，可得|AB |22b a=，若|AB |＝2|F 1F 2|，可得22b a=4c ， 即c 2﹣a 2＝2ac ， 由e ca=，可得e 2﹣2e ﹣1＝0，e ＞1． 解得e ＝12， 故答案为：12．14．已知数列{}n a 满足12a =，()*,N m n m n a a a m n ++=∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则数列[]{}2log n a 的前10项和为__________． 【答案】29【分析】直接利用数列的递推关系式和数列的取整问题的应用求出结果．【详解】解：数列{a n }满足a 1＝2，a m +a n ＝a m +n （m ，n ∈N ），设b n ＝[log 2a n ]， 当n ＝m ＝1时，b 1＝[log 22]＝1， a 2＝a 1+a 1＝4，所以b 2＝[log 24]＝2， a 3＝a 1+a 2＝6，所以b 3＝[log 26]＝2， a 4＝a 2+a 2＝8，所以b 4＝[log 28]＝3， a 5＝a 2+a 3＝10，所以b 5＝[log 210]＝3， a 6＝a 2+a 4＝12，所以b 6＝[log 212]＝3， a 7＝a 3+a 4＝14，所以b 7＝[log 214]＝3， a 8＝a 3+a 5＝16，所以b 8＝[log 216]＝4， a 9＝a 4+a 5＝18，所以b 9＝[log 218]＝4， a 10＝a 4+a 6＝20，所以b 10＝[log 220]＝4，所以T 10＝b 1+b 2+…+b 10＝1+2+2+3+3+3+3+4+4+4＝29． 故答案为：29．15．测量珠穆朗玛峰的高度一直受到世界关注，2020年12月8日，中国和尼泊尔共同宣布珠穆朗玛峰的最新高度为8848.86米某课外兴趣小组研究发现，人们曾用三角测量法对珠峰高度进行测量，其方法为：首先在同一水平面上选定两个点并测量两点间的距离，然后分别测量其中一个点相对另一点以及珠峰顶点的张角，再在其中一点处测量珠峰顶点的仰角，最后计算得到珠峰高度．该兴趣小组运用这一方法测量某建筑物高度，已知该建筑物CP 垂直于水平面，水平面上两点A ，B 的距离为200m ，60PAB ∠=︒，45PBA ∠=︒，30PAC ∠=︒，则该建筑物CP 的高度为__________（单位：m ）． 【答案】()10031-【分析】先在PAB △中，利用正弦定理求得PA ，再在Rt PAC △中求解. 【详解】如图所示：在PAB △中，由正弦定理得200sin 45sin 75PA =︒︒，解得2003200PA =，所以在Rt PAC △中sin 100CP PA PAC =⋅∠=．故答案为：)1001四、双空题16．一个球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺的体积公式()233V R h h π=-，其中R 为球的半径，h为球缺的高.的正四面体的各棱均相切，则该球的半径为_________，该球被此正四面体的一个侧面所截得的球缺（小于半球）的体积为____________．【分析】作图可得正四面体两相对棱间的距离为球的直径长，解三角形可得球的半径，利用等体积法求出球心到一个侧面的距离得出球缺的高，结合题意的公式即可得出结果.【详解】如图，取BD 的中点E ，AC 的中点F ，连接EF ，则EF 是与正四面体ABCD 各棱相切的球O 的直径.，所以AE CE ===则EF ==O 的半径为R ；设底面BCD 的中心为G ，则2233CG CE ===A 到底面BCD 2=，12BCDS==，由等体积法可得112=433OG ⨯，得12OG =，所以球缺的体积为22(3)33V R h h ππ=-=⨯⨯=，五、解答题 173cossin 2A Ca b A +=，②cos 3sin a b C c B =，③()()22222cos a c a b c abc C --+=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：已知ABC 内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，2b =， ，求ac 的最大值．【答案】答案不唯一，具体见解析．【分析】选择条件①、②、③中的一个，利用正弦定理，余弦定理进行边角转化，最后在余弦定理中利用基本不等式求得ac 的最大值. 【详解】解：若选①3sin sin sin ,0π,sin 02BA B A A A =<<≠， 32sin cos 222B B B =． 化简得3cos2B =()0,B π∈，所以26B π=，3B π=． 又2221cos 22a b c B ac +-==， 所以2242a c ac ac +=+≥，当且仅当a c =时取等号， 故4ac ≤，即ac 的最大值为4．若选②：由已知得sin sin cos 3sin A B C C B =，()sin sin cos 3sin sin B C B C C B +=，sin cos cos sin sin cos 3sin ,0π,0B C B C B C C B B sinB +=<<≠，化简得cos 3B B =，即3tan B =()0,B π∈，所以6B π=．由2223cos 2a b c B ac +-==可得22342a c ac ac -=+≥，当且仅当a c =时取等号，故8ac ≤+，即ac 的最大值为8+ 若选③：由已知()22cos 2cos a c ac B abc C -⋅=， 即()2cos cos a c B b C -=，又()2sin sin cos sin cos A C B B C -=，所以()2sin cos sin cos cos sin sin sin ,0π,sin 0A B B C B C B C A A A =+=+=<<≠． 所以1cos 2B =，因为()0,B π∈，所以3B π=．由2221cos 22a cb B ac +-==，得2242a c ac ac +=+≥，当且仅当a c =时取等号， 故4ac ≤，即ac 的最大值为4．【点睛】方法点睛：条件中出现边和角时，利用正弦定理进行边角转化，结合三角恒等变换公式化简得到某一个角或边，结合余弦定理，基本不等式求得最值. 18．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，11a =，3139S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令()21n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）113n n a -=；（2）1263nn n T -+=-． 【分析】（1）设公比为()0q q >，由3139S =可构造关于q 的方程求得q ，由等比数列通项公式可得结果；（2）由（1）可得n b ，利用错位相减法可求得n T . 【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为()0q q >，()223113119S a q q q q ∴=++=++=，解得：13q =或43q =-（舍），113n n a -∴=． （2）由（1）可得：1213n n n b -+=， 22157212133333n n n n n T ---+∴=+++⋅⋅⋅++，21135212133333n n n n n T --+=++⋅⋅⋅++，两式相减可得：21222221333333n n n n T -+⎛⎫=+++⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭22213331313nnn -+=+--1121433n n n -+=--， 1263n n n T -+∴=-． 【点睛】方法点睛：当数列通项公式满足等差⨯等比的形式时，采用错位相减法求解数列的前n 项和，具体步骤如下：①列出1231n n n S a a a a a -=+++⋅⋅⋅++的形式；②左右两侧同乘通项中的等比部分的公比q ，得到n qS ；③上下两式作差得到()1n q S -，结合等比数列求和公式可整理等式右侧的部分； ④整理所得式子求得n S .19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥底面ABCD ，M 为线段PC 的中点，PD AD =，N 为线段BC 上的动点．（1）证明：平面MND ⊥平面PBC ；（2）当点N 在线段BC 的何位置时，平面MND 与平面PAB 所成锐二面角的大小为30°？指出点N 的位置，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）N 为线段BC 的中点；答案见解析．【分析】（1）要证平面MND ⊥平面PBC ，可证DM ⊥平面PBC ，设法证明DM BC ⊥，DM PC ⊥即可；（2）以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DP 方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz -，设1PD =，(),1,0N λ，求出平面PAB 和平面MND 的法向量，结合向量夹角的余弦公式求解即可【详解】（1）因为PD ⊥底面ABCD ，BC ⊂面ABCD ，所以PD BC ⊥， 又CD BC ⊥，PD CD D ⋂=，所以BC ⊥平面PCD ，又DM ⊂平面PCD ，所以DM BC ⊥，因为在PDC △中，PD AD =，M 为PC 的中点，所以DM PC ⊥， 又PC BC C ⋂=，所以DM ⊥平面PBC ，又DM ⊂平面DMN ，所以平面MND ⊥平面PBC ；（2）设1PD =，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DP 方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz -，设(),1,0N λ，则()1,0,1AP =-，()0,1,0AB =，(),1,0DN λ=，110,,22DM ⎛⎫= ⎪⎝⎭．