1998年全国高考文科数学试题及其解析
1988高考数学全国卷及答案文
1988年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案一．（本题满分45分）本题共有15个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题选对得3分，不选或选错一律得0分（1）2i 1i 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-的值等于 （ B ）（A ）1 （B ）-1 （C ）i (D)-i（2）设圆M 的方程为(x-3)2+(y-2)2=2,直线L 的方程为x+y-3=0,点P 的坐标为（2，1），那么 （ C ） （A ）点P 在直线L 上，但不在圆M 上（B ）点P 在圆M 上，但不在直线L 上（C ）点P 既在圆M 上，又在直线L 上（D ）点P 既不在直线L 上，也不在圆M 上（3）集合{1，2，3}的子集共有 （ D ） （A ）5个 （B ）6个 （C ）7个 （D ）8个（4）函数)1a 0(a y x <<=的图象是 （ B ）（5）已知椭圆方程111y 20x 22=+，那么它的焦距是 （ A ）（A ）6 （B ）3 （C ）312 （D ）31（A ） （B ） （C ） （D ） Y Y1X X X X1 1 1 1（6）在复平面内，与复数z=-1-i 的共轭复数对应的点位于（ B ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （7）在10)3x (-的展开式中，x 6的系数是 （ D ）（A ）610C 27- （B ）410C 27 （C ）610C 9- （D ）410C 9（8）函数)6x 52cos(3y π-=的最小正周期是 （ D ）（A ）π52（B ）π25（C ）π2 （D ）π5（9）)619sin(π-的值等于 （ A ） （A ）21 （B ）21- （C ）23 （D ）23- （10）直线x+ay=2a+2与ax+y=a+1平行（不重合）的充要条件是 （A ）21a =（B ）21a -= （C ）1a = （D ）1a -= （ C ）（11）函数)21x ,R x (1x 22x y ≠∈--=且的反函数是 （ A ）（A ）21x ,R x (1x 22x y ≠∈--=且 （B ）)2x ,R x (2x 1x 2y ≠∈--=且 （C ）)21x ,R x (1x 22x y ≠∈-+=且 （D ）)2x ,R x (2x 1x 2y -≠∈+-=且 （12）如图，正四棱台中，D A ''所在的直线与B B '所在的直线是 （A ）相交直线 （ C ） （B ）平行直线（C ）不互相垂直的异面直线 （D ）互相垂直的异面直线D ' C 'C B（13）函数)4x sin(y π+=在闭区间 （ B ）（A ）]2,2[ππ-上是增函数 （B ）]4,43[ππ-上是增函数 （C ）]0,[π-上是增函数 （D ）]43,4[ππ-上是增函数（14）假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有 （ A ）（A ）219733319723C C C C +种 （B ）319723C C 种 （C ）51975200C C -种 （D ）4197135200C C C -种（15）已知二面角β--αAB 的平面角是锐角θ，α内一点C 到β的距离为3，点C 到棱AB 的距离为4，那么θtg 的值等于 （ C ） （A ）43（B ）53 （C ）773 （D ）731 二．（本题满分20分）本题共5小题，每1个小题满分4分直接写出结果（1）求复数i 3-的模和辐角的主值[答]2;π611（只答对一个值的给2分） （2）解方程.27329x 1x =⋅---[答]x=-2（直接答-2也算对） （3）已知2tg ,273,53sin θπ<θ<π-=θ求的值 [答]-3（4）一个直角三角形的两条直角边的长分别为3cm 和4cm ，将这个直角三角形以斜边为轴旋转一周，求所得旋转体的体积[答]3cm 548π（未写单位，只给3分） （5）求.1n 3n n 2n 3lim 22n-++∞→[答]3三．（本题满分10分）证明α-α=αcos 3cos 43cos 3 证明：略四．（本题满分10分）如图，四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱SB 垂直于底面，并且SB=3，用α表示∠ASD ，求αs i n 的值解：因为SB 垂直于底面ABCD ，所以斜线段SA 在底面上的射影为AB ，由于DA ⊥AB所以 DA ⊥SA 从而.SD1SD AD sin ==α 连结BD ，易知BD=2由于SB ⊥BD ，所以5)2()3(BD SB SD 2222=+=+=因此，.55151sin ==α 五．（本题满分11分）在双曲线x 2-y 2=1的右支上求点P （a,b ），使该点到直线y=x 的距解：由题意，点P （a,b ）是下述方程组的解：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-)2(,22|b a |)1(,1b a 22并且a>0.由（1）式得,b 1a 22+=因为a>0， 所以|b |b b 1a 22=>+=，从而a>b ，于是由（2）式得SαB AC Da-b=2 （3）把（3）式代入得,1b )2b (22=-+ 解得.45a )3(,43b =-=得代入 ∴所求的点P 的坐标为).43,45(- 六．（本题满分12分）解不等式.0)x1x lg(<-解：原不等式等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-.1x1x ,0x1x 22情形1 当x>0时，上述不等式组变成⎩⎨⎧+<>.1x x ,1x 22解得：.251x 1+<< 情形2 当x<0时，上述不等式组变成⎩⎨⎧+><.1x x ,1x 22解得.251x 1-<<- 所以原不等式解集为}251x 1|x {}251x 1{|+<<⋃-<<- 七．（本题满分12分）一个数列}a {n ：当n 为奇数时，;1n 5a n +=当n 为偶数时，.2a 2nn =求这个数列的前2m 项的和（m 是正整数）解：因为,10]1)1k 2(5[]1)1k 2(5[a a 1k 21k 2=+--++=--+ 所以1m 2531a ,a ,a ,a - 是公差为10的等差数列因为,2)2()2(a a 2k 222k 2k 22k 2=÷=÷++所以m 2642a ,a ,a ,a 是公比为2的等比数列从而数列}a{n的前2m项和为：.22mm521)21(22m]1)1m2(56[)a,a,a,a()a,a,a,a(S1m2mm26421m2531m2-++=--++-+=+=+-。
1998年全国高考试卷及答案
1998年普通高等学校招生全国统一考试物理测试一、本题共12小题；每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确。
全部选对的得5分，选不全的得2分，有选错或不答的得0分。
1、三段不可伸长的细绳OA、OB、OC能承受的最大拉力相同，它们共同悬挂一重物，如图所示，其中OB是水平的，A端、B端固定。
若逐渐增加C端所挂物体的质量，则最先断的绳（A）必定是OA（B）必定是OB（C）必定是OC（D）可能是OB，也可能是OC2、下列说法正确的是（A）液体中悬浮微粒的布朗运动是作无规则运动的液体分子撞击微粒而引起的（B）物体的温度越高，其分子的平均动能越大（C）物体里所有分子动能的总和叫做物体的内能（D）只有传热才能改变物体的内能3、一简谐横波在x轴上传播，在某时刻的波形如图所示，已知此时质点F的运动方向向下，则（A）此波朝x轴负方向传播（B）质点D此时向下运动（C）质点B将比质点C先回到平衡位置（D）质点E的振幅为零4、通电矩形导线框abcd与无限长通电直导线MN在同一平面内，电流方向如图所示，ab边与NM平行。
关于MN的磁场对线框的作用，下列叙述正确的是（A）线框有两条边所受的安培力方向相同（B）线框有两条边所受的安培力大小相同（C）线框所受安培力的合力朝左（D）cd所受安培力对ab边的力矩不为零5、如图所示，一宽40cm的匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里。
一边长为20cm的正方形导线框位于纸面内，以垂直于磁场边界的恒定速度v=20cm/s通过磁场区域，在运动过程中，线框有一边始终与磁场区域的边界平行。
取它刚进入磁场的时刻t=0，在下列图线中，正确反映感应电流强度随时间变化规律的是（）6、天然放射性元素Th（钍）经过一系列α衰变和β衰变之后，变成Pb（铅）。
下列论断中正确的是（A）铅核比钍核少24个中子（B）铅核比钍核少8个质子（C）衰变过程中共有4次α衰变和8次β衰变（D）衰变过程中共有6次α衰变和4次β衰变7、一金属球，原来不带电，现沿球的直径的延长线放置一均匀带电的细杆MN，如图所示，金属球上感应电荷产生的电场在球内直径上a、b、c三点的场强大小分别为E a、E b、E c，三者相比，（A）E a最大（B）E b最大（C）E c最大（D）E a=E b=E c8、一细束平行光经玻璃三棱镜折射后分解为互相分离的三束光，分别照射到相同的金属板a、b、c上，如图所示。
(详细解析)1998年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案(文)
1998年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）一．选择题：本大题共15小题；第（1）－（10）题每小题4分，第（11）－第（15）题每小题5分，65分．在每小题给出四项选项，只一项符合题目要求的．1．sin600︒的值是 A ．21 B ．12- C ．23 D ．32-【答案】D【解析】sin 600sin(720120)sin(120)sin120sin(18060)︒=︒-︒=-︒=-︒=-︒-︒3sin 602=-︒=-．2．函数(1)xy a a =>的图像是【答案】B【解析】函数为偶函数，当0x ≥时，xy a =为增函数，且过点(0,1)，B 正确．3．已知直线(0)x a a =>和圆22(1)4x y -+=相切，那么a 的值是 A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】C【解析】3a =或10a =-<（舍去）．4．两条直线1112220,0A x B y C A x B y C ++=++=垂直的充要条件是A ．12120A AB B += B ．12120A A B B -=C ．12121-=B B A A D ．12121=A A B B【答案】A【解析】①若一条直线的斜率不存在，则另一条直线一定与x 轴垂直，满足12120A A B B +=； ②若两条直线斜率均存在，则121212,A A k k B B =-=-，有121k k =-，即1212()1A AB B --=-，所以12120A A B B +=．5．函数1()(0)f x x x=≠的反函数1()f x -= A ．(0)x x ≠ B ．1(0)x x ≠ C ．(0)x x -≠ D ．1(0)x x-≠【答案】B 【解析】1()f x x =为反比例函数，所以反函数11()(0)f x x x-=≠．6．已知点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限，则在)20[π，内α的取值是A ．35()()244ππππ，， B ．5()()424ππππ，，C ．353(,)()2442ππππ,D ．3()(,)424ππππ，【答案】B【解析】点P 在第一象限，则sin cos 0,tan 0ααα->>，即sin cos ,tan 0ααα>>，α为第一象限或第三象限的角，若α为第一象限的角，则由sin cos αα>得tan 1α>，所以()42ππα∈，；若α为第三象限的角，则0tan 1α<<，结合正切函数图象可得5()4παπ∈，．7．已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 A ．120º B ．150º C ．180º D ．240º 【答案】C 【解析】由题设得22S rl S rππ==侧底，得2l r =，扇形的圆心角为22rr ππ=．8．复数i -的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是A ．3122i ± B ．3122i -± C ．3122i ±+ D ．3122i ±- 【答案】D【解析】设33x i i =-=，则3322()()0x i x i x xi i -=-++=，解方程220x xi i ++=得3122x i =±-．9．如果棱台的两底面积分别是,S S '，中截面的面积是0S ，那么 A ．02S S S '=+ B ．0S S S '= C ．02S S S '=+ D ．S S S '=220【答案】A【解析】设两底和中截面的半径分别为,r r '和0r ，则22200,,S r S r S r πππ''===，所以0,,S SS r r r πππ''===，又02r r r '=+，则02S SS πππ'=+，02S S S '=+．10．2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共A ．6种B ．12种C ．18种D ．24种 【答案】B【解析】共有22224212A C C =种不同的分配方法．11．向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如下图所示，那么水瓶的形状是【答案】B【解析】在函数图象中，取水深2Hh =时，注水量02V V V '=>，即水深至一半时，实际注水量大于水瓶总水量的一半，只有B 正确． 【难度】较难．12．椭圆221123x y +=的一个焦点为1F ，点P 在椭圆上．如果线段1PF 的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是 A．4±B．2± C．2± D ．34± 【答案】A【解析】不妨设焦点1(3,0)F -，由题设可知点P 的横坐标为3，代人椭圆方程得点P的纵坐标±由中点坐标公式得点M的纵坐标是±13．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为A． B． C ．2 D ．3 【答案】B【解析】设球的半径为R ，球面上3个点为,,A B C ，则ABC ∆为等边三角形，小圆的半径为2r =，所以AB =R ==14．一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角的正弦值为 A ．251- B ．2252- C ．215- D ．2252+ 【答案】C【解析】不妨设A B C <<，则2C π=，且sin sin sin 1A B C <<=，所以2sin sin A B =，2sin sin ()2A A π=-，化简得2sin sin 10A A +-=，解得sin A =．15．等比数列{}n a 的公比为12-，前n 项的和n S 满足11lim n x S a →∞=，那么1a 的值为A ．3±B ．32± C ．2± D ． 26±【答案】D【解析】由于1lim 1n x a S q→∞=-，所以11213a a =，解得162a =±．二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．16．设圆过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 ． 【答案】316 【解析】根据题设，顶点、焦点和圆心在此双曲线的同一支上，设00(,)P x y ，则200531674,29x y +⨯===，故2200163OP x y =+=．17．102(2)(1)x x +-的展开式中10x 的系数为 （用数字作答）． 【答案】179【解析】10(2)x +的通项公式为101102r r r r T C x-+=⋅⋅，故10x 的系数为22010102179C C ⋅-=．18．如图，在直四棱柱1111A B C D ABCD -中，当底面四边形ABCD 满足条件 时，有111AC B D ⊥．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．）【答案】AC BD ⊥，或任何能推导出这个条件的其他条件．例如ABCD 是正方形，菱形等【解析】连接,AC BD ，则11//BD B D ，由于1AA BD ⊥，所以要使111AC B D ⊥，只需1A C BD ⊥，只需BD ⊥平面1A AC ，也即BD AC ⊥．19．关于函数()4sin(2)()3f x x x R π=+∈，有下列命题①()y f x =的表达式可改写为()4cos(2)6f x x π=-；②()y f x =是以2π为最小正周期的周期函数； ③()y f x =的图像关于点(,0)6π-对称；④()y f x =的图像关于直线6x π=-对称．其中正确的命题的序号是 （注：把你认为正确的命题的序号都．填上．） 【答案】①③．注：多填、漏填的错填均给0分． 【解析】()4sin(2)4cos[(2)]4cos(2)3236f x x x x ππππ=+=-+=-，①正确；()y f x =的最小正周期为π，②错误；()y f x =的图像的对称点的横坐标满足2()3x k k Z ππ+=∈，即26x k ππ=⋅-，当0k =时，对称点为(,0)6π-，③正确，④不正确．三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．20．（本小题满分10分）设a b ≠，解关于x 的不等式222(1)[(1)]a x b x ax b x +-≥+-． 【解】本小题主要考查不等式基本知识，不等式的解法．满分10分．将原不等式化为222222()()2()a b x b a b x a b bx b -+≥-+-+， 移项，整理后得22()()0a b x x --≤，∵a b ≠即2()0a b ->，∴20x x -≤，即(1)0x x -≤． 解此不等式，得解集{}01x|x ≤≤．21．（本小题满分11分）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，设2,3a cb A C π+=-=．求sin B 的值．以下公式供解题时参考：sin sin 2sincos,sin sin 2cossin2222θϕθϕθϕθϕθϕθϕ+-+-+=-=，cos cos 2coscos,cos cos 2sinsin2222θϕθϕθϕθϕθϕθϕ+-+-+=-=-．【解】本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．由正弦定理和已知条件2a c b +=得sin sin 2sin A C B +=．由和差化积公式得2sin cos sin 22A C A CB +-=． 由A BC π++=得sin cos 22A C B+=，又3A C π-=得3cos sin 22B B =，所以3cos 2sin cos 2222B B B =． 因为0,cos 0222B B πθ<<≠，所以3sin 24B =，从而213cos 1sin 224B B =-=， 所以31339sin 248B =⨯=．22．（本小题满分12分）如图，直线1l 和2l 相交于点M ，12l l ⊥，点1N l ∈．以,A B 为端点的曲线段C 上的任一点到2l 的距离与到点N 的距离相等．若AMN ∆为锐角三角形，17,3AM AN ==，且6BN =．建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程． 【解】本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想．考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力．解法一：如图建立坐标系，以1l 为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点．依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以2l 为准线的抛物线的一段，其中,A B 分别为C 的端点．设曲线段C 的方程为22(0),(,0)A B y px p x x x y =>≤≤>，其中,A B x x 分别为,A B 的横坐标，p MN =．所以(,0),(,0)22p pM N -． 由17,3AM AN ==得2()2172A A p x px ++=， ①2()292A A px px -+=． ②由①，②两式联立解得4A x p =，再将其代入①式并由0p >解得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.2,2;1,4A A x p x p 或因为AMN ∆是锐角三角形，所以2A px >，故舍去2,2.Ap x =⎧⎨=⎩所以4,1A p x ==．由点B 在曲线段C 上，得42B px BN =-=． 综上得曲线段C 的方程为28(14,0)y x x y =≤≤>．解法二：如图建立坐标系，分别以12,l l 为,x y 轴，M 为坐标原点．作122,,AE l AD l BF l ⊥⊥⊥，垂足分别为,,E D F ． 设(,),(,),(,0)A A B B N A x y B x y N x ． 依题意有3A x ME DA AN ====，2222A y DM AM DA ==-=，由于AMN ∆为锐角三角形，故有224N x ME EN ME AN AE =+=+-=6B x BF BN ===．设点(,)P x y 是曲线段C 上任一点，则由题意知P 属于集合{}222(,)(),,0NA B x y x xy x x x x y -+=≤≤>|．故曲线段C 的方程为28(2)(36,0)y x x y =-≤≤>．23．（本小题满分12分）已知斜三棱柱111ABC A B C -的侧面11A ACC 与底面ABC 垂直，90,ABC BC ∠=︒=2,23AC =，且1111,AA AC AA AC ⊥=． （Ⅰ）求侧棱1A A 与底面ABC 所成角的大小； （Ⅱ）求侧面11A ABB 与底面ABC 所成二面角的大小；（Ⅲ）求侧棱1B B 和侧面11A ACC 的距离．【解】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．满分12分．注：题中赋分为得到该结论时所得分值，不给中间分．（Ⅰ）作1A D AC ⊥，垂足为D ，由面11A ACC ⊥面ABC ，得1A D ⊥面ABC ，所以1A AD ∠为1A A 与面ABC 所成的角． 因为1111,AA AC AA AC ⊥=， 所以145A AD ∠=︒为所求．（Ⅱ）作DE AB ⊥，垂足为E ，连1A E ，则由1A D ⊥面ABC ，得1A E AB ⊥．所以1A ED ∠是面11A ABB 与面ABC 所成二面角的平面角． 由已知，AB BC ⊥，得//ED BC ． 又D 是AC 的中点，2,23BC AC ==， 所以11,3DE AD A D ===，11tan 3A DA ED DE∠==． 故160A ED ∠=︒为所求．（Ⅲ）作BF AC ⊥，F 为垂足，由面11A ACC ⊥面ABC ，知BF ⊥面11A ACC ．∵1//B B 面11A ACC ，∴ BF 的长是1B B 和面11A ACC 的距离． 在Rt ABC ∆中，2222=-=BC AC AB ，∴ 362=⋅=AC BC AB BF 为所求．24．（本小题满分12分）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与,a b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当,a b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（,A B 孔的面积忽略不计）．【解】本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识． 解法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则ky ab=，其中0k >为比例系数．依题意，即所求的,a b 值使y 值最小．根据题设，有42260(0,0)b ab a a b ++=>>， 得30(030)2ab a a-=<<+． ① 于是26464303234(2)222k k k k y a a ab a a a a a====--+--+++++18k ≥=， 当6422a a +=+时取等号，y 达到最小值．这时6a =，10a =-（舍去）． 将6a =代入①式得3b =．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 解法二：依题意，即所求的,a b 的值使ab 最大．由题设知42260(0,0)b ab a a b ++=>>，即230(0,0)a b ab a b ++=>>． 因为22a b +≥30ab ≤，当且仅当2a b =时，上式取等号． 由0,0a b >>，解得018ab <≤．即当2a b =时，ab 取得最大值，其最大值为18．所以2218b =．解得3,6b a ==．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．25．（本小题满分12分）已知数列{}n b 是等差数列，112101,100b b b b =++⋅⋅⋅+=．（Ⅰ）求数列{}n b 的通项n b ；（Ⅱ）设数列{}n a 的通项1lg(1)n n a b =+，记n S 是数列{}n a 的前n 项和．试比较n S 与11lg 2n b +的大小，并证明你的结论．【解】本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳，推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力．满分12分． （Ⅰ）设数列{}n b 的公差为d ，由题意得111,10(101)10100.2b b d =⎧⎪⎨-+=⎪⎩解得11,2.b d =⎧⎨=⎩ ∴21n b n =-．（Ⅱ）由21n b n =-，知1111lg(11)lg(1)lg(1)log [(11)(1)(1)]321321n a S n n =++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅+--，11lg 2n b +=． 因此要比较n S 与11lg 2n b +的大小，可先比较11(11)(1)(1)321n ++⋅⋅⋅+-与12+n 的大 小．取1n =有11+>，取2n =有1(11)(1)3++>由此推测11(11)(1)(1)321n ++⋅⋅⋅+>-． ① 若①式成立，则由对数函数性质可判定：11lg 2n n S b +>． 下面用数学归纳法证明①式．（i ）当1n =时已验证①式成立．（ii ）假设当(1)n k k =≥时，①式成立，即11(11)(1)(1)321k ++⋅⋅⋅+>- 那么，当1n k =+时，1111(11)(1)(1)(1))2)3212(1)121k k k k ++⋅⋅⋅++>+=+-+-+．∵2222484831[(22)]0212121k k k k k k k k +++++-==>+++，∴(22)21k k +>=+因而111(11)(1)(1)(1)32121k k ++⋅⋅⋅++>-+ 这就是说①式当1n k =+时也成立．由（i ），（ii ）知①式对任何正整数n 都成立． 由此证得：11lg 2n n S b +>．。
1998年全国高考文科数学试题及其解析-推荐下载
sin
cos
sin
cos
，那么
a1
2 cos
2sin
新疆 王新敞
奎屯
1
(D) 6 2
2
2
的值为 (
sin
sin
2
2
，
．
)
(22) (本小题满分 12 分) 如图，直线 l1 和 l2 相交于点 M，l1 ⊥l2，点 N∈l1．以 A、B
为端点的曲线段 C 上的任一点到 l2 的距离与到点 N 的距离相
(16)
x2
设圆过双曲线
圆心到双曲线中心距离是__________
(17)
(x＋2)10(x2－1)的展开的
9 16
y2
x10
Sn
满足
(C) 2
lim
n
1 的一个顶点和一个焦点，圆心在双曲线上，则
新疆 王新敞
奎屯
系数为____________（用数字作答）
(18) 如图，在直四棱柱 A1B1C1D1－ABCD 中，当底面四边形 ABCD 满足条件
③y=f (x)的图像关于点 ，0 对称； 6
其中正确的命题的序号是______
新疆 王新敞
奎屯
Sn=
1
a1
④y=f (x)的图像关于直线 x=－ 对称．
6
(注：把你认为正确的命题的序号都填上．)
三．解答题：本大题共 6 小题；共 69 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
(20) (本小题满分 10 分)
在椭圆上，如果线段 PF1 的中点 M
1
(13) 球面上有 3 个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长为 ，经过这 3 个点的小
1998年全国高考数学试题
1998年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共65分)一、 选择题:本大题共15小题;第(1) (10)题每小题4分,第(11) (15)题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)设集合M=｛x │0≤x<2｝,集合N=｛x │x 2-2x-3<0｝,集合M ∩N 为(A)｛x │0≤x<1｝ (B)｛x │0≤x<2｝(C)｛x │0≤x ≤1｝ (D)｛x │0≤x ≤2｝[Key] B(2)如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行,那么系数a 为32)(23)(6)(3)(D C B A ---[Key] B(3)函数)x 31x 21(tg y -=在一个周期内的图象是[Key] A(4)已知三棱锥D-ABC 的三个则面与底面全等，且AB=AC=3，BC=2，则BC 为棱,以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小是32)D (2)C (31arccos )B (33arccos )A (ππ[Key] C（5）函数x 2cos )x 23sin(y +-π=的最小正周期是ππππ4)D (2)C ()B (2)A ([Key] B(6)满足arccos(1-x)≥arccosx 的x 的取值范围是]1,21)[(]21,0)[(]0,21)[(]21,1)[(D C B A --[Key] D(7)将y=2x 的图象(A)先向左平行移动1个单位 (B)先向右平行移动1个单位(C)先向上平行移动1个单位 (D)先向下平行移动1个单位再作关于直线y=x 对称的图象,可得到函数y=log 2(x+1)的图象.[Key] D(8)长方体一个顶点上三条棱的长分别是3,4,5,且它的八个顶点都在同一个球面上,这个球的表面积是ππππ200)(50)(225)(220)(D C B A[Key] C(9)曲线的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=-=2111t y t x （t 是参数，t ≠0）,它的普通方程是11)(1)1(1)()1()2()(1)1()1)((2222+-=--=--==--x x y D x y C x x x y B y x A[Key] B(10)函数y=cos 2x-3cosx+2的最小值为6)(41)(0)(2)(D C B A -[Key] B(11)椭圆C 与14)2(9)3(22=-+-y x 椭圆关于直线x+y=0对称，椭圆C 的方程是 (A) 19)3(4)2(22=+++y x(B) 14)3(9)2(22=-+-y x (C) 14)3(9)2(22=+++y x (D) 19)3(4)2(22=-+-y x[Key] A(12)圆台上、下底面积分别为π、4π,侧面积为6π,这个圆台的体积是337)(637)(32)(332)(ππππD C B A[Key] D(13)定义在区间(-∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间［0,+∞)的图象与f(x)的图象重合.设a>b>0,给出下列不等式①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b); ②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b);③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a); ④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a),其中成立的是(A)①与④ (B)②与③ (C)①与③ (D)②与④[Key] C（14）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+->+->x x x x x 22330的解集是 (){}20<<x x A (){}5.20<<x x B (){}60<<x x C (){}30<<x x D[Key] C(15)四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有(A)150种 (B)147种 (C)144种 (D)141种[Key] D(16)已知92⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x a 的展开式中x 3的系数为49，常数a 的值为_________. [Key] 4(17)已知直线的极坐标方程22)4sin(=+πθρ则极点到该直线的距离是_______。
