2014届高考数学一轮复习精品题集之平面向量
2014年高考复习之数学平面向量知识点总结
2014年高考数学必修4之平面向量知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB 几何表示法 AB ，a ；坐标表示法,(y x yj xi a =+=向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a｜向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0⇔｜a｜＝0 由于0 的方向是任意的，且规定0 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量⇔｜0a｜＝1④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量a ∥b由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a=大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设,AB a BC b == ，则a +b =AB BC +=AC（1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD PQ QR AR +++++=，但这时必须“首尾相连”．3向量的减法① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量记作a-,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有： （i ）)(a --=a ； (ii) a +(a -)=(a -)+a =0； (iii)若a 、b是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =0②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b的差， 记作：(b a b a-+=-求两个向量差的运算，叫做向量的减法③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）4实数与向量的积：①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a⋅=λλ；（Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a的方向相反；当0=λ时，0=a λ，方向是任意的②数乘向量满足交换律、结合律与分配律 5两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ6平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 7 特别注意:（1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件 （3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点例1 给出下列命题：① 若|a |＝|b |，则a =b；② 若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③ 若a =b ，b =c ，则a =c ，④a =b 的充要条件是|a |=|b |且a //b；⑤ 若a //b ，b //c ，则a //c ，其中正确的序号是解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．② 正确．∵ AB DC = ，∴ ||||AB DC =且//AB DC ，又 A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴ 四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则，//AB DC 且||||AB DC = ，因此，AB DC = ．③ 正确．∵ a =b ，∴ a ，b的长度相等且方向相同；又b ＝c ，∴ b ，c的长度相等且方向相同，∴ a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c ．④ 不正确．当a //b 且方向相反时，即使|a |=|b |，也不能得到a =b ，故|a|=|b |且a //b 不是a =b的充要条件，而是必要不充分条件． ⑤ 不正确．考虑b =0这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是②③．点评：本例主要复习向量的基本概念．向量的基本概念较多，因而容易遗忘．为此，复习一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想．例2 设A 、B 、C 、D 、O 是平面上的任意五点，试化简：①AB BC CD ++ ，②DB AC BD ++ ③OA OC OB CO --+- 解：①原式= ()AB BC CD AC CD AD ++=+=②原式= ()0DB BD AC AC AC ++=+=③原式= ()()()0OB OA OC CO AB OC CO AB AB -+--=-+=+=例3设非零向量a 、b 不共线，c =k a +b ，d =a +k b (k ∈R)，若c ∥d，试求k解：∵c ∥d∴由向量共线的充要条件得：c=λd (λ∈R)即 k a +b =λ(a +k b ) ∴(k -λ) a+ (1-λk ) b = 0又∵a 、b不共线∴由平面向量的基本定理 1010±=⇒⎩⎨⎧=-=-k k k λλ二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+，由于a与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a 的坐标，记作a =(x,y)，其中x 叫作a在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关2平面向量的坐标运算：(1) 若()()1122,,,a x y b x y == ，则()1212,a b x x y y ±=±±(2) 若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =--(3) 若a =(x,y)，则λa=(λx, λy)(4) 若()()1122,,,a x y b x y == ，则1221//0a b x y x y ⇔-=(5) 若()()1122,,,a x y b x y == ，则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅若a b ⊥，则02121=⋅+⋅y y x x3向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质例1 已知向量(1,2),(,1),2a b x u a b ===+，2v a b =-，且//u v ，求实数x 的值解：因为(1,2),(,1),2a b x u a b ===+ ，2v a b =-所以(1,2)2(,1)(21,4)u x x =+=+ ，2(1,2)(,1)(2,3)v x x =-=-又因为//u v所以3(21)4(2)0x x +--=，即105x =解得12x =例2已知点)6,2(),4,4(),0,4(C B A ,试用向量方法求直线AC 和OB （O 为坐标原点）交点P 的坐标解：设(,)P x y ，则(,),(4,)OP x y AP x y ==-因为P 是AC 与OB 的交点所以P 在直线AC 上，也在直线OB 上即得//,//OP OB AP AC由点)6,2(),4,4(),0,4(C B A 得，(2,6),(4,4)AC OB =-=得方程组6(4)20440x y x y -+=⎧⎨-=⎩解之得33x y =⎧⎨=⎩故直线AC 与OB 的交点P 的坐标为(3,3)三．平面向量的数量积 1两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a︱·︱b ︱cos θ叫做a 与b的数量积（或内积） 规定00a ⋅=2向量的投影：︱b ︱cos θ=||a ba ⋅ ∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义： a ·b 等于a的长度与b 在a 方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅==5乘法公式成立：()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=- ；()2222a b a a b b±=±⋅+ 222a a b b =±⋅+6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a ⋅=⋅②对实数的结合律成立：()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅ ()c a b =⋅±特别注意：（1）结合律不成立：()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅；（2）消去律不成立a b a c ⋅=⋅不能b c =⋅（3）a b ⋅=0不能a =0 或b =07两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y == ，则a ·b=1212x x y y +8向量的夹角：已知两个非零向量a与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ（01800≤≤θ）叫做向量a 与b的夹角cos θ=cos ,a ba b a b ∙<>=∙当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直，记作a ⊥b10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b＝O ⇔2121=+y y x x例1 判断下列各命题正确与否：（1）00a ⋅=；（2）00a ⋅= ；（3）若0,a a b a c ≠⋅=⋅，则b c = ；⑷若a b a c ⋅=⋅，则b c ≠ 当且仅当0a = 时成立； （5）()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 对任意,,a b c向量都成立；（6）对任意向量a ，有22a a =解：⑴错； ⑵对； ⑶错； ⑷错； ⑸ 错；⑹对例2已知两单位向量a 与b 的夹角为0120，若2,3c a b d b a =-=- ，试求c 与d 的夹角解：由题意，1a b == ，且a 与b 的夹角为0120，所以，01cos1202a b a b ⋅==- ，2c c c =⋅= (2)(2)a b a b -⋅-22447a a b b =-⋅+= ， c ∴=同理可得d ∴=而c d ⋅= 2217(2)(3)7322a b b a a b b a -⋅-=⋅--=- ，设θ为c 与d的夹角，则1829117137217cos -==θ 1829117arccos -=∴πθ 点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑例3 已知()4,3a = ，()1,2b =- ，,m a b λ=-2n a b =+ ，按下列条件求实数λ的值（1）m n ⊥ ；（2）//m n ；(3)m n =解：()4,32,m a b λλλ=-=+- ()27,8n a b =+=∴（1）m n ⊥ ()()082374=⨯-+⨯+⇒λλ952-=⇒λ；（2）//m n ()()072384=⨯--⨯+⇒λλ21-=⇒λ；(3)m n = ()()088458723422222=--⇒+=-++⇒λλλλ=⇒λ点评：此例展示了向量在坐标形式下的基本运算。
2014年数学一轮复习试题_平面向量的应用
第二十六讲 平面向量的应用一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．(2010·全国Ⅰ)已知圆O 的半径为1，P A 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么P A ·PB 的最小值为( )A ．－4＋2B ．－3＋ 2C ．－4＋2 2D ．－3＋2 2解析：设|||PA PB = ，∠APB ＝θ，则tan θ2＝1x ，cos θ＝x 2－1x 2＋1，则P AP B ＝x 2·x 2－1x 2＋1＝x 4－x 2x 2＋1＝(x 2＋1)2－3(x 2＋1)＋2x 2＋1＝x 2＋1＋2x 2＋1－3≥22－3，当且仅当x 2＋1＝2，即x 2＝2－1时，取“＝”，故PA PB的最小值为22－3，故选D. 答案：D2．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：依题意得3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝1＋cos(A ＋B )，3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )，3sin C ＋cos C ＝1,2sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6＝1，sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6＝12.又π6<C ＋π6<7π6，因此C ＋π6＝5π6，C ＝2π3，选C.答案：C3．已知两点M (－3,0)，N (3,0)，点P 为坐标平面内一动点，且||||0,MN MP MNoNP +=＝0，则动点P (x ，y )到点M (－3,0)的距离d 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析:因为M(-3,0),N(3,0),所以(6,0),||6,MN MN MP ===(x+3,y),NP =(x-3,y).由||||MN MP MN NP + =0得化简得y 2=-12x,所以点M 是抛物线y 2=-12x 的焦点,所以点P 到M 的距离的最小值就是原点到M(-3,0)的距离,所以d min =3.答案：B4．在△ABC 中，已知a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且a 、b 、c 成等比数列，a ＋c ＝3，cos B ＝34，则AB BC 等于( )A.32B ．－32C ．3D ．－3解析：由已知b 2＝ac ，a ＋c ＝3，cos B ＝34，得34＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(a ＋c )2－3ac2ac，解得ac ＝2.则AB ·BC ＝ac ·cos 〈AB ，BC 〉＝2×⎝⎛⎭⎫－34＝－32. 答案：B5．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为( )A ．6B ．2C ．2 5D ．27解析：F 23＝F 21＋F 22＋2|F 1||F 2|cos60°＝28，所以|F 3|＝27，选D. 答案：D6．若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足()(2)0,OB OC OB OC OA -+-= ＝0，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．以上都不对解析：由已知得()0,CB AB AC += ＝0，设BC 中点为D ， 则0CB AD =，即中线AD 与高线重合，∴△ABC 为等腰三角形．答案：C二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．若等边△ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM ＝16CB ＋23,CA 则MA MB ＝_____.解析：建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件可知A (0,3)，B (－3，0)，M (0,2)，∴MA ＝(0,1)，MB ＝(－3，－2)．∴MA MB＝－2.答案：－28．在长江南岸渡口处，江水以12.5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为________．解析：如图所示，渡船速度为OB ，水流速度为OA ，船实际垂直过江的速度为,OD依题意知|OA |＝12.5＝252，|OB|＝25. ∵OD OB OA =+ ，∴OD OA OB OA OA =+ 2， ∵OD ⊥OA ，∴OD ·OA ＝0，∴25×252cos(∠BOD ＋90°)＋⎝⎛⎭⎫2522＝0，∴cos(∠BOD ＋90°)＝－12，∴sin ∠BOD ＝12，∴∠BOD ＝30°，∴航向为北偏西30°.答案：北偏西30°9．△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，()OH m OA OB OC =++则实数m ＝________.解析：取BC 的中点D ，则2,OB OC OD +=，且OD ⊥BC ，AH ⊥BC . 由()OH m OA OB OC =++ ，可得(2)OA AH m OA OD +=+ ， ∴(1)2.AH m OA mOD =-+ .(1)2,AH BC m OA BC m OD BC =-+即0＝(m －1)·OA BC＋0，故m ＝1.答案：110．已知|a |＝2，|b |＝4，a 与b 的夹角为π3，以a ，b 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为________．解析：画图可知，较短一条对角线的长度为 |a |2＋|b |2－2|a ||b |cos π3＝22＋42－2×2×4×12＝2 3.答案：2 3三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．已知a ＝(1，x )，b ＝(x 2＋x ，－x )，m 为实数，求使m (a ·b )2－(m ＋1)a ·b ＋1<0成立的x 的取值范围．解：∵a ·b ＝x 2＋x －x 2＝x . ∴m (a ·b )2－(m ＋1)a ·b ＋1<0⇔mx 2－(m ＋1)x ＋1＜0. (1)当m ＝0时，x ＞1.(2)当m ≠0时，m (x －1m)(x －1)<0，①当m <0时，x >1或x <1m . ②当0<m <1时，1<x <1m .③当m ＝1时，x ∈∅. ④当m >1时，1m<x <1.12．在▱ABCD 中，A (1,1)，AB＝(6,0)，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P .(1)若AD＝(3,5)，求点C 的坐标；(2)当|AB |＝|AD|时，求点P 的轨迹．解：(1)设点C 的坐标为(x 0，y 0)，又AC AD AB =+＝(3,5)＋(6,0)＝(9,5)，即(x 0－1，y 0－1)＝(9,5)，∴x 0＝10，y 0＝6，即点C (10,6)．(2)设P (x ，y )，则BP AP AB =-＝(x －1，y －1)－(6,0)＝(x －7，y －1)，AC AM MC =+ ＝123AB MP + ＝1113()222AB AP AB =+-＝3AP AB -＝(3(x －1),3(y －1))－(6,0)＝(3x －9,3y －3)．∵||||AB AD =，∴▱ABCD 为菱形．∴BP ⊥AC ，∴(x －7，y －1)·(3x －9,3y －3)＝0，即(x －7)(3x －9)＋(y －1)(3y －3)＝0.∴x 2＋y 2－10x －2y ＋22＝0(y ≠1)． 故点P 的轨迹是以(5,1)为圆心，2为半径的圆且去掉与直线y ＝1的两个交点．13．已知OM ＝(cos α，sin α)，ON ＝(cos x ，sin x )，PQ ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－sin x ＋45cos α. (1)当cos α＝45sin x时，求函数y ＝ON PQ 的最小正周期；(2)当OM ON ＝1213，OM PQ ∥，α－x ，α＋x 都是锐角时，求cos2α的值．解：(1)∵cos α＝45sin x ，∴y ＝cos 2x －sin 2x ＋4sin x5cos α＝cos2x ＋sin 2x ＝cos2x ＋1－cos2x 2＝12cos2x ＋12，∴该函数的最小正周期是π. (2)∵OM ON＝cos αcos x ＋sin αsin x ＝cos(α－x )＝1213，且α－x 是锐角， ∴sin (α－x )＝1－cos 2(α－x )＝513，∵OM PQ ∥，∴－cos αsin x ＋45－sin αcos x ＝0，即sin(α＋x )＝45.∵α＋x 是锐角，∴cos(α＋x )＝1－sin 2(α＋x )＝35，∴cos2α＝cos[(α＋x )＋(α－x )]＝cos (α＋x )cos(α－x )－sin(α＋x )sin(α－x )＝35×1213－45×513＝1665，即cos2α＝1665.。
2014届一轮复习数学试题选编11平面向量(学生版)
填空题 1 ． （江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市 2013 届高三第三次调研测试数学试卷）在平
面四边形 ABCD 中,点 E,F 分别是边 AD,BC 的中点,且 AB 1 , EF 2 ,CD 3 .
uuu r uuu r uuu r uuu r 若 AD BC 15 ,则 AC BD 的值为______.
12． （江苏省 2013 届高三高考模拟卷（二） （数学） ）在边长为 3 的正方形 ABCD 中,E 为 DC
→ → 的中点,AE 与 BD 相交于点 F,则 FD · DE 的值为_______.
13 ． （ 南 京 市 、 淮 安 市 2013 届 高 三 第 二 次 模 拟 考 试 数 学 试 卷 ） 在 ABC 中 , 已 知
→
→ → → → → =(3,-1), OB =(0,2).若 OC · AB =0, AC =λ OB ,则实数 λ 的值为________.
8 ． （江苏省南京市四校 2013 届高三上学期期中联考数学试题）已知向量 a 的模为 2,向量 e 为
单位向量, e (a e) ,则向量 a 与 e 的夹角大小为_______.
22 ．（ 2011 年 高 考 （ 江 苏 卷 ）） 已 知
量, a e1 2e2 , b ke1 e2 ,若 a b 0 ,则实数 k 的值为______
23． （江苏省姜堰市 2012—2013 学年度第一学期高三数学期中调研(附答案) ）已知点 A(1,1),
, ________________ .