设()111,,m x y z =为平面PAB 的一个法向量，则有00m AP m AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即11100x z y -+=⎧⎨=⎩，令11x =，可得()1,0,1m =，设()222,,n x y z =为平面MND 的一个法向量，则有00n DN n DM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2222011022x y y z λ+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令21x =，可得；()1,,n λλ=-， 因为平面MND 与平面PAB 夹角为30，所以3m n m n⋅=， 213212λλ+=+12λ=，故N 为线段BC 的中点．20．在研制飞机的自动着陆系统时，需要研究飞机的降落曲线．如图，一架水平飞行的飞机的着陆点为原点O ，飞机降落曲线大致为32y ax bx =+，其中x （单位：m ）表示飞机距离着陆点的水平距离，y （单位：m ）表示飞机距离着陆点的竖直高度．假设飞机开始降落时的竖直高度为4500m ，距离着陆点的水平距离为0x ，飞机在整个降落过程中始终在同一个竖直平面内飞行，且飞机开始降落时的降落曲线与平方向的直线相切．（1）用0x 分别表示a 和b ：（2）若飞机开始降落时的水平速度150m/s ，且在整个降落过程中水平速度保持不变，另外，基于安全考虑，飞机在降落过程中的竖直加速度()y t ''（即y 关于降落时间t （单位：s ）的导函数()y t '的导数）的绝对值不超过1m/s 2，求飞机开始降落时距离着陆点的水平距离0x 的最小值． 【答案】（1）309000a x =-，213500b x =；（2）450030． 【分析】（1）设()32f x ax bx =+，求()'f x ，由()()0045000f x f x ⎧=='⎪⎨⎪⎩解得,a b .（2）求得()f x 的解析式，设飞机降落时间为t ，则0150x x t =-，代入函数解析式，求导，结合题意求出0x 的最小值即可.【详解】（1）设()32f x ax bx =+．则()232f x ax bx '=+，由题意可知，()()0045000f x f x ⎧=='⎪⎨⎪⎩，即3200204500320ax bx ax bx ⎧+=⎨+=⎩ 解得309000a x =-，2013500b x =． （2）由（1）可知，323200900013500()f x x x x x =-+，[]00,x x ∈， 设飞机降落时间为t ，则0150x x t =-， 则()()()32003200900013500150150y t x t x t x x =--+-，00,150x t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ()()203607500000150y t t x t x =-'， ()()()()030607500000300y t y t t x x ''==-''，00,150x t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 当0t =或150x 时，()y t ''取最大值20607500000x ，故26075000001x ≤， 可得0450030x ≥所以飞机开始下降时距离着陆点水平距离的最小值为米．21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，1F ，2F 为椭圆C 的左，右焦点，过1F 斜率不为零的直线1l 交椭圆于P ，Q 两点，2F PQ △的周长为8． （1）求椭圆C 的方程（2）设A 为椭圆C 的右顶点，直线AP ，AQ 分别交直线2:4l x =-于M ，N 两点，试判断以MN 为直径的圆是否恒过椭圆长轴上一个定点，并说明理由． 【答案】（1）22143x y +=；（2）是；答案见解析．【分析】（1）依题意求出a ，根据离心率求出c ，再根据222a b c =+，即可求出b ，即可得到椭圆方程；（2）设1l 的方程为：1x ty =-，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，表示出直线AP 的方程，即可求出M 、N 的坐标，设()(),022H m m -≤≤，依题意0MH NH ⋅=，即可求出m 的值，即可得解；【详解】解：（1）由题意48a =，2a =，因为12c a =，所以1c =， 而222a b c =+，所以b = 故椭圆的方程为：22143x y +=， （2）由（1）知()11,0F -，设1l 的方程为：1x ty =-，代入22143x y +=得： ()2234690ty ty +--=，设()11,P x y ，()22,x y ，则122634t y y t +=+，122934y y t -=+， 因为111x ty =-，所以111123AP y y k x ty ==--， 所以直线AP 的方程为：()1123y y x ty =--， 令4x =-，得1163M y y ty -=-， 所以1164,3y M ty ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭，同理可得2264,3y N ty ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭，若以MN 为直径的圆过长轴上定点H ，则0MH NH ⋅=，设()(),022H m m -≤≤，则1164,3y MH m ty ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，1264,3y NH m ty ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，于是()()()21212364033y y m ty ty ++=--对任意实数t 恒成立，所以()()21221212364039y y m t y y t y y ++=-++，而()21222121222936363499639393434y y t t t y y t y y t t t t -⨯+==---++⨯-⨯+++所以()249m +=， 解得1m =-或7m =-，因为22m -≤≤，所以1m =-，即存在定点()1,0-满足条件．22．已知函数()1xf x e ax =--（a R ∈，e 为自然对数的底数）（1）若()f x 在定义域内有唯一零点，求a 的取值范围；（2）若()2xf x x e ≤在[)0,+∞上恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）{|0a a ≤或1}a =；（2）[)1,+∞．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，结合()f x 在定义域内有唯一零点，求出a 的范围即可；（2）问题转化为2(1)1x x e ax -+对[0x ∈，)+∞恒成立，记2()(1)(1)(1)x x h x x e x x e =-=+-，根据函数的单调性求出a 的范围即可．【详解】解：（1）()x f x e a '=-，当0a ≤，()0f x '>，()f x 在R 上单调递增， 又()1110f a e-=-+<，()110f e a =-->，由零点存在定理知，函数()f x 在R 上有唯一零点，符合题意． 当0a >，令()0f x '=得ln x a =，当(),ln x a ∈-∞，()0f x '<，()f x 单调递减，()ln ,x a ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()()ln min ln ln 1ln 1af x f a e a a a a a ==--=--．设()()ln 10g a a a a a =-->，则()()1ln 1ln g a a a +'=-=-， 当01a <<时，()0g a '>，()g a 单调递增， 当1a >时，()0g a '<，()g a 单调递减， 所以()()max 10g a g ==，故1a =，综上，实数a 的取值范围为{|0a a ≤或1}a =．（2）()2e xf x x ≤对[)0,x ∈+∞恒成立，即()211x x e ax -≤+对[)0,x ∈+∞恒成立， 记()()()()21e 11e x xh x x x x =-=+-，当1a ≥时，设函数()()1x m x x e =-，则()0xm x xe '=-≤，因此()m x 在[)0,+∞单调递减，又()01m =，故()1m x ≤，所以()()()111h x x m x x ax =+≤+≤+；当01a <<时，设函数()1xn x e x =--，则()10x n x e ='-≥，所以()n x 在[)0,+∞单调递减，且()00n =，故1x e x ≥+．当01x <<时，()()()211h x x x >-+，()()()221111x x ax x a x x -+--=---，取0x ，则()00,1x ∈，()()20001110x x ax -+--=，故()001h x ax >+，当0a ≤，取0x =，则()00,1x ∈，()()()200001111h x x x ax >-+=≥+． 综上，a 的取值范围为[)1,+∞．【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≤恒成立(min ()a f x ≤即可)或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④ 讨论参数.。
2021届河南省高三联考数学(理)试题(解析版)
因为 ，
所以 ，
所以函数 为奇函数，排除选项C，D；
又当 时， ，所以排除B.
故选：A.
【点睛】
本题考查了奇函数图象的对称性，考查了排除法，考查了根据函数解析式选择图象，考查了诱导公式，属于基础题.
