高三一模数学(文)试题及答案
山东省临沂市2024届高三下学期一模考试数学试题答案
２０２４年普通高等学校招生全国统一考试（模拟）数学试题参考答案及评分标准２０２４．３说明：一㊁本解答只给出了一种解法供参考，如考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准酌情赋分．二㊁当考生的解答在某一步出错误时，如果后继部分的解答未改该题的内容与难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确答案应得分数一半；如果后继部分的解答有较严重的错误或又出现错误，就不再给分．三㊁解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四㊁只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一㊁选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分㊂在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的㊂１．Ｂ㊀２．Ａ㊀３．Ｃ㊀４．Ｃ㊀５．Ａ㊀６．Ｂ㊀７．Ｄ㊀８．Ｂ二㊁选择题：本题共３小题，每小题６分，共１８分㊂在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求㊂全部选对的得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分㊂９．ＡＣＤ㊀１０．ＢＣＤ㊀１１．ＡＣ三㊁填空题：本题共３小题，每小题５分，共１５分㊂１２．［１，１０）㊀１３．２㊀１４．３６（２＋３）π㊀１４４π四㊁解答题：本题共５小题，共７７分㊂解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤㊂１５．（１３分）解：（１）ｆ（ｘ）＝ａ㊃ｂ＝２ｃｏｓ２ｘ＋２３ｓｉｎｘｃｏｓｘ１分＝ｃｏｓ２ｘ＋１＋３ｓｉｎ２ｘ３分＝２ｓｉｎ（２ｘ＋π６）＋１，４分因为ｆ（ｘ０）＝１１５，即２ｓｉｎ（２ｘ０＋π６）＋１＝１１５，所以ｓｉｎ（２ｘ０＋π６）＝３５，５分又ｘ０ɪ（π６，π３），所以２ｘ０＋π６ɪ（π２，５π６），所以ｃｏｓ（２ｘ０＋π６）＝－４５，６分所以ｃｏｓ２ｘ０＝ｃｏｓ（２ｘ０＋π６－π６）７分㊀＝ｃｏｓ（２ｘ０＋π６）ｃｏｓπ６＋ｓｉｎ（２ｘ０＋π６）ｓｉｎπ６＝３－４３１０．８分（２）由题意知，ｇ（ｘ）＝１２（２ｓｉｎ（２（ｘ－π６）＋π６）＋１－１）＝ｓｉｎ（２ｘ－π６），１０分由ｇ（ｘ）ȡ１２得，π６＋２ｋπɤ２ｘ－π６ɤ５π６＋２ｋπ，ｋɪＺ，ʑπ６＋ｋπɤｘɤπ２＋ｋπ，ｋɪＺ，１１分令ｋ＝０，得ｘɪ［π６，π２］，令ｋ＝－１，得ｘɪ［－５π６，－π２］，又ｘɪ［－π６，π３］，ʑｘɪ［π６，π３］．故不等式ｇ（ｘ）ȡ１２，ｘɪ［－π６，π３］的解集为［π６，π３］．１３分１６．（１５分）（１）解：随机变量Ｘ可能取值为６，７，８，９．１分由题意得每次掷骰子上两级台阶的概率为２３，上三级台阶的概率为１３，２分则Ｘ－６Ｂ（３，１３）３分可得Ｐ（Ｘ＝６）＝（２３）３＝８２７，４分Ｐ（Ｘ＝７）＝Ｃ１３ˑ１３ˑ（２３）２＝４９，５分Ｐ（Ｘ＝８）＝Ｃ２３ˑ（１３）２ˑ２３＝２９，６分Ｐ（Ｘ＝９）＝（１３）３＝１２７，７分所以Ｘ的分布列为Ｘ６７８９Ｐ８２７４９２９１２７㊀㊀因为Ｅ（Ｘ－６）＝３ˑ１３＝１，所以Ｅ（Ｘ）＝７．９分（２）解：记甲㊁乙两位学生参加游戏，恰有一人获得奖品的概率为Ｐ，由题意知，位于第１０级台阶则认定游戏失败，无法获得奖品，所以投掷３次后，学员站在第７步台阶，第四次投掷次骰子，出现３的倍数，即位于第１０级台阶，１０分其概率Ｐ１＝Ｃ１３ˑ１３ˑ（２３）２ˑ１３＝４２７，１２分 所以Ｐ＝Ｃ１２ˑＰ１ˑ（１－Ｐ１）＝２ˑ４２７ˑ２３２７＝１８４７２９．１４分 甲㊁乙两位学生参加游戏，恰有一人获得奖品的概率为１８４７２９．１５分 １７．（１５分）解：（１）作直线ＡＢ１即为所求．１分 连结ＡＣ１交ＤＥ于点Ｍ，连结ＭＦ，２分ȵＡＤ＝２ＤＡ１，Ｃ１Ｅ＝２ＥＣ，ʑＡＤ＝Ｃ１Ｅ＝２３ＡＡ１＝２，又ＡＤʊＣ１Ｅ，ʑ四边形ＡＤＣ１Ｅ为平行四边形，ʑＡＭ＝ＭＣ１，４分 又Ｂ１Ｆ＝ＦＣ１，ʑＭＦʊＡＢ１，５分 又ＭＦ⊂平面ＤＥＦ，ＡＢ１⊄平面ＤＥＦ，ʑＡＢ１ʊ平面ＤＥＦ．６分（２）ȵＳәＡＢＣ＝１２ˑ２ˑ２ｓｉｎøＡＢＣ＝２ｓｉｎøＡＢＣʑ当øＡＢＣ＝π２时，ＳәＡＢＣ取最大值２，即当ＡＢʅＢＣ时，三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１的体积最大，７分又ȵＢＢ１ʅＡＢ，ＢＢ１ʅＢＣ，以Ｂ为坐标原点，ＢＡ，ＢＣ，ＢＢ１为ｘ轴，ｙ轴，ｚ轴建立空间直角坐标系，８分则Ｄ（２，０，２），Ｅ（０，２，１），Ｆ（０，１，３），ʑＤＥң＝（－２，２，－１），ＥＦң＝（０，－１，２），１０分 设平面ＤＥＦ的法向量ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ），由ｎ㊃ＤＥң＝０ｎ㊃ＥＦң＝０{，得－２ｘ＋２ｙ－ｚ＝０，－ｙ＋２ｚ＝０，{㊀取ｚ＝１，则ｙ＝２，ｘ＝３２，此时ｎ＝（３２，２，１），１２分又平面ＡＢＣ的一个法向量为ｍ＝（０，０，１），１３分记平面ＤＥＦ与平面ＡＢＣ夹角为θ，则ｃｏｓθ＝｜ｍ㊃ｎ｜｜ｍ｜｜ｎ｜＝１９４＋４＋１＝２２９２９．１４分故平面ＤＥＦ与平面ＡＢＣ夹角的余弦值为２２９２９．１５分１８．（１７分）解：（１）当ａ＝１时，ｆ（ｘ）＝ｘ２（ｌｎｘ＋１），ʑｆ（１）＝１，１分 又ｆᶄ（ｘ）＝ｘ（２ｌｎｘ＋３），２分ʑｆᶄ（１）＝３，３分 ʑｆ（ｘ）在（１，ｆ（１））处的切线方程为３ｘ－ｙ－２＝０．４分（２）ȵｘɪ（０，＋ɕ），ｆᶄ（ｘ）＝２ｘ（ｌｎｘ＋ａ）＋ｘ＝ｘ（２ｌｎｘ＋２ａ＋１），５分令φ（ｘ）＝２ｌｎｘ＋２ａ＋１，φᶄ（ｘ）＝２ｘ＞０，ʑφ（ｘ）在（０，＋ɕ）上单调递增，６分由φ（ｘ）＝２ｌｎｘ＋２ａ＋１＝０得ｘ＝ｅ－ａ－１２，７分ʑｆ（ｘ）在（０，ｅ－ａ－１２）上单调递减，在（ｅ－ａ－１２，＋ɕ）上单调递增．９分（３）ȵｆ（ｅ－ａ）＝０，ʑｘɪ（０，ｅ－ａ）时，ｆ（ｘ）＜０，ʑ０＜ｘ１＜ｅ－ａ－１２＜ｘ２＜ｅ－ａ，１０分ʑｌｎｘ１＜－ａ－１２＜ｌｎｘ２＜－ａ，即２（ｌｎｘ１＋ａ）＜－１＜２（ｌｎｘ２＋ａ）＜０，１１分由ｆ（ｘ１）＝ｆ（ｘ２）得，ｘ１２（ｌｎｘ１＋ａ）＝ｘ２２（ｌｎｘ２＋ａ），即ｅｌｎｘ１２（ｌｎｘ１＋ａ）ｅ２ａ＝ｅｌｎｘ２２（ｌｎｘ２＋ａ）ｅ２ａ，ʑｅ２（ｌｎｘ１＋ａ）㊃２（ｌｎｘ１＋ａ）＝ｅ２（ｌｎｘ２＋ａ）㊃２（ｌｎｘ２＋ａ），１３分令ｔ１＝２（ｌｎｘ１＋ａ），ｔ２＝２（ｌｎｘ２＋ａ），设ｇ（ｔ）＝ｔｅｔ，ｔɪ（－ɕ，０），ʑｇᶄ（ｔ）＝（ｔ＋１）ｅｔ．１４分ʑｔɪ（－ɕ，－１）时，ｇᶄ（ｔ）＜０，ｇ（ｔ）单调递减，ｔɪ（－１，０）时，ｇᶄ（ｔ）＞０，ｇ（ｔ）单调递增，下面证明ｔ１＋ｔ２＜－２，又ｔ２＞－１，即证ｔ１＜－２－ｔ２＜－１，即证ｇ（ｔ１）＞ｇ（－２－ｔ２），即证ｇ（ｔ２）＞ｇ（－２－ｔ２），１５分 令Ｇ（ｔ）＝ｇ（ｔ）－ｇ（－２－ｔ），ｔɪ（－１，０），Ｇᶄ（ｔ）＝ｇᶄ（ｔ）－ｇᶄ（－２－ｔ）＝（ｔ＋１）（ｅｔ－ｅ－２－ｔ）＞０，ʑＧ（ｔ）在（－１，０）上单调递增，１６分ʑＧ（ｔ）＞Ｇ（－１）＝０，从而得证，故２（ｌｎｘ１＋ａ）＋２（ｌｎｘ２＋ａ）＜－２，即ｌｎｘ１ｘ２＜－２ａ－１，ʑ０＜ｘ１ｘ２＜ｅ－２ａ－１，ʑ１ｘ１ｘ２＞ｅ２ａ＋１．１７分 １９．（１７分）（１）解：设动圆Ｃ的半径为ｒ，易知圆Ｃ１和圆Ｃ２的半径分别为５２，２，ȵＣ与Ｃ１，Ｃ２都内切，则｜ＣＣ１｜＝５２－ｒ，｜ＣＣ２｜＝ｒ－２，１分ʑ｜ＣＣ１｜＋｜ＣＣ２｜＝５２－ｒ＋ｒ－２＝４２，２分 又Ｃ１（－２，０），Ｃ２（２，０），ʑ｜Ｃ１Ｃ２｜＝４＜４２，３分 ʑ点Ｃ的轨迹是Ｃ１，Ｃ２为焦点的椭圆，４分 设Ｅ的方程为：ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０），则２ａ＝４２，２ｃ＝４，ʑａ２＝８，ｂ２＝ａ２－ｃ２＝４，ʑＥ的方程为：ｘ２８＋ｙ２４＝１．５分（２）（ｉ）证明：设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），Ｐ（８，ｔ）（ｔʂ０），则结合圆锥曲线的性质，知直线ＰＡ的方程为ｘ１ｘ８＋ｙ１ｙ４＝１，６分 直线ＰＢ的方程为ｘ２ｘ８＋ｙ２ｙ４＝１，７分 又直线ＰＡ，ＰＢ都过点Ｐ（８，ｔ），则ｘ１＋ｔｙ１４＝１，ｘ２＋ｔｙ２４＝１，８分因此直线ＡＢ的方程为ｘ＋ｔｙ４＝１，显然当ｙ＝０时，ｘ＝１，９分㊀ʑ直线ＡＢ过定点（１，０）．１０分（ｉｉ）设ＡＢ方程为：ｘ＝ｍｙ＋１（ｍʂ０），联立ｘ＝ｍｙ＋１ｘ２＋２ｙ２＝８{，ʑ（ｍ２＋２）ｙ２＋２ｍｙ－７＝０，１１分ʑｙ１＋ｙ２＝－２ｍｍ２＋２，ｙ１ｙ２＝－７ｍ２＋２，１２分又Ａᶄ（ｘ１，－ｙ１），直线ＡᶄＢ方程为ｙ＋ｙ１＝ｙ１＋ｙ２ｘ２－ｘ１（ｘ－ｘ１），令ｙ＝０得ｘＭ＝ｘ１ｙ２＋ｘ２ｙ１ｙ１＋ｙ２＝（ｍｙ１＋１）ｙ２＋（ｍｙ２＋１）ｙ１ｙ１＋ｙ２＝２ｍｙ１ｙ２＋（ｙ１＋ｙ２）ｙ１＋ｙ２＝２ｍ㊃ｙ１ｙ２ｙ１＋ｙ２＋１＝２ｍ㊃－７ｍ２＋２－２ｍｍ２＋２＋１＝８，１４分ʑＭ（８，０），又Ｃ２（２，０），ʑ｜Ｓ１－Ｓ２｜＝１２｜Ｃ２Ｍ｜｜｜ｙ１｜－｜ｙ２｜｜＝３｜ｙ１＋ｙ２｜＝６｜ｍ｜ｍ２＋２＝６｜ｍ｜＋２｜ｍ｜ɤ６２２＝３２２，１６分ʑ｜Ｓ１－Ｓ２｜的最大值为３２２，当且仅当｜ｍ｜＝２｜ｍ｜，即ｍ＝ʃ２时取等号．１７分。
2022年吉林省长春市高考文科数学一模试卷及答案解析
2022年吉林省长春市高考文科数学一模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{2，3，5}，B ＝{2，3，6}，若x ∈A ，且x ∉B ，则x 的值为（ ） A ．2B ．3C ．5D ．62．已知平面向量a →，b →的夹角为π3，且|a →|＝2，|b →|＝1，则|a →−2b →|＝（ ） A ．2B ．4C ．1D ．√63．设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，a 3+a 4＝12，则公比q ＝（ ） A ．±4 B ．4 C ．±2 D ．24．曲线y =2x−1x+1在(1，12)处的切线斜率为（ ） A ．14B ．34C ．1D ．545．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．√3π2B ．√3π3C ．π6D ．√3π66．函数y ＝sin （3x −π4）的一个零点是（ ） A ．−π12B ．−7π12C ．7π12D ．11π127．已知向量BA →=（12，√32），BC →=（√32，12），则∠ABC ＝（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°8．已知函数f(x)=a +12x+1为奇函数，则f （1）＝（ ） A ．−23B ．﹣1C ．−16D ．139．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a ＝1，c cos A +a cos C ＝2b cos B ，△ABC 的面积S =√3，则b 等于（ ）A ．3B ．√13C ．4D ．√1510．△ABC 中，点M 为AC 上的点，且AM →=12MC →，若BM →=λBA →+μBC →，则λ﹣μ的值是（ ）A ．1B ．12C ．13D ．2311．已知数列{a n }满足a 2＝4，n （n ﹣1）a n +1＝（n ﹣1）a n ﹣na n ﹣1（n ＞1且n ∈N *），数列{a n }的前n 项和为S n ，则（ ） A ．20S 21＝a 20+80 B ．20S 21＝a 20+40C ．S 21＝20a 20+80D ．S 21＝20a 20+4012．已知函数f （x ）={−lnx ，0＜x ≤11x ，x ＞1，若0＜a ＜b 且满足f （a ）＝f （b ），则af （b ）+bf（a ）的取值范围是（ ） A ．（1，1e +1）B ．（﹣∞，1e+1]C ．（1，1e+1]D ．（0，1e+1）二、填空题：本题共4小题，每小题0分，共20分.13．已知直棱柱的底面周长为12，高为4，则这个棱柱的侧面积等于 ． 14．若sinθ+√3cosθ=2，θ∈(0，π2)，则θ＝ ．15．设函数f （x ）＝2|x |+x 2，若f （a +1）﹣8＜0，则实数a 的取值范围是 ． 16．若x 的不等式e x （x 2﹣2x +2）≤ae x +x 在[0，+∞）有解，则实数a 的取值范围是 ． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选做题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．设等差数列{a n }的公差不为0，a 2＝1，且a 2，a 3，a 6成等比数列． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n }的前n 项和为S n ，求使S n ＞35成立的n 的最小值．18．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，且∠DAB ＝60°，△ADP 为等边三角形．（1）求证：AD ⊥PB ；（2）若AB ＝2，BP =√6，求点C 到平面PBD 的距离．19．某果园新采摘了一批苹果，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），将重量按照[120，140），[140，160），[160，180），[180，200]进行分组，得到频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）． （Ⅰ）估计这批苹果的重量的平均数；（Ⅱ）该果园准备把这批苹果销售给一家超市，根据市场行情，有两种销售方案： 方案一：所有苹果混在一起，价格为1元千克；方案二：将不同重量的苹果分开，重量不小于160克的苹果的价格为1.2元/千克，重量小于160克的苹果的价格为0.8元/千克，但果园需支付每1000个苹果5元的分拣费． 分别估计并比较两种方案下果园销售10000个苹果的收入．20．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的长半轴长为2，且经过点M （1，32）；过点P （2，1）的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在直线l ，满足PA →•PB →=PM →2，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．21．已知函数f （x ）＝x 2﹣ax ﹣lnx ．（1）当a ＝﹣1时，求函数f （x ）的单调区间； （2）若函数f （x ）的最小值为﹣e 2，求参数a 的值． 四、解答题（共2小题，满分0分）22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{x =1+cosφy =sinφ（φ为参数），以O 为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+π3）＝3√3．（1）求圆C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；（2）射线OM：θ=π3与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求△CPQ的面积．23．已知函数f（x）＝|2x﹣m|．（1）当m＝1时，求函数g（x）＝f（x）+|2x+5|的最小值；（2）若f（x）≤1的解集为[1，2]，且a+3b＝m（a＞0，b＞0），求a2+9b2的最小值．2022年吉林省长春市高考文科数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{2，3，5}，B ＝{2，3，6}，若x ∈A ，且x ∉B ，则x 的值为（ ） A ．2B ．3C ．5D ．6【解答】解：∵x ∈{2，3，5}，∴x ＝2或x ＝3或x ＝5． ∵x ∉{2，3，6}，∴x ≠2且x ≠3且x ≠6， ∴x ＝5． 故选：C ．2．已知平面向量a →，b →的夹角为π3，且|a →|＝2，|b →|＝1，则|a →−2b →|＝（ ）A ．2B ．4C ．1D ．√6【解答】解：∵|a →−2b →|=√(a →−2b →)2=√|a →|2−4|a →||b →|cos π3+4|b →|2=2．故选：A ．3．设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，a 3+a 4＝12，则公比q ＝（ ） A ．±4B ．4C ．±2D ．2【解答】解：依题意，数列{a n }是正项等比数列，S 2＝a 1+a 2＝3，a 3+a 4＝（a 1+a 2）•q 2＝12，所以q =√a 2+a 4S2=2，故选：D ．4．曲线y =2x−1x+1在(1，12)处的切线斜率为（ ） A ．14B ．34C ．1D ．54【解答】解：由y =2x−1x+1，得y ′=2(x+1)−(2x−1)(x+1)2=3(x+1)2，∴y′|x=1=34，即曲线y =2x−1x+1在(1，12)处的切线斜率为34．故选：B ．5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．√3π2B ．√3π3C ．π6D ．√3π6【解答】解：由三视图知几何体为圆锥的一半，且圆锥的底面圆半径为1，高为√3， ∴几何体的体积V =12×13×π×12×√3=√36π， 故选：D ．6．函数y ＝sin （3x −π4）的一个零点是（ ） A ．−π12B ．−7π12C ．7π12D ．11π12【解答】解：令函数y ＝sin （3x −π4）＝0 则3x −π4的终边落在X 轴上 即3x −π4=k π（k ∈Z ） 则x =13kπ+π12（k ∈Z ） 当k ＝﹣3时，x =−7π12 故选：B ．7．已知向量BA →=（12，√32），BC →=（√32，12），则∠ABC ＝（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°【解答】解：BA →⋅BC →=√34+√34=√32，|BA →|=|BC →|=1； ∴cos∠ABC =BA →⋅BC →|BA →||BC →|=√32；又0°≤∠ABC ≤180°； ∴∠ABC ＝30°． 故选：A ．8．已知函数f(x)=a +12x+1为奇函数，则f （1）＝（ ） A ．−23B ．﹣1C ．−16D ．13【解答】解：函数的定义域为R ， ∵f （x ）是奇函数， ∴f （0）＝0，即f （0）＝a +11+1=0，即a =−12， 则f （1）=−12+12+1=−12+13=−16， 故选：C ．9．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a ＝1，c cos A +a cos C ＝2b cos B ，△ABC 的面积S =√3，则b 等于（ ） A ．3B ．√13C ．4D ．√15【解答】解：∵c cos A +a cos C ＝2b cos B ，∴由正弦定理，得2sin B cos B ＝sin C cos A +sin A cos C ＝sin （A +C ）＝sin B ，即2sin B cos B ＝sin B ， 又sin B ≠0， ∴cos B =12，∴由B ∈（0，π），可得B =π3，∵△ABC 的面积S =12ac sin B =12×c ×1×√32=√3，解得：c ＝4， ∴b =√a 2+c 2−2accosB =√1+16−2×1×4×12=√13． 故选：B ．10．△ABC 中，点M 为AC 上的点，且AM →=12MC →，若BM →=λBA →+μBC →，则λ﹣μ的值是（ ）A ．1B ．12C ．13D ．23【解答】解：AM →=12MC →， 所以AM →=13AC →，所以BM →=BA →+AM →=BA →+13AC →=BA →+13(BC →−BA →)=23BA →+13BC →， 若BM →=λBA →+μBC →， 则λ=23，μ=13，λ﹣μ=13．故选：C ．11．已知数列{a n }满足a 2＝4，n （n ﹣1）a n +1＝（n ﹣1）a n ﹣na n ﹣1（n ＞1且n ∈N *），数列{a n }的前n 项和为S n ，则（ ） A ．20S 21＝a 20+80 B ．20S 21＝a 20+40C ．S 21＝20a 20+80D ．S 21＝20a 20+40【解答】解：数列{a n }满足a 2＝4，n （n ﹣1）a n +1＝（n ﹣1）a n ﹣na n ﹣1（n ＞1且n ∈N *），整理得：a n+1=a n n −an−1n−1，所以S n ＝a 1+a 2+a 3+...+a n =a 1+a 2+a 22−a 11+a 33−a 22+...+a n−2n−2−a n−3n−3+an−1n−1−a n−2n−2=a 2+a n−1n−1=4+an−1n−1， 故当n ＝21时，S 21=4+a2020，整理得：20S 21＝a 20+80． 故选：A ．12．已知函数f （x ）={−lnx ，0＜x ≤11x，x ＞1，若0＜a ＜b 且满足f （a ）＝f （b ），则af （b ）+bf（a ）的取值范围是（ ） A ．（1，1e +1）B ．（﹣∞，1e+1]C ．（1，1e+1]D ．（0，1e+1）【解答】解：∵函数f （x ）={−lnx ，0＜x ≤11x ，x ＞1，若0＜a ＜b 且满足f （a ）＝f （b ），则−lna =1b 且由0＜−lna ＜1得1e ＜a ＜1又af(b)+bf(a)=a ⋅1b+b(−lna)=−alna +1(1e＜a ＜1) 令g （x ）＝﹣xlnx +1，（1e ＜x ＜1）则g ′（x ）＝﹣lnx ﹣1 令g ′（x ）＝0，则x =1e当1e＜x ＜1时，g ′（x ）＜0，g （x ）为减函数，∴g （x ）∈（1，1e+1）故选：A ．二、填空题：本题共4小题，每小题0分，共20分.13．已知直棱柱的底面周长为12，高为4，则这个棱柱的侧面积等于 48 ． 【解答】解：∵直棱柱的底面周长为12，高为4， ∴这个棱柱的侧面积为12×4＝48， 故答案为：48．14．若sinθ+√3cosθ=2，θ∈(0，π2)，则θ＝ π6．【解答】解：因为sin θ+√3cos θ ＝2（12sin θ+√32cos θ）＝2（cos π3sin θ+sin π3cos θ） ＝2sin （θ+π3）＝2， 所以sin （θ+π3）＝1，由θ∈（0，π2），可得θ+π3∈（π3，5π6），所以θ+π3=π2， 所以θ=π6． 故答案为：π6．15．设函数f （x ）＝2|x |+x 2，若f （a +1）﹣8＜0，则实数a 的取值范围是 （﹣3，1） ． 【解答】解：∵f （﹣x ）＝2|﹣x |+（﹣x ）2＝2|x |+x 2＝f （x ），∴f （x ）是偶函数，当x ≥0时，f （x ）为增函数，则由f（a+1）﹣8＜0得f（a+1）＜8＝f（2），即等价为f（|a+1|）＜f（2），则|a+1|＜2得﹣2＜a+1＜2，得﹣3＜a＜1，即实数a的取值范围是（﹣3，1），故答案为：（﹣3，1）．16．若x的不等式e x（x2﹣2x+2）≤ae x+x在[0，+∞）有解，则实数a的取值范围是[1−1 e，+∞）．【解答】解：不等式e x（x2﹣2x+2）≤ae x+x可化为a≥x2﹣2x+2−xe x，设f（x）＝x2﹣2x+2−xe x，x∈[0，+∞），所以f′（x）＝2x﹣2−1−xe x=（x﹣1）（2+1e x），当x∈[0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＝1时，f′（x）＝0，f（x）取得极小值，也是函数的最小值，所以f min（x）＝f（1）＝1−1 e，所以实数a的取值范围是[1−1e，+∞）．故答案为：[1−1e，+∞）．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选做题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．设等差数列{a n}的公差不为0，a2＝1，且a2，a3，a6成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，求使S n＞35成立的n的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，d≠0，因为a2，a3，a6成等比数列，所以a32=a2⋅a6，即（1+d）2＝1+4d，解得d＝2，或d＝0（舍去），所以{a n}的通项公式为a n＝a2+（n﹣2）d＝2n﹣3；（Ⅱ）因为a n ＝2n ﹣3， 所以S n =n(a 1+a n )2=n(a 2+a n−1)2=n 2−2n ， 依题意有n 2﹣2n ＞35， 解得n ＞7，使S n ＞35成立的n 的最小值为8．18．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，且∠DAB ＝60°，△ADP 为等边三角形．（1）求证：AD ⊥PB ；（2）若AB ＝2，BP =√6，求点C 到平面PBD 的距离．【解答】解：（1）证明：取AD 中点O ，连接PO ，BO ，∵在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，且∠DAB ＝60°，△ADP 为等边三角形， ∴PO ⊥AD ，BO ⊥AD ，∵PO ∩BO ＝O ，∴AD ⊥平面POB ， ∵PB ⊂平面POB ，∴AD ⊥PB ；（2）∵AB ＝2，∴PO ＝BO =√22−12=√3， ∵BP =√6，∴PO 2+BO 2＝PB 2，∴PO ⊥BO ， ∵PO ⊥AD ，AD ∩BO ＝O ，∴PO ⊥平面ABCD ， 设点C 到平面PBD 的距离为h ， ∵S △BDC =12×2×2×sin60°=√3， S △PBD =12×√6×22−(√62)2=√152， V P ﹣BDC ＝V C ﹣BDP ， ∴13×S △BDC ×PO =13×S △PBD ×ℎ，∴点C 到平面PBD 的距离为h =13×√3×√313×√152=2√155．19．某果园新采摘了一批苹果，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），将重量按照[120，140），[140，160），[160，180），[180，200]进行分组，得到频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）．（Ⅰ）估计这批苹果的重量的平均数；（Ⅱ）该果园准备把这批苹果销售给一家超市，根据市场行情，有两种销售方案：方案一：所有苹果混在一起，价格为1元千克；方案二：将不同重量的苹果分开，重量不小于160克的苹果的价格为1.2元/千克，重量小于160克的苹果的价格为0.8元/千克，但果园需支付每1000个苹果5元的分拣费．分别估计并比较两种方案下果园销售10000个苹果的收入．【解答】解：（Ⅰ）由频率和为1知，（0.016+0.015+a+0.009）×20＝1，解得a＝0.01；50个苹果重量的平均数x=0.2×130+0.3×150+0.32×170+0.18×190＝159.6；估计这批苹果的重量的平均数为159.6（克）．（Ⅱ）若采用方案一，估计销售收入约为159.6×10000×11000=1596（元）；若采用方案二，重量小于160克的苹果总重量约为（10000×0.2×130+10000×0.3×150）×11000=710（千克），所以重量不小于160克的苹果总重量约为（10000×0.32×170+10000×0.18×190）×11000=886（千克）；由此估计销售收入约为710×0.8+886×1.2﹣50＝1581.2（元）；所以方案一的销售收入更高．20．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的长半轴长为2，且经过点M （1，32）；过点P （2，1）的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在直线l ，满足PA →•PB →=PM →2，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的长半轴长为2，且经过点M （1，32），∴设椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1，a ＞b ＞0，由题意得{a =21a2+94b2=1，解得b 2＝3，∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．（Ⅱ）∵过点P （2，1）的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ， ∴若存在直线l 满足题意，则直线l 的斜率必存在， 设直线l 的方程为：y ＝k （x ﹣2）+1，由{x 24+y 23=1y =k(x −2)+1，得（3+4k 2）x 2﹣8k （2k ﹣1）x +16k 2﹣16k ﹣8＝0， ∵直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A 、B ， 设A 、B 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），∴Δ＝[﹣8k （2k ﹣1）]2﹣4（3+4k 2）（16k 2﹣16k ﹣8）＞0， 整理，得32（6k +3）＞0，解得k ＞−12， 又x 1+x 2=8k(2k−1)3+4k2，x 1x 2=16k 2−16k−83+4k2，∵PA →⋅PB →=PM →2，即（x 1﹣2）（x 2﹣2）+（y 1﹣1）（y 2﹣1）=54， ∴（x 1﹣2）（x 2﹣2）（1+k 2）＝|PM |2=54， ∴[x 1x 2﹣2（x 1+x 2）+4]（1+k 2）=54， ∴[16k 2−16k−83+4k 2−2⋅8k(2k−1)3+4k 2+4]（1+k 2）=4+4k 23+4k2=54，解得k =±12，∵k ＞−12，∴k =12， ∴存在直线l 满足条件，其方程为y =12x ． 21．已知函数f （x ）＝x 2﹣ax ﹣lnx ．（1）当a ＝﹣1时，求函数f （x ）的单调区间； （2）若函数f （x ）的最小值为﹣e 2，求参数a 的值．【解答】解：（1）当a ＝﹣1时，f （x ）＝x 2+x ﹣lnx （x ＞0）求导得：………………………（1分）f′(x)=2x +1−1x =2x 2+x−1x⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分） 令2x 2+x ﹣1＝（2x ﹣1）（x +1）＝0，则x 1＝﹣1（舍）；x 2=12⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3分） ∴当x ∈(0，12)，f '（x ）＜0，f （x ）在区间(0，12)单调递减； 当x ∈(12，+∞)，f '（x ）＞0，f （x ）在区间(12，+∞)单调递增；∴函数f （x ）的单调减区间为(0，12)，单调增区间为(12，+∞)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分） （2）f （x ）＝x 2﹣ax ﹣lnx （x ＞0）求导得：f′(x)=2x −a −1x =2x 2−ax−1x⋯⋯（5分） 令h （x ）＝2x 2﹣ax ﹣1，则Δ＝a 2+8＞0，且h （x ）开口向上，h （0）＝﹣1………（6分）∴存在x 0＞0，使得h （x 0）＝0…………………………………………………………（7分） 当x ∈（0，x 0），f '（x ）＜0，f （x ）在区间（0，x 0）单调递减；当x ∈（x 0，+∞），f '（x ）＞0，f （x ）在区间（x 0，+∞）单调递增；……………………（8分）f(x)min =f(x 0)=−e 2，即x 02−ax 0−lnx 0=−e 2，2x 02−ax 0−1=0⋯⋯⋯⋯（9分）两式相减得：x 02+lnx 0−1−e 2=0，令t （x ）＝x 2+lnx ﹣1﹣e 2（x ＞0），……（10分） t′(x)=2x +1x＞0(x ＞0)，∴函数t （x ）在区间（0，+∞）单调递增，且t （e ）＝0， ∴x 0＝e ，∴e 2﹣ae ﹣lne ＝﹣e 2，a =2e −1e ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分）四、解答题（共2小题，满分0分）22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{x =1+cosφy =sinφ（φ为参数），以O 为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程是2ρsin （θ+π3）＝3√3． （1）求圆C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程；（2）射线OM ：θ=π3与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求△CPQ 的面积． 【解答】解：（1）∵cos 2φ+sin 2φ＝1，又∵圆C 的参数方程为{x =1+cosφy =sinφ（φ为参数），∴（x ﹣1）2+y 2＝1，∴ρ2﹣2ρcos θ＝0，即ρ＝2cos θ，∵直线l 的极坐标方程是2ρsin （θ+π3）＝3√3． ∴直线l 的直角坐标方程为√3x +y −3√3=0． （2）设（ρ1，θ1）为点P 的极坐标， 由{ρ1=2cosθ1θ1=π3，解得{ρ1=1θ1=π3，即P （1，π3），设（ρ2，θ2）为点Q 的极坐标，由{ρ2(sinθ2+√3cosθ2)=3√3θ2=π3，解得{ρ2=3θ2=π3，即Q(3，π3)， ∵θ1＝θ2，∴|PQ |＝|ρ1﹣ρ2|＝2，点C 到OM 的距离为√32， 故△CPQ 的面积为12×2×√32=√32． 23．已知函数f （x ）＝|2x ﹣m |．（1）当m ＝1时，求函数g （x ）＝f （x ）+|2x +5|的最小值；（2）若f （x ）≤1的解集为[1，2]，且a +3b ＝m （a ＞0，b ＞0），求a 2+9b 2的最小值． 【解答】解：（1）当m ＝1时，g （x ）＝|2x ﹣1|+|2x +5|，所以g （x ）≥|（2x ﹣1）﹣（2x +5）|＝6，当−52≤x ≤12时等号成立， ∴函数g （x ）的最小值为6； （2）由|2x ﹣m |≤1得m−12≤x ≤m+12，因为f （x ）≤1的解集为[1，2]，∴{m−12=1m+12=2，解得m ＝3，∴a +3b ＝3，∵a ＞0，b ＞0，∴6a ⋅b =2(a ⋅3b)≤2(a+3b 2)2=2⋅94=92（当且仅当a =3b =32时取等号）， ∴a 2+9b 2=(a +3b)2−6ab ≥32−92=92（当且仅当a =32，b =12时取等号）， ∴a 2+9b 2的最小值为92．。