2 2 PA PB 4
2014届高三数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编10：平面向量
2014届高三数学一轮复习考试试题精选（1）分类汇编10：平面向量一、填空题 1 ．（江苏省宿迁市2014届高三上学期第一次摸底考试数学试卷）已知非零向量，a b 满足(2)(2)-⊥-⊥，，a b a b a b 则向量a 与b 的夹角为______.【答案】π32 ．（江苏省南京市2014届高三9月学情调研数学试题）如图,在△ABC 中,D,E 分别为边BC,AC的中点. F 为边AB 上. 的,且,则x+y 的值为____【答案】523 ．（江苏省徐州市2014届高三上学期期中考试数学试题）已知O 是ABC ∆的外心,10,6==AC AB ,若ACy AB x AO ⋅+⋅=且5102=+y x ,则=∠BAC cos _____________.【答案】314 ．（江苏省盐城市2014届高三上学期期中考试数学试题）在ABC ∆中,若22()||5CA CB AB AB +⋅= ,则tan tan AB= ________. 【答案】735 ．（江苏省兴化市2014届高三第一学期期中调研测试）已知在ABC∆中,3==BC AB ,4=AC ,设O 是ABC ∆的内心,若AC n AB m AO +=,则=n m :__★__.【答案】3:4 提示一:利用夹角相等,则有ACAC AO AB AB AO ⋅=⋅||.提示二:利用角平分线定理,根据相似比求得AC AB AO 103104+=6 ．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三10月月考数学试题）已知非零向量a ,b 满足|a |=|a +b |=1,a 与b 夹角为120°,则向量b 的模为________.【答案】17 ．（江苏省启东中学2014届高三上学期期中模拟数学试题）如图, 在等腰三角形ABC 中, 底边2=BC , DC AD =, 12AE EB = , 若12BD AC ⋅=- , 则AB CE ⋅=_____.【答案】43-8 ．（江苏省无锡市2014届高三上学期期中调研考试数学试题）在ABC ∆中,M 为AB 的的三等分点,:1:3,AM AB N =为AC 的中点,BN 与CM 交于点E ,,AB m AC n ==,则AE =_____________________.【答案】1255m n +9 ．（江苏省常州市武进区2014届高三上学期期中考试数学(理)试题）在平面直角坐标系中,O是坐标原点,()2,0A ,()0,1B ,则点集{},1,,P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的平面区域的面积是________.【答案】410．（江苏省兴化市2014届高三第一学期期中调研测试）设向量a 、b 满足:|a |3=,|b |1=,a·b 23=,则向量a 与b 的夹角为__★__. 【答案】6π 11．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三10月月考数学试题）向量b n a m b a --==若),3,2(),2,1(与b a 2+共线(其中,,0m m n R n n∈≠且）则等于_.【答案】21-12．（江苏省无锡市市北高中2014届高三上学期期初考试数学试题）已知a 、b 、c都是单位向量,且a b c += ,则a c ⋅的值为_________.【答案】1213．（江苏省盐城市2014届高三上学期期中考试数学试题）在ABC ∆中,6BC =,BC 边上的高为2,则AB AC ⋅的最小值为________.【答案】5-14．（江苏省无锡市市北高中2014届高三上学期期初考试数学试题）已知ABC ∆是边长为4的正三角形,D 、P 是ABC ∆内部两点,且满足11(),48AD AB AC AP AD BC =+=+,则APD ∆的面积为__________.【答案】3415．（江苏省南京市第五十五中学2014届高三上学期第一次月考数学试题）P 是ABC ∆所在平面内一点,若PB PA CB +=λ,其中R ∈λ,则P 点一定在(A)ABC ∆内部 (B)AC 边所在直线上 (C)AB 边所在直线上 (D)BC 边所在直线上【答案】B16．（江苏省启东中学2014届高三上学期期中模拟数学试题）已知)2s i n ,2(),sin ,1(2x b x a ==,其中()0,x π∈,若a b a b ⋅=⋅,则tan x =_____. 【答案】1;17．（江苏省泰州中学2014届第一学学期高三数学摸底考试）在平面直角坐标系x O y 中,已知=(3,﹣1),=(0,2).若•=0,=λ,则实数λ的值为__________.【答案】218．（江苏省泰州市姜堰区2014届高三上学期期中考试数学试题）如图,,,A B C 是直线上三点,P 是直线外一点,1==BC AB ,︒=∠90APB ,︒=∠30BPC ,则PA PC ⋅=________.【答案】74-19．（江苏省南莫中学2014届高三10月自主检测数学试题）已知向量a 的模为2,向量e 为单位向量,)(e a e -⊥,则向量a 与e 的夹角大小为_______.【答案】3π; 20．（江苏省诚贤中学2014届高三上学期摸底考试数学试题）已知向量a 与b 的夹角为60º,300lABCP且|a |=1,|b |=2,那么2()+a b 的值为________.【答案】721．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三10月月考数学试题）已知O 为△ABC 的外心,,120,2,20=∠==BAC aAC a AB 若AC AB AO βα+=,则βα+的最小值为____【答案】222．（江苏省泰州市姜堰区张甸中学2014届高三数学期中模拟试卷）已知平面向量(1,2)a = ,(1,3)b =-,则a 与b 夹角的余弦值为___________【答案】22; 23．（江苏省常州市武进区2014届高三上学期期中考试数学(理)试题）已知b a ,是非零向量且满足a b a ⊥-)(2,b a b ⊥-)(2,则a 与b 的夹角是________.【答案】3π24．（江苏省扬州中学2014届高三开学检测数学试题）已知正方形ABCD 的边长为1，若点E 是AB 边上的动点，则DC DE ⋅的最大值为 ▲ .【答案】125．（江苏省淮安市车桥中学2014届高三9月期初测试数学试题）若向量→a 、→b 满足|→a |=1,|→b|=2,且→a 与→b 的夹角为π3,则|→a +2→b |=_______【答案】2126．（江苏省连云港市赣榆县清华园双语学校2014届高三10月月考数学试题）已知向量a =(2,1),a ·b =10,|a +b |52=,则|b |=__________【答案】527．（江苏省盐城市2014届高三上学期期中考试数学试题）设向量(1,),(3,4)a x b ==- ,若//a b,则实数x 的值为________.【答案】43-28．（江苏省常州市武进区2014届高三上学期期中考试数学(理)试题）已知向量(1,3)=a ,(2,1)=-b ,(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 共线,则实数k =________. 【答案】1-29．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三10月月考数学试题）若等腰梯形ABCD中,//AB CD ,3AB =,2BC =,45ABC ∠=,则AC BD ⋅的值为____________【答案】330．（江苏省苏州市2014届高三暑假自主学习测试（9月）数学试卷）设x ∈R,向量(,1),(3,2)x ==-a b 且⊥a b ,则x = ______. 【答案】2331．（江苏省无锡市洛社高级中学2014届高三10月月考数学试题）设平面向量(1,2)a =,与向量(1,2)a =共线的单位向量坐标为_______.【答案】525(,)55或255(,)55-- 32．（江苏省扬州市扬州中学2014届高三10月月考数学试题）已知向量(12,2)a x =-,()2,1b - =,若→→b a //,则实数x =______.【答案】25 二、解答题33．（江苏省南莫中学2014届高三10月自主检测数学试题）设(,1)a x = ,(2,1)b =- ,(,1)c x m m =--(,x m ∈∈R R ). (Ⅰ)若a 与b的夹角为钝角,求x 的取值范围; (Ⅱ)解关于x 的不等式a c a c +<- .【答案】(1)由题知:210a b x ⋅=-< ,解得12x <;又当2x =-时,a 与b 的夹角为π,所以当a 与b 的夹角为钝角时, x 的取值范围为1(,2)(2,)2-∞-⋃-(2)由a c a c +<-知,0a c ⋅< ,即(1)[(1)]0x x m ---<;当2m <时,解集为{11}x m x -<<; 当2m =时,解集为空集;当2m >时,解集为{11}x x m <<-34．（江苏省徐州市2014届高三上学期期中考试数学试题）设向量(2,sin ),(1,cos ),a b θθθ==为锐角.(1)若136a b ⋅= ,求sin cos θθ+的值;(2)若//a b ,求sin(2)3πθ+的值.【答案】解:(1)因为a ·b =2 + sin θcos θ =136 , 所以sin θcos θ = 16, 所以(sin θ +cos θ)2= 1+2sin θcos θ = 34 .又因为θ为锐角,所以sin θ + cos θ =233(2)因为a ∥b ,所以tan θ = 2,所以sin2θ = 2sin θcos θ = 2sin θcos θsin 2θ+cos 2θ = 2tan θtan 2θ+1 = 45 , cos2θ = cos 2θ-sin 2θ = cos 2θ-sin 2θsin 2θ+cos 2θ = 1-tan 2θtan 2θ+1 = — 35所以sin(2θ+ π3 ) = 12 sin2θ + 32 cos2θ = 12 ×45+32 ×(-35) = 4-331035．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三10月月考数学试题）已知在等边三角形ABC中,点P 为线段AB 上一点,且(01)AP AB =≤≤λλ.(1)若等边三角形边长为6,且13=λ,求CP ; (2)若CP AB PA PB ⋅≥⋅,求实数λ的取值范围.【答案】(1)当13=λ时,13AP AB = , 2222221()262622282CP CA AP CA CA AP AP =+=+⋅+=-⨯⨯⨯+= .∴||27CP =(2)设等边三角形的边长为a ,则221()()2CP AB CA AP AB CA AB AB a a ⋅=+⋅=+λ⋅=-+λ ,222()()PA PB PA AB AP AB AB AB a a ⋅=⋅-=λ⋅-λ=-λ+λ即2222212a a a a -+λ≥-λ+λ,∴21202λ-λ+≤,∴222222-+≤λ≤. 又00≤λ≤,∴2212-≤λ≤. 36．（江苏省无锡市2014届高三上学期期中调研考试数学试题）已知向量,m n的夹角为45︒,则||1,||2m n == ,又2,3a m n b m n =+=-+ .(1)求a 与b 的夹角;(2)设,2c ta b d m n =-=-,若//c d ,求实数t 的值.【答案】37．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三10月月考数学试题）设(cos ,(1)sin ),(cos ,sin ),(0,0)2a b παλαββλαβ=-=><<< 是平面上的两个向量,若向量a b + 与a b -互相垂直.(Ⅰ)求实数λ的值;(Ⅱ)若45a b ⋅= ,且4tan 3β=,求tan α的值.【答案】(Ⅰ)由题设可得()()0,a b a b +⋅-=即220,a b -= 代入,a b 坐标可得22222cos +(1)sin cos sin 0αλαββ---=.222(1)sin sin 0,λαα∴--=0,0,22παλλ<<>∴= .(Ⅱ)由(1)知,4cos cos sin sin cos(),5a b αβαβαβ⋅=+=-=02παβ<<<∴ 02παβ-<-<33sin(),tan()54αβαβ∴-=--=-.34tan()tan 743tan tan[()]=341tan()tan 241()43αββααββαββ-+-+∴=-+==--⋅--⨯. 7tan 24α∴= 38．（江苏省淮安市车桥中学2014届高三9月期初测试数学试题）已知平面向量a =(1,2sin θ),b =(5cos θ,3).(1)若a ∥b ,求sin2θ的值; (2)若a ⊥b ,求tan(θ+π4)的值.【答案】 (1)因为a ∥b ,所以1×3-2sin θ×5cos θ=0,即5sin2θ-3=0,所以sin2θ=35(2)因为a ⊥b ,所以1×5cos θ+2sin θ×3=0 所以tan θ=-56所以tan(θ+π4)=tan θ＋tanπ41－tan θtanπ4=11139．（江苏省启东中学2014届高三上学期期中模拟数学试题）已知,,a b c是同一平面内的三个向量,其中(1,2)a =(1)若||25c =,且//c a ,求:c 的坐标(2)若5||2b = ,且2a b + 与2a b - 垂直,求a 与b 的夹角【答案】解:设(,)c x y = 由//||25c a c =及得2212022,4420y x x x y y x y ⋅-⋅===-⎧⎧⎧∴⎨⎨⎨==-+=⎩⎩⎩或 所以,(2,4)(2,4)c c ==-- 或 (2)∵2a b + 与2a b - 垂直,∴(2)(2)0a b a b +⋅-=即222320a a b b +⋅-= ;∴52a b ⋅=-∴cos 1||||a ba b θ⋅==- ,∵[0,]θπ∈∴θπ=40．（江苏省泰州市姜堰区2014届高三上学期期中考试数学试题）设平面向量)23,21(),1,3(=-=b a ,若存在实数)0(≠m m 和角θ,其中)2,2(ππθ-∈,使向量θθtan ,)3(tan 2⋅+-=-+=b a m d b a c ,且d c ⊥.(Ⅰ)求)(θf m =的关系式; (Ⅱ)若]3,6[ππθ-∈,求)(θf 的最小值,并求出此时的θ值. 【答案】解: (Ⅰ)∵dc ⊥,且1,2,0===⋅b a b a ,∴0)tan 3(tan 232=-+-=⋅b a m d c θθ∴)2,2(),tan 3(tan 41)(3ππθθθθ-∈-==f m (Ⅱ)设θtan =t ,又∵]3,6[ππθ-∈,∴]3,33[-∈t ,则)3(41)(3t t t g m -== )1(43)(''2-==t t g m 令0)('=t g 得1-=t (舍去) 1=t ∴)1,33(-∈t 时0)('<t g ,)3,1(∈t 时0)('>t g ,∴1=t 时,即4πθ=时, )1(g 为极小值也是最小值,)(t g 最小值为21- 41．（江苏省如皋中学2014届高三上学期期中模拟数学试卷）如图,在△OAB 中,已知P 为线段AB 上的一点,.OP x OA y OB =⋅+⋅(1)若BP PA =,求x ,y 的值;(2)若3BP PA = ,||4OA = ,||2OB =,且OA 与OB 的夹角为60°时,求OP AB ⋅ 的值.【答案】(1)∵BP PA =,∴BO OP PO OA +=+ ,即2OP OB OA =+ ,∴1122OP OA OB =+ ,即12x =,12y =(2)∵3BP PA = ,∴33BO OP PO OA +=+,即43OP OB OA =+∴3144OP OA OB =+∴34x =,14y =31()()44OP AB OA OB OB OA ⋅=+⋅-131442OB OB OA OA OA OB =⋅-⋅+⋅221311244294422=⨯-⨯+⨯⨯⨯=-。
江苏省2014届高三数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编10：平面向量
江苏省2014届高三数学一轮复习考试试题精选（1）分类汇编10：平面向量一、填空题1 ．（江苏省宿迁市2014届高三上学期第一次摸底考试数学试卷）已知非零向量，a b 满足(2)(2)-⊥-⊥，，a b a b a b 则向量a 与b 的夹角为______. 【答案】π32 ．（江苏省南京市2014届高三9月学情调研数学试题）如图,在△ABC 中,D,E 分别为边BC,AC 的中点. F 为边AB 上. 的,且,则x+y 的值为____【答案】523 ．（江苏省徐州市2014届高三上学期期中考试数学试题）已知O 是ABC ∆的外心,10,6==AC AB ,若AC y AB x AO ⋅+⋅=且5102=+y x ,则=∠BAC cos _____________. 【答案】31 4 ．（江苏省盐城市2014届高三上学期期中考试数学试题）在ABC ∆中,若22()||5CA CB AB AB +⋅= ,则tan tan A B= ________. 【答案】735 ．（江苏省兴化市2014届高三第一学期期中调研测试）已知在ABC ∆中,3==BC AB ,4=AC ,设O 是ABC ∆的内心,若AC n AB m AO +=,则=n m :__★__.【答案】3:4 提示一:利用夹角相等,AB =||.提示二:利用角平分线定理,根据相似比求得AC AB AO 103104+= 6 ．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三10月月考数学试题）已知非零向量a ,b 满足|a |=|a +b |=1,a与b 夹角为120°,则向量b 的模为________.【答案】17 ．（江苏省启东中学2014届高三上学期期中模拟数学试题）如图, 在等腰三角形ABC 中, 底边2=BC ,=, 12AE EB = , 若12BD AC ⋅=- , 则⋅=_____.【答案】43- 8 ．（江苏省无锡市2014届高三上学期期中调研考试数学试题）在ABC ∆中,M 为AB 的的三等分点,:1:3,AM AB N =为AC 的中点,BN 与CM 交于点E ,,AB m AC n == ,则AE = _____________________. 【答案】1255m n + 9 ．（江苏省常州市武进区2014届高三上学期期中考试数学(理)试题）在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,()2,0A ,()0,1B ,则点集{},1,,P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈ 所表示的平面区域的面积是________. 【答案】410．（江苏省兴化市2014届高三第一学期期中调研测试）设向量a 、b 满足:|a |3=,|b |1=,a·b 23=,则向量a 与b 的夹角为__★__. 【答案】6π 11．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三10月月考数学试题）向量n m --==若),3,2(),2,1(与2+共线(其中,,0m m n R n n∈≠且）则等于_ . 【答案】21-12．（江苏省无锡市市北高中2014届高三上学期期初考试数学试题）已知a 、b 、c 都是单位向量,且a b c += ,则a c ⋅ 的值为_________. 【答案】1213．（江苏省盐城市2014届高三上学期期中考试数学试题）在ABC ∆中,6BC =,BC 边上的高为2,则AB AC ⋅ 的最小值为________.【答案】5-。
2014届高考数学一轮复习 第4章《平面向量、数系的扩充与复数的引入》(第2课时)知识过关检测 理 新人教A版