1998年全国高考数学试题及答案解析
第 1 页 共 10 页 1998年普通高等学校招生全国统一考试
数学
(理工农医类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题共65分)
一、 选择题:本大题共15小题;第(1) (10)题每小题4分,第(11) (15)题每小题5分,共65分,
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)设集合M=｛x │0≤x<2｝,集合N=｛x │x 2-2x-3<0｝,集合M ∩N 为
(A)｛x │0≤x<1｝ (B)｛x │0≤x<2｝
(C)｛x │0≤x ≤1｝ (D)｛x │0≤x ≤2｝
[Key] B
(2)如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行,那么系数a 为
32
)(23
)(6)(3)(D C B A ---
[Key] B
(3)函数
)x 31x 21(tg y -=在一个周期内的图象是
[Key] A
(4)已知三棱锥D-ABC 的三个则面与底面全等，且AB=AC=3，BC=2，则BC 为棱,以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小是
32)D (2)C (31
arccos )B (33
arccos )A (ππ
[Key] C
（5）函数x 2cos )x 23sin(y +-π=的最小正周期是
ππππ
4)D (2)C ()B (2)A (
[Key] B。
1998年全国高考文科数学试题及其解析资料
1998年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)一．选择题：本大题共15小题；第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－第(15)题每小题5分，65分．在每小题给出四项选项，只一项符合题目要求的(1) sin600º( )(A)21 (B) －21(C) 23 (D) －23(2) 函数y =a |x |(a ＞1)的图像是( )(3) 已知直线x =a (a ＞0)和圆(x －1)2＋y 2=4相切，那么a 的值是( )(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 (4) 两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，A 2x ＋B 2y ＋C 2=0垂直的充要条件是( )(A) A 1A 2＋B 1B 2=0 (B) A 1A 2－B 1B 2=0 (C)12121-=B B A A (D) 12121=A A BB (5) 函数f (x )=x1( x ≠0)的反函数f －1(x )= ( ) (A) x (x ≠0) (B) x 1(x ≠0) (C) －x (x ≠0) (D) －x1(x ≠0)(6) 已知点P(sin α－cos α，tg α)在第一象限，则[ 0，2π]内α的取值范围是( )(A) (432ππ，)∪(45ππ，) (B) (24ππ，)∪(45ππ，) (C) (432ππ，)∪(2325ππ，) (D) (24ππ，)∪(ππ，43) (7) 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为( )(A) 120º (B) 150º (C) 180º (D) 240º (8) 复数－i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是( )(A)2123±I (B) －2123±I (C) ±2123+I (D) ±2123-i (9) 如果棱台的两底面积是S ，S ′，中截面的面积是S 0，那么( )(A) 2S S S '+=0 (B) S 0=S S '(C) 2S 0=S ＋S ′ (D) S S S '=22(10) 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共( )(A) 6种 (B) 12种 (C) 18种 (D) 24种(11) 向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如右图所示，那么水瓶的形状是( )(12) 椭圆31222y x +=1的焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是( )(A) ±43 (B) ±23 (C) ±22 (D) ±43(13) 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长为61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为( )(A) 43 (B)23 (C) 2 (D) 3(14) 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角的正弦值为( )(A)251- (B) 2252- (C) 215- (D) 2252+(15) 等比数列{a n }的公比为－21，前n 项的和S n 满足∞→n lim S n =11a ，那么11a 的值为 ( )(A)3± (B)±23(C) 2±(D) 26±二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．(16) 设圆过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在双曲线上，则圆心到双曲线中心距离是__________(17) (x ＋2)10(x 2－1)的展开的x 10系数为____________（用数字作答）(18) 如图，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件____________时，有A 1C ⊥B 1D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考试所有可能的情形)(19) 关于函数f (x )=4sin(2x ＋3π)(x ∈R )，有下列命题 ①y =f (x )的表达式可改写为y =4cos(2x －6π)；②y =f (x )是以2π为最小正周期的周期函数；③y =f (x )的图像关于点⎪⎭⎫⎝⎛-06，π对称； ④y =f (x )的图像关于直线x =－6π对称．其中正确的命题的序号是______ (注：把你认为正确的命题的序号都．填上．) 三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (20) (本小题满分10分)设a ≠b ，解关于x 的不等式a 2x ＋b 2(1－x )≥[ax ＋b (1－x )]2．21) (本小题满分11分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，设a ＋c =2b ，A －C=3π，求sin B 的值．以下公式供解题时参考：2cos2sin2sin sin ϕθϕθϕθ-+=+， 2s i n2c o s 2s i n s i nϕθϕθϕθ-+=-，2cos 2cos 2cos cos ϕθϕθϕθ-+=+， 2sin 2sin 2cos cos ϕθϕθϕθ-+-=-．(22) (本小题满分12分)如图，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1 ⊥l 2，点N ∈l 1．以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等．若△AMN 为锐角三角形，|AM |=17，|AN |=3，且|BN |=6．建立适当的坐标系，求曲线C 的方程．(23) (本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC －A 1 B 1 C 1的侧面A 1 ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC =90º，BC =2，AC=23，且AA 1 ⊥A 1C ，AA 1= A 1 C 1．(Ⅰ)求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小；(Ⅱ)求侧面A 1 ABB 1 与底面ABC 所成二面角的大小； (Ⅲ)求侧棱B 1B 和侧面A 1 ACC 1的距离．(24) (本小题满分12分)如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当a ，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A 、B 孔的面积忽略不计)．(25) (本小题满分12分)已知数列{b n }是等差数列，b 1=1，b 1＋b 2＋…＋b 10=100． (Ⅰ)求数列{b n }的能项b n ； (Ⅱ)设数列{a n }的通项a n =lg(1＋nb 1)，记S n 是数列{a n }的前n 项的和．试比较S n 与21lg b n +1的大小，并证明你的结论．1998年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答及评分标准一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－(15)题每小题5分．满分65分．(1) D (2) B (3) C (4) A (5) B (6) B (7) C (8) D (9) A (10) B (11) B (12) A (13) B (14) C (15) D二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．(16)316(17) －5120 (18) AC ⊥BD ，或任何能推导出这个条件的其他条件．例如ABCD 是正方形，菱形等 (19)①，③注：第(19)题多填、漏填的错填均给0分． 三．解答题：（20）本小题主要考查不等式基本知识，不等式的解法．满分10分． 解：将原不等式化为(a 2－b 2)x +b 2≥(a －b )2x 2＋2(a －b )bx ＋b 2， 移项，整理后得 (a －b )2(x 2－x ) ≤0， ∵ a ≠b 即 (a －b )2＞0， ∴ x 2－x ≤0， 即 x (x －1) ≤0．解此不等式，得解集 {x |0≤x ≤1}．(21) 本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．满分11分．解：由正弦定理和已知条件a ＋c =2b 得sin A ＋sin C =2sin B ．由和差化积公式得B CA C A sin 22cos 2sin 2=-+． 由A ＋B ＋C =π，得 2)sin(C A +=2cos B，又A －C =3π，得23cos 2B=sin B ，∴23cos 2B =2sin 2B cos 2B． ∵ 0＜2B ＜2π， 2cos B ≠0，∴sin2B=43， 从而cos2B =2sin 12B -=413 ∴ sin B =⨯23413=839(22) 本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想．考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力．满分12分．解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点．依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛线段的一段，其中A 、B 分别为C 的端点．设曲线段C 的方程为y 2=2px (p ＞0)，(x A ≤x ≤x B ，y ＞0)，其中x A ，x B 分别为A ，B 的横坐标，P =|MN |．所以 M (－2P ，0)，N (2P，0)． 由 |AM |=17，|AN |=3得(x A ＋2P )2＋2Px A =17， ① (x A －2P)2＋2Px A =9． ②由①、②两式联立解得x A =P4，再将其代入①式并由p ＞0解得⎩⎨⎧==14A x p 或⎩⎨⎧==22Ax p ． 因为△AMN 是锐角三角形，所以2P＞x A ，故舍去⎩⎨⎧==22A x p ． ∴ P =4，x A =1．由点B 在曲线段C 上，得x B =|BN |－2P=4． 综上得曲线段C 的方程为y 2=8x (1≤x ≤4，y ＞0)．解法二：如图建立坐标系，分别以l 1、l 2为x 、y 轴，M 为坐标原点．作AE ⊥l 1，AD ⊥l 2，BF ⊥l 2，垂足分别为E 、D 、F ． 设 A (x A ，y A )、B (x B ，y B )、N (x N ，0)． 依题意有x A =|ME|=|DA|=|AN|=3， y A =|DM |=22DA AM-=22，由于△AMN 为锐角三角形，故有x N =|AE |+|EN |=4． =|ME |+22AE AN -=4X B =|BF |=|BN |=6．设点P (x ，y )是曲线段C 上任一点，则由题意知P 属于集合 {(x ，y )|(x －x N )2+y 2=x 2，x A ≤x ≤x B ，y ＞0}． 故曲线段C 的方程y 2=8(x －2)(3≤x ≤6，y ＞0)．(23) 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．满分12分．注：题中赋分为得到该结论时所得分值，不给中间分． 解：(Ⅰ)作A 1D ⊥AC ，垂足为D ，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，得A 1D ⊥面ABC ，∴ ∠A 1AD 为A 1A 与面ABC 所成的角． ∵ AA 1⊥A 1C ，AA 1=A 1C ，∴ ∠A 1AD=45º为所求．(Ⅱ)作DE ⊥AB ，垂足为E ，连A 1E ，则由A 1D ⊥面ABC ，得A 1E ⊥AB ． ∴∠A 1ED 是面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角．由已知，AB ⊥BC ，得ED ∥BC ．又D 是AC 的中点，BC =2，AC =23，∴ DE =1，AD =A 1D =3，tg A 1ED=DEDA 1=3． 故∠A 1ED=60º为所求．(Ⅲ) 作BF ⊥AC ，F 为垂足，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，知BF ⊥面A 1ACC 1． ∵ B 1B ∥面A 1ACC 1，∴ BF 的长是B 1B 和面A 1ACC 1的距离． 在Rt △ABC 中，2222=-=BC AC AB ，∴ 362=⋅=AC BC AB BF 为所求． (24) 本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．满分12分．解法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y =abk，其中k ＞0为比例系数，依题意，即所求的a ，b 值使y 值最小．根据题设，有4b ＋2ab ＋2a =60(a ＞0，b ＞0)， 得 aab +-=230 (0＜a ＜30＝， ① 于是 aa a k ab k y +-==230226432+-+-=a a k⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=264234a a k()2642234+⋅+-≥a a k18k =当a ＋2=264+a 时取等号，y 达最小值．这时a =6，a =－10(舍去)． 将a =6代入①式得b =3．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 解法二：依题意，即所求的a ，b 的值使ab 最大． 由题设知 4a ＋2ab ＋2a =60 (a ＞0，b ＞0) 即 a ＋2b ＋ab =30 (a ＞0，b ＞0)． ∵ a ＋2b ≥2ab ， ∴ 22ab ＋ab ≤30，当且仅当a =2b 时，上式取等号． 由a ＞0，b ＞0，解得0＜ab ≤18．即当a =2b 时，ab 取得最大值，其最大值18． ∴ 2b 2=18．解得b =3，a =6．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．(25) 本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳，推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力．满分12分．解：(Ⅰ)设数列工{b n }的公差为d ，由题意得 b 1=1， 10b 1＋d2)110(10-=100．解得 b 1=1，d =2．∴ b n =2n －1． (Ⅱ)由b n =2n －1，知 S n =lg(1＋1)＋lg(1＋31)＋…＋lg(1＋121-n )=lg[(1＋1)(1＋31)· … ·(1＋121-n )]， 21lg b n ＋1=lg 12+n ． 因此要比较S n 与21lg b n ＋1的大小，可先比较(1＋1)(1＋31)· … ·(1＋121-n )与12+n的大小．取n =1有(1＋1)＞112+⋅， 取n =2有(1＋1)(1＋31)>112+⋅由此推测(1＋1)(1＋31)· … ·(1＋121-n )＞12+n ． ①若①式成立，则由对数函数性质可判定： S n ＞21lgb n ＋1．下面用数学归纳法证明①式． (i)当n =1时已验证①式成立．(ii)假设当n =k (k ≥1)时，①式成立，即 (1＋1)(1＋31)· … ·(1＋121-k )＞12+k ，那么，当n =k ＋1时， (1＋1)(1＋31)· … ·(1＋121-k )(1＋1)1(21-+k )＞12+k (1＋121+k ) =1212++k k (2k ＋2)．∵ [1212++k k (2k ＋2)]2－[32+k ]2=123848422+++++k k k k k学习-----好资料更多精品文档 =121+k ＞0， ∴1212++k k (2k ＋2) ＞32+k =()112++k ． 因而 (1＋1)(1＋31)· … ·(1＋121-k )(1＋121+k )＞1)1(2++k ． 这就是说①式当n =k ＋1时也成立．由(i)，（ii ）知①式对任何正整数n 都成立．由此证得：S n >21lg b n ＋1．。
1998年上海高考文科数学真题及答案
1998年上海高考文科数学真题及答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)一．选择题：本大题共15小题；第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－第(15)题每小题5分，65分．在每小题给出四项选项，只一项符合题目要求的 (1) sin600º( )(A)(B) － (C) (D) － 21212323(2) 函数y =a |x |(a ＞1)的图像是( )(3) 已知直线x =a (a ＞0)和圆(x －1)2＋y 2=4相切，那么a 的值是( )(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 (4) 两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，A 2x ＋B 2y ＋C 2=0垂直的充要条件是( )(A) A 1A 2＋B 1B 2=0 (B) A 1A 2－B 1B 2=0 (C)(D) 12121-=B B A A 12121=A A BB (5) 函数f (x )=( x ≠0)的反函数f －1(x )= ( ) x1(A) x (x ≠0) (B) (x ≠0) (C) －x (x ≠0) (D) －(x ≠0)x 1x 1(6) 已知点P(sin α－cos α，tg α)在第一象限，则[ 0，2π]内α的取值范围是 ( )(A) ()∪() (B) ()∪() 432ππ，45ππ，24ππ，45ππ，(C) ()∪() (D) ()∪()432ππ，2325ππ，24ππ，ππ，43(7) 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为( )(A) 120º (B) 150º (C) 180º (D) 240º (8) 复数－i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是( )(A)I (B) －I (C) ±I (D) ±i 2123±2123±2123+2123-(9) 如果棱台的两底面积是S ，S ′，中截面的面积是S 0，那么( )(A) 2 (B) S 0=S S S '+=0S S '(C) 2S 0=S ＋S ′ (D)S SS '=22(10) 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共( )(A) 6种 (B) 12种 (C) 18种 (D) 24种 (11) 向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如右图所示，那么水瓶的形状是( )(12) 椭圆=1的焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么31222y x +点M 的纵坐标是( )(A) ±(B) ± (C) ± (D) ± 43232243(13) 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长为，经过这3个点的小61圆的周长为4π，那么这个球的半径为( )(A) 4 (B)2 (C) 2 (D) 333(14) 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角的正弦值为( )(A)(B) (C) (D)251-2252-215-2252+(15) 等比数列{a n }的公比为－，前n 项的和S n 满足S n =，那么的值为21∞→n lim 11a 11a( )(A) (B)±(C) (D) 3±232±26±二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．(16) 设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，圆心在双曲线上，则圆116922=-y x心到双曲线中心距离是__________(17) (x ＋2)10(x 2－1)的展开的x 10系数为____________（用数字作答） (18) 如图，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件____________时，有A 1C ⊥B 1D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考试所有可能的情形)(19) 关于函数f (x )=4sin(2x ＋)(x ∈R )，有下列命题3π①y =f (x )的表达式可改写为y =4cos(2x －)；②y =f (x )是以2π为最小正周期的周期函数；6π③y =f (x )的图像关于点对称； ④y =f (x )的图像关于直线x =－对称．⎪⎭⎫⎝⎛-06，π6π其中正确的命题的序号是______ (注：把你认为正确的命题的序号都填上．) 三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (20) (本小题满分10分)设a ≠b ，解关于x 的不等式a 2x ＋b 2(1－x )≥[ax ＋b (1－x )]2．21) (本小题满分11分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，设a ＋c =2b ，A －C=，求sin B 的3π值．以下公式供解题时参考：， ，2cos2sin2sin sin ϕθϕθϕθ-+=+2sin2cos2sin sin ϕθϕθϕθ-+=-， ．2cos 2cos 2cos cos ϕθϕθϕθ-+=+2sin 2sin 2cos cos ϕθϕθϕθ-+-=-(22) (本小题满分12分)如图，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1 ⊥l 2，点N ∈l 1．以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等．若△AMN 为锐角三角形，|AM |=，|AN |=3，且|BN |=6．建立适当的坐17标系，求曲线C 的方程．(23) (本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC －A 1 B 1 C 1的侧面A 1 ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC =90º，BC =2，AC=2，且AA 1 ⊥A 1C ，AA 1= A 1 C 1．3(Ⅰ)求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小；(Ⅱ)求侧面A 1 ABB 1 与底面ABC 所成二面角的大小； (Ⅲ)求侧棱B 1B 和侧面A 1 ACC 1的距离．(24) (本小题满分12分)如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当a ，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A 、B 孔的面积忽略不计)．(25) (本小题满分12分)已知数列{b n }是等差数列，b 1=1，b 1＋b 2＋…＋b 10=100． (Ⅰ)求数列{b n }的能项b n ； (Ⅱ)设数列{a n }的通项a n =lg(1＋)，记S n 是数列{a n }的前n 项的和．试比较S n 与nb 1lg b n +1的大小，并证明你的结论． 211998年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题(文史类)参考解答及评分标准一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－(15)题每小题5分．满分65分．(1) D (2) B (3) C (4) A (5) B (6) B (7) C (8) D (9) A (10) B (11) B (12) A (13) B (14) C (15) D 二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．(16)(17) －5120 316(18) AC ⊥BD ，或任何能推导出这个条件的其他条件．例如ABCD 是正方形，菱形等 (19)①，③注：第(19)题多填、漏填的错填均给0分． 三．解答题：（20）本小题主要考查不等式基本知识，不等式的解法．满分10分． 解：将原不等式化为(a 2－b 2)x +b 2≥(a －b )2x 2＋2(a －b )bx ＋b 2， 移项，整理后得 (a －b )2(x 2－x ) ≤0， ∵ a ≠b 即 (a －b )2＞0， ∴ x 2－x ≤0， 即 x (x －1) ≤0．解此不等式，得解集 {x |0≤x ≤1}．(21) 本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．满分11分．解：由正弦定理和已知条件a ＋c =2b 得sin A ＋sin C =2sin B ．由和差化积公式得． B CA C A sin 22cos 2sin 2=-+由A ＋B ＋C =π，得 =，2)sin(C A +2cos B又A －C =，得cos =sin B ，3π232B∴cos =2sin cos ．232B 2B 2B ∵ 0＜＜， ≠0， 2B 2π2cos B ∴sin=， 2B 43从而cos== 2B 2sin 12B -413∴ sin B == ⨯23413839(22) 本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想．考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力．满分12分．解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点．依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛线段的一段，其中A 、B 分别为C 的端点．设曲线段C 的方程为y 2=2px (p ＞0)，(x A ≤x ≤x B ，y ＞0)，其中x A ，x B 分别为A ，B 的横坐标，P =|MN |．所以 M (－，0)，N (，0)． 2P 2P由 |AM |=，|AN |=3得17(x A ＋)2＋2Px A =17， ① 2P (x A －)2＋2Px A =9． ②2P由①、②两式联立解得x A =，再将其代入①式并由p ＞0解得P4或． ⎩⎨⎧==14A x p ⎩⎨⎧==22Ax p因为△AMN 是锐角三角形，所以＞x A ，故舍去． 2P⎩⎨⎧==22A x p ∴ P =4，x A =1．由点B 在曲线段C 上，得x B =|BN |－=4． 2P综上得曲线段C 的方程为y 2=8x (1≤x ≤4，y ＞0)．解法二：如图建立坐标系，分别以l 1、l 2为x 、y 轴，M 为坐标原点．作AE ⊥l 1，AD ⊥l 2，BF ⊥l 2，垂足分别为E 、D 、F ． 设 A (x A ，y A )、B (x B ，y B )、N (x N ，0)． 依题意有x A =|ME|=|DA|=|AN|=3， y A =|DM |==2，由于△AMN 为锐角三角形，故22DA AM -2有x N =|AE |+|EN |=4．=|ME |+=422AE AN -X B =|BF |=|BN |=6．设点P (x ，y )是曲线段C 上任一点，则由题意知P 属于集合 {(x ，y )|(x －x N )2+y 2=x 2，x A ≤x ≤x B ，y ＞0}． 故曲线段C 的方程y 2=8(x －2)(3≤x ≤6，y ＞0)．(23) 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．满分12分．注：题中赋分为得到该结论时所得分值，不给中间分． 解：(Ⅰ)作A 1D ⊥AC ，垂足为D ，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，得A 1D ⊥面ABC ，∴ ∠A 1AD 为A 1A 与面ABC 所成的角． ∵ AA 1⊥A 1C ，AA 1=A 1C ，∴ ∠A 1AD=45º为所求．(Ⅱ)作DE ⊥AB ，垂足为E ，连A 1E ，则由A 1D ⊥面ABC ，得A 1E ⊥AB ．∴∠A 1ED 是面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角． 由已知，AB ⊥BC ，得ED ∥BC ．又D 是AC 的中点，BC =2，AC =2， 3∴ DE =1，AD =A 1D =，tg A 1ED==． 3DEDA 13故∠A 1ED=60º为所求．(Ⅲ) 作BF ⊥AC ，F 为垂足，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，知BF ⊥面A 1ACC 1． ∵ B 1B ∥面A 1ACC 1，∴ BF 的长是B 1B 和面A 1ACC 1的距离． 在Rt △ABC 中，，2222=-=BC AC AB ∴ 为所求． 362=⋅=AC BC AB BF (24) 本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．满分12分．解法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y =，其中k ＞0为比例系数，依题abk意，即所求的a ，b 值使y 值最小．根据题设，有4b ＋2ab ＋2a =60(a ＞0，b ＞0)， 得 (0＜a ＜30＝， ① aab +-=230于是 aaa kab k y +-==230226432+-+-=a a k⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=264234a a k()2642234+⋅+-≥a a k18k =当a ＋2=时取等号，y 达最小值．264+a 这时a =6，a =－10(舍去)． 将a =6代入①式得b =3．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 解法二：依题意，即所求的a ，b 的值使ab 最大． 由题设知 4a ＋2ab ＋2a =60 (a ＞0，b ＞0) 即 a ＋2b ＋ab =30 (a ＞0，b ＞0)． ∵ a ＋2b ≥2， ab ∴ 2＋ab ≤30，2ab 当且仅当a =2b 时，上式取等号． 由a ＞0，b ＞0，解得0＜ab ≤18．即当a =2b 时，ab 取得最大值，其最大值18． ∴ 2b 2=18．解得b =3，a =6．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．(25) 本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳，推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力．满分12分．解：(Ⅰ)设数列工{b n }的公差为d ，由题意得b 1=1，10b 1＋=100．d2)110(10-解得 b 1=1，d =2．∴ b n =2n －1． (Ⅱ)由b n =2n －1，知S n =lg(1＋1)＋lg(1＋)＋…＋lg(1＋) 31121-n =lg[(1＋1)(1＋)· … ·(1＋)]，31121-n lg b n ＋1=lg ． 2112+n因此要比较S n 与lg b n ＋1的大小，可先比较(1＋1)(1＋)· … ·(1＋)与2131121-n 的大小．12+n 取n =1有(1＋1)＞，112+⋅取n =2有(1＋1)(1＋)> 31112+⋅由此推测(1＋1)(1＋)· … ·(1＋)＞． ①31121-n 12+n 若①式成立，则由对数函数性质可判定：S n ＞lgb n ＋1． 21下面用数学归纳法证明①式． (i)当n =1时已验证①式成立．(ii)假设当n =k (k ≥1)时，①式成立，即 (1＋1)(1＋)· … ·(1＋)＞， 31121-k 12+k 那么，当n =k ＋1时， (1＋1)(1＋)· … ·(1＋)(1＋) 31121-k 1)1(21-+k ＞(1＋) 12+k 121+k =(2k ＋2)．1212++k k ∵ [(2k ＋2)]2－[]21212++k k 32+k =123848422+++++k k k k k =＞0， 121+k ∴(2k ＋2) ＞=．1212++k k 32+k ()112++k 因而 (1＋1)(1＋)· … ·(1＋)(1＋)＞． 31121-k 121+k 1)1(2++k 这就是说①式当n =k ＋1时也成立．1由(i)，（ii）知①式对任何正整数n都成立．由此证得：S n>lg b n＋1．2。