陕西省渭南市2023届高三下学期文科数学一模试题含解析
渭南市2023届高三教学质量检测（Ⅰ）数学试题（文科）（答案在最后）注意事项：1.本试题满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前务必将自己的姓名､学校､班级､准考证号填写在答题卡和答题纸上.3.将选择题答案填涂在答题卡上，非选择题按照题号完成在答题纸上的指定区域内.一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,1,2,4A =-，{}220B x x x =-≤，则A B ⋂=（）A.{}1,2-B.{}1,2C.{}1,4D.{}1,4-2.设复数z 满足()12i 34i z ⋅+=-+，则z 的虚部是（） A.2i B.2C.2i - D.2-3.已知命题3:,sin 2p x R x ∃∈=；命题2:,450q x R x x ∀∈-+>，则下列结论正确的是（） A.命题p q ∧是真命题B.命题p q ∧⌝是真命题C.命题p q ⌝∧是真命题D.命题p q ⌝∧⌝是假命题 4.已知1x >，则41y x x =+-取得最小值时x 的值为（） A.3B.2C.4D.55.若实数,x y 满足约束条件2240x y x y y +>⎧⎪+⎨⎪⎩则2z x y =-的最大值是（）A.2-B.4C.8D.126.已知函数()3sin2cos2,f x x x x R =-∈，则正确的是（） A.()22f x -B.()f x 在区间()0,π上有1个零点C.()f x 的最小正周期为2πD.23x π=为()f x 图象的一条对称轴 7.《卖油翁》中写道：“（油）自钱孔入，而钱不湿”，其技艺让人叹为观止，已知铜钱是直径为15mm 的圆，中间有边长为5mm 的正方形孔，若随机向铜钱滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中而钱不湿的概率为（）A.916B.14C.419π- D.49π8.青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一.如图1，这是一个青花瓷圆盘.该圆盘中的两个圆的圆心重合，如图2，其中大圆半径3R =，小圆半径2r =，点P 在大圆上，过点P 作小圆的切线，切点分别是,E F ，则PE PF ⋅=（）A.49B.59C.4D.5 9.已知函数()f x 满足：①定义域为R ，②()1f x +为偶函数，③()2f x +为奇函数，④对任意的[]12,0,1x x ∈，且12x x ≠，都有()()()()12120x x f x f x -->，则7211,,333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的大小关系是（） A.7211333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B.7112333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ C.1172333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D.1127333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭10.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，122AA AB AC ==，且,,AB AC D E ⊥分别是棱1,BC BB 的中点，则异面直线1A D 与1C E 所成角的余弦值是（）A.69 B.66 C.579 D.30611.已知以圆22:(1)4C x y -+=的圆心为焦点的抛物线1C 与圆在第一象限交于A 点，B 点是抛物线22:8C x y =上任意一点，BM 与直线2y =-垂直，垂足为M ，则BM AB -的最大值为（）A.1B.2C.1-D.812.已知直线(,0)y ax b a R b =+∈>是曲线()xf x e =与曲线()ln 2g x x =+的公切线，则a b +等于（）A.2e +B.3C.1e +D.2二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.2021年受疫情影响，国家鼓励员工在工作地过年.某机构统计了某市5个地区的外来务工人员数与他们选择留在当地过年的人数占比，得到如下的表格：A 区B 区C 区D 区E 区外来务工人员数 50004000350030002500留在当地的人数占比80% 90% 80% 80% 84%根据这5个地区的数据求得留在当地过年人员数y 与外来务工人员数x 的经验回归方程为0.8135ˆˆyx a =+.该市对外来务工人员选择留在当地过年的每人补贴1000元，该市F 区有10000名外来务工人员，根据经验回归方程估计F 区需要给外来务工人员中留在当地过年的人员的补贴总额为__________万元.（参考数据：取0.81353629.29⨯=）14.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为4，焦点到C 的一条渐近线的距离为1，则C 的渐近线方程为__________.15.宝塔山是延安的标志，是革命圣地的象征，也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位.如图，在宝塔山的山坡A 处测得15CAD ∠=，从A 处沿山坡直线往上前进85m 到达B 处，在山坡B 处测得30,45CBD BCD ∠∠==，则宝塔CD 的高约为__________m .(2 1.41≈，6 2.45≈，结果取整数）16.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体ABCD 的棱长为1，则勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为_______；用过A ，B ，C 三点的平面去截勒洛四面体，所得截面的面积为_____________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.（12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13a =，n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 前n 项和n T . 18.（12分）从某台机器一天产出的零件中，随机抽取10件作为样本，测得其质量如下（单位：克）： 记样本均值为x ，样本标准差为s . （1）求,x s ；（2）将质量在区间(),x s x s -+内的零件定为一等品. （i ）估计这台机器生产的零件的一等品率；（ii ）从样本中的一等品中随机抽取2件，求这两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的概率P . 19.（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 为11A C 的中点，2AB BC ==，1C F AB ⊥（1）求证：AB BC ⊥；（2）若1C F ∥平面ABE ，且12C F =，求点A 到平面BCE 的距离.20.（12分）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一点，标记为F ； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F ； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为6的圆形纸片，设定点F 到圆心E 的距离为4，按上述方法折纸.（1）以点F ､E 所在的直线为x 轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程；（2）若过点()1,0Q 且不与y 轴垂直的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴的正半轴上是否存在定点(),0T t ，使得直线TM ，TN 斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.21.（12分）已知函数()()ln af x x x a R x=--∈有两个极值点()1212,x x x x <. （1）求实数a 的取值范围，并求()f x 的单调区间； （2）证明：()2ln2f x >.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标xOy 中，曲线C 的参数方程为223131t x t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数，t ∈R ），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3cos 32πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程；（2）若曲线C 与直线l 交于A ，B 两点，求AOB △的面积. 23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知关于x 的不等式123x x t +-+-≥有解. （1）求实数t 的最大值M ；（2）在（1）的条件下，已知a ，b ，c 为正数，且23abc M =，求()22a b c ++的最小值.渭南市2023届高三教学质量检测（Ⅰ）数学试题（文科）参考答案一､选择题（每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 BCCACADBCAAD二､填空题（每小题5分，共20分）13.818.614.3y x =15.4416.61-3π-2分，第二空3分） 三､解答题17.解：（1）∵13a =∴131S =∴()31221n S n n n=+-⨯=+ ∴22n S n n =+当2n ≥时，141n n n a S S n -=-=- 又13a =适合上式，因此41n a n =- （2）()()1111414344143n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-⋅+-+⎝⎭11111114377114143129n nT n n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪-++⎝⎭ 18.（1）()1110.59.99.410.710.09.610.810.19.79.3100101010x =+++++++++=⨯= 22222221(10.510)(9.910)(9.410)(10.710)(10.010)(9.610)10s ⎡=-+-+-+-+-+-⎣ 22221(10.810)(10.110)(9.710)(9.310) 2.50.2510⎤+-+-+-+-=⨯=⎦，所以0.5s =. （2）①()(),9.5,10.5x s x s -+=，质量在区间()9.5,10.5内的零件定为一等品，样本中一等品有：9.9,10.0,9.6,10.1,9.7共5件，用样本估计总体，这台机器生产的零件的一等品率为51102= ②从5件一等品中，抽取2件，有：()()()()()9.9,10.0,9.9,9.6,9.9,10.1,9.9,9.7,10.0,9.6，()()()()()10.0,10.1,10.0,9.7,9.6,10.1,9.6,9.7,10.1,9.710种情况，如下：抽取两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的情况为：()()()()9.9,10.0,9.9,9.6,9.9,10.1,9.9,9.7，()()()10.0,10.1,10.0,9.7,9.6,9.7共7种，这两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的概率710P =. 19.（1）证明：1CC ⊥平面,ABC AB ⊂平面1,ABC CC AB ∴⊥，又1111,AB C F CC C F C ⊥⋂=，且11,CC C F ⊂平面11BCC B ，AB ∴⊥平面11BCC B ，又BC ⊂平面11,BCC B AB BC ∴⊥.（2）过F 做FM AC ∥交AB 于M ，连接EM ，11,EC AC FM EC ∴∥∥1C F ∥平面1,ABE C F ⊂平面1EMFC ，平面1EMFC ⋂平面,ABE EM = 1,C F EM ∴∥∴四边形1EMFC 是平行四边形，11,2FM EC AC FM ∴==∴是ABC 的中位线. 221111,3,2CF BC CC C F CF ∴===-= 232,2 3.EBCEB EC BC S ∴===∴== 设A 到平面EBC 的距离为d ，则13333A BEC dV d -==， 1123223323A BEC E ABC V V --==⨯⨯⨯=又2d ∴=，即A 到平面EBC 的距离为2.20.解：（1）如图，以FE 所在的直线为x 轴，FE 的中点O 为原点建立平面直角坐标系设(),M x y 为椭圆上一点，由题意可知，64MF ME AE EF +==>= 所以M 点轨迹是以F ，E 为焦点，长轴长24a =的椭圆 因为24c =，26a =，所以2c =，3a =，则2225b a c =-=，所以椭圆的标准方程为22195x y +=（2）解：由已知：直线l 过()1,0Q ，设l 的方程为1x my =+，联立两个方程得221941x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得()225910400m y my ++-=， ()22100160590m m ∆=++>得m ∈R ，设()11,M x y ，()22,N x y ，则1221059m y y m -+=+，1224059y y m -=+（*）， ()()1212121211TM TN y y y y k k x t x t my t my t ⋅=⋅=--+-+- 1212121211TM TN y y y y k k x t x t my t my t⋅=⋅=⋅--+-+- ()()()1222121211y y m y y m t y y t =+-++-，将（*）代入上式，可得上式()()222405991t m t -=-+-，要使TM TN k k ⋅为定值，则有290t -=， 又∵0t >，∴3t =，此时109TM TN k k ⋅=-， ∴存在点()3,0T ，使得直线TM 与TN 斜率之积为定值109-，此时3t =21.（1）解：()f x 的定义域为()()220,,,0x x af x x x∞-+='+>， 令()2g x x x a =-+，其对称轴为12x =， 由题意知12,x x 是方程()0g x =的两个不相等的实根，则()Δ14000a g a =->⎧⎨=>⎩，所以104a <<，即实数a 的取值范围是10,4⎛⎫⎪⎝⎭. 当()10,x x ∈时，()0f x '>，所以()f x 在()10,x 上为增函数； 当()12,x x x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()12,x x 上为减函数； 当()2,x x ∞∈+时，()0f x '>，所以()f x 在()2,x ∞+上为增函数.. （2）证明：由（1）知22221,1,2x a x x ⎛⎫∈=-+⎪⎝⎭， ()222222222ln 21ln x x f x x x x x x -+=--=--，令()121ln 12h x x x x ⎛⎫=--<<⎪⎝⎭，则()12120x h x x x -=-=>'，所以()h x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故()11ln ln222h x h ⎛⎫>=-= ⎪⎝⎭，从而()2ln2f x >.22.（1）由223123tx t y ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩得x t y =，代入2231y t =+ 整理得22230x y +-=，即(2233x y +-=，故曲线C 的普通方程为(()22330x y y +-=≠.（2）直线l 的普通方程为330x -+=，此时直线过圆心(3，AB 即为直径3O 到直线的距离32d =，13333222OAB S =⨯=△23.（1）因为()()12123x x x x +--+--=≤，当且仅当2x ≥等号成立 所以12x x +--的最大值为3.因为不等式()3f x t -≥有解，所以33t -≤，解得06t ≤≤， 所以实数t 的最大值6M =. （2）由（1）知，123abc =因为()2224a b c ab c +++≥（当且仅当a b =时，等号成立），()()22322233422322343412336ab c ab ab c ab ab c abc +=++⋅⋅==⨯=≥，当且仅当22ab c =，即6a b ==23c =时，等号成立，所以()22a b c ++的最小值为36.。
【名师解析】陕西省西安市第一中学2021届高三大练习(一)(一模)数学(文科)试题 Word版含解析
2021年陕西省西安一中高考数学一模试卷（文科）一、选择题：（每小题5分，共50分）1．（5分）（2022•齐齐哈尔三模）若复数（x∈R）为纯虚数，则x等于（）A．0 B． 1 C．﹣1 D．0或1【考点】：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【专题】：计算题．【分析】：利用两个复数代数形式的除法法则化简z为（x2﹣x）﹣xi，再由z 为纯虚数，可得，由此求得x的值．【解答】：解：∵===（x2﹣x）﹣xi，又z为纯虚数，则有，故x=1，故选B．【点评】：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的除法，属于基础题．2．（5分）（2007•广东）已知函数的定义域为M，g（x）=ln（1+x）的定义域为N，则M∩N=（）A．{x|x＞﹣1} B．{x|x＜1} C．{x|﹣1＜x＜1} D．∅【考点】：交集及其运算；函数的定义域及其求法．【分析】：依据题目中使函数有意义的x的值求得函数的定义域M和N，再求它们的交集即可．【解答】：解：∵函数的定义域是指使函数式有意义的自变量x的取值范围，∴由1﹣x＞0求得函数的定义域M={x|x＜1}，和由1+x＞0 得，N=[x|x＞﹣1}，∴它们的交集M∩N={x|﹣1＜x＜1}．故选C．【点评】：本题属于以函数的定义为平台，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．3．（5分）（2011•福建模拟）在各项均为正数的等比数列{a n}中，a3a5=4，则数列{log2a n}的前7项和等于（）A．7 B．8 C．27 D．28【考点】：等差数列的前n项和；等比数列的性质．【专题】：计算题．【分析】：依据等比数列的性质，由已知的等式求出a4的值，然后利用对数的运算性质化简数列{log2a n}的前7项和，把a4的值代入即可求出数列{log2a n}的前7项和．【解答】：解：由a3a5=a42=4，又等比数列{a n}的各项均为正数，∴a4=2，则数列{log2a n}的前7项和S7=++…+====7．故选A【点评】：此题考查同学机敏运用等比数列的性质化简求值，把握对数的运算性质，是一道基础题．4．（5分）在△ABC中，a，b，c是角A，B的对边，若a，b，c成等比数列，A=60°，=（）A．B． 1 C．D．【考点】：正弦定理；等比数列的性质．【专题】：计算题．【分析】：a，b，c成等比数列可得，b2=ac，由正弦定理可得sin2B=sinAsinC=【解答】：解：∵a，b，c成等比数列∴b2=ac由正弦定理可得sin2B=sinAsinC==故选D【点评】：本题主要考查了利用正弦定理进行解三角形，属于基础试题，难度不大．5．（5分）（2011•湘西州一模）如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几可体的表面积为（）（不考虑接触点）A．B．C．D．32+π【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：计算题．【分析】：由三视图可以看出，此几何体由一个半径为1的球体与一底面连长为2的直三棱柱所组成，故其表面积为球体的表面积加上直三棱柱的表面积．【解答】：解：由三视图知，此组合体上部是一个半径为的球体，故其表面积为π下部为始终三棱柱，其高为3，底面为一边长为2的正三角形，且题中已给出此三角形的高为故三棱柱的侧面积为3×（2+2+2）=18，由于不考虑接触点，故只求上底面的面积即可，上底面的面积为×2×=故组合体的表面积为故选C【点评】：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查对三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再依据相关的公式求表面积与体积，本题求的是表面积．三视图的投影规章是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．6．（5分）已知图象不间断函数f（x）是区间[a，b]上的单调函数，且在区间（a，b）上存在零点．上图是用二分法求方程f（x）=0近似解的程序框图，推断框内可以填写的内容有如下四个选择：①f（a）f（m）＜0，②f（a）f（m）＞0，③f（b）f（m）＜0，④f（b）f（m）＞0，其中能够正确求出近似解的是（）A．①④ B．②③ C．①③ D．②④【考点】：程序框图．【专题】：函数的性质及应用；算法和程序框图．【分析】：由零点的判定定理知，推断框可以填写f（a）f（m）＜0或f（m）f（b）＞0，由此可得答案．【解答】：解：由二分法求方程f（x）=0近似解的流程知：当满足f（a）f（m）＜0时，令b=m；否则令a=m；故①正确，②错误；当满足f（m）f（b）＞0时，令a=m；否则令b=m；故④正确，③错误．故选：A．【点评】：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7．（5分）（2010•宁夏）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【考点】：函数的图象．【分析】：本题的求解可以利用排解法，依据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案．【解答】：解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d 为，于是可以排解答案A，D，再依据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排解答案B，故应选C．【点评】：本题主要考查了函数的图象，以及排解法的应用和数形结合的思想，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）=若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）【考点】：函数单调性的性质．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：由x=0时分段函数两个表达式对应的函数值相等，可得函数图象是一条连续的曲线．结合对数函数和幂函数f（x）=x3的单调性，可得函数f（x）是定义在R上的增函数，由此将原不等式化简为2﹣x2＞x，不难解出实数x的取值范围．【解答】：解：∵当x=0时，两个表达式对应的函数值都为零∴函数的图象是一条连续的曲线∵当x≤0时，函数f（x）=x3为增函数；当x＞0时，f（x）=ln（x+1）也是增函数∴函数f（x）是定义在R上的增函数因此，不等式f（2﹣x2）＞f（x）等价于2﹣x2＞x，即x2+x﹣2＜0，解之得﹣2＜x＜1，故选D【点评】：本题给出含有对数函数的分段函数，求不等式的解集．着重考查了对数函数、幂函数的单调性和函数的图象与性质等学问，属于基础题．9．（5分）已知双曲线方程为=1，过其右焦点F的直线（斜率存在）交双曲线于P、Q两点，PQ的垂直平分线交x轴于点M ，则的值为（）A．B．C．D．【考点】：双曲线的简洁性质．【专题】：计算题．【分析】：依题意，不妨设过其右焦点F的直线的斜率为1，利用双曲线的其次定义可求得可求得|PQ|，继而可求得PQ的垂直平分线方程，令x=0可求得点M的横坐标，从而使问题解决．【解答】：解：∵双曲线的方程为﹣=1，∴其右焦点F（5，0），不妨设过其右焦点F的直线的斜率为1，依题意，直线PQ的方程为：y=x﹣5．由得：7x2+90x﹣369=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1，x2为方程7x2+90x﹣369=0的两根，∴x1+x2=﹣，y1+y2=（x1﹣5）+（x2﹣5）=x1+x2﹣10=﹣，∴线段PQ的中点N （﹣，﹣），∴PQ的垂直平分线方程为y+=﹣（x+），令y=0得：x=﹣．又右焦点F（5，0），∴|MF|=5+=．①设点P在其准线上的射影为P′，点Q在其准线上的射影为Q′，∵双曲线的一条渐近线为y=x，其斜率k=，直线PQ的方程为：y=x﹣5，其斜率k′=1，∵k′＜k，∴直线PQ与双曲线的两个交点一个在左支上，另一个在右支上，不妨设点P在左支，点Q在右支，则由双曲线的其次定义得：==e==，∴|PF|=x1﹣×=x1﹣3，同理可得|QF|=3﹣x2；∴|PQ|=|QF|﹣|PF|=3﹣x2﹣（x1﹣3）=6﹣（x1+x2）=6﹣×（﹣）=．②∴==．故选B．【点评】：本题考查双曲线的其次定义的应用，考查直线与圆锥曲线的相交问题，考查韦达定理的应用与直线方程的求法，综合性强，难度大，属于难题．10．（5分）（2021•肇庆一模）在实数集R中定义一种运算“⊕”，具有性质：①对任意a，b∈R，a⊕b=b⊕a；②对任意a∈R，a⊕0=a；③对任意a，b，c∈R，（a⊕b）⊕c=c⊕（ab）+（a⊕c）+（b⊕c）﹣2c．函数f（x）=x ⊕（x＞0）的最小值为（）A．4 B． 3 C．2D． 1【考点】：进行简洁的合情推理；函数的值域．【专题】：计算题；新定义．【分析】：依据题中给出的对应法则，可得f（x）=（x ⊕）⊕0=1+x+，利用基本不等式求最值可得x+≥2，当且仅当x=1时等号成立，由此可得函数f（x）的最小值为f（1）=3．【解答】：解：依据题意，得f（x）=x ⊕=（x ⊕）⊕0=0⊕（x •）+（x⊕0）+（⊕0 ）﹣2×0=1+x+。
2025届山西省晋中市重点中学高三下学期一模考试数学试题含解析
2025届山西省晋中市重点中学高三下学期一模考试数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．()()52122x x --的展开式中8x的项的系数为（ ）A ．120B ．80C ．60D ．402．某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有6名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情况如下表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分按照[)70,80，[)80,90，[]90,100分组，绘成频率分布直方图如下： 嘉宾 A BC D EF评分969596 89 9798嘉宾评分的平均数为1x ，场内外的观众评分的平均数为2x ，所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为x ，则下列选项正确的是（ ） A ．122x x x +=B ．122x x x +>C ．122x x x +<D ．12122x x x x x +>>>3．若函数()3cos 4sin f x x x =+在x θ=时取得最小值，则cos θ=（ ） A ．35B ．45-C ．45D ．354．已知20,()1(0),{|()},{|(())()}a f x ax x x A x f x x B x f f x f x x >=-+>=≤=≤≤，若A B φ=≠则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,1]B ．3(0,]4C ．3[,1]4D ．[1,)+∞5．我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（ 注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数a 、b ，则3a b -<的概率是（ ） A ．15B ．415C ．13D ．256．已知全集为R ，集合122(1),{|20}A x y x B x x x -⎧⎫⎪⎪==-=-<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则()A B =R （ ）A ．(0,2)B ．(1,2]C ．[0,1]D ．(0,1]7．已知集合|03x A x Z x ⎧⎫=∈≤⎨⎬+⎩⎭，则集合A 真子集的个数为（ ） A ．3B ．4C ．7D ．88．设实数满足条件则的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．若实数x 、y 满足21y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．6B ．5C ．2D ．3210．设x ∈R ，则“327x <”是“||3x <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．若复数2(2)(32)m m m m i -+-+是纯虚数，则实数m 的值为( ) A ．0或2B ．2C ．0D ．1或212．已知函数2,()5,x x x af x x x a⎧-≤=⎨->⎩（0a >），若函数()()4g x f x x =-有三个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．(0,1)[5,)+∞B ．6(0,)[5,)5+∞C ．(1,5]D ．6(,5]5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省临沂市2018届高三统一质量检测(一模)数学(文)试题Word版含解析
山东省临沂市2018届高三统一质量检测（一模）数学（文）试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设全集2{|9,},{1,2},{2,1,2}I x x z Z A B =<∈==--，则()I A C B =A ．{}1B ．{}1,2C ．{}2D ．{}0,1,22、已知z 是z 的共轭复数，若1(z i i =+是虚数单位），则2z= A ．1i - B ．1i + C ．1i -+ D ．1i -- 3、已知R λ∈，向量(3,),(1,2)a b λλ==- ，则“35λ=”是“a b ⊥ ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4、中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中“筹”原意识指“孙子算经”中记载点算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数码时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式，十位、千位、十万位用横式表示，依次类推，例如6613用算筹 表示就是，则8335用算筹可表示为5、已知输入x 的值为1，执行如右图所示的程序框图，则输出的结果为A ．1B ．3C ．7D ．156、已知1,1x y >>，且lg ,2,lg x y 成等差数列，则x y +有A ．最小值20B ．最小值200C ．最大值20D ．最大值200，7、要得到函数的图象2cos y x =，只需将2sin()3y x π=-的图象 A ．向右平移56π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移56π个单位 D ．向左平移3π个单位 8、某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为A ．883π+B ．1683π+C ．8163π+D ．16163π+ 9、定义在R 上的奇函数()f x 满足()(2)2f x f x +=-，且()11f =，则()2017f =A ．0B ．1C ．-1D ．-210、已知0,0a b >>，双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>，圆22223:204C x y a x a +-+=，若双曲线1C 的渐近线与圆2C 相切，则双曲线1C 的离心率是A．3B．2 D第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..11、函数()ln(2)f x x =+的定义域为 12、已知变量,x y 具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，若y 关于x 的线性回归方程为ˆ 1.31yx =-，则m =13、若,x y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z y x =-的最大值为14、已知抛物线2:8,C y x O =为坐标原点，直线x m =与抛物线C 交于,A B 两点，若AOB ∆的重心为抛物线C 的焦点F ，则AF =15、已知函数()()23231,12323x x x x f x x g x x =+-+=-+-，设函数()()()F x f x g x =且函数()F x 的零点均在区间[],(,,)a b a b a b Z <∈内，则b a -的最小值为三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16、（本小题满分12分）某滑雪场开业当天共有500人滑雪，滑雪服务中心根据他们的年龄分成[)[)[)10,20,20,30,30,40, [)[]40,50,50,60五个组，现按分层抽样的方法选取20人参加有奖活动，这些人的样本数据的频率分布直方图如下图所示，从左往右分别为一组、二组、三组、四组、五组.（1）求开业当天所有滑雪的人年龄在[)20,30有多少人？（2）在选取的这20人样本中，从年龄不低于30岁的人中任选两人参加抽奖活动，求这两个人来自同一组的概率.17、（本小题满分12分）已知函数()sin(2)cos(2)sin 2(),()23612f x x x m x m R f πππ=++++∈= . （1）求m 的值；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2,()2B b f A B C ==求ABC ∆的周长.18、（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面,3,ABCD PA F =是棱PA 上一个动点，E 为PD 的中点.（1）求证：平面BDF ⊥平面PCF ；（2）若AF=1，求证：//CE 平面BDF.19、（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知111,32,n n a S S n N ++==+∈ .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若18n n n n b a a +=-，求数列{}n b 的前n 项和n T .20、（本小题满分13分）已知函数()41,()ln ,a f x x g x a x a R x=+-=∈. （1）若函数()()()h x f x g x =-在[]1,3上为减函数，求a 的最小值；（2）若函数3()(2)( 1.718828xp x x e e =-⋅= 为自然对数的底数），()()2g x q x x =+，对于任意的12,(0,1)x x ∈，恒有12()()p x q x >成立，求a 的范围.22、（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左焦点为1F ，右顶点为1A ，上顶点为1B ，过111,,F A B 三点的圆P的圆心坐标为. （1）求椭圆的方程；（2）若直线:(,l y kx m k m =+为常数，0k ≠）与椭圆Γ交于不同的零点M 和N.①当直线l 过(1,0)E ，且20EM EN += 时，求直线l 的方程；②当坐标原点到直线l MON ∆l 的倾斜角.山东省临沂市2018届高三统一质量检测（一模）数学（文）试题答案。