2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第4章《平面向量、数系的扩充与复数的引入》（第2课时）（新人教A 版）一、选择题1．(2013·合肥质检)设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则a －2b ＝( ) A ．(7,3) B ．(7,7) C ．(1,7) D ．(1,3)解析：选A.依题意得a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)． 2．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c ＝( ) A ．3a ＋b B ．3a －b C ．－a ＋3b D ．a ＋3b 解析：选B.设c ＝m a ＋n b ，则(4,2)＝(m －n ，m ＋n )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －n ＝4m ＋n ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝－1，∴c ＝3a －b . 3．(2013·鞍山质检)设向量a ＝(4sin α，3)，b ＝(2,3cos α)，且a ∥b ，则锐角α为( )A.π6B.π4C.π3D.512π 解析：选B.∵a ∥b ，∴4sin α·3cos α＝2×3， ∴sin 2α＝1， ∵α为锐角．∴α＝π4.故选B.4．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →＝( )A ．(－2,7)B ．(－6,21)C ．(2，－7)D ．(6，－21)解析：选B.AQ →＝PQ →－PA →＝(－3,2)， ∴AC →＝2AQ →＝(－6,4)． PC →＝PA →＋AC →＝(－2,7)， ∴BC →＝3PC →＝(－6,21)．故选B.5．(2011·高考广东卷)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( )A.14B.12 C ．1 D ．2解析：选B.∵a ＋λb ＝(1＋λ，2)，c ＝(3,4)且(a ＋λb )∥c ， ∴1＋λ3＝24，∴λ＝12.二、填空题6．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________. 解析：∵a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，∴a ＋b ＝(1，m －1)． ∵(a ＋b )∥c ，c ＝(－1,2)，∴2－(－1)·(m －1)＝0. ∴m ＝－1. 答案：－17．已知边长为1的正方形ABCD ，若A 点与坐标原点重合，边AB ，AD 分别落在x 轴，y轴的正方向上，则向量2AB →＋3BC →＋AC →的坐标为________．解析：由已知得A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)， 则AB →＝(1,0)，BC →＝(0,1)，AC →＝(1,1)， ∴2AB →＋3BC →＋AC →＝2(1,0)＋3(0,1)＋(1,1)＝(3,4)． 答案：(3,4) 8．设两个向量a ＝(λ＋2，λ2－cos 2α)和b ＝(m ，m2＋sin α)，其中λ，m ，α为实数．若a ＝2b ，则λm的取值范围是________________________________________________________________________．解析：根据已知条件得2b ＝(2m ，m ＋2sin α)，又a ＝2b ，所以λ＋2＝2m ，λ2－cos 2α＝m ＋2sin α，于是2λ2－2cos 2α＝λ＋2＋4sin α，即2λ2－λ＝－2sin 2α＋4sin α＋4＝－2(sin α－1)2＋6，故－2≤2λ2－λ≤6，即⎩⎪⎨⎪⎧2λ2－λ≤62λ2－λ≥－2，解得－32≤λ≤2，故λm ＝λλ2＋1＝2－4λ＋2∈[－6,1]． 答案：[－6,1] 三、解答题9．已知A (1，－2)，B (2,1)，C (3,2)和D (－2,3)，试以AB →、AC →为一组基底来表示AD →＋BD →＋CD →.解：由已知得：AB →＝(1,3)，AC →＝(2,4)， AD →＝(－3,5)，BD →＝(－4,2)，CD →＝(－5,1)， ∴AD →＋BD →＋CD →＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1) ＝(－12,8)． 设AD →＋BD →＋CD →＝λ1AB →＋λ2AC →， 则(－12,8)＝λ1(1,3)＋λ2(2,4)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋2λ2＝－12，3λ1＋4λ2＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝32，λ2＝－22. ∴AD →＋BD →＋CD →＝32AB →－22AC →.10．已知点A (－1,2)，B (2,8)以及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C ，D 的坐标和CD →的坐标．解：设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)， DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)．因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2，和⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，和⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.所以点C ，D 的坐标分别是(0,4)、(－2,0)，从而CD →＝(－2，－4)．一、选择题1．已知点A (2,1)，B (0,2)，C (－2,1)，O (0,0)，给出下面的结论：①直线OC 与直线BA 平行；②AB →＋BC →＝CA →； ③OA →＋OC →＝OB →；④AC →＝OB →－2OA →. 其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选C.∵OC →＝(－2,1)，BA →＝(2，－1)， ∴OC →＝－BA →，∴ OC →∥ BA →.又由坐标知点O 、C 、A 、B 不共线，∴OC ∥BA ，①正确； ∵AB →＋BC →＝AC →，∴②错误； ∵OA →＋OC →＝(0,2)＝OB →，∴③正确； ∵OB →－2OA →＝(－4,0)，AC →＝(－4,0)，∴④正确．故选C.2．已知P ＝{a |a ＝(1,0)＋m (0,1)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1,1)＋n (－1,1)，n ∈R }是两个向量的集合，则P ∩Q 等于( )A ．{(1,1)}B ．{(－1,1)}C ．{(1,0)}D ．{(0,1)} 解析：选A.因为a ＝(1，m )，b ＝(1－n,1＋n )． 可得P ∩Q ＝{(1,1)}，故选A. 二、填空题3．e 1，e 2是不共线向量，且a ＝－e 1＋3e 2，b ＝4e 1＋2e 2，c ＝－3e 1＋12e 2，若b ，c 为一组基底，则a ＝________.解析：设a ＝λ1b ＋λ2c ，则－e 1＋3e 2＝λ1(4e 1＋2e 2)＋λ2(－3e 1＋12e 2)， 即－e 1＋3e 2＝(4λ1－3λ2)e 1＋(2λ1＋12λ2)e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧4λ1－3λ2＝－1，2λ1＋12λ2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－118，λ2＝727，∴a ＝－118b ＋727c .答案：－118b ＋727c4.(2012·高考山东卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP →的坐标为________．解析：如图，作CQ ∥x 轴，PQ ⊥CQ ，Q 为垂足．根据题意得劣弧DP ＝2，故∠DCP ＝2弧度，则在△PCQ 中，∠PCQ ＝⎝⎛⎭⎪⎫2－π2弧度，|CQ |＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＝sin2，|PQ |＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＝－cos2，所以点P 的横坐标为2－|CQ |＝2－sin2，P 点的纵坐标为1＋|PQ |＝1－cos2，所以P 点的坐标为(2－sin2,1－cos2)， 故OP →＝(2－sin2,1－cos2)． 答案：(2－sin2,1－cos2) 三、解答题5．已知O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →，求： (1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值，若不能，请说明理由．解：(1)OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t,2＋3t )．若P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，∴t ＝－23；若P 在y 轴上，只需1＋3t ＝0，∴t ＝－13；若P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＞0.∴－23＜t ＜－13.(2)因为OA →＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t )，若OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →， ∵⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，无解， 所以四边形OABP 不能成为平行四边形．。
高考数学一轮复习 第五章 平面向量 第2讲 平面向量的基本定理及向量坐标运算 理-人教版高三全册数学
第2讲 平面向量的基本定理及向量坐标运算一、选择题1．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( )．A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线解析 由题意得a ＋b ＝(x －x,1＋x 2)＝(0,1＋x 2)，易知a ＋b 平行于y 轴．答案 C2．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( )．A ．(－2，－4)B ．(－3，－6)C ．(－4，－8)D ．(－5，－10)解析 由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m ＝2×(－2)⇒m ＝－4，从而b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝2×(1,2)＋3×(－2，－4)＝(－4，－8)．答案 C3．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d 为( )．A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)解析 设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6,20)，2(a －c )＝(4，－2)，又4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．故选D.答案 D4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( )．A.14B.12C ．1D ．2 解析 依题意得a ＋λb ＝(1＋λ，2)，由(a ＋λb )∥c ，得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝12. 答案 B5. 若向量AB =（1,2），BC =（3,4），则AC =( )A （4,6）B (-4，-6)C (-2，-2)D (2,2)解析 因为AC =AB +BC =(4,6),所以选A.答案 A6．若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为( )．A ．(2,0)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(0,2)解析 ∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)，即a ＝－2p ＋2q ＝(2,4)，令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝2.∴a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)．答案 D二、填空题7．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值为________． 解析 AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12. 答案 128．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________． 解析 设a ＝λb (λ＜0)，则|a |＝|λ||b |，∴|λ|＝|a ||b |， 又|b |＝5，|a |＝2 5.∴|λ|＝2，∴λ＝－2.∴a ＝λb ＝－2(2,1)＝(－4，－2)．答案 (－4，－2)9．设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C三点共线，则1a ＋2b的最小值为________． 解析 AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →.∴2(a －1)－(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1.∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b ) ＝4＋b a ＋4a b ≥4＋2 b a ·4a b＝8. 当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝14，b ＝12时取等号． ∴1a ＋2b的最小值是8. 答案 810．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知点A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则D 点的坐标为________．解析 由条件中的四边形ABCD 的对边分别平行，可以判断该四边形ABCD 是平行四边形．设D (x ，y )，则有AB →＝DC →，即(6,8)－(－2,0)＝(8,6)－(x ，y )，解得(x ，y )＝(0，－2)．答案 (0，－2)三、解答题11．已知点A (－1,2)，B (2,8)以及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C ，D 的坐标和CD →的坐标． 解析 设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)， DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)． 因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，所以有 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2，和⎩⎪⎨⎪⎧ －1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4，和⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝－2，y 2＝0. 所以点C ，D 的坐标分别是(0,4)、(－2,0)，从而CD →＝(－2，－4)．12．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解 法一 k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ使k a ＋b ＝λ(a －3b )，由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)得，⎩⎪⎨⎪⎧ k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ.解得k ＝λ＝－13，∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )．∵λ＝－13<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向．法二 由法一知k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)，∵k a ＋b 与a －3b 平行∴(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13，此时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )．∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．13．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(2,1)，A (1,0)，B (cosθ，t )， (1)若a ∥AB →，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →的坐标；(2)若a ∥AB →，求y ＝cos 2θ－cos θ＋t 2的最小值．解 (1)∵AB →＝(cos θ－1，t )，又a ∥AB →，∴2t －cos θ＋1＝0.∴cos θ－1＝2t .①又∵|AB →|＝5|OA →|，∴(cos θ－1)2＋t 2＝5.②由①②得，5t 2＝5，∴t 2＝1.∴t ＝±1.当t ＝1时，cos θ＝3(舍去)，当t ＝－1时，cos θ＝－1，∴B (－1，－1)，∴OB →＝(－1，－1)．(2)由(1)可知t ＝cos θ－12，∴y ＝cos 2θ－cos θ＋cos θ－124＝54cos 2θ－32cos θ＋14＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2θ－65cos θ＋14＝54⎝⎛⎭⎪⎫cos θ－352－15， ∴当cos θ＝35时，y min ＝－15. 14．已知O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →，求(1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．解 (1)OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t,2＋3t )．若P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，∴t ＝－23；若P 在y 轴上，只需1＋3t ＝0，∴t ＝－13；若P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋3t ＜0，2＋3t ＞0.∴－23＜t ＜－13. (2)因为OA →＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t )．若OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →，∵⎩⎪⎨⎪⎧ 3－3t ＝1，3－3t ＝2无解．所以四边形OABP 不能成为平行四边形．。
【高考复习方案 】2014年高考数学(文,江苏教育版)一轮复习课件：第24讲 平面向量的概念及其线性运算
(4)×
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第24讲
平面向量的概念及其线性运算
• 双 向 固 基 础
[解析] (1)不同于平面几何中的平行与共线的概念，向量 的平行与共线是同一个概念． (2)由相反向量的定义可知该说法正确． (3)λ>0 时，a 与 λa 方向相同． → 与向量CD → 共线， → 与向量CD → 所在的 (4)若向量AB 则向量AB 直线平行或重合，因此 A，B，C，D 不一定在一条直线上．
讲 考 向
[思考流程] (1)分析： 运用向量运算的三角形法则． 推理：
→ ，OB → 表示OM → ，在线段 OD 上用OC → 和CD →表 在△BOM 中用BM → .结论：经过运算得出向量表示． 示ON → ，AC → 作为基底向量．推理：用基底向量 (2)分析：将AB → ，得出 λ1，λ 2 的值．结论：求出 λ1＋λ2 的值． 表示出向量DE
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第24讲
平面向量的概念及其线性运算
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探究点二
平面向量的线性运算
• 点 → ＝1BC → ，CN → ＝1CD → ，用a，b表示 面 作平行四边形OADB，BM 3 3 讲 考 OM → ＝________，ON → ＝________． 向
•
→ ＝a， OB → ＝b为边 例2 (1)如图5241所示，以向量 OA
• 双 向 固 基 础
—— 疑 难 辨 析 ——
1．共线向量 (1)平行向量就是共线向量．( ) (2)相反向量一定是平行向量．( ) (3)a与λa共线，方向相同．( ) → 与 CD → 是共线向量，则A，B，C，D四点在 (4)若向量 AB 一条直线上．( )
[答案] (1)√
(2)√
(3)×Βιβλιοθήκη 返回目录第24讲平面向量的概念及其线性运算
2014高考数学一轮复习课件4.3平面向量的数量积
【尝试解答】 (1)a＋c＝(1，2m)＋(2，m)＝(3， 3m)． ∵(a＋c)⊥b，∴(a＋c)· b＝(3，3m)· (m＋1，1)＝6m＋3 ＝0， 1 ∴m＝－ . 2 ∴a＝(1，－1)，∴|a|＝ 2. (2)∵a与b是不共线的单位向量，∴|a|＝|b|＝1. 又ka－b与a＋b垂直， ∴(a＋b)· (ka－b)＝0， 即ka2＋ka· b－a· 2＝0. b－b ∴k－1＋ka· b－a· b＝0.
4．(2013· 深圳质检)若平面向量α，β满足|α|＝1， 1 |β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为 ，则α 2 与β的夹角θ的取值范围是________． 1 【解析】 由题意知S＝|α||β|sin θ＝ ≤sin θ， 2 π 5 ∵θ∈[0，π]，∴θ∈[ ， π]． 6 6
•第三节 平面向量的数量积
•1．平面向量的数量积 •(1)定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹 角为θ，则数量_______________叫做a与b |a|·|b|cos_θ 的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量 0 的数量积为______． •(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b |b|cos θ 在a方向上的投影_t，－1)· (1，0)＝t.且0≤t≤1. → → ∴DE·DC的最大值为1.