1998年黑龙江高考文科数学真题及答案
1998年黑龙江高考文科数学真题及答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)一．选择题：本大题共15小题；第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－第(15)题每小题5分，65分．在每小题给出四项选项，只一项符合题目要求的 (1) sin600º( )(A)(B) － (C) (D) － 21212323(2) 函数y =a |x |(a ＞1)的图像是( )(3) 已知直线x =a (a ＞0)和圆(x －1)2＋y 2=4相切，那么a 的值是( )(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 (4) 两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，A 2x ＋B 2y ＋C 2=0垂直的充要条件是( )(A) A 1A 2＋B 1B 2=0 (B) A 1A 2－B 1B 2=0 (C)(D) 12121-=B B A A 12121=A A BB (5) 函数f (x )=( x ≠0)的反函数f －1(x )= ( ) x1(A) x (x ≠0) (B) (x ≠0) (C) －x (x ≠0) (D) －(x ≠0)x 1x 1(6) 已知点P(sin α－cos α，tg α)在第一象限，则[ 0，2π]内α的取值范围是 ( )(A) ()∪() (B) ()∪() 432ππ，45ππ，24ππ，45ππ，(C) ()∪() (D) ()∪()432ππ，2325ππ，24ππ，ππ，43(7) 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为( )(A) 120º (B) 150º (C) 180º (D) 240º (8) 复数－i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是( )(A)I (B) －I (C) ±I (D) ±i 2123±2123±2123+2123-(9) 如果棱台的两底面积是S ，S ′，中截面的面积是S 0，那么( )(A) 2 (B) S 0=S S S '+=0S S '(C) 2S 0=S ＋S ′ (D)S SS '=22(10) 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共( )(A) 6种 (B) 12种 (C) 18种 (D) 24种 (11) 向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如右图所示，那么水瓶的形状是( )(12) 椭圆=1的焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么31222y x +点M 的纵坐标是( )(A) ±(B) ± (C) ± (D) ± 43232243(13) 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长为，经过这3个点的小61圆的周长为4π，那么这个球的半径为( )(A) 4 (B)2 (C) 2 (D) 333(14) 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角的正弦值为( )(A)(B) (C) (D)251-2252-215-2252+(15) 等比数列{a n }的公比为－，前n 项的和S n 满足S n =，那么的值为21∞→n lim 11a 11a( )(A) (B)±(C) (D) 3±232±26±二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．(16) 设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，圆心在双曲线上，则圆116922=-y x心到双曲线中心距离是__________(17) (x ＋2)10(x 2－1)的展开的x 10系数为____________（用数字作答） (18) 如图，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件____________时，有A 1C ⊥B 1D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考试所有可能的情形)(19) 关于函数f (x )=4sin(2x ＋)(x ∈R )，有下列命题3π①y =f (x )的表达式可改写为y =4cos(2x －)；②y =f (x )是以2π为最小正周期的周期函数；6π③y =f (x )的图像关于点对称； ④y =f (x )的图像关于直线x =－对称．⎪⎭⎫⎝⎛-06，π6π其中正确的命题的序号是______ (注：把你认为正确的命题的序号都填上．) 三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (20) (本小题满分10分)设a ≠b ，解关于x 的不等式a 2x ＋b 2(1－x )≥[ax ＋b (1－x )]2．21) (本小题满分11分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，设a ＋c =2b ，A －C=，求sin B 的3π值．以下公式供解题时参考：， ，2cos2sin2sin sin ϕθϕθϕθ-+=+2sin2cos2sin sin ϕθϕθϕθ-+=-， ．2cos 2cos 2cos cos ϕθϕθϕθ-+=+2sin 2sin 2cos cos ϕθϕθϕθ-+-=-(22) (本小题满分12分)如图，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1 ⊥l 2，点N ∈l 1．以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等．若△AMN 为锐角三角形，|AM |=，|AN |=3，且|BN |=6．建立适当的坐17标系，求曲线C 的方程．(23) (本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC －A 1 B 1 C 1的侧面A 1 ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC =90º，BC =2，AC=2，且AA 1 ⊥A 1C ，AA 1= A 1 C 1．3(Ⅰ)求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小；(Ⅱ)求侧面A 1 ABB 1 与底面ABC 所成二面角的大小； (Ⅲ)求侧棱B 1B 和侧面A 1 ACC 1的距离．(24) (本小题满分12分)如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当a ，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A 、B 孔的面积忽略不计)．(25) (本小题满分12分)已知数列{b n }是等差数列，b 1=1，b 1＋b 2＋…＋b 10=100． (Ⅰ)求数列{b n }的能项b n ； (Ⅱ)设数列{a n }的通项a n =lg(1＋)，记S n 是数列{a n }的前n 项的和．试比较S n 与nb 1lg b n +1的大小，并证明你的结论． 211998年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题(文史类)参考解答及评分标准一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－(15)题每小题5分．满分65分．(1) D (2) B (3) C (4) A (5) B (6) B (7) C (8) D (9) A (10) B (11) B (12) A (13) B (14) C (15) D 二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．(16)(17) －5120 316(18) AC ⊥BD ，或任何能推导出这个条件的其他条件．例如ABCD 是正方形，菱形等 (19)①，③注：第(19)题多填、漏填的错填均给0分． 三．解答题：（20）本小题主要考查不等式基本知识，不等式的解法．满分10分． 解：将原不等式化为(a 2－b 2)x +b 2≥(a －b )2x 2＋2(a －b )bx ＋b 2， 移项，整理后得 (a －b )2(x 2－x ) ≤0， ∵ a ≠b 即 (a －b )2＞0， ∴ x 2－x ≤0， 即 x (x －1) ≤0．解此不等式，得解集 {x |0≤x ≤1}．(21) 本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．满分11分．解：由正弦定理和已知条件a ＋c =2b 得sin A ＋sin C =2sin B ．由和差化积公式得． B CA C A sin 22cos 2sin 2=-+由A ＋B ＋C =π，得 =，2)sin(C A +2cos B又A －C =，得cos =sin B ，3π232B∴cos =2sin cos ．232B 2B 2B ∵ 0＜＜， ≠0， 2B 2π2cos B ∴sin=， 2B 43从而cos== 2B 2sin 12B -413∴ sin B == ⨯23413839(22) 本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想．考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力．满分12分．解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点．依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛线段的一段，其中A 、B 分别为C 的端点．设曲线段C 的方程为y 2=2px (p ＞0)，(x A ≤x ≤x B ，y ＞0)，其中x A ，x B 分别为A ，B 的横坐标，P =|MN |．所以 M (－，0)，N (，0)． 2P 2P由 |AM |=，|AN |=3得17(x A ＋)2＋2Px A =17， ① 2P (x A －)2＋2Px A =9． ②2P由①、②两式联立解得x A =，再将其代入①式并由p ＞0解得P4或． ⎩⎨⎧==14A x p ⎩⎨⎧==22Ax p因为△AMN 是锐角三角形，所以＞x A ，故舍去． 2P⎩⎨⎧==22A x p ∴ P =4，x A =1．由点B 在曲线段C 上，得x B =|BN |－=4． 2P综上得曲线段C 的方程为y 2=8x (1≤x ≤4，y ＞0)．解法二：如图建立坐标系，分别以l 1、l 2为x 、y 轴，M 为坐标原点．作AE ⊥l 1，AD ⊥l 2，BF ⊥l 2，垂足分别为E 、D 、F ． 设 A (x A ，y A )、B (x B ，y B )、N (x N ，0)． 依题意有x A =|ME|=|DA|=|AN|=3， y A =|DM |==2，由于△AMN 为锐角三角形，故22DA AM -2有x N =|AE |+|EN |=4．=|ME |+=422AE AN -X B =|BF |=|BN |=6．设点P (x ，y )是曲线段C 上任一点，则由题意知P 属于集合 {(x ，y )|(x －x N )2+y 2=x 2，x A ≤x ≤x B ，y ＞0}． 故曲线段C 的方程y 2=8(x －2)(3≤x ≤6，y ＞0)．(23) 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．满分12分．注：题中赋分为得到该结论时所得分值，不给中间分． 解：(Ⅰ)作A 1D ⊥AC ，垂足为D ，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，得A 1D ⊥面ABC ，∴ ∠A 1AD 为A 1A 与面ABC 所成的角． ∵ AA 1⊥A 1C ，AA 1=A 1C ，∴ ∠A 1AD=45º为所求．(Ⅱ)作DE ⊥AB ，垂足为E ，连A 1E ，则由A 1D ⊥面ABC ，得A 1E ⊥AB ．∴∠A 1ED 是面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角． 由已知，AB ⊥BC ，得ED ∥BC ．又D 是AC 的中点，BC =2，AC =2， 3∴ DE =1，AD =A 1D =，tg A 1ED==． 3DEDA 13故∠A 1ED=60º为所求．(Ⅲ) 作BF ⊥AC ，F 为垂足，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，知BF ⊥面A 1ACC 1． ∵ B 1B ∥面A 1ACC 1，∴ BF 的长是B 1B 和面A 1ACC 1的距离． 在Rt △ABC 中，，2222=-=BC AC AB ∴ 为所求． 362=⋅=AC BC AB BF (24) 本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．满分12分．解法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y =，其中k ＞0为比例系数，依题abk意，即所求的a ，b 值使y 值最小．根据题设，有4b ＋2ab ＋2a =60(a ＞0，b ＞0)， 得 (0＜a ＜30＝， ① aab +-=230于是 aaa kab k y +-==230226432+-+-=a a k⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=264234a a k()2642234+⋅+-≥a a k18k =当a ＋2=时取等号，y 达最小值．264+a 这时a =6，a =－10(舍去)． 将a =6代入①式得b =3．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 解法二：依题意，即所求的a ，b 的值使ab 最大． 由题设知 4a ＋2ab ＋2a =60 (a ＞0，b ＞0) 即 a ＋2b ＋ab =30 (a ＞0，b ＞0)． ∵ a ＋2b ≥2， ab ∴ 2＋ab ≤30，2ab 当且仅当a =2b 时，上式取等号． 由a ＞0，b ＞0，解得0＜ab ≤18．即当a =2b 时，ab 取得最大值，其最大值18． ∴ 2b 2=18．解得b =3，a =6．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．(25) 本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳，推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力．满分12分．解：(Ⅰ)设数列工{b n }的公差为d ，由题意得b 1=1，10b 1＋=100．d2)110(10-解得 b 1=1，d =2．∴ b n =2n －1． (Ⅱ)由b n =2n －1，知S n =lg(1＋1)＋lg(1＋)＋…＋lg(1＋) 31121-n =lg[(1＋1)(1＋)· … ·(1＋)]，31121-n lg b n ＋1=lg ． 2112+n因此要比较S n 与lg b n ＋1的大小，可先比较(1＋1)(1＋)· … ·(1＋)与2131121-n 的大小．12+n 取n =1有(1＋1)＞，112+⋅取n =2有(1＋1)(1＋)> 31112+⋅由此推测(1＋1)(1＋)· … ·(1＋)＞． ①31121-n 12+n 若①式成立，则由对数函数性质可判定：S n ＞lgb n ＋1． 21下面用数学归纳法证明①式． (i)当n =1时已验证①式成立．(ii)假设当n =k (k ≥1)时，①式成立，即 (1＋1)(1＋)· … ·(1＋)＞， 31121-k 12+k 那么，当n =k ＋1时， (1＋1)(1＋)· … ·(1＋)(1＋) 31121-k 1)1(21-+k ＞(1＋) 12+k 121+k =(2k ＋2)．1212++k k ∵ [(2k ＋2)]2－[]21212++k k 32+k =123848422+++++k k k k k =＞0， 121+k ∴(2k ＋2) ＞=．1212++k k 32+k ()112++k 因而 (1＋1)(1＋)· … ·(1＋)(1＋)＞． 31121-k 121+k 1)1(2++k 这就是说①式当n =k ＋1时也成立．1由(i)，（ii）知①式对任何正整数n都成立．由此证得：S n>lg b n＋1．2。
1988-1998年高考文科数学试题参考答案
SA BCD1988年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考答案 满分120分，120分钟一、（本题满分45分）BCDBA BDDAC ACBAC二、（本题满分20分）本题共5小题，每1个小题满分4分只要求直接写出结果1.2;π611． 2.2x =- ． 3.-3． 4.3cm 548π． 5.3． 三、（本题满分10分）证明：∵cos3cos(2)ααα=+cos cos 2sin sin 2αααα=-22cos (2cos 1)2sin cos αααα=--322cos cos 2(1cos )cos αααα=---34cos 3cos αα=-，∴结论成立． 四．（本题满分10分）解：∵SB ⊥底面ABCD ，∴斜线段SA 在底面上的射影为AB ． ∵AD ⊥AB ，∴AD ⊥SA ．连接BD ，则BD =2． ∵SB ⊥BD ，∴SD ==，∴sin 5AD SD α===． 五、（本题满分11分）解：由题意知，点P 的坐标(,)a b 是方程组221,(1)(2)a b ⎧-=⎪=的解，且0a >．由（1）得||a b =>， ∴a b >，∴（2）式可变形为2a b -=． （3） 由（1），（3）可得12a b +=，（4） 由（3），（4）解得53,44a b ==-， ∴所求的点P 的坐标为53(,)44-．六、（本题满分12分）解：原不等式等价于不等式组2210, 1112x xx x ⎧->⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩（）. （），即 由不等式（1）解得1x >或10x -<<．（3）由不等式（2）解得x <0x <<（4） 由（3），（4）得112x -<<或112x +<<， ∴原不等式解集为151,⎛⎛+- ⎝⎭⎝⎭． 七、（本题满分12分）解：由已知条件知2121k k a a +--[5(21)1][5(21)1]10k k =++--+=， ∴135,,a a a ，…，21m a -是以16a =为首项，10为公差的等差数列．又由已知条件知22222222222k k k ka a ++==， ∴246,,a a a ，…，2m a 是以22a =为首项，2为公比的等比数列．∴数列{}n a 的前2m 项和为2135(m S a a a =+++…21)m a -++ 246(a a a +++…2)m a +[65(21)1]2(12)212m m m +-+-=+-21522m m m +=++-．D 1C 1B 1A 1N MO D C B A 1989年普通高等学校招生全国统一考试文科数学答案 满分120分，120分钟一、选择题（本题满分36分，共12个小题，内每一个小题选对得3分） 1-12 ADCBA CDBBD DC二、填空题本题满分24分，共6个小题，每一个小题满分4分果.13.10x y +-= 14.(,1)(4,)-∞-+∞15.(1,1)- 16.必要，必要17.(3,4) 18.900三、解答题本题满分60分，共6个小题. 19.（本小题满分8分）解：5551(1)2()2=55532(cos sin )33i ππ=+252532(cos sin )33i ππ=+32(cos sin )33i ππ=+，∴复数z 的模为32，的模和辐角的主值为.3π 20．（本小题满分8分）证明：3sinsin32222cos cos 22x xx x tg tg -=- 33sin cos cos sin2222cos cos22x x x x -=sin 3cos cos22xx x =2sin cos cos 2x x x =+. 21．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）连接1AO ，则1AO ⊥底面ABCD .作OM ⊥AB 交AB 于M ，作ON ⊥AD 交AD 于N ．连接1A M ，1A N ，则由三垂线定理得1A M ⊥AB ，1A N ⊥AD .∵∠1A AM =∠1A AN ，∴Rt △1A NA ≌Rt △1A MA ， ∴1A M =1A N ，∴OM ON =.∴点O 在∠BAD 的平分线上. （Ⅱ）由条件及（Ⅰ）知AM =1AA 13cos3322π=⋅=，∴AO =AM csc4AM AO π==.又在Rt △1AOA 中，2221199922AO AA AO =-=-=.∴1A O =∴平行六面体的体积54V =⋅22．（本小题满分10分）证：令2222(1223)(3445)n S =⋅-⋅+⋅-⋅22[(21)(2)2(21)]n n n n ++--+.下面用数学归纳法证明. (1)(43)n S n n n =-++. ①当1n =时，221122314S =⋅-⋅=-,-1·2·7=-14， ∴当1n =时，(1)(43)n S n n n =-++. ②假设当(1)n k k =≥时等式成立，即 (1)(43)k S k k k =-++ 那么，当1n k =+时， 1(1)(43)k S k k k +=-+++y (0,1)内22)cα，即时，).1990年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）参考答案 满分120分，120分钟一、选择题:本题考查基本知识和基本运算. 1-15 ACDBD CABAC BDACB二、填空题:本题考查基本知识和基本运算. 16．3 17．20- 18．219．7:5 20三、解答题.21.本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程组.解决问题的能力.解一:设四个数依次为,,a d a a d -+，2()a d a +,则由已知条件得 2()16,12.a d a d a a a d ⎧+-+=⎪⎨⎪++=⎩消去d ，整理得213360a a -+=， 解得 124,9a a ==.代入③式得 124,6d d ==-.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 解二:设四个数依次为,,12,16x y y x --，则由已知条件得2122, (1)(16)(12).(2)x y y y x y +-=⎧⎨-=-⎩ 由1.式得312x y =-. (3) 将(3)式代入2.式得2(16312)(12)y y y -+=-, 整理得 213360y y -+=. 解得 124,9y y ==. 代入3.式得120,15x x == .从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 22.本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力. 解：由已知得sin sin 3cos cos 4αβαβ+=+，即2sincos32242cos cos22αβαβαβαβ+-=+-， ∴3tan 24αβ+=， ∴22tan2tan()1tan 2αβαβαβ++=+- 2322447314⨯==⎛⎫- ⎪⎝⎭． 23.本小题考查直线和平面,直线和直线的位置关系,二面角等基本知识,以及逻辑推理能力和空间想象能力.解一: ∵SB ＝BC ,且E 是SC 的中点,∴BE 是等腰三角形SBC 的边SC 的中线, ∴SC ⊥BE ．又已知SC ⊥DE ,BE ∩DE ＝E , ∴SC ⊥面BDE , ∴SC ⊥BD .又∵SA ⊥底面ABC ，BD 在底面ABC 内， ∴SA ⊥BD .而SC ∩SA ＝S ,∴BD ⊥面SAC . ∵DE ＝面SAC ∩面BDE , DC ＝面SAC ∩面BDC , ∴BD ⊥DE ，BD ⊥DC .∴∠EDC 是所求的二面角的平面角. ∵SA ⊥底面ABC ,∴SA ⊥AB ,SA ⊥AC ． 设SA ＝a ，则AB = a ，BC =SB． 又∵AB ⊥BC，∴AC =． 在R t SAC ∆中SA tg ACS AC ∠==， ∴∠ACS ＝30°.又已知DE ⊥SC ,所以∠EDC ＝60°， 即所求的二面角等于60°．解二: ∵SB ＝BC,且E 是SC 的中点,∴BE 是等腰三角形SBC 的边SC 的中线, ∴SC ⊥BE ．又已知SC ⊥DE ,BE ∩DE ＝E ， ∴SC ⊥面BDE , ∴SC ⊥BD ．∵SA ⊥底面ABC ,且A 是垂足, ∴AC 是SC 在平面ABC 上的射影. 由三垂线定理的逆定理得BD ⊥AC ;又∵E ∈SC ,AC 是SC 在平面ABC 上的射影, ∴E 在平面ABC 上的射影在AC 上, ∵D ∈AC ,∴DE 在平面 ABC 上的射影也在AC 上, 根据三垂线定理又得BD ⊥DE. ∵DE ⊂面BDE ,DC ⊂面BDC ,∴∠EDC 是所求的二面角的平面角． 以下同解法一.24. 本小题考查对数,不等式的基本知识及运算能力.解:原不等式可化为2log (43)log (42)a a x x x +->-. ① 当01a <<时,①式等价于22420,430,4342x x x x x x ->⎧⎪+->⎨⎪+-<-⎩，即1,214,32x x x x ⎧>⎪⎪-<<⎨⎪<->⎪⎩或， ∴24x <<,即当01a <<时,原不等式的解集是()2,4.当1a >时,①式等价于22420,430,4342x x x x x x ->⎧⎪+->⎨⎪+->-⎩，即1,214,32x x x ⎧>⎪⎪-<<⎨⎪-<⎪⎩<， ∴142x <<，即 当1a >时,原不等式的解集是1,22⎛⎫⎪⎝⎭.综上可得，当01a <<时,原不等式的解集是()2,4；当1a >时,原不等式的解集是1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 25.本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力.解：设(,R)z x yi x y =+∈,代入原方程得222x y xyi a -+=，即22,(1)0. (2)x y a xy ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩ 由(2)式得0x =或0y =. ① 若0x =，则方程(1)为2y a -+=，即220(0)y y a y ++=<， (3)或220(0)y y a y -+=≥．(4).由(3)得2(1)1(0)y a y +=-<，当01a ≤≤时，1y =-1y =-，当1a >时无解．由(4)得2(1)1(0)y a y -=-≥，当01a ≤≤时，1y =，或1y = 当1a >时无解．综上可得，当01a ≤≤时，(1z i =±+，或(1z i =±-当1a >时无解．②若0y =，则方程（1）为2x a +=，即2(1)1(0)x a x +=+≥， (5)或2(1)1(0)x a x -=+<． (6) ∵0a ≥，∴解(5)得1x =-； 解(6)得1x =综上可得，1z =±．③若0x =且0y =，则方程（1）为0a =，当0a =时，0x =，0y =是其解；当0a ≠时无解．当0a =时，0z =是其解；当0a ≠时无解．显然，当0a =时，0z =包含在上述两种情况之中．综上可得，实数解为(1z =±； 当01a ≤≤时，(1z i =±，或(1z i =±，当1a >时无纯虚数解．26.本小题考查椭圆的性质,距离公式,最大值知识以及分析问题的能力.解：设所求椭圆的直角坐标方程是22221(0)x y a b a b +=>>，则 222222314c a b b e a a a -⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即 2a b =，∴椭圆的方程可变形为222214x y b b+=．设椭圆上的点(,)x y 到点P 的距离为d ，则22232d x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭22234()2b y y ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭2213432y b ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭，其中b y b -≤≤.若102b <<，则当y b =-时，2d 有最大值，且2372b ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解之得3122b =>，与102b <<相矛盾，舍去． 若12b ≥，则当12y =-时，2d 有最大值，且2437b +=，解之得1b =， ∴2,1a b ==,∴所求椭圆的直角坐标方程是2214x y +=． 当12y =-时，x =∴所求的点的坐标是12⎛⎫- ⎪⎝⎭．B 1C 1A B C DA 11991年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)参考解答试卷共三道大题26个小题.．满分120分，考试时间120分钟．一、选择题．本题考查基本知识和基本运算．每小题3分，满分45分．1-15 ADBCB ADABC ACCBC二．填空题．本题考查基本知识基本运算．每小题3分，满分15分． 16.(2,2)- 17.2－5 18.(4,2)- 19.1+51020.2 三．解答题 21.（满分8分）解：22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++212sin cos 2cos x x x =++ sin 2cos 22x x =++224x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．当sin 2=14x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭时，函数y 有最大值，且最大值为2+2．说明：①没有说明“当sin 2=14x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭时，函数y 有最大值”而得出正确答案，不扣分．②本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质 22.（满分8分） 解：∵ 1z i =+，∴ 2236(1)3(1)6111z z i i z i -++-++=+++312i i i-==-+， ∴1i -的模为22)1(1-+=2，辐角的主值74π，∴所给复数的模为2，辐角的主值74π．说明：本小题考查复数基本概念和运算能力了．23.（满分10分）解：∵ A 1A ⊥底面ABC ，∴ A 1A ⊥BC ． 又∵BC ⊥BB 1，且棱AA 1和BB 1的延长线交于一点，∴ BC ⊥侧面A 1ABB 1，∴ BC ⊥AB ．∴ △ABC 是直角三角形，∠ABC =90º．并且∠ABB 1就是BB 1和底面ABC 所成的角，且 ∠ABB 1=45º．作B 1D ⊥AB 交AB 于D ，则B 1D ∥A 1A ， ∴B 1D ⊥底面ABC ．∵在Rt △B 1DB 中，∠DBB 1=45º， ∴DB =DB 1=AA 1=a ，∴AB =2a ． ∵由于棱台的两个底面相似， ∴Rt △ABC ∽Rt △A 1B 1C 1．