振动力学(梁的横向振动)
梁的横向弯曲振动试验原理
梁的横向弯曲振动试验原理
梁的横向弯曲振动试验的原理是:
1. 将梁的两端固定,使其形成简支梁。
2. 在梁的中部施加一个短时的冲击力,使梁产生横向弯曲振动。
3. 根据牛顿第二定律,力的冲击会使梁发生位移和振动。
4. 梁的振动属于强迫谐振,振动周期取决于其本身的质量和刚度分布。
5. 通过测量梁的振动周期,可以计算出其横向振动的固有频率。
6. 调节激励力的参数,可以获得梁在不同激励下的响应规律。
7. 使用传感器测量梁的位移、应变等,结合信号分析,可以确定梁的动态特性和模态参数。
8. 控制梁的边界条件,使其接近理想的简支状态。
9. 进行多次试验取平均,可以提高结果准确性。
10. 试验符合梁横向弯曲振动的工程动力学理论。
通过该试验可以研究梁的动力学行为,获得其横向弯曲振动的动态特性。
振动力学与结构动力学-(第一章).
摩擦力： Fd cdx2sgxn
c d ：阻力系数
在运动方向不变的半个周期内计算耗散能量，再乘2：
Ecdx2sgxndx2
T/4
c T/4 d
x3dt
8 3
cd02
A2
等效粘性阻尼系数：
ce
8
3
cd0
A
24
四、结构阻尼
由于材料为非完全弹性，在变形过程中材料的内摩擦所引起 的阻尼称为结构阻尼
特征：应力－应变曲线存在滞回曲线
6
第一章 概 论
§1-1 动荷载及其分类 - 从广义上讲，如果表征一种运动的物理量作时而增大时而减
小的反复变化，就可以称这种运动为振动。 - 如果变化的物理量是一些机械量或力学量，例如物体的位移
、速度、加速度、应力及应变等，这种振动便称为机械振动 。 - 各种物理现象，诸如声、光、热等都包含振动
7
– 知识要点：结构被动控制、主动控制的基本概念。常用主动 控制方法的原理。结构主动控制在机械、土木结构工程中应 用简介。
– 重点难点：理解各种控制方法的原理及其具体实现。 – 教学方法：课堂讲授与引导讨论相结合。
主要参考书： • 刘延柱.振动力学.北京：高等教育出版社,1998 • 倪振华. 振动力学. 西安：西安交通大学出版社，1989 • 张准、汪凤泉. 振动分析.南京：东南大学出版社，1991 • 陈予恕.非线性振动. 天津：天津科技出版社，1983 • 龙驭球等编著.《结构力学》下册. 北京：高等教育出版 社，1994
– 教学方法：课堂讲授与引导讨论相结合
• 第六章 结构反应谱与地震荷载计算（8学 时）
– 知识要点：结构反应谱、单自由度和多自由度地震 荷载计算公式、规范中地震荷载计算公式。
工程力学中的振动力学分析
工程力学中的振动力学分析振动力学是工程力学中的一个重要分支，研究物体在受到外力或扰动作用下，产生周期性的振荡运动的力学现象和规律。
在工程设计和实际应用中，对于机械、结构、电路等系统的振动性能进行分析是非常关键的，既可以用于确保系统的稳定性和可靠性，也可以用于优化系统的性能和寿命。
本文将从振动力学的基本概念、振动系统的建模与分析方法、振动控制等方面进行阐述。
1. 振动力学的基本概念振动力学研究的基础是力学和数学，涵盖了力学中的动力学和弹性力学以及数学中的微分方程和线性代数等基础知识。
振动力学分析主要涉及以下几个重要概念：1.1 自由振动：物体在无外界干扰的情况下，受到初位移或初速度激发后，以一定的频率和振幅沿某个方向进行振荡的现象。
1.2 强迫振动：物体在受到外界作用力驱动下，产生周期性振动。
1.3 阻尼：振动系统中由于与外界介质的相互作用，能量逐渐耗散而减小振幅的现象。
1.4 谐振：当外力频率与振动系统的固有频率相等或非常接近时，系统振幅达到最大值。
2. 振动系统的建模与分析方法振动系统的建模是研究振动问题的关键步骤之一，常用的建模方法包括单自由度系统、多自由度系统和连续系统。
其中，单自由度系统是最简单的模型，通常用弹簧和阻尼器模拟物体的弹性和阻尼特性。
2.1 单自由度系统: 单自由度系统是指只有一个独立的振动自由度，常用的模型是弹簧质点系统和单摆系统。
通过施加外力，可以分析系统的自由振动、强迫振动和阻尼振动。
2.2 多自由度系统: 多自由度系统是指在一个系统中存在多个相互独立的振动自由度。
常见的多自由度系统包括梁的弯曲振动、桥梁的横向振动等。
通过建立系统的动力学方程，可以求解各个自由度上的位移响应和系统共振频率。
2.3 连续系统: 连续系统是指物体的振动是连续的，例如梁和板的振动。
在连续系统中，可以利用变分原理、模态分析和有限元法等方法进行振动分析。
3. 振动控制振动控制是指通过控制手段，减小或消除系统的振动响应，以提高系统的性能和稳定性。
关于梁的振动
关于梁的振动结构的损伤首先表现为裂纹的出现和扩展，裂纹损伤是引起大型复杂结构破坏的主要原因之一［1］。
由于早期初始微小裂纹不易被发现，容易被人们忽略，但裂纹的深入扩展往往导致重大灾难性事故的发生，诸如航空灾难、桥梁的断裂坍塌、海洋平台的倒塌、油气管线的断裂泄漏等，给国家和社会造成了巨大的损失。