•【答案】 (1)－16 (2)1 1
1．平面向量的数量积的运算有两种形式，一是依据长 度与夹角，二是利用坐标来计算． 2．(1)要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所 → → → → 求相关向量，如本题(1)中用AM 、MB 表示AB 、AC 等．(2) 注意向量夹角的大小，以及夹角θ＝0°，90°，180°三种 特殊情形． 3．应当注意：(1)向量数量积a· b中的“· ”既不能省略，也 不能写成“³”；(2)向量的数量积满足“交换律”、“分 配律”，但不满足“结合律”．
2014高考数学一轮汇总训练《平面向量的数量积及平面向量的应用 》理 新人教A版
第三节平面向量的数量积及平面向量的应用[备考方向要明了]年会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其[归纳²知识整合]1．平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做a和b的数量积(或内积)，记作a²b.即a²b＝|a||b|cos θ，规定0²a＝0.2．向量数量积的运算律(1)a²b＝b²a(2)(λa)²b＝λ(a²b)＝a²(λb)(3)(a＋b)²c＝a²c＋b²c[探究] 根据数量积的运算律，判断下列结论是否成立．(1)a²b＝a²c，则b＝c吗？(2)(a²b)c＝a(b²c)吗？提示：(1)不一定，a ＝0时不成立，另外a ≠0时，a ²b ＝a ²c .由数量积概念可知b 与c 不能确定； (2)(a ²b )c ＝a (b ²c )不一定相等．(a ²b )c 是c 方向上的向量，而a (b ²c )是a 方向上的向量，当a 与c 不共线时它们必不相等．3．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)[自测²牛刀小试]1．(教材习题改编)已知|a |＝5，|b |＝4，a ²b ＝－10，则a 与b 的夹角为( ) A.π3 B.23π C.π6D.56π 解析：选B 设a 与b 的夹角为θ，则a ²b ＝|a ||b |cos θ＝5³4cos θ＝－10，即cos θ＝－12.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝23π.2．(教材习题改编)等边三角形ABC 的边长为1，BC ＝a ，CA ＝b ，AB＝c ，那么a ²b＋b ²c ＋c ²a 等于( )A ．3B ．－3 C.32D ．－32解析：选D 由题意知|a |＝|b |＝|c |＝1，且a 与b 的夹角为120°，b 与c 的夹角为120°，c 与a 的夹角也为120°.故a ²b ＋b ²c ＋c ²a ＝－32.3．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ²b ＝－12，则|a ＋2b |＝( ) A. 2 B. 3 C. 5D.7解析：选B |a ＋2b |＝|a ＋2b |2＝|a |2＋4a ²b ＋4|b |2＝1－2＋4＝ 3.4．(教材习题改编)已知|a |＝3，|b |＝4，且a 与b 不共线，若向量a ＋k b 与a －k b 垂直，则k ＝________.解析：∵(a ＋k b )⊥(a －k b )， ∴(a ＋k b )²(a －k b )＝0， 即|a |2－k 2|b |2＝0.又∵|a |＝3，|b |＝4，∴k 2＝916，即k ＝±34.答案：±345．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )满足条件(8a －b )²c ＝30，则x ＝________. 解析：由题意可得8a －b ＝(6,3)，又(8a －b )²c ＝30，c ＝(3，x )，则18＋3x ＝30，解得x ＝4.答案：4[例1] (1)(2012²天津高考)已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2.设点P ，Q 满足AP ＝λAB ，AQ ＝(1－λ) AC ，λ∈R ，若BQ ²CP ＝－32，则λ＝( )A.12B.1±22C.1±102D.－3±222(2)(2012²上海高考)在平行四边形ABCD 中，∠A ＝π3，边AB 、AD 的长分别为2、1.若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM||BC |＝|CN ||CD |，则AM ²AN 的取值范围是________． [自主解答] (1)以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (2,0)，C (1，3)，由AP ＝λAB，得P (2λ，0)，由AQ ＝(1－λ) AC ，得Q (1－λ，3(1－λ))，所以BQ ²CP＝(－λ－1，3(1－λ))²(2λ－1，－3)＝－(λ＋1)²(2λ－1)－3³3(1－λ)＝－32，解得λ＝12.(2)建立平面直角坐标系，如图．则B (2,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.令BM BC ＝CN CD＝λ，则M ⎝⎛⎭⎪⎫λ2＋2，32λ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－2λ，32.∴AM ²AN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋2²⎝ ⎛⎭⎪⎫52－2λ＋34λ＝－λ2－2λ＋5＝－(λ＋1)2＋6.∵0≤λ≤1，∴AM ²AN∈[2,5]．[答案] (1)A (2)[2,5] ——————————————————— 平面向量数量积的类型及求法(1)向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式a ²b ＝|a ||b |cos θ；二是坐标公式a ²b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简．注意以下两个重要结论的应用： ①(a ＋b )2＝a 2＋2a ²b ＋b 2； ②(a ＋b )²(a －b )＝a 2－b 2.1.(2012²江苏高考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB ²AF ＝2，则AE ²BF的值是________．解析：以A 为坐标原点，AB ，AD 所在的直线分别为x ，y 轴建立直角坐标系，则B (2，0)，E (2，1)，D (0,2)，C (2，2)．设F (x,2)(0≤x ≤2)，由AB ²AF ＝2⇒2x ＝2⇒x ＝1，所以F (1,2)，AE ²BF＝(2，1)²(1－2，2)＝ 2.答案： 2[例2] 已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )²(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |和|a －b |.[自主解答] (1)∵(2a －3b )²(2a ＋b )＝61，解得a ²b ＝－6.∴cos θ＝a ²b |a ||b |＝－64³3＝－12， 又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a ＋b |2＝a 2＋2a ²b ＋b 2＝13，∴|a ＋b |＝13. |a －b |2＝a 2－2a ²b ＋b 2＝37. ∴|a －b |＝37.本例条件不变，若AB＝a ，BC ＝b ，试求△ABC 的面积．解：∵AB 与BC 的夹角θ＝23π，∴∠ABC ＝π－23π＝13π.又|AB|＝|a |＝4，|BC |＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AB ||BC |sin ∠ABC ＝12³4³3³32＝3 3.———————————————————1．利用数量积求解长度问题的处理方法 (1)a 2＝a ²a ＝|a |2或|a |＝a ²a .(2)|a ±b |＝a ±b 2＝a 2±2a ²b ＋b 2.(3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2. 2．求向量夹角的方法(1)利用向量数量积的定义知，cos θ＝a ²b|a ||b |，其中两向量夹角的范围为0°≤θ≤180°，求解时应求出三个量：a ²b ，|a |，|b |或者找出这三个量之间的关系．(2)利用坐标公式，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21²x 22＋y 22. (3)三角函数法，可以把这两个向量的夹角放在三角形中；利用正余弦定理、三角形的面积公式等求解．2．(1)已知平面向量α，β，|α|＝1，β＝(2,0)，α⊥(α－2β)，求|2α＋β|的值；(2)已知三个向量a 、b 、c 两两所夹的角都为120°，|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，求向量a ＋b ＋c 与向量a 的夹角．解：(1)∵β＝(2,0)，∴|β|＝2，又α⊥(α－2β)，∴α²(α－2β)＝α2－2α²β＝1－2α²β＝0. ∴α²β＝12.∴(2α＋β)2＝4α2＋β2＋4α²β＝4＋4＋2＝10. ∴|2α＋β|＝10.(2)由已知得(a ＋b ＋c )²a ＝a 2＋a ²b ＋a ²c ＝1＋2cos 120°＋3cos 120°＝－32，|a ＋b ＋c |＝a ＋b ＋c 2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ²b ＋2a ²c ＋2b ²c＝1＋4＋9＋4cos 120°＋6cos 120°＋12cos 120° ＝ 3.设向量a ＋b ＋c 与向量a 的夹角为θ， 则cos θ＝a ＋b ＋c ²a |a ＋b ＋c ||a |＝－323＝－32，即θ＝150°，故向量a ＋b ＋c 与向量a 的夹角为150°.[例3] 已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算|a ＋b |；(2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )．[自主解答] (1)|a ＋b |2＝|a |2＋2a ²b ＋|b |2＝16＋2³4³8³⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋64＝48，故|a ＋b |＝4 3.(2)若(a ＋2b )⊥(k a －b )，则(a ＋2b )²(k a －b )＝0，即k a 2＋(2k －1)a ²b －2b 2＝16k －16(2k －1)－2³64＝0，解得k ＝－7. 即k ＝－7时，两向量垂直． ——————————————————— 两向量垂直的判断方法及应用(1)若a ，b 为非零向量，则a ⊥b ⇔a ²b ＝0；若非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)一对向量垂直与向量所在的直线垂直是一致的，向量的线性运算与向量的坐标运算是求解向量问题的两大途径．3．在直角三角形ABC 中，已知AB＝(2,3)，AC ＝(1，k )，求k 的值．解：(1)当A ＝90°时，∵AB ⊥AC ，∴AB ²AC＝0.∴2³1＋3k ＝0，解得k ＝－23.(2)当B ＝90°时，∵AB ⊥BC， 又BC ＝AC －AB＝(1，k )－(2,3)＝(－1，k －3)，∴AB ²BC＝2³(－1)＋3³(k －3)＝0，解得k ＝113.(3)当C ＝90°时，∵AC ⊥BC，∴1³(－1)＋k (k －3)＝0，即k 2－3k －1＝0.∴k ＝3±132.综上可得k 的值为－23或113或3±132.[例4] 设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)．(1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b . [自主解答] (1)由a 与b －2c 垂直，a ²(b －2c )＝a ²b －2a ²c ＝0，即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，tan(α＋β)＝2. (2)b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4si n β)|b ＋c |2＝sin 2β＋2sin βcos β＋cos 2β＋16cos 2β－32cos βsin β＋16sin 2β ＝17－30sin βcos β＝17－15sin 2β，最大值为32， 所以|b ＋c |的最大值为4 2.(3)由tan αtan β＝16得sin αsin β＝16cos αcos β，即 4cos α²4cos β－sin αsin β＝0， 所以a ∥b . ———————————————————平面向量与三角函数的综合问题的命题形式与解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．4．在△ABC 中，已知2AB ²AC ＝3|AB|²|AC |＝3|BC |2，求角A ，B ，C 的大小．解：设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，∵由2AB ²AC ＝3|AB|²|AC |得2bc cos A ＝3bc ，∴cos A ＝32， 又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π6.由3|AB |²|AC |＝3|BC |2得bc ＝3a 2，由正弦定理得sin C ²sin B ＝3sin 2A ＝34， ∴sin C ²sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－C ＝34，即sin C ²⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos C ＋32sin C ＝34，∴2sin C ²cos C ＋23sin 2C ＝3， ∴sin 2C －3cos 2C ＝0， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π3＝0，由A ＝π6知0<C <5π6，∴－π3<2C －π3<4π3，从而2C －π3＝0或2C －π3＝π，即C ＝π6或C ＝2π3.故A ＝π6，B ＝2π3，C ＝π6或A ＝π6，B ＝π6，C ＝2π3.3个防范——与向量夹角有关的易误点 (1)若a ²b >0，则a 与b 的夹角为锐角或0°； (2)若a ²b <0，则a 与b 的夹角为钝角或180°；(3)在求△ABC 的三边所对应向量的夹角时，要注意是三角形的内角还是外角．如等边△ABC 中，AB 与BC的夹角应为120°而不是60°.4个区别——向量运算与实数运算的区别(1)在实数运算中，若ab ＝0，则a 与b 中至少有一个为0.而在向量数量积的运算中，不能从a ²b ＝0推出a ＝0或b ＝0成立．实际上由a ²b ＝0可推出以下四种结论：①a ＝0，b ＝0；②a ＝0，b ≠0；③a ≠0，b ＝0；④a ≠0，b ≠0，但a ⊥b .(2)在实数运算中，若a ，b ∈R ，则|ab |＝|a |²|b |，但对于向量a ，b 却有|a ²b |≤|a |²|b |，当且仅当a ∥b 时等号成立．这是因为|a ²b |＝|a |²|b |²|cos θ|，而|cos θ|≤1.(3)实数运算满足消去律：若bc ＝ca ，c ≠0，则有b ＝a .在向量数量积的运算中，若a ²b ＝a ²c (a ≠0)，则不一定得到b ＝c .(4)实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a ²b )²c 不一定等于a ²(b ²c )，这是由于(a ²b )²c 表示一个与c 共线的向量，而a ²(b ²c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线.创新交汇——平面向量与其他知识的交汇1．平面向量的数量积是每年高考的重点和热点内容，且常与三角函数、数列、三角形、解析几何等交汇命题，且常考常新．2．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．[典例] (2012²广东高考)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α²ββ²β.若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z 中，则a ∘b ＝( )A.52 B.32 C ．1 D.12[解析] a ∘b ＝a ²b b 2＝|a ||b ||b |2cos θ＝|a ||b |cos θ，b ∘a ＝|b ||a |²cos θ，因为|a |>0，|b |>0,0<cos θ<22，且a ∘b 、b ∘a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2| n ∈Z ，所以|a ||b |cos θ＝n 2，|b ||a |cos θ＝m2，其中m ，n ∈N *，两式相乘，得m ²n 4＝cos 2θ，因为0<cos θ<22，所以0<cos 2θ<12，得到0<m ²n <2，故m ＝n ＝1，即a ∘b ＝12.[答案] D [名师点评]1．本题具有以下创新点(1)本题属新定义问题，命题背景新颖；(2)考查知识新颖，本题把向量的数量积、夹角、不等式、集合等问题通过新定义有机结合在一起，较好地考查了考生的阅读理解能力和知识的迁移、转化的能力．2．解决本题的关键有以下几点(1)读懂、读透题目中所给的新定义α∘β＝α²ββ²β的意义．(2)理解a ∘b 与b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2| n ∈Z 中的实际意义是|a ||b |cos θ与|b ||a |cos θ都能表示成n2(n ∈Z )的形式．(3)善于转化，通过两式相乘，将问题转化为0<cos 2θ<12，即0<m ²n <2成立，从而求得结论．[变式训练]1．已知向量OZ 与1OZ 关于x 轴对称，j ＝(0,1)，则满足不等式OZ 2＋j ²1ZZ ≤0的点Z (x ，y )的集合用阴影表示为( )解析：选C 依题意得，动点Z 的坐标满足：(x 2＋y 2)＋(0,1)²(0，－2y )＝x 2＋y 2－2y ≤0，即x 2＋(y －1)2≤1，易知该不等式表示的平面区域是以点(0,1)为圆心，1为半径的圆及其内部．2．已知平面内的向量OA ，OB 满足：|OA |＝|OB |＝2，OA 与OB 的夹角为π2，又OP ＝λ1OA ＋λ2OB,0≤λ1≤1,1≤λ2≤2，则点P 的集合所表示的图形的面积是( )A ．8B ．4C ．2D ．1解析：选B 如图，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，OB所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (2,0)，B (0,2)，设P (x ，y )，则由OP ＝λ1OA ＋λ2OB，得(x ，y )＝λ1(2,0)＋λ2(0,2)＝(2λ1,2λ2)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2λ1，y ＝2λ2.又因为⎩⎪⎨⎪⎧0≤λ1≤1，1≤λ2≤2，所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，2≤y ≤4.所以点P的集合为{(x ，y )|0≤x ≤2,2≤y ≤4}，它表示正方形区域(如图中阴影部分所示)，所以点P 的集合所表示的图形的面积为2³2＝4.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2012²重庆高考)设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5D ．10解析：选B 由a ⊥b ，可得a ²b ＝0，即x －2＝0，得x ＝2，所以a ＋b ＝(3，－1)，故|a ＋b |＝32＋－12＝10.2．(2012²湖北高考)若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A ．－π4B.π6C.π4D.3π4解析：选C 2a ＋b ＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)，a －b ＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)．在平面直角坐标系中，根据图形得2a ＋b 与a －b 的夹角为π4.3．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC ＝3BD ，|AD|＝1，则AC ²AD＝( )A ．