7．企业在生产中产生的废气要经过净化处理后才可排放，某企业在净化处理废气的过程中污染物含量 (单位： )与时间 (单位： )间的关系为 (其中 ， 是正的常数).如果在前 消除了20%的污染物，则 后废气中污染物的含量是未处理前的（）
2．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】化简集合 ，根据集合的交集运算可得结果.
【详解】
因为 ， ，
所以 .
故选：D.
【点睛】
本题考查了利用对数函数的单调性解不等式，考查了集合的交集运算，属于基础题.
3．函数 的图象在点 处的切线的倾斜角为 ，则 （）
A． B． C． D．
A．40%B．50%C．64%D．81%
【答案】C
【解析】根据 得污染物含量得初始值为 ，根据 得 ，可得 。代入 可得 ，从而可得答案.
【详解】
当 时， ；
当 时， ，即 ，得 ，
所以 ；
当 时， ，
故选：C.
【点睛】
本题考查了指数型函数的应用，属于基础题.
8．在边长为2的正方形 中， 为 的中点， 交 于 .若 ，则 （）
【答案】B
【解析】求出函数的导函数，导函数在 的函数值即是切线的斜率，根据斜率求出倾斜角即可.
【详解】
由题意得 ，所以切线斜率 ，
所以 .
故选：B.
【点睛】
本题考查导数的几何意义，求切线的斜率.
河南省名校联盟2021-2022学年上学期高三第一次诊断考试理科数学试题(附解析)
河南省名校联盟2021-2022学年上学期高三第一次诊断考试理科数学试卷满分150分，时间120分钟注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考场填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}21,0,1,2,2M N x x =-=<，则MN =（ ）A ．{}101-,,B ．{}1-C ．{0}1,D ．{1,0,1,2}-2．设,a b 是空间中两条不同的直线，α是平面，已知a α⊥，则b a ⊥是//b α的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件3．在等比数列{}n a 中，21a =-，54a =，则8a =（ ）A ．8B ．16C ．-8D ．-164．若()3sin 0,222x x ππ⎛⎫+=∈⎪⎝⎭，则x 的值为（ ）A ．56π或76π B ．6π± C ．56π± D ．23π或43π 5．若实数x ，y 满足约束条件10,20,240,x y x y x y --≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩则32z x y =-的最大值为（ ）A ．113B ．1C ．53D ．1-6．已知向量()2,a m =， ()2,4b =，若a b a b +=-，则实数m =（ ）A ． 1B ．-1C 5D ．57．已知,x y 均为正实数，且满足4x y +=，则22log log (4)x y +的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．人们一般把边长之比为黄金分割比的矩形称为黄金矩形，即黄金矩形的短边为长边 51-.黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦，在很多艺术品以及大自然中都能找到它.巴特农神庙的部分轮廓ABCD 就是黄金矩形（如下图所示）.则图中AOD ∠的余弦值等于（ ）A 5B 10C 5D 259．已知函数()sin cos f x x x x =+图象上在点(),x y 处的切线的斜率为k ，若()k g x =，则函数()g x 在原点附近的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知圆柱12O O 的底面半径和母线长均为1，A ､B 分别为圆2O ､圆1O 上的点，若异面直线1O B ，2O A 所成的角为60︒，则AB =（ ） A ． 2 B ．22C ．2或 2 D ．2或2211．已知定义域为R 函数()f x 满足()()17f x f x -=-+，且()f x 在区间[)4,+∞上单调递增，如果124x x <<，且128x x +>，则()()12f x f x +的值（ ） A ．可正可负B ．恒为正C ．可能为0D ．恒为负12. 已知实数,,a b c 满足：2 21,31,log 1a b a b c c ⋅=⋅=⋅=，则（ ） A ． a b c << B ． c b a << C ． b c a <<D ． b a c <<二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知平面向量()1,2a =，()3,b m =-，若a b ⊥，则m =_______. 14．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若13a =，且321,2,3S S S 成等差数列，则n a =______.15．已知下面四种几何体：①圆锥，②圆台，③三棱锥，④四棱锥，如图所示，某几何体的正视图与侧视图均是等腰三角形，则该几何体可能是___________（将符合条件的几何体编号都填上）.16．将函数()sin 2f x x =的图像向右平移6π个单位，再把每个点横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =，则()g x 的解析式()g x =_________，若对于任意11,22a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，在区间[0,]m 上总存在唯一确定的β，使得()g a β=，则m 的最小值为________．c b a <<B ．b c a <<C ．a c b<<D ．c a b <<三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分。
河南省郑州市2021-2022学年高三上学期高中毕业班第一次质量预测(1月)数学(理)试题
郑州市2021-2022学年高三上学期高中毕业班第一次质量预测理科数学试题卷注意事项：1. 答卷前， 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2. 回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 如 需改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号． 回答非选择题时， 将答案写在答题卡上． 写 在本试卷上无效． 3. 考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题： 本大题共 12 小题， 每小题 5 分， 共 60 分． 在每小题给出的四个选项中， 只有 一项是符合题目要求的．1. 已知集合 {14}P x x =∈<N ∣， 集合 {}260Q x x x =--∣， 则 P Q ⋂=A ． (]1,3 B ． {}2,3 C ． {}1,2,3D ． (]1,42. 已知 i 是虚数单位， 若 1z i =+， 则2zi z=+ A ． 125i + B ． 125i - C ． 125i -- D ． 125i -+3. 已知命题000:,3sin 4cos p x x x ∃∈+=R ； 命题 1:,1xq x e ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭R ． 则下列命 题中为真命题的是A ． p q ∧B ． p q ⌝∧C ． p q ∨⌝D ． ()p q ⌝∨4. 若实数 x y 、 满足 210,10,4210,x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩则 3z x y =+ 的最小值为A ． 9-B ． 1C ． 32D. 25. 若函数 ()f x 满足 ()()22f x f x -+=-， 则下列函数中为奇函数的是A ． ()11f x -- B ． ()11f x -+ C ． ()11f x +-D ． ()11f x ++ 6. 为了落实五育并举， 全面发展学生素质． 学校准备组建书法、音乐、美术、体育社团． 现 将 5名同学分配到这 4 个社团进行培训， 每名同学只分配到 1 个社团， 每个社团至配 1 名同学， 则不同的分配方案共有A ． 60 种B ． 120 种C ． 240 种D ． 480 种7. 已知函数 ()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 为了得到函数 ()cos 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象只需将 ()y f x = 的图象A ． 向右平移3π个单位 B ． 向右平移 56π 个单位C ． 向左平移 2π 个单位D ． 向左平移 6π． 个单位8. 数学家阿基米德建立了这样的理论： “任何由直线与抛物线所围成的弓形， 其面积都 是其同底同高的三角形面积的三分之四． 如图， 直线 1x = 与抛 物线 22y x = 交于 ,A B 两点， ,A B 两点在 y 轴上的射影分别为 ,M N ， 从长方形 ABNM 内任取一点， 则该点落在阴影部分的概 率为A ．13 B ． 23 C ． 12 D ． 349. 魏晋南北朝时期， 中国数学的测量学取得了长足进展．刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理． 因其第一题为测量海岛的高度和距离， 故题为《海岛算经》． 受此题启发， 某同学依照此法测量郑州市二七纪念塔的高度． 如图， 点 ,,D G F 在水平线 DH 上， CD 和 EF 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度， 称 为 “表高”， 测得以下数据 (单位： 米)： 前表却行 1DG =， 表高 2CD EF ==， 后表却行 3FH =， 表距 61DF =． 则 塔高 AB =A ． 60 米B ． 61 米C ． 62 米D ． 63 米10. 在圆 222(3)(4)(0)x y r r -+-=> 上总存在点 P ， 使得过点 P 能作椭圆 2213x y += 的两条相互垂直的切线， 则 r 的取值范围是A ． ()3,7 B ． []3,7 C ． ()1,9D ． []1,911. 已知一圆柱的轴截面为正方形， 母线长为， 在该圆柱内放置一个棱长为 a 的正四 面体， 并且正四面体在该圆柱内可以任意转动， 则 a 的最大值为A ．12B ． 1C ．D ． 212. 已知 0a >， 函数 ()()2ln f x ax x =-， 若函数 ()()()F x f f x x =- 恰有两个零点， 则 实数a 的取值范围是A ． 1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ． 