2022届安徽省江南十校高三下学期3月一模数学(文)试题解析
2022届安徽省江南十校高三下学期3月一模数学（文）试题一、单选题1．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{y |y ＝2x －1，x ∈A }，则A ∩B ＝（ ） A ．{1} B ．{1，2，3} C ．{1，3} D ．{1，3，5}答案：C根据题意先求出集合B ，进而根据交集的定义求得答案. 解：集合{}1,3,5B =，{}1,3A B =. 故选：C ．2．“0＜λ＜4”是“双曲线2241x y λ=-的焦点在x 轴上”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A先根据双曲线2241x y λ=-的焦点在x 轴上得到λ的范围，进而求得答案. 解：由双曲线2241x y λ=-的焦点在x 轴上可知，0λ>.于是“04λ<<”是“双曲线2241x y λ=-的焦点在x 轴上”的充分不必要条件. 故选：A.3．已知复数z 在复平面内对应的点为()2,1，z 是z 的共轭复数，则zz=（ ）A ．34i 55-+ B ．34i 55--C ．34i 55+D ．34i 55-答案：D依题意2i z =+，再根据复数代数形式的除法运算法则计算可得；解：解：由题知2i z =+，则2i z =-，所以()()()()()22i 2i 2i 2i 34=i 2i 2i 2i 555z z ----===-++-. 故选：D.4．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()2cos cos b A C =，则角A 的大小为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．512π 答案：A直接利用正弦定理边化角，再结合正弦的和角公式求出cos A ，进而求出角A .解：由()2cos cos b A C得)2cos cos cos b A a C c A +，由正弦定理得)2sin cos sin cos sin cos )B A A C C A A C B =+=+=，又sin 0B ≠，得cos A =6A π=.故选：A. 5．设x ∈（0，2π），则事件“2sin x ＞tan x ”发生的概率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．23π答案：C先求出事件“2sin x ＞tan x ”对应的03x π<<，利用几何概型的概率公式直接求解.解：由2sin tan x x >且0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得1cos 2x >，解得03x π<<，得2332p ππ==.故选：C.6．已知函数f (x )=2|x |，a =f (log 0.53)，b =f (log 45)，c =f (cos 3π)，则（ ） A ．a >c >b B ．a >b >c C ．b >a >cD ．c >a >b答案：B分析函数()2xf x =的奇偶性和单调性，再判断自变量的大小关系，根据单调性和奇偶性即得解解：由题意，()22()xxf x f x --===故函数()2xf x =为偶函数，且0x >时，()2xf x =，故函数在(0，+∞)单调递增，∵2421log 3log 5log log 21,cos 32π>=>==， ∴()()0.52log 3log 3a f f b c ==>>. 故选：B7．《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一本，成于公元1世纪左右，该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢?″题意是：“有两只老鼠从厚五尺墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.问几日两鼠相逢?”有人设计了如图所示的程序框图解决此问题，则此题的结果为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5答案：B根据程序框图，依次执行即可得答案.解：解：第一次执行得2,5S S =<，进入循环体得12,2a b ==，2i =； 第二次执行得 4.5,5S S =<，进入循环体得14,4a b ==，3i =， 第三次执行得8.75,5S S =≥，满足条件，输出3i =. 故选：B8．为了得到函数cos 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只要把函数cos 2y x =图象上所有的点（ ）A ．横坐标伸长到原来的32倍，再把得到的图象向右平移6π个单位长度，纵坐标不变B ．横坐标伸长到原来的32倍，再把得到的图象向左平移6π个单位长度，纵坐标不变C ．横坐标缩短到原来的23倍，再把得到的图象向右平移18π个单位长度，纵坐标不变 D ．横坐标缩短到原来的23倍，再把得到的图象向左平移18π个单位长度，纵坐标不变答案：D根据三角函数的变换规则判断可得；解：解：首先将cos 2y x =横坐标缩短到原来的23倍（纵坐标不变）得到cos3y x =，再将cos3y x =向左平移18π个单位长度得到cos3cos 3186y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D.9．设1F 、2F 是椭圆22:110xC y +=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上，且12PF F △的面积为7，则OP =（ ） A ．3 B ．73C ．83D ．3答案：A根据三角形12PF F △的面积可求得点P 的坐标，由此可求得OP 的值.解：在椭圆C 中，10a =，1b =，则223c a b =-=，所以，1226F F c ==，12121372PF F P P S F F y y =⋅==△，所以7P y =，所以25P x =， 则223P P OP x y =+=，故选：A.10．已知四棱锥P －ABCD 的高为3，底面ABCD 为矩形，BC ＝3，AB ＝2，PC ＝PD ，且面PCD ⊥面ABCD ．现从四棱锥中挖去一个以CD 底面直径，P 为顶点的半个圆锥，得到的几何体如图所示.点N 在弧CD 上，则PN 与侧面P AB 所成的最小角的正弦值为（ ）A ．12 B ．22C 62-D 3答案：A分别取AB ，CD 的中点为E ，F ，连接EF ，EF 与CD 交于H .记N 到侧面P AB 的距离为d ，由于PN 的长为定值，因此当且仅当d 最小时，PN 与侧面P AB 所成的角最小，即点N 在H 时，然后再解三角形即可求解. 解：如图所示，分别取AB ，CD 的中点为E ，F ，连接EF ，EF 与CD 交于H .记N 到侧面P AB 的距离为d ，由于PN 的长为定值，因此当且仅当d 最小时，PN 与侧面P AB 所成的角最小，即点N 在H 时，HPE θ=∠.面PCD ⊥面ABCD 易知PF EF ⊥，3PF =，又3EF =，1HF =，则2PH EH == 所以HPE PEF θ=∠=∠，所以3tan θ=，即1sin 2θ=.故选：A.11．函数fx=x+1+ax 的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：D令0a =、1a =、1a =-分别得到函数解析式，即可判断所对应的函数图形，即可用排除法得解；解：解：当0a =时，()1,111,1x x f x x x x +≥-⎧=+=⎨--≤-⎩，图象为A ；当1a =时，()21,111,1x x f x x x x +≥-⎧=++=⎨-≤-⎩，图象为C ；当1a =-时，()1,1121,1x f x x x x x ≥-⎧=+-=⎨--≤-⎩，图象为B.对于D ：当1x ≥-时()()111f x x ax a x ==++++为常数函数，则10a +=，解得1a =-，显然与B 的图象矛盾，故D 错误； 故选：D.12．已知函数f （x ）＝a e x －2－ln x ＋2ln a ，若f （x ）≥3，恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．[1，＋∞）B ．∞）C ．[e ，＋∞）D ．[2e ，＋∞）答案：C根据特殊值法，再结合构造函数法，通过放缩法、导数的性质进行验证即可. 解：由题设可知，要使()3f x ≥成立，则()13f ≥，即1e 2ln 3a a -⋅+≥，设1'2()e 2ln 3()h a a a h a a a-=⋅+-⇒=+，因为0a >， 所以'()0,()h a h a >单调递增，而(e)0h =，由()0(e)h a h >=，∴e a ≥.下证：当e a ≥时，()3f x ≥恒成立，∵e a ≥，∴()1e ln 2xf x x -≥-+，构造函数1e x y x -=-，1e 1x y -'=-，当1x >时，'0y >，函数单调递增， 当1x <时，'0y <，函数单调递减，所以当1x =时，函数有最小值0，即 11e 0e x x y x x --=-≥⇒≥（当1x =时，两式等号成立），构造函数ln 1y x x =-+，'111x y x x-=-=， 当1x >时，'0y <，函数单调递减，当01x <<时，'0y >，函数单调递增，所以当1x =时，函数有最大值0，即ln 10ln 1y x x x x =-+≤⇒≤-（当1x =时，两式等号成立），则()1e ln 2)123(xf x x x x -≥-+≥--+=，得证.所以[)e,a ∞∈+.故选：C.点评：关键点睛：构造不等式的形式，构造函数，根据函数运用放缩法进行求解是解题的关键. 二、填空题13．已知向量(,2)a t =，(,1)b t =-，满足a b a b -=+，则t ＝__________．答案：解：因为a b a b -=+，所以222222()()220a b a b a b a b a b a b a b -=+⇒+-⋅=++⋅⇒⋅=，()22120a b t t t ⋅=⨯-+⨯=-+=，得2t=±. 故答案为：2±14．若x ，y 满足约束条件20,320,20,x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩则z ＝x 2＋y 2的最小值为__________．答案：2根据代数式的几何意义，结合点到直线的距离公式进行求解即可. 解：画图如下：由22z x y =+可构造(),P x y ，()0,0O ，则2z PO =，动点P 在阴影区域，由图可知其最小值为点O到直线20x y +-=的距离的平方，2min 22002211z +-==+. 故答案为：215．过坐标原点且与曲线ln 1y x x =--相切的直线方程为__________． 答案：0x y +=y x =-设切点为()000,ln 1x x x --，求出切线的方程，将原点的坐标代入切线方程，求出0x 的值，可得出切线的方程.解：设切线的切点为()000,ln 1x x x --，对函数ln 1y x x =--求导得ln 1y x '=--， 则切线的斜率为01ln k x =--，所以切线方程为()()0000ln 1ln 1y x x x x x ++=---， 将原点的坐标代入切线方程可得01x =，则1k =-， 因此，所求切线方程为y x =-，即0x y +=. 故答案为：0x y +=.16．半正多面体亦称阿基米德多面体，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，它们的边长都相等，称这样的半正多面体为二十四等边体．现有一个体积为1V 的二十四等边体，其外接球体积为2V ，则21V V =_________________.22π利用割补法可得二十四等边体的体积，再结合对称性可得外接球球心与半径，可得外接球体积，进而得解.解：设该半多面体是由棱长为2的正方体沿正方体各棱的中点截去8个三棱锥所得，内侧即为二十四等边体，其体积111202228111323V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=；由二十四等边体的对称性可知， 如图所示，其外接球的球心即为正方体中心O ，半径为中心到一个顶点的距离，则22112R OA AB +=+故3248223V ππ==从而2122V V π22π. 三、解答题17．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，13a =，点(),N n S n n n *⎛⎫∈ ⎪⎝⎭在斜率为1的直线上.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．答案：(1)21n a n =+ (2)152522n n n T ++=- （1）根据斜率公式可得出()222n S n n n =+≥，可知13S =满足()222n S n n n =+≥，可得出22n S n n =+，再利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求得数列{}n a 的通项公式；（2）求得1212n n n c ++=，利用错位相减法可求得n T . (1)解：由13a =，点,n S n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭在斜率为1的直线上，知1111n S S n n -=-，即()222n S n n n =+≥.当1n =时，113S a ==也符合上式，故22n S n n =+.当2n ≥时，()()221212121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦； 13a =也满足上式，故21n a n =+.(2) 解：112122n n n n a n c +++==. 则2341357212222n n n T ++=++++， 所以，3412135212122222n n n n n T ++-+=++++， 上式-下式得1232211113111213214212422224212n n n n n n n T -++⎛⎫- ⎪++⎛⎫⎝⎭=++++-=+- ⎪⎝⎭- 252542n n ++=-， 因此，152522n n n T ++=-. 18．如图所示，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，分别以边AB 和BC 为一边向外侧作矩形ABDE 和菱形BCFG ，满足BD ＝BG ，再将其沿AB ，BC 折起使得BD 与BG 重合，连结EF ．(1)判断A ，C ，F ，E 四点是否共面？并说明理由；(2)若BC ＝2AB ＝4，∠BCF ＝120°，设M 是线段FC 上一点，连结EM 与DM ．判断平面EDM 与平面BCFD 是否垂直？并求三棱柱ABC －EDF 的侧面积. 答案：(1)四点共面，理由见解析； (2)垂直，243+（1）由题可得AE CF ∥，即得；（2）由题可得AB ⊥平面BCFD ，进而可得ED ⊥平面BCFD ，即可判断，再利用面积公式可求侧面积. (1)A ，C ，F ，E 四点共面，证明如下：∵AE BD ∥，BG CF ∥，又因为D ，G 重合，∴AE CF ∥，故A ，C ，F ，E 四点共面； (2)因为AB BD ⊥，AB BC ⊥且BD BC B ⋂=， ∴AB ⊥平面BCFD ，又AB ED ∥，则ED ⊥平面BCFD .因为M 是线段FC 上一点，则E ，D ，M 三点共面， 又DE ⊂面EDM ， 所以面EDM ⊥面BCFD .又ED ⊥平面BCFD ，∴ED ⊥FC ， 当DM ⊥FC 时，由于ED DM D ⋂=， 故FC ⊥平面EDM ，则FC ⊥EM .在菱形BDFC 中，120BCF ∠=︒，4DF =， 则sin 6023DM DF =⋅︒=2ED AB ==， 则()222234EM +=.故三棱柱ABC －EDF 的侧面积为()422342483⨯+=+19．碳中和，是指企业、团体或个人测算在一定时间内，直接或间接产生的温室气体排放总量，通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放，实现二氧化碳的“零排放”.碳达峰，是指碳排放进入平台期后，进入平稳下降阶段.简单地说就是让二氧化碳排放量“收支相抵”.中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.”减少碳排放，实现碳中和，人人都可出一份力．某中学数学教师组织开展了题为“家庭燃气灶旋钮的最佳角度”的数学建模活动.实验假设：①烧开一壶水有诸多因素，本建模的变量设定为燃气用量与旋钮的旋转角度，其他因素假设一样；②由生活常识知，旋转角度很小或很大，一壶水甚至不能烧开或造成燃气浪费，因此旋转角度设定在10°到90°间，建模实验中选取5个代表性数据：18°，36°，54°，72°，90°． 某支数学建模队收集了“烧开一壶水”的实验数据，如下表：以x 表示旋转角度，y 表示燃气用量. (1)用列表法整理数据（x ，y ）； (2)假定x ，y 线性相关，试求回归直线方程y bx a =+（注：计算结果精确到小数点后三位） (3)有队员用二次函数进行模拟，得到的函数关系为22190310 1.472150.33y x x -=⨯-+．．求在该模型中，烧开一壶水燃气用量最少时的旋转角度．请用相关指数R 2分析二次函数模型与线性回归模型哪种拟合效果更好？（注：计算结果精确到小数点后一位） 参考数据：51712i i y ==∑，()()511998i ii x xy y =--=∑，()5213240ii x x =-=∑，()5211501.2i i y y=-=∑，线性回归模型()521269.1i ii y y =-≈∑，二次函数模型()521196.5i ii y y =-≈∑． 参考公式：()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-，()()221211nii i n ii yy R yy==-=--∑∑．答案：(1)列表见解析； (2)0.617109.098y x =+； (3)38.7︒，二次函数拟合效果更好. （1）根据题中数据直接填表即可；（2）根据题中所给的数据和公式进行求解即可；（3）根据题中所给的公式，结合所给的函数关系进行求解判断即可. (1)整理数据如图：(2)54x =，142.4y =，()()()5152119980.61673240iii i i x x y y b x x==--==≈-∑∑， 142.40.616754109.0982109.098a =-⨯=≈，故回归直线方程为0.617109.098y x =+； (3)21.47238.72 1.90310x --=-≈︒⨯⨯，即旋转角约为38.7︒时，烧开一壶水燃气用量最少()3min121.9dm y ≈. 回归直线与二次函数拟合两者关系时，相关指数分别为21R ，22R ，则21269.110.820.81501.2R =-≈≈，22196.510.870.91501.2R =-≈≈.因为2212R R <，所以二次函数拟合效果更好.20．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，A 两点，且PF λFA =． (1)若λ＝1，求直线l 的方程；(2)设点E （a ，0），直线PE 与抛物线C 的另一个交点为B ，且PE EB μ=．若λ＝4μ，求a 的值. 答案：(1)1x =； (2)4.（1）根据抛物线的对称性可以判断PA x ⊥轴，进而解出答案；（2）设出点的坐标和直线,PA PB 的方程，将直线方程代入抛物线方程并化简，进而根据平面向量间的关系及根与系数的关系得到,λμ间的关系. (1)由PF FA →→=，知焦点()1,0F 是PA 的中点，又抛物线C ：24y x =关于x 轴对称，所以PA x ⊥轴，所以直线l 的方程1x =. (2)设点()()000,0P x y y ≠，()()111,0A x y y ≠，由PF λFA →→=得01y y λ=-①， 设直线l ：1x my =+与抛物线C ：24y x =联立得2440y my --=，所以()21610m ∆=+>，014y y =-②， 由①②可得204y λ=，设点()22,B x y ，由PE EB μ→→=得02y y μ=-③， 直线PB ：x ny a =+与抛物线C ：24y x =联立得2440y ny a --=，所以需要满足()2160n a ∆=+>，024y y a =-④，由③④可得204y aμ=，又4λμ=，所以2200444y y a=⋅，因为00y ≠，解得4a =，此时()()22161640n a n ∆=+=+>.所以a 的值为4.点评：本题为压轴题，注意本题的突破口. 根据PF λFA→→=得到01y y λ=-之后会发现，本题应该涉及根与系数的关系，当得到204y λ=之后，应该确定了最终方向，即得到20,y μ间的关系，最后解决问题.21．已知函数()()11ln 2,R f x ax a x a x=+-+-∈． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 只有一个零点，求a 的取值范围． 答案：(1)答案见解析； (2)0a ≤或1a =或e a =.（1）求出导函数并因式分解，进而讨论a 的范围，然后根据导数的符号求出单调区间； （2）结合（1）中函数的单调性及零点存在定理即可求得答案. (1)函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()()221111ax x a f x a x x x -+-+-='=， ①若0a ≤，()0f x '<，则()f x 在()0,∞+单调递减；②若0a >，10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增.综上：0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递减；0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. (2)若0a ≤，111e 2=1e 1>0e e e a f a a ⎛⎫⎛⎫=+-+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()110f a =-<.结合函数的单调性可知，()f x 有唯一零点.若0a >，因为函数在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以要使得函数有唯一零点，只需()()()()min 111ln 211ln 0f x f a a a a a a ⎛⎫==--+-=--= ⎪⎝⎭，解得1a =或e a =.综上：0a ≤或1a =或e a =.点评：第（2）问较难，我们一定要注意，导数中的零点问题往往与函数的单调性和零点存在定理联系紧密.22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为sin cos ρθθ=+. (1)求曲线C 的直角坐标方程； (2)求曲线C 围成的图形的面积．答案：(1)22x y x y +=+(x ，y 不同时为0)(2)2π+（1）按照极坐标方程和直角坐标方程互化即可；（2）先计算出第一象限图形的面积，再结合对称性求出整个图形的面积. (1)由sin cos ρθθ=+，可知0ρ>，所以2sin cos ρρθρθ=+，又222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，则曲线C 的直角坐标方程为22x y x y +=+(x ，y 不同时为0).(2)当0,0x y >>时，得曲线C 的第一象限内的直角坐标方程：22x y x y +=+，配方得22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则曲线C 在第一象限内的图形由一个直角边为12易知，曲线C 在第一象限内的围成的图形面积为124π+.结合对称性可知曲线C 围成的图形的面积为2π+. 23．已知函数()2f x x a =+，()21g x x =-. (1)当2a =时，求不等式()()4f x g x +≥的解集；(2)若存在0x R ∈，使得()()004f x g x a <-+，求a 的取值范围．答案：(1)54x x ⎧≤-⎨⎩或34x ⎫≥⎬⎭(2){}35a a -<<（1）分情况解绝对值不等式；（2）利用绝对值不等式求得最值，进而可得参数取值范围. (1)当2a =时，则22214x x ++-≥，当1x <-时，不等式化为414x --≥，可得54x ≤-；当112x -≤<时，不等式化为34≥，不成立； 当12x ≥时，不等式化为414x +≥，可得34x ≥；综上可得不等式的解集为54x x ⎧≤-⎨⎩或34x ⎫≥⎬⎭； (2)因为存在0x R ∈，使得()()004f x g x a <-+成立， 即使得0024221x a x a +<-+-成立，()00min 22214x a x a ∴+++-<，由绝对值不等式可知：0000222122211x a x a x a x a a +++-≥+--+=-+， 即14a -<，可得a 的取值范围为{}35a a -<<.。
浙江省新2025届高三下学期一模考试数学试题含解析
浙江省新2025届高三下学期一模考试数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()ln(1)f x x ax =+-，若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =，则实数a 的取值为（ ） A ．-2B ．-1C ．1D ．22．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()2224m f m f f n n ⎛⎫⎪⎝⎭⋅=，当01x <<时，()0f x <.若()42f =，则函数()f x 在[]1,16上的最大值为（ ） A ．4B ．6C ．3D ．83．半正多面体(semiregular solid ) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ．4C ．163D ．2034．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )A ．B ．C ．D ．5．已知实数x ，y 满足约束条件2211x y y x y kx +≥⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，若2z x y =-的最大值为2，则实数k 的值为（ ）A ．1B ．53C ．2D ．736．已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，22()2xx x f x e +=-，设22),(2),(ln a f b f c f ===，则（ ） A ．b a c >>B ．b a c >=C ．a c b =>D ．c a b >>7．一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为( ) A ．31πB ．34C 3πD ．148．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b9．在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =，则AB AM ⋅等于（ ） A ．10B ．9C ．8D ．710．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，设其前n 项和n S ，若14+=nn n a a （n *∈N ），则5S =（ ）A ．30B ．312C ．2D ．6211．已知等差数列{}n a 中，若5732a a =，则此数列中一定为0的是（ ） A ．1aB ．3aC ．8aD ．10a12．已知等差数列{}n a 的公差为-2，前n 项和为n S ，若2a ，3a ，4a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，则n S 的最大值为（ ） A ．5B ．11C ．20D ．25二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三数学一模试卷 文(含解析)-人教版高三全册数学试题