因此，监测并预示早期裂纹发生的位置与深度，预防重大事故发生，是损伤识别领域的一个重要研究方向。
近年来，结构裂纹损伤监测与识别方法的研究引起了国内外学者的广泛关注，成为工程结构健康诊断和安全评估研究的前沿课题之一。
虽然超声波、电涡流、磁粉、红外识别法等检测方法［2-3］在裂纹检测上取得了一定成就，但这些方法通常只适用于对静态对象的检测2 裂纹梁结构振动分析结构中裂纹的出现引起局部刚度的改变，从而在一定程度上影响了结构整体的动力特性，导致了固有频率的降低和振型的变化，裂纹梁的振动分析对于指导裂纹识别非常有意义。
裂纹梁振动分析的关键是裂纹的处理，常见处理方法有：等效降截面法［5-9］；局部柔度法［10-16］；一致裂纹梁理论［17-21］。
近年来裂纹梁的非线性特征研究得到了发展［20-25］．2.1等效降截面法等效降截面法是发展最早的一种方法。
Kirmsh—el［5］和Thomson［6］是两位研究具有类似切口缺陷局部不连续梁振动特征的先驱，首次对局部缺陷进行了量化分析。
文献[5—6]中使用局部弯矩或降截面模拟切口对结构柔度的影响，并通过试验对结果进行验证，提出了一种等效降截面法。
Petroski［7-8］多次使用Kirmshen和Thomson提出的等效降截面法求解损伤梁的振动问题。
Wendtland同样用切口模拟缺陷，使用了文献[5—6]提出的等效降截面法分析缺陷截面柔度，并通过试验研究比较不同几何形状及不同边界条件下裂纹梁固有频率的变化，在结论中清晰指出：等效降截面法不大适合分析真实裂纹，仅仅适合于切口的振动分析。
振动力学—连续系统
弦的横向振动
y(x,t)为弦上坐标为x处的横截面 在t时刻的横向位移l。
取微元，分析受力，如图
杆的纵向振动
假定：细长等截面杆, 振动时横截面仍保持为平面，横截 面上的质点只作沿杆件纵向的振动，横向变形忽略不计。 则同一横截面上各点在x方向作相等的位移。 参数：杆长l，截面积S，材料密度，弹性模量E
EI d 4Y d 2T a 2 , 4 Y IV , 2 T ，则上式为： 令 m dx dt IV T 2 Y a Y T
Y IV T a 2 Y T
2
梁的弯曲振动
方程
T 2T 0
Y
( 4)
2
a
2
Y 0
T Aei (t )
各态遍历过程
相关函数
自相关函数性质
1 偶函数
Rx ( ) Rx ( )
2 周期随机过程的自相关函数仍是周期函数 X (t ) X (t ) Rx ( ) Rx ( T ) 3 4
2 Rx (0) x
2 2 x x Rx ( ) Rx (0)
T(t ) 2T (t ) 0
X ( x)
2
a
2 0
X ( x) 0
杆的纵向振动
解为 时间域，初值问题 空间域，边值问题 固支边条件
T (t ) Aei (t )
X ( x) C1 sin
a0
x C2 cos
a0
x
x=0时，u(0,t)=X(0)· T(x)=0，即X(0)=0 x=l时，u(l,t)=X(0)· T(l)=0，即X(l)=0
x=H(0) f
梁的双向横振动
考虑到边界上变分，
对于 位移边界条件 等于
又对于 力边界条件 是任意的，0同时由于 域内
是任意的
得到梁双向振动微分方程
由于Jyz的存在，导致方程是耦合的
只有各个截面的 主惯性轴 相互平行，选取两个主惯性平面 为xoy 和xoz面，使各截面的Jyz=0，方程解耦。的轴线]和[简化到轴线的外载荷] 在同一个平面, 载荷和梁的主惯性轴一个平面
不在一个平面？？分解到两个主方向上—---------两个平面内
如图所示，以变形前的轴线作为x轴，建立空间坐标系xyz 弹性线上各点的位移将有沿 y ，z 上的两个分量
V=v(x,t) W=w(x,t)
梁上任意一点a的位移，在三个方向上的 分量上分别为
得到a点的轴向应力及应变为 动能和势能的表达式为
Z轴的惯性矩 Y轴惯性矩
关于yz轴的惯 性积
考虑作用在梁上的分布载荷Fy(x，t)和Fz(x，t),以及作用于两 端的弯矩和剪力Qy0, Qz0, My0, 等，得到主动力的虚功为：
将动能 势能 虚功带入变分式
梁横向振动的近似解法
梁横向振动的近似解法弹性体的固有振动有两种提法，一种是微分方程的特征值问题，另一种是泛函的驻值问题。
从精确解得角度看，两者完全等价，从近似解得角度看，求泛函驻值问题比求微分方程的近似解容易。
精确解法主要是分离变量法，此处略去不谈。
一方程的建立假设：梁的各截面中心主惯性轴在同一平面，外载也在同一平面，梁在该平面内的横向振动引起弯曲变形，低频振动时可以忽略剪切变形及截面绕中性轴转动惯量的影响。
∂2∂x 2 EJ ∂2y ∂x 2 +ρA ∂2y ∂t 2=p x,t −∂∂xm x,t (1) p(x,t),m(x,t)分别为单位长度梁上分布的外力和外力矩。