1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C ． (),e ∞+D ． [),e ∞+二、填空题： 本题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分． 13. 已()()()1,2,,3,2λ==-⊥a b a b a ， 则 λ=________．14. 已知()*nn ∈N 的展开式中所有二项式系数之和是 64 ， 则它展开式中 2x 的系数________．15. 双曲线 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>> 与抛物线 28y x =． 有共同的焦点 2F ， 双曲线左焦点为 1F ，点 P 是双曲线右支一点， 过 1F 向 12F PF ∠ 的角平分线做垂线， 垂足为 ,N ON = 1 ， 则双曲线的离心率是________．16. 已知正方体 1111ABCD A B C D - 的棱长为 2,P 是空间中任意一点． ①若点 P 是正方体表面上的点， 则满足 12AP =的动点轨迹长是 34π； ②若点 P 是线段 1AD 上的点， 则异面直线 BP 和 1B C 所成角的取值范围是 ,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ； ③若点 P 是侧面 11BCC B 上的点， P 到直线 BC 的距离与到点 1C 的距离之和为 2 ， 则 P 的轨迹是椭圆；④过点 P 的平面 α 与正方体每条棱所成的角都相等， 则平面 α 截正方体所得截面的最 大面积是．以上说法正确的有________．三、解答题： 共 70 分． 解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 第 1721~ 题为必考 题， 每个试题考生都必须作答． 第 2223、 题为选考题， 考生根据要求作答． (一) 必考题： 60 分17. (12 分)已知等差数列 {}n a 的公差为 ()0d d ≠， 前 n 项和为 n S ， 现给出下列三个条件： ①12S S 、 、4S 成等比数列；②416S =； ③ ()8841S a =+． 请你从这三个条件中任选两个解答下列问题．(I ) 求 n a 的通项公式；(II ) 若 ()142n n n b b a n --=， 且 13b =， 求数列 1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前 n 项和 n T ．18. (12 分)为深人贯彻党的十九大教育方针． 中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减 轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》． 郑州某中学数学建模小组随机抽查 了我市 2000 名初二学生 “双减” 政策前后每天的运动时间， 得到如下频数分布表： 表一：“双减”政策后表二： “双减” 政策前(I ) 用一个数字特征描述 “双减”政策给学生的运动时间带来的变化 (同一时间段的数据用该组区间中点值做代表)；(II ) 为给参加运动的学生提供方便， 学校在球场边安装直饮水设备． 该设备需同时装配两个一级滤芯才能正常工作， 且两个滤芯互不影响，一级滤芯有两个品牌 :A B A 、 品牌售 价 5 百元， 使用寿命 7 个月或 8 个月 (概率均为 0.5 )； B 品牌售价 2 百元， 寿命 3 个月或 4 个 月 (概率均为0.5 )． 现有两种购置方案， 方案甲： 购置 2 个品牌 A ； 方案乙： 购置 1 个品牌 A 和 2 个品牌 B ． 试从性价比 (设备正常运行时间与购置一级滤芯的成本之比) 角度考虑， 选择 哪一种方案更实惠． 19. (12 分)在矩形中 ABCD 中， 2,AB AD E == 是 DC 中点， 连接 AE ， 将 ADE 沿 AE 折起， 使得点 D 移动至点 P ， 满足平面 PAE ⊥ 平面 ABCE ．(I ) 求证： AE BP ⊥；(II ) 求二面角 E CP B -- 的余弦值． 20. (12 分)设函数 ()()ln f x a x x e =--+．(I ) 求函数 ()f x 的单调区间；(II ) 当 a e = 时， 证明： ()2x x f e x e e-<+． 21. (12 分)已知椭圆 2222:1(0)x y C a b a b +=>> 的左焦点为 1F ， 离心率为 12， 过 1F 的直线与椭圆交 于,M N 两点， 当 MN x ⊥ 轴时， 3MN =．(I ) 求椭圆 C 的方程；(II ) 设经过点 ()0,1H - 的直线 l 与椭圆 C 相交于 ,P Q 两点， 点 P 关于 y 轴的对称点 为 F ， 直线 FQ 与 y 轴交于点 G ， 求 PQG 面积的取值范围．(二) 选考题 ： 共 10 分． 请考生在第 2223、 题中任选一题作答． 在答题卷上将所选题号涂 黑， 如果多做， 则按所做的第一题计分． 22. [选修： 坐标系与参数方程] (10 分)在直角坐标系 xOy 中， 直线 l 的参数方程为 cos ,1sin ,x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数)． 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C 的极坐标方程为 2tan cos θρθ=．(I ) 若 6πα=， 求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；(II ) 设点 P 的直角坐标系下的坐标为 ()0,1， 直线 l 与曲线 C 交于 ,A B 两点， 且4PA PB ⋅=， 求直线 l 的倾斜角．23. [选修： 不等式选讲](10 分)已知 ,,a b c 均为正数， 且满足 2349a b c ++=．( I ) 证明： ()()()1119a b c +++；( II ) 证明： 222491627a b c ++．郑州市2021-2022上期高三理科数学评分参考一、选择题1 5.BCBBD - ADB - 1112.DC -二、填空题13.4; 14.3;- 15.2; 16.①④. 三、解答题 17.（12分）解：①：因为1S 、2S 、4S 成等比数列，则2214S S S =，即()()2111246a d a a d +=+， 因为0d ≠，可得12d a =. ......................2分 ②414616S a d =+=即1238a d +=.③()8841S a =+，可得()11828471a d a d +=++，可得11a =.......................3分若选①②，则有112238d a a d =⎧⎨+=⎩，可得112a d =⎧⎨=⎩，则()1121n a a n d n =+-=-；若选①③，则122d a ==，则()1121n a a n d n =+-=-；若选②③，则123238a d d +=+=，可得2d =，所以，()1121n a a n d n =+-=-.········6分 （2）解：()18442n n n b b a n n -==--≥，且13b =, 所以，当2n ≥时，则有()()()121321n n n b b b b b b b b -=+-+-++-()()()28412131220843412n n n n -+-=++++-=+=-，13b =也满足241n b n =-，故对任意的n *∈N ，241n b n =-，···························9分则()()11111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 所以，11111111112335212122121n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦·········12分18（12分）解：双减政策后运动时间的的众数是65，双减政策前众数是55，说明双减政策后，大多数学生的运动时间都变长；（平均数、中位数等都可以）·4分 （1）若采用甲方案，记设备正常运行时间为X （单位是月），则X 的取值有87、，43)7(==X P ，41)8(==X P ， 则X 的分布列：()78.444E X ∴=⨯+⨯=它与成本之比为402955)(=+X E ·7分 若采用乙方案，记设备正常运行时间为Y （单位是月），则Y 的取值有876、、,41)6(==Y P ，85)7(==Y P ，1(8),8P Y ==()678.4888E Y =⨯+⨯+⨯=它与成本之比为()55.52272E Y =++·11分5529,7240>∴方案乙性价比更高. ·12分 19.（12分）证明：在矩形ABCD 中，连接BD ，记,AEBD F =BD AE ∴==//,AB CD 2.AF BF ABFE FD DE∴===AF FE BF FD ∴==== 222222,,2.AF FD AD FA FB AB AF FE ∴+=+==FE AF FB AE FD AE 2,,=⊥⊥∴·2分在四棱锥ABCE D -中，线段AE 取点O 满足2,AO OE =,,,AE OP AE OB OP OB O ⊥⊥=.AE BOP ∴⊥平面·4分,BP BOD ⊂平面.AE BP ∴⊥·6分（2）,,PO AE APE ABCE APE ABCE AE ⊥⊥=平面平面，平面平面.PO ABCE ∴⊥平面OA OB OP x y z ∴以、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,((0,(0,0,(,0,0).3333A B P E ∴-2(33AB EC ∴==-(33C ∴-23623663(,,0),(,,),(,0,3333333BCCP PE ∴=--=-=--设平面BCP 的法向量为1(,,),n x y z =110,0,330,0.xy BC n CP nx y z ⎧--=⎪⎧⋅=⎪⎪∴∴⎨⋅=⎪⎩+= 1(1n ∴=-·8分设平面PCE 的法向量2(,,),n x y z =220,0,330.0.x z PE n CP n x y ⎧--=⎪⎧⋅=⎪⎪∴∴⎨⋅=⎪⎩+= )2,2,2(2--=∴n ·10分设二面角B CP E --的大小为,θ1212cos 111n n n n θ⋅∴===+B CP E --∴二面角的余弦值为11-····························12分20.（12分）解：（1）函数()x f 的定义域为{},x x a <()111,x a f x x a x a-+'=-=-- ,x a < ()0.f x '∴<故函数()x f 单调递减区间为()a ,∞-，无单增区间···································4分（2）当e a =时，要证()e x e x e f x2+<-，即证ln ,2xx x x e e +<+即证ln 11.2xx e x x e+<+··············5分设()()ln 10,x g x x x =+>()21ln ,xg x x -'= ()x g 在()e ,0上单调递增，在()+∞,e 上单调递减, ()()11.g x g e e∴≤=+·····················································8分设()1,2x e h x x e =+()()21,x e x h x x-'= ()x h 在()1,0上单调递减，在()∞+，1上单调递增, ()()11,2h x h e e≥=+······················································10分 又111,2e e e +<+所以当e a =时，().2x xf e x e e-<+···············································12分 21. （12分）解：（1）由题意可知：21==a c e ，可得23=a b . 