2016年某某某某市平罗中学高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|1≤x≤2}，B={x|x2﹣1≤0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{1}D．∅2．复数（i是虚数单位）的虚部为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．23．在下列函数中既是奇函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数为（）A． B．y=x﹣1C． D．y=x3+x4．如图所示的程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值，若输入，则输出的y值为（）A．2B． C．2﹣2πD．85．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．5B．7C．9D．116．在△ABC，a=，b=，B=，则A等于（）A． B． C． D．或7．“x＜1”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b），若f（x）的图象如图所示，则函数g （x）=a x+b的图象大致为（）A． B． C． D．9．已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为（）A．﹣2B．5C．6D．710．已知某棱锥的三视图如图所示，俯视图为正方形，根据图中所给的数据，那么该棱锥外接球的体积是（）A． B． C． D．11．已知函数的图象上相邻两个最高点的距离为π，若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称．则f（x）的解析式为（）A．f（x）=2sin（x+）B．f（x）=2sin（x+）C．f（x）=2sin（2x+）D．f（x）=2sin（2x+）12．如图，一竖立在水平对面上的圆锥形物体的母线长为4m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处，则该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于（）A．1mB． C． D．2m二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．已知向量=（1，x），=（x﹣1，2），若，则x=．14．设=2，则tan（α+）=．15．已知函数f（x）=，则f已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤. 17．已知等差数列{a n}满足a1+a3=8，a2+a4=12．（Ⅰ）求数列{a n}的前n项和为S n；（Ⅱ）若++…+=，求n的值．18．某游戏为了了解某款游戏玩家的年龄情况，现随机调查100位玩家的年龄整理后画出频率分布直方图如图所示．（1）求100名玩家中各年龄组的人数，并利用所给的频率分布直方图估计该款游戏所有玩家的平均年龄；（2）若已从年龄在[35，45），[45，55）的玩家中利用分层抽样选取6人组成一个游戏联盟，现从这6人中选出2人，求这两人在不同年龄组的概率．19．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，AC=CC1=6，M是棱CC1上一点．（1）若M、N分别是CC1、AB的中点，求证：∥平面AB1M；（2）求证：不论M在何位置，三棱锥A1﹣AMB1的体积都为定值，并求出该定值．20．已知椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为，且经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：y=x+m与椭圆C相切，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l，求四边形F1MNF2的面积．21．已知函数f（x）=（ax﹣2）e x在x=1处取得极值．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）在[m，m+1]上的最小值；（Ⅲ）求证：对任意x1，x2∈[0，2]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，A，B，C为⊙O上的三个点，AD是∠BAC的平分线，交⊙O于点D，过B作⊙O的切线交AD的延长线于点E．（Ⅰ）证明：BD平分∠EBC；（Ⅱ）证明：AE•DC=AB•BE．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ﹣2sinθ，直线l的极坐标方程为2aρcosθ+2ρsinθ=1（a为常数）．（1）求直线l与圆C的普通方程；（2）若直线l分圆C所得两弧长度之比为1：2，某某数a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值X围．2016年某某某某市平罗中学高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|1≤x≤2}，B={x|x2﹣1≤0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{1}D．∅【考点】交集及其运算．【分析】根据集合的基本运算进行求解．【解答】解：B={x|x2﹣1≤0}={x|﹣1≤x≤1}则A∩B={1}，故选：C2．复数（i是虚数单位）的虚部为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数==1﹣2i的虚部为﹣2．故选：A．3．在下列函数中既是奇函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数为（）A． B．y=x﹣1C． D．y=x3+x【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】根据奇函数、偶函数的定义，和奇函数图象的对称性，以及函数y=x3和y=x的单调性即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．函数为偶函数，不是奇函数，∴该选项错误；B．反比例函数y=x﹣1是奇函数，且在（0，+∞）上单调递减，∴该选项正确；C．指数函数的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误；D．y=x3和y=x在区间（0，+∞）上都单调递增，∴y=x3+x在（0，+∞）上单调递增，∴该选项错误．故选B．4．如图所示的程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值，若输入，则输出的y值为（）A．2B． C．2﹣2πD．8【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出y=的值，由函数解析式进行求解即可．【解答】解：模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出y=的值，因为，所以．故选：C．5．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．5B．7C．9D．11【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列{a n}的性质，及a1+a3+a5=3，可得3a3=3，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：由等差数列{a n}的性质，及a1+a3+a5=3，∴3a3=3，∴a3=1，∴S5==5a3=5．故选：A．6．在△ABC，a=，b=，B=，则A等于（）A． B． C． D．或【考点】正弦定理．【分析】由a，b及sinB的值，利用正弦定理即可求出sinA的值，根据A的X围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．【解答】解：由正弦定理可得：sinA===∵a=＜b=∴∴∠A=，故选：B．7．“x＜1”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据对数函数的性质和充要条件的定义，分析判断“x＜1”⇒“”和“”⇒“x＜1”的真假，可得答案．【解答】解：当“x＜1”时，x可能小于等于0，此时“”无意义，当“”时，0＜x＜1，此时“x＜1”成立，故“x＜1”是“”的必要而不充分条件，故选：B．8．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b），若f（x）的图象如图所示，则函数g （x）=a x+b的图象大致为（）A． B． C． D．【考点】指数函数的图象变换；函数的零点与方程根的关系．【分析】根据题意，易得（x﹣a）（x﹣b）=0的两根为a、b，又由函数零点与方程的根的关系，可得f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的零点就是a、b，观察f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象，可得其与x轴的两个交点分别在区间（﹣∞，﹣1）与（0，1）上，又由a＞b，可得b＜﹣1，0＜a＜1；根据函数图象变化的规律可得g（x）=a X+b的单调性即与y轴交点的位置，分析选项可得答案．【解答】解：由二次方程的解法易得（x﹣a）（x﹣b）=0的两根为a、b；根据函数零点与方程的根的关系，可得f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的零点就是a、b，即函数图象与x轴交点的横坐标；观察f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象，可得其与x轴的两个交点分别在区间（﹣∞，﹣1）与（0，1）上，又由a＞b，可得b＜﹣1，0＜a＜1；在函数g（x）=a x+b可得，由0＜a＜1可得其是减函数，又由b＜﹣1可得其与y轴交点的坐标在x轴的下方；分析选项可得A符合这两点，BCD均不满足；故选A．9．已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为（）A．﹣2B．5C．6D．7【考点】简单线性规划．【分析】先画出约束条件的可行域，再将可行域中各个角点的值依次代入目标函数z=x﹣y，不难求出目标函数z=x﹣y的最小值．【解答】解：如图作出阴影部分即为满足约束条件的可行域，由得A（3，5），当直线z=x﹣y平移到点A时，直线z=x﹣y在y轴上的截距最大，即z取最小值，即当x=3，y=5时，z=x﹣y取最小值为﹣2．故选A．10．已知某棱锥的三视图如图所示，俯视图为正方形，根据图中所给的数据，那么该棱锥外接球的体积是（）A． B． C． D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由该棱锥的三视图判断出该棱锥的几何特征，以及相关几何量的数据，再求出该棱锥外接球的半径和体积．【解答】解：由该棱锥的三视图可知，该棱锥是以边长为的正方形为底面，高为2的四棱锥，做出其直观图所示：则PA=2，AC=2，PC=，PA⊥面ABCD，所以PC即为该棱锥的外接球的直径，则R=，即该棱锥外接球的体积V==，故选：C．11．已知函数的图象上相邻两个最高点的距离为π，若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称．则f（x）的解析式为（）A．f（x）=2sin（x+）B．f（x）=2sin（x+）C．f（x）=2sin（2x+）D．f（x）=2sin（2x+）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由周期求出ω，根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、三角函数的奇偶性，求出φ的值，可得函数的解析式．【解答】解：设f（x）=2sin（ωx+φ），∵函数的图象上相邻两个最高点的距离为π，∴=π，ω=2．若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，可得y=2sin[2（x+）+φ]的图象．根据所得图象关于y轴对称，可得+φ=，求得φ=，故选：C．12．如图，一竖立在水平对面上的圆锥形物体的母线长为4m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处，则该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于（）A．1mB． C． D．2m【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】作出该圆锥的侧面展开图，该小虫爬行的最短路程为PP'，由余弦定理求出．设底面圆的半径为r，求解即可得到选项．【解答】解：作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理可得，∴．设底面圆的半径为r，则有，∴．故C项正确．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．已知向量=（1，x），=（x﹣1，2），若，则x= 2或﹣1 ．【考点】平行向量与共线向量．【分析】利用向量平行的坐标关系解答．【解答】解：因为，所以1×2=x（x﹣1），解得x=2或者﹣1；故答案为：2或﹣1．14．设=2，则tan（α+）= ﹣2 ．【考点】同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正切函数．【分析】由已知可得tanα=3，用两角和的正切公式化简后代入即可求值．【解答】解：∵=2，∴cosα≠0， =2，解得tanα=3，∴tan（α+）==﹣2，故答案为：﹣2．15．已知函数f（x）=，则f=，∴f=f（0）=（）0=1．故答案为：1．16．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为﹣=1 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线方程，可得双曲线的焦点，即有c=6，再由渐近线方程可得a，b 的方程，解出a，b，进而得到双曲线的方程．【解答】解：由题意可得，抛物线y2=24x的准线为x=﹣6，双曲线的一个焦点为（﹣6，0），即有c=6，又=，36=a2+b2=4a2，a2=9，b2=27，则所求双曲线的方程为﹣=1．故答案为：﹣=1．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤. 17．已知等差数列{a n}满足a1+a3=8，a2+a4=12．（Ⅰ）求数列{a n}的前n项和为S n；（Ⅱ）若++…+=，求n的值．【考点】数列的求和；等差数列的前n项和．【分析】（Ⅰ）通过a1+a3=8，a2+a4=12与等差中项的性质可知a2=4，a3=6，进而可知公差及首项，利用等差数列的求和公式计算即得结论；（Ⅱ）通过（I）裂项可知=﹣，进而并项相加并与已知条件比较即得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵a1+a3=8，a2+a4=12，∴a2=4，a3=6，∴等差数列{a n}的公差d=a3﹣a2=6﹣4=2，首项a1=a2﹣d=4﹣2=2，∴数列{a n}是首项、公差均为2的等差数列，于是其前n项和为S n=2•=n（n+1）；（Ⅱ）由（I）可知， ==﹣，∴++…+=1﹣+﹣+…+﹣=，又∵++…+=，∴=，即n=999．18．某游戏为了了解某款游戏玩家的年龄情况，现随机调查100位玩家的年龄整理后画出频率分布直方图如图所示．（1）求100名玩家中各年龄组的人数，并利用所给的频率分布直方图估计该款游戏所有玩家的平均年龄；（2）若已从年龄在[35，45），[45，55）的玩家中利用分层抽样选取6人组成一个游戏联盟，现从这6人中选出2人，求这两人在不同年龄组的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由直方图可得各组年龄的人数，由直方图计算平均值的方法可得平均年龄；（Ⅱ）在[35，45）的人数为4人，记为a，b，c，d；在[45，55）的人数为2人，记为m，n．列举可得总的情况共有15种，“这两人在不同年龄组”包含8种，由古典概型概率公式可得．【解答】解：（Ⅰ）由直方图可得各组年龄的人数分别为10，30，40，20人；估计所有玩家的平均年龄为0.1×20+0.3×30+0.4×40+0.2×50=37岁；（Ⅱ）在[35，45）的人数为4人，记为a，b，c，d；在[45，55）的人数为2人，记为m，n．∴抽取结果共有15种，列举如下：（ab），（ac），（ad），（am），（an），（bc），（bd），（bm），（bn），（cd），（cm），（），（dm），（dn），（mn）设“这两人在不同年龄组”为事件A，事件A所包含的基本事件有8种，则，∴这两人在不同年龄组的概率为19．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，AC=CC1=6，M是棱CC1上一点．（1）若M、N分别是CC1、AB的中点，求证：∥平面AB1M；（2）求证：不论M在何位置，三棱锥A1﹣AMB1的体积都为定值，并求出该定值．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取AB1中点P，连结MP，NP，则四边形MP是平行四边形，得出∥MP，从而∥平面AB1M．（2）V=V=S•．只需证明⊥平面AB1BA1即可．【解答】证明：（1）取AB1中点P，连结MP，NP，∵P是AB1的中点，N是AB的中点，∴PN∥BB1，PN=，∵M是CC1的中点，∴CM∥BB1，CM=BB1，∴CM∥PN，CM=PN，∴四边形MP是平行四边形，∴∥MP，∵MP⊂平面AB1M，⊄AB1M，∴∥平面AB1M．（2）∵△ABC是等边三角形，∴⊥AB，∵BB1⊥平面ABC，PN∥BB1，∴PN⊥平面ABC，∵⊂平面ABC，∴PN⊥，又∵AB⊂平面ABB1A1，PN⊂平面ABB1A1，AB∩PN=N，∴⊥平面AB1BA1，∵==3．∴V=V=S•==18．∴不论M在何位置，三棱锥A1﹣AMB1的体积都为定值18．20．已知椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为，且经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：y=x+m与椭圆C相切，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l，求四边形F1MNF2的面积．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）将直线的方程y=x+m，代入椭圆C的方程，消去y，得到x的二次方程，运用直线和椭圆相切的条件：判别式为0，再由点到直线的距离公式，结合直角梯形的面积公式计算即可得到所求值．【解答】解：（1）由题意可得，又a2=b2+c2，所以，又点在该椭圆C上，所以．解得a2=4，b2=3．所以椭圆C的方程为；（2）将直线的方程y=x+m，代入椭圆C的方程3x2+4y2=12中，得7x2+8mx+4m2﹣12=0，由直线与椭圆C仅有一个公共点可知，△=64m2﹣28（4m2﹣12）=0，化简得，m2=7．由F1（﹣1，0），F2（1，0），设，，由直线l的斜率为1，可得|d1﹣d2|=|MN|，所以四边形F1MNF2的面积S=|d1﹣d2|（d1+d2）=|d12﹣d22|=•2|m|=|m|=．故四边形F1MNF2的面积为．21．已知函数f（x）=（ax﹣2）e x在x=1处取得极值．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）在[m，m+1]上的最小值；（Ⅲ）求证：对任意x1，x2∈[0，2]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求导数f′（x），由题意得f′（1）=0，可得a值，代入检验即可；（Ⅱ）当a=1时可求出f（x）的单调区间及极值点，按极值点在区间[m，m+1]的左侧、内部、右侧三种情况进行即可求得其最小值；（Ⅲ）对任意x1，x2∈[0，2]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e，等价于|f（x1）﹣f（x2）|≤f max （x）﹣f min（x）≤e．问题转化为求函数f（x）的最大值、最小值问题，用导数易求；【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=ae x+（ax﹣2）e x=（ax+a﹣2）e x，由已知得f′（1）=0，即（2a﹣2）e=0，解得：a=1，验证知，当a=1时，在x=1处函数f（x）=（x﹣2）e x取得极小值，所以a=1；（Ⅱ）f（x）=（x﹣2）e x，f′（x）=e x+（x﹣2）e x=（x﹣1）e x．x （﹣∞，1） 1 （1，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）减增所以函数f（x）在（﹣∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增．当m≥1时，f（x）在[m，m+1]上单调递增，f min（x）=f（m）=（m﹣2）e m．当0＜m＜1时，m＜1＜m+1，f（x）在[m，1]上单调递减，在[1，m+1]上单调递增，f min（x）=f（1）=﹣e．当m≤0时，m+1≤1，f（x）在[m，m+1]单调递减，．综上，f（x）在[m，m+1]上的最小值（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）=（x﹣2）e x，f′（x）=e x+（x﹣2）e x=（x﹣1）e x．令f′（x）=0得x=1，因为f（0）=﹣2，f（1）=﹣e，f（2）=0，所以f max（x）=0，f min（x）=﹣e，所以，对任意x1，x2∈[0，2]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤f max（x）﹣f min（x）=e，[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，A，B，C为⊙O上的三个点，AD是∠BAC的平分线，交⊙O于点D，过B作⊙O的切线交AD的延长线于点E．（Ⅰ）证明：BD平分∠EBC；（Ⅱ）证明：AE•DC=AB•BE．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）由BE是⊙O的切线，可得∠EBD=∠BAD，又∠CBD=∠CAD，∠BAD=∠CAD，从而可求∠EBD=∠CBD，即可得解．（2）先证明△BDE∽△ABE，可得，又可求∠BCD=∠DBC，BD=CD，从而可得，即可得解．【解答】解：（1）因为BE是⊙O的切线，所以∠EBD=∠BAD…又因为∠CBD=∠CAD，∠BAD=∠CAD…所以∠EBD=∠CBD，即BD平分∠EBC．…（2）由（1）可知∠EBD=∠BAD，且∠BED=∠BED，有△BDE∽△ABE，所以，…又因为∠BCD=∠BAE=∠DBE=∠DBC，所以∠BCD=∠DBC，BD=CD…所以，…所以AE•DC=AB•BE…．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ﹣2sinθ，直线l的极坐标方程为2aρcosθ+2ρsinθ=1（a为常数）．（1）求直线l与圆C的普通方程；（2）若直线l分圆C所得两弧长度之比为1：2，某某数a的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出直线l的普通方程和圆C的普通方程．（2）由直线l分圆C所得两弧长度之比为1：2，得到圆心C（2，﹣1）到直线2ax+2y﹣1=0的距离为半径一半，由此能求出a．【解答】解：（1）∵直线l的极坐标方程为2aρcosθ+2ρsinθ=1（a为常数），∴直线l的普通方程为2ax+2y﹣1=0．∵圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ﹣2sinθ，∴ρ2=4ρcosθ﹣2ρsinθ，∴圆C的普通方程为：x2+y2﹣4x+2y=0．（2）∵圆C：x2+y2﹣4x+2y=0的圆心C（2，﹣1），半径r==，直线l分圆C所得两弧长度之比为1：2，∴直线l截圆C所得的弦|AB|所对圆心角为120°，∴圆心C（2，﹣1）到直线2ax+2y﹣1=0的距离为半径一半，即d==，解得a=或a=2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值X围．【考点】其他不等式的解法；函数的定义域及其求法．【分析】（1）由题设知：|x+1|+|x﹣2|＞7，解此绝对值不等式求得函数f（x）的定义域．（2）由题意可得，不等式即|x+1|+|x﹣2|≥m+4，由于x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥3，故m+4≤3，由此求得m的取值X围．【解答】解：（1）由题设知：|x+1|+|x﹣2|＞7，不等式的解集是以下不等式组解集的并集：，或，或，解得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）．（2）不等式f（x）≥2即|x+1|+|x﹣2|≥m+4，∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R，∴m+4≤3，m的取值X围是（﹣∞，﹣1]．。
2024届山西省高考一模数学试题(解析版)
数学姓名__________准考证号__________注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm 的黑色笔迹签字笔写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量()()1,1,1,1a m b m =+=-，且a b ⊥，则m =（）A.1B.1- C. D.0【答案】D 【解析】【分析】利用平面向量数量积的坐标表示计算即可.【详解】由题意知()()21110a b m m m ⋅=+⨯-+== ，所以0m =.故选：D2.已知集合{}{}1,1,0,1,2,4A B =≤=-，则图中阴影部分表示的集合为（）A.{}1 B.{}1,1- C.{}0,1 D.{}1,0,1-【答案】C 【解析】【分析】先求得集合A ,根据图示计算出A B ⋂即可.【详解】结合题意图中阴影部分表示的集合为A B ⋂，因为{}1A x=≤，根据幂函数的性质：y =为增函数，且0x ≥，1≤，所以有：01x ≤≤，所以{}|01A x x =≤≤，又{}1,0,1,2,4B =-，所以{}0,1A B = .故选：C3.设命题:R,x p x a kx ∃∈>，则p ⌝为（）A.R,x x a kx ∀∈>B.R,x x a kx ∃∈≤C.R,x x a kx ∀∈≤D.R,x x a kx∃∈=【答案】C 【解析】【分析】根据存在量词命题的否定形式判定即可.【详解】由题意可知:R,x p x a kx ⌝∀∈≤.故选：C4.某学校高三年级组在每次考试后将全年级数学成绩的第85百分位数定为“优秀”分数线.某次考试后，张老师将自己所带100名学生的数学成绩录入计算机，并借助统计软件制作成如图所示的频率分布直方图.据此，以样本估计总体，可知此次考试的“优秀”分数线约为（）A.120B.123C.126D.129【答案】D 【解析】【分析】根据频率分布直方图，求出张老师将自己所带100名学生的数学成绩第85百分位数，以样本估计总体，即可求解.【详解】样本中[)120,135，[)135,150两个小组的频率分别为1150.2075´=，7150.071500´=，由于0.200.070.270.15+=>，故第85百分位数位于[)120,135内，设其为x ，则()10.071350.1575x +-=，解得129x =，由样本估计总体，可知此次考试的“优秀”分数线约为129.故选：D5.已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点，经过1F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，若223,4,5AF AB BF ===，则椭圆C 的离心率为（）A.22B.33C.12D.55【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆定义求出2a ，根据2ABF △边长确定290BAF ∠=︒，进而求出2c ，即可求解椭圆离心率.【详解】由题意结合椭圆定义可知：2ABF △的周长为124a =，26a =，又因为2222291625AF AB BF +=+==，所以290BAF ∠=︒，又由23AF =，知1223AF a AF =-=，故1212c F F ===，因此椭圆C 的离心率为2262c e a ===.故选：A6.已知数列{}n a 满足1121n n n n a a a a ++=--，且13a =，则2024a =（）A.15B.4- C.54D.23【答案】B 【解析】【分析】由递推公式列举数列的若干项，观察规律，利用数列的周期性计算即可.【详解】由题意可知22232314a a a =--⇒=-，同理312a =-，45678125,,,3,4534a a a a a =====- ，即{}n a 是以6为周期的数列，所以20246337224a a a ⨯+===-.故选：B7.已知函数()f x 是定义在{}0xx ≠∣上不恒为零的函数，若()()()22f x f y f xy yx=+，则（）A.()11f =B.()11f -=C.()f x 为偶函数 D.()f x 为奇函数【答案】C 【解析】【分析】根据题意，令x 、y 取特殊值逐一验证四个选项即可.【详解】令1x y ==，则()()121f f =，故()10f =，A 选项错误；令1x y ==-，则()()121f f =-，故()10f -=，B 选项错误；令1y =-，则()()()()21f f x f x f x x--=+=，故()f x 为偶函数，C 选项正确；因为()f x 为偶函数，又函数()f x 是定义在{}0xx ≠∣上不恒为零的函数，D 选项错误.故选：C8.如图，在体积为1的三棱锥A BCD -的侧棱,,AB AC AD 上分别取点,,E F G ，使::1:1,:2:1AE EB AF FC AG GD ===，记O 为平面BCG ､平面CDE ､平面DBF 的交点，则三棱锥O BCD -的体积等于（）A.14B.15C.16D.17【答案】B 【解析】【分析】先画出图形确定O 的位置，将三棱锥O BCD -的体积，转化为线段的长度比，充分利用直线的平行进行推导，求出比例即可．【详解】如图所示，假设,ED BG J CG DF I == ，连接,BI CJ ，易知BI CJ O = ，在ABD △中，设,GJ GB EJ ED λμ==，所以()2221333AJ AG GJ AD AB AD AB AD λλλ⎛⎫=+=+-=+- ⎪⎝⎭，()1111222AJ AE ED AB AD AB AB AD μμμμ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭，则()()1112421132λμλλμμ⎧⎧=-=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪-==⎪⎪⎩⎩，即14GJ GB =，同理14GI GC =，则1445JI BO BC BI =⇒=，设,,,O I G A 到底面的距离分别为,,,O I G A h h h h ，则4311,,5435O G O I I G A A h h h h h h h h ===⇒=，所以15O BCD O A BCD A V h V h --==.故选：B【点睛】思路点睛：先根据平面性质确定交点位置，再由平面向量的线性运算计算线段比例关系得出棱锥高的比例关系即可.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数13i,z z =-+是z 的共轭复数，则（）A.32i z +-=B.z 的虚部是3iC.z 在复平面内对应的点位于第二象限D.复数z 是方程2280x x ++=的一个根【答案】AC 【解析】【分析】利用复数的定义、模长公式、几何意义、共轭复数定义与方程的解法一一判定选项即可.【详解】由题意可知32i 2i z +-=+，所以32i z +-=，故A 正确；易知z 的虚部是3，故B 错误；z 在复平面内对应的点为()1,3-，位于第二象限，故C 正确；对于2228012x x x -±++=⇒==-±，显然13i z =--不符合题意，故D 错误.故选：AC10.已知函数()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则（）A.当12ω=时，函数()f x 的周期为4πB.函数()f x 图象的对称轴是ππ,6k x k ωω=+∈Z C.当12ω=时，5π3x =是函数()f x 的一个最大值点D.函数()f x 在区间()0,1内不单调，则5π6ω>【答案】ACD 【解析】【分析】由正弦函数的周期，对称性及最大值判断ABC ，由导函数等于0有解判断D.【详解】对A ，当12ω=时，函数()f x 的周期为2π4πω=，故A 正确；对B ，令πππ32x k ω-=+，得5ππ,6k x k ωω=+∈Z ，故函数()f x 图象的对称轴是5ππ,6k x k ωω=+∈Z ，故B 错误；对C ，当12ω=时，()1π5πsin ,1233f x x f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为最大值，故5π3x =是函数()f x 的一个最大值点，故C 正确；对D ，函数()f x 在区间()0,1内不单调，则()πcos 03f x x ωω⎛⎫=-= ⎪⎝⎭'在()0,1有解，且左右函数值异号，令πππ,333t x ωω⎛⎫=-∈-- ⎪⎝⎭，则2ππ3ω->，解得5π6ω>，故D 正确.故选：ACD.11.群的概念由法国天才数学家伽罗瓦（1811-1832）在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学､晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.设G 是一个非空集合，“ ”是一个适用于G 中元素的运算，若同时满足以下四个条件，则称G 对“ ”构成一个群：（1）封闭性，即若,a b G ∈，则存在唯一确定的c G ∈，使得c a b = ；（2）结合律成立，即对G 中任意元素,,a b c 都有()()a b c a b c = ；（3）单位元存在，即存在e G ∈，对任意a G ∈，满足a e e a a == ，则e 称为单位元；（4）逆元存在，即任意a G ∈，存在b G ∈，使得a b b a e == ，则称a 与b 互为逆元，b 记作1a -.一般地，a b 可简记作,ab a a 可简记作22,a a a 可简记作3a ，以此类推.正八边形ABCDEFGH 的中心为O .以e 表示恒等变换，即不对正八边形作任何变换；以r 表示以点O 为中心，将正八边形逆时针旋转π4的旋转变换；以m 表示以OA 所在直线为轴，将正八边形进行轴对称变换.定义运算“ ”表示复合变换，即f g 表示将正八边形先进行g 变换再进行f 变换的变换.以形如(,pqr m p q ∈N ，并规定)00r m e ==的变换为元素，可组成集合G ，则G 对运算“ ”可构成群，称之为“正八边形的对称变换群”，记作8D .则以下关于8D 及其元素的说法中，正确的有（）A.28mr D ∈，且22mr r m =B.3r m 与5r m 互为逆元C.8D 中有无穷多个元素D.8D 中至少存在三个不同的元素，它们的逆元都是其本身【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意，对选项逐一运算可得结果.【详解】我们有：1 由于两次轴对称等价与不变换，故2m e =；由于旋转45 施行8次等价于旋转360 也就是不变，故8r e =；由于先旋转再关于OA 对称和先关于OA 对称再旋转等效，故rm mr =.2 8D 一共是16个元素，变换后ABCDEFGH 逆时针排列的有8个，顺时针排列的有8个.这就说明：22mr r m =，A 正确；()()353528r m r m r r mr e ===，B 正确；8D 一共是16个元素，C 错误；8D 中，()()()22484428,,m e r r e mr mr m r e =====，D 正确.故选：ABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若一个底面半径为1，高为2的圆柱的两个底面的圆周都在球O 的表面上，则球O 的表面积为__________．【答案】8π【解析】【分析】画出组合体的轴截面图，根据轴截面图可知，利用勾股定理可计算出球的半径，进而求得球的表面积.【详解】画出组合体的轴截面图如下图所示，其中BC 是球的半径，AB 是圆柱底面半径，AC 是圆柱高的一半，故222112BC AC AB =+=+=，所以球的表面积为24π8πBC ⋅=.