∵B 1C 1=A 1B 1=a ，AB =2a ，∴ BC =2a ．∴12S =上A 1B 1×B 1C 1=22a ，12S =下AB ×BC =2a 2．13V =·A 1A ·()下下上上S S S S +⋅+=31·a ·.67222232222a a a a a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+ 说明：本小题考查直线与直线，直线与平面的位置关系，以及逻辑推理和空间想象能力．24.（满分10分）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则1(1)n a a n d =+-，∴ ()1112a n dn b +-⎛⎫= ⎪⎝⎭．∴()111222132111==222aa da db b b ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭·由12318b b b =，得3218b =，即212b =． 代入已知条件得12312318218b b b b b b ⎧=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=.817413131b b b b ， 解得1312,8b b ==或131,28b b ==，∴11,2a d =-=或13,2a d ==-．当11,2a d =-=时，23n a n =-； 当13,2a d ==-时，52n a n =-． 说明：本小题考查等差数列，等比数列的概念及运用方程组.解决问题的能力． 25.（满分12分）解： 原不等式可变形为4222xx a a a -->． ①（1）.当01a <<时，由①式得42220x x a -+<，即()22211x a -<- ．∵ 01a <<，∴2011x <<<x <<x <<． ∴当01a <<时，原不等式的解集为⎛ ⎝． （2） 当1a >时，由①式得42220x x a -+>， 即()22211x a ->-．∵1a >，∴210a -<，∴不等式()22211x a ->-对任意实数x恒成立，即得原不等式的解集为R ．综上可得：当01a <<时，原不等式的解集为⎛ ⎝； 当1a >时，原不等式的解集为R ．说明：本小题考查指数函数性质、解不等式及综合分析能力． 26.（满分12分）解：设所求椭圆方程为22221x y a b+=．由方程组22221,1x y a b y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得2222(1)1x x a b++=，即 2222222()20a b x a x a a b +++-=． ① 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则12,x x 方程①的两个根，且2122222212222,.a x x a b a a b x x a b ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩∵OP OQ ⊥，∴1212OP OQ y yk k x x ⋅=⋅1212(1)(1)1x x x x ++=⋅=-，即12122()10x x x x +++=，∴222222222()210a a b a a b a b --+=++，即 22222a b a b =+．∴12221221,1.2x x b b x x b ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩∵PQ =，∴252PQ =，∴221212()()x x y y -+-222121212()()2()x x x x x x =-+-=-212122()4x x x x ⎡⎤=+-⎣⎦222222222224a a a b a b a b ⎡⎤⎛⎫-=--⋅⎢⎥⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦421252(2)2b b =-+=， 解得22b =或223b =，从而223a =或22a =．∴223a =，22b =或22a =，223b =，∴所求椭圆的方程为132222=+y x ，或.123222=+y x 说明：本小题考查椭圆的性质、两点的距离公式、两条直线垂直条件、二次方程根与系数的关系及分析问题的能力．KH G B 1D 1C 1F A B C ED A 11992年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)参考答案这份试卷共三道大题28个小题..满分120 分.考试时间120分钟一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．1-18 ADDCD BBDDD BACDD CAC 二、填空题.本题考查基本知识和基本运算.每小题3分，满分15分.19.41 20.55- 21..x =－1 22.12815 23.1124)2(22=--y x . 三、解答题24.本小题主要考查三角函数恒等变形知识和运算能力（满分9分）.解：sin 220º+cos 280º＋3sin20ºcos80º=1cos 401cos16022-++sin 60)︒-︒13=1(cos160cos40)224+︒-︒+︒-=41－21·2sin100ºsin60º＋23sin100º =41－23sin100º＋23sin100º14=． 25.本小题主要考查复数相等的条件及解方程的知识（满分9分）.解：设 (,R)z x yi x y =+∈，则由已知条件得74x yi i +-=-+，由复数相等的定义，得7,4,x y ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩ 解得1254,3,3y x x ===，∴34z i =+或543z i =+．26.本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，以及空间想象能力和逻辑推理能力（满分10分）. 解一：∵ EB =BF =FD 1=D 1E=22)2(a a +=25a ， ∴四棱锥11A EBFD -的底面是菱形．连接A 1C 1，EF ，BD 1， 则A 1C 1∥EF ，∴A 1C 1∥平面1EBFD ，∴A 1C 1到底面EBFD 1的距离就是11A EBFD -的高．设G ，H 分别是A 1C 1，EF 的中点，连接D 1G ，GH ，则FH ⊥HG ， FH ⊥HD 1， ∴FH ⊥平面HGD 1． ∵FH ⊂平面1EBFD ， ∴面1EBFD ⊥平面1HGD ．作GK ⊥HD 1于K ，则GK ⊥面1EBFD ． ∵正方体的对角面AA 1CC 1垂直于底面A 1B 1C 1D 1,∴∠HGD 1=90º． 在Rt △HGD 1内，GD 1=22a ，HG =21a ，HD 1=21BD =23a ， ∴23a ·GK =21a ·22a ，从而GK =66a ．∴11EBFD A V -=311EBFD S 菱形·GK=31·21·EF ·BD 1·GK =61·2a ·3a ·66a 31=6a ． 解二 ∵ EB =BF =FD 1=D 1EB 1D 1C 1F AB C E DA1=22)2(a a +=25a ，∴ 四菱锥A 1－EBFD 1的底面是菱形．连接EF ，则△EFB ≌△EFD 1．∵三棱锥A 1－EFB 与三棱锥A 1－EFD 1等底同高，∴111EFD A EFB A V V --=，. ∴EFB A EBFD A V V --=1112．又11EBA F EFB A V V --=， ∴1112EBA F EBFD A V V --=．∵CC 1∥平面ABB 1A 1，∴三棱锥F －EBA 1的高就是CC 1到平面ABB 1A 1的距离，即棱长a ． 又△EBA 1边EA 1上的高为a ， ∴11EBFD A V -=2·31·1EBA S ∆·a =61a 3． 27.本小题主要考查有关直线方程的知识及综合运用知识的能力（满分10分）. 解：由已知条件知顶点A 为直线 210x y -+=与直线0y =的交点，∴由210,0x y y -+=⎧⎨=⎩解得顶点(1,0)A -．∴AB 的斜率2011(1)AB k -==--，∵x 轴是A ∠的平分线，∴1AC k =-，且直线AC 所在直线的方程为(1)y x =-+． ① ∵边BC 上的高所在直线的方程为 210x y -+=，∴2BC k =-，且BC 所在的直线方程为 22(1)y x -=--，即 24y x =-+． ② 由①，②联立解得顶点C 的坐标为(5,6)-． ∴点A 和点C 的坐标分别为(1,0)A -，(5,6)C -，28.本小题考查数列、不等式及综合运用有关知识解决问题的能力（满分12分）. 解：（Ⅰ）由已知条件得()()31121131212,12121120,213131130,2a a d S a d S a d ⎧=+=⎪⎪⨯-⎪=+⋅>⎨⎪⎪⨯-=+⋅<⎪⎩即 111122,2110,60,a d a d a d =-⎧⎪+>⎨⎪+<⎩ ∴ 2470,30,d d +>⎧⎨+<⎩解得 2437d -<<-． （Ⅱ）解一：由（Ⅰ）知0d <， ∴{}n a 单调递减．由已知条件得11313713()1302a a S a +==<，即70a <；112126712()6()02a a S a a +==+>，即670a a +>，∴60a >． ∴在1212,,,S S S 中6S 的值最大．（Ⅱ）解二：()d n n na S n 211-+=()()d n n d n 121212-+-=22124124=552222d d n d d ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦． ∵0d <，∴ 224521⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--d n 最小时，n S 最大．当2437d -<<-时， 124136522d ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，∵正整数6n =时224521⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--d n 最小，∴6S 最大．（Ⅱ）.解三：由（Ⅰ）.知0d <， ∴{}n a 单调递减．∵ 12130,0,S S >⎧⎨<⎩∴111211120,21312130.2a d a d ⨯⎧+>⎪⎪⎨⨯⎪+<⎪⎩∴1150,260,d a d a d ⎧+>->⎪⎨⎪+<⎩即670,0.a a >⎧⎨<⎩ ∴在12,S S ，…，12S 中6S 的值最大．1993年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答本试卷分第Ⅰ卷(选择题.和第Ⅱ卷(非选择题.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共68分.一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分68分．1-17 ACBBA DCABD CADDA CB第Ⅱ卷(非选择题共82分).二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分24分. 18.－a 2 19.{k ||k |>31} 20.100 21..1 22.1760 23.30 三、解答题24.本小题考查三角函数式的恒等变形及运算能力（满分10分） 解. tg20º+4sin20º︒︒︒+︒=20cos 20cos 20sin 420sin ︒︒+︒=20cos 40sin 220sin()︒︒+︒+︒=20cos 40sin 40sin 20sin ︒︒+︒︒=20cos 40sin 10cos 30sin 2︒︒+︒=20cos 40sin 80sin ︒︒︒=20cos 20cos 60sin 2︒=60sin 23=. 25.本小题考查函数的奇偶性、对数函数的性质、不等式的性质和解法等基本知识及运算能力（满分12分） 解：(Ⅰ)由已知函数知011>-+xx， 解得－1<x <1；∴()f x 的定义域为(1,1)-． (Ⅱ) ∵ ()1log 1axf x x--=+ ()1log 1axf x x+=-=--， ∴ f (x .为奇函数．(Ⅲ.由(Ⅰ.知，()f x 的定义域为(1,1)-，∴当1a >时，由1log 01axx+>-得 111>-+xx，解得01x <<； 当01a <<时，由1log 01axx+>-得 1011x x+<<-，解得10x -<<．综上所述，当1a >时，()0f x >的x 取值范围(0,1)；当01a <<时，()0f x >的x 取值范围(1,0)-．26.本小题考查观察、分析、归纳的能力和数学归纳法（满分12分） 解：由12382448,92549S S S ===,， 48081S =… ，猜想 ()()()N n n n S n ∈+-+=2212112．下面用数学归纳法证明如下：①当1n =时，98313221=-=S ，等式成立．②设当n k =时等式成立，即()().1211222+-+=k k S k 则()()()221321218++++=+k k k S S k k ()()()()()222232121812112+++++-+=k k k k k ()()()()()222232121832]112[+++++-+=k k k k k ()()()()()()22222321218323212+++++-++=k k k k k k ()()()()()222223212123212+++-++=k k k k k ()()2232132+-+=k k ()()22]112[1]112[++-++=k k ，a /d c b a P βαy N a 2a 1Q b a A BCP βMαy由此可知，当1n k =+时等式也成立． 根据①②可知，等式对任何n N ∈都成立． 27.本小题考查直线与平面的平行、垂直和两平面垂直的基础知识，及空间想象能力和逻辑思维能力（满分12分） 证法一：(Ⅰ)设α∩γ=AB ，β∩γ=AC ．在γ内任取一点P ，并在γ内作直线PM ⊥AB ，PN ⊥AC 交AB ，AC 于点,M N ．∵γ⊥α，∴PM ⊥α． 而 a ⊂α，∴PM ⊥a ． 同理PN ⊥a ．又PM ⊂γ，PN ⊂γ，∴ a ⊥γ．(Ⅱ)在直线a 上任取点Q ，过b 与Q 作一平面交α于直线1a ，交β于直线2a ． ∵b ∥α，∴b ∥1a ． 同理b ∥2a ． ∴ 1a ∥2a ． ∵12a a Q =，∴1a 与2a 重合． 又1a ⊂α，2a ⊂β，∴1a ，2a 都是α，β的交线，即都重合于a ．∵b ∥1a ，∴ b ∥a ． 而a ⊥γ，∴b ⊥γ．证法二：(Ⅰ.在a 上任取一点P ，过P 作直线a '⊥γ．∵α⊥γ，P ∈α，∴a '⊂α． 同理a '⊂β．∴ a '是α，β的交线，即a '重合于a ．又a '⊥γ，∴ a ⊥γ．(Ⅱ.于α内任取不在a 上的一点，过b 和该点作平面与α交于直线c ．同理过b 作平面与β交于直线d ．∵b ∥α，b ∥β．∴b ∥c ，b ∥d ． 又c ⊄β，d ⊂β，∴c 与d 不重合，且c ∥d ． ∴c ∥β．∵c ∥β，c ⊂α，α∩β=a ， ∴c ∥a ．∵b ∥c ，a ∥c ，b 与a 不重合(b ⊄α，a ⊂α.， ∴b ∥a ．而a ⊥γ，∴b ⊥γ．28.本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力（满分12分）解法一：如图，以MN 所在直线为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，设以,M N 为焦点且过点P 的椭圆方程为12222=+by a x ，且焦点为(,0),(,0)(0)M c N c c ->．由tan ,tan 22PMN MNP ∠=∠=-知，直线PM 和直线PN 的斜率分别为1,22，直线方程分别为1(),2()2y x c y x c =+=-．由1(),22()y x c y x c ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩解得54,33x c y c ==，即54,33P c c ⎛⎫⎪⎝⎭． 在PMN ∆中，|MN |=2c ，MN 上的高为点P 的纵坐标，∴214421233MNP S c c c ∆=⋅⋅==，∴c =P 点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332635，． 由椭圆过点P 得2a PM PN =+=，∴a =． ∴222153344b a c =-=-=， ∴所求椭圆方程为1315422=+y x ． 解法二：同解法一得23=c ，P 点的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛332635，．∵ 点P 在椭圆上，且222a b c =+，∴ 13322363522222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b b ，即 423830b b --=，解得23b =，或213b =- (舍去.．∴222154a b c =+=，∴所求椭圆方程为1315422=+y x ． 说明：本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力．本题也可用正弦定理求解．1994年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共65分)一、选择题(本题考查基本知识和基本运算第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分)1-15 CDBAB DBAAC CBDDC第Ⅱ卷(非选择题共85分)二、填空题(本题考查基本知识和基本运算.每空格4分，共24分)16．－189 17．223,(2)1x x y =-+= 18．43- 19．322π 20．121(a a n++…)n a + 三、解答题21.本小题考查利用有关三角公式并借助辅助角求三角函数最小值的方法及运算能力，满分11分.解：332sin3sin cos3cos sin 2cos 2x x x xy x x+=+ 222sin3sin sin cos3cos cos sin 2cos 2x x x x x x x x+=+ 222(cos2cos4)sin (cos2cos4)cos 2cos 2x x x x x x x-++=sin 2x +2cos 2(1cos 4)sin 22cos 2x x x x +=+ 222cos 2cos 2sin 22cos 2x x x x=+cos 2sin 2x x =+)4x π=+．当sin(2)14x π+=-，即3()8x k k Z ππ=-∈时，函数y 取得最小值22.本小题考查对数函数性质、平均值不等式等知识及推理论证的能力.满分12分.解：∵+12,R x x ∈，∴212122x x x x +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(当且仅当12x x =时取“=”号) ．当1a >时，21212log ()log 2a a x x x x +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴12121log ()log 22a a x x x x +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即 []12121()()()22x x f x f x f ++≤ (当且仅当12x x =时取“=”号) ． 当01a <<时，21212log ()log 2a a x x x x +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，∴12121(log log )log 22a a a x x x x ++>， 即[]12121()()()22x x f x f x f ++≥ (当且仅当12x x =时取“=”号) ．23.本小题考查空间线面关系，正棱柱的性质，空间想象能力和逻辑推理能力.满分12分.(1)证明：∵A 1B 1C 1－ABC 是正三棱柱， ∴四边形B 1BCC 1是矩形.连接B 1C ，交BC 1于E ，则B 1E =EC . 连结DE .在△AB 1C 中，∵AD =DC ， ∴DE ∥AB 1．又AB 1⊄平面DBC 1，DE ⊂平面DBC 1 ∴AB 1∥DBC 1．(2)解：作AF ⊥BC ，垂足为F . ∵面ABC ⊥面B 1BCC 1， ∴AF ⊥B 1BCC 1平面.连接B 1F ，则B 1F 是AB 1在平面B 1BCC 1内的射影．∵BC 1⊥AB 1， ∴BC 1⊥B 1F . ∵四边形B 1BCC 1是矩形， ∴∠B 1BF =∠BCC 1=90º；∠FB 1B =∠C 1BC ，∴△B 1BF ∽△BCC 1， ∴BB BFC C BF BC B B 111==． 又F 为正三角形ABC 的BC 边中点， ∴B 1B 2=BF ·BC =1×2=2， ∴B 1F 2= B 1B 2+ BF 2=3，∴B 1F =3，即线段1AB 在平面11BCC B 内射影长为3．24.本小题考查曲线与方程的关系，轨迹的概念等解析几何的基本思想以及综合运用知识的能力.满分12分.解：如图，设MN 切圆于N ，动点M 的坐标为(,)x y ，则由已知条件得22222(1)()4(14)0x y x λλλ-+-++=． ∴动点M 的轨迹方程是22222(1)()4(14)0x y x λλλ-+-++=．当1λ=时，动点M 的轨迹方程是54x =，它表示一条直线；当1λ≠时，动点M 的轨迹方程是()222222221311x y λλλλ⎛⎫+-+= ⎪-⎝⎭-，它表示以点222,01λλ⎛⎫⎪-⎝⎭为圆心，13122-+λλ为半径的圆．25.本小题考查等差数列的基础知识，数学归纳法及推理论证能力.满分14分. 证法一：令21d a a =-．下面用数学归纳法证明．1(1)()n a a n d n N =+-∈．(1)当1n =时，上述等式为恒等式11a a =； 当2n =时，1121(21)()a d a a a +-=+-2a =，等式成立.(2)假设当(2)n k k =≥时命题成立，即1(1)k a a k d =+-．由已知条件有()12k k k a a S +=， ()()11112k k k a a S ++++=， ∴11k k k a S S ++=-()()111(1)22k k k a a k a a ++++=-，整理得11(1)(1)(1)k k a k a k k d +-=-+-． ∵2k ≥，∴11k a a kd +=+，即 当1n k =+时等式成立． 由(1)和(2)，等式对所有的自然数n 成立，从而{}n a 是等差数列．证法二：当n ≥2时，由已知条件()()21111--+-=n n a a n S ，()21n n a a n S +=， ∴1n n n a S S -=- ()()111(1)22n n n a a n a a -+-+=-；同理可得11n n n a S S ++=-()()111(1)22n n n a a n a a ++++=-，∴()()11111()2n n n nn a a a a n a a ++++-=-+()()1112n n a a --++，整理得 11n n n n a a a a +--=-， ∴{}n a 是等差数列．1995年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)一、选择题(本题考查基本知识和基本运算第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分)1-15 BDCBD CACAA BDDCA第Ⅱ卷(非选择题共85分)二、填空题(本题考查基本知识和基本运算，本大题共5小题，每小题4分，共20分) 16．3 17．3237 18．3 19．4 20．144三、解答题（本大题共6小题，共65分） 21．本小题主要考查指数方程的解法及运算能力，本小题满分7分.解：设30x y =>，则原方程可化为098092=--y y ，解得：91=y ，912-=y （舍去）由93=x得2=x ， ∴原方程的解为2=x ．22．本小题主要考查复数的有关概念，三角公式及运算能力，本小题满分12分． 解：由已知条件得)sin (cos )sin (cos 22θθθθi i z z +++=+θθθθs i n c o s 2s i n 2c o s i i +++= )2c o s 23(s i n 2c o s 23c o s 2θθθθi +=)23s i n 23(c o s 2c o s 2θθθi +=)23sin()23[cos(2cos 2θπθπθ+-++--=i ∵)2,(ππθ∈，∴(,)22θππ∈，∴0)2cos(2>-θ．∵复数z z +2的模为2cos 2θ-，辐角)(23)12(z k k ∈+-θπ． 23.本小题主要考查等比数列、对数、不等式等基础知识以及逻辑推理能力，本小题满分10分.证：设}{n a 的公比为q ，由题设知01>a ，0>q ，(1)当1=q 时，1na S n =，从而22111(2)n n n S S S na n a ++⋅-=+22211(1)0n a a -+=-<.(2) )当1≠q 时，()qq a S nn --=111，从而221n n n S S S ++⋅-()()()()()22221112211111n n n a q q a q q q ++---=---021<-=n q a ．由(1)和(2)得212++<⋅n n n S S S ．根据对数函数的单调性，得215.025.0log )(log ++>⋅n n n S S S ，即 15.025.05.0log 2log log ++>+n n n S S S ．24．本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力，本小题满分12分．解：(1)根据圆柱性质，DA ⊥平面ABE ． ∵EB ⊂平面ABE ，∴DA ⊥EB ．∵AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上， ∴AE ⊥EB ． 又AE ∩AD =A ， ∴EB ⊥平面DAE ． ∵AF ⊂平面DAE ， ∴EB ⊥AF ． 又AF ⊥DE ，且 EB ∩DE =E ，∴AF ⊥平面DEB ．∵DB ⊂平面DEB ，∴AF ⊥DB ．(2)设点E 到平面ABCD 的距离为d ，记AD =h ．∵圆柱轴截面ABCD 是矩形，∴AD ⊥AB ．∴221ahAD AB S ABD =⋅=∆，∴dah S d V V ABD ABD E ABE D 613===∆--．又h a AD AB V 2242ππ=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=圆柱， 由题设知ππ36142=dah ha ，即2a d =． 25．本小题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力，以及函数的概念、方程和不等式的解法等基础知识和方法，本小题满分12分． 解：解：(1)由 Q P =有()2840500)8(1000--=-+x t x ，即0)280644)808(522=+-+-+t t x t x （．当判别式0168002≥-=∆t，即 0t ≤≤25052548t t x -±-=．由0≥∆，0≥t ，148≤≤x ，得不等式组：①0488145t t ⎧≤≤⎪⎨≤-+⎪⎩或 ②048814.5t t ⎧≤≤⎪⎨≤-≤⎪⎩解不等式组①，得100≤≤t ，不等式组②无解．∴所求的函数关系式为25052548t t x -+-=．函数的定义域为]10,0[． (2)为使10≤x ，应有8105052542≤-+-t t ，即 0542≥-+t t ．解得1≥t 或5-≤t ，由0≥t 知1≥t ． 从而政府补贴至少为每千克1元．26．本小题主要考查直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求法，利用方程判定曲线的性质等解析几何的基本思想和综合运用知识的能力，本小题满分12分．解：设点P 、Q 、R 的坐标分别为),12(P y ，),(y x ，),(R R y x ，由题设知0>R x ，0>x ，由点R 在椭圆上及点O 、Q 、R 共线，得方程组221,2416,R RR R x y y y x x⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得2222222248, (1)2348. (2)23R R x x x y y y x y ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩由点O ，Q ，P 共线，得xyy P =12，即xy y P 12=．（3）由题设|OQ |·|OP |=|OR |2得()222222212RRpyxy y x +=+⋅+将（1），（2），（3）式代入上式，整理得点Q 的轨迹方程132)1(22=+-y x )0(>x ． 所以点Q 的轨迹是以(1，0)为中心，长、短半轴长分别为1和36，且长轴在x 轴上的椭圆，去掉坐标圆点．1996年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答 第Ⅰ卷(选择题共65分)一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．第1－10题每小题4分，第11－15题每小题5分．满分65分．1-15 CADBC DADAC BDCAB第Ⅱ卷(非选择题共85分)二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 16．4 17．32 18．3 19．42 三、解答题20．本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力． 解：（Ⅰ）当1>a 时，原不等式等价于不等式组：⎩⎨⎧>-+>-+.1,01a a x a x 解得12->a x ． (Ⅱ)当10<<a 时，原不等式等价于不等式组10,1.x a x a a +->⎧⎨+-<⎩ 解得 121-<<-a x a ．综上，当1>a 时，不等式的解集为 }12|{->a x x ;当10<<a 时，不等式的解集为 }121|{-<<-a x a x ．21．本小题主要考查等比数列的基础知识，逻辑推理能力和运算能力．解：若1=q ，则有133a S =，166a S =，199a S =．由9632S S S =+得1113618a a a +=，解得 10a =，与01≠a 相矛盾， ∴1≠q ．由9632S S S =+得qq a q q a q q a --=--+--1)1(21)1(1)1(916131 整理得 0)12(363=--q q q ．由0≠q 得方程 01236=--q q ．0)1)(12(33=-+q q ，∵1≠q ，013≠-q ， ∴0123=+q ，∴243-=q ． 22．本小题考查三角函数基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算能力．满分12分．解：由题设条件知B =60°，A +C =120°．∴11cos cos cos60A C +==-，即 C A C A cos cos 22cos cos -=+，2coscos 22A C A C +-)cos()]A C A C =++-，2cos 60cos 2A C-︒cos()]A C =︒+-，1cos cos()]22A C A C -=-+-，023)2cos(2)2(cos 242=--+-CA C A ，,0)32cos 22)(22cos 2(=+---C A C A∵,032cos 22≠+-CA ∴.022cos 2=--CA 从而得.222cos =-C A 23．本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力运算能力．满分12分． (Ⅰ)②∵BE :CF =1:2， ∴ DC =2BD ， ∴ DB =BC ，③∵△ABD 是等腰三角形， 且∠ABD =120º，∴∠BAD =30º，∴∠CAD =90º， ④∵FC ⊥面ACD ，∴CA 是F A 在面ACD 上射影， 且DA ⊥AC ，GB 1C 1F AB C E DA 1⑤∵F A ∩AC =A ，DA ⊥面ACF ， DA ⊂面ADF ．(Ⅱ)解：∵ F AA E AEF A V V 11--=． 在面A 1B 1C 1内作B 1G ⊥A 1C 1，垂足为G ，则231aG B =．∵面A 1B 1C 1⊥面A 1 C ，B 1G ⊥A 1C 1， ∴B 1G ⊥面A 1 C ．∵ E ∈B B 1，而B B 1∥面A 1 C ， ∴ 三棱柱E －AA 1F 的高为23a ， ∴ 1211322AA F a S AA AC ∆=⋅=，∴43311a V V F AA E AEF A ==--．24．本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理的应用，近似计算的方法和能力．满分10分．解：设耕地平均每年至多只能减少x 公顷，又设该地区现有人口为P 人，粮食单产为M 吨/公顷．依题意得不等式4410(10.22)(1010)10(10.1)(10.01)M x Mp p+-≥++，化简得]22.1)01.01(1.11[10103+⨯-⨯≤x ． ∵]22.1)01.01(1.11[10103+⨯-⨯ 3122101011010[1(10.010.01122C C =-+⋅+⋅+…)]]1045.122.11.11[103⨯-⨯≈ 1.4≈，∴4≤x （公顷）．