2 3B.32C ．－32D. 3解析：选D 建系如图．设B (x B,0)，D (0,1)，C (x C ，y C )，BC＝(x C －x B ，y C )， BD＝(－x B,1)， ∵BC ＝3BD，∴x C －x B ＝－3x B ⇒x C ＝(1－3)²x B ，y C ＝3，AC ＝((1－3)x B ，3)，AD＝(0,1)，AC ²AD ＝ 3.4．已知|a |＝6，|b |＝3，a ²b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的射影的数量是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2D ．2解析：选A 设a 与b 的夹角为θ，∵a ²b 为向量b 的模与向量a 在向量b 方向上的射影的数量的乘积，而cos θ＝a ²b |a ||b |＝－23，∴|a |cos θ＝6³⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－4. 5．已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA ²PB的最小值为( )A ．－4＋ 2B ．－3＋ 2C ．－4＋2 2D ．－3＋2 2解析：选 D 设∠APB ＝2θ，|PO |＝x ，则PA ²PB ＝|PA |²|PB|²cos 2θ＝|PA |2cos 2θ＝(|PO |2－1)²(1－2sin 2θ)＝(x 2－1)²⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 2＝x 2－2－1＋2x 2≥－3＋22，当且仅当x 2＝2x2即x ＝42时取等号．6．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a²b x 在R 上有极值，则a 与b 的夹角范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π6B.⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，πC.⎝⎛⎦⎥⎤π3，πD.⎝⎛⎦⎥⎤π3，2π3解析：选C f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ²b x 在R 上有极值，即f ′(x )＝x 2＋|a |x ＋a²b ＝0有两个不同的实数解，故Δ＝|a |2－4a²b ＞0⇒cos 〈a ，b 〉＜12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π. 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝________.解析：∵a ＋b 与k a －b 垂直， ∴(a ＋b )²(k a －b )＝0，化简得(k －1)(a ²b ＋1)＝0，根据a 、b 向量不共线，且均为单位向量得a ²b ＋1≠0，得k －1＝0，即k ＝1.答案：18．(2012²北京高考)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ²CB的值为________；DE ²DC的最大值为________．解析：法一：以AB ，AD 为基向量，设AE ＝λAB (0≤λ≤1)，则DE ＝AE －AD＝λAB －AD ，CB ＝－AD ，所以DE ²CB ＝(λAB －AD )²(－AD)＝－λAB ²AD ＋AD 2＝－λ³0＋1＝1.又DC ＝AB ，所以DE ²DC ＝λAB－AD )²AB ＝λAB 2－AD ²AB＝λ³1－0＝λ≤1，即DE ²DC的最大值为1.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，令E 点坐标为(t ,0)(0≤t ≤1)可得DE ²CB＝(t , －1) ²(0, －1)＝1, DE ²DC＝(t , －1) ²(1, 0)＝t ≤1故DE ²CB ＝1，DE ²DC的最大值为1.答案：1 19．(2012²湖南高考)如图，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP ²AC＝________.解析：设AC 与BD 的交点为O ，则AP ²AC ＝AP ²2AO ＝2AP 2＋2AP ²PO＝2³32＋0＝18.答案：18三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围． 解：∵a 与a ＋λb 均为非零向量，且夹角为锐角， ∴a ²(a ＋λb )>0，即(1,2)²(1＋λ，2＋λ)>0. ∴(1＋λ)＋2(2＋λ)>0. ∴λ>－53.当a 与a ＋λb 共线时，存在实数m ，使a ＋λb ＝m a ， 即(1＋λ，2＋λ)＝m (1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ＝m ，2＋λ＝2m ，解得λ＝0.即当λ＝0时，a 与a ＋λb 共线，综上可知，λ>－53且λ≠0.11．已知△ABC 为锐角三角形，向量m ＝(3cos 2A ，sin A )，n ＝(1，－sin A )，且m ⊥n . (1)求A 的大小；(2)当AB＝p m ，AC ＝q n (p >0，q >0)，且满足p ＋q ＝6时，求△ABC 面积的最大值．解：(1)∵m ⊥n ，∴3cos 2A －sin 2A ＝0. ∴3cos 2A －1＋cos 2A ＝0， ∴cos 2A ＝14.又∵△ABC 为锐角三角形， ∴cos A ＝12，∴A ＝π3.(2)由(1)可得m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34，32，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32. ∴|AB |＝214p ，|AC |＝72q . ∴S △ABC ＝12|AB |²|AC |²sin A ＝2132pq .又∵p ＋q ＝6，且p >0，q >0， ∴p ²q ≤p ＋q2，∴p ²q ≤3. ∴p ²q ≤9.∴△ABC 面积的最大值为2132³9＝18932.12．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(cos α，sin α)．设m ＝a ＋t b (t 为实数)． (1)若α＝π4，求当|m |取最小值时实数t 的值；(2)若a ⊥b ，问：是否存在实数t ，使得向量a －b 和向量m 的夹角为π4，若存在，请求出t ；若不存在，请说明理由．解：(1)因为α＝π4，所以b ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，22，a ²b ＝322， 则|m |＝a ＋t b 2＝5＋t 2＋2t a ²b＝ t 2＋32t ＋5＝⎝⎛⎭⎪⎫t ＋3222＋12，所以当t ＝－322时，|m |取到最小值，最小值为22.(2)存在满足题意的实数t ， 由条件得cos π4＝a －b ²a ＋t b |a －b ||a ＋t b |，又因为|a －b |＝a －b 2＝6，|a ＋t b |＝a ＋t b 2＝5＋t 2，(a －b )²(a ＋t b )＝5－t ， 则有5－t 6³5＋t2＝22，且t <5， 整理得t 2＋5t －5＝0，所以存在t ＝－5±352满足条件．1．下列判断：①若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0；②已知a ，b ，c 是三个非零向量，若a ＋b ＝0，则|a ²c |＝|b ²c |； ③a ，b 共线⇔a ²b ＝|a ||b |； ④|a ||b |<a ²b ； ⑤a ²a ²a ＝|a |3； ⑥a 2＋b 2≥2a ²b ；⑦非零向量a ，b 满足a ²b >0，则a 与b 的夹角为锐角；⑧若a ，b 的夹角为θ，则|b |cos θ表示向量b 在向量a 方向上的射影的数量． 其中正确的是________．解析：由于a 2≥0，b 2≥0，所以，若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0，故①正确；若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，又a ，b ，c 是三个非零向量，所以a ²c ＝－b ²c ，所以|a ²c |＝|b ²c |，②正确；a ，b 共线⇔a ²b ＝±|a ||b |，所以③错；对于④，应有|a ||b |≥a ²b ，所以④错； 对于⑤，应该是a ²a ²a ＝|a |2a ，所以⑤错；a 2＋b 2≥2|a ||b |≥2a ²b ，故⑥正确；当a 与b 的夹角为0°时，也有a ²b >0，因此⑦错；|b |cos θ表示向量b 在向量a 方向上的射影的数量，可取全体实数，而非射影长，故⑧错．综上可知①②⑥正确． 答案：①②⑥2．平面上有四个互异点A 、B 、C 、D ，已知(DB ＋DC －2DA )²(AB －AC)＝0，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．无法确定解析：选B 由(DB ＋DC －2DA )²(AB －AC)＝0，得[(DB －DA )＋(DC －DA )]²(AB －AC)＝0，所以(AB ＋AC )²(AB －AC)＝0.所以|AB |2－|AC |2＝0，故|AB|＝|AC |，故△ABC 是等腰三角形．3．已知A ，B ，C 的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2.(1)若|AC |＝|BC|，求角α的值；(2)若AC ²BC ＝－1，求2sin 2α＋sin 2α1＋tan α的值．解：(1)∵AC＝(cos α－3，sin α)， BC＝(cos α，sin α－3)， ∴AC 2＝(cos α－3)2＋sin 2α＝10－6cos α， BC 2＝cos 2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α. 由|AC |＝|BC |，可得AC 2＝BC 2，即10－6cos α＝10－6sin α，得sin α＝cos α. 又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴α＝5π4.(2)由AC ²BC＝－1，得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1， ∴sin α＋cos α＝23.①又2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝2sin 2α＋2sin αcos α1＋sin αcos α＝2sin αcos α，由①式两边分别平方，得1＋2sin αcos α＝49，∴2sin αcos α＝－59.∴2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝－59.4．已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且⎝ ⎛⎭⎪⎫PC ＋12 PQ ²⎝ ⎛⎭⎪⎫PC －12 PQ ＝0. (1)求动点P 的轨迹方程；(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任一条直径，求PE ²PF的最值．解：(1)设P (x ，y )，则Q (8，y )．由⎝ ⎛⎭⎪⎫PC ＋12 PQ ²⎝ ⎛⎭⎪⎫PC －12 PQ ＝0，得|PC |2－14|PQ |2＝0，即(x －2)2＋y 2－14(x －8)2＝0，化简得x 216＋y 212＝1. 所以点P 在椭圆上，其方程为x 216＋y 212＝1.(2)PE ²PF的最大值为19；PE ²PF的最小值为12－4 3.。
【高考复习方案 】2014年高考数学(文,江苏教育版)一轮复习课件：第26讲 平面向量的数量积
第26讲
平面向量的数量积
• 点 面 讲 考 向
[归纳总结] (1)利用向量夹角公式时， 不一定非得算出 |a|，|b|和 a· b 的值，只要能得出它们的关系即可． (2)求角时，注意向量夹角的取值范围是[0，π ]．若题 目给出向量的坐标表示，可直接套用公式 cos〈a，b〉＝ x1x2＋y1y2 2 2 2 2求解． x1＋y1 x2＋y2
[解析] (1)(a· b)· c是一个与c共线的向量，a· (b· c)是一个与 a共线的向量，因此它们不一定相等． (2) a· b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b. (3)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
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第26讲
平面向量的数量积
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探究点一
平面向量的数量积的概念
• 点 面 讲 考 向
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例1 (1)[2013· 新课标全国卷Ⅱ] 已知正方形ABCD的边 → ·BD → ＝________． 长为2，E为CD的中点，则AE (2)[2013· 湖北卷] 已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2， → 在CD → 方向上的投影为________． －1)，D(3，4)，则向量AB
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第26讲
平面向量的数量积
• 双 向 固 基 础
2．向量数量积的性质与运算 (1)(a· b)· c＝a· (b· c)．( ) (2) a· b＝0，则a＝0或b＝0.( ) (3)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a⊥b，则x1y2－x2y1＝ 0.( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
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第26讲
平面向量的数量积
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[思考流程] (1)分析：利用向量的数量积公式．推理： 依题意列方程得(m＋n)· (m－n)＝0.结论：解方程得λ的值． (2)分析：利用向量的数量积公式．推理：将已知等式 点 两边平方，再利用向量的夹角公式．结论：解方程得cos 面 讲 〈a，b〉的值．
高考数学一轮复习高效作业：《平面向量的数量积及其应用》
时间：45分钟 满分：100分 班级：________姓名：________ 学号：________ 得分：________一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·湖北重点中学联考)设0≤θ＜2π，已知两个向量OP 1→＝(cosθ，sinθ)，OP 2→＝(2＋sinθ，2－cosθ)，则向量P 1P 2→的长度的最大值是( )A. 2B. 3 C ．3 2D ．2 3解析：P 1P 2→＝(2＋sinθ－cosθ，2－cosθ－sinθ)， |P 1P 2→|＝22－cosθ2＋2sin 2θ＝10－8cosθ≤18＝3 2. 当且仅当θ＝π时取等号． 答案：C2．(2013·湖南)已知a ，b 是单位向量，a·b＝0.若向量c 满足|c －a －b|＝1，则|c|的取值范围是( )A ．[2－1，2＋1]B ．[2－1，2＋2]C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2]解析：|c －a －b|＝1⇒|c －(a ＋b)|＝1，因为a ，b 为单位向量且a·b＝0即垂直，则|a ＋b|＝ 2.画出图形知，当a ＋b 与c 同向时，|c|min ＝2－1，当a ＋b 与c 反向时，|c|max ＝2＋1，故选A.答案：A3．(2014·菏泽联考)已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a·b＜0，S △ABC ＝154，|a|＝3，|b|＝5，则∠BAC 等于( )A ．30°B ．－150°C ．150°D ．30°或150°解析：∵S △ABC ＝12|a||b|sin ∠BAC ＝154，∴sin ∠BAC ＝12，又a·b＜0，∴∠BAC 为钝角， ∴∠BAC ＝150° 答案：C4．(2014·天津河西质量调查)已知两点M(－3,0)，N(3,0)，点P 为坐标平面内一动点，且|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P(x ，y)到点M(－3,0)的距离d 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：因为M(－3,0)，N(3,0)，所以MN →＝(6,0)，|MN →|＝6，MP →＝(x ＋3，y)，NP →＝(x －3，y)．由|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0得6x ＋32＋y 2＋6(x －3)＝0，化简得y 2＝－12x ，所以点M 是抛物线y 2＝－12x 的焦点，所以点P 到M 的距离的最小值就是原点到M(－3,0)的距离，所以d min ＝3.答案：B5．(2014·马鞍山二模)在△ABC 中，已知a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且a 、b 、c 成等比数列，a ＋c ＝3，cos B ＝34，则AB →·BC →等于( )A.32 B ．－32C ．3D ．－3解析：由已知b 2＝ac ，a ＋c ＝3，cos B ＝34，得34＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a ＋c 2－3ac 2ac ， 解得ac ＝2.则AB →·BC →＝ac·cos〈AB →，BC →〉 ＝2×(－34)＝－32.答案：B6．(2013·浙江)设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则( )A ．∠ABC ＝90°B ．∠BAC ＝90°C ．AB ＝ACD ．AC ＝BC解析：如图，设A(0,0)，B(4,0)，C(a ，b)，P(x,0)，P 0(3,0)，则有(4－x,0)·(a－x ，b)≥(1,0)·(a－3，b)，化简x 2－(a ＋4)x ＋3a ＋3≥0在[0,4]上恒成立，∴(a ＋4)2－4(3a ＋3)≤0，(a －2)2≤0，∴a ＝2，∴AC ＝BC.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上) 7．(2014·安徽模拟)若平面向量a ，b 满足：|2a －b|≤3，则a·b 的最小值是________． 解析：|2a －b|≤3⇔4a 2＋b 2≤9＋4a·b4a 2＋b 2≥4|a||b|≥－4a·b ⇒9＋4a·b≥－4a·b ⇔a·b≥－98.答案：－988．(2014·北京模拟)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为__________；DE →·DC →的最大值为________．解析：建立平面直角坐标系，将向量数量积运算转化为向量的坐标运算求解． 如图所示，以AB ，AD 所在的直线分别为x 轴和y 轴建立直角坐标系，由于正方形边长为1，故B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)．又E 在AB 边上，故设E(t,0)(0≤t≤1)． 则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)． 故DE →·CB →＝1. 又DC →＝(1,0)，∴DE →·DC →＝(t ，－1)·(1,0)＝t. 又0≤t≤1，∴DE →·DC →的最大值为1. 答案：1 19．(2014·上海模拟)在平行四边形ABCD 中，∠A ＝π3，边AB 、AD 的长分别为2、1.若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|，则AM →·AN →的取值范围是________．解析：建立坐标系，应用坐标运算将所求问题转化为二次函数在给定区间上的取值范围问题．以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，C(52，32)，D(12，32)，设M(x 1，3(x 1－2))，N(x 2，32)，由条件可得2|BM →|＝|CN →|，代入坐标化简得4x 1＋x 2＝212，得x 2＝212－4x 1，所以AM →·AN →＝(x 1，3(x 1－2))·(x 2，32)＝x 1(212－4x 1)＋32(x 1－2)＝－4x 21＋12x 1－3，x 1∈[2，52]．