【点睛】本小题主要考查球的表面积计算，考查圆柱和球的组合体问题的求解方法，属于基础题.13.甲､乙､丙､丁､戊､己六位同学中考语文､数学､外语的成绩如下表：甲乙丙丁戊己语文108110115110118107数学110120112111100118外语110100112114110113将每人中考成绩最高的科目认定为他的“最擅长科目”，例如甲的最擅长科目为数学和外语.现从这六位同学中选出三人分别担任语文､数学､外语三个科目的科代表（每科一人，不可兼任），若每个科代表对应的科目都是他的最擅长科目，则符合要求的安排方法共有__________种.【答案】10【解析】【分析】由表格先确定六人各自擅长科目，再分类讨论即可.【详解】由表格可知：甲最擅长科目为数学和外语，乙为数学，丙为语文，丁为外语，戊为语文，己为数学.则语文可从丙、戊两位同学选，数学可从甲乙己三位同学选，外语可从甲丁两位同学选，C C4=种选法；若甲不为课代表，则只需选语文、数学科目代表即可，有1122C2=选法；若甲为课代表，则①甲为数学课代表，只需选语文课代表即可，有12C C4=种选法；②甲为外语课代表，只需选语文、数学课代表即可，有有1122综上所述，共有10种方案.故答案为：1014.已知()()1122,,,A x y B x y 为抛物线28y x =上两个不同的动点，且满足1216y y =-，则112222x y x y +++++的最小值为__________.【答案】6【解析】【分析】根据点A 、B 在抛物线上，化112222x y x y +++++为22121248y y y y ++++，设出直线AB 方程，利用韦达定理化简22121248y y y y ++++得到一元二次函数，即可求出最小值.【详解】由()11,A x y 在抛物线28y x =上可知：2118y x =，所以()2211111422088y y x y y +++=++=≥；同理可得：222222208y x y y ++=++≥，故22121122122248y y x y x y y y ++++++=+++①，设直线AB 方程为x my n =+，直线与抛物线联立，有：28x my ny x=+⎧⎨=⎩消去x 整理有：2880y my n --=，由韦达定理有：128y y m +=，又1216y y =-，故①式化为：221888862m m m ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭，故：112222x y x y +++++的最小值为6.故答案为：6【点睛】关键点点睛：要求112222x y x y +++++的最小值，关键在于结合点在曲线上，化112222x y x y +++++为22121248y y y y ++++，再利用韦达定理进一步化简成一元二次函数求最值.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.ABC 中角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其面积为S ，且2224S b c a =+-.（1）求A ；（2）已知a =S 的取值范围.【答案】（1）π4A =（2）02S <≤+【解析】【分析】（1）根据面积公式以及余弦定理即可求解tan 1A =，进而可求解π4A =，（2）根据余弦定理结合不等式即可求解.【小问1详解】因为三角形的面积为222441sin 2bc A S b c a ==+-⨯，则222sin cos 2b c a A A bc+-==，所以tan 1A =，又(0,π)A ∈，则π4A =；【小问2详解】由于2222cos 22b c a A bc +-==，所以22828b c bc +-=≥-，即(288bc bc -≤⇒≤+b c =取等号，故(11212sin 8222222S bc A ==⨯≤⨯+=，故02S <≤+16.如图，在三棱台111ABC A B C -中，平面11ABB A ⊥平面11111π,,4,2,2AB C BB AB AB AA AB BAC ∠⊥====.（1）证明：AC ⊥平面11ABB A ；（2）若直线BC 与11B C 距离为3，求平面11ABB A 与平面11BCC B 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而可得线线垂直，进而可求，（2）根据线面垂直的性质，结合平面夹角的几何法，即可求解1AB C ∠即为平面11ABB A 与平面11BCC B 所成角或其补角，根据三角形的边角关系求解长度即可求解.【小问1详解】由于平面11ABB A ⊥平面1,AB C 且交线为1AB ,又111,BB AB BB ⊥⊂平面11ABB A ，所以1BB ⊥平面1,AB C AC ⊂平面1,AB C 故1BB AC ⊥，又11,,,AB AC AB BB B AB BB ⊥⋂=⊂平面11ABB A ,故AC ⊥平面11ABB A 【小问2详解】由（1）知1BB ⊥平面1,AB C 1CB ⊂平面1,AB C 故1BB ⊥1CB ，又11,BB AB ⊥1AB ⊂平面11ABB A ,1CB ⊂平面11BCC B ,所以1AB C ∠即为平面11ABB A 与平面11BCC B 所成角或其补角，过1B 作1B D BC ⊥于D ,由于直线BC 与11B C 距离为3，故13B D =，由于111,4,2BB AB AB AB ⊥==，故1BB ==在直角三角形1BB D中，111sin 2B D DBB BB ∠==,故1π3DBB ∠=，故在直角三角形1BB C中，111tan 6B C BB DBB =∠==，（1）知AC ⊥平面11ABB A ，1AB ⊂平面11ABB A 故1AB AC ⊥，所以1Rt AB C △中，11121cos 63B A ABC CB ∠===17.某次比赛中，甲乙二人进入决赛并争夺冠军.比赛规则为：①每局比赛后，胜者获得3分，负者获得1分，比赛没有平局；②连续2局获胜或积分率先达到11分者可获得冠军，比赛结束.已知在单局比赛中，甲乙获胜的概率均为12.（1）求甲乙决出冠军时比赛局数X 的分布列与数学期望()E X ；（2）求在甲获得冠军的条件下其积分达到11分的概率P .【答案】（1）分布列见解析；()238E X =（2）18【解析】【分析】（1）根据比赛规则，分析比赛可能出现的各种情况，确定X 的取值，进而求出X 的分布列与数学期望；（2）根据条件概率公式求出()()()()()P BC P BC P BC P BC P BC +++即可.【小问1详解】由比赛规则可知，1局比赛后，甲乙双方共获得4分，若比赛进行了4局还未结束，则双方共计16分，此时双方均为8分，则第5局比赛后必定有一人积分可达到11分，故比赛次数不会超过5；由比赛规则可知，若比赛共进行了n 局，()25n ≤≤，则前n 1-局不可能出现某人连胜2次（否则2连胜后比赛结束），故前n 1-局必定甲乙二人胜负交替，综上可知：比赛决出冠军时，二人比赛过程中的胜负情况有以下三种可能：第一，比赛进行n 局()24n ≤≤，前n 1-局二人胜负交替，第n 局与第n 1-局胜者相同，此人达成2连胜并获得冠军（其积分不超过33110⨯+=，故未达11分）；第二，比赛进行了5局，二人始终胜负交替，其中第5局获胜者获得11分，另一方9分，此时获胜者仅积分率先达到11分并获得冠军；第三，比赛进行了5局，前4局二人胜负交替，但第4局的获胜者在第5局连续获胜，则他同时完成2连胜且积分率先达到11分并获得冠军.即随机事件=i A “第i 局比赛中甲获胜”{}1,2,3,4,5i ∈，B =“甲达成2连胜”，C =“甲先获得11积分”；根据题意，X 的可能取值为2,3,4,5()()()2212121112222P X P A A P A A ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()331231231113224P X P A A P A A A ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()44123412341114228P X P A A A A P A A A A ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()11115123412488P X P X P X P X ==-=-=-==---=.于是X 的分布列为：X2345P12141818故()111123234524888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=；【小问2详解】根据以上分析可知：()()()()234121231234111722216P BC P A A P A A P A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()51234511232P BC P A A A ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()()51234511232P BC P A A A A ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故()()()()()()()()()1113232|7118163232P BC P BC P C P P C B C P B C P BC P BC P BC ++=⋃===⋃++++.18.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>经过点()3,2A ，其右焦点为F ，且直线2y x =是C 的一条渐近线.（1）求C 的标准方程；（2）设(),M m n 是C 上任意一点，直线22:1mx nyl a b -=.证明：l 与双曲线C 相切于点M ；（3）设直线PT 与C 相切于点T ，且0FP FT ⋅=，证明：点P 在定直线上.【答案】（1）221832x y -=（2）证明过程见解析（3）证明过程见解析【解析】【分析】（1）由题意得229412a bb a⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解出,a b 的值即可；（2）一方面(),M m n 是C 上任意一点，从而可得出它也在直线22:1mx nyl a b -=上面，联立椭圆方程，消元后得到一个一元二次方程，证明判别式等于0即可；（3）由（2）中结论，设出点的坐标，可得432nq mp =-，由向量数量积公式化简得-=-0-≠即可得证.【小问1详解】因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>经过点()3,2A ，且直线2y x =是C 的一条渐近线，所以229412a b b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得228,32a b ==，所以C 的标准方程为221832x y -=；【小问2详解】首先设(),M m n 是C 上任意一点，所以有222222221832m n m n m n m n a b a b ⋅-⋅=-=-=，这表明了点(),M m n 也在直线l 上，也可以得到22432m n -=，联立直线l 的方程与椭圆C 的方程有2218321832x y mx ny ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，化简并整理得()222246425680n mxmx n -+--=，而224320n m -=-≠，且()()()()2222222Δ6444832643240m n mnm m =+-⨯+=-⨯=，这也就是说l 与双曲线C 相切于点M ；【小问3详解】不妨设()(),,,T m n P p q ，由（2）可知过点T 的直线PT 的方程为1832mx ny -=，因为点(),P p q 在直线1832mx ny -=上，所以1832mp nq-=，即有432nq mp =-，又2240a b +=，从而()F ，所以()(),FP p q FT m n =-=-，若0FP FT ⋅=，则()40432FP FT p m qn pm p m pm ⋅=--+=-+++-)580pm p m =-++=，-=-，因为m a ≥=2105m ≠=0-≠，从而5p ==，所以点P 在定直线上2105x =上.19.已知0a >，且1a ≠，函数()()ln 11xf x a x =++-.（1）记()()ln 1,n n a f n n n S =-++为数列{}n a 的前n 项和.证明：当89a =时，642024S <；（2）若1ea =，证明：()0xf x ≥；（3）若()f x 有3个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）直接利用等差数列、等比数列的求和公式计算即可；（2）利用导数研究()e 1xx -+的单调性与最值判定()f x 的单调性即可证明；（3）分段讨论函数的单调性，结合零点存在性定理及极限思想计算即可.【小问1详解】由题意可知89a =时，()()88ln 11ln 1199n nn a n n n n ⎛⎫⎛⎫=++--++=+- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以()64126644881998880126412016899919S ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++++++++-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭- 6484202920428⎛⎫=⎪⎭<-⨯ ⎝；【小问2详解】易知1e a =时，()()()()()()e 1111ln 111e 1e e 1xx x x x f x x f x x x x +'=++-⇒=--=>-++，令()()()()1e 1e 1xxg g x x x x '=->⇒=+--，显然()1,0x ∈-时，()()0,0,g x x '<∈+∞时，()0g x '>，即()g x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，故()()()000g x g f x '≥=⇒≥，所以()f x 在()1,-+∞上单调递增，又()00f =，所以()1,0x ∈-时，()()0,0,f x x <∈+∞时，()0f x >，故()0xf x ≥；【小问3详解】①若1a >，易知()f x 定义域上为单调递增函数，不会有三个零点，不符题意；②若1,1e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，则()1,0x ∈-时，1e x x a <，x ∈()0,∞+时，1exx a >，由（2）可知：()1,0x ∈-时，()()1ln 110e xf x x <++-<，()0,x ∈+∞时，()()1ln 110ex f x x >++->，且()00f =，则函数()f x 只有一个零点，不符题意；③由（2）知，1ea =时，()f x 在()1,-+∞上单调递增，也不符题意；④若10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()()()1111ln 111ln 11xxx x a a a f x x x x a a -⎛⎫⎛⎫⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'=+=>-+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()()(),l 1111111e 1n ,ln x xh x x x a a a a a h x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+>>- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭'-⇒⎭⎝-⎝⎝⎭=，显然()1,0x ∈-时，()()0,0,h x x ∞<∈+'时，()0h x '>，即()h x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，注意到()()10,01ln 0h a h a -=>=+<，(),0x h x →+∞>，所以()()121,0,0,x x ∃∈-∈+∞使得()()120h x h x ==，即()f x 在()11,x -和()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减，又1x →-时，()f x →-∞，()()()1200f x f f x >=>，(),0x f x →+∞>，所以在区间()()121,,,x x -+∞各存在一个零点，及0x =也是一个零点，符合题意；综上10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.【点睛】思路点睛：对于第三问，先讨论1a >，此时函数单调递增，排除；结合（2）再讨论1,ea 的大小关系，首先注意到1,1e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由1,ex x a 的大小关系及（2）的结论放缩下从而确定不符题意，再利用隐零点及零点存在性定理、极限思想来确定10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时符合题意即可.。
2020届 广东省广州市 高三3月阶段训练(一模)数学(文)试题(解析版)
2020届广东省广州市高三3月阶段训练（一模）数学（文）试题一、单选题1．已知复数z i =()1i +，则z =（ ）A ．12B C ．1 D【答案】D【解析】根据复数模的性质直接计算即可. 【详解】(1)z i i =+Q ,|||(1)||||1|z i i i i ∴=+=+=,故选：D 【点睛】本题主要考查了复数模的性质，属于容易题.2．已知集合{}0,1,2,3A =，}{1,0,1B =-，P A B =⋂，则P 的子集共有（ ） A ．2个 B ．4个C ．6个D ．8个【答案】B【解析】由交集运算求出集合P ，写出所有子集即可. 【详解】{}0,1,2,3A =Q ，}{1,0,1B =-，{0,1}P A B ∴=⋂=，∴P 的子集有,{0},{1},{0,1}φ共4个，故选：B 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，子集的概念，属于容易题.3．设向量a r (),1=m ，b r ()2,1=-，且a b ⊥r r，则m =（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．2【答案】C【解析】根据向量垂直则数量积为0直接计算即可求解. 【详解】 a b ⊥r r Q ,()(),12,1210a b m m ∴⋅=⋅-=-=r r,解得12m =， 故选：C 【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，向量垂直的性质，属于容易题.4．已知{}n a 是等差数列，35a =，2467a a a -+=，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】D【解析】根据条件，联立方程组，即可求出公差. 【详解】{}n a Q 是等差数列，35a =，2467a a a -+=,112537a d a d +=⎧∴⎨+=⎩解得2d =， 故选：D 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了计算能力，属于容易题. 5．已知命题p ：x ∀∈R ，210x x -+<；命题 q ：x ∃∈R ，23x x >，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝【答案】B【解析】分别判断两个命题p ， q 的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可． 【详解】对于命题p ，取1x =时，10<不成立，故命题p 为假命题， 对于命题q ，1x =-时，23(1)(1)->-成立，故命题 q 为真命题，所以p q ∧为假命题，p q ⌝∧为真命题，p q ∧⌝为假命题，p q ⌝∧⌝为假命题， 故选：B 【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的判断，结合条件判断命题p ，q 的真假是解决本题的关键.6．已知偶函数()f x 满足()()20f x x x x=->，则()}{21x f x +>=（ ） A ．{4x x <-或}0x > B ．{0x x <或}4x > C ．{2x x <-或}2x > D ．{2x x <-或}4x >【答案】A【解析】根据题意可得函数的单调性,将所求不等式转化为()|2|(2)1f x f +>=，则有|2|2x +>，求解即可.【详解】0x Q >时，()2f x x x=-，2(2)212f ∴=-=，Q 函数()f x 为偶函数，()2(|2|)1(2)f x f x f ∴+=+>=，Q 当0x >时，()2f x x x=-为增函数， |2|2x ∴+>，解得0x >或4x <- 故选：A 【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及指数不等式的解法，属于基础题. 7．如图，圆O 的半径为1，A ，B 是圆上的定点，OB OA ⊥，P 是圆上的动点， 点P 关于直线OB 的对称点为P '，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，将OP OP '-u u u r u u u r表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[]0,π上的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据图象分析变化过程中在关键位置及部分区域，即可排除错误选项，得到函数图象，即可求解. 【详解】由题意，当0x =时，P 与A 重合，则P '与B 重合，所以||2OP OP BA '-==u u u r u u u r u u u r,故排除C,D 选项；当02x π<<时，||2sin()2cos 2OP OP P P x x π''-==-=u u u r u u u r ，由图象可知选B.故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键,属于中档题.8．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ）A ．()722+πB ．()1022+πC ．()1042+πD ．()1142+π【答案】C【解析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可， 【详解】由题意可知几何体的直观图如图：上部是底面半径为1，高为3的圆柱，下部是底面半径为2，高为2的圆锥, 几何体的表面积为：1442223(1042)2ππππ+⨯⨯⨯=+， 故选：C 【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键.9．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ，设地球半径为R ，该卫星近地点离地面的距离为r ，则该卫星远地点离地面的距离为（ ） A ．1211e er R e e ++-- B ．111e er R e e ++-- C ．1211e er R e e-+++ D ．111e er R e e-+++ 【答案】A【解析】由题意画出图形，结合椭圆的定义，结合椭圆的离心率,求出椭圆的长半轴a,半焦距c,即可确定该卫星远地点离地面的距离. 【详解】椭圆的离心率：=(0,1)ce a∈，（ c 为半焦距; a 为长半轴），设卫星近地点，远地点离地面距离分别为r ，n ，如图：则,n a c R r a c R =+-=--所以1r R a e +=-,()1r R ec e+=-, ()121111r R e r R e en a c R R r R e e e e+++=+-=+-=+----故选：A 【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的求法，注意半焦距与长半轴的求法,是解题的关键，属于中档题.10．已知函数()ln 1f x x a x =--存在极值点，且()0f x ≤恰好有唯一整数解，则实数a 取值范围是（ ） A ．(),1-∞ B ．()0,1C ．10,ln 2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,ln 2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据函数有极值点可得0a <，()0f x ≤有唯一整数解可转化为1(1)ln x x a -≤有唯一整数解，令1()(1)g x x a=-，()ln h x x =，只需满足(2)2g h >（）即可求解. 【详解】()1af x x '=-Q (0)x >，且()ln 1f x x a x =--存在极值点 ()10af x x'∴=-=有正根，可得0a >，()0f x ≤Q 恰好有唯一整数解， 即1(1)ln x x a-≤恰好有唯一整数解， 令1()(1)g x x a=-，()ln h x x =，因为(1)1=g h =（）0， 所以只需满足(2)2g h >（）即可，解得10ln 2a <<， 故选：C 【点睛】本题主要考查了函数的极值，利用转化思想处理不等式有唯一整数解，属于中档题.11．已知1F ，2F 是双曲线222:1xC y a-=()0a >的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于A ，B 两点，若AB =2ABF 的内切圆的半径为（ ）A ．3B C ．3D 【答案】B【解析】设左焦点1F 的坐标， 由AB 的弦长可得a 的值，进而可得双曲线的方程，及左右焦点的坐标，进而求出三角形ABF 2的面积，再由三角形被内切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得内切圆的半径. 【详解】由双曲线的方程可设左焦点1(,0)F c -，由题意可得22b AB a==，由1b =，可得a =所以双曲线的方程为: 2212x y -=所以12(F F ，所以2121122ABF S AB F F =⋅⋅==V 三角形ABF 2的周长为()()22112242C AB AF BF AB a AF a BF a AB =++=++++=+==设内切圆的半径为r ，所以三角形的面积11623222S C r r r =⋅⋅=⋅⋅=， 所以326r =，解得3r =， 故选：B 【点睛】本题考查求双曲线的方程和双曲线的性质及三角形的面积的求法，内切圆的半径与三角形长周长的一半之积等于三角形的面积可得半径的应用，属于中档题.12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别是棱AD ，1CC ，11C D 的中点，给出下列四个命题: ①1EF B C ⊥;② 直线FG 与直线1A D 所成角为60︒;③ 过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形; ④ 三棱锥B EFG -的体积为56. 其中，正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】画出几何体的图形，然后转化判断四个命题的真假即可． 【详解】 如图；连接相关点的线段，O 为BC 的中点，连接EFO ，因为F 是中点，可知1B C OF ⊥，1EO B C ⊥，可知1B C ⊥平面EFO ，即可证明1B C EF ⊥，所以①正确；直线FG 与直线1A D 所成角就是直线1A B 与直线1A D 所成角为60︒；正确； 过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为五边形；如图：是五边形EHFGI ．所以③不正确； 如图：三棱锥B EFG -的体积为： 由条件易知F 是GM 中点， 所以B EFG B EFM F BEM V V V ---==, 而=2311522131=2222BEM ABE EDM ABMD S S S S ∆∆+⨯-⨯⨯-⨯-⨯=-梯形， 1551326F EBMV -=⨯⨯=．所以三棱锥B EFG -的体积为56，④正确； 故选：C ． 【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及空间几何体的体积，直线与平面的位置关系的应用，平面的基本性质，是中档题．二、填空题13．已知函数()y f x =的图像与2x y =的图像关于直线y x =对称，则()4f =________. 【答案】2【解析】根据函数图像之间的关系知()y f x =与2x y =互为反函数，求解析式计算即可. 【详解】因为函数()y f x =的图像与2x y =的图像关于直线y x =对称， 所以()y f x =是2x y =的反函数， 即2()log f x x =， 所以()24log 42f ==，故答案为：2 【点睛】本题主要考查了反函数的性质，反函数的求法，属于容易题.14．设x ，y 满足约束条件13,02,x x y ≤≤⎧⎨≤+≤⎩则2z x y =-的最小值为__________.【答案】1-【解析】先根据条件画出可行域，设2z x y =-，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y 轴上的截距最大，只需求出直线2z x y =-，取得截距的最小值，从而得到z 最小值即可． 【详解】由约束条件得到如图可行域，由目标函数2z x y =-得到1122y x z =-； 当直线经过A 时，直线在y 轴的截距最大，使得z 最小，由12x x y =⎧⎨+=⎩得到(1,1)A ，所以z 的最小值为1211-⨯=-； 故答案为：1-． 【点睛】本题考查了简单线性规划问题；借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定． 15．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为_________. 【答案】19【解析】分别计算出选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛的基本事件总数和满足1A 和1B 两人组成一队的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案 【详解】从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，共有22339C C =，选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛有11224C C =，故总的事件个数为9436⨯=种，其中1A 和1B 两人组成一队有11224C C =种，故则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为41369=， 故答案为：19． 【点睛】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．16．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若1122n n n S a --=，则34a a +=_____________，数列{}2n n a a +-的前n 项和n T =______________. 【答案】18-11122n +- 【解析】（1）根据n S 与n a 的关系即可推导出112n n n a a ++=-，令3n =即可求解； （2）由（1）知112n n n a a ++=-，利用上式可得2112n n n a a ++-=，由等比数列求和公式即可求解. 【详解】1122n n n S a --=Q , 11122n nn S a ++∴-=,两式相减可得：11122n n n na a a ++-+=-， 即112n n n a a ++=-， 所以3431128a a +=-=-，由112n n n a a ++=-可得21112n n n a a ++++=-，两式相减可得：211111222n n n n n a a +++-=-+=，{}2n n a a +∴-是以14为首项，12为公比的等比数列，111(1)114212212n n n T +-∴==--， 故答案为：18-，11122n +-【点睛】本题主要考查了数列的递推关系，n S 与n a 的关系，等比数列的求和公式，属于较难题.三、解答题17．某企业质量检验员为了检测生产线上零件的情况，从生产线上随机抽取了80个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：mm ），得到如下的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求这80个零件尺寸的中位数（结果精确到0.01）； （2）已知尺寸在[)63.0,64.5上的零件为一等品，否则为二等品. 将这80个零件尺寸的样本频率视为概率，从生产线上随机抽取1个零件，试估计所抽取的零件是二等品的概率.【答案】（1）63.47（2）0.2【解析】（1）由频率分布直方图中中位数两边频率相等，即可求出中位数的大小； （2）计算尺寸在[63.0，64.5)外的频率，用频率估计概率，即可得出结论． 【详解】（1）由频率分布直方图的性质得：(0.0750.225)0.50.15+⨯=，0.150.750.50.525+⨯=，所以中位数在[63.0，63.5)内，设为a ， 则0.15(63.0)0.750.5a +-⨯=， 解得63.47a ≈，所以估计中位数为63.47；（2）尺寸在[63.0，64.5)上的频率为(0.7500.6500.200)0.50.8++⨯=， 且10.80.2-=，所以从生产线上随机抽取1个零件，估计所抽取的零件是二等品的概率为0.2． 【点睛】本题考查了利用频率分布直方图求中位数、概率的应用问题，是基础题． 18．