假设：y(x,t)=Y(x)bsin(ωt +ϕ)代入(1)式的齐次形式，有：(EJY ′′)′′−ω2ρAY =0 (2)上式改写成：(EJY ′′i )′′=ω2ρAY i上式两边同时乘以Y i 并在全梁上积分，i ，j 互换得到两个式子并相减等于0可以得到主振型的关于质量和刚度正交性，并且可以得到相应的频率p378。
固有频率的变分式命题：这个式子与边界条件的组合所确定的特征值ω2及相应的特征函数Y(x) 等价于下列泛函所取驻值及相应的自变函数，该自变函数满足位移边界条件P389。
ω2=st EJ(Y ′′)2dx l 0ρAY 2dx l 0 (3)证明：1，(3)式各驻值及相应的函数Y(x)是(2)式的的特征值和特征函数。
驻值时，一阶变分等于0，δ(ω2)=0展开后，得到三个item 相加得0：EJY ′′ ′′−ω2ρAY δYdx − EJY ′′ ′l0δY ︱0l +EJY ′′δY ‘︱0l=0 (∗) 由δY 的任意性，第一个item 等于0，可以得到(2)式，由第二、三项可以得到Y(x)的边界条件。
2，(3)式加(2)式后反过来可以得到δ(ω2)=0。
从而证明泛函的驻值问题与微分方程的特征值问题完全等价。
另外，可以由泛函(3)证明主振型的正交性。
振动力学(梁的横向振动)
火箭的助推梁在发射过程中受到推力的作用会产生横向振动，影响火箭的稳定性和安全性。研究梁的 横向振动有助于优化火箭的结构设计，提高其稳定性和安全性。
06
未来研究方向和展望
理论研究的发展
精确建模
深入研究梁的横向振动特性，建 立更为精确的数学模型，以描述 更为复杂的振动行为。
非线性动力学
研究梁在强振动或接近失稳状态 下的非线性动力学行为，揭示更 为丰富的振动特性。
高层建筑
高层建筑的楼面梁在风、地震等外部激励下会产生横向振动 ，影响楼面设备和人员的安全。研究梁的横向振动有助于优 化高层建筑的结构设计，提高其抗风、抗震性能。
机械系统
机械装备
机械装备中的传动梁、支撑梁等部件在运转过程中会产生横向振动，影响设备的正常运 行和寿命。研究梁的横向振动有助于优化机械设备的结构设计，提高其稳定性和可靠性。
梁的横向振动的重要性
梁的横向振动对结构的稳定性、安全 性和疲劳寿命等都有重要影响，因此 对梁的横向振动的研究具有重要的理 论价值。
随着科学技术的发展，对梁的横向振 动的深入研究可以为新型结构的设计 和优化提供理论支持，促进工程技术 的进步和创新。
02
梁的横向振动的基本理论
线性振动的定义
线性振动
数值模拟与实验验
证
发展更为高效的数值模拟方法， 并加强实验验证，以提高理论模 型的可靠性和实用性。
控制方法的改进
智能控制
利用现代控制理论和方法， 结合智能材料和传感器， 开发更为高效和智能的振 动控制策略。
主动控制
研究和发展更为先进的主 动控制方法，以实现对梁 振动的高效抑制和优化。
混合控制
结合被动控制和主动控制 的优势，开发混合控制策 略，以提高控制效果和降 低能耗。
梁的横振动振动基础复习
梁的横振动方程的解
采用分离变量法最终得到梁横振动的一般解
其中
4 2 S
EI
t , x A cosh x B sinh x C cos x D sin x co t
A、B、C、D由边界条件确定
• •
Prof. Sheng Meiping Northwestern Polytechnical University
边界条件对梁振型的影响
(1) 两端固定的梁
位移为零 x0,xl 0
位移曲线斜率为零
频率方程
x
0
x 0 , x l
cosh l cos l 1
质点振动系统的衰减振动
• 衰减振动方程：
2 d d 2 2 0 0 2 dt dt
• •
Prof. Sheng Meiping Northwestern Polytechnical University
质点振动系统的衰减振动
包络曲线 振动衰减曲线 t
• •
Prof. Sheng Meiping Northwestern Polytechnical University
fn
l
2 l
n 2
2
EI S
Prof. Sheng Meiping Northwestern Polytechnical University
• •
（4）悬臂梁
x0 0
2 x 2
x l
边界条件
x
0
x0
3 0 x 3
0
x l
频率方程 cosh l cos l 1
梁的横向受迫振动
连续系统振动
返回总目录
连续系统振动
1 2 3 4 5 6 7 杆的纵向振动 杆的纵向受迫振动 梁的横向自由振动 梁的横向受迫振动 转动惯量、剪切变形对梁振动的影响 轴向力作用对梁的横向振动的影响 梁横向振动的近似解法
目录
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连续系统振动
1 杆的纵向振动
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1 杆的纵向振动
1.1等直杆的纵向振动 1.2固有频率和主振型 1.3主振型的正交性
1 杆的纵向振动