答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷．25．本小题主要考查直线与双曲线的性质，解析几何的基本思想，以及综合运用知识的能力．满分12分．解：（I ）依题设，直线12,l l 的斜率都存在，且设直线12,l l 的斜率分别为12,k k ，，则121k k =-，且直线12,l l 的方程分别为11(0)y k x k =≠， ①22(0)y k x k =≠． ②将①代入双曲线方程得221(1k x x ⎡⎤-=⎣⎦，即 01222)1(2121221=-++-k x k x k ．③由题设条件知0121≠-k ，且22221111)4(1)(21)k k ∆=--- 214(31)0k =->．将②代入双曲线方程得222(1k x x ⎡⎤-=⎣⎦，即 01222)1(2222222=-++-k x k x k ．④由题设条件知2210k -≠，且2224(31)0k ∆=->，即21110k -≠，且22134(1)0k ∆=->． ∴1l ，2l 与双曲线各有两个交点，等价于21211310,310,1.k k k ⎧->⎪⎪->⎨⎪⎪≠⎩解得⎪⎩⎪⎨⎧≠<<.1,33311k k ∴)3,1()1,33()33,1()1,3(1 ----∈k ． (Ⅱ)双曲线122=-x y 的顶点(0,1),(0,1)-．取1(0,1)A 时，有1)20(1=+k ，解得221=k ． 从而2112-=-=k k ． 将22-=k 代入方程④得03242=++x x ． ⑤令2l 与双曲线的两交点为),(112y x A ，),(222y x B ，则12,x x 是方程⑤的两个根，且12123x x x x +=-=， ∴222221212||()()A B x x y y =-+-221212123()3[()4]x x x x x x =-=+-，∴ 60||222=B A ， 152||22=B A ． 当取1(0,1)A -时，由双曲线221y x -=关于x 轴的对称性，知152||22=B A ， ∴1l 过双曲线的一个顶点时，152||22=B A ．1997年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答 第Ⅰ卷（选择题共65分）一、选择题：本大题共15小题；第(1)—(10)题每小题4分，第(11)—(15)题每小题5分，共65分．1-12 BBACB CDCAB ADCCB第Ⅱ卷(非选择题 共85分)二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．16．4 17．(4，2) 18．32- 19．①，④ 三、解答题：本大题共6小题；共69分． 20．(本小题满分10分)本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算等基础知识，考查利用三角公式进行变形的技能和运算能力． 解一：∵3sin 3cos 2321ππi i z +=+=，i 2222+=ω4sin 4cos ππi +=．由题意得377(cossin )1212zw zw i ππ+=+ 1313(cos sin )1212i ππ++)1213sin 127(sin )1213cos 127(cosππππ+++=i55sin )66i ππ=+，∴复数3zw zw +的模为2，辐角主值为65π． 解二：3zw zw +)1(2w zw += )1)(2222)(2321(i i i +++= )2123(2i i +-=55sin )66i ππ=+，， ∴复数3zw zw +的模为2，辐角主值为65π． 21．(本小题满分11分)本小题主要考查等差数列、等比数列、方程组等基础知识，考查运算能力．解：设等差数列}{n a 的公差为d ，则3133S a d =+，4146S a d =+， 51510S a d =+．由已知条件得234534111,345112,34S S S S S ⎧⎛⎫⋅=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪+=⎪⎩其中05≠S ，即 2111113()()(2),23()()2,2a d a d a d a d a d ⎧++=+⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎩ 整理得211350,52 2.2a d d a d ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得11,0a d ==，或1124,5a d ==-，∴1n a =，或1232124(1)555n a n n =--=-．当1n a =时，55=S ；当321255n a n =-时，54S =-． ∴等差数列}{n a 的通项为1=n a ，或n a n 512532-=．22．(本小题满分12分)本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力． 解：（Ⅰ）由题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为vS ， 全程运输成本为)(2bv vaS v S bv v S a y +=⋅+⋅=， ∴所求函数及其定义域为],0(),(c v bv vaS y ∈+=．(Ⅱ)由题意知S ，a ，b ，v 都为正数，∴ab S bv vaS 2)(≥+，当且仅当a bv v =．即bav =时上式中等号成立． 若c b a≤，则当bav =时，全程运输成本y 最小；若c b a>，则当],0(c v ∈时，有 )()(bc c aS bv v a S +-+ )]()[(bc bv c av a S -+-==))((bcv a v c vcS-- ∵0≥-v c ，且2a bc >，∵02>-≥-bc a bcv a ，∴)()(bc caS bv v a S +≥+，且仅当cv =时等号成立，也即当c v =时，全程运输成本y 最小． 综上知，为使全程运输成本y 最小，当c b ab ≤时行驶速度应为b abv =；当c bab>时行驶速度应为c v =． 说明：当c ba>时，可用函数单调性、导数方法求最小值．23．(本小题满分12分)本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，考查逻辑推理和空间想象能力． 解:(Ⅰ)∵AC 1是正方体， ∴AD ⊥面DC 1．又D 1F ⊂面DC 1，∴F D AD 1⊥．(Ⅱ)取AB 中点G ，连接A 1G ，FG ． ∵F 是CD 的中点，∴GF ，AD 平行且相等． 又∵A 1D 1，AD 平行且相等， ∴GF ，A 1D 1平行且相等，∴GFD 1A 1是平行四边形，A 1G ∥D 1F ． 设A 1G 与AE 相交于点H ，则∠AHA 1是AE 与D 1F 所成的角，∵E 是BB 1的中点，∴Rt △A 1AG ≌Rt △ABE ，∠GA 1A =∠GAH ， ∴∠AHA 1=90°，即直线AE 与D 1F 所成角为直角．(Ⅲ)由(Ⅰ)知AD ⊥D 1F ，由(Ⅱ)知AE ⊥D 1F ，又AD ∩AE =A ，∴D 1F ⊥面AED ．又因为D 1F ⊂面A 1FD 1， ∴面AED ⊥面A 1FD 1． (Ⅳ)∵体积E AA F F AA E V V 11--=，又FG ⊥面ABB 1A 1，三棱锥F －AA 1E 的高21==AA FG ， 面积2221212111=⨯==∆A ABB E AA S S 矩形． ∴ 3422313111=⨯⨯=⨯⨯=∆-FG S V E AA FAA E ． 24．(本小题满分12分)本小题主要考查对数函数图像、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查运算能力和分析问题的能力． 解：(Ⅰ)设点A ，B 的横坐标分别为1x ，2x ，。
1998年重庆高考文科数学真题及答案
1998年重庆高考文科数学真题及答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)一．选择题：本大题共15小题；第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－第(15)题每小题5分，65分．在每小题给出四项选项，只一项符合题目要求的 (1) sin600º( )(A)(B) － (C) (D) － 21212323(2) 函数y =a |x |(a ＞1)的图像是( )(3) 已知直线x =a (a ＞0)和圆(x －1)2＋y 2=4相切，那么a 的值是( )(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 (4) 两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，A 2x ＋B 2y ＋C 2=0垂直的充要条件是( )(A) A 1A 2＋B 1B 2=0 (B) A 1A 2－B 1B 2=0 (C)(D) 12121-=B B A A 12121=A A BB (5) 函数f (x )=( x ≠0)的反函数f －1(x )= ( ) x1(A) x (x ≠0) (B) (x ≠0) (C) －x (x ≠0) (D) －(x ≠0)x 1x 1(6) 已知点P(sin α－cos α，tg α)在第一象限，则[ 0，2π]内α的取值范围是 ( )(A) ()∪() (B) ()∪() 432ππ，45ππ，24ππ，45ππ，(C) ()∪() (D) ()∪()432ππ，2325ππ，24ππ，ππ，43(7) 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为( )(A) 120º (B) 150º (C) 180º (D) 240º (8) 复数－i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是( )(A)I (B) －I (C) ±I (D) ±i 2123±2123±2123+2123-(9) 如果棱台的两底面积是S ，S ′，中截面的面积是S 0，那么( )(A) 2 (B) S 0=S S S '+=0S S '(C) 2S 0=S ＋S ′ (D)S SS '=22(10) 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共( )(A) 6种 (B) 12种 (C) 18种 (D) 24种 (11) 向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如右图所示，那么水瓶的形状是( )(12) 椭圆=1的焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么31222y x +点M 的纵坐标是( )(A) ±(B) ± (C) ± (D) ± 43232243(13) 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长为，经过这3个点的小61圆的周长为4π，那么这个球的半径为( )(A) 4 (B)2 (C) 2 (D) 333(14) 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角的正弦值为( )(A)(B) (C) (D)251-2252-215-2252+(15) 等比数列{a n }的公比为－，前n 项的和S n 满足S n =，那么的值为21∞→n lim 11a 11a( )(A) (B)±(C) (D) 3±232±26±二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．(16) 设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，圆心在双曲线上，则圆116922=-y x心到双曲线中心距离是__________(17) (x ＋2)10(x 2－1)的展开的x 10系数为____________（用数字作答） (18) 如图，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件____________时，有A 1C ⊥B 1D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考试所有可能的情形)(19) 关于函数f (x )=4sin(2x ＋)(x ∈R )，有下列命题3π①y =f (x )的表达式可改写为y =4cos(2x －)；②y =f (x )是以2π为最小正周期的周期函数；6π③y =f (x )的图像关于点对称； ④y =f (x )的图像关于直线x =－对称．⎪⎭⎫⎝⎛-06，π6π其中正确的命题的序号是______ (注：把你认为正确的命题的序号都填上．) 三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (20) (本小题满分10分)设a ≠b ，解关于x 的不等式a 2x ＋b 2(1－x )≥[ax ＋b (1－x )]2．21) (本小题满分11分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，设a ＋c =2b ，A －C=，求sin B 的3π值．以下公式供解题时参考：， ，2cos2sin2sin sin ϕθϕθϕθ-+=+2sin2cos2sin sin ϕθϕθϕθ-+=-， ．2cos 2cos 2cos cos ϕθϕθϕθ-+=+2sin 2sin 2cos cos ϕθϕθϕθ-+-=-(22) (本小题满分12分)如图，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1 ⊥l 2，点N ∈l 1．以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等．若△AMN 为锐角三角形，|AM |=，|AN |=3，且|BN |=6．建立适当的坐17标系，求曲线C 的方程．(23) (本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC －A 1 B 1 C 1的侧面A 1 ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC =90º，BC =2，AC=2，且AA 1 ⊥A 1C ，AA 1= A 1 C 1．3(Ⅰ)求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小；(Ⅱ)求侧面A 1 ABB 1 与底面ABC 所成二面角的大小； (Ⅲ)求侧棱B 1B 和侧面A 1 ACC 1的距离．(24) (本小题满分12分)如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当a ，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A 、B 孔的面积忽略不计)．(25) (本小题满分12分)已知数列{b n }是等差数列，b 1=1，b 1＋b 2＋…＋b 10=100． (Ⅰ)求数列{b n }的能项b n ； (Ⅱ)设数列{a n }的通项a n =lg(1＋)，记S n 是数列{a n }的前n 项的和．试比较S n 与nb 1lg b n +1的大小，并证明你的结论． 211998年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题(文史类)参考解答及评分标准一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－(15)题每小题5分．满分65分．(1) D (2) B (3) C (4) A (5) B (6) B (7) C (8) D (9) A (10) B (11) B (12) A (13) B (14) C (15) D 二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．(16)(17) －5120 316(18) AC ⊥BD ，或任何能推导出这个条件的其他条件．例如ABCD 是正方形，菱形等 (19)①，③注：第(19)题多填、漏填的错填均给0分． 三．解答题：（20）本小题主要考查不等式基本知识，不等式的解法．满分10分． 解：将原不等式化为(a 2－b 2)x +b 2≥(a －b )2x 2＋2(a －b )bx ＋b 2， 移项，整理后得 (a －b )2(x 2－x ) ≤0， ∵ a ≠b 即 (a －b )2＞0， ∴ x 2－x ≤0， 即 x (x －1) ≤0．解此不等式，得解集 {x |0≤x ≤1}．(21) 本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．满分11分．解：由正弦定理和已知条件a ＋c =2b 得sin A ＋sin C =2sin B ．由和差化积公式得． B CA C A sin 22cos 2sin 2=-+由A ＋B ＋C =π，得 =，2)sin(C A +2cos B又A －C =，得cos =sin B ，3π232B∴cos =2sin cos ．232B 2B 2B ∵ 0＜＜， ≠0， 2B 2π2cos B ∴sin=， 2B 43从而cos== 2B 2sin 12B -413∴ sin B == ⨯23413839(22) 本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想．考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力．满分12分．解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点．依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛线段的一段，其中A 、B 分别为C 的端点．设曲线段C 的方程为y 2=2px (p ＞0)，(x A ≤x ≤x B ，y ＞0)，其中x A ，x B 分别为A ，B 的横坐标，P =|MN |．所以 M (－，0)，N (，0)． 2P 2P由 |AM |=，|AN |=3得17(x A ＋)2＋2Px A =17， ① 2P (x A －)2＋2Px A =9． ②2P由①、②两式联立解得x A =，再将其代入①式并由p ＞0解得P4或． ⎩⎨⎧==14A x p ⎩⎨⎧==22Ax p因为△AMN 是锐角三角形，所以＞x A ，故舍去． 2P⎩⎨⎧==22A x p ∴ P =4，x A =1．由点B 在曲线段C 上，得x B =|BN |－=4． 2P综上得曲线段C 的方程为y 2=8x (1≤x ≤4，y ＞0)．解法二：如图建立坐标系，分别以l 1、l 2为x 、y 轴，M 为坐标原点．作AE ⊥l 1，AD ⊥l 2，BF ⊥l 2，垂足分别为E 、D 、F ． 设 A (x A ，y A )、B (x B ，y B )、N (x N ，0)． 依题意有x A =|ME|=|DA|=|AN|=3， y A =|DM |==2，由于△AMN 为锐角三角形，故22DA AM -2有x N =|AE |+|EN |=4．=|ME |+=422AE AN -X B =|BF |=|BN |=6．设点P (x ，y )是曲线段C 上任一点，则由题意知P 属于集合 {(x ，y )|(x －x N )2+y 2=x 2，x A ≤x ≤x B ，y ＞0}． 故曲线段C 的方程y 2=8(x －2)(3≤x ≤6，y ＞0)．(23) 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．满分12分．注：题中赋分为得到该结论时所得分值，不给中间分． 解：(Ⅰ)作A 1D ⊥AC ，垂足为D ，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，得A 1D ⊥面ABC ，∴ ∠A 1AD 为A 1A 与面ABC 所成的角． ∵ AA 1⊥A 1C ，AA 1=A 1C ，∴ ∠A 1AD=45º为所求．(Ⅱ)作DE ⊥AB ，垂足为E ，连A 1E ，则由A 1D ⊥面ABC ，得A 1E ⊥AB ．∴∠A 1ED 是面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角． 由已知，AB ⊥BC ，得ED ∥BC ．又D 是AC 的中点，BC =2，AC =2， 3∴ DE =1，AD =A 1D =，tg A 1ED==． 3DEDA 13故∠A 1ED=60º为所求．(Ⅲ) 作BF ⊥AC ，F 为垂足，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，知BF ⊥面A 1ACC 1． ∵ B 1B ∥面A 1ACC 1，∴ BF 的长是B 1B 和面A 1ACC 1的距离． 在Rt △ABC 中，，2222=-=BC AC AB ∴ 为所求． 362=⋅=AC BC AB BF (24) 本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．满分12分．解法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y =，其中k ＞0为比例系数，依题abk意，即所求的a ，b 值使y 值最小．根据题设，有4b ＋2ab ＋2a =60(a ＞0，b ＞0)， 得 (0＜a ＜30＝， ① aab +-=230于是 aaa kab k y +-==230226432+-+-=a a k⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=264234a a k()2642234+⋅+-≥a a k18k =当a ＋2=时取等号，y 达最小值．264+a 这时a =6，a =－10(舍去)． 将a =6代入①式得b =3．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 解法二：依题意，即所求的a ，b 的值使ab 最大． 由题设知 4a ＋2ab ＋2a =60 (a ＞0，b ＞0) 即 a ＋2b ＋ab =30 (a ＞0，b ＞0)． ∵ a ＋2b ≥2， ab ∴ 2＋ab ≤30，2ab 当且仅当a =2b 时，上式取等号． 由a ＞0，b ＞0，解得0＜ab ≤18．即当a =2b 时，ab 取得最大值，其最大值18． ∴ 2b 2=18．解得b =3，a =6．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．(25) 本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳，推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力．满分12分．解：(Ⅰ)设数列工{b n }的公差为d ，由题意得b 1=1，10b 1＋=100．d2)110(10-解得 b 1=1，d =2．∴ b n =2n －1． (Ⅱ)由b n =2n －1，知S n =lg(1＋1)＋lg(1＋)＋…＋lg(1＋) 31121-n =lg[(1＋1)(1＋)· … ·(1＋)]，31121-n lg b n ＋1=lg ． 2112+n因此要比较S n 与lg b n ＋1的大小，可先比较(1＋1)(1＋)· … ·(1＋)与2131121-n 的大小．12+n 取n =1有(1＋1)＞，112+⋅取n =2有(1＋1)(1＋)> 31112+⋅由此推测(1＋1)(1＋)· … ·(1＋)＞． ①31121-n 12+n 若①式成立，则由对数函数性质可判定：S n ＞lgb n ＋1． 21下面用数学归纳法证明①式． (i)当n =1时已验证①式成立．(ii)假设当n =k (k ≥1)时，①式成立，即 (1＋1)(1＋)· … ·(1＋)＞， 31121-k 12+k 那么，当n =k ＋1时， (1＋1)(1＋)· … ·(1＋)(1＋) 31121-k 1)1(21-+k ＞(1＋) 12+k 121+k =(2k ＋2)．1212++k k ∵ [(2k ＋2)]2－[]21212++k k 32+k =123848422+++++k k k k k =＞0， 121+k ∴(2k ＋2) ＞=．1212++k k 32+k ()112++k 因而 (1＋1)(1＋)· … ·(1＋)(1＋)＞． 31121-k 121+k 1)1(2++k 这就是说①式当n =k ＋1时也成立．1由(i)，（ii）知①式对任何正整数n都成立．由此证得：S n>lg b n＋1．2。
1998年高考数学试题及其解析
1998年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)一．选择题：本大题共15小题；第1—10题每小题4分，第11— 15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) sin600º( )(A)21 (B) －21(C) 23 (D) －23(2) 函数y =a |x |(a ＞1)的图像是( )(3) 曲线的极坐标方程ρ=4sin θ化成直角坐标方程为( )(A) x 2＋(y ＋2)2=4 (B) x 2＋(y －2)2=4 (C) (x －2)2＋y 2=4 (D) (x ＋2)2＋y 2=4 (4) 两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，A 2x ＋B 2y ＋C 2=0垂直的充要条件是( )(A) A 1A 2＋B 1B 2=0 (B) A 1A 2－B 1B 2=0 (C)12121-=B B A A (D) 12121=A A BB (5) 函数f (x )=x1( x ≠0)的反函数f －1(x )= ( ) (A) x (x ≠0) (B) x 1(x ≠0) (C) －x (x ≠0) (D) －x1(x ≠0)(6) 已知点P (sin α－cos α，tg α)在第一象限，则在)20[π，内α的取值是 ( )(A) (432ππ，)∪(45ππ，) (B) (24ππ，)∪(45ππ，) (C) (432ππ，)∪(2345ππ，) (D) (24ππ，)∪(ππ，43) (7) 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 ( )(A) 120º (B) 150º (C) 180º (D) 240º (8) 复数－i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是( )(A)2123± i (B) －2123± i (C) ±2123+ i (D) ±2123-i (9) 如果棱台的两底面积分别是S ，S ′，中截面的面积是S 0，那么( )(A) 2S S S '+=0 (B) S 0=S S '(C) 2 S 0=S ＋S ′ (D) S S S '=22(10) 向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如下图所示，那么水瓶的形状是( )(11) 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有( )(A) 90种 (B) 180种 (C) 270种 (D) 540种(12) 椭圆31222y x +=1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|P F 1|是|P F 2|的( )(A) 7倍 (B) 5倍 (C) 4倍 (D) 3倍 (13) 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为( )(A) 43 (B)23 (C) 2 (D) 3(14) 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为( )(A) arccos215- (B) arcsin215- (C) arccos251- (D) arcsin 251-(15) 在等比数列{a n }中，a 1>1，且前n 项和S n 满足∞→n lim S n =11a ，那么a 1的取值范围是( ) (A)(1，＋∞) (B)(1，4) (C) (1，2) (D)(1，2)第Ⅱ卷(非选择题共85分)二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．16．设圆过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是_________17．(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数为____________（用数字作答）18．如图，在直四棱柱A 1B 1C 1 D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件____________时，有A 1 C ⊥B 1 D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)19．关于函数f (x )=4sin(2x ＋3π)(x ∈R )，有下列命题: ①由f (x 1)= f (x 2)=0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y =f (x )的表达式可改写为y =4cos(2x －6π)； ③y =f (x )的图像关于点(－6π，0)对称； ④y =f (x )的图像关于直线x =－6π对称．其中正确的命题的序号是_______ (注：把你认为正确的命题的序号都．填上．) 三、解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (20)(本小题满分10分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，设a ＋c =2b ，A －C=3π．求sin B 的值． 以下公式供解题时参考： sin θ＋sin ϕ =2sin2ϕθ+cos2ϕθ-， sin θ－sin ϕ=2cos2ϕθ+sin2ϕθ-，cos θ＋cos ϕ=2cos 2ϕθ+cos 2ϕθ-， cos θ－cos ϕ=－2sin 2ϕθ+sin 2ϕθ-.(21)(本小题满分11分)如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1．以A，B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=17，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．(22)(本小题满分12分)如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体的长度为a米，高度为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米．问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)．(23)(本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC －A 1 B 1 C 1的侧面A 1 ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC =90º，BC =2，AC=23，且AA 1 ⊥A 1C ，AA 1= A 1 C ．Ⅰ．求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小；Ⅱ．求侧面A 1 ABB 1 与底面ABC 所成二面角的大小； Ⅲ．求顶点C 到侧面A 1 ABB 1的距离．(24)(本小题满分12分)设曲线C 的方程是y =x 3－x ，将C 沿x 轴、y 轴正向分别平行移动t 、s 单位长度后得曲线C 1．Ⅰ．写出曲线C 1的方程； Ⅱ．证明曲线C 与C 1关于点A (3t ，2s)对称； Ⅲ．如果曲线C 与C 1有且仅有一个公共点，证明s =43t －t 且t ≠0．(25)(本小题满分12分)已知数列{b n }是等差数列，b 1=1，b 1＋b 2＋…＋b 10=145． Ⅰ．求数列{b n }的通项b n ； Ⅱ．设数列{a n }的通项a n =log a (1＋nb 1)(其中a ＞0，且a ≠1)，记S n 是数列{a n }的前n 项和．试比较S n 与31log a b n +1的大小，并证明你的结论．1998年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考答案一、选择题（本题考查基本知识和基本运算．）1．D 2．B 3．B 4．A 5．B 6．B 7．C 8．D 9．A 10．B 11．D 12．A 13．B 14．B 15．D 二、填空题（本题考查基本知识和基本运算．）16．31617．179 18．AC ⊥BD ，或任何能推导出这个条件的其他条件．例如ABCD 是正方形，菱形等 19．②，③ 三、解答题20．本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．解：由正弦定理和已知条件a +c =2b 得 sin A +sin C =2sin B .由和差化积公式得2sin 2C A +cos 2CA -=2sinB . 由A +B +C =π 得 sin 2C A +=cos 2B，又A －C =3π 得 23cos 2B=sin B ，所以23cos 2B =2sin 2B cos 2B. 