已知,,a b c 分别是△ABC 内角,,A B C 的对边，2222sin sin sin sin sin 3+-=A C A C B .（1）求sin B 的值；（2）若2b =，△ABC，求△ABC 的周长.【答案】（1（2）2+【解析】（1）由已知结合正弦定理及余弦定理可求cos B ，然后结合同角平方关系可求sin B ；（2）由已知结合三角形的面积公式可求ac ，然后结合余弦定理即可求解a c +，进而可求三角形的周长． 【详解】（1）因为2222sin sin sin sin sin 3+-=A C A C B ．由正弦定理可得，22223a cb ac =+-， 由余弦定理可得，1cos 3B =， 故22sin B =； （2）15sin 22ABC S ac B ac ∆===Q ，所以3ac =， 因为22223a cb ac =+-， 所以28()448123a c ac +=+=+=，所以223a c b ++=+． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式的综合应用，属于中档试题． 19．如图，三棱锥P ABC -中，PA PC =，AB BC =，120APC ︒∠=，90ABC ︒∠=，32AC PB ==.（1）求证：AC PB ⊥； （2）求点C 到平面PAB 的距离. 【答案】（1）证明见解析（235【解析】（1）取AC 的中点为O ，连接BO ，PO ，证明PO AC ⊥，BO AC ⊥，推出AC ⊥平面OPB ，即可证明AC BP ⊥；（2）在直角三角形ABC 中，由2AC =，O 为AC 的中点，得1BO =，求解3PO =，结合23=PB ，可得PO BO ⊥，又PO AC ⊥，得到PO ⊥平面ABC ，然后利用等体积法求点C 到平面PAB 的距离． 【详解】（1）证明：取AC 的中点为O ，连接BO ，PO ．在PAC ∆中，PA PC =Q ，O 为AC 的中点，PO AC ∴⊥， 在BAC ∆中，BA BC =Q ，O 为AC 的中点，BO AC ∴⊥，OP OB O =Q I ，OP ，OB ⊂平面OPB ，AC ∴⊥平面OPB ，PB ⊂Q 平面POB ，AC BP ∴⊥；（2）在直角三角形ABC 中，由2AC =，O 为AC 的中点，得1BO =， 在等腰三角形APC 中，由120APC ∠=︒，得3PO ， 又23PB =Q ，222PO BO PB ∴+=，即PO BO ⊥， 又PO AC ⊥，AC OB O =I ，PO ∴⊥平面ABC ， 求解三角形可得23PA =，又2AB =221232152()()232PAB S ∆=-． 设点C 到平面PAB 的距离为h ，由C P A ABC P B V V --=，得11311522323⨯=，解得355h =， 故点C 到平面PAB 35． 【点睛】本题考查等体积法的应用，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题． 20．已知点P 是抛物线21:34C y x =-的顶点，A ，B 是C 上的两个动点，且4PA PB ⋅=-u u u r u u u r.（1）判断点()0,1D -是否在直线AB 上？说明理由； （2）设点M 是△PAB 的外接圆的圆心，求点M 的轨迹方程. 【答案】（1）点()0,1D -在直线AB 上，理由见解析（2）212x y =【解析】（1）由抛物线的方程可得顶点P 的坐标，设直线AB 的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求出数量积PA PB uu r uu r g ，再由题意4PA PB =-u u u r u u u rg 可得直线AB 恒过(0,1)-，即得D 在直线AB 上；（2）设A ，B 的坐标，可得直线PA ，PB 的斜率及线段PA ，PB 的中点坐标，进而求出线段PA ，PB 的中垂线的方程，两个方程联立求出外接圆的圆心M 的坐标，由（1）可得M 的横纵坐标关于参数k 的表达式，消参数可得M 的轨迹方程． 【详解】(1) 点()0,1D -在直线AB 上.理由如下， 由题意, 抛物线21:34C y x =-的顶点为(0,3)P - 因为直线与抛物线有2个交点， 所以设直线AB 的方程为()()1122,,,y kx b A x y B x y =+，联立2134y x y kx b⎧=-⎪⎨⎪=+⎩得到244(3)0x kx b --+=， 其中21616(3)0k b ∆=++>，12121244(3)4(3)x x k x x b x x b +==-+=-+，所以()21212242y y k x x b k b +=++=+，()()()2212121212y y kx b kx b k x x kb x x b =++=+++2224(3)4k b k b b =-+++2212k b =-+因为()()1122,3,,3PA x y PB x y =+=+u u u r u u u r所以()()121233PA PB x x y y ⋅=+++u u u r u u u r()12111239x x y y y y =++++()()2224(3)123429b k b k b =-++-++++223b b =+- 4=，所以2221(1)0b b b ++=+=， 解得1b =-， 经检验，满足>0∆，所以直线AB 的方程为1y kx =-，恒过定点()0,1D -.（2）因为点M 是PAB ∆的外接圆的圆心，所以点M 是三角形PAB 三条边的中垂线的交点，设线段PA 的中点为F ，线段PB 的中点为为E ， 因为(0,3)P -，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y所以1(2x F ，13)2y -，2(2x E ，23)2y -，113PA y k x +=，223PB y k x +=，所以线段PA 的中垂线的方程为：11113()232y x xy x y --=--+， 因为A 在抛物线上，所以211134y x +=， PA 的中垂线的方程为：211143()82x x y x x -+=--，即211418x y x x =-+-，同理可得线段PB 的中垂线的方程为：222418x y x x =-+-， 联立两个方程211222418418x y x x x y x x ⎧=-+-⎪⎪⎨⎪=-+-⎪⎩，解得1212221212()3288M x x x x x x x x x y +⎧=-⎪⎪⎨++-⎪=⎪⎩， 由（1）可得124x x k +=，124(3)8x x b =-+=-，所以8432M k x k -⨯=-=，22221212122()288M x x x x x x y k +++===， 即点2(,2)M k k ，所以212MM x y =， 即点M 的轨迹方程为：212x y =． 【点睛】本题考查求直线恒过定点的方程及直三角形外接圆的性质，和直线与椭圆的综合应用，属于难题．21．已知函数()e ln xb f x a x x=-，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为22x y ---0e =.（1）求a ，b 的值；（2）证明函数()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()02ln 22f x <-. 【答案】（1）2,1a b ==（2）证明见解析【解析】（1）求导，可得f '（1）a =，f （1）be =-，结合已知切线方程即可求得a ，b 的值；（2）利用导数可得0000002()221x e f x lnx lnx x x =-=--，0(1,2)x ∈，再构造新函数2()2,121h x lnx x x =-<<-，利用导数求其最值即可得证． 【详解】（1）函数的定义域为(0,)+∞，2()()x x a b xe e f x x x -'=-，则f '（1）a =，f （1）be =-，故曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为0ax y a be ---=， 又曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为220x y e ---=， 2a ∴=，1b =；（2）证明：由（1）知，()2x e f x lnx x =-，则22()x xx xe e f x x -+'=，令()2x x g x x xe e =-+，则()2x g x xe '=-，易知()g x '在(0,)+∞单调递减， 又(0)20g '=>，g '（1）20e =-<， 故存在1(0,1)x ∈，使得1()0g x '=，且当1(0,)x x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当1(x x ∈，)+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，由于(0)10g =>，g （1）20=>，g （2）240e =-<， 故存在0(1,2)x ∈，使得0()0g x =，且当0(0,)x x ∈时，()0>g x ，()0f x '>，()f x 单调递增，当0(x x ∈，)+∞时，()0<g x ，()0f x '<，()f x 单调递减，故函数存在唯一的极大值点0x ，且00000()20x x g x x x e e =-+=，即0002,(1,2)1x x e x x =∈-， 则0000002()221x e f x lnx lnx x x =-=--， 令2()2,121h x lnx x x =-<<-，则222()0(1)h x x x '=+>-， 故()h x 在(1,2)上单调递增，由于0(1,2)x ∈，故0()h x h <（2）222ln =-，即00222221lnx ln x -<--， 0()222f x ln ∴<-．【点睛】本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查推理论证能力，属于中档题．22．已知曲线1C 的参数方程为cos ,(1sin ,x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数)， 曲线2C的参数方程为sin ,(x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数). （1）求1C 与2C 的普通方程；（2）若1C 与2C 相交于A ，B两点，且AB =sin α的值.【答案】（1）tan 1y x α=+，221(0)2y x y +=…（2）0 【解析】（1）分别把两曲线参数方程中的参数消去，即可得到普通方程；（2）把直线的参数方程代入2C 的普通方程，化为关于t 的一元二次方程，再由根与系数的关系及此时t 的几何意义求解． 【详解】（1）由曲线1C 的参数方程为cos (1sin x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数），消去参数t ，可得tan 1y x α=+；由曲线2C的参数方程为sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），消去参数θ，可得y =即221(0)2y x y +=…．（2）把cos (1sin x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数）代入2212y x +=，得22(1cos )2sin 10t t αα++-=．∴1222sin 1t t cos αα-+=+，12211t t cos α-=+．12||||AB t t ∴=-==解得：2cos 1α=，即cos 1α=±，满足△0>．sin 0α∴=．【点睛】本题考查参数方程化普通方程，特别是直线参数方程中参数t 的几何意义的应用，是中档题．23．已知0a >，0b >，且1a b +=. （1）求12a b+的最小值； （2）证明：22212ab b a b +<++. 【答案】（1）3+（2）证明见解析 【解析】（1）利用基本不等式即可求得最小值； （2）关键是配凑系数，进而利用基本不等式得证． 【详解】 （1）12122()()333a b a b a b a b b a +=++=++++…，当且仅当“b =”时取等号， 故12a b+的最小值为3+； （2）222222222412)155ab bab b ab b b b a b ab b a +++===++++++„，当且仅当1,2a b ==时取等号，此时1a b +≠．故2221ab b a b +<++ 【点睛】本题主要考查基本不等式的运用，属于基础题．。
江西省鹰潭市2021届高考数学一模试卷(文科)(含答案解析)
江西省鹰潭市2021届高考数学一模试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设z=1+√3i，则在复平面内z对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.设全集U=R，A={x|3x(x−3)<1}，B={x|y=√log2(x−1)}，则A∩B=()A. {x|1<x<9}B. {x|1<x<3}C. {x|2≤x<3}D. {x|2≤x<9}3.向量，命题“若，则”的逆命题是A. 若则B. 若则C. 若则D. 若则4.下列命题错误的是()A. “x>2”是“x2−3x+2>0”的充分不必要条件B. 命题“若x2−3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x=1，则x2−3x+2≠0”C. 对命题：“对∀k>0，方程x2+x−k=0有实根”的否定是：“∃k>0，方程x2+x−k=0无实根”D. 若命题P：x∈A∪B，则￢P是x∉A且x∉B5.已知数列{a n}中，a3=2，a7=1.若{1a n}为等差数列，则a5=()A. 23B. 32C. 43D. 346.4名学生排一排，甲乙站在一起的概率是()A. 14B. 127C. 118D. 127.下列命题正确的是()A. 若两条直线和同一平面平行，则这两条直线平行B. 若一条直线与两个平面所成角相等，则这两个平面平行C. 若两个平面垂直于同一平面，则这两个平面平行D. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行8.直线x−y−1=0上的点到圆(x+2)2+(y−1)2=1的最大距离是()A. 2√2+1B. 2√3+1C. 2√2−1D. 2√3−19.已知过抛物线y 2=4x 的焦点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，若BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点A 的横坐标为( )A. 23B. 12C. 13D. 1410. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( )A. 1112 B. 6 C. 112 D. 22311. 利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥P −ABCD ，其中底面四边形ABCD 是边长为1的正方形，PA =1，且PA ⊥平面ABCD ，则球体毛坯体积的最小值应为( ) A. √2π3B. 4π3C. 8√2π3D. √3π212. 已知P(m,n)(m >0,n >0)是f(x)=13x 3−52x 2−x +1856在点x =5处的切线上一点，则1m +4n 的最小值是( )A. 910B. 1921C. 1011D. 1110二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数f(x)=sin4x2sin(π2−2x)，(x ∈[0,π6])的最大值是______14. 在各项均为正项的等比数列{a n }中，已知a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=31，1a1+1a 2+1a 3+1a 4+1a 5=3116，则a 3= ______ ．15. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为120°，且|a ⃗ |=|b ⃗ |=4，那么b ⃗ ⋅(3a ⃗ +b ⃗ )的值为______． 16. 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点为F 1，过点F 1作斜率为√2的直线与y 轴及双曲线的右支分别交于A,B 两点，若F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线的离心率为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知α、λ是实常数，f(x)=∣∣∣λcosxsin(x −α)sin(x +α)cosx ∣∣∣．(1)当λ=1，α=π3时，求函数y =f(x)的最小正周期、单调增区间与最大值；(2)是否存在λ，使得f(x)是与α有关的常数函数(即f(x)的值与x的取值无关)？若存在，求出所有满足条件的λ，若不存在，说明理由．18.如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点(1)求证：PA//平面BDE；平面PAC⊥平面BDE；(2)(理)若二面角EBDC为30°，求四棱锥PABCD的体积．(文)若∠COE=30°，求四棱锥PABCD的体积．19.(本小题满分12分)在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评，某校高二年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高二年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频率统计表如下：表一：男生测评结果统计表二：女生测评结果统计(1)计算的值；(2)由表一表二中统计数据完成列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．参考数据：(参考公式：，其中).20. 已知椭圆C的方程为左、右焦点分别为F1、F2，焦距为4，点M是椭圆C上一点，满足(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)过点P(0,2)分别作直线PA，PB交椭圆C于A，B两点，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，，求证：直线AB过定点，并求出直线AB的斜率k的取值范围。
2023-2024学年四川省高考热身考试数学(文)模拟试题(一模)含解析
2023-2024学年四川省高考热身考试数学（文）模拟试题（一模）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}20,1,A a =，{}0,2B a =-，A B A ⋃=，则=a （）A.1或2-B.2-C.1-或2D.2【正确答案】B【分析】分析可知A B ⊆，利用集合的包含关系可出关于a 的等式，结合集合元素满足互异性可得出实数a 的值.【详解】因为{}20,1,A a=，{}0,2B a =-，A B A ⋃=，则B A ⊆，所以，21a -=或22a a =-，若21a -=，则1a =，此时，21a =，集合A 中的元素不满足互异性，故1a ≠；若22a a =-，可得220a a +-=，因为1a ≠，则2a =-，此时，24a =，合乎题意.因此，2a =-.故选：B.2.已知12i z a =+，22i z b =+，(),a b ∈R ，若()()1122i 413i z z z z ++=+，则（）A.2a =，3b =B.2a =-，3b =-C.2a =，3b =±D.2a =-，3b =±【正确答案】C【分析】由已知可得112z z a +=，2224z z b =+，代入根据复数相等的充要条件列出方程组，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，112i 2i 2z z a a a +=++-=，2222224z z b b =+=+，所以()()()21122i 24i 413i z z z z a b ++=++=+，所以有224413a b =⎧⎨+=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩或23a b =⎧⎨=-⎩.故选：C.3.某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，则下列说法中不正确的是（）A.支出最高值与支出最低值的比是6：1B.利润最高的月份是2月份C.第三季度平均收入为50万元D.1～2月份的支出的变化率与10～11月份的支出的变化率相同【正确答案】B【分析】由统计图中数据，对选项中的统计结论进行判断.【详解】支出最高值为60万元，支出最低值为10万元，支出最高值与支出最低值的比是6:1，A选项正确；2月份利润为20万元，3月份和10月份利润为30万元，利润最高的月份是3月份和10月份，B选项错误；7，8，9月份收入分别为40万元，50万元，60万元，则第三季度平均收入为50万元，C 选项正确；1～2月份的支出变化率为60303021-=-，10～11月份的支出变化率为5020301110-=-，故变化率相同，故选项D正确.故选：B4.已知πsin sin22θθ⎛⎫-+=⎪⎝⎭，则tanθ=（）A.2- B.1- C.1 D.2【正确答案】B【分析】利用诱导公式以及同角三角函数的平方关系可得出关于sinθ、cosθ的方程组，求出这两个量的值，即可求得tanθ的值.【详解】因为πsin sin sin cos22θθθθ⎛⎫-+=-=⎪⎝⎭，由题意可得22sin cos sin cos 1θθθθ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩2sin 22cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，因此，sin tan 1cos θθθ==-.故选：B.5.函数()()cos sin ln ||f x x x x x =+的部分图像大致为（）A.B.C.D.【正确答案】A【分析】先判断函数()f x 的奇偶性排除选项C 、D ；再由ππln 022f ⎛⎫=>⎪⎝⎭，即可求解.【详解】函数()()cos sin ln ||f x x x x x =+的定义域为{}|0x x ≠，且()()()()()cos sin ln cos sin ln f x x x x x x x x x f x -=--+--=--=-⎡⎤⎣⎦，所以函数()f x 是奇函数，其函数图像关于()0,0对称，所以选项C 、D 错误；又ππππππcos sin ln ln 0222222f ⎛⎫=-+⋅=>⎪⎝⎭，所以选项B 错误；故选：A.6.过()0,1A 、()0,3B 两点，且与直线1y x =-相切的圆的方程可以是（）A.()()22122x y ++-= B.()()22225x y -+-=C.()()22122x y -+-= D.()()22225x y ++-=【正确答案】C【分析】分析可知，圆心在直线2y =上，设圆心为(),2C t ，根据圆与直线1y x =-相切以及圆过点A 可得出关于t 的等式，解出t 的值，即可得出所求圆的方程.【详解】因为()0,1A 、()0,3B ，则线段AB 的垂直平分线所在直线的方程为2y =，设圆心为(),2C t ，则圆C 的半径为r ==，又因为r AC ====整理可得2670t t +-=，解得1t =或7t =-，当1t =时，r AC ==()()22122x y -+-=；当7t =-时，r AC ==，此时圆的方程为()()227250x y ++-=.综上所述，满足条件的圆的方程为()()22122x y -+-=或()()227250x y ++-=.故选：C.7.已知a ，b 是不同的两条直线，α，β是不同的两个平面，现有以下四个命题：①//a a b b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭；②//a a ααββ⊥⎫⇒⎬⊥⎭；③//b a a b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭；④//b a b a αα⊥⎫⇒⊥⎬⎭．其中，正确的个数有（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】C【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐一判断即可.【详解】若a b αα⊥⊥，，则//a b ，故①正确；若a a αβ⊥⊥，，则//αβ，故②正确；若b a b α⊥⊥，，则//a α或a α⊂，故③错误；若//a α，则在平面α内存在直线c ，使得//a c .又,b c αα⊥∈，所以b c ⊥，所以a b ⊥r r，故④正确.所以正确的个数有3个.故选:C.8.已知数列{}n a 的通项公式为2217n n a n -=-，前n 项和为n S ，则n S 取最小值时n 的值为（）A.6B.7C.8D.9【正确答案】C【分析】由已知可推得当38n ≤≤时，0n a <.又90a >，即可得出答案.【详解】解20217n n a n -=≥-可得，2n ≤或172n >()*n ∈N ，即2n ≤或9n ≥.所以，当38n ≤≤时，0n a <.又992702917a -==>⨯-，所以，当8n =时，n S 取最小值.故选：C.9.已知34a =，1b =-，3ln 2c =，则（）A.c b a<< B.a c b<< C.b<c<aD.c<a<b【正确答案】A【分析】构造函数()ln 1f x x x =--，其中1x >，利用导数分析函数()f x 的单调性，可得出1<-，然后利用不等式的基本性质、对数函数的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】构造函数()ln 1f x x x =--，其中1x >，则()1110x f x x x-'=-=>，所以，函数()f x 在()1,+∞上单调递增，所以，()110f f =->=，即1<-，因为9e 4<，则32<，所以，3ln ln 12c b =<=，又因为2749e416⎛⎫=> ⎪⎝⎭，则74>314a b =>=，故c b a <<.故选：A.10.已知双曲线C ：22221x y a b-（a >0，b >0）左，右焦点分别为12F F ，，2F 关于C 的一条渐近线的对称点为P .若12=PF ，则12PF F △的面积为（）A.2B.C.3D.4【正确答案】D【分析】设2PF 与渐近线交于M ，由对称性知1//OM PF 且112OM PF ＝，在直角2OMF △中可求得,a b ，再由1224PF F OMF SS=求得12PF F △的面积.【详解】设2PF 与渐近线b y x a =交于M ，则2F M OM ⊥，2tan b MOF a ∠=，2sin b MOF c∠=，所以222sin F M OF MOF b =⋅∠=，OM a ==，由,O M 分别是12F F 与2PF 的中点，知1//OM PF 且1112OM PF ＝＝，即1a =，由e =得2c b ==，所以1221442142PF F OMF SS==⨯⨯⨯=，故选：D11.如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a 米到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为γ，则山高h =（）A.cos sin()sin()a αγαγβ-- B.sin sin()sin()a αγαγβ--C.cos sin()sin()a αγβγα-- D.sin sin()sin()a αγβγα--【正确答案】D【分析】在PAB 中，根据正弦定理求得sin()sin()a PB αβγα-=-，结合PQ PC CQ =+，即可求解.【详解】在PAB 中，ππ,()()22PAB BPA αβαγγα∠=-∠=---=-，由正弦定理得sin()sin()PB a αβγα=--，可得sin()sin()a PB αβγα-=-，过点B 作BD AQ ⊥，可得sin CQ BD a β==所以sin sin()sin sin sin()a PQ PC CQ PB a αγβγβγα-=+=⋅+=-.故选：D.12.若函数()()ln 1g x x x a x =--恰有2个零点，则实数a 的取值范围为（）A.()0,∞+B.()0,eC.()()0,11,+∞ D.()()0,11,e 【正确答案】C【分析】设()ln f x x x =，求导数确定函数的单调性与取值情况，即可作出()y f x =的大致图象，将函数()g x 的零点个数转化为函数函数()y f x =的图象与直线()1y a x =-的图象交点个数，分析函数与直线情况，即可得实数a 的取值范围.【详解】令()ln f x x x =，()0,x ∈+∞，则()ln 1f x x ='+，当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当1x =时，()0f x =，当x 趋向正无穷时，()f x 趋向正无穷，故作出()y f x =的大致图象，如图所示．由题知函数()()ln 1g x x x a x =--恰有2个零点，即函数()y f x =的图象与直线()1y a x =-的图象恰有2个交点，易知点()1,0为()y f x =与直线()1y a x =-的公共点，又曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程为1y x =-，所以当01a <<，直线()1y a x =-与与曲线()y f x =有2个交点；当1a >时，直线()1y a x =-与曲线()y f x =有2个交点．综上所述，实数a 的取值范围为()()0,11,+∞ ．故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知()1,a λ= ，()2,1b =，若()2//a b b + ，则λ=________．【正确答案】12##0.5【分析】求出向量2a b +的坐标，利用平面向量共线的坐标表示可求得实数λ的值.【详解】因为()1,a λ= ，()2,1b =，则()()()21,22,15,2a b λλ+=+=+ ，因为()2//a b b + ，则()225λ+=，解得12λ=.故答案为.1214.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若314a a =，则84S S =__________.【正确答案】17【分析】由314a a =可得24q =，再由求和公式求比值即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由314a a =，可得23114a a a q ==，即24q =，所以()()84844112111141711q S q q S q a a q--=+=+==--.故17.15.如图，ABCD 是边长为2的正方形，其对角线AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD沿对角线BD 折叠，使点A 所对应点为'A ，'2A OC π∠=.设三棱锥'A BCD -的外接球的体积为V ，三棱锥'A BCD -的体积为'V ，则'VV =__________．【正确答案】4π【分析】由题知球心为O,求得球的体积，再求锥的体积，则比值可求【详解】由题 OA OB OD OC ='==,易知三棱锥A'BCD -的外接球的球心为O ，∴R =，∴82πV 3=，A'到底面BCD ，∴1V 23=⨯⨯=，∴V4πV'=.故答案为4π本题考查球与三棱锥的体积，外接球问题，明确球心位置是突破点，准确计算是关键，是基础题16.过抛物线2y x =上且在第一象限内的一点2(,)M m m 作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线另外交于A ，B 两点，若直线AB 的斜率为k ，则k m -的最大值为__________．【正确答案】【详解】由题意，设22(,),(,)A a a B b b ，则220m a m b m a m b --+=--，即110m a m b+=++，所以2a b m +=-，又221a b k a b a b-==-+，所以12k m m m -=--≤-=．点睛：本题考查了抛物线的性质，直线的斜率公式和基本不等式求最值的应用，着重考查了推理与运算能力，其中正确推算k m -的表达式和运用基本不等式是解答的关键．三、解答题：第17至21题每题12分，第22、23题为选考题，各10分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.某学习APP 的注册用户分散在A 、B 、C 三个不同的学习群里，分别有24000人、24000人、36000人，该APP 设置了一个名为“七人赛”的积分游戏，规则要求每局游戏从A 、B 、C 三个学习群以分层抽样的方式，在线随机匹配学员共计7人参与游戏．（1）每局“七人赛”游戏中，应从A 、B 、C 三个学习群分别匹配多少人？（2）设匹配的7名学员分别用：1m 、2m 、3m 、4m 、5m 、6m 、7m 表示，现从中随机抽取出2名学员参与新的游戏．（ⅰ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ⅱ）设M 为事件“抽取的2名学员不是来自同一个学习群”，求事件M 发生的概率．【正确答案】（1）应从A 、B 、C 三个学习群分别匹配2人、2人、3人（2）（ⅰ）答案见解析（ⅱ）1621【分析】（1）利用分层抽样可求得A 、B 、C 三个学习群分别匹配的人数；（2）（i ）利用截距法可列举出所有的可能抽取的结果；（ii ）确定事件M 所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得事件M 发生的概率.【小问1详解】解：三个学习群人数比例为24000:24000:360002:2:3=，因此，应从A 学习群匹配的人数为2727⨯=人，应从B 学习群匹配的人数为2727⨯=人，应从C 学习群匹配的人数为3737⨯=人.