由二次函数的图像可知y ＝－4x 21＋12x 1－3在x 1∈[2，52]上是减函数，所以AM →·AN →的取值范围是[2,5]．答案：[2,5]10．(2014·南通一调)在△ABC 中，若AB ＝1，AC ＝3，|AB →＋AC →|＝|BC →|，则BA →·BC→|BC →|＝________.解析：易知满足|AB →＋AC →|＝|BC →|的A 、B 、C 构成直角三角形的三个顶点，且∠A 为直角，于是BA →·BC →|BC →|＝|BA →|·cos∠ABC ＝1×cos60°＝12.答案：12三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11．(2014·南京调研)已知OM →＝(cosα，sinα)，ON →＝(cosx ，sinx)，PQ →＝(cosx ，－sinx ＋45cosα)． (1)当cosα＝45sinx时，求函数y ＝ON →·PQ →的最小正周期；(2)当OM →·ON →＝1213，OM →∥PQ →，α－x ，α＋x 都是锐角时，求cos2α的值．解：(1)∵cosα＝45sinx ，∴y ＝cos 2x －sin 2x ＋4sinx5cosα＝cos2x ＋sin 2x＝cos2x ＋1－cos2x 2＝12cos2x ＋12，∴该函数的最小正周期是π. (2)∵OM →·ON →＝cosαcosx＋sinαsinx ＝cos(α－x)＝1213，且α－x 是锐角．∴sin(α－x)＝1－cos 2α－x ＝513，∵OM →∥PQ →，∴－cosαsinx＋45－sinαcosx＝0，即sin(α＋x)＝45.∵α＋x 是锐角， ∴cos(α＋x)＝1－sin2α＋x ＝35，∴cos2α＝cos[(α＋x)＋(α－x)]＝cos(α＋x)cos(α－x)－sin(α＋x)sin(α－x) ＝35×1213－45×513＝1665， 即cos2α＝1665.12．(2014·衡阳模拟)如图，在△ABC 中，AB →·AC →＝0，|AB →|＝8，|AC →|＝6，l 为线段BC 的垂直平分线，l 与BC 交于点D ，E 为l 上异于D 的任意一点，(1)求AD →·CB →的值．(2)判断AE →·CB →的值是否为一个常数，并说明理由． 解：(1)由已知可得AD →＝12(AB →＋AC →)，CB →＝AB →－AC →，AD →·CB →＝12(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝12(AB →2－AC →2)＝12(64－36)＝14. (2)AE →·CB →的值为一个常数．∵l 为线段BC 的垂直平分线，l 与BC 交于点D ，E 为l 上异于D 的任意一点， ∴DE →·CB →＝0，故AE →·CB →＝(AD →＋DE →)·CB → ＝AD →·CB →＋DE →·CB →＝AD →·CB →＝14.13．△ABC 中，满足：AB →⊥AC →，M 是BC 的中点．(1)若|AB →|＝|AC →|，求向量AB →＋2AC →与向量2AB →＋AC →的夹角的余弦值；(2)若O 是线段AM 上任意一点，且|AB →|＝|AC →|＝2，求OA →·OB →＋OC →·OA →的最小值． 解：(1)设向量AB →＋2AC →与向量2AB →＋AC →的夹角为θ， |AB →|＝|AC →|＝a ， ∵AB →⊥AC →，∴(AB →＋2AC →)·(2AB →＋AC →)＝2AB →2＋5AB →·AC →＋2AC →2＝4a 2， |AB →＋2AC →|＝ AB →＋2AC→2＝AB →2＋4AB →·AC →＋4AC →2＝5a ，同理可得|2AB →＋AC →|＝5a ，∴cosθ＝AB →＋2AC →·2AB →＋AC →|AB →＋2AC →||2AB →＋AC →|＝4a 25a 2＝45.(2)∵|AB →|＝|AC →|＝2，∴|AM →|＝1.设|OA →|＝x ，则|OM →|＝1－x ，而OB →＋OC →＝2OM →， ∴OA →·(OB →＋OC →)＝2OA →·OM →＝2|OA →||OM →|cosπ ＝－2x(1－x)＝2x 2－2x ＝2(x －12)2－12当且仅当x ＝12时，OA →·(OB →＋OC →)取最小值－12.。
[创新设计]2014届高考数学人教a版(理)一轮复习[配套word版文档]：第五篇 第1讲 平面向量的概念及其线性运算
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第1讲 平面向量的概念及其线性运算A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2013·合肥检测)已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( )．A.AO→＝OD → B.AO →＝2OD →C.AO→＝3OD →D ．2AO→＝OD → 解析 由2OA →＋OB →＋OC →＝0可知，O 是底边BC 上的中线AD 的中点，故AO →＝OD →. 答案 A2．已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且四边形ABCD 为平行四边形，则 ( )． A ．a －b ＋c －d ＝0 B ．a －b －c ＋d ＝0 C ．a ＋b －c －d ＝0D ．a ＋b ＋c ＋d ＝0解析 依题意，得AB→＝DC →，故AB →＋CD →＝0，即OB →－OA →＋OD →－OC →＝0，即有OA →－OB →＋OC →－OD →＝0，则a －b ＋c －d ＝0.选A. 答案 A3．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C .若OA →＋2OC →＝3OB →，则|BC →||AB →|的值为 ( )．A.12B.13C.14D.16解析 由OA →＋2OC →＝3OB →，得OA →－OB →＝2OB →－2OC →，即BA →＝2CB →，所以|BC →||AB →|＝12.故选A.4．(2011·山东)设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下列说法正确的是 ( )． A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C 、D 可能同时在线段AB 上D ．C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上解析 若A 成立，则λ＝12，而1μ＝0，不可能；同理B 也不可能；若C 成立，则0＜λ＜1，且0＜μ＜1，1λ＋1μ＞2，与已知矛盾；若C ，D 同时在线段AB 的延长线上时，λ＞1，且μ＞1，1λ＋1μ＜2，与已知矛盾，故C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上，故D 正确． 答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·泰安模拟)设a ，b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为________． 解析 ∵BD→＝BC →＋CD →＝2a －b ，又A ，B ，D 三点共线， ∴存在实数λ，使AB →＝λBD →.即⎩⎨⎧2＝2λ，p ＝－λ，∴p ＝－1. 答案 －16.如图，在矩形ABCD 中，|AB→|＝1，|AD →|＝2，设AB →＝a ，BC→＝b ，BD →＝c ，则|a ＋b ＋c |＝________. 解析 根据向量的三角形法则有|a ＋b ＋c |＝|AB →＋BC →＋BD→|＝|AB →＋BD →＋AD →|＝|AD →＋AD →|＝2|AD →|＝4.三、解答题(共25分)7．(12分)如图，在平行四边形OADB 中，设OA→＝a ，OB →＝b ，BM→＝13BC →，CN →＝13CD →.试用a ，b 表示OM →，ON →及MN →. 解 由题意知，在平行四边形OADB 中，BM→＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a －b )＝16a －16b ， 则OM→＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b . ON→＝23OD →＝23(OA →＋OB →)＝23(a ＋b )＝23a ＋23b ，MN→＝ON →－OM →＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b . 8．(13分)(1)设两个非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝2e 1＋3e 2，BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2，求证：A ，B ，D 三点共线． (2)设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值． (1)证明 因为BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2， 所以BD →＝BC →＋CD →＝10e 1＋15e 2. 又因为AB →＝2e 1＋3e 2，得BD →＝5AB →，即BD →∥AB →， 又因为AB→，BD →有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线． (2)解 D B →＝CB →－CD →＝e 1＋3e 2－2e 1＋e 2＝4e 2－e 1，AB →＝2e 1＋k e 2， 若A ，B ，D 共线，则AB →∥D B →，设D B →＝λAB →，所以⎩⎨⎧－1＝2λ，4＝λk⇒k ＝－8.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·济南一模)已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12OA →＋12OB →＋2OC →，则点P 一定为三角形ABC 的 ( )．A ．AB 边中线的中点B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点解析 设AB 的中点为M ，则12OA →＋12OB →＝OM →，∴OP →＝13(OM →＋2OC →)＝13OM →＋23OC →，即3OP →＝OM →＋2OC →，也就是MP →＝2PC →，∴P ，M ，C 三点共线，且P 是CM 上靠近C 点的一个三等分点． 答案 B2．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为( )．A.15B.25C.35D.45解析 设AB 的中点为D ，由5AM →＝AB →＋3AC →，得3AM →－3AC →＝2AD →－2AM →，即3CM →＝2MD →.如图所示，故C ，M ，D 三点共线，且MD→＝35CD →，也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比为3∶5，则△ABM 与△ABC 的面积比为35，选C. 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________．解析 OB→＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB→－OC →＝CB →＝AB →－AC →，∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|.故A ，B ，C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形． 答案 直角三角形4.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC→＝nAN →，则m ＋n 的值为________． 解析 ∵O 是BC 的中点， ∴AO →＝12(AB →＋AC →)．又∵AB→＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AO →＝m 2AM →＋n 2AN →. ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1，则m ＋n ＝2. 答案 2三、解答题(共25分)5．(12分)如图所示，在△ABC 中，在AC 上取一点N ，使得AN ＝13AC ，在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ，在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ，在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ→＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值．解 ∵AP→＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋NC →)＝12BC →，QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC→，又∵AP→＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →， 即λMC →＝12MC →，∴λ＝12.6．(13分)已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点． (1)求GA→＋GB →＋GO →； (2)若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n ＝3.(1)解 ∵GA →＋GB →＝2GM →，又2GM →＝－GO →， ∴GA→＋GB →＋GO →＝－GO →＋GO →＝0. (2)证明 显然OM →＝12(a ＋b )．因为G 是△ABO 的重心，所以OG →＝23OM →＝13(a ＋b )．由P ，G ，Q 三点共线，得PG →∥GQ →，所以，有且只有一个实数λ，使PG →＝λGQ→. 而PG→＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ， GQ→＝OQ →－OG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b ， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b . 又因为a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧13－m ＝－13λ，13＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13，消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，故1m ＋1n ＝3.。
山东省2014届理科一轮复习试题选编15平面向量的平行与垂直
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编15：平面向量的平行与垂直一、选择题1 ．(江西省上高二中2012届高三第五次月考(数学理))已知A(2,-2)、B(4,3),向量p的坐标为(2k-1,7)且//p AB,则k 的值为（ ）A ．910-B ．910C ．1910-D ．1910【答案】 D ．2 ．（山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）已知向量(0,1),(2,a b c k a b c k ===+=若与垂直则（ ）A ．—3B ．—2C ．lD ．-l【答案】A【解析】因为2a b c +与垂直,所以有2=0a b c + （）,即2=0a c b c + ,0=,解得3k =-,选A ．3 ．（山东省莱芜五中2013届高三4月模拟数学（理）试题）已知向量(1,2),m x =-+ (3,21),n y =-若m n ⊥ ,则18()16xy+的最小值为 （ ）A ．2B ．4C ．D ．【答案】C4 ．(2013辽宁高考数学(文))已知点()()1,3,4,1,A B -则与向量AB同方向的单位向量为 （ ）A ．3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-B ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，【答案】A (3,4)AB =- ,所以||5AB = ,这样同方向的单位向量是134(,)555AB =-5 ．在四边形ABCD 中,,AB DC = 且0AC AD =,则四边形ABCD 是 （ ）A ．矩形B ．菱形C ．直角梯形D ．等腰梯形【答案】B6 ．过ABC ∆的重心G 作一直线分别交AB 、AC 于D 、E ,若0,,≠==xy AC y AE AB x AD ,则yx 11+的值为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C ．错误人数40/94提示:设BC 的中点为F ,yx y x3131)11(31)(3132+=+=+==,由点E G D ,,共线可知31113131=+⇒=+yx y x 7 ．（山东省滨州市2013届高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题）已知向量(1,2)=a ,(,6)x =b ,且a ∥b ,则x 的值为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 因为a ∥b ,所以1620x ⨯-=,解得3x =,选C ．8 ．(2013陕西高考数学(文))已知向量 (1,),(,2)a m b m ==, 若a //b , 则实数m 等于（ ）A ．BC ．D ．0【答案】 C 解:.221,//),2,(),,1(±=⇒⋅=⋅∴==m m m b a m b m a 且 ,所以选C9 ．(2012年广西北海市高中毕业班第一次质量检测数学(理)试题及答案)给定两个向量)4,3(=,)1,2(=,若)//()(x -+,则x 的值等于（ ）A ．23 B ．1- C ．1D ．23-【答案】A ．10．(2013辽宁高考数学(理))已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为（ ）A ．3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-B ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，【答案】 A 解:(3,4)AB =- ,所以||5AB = ,这样同方向的单位向量是134(,)555AB =-11．(2012年高考(四川理))设a 、b 都是非零向量,下列四个条件中,使||||a ba b =成立的充分条件是（ ）A ．a b =-B ．//a bC ．2a b =D ．//a b 且||||a b =【答案】 [答案]D[解析]若使||||a ba b = 成立,则方向相同，与b a 选项中只有D 能保证,故选D ．[点评]本题考查的是向量相等条件⇔模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量,其模为0且方向任意. 12．（山东省菏泽市2013届高三5月份模拟考试数学（理）试题）已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4),若λ为实数,且()b a c λ+⊥,则λ= （ ）A ．311-B ．113-C ．12D ．35 【答案】A13．(2011年上海市普通高等学校春季招生考试数学卷)若向量()2,0a =,()1,1b =,则下列结论正确的是（ ）A ．1a b ⋅=B ．a b =C ．()a b b -⊥D ．//a b【答案】 【解】2a b ⋅= ,A 不正确;2a = ,b = ,则a b ≠,B 不正确;()1,1a b -=-,()()()1,11,10a b b -⋅=-⋅= ,所以()a b b -⊥ ,C 正确;不存在实数λ,使a b λ=,D 不正确.故选C ．14．（山东省莱钢高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）已知向量a ()()4,3,1,2==-b ,若向量k +a b,则k 的值为 （ ）B ．7C D 【答案】A15．(2013大纲版高考数学(理))已知向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+ ,若()()m n m n +⊥-,则=λ（ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．