又左焦点()0,1c F -，当x MN ⊥轴时，将c x -=带入得242aby =.322==∴a b MN .由2223,b a b a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆C 的方程为13422=+y x ··················································5分（2）由题意可知，直线l 斜率必存在且不为0，设直线l 的方程为()10.y kx k =-≠设()11,y x P ，()22,y x Q ，由221,1,43y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()0883422=--+kx x k . ()()()09619234848222>+=+---=∆k k k ， 348221+=+k k x x ，348221+-=k x x ， P 关于y 轴的对称点为F ，()11,y x F -，∴直线FQ 的方程为()112121x x x x y y y y ++-=-. 令0=x ，得()()312112121211*********-=-+=+-+-=++=x x x kx x x kx x kx x x x y x y x y ， ()3,0-∴G ·······································································8分PQG ∆∴的面积()34243434961924212222212212121++=++=-+=-=-=k k k k x x x x x x x x NG S ， 令242+=k t ，则()+∞∈,2t ，tt t t S 1341342+=+=∴，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈+,2231t t ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈3640，S ， PQG ∆∴面积的取值范围⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3640，·.··············································12分 （二）选考题 22.[选修44-：坐标系与参数方程]（10分） 22. 解：（1）当6πα=时，直线的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x 21123(t 为参数)， l的普通方程为033=+-y x . 又因为θθρcos tan 2=，所以θθρ2cos sin 2=，所以θρθρsin 2cos 22=， 所以曲线的直角坐标方程为()022≠=x y x ...........................5分（2）将cos ,1sin ,x t y t αα=⎧⎨=+⎩代入()022≠=x y x 中， 得02sin 2cos 22=--a t t α，设B A ,对应的参数分别为21,t t ,所以α221cos 2-=t t ， 4=⋅PB PA ，所以4cos 2221=-=αt t ，所以22cos ±=α， 又因为，所以4πα=或43πα=， 所以直线倾斜角为4πα=或43πα=.....................................10分 23.证明：（1）()()()()()()3213141122334411112169,2424324a b c a b c a b c ++++++++⎛⎫+++=≤=⨯= ⎪⎝⎭当且仅当2=a ，1=b ，21=c 时等号成立， 即证：()()()9111≤+++c b a ...................................5分（2）由柯西不等式得：()()()2222491611123481,a b c a b c ++++≥++=故222491627.a b c ++≥ 当且仅当23=a ，1=b ，43=c 时等号成立 即证：271694222≥++c b a ................10分. l C [)0,απ∈l。
河南省郑州市2020-2021高三上学期第一次质量检测理科数学试题(wd无答案)
河南省郑州市2020-2021高三上学期第一次质量检测理科数学试题(wd无答案)一、单选题(★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★★) 2. 设复数满足，则（）A．B．C．D．(★) 3. 已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为9，到轴的距离为6，则（）A．B．C．D．(★★) 4. 设为单位向量，且，则（）A．B．C．D．(★★) 5. 调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列所有正确结论的编号是（）注: 后指年及以后出生，后指年之间出生，前指年及以前出生.①互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上②互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的③互联网行业中从事运营岗位的人数后比前多④互联网行业中从事技术岗位的人数后比后多A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④(★★★) 6. 《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分.清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为尺，前九个节气日影长之和为尺，则谷雨日影长为（）A．B．C．D．(★★★) 7. 函数的图象大致为（）A．B．C．D．(★★★) 8. 式子的展开式中，的系数为（）A．B．C．D．(★★★) 9. 若直线与曲线和圆都相切，则的方程为A．B．C．D．(★★) 10. 已知 a>0， b>0，且 a+ b=1，则错误的是（）A．B．C．D．(★★)11. 对于函数与，若存在，使，则称，是函数与图象的一对“隐对称点”.已知函数，，函数与的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．(★★★) 12. 设点分别为双曲线的左右焦点，点分别在双曲线的左、右支上，若，且则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题(★★) 13. 设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为_______________________ ．(★★★) 14. 已知，若存在极小值，则的取值范围是_______________________ ．(★★) 15. 数列中，，若，则_______________________．(★★★) 16. 已知是球的内接三棱锥，则球的表面积为_______________________．三、解答题(★★) 17. 在中，角的对边分别为，已知.（1）求边的长﹔（2）在边上取一点，使得，求的值.(★★★) 18. 如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，.（1）证明:平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.(★★★) 19. 已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求的方程；（2）点在上，且，证明:直线过定点.(★★★★) 20. 已知函数.（1）若，讨论的单调性﹔（2）若对任意恒有不等式成立，求实数的值.(★★★) 21. 教育是阻断贫困代际传递的根本之策.补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在.治贫先治愚﹐扶贫先扶智.为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，郑州市教育局拟从名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动.支教活动共分批次进行，每次支教需要同时派送名教师，且每次派送人员均从人中随机抽选.已知这名优秀教师中，人有支教经验，人没有支教经验.（1）求名优秀教师中的“甲”，在这批次活动中有且只有一次被抽选到的概率﹔（2）求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人﹖请说明理由；（3）现在需要名支教教师完成某项特殊教学任务，每次只能派一个人，且每个人只派一次，如果前一位教师一定时间内不能完成教学任务，则再派另一位教师.若有两个教师可派，他们各自完成任务的概率分别为，假设，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.若按某种指定顺序派人，这两个人各自能完成任务的概率依次为，其中是的一个排列，试分析以怎样的顺序派出教师，可使所需派出教师的人员数目的数学期望达到最小.(★★★) 22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）射线的极坐标方程为，若射线与曲线的交点为(异于点)，与直线的交点为求线段的长.(★★★) 23. 已知，函数（1）若，，求不等式的解集﹔（2）求证：.。
河南省郑州市2021届高三一模理科数学试题(含答案解析)
2021年高中毕业年级第一次质量预测理科数学试题卷注意事项：1 .答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写 在本试卷上无效.3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1 .已知集合 A = QI |z|V2}, 8={ - 2, — 1,0,1,2},则4[13 =A. {-1,0}B. {0,1}C. {-1,0,1） D, {-2,-1,0,1,2} 2 .设第数z 满足告=3则|司=A. iB. -iC. 1D.V2 3 .巳知P 为抛物线《：丁 = 2"；（立＞0）上一点，点P 到C 的焦点的距离为9,到y 轴的距因为6,则p= A. 3B. 6C.9D. 12 4 .设为单位向量，且|o-b|=l ，则1。