【小问2详解】解：（ⅰ）所有可能的结果为：()12,m m 、()13,m m 、()14,m m 、()15,m m 、()16,m m 、()17,m m 、()23,m m 、()24,m m 、()25,m m 、()26,m m 、()27,m m 、()34,m m 、()35,m m 、()36,m m 、()37,m m 、()45,m m 、()46,m m 、()47,m m 、()56,m m 、()57,m m 、()67,m m ，共21种；（ii ）“抽取的2名学员不是来自同一个学习群”抽取的2名学员不是来自同一个学习群”包含的基本事件有：()13,m m 、()14,m m 、()15,m m 、()16,m m 、()17,m m 、()23,m m 、()24,m m 、()25,m m 、()26,m m 、()27,m m 、()35,m m 、()36,m m 、()37,m m 、()45,m m 、()46,m m 、()47,m m ，共16种，所以其概率为()1621P M =.18.已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，π2A ≠，且cos sin 0a C C b -+=．（1）求A ；（2）若22b a ac =+，求证：△ABC 是直角三角形．【正确答案】（1）π6（2）证明见解析【分析】（1）由正弦定理边化角可得sin cos sin sin 0A C A C B C -+=，然后根据两角和的公式以及辅助角公式，即可推得πsin 62A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.根据A 的取值范围，即可得出答案；（2）由余弦定理结合已知可推得0c a -+=.正弦定理边化角可得1sin 02C B -+=.又5π6C B =-，代入化简可得π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.然后根据B 的范围，即可得出π3B =，进而得出π2A B +=，即可得出证明.【小问1详解】由已知及正弦定理得sin cos sin sin 0A C A C B C --+=.因为()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，sin cos sin C A C A C =+.因为sin 0C ≠cos A A +=，整理有πsin 62A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.又因为0πA <<，所以ππ7π666A <+<，所以ππ63A +=或π2π63A +=，所以，π6A =或π2A =.因为π2A ≠，所以π6A =.【小问2详解】由余弦定理可得222222cos a b c bc A b c =+-=+.又因为22b a ac =+，所以20c ac +=，整理可得0c a +=.因为1sin 2A =，由正弦定理得1sin sin 02C B -+=.因为π5ππ66B C +=-=，所以5π6C B =-，所以5π1sin 062B B ⎛⎫-+=⎪⎝⎭，整理得π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.因为0πB <<，所以ππ5π666B -<-<，所以ππ66B -=，所以π3B =，所以π2A B +=，即ABC 是直角三角形.19.如图甲，已知四边形ABCD 是直角梯形，E ，F 分别为线段AD ，BC 上的点，且满足AB CD EF ∥∥，244AB EF CD ===，AB BC ⊥，45A ∠=︒．将四边形CDEF 沿EF翻折，使得C ，D 分别到1C ，1D 的位置，并且1BC =（1）求证：11ED BC ⊥；（2）求点E 到平面11ABC D 的距离．【正确答案】（1）证明见解析（2）1【分析】（1）在图甲中AB ⊥BC ，在图乙中1EF FC ⊥，EF BF ⊥，从而有EF ⊥平面1BC F ，则1EF BC ⊥，再分别过1D ，E 作1D M EF ⊥，EN AB ⊥，垂足分别是M ，N ，通过22211C F BC BF +=，得到11BC C F ⊥，从而证得1BC ⊥平面11C D EF 即可．（2）过点1C 作1C Q BF ⊥，垂足为Q ，易得1C Q ⊥平面BEF ，从而有113sin 602C Q C F =⋅︒=，再由11E ABC C ABE V V --=求解.【小问1详解】证明：∵在图甲中，AB ∥CD ∥EF ，AB ＝2EF ＝4CD ＝4，AB ⊥BC ，∴在图乙中有，1EF FC ⊥，EF BF ⊥，又1FC 与BF 是平面1BC F 内的交线，∴EF ⊥平面1BC F ，BC 1在面BC 1F 内，∴1EF BC ⊥，如图，分别过1D ，E 作1D M EF ⊥，EN AB ⊥，垂足分别是M ，N ，易知111MF C D ==，∴1EM =，又145FED BAE ∠∠==︒，∴111C F D M EM ===，同理2BF EN AN ===，又1BC =∴22211C F BC BF +=，则11BC C F ⊥，又EF 与1C F 是平面11C D EF 内的交线，∴1BC ⊥平面11C D EF ，ED 1在面C 1D 1EF 内，∴11BC ED ⊥．【小问2详解】由（1）知EF ⊥平面1BC F ，AB ∥EF ，所以知AB ⊥平面1BC F ，BC 1在面BC 1F 内，所以1AB BC ⊥，则1112ABC SAB BC =⨯⋅=，11sin 4544222ABESAB AE =⨯⋅⋅︒=⨯⨯=，过点1C 作1C Q BF ⊥，垂足为Q ，由（1）知EF ⊥平面1BC F ，且EF ⊂平面ABFE ，所以平面1BC F ⊥平面ABFE ，又平面1BC F平面ABFE BF =，C 1Q 在面BC 1F 内，所以1C Q ⊥平面ABFE ，又EF ⊂平面ABFE ，所以1C Q EF ⊥，又BF 与EF 是平面ABF 内的交线，∴1C Q ⊥平面BEF ，113sin 602C Q C F =⋅︒=，由11E ABC C ABE V V --=，得111133ABC ABES h S C Q ⋅=⋅，23431332h h =⨯⇒=，∴点E 到平面11ABC D 的距离为1．20.已知椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>与椭圆2C ：2212xy +=的离心率相等，1C 的焦距是．（1）求1C 的标准方程；（2）P 为直线l ：4x =上任意一点，是否在x 轴上存在定点T ，使得直线PT 与曲线1C 的交点A ，B 满足PA AT PBTB=？若存在，求出点T 的坐标．若不存在，请说明理由．【正确答案】（1）22142x y +=（2）存在x 轴上定点()1,0T ，使得PA ATPB TB=【分析】（1）由已知求出2C 的离心率为2，又c =，即可得出4a =.根据,,a b c 的关系，即可得出答案；（2）设(),0T t ，()4,P s ，()11,A x y ，()22,B x y ，先求出直线AB 与x 轴重合时，满足条件的T 点坐标；当直线AB 与x 轴不重合时，设直线AB 方程为x my t =+.根据已知可推得0PA TB PB AT ⋅-⋅=，代入坐标整理可得()()()212122240m y y mt m s y y ++--+=（*）.联立直线与1C 的方程可得()()2222240m y mty t +++-=，根据韦达定理得出坐标关系，代入（*）式，整理化简可得()()2110t m -+=，求出1t =，检验即可得出答案.【小问1详解】因为椭圆222:12x C y +=2=，又椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与椭圆222:12x C y +=的离心率相等，1C 的焦距是，所以2c =，c =所以，222c a a ==，所以2a =，2222b a c =-=，所以，1C 的标准方程为22142x y+=.【小问2详解】设(),0T t ，()4,P s ，()11,A x y ，()22,B x y .当直线AB 与x 轴重合时，设()2,0A ，()2,0B-，()4,0P ，则2PA =，6PB =，2AT t =-，2TB t =+，由已知PA ATPBTB =，可得221263t t -==+，解得1t =或4t =（舍去），所以，()1,0T ；当直线AB 与x 轴不重合时，设直线AB 方程为x my t =+，则有4ms t =-.,,,P A B T 四点共线，由PA AT PBTB=结合图象可知，0PA TB PB AT ⋅-⋅=，于是有，()()()()()()()()1212212140400x x t y s y x x t y s y --+--+--+--=，化简得：()()()1212121222480x x y y t x x s y y t +-++-++=，变形得：()()()212122240m y y mt m s y y ++--+=（*）.联立直线与椭圆的方程22142x my t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得，()()2222240m y mty t +++-=，当()()222244240m t m t ∆=-+->时，由韦达定理可得12221222242mt y y m t y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，将上式与4ms t =-共同代入（*），化简得：()()2110t m -+=，即1t =，且此时0∆>成立，故存在x 轴上定点()1,0T ，使得PA AT PBTB=．方法点睛：设直线AB 方程为x my t =+，联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理得出坐标之间的关系.然后根据已知，化简可得出()()2110t m -+=.因为m 的任意性，所以必有1t =，即可得出答案.21.已知函数()()()2ln ,11f x x g x a x ==--.（1）当14a =时，求函数()()()F x f x g x =-的最大值；（2）当14a =-时，求曲线()y f x =与()y g x =的公切线方程.【正确答案】（1）3ln 24+（2）1y x =-【分析】（1）代入14a =，然后求出()F x '，进而可得单调性求出最值；（2）代入14a =-，设出切点，求出切线方程，利用方程为同一直线，列方程组求解即可.【小问1详解】当14a =时,()()()()22ln 11l 11134424n F x f x g x x x x x x ⎡⎤=-=---=-⎢⎥⎣++⎦，()()()22111222221x x x x x x xF x x '∴+=---+-++==，令()0F x '>，得02x <<，令()0F x '<，得2x >，∴求函数()F x 在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减，()()max 32ln 21134244ln 242F x F ⨯∴==-+⨯+=+；【小问2详解】当14a =-时，()()221115114424g x x x x =---=-+-，设函数()ln f x x =上一点为()11,ln x x ，又()1f x x'=，()111f x x '∴=，∴函数()ln f x x =上过点()11,ln x x 的切线方程为：()1111ln y x x x x =-+，即111ln 1y x x x =+-，设函数()g x 上一点为2222115,424x x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，又()1122g x x '=-+，()221122g x x '∴=-+∴过点2222115,424x x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭的切线方程为：()222221111522424y x x x x x ⎛⎫=-- ++⎪--⎝⎭，即22211524124y x x x ⎫-+⎛+⎪⎝⎭-= ，若111ln 1y x x x =+-与22211524124y x x x ⎫-+⎛+⎪⎝⎭-= 为同一直线，则212211112215ln 144x x x x ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得1211x x =⎧⎨=-⎩,∴公切线的方程为.1y x =-请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为88x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），点()4,0P ．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为ρθ=，射线l 的极坐标方程为()π06θρ=≥．（1）写出曲线1C 的极坐标方程；（2）若l 与1C ，2C 分别交于A ，B （异于原点）两点，求△PAB 的面积．【正确答案】（1）2cos232ρθ=（2）5【分析】（1）由参数方程可得2226416x t t =++，2226416y t t =+-，进而即可推得2232x y -=，根据公式即可得出曲线1C 的极坐标方程；（2）将π6θ=分别代入1C ，2C 的极坐标方程得出8A ρ=，3B ρ=，进而得出弦长5AB =.然后求出点()4,0P 到射线的距离d ，即可得出答案.【小问1详解】由1C 的参数方程得2226416x t t =++，2226416y t t=+-，所以2232x y -=.又cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以2cos232ρθ=，所以1C 的极坐标方程为2cos232ρθ=.【小问2详解】将π6θ=代入曲线1C 的极坐标方程2cos232ρθ=可得8A ρ=，将π6θ=代入曲线1C的极坐标方程ρθ=可得3B ρ=，所以5A B AB ρρ=-=.又射线l的直角坐标方程为3y x =30y -=，所以点()4,0P 到射线的距离为2d ==，所以1125522PAB S d AB =⋅⋅=⨯⨯=△.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()R f x x a x a a =++-∈，．（1）若1a =，求函数()f x 的最小值；（2）若不等式()5f x ≤的解集为A ，且2A ∉，求a 的取值范围．【正确答案】（1）2（2）55,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）因为1a =，所以()11112f x x x x x =++-≥+-+=，即可求函数()f x 的最小值；（2）因为2A ∉，所以f ()25>，即225a a ++->，分类讨论，即可求a 的取值范围．【小问1详解】因为1a =，所以()11112f x x x x x =++-≥+-+=，当且仅当(1)(1)0x x +-≤时，即11x -≤≤时，()f x 的最小值为2．【小问2详解】因为2A ∉，所以()2f 5>，即225a a ++->，当2a <-时，不等式可化为225a a ---+>，解得52a <-，所以52a <-；当22a -≤≤时，不等式可化为225a a +-+>，此时无解；当2a >时，不等式可化为225a a ++->，解得52a >，所以52a >；综上，a 的取值范围为55,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．。
河南省开封市2023届高三一模考试 文科数学试题(后附参考答案)
开封市2023届高三年级第一次模拟考试文科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名㊁考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一㊁选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A =x -1<x <3 ,B =-1,0,1,2 ,则A ɘB =A .2 B .-1,0 C .0,1,2D .-1,0,1,22.设命题p :∀x ɪR ,e xȡx +1,则¬p 是A .∀x ɪR ,e xɤx +1B .∀x ɪR ,e x<x +1C .∃x ɪR ,e x ɤx +1D .∃x ɪR ,e x<x +13.若a +4i 4-3i 是纯虚数,则实数a =A .-2B .2C .-3 D.34.已知әA B C 中,D 为B C 边上一点,且B D =13B C ,则A D ң=A .13A C ң+23A B ңB .23A C ң+13A B ңC .14A C ң+34A B ңD .34A C ң+14A B ң5.已知圆锥的底面半径为1,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的体积为A .3π6B .3π3C .3πD .π36.如图为甲㊁乙两位同学在5次数学测试中成绩的茎叶图,已知两位同学的平均成绩相等,则甲同学成绩的方差为A .4B .2C .3 D.27.已知x +y -3ɤ0,x -y +1ȡ0,x ȡ0,y ȡ0,则x +2y 的最大值为A .2B .3C .5 D.68.设f (x )是定义域为R 的偶函数,且在[0,+ɕ)上单调递减,则满足f (x )<f (x -2)的x 的取值范围是A .(-ɕ,-2)B .(-2,+ɕ)C .(-ɕ,1)D .(1,+ɕ)9.已知数列a n 的前n 项和S n =n 2,若p +q =5(p ,q ɪN *),则a p +a q =10.已知F1,F2是椭圆C:x24+y2=1的两个焦点,点M在C上,则|M F1|㊃|M F2|A.有最大值4B.有最大值3C.有最小值4D.有最小值311.如图,在正方体A B C D-A 1B1C1D1中,点M,N分别是A1D,D1B的中点,则下述结论中正确的个数为①MNʊ平面A B C D;②平面A1N Dʅ平面D1M B;③直线MN与B1D1所成的角为45ʎ;④直线D1B与平面A1N D所成的角为45ʎ.A.1B.2C.3D.412.在数学中,布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理,它可应用到有限维空间,并且是构成一般不动点定理的基石.简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x),存在点x0,使得f(x0)=x0,那么我们称该函数为 不动点 函数.若函数f(x)=a e x-x为 不动点 函数,则实数a的取值范围是A.-ɕ,1eB.-ɕ,2eC.(-ɕ,1]D.(-ɕ,e]二㊁填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知点A(1,0),B(2,2),C(0,3),则A Bң㊃A Cң=.14.已知函数f(x)=3s i n x-c o s x,则f5π12=.15.3D打印是快速成型技术的一种,它是一种以数字模型文件为基础,运用粉末状金属或塑料等可粘合材料,通过逐层打印的方式来构造物体的技术.如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒,该塔筒是由离心率为5的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的,已知该塔筒(数据均以外壁即塔筒外侧表面计算)的上底直径为6c m,下底直径为9c m,高为9c m,则喉部(最细处)的直径为c m.16.在数列a n中,a1=1,a n+2+(-1)n a n=2(nɪN*).记S n是数列a n的前n项和,则S20=.三㊁解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22㊁23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)同时从甲㊁乙㊁丙三个不同地区进口某种商品的数量分别为240,160,160(单位:件),工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取7件样品进行检测.(1)求抽取的7件商品中,来自甲㊁乙㊁丙各地区的数量;(2)设抽取的7件商品分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中再随机抽取2件做进一步检测.(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;(i i)设M为事件 抽取的2件商品来自不同地区 ,求事件M发生的概率.18.(12分)在әA B C中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a c o s B+C2=b s i n A,2a=3b.(1)求c o s B的值;(2)若a=3,求c.19.(12分)如图,әA B C是正三角形,在等腰梯形A B E F中,A BʊE F,A F=E F=B E=12A B.平面A B Cʅ平面A B E F,M,N分别是A F,C E的中点,C E=4.(1)证明:MNʊ平面A B C;(2)求三棱锥N-A B C的体积.20.(12分)已知函数f(x)=2s i n x-a x,aɪR.(1)若f(x)是R上的单调递增函数,求实数a的取值范围;(2)当a=1时,求g(x)=f(x)-l n x在0,π2 上的最小值.21.(12分)图1所示的椭圆规是画椭圆的一种工具,在十字形滑槽上各有一个活动滑标M ,N ,有一根旋杆将两个滑标连成一体,|MN |=3,D 为旋杆上的一点且在M ,N 两点之间,且|N D |=2|DM |.当滑标M 在滑槽E F 内做往复运动,滑标N 在滑槽G H 内随之运动时,将笔尖放置于D 处可画出椭圆,记该椭圆为C 1.如图2所示,设E F 与G H 交于点O ,以E F 所在的直线为x 轴,以G H 所在的直线为y 轴,建立平面直角坐标系.(1)求椭圆C 1的方程;(2)以椭圆C 1的短轴为直径作圆C 2,已知直线l 与圆C 2相切,且与椭圆C 1交于A ,B 两点,记әO A B 的面积为S ,若S =223,求直线l 的斜率.(二)选考题:共10分.请考生在22㊁23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系x O y 中,曲线C 的参数方程为x =2pt y =2pt 2(t 为参数),(2,4)为曲线C 上一点的坐标.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程;(2)过点O 任意作两条相互垂直的射线分别与曲线C 交于点A ,B ,以直线O A 的斜率k 为参数,求线段A B 的中点M 的轨迹的参数方程,并化为普通方程.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)已知函数f (x )=|x +a |+2|x -1|.(1)当a =1时,求f (x )的最小值;(2)若a >0,b >0时,对任意x ɪ[1,2]使得不等式f (x )>x 2-b +1恒成立,证明:a +122+b +122>2.开封市2023届高三年级第一次模拟考试数学（文科）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）题号123456789101112答案C D D A B BCDBACB二、填空题（每小题5分，共20分）13.515.16.110三、解答题（共70分）17.（1）由已知，从甲、乙、丙三个不同地区进口某种商品的数量之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7件商品，因此应从甲、乙、丙三个不同地区进口的某种商品中分别抽取3件，2件，2件．……4分（2）（i）从抽取的7件商品中随机抽取2件商品的所有可能结果为：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．……8分（ii）由（1），不妨设抽取的7件商品中，来自甲地区的是A，B，C，来自乙地区的是D，E，来自丙地区的是F，G，则从抽取的7件商品中随机抽取的2件商品来自相同地区的所有可能结果为：{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．……10分所以，事件M 发生的概率为()516=12121P M -=．……12分18.（1）因为A B C π++=，所以222B C A π+=-，得cos sin 22B C A+=，……1分由正弦定理，可得sin sin sin sin 2A A B A ⋅=⋅，sin 0A ≠，所以sin sin 2AB =，……2分又因为,A B 均为三角形内角，所以2AB =，即2A B =，……3分又因为23a b =，即2sin 3sin A B =，即4sin cos 3sin B B B =，……4分sin 0B ≠，得3cos 4B =；……5分（2）若3a =，则2b =，由（1）知3cos 4B =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-可得29502c c -+=，……7分即()5202c c ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，所以2c =或52，……9分当2c =时，b c =，则22A B C ==，即ABC ∆为等腰直角三角形，又因为a ≠，此时不满足题意，……11分所以52c =.……12分19.（1）取CF 的中点D ，连接DM DN ，，M N ，分别是AF CE ，的中点，DM AC DN EF ∴∥，∥，又DM ABC AC ABC ⊄⊂ 平面，平面，.DM ABC ∴∥平面……2分又EF AB ∥，DN AB ∴∥，同理可得，DN ABC ∥平面.……3分=DM MND DN MND DM DN D ⊂⊂ 平面，平面，，.MND ABC ∴平面∥平面……5分.MN MND MN ABC ⊂∴ 平面，∥平面……6分（2）取AB 的中点O ，连接OC OE ，.由已知得=OA EF ∥，OAFE ∴是平行四边形，=OE AF ∴∥.……7分ABC ∆ 是正三角形，OC AB ∴⊥，ABC ABEF ⊥ 平面平面，=ABC ABEF AB 平面平面，OC ABEF ∴⊥平面，又OE ABEF ⊂平面，OC OE ∴⊥.……8分设1====2AF EF EB AB a，OC ，在Rt COE ∆中，由222+=OC OE CE ，解得=2a ，即1====22AF EF EB AB .……9分由题意=60FAB ∠ ，M 到AB 的距离3sin602h AM = 即为M 到ABC 平面的距离……10分又MN ABC ∥平面，111===4=2.3322N ABC M ABC ABC V V S h --∆∴⨯⨯⨯……12分20.（1）由已知可得：0cos 2)(≥-='a x x f ，……2分即x a cos 2≤恒成立，则有]2,(--∞∈a .……4分（2）由已知可得：1()2cos 1g x x x'=--，令()=()h x g x '，21()2sin h'x x x=-+在(0,2π上单调递减，……6分又因为0)6(1)6(2>+-='ππh ，016sin211sin 2)1(=+-<+-='πh ，所以存在)16(0，π∈x 使得0)(='x h ，即2001sin 2x x =，从而20400214cos x x x -=……8分则有x),0(0x )2,(0πx )(x h '正负)(x g '递增递减则有)(x g '最大值为：)(0x g '011cos 2x x --=02401114x x x ---=0240114x x x --<1=1x -0<，所以)(x g '0<，……10分则)(x g 在(0,2π上单调递减，所以最小值为)2ln(222(πππ--=g .……12分21.（1）由题意可得2=1ND DM =，，所以椭圆1C 的长半轴长为2，短半轴长为1，……2分所以椭圆1C 的方程为：22+=14x y .……4分（2）若直线l 的斜率不存在，依题意，=1l x ±：，带入1C方程可得AB，此时3S ≠，所以直线l 的斜率一定存在，设=+l y kx m ：，l 与圆2C22=+1m k ，即，……6分联立22+=14=+x y y kx m ⎧⎪⎨⎪⎩，，可得()2221+4+8+44=0k x kmx m -，()()2222=641614100k m k m k ∆-+->≠由得，()2121222418==1414m km x x x x k k--+，，……8分1222=1+41+4AB x k k-，……10分由=3S得==33AB ，即42511+2=0k k -，解得==5k k ±……12分22.（1）消去参数t 可得：22x py =，将点()2,4带入可得12p =，……2分所以曲线C 的普通方程为：y x =2.……4分（2）由已知得：OB OA ,的斜率存在且不为0，设OA 的斜率为k ，方程为kx y =，则OB 的方程为：x ky 1-=，联立方程2y kx x y =⎧⎨=⎩，，可得：()2,k k A ，同理可得：211,B k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，……6分设()y x M ,，所以22112112x k k y k k ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩，，……8分所以=24x 222122-=-+y kk ，所以=22x 1-y 即为点M 轨迹的普通方程.……10分23.（1）当1a =时，()121-++=x x x f ，当()()()min 1,31,14;x f x x f x f ≤-=-+=-=当()()()11,3,2,4;x f x x f x -<<=-+∈当()()()min 1,31,12;x f x x f x f ≥=-==……2分∴当1a =时，()f x 的最小值为2.……4分（2）00a b >>，，当12x ≤≤时，221+1x a x x b ++-->可化为233a b x x +>-+…6分令()233h x x x =-+，[]1,2x ∈，()()max 11h x h ==，∴1a b +>，……8分∴()222221111222222a b a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+++=+++++++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥.……10分。
2018年河南省郑州市高考数学一模试卷(文科)