1.2固有频率和主振型
2u E 2u 1 ( ) 2 q( x, t ) 2 x A t
q( x, t ) 0
得到杆的纵向自由振动微分方程为
2 2u 2 u a 2 t x2
系统是无阻尼的，因此可象解有限多个自由度系统那样 ，假设一个主振动模态即设系统按某一主振型振动时，其 上所有质点都做简谐运动。 可见杆上所有的点将同时经过平衡位置，并同时达到极 限位置。
杆的前三阶主振型表示如图所示。
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1 杆的纵向振动
1.2固有频率和主振型
2. 杆的左端固定，右端自由的情况 边界条件为
U ( x) C cos
px px D sin a a
dU U ( 0) 0 , dx
x l
0
C 0,
p p D cos x 0 a a
p cos l 0 a
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1 杆的纵向振动
1.1等直杆的纵向振动
实际的振动系统，都具有连续分布的质量与弹性，因此， 称之为弹性体系统。 同时符合理想弹性体的基本假设，即均匀、各向同性服从 虎克定律。 由于确定弹性体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因 此弹性体是具有无限多自由度的系统，它的振动规律要用时间 和空间坐标的函数来描述，其运动方程是偏微分方程，但是在
梁的横向强迫振动
（6.158）
y( x, t ) w( x) sin t
1 w ( x) w( x) p ( x) EJ
IV 4
（6.159）
4 2 其中 a ，相应于上式的齐次方程通解形如式（6.120），非齐次特解
可用如下方法得到，对上式两边作拉氏变换，得 1
（6.160）
0 j i 0 i j
l
l
（6.130）
将式（6.130）代入（6.129），得
l 2 l 0 i j i 0
EJY "Y " dx AY Y dx
i j
（6.131）
式（6.128）乘以 l
0
EJY "Y " dx AY Y dx
2 j i j 0 j i
Yi ( x) 并沿梁长对x积分，同样可得到
P(t )Y j (1 ) M (t )Y j ' ( 2 )
上式也可以根据将（6.153）、（6.154）代入（6.147）并利用 筛选性质（见（ 1.76））而得出。于是，零初始条件下梁的响应为 t t
( x)
导数的
1 y( x, t ) Y j ( x)Y j (1 ) P( ) sin j (t )d Y j ' ( 2 ) M ( ) sin j (t )d 0 0 j 1 j
2
（6.126）
式（6.127）两边乘以并沿梁长对x积分，有
l 2 0 j i i
(EJYi ")" i AYi 2 (EJYj ")" j AYj
l 0 i j
（6.127）
第十二讲 - 梁的振动-2
1. Rayleigh商－再思考
y
单位厚，矩形悬臂梁
b
x
作业题，课件后有
L
ψ ( L) = ψ '( L) = 0
R(ψ ) =
y
∫
L 0
EI [ψ ''( x )]2 d x
L
∫
0
ρ Aψ ( x )2 d x
单位厚，锥形悬臂梁
x
b b
L
10
1. Rayleigh商－再思考
ρA
w( x , t )
商，取小的。即Rayleigh法估 算频率。
2
= ∑ ( ci2ω i2 ) / ∑ ci2 > ω12
i=1 i=1
6
1. Rayleigh商
ρA
w( x , t )
L 0
m = ρ AL
ψ (0) = ψ '(0) = 0
几何边界条件
R=
∫ ∫
L 0
EI [ψ ''( x )]2 dx
ρ Aψ ( x )2 dx + ρ ALψ 2 ( L)
ρA
w( x , t )
L 0
m = ρ AL
ψ (0) = ψ '(0) = 0
几何边界条件
R=
∫ ∫
L 0
EI [ψ ''( x )]2 dx
ρ Aψ ( x )2 dx + ρ ALψ 2 ( L)
ω0 =
1 L2
EI ρA
取抛物线做假设 振型，满足几何 边条 取右端受集中力 的变形函数做假 设振型，满足几 何边条
a = [ a1 , a2 , , an ]T 本质是将无穷
变刚度梁横向自由振动的差分传递矩阵解法
篇《变刚度梁横向自由振动的差分传递矩阵解法》近年来，有关结构工程领域的研究越发引人注目，其中变刚度梁横向自由振动的差分传递矩阵解法备受关注。
本文将深入探讨这一主题，逐步解析其核心概念、理论基础和应用意义。
通过全面评估，相信读者能够深入理解这一领域的专业知识。
一、变刚度梁横向自由振动的概念变刚度梁横向自由振动是指梁在横向受到作用力的情况下产生自由振动的现象。
在工程实践中，这一问题常常涉及到结构的稳定性和振动特性，因此对其进行深入的研究具有重要的理论和应用价值。