-1【答案】B ．()()2222||||0(1)1[(2)4]3m n m n m n λλλ+⊥-⇒-=⇒++-++⇒=-16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若56OB a OA a OC =+(O 为坐标原点),且,,A B C 三点共线(该直线不过点O ),则10S 等于 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．10【答案】B ．提示:依题意有165=+a a ,故5)(5210)(6510110=+=⨯+=a a a a S17．（山东省莱芜市莱芜二中2013届高三4月模拟考试数学（理）试题）设向量(1,sin )θ=a ,(3sin ,1)θ=b ,且//a b ,则cos2θ等于 （ ）A ．31-B．32-C．32D．31 【答案】D 二、填空题18．（山东省2013届高三高考模拟卷（一）理科数学）已知向量)3,2(=a ,)2,1(=b ,且b a ,满足)()(b a b a -⊥+λ,则实数=λ_______.【答案】 35-【解析】由)3,2(=a ,)2,1(=b ,得++=+3,2(λλb a )2λ,)1,1(=-b a ,因为)()(b a b a -⊥+λ,所以0)()(=-∙+b a b a λ,即01)23(1)2(=⨯++⨯+λλ,解得35-=λ.19．（山东省日照市2013届高三12月份阶段训练数学(理)试题）已知向量()()1,1,2,a b k =-=,且//a b ,则实数k =____________【答案】2- 【解析】因为 //a b,所以120k --⨯=,解得2k =-.20．(2013山东高考数学(文))在平面直角坐标系xOy 中,已知(1,)OA t =- ,(2,2)OB = ,若90oABO ∠=,则实数t 的值为______【答案】答案:5.解析:∵ ，(1)OA t =- ,，(22)OB = ,∴(2,2)AB OB OA =-=(1,)(3,2)t t --=-,又∵90ABO ∠=,∴AB OB ⊥,∴232(2)0AB OB t ⋅=⨯+⨯-= ,解得5t =.21．(2012年石景山区高三数学一模理科)设向量)cos 3,1(),1,(cos θθ==b a,且b a //,则θ2cos =________.【答案】 31-22．(2012年高考(安徽文))设向量(1,2),(1,1),(2,)a m b m c m ==+= ,若()a c +⊥b ,则a = _____. 【答案】【解析】a =1(3,3),()3(1)302a c m a cb m m m a +=+=++=⇔=-⇒=23．已知O 是坐标原点,,A B 是坐标平面上的两点,且向量(1,2)OA =- ,(3,)OB m =.若△AOB 是直角三角形,则m =_________.【答案】32或4; 24．(2013上海春季数学(理))已知向量(1 )a k =，,(9 6)b k =- ，.若//a b ,则实数 k = __________ 【答案】 34-25．(山西省实验中学仿真演练试卷理)1e 、2e 是互相垂直的两个单位向量,且向量122e e + 与12e ke -也相互垂直,则k =_____________. 【答案】2三、解答题26．四边形ABCD 中,)3,2(),,(),1,6(--===CD y x BC AB(1)若//,试求x 与y 满足的关系式;(2)满足(1)的同时又有⊥,求y x ,的值及四边形ABCD 的面积.【答案】解:),(y x BC = )2,4()2,4()(+---=-+-=++-=-=y x y x CD BC AB AD DA(1)// 则有0)4()2(=--⋅-+-⋅x y y x 化简得:02=+y x (2))1,6(++=+=y x BC AB AC)3,2(--=+=y x CD BC BD又BD AC ⊥ 则 0)3()1()2()6(=-⋅++-⋅+y y x x 化简有:0152422=--++y x y x联立⎩⎨⎧=--++=+015240222y x y x y x 解得⎩⎨⎧=-=36y x 或⎩⎨⎧-==12y xDA BC // BD AC ⊥ 则四边形ABCD 为对角线互相垂直的梯形当⎩⎨⎧=-=36y x )0,8()4,0(-==此时1621==S ABCD 当⎩⎨⎧-==12y x )4,0()0,8(-==此时1621==S ABCD 27．已知向量=)2,1(,=)2,3(- .⑴求||+与||-;⑵ 当k 为何值时,向量b a k +与b a 3+垂直?⑶ 当k 为何值时,向量k +与3+平行?并确定此时它们是同向还是反向?【答案】因为)2,3(),2,1(-==b a 所以5||2=a ,13||=b ,1=∙b a ,(1)52||==+b a , 4||==-b a ;(2)当向量b a k +与b a 3+垂直时,则有∙+)(b a k 0)3(=+b a ,03)13(2=+∙++b b a k a k ,即039)13(5=+++k k 解得5-=k 所以当5-=k 时,向量b a k +与b a 3+垂直;(3)当向量k +与3+平行时,则存在λ使)3(k +=+λ成立,于是⎩⎨⎧==13λλk 解得31=k ,当31=k 时,)3(3131b a b a b a k +=+=+,所以31=k 时向量k +与3+平行且它们同向.。
2014届高三理科数学第一轮复习单元过关(6)-解三角形、平面向量
2014届高三理科数学第一轮复习单元过关（6）考查：解三角形和平面向量 时间：90分钟练习时间：2013年10月20日星期天上午 出题人：盛驰志 审题人：刘仕宏一、选择题1．在ABC ∆中,若60A ∠=︒,45B ∠=︒,BC =,则AC =（ ）A．B．CD2．在ABC ∆中,若C B A 222sin sin sin <+,则ABC ∆的形状是（ ）A ．钝角三角形.B ．直角三角形.C ．锐角三角形.D ．不能确定.3．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 为( )A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形 4．设OA →＝e 1，OB →＝e 2，若e 1与e 2不共线，且点P 在线段AB 上，|AP |:|PB |＝2，如图所示，则OP →＝( )A.13e 1－23e 2B.23e 1＋13e 2C.13e 1＋23e 2D.23e 1－13e 25．已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，λa ＋b 与b 垂直，则λ等于( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2 6．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）A．2 B．2 C ．12 D ．12- 7．在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别是,,a b c ,已知8=5b c ,=2C B ,则cos C =（ ）A ．725B ．725-C ．725±D ．24258．在△ABC 中,BC=2,B =60°,则BC 边上的高等于（ ）ABCD二、填空题9．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，则a ·b ＝______，若k a ＋b 与b 平行，则k ＝______. 10．在三角形ABC 中,角A,B,C 所对应的长分别为a,b,c,若a=2 ,B=6π则b=______ 11．△ABC 中B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC 的面积为12．设△ABC 的内角A B C 、、 的对边分别为a b c 、、,且1cos 4a b C ==1，=2，,则sin B =____13．设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c . 若()()a b c a b c ab +-++=,则角C =_________.14．已知ABC ∆,则其最大角的余弦值为_________.班别： 姓名： 学号： 成绩：二、填空题9． __________________ 10．__________________ 11．__________________12．__________________ 13．__________________ 14．__________________三、解答题15．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值； (2)若∠ABC 为锐角，求实数m 的取值范围．16．在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，已知,2.B C b == （Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）cos(2)4A π+的值．17．要测量对岸A 、B 两点之间的距离，选取相距 3 km 的C 、D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，求A 、B 之间的距离．18．已知在锐角△ABC 中，两向量p ＝(2－2sin A ，cos A ＋sin A )，q ＝(sin A －cos A,1＋sin A )，且p 与q 是共线向量．(1)求A 的大小；(2)求函数y ＝2sin 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎫C －3B 2取最大值时，B 的大小．2014届高三理科数学第一轮复习单元过关（6）参考答案1．B.解析:由正弦定理,可得sin 45sin60AC BC=︒︒,所以2AC ==2．A.解析:由条件结合正弦定理,得222c b a <+,再由余弦定理,得02cos 222<-+=abcb a C ,所以C 是钝角.3．A.解析:由已知得AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ，故AD →＝2BC →，由共线向量知AD ∥BC ，且|AD |＝2|BC |，故四边形ABCD 为梯形，所以选A.4．C.解析: AP →＝2PB →，∴AB →＝AP →＋PB →＝3PB →，OP →＝OB →＋BP →＝OB →－13AB →＝OB →－13(OB →－OA →)＝13e 1＋23e 2.5．C.解析:λa ＋b ＝(λ＋4，－3λ－2)，∵λa ＋b 与b 垂直，∴(λ＋4，－3λ－2)·(4，－2)＝4(λ＋4)－2(－3λ－2)＝10λ＋20＝0，∴ λ＝－2.6．C.解析:由余弦定理得,222221cos 242a b c a b C ab ab +-+==≥当且仅当a b =时取“=”,选C. 7．A.解析:∵8=5b c ,由正弦定理得8sin =5sin B C ,又∵=2C B ,∴8sin =5sin 2B B ,所以8sin =10sin cos B B B ,易知sin 0B ≠,∴4cos =5B ,2cos =cos 2=2cos 1C B B -=725.8．B.解析:设AB c =,在△ABC 中,由余弦定理知2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅,即27422cos60c c =+-⨯⨯⨯,2230,(-3)(1)c c c c --=+即=0.又0, 3.c c >∴= 设BC 边上的高等于h ,由三角形面积公式h BC B BC AB S ABC ⋅=⋅⋅=∆21sin 21，知 1132sin 60222h ⨯⨯⨯=⨯⨯ ,解得h =. 9．解析:a·b ＝1×(－3)＋2×2＝1，∵ ka ＋b 与b 平行，ka ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，∴ (k －3)×2－(－3)×(2k ＋2)＝0，∴ k ＝0. 10．解析:由余弦定理得,2222cos 4b a c ac B =+-=,所以2b =.11．由余弦定理得o 120cos 2222⋅⋅-+=BC AC BC AC AB ，解得BC=3．故由面积公式得4315sin 21=⋅⋅=B BC AB S 12．解析:11,2,cos 4a b C ===,由余弦定理得22212cos 1421244c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=,则2c =,即B C =,故sin 4B ==. 13．解析:由222()()a b c a b c ab a b c ab +-+-=⇒+-=-，根据余弦定理可得22212cos 223a b c C C ab π+-==-⇒=14．解析:设最小边为a ,,2a ,由余弦定理得,最大角的余弦值为222cos 4α==-15．解：(1)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－(3＋m ))．∴AB →＝(3,1)，AC →＝(2－m,1－m )，∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →与AC →共线，∴3(1－m )＝2－m ，∴m ＝12.(2)由题设知BA →＝(－3，－1)，BC →＝(－1－m ，－m ) ∵∠ABC 为锐角，∴BA →·BC →＝3＋3m ＋m >0⇒m >－34又由(1)可知，当m ＝12时，∠ABC ＝0°故m ∈⎝⎛⎭⎫－34，12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 16．（Ⅰ）解：由,2,B C b c b ====可得所以222222331cos .23a a a b c a A bc +-+-===（Ⅱ）解：因为1cos ,(0,)3A A π=∈，所以sin A ==27cos 22cos 1.sin 22sin cos 99A A A A A =--=-==故所以78cos 2cos 2cos sin 2sin 444929218A A A πππ+⎛⎫⎛⎫+=-=-⨯-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭17．解 如图所示，在△ACD 中，∠ACD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°，∴AC ＝CD ＝ 3 km.在△BCD 中，∠BCD ＝45°， ∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°.∴BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×cos 75°＝3＋2＋3－3＝5，∴AB ＝ 5 (km)，∴A 、B 之间的距离为 5 km.18．解 (1)∵p ∥q ，∴(2－2sin A )(1＋sin A )－(cos A ＋sin A )(sin A －cos A )＝0，∴sin 2A ＝34，又π<<A 0，故sin A ＝32，∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＝60°.(2)y ＝2sin 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎫C －3B 2＝2sin 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎫180°－B －A －3B 2 ＝2sin 2B ＋cos(2B －60°) ＝1－cos 2B ＋cos(2B －60°) ＝1－cos 2B ＋cos 2B cos 60°＋sin 2B sin 60°＝1－12cos 2B ＋32sin 2B ＝1＋sin(2B －30°)，当2B －30°＝90°，即B ＝60°时，函数取最大值2.。
2014高考一轮复习课件4.2平面向量的基本定理及坐标运算
•【解析】 若a与b共线，则有a⊙b＝mq－ np＝0，故①正确；因为b⊙a＝pn－qm，而 a⊙b＝mq－np，所以有a⊙b≠b⊙a，故选项 ②错误； •同样可知③④正确，故选A. •【答案】 A
→ → 已知向量AB＝(3，1)，AC＝(－1，a)，a∈R. → (1)若D为BC中点，AD＝(m，2)，求a、m的值； (2)若△ABC是以A为直角顶点，求a的值．
【解】 → → (1)因为AB＝(3，1)，AC＝(－1，a)，
→ ＝1(AB＋AC)＝(1，1＋a)＝(m，2)， → → 所以AD 2 2
【思路点拨】 (1)根据a与b的关系，设出a的坐标，再 根据|a|＝2 5求解； (2)直接设出a的坐标，根据条件列方程组求解．
【尝试解答】 (1)∵a与b的方向相反且b＝(2，1)， ∴设a＝λb＝(2λ，λ)，λ＜0， 又|a|＝2 5， ∴4λ 2＋λ2＝20，即λ2＝4，∴λ＝－2. 因此a＝(－4，－2)． (2)设向量a＝(m，n)，则a＋b＝(m＋2，n－1)， ∵|a＋b|＝1，且a＋b平行于x轴，
•【答案】 1
(2013·梅州模拟)在平行四边形ABCD中，E和F分 → → → 别是边CD和BC的中点．若 AC ＝λ AE ＋μ AF ，其中λ， μ∈R，则λ＋μ＝________．
→ → → → 【思路点拨】 以AD ，AB 为基底分别表示AC ，AE ， → AF，根据平面向量基本定理列方程组求解．
•1．向量的坐标运算主要是利用向量加减、 数乘运算的法则进行．若已知有向线段两端 点的坐标，则应先求向量的坐标，注意方程 思想的应用． •2．平面向量的坐标运算的引入为向量提供 了新的语言——“坐标语言”，实质是“形” 化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的 线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运 算完全代数化，将数与形紧密结合起来．
数学-兴化市安丰高级中学2014届高三数学一轮复习平面向量测试题