2018年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数（i为虚数单位）等于（）A．﹣1﹣3i B．﹣1+3i C．1﹣3i D．1+3i2．（5分）设集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B=A，则a的取值范围是（）A．{a|a≤2}B．{a|a≤1}C．{a|a≥1}D．{a|a≥2}3．（5分）设向量=（1，m），=（m﹣1，2），且≠，若（﹣）⊥，则实数m=（）A．2 B．1 C．D．4．（5分）下列说法正确的是（）A．“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a＞1，则a2≤1”B．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真命题C．∃x0∈（0，+∞），使成立D．“若，则”是真命题5．（5分）我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（）A．4 B．5 C．2 D．36．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．10cm3B．20cm3C．30cm3D．40cm37．（5分）若将函数f（x）=sin（2x+）图象上的每一个点都向左平移个单位，得到g（x）的图象，则函数g（x）的单调递增区间为（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ+，kπ+]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ﹣]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）8．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a2=2，且a n+2﹣2a n+1+a n=0（n∈N*），记T n=，则T2018=（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数，若函数f（x）在R上有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[1，+∞）C．（0，1） D．（﹣∞，1]10．（5分）已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的平方为（）A．B．C．D．11．（5分）我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛（河南初赛），他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数a，b满足a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则的最小值为（）A．B．2 C．D．912．（5分）若对于任意的正实数x，y都有成立，则实数m的取值范围为（）A． B．C．D．二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=4x﹣y的最小值为．14．（5分）如果直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a﹣1）y=a﹣7平行，则a=．15．（5分）已知数列{a n}满足，且a1+a2+a3+…+a10=1，则log2（a101+a102+…+a110）=．16．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若，则双曲线的渐近线方程为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB=2a+b．（1）求角C；（2）若△ABC的面积为，求ab的最小值．18．（12分）2017年10月份郑州市进行了高三学生的体育学业水平测试，为了考察高中学生的身体素质比情况，现抽取了某校1000名（男生800名，女生200名）学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取100名进行分析，得到如下统计图表：男生测试情况：抽样情况病残免试不合格合格良好优秀人数5101547x女生测试情况抽样情况病残免试不合格合格良好优秀人数2310y2（1）现从抽取的1000名且测试等级为“优秀”的学生中随机选出两名学生，求选出的这两名学生恰好是一男一女的概率；（2）若测试等级为“良好”或“优秀”的学生为“体育达人”，其它等级的学生（含病残免试）为“非体育达人”，根据以上统计数据填写下面列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为体育达人”与性别有关？男性女性总计体育达人非体育达人总计临界值表：P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.005 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.879附：（，其中n=a+b+c+d）19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB=6，，，D，E为线段AB上的点，且AD=2DB，PD⊥AC．（1）求证：PD⊥平面ABC；（2）若，求点B到平面PAC的距离．20．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣2y+1=0和抛物线E：y2=2px（p＞0），圆心C到抛物线焦点F的距离为．（1）求抛物线E的方程；（2）不过原点的动直线l交抛物线于A，B两点，且满足OA⊥OB．设点M为圆C上任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时的直线l方程．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x+1），a∈R在（1，f（1））处的切线与x轴平行．（1）求f（x）的单调区间；（2）若存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有成立，求k的取值范围．22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l过点（1，0），倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若，设直线l与曲线C交于A，B两点，求△AOB的面积．23．设函数f（x）=|x+3|，g（x）=|2x﹣1|．（1）解不等式f（x）＜g（x）；（2）若2f（x）+g（x）＞ax+4对任意的实数x恒成立，求a的取值范围．2018年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数（i为虚数单位）等于（）A．﹣1﹣3i B．﹣1+3i C．1﹣3i D．1+3i【解答】解：==﹣1﹣3i故选A2．（5分）设集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B=A，则a的取值范围是（）A．{a|a≤2}B．{a|a≤1}C．{a|a≥1}D．{a|a≥2}【解答】解：∵A∩B=A，∴A⊆B．∵集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，∴a≥2故选：D．3．（5分）设向量=（1，m），=（m﹣1，2），且≠，若（﹣）⊥，则实数m=（）A．2 B．1 C．D．【解答】解：∵（﹣）⊥，∴（﹣）•=0，即2﹣•=0，即1+m2﹣（m﹣1+2m）=0，即m2﹣3m+2=0，得m=1或m=2，当m=1时，量=（1，1），=（0，2），满足≠，当m=2时，量=（1，2），=（1，2），不满足≠，综上m=1，故选：B．4．（5分）下列说法正确的是（）A．“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a＞1，则a2≤1”B．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真命题C．∃x0∈（0，+∞），使成立D．“若，则”是真命题【解答】解：“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a≤1，则a2≤1”，故A错；“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为假命题，比如m=0，若a＜b，则am2=bm2，故B错；对任意x＞0，均有3x＜4x成立，故C错；对若，则”的逆否命题是“若α=，则sinα=”为真命题，则D正确．故选D．5．（5分）我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（）A．4 B．5 C．2 D．3【解答】解：模拟执行程序，可得a=1，A=1，S=0，n=1S=2不满足条件S≥10，执行循环体，n=2，a=，A=2，S=不满足条件S≥10，执行循环体，n=3，a=，A=4，S=不满足条件S≥10，执行循环体，n=4，a=，A=8，S=满足条件S≥10，退出循环，输出n的值为4．故选：A．6．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．10cm3B．20cm3C．30cm3D．40cm3【解答】解：由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，∴几何体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×5=20（cm3）．故选B．7．（5分）若将函数f（x）=sin（2x+）图象上的每一个点都向左平移个单位，得到g（x）的图象，则函数g（x）的单调递增区间为（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ+，kπ+]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ﹣]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+）图象上的每一个点都向左平移个单位，得到g（x）=sin[2（x+）+]=﹣sin2x的图象，故本题即求y=sin2x的减区间，令2kπ+≤2x≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，故函数g（x）的单调递增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，故选：B．8．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a2=2，且a n+2﹣2a n+1+a n=0（n∈N*），记T n=，则T2018=（）A．B．C．D．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a2=2，且a n+2﹣2a n+1+a n=0（n∈N*），则：数列为等差数列．设公差为d，则：d=a2﹣a1=2﹣1=1，则：a n=1+n﹣1=n．故：，则：，所以：，=，=，=．所以：．故选：C9．（5分）已知函数，若函数f（x）在R上有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[1，+∞）C．（0，1） D．（﹣∞，1]【解答】解：当x≤0时，f（x）单调递增，∴f（x）≤f（0）=1﹣a，当x＞0时，f（x）单调递增，且f（x）＞﹣a．∵f（x）在R上有两个零点，∴，解得0＜a≤1．故选A．10．（5分）已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的平方为（）A．B．C．D．【解答】解：方法一：依题意，作图如下：A（﹣a，0），B（0，b），F1（﹣c，0），F2（c，0），∴直线AB的方程为，整理得：bx﹣ay+ab=0，设直线AB上的点P（x，y），则bx=ay﹣ab，x=y﹣a，∵PF1⊥PF2，则•=（﹣c﹣x，﹣y）•（c﹣x，﹣y）=x2+y2﹣c2=（）2+y2﹣c2，令f（y）=（）2+y2﹣c2，则f′（y）=2（y﹣a）×+2y，∴由f′（y）=0得：y=，于是x=﹣，∴•=（﹣）2+（）2﹣c2=0，整理得：=c2，又b2=a2﹣c2，整理得：c4+3c2c2﹣a4=0，两边同时除以a4，由e2=，∴e4﹣3e2+1=0，∴e2=，又椭圆的离心率e∈（0，1），∴e2=．椭圆的离心率的平方，故选B．方法二：由直线AB的方程为，整理得：bx﹣ay+ab=0，由题意可知：直线AB与圆O：x2+y2=c2相切，可得d==c，两边平方，整理得：c4+3c2c2﹣a4=0，两边同时除以a4，由e2=，e4﹣3e2+1=0，∴e2=，又椭圆的离心率e∈（0，1），∴e2=．椭圆的离心率的平方，故选B．11．（5分）我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛（河南初赛），他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数a，b满足a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则的最小值为（）A．B．2 C．D．9【解答】解：甲班学生成绩的中位数是80+x=81，得x=1；由茎叶图可知乙班学生的总分为76+80×3+90×3+（0+2+y+1+3+6）=598+y，乙班学生的平均分是86，且总分为86×7=602，所以y=4，若正实数a、b满足：a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则xy=G2，2G=a+b，即有a+b=4，a＞0，b＞0，则+=（a+b）（+）=（1+4++）≥（5+2）=×9=，当且仅当b=2a=时，的最小值为．12．（5分）若对于任意的正实数x，y都有成立，则实数m的取值范围为（）A． B．C．D．【解答】解：根据题意，对于（2x﹣）•ln≤，变形可得（2x﹣）ln≤，即（2e﹣）ln≤，设t=，则（2e﹣t）lnt≤，t＞0，设f（t）=（2e﹣t）lnt，（t＞0）则其导数f′（t）=﹣lnt+﹣1，又由t＞0，则f′（t）为减函数，且f′（e）=﹣lne+﹣1=0，则当t∈（0，e）时，f′（t）＞0，f（t）为增函数，当t∈（e，+∞）时，f′（t）＜0，f（t）为减函数，则f（t）的最大值为f（e），且f（e）=e，若f（t）=（2e﹣t）lnt≤恒成立，必有e≤，解可得0＜m≤，即m的取值范围为（0，]；故选：D．二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=4x﹣y的最小值为1．【解答】解：设变量x，y满足约束条件在坐标系中画出可行域三角形，平移直线4x﹣y=0经过点A（1，3）时，4x﹣y最小，最小值为：1，则目标函数z=4x﹣y的最小值：1．故答案为：1．14．（5分）如果直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a﹣1）y=a﹣7平行，则a=3．【解答】解：∵直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a﹣1）y=a﹣7平行，∴，解得a=3．故答案为：3．15．（5分）已知数列{a n}满足，且a1+a2+a3+…+a10=1，则log2（a101+a102+…+a110）=100．【解答】解：∵，∴log2a n+1﹣log2a n=1，即，∴．∴数列{a n}是公比q=2的等比数列．则a101+a102+…+a110=（a1+a2+a3+…+a10）q100=2100，∴log2（a101+a102+…+a110）=．故答案为：100．16．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若，则双曲线的渐近线方程为y=±x．【解答】解：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OM的方程为y=x，则另一渐近线ON的方程为y=﹣x，由FM的方程为y=﹣（x﹣c），联立方程y=x，可得M的横坐标为，由FM的方程为y=﹣（x﹣c），联立方程y=﹣x，可得N的横坐标为．由2=，可得2（﹣c）=﹣c，即为﹣c=，由e=，可得﹣1=，即有e4﹣5e2+4=0，解得e2=4或1（舍去），即为e=2，即c=2a，b=a，可得渐近线方程为y=±x，故答案为：y=±x．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB=2a+b．（1）求角C；（2）若△ABC的面积为，求ab的最小值．【解答】解：（1）由正弦定理可知：===2R，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，由2ccosB=2a+b，则2sinCcosB=2sin（B+C）+sinB，∴2sinBcosC+sinB=0，由0＜B＜π，sinB≠0，cosC=﹣，0＜C＜π，则C=；（2）由S=absinC=c，则c=ab，由c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2+ab，∴=a2+b2+ab≥3ab，当且仅当a=b时取等号，∴ab≥12，故ab的最小值为12．18．（12分）2017年10月份郑州市进行了高三学生的体育学业水平测试，为了考察高中学生的身体素质比情况，现抽取了某校1000名（男生800名，女生200名）学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取100名进行分析，得到如下统计图表：男生测试情况：抽样情况病残免试不合格合格良好优秀人数5101547x女生测试情况抽样情况病残免试不合格合格良好优秀人数2310y2（1）现从抽取的1000名且测试等级为“优秀”的学生中随机选出两名学生，求选出的这两名学生恰好是一男一女的概率；（2）若测试等级为“良好”或“优秀”的学生为“体育达人”，其它等级的学生（含病残免试）为“非体育达人”，根据以上统计数据填写下面列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为体育达人”与性别有关？男性女性总计体育达人非体育达人总计临界值表：P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.005 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.879附：（，其中n=a+b+c+d）【解答】解：（1）按分层抽样男生应抽取80名，女生应抽取20名；∴x=80﹣（5+10+15+47）=3，y=20﹣（2+3+10+2）=3；抽取的100名且测试等级为优秀的学生中有三位男生，设为A，B，C；两位女生设为a，b；从5名任意选2名，总的基本事件有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10个；设“选出的两名学生恰好是一男一女为事件A”；则事件包含的基本事件有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb共6个；∴P（A）==；（2）填写2×2列联表如下：男生女生总计体育达人50555非体育达人301545总计8020100则K2=≈9.091；∵9.091＞6.635且P（K2≥6.635）=0.010，∴在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为‘体育达人’与性别有关”．19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB=6，，，D，E为线段AB上的点，且AD=2DB，PD⊥AC．（1）求证：PD⊥平面ABC；（2）若，求点B到平面PAC的距离．【解答】证明：（1）连接CD，据题知AD=4，BD=2，∵AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∴cos，∴=8，∴CD=2，∴CD2+AD2=AC2，∴CD⊥AB，又∵平面PAB⊥平面ABC，∴CD⊥平面PAB，∴CD⊥PD，∵PD⊥AC，CD∩AC=C，∴PD⊥平面ABC．解：（2）∵，∴PD=AD=4，∴PA=4，在Rt△PCD中，PC==2，∴△PAC是等腰三角形，∴，设点B到平面PAC的距离为d，由V E=V P﹣AEC，得，﹣PAC∴d==3，故点B到平面PAC的距离为3．20．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣2y+1=0和抛物线E：y2=2px（p＞0），圆心C到抛物线焦点F的距离为．（1）求抛物线E的方程；（2）不过原点的动直线l交抛物线于A，B两点，且满足OA⊥OB．设点M为圆C上任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时的直线l方程．【解答】解：（1）圆C：x2+y2+2x﹣2y+1=0可化为（x+1）2+（y﹣1）2=1，则圆心为（﹣1，1）．抛物线E：y2=2px（p＞0），焦点坐标F（），由于：圆心C到抛物线焦点F的距离为．则：，解得：p=6．故抛物线的方程为：y2=12x（2）设直线的方程为x=my+t，A（x1，y1），B（x2，y2），则：，整理得：y2﹣12my﹣12t=0，所以：y1+y2=12m，y1y2=﹣12t．由于：OA⊥OB．则：x1x2+y1y2=0．即：（m2+1）y1y2+mt（y1+y2）+t2=0．整理得：t2﹣12t=0，由于t≠0，解得t=12．故直线的方程为x=my+12，直线经过定点（12，0）．当CN⊥l时，即动点M经过圆心C（﹣1，1）时到直线的距离取最大值．当CP⊥l时，即动点M经过圆心C（﹣1，1）时到动直线L的距离取得最大值．k MP=k CP=﹣，则：m=．此时直线的方程为：x=，即：13x﹣y﹣156=0．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x+1），a∈R在（1，f（1））处的切线与x轴平行．（1）求f（x）的单调区间；（2）若存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有成立，求k的取值范围．【解答】解：（1）由已知可得f（x）的定义域为（0，+∞），∵f′（x）=﹣a，∴f′（1）=1﹣a=0，解得：a=1，∴f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，故f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；（1）不等式f（x）﹣+2x+＞k（x﹣1）可化为lnx﹣+x﹣＞k（x﹣1），令g（x）=lnx﹣+x﹣﹣k（x﹣1），（x＞1），g′（x）=，∵x＞1，令h（x）=﹣x2+（1﹣k）x+1，h（x）的对称轴是x=，①当≤1时，即k≥﹣1，易知h（x）在（1，x0）上递减，∴h（x）＜h（1）=1﹣k，若k≥1，则h（x）≤0，∴g′（x）≤0，∴g（x）在（1，x0）递减，∴g（x）＜g（1）=0，不适合题意．若﹣1≤k＜1，则h（1）＞0，∴必存在x0使得x∈（1，x0）时，g′（x）＞0，∴g（x）在（1，x0）递增，∴g（x）＞g（1）=0恒成立，适合题意．②当＞1时，即k＜﹣1，易知必存在x0使得h（x）在（1，x0）递增，∴h（x）＞h（1）=1﹣k＞0，∴g′（x）＞0，∴g（x）在（1，x0）递增，∴g（x）＞g（1）=0恒成立，适合题意．综上，k的取值范围是（﹣∞，1）．22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l过点（1，0），倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若，设直线l与曲线C交于A，B两点，求△AOB的面积．【解答】（1）直线L的参数方程为：（α为参数）．曲线C的极坐标方程是，转化为直角坐标方程为：y2=8x（2）当时，直线l的参数方程为：（t为参数），代入y2=8x得到：．（t1和t2为A和B的参数），所以：，t1t2=﹣16．所以：．O到AB的距离为：d=．则：=．23．设函数f（x）=|x+3|，g（x）=|2x﹣1|．（1）解不等式f（x）＜g（x）；（2）若2f（x）+g（x）＞ax+4对任意的实数x恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）由已知得|x+3|＜|2x﹣1|，即|x+3|2＜|2x﹣1|2，则有3x2﹣10x﹣8＞0，∴x＜﹣或x＞4，故不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（4，+∞）；（2）由已知，设h（x）=2f（x）+g（x）=2|x+3|+|2x﹣1|=，当x≤﹣3时，只需﹣4x﹣5＞ax+4恒成立，即ax＜﹣4x﹣9，∵x≤﹣3＜0，∴a＞=﹣4﹣恒成立，∴a＞，∴a＞﹣1，当﹣3＜x＜时，只需7＞ax+4恒成立，即ax﹣3＜0恒成立，只需，∴，∴﹣1≤a≤6，当x≥时，只需4x+5＞ax+4恒成立，即ax＜4x+1，∵x≥＞0，∴a＜=4+恒成立，∵4+＞4，且无限趋近于4，∴a≤4，综上，a的取值范围是（﹣1，4]．。
北京市高三一模考试数学文试题真题(word版含答案)
北京市海淀区高三一模数学（文科）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|13A x x =<<，集合{}2|4B x x =>，则集合A B 等于（ ） A ．{}|23x x << B ．{}|1x x > C ．{}|12x x << D ．{}|2x x >2.圆心为(0,1)且与直线2y =相切的圆的方程为（ ）A ．22(1)1x y -+=B ．22(1)1x y ++=C ．22(1)1x y +-=D ．22(1)1x y ++= 3.执行如图所示的程序框图，输出的x 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14.若实数a ，b 满足0a >，0b >，则“a b >”是“ln ln a a b b +>+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的长度为（ ）ABC． D ．36.在ABC ∆上，点D 满足2AD AB AC =-，则（ ）A ．点D 不在直线BC 上B ．点D 在BC 的延长线上 C ．点D 在线段BC 上 D ．点D 在CB 的延长线上7.若函数cos ,,()1,x x a f x x a x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩的值域为[]1,1-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,)+∞ B ．(,1]-∞- C ．(0,1] D ．(1,0)-8.如图，在公路MN 两侧分别有1A ，2A ，…，7A 七个工厂，各工厂与公路MN （图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路MN 上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”．则下面结论中正确的是（ ）①车站的位置设在C 点好于B 点；②车站的位置设在B 点与C 点之间公路上任何一点效果一样；③车站位置的设置与各段小公路的长度无关．A ．①B ．②C ．①③D ．②③第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.已知复数(1)2z a i =+-为纯虚数，则实数a = ．10.已知等比数列{}n a 中，245a a a =，48a =，则公比q = ，其前4项和4S = ．11.若抛物线22y px =的准线经过双曲线2213y x -=的左焦点，则实数p = ． 12.若x ，y 满足240,20,1,x y x y x +-=⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则y x 的最大值是 ． 13.已知函数()sin f x x ω=（0ω>），若函数()y f x a =+（0a >）的部分图象如图所示，则ω= ，a 的最小值是 ．14.阅读下列材料，回答后面问题：在2014年12月30日13CCTV 播出的“新闻直播间”节目中，主持人说：“……加入此次亚航失联航班8501QZ 被证实失事的话，2014年航空事故死亡人数将达到1320人．尽管如此，航空安全专家还是提醒：飞机仍是相对安全的交通工具．①世界卫生组织去年公布的数据显示，每年大约有124万人死于车祸，而即使在航空事故死亡人数最多的一年，也就是1972年，其死亡数字也仅为3346人；②截至2014年9月，每百万架次中有2.1次（指飞机失事），乘坐汽车的百万人中其死亡人数在100人左右．”对上述航空专家给出的①、②两段表述（划线部分），你认为不能够支持“飞机仍是相对安全的交通工具”的所有表述序号为 ，你的理由是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知等差数列{}n a 满足126a a +=，2310a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}1n n a a ++的前n 项和.16.某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地有a ，b 两种“共享单车”（以下简称a 型车，b 型车）.某学习小组7名同学调查了该地区共享单车的使用情况．（Ⅰ）某日该学习小组进行一次市场体验，其中4人租到a 型车，3人租到b 型车．如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有一人在市场体验过程中租到a 型车的概率；（Ⅱ）根据已公布的2016年该地区全年市场调查报告，小组同学发现3月，4月的用户租车情况城现如表使用规律．例如，第3个月租a 型车的用户中，在第4个月有60%的用户仍租a 型车．若认为2017年该地区租用单车情况与2016年大致相同．已知2017年3月该地区租用a ，b 两种车型的用户比例为1:1，根据表格提供的信息，估计2017年4月该地区租用两种车型的用户比例．17.在ABC ∆中，2A B =.（Ⅰ）求证：2cos a b B =；（Ⅱ）若2b =，4c =，求B 的值.18.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，E ，F 分别是PB ，PD 的中点.（Ⅰ）求证：//PB 平面FAC ；（Ⅱ）求三棱锥P EAD -的体积；（Ⅲ）求证：平面EAD ⊥平面FAC ．19.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为A ，B ，且||4AB =，离心率为12. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点(4,0)Q ，若点P 在直线4x =上，直线BP 与椭圆交于另一点M .判断是否存在点P ，使得四边形APQM 为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.20.已知函数2()x f x e x ax =-+，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与x 轴平行.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若()21x g x e x =--，求函数()g x 的最小值；（Ⅲ）求证：存在0c <，当x c >时，()0f x > ．高三年级第二学期期中练习数学（文科）答案一、选择题1-5:ACCCB 6-8:DAC二、填空题9.2 10.2,15 11.4 12.32 13.2，12π 14.选①，数据①虽是同类数据，但反映不出乘车出行和乘飞机出行的总人数的关系；选②，数据②两个数据不是同一类数据，这与每架次飞机的乘机人数有关；不选②，数据②两个数据虽表面不是同一类数据，但是可以做如下大致估算，考虑平均每架次飞机的乘机人数为x ，这样每百万人乘机死亡人数2.1人，要远远少于乘车每百万人中死亡人数．三、解答题15.解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，因为126a a +=，2310a a +=，所以314a a -=，所以24d =，2d =．又116a a d ++=，所以12a =，所以1(1)2n a a n d n =+-=．（Ⅱ）记1n n n b a a +=+，所以22(1)42n b n n n =++=+，又14(1)2424n n b b n n +-=++--=，所以{}n b 是首项为6，公差为4的等差数列，其前n 项和21()(642)2422n n n b b n n S n n +++===+． 16.解：（Ⅰ）依题意租到a 型车的4人为1A ，2A ，3A ，4A ；租到b 型车的3人为1B ，2B ，3B ； 设事件A 为“7人中抽到2人，至少有一人租到a 型车”， 则事件A 为“7人中抽到2人都租到b 型车”．如表格所示：从7人中抽出2人共有21种情况，事件A 发生共有3种情况，所以事件A 概率36()1()1217P A P A =-=-=．（Ⅱ）依题意，市场4月份租用a 型车的比例为50%60%50%50%55%+=，租用b 型车的比例为50%40%50%50%45%+=，所以市场4月租用a ，b 型车的用户比例为55%1145%9=． 17.解：（Ⅰ）因为2A B =， 所以由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin 2a a A B=， 得2sin cos sin a b B B B =，所以2cos a b B =． （Ⅱ）由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-，因为2b =，4c =，2A B =，所以216cos 41616cos 2B B =+-， 所以23cos 4B =， 因为2A B B B π+=+<，所以3B π<，所以cos B =，所以6B π=． 18.（Ⅰ）证明：连接BD ，与AC 交于点O ，连接OF ，在PBD ∆中，O ，F 分别是BD ，PD 的中点，所以//OF PB ，又因为OF ⊂平面FAC ，PB ⊄平面FAC ，所以//PB 平面FAC ．（Ⅱ）解：因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA 为棱锥P ABD -的高． 因为2PA AB ==，底面ABCD 是正方形， 所以13P ABD ABD V S PA -∆=⨯⨯114222323=⨯⨯⨯⨯=， 因为E 为PB 中点，所以PAE ABE S S ∆∆=， 所以1223P EAD P ABD V V --=⨯=． （Ⅲ）证明：因为AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥，在等腰直角PAB ∆中，AE PB ⊥，又AE AD A =，AE ⊂平面EAD ，AD ⊂平面EAD ，所以PB ⊥平面EAD ，又//OF PB ，所以OF ⊥平面EAD ，又OF ⊂平面FAC ，所以平面EAD ⊥平面FAC ．19.解：（Ⅰ）由||4AB =，得2a =. 又因为12c e a ==，所以1c =，所以2223b a c =-=， 所以椭圆C 的方程为22143x y +=． （Ⅱ）假设存在点P ，使得四边形APQM 为梯形.由题意知，显然AM ，PQ 不平行，所以//AP MQ ， 所以||||||||BQ BM AB BP =，所以||1||2BM BP =． 设点11(,)M x y ，(4,)P t ，过点M 作MH AB ⊥于H ，则有||||1||||2BH BM BQ BP ==， 所以||1BH =，所以(1,0)H ，所以11x =， 代入椭圆方程，求得132y =±， 所以(4,3)P ±．20.解：（Ⅰ）'()2x f x e x a =-+，由已知可得'(0)0f =，所以10a +=，得1a =-．（Ⅱ）'()2x g x e =-，令'()0g x =，得ln 2x =，所以x ，'()g x ，()g x 的变化情况如表所示：所以()g x 的最小值为ln 2(ln 2)2ln 2112ln 2g e =--=-．（Ⅲ）证明：显然()'()g x f x =，且(0)0g =，由（Ⅱ）知，()g x 在(,ln 2)-∞上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增． 又(ln 2)0g <，2(2)50g e =->，由零点存在性定理，存在唯一实数0(ln 2,)x ∈+∞，满足0()0g x =， 即00210x e x --=，0021x e x =+，综上，()'()g x f x =存在两个零点，分别为0，0x ．所以0x <时，()0g x >，即'()0f x >，()f x 在(,0)-∞上单调递增； 00x x <<时，()0g x <，即'()0f x <，()f x 在0(0,)x 上单调递减； 0x x >时，()0g x >，即'()0f x >，()f x 在0(,)x +∞上单调递增， 所以(0)f 是极大值，0()f x 是极小值，0222200000000015()211()24x f x e x x x x x x x x =--=+--=-++=--+， 因为(1)30g e =-<，323()402g e =->， 所以03(1,)2x ∈，所以0()0f x >，因此0x ≥时，()0f x >．因为(0)1f =且()f x 在(,0)-∞上单调递增，所以一定存在0c <满足()0f c >，所以存在0c <，当x c >时，()0f x >.。