1.1 差分传递矩阵的基本原理在探讨变刚度梁横向自由振动的过程中，差分传递矩阵是解决该问题的关键工具之一。
差分传递矩阵是指将传递函数表示成状态向量变化的矩阵，通过差分方程建立其递推关系，从而求解结构的振动响应。
1.2 变刚度梁横向自由振动的特点在研究变刚度梁横向自由振动时，需要充分考虑其特点和规律。
在考虑梁的非线性特性以及外界扰动的情况下，传统的振动方程可能不再适用，因此需要引入新的分析方法。
二、差分传递矩阵解法的理论基础针对变刚度梁横向自由振动问题，差分传递矩阵解法扮演着至关重要的角色。
这一解法基于一系列理论基础，包括但不限于控制理论、结构动力学等。
通过对这些理论的深入理解，我们能够更好地把握差分传递矩阵解法的本质和实质。
2.1 控制理论在结构动力学中的应用控制理论通过对系统的动态行为进行分析和控制，为我们解决结构振动问题提供了理论基础。
在变刚度梁横向自由振动的研究中，控制理论的方法和思想对于理解结构的动态特性和响应具有重要作用。
2.2 结构动力学中的传递矩阵理论结构动力学和传递矩阵理论是解决变刚度梁横向自由振动问题的理论基础。
通过对结构的动态特性和传递矩阵的分析，我们能够建立结构的数学模型，从而得出结构的振动特性和响应。
三、差分传递矩阵解法的应用意义差分传递矩阵解法在实际工程中具有重要的应用意义。
通过该解法，我们能够更准确地预测结构的振动特性和响应，为工程设计和结构优化提供理论指导和技术支持。
梁的弯曲振动-振动力学课件
常见的约束状况与边界条件
1. 固定端条件（位移边界） 挠度和转角等于零
y(x,t) 0 y '(x,t) 0
(x) 0
'(x) 0 x 0，l
2. 简支端（铰支）（位移、力混界）
挠度和弯矩等于零
y(x,t) 0 M (x,t) 0
(x) 0
EIy"(x) 0
伯努利－欧拉梁（Bernoulli-Euler Beam）
y x,t 距原点 x处的截面在 t 时刻的横向位移
微段受力分析
FS , M 截面上的剪力和弯矩
l
(
x)
2 t
y
2
微段的惯性力
f x,t 微段所受的外力
l
(
x)
2 t
y
2
动力平衡关系由达朗贝尔原理得
l (x)
2 y t 2
dx
Fs
解：固定端：(0) 0 '(0) 0
自由端： 弯矩为零，剪力与质量惯性力平衡
EI "(l) 0 EIl m02 l
利用相同的方法，得频率方程：
cos lchl 1 l sin lcoshl cos l sinh l
其中： m0 为集中质量与梁质量之比
m m Sl 为梁质量
说明：
以上分析中没有考虑剪切变形和截面转动惯量的影响， 因此以上有关梁的分析只适用于细长梁（梁的长度大于梁 高度5倍以上） 若梁为非细长梁，必须考虑剪切变形和截面转动惯量的影响
Fs
Fs x
dx
f
( x, t )dx
l
(
x)
2 t
y
2
Fs x
f (x,t)
简支梁横向振动的求解
1 1/ 2 1/ 6 1 1 1/ 2 0 1 1 0 0 1
P 2 F 2 P 1 F 1
两支座之间的状态关系 那么两支间传递矩阵为
X 3L S S S S S X 0R
S S S S S S
F 3
P 2
F 2
P 1
F 1
国家精品课程网上资源的可用性研究/*** All Right Reserved
传递矩阵法求固有频率
则点传递矩阵和场传递矩阵转到无量纲域？
xy 将
M
Fs 代入到点与场矩阵中
T
有
1 0 0 0 0 1 0 0 S ip 0 0 1 0 0 0 1
1 0 SiF 0 0
F 3
12 14 0 则必须满足 32 34
化解上式得
5 2 96可解出 0 108
可得固有频率
ml 3 2 又因为 EI
国家精品课程网上资源的可用性研究/*** All Right Reserved
为何分段越多越精确呢？
首先推广至n段的传递矩阵，当分为n段时，就有n-1 个集中质量在梁上，此时的传递矩阵应该是
12 0 14 Fs 0 0 32 0 34 Fs 0 0
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传递矩阵法求固有频率
要使方程
12 0 14 Fs 0 0 有非零解 32 0 34 Fs 0 0
2
2
EI EI = S Sl 4
梁的横向振动
弹性载荷：
2u u M EI kt 2 x x
3u V EI 3 ku x 惯性载荷：
2u M EI 2 0 x
u u V EI 3 m 2 x x
3 2
在考虑梁的剪切变形和转动惯量时，微元dx 的受力分析系如下：
u （1） x
梁的横向振动
主讲人 ：王高爽 小组成员：王高爽、王宇谦 冯丹、徐笑寒 指导老师：李伟
1、梁横向振动的微分方程的建立 2、变量分离求解微分方程 3、边界讨论 4、运动方程的推到
如下图所示，梁在xy平面内横向振动，假设变形 u的函数u=u(x,t),则在任意的t时刻，梁的振动 状态如图所示，取微元dx作为研究对象。
Thanks.