兴化市安丰高级中学2014届高三一轮复习数学试题（平面向量）姓名_________________ 学号__________ 成绩___________一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将正确答案填在答题纸的相应题号中的横线上．1、已知在ABC ∆中，||||2AC AB AC AB ⋅=⋅，则角A 的大小为 ．2、已知向量a )3,1(=，b )0,2(-=，则| a -2b | = ．3、如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=，则实数λ= ．4、已知向量a ()m ,1=，b ()2,m =, 若a // b , 则实数m 等于 ．5、已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b ·c =0，则t = ．6、设a ()2,1-=，b ()4,3-=， c ()2,3=，则(a + 2b )·c = ．7、在四边形ABCD 中，)2,4(),2,1(-==BD AC ，则该四边形的面积为 ． 8、已知点()3,1A ，()1,4-B ，则与向量AB 同方向的单位向量为 ． 9、已知向量m ()1,1+=λ，n ()2,2+=λ，若(m + n )⊥(m - n )，则=λ ． 10、已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则=⋅BD AE ． 11、若非零向量a ，b 满足|a |=3|b |=|a +2b |，则a ，b 夹角的余弦值为 ．12、OA 为边，OB 为对角线的矩形中，(3,1)OA =-，(2,)OB k =- ，则实数k = ．13、已知O ，A ，B 是平面上不共线的三点，设P 为线段AB 垂直平分线上任意一点，若7=OA ，5=OB ，则()OB OA OP -⋅的值为 ．14、如图，在ABC ∆中，2=BC ，DC AD =，EB AE 21=，若21-=⋅AC BD ，则=⋅AB CE ．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15、（本小题满分14分）已知向量a ，b 满足|a |=2，|b |=1，|a －b |=2．OCABDA BCDE（1）求a·b 的值； （2）求|a + b |的值． 16、（本小题满分14分） 设向量a ()x x sin ,sin 3=，b ()x x sin ,cos =，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ．（1）若|a |=|b |，求x 的值；（2）设函数()=x f a ·b ，求()x f 的最大值． 17、（本小题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1,－2)、B (2,3)、C (－2,－1) ． (1) 求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2) 设实数t 满足(OC t AB -)·OC =0，求t 的值．18、（本小题满分15分）已知a ()βαsin ,sin =，b ()()1,cos --=βα，c ()()2,cos βα+=，≠βα,2ππ+k ，Z k ∈．(1)若b //c ，求βαtan tan ⋅的值； (2)求a 2+ c ·b 的值．19、（本小题满分16分）已知向量a ()()θλλθ-=10cos ,cos ，b ()()λθθλsin ,10sin -=，R ∈θλ,． (1)求 |a |2+ |b |2的值； (2)若a ⊥b ，求θ的值； (3)若20πθ=，求证：a //b ．20、（本小题满分16分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ()b c a ,2-=与向量n ()C B cos ,cos -=互相垂直． (1)求角B 的大小；(2)求函数()C B C y 2cos sin 22-+=的值域；(3)若AB 边上的中线2=CO ，动点P 满足()R AC AO AP ∈⋅+⋅=θθθ22cos sin ，求()PC PB PA ⋅+的最小值．兴化市安丰高级中学2014届高三一轮复习数学答案（平面向量）姓名_________________ 学号__________ 成绩___________一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1、3π． 2、2． 3、2． 4、2±． 5、2. 6、3-． 7、5． 8、3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-． 9、=λ-3． 10、2． 11、13-． 12、4． 13、12． 14、34-． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．15、解：（1）由|a －b |=2，得|a －b |2=a 2-2a·b +b 2412=+-a·b 4=，∴ a·b 12=．（2）|a +b |2=a 22+a·b +b 2142162=+⨯+=，∴ |a +b |6=．16、 [思路]（Ⅰ）一般给出模的关系就可以考虑把模平方，进而可以把向量问题转化为三角函数问题求出24sin 1x =因为[0,]2x π∈，根据象限符号知sin 0x >求出1sin 2x =，所以6x π=．（2）通过降幂公式和二倍角公式可化简1()sin(2)62f x x π=-+， 最后解得最大值为32． 17、[解析]（1）（方法一）由题设知(3,5),(1,1)AB AC ==-，则 (2,6),(4,4).AB AC AB AC +=-=所以||210,||4 2.AB AC AB AC +=-=故所求的两条对角线的长分别为42、210。
【高考复习方案 】2014年高考数学(文,江苏教育版)一轮复习课件：第25讲 平面向量基本定理及坐标表示
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第25讲
平面向量基本定理及坐标表示
• 双 向 固 基 础
—— 链接教材 ——
1． 已知a＝(3，－1)，b＝(1，2)，则3a－ 2b=____________．
[答案] (7，－7)
[解析] 3a－2b＝3(3，－1)－2(1，2)＝(7，－7)．
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平面向量基本定理及坐标表示
图5-25-2
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平面向量基本定理及坐标表示
• 双 向 固 基 础
(2)平面向量的坐标运算
向量 a b a ＋b a －b λa 坐标 (x1，y1) (x2，y2)
(x1＋x2，y1＋y2) ________________
________________ (x1－x2，y1－y2) ________________ (λx1，λy1)
1→ 1→ → 3AB）＋（AF－3AD）， 1 → → 1→ → → → → → ∴AC＝(AE＋AF)－3(AB＋AD)＝(AE＋AF)－3AC， 4→ → → 3 3 ∴ AC ＝AE＋AF，∴m＝n＝ ，m＋n＝ . 3 4 2
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平面向量基本定理及坐标表示
•
［归纳总结］平面向量基本定理的作用： (1)能把平面上的不同向量用基底向量表示出来，其做 点 面法是：先选择一组不共线的基底，通过向量的加、减、数 讲乘，把其他相关的向量用这一组基底表示出来，有时还利用 考向量相等建立方程组，再解出某些相关的值． 向 (2)平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证 了向量与坐标是一一对应的，即a＝(x，y)一一对应，向量 → 对应点A(x，y)． OA
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第25讲
(5年高考真题备考题库)2014-2015高考数学一轮复习 第4章 第1节 平面向量的概念及其线性运算 文 湘教版
2009~2013年高考真题备选题库第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入第1节 平面向量的概念及其线性运算考点 平面向量的概念与线性运算1．（2013广东，5分）设a 是已知的平面向量且a≠0.关于向量a 的分解，有如下四个命题： ①给定向量b ，总存在向量c ，使a ＝b ＋c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a ＝λb ＋μ c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a ＝λb ＋μ c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μ c.上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：本题主要考查平面向量知识，考查数形结合、分类与整合的数学思想方法，意在考查考生的抽象概括能力、推理论证能力．显然①②正确；对于③，当μ＜，时，不存在符合题意的单位向量c 和实数λ，③错；对于④，当λ＝μ＝1，|a|＞2时，易知④错．答案：B2．（2013新课标全国Ⅱ，5分）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE ·BD ＝________.解析：本题考查平面向量的基本定理及基本运算，是基本题目，意在考查考生的运算求解能力．选向量的基底为AB ，AD ，则BD ＝AD －AB ，AE ＝AD ＋12AB ，那么AE ·BD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ＋12 AB ·(AD －AB )＝2. 答案：23（2013江苏，5分）．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC.若DE ＝λ1AB ＋λ2AC (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：本题考查向量的基本定理、向量的运算，意在考查学生的转化与化归能力． DE ＝DB ＋BE ＝12AB ＋23BC ＝12AB ＋23(BA ＋AC )＝－16AB ＋23AC ，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12. 答案：124．（2010安徽，5分）设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，则下列结论中正确的是( )A ．|a|＝|b|B ．a ·b＝22 C ．a ∥b D ．a －b 与b 垂直解析：|a|＝12＋02＝1，|b|＝12＋12＝22； a·b＝1×12＋0×12＝12；(a －b)·b＝a·b－|b|2＝12－12＝0，故a －b 与b 垂直． 答案：D5.（2010山东，4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP 的坐标为________．解析：如图，作CQ ∥x 轴，PQ ⊥CQ ，Q 为垂足．根据题意得劣弧D P ＝2，故∠DCP ＝2弧度，则在△PCQ 中，∠PCQ ＝(2－π2)弧度，|CQ|＝cos(2－π2)＝sin 2，|PQ|＝sin(2－π2)＝－cos 2，所以P 点的横坐标为2－|CQ|＝2－sin 2，P 点的纵坐标为1＋|PQ|＝1－cos 2，所以P 点的坐标为(2－sin 2，1－cos 2)，此即为向量OP 的坐标．答案：(2－sin 2,1－cos 2)6．如图，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP ·AC ＝________.解析：设AC 与BD 的交点为O ，则AP ·AC ＝AP ·2AO ＝2AP 2＋2AP ·PO ＝2×32＋0＝18.答案：187．（2011浙江，4分）若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________． 解析：对于以向量α，β为邻边的平行四边形的面积S0＝12|α||β|·sin〈α，β〉×2＝|β|sin 〈α，β〉＝12，因此sin 〈α，β〉＝12|β|∈[12，1]，因此α与β的夹角θ的取值范围是[π6，5π6]． 答案：[π6，5π6] 8．（2010浙江，4分）已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．解析：由于α⊥(α－2β)，所以α·(α－2β)＝|α|2－2α·β＝0，故2α·β＝1，所以|2α＋β|＝4|α|2＋4α·β＋|β|2＝4＋2＋4＝10.答案：10。
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第2章 平面向量§2.1向量的概念及其表示重难点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量，掌握平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系．考纲要求：①了解向量的实际背景．②理解平面向量的概念及向量相等的含义．③理解向量的几何表示．经典例题：下列命题正确的是（ ）A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c 也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行当堂练习：1.下列各量中是向量的是 ( )A.密度B.体积C.重力D.质量2下列说法中正确的是 （ ）A. 平行向量就是向量所在的直线平行的向量B. 长度相等的向量叫相等向量C. 零向量的长度为零D.共线向量是在一条直线上的向量3．设O 是正方形ABCD 的中心，则向量AO 、OB 、CO 、OD是 （ ）A ．平行向量B ．有相同终点的向量C ．相等的向量D ．模都相同的向量4.下列结论中,正确的是 ( )A. 零向量只有大小没有方向B. 对任一向量,||>0总是成立的C. ||AB =||D. ||AB 与线段BA 的长度不相等5.若四边形ABCD 是矩形,则下列命题中不正确的是 ( )A. AB 与共线B. 与BD 相等C. 与 是相反向量D. 与模相等6．已知O 是正方形ABCD 对角线的交点，在以O ，A ，B ，C ，D 这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，（1）与BC相等的向量有 ；（2）与OB长度相等的向量有 ；（3）与DA共线的向量有 ．7．在①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，不正确的命题是 ．并对你的判断举例说 明． 8．如图，O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在图中所示的向量中： （1）与AO相等的向量有 ；（2）写出与AO共线的向有 ；（3）写出与AO的模相等的有 ；（4）向量AO 与CO是否相等？答 ．9．O 是正六边形ABCDE 的中心，且OA a = ，OB b = ，AB c =，在以A ，B ，C ，D ，E ，O 为端点的向量中：（1）与a 相等的向量有 ；（2）与b 相等的向量有 ；（3）与c 相等的向量有10．在如图所示的向量a ，b ，c ，d ，e 中（小正方形的边长为1），是否存在：（1）是共线向量的有 ；（2）是相反向量的为 ；（3）相等向量的的 ；（4）模相等的向量 ．11．如图，△ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，AB ，CA 的中点，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段中所表示的向量中，（1）与向量FE共线的有 ．OA B C D E F（2）与向量DF的模相等的有 ．（3）与向量ED相等的有 ．12．如图，中国象棋的半个棋盘上有一只“马”，开始下棋时，它位于A 点，这只“马”第一步有几种可能的走法？试在图中画出来．若它位于图中的P 点，这只“马”第一步有几种可能的走法？它能否从点A 走到与它相邻的B ？它能否从一交叉点出发，走到棋盘上的其它任何一个交叉点？第2章 平面向量§2.2向量的线性运算重难点：灵活运用向量加法的三角形法则和平行四边形法则解决向量加法的问题，利用交换律和结合律进行向量运算；灵活运用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的差，以及求两个向量的差的问题；理解实数与向量的积的定义掌握实数与向量的积的运算律体会两向量共线的充要条件．考纲要求：①掌握向量加法，减法的运算，并理解其几何意义．②掌握向量数乘的运算及其意义。
理解两个向量共线的含义．③了解向量线性运算的性质及其几何意义．经典例题：如图，已知点,,D E F 分别是ABC ∆三边,,AB BC CA 的中点，求证：0EA FB DC ++=．.当堂练习：1．a 、b 为非零向量，且+=+||||||a b a b ，则 （ ）A ．a 与b 方向相同B ．a =bC ．a =-bD ．a 与b 方向相反2．设+++=()()AB CD BC DA a ，而b 是一非零向量，则下列各结论：①//a b ；②+=a b a ；③+=a b b ；④+<+a b a b ，其中正确的是 （ ）A ．①②B ．③④C ．②④D ．①③3．3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则-+等于（ ） A ．O B ．4 C ．4 D ．44．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是（ ） A ．||||||b a b a -=- B ．||||b a b a -=+C ．||||||b a b a -=+D ．||||||b a b a +=+5．若a b c =+化简3(2)2(3)2()a b b c a b +-+-+ （ ）A ．aB ．bC ．cD ． 以上都不对6．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则AP= （ ）A ．().(0,1)AB AD λλ+∈B．().(0,2AB BC λλ+∈ C ． ().(0,1)AB AD λλ-∈D ．().AB BC λλ-∈ 7．已知==||||3 OA a ，==||||3OB b ，∠AOB=60︒，则+=||a b __________。
8．当非零向量a 和b 满足条件 时，使得+平分和间的夹角。
9．如图，D 、E 、F 分别是∆ABC 边AB 、BC 、CA 上的中点，则等式：FE C①+-=FD DA AF0②+-=FD DE EF0③+-=DE DA BE0④+-=AD BE AF010．若向量x、y满足+=-=23,32x y a x y b，a、b为已知向量，则x=__________；y=___________．11．一汽车向北行驶3 km，然后向北偏东60︒方向行驶3 km，求汽车的位移.12.如图在正六边形ABCDEF中，已知：→AB=,→AF= ,试用、表示向量→BC,→CD, →AD，→BE.第2章平面向量§2.3平面向量的基本定理及坐标表示重难点：对平面向量基本定理的理解与应用；掌握平面向量的坐标表示及其运算．考纲要求：①了解平面向量的基本定理及其意义．②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．③会用坐标表示平面向量的加法，减法于数乘运算．④理解用坐标表示的平面向量共线的条件．经典例题：已知点(,0),(2,1),(2,),(6,2)A x B x C x D x ．求实数x 的值，使向量AB 与CD共线；当向量AB 与CD共线时，点,,,A B C D 是否在一条直线上？当堂练习：1．若向量a=(1,1),b=(1,－1),c=(－1,2)，则c 等于 （ ）A ．21-a 23+ bB ．21a 23- bC ．23a 21- bD ．23-a+21b 2．若向量a=(x －2,3)与向量b=(1,y+2)相等，则 （ ）A ．x=1,y=3B ．x=3,y=1C ．x=1,y=－5D ．x=5,y=－13．已知向量),cos ,(sin ),4,3(αα==且∥，则αtan = （ ）A ．43B ．43-C ．34D ．34-4．ABCD 的两条对角线交于点E ，设1e =，2e =，用21,e e 来表示ED 的表达式（ ）A ．212121e e -- B ．212121e e +- C ．212121e e - D ．212121e e + 5．已知两点P １（－１，－6）、Ｐ２（3，０），点P （－37，ｙ）分有向线段21P P 所成的比为λ，则λ、ｙ的值为 （ ）A ．－41，8B ．41，－8C ．－41，－8D ．4，816．下列各组向量中：①)2,1(1-=e ②)5,3(1=e ③)3,2(1-=e )7,5(2=e)10,6(2=e )43,21(2-=e 有一组能作为表示它们所在平面内所有向量的基底，正确的判断是 （ ）A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③7．若向量=（2，m ）与=（m ，8）的方向相反，则m 的值是 ．8．已知=（2，3）， =（-5，6），则|+|= ，|-|= ．9．设a =（2，9），b =（λ,6），c =(-1,μ),若a +b =c ,则λ= , μ= .10．△ABC 的顶点A(2，3)，B(－4，－2)和重心G(2，－1)，则C 点坐标为 .11．已知向量e1、e2不共线，(1)若=e1－e2，BC =2e1－８e2，CD =3e1＋３e2，求证：A 、B 、D 三点共线.(2)若向量λe1－e2与e1－λe2共线，求实数λ的值.12．如果向量=i －2j,BC =i+mj,其中i 、j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量， 试确定实数m 的值使A 、B 、C 三点共线.第2章 平面向量§2.4平面向量的数量积重难点：理解平面向量的数量积的概念，对平面向量的数量积的重要性质的理解． 考纲要求：①理解平面向量数量积的含义及其物理意义．②了解平面向量数量积于向量投影的关系．③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 经典例题：在ABC ∆中，设()(),,1,3,2k AC AB ==且ABC ∆是直角三角形，求k 的值．当堂练习：1．已知a =（3，0），b =（-5，5）则a 与b的夹角为 （ ）A ．450B 、600C 、1350D 、12002．已知a =（1，-2），b =（5，8），c =（2，3），则a ²（b ²c ）的值为 （ ）A ．34B 、（34，-68）C 、-68D 、（-34，68）3．已知a =（2，3），b =（-4，7）则向量a 在b 方向上的投影为 （ ）A ．13B 、513C 、565D 、654．已知a =（3，-1），b =（1，2），向量c 满足²c =7，且b ⊥，则c 的坐标是（ ）A ．（2，-1）B 、（-2，1）C 、（2，1）D 、（-2，-1）5．有下面四个关系式（1）0 ²0 =0 ；（2）（a ²b ）c =a （b ²c ）；（3）a ²b =b ²a ；（4）0a =0，其中正确的个数是 （ ）A 、4B 、3C 、2D 、16．已知a =（m-2，m+3），b =（2m+1，m-2）且a 与b的夹角大于90°，则实数m （ ）A 、m ＞2或m ＜-4/3B 、-4/3＜m ＜2C 、m ≠2D 、m ≠2且m ≠-4/37．已知点A （1，0），B （3，1），C （2，0）则向量与的夹角是 。