2016年春福师大网络与继续教育学院《实变函数》在线作业二 标准答案
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福师《实变函数》在线作业二
一、判断题（共37 道试题，共74 分。）
1. 设f为[a,b]上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数.
A. 错误
B. 正确
正确答案：B
2. 有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞
A. 错误
B. 正确
正确答案：A
3. 有界可测函数f在区间[a,b]上L可积的充要条件是f在[a,b]上几乎处处连续.
A. 错误
B. 正确
正确答案：A
4. 利用积分的sigma-可加性质(第二条款)可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排。
A. 错误
B. 正确
正确答案：B
5. 积分的引进分为三个递进的步骤：非负简单函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分.
A. 错误
B. 正确
正确答案：B
6. 函数f在区间[a,b]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集.
A. 错误
B. 正确
正确答案：A
7. 无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积.
A. 错误
B. 正确
正确答案：A
8. f可积的充要条件是f+和f-都可积.
A. 错误
B. 正确
正确答案：B
9. 集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测
A. 错误
B. 正确
正确答案：B
10. 若f有界且m(X)<∞,则f可测。
A. 错误
B. 正确
正确答案：B
11. 若对任意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数.
A. 错误
B. 正确
正确答案：A
12. f∈BV，则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差.
A. 错误
B. 正确
正确答案：B
13. 连续函数和单调函数都是有界变差函数.
A. 错误
B. 正确
正确答案：A
14. 若f_n测度收敛于f，则1/f_n也测度收敛于1/f.
A. 错误
B. 正确
正确答案：A
15. 三大积分收敛定理是积分论的中心结果。
A. 错误
B. 正确
正确答案：B
16. 若f有界变差且g满足Lip条件，则复合函数g(f(x))也是有界变差.
A. 错误
B. 正确
正确答案：B
17. 当f在[a,b]上R可积时也必L可积，而且两种积分值相等.
A. 错误
B. 正确
正确答案：B
18. 设f是区间[a,b]上的有界实函数，则f在[a,b]上R可积，当且仅当f在[a,b]上几乎处处连续.
A. 错误
B. 正确
正确答案：B
19. 若f∈Lip[a,b],则f∈AC[a,b].
A. 错误
B. 正确
正确答案：B
20. R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.
A. 错误
B. 正确
正确答案：B
21. 存在[0,1]上的有界可测函数，使它不与任何连续函数几乎处处相等．
A. 错误
B. 正确
正确答案：B
22. 函数f在[a,b]上为常数的充要条件是f在[a,b]上绝对连续且在[a,b]上几乎处处为零.
A. 错误
B. 正确
正确答案：B
23. 若f∈BV,则f有界。
A. 错误
B. 正确
正确答案：B
24. 增函数f在[a,b]上至多有可数个间断点，且只能有第一类间断点.
A. 错误
B. 正确
正确答案：B
25. 若f_n测度收敛于f，g连续，则g(f_n)也测度收敛于g(f).
A. 错误
B. 正确
正确答案：A
26. 对R^n中任意点集E，E\E'必为可测集.
A. 错误
B. 正确
正确答案：B
27. 可积的充分条件:若存在g∈L1,使得|f|<=g.
A. 错误
B. 正确
正确答案：B
28. 若f,g∈BV，则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g属于BV。
A. 错误
B. 正确
正确答案：B
29. 若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。
A. 错误
B. 正确
正确答案：A
30. 当f在(0,+∞)上一致连续且L可积时，则lim_{x->+∞}f(x)=0.
A. 错误
B. 正确
正确答案：B
31. 若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R，则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集.
A. 错误
B. 正确
正确答案：B
32. 测度收敛的L可积函数列，其极限函数L可积.
A. 错误
B. 正确
正确答案：A
33. L积分比R积分更广泛，且具有优越性。
A. 错误
B. 正确
正确答案：B
34. 若A交B等于空集，则A可测时必B可测.
A. 错误
B. 正确
正确答案：B
35. 设f:R->R可测，f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax
A. 错误
B. 正确
正确答案：B
36. f在E上可积的充要条件是级数M[E(|f|>=n)]之和收敛.
A. 错误
B. 正确
正确答案：A
37. 若f_n与g_n分别测度收敛于f与g，且f_n<=g_n，a.e.,n=1,2,…,则f<=g,a.e.
A. 错误
B. 正确
正确答案：B
福师《实变函数》在线作业二
二、单选题（共5 道试题，共10 分。）
1. 若|A|=|B|,|C|=|D|,则
A. |A∪C|=|B∪D|
B. |A∩C|=|B∩D|
C. |A\C|=|B\D|
D. 当A或C为无限集时，|A∪C|=|B∪D|