两边求全微分： u u dx dt Y (t ) X ' ( x)dx Y ' (t ) X ( x)dt x t
u Y (t ) X ' ( x) x
u Y ' (t ) X ( x) t
u u ， x t
仍是关于x,t的函数，仍然采用全微分得：
1 d 2Y a2 d 4 X 2 Y dt X dx4
按受力情况，微元沿着y方向运动方程，有牛顿定理：
由
2u v Fy O m 2 dx V (V dx) t x
由简单梁理论，忽略转动惯量的影响，各个力在 对dx右侧取矩： M M O M dx M Vdx 0 R x
即
M V x
由材料力学：
（1）
令（1）=P2得： d 2Y 2 p Y 0 2 dt
d4X p 4 4 X 0, 4 dx a
Y (t ) A sin pt B cos pt
结构动力学(3)-第二章(基本构件的振动分析)
0
t
A
w 0 |t0 t
0
L
w |t0 dt 0
求解方法： 非齐次方程的解=齐次方程的解+特解 （动响应） （固有振动）
弦的横向振动的求解
2w 2w 固有振动： Tx 2 2 A 0 （典型的波动方程） x t
１）分离变量法
w( x, t ) X ( x)T (t )
（向后行进）
（向前行进）
固有振型的加权正交性
X n (x)
n
nX Βιβλιοθήκη (x)jj应满足的方程为
X 2 X 0
L
0
X j [ X n n X n ]dx 0
2
L
0
X n [ X j j X j ]dx 0
2
L L L
分部积分
L
0
X j X ndx X j X n | X j X n dx X j X n dx
n c n 固有频率为： n L L
EA A
nx U (n 1,2 , ) 固有振型： n ( x) sin L
例2：左端固定，右端自由并集中作用力，突然撤去 c2 0
c1
c
cos
L
c
0
L
c
n 2
(n 1,3,, )
固有频率为： n
H (T U We )dt
0 t t 0
L
0
( A
t ~ w w w w L Tx fw)dxdt Qw |0 dt 0 t t x x
t
梁的横向强迫振动
3 l x l x ix l Ayst 3 dx 4 C i sin l l 2 l
Pl 3 其中 y st 48EJ 为梁中央的静挠度。从例6.3已知两端简支梁的固有频率
及主振型为
将主振型代入（6.140）的归一化条件，得
EJ i 2 2 i a i Al 4 l ix Yi ( x) C i sin l
2
2
i 1,2,... i 1,2,...
j (0) Af1 ( x)Y j ( x)dx
（6.150） (0) Af ( x)Y ( x)dx j 2 j
0 0 l
l
i ( 0)
l
l 2 0
3 x ix x Ayst 3 4 C i sin dx l l l
卷积性质得到非齐次特解为
这样，方程（6.160）的通解为
1 w( x) 2EJ 3
x
0
p( )sh ( x ) sin ( x )d
w( x) C1cos x C 2 sin x C 3chx C 4shx x 1 p( )sh ( x ) sin ( x )d （6.161） 2 EJ 3 0 上式中的四个常数由两端的边界条件确定，将求出 w( x) 的代入（6.159），
l
q j (t ) p( x, t )Y j ( x) m( x, t )Y j ' ( x) dx
q j (t ) P(t ) ( x 1 )Y j ( x) M (t ) ( x 2 )Y j ' ( x) dx （6.155）
振动力学(梁的横向振动)
（3）初始条件。按题意
u(x, 0) 0,
u t
t0
v 0
x1
2
x
x1
2
变换到主坐标下
l
qi0 0 AΦiu0 (x)dx 0
l
qi0 0 AΦiu0 (x)dx
A v x1
2
x1
2
2 sin i x dx Al l
i
sin it
响应求解步骤： （1）根据边界条件求解固有频率和固有振型; （2）利用标准化条件确定振型中的常数因子; （3）将初始条件变换到标准坐标; （4）求标准坐标下的响应; （5）求物理坐标下的响应。
【例4】长为l的均匀简支梁初始静止，设在x＝x1处的 微段d上有初始速度v，求系统对此初始条件的响应。
a2
方程的通解为
Φ(x) C1 sin x C2 cos x C3 sh x C4 ch x
q(t) C5 sin t C6 cost
由特征方程，利用边界条件即可求出振型函数 F(x)和频率方程，进一步确定系统的固有频率wi。用 四个边界条件只能确定四个积分常数之间的比值。
解：边界条件为挠度和转角为0，即 Φ(0) 0,Φ(0) 0 Φ(l) 0,Φ(l) 0 代入特征方程的解得到
C2 C4 0, 以及
(C1 C3) 0
C1 sin l C2 cos l C3 sh l C4 ch l 0 C1 cos l C2 sin l C4 sh l C3 ch l 0