因为0<2B <2π，cos 2B≠0， 所以sin2B =43， 从而cos2B =4132sin 12=-B所以sinB=83941323=⨯.21．本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想．考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力．解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点．依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段，其中A ，B 分别为C 的端点．设曲线段C 的方程为y 2=2px （p >0），（x A ≤x ≤x B ，y >0），其中x A ，x B 分别为A ，B 的横坐标，p =|MN |. 所以 M （2p -，0），N （2p，0）. 由|AM |= 17 ，|AN |=3 得（x A +2p ）2+2px A =17， ① （x A －2p）2+2px A =9. ②由①，②两式联立解得x A =p4.再将其代入①式并由p >0解得 ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.2,2;1,4AA x p x p 或 因为ΔAMN 是锐角三角形，所以2p> x A ，故舍去⎩⎨⎧==22Ax p所以p =4，x A =1.由点B 在曲线段C 上，得x B =|BN |－2p=4. 综上得曲线段C 的方程为y 2=8x （1≤x ≤4，y >0）.解法二：如图建立坐标系，分别以l 1、l 2为x 、y 轴，M 为坐标原点． 作AE ⊥ l 1，AD ⊥ l 2，BF ⊥ l 2，垂足分别为E 、D 、F . 设A （x A ，y A ）、B （x B ，y B ）、N （x N ，0）.依题意有x A =|ME |=|DA |=|AN |=3， y A =|DM |=2222=-DAAM，由于ΔAMN 为锐角三角形，故有 x N =|ME |+|EN | =|ME |+22AE AN -=4x B =|BF |=|BN |=6.设点P （x ，y ）是曲线段C 上任一点，则由题意知P 属于集合｛（x ，y ）|（x －x N ）2+y 2=x 2，x A ≤x ≤x B ，y >0｝.故曲线段C 的方程为y 2=8（x －2）（3≤x ≤6，y >0）.22．本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．解法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y =abk，其中k >0为比例系数.依题意，即所求的a ，b 值使y 值最小.根据题设，有4b +2ab +2a =60（a >0，b >0）， 得 b =aa+-230（0<a <30）. ① 于是 y =ab k=aaa k +-230226432+-+-=a a k ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=264234a a k≥()2642234+⋅+-a a k18k =， 当a +2=264+a 时取等号，y 达到最小值. 这时a =6，a =－10（舍去）. 将a =6代入①式得b =3.故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. 解法二：依题意，即所求的a ，b 的值使ab 最大. 由题设知 4b +2ab +2a =60（a >0，b >0），即 a +2b +ab =30（a >0，b >0）. 因为 a +2b ≥2ab 2， 所以 ab 22+ab ≤30， 当且仅当a =2b 时，上式取等号. 由a >0，b >0，解得0<ab ≤18.即当a =2b 时，ab 取得最大值，其最大值为18. 所以2b 2=18.解得b =3，a =6.故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．23．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．Ⅰ．解：作A 1D ⊥AC ，垂足为D ，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，得A 1D ⊥面ABC ，所以∠A 1AD 为A 1A 与面ABC 所成的角. 因为AA 1⊥A 1C ，AA 1=A 1C ， 所以∠A 1AD =45º为所求.Ⅱ．解：作DE ⊥AB ，垂足为E ，连A 1E ，则由A 1D ⊥面ABC ，得A 1E ⊥AB . 所以∠A 1ED 是面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角. 由已知，AB ⊥BC ，得ED ∥BC . 又D 是AC 的中点，BC =2，AC =23， 所以DE =1，AD =A 1D =3， tg ∠A 1ED =DEDA 1=3. 故∠A 1ED =60º为所求.Ⅲ．解法一：由点C 作平面A 1ABB 1的垂线，垂足为H ，则CH 的长是C 到平面A 1ABB 1的距离.连结HB ，由于AB ⊥BC ，得AB ⊥HB . 又A 1E ⊥AB ，知HB ∥A 1E ，且BC ∥ED ， 所以∠HBC =∠A 1ED =60º 所以CH =BC sin60º=3为所求. 解法二：连结A 1B .根据定义，点C 到面A 1ABB 1的距离，即为三棱锥C －A 1AB 的高h . 由ABC A AB A C V V --=11锥锥得D A S h S ABC B AA 131311∆∆=， 即 322312231⨯⨯=⨯h 所以3=h 为所求.24．本小题主要考查函数图像、方程与曲线，曲线的平移、对称和相交等基础知识，考查运动、变换等数学思想方法以及综合运用数学知识解决问题的能力.Ⅰ．解：曲线C 1的方程为y =（x －t ）3－（x －t ）+s .Ⅱ．证明：在曲线C 上任取一点B 1（x 1，y 1）.设B 2（x 2，y 2）是B 1关于点A 的对称点，则有2221t x x =+， 2221sy y =+. 所以 x 1=t －x 2， y 1=s －y 2.代入曲线C 的方程，得x 2和y 2满足方程：s －y 2=（t －x 2）3－（t －x 2），即 y 2=（x 2－t ）3－（x 2－t ）+ s ， 可知点B 2（x 2，y 2）在曲线C 1上.反过来，同样可以证明，在曲线C 1上的点关于点A 的对称点在曲线C 上. 因此，曲线C 与C 1关于点A 对称.Ⅲ．证明：因为曲线C 与C 1有且仅有一个公共点，所以，方程组⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=st x t x y xx y )()(33有且仅有一组解.消去y ，整理得3tx 2－3t 2x +（t 3－t －s ）=0， 这个关于x 的一元二次方程有且仅有一个根. 所以t ≠0并且其根的判别式Δ=9t 4－12t （t 3－t －s ）=0.即 ⎩⎨⎧=--≠.0)44(,03s t t t t所以 t t s -=43且 t ≠0. 25．本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳、推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力.解：Ⅰ．设数列{b n }的公差为d ，由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=.1452)110(1010,111d b b 解得⎩⎨⎧==.3,11d b 所以 b n =3n －2.Ⅱ．由b n =3n －2，知S n =log a （1+1）+ log a （1+41）+…+ log a （1+231-n ） = log a [（1+1）（1+41）……（1+231-n ）]， 31log a b n +1= log a 313+n . 因此要比较S n 与31log a b n +1的大小，可先比较（1+1）（1+41）……（1+231-n ）与313+n 的大小.取n =1有（1+1）>3113+⋅，取n =2有（1+1）（1+41）>3123+⋅， ……由此推测（1+1）（1+41）……（1+231-n ）>313+n . ① 若①式成立，则由对数函数性质可断定：当a >1时，S n >31log a b n +1. 当0<a <1时，S n <31log a b n +1.下面用数学归纳法证明①式.（ⅰ）当n =1时已验证①式成立.（ⅱ）假设当n =k （k ≥1）时，①式成立，即（1+1）（1+41）……（1+231-k ）>313+k . 那么，当n =k +1时，（1+1）（1+41）……（1+231-k ）（1+()2131-+k ）>313+k （1+131+k ） =13133++k k （3k +2）. 因为()[]333343231313+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++k k k k ()()()()22313134323+++-+=k k k k()013492>++=k k ， 所以13133++k k （3k +2）>().1134333++=+k k 因而（1+1）（1+41）……（1+231-k ）（1+131+k ）>().1133++k 这就是说①式当n=k +1时也成立.由（ⅰ），（ⅱ）知①式对任何正整数n 都成立.由此证得：当a >1时，S n >31log a b n +1. 当0<a <1时，S n <31log a b n +1.。
1998年新疆高考文科数学真题及答案
1998年新疆高考文科数学真题及答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)一．选择题：本大题共15小题；第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－第(15)题每小题5分，65分．在每小题给出四项选项，只一项符合题目要求的 (1) sin600º( )(A)(B) － (C) (D) － 21212323(2) 函数y =a |x |(a ＞1)的图像是( )(3) 已知直线x =a (a ＞0)和圆(x －1)2＋y 2=4相切，那么a 的值是( )(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 (4) 两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，A 2x ＋B 2y ＋C 2=0垂直的充要条件是( )(A) A 1A 2＋B 1B 2=0 (B) A 1A 2－B 1B 2=0 (C)(D) 12121-=B B A A 12121=A A BB (5) 函数f (x )=( x ≠0)的反函数f －1(x )= ( ) x1(A) x (x ≠0) (B) (x ≠0) (C) －x (x ≠0) (D) －(x ≠0)x 1x 1(6) 已知点P(sin α－cos α，tg α)在第一象限，则[ 0，2π]内α的取值范围是 ( )(A) ()∪() (B) ()∪() 432ππ，45ππ，24ππ，45ππ，(C) ()∪() (D) ()∪()432ππ，2325ππ，24ππ，ππ，43(7) 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为( )(A) 120º (B) 150º (C) 180º (D) 240º (8) 复数－i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是( )(A)I (B) －I (C) ±I (D) ±i 2123±2123±2123+2123-(9) 如果棱台的两底面积是S ，S ′，中截面的面积是S 0，那么( )(A) 2 (B) S 0=S S S '+=0S S '(C) 2S 0=S ＋S ′ (D)S SS '=22(10) 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共( )(A) 6种 (B) 12种 (C) 18种 (D) 24种 (11) 向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如右图所示，那么水瓶的形状是( )(12) 椭圆=1的焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么31222y x +点M 的纵坐标是( )(A) ±(B) ± (C) ± (D) ± 43232243(13) 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长为，经过这3个点的小61圆的周长为4π，那么这个球的半径为( )(A) 4 (B)2 (C) 2 (D) 333(14) 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角的正弦值为( )(A)(B) (C) (D)251-2252-215-2252+(15) 等比数列{a n }的公比为－，前n 项的和S n 满足S n =，那么的值为21∞→n lim 11a 11a( )(A) (B)±(C) (D) 3±232±26±二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．(16) 设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，圆心在双曲线上，则圆116922=-y x心到双曲线中心距离是__________(17) (x ＋2)10(x 2－1)的展开的x 10系数为____________（用数字作答） (18) 如图，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件____________时，有A 1C ⊥B 1D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考试所有可能的情形)(19) 关于函数f (x )=4sin(2x ＋)(x ∈R )，有下列命题3π①y =f (x )的表达式可改写为y =4cos(2x －)；②y =f (x )是以2π为最小正周期的周期函数；6π③y =f (x )的图像关于点对称； ④y =f (x )的图像关于直线x =－对称．⎪⎭⎫⎝⎛-06，π6π其中正确的命题的序号是______ (注：把你认为正确的命题的序号都填上．) 三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (20) (本小题满分10分)设a ≠b ，解关于x 的不等式a 2x ＋b 2(1－x )≥[ax ＋b (1－x )]2．21) (本小题满分11分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，设a ＋c =2b ，A －C=，求sin B 的3π值．以下公式供解题时参考：， ，2cos2sin2sin sin ϕθϕθϕθ-+=+2sin2cos2sin sin ϕθϕθϕθ-+=-， ．2cos 2cos 2cos cos ϕθϕθϕθ-+=+2sin 2sin 2cos cos ϕθϕθϕθ-+-=-(22) (本小题满分12分)如图，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1 ⊥l 2，点N ∈l 1．以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等．若△AMN 为锐角三角形，|AM |=，|AN |=3，且|BN |=6．建立适当的坐17标系，求曲线C 的方程．(23) (本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC －A 1 B 1 C 1的侧面A 1 ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC =90º，BC =2，AC=2，且AA 1 ⊥A 1C ，AA 1= A 1 C 1．3(Ⅰ)求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小；(Ⅱ)求侧面A 1 ABB 1 与底面ABC 所成二面角的大小； (Ⅲ)求侧棱B 1B 和侧面A 1 ACC 1的距离．(24) (本小题满分12分)如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当a ，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A 、B 孔的面积忽略不计)．(25) (本小题满分12分)已知数列{b n }是等差数列，b 1=1，b 1＋b 2＋…＋b 10=100． (Ⅰ)求数列{b n }的能项b n ； (Ⅱ)设数列{a n }的通项a n =lg(1＋)，记S n 是数列{a n }的前n 项的和．试比较S n 与nb 1lg b n +1的大小，并证明你的结论． 211998年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题(文史类)参考解答及评分标准一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－(15)题每小题5分．满分65分．(1) D (2) B (3) C (4) A (5) B (6) B (7) C (8) D (9) A (10) B (11) B (12) A (13) B (14) C (15) D 二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．(16)(17) －5120 316(18) AC ⊥BD ，或任何能推导出这个条件的其他条件．例如ABCD 是正方形，菱形等 (19)①，③注：第(19)题多填、漏填的错填均给0分． 三．解答题：（20）本小题主要考查不等式基本知识，不等式的解法．满分10分． 解：将原不等式化为(a 2－b 2)x +b 2≥(a －b )2x 2＋2(a －b )bx ＋b 2， 移项，整理后得 (a －b )2(x 2－x ) ≤0， ∵ a ≠b 即 (a －b )2＞0， ∴ x 2－x ≤0， 即 x (x －1) ≤0．解此不等式，得解集 {x |0≤x ≤1}．(21) 本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．满分11分．解：由正弦定理和已知条件a ＋c =2b 得sin A ＋sin C =2sin B ．由和差化积公式得． B CA C A sin 22cos 2sin 2=-+由A ＋B ＋C =π，得 =，2)sin(C A +2cos B又A －C =，得cos =sin B ，3π232B∴cos =2sin cos ．232B 2B 2B ∵ 0＜＜， ≠0， 2B 2π2cos B ∴sin=， 2B 43从而cos== 2B 2sin 12B -413∴ sin B == ⨯23413839(22) 本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想．考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力．满分12分．解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点．依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛线段的一段，其中A 、B 分别为C 的端点．设曲线段C 的方程为y 2=2px (p ＞0)，(x A ≤x ≤x B ，y ＞0)，其中x A ，x B 分别为A ，B 的横坐标，P =|MN |．所以 M (－，0)，N (，0)． 2P 2P由 |AM |=，|AN |=3得17(x A ＋)2＋2Px A =17， ① 2P (x A －)2＋2Px A =9． ②2P由①、②两式联立解得x A =，再将其代入①式并由p ＞0解得P4或． ⎩⎨⎧==14A x p ⎩⎨⎧==22Ax p因为△AMN 是锐角三角形，所以＞x A ，故舍去． 2P⎩⎨⎧==22A x p ∴ P =4，x A =1．由点B 在曲线段C 上，得x B =|BN |－=4． 2P综上得曲线段C 的方程为y 2=8x (1≤x ≤4，y ＞0)．解法二：如图建立坐标系，分别以l 1、l 2为x 、y 轴，M 为坐标原点．作AE ⊥l 1，AD ⊥l 2，BF ⊥l 2，垂足分别为E 、D 、F ． 设 A (x A ，y A )、B (x B ，y B )、N (x N ，0)． 依题意有x A =|ME|=|DA|=|AN|=3， y A =|DM |==2，由于△AMN 为锐角三角形，故22DA AM -2有x N =|AE |+|EN |=4．=|ME |+=422AE AN -X B =|BF |=|BN |=6．设点P (x ，y )是曲线段C 上任一点，则由题意知P 属于集合 {(x ，y )|(x －x N )2+y 2=x 2，x A ≤x ≤x B ，y ＞0}． 故曲线段C 的方程y 2=8(x －2)(3≤x ≤6，y ＞0)．(23) 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．满分12分．注：题中赋分为得到该结论时所得分值，不给中间分． 解：(Ⅰ)作A 1D ⊥AC ，垂足为D ，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，得A 1D ⊥面ABC ，∴ ∠A 1AD 为A 1A 与面ABC 所成的角． ∵ AA 1⊥A 1C ，AA 1=A 1C ，∴ ∠A 1AD=45º为所求．(Ⅱ)作DE ⊥AB ，垂足为E ，连A 1E ，则由A 1D ⊥面ABC ，得A 1E ⊥AB ．∴∠A 1ED 是面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角． 由已知，AB ⊥BC ，得ED ∥BC ．又D 是AC 的中点，BC =2，AC =2， 3∴ DE =1，AD =A 1D =，tg A 1ED==． 3DEDA 13故∠A 1ED=60º为所求．(Ⅲ) 作BF ⊥AC ，F 为垂足，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，知BF ⊥面A 1ACC 1． ∵ B 1B ∥面A 1ACC 1，∴ BF 的长是B 1B 和面A 1ACC 1的距离． 在Rt △ABC 中，，2222=-=BC AC AB ∴ 为所求． 362=⋅=AC BC AB BF (24) 本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．满分12分．解法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y =，其中k ＞0为比例系数，依题abk意，即所求的a ，b 值使y 值最小．根据题设，有4b ＋2ab ＋2a =60(a ＞0，b ＞0)， 得 (0＜a ＜30＝， ① aab +-=230于是 aaa kab k y +-==230226432+-+-=a a k⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=264234a a k()2642234+⋅+-≥a a k18k =当a ＋2=时取等号，y 达最小值．264+a 这时a =6，a =－10(舍去)． 将a =6代入①式得b =3．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 解法二：依题意，即所求的a ，b 的值使ab 最大． 由题设知 4a ＋2ab ＋2a =60 (a ＞0，b ＞0) 即 a ＋2b ＋ab =30 (a ＞0，b ＞0)． ∵ a ＋2b ≥2， ab ∴ 2＋ab ≤30，2ab 当且仅当a =2b 时，上式取等号． 由a ＞0，b ＞0，解得0＜ab ≤18．即当a =2b 时，ab 取得最大值，其最大值18． ∴ 2b 2=18．解得b =3，a =6．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．(25) 本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳，推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力．满分12分．解：(Ⅰ)设数列工{b n }的公差为d ，由题意得b 1=1，10b 1＋=100．d2)110(10-解得 b 1=1，d =2．∴ b n =2n －1． (Ⅱ)由b n =2n －1，知S n =lg(1＋1)＋lg(1＋)＋…＋lg(1＋) 31121-n =lg[(1＋1)(1＋)· … ·(1＋)]，31121-n lg b n ＋1=lg ． 2112+n因此要比较S n 与lg b n ＋1的大小，可先比较(1＋1)(1＋)· … ·(1＋)与2131121-n 的大小．12+n 取n =1有(1＋1)＞，112+⋅取n =2有(1＋1)(1＋)> 31112+⋅由此推测(1＋1)(1＋)· … ·(1＋)＞． ①31121-n 12+n 若①式成立，则由对数函数性质可判定：S n ＞lgb n ＋1． 21下面用数学归纳法证明①式． (i)当n =1时已验证①式成立．(ii)假设当n =k (k ≥1)时，①式成立，即 (1＋1)(1＋)· … ·(1＋)＞， 31121-k 12+k 那么，当n =k ＋1时， (1＋1)(1＋)· … ·(1＋)(1＋) 31121-k 1)1(21-+k ＞(1＋) 12+k 121+k =(2k ＋2)．1212++k k ∵ [(2k ＋2)]2－[]21212++k k 32+k =123848422+++++k k k k k =＞0， 121+k ∴(2k ＋2) ＞=．1212++k k 32+k ()112++k 因而 (1＋1)(1＋)· … ·(1＋)(1＋)＞． 31121-k 121+k 1)1(2++k 这就是说①式当n =k ＋1时也成立．1由(i)，（ii）知①式对任何正整数n都成立．由此证得：S n>lg b n＋1．2。
1998年高考数学试题
1998年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟. 第Ⅰ卷(选择题共65分)一、 选择题:本大题共15小题;第(1) (10)题每小题4分,第(11) (15)题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)设集合M=｛x │0≤x<2｝,集合N=｛x │x 2-2x-3<0｝,集合M ∩N 为 (A)｛x │0≤x<1｝ (B)｛x │0≤x<2｝ (C)｛x │0≤x ≤1｝ (D)｛x │0≤x ≤2｝ [Key] B(2)如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行,那么系数a 为32)(23)(6)(3)(D C B A ---[Key] B(3)函数)x 31x 21(tg y -=在一个周期内的图象是[Key] A(4)已知三棱锥D-ABC 的三个则面与底面全等，且AB=AC=3，BC=2，则BC 为棱,以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小是32)D (2)C (31arccos)B (33arccos)A (ππ[Key] C（5）函数x2cos )x 23sin(y +-π=的最小正周期是 ππππ4)D (2)C ()B (2)A ([Key] B(6)满足arccos(1-x)≥arccosx 的x 的取值范围是]1,21)[(]21,0)[(]0,21)[(]21,1)[(D C B A --[Key] D(7)将y=2x 的图象(A)先向左平行移动1个单位 (B)先向右平行移动1个单位 (C)先向上平行移动1个单位 (D)先向下平行移动1个单位 再作关于直线y=x 对称的图象,可得到函数y=log 2(x+1)的图象.[Key] D(8)长方体一个顶点上三条棱的长分别是3,4,5,且它的八个顶点都在同一个球面上,这个球的表面积是ππππ200)(50)(225)(220)(D C B A[Key] C(9)曲线的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=-=2111t y tx （t 是参数，t ≠0）,它的普通方程是 11)(1)1(1)()1()2()(1)1()1)((2222+-=--=--==--x xy D x y C x x x y B y x A[Key] B(10)函数y=cos 2x-3cosx+2的最小值为6)(41)(0)(2)(D C B A -[Key] B(11)椭圆C 与14)2(9)3(22=-+-y x 椭圆关于直线x+y=0对称，椭圆C 的方程是 (A) 19)3(4)2(22=+++y x (B) 14)3(9)2(22=-+-y x(C) 14)3(9)2(22=+++y x (D) 19)3(4)2(22=-+-y x[Key] A(12)圆台上、下底面积分别为π、4π,侧面积为6π,这个圆台的体积是337)(637)(32)(332)(ππππD C B A[Key] D(13)定义在区间(-∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间［0,+∞)的图象与f(x)的图象重合.设a>b>0,给出下列不等式①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b); ②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b); ③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a); ④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a), 其中成立的是(A)①与④ (B)②与③ (C)①与③ (D)②与④ [Key] C（14）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+->+->x x x x x 22330的解集是(){}20<<x x A (){}5.20<<x x B (){}60<<x x C (){}30<<x x D[Key] C(15)四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有 (A)150种 (B)147种 (C)144种 (D)141种[Key] D(16)已知92⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x x a的展开式中x 3的系数为49，常数a 的值为_________. [Key] 4(17)已知直线的极坐标方程22)4sin(=+πθρ则极点到该直线的距离是_______。
一九九八年全国高考数学试题
一九九八年全国高考数学试题理科试题一．选择题：本题共15个小题;第（1）-（10）题每小题4分，第（11）-（15）题每小题5分，共65分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）︒600sin 的值是 （ D ） （A ）21（B ）21- （C ）23 （D ）23- （2）函数)1(||>=a a y x 的图象是 （ B ）（3）曲线的极坐标方程θ=ρsin 4化成直角坐标方程为 （ B ） （A ）4)2(22=++y x （B ）4)2(22=-+y x （C ）4)2(22=+-y x （D ）4)2(22=++y x（4）两条直线A 1x+B 1y+C 1=0,A 2x+B 2y+C 2=0垂直的充要条件（ A ） （A ）A 1A 2+B 1B 2=0（B ）A 1A 2-B 1B 2=0（C ）12121-=B B A A （D ）12121=A A BB （5）函数)0(1)(≠=x xx f 的反函数=-)(1x f （ B ） （A ）)0(≠x x （B ）)0(1≠x x （C ）)0(≠-x x （D ）)0(1≠-x x（6）已知点P ),cos (sin αα-αtg 在第一象限，则在]2,0[π内α的取值范围是 （ B ） （A ）)45,()43,2(ππ⋃ππ （B ）)45,()2,4(ππ⋃ππ(B)o x o x o x o x（C ）23,45(43,2(ππ⋃ππ （D ）),43()2,4(ππ⋃ππ （7）已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 （ C ） （A ）1200 （B ）1500 （C ）1800 （D ）2400（8）复数-i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是 （ D ） （A ）i 2123± （B ）i 2123±- （C ）i 2123+± （D ）i 2123-± （9）如果棱台的两底面积分别是S ，S ＇，中截面的面积是S 0，那么 （ A ）（A ）S S S '+=02 （B ）S S S '=0 （C ）S S S '+=02 （D ）S S S '=220 （10）向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是 （ B ）（11）3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体验，每校分配1名医生和2名护士。