+ 2"=A. 3 B,V3 C.7 D.V7 5 .调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼 状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列所有正确结论的编号是注：90后指1990年及以后出生,80后指1980-1989年之间出生，8。
前指1979年及以 前出生.90后从事互联网行业岗位分布图 17%涧 12.3% I 9.8% ①互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上 ②互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20% ③互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多④互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④6.5% 其他H 1.6%80 前技术运营碳区设计产品蹂S6.《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31. 5尺，前九个节气日影长之和为85. 5尺，则谷雨日影长为A. 2.5B. 3.5C.4.5D.5.57.函数，=筌片的图像大致为A.3 B,5 C. 15 D. 209.若直线，与曲线kG和圆/+/=看都相切，则z的方程为A. %—2。
2020-2021学年高三数学(理科)高三第一次调研考试及答案解析
最新高三年级第一次调研考试数学（理科）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{A x y =，2{log 1}B x x =≤，则A B =I （ ） A ．{31}x x -≤≤ B ．{01}x x <≤ C ．{32}x x -≤≤ D ．{2}x x ≤ 【答案】B【解析】{31}A x x =-≤≤，∴{02}B x x =<≤，A B =I {01}x x <≤．2．设i 为虚数单位，复数z 满足i 34i z ⋅=+，则z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D 【解析】34i43i iz +==-，故选D ． 3．已知平面向量a ，b 满足2=a ，1=b ，a 与b 的夹角为120o ，且()(2)λ+⊥-a b a b ，则实数λ的值为（ ）A ．7-B ．3-C ．2D ．3 【答案】D【解析】∵()(2)λ+⊥-a b a b ，∴22()(2)2(21)λλλ+⋅-=-+-⋅a b a b a b a b ， 8(21)930λλλ=---=-=， ∴3λ=．4．若变量,x y 满足约束条件220,330,0.x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则z x y =-的最小值为（ ）A ．3-B ．1C ．2-D ．2 【答案】C5．公差为1的等差数列{}n a 中，136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前10项和为（ ） A ．65 B ．80 C ．85 D ．170 【答案】C【解析】∵2316a a a =⋅，∴2111(2)(5)a d a a d +=⋅+， ∴2111(2)(5)a a a +=⋅+，即14a =．∴101094101852S ⨯=⨯+⨯=． 6．若函数()2sin(2)()2f x x πϕϕ=+<的图像过点(,1)6π，则该函数图像的一条对称轴方程是（ ） A ．12x π=B ．512x π=C ．6x π=D ．3x π=【答案】D【解析】∵()2sin()163f ππϕ=+=，∴1sin()32πϕ+=．∵2πϕ<，5636πππϕ-<+<，∴36ππϕ+=，∴6πϕ=-，()2sin(2)6f x x π=-∵()23f π=，故选D ．7．261(2)()x x x+-的展开式中常数项为（ ）A ．40-B ．25-C ．25D ．55 【答案】B【解析】61()x x-的通项662166(1)(1)r r r r r r rr T C x x C x ---+=-=-，令622r -=-，得4r =；令620r -=，得3r =．∴常数项为443366(1)2(1)25C C -+⋅-=-．8．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（ ） A ．42 B ．25 C ．6 D ．43【答案】D【解析】该几何体为边长为4的正方体的部分，如图，最长的边为43PC =．9．4名同学参加3项不同的课外活动，若每名同学可自由选择参加其中的一项，则每项活动至少有一名同学参加的概率为（ ） A ．49 B ．427 C ．964 D ．364【答案】A【解析】∵23434439C A P ==． CD AB P10．点S 、A 、B 、C的同一球面上，点S 到平面ABC 的距离为12，AB BC CA === 则点S 与ABC ∆中心的距离为（ ）ABC ．1D ．12【答案】B【解析】设球心为O ,ABC ∆中心为1O ，ABC ∆外接圆半径13r ==， 依题意，1OO ⊥平面ABC ，∴11OO ==．作21SO OO ⊥，垂足为2O ，则1212O O =， ∴2O 为1OO的中点，∴1SO SO R ==．11．过点(0,2)b 的直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条斜率为正值的渐进线平行，若双曲线C 的右支上的点到直线l 的距离恒大于b ，则双曲线C 的离心率为取值范围是（ ） A ．(1,2] B ．(2,)+∞ C ．(1,2) D．【答案】A【解析】直线l 的方程为2by x b a=+， ∵双曲线C 的右支上的点到直线l 的距离恒大于b ，直线l 和直线by x a =b ≥，∴2()14b a+≤，∴2223c a a -≤，∴12e <≤． 12．函数2()ln f x x ax x =-+有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ． (0,1)B ．(,1)-∞C ．21(,)e e +-∞D ．21(0,)ee + 【答案】A【解析】2()ln 0f x x ax x =-+=，得2ln 1x a x x =+， 令2ln 1()x g x x x =+，则 24212ln 1()x x xx g x x x⋅-'=-312ln x x x --=， 令()12ln h x x x =--，则2()10h x x'=--<，∴()12ln h x x x =--在(0,)+∞上为单调减函数，∵(1)0h =，∴(0,1)x ∈时，()0h x >，(1,)x ∈+∞时，()0h x <， ∴(0,1)x ∈时，()0g x '>，(1,)x ∈+∞时，()0g x '<， ∴()g x 在1x =处取得极大值，也是最大值， ∵(1)1g =，∴1a <．O 2AC BSOO 1∵1x e=时，2()0g x e e =-+<， x →+∞时，()0g x >，∴0a >， 综上，(0,1)a ∈．二、填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分13．已知(),()f x g x 分别是定义域为R 的奇函数和偶函数，且()()3xf xg x +=，则(1)f 的值为______． 【答案】43【解析】∵()(),()()f x f x g x g x -=--=，∵()()3xf xg x +=，∴(1)(1)31(1)(1)3f g f g +=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，∴(1)(1)31(1)(1)3f g f g +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，∴1343(1)23f -==． 14．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n 值为______． （参考数据：sin150.2588=o ，sin 7.50.1305=o ）【答案】24【解析】由程序框图可知：15．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且倾斜角为4π的直线与抛物线交于,A B 两点，若弦AB 的垂直平分线经过点(0,2)，则p 等于______． 【答案】45【解析】直线AB 的方程为2p y x =-，由222(0)p y x y px p ⎧=-⎪⎨⎪=>⎩，得2220y py p --=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点00(,)x y ，则1202y y y p +==，00322p x y p =+=，∴弦AB 的垂直平分线方程为3()2y p x p -=--，∵弦AB 的垂直平分线经过点(0,2)，∴322p p -=，∴45p =．16．数列{}n a 满足221211,,(2)2,.n n n n n a n a n a a n ---⎧ <⎪=≥⎨≥⎪⎩，若{}n a 为等比数列，则1a 的取值范围是______． 【答案】9[,)2+∞【解析】当212a <时，2224a ==，∵2243a =<，∴2339a ==．∵2394a =<，∴24416a ==．若{}n a 为等比数列，则2324a a a =，即29416=⨯，显然不成立，∴14a ≥．当212a =时，2128a a ==， ∵2283a =<，∴2339a ==．若{}n a 为等比数列，则2213a a a =，即2849=⨯，显然不成立，∴14a ≠．当212a >时，212a a =． ①当2123a <时，2339a ==，若{}n a 为等比数列，则2213a a a =，即211(2)9a a =，194a =与14a >矛盾，故192a ≥． ②当2123a ≥时，312a a =，满足2213a a a =．∴1a 的取值范围是9[,)2+∞．三、解答题：本大题共8小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，60C =o，D 是BC 上一点，31,20,21AB BD AD ===．（1）求cos B 的值；（2）求sin BAC ∠的值和边BC 的长．DBCA【解析】（1）在ABD ∆中，31,20,21AB BD AD ===，根据余弦定理，有222cos 2AB BD AD B AB BD +-=⋅222312021232312031+-==⨯⨯．222cos 2AB BD AD B AB BD+-=⋅（2）∵0B π<<，∴223123sin 1()3131B =-=．∴sin sin[180(600)]sin(60)BAC B B ∠=-+=+o o osin 60cos cos60sin B B =+o o3231123353312=⨯+⨯=． 