i 1
03-3 梁的横向振动
y ( x, t ) C1 sin x C2 cos x C3sh x C4 ch x sin t
式中有C1, C2, C3, C4, 和六个待定常数。因为梁每个 端点有两个边界条件，共有四个边界条件，加上两个振 动初始条件恰好可以决定六个未知数。
C2 C4 0
C1 sin L C3sh L 0 C1 sin L C3sh L 0
两式相加，2C3shL=0。因为当L0时，shL0，故得C3=0。
两式相减，2C1sinL=0。因求振动解，所以C10。特征方程：
sin L 0
它的根为 由此得特征值为
y x, t y x, t x A x 2 EJ x f x, t 2 2 t x x
2 2 2
该方程包含四阶空间导数和二阶时间导数。 求解该方程，需要四个边界条件和两个初始条件。
燕山大学机械工程学院
School of Mechanical Engineering, Yanshan University
3.4 梁的弯曲振动
燕山大学机械工程学院
School of Mechanical Engineering, Yanshan University
★细长杆作垂直于轴线方向的振动时，其主要变形形式 是梁的弯曲变形，通常称为横向振动或弯曲振动。
★ 以 y(x ， t) 表示梁的横向位
移，它是截面位置 x 和时间 t 的二元函数；以 f(x,t) 表示作 用于梁上的单位长度的横向 力。
d 2Y L 0 2 dx
将第一组边界条件代入下式
Y x C1sin x C2cos x C3sh x C4ch x 2 d Y x 2 2 2 2 C sin x C cos x C sh x C ch x 1 2 3 4 2 dx
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sinhl cosl
C1
chx
C s in x s h x c s h in ll c s o h s ll(c o sx c h x )
弹性体的振动
【例3】求左端固定、右端用刚度为k的弹簧支承的 均匀梁弯曲振动的频率方程。
解：左端的边界条件为挠度和转角为0 Φ (0)0,Φ (0)0
EI
d2i
dx2
dx
j
ddxEI
d2i
dx2
l
0
l 0
ddxEI
d2i
dx2
jdx
j
ddxEI
d2i
dx2
l 0
EI
d2i
dx2
dj
dx
l
0
l
EI
0
d2i
dx2
d2j
dx2
dx
弹性体的振动
上两式相减得
则 i＝j时
(i22 j)0lAijdx0 0lAijdx0 (ij)
l 0
弹性体的振动
解：左端的边界条件为挠度和转角为0 Φ (0)0,Φ (0)0
弹性体的振动
右端的边界条件：弯矩为0，剪力等于弹性力 Φ(l) 0 QddM x EIqdd3xΦ 3 qkΦ(l)
xl
弹性体的振动
Φ(l) 0
dM d3Φ
Q EIq
qkΦ(l)
dx
dx3
xl
代入特征方程的解
Φ ( x ) C 1 s i n x C 2 c o s x C 3 s h x C 4 c h x
第 i 阶振型有 i － 1 个节点。节点坐标
1
2 l2
EI A
i
l
xk
k
即
xk
kl , i
(k 1, 2 L i 1)
2
4 2
l2
EI
A
3
9 2
l2
EI
A
弹性体的振动
【例2】求两端固定梁弯曲振动的固有频率与固有振型。
解：边界条件为挠度和转角为0，即
Φ (0)0,Φ (0)0 Φ(l)0,Φ(l)0 代入特征方程的解得到
以及 Φ(x)C1cosxC2sinx C4shxC3chx
Φ (x)C12sinxC22cosx C32shxC42chx
弹性体的振动
进一步化E k简I 后 得到3c频h率lcs方h in程llco scosl l1shl
求出后得i 到固i2a有频i2率 EA I, (i1,2L)
Φ 振( x 型) 为 C 1 s i n x C 2 c o s x C 3 s h x C 4 c h x
C s in x s h x c s h in ll c s o h s ll(c o sx c h x )
弹性体的振动
Φ (x)C13cosxC23sinx C33chxC43shx
将边界条件代入得到
C2 C4 0, (C1C3)0
C 1 s i n l C 2 c o s l C 3 s h l C 4 c h l 0
l
0j
d2
dx2
EI
d2i
dx2
dx
l 0
EI
d2i
dx2
d2j
dx2
dx
0li2Aijdx
对第j阶振型进行上面类似的运算得：
l
0i
d2 dx2
EI
d2j
dx2
dx
l 0
EI
d2i
dx2
d2j
dx2
dx
0l2j Aijdx
弹性体的振动
用j左乘上式两端，并积分
l
0j
d2 dx2
i 1
i
弹性体的振动