精编版-1998年湖南高考文科数学真题及答案
1998年湖南高考文科数学真题及答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)一．选择题：本大题共15小题；第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－第(15)题每小题5分，65分．在每小题给出四项选项，只一项符合题目要求的(1) sin600º( )(A)21 (B) －21 (C) 23 (D) －23 (2) 函数y =a |x |(a ＞1)的图像是 ( )(3) 已知直线x =a (a ＞0)和圆(x －1)2＋y 2=4相切，那么a 的值是( )(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 (4) 两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，A 2x ＋B 2y ＋C 2=0垂直的充要条件是( )(A) A 1A 2＋B 1B 2=0 (B) A 1A 2－B 1B 2=0 (C)12121-=B B A A (D) 12121=A A BB (5) 函数f (x )=x1( x ≠0)的反函数f －1(x )= ( ) (A) x (x ≠0) (B) x 1(x ≠0) (C) －x (x ≠0) (D) －x 1(x ≠0)(6) 已知点P(sin α－cos α，tg α)在第一象限，则[ 0，2π]内α的取值范围是 ( )(A) (432ππ，)∪(45ππ，) (B) (24ππ，)∪(45ππ，) (C) (432ππ，)∪(2325ππ，) (D) (24ππ，)∪(ππ，43) (7) 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为( )(A) 120º (B) 150º (C) 180º (D) 240º (8) 复数－i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是( )(A)2123±I (B) －2123±I (C) ±2123+I (D) ±2123-i (9) 如果棱台的两底面积是S ，S ′，中截面的面积是S 0，那么( )(A) 2S S S '+=0 (B) S 0=S S '(C) 2S 0=S ＋S ′ (D) S S S '=22(10) 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共( )(A) 6种 (B) 12种 (C) 18种 (D) 24种 (11) 向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如右图所示，那么水瓶的形状是( )(12) 椭圆31222y x +=1的焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是( )(A) ±43 (B) ±23 (C) ±22(D) ±43(13) 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长为61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为( )(A) 43 (B)23 (C) 2 (D) 3 (14) 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角的正弦值为( )(A)251- (B) 2252- (C) 215- (D) 2252+ (15) 等比数列{a n }的公比为－21，前n 项的和S n 满足∞→n lim S n =11a ，那么11a 的值为 ( )(A)3± (B)±23 (C) 2± (D) 26± 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．(16) 设圆过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在双曲线上，则圆心到双曲线中心距离是__________(17) (x ＋2)10(x 2－1)的展开的x 10系数为____________（用数字作答）(18) 如图，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件____________时，有A 1C ⊥B 1D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考试所有可能的情形)(19) 关于函数f (x )=4sin(2x ＋3π)(x ∈R )，有下列命题 ①y =f (x )的表达式可改写为y =4cos(2x －6π)；②y =f (x )是以2π为最小正周期的周期函数；③y =f (x )的图像关于点⎪⎭⎫⎝⎛-06，π对称； ④y =f (x )的图像关于直线x =－6π对称．其中正确的命题的序号是______ (注：把你认为正确的命题的序号都．填上．) 三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (20) (本小题满分10分)设a ≠b ，解关于x 的不等式a 2x ＋b 2(1－x )≥[ax ＋b (1－x )]2．21) (本小题满分11分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，设a ＋c =2b ，A －C=3π，求sin B 的值．以下公式供解题时参考：2cos2sin2sin sin ϕθϕθϕθ-+=+， 2sin2cos2sin sin ϕθϕθϕθ-+=-，2cos 2cos 2cos cos ϕθϕθϕθ-+=+， 2sin 2sin 2cos cos ϕθϕθϕθ-+-=-．(22) (本小题满分12分)如图，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1 ⊥l 2，点N ∈l 1．以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等．若△AMN 为锐角三角形，|AM |=17，|AN |=3，且|BN |=6．建立适当的坐标系，求曲线C 的方程．(23) (本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC －A 1 B 1 C 1的侧面A 1 ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC =90º，BC =2，AC=23，且AA 1 ⊥A 1C ，AA 1= A 1 C 1．(Ⅰ)求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小； (Ⅱ)求侧面A 1 ABB 1 与底面ABC 所成二面角的大小； (Ⅲ)求侧棱B 1B 和侧面A 1 ACC 1的距离．(24) (本小题满分12分)如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当a ，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A 、B 孔的面积忽略不计)．(25) (本小题满分12分)已知数列{b n }是等差数列，b 1=1，b 1＋b 2＋…＋b 10=100． (Ⅰ)求数列{b n }的能项b n ； (Ⅱ)设数列{a n }的通项a n =lg(1＋nb 1)，记S n 是数列{a n }的前n 项的和．试比较S n 与21lg b n +1的大小，并证明你的结论．1998年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题(文史类)参考解答及评分标准一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－(15)题每小题5分．满分65分．(1) D (2) B (3) C (4) A (5) B (6) B (7) C (8) D (9) A (10) B (11) B (12) A (13) B (14) C (15) D 二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．(16)316(17) －5120 (18) AC ⊥BD ，或任何能推导出这个条件的其他条件．例如ABCD 是正方形，菱形等 (19)①，③注：第(19)题多填、漏填的错填均给0分． 三．解答题：（20）本小题主要考查不等式基本知识，不等式的解法．满分10分． 解：将原不等式化为(a 2－b 2)x +b 2≥(a －b )2x 2＋2(a －b )bx ＋b 2， 移项，整理后得 (a －b )2(x 2－x ) ≤0， ∵ a ≠b 即 (a －b )2＞0， ∴ x 2－x ≤0， 即 x (x －1) ≤0．解此不等式，得解集 {x |0≤x ≤1}．(21) 本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．满分11分．解：由正弦定理和已知条件a ＋c =2b 得sin A ＋sin C =2sin B ．由和差化积公式得B CA C A sin 22cos 2sin 2=-+． 由A ＋B ＋C =π，得 2)sin(C A +=2cos B，又A －C =3π，得23cos 2B =sin B ，∴23cos 2B =2sin 2B cos 2B ．∵ 0＜2B ＜2π， 2cos B ≠0，∴sin2B =43， 从而cos2B =2sin 12B -=413 ∴ sin B =⨯23413=839(22) 本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想．考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力．满分12分．解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点．依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛线段的一段，其中A 、B 分别为C 的端点．设曲线段C 的方程为y 2=2px (p ＞0)，(x A ≤x ≤x B ，y ＞0)，其中x A ，x B 分别为A ，B 的横坐标，P =|MN |．所以 M (－2P ，0)，N (2P，0)． 由 |AM |=17，|AN |=3得(x A ＋2P )2＋2Px A =17， ① (x A －2P )2＋2Px A =9． ②由①、②两式联立解得x A =P4，再将其代入①式并由p ＞0解得⎩⎨⎧==14A x p 或⎩⎨⎧==22Ax p ． 因为△AMN 是锐角三角形，所以2P＞x A ，故舍去⎩⎨⎧==22A x p ．∴ P =4，x A =1．由点B 在曲线段C 上，得x B =|BN |－2P=4． 综上得曲线段C 的方程为y 2=8x (1≤x ≤4，y ＞0)．解法二：如图建立坐标系，分别以l 1、l 2为x 、y 轴，M 为坐标原点． 作AE ⊥l 1，AD ⊥l 2，BF ⊥l 2，垂足分别为E 、D 、F ． 设 A (x A ，y A )、B (x B ，y B )、N (x N ，0)． 依题意有x A =|ME|=|DA|=|AN|=3， y A =|DM |=22DA AM -=22，由于△AMN 为锐角三角形，故有x N =|AE |+|EN |=4．=|ME |+22AE AN -=4X B =|BF |=|BN |=6．设点P (x ，y )是曲线段C 上任一点，则由题意知P 属于集合 {(x ，y )|(x －x N )2+y 2=x 2，x A ≤x ≤x B ，y ＞0}． 故曲线段C 的方程y 2=8(x －2)(3≤x ≤6，y ＞0)．(23) 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．满分12分．注：题中赋分为得到该结论时所得分值，不给中间分． 解：(Ⅰ)作A 1D ⊥AC ，垂足为D ，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，得A 1D ⊥面ABC ，∴ ∠A 1AD 为A 1A 与面ABC 所成的角． ∵ AA 1⊥A 1C ，AA 1=A 1C ，∴ ∠A 1AD=45º为所求．(Ⅱ)作DE ⊥AB ，垂足为E ，连A 1E ，则由A 1D ⊥面ABC ，得A 1E ⊥AB ． ∴∠A 1ED 是面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角．由已知，AB ⊥BC ，得ED ∥BC ．又D 是AC 的中点，BC =2，AC =23，∴ DE =1，AD =A 1D =3，tg A 1ED=DEDA 1=3． 故∠A 1ED=60º为所求．(Ⅲ) 作BF ⊥AC ，F 为垂足，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，知BF ⊥面A 1ACC 1． ∵ B 1B ∥面A 1ACC 1，∴ BF 的长是B 1B 和面A 1ACC 1的距离． 在Rt △ABC 中，2222=-=BC AC AB ，∴ 362=⋅=AC BC AB BF 为所求． (24) 本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．满分12分．解法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y =abk，其中k ＞0为比例系数，依题意，即所求的a ，b 值使y 值最小．根据题设，有4b ＋2ab ＋2a =60(a ＞0，b ＞0)， 得 aab +-=230 (0＜a ＜30＝， ① 于是 aa a k ab k y +-==230226432+-+-=a a k⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=264234a a k()2642234+⋅+-≥a a k18k =当a ＋2=264+a 时取等号，y 达最小值．这时a =6，a =－10(舍去)． 将a =6代入①式得b =3．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 解法二：依题意，即所求的a ，b 的值使ab 最大． 由题设知 4a ＋2ab ＋2a =60 (a ＞0，b ＞0) 即 a ＋2b ＋ab =30 (a ＞0，b ＞0)． ∵ a ＋2b ≥2ab ， ∴ 22ab ＋ab ≤30，当且仅当a =2b 时，上式取等号． 由a ＞0，b ＞0，解得0＜ab ≤18．即当a =2b 时，ab 取得最大值，其最大值18． ∴ 2b 2=18．解得b =3，a =6．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．(25) 本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳，推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力．满分12分．解：(Ⅰ)设数列工{b n }的公差为d ，由题意得b 1=1，10b 1＋d2)110(10-=100．解得 b 1=1，d =2．∴ b n =2n －1． (Ⅱ)由b n =2n －1，知S n =lg(1＋1)＋lg(1＋31)＋…＋lg(1＋121-n ) =lg[(1＋1)(1＋31)· … ·(1＋121-n )]，21lg b n ＋1=lg 12+n ． 因此要比较S n 与21lg b n ＋1的大小，可先比较(1＋1)(1＋31)· … ·(1＋121-n )与12+n 的大小．取n =1有(1＋1)＞112+⋅，取n =2有(1＋1)(1＋31)>112+⋅ 由此推测(1＋1)(1＋31)· … ·(1＋121-n )＞12+n ． ①若①式成立，则由对数函数性质可判定：S n ＞21lgb n ＋1． 下面用数学归纳法证明①式． (i)当n =1时已验证①式成立．(ii)假设当n =k (k ≥1)时，①式成立，即 (1＋1)(1＋31)· … ·(1＋121-k )＞12+k ，那么，当n =k ＋1时， (1＋1)(1＋31)· … ·(1＋121-k )(1＋1)1(21-+k )＞12+k (1＋121+k ) =1212++k k (2k ＋2)．∵ [1212++k k (2k ＋2)]2－[32+k ]2=123848422+++++k k k k k=121+k ＞0， ∴1212++k k (2k ＋2) ＞32+k =()112++k ．因而 (1＋1)(1＋31)· … ·(1＋121-k )(1＋121+k )＞1)1(2++k ． 这就是说①式当n =k ＋1时也成立．由(i)，（ii ）知①式对任何正整数n 都成立．由此证得：S n >21lg b n ＋1．。
1998年甘肃高考文科数学真题及答案
1998年甘肃高考文科数学真题及答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)一．选择题：本大题共15小题；第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－第(15)题每小题5分，65分．在每小题给出四项选项，只一项符合题目要求的 (1) sin600º( )(A)(B) － (C) (D) － 21212323(2) 函数y =a |x |(a ＞1)的图像是( )(3) 已知直线x =a (a ＞0)和圆(x －1)2＋y 2=4相切，那么a 的值是( )(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 (4) 两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，A 2x ＋B 2y ＋C 2=0垂直的充要条件是( )(A) A 1A 2＋B 1B 2=0 (B) A 1A 2－B 1B 2=0 (C)(D) 12121-=B B A A 12121=A A BB (5) 函数f (x )=( x ≠0)的反函数f －1(x )= ( ) x1(A) x (x ≠0) (B) (x ≠0) (C) －x (x ≠0) (D) －(x ≠0)x 1x 1(6) 已知点P(sin α－cos α，tg α)在第一象限，则[ 0，2π]内α的取值范围是 ( )(A) ()∪() (B) ()∪() 432ππ，45ππ，24ππ，45ππ，(C) ()∪() (D) ()∪()432ππ，2325ππ，24ππ，ππ，43(7) 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为( )(A) 120º (B) 150º (C) 180º (D) 240º (8) 复数－i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是( )(A)I (B) －I (C) ±I (D) ±i 2123±2123±2123+2123-(9) 如果棱台的两底面积是S ，S ′，中截面的面积是S 0，那么( )(A) 2 (B) S 0=S S S '+=0S S '(C) 2S 0=S ＋S ′ (D)S SS '=22(10) 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共( )(A) 6种 (B) 12种 (C) 18种 (D) 24种 (11) 向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如右图所示，那么水瓶的形状是( )(12) 椭圆=1的焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么31222y x +点M 的纵坐标是( )(A) ±(B) ± (C) ± (D) ± 43232243(13) 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长为，经过这3个点的小61圆的周长为4π，那么这个球的半径为( )(A) 4 (B)2 (C) 2 (D) 333(14) 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角的正弦值为( )(A)(B) (C) (D)251-2252-215-2252+(15) 等比数列{a n }的公比为－，前n 项的和S n 满足S n =，那么的值为21∞→n lim 11a 11a( )(A) (B)±(C) (D) 3±232±26±二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．(16) 设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，圆心在双曲线上，则圆116922=-y x心到双曲线中心距离是__________(17) (x ＋2)10(x 2－1)的展开的x 10系数为____________（用数字作答） (18) 如图，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件____________时，有A 1C ⊥B 1D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考试所有可能的情形)(19) 关于函数f (x )=4sin(2x ＋)(x ∈R )，有下列命题3π①y =f (x )的表达式可改写为y =4cos(2x －)；②y =f (x )是以2π为最小正周期的周期函数；6π③y =f (x )的图像关于点对称； ④y =f (x )的图像关于直线x =－对称．⎪⎭⎫⎝⎛-06，π6π其中正确的命题的序号是______ (注：把你认为正确的命题的序号都填上．) 三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (20) (本小题满分10分)设a ≠b ，解关于x 的不等式a 2x ＋b 2(1－x )≥[ax ＋b (1－x )]2．21) (本小题满分11分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，设a ＋c =2b ，A －C=，求sin B 的3π值．以下公式供解题时参考：， ，2cos2sin2sin sin ϕθϕθϕθ-+=+2sin2cos2sin sin ϕθϕθϕθ-+=-， ．2cos 2cos 2cos cos ϕθϕθϕθ-+=+2sin 2sin 2cos cos ϕθϕθϕθ-+-=-(22) (本小题满分12分)如图，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1 ⊥l 2，点N ∈l 1．以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等．若△AMN 为锐角三角形，|AM |=，|AN |=3，且|BN |=6．建立适当的坐17标系，求曲线C 的方程．(23) (本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC －A 1 B 1 C 1的侧面A 1 ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC =90º，BC =2，AC=2，且AA 1 ⊥A 1C ，AA 1= A 1 C 1．3(Ⅰ)求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小；(Ⅱ)求侧面A 1 ABB 1 与底面ABC 所成二面角的大小； (Ⅲ)求侧棱B 1B 和侧面A 1 ACC 1的距离．(24) (本小题满分12分)如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当a ，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A 、B 孔的面积忽略不计)．(25) (本小题满分12分)已知数列{b n }是等差数列，b 1=1，b 1＋b 2＋…＋b 10=100． (Ⅰ)求数列{b n }的能项b n ； (Ⅱ)设数列{a n }的通项a n =lg(1＋)，记S n 是数列{a n }的前n 项的和．试比较S n 与nb 1lg b n +1的大小，并证明你的结论． 211998年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题(文史类)参考解答及评分标准一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－(15)题每小题5分．满分65分．(1) D (2) B (3) C (4) A (5) B (6) B (7) C (8) D (9) A (10) B (11) B (12) A (13) B (14) C (15) D 二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．(16)(17) －5120 316(18) AC ⊥BD ，或任何能推导出这个条件的其他条件．例如ABCD 是正方形，菱形等 (19)①，③注：第(19)题多填、漏填的错填均给0分． 三．解答题：（20）本小题主要考查不等式基本知识，不等式的解法．满分10分． 解：将原不等式化为(a 2－b 2)x +b 2≥(a －b )2x 2＋2(a －b )bx ＋b 2， 移项，整理后得 (a －b )2(x 2－x ) ≤0， ∵ a ≠b 即 (a －b )2＞0， ∴ x 2－x ≤0， 即 x (x －1) ≤0．解此不等式，得解集 {x |0≤x ≤1}．(21) 本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．满分11分．解：由正弦定理和已知条件a ＋c =2b 得sin A ＋sin C =2sin B ．由和差化积公式得． B CA C A sin 22cos 2sin 2=-+由A ＋B ＋C =π，得 =，2)sin(C A +2cos B又A －C =，得cos =sin B ，3π232B∴cos =2sin cos ．232B 2B 2B ∵ 0＜＜， ≠0， 2B 2π2cos B ∴sin=， 2B 43从而cos== 2B 2sin 12B -413∴ sin B == ⨯23413839(22) 本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想．考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力．满分12分．解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点．依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛线段的一段，其中A 、B 分别为C 的端点．设曲线段C 的方程为y 2=2px (p ＞0)，(x A ≤x ≤x B ，y ＞0)，其中x A ，x B 分别为A ，B 的横坐标，P =|MN |．所以 M (－，0)，N (，0)． 2P 2P由 |AM |=，|AN |=3得17(x A ＋)2＋2Px A =17， ① 2P (x A －)2＋2Px A =9． ②2P由①、②两式联立解得x A =，再将其代入①式并由p ＞0解得P4或． ⎩⎨⎧==14A x p ⎩⎨⎧==22Ax p因为△AMN 是锐角三角形，所以＞x A ，故舍去． 2P⎩⎨⎧==22A x p ∴ P =4，x A =1．由点B 在曲线段C 上，得x B =|BN |－=4． 2P综上得曲线段C 的方程为y 2=8x (1≤x ≤4，y ＞0)．解法二：如图建立坐标系，分别以l 1、l 2为x 、y 轴，M 为坐标原点．作AE ⊥l 1，AD ⊥l 2，BF ⊥l 2，垂足分别为E 、D 、F ． 设 A (x A ，y A )、B (x B ，y B )、N (x N ，0)． 依题意有x A =|ME|=|DA|=|AN|=3， y A =|DM |==2，由于△AMN 为锐角三角形，故22DA AM -2有x N =|AE |+|EN |=4．=|ME |+=422AE AN -X B =|BF |=|BN |=6．设点P (x ，y )是曲线段C 上任一点，则由题意知P 属于集合 {(x ，y )|(x －x N )2+y 2=x 2，x A ≤x ≤x B ，y ＞0}． 故曲线段C 的方程y 2=8(x －2)(3≤x ≤6，y ＞0)．(23) 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．满分12分．注：题中赋分为得到该结论时所得分值，不给中间分． 解：(Ⅰ)作A 1D ⊥AC ，垂足为D ，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，得A 1D ⊥面ABC ，∴ ∠A 1AD 为A 1A 与面ABC 所成的角． ∵ AA 1⊥A 1C ，AA 1=A 1C ，∴ ∠A 1AD=45º为所求．(Ⅱ)作DE ⊥AB ，垂足为E ，连A 1E ，则由A 1D ⊥面ABC ，得A 1E ⊥AB ．∴∠A 1ED 是面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角． 由已知，AB ⊥BC ，得ED ∥BC ．又D 是AC 的中点，BC =2，AC =2， 3∴ DE =1，AD =A 1D =，tg A 1ED==． 3DEDA 13故∠A 1ED=60º为所求．(Ⅲ) 作BF ⊥AC ，F 为垂足，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，知BF ⊥面A 1ACC 1． ∵ B 1B ∥面A 1ACC 1，∴ BF 的长是B 1B 和面A 1ACC 1的距离． 在Rt △ABC 中，，2222=-=BC AC AB ∴ 为所求． 362=⋅=AC BC AB BF (24) 本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．满分12分．解法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y =，其中k ＞0为比例系数，依题abk意，即所求的a ，b 值使y 值最小．根据题设，有4b ＋2ab ＋2a =60(a ＞0，b ＞0)， 得 (0＜a ＜30＝， ① aab +-=230于是 aaa kab k y +-==230226432+-+-=a a k⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=264234a a k()2642234+⋅+-≥a a k18k =当a ＋2=时取等号，y 达最小值．264+a 这时a =6，a =－10(舍去)． 将a =6代入①式得b =3．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 解法二：依题意，即所求的a ，b 的值使ab 最大． 由题设知 4a ＋2ab ＋2a =60 (a ＞0，b ＞0) 即 a ＋2b ＋ab =30 (a ＞0，b ＞0)． ∵ a ＋2b ≥2， ab ∴ 2＋ab ≤30，2ab 当且仅当a =2b 时，上式取等号． 由a ＞0，b ＞0，解得0＜ab ≤18．即当a =2b 时，ab 取得最大值，其最大值18． ∴ 2b 2=18．解得b =3，a =6．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．(25) 本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳，推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力．满分12分．解：(Ⅰ)设数列工{b n }的公差为d ，由题意得b 1=1，10b 1＋=100．d2)110(10-解得 b 1=1，d =2．∴ b n =2n －1． (Ⅱ)由b n =2n －1，知S n =lg(1＋1)＋lg(1＋)＋…＋lg(1＋) 31121-n =lg[(1＋1)(1＋)· … ·(1＋)]，31121-n lg b n ＋1=lg ． 2112+n因此要比较S n 与lg b n ＋1的大小，可先比较(1＋1)(1＋)· … ·(1＋)与2131121-n 的大小．12+n 取n =1有(1＋1)＞，112+⋅取n =2有(1＋1)(1＋)> 31112+⋅由此推测(1＋1)(1＋)· … ·(1＋)＞． ①31121-n 12+n 若①式成立，则由对数函数性质可判定：S n ＞lgb n ＋1． 21下面用数学归纳法证明①式． (i)当n =1时已验证①式成立．(ii)假设当n =k (k ≥1)时，①式成立，即 (1＋1)(1＋)· … ·(1＋)＞， 31121-k 12+k 那么，当n =k ＋1时， (1＋1)(1＋)· … ·(1＋)(1＋) 31121-k 1)1(21-+k ＞(1＋) 12+k 121+k =(2k ＋2)．1212++k k ∵ [(2k ＋2)]2－[]21212++k k 32+k =123848422+++++k k k k k =＞0， 121+k ∴(2k ＋2) ＞=．1212++k k 32+k ()112++k 因而 (1＋1)(1＋)· … ·(1＋)(1＋)＞． 31121-k 121+k 1)1(2++k 这就是说①式当n =k ＋1时也成立．1由(i)，（ii）知①式对任何正整数n都成立．由此证得：S n>lg b n＋1．2。