在ABC ∆中，根据正弦定理，有sin sin BC ABBAC C =∠∠, ∴35331sin 6235sin 32AB BAC BC C ⨯∠===∠．18．（本小题满分12分）根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位X （单位：米）的频率分布直方图如下：将河流水位在以上6段的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位互不影响 （1）求未来三年，至多有1年河流水位[27,31)X ∈的概率（结果用分数表示）；（2）该河流对沿河A 企业影响如下：当[23,27)X ∈时，不会造成影响；当[27,31)X ∈时，损失10000元；当[31,35)X ∈时，损失60000元，为减少损失，现有种应对方案： 方案一：防御35米的最高水位，需要工程费用3800元； 方案二：防御不超过31米的水位，需要工程费用2000元； 方案三：不采取措施；试比较哪种方案较好，并请说理由．【解析】（1）由二项分布得，在未来3年，至多有1年河流水位[27,31)X ∈的概率为：031213333127()()()44432P C C =+=． ∴在未来3年，至多有1年河流水位[27,31)X ∈的概率为2732． （2）由题意可知(2327)0.74P X ≤<=，(2731)0.25P X ≤<=，(3135)0.01P X ≤<=，用123,,X X X 分别表示采取方案1,2,3的损失，由题意知13800X =，X 的分布列如下：20.012600⨯=．X 的分布列如下：30.013100⨯=．因为采取方案2的平均损失最小，所以采取方案2较好． 19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=o ，PA PB ⊥，2PC =． （1）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）若PA PB =，求二面角A PC D --的余弦值.【解析】（1）取AB 中点O ，连接AC 、CO 、PO ， ∵四边形ABCD 是边长为2的菱形，∴2AB BC ==． ∵60ABC ∠=o ，∴ABC ∆是等边三角形． ∴CO AB ⊥，OC =∵PA PB ⊥，∴112PO AB ==．∵2PC =，∴222OP OC PC +=．∴CO PO ⊥． ∵AB PO O =I ，∴CO ⊥平面PAB ．∵CO ⊂平面ABCD ，∴平面PAB ⊥平面ABCD ．（2）∵22222211OP OA PA +=+==，∴PO AO ⊥． 由（1）知，平面PAB ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥平面∴直线,,OC OB OP 两两垂直．∴以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -,如图，则(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),2,0),(0,0,1)O A B C D P --．∴(0,1,1),1),(0,2,0)AP PC DC ==-=u u u r u u u r u u u r． 设平面APC 的法向量为(,,)x y z =，由00AP PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rm m ，得00y z z +=⎧⎪-=，取1x =，得(1,=m ， PADCBD设平面PCD 的法向量为(,,)x y z =n ，由00PC DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n，得020z y -==⎪⎩，取1x =，得=n ，∴cos ,7⋅<>==⋅m n m n m n ，由图可知二面角A PC D --为锐二面角， ∴二面角A PC D --．20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为2，直线0x y ++=与椭圆E 仅有一个公共点（1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 被圆22:3O x y +=截得的弦长为3，且与椭圆E 交于,A B 两点，求ABO ∆面积的最大值． 【解析】（1）∵2c e a ===，∴222a b =．∴故E 方程可化为222212x y b b +=，由2222012x y x y bb ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，得223620x b ++-=，∴2212(62)0b ∆=--=，解得21b =． ∴椭圆E 的方程为2212x y +=． （2）记O 到直线l 的距离为d ，由垂径定理可得223()32d +=，解得d =当直线l 与y 轴平行，由题意可得直线l的方程为x =±．由22212x x y ⎧=±⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得4y =±，∴2AB =．∴128ABO S AB d ∆=⋅=． 当直线l 与y 轴不平行，设直线l 的方程为y kx m =+，∴d ==223(1)4m k =+．由2212y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2221()2102k x kmx m +++-=． ∴222222151(2)4()(1)4220222k km k m k m ∆=-+-=-+=+>， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则2121222422,2121km m x x x x k k -+=-=++．∴221212(1)[()4]AB k x x x x =++-2222(22)(51)(21)k k k ++=+424210122441k k k k ++=++24212522441k k k -=+++， 令2122t k =-，则12t ≥-． 2555269922293332444t t t AB t t t t t t=+=+≤+=+++++⋅，当且仅当32t =时，等号成立， ∵2652>，∴当32t =时，即1k =±时，max 12632()232ABO S h ∆=⨯⋅=．∵303282<，∴1k =±时，max 32()2ABO S ∆=．21．（本小题满分12分）已知函数()(1)xf x x e =+和函数2()()(1)xg x e a x =--（e 为自然对数的底数）．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）判断函数()g x 的极值点的个数，并说明理由； （3）若函数()g x 存在极值为22a ，求a 的值.【解析】（1）()(2)xf x x e '=+，令()0f x '>，解得2x >-．∴()f x 的单调增区间为(2,)-+∞，减区间为(,2)-∞-．（2）()(1)[(1)2)(1)[()2)xg x x x e a x f x a '=-+-=--，当(,1)x ∈-∞-，()(1)0xf x x e =+≤．①当0a e <<时，由（1）知，()f x 在(1,)-+∞单调增，且(1)20,(1)2220f a f a e a --<-=->， ∴∃唯一的0(1,1)x ∈-，使得0()0f x =．当0(,)x x ∈-∞时，()20f x a -<，故()0g x '>．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在直角ABC ∆中，AB BC ⊥，D 为BC 边上异于,B C 的一点，以AB 为直径作圆O ，并分别交,AC AD 于点,E F ．（1）证明：,,,C E F D 四点共圆；（2）若D 为BC 的中点，且3AF =，1FD =，求AE 的长．【解析】（1）连结EF 、BE ，则ABE AFE ∠=∠， ∵AB 是⊙O 的直径，∴AE BE ⊥． ∵AB BC ⊥，∴ABE C ∠=∠， ∴AFE C ∠=∠，即180EFD C ∠+∠=o， ∴,,,C E F D 四点共圆．（2）∵AB BC ⊥，AB 是⊙O 的直径，∴BC 是 O 的切线，24DB DF DA =⋅=，即2BD =．∴AB ==∵D 为BC 的中点，∴4BC =，AC ==∵,,,C E F D 四点共圆，∴AE AC ⋅=∴12=,即7AE =．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为cos (sin x t t y t αα=⎧⎨=⎩为参数，0)απ<<，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为(0)1cos pp ρθ=>-．（1）写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求11OA OB+的值． 【解析】（1）由cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩，得当2πα=时，直线为0x =，其极坐标方程为2πθ=和32πθ=；当2πα≠时，消去参数t 得tan y x α=⋅，又0απ<<，∴直线l 是过原点且倾斜角为α的直线， ∴直线l 的极坐标方程为θα=和θαπ=+综上所述，直线l 的极坐标方程为θα=和(0)θαπαπ=+<<．由1cos pρθ=-，得cos p ρρθ-=，∵222x y ρ=+，cos x ρθ=，∴222()x y x p +=+，整理得22()2py p x =+．（2）设1122(,),(,)A B ρθρθ，由1cos p θαρθ=⎧⎪⎨=⎪-⎩，11cos p ρθ=-，即1cos p OA θ=-, 由1cos p θαπρθ=+⎧⎪⎨=⎪-⎩，21cos p ρθ=+，即1cos p OB θ=+, ∴111cos 1cos 2OA OB p p pθθ-++=+=． 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()3()f x x a x a R =++-∈． （1）当1a =时，求不等式()8f x x ≥+的解集； （2）若函数()f x 的最小值为5，求a 的值． 【解析】（1）当1a =时，不等式()8f x x ≥+ 可化为138x x x ++-≥+，∴1228x x x <-⎧⎨-≥+⎩，或1348x x -≤<⎧⎨≥+⎩，或3228x x x ≥⎧⎨-≥+⎩，解得2x ≤-，或10x ≥，∴原不等式的解集为(,2][10,)-∞-+∞U ．（2）∵()3f x x a x =++-()(3)3x a x a ≥+--=+，令35a +=，解得2a =，或8a =-．。
河南省郑州市名校2021届新高三第一次调研考试联考数学（理）试题答案
3 （I）证明如下：（6 分） （2） （5 分）建系存在多种建法（1 分）
5
数学（理科）参考答案第 1 页（共 5 页）
18.（12 分）
2
2
（1）AP P1P2 ，即（cos( ) 1）2 sin 2 ( ) (cos cos )2 (sin sin )2.