（3）集中力偶（不推导，只给出结果）
设在x＝x1处受集中力M(t), 这时有
qi Φ i (ix1) 0 tM ()sini(t)d
总响应为
u (x ,t)Φ i(x )Φ i(x 1 )0 tM ()sin [i(t)]d
i 1
i
弹性体的振动
强迫振动的响应求解步骤： （1）根据边界条件求解固有频率和固有振型; （2）利用正规化条件确定振型中的常数因子; （3）求主坐标下的响应; （4）求广义坐标下的响应。
0liAidxMi 1
弹性体的振动
2. 对初始激励的响应 设初始条件为
u(x,0)u0(x)
将其按标准振型展开
u(x,t) t
t0
u&0(x)
u(x,0)u0(x) q0iΦi i1
u& (x,0)u& 0(x) q& 0iΦi i1
弹性体的振动
用Aj左乘上两式，并积分得
l
l
q 0 i 0 A Φ jΦ id x q 0 i0 A Φ iu (x ,0 )d x
化简后得到频率方程
coslchl1
求出后得到固有频率
i i2ai2 EA I, (i1,2L)
弹性体的振动
振型为
Φ ( x ) C 1 s i n x C 2 c o s x C 3 s h x C 4 c h x
C1
sinx
sinl shl chl cosl
C1
cosx
C1
shxsinl chl
i 1
i
弹性体的振动
响应求解步骤： （1）根据边界条件求解固有频率和固有振型; （2）利用标准化条件确定振型中的常数因子; （3）将初始条件变换到标准坐标; （4）求标准坐标下的响应; （5）求物理坐标下的响应。
弹性体的振动
【例4】长为l的均匀简支梁初始静止，设在x＝x1处的 微段d上有初始速度v，求系统对此初始条件的响应。
0
其中
a EI A
弹性体的振动
假定有分离变量形式的解存在，令
u(x,t)Φ (x)q(t)
代入方程得到
a2x22q(t)d2d Φ x(2x)Φ(x)dd 2qt2 (t)
写为
a2
2 x2
d2Φ(x)
dx2
dd2qt2(t)
2
Φ(x)
q(t)
弹性体的振动
则有
d2q(t) dt2
2q(t)
0
x2u2A2tu2 f
弹性体的振动
边界条件
和一维波动方程一样，要使弯曲振动微分方程 成为定解问题，必需给出边界条件和初始条件。
梁的每一端必须给出两个边界条件(以左端为例) 。 （1）固定端：挠度和转角为0，即
u(x,t)
u(0,t)0,
0
x x0
弹性体的振动
（2）简支端：挠度和弯矩为0，即
u(0,t)0,EI
弹性体的振动
3. 对外激励的响应 （1）分布干扰力
设干扰力密度为f(x,t), 和前面杆的外激励受迫振 动响应推动方法一样。利用标准化振型函数 F i ，得到 标准坐标下的解耦方程
q & & i i2qi 0l f(x,y)Φidx
利用杜哈美积分得
qi 1 i 0 lΦ i 0 tf(x,)sin[i(t)]ddx
ut t0 0 v
x12xx12
L
弹性体的振动
变换到主坐标下
qi00lAΦiu0(x)dx0
l
q&i0 0 AΦiu&0(x)dx
A v x12 x12
2 sin ix dx Al l
v 2 A 2l sin i sin i x1
l i 2l
l
v 2 A sin i x1
l
l
qi(t)qi0cositq & i0 i sinit
弹性体的振动
（2）集中力 设在x＝x1处受集中力F(t), 这时可以用函数表示
为分布形式：F(x,t)dx (x-x1), 方程变为
q & & ii2 q i 0 lF (x ,t)( x x 1 ) Φ id x Φ i( x 1 ) F ( t)
总响应为
u (x ,t)Φ i(x)Φ i(x 1 )0 tF ()sin [i(t)]d
AiidxMi
l
0
id d x2 2 E Id d 2 x2i dx0 lE I d d 2 x2i 2dxi2M i
弹性体的振动
梁在激励力作用下的响应
和一维波动方程一样，用振型叠加法求响应
u(x,t) qi(t)Φ(i)(x) i1
1. 标准坐标（正则坐标） 对振型函数按下式条件正则化
解： （1）固有频率与相应的固有振型为
i
i
l
2
EI
A
Φi(x)
Ci
sinix
l
（2）由正规化条件
l
0ΦiAΦidx 1
确定系数Ci
0 lC isinilxA C isinilxdx1
弹性体的振动
求得 所以
Ci
2 Al
Φi(x)
2 sinix Al l
（3）初始条件。按题意
u(x,0)0,
弹性体的振动
取微段梁 d x ，截 面上的弯矩与剪力为 M 和 Q ，其正负号的 规定和材料力学一样 。
则微段梁dx沿z方向的运动方程为：
QQ Q xdxfdxAdx 2 tu 2
弹性体的振动
即
Q x
A2tu2
f
利用材料力学中的关系
Q M x
M
EI
2u x2
得到梁的弯曲振动方程
2 x2
EI
EI x2
k0
xl
x xl
3u(x,t)
EI
ku(l,t)
x3