1998年天津高考文科数学真题及答案
1998年天津高考文科数学真题及答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)一．选择题：本大题共15小题；第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－第(15)题每小题5分，65分．在每小题给出四项选项，只一项符合题目要求的 (1) sin600º( )(A)(B) － (C) (D) － 21212323(2) 函数y =a |x |(a ＞1)的图像是( )(3) 已知直线x =a (a ＞0)和圆(x －1)2＋y 2=4相切，那么a 的值是( )(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 (4) 两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，A 2x ＋B 2y ＋C 2=0垂直的充要条件是( )(A) A 1A 2＋B 1B 2=0 (B) A 1A 2－B 1B 2=0 (C)(D) 12121-=B B A A 12121=A A BB (5) 函数f (x )=( x ≠0)的反函数f －1(x )= ( ) x1(A) x (x ≠0) (B) (x ≠0) (C) －x (x ≠0) (D) －(x ≠0)x 1x 1(6) 已知点P(sin α－cos α，tg α)在第一象限，则[ 0，2π]内α的取值范围是 ( )(A) ()∪() (B) ()∪() 432ππ，45ππ，24ππ，45ππ，(C) ()∪() (D) ()∪()432ππ，2325ππ，24ππ，ππ，43(7) 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为( )(A) 120º (B) 150º (C) 180º (D) 240º (8) 复数－i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是( )(A)I (B) －I (C) ±I (D) ±i 2123±2123±2123+2123-(9) 如果棱台的两底面积是S ，S ′，中截面的面积是S 0，那么( )(A) 2 (B) S 0=S S S '+=0S S '(C) 2S 0=S ＋S ′ (D)S SS '=22(10) 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共( )(A) 6种 (B) 12种 (C) 18种 (D) 24种 (11) 向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如右图所示，那么水瓶的形状是( )(12) 椭圆=1的焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么31222y x +点M 的纵坐标是( )(A) ±(B) ± (C) ± (D) ± 43232243(13) 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长为，经过这3个点的小61圆的周长为4π，那么这个球的半径为( )(A) 4 (B)2 (C) 2 (D) 333(14) 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角的正弦值为( )(A)(B) (C) (D)251-2252-215-2252+(15) 等比数列{a n }的公比为－，前n 项的和S n 满足S n =，那么的值为21∞→n lim 11a 11a( )(A) (B)±(C) (D) 3±232±26±二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．(16) 设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，圆心在双曲线上，则圆116922=-y x心到双曲线中心距离是__________(17) (x ＋2)10(x 2－1)的展开的x 10系数为____________（用数字作答） (18) 如图，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件____________时，有A 1C ⊥B 1D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考试所有可能的情形)(19) 关于函数f (x )=4sin(2x ＋)(x ∈R )，有下列命题3π①y =f (x )的表达式可改写为y =4cos(2x －)；②y =f (x )是以2π为最小正周期的周期函数；6π③y =f (x )的图像关于点对称； ④y =f (x )的图像关于直线x =－对称．⎪⎭⎫⎝⎛-06，π6π其中正确的命题的序号是______ (注：把你认为正确的命题的序号都填上．) 三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (20) (本小题满分10分)设a ≠b ，解关于x 的不等式a 2x ＋b 2(1－x )≥[ax ＋b (1－x )]2．21) (本小题满分11分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，设a ＋c =2b ，A －C=，求sin B 的3π值．以下公式供解题时参考：， ，2cos2sin2sin sin ϕθϕθϕθ-+=+2sin2cos2sin sin ϕθϕθϕθ-+=-， ．2cos 2cos 2cos cos ϕθϕθϕθ-+=+2sin 2sin 2cos cos ϕθϕθϕθ-+-=-(22) (本小题满分12分)如图，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1 ⊥l 2，点N ∈l 1．以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等．若△AMN 为锐角三角形，|AM |=，|AN |=3，且|BN |=6．建立适当的坐17标系，求曲线C 的方程．(23) (本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC －A 1 B 1 C 1的侧面A 1 ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC =90º，BC =2，AC=2，且AA 1 ⊥A 1C ，AA 1= A 1 C 1．3(Ⅰ)求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小；(Ⅱ)求侧面A 1 ABB 1 与底面ABC 所成二面角的大小； (Ⅲ)求侧棱B 1B 和侧面A 1 ACC 1的距离．(24) (本小题满分12分)如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当a ，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A 、B 孔的面积忽略不计)．(25) (本小题满分12分)已知数列{b n }是等差数列，b 1=1，b 1＋b 2＋…＋b 10=100． (Ⅰ)求数列{b n }的能项b n ； (Ⅱ)设数列{a n }的通项a n =lg(1＋)，记S n 是数列{a n }的前n 项的和．试比较S n 与nb 1lg b n +1的大小，并证明你的结论． 211998年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题(文史类)参考解答及评分标准一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－(15)题每小题5分．满分65分．(1) D (2) B (3) C (4) A (5) B (6) B (7) C (8) D (9) A (10) B (11) B (12) A (13) B (14) C (15) D 二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．(16)(17) －5120 316(18) AC ⊥BD ，或任何能推导出这个条件的其他条件．例如ABCD 是正方形，菱形等 (19)①，③注：第(19)题多填、漏填的错填均给0分． 三．解答题：（20）本小题主要考查不等式基本知识，不等式的解法．满分10分． 解：将原不等式化为(a 2－b 2)x +b 2≥(a －b )2x 2＋2(a －b )bx ＋b 2， 移项，整理后得 (a －b )2(x 2－x ) ≤0， ∵ a ≠b 即 (a －b )2＞0， ∴ x 2－x ≤0， 即 x (x －1) ≤0．解此不等式，得解集 {x |0≤x ≤1}．(21) 本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．满分11分．解：由正弦定理和已知条件a ＋c =2b 得sin A ＋sin C =2sin B ．由和差化积公式得． B CA C A sin 22cos 2sin 2=-+由A ＋B ＋C =π，得 =，2)sin(C A +2cos B又A －C =，得cos =sin B ，3π232B∴cos =2sin cos ．232B 2B 2B ∵ 0＜＜， ≠0， 2B 2π2cos B ∴sin=， 2B 43从而cos== 2B 2sin 12B -413∴ sin B == ⨯23413839(22) 本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想．考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力．满分12分．解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点．依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛线段的一段，其中A 、B 分别为C 的端点．设曲线段C 的方程为y 2=2px (p ＞0)，(x A ≤x ≤x B ，y ＞0)，其中x A ，x B 分别为A ，B 的横坐标，P =|MN |．所以 M (－，0)，N (，0)． 2P 2P由 |AM |=，|AN |=3得17(x A ＋)2＋2Px A =17， ① 2P (x A －)2＋2Px A =9． ②2P由①、②两式联立解得x A =，再将其代入①式并由p ＞0解得P4或． ⎩⎨⎧==14A x p ⎩⎨⎧==22Ax p因为△AMN 是锐角三角形，所以＞x A ，故舍去． 2P⎩⎨⎧==22A x p ∴ P =4，x A =1．由点B 在曲线段C 上，得x B =|BN |－=4． 2P综上得曲线段C 的方程为y 2=8x (1≤x ≤4，y ＞0)．解法二：如图建立坐标系，分别以l 1、l 2为x 、y 轴，M 为坐标原点．作AE ⊥l 1，AD ⊥l 2，BF ⊥l 2，垂足分别为E 、D 、F ． 设 A (x A ，y A )、B (x B ，y B )、N (x N ，0)． 依题意有x A =|ME|=|DA|=|AN|=3， y A =|DM |==2，由于△AMN 为锐角三角形，故22DA AM -2有x N =|AE |+|EN |=4．=|ME |+=422AE AN -X B =|BF |=|BN |=6．设点P (x ，y )是曲线段C 上任一点，则由题意知P 属于集合 {(x ，y )|(x －x N )2+y 2=x 2，x A ≤x ≤x B ，y ＞0}． 故曲线段C 的方程y 2=8(x －2)(3≤x ≤6，y ＞0)．(23) 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．满分12分．注：题中赋分为得到该结论时所得分值，不给中间分． 解：(Ⅰ)作A 1D ⊥AC ，垂足为D ，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，得A 1D ⊥面ABC ，∴ ∠A 1AD 为A 1A 与面ABC 所成的角． ∵ AA 1⊥A 1C ，AA 1=A 1C ，∴ ∠A 1AD=45º为所求．(Ⅱ)作DE ⊥AB ，垂足为E ，连A 1E ，则由A 1D ⊥面ABC ，得A 1E ⊥AB ．∴∠A 1ED 是面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角． 由已知，AB ⊥BC ，得ED ∥BC ．又D 是AC 的中点，BC =2，AC =2， 3∴ DE =1，AD =A 1D =，tg A 1ED==． 3DEDA 13故∠A 1ED=60º为所求．(Ⅲ) 作BF ⊥AC ，F 为垂足，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，知BF ⊥面A 1ACC 1． ∵ B 1B ∥面A 1ACC 1，∴ BF 的长是B 1B 和面A 1ACC 1的距离． 在Rt △ABC 中，，2222=-=BC AC AB ∴ 为所求． 362=⋅=AC BC AB BF (24) 本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．满分12分．解法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y =，其中k ＞0为比例系数，依题abk意，即所求的a ，b 值使y 值最小．根据题设，有4b ＋2ab ＋2a =60(a ＞0，b ＞0)， 得 (0＜a ＜30＝， ① aab +-=230于是 aaa kab k y +-==230226432+-+-=a a k⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=264234a a k()2642234+⋅+-≥a a k18k =当a ＋2=时取等号，y 达最小值．264+a 这时a =6，a =－10(舍去)． 将a =6代入①式得b =3．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 解法二：依题意，即所求的a ，b 的值使ab 最大． 由题设知 4a ＋2ab ＋2a =60 (a ＞0，b ＞0) 即 a ＋2b ＋ab =30 (a ＞0，b ＞0)． ∵ a ＋2b ≥2， ab ∴ 2＋ab ≤30，2ab 当且仅当a =2b 时，上式取等号． 由a ＞0，b ＞0，解得0＜ab ≤18．即当a =2b 时，ab 取得最大值，其最大值18． ∴ 2b 2=18．解得b =3，a =6．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．(25) 本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳，推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力．满分12分．解：(Ⅰ)设数列工{b n }的公差为d ，由题意得b 1=1，10b 1＋=100．d2)110(10-解得 b 1=1，d =2．∴ b n =2n －1． (Ⅱ)由b n =2n －1，知S n =lg(1＋1)＋lg(1＋)＋…＋lg(1＋) 31121-n =lg[(1＋1)(1＋)· … ·(1＋)]，31121-n lg b n ＋1=lg ． 2112+n因此要比较S n 与lg b n ＋1的大小，可先比较(1＋1)(1＋)· … ·(1＋)与2131121-n 的大小．12+n 取n =1有(1＋1)＞，112+⋅取n =2有(1＋1)(1＋)> 31112+⋅由此推测(1＋1)(1＋)· … ·(1＋)＞． ①31121-n 12+n 若①式成立，则由对数函数性质可判定：S n ＞lgb n ＋1． 21下面用数学归纳法证明①式． (i)当n =1时已验证①式成立．(ii)假设当n =k (k ≥1)时，①式成立，即 (1＋1)(1＋)· … ·(1＋)＞， 31121-k 12+k 那么，当n =k ＋1时， (1＋1)(1＋)· … ·(1＋)(1＋) 31121-k 1)1(21-+k ＞(1＋) 12+k 121+k =(2k ＋2)．1212++k k ∵ [(2k ＋2)]2－[]21212++k k 32+k =123848422+++++k k k k k =＞0， 121+k ∴(2k ＋2) ＞=．1212++k k 32+k ()112++k 因而 (1＋1)(1＋)· … ·(1＋)(1＋)＞． 31121-k 121+k 1)1(2++k 这就是说①式当n =k ＋1时也成立．1由(i)，（ii）知①式对任何正整数n都成立．由此证得：S n>lg b n＋1．2。
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1998年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)一．选择题：本大题共15小题；第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－第(15)题每小题5分，65分．在每小题给出四项选项，只一项符合题目要求的(1) sin600º( )(A)21 (B) －21 (C) 23 (D) －23 (2) 函数y =a |x |(a ＞1)的图像是( )(3) 已知直线x =a (a ＞0)和圆(x －1)2＋y 2=4相切，那么a 的值是( )(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 (4) 两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，A 2x ＋B 2y ＋C 2=0垂直的充要条件是( )(A) A 1A 2＋B 1B 2=0 (B) A 1A 2－B 1B 2=0 (C)12121-=B B A A (D) 12121=A A BB (5) 函数f (x )=x1( x ≠0)的反函数f －1(x )= ( ) (A) x (x ≠0) (B) x 1(x ≠0) (C) －x (x ≠0) (D) －x1(x ≠0)(6) 已知点P(sin α－cos α，tg α)在第一象限，则[ 0，2π]内α的取值范围是( )(A) (432ππ，)∪(45ππ，) (B) (24ππ，)∪(45ππ，) (C) (432ππ，)∪(2325ππ，) (D) (24ππ，)∪(ππ，43) (7) 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为( )(A) 120º (B) 150º (C) 180º (D) 240º (8) 复数－i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是( )(A)2123±I (B) －2123±I (C) ±2123+I (D) ±2123-i (9) 如果棱台的两底面积是S ，S ′，中截面的面积是S 0，那么( )(A) 2S S S '+=0 (B) S 0=S S '(C) 2S 0=S ＋S ′ (D) S S S '=22(10) 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共( )(A) 6种 (B) 12种 (C) 18种 (D) 24种(11) 向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如右图所示，那么水瓶的形状是( )(12) 椭圆31222y x +=1的焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是( )(A) ±43 (B) ±23 (C) ±22(D) ±43(13) 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长为61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为( )(A) 43 (B)23 (C) 2 (D) 3(14) 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角的正弦值为( )(A)251- (B) 2252- (C) 215- (D) 2252+(15) 等比数列{a n }的公比为－21，前n 项的和S n 满足∞→n lim S n =11a ，那么11a 的值为 ( )(A)3± (B)±23(C) 2± (D) 26±二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．(16) 设圆过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在双曲线上，则圆心到双曲线中心距离是__________(17) (x ＋2)10(x 2－1)的展开的x 10系数为____________（用数字作答）(18) 如图，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件____________时，有A 1C ⊥B 1D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考试所有可能的情形)(19) 关于函数f (x )=4sin(2x ＋3π)(x ∈R )，有下列命题 ①y =f (x )的表达式可改写为y =4cos(2x －6π)；②y =f (x )是以2π为最小正周期的周期函数；③y =f (x )的图像关于点⎪⎭⎫⎝⎛-06，π对称； ④y =f (x )的图像关于直线x =－6π对称．其中正确的命题的序号是______ (注：把你认为正确的命题的序号都．填上．) 三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (20) (本小题满分10分)设a ≠b ，解关于x 的不等式a 2x ＋b 2(1－x )≥[ax ＋b (1－x )]2．21) (本小题满分11分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，设a ＋c =2b ，A －C=3π，求sin B 的值．以下公式供解题时参考：2cos2sin2sin sin ϕθϕθϕθ-+=+， 2s i n2c o s 2s i n s i nϕθϕθϕθ-+=-，2cos 2cos 2cos cos ϕθϕθϕθ-+=+， 2sin 2sin 2cos cos ϕθϕθϕθ-+-=-．(22) (本小题满分12分)如图，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1 ⊥l 2，点N ∈l 1．以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等．若△AMN 为锐角三角形，|AM |=17，|AN |=3，且|BN |=6．建立适当的坐标系，求曲线C 的方程．(23) (本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC －A 1 B 1 C 1的侧面A 1 ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC =90º，BC =2，AC=23，且AA 1 ⊥A 1C ，AA 1= A 1 C 1．(Ⅰ)求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小；(Ⅱ)求侧面A 1 ABB 1 与底面ABC 所成二面角的大小； (Ⅲ)求侧棱B 1B 和侧面A 1 ACC 1的距离．(24) (本小题满分12分)如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当a ，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A 、B 孔的面积忽略不计)．(25) (本小题满分12分)已知数列{b n }是等差数列，b 1=1，b 1＋b 2＋…＋b 10=100． (Ⅰ)求数列{b n }的能项b n ； (Ⅱ)设数列{a n }的通项a n =lg(1＋nb 1)，记S n 是数列{a n }的前n 项的和．试比较S n 与21lg b n +1的大小，并证明你的结论．1998年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答及评分标准一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－(15)题每小题5分．满分65分．(1) D (2) B (3) C (4) A (5) B (6) B (7) C (8) D (9) A (10) B (11) B (12) A (13) B (14) C (15) D二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．(16)316(17) －5120 (18) AC ⊥BD ，或任何能推导出这个条件的其他条件．例如ABCD 是正方形，菱形等 (19)①，③注：第(19)题多填、漏填的错填均给0分． 三．解答题：（20）本小题主要考查不等式基本知识，不等式的解法．满分10分． 解：将原不等式化为(a 2－b 2)x +b 2≥(a －b )2x 2＋2(a －b )bx ＋b 2， 移项，整理后得 (a －b )2(x 2－x ) ≤0， ∵ a ≠b 即 (a －b )2＞0， ∴ x 2－x ≤0， 即 x (x －1) ≤0．解此不等式，得解集 {x |0≤x ≤1}．(21) 本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．满分11分．解：由正弦定理和已知条件a ＋c =2b 得sin A ＋sin C =2sin B ．由和差化积公式得B CA C A sin 22cos 2sin 2=-+． 由A ＋B ＋C =π，得 2)sin(C A +=2cos B，又A －C =3π，得23cos 2B =sin B ，∴23cos 2B =2sin 2B cos 2B ．∵ 0＜2B ＜2π， 2cos B ≠0，∴sin2B =43， 从而cos2B =2sin 12B -=413 ∴ sin B =⨯23413=839 (22) 本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想．考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力．满分12分．解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点．依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛线段的一段，其中A 、B 分别为C 的端点．设曲线段C 的方程为y 2=2px (p ＞0)，(x A ≤x ≤x B ，y ＞0)，其中x A ，x B 分别为A ，B 的横坐标，P =|MN |．所以 M (－2P ，0)，N (2P，0)． 由 |AM |=17，|AN |=3得(x A ＋2P )2＋2Px A =17， ① (x A －2P)2＋2Px A =9． ②由①、②两式联立解得x A =P4，再将其代入①式并由p ＞0解得⎩⎨⎧==14A x p 或⎩⎨⎧==22Ax p ． 因为△AMN 是锐角三角形，所以2P＞x A ，故舍去⎩⎨⎧==22A x p ． ∴ P =4，x A =1．由点B 在曲线段C 上，得x B =|BN |－2P=4． 综上得曲线段C 的方程为y 2=8x (1≤x ≤4，y ＞0)．解法二：如图建立坐标系，分别以l 1、l 2为x 、y 轴，M 为坐标原点．作AE ⊥l 1，AD ⊥l 2，BF ⊥l 2，垂足分别为E 、D 、F ． 设 A (x A ，y A )、B (x B ，y B )、N (x N ，0)． 依题意有x A =|ME|=|DA|=|AN|=3， y A =|DM |=22DA AM -=22，由于△AMN 为锐角三角形，故有x N =|AE |+|EN |=4． =|ME |+22AE AN -=4X B =|BF |=|BN |=6．设点P (x ，y )是曲线段C 上任一点，则由题意知P 属于集合 {(x ，y )|(x －x N )2+y 2=x 2，x A ≤x ≤x B ，y ＞0}． 故曲线段C 的方程y 2=8(x －2)(3≤x ≤6，y ＞0)．(23) 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．满分12分．注：题中赋分为得到该结论时所得分值，不给中间分． 解：(Ⅰ)作A 1D ⊥AC ，垂足为D ，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，得A 1D ⊥面ABC ，∴ ∠A 1AD 为A 1A 与面ABC 所成的角． ∵ AA 1⊥A 1C ，AA 1=A 1C ，∴ ∠A 1AD=45º为所求．(Ⅱ)作DE ⊥AB ，垂足为E ，连A 1E ，则由A 1D ⊥面ABC ，得A 1E ⊥AB ． ∴∠A 1ED 是面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角．由已知，AB ⊥BC ，得ED ∥BC ．又D 是AC 的中点，BC =2，AC =23，∴ DE =1，AD =A 1D =3，tg A 1ED=DEDA 1=3． 故∠A 1ED=60º为所求．(Ⅲ) 作BF ⊥AC ，F 为垂足，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，知BF ⊥面A 1ACC 1． ∵ B 1B ∥面A 1ACC 1，∴ BF 的长是B 1B 和面A 1ACC 1的距离． 在Rt △ABC 中，2222=-=BC AC AB ，∴ 362=⋅=AC BC AB BF 为所求． (24) 本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．满分12分．解法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y =abk，其中k ＞0为比例系数，依题意，即所求的a ，b 值使y 值最小．根据题设，有4b ＋2ab ＋2a =60(a ＞0，b ＞0)， 得 aab +-=230 (0＜a ＜30＝， ① 于是 aa a k ab k y +-==230226432+-+-=a a k⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=264234a a k()2642234+⋅+-≥a a k18k =当a ＋2=264+a 时取等号，y 达最小值．这时a =6，a =－10(舍去)． 将a =6代入①式得b =3．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 解法二：依题意，即所求的a ，b 的值使ab 最大． 由题设知 4a ＋2ab ＋2a =60 (a ＞0，b ＞0) 即 a ＋2b ＋ab =30 (a ＞0，b ＞0)． ∵ a ＋2b ≥2ab ， ∴ 22ab ＋ab ≤30，当且仅当a =2b 时，上式取等号． 由a ＞0，b ＞0，解得0＜ab ≤18．即当a =2b 时，ab 取得最大值，其最大值18． ∴ 2b 2=18．解得b =3，a =6．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．(25) 本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳，推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力．满分12分．解：(Ⅰ)设数列工{b n }的公差为d ，由题意得 b 1=1， 10b 1＋d2)110(10-=100．解得 b 1=1，d =2． ∴ b n =2n －1． (Ⅱ)由b n =2n －1，知S n =lg(1＋1)＋lg(1＋31)＋…＋lg(1＋121-n ) =lg[(1＋1)(1＋31)· … ·(1＋121-n )]，21lg b n ＋1=lg 12+n ． 因此要比较S n 与21lg b n ＋1的大小，可先比较(1＋1)(1＋31)· … ·(1＋121-n )与12+n 的大小．取n =1有(1＋1)＞112+⋅，取n =2有(1＋1)(1＋31)>112+⋅ 由此推测(1＋1)(1＋31)· … ·(1＋121-n )＞12+n ． ①若①式成立，则由对数函数性质可判定： S n ＞21lgb n ＋1． 下面用数学归纳法证明①式． (i)当n =1时已验证①式成立． (ii)假设当n =k (k ≥1)时，①式成立，即 (1＋1)(1＋31)· … ·(1＋121-k )＞12+k ，那么，当n =k ＋1时， (1＋1)(1＋31)· … ·(1＋121-k )(1＋1)1(21-+k )＞12+k (1＋121+k ) =1212++k k (2k ＋2)．∵ [1212++k k (2k ＋2)]2－[32+k ]2=123848422+++++k k k k k=121+k ＞0， ∴1212++k k (2k ＋2) ＞32+k =()112++k ．因而 (1＋1)(1＋31)· … ·(1＋121-k )(1＋121+k )＞1)1(2++k ． 这就是说①式当n =k ＋1时也成立．由(i)，（ii ）知①式对任何正整数n 都成立．由此证得：S n >21lg b n ＋1．。