即cos( ) cos cos - sin sin
（2 分）
将曲线 C 的极坐标方程化为 2 2
2
2 sin
2
2
2
cos .
即 2 2sin 2cos .∴x2+y2=2y+2x.
x 12 y 12 2
故曲线 C 的直角坐标方程为
.
（2）将直线 l 的参数方程代入 x 12 y 12 2 中，
（5 分）
1
2
3
2
得
28k 4 44k 2 7 9 2k 2 1 2 ．
1
设 t 2k 2 1 1， u 0,1 ，
t
则
S1 1 S2 2
7t 2 8t 8 1
9
t2
2
88
1
16
t2 t
2
8u 2
8u
16
2,
3
2 ．
2
S1
3 2 2,
S2 的取值范围 2 ．
（12 分）
22.（1）将直线 l 的参数方程消去参数 t 并化简，得 直线 l 的普通方程为 3x y 1 0 . 数学（理科）参考答案第 4 页（共 5 页）
（10 分）
23.（10 分）答案略.
上述试题若有不当之处，欢迎指正！
数学（理科）参考答案第 5 页（共 5 页）
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河南省郑州市名校联考2021届新高三第一次调研考试数学（理科）
试题卷
一、单选题
(★) 1. 若集合，，则（）
A．B．C．D．
(★★★) 2. 已知是关于的方程（）的一个根，则
A．B．C．D．
(★★) 3. 等比数列中，，，则与的等比中项是
A．B．4C．D．
(★★) 4. 罗德岛太阳神巨像是古代世界七大奇迹之一.它是希腊太阳神赫利俄斯的青铜铸像,高约33米.如图所示，太阳神赫利俄斯手中所持的几何体(含火焰)近似是一个底面相同的倒立的两个圆锥，正方向投影过去，其平面几何图形形状为一个角为60°，边长为2的菱形.现在其中一个圆锥中放置一个球体，使得球与母线、底面相切，则该球球的表面积为（）
A．B．C．D．
(★★) 5. 要得到函数的图像，只需将函数的图像（）
A．向右平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向左平移个单位
(★★) 6. 按照程序框图(如图)执行，第3个输出的数是（）
A．3B．4C．5D．6
(★) 7. 总体由编号为01，02，...，39，40的40个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表（如表）第1行的第4列和第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）
A．23B．21C．35D．32
(★★) 8. 在空间中， a､ b､ c是三条不同的直线，､是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，则
(★★) 9. 抛物线上的一点到焦点的距离为1，则点的纵坐标是（）
A．B．C．D．
(★★) 10. 甲､乙､丙､丁四位同学站成一排照相,则甲.乙两人中至少有一人站在两端的概率为( )
A．B．C．D．
(★★) 11. 已知双曲线的渐近线与圆相切，则该双曲线的离心率等于（）
A．B．C．D．
(★★★) 12. 若函数 f（ x）＝ alnx（a∈ R）与函数 g（ x）在公共点处有共同的切线，则实数 a的值为（）
A．4B．C．D．e
二、填空题
(★) 13. 已知函数为奇函数，若，则．
(★★) 14. 已知实数，满足约束条件，则的最大值_______．
(★★★★) 15. 在棱长为3的正方体中，点，分别是棱，的中点，过，，三点作正方体的截面，将截面多边形向平面作投影，则投影图形的面积为______．
三、双空题
(★★★) 16. 设数列满足，，且，若表示不超过 x的最
大整数，①求_______；②则___________.
四、解答题
(★★) 17. 如图，在菱形中，，，对角线与交于点，点，
分别在，上，满足，交于点.将沿折到的
位置，.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求与平面所成的角的正弦值.
(★★★)18. 如图，考虑点，，，，从这个图出发.
（1）推导公式：；
（2）利用（1）的结果证明：，并计算的
值.
(★★★) 19. 为实现有效利用扶贫资金，增加贫困村民的收入，扶贫工作组结合某贫困村水质
优良的特点，决定利用扶贫资金从外地购买甲、乙、丙三种鱼苗在鱼塘中进行养殖试验，试验
后选择其中一种进行大面积养殖，已知鱼苗甲的自然成活率为0.8.鱼苗乙，丙的自然成活率均
为0.9，且甲、乙、丙三种鱼苗是否成活相互独立.
（1）试验时从甲、乙，丙三种鱼苗中各取一尾，记自然成活的尾数为，求的分布列和数
学期望；
（2）试验后发现乙种鱼苗较好，扶贫工作组决定购买尾乙种鱼苗进行大面积养殖，为提高
鱼苗的成活率，工作组采取增氧措施，该措施实施对能够自然成活的鱼苗不产生影响.使不能自
然成活的鱼苗的成活率提高了50%.若每尾乙种鱼苗最终成活后可获利10元，不成活则亏损2元，且扶贫工作组的扶贫目标是获利不低于37.6万元，问需至少购买多少尾乙种鱼苗？
(★★★) 20. 已知函数，在处的切线与直线垂直，函数
．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）设，是函数的两个极值点，若，求的最小值．
(★★★★) 21. 已知椭圆方程为．
（1）设椭圆的左右焦点分别为、，点在椭圆上运动，求的值；（2）设直线和圆相切，和椭圆交于、两点，为原点，线段、分别
和圆交于、两点，设、的面积分别为、，求的取值范围．(★★★) 22. 在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为（为参数）.在以
坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲线的
极坐标方程是.
（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）设点.若直与曲线相交于两点,求的值.
(★★★) 23. 已知.
（1）求使得的的取值集合；
（2）求证：对任意实数，，当时，恒成立.。