初等数论 第一章 整除1-4

如果k 1是合数，则存在素数p与整数d，使得k 1
= pd.由于2 ≤ d ≤ k，由归纳假定知存在素数q1 , q2 , , ql，使得d = q1q2ql，从而k 1 = pq1q2ql . 从而由归纳法推出式(1)对任何大于1的整数a成立。 证毕。
推论
任何大于1的合数a必有一个不超过a1/2的素 因数。 证明 由于 a是合数，故存在整数 b和 c使 a＝bc, 其中: 1<b<a, 1<c<a. 若b和c均大于 a1/2 , 则a＝bc＞a1/2· a1/2＝a, 这是不可能的. 因此b和c中必有一个小于或等于a1/2.
定理3 最大自然数原理 设M是N的非空子集.若M有上界，即存在 a∈N, 使对任意的m ∈M有m ≤ a, 那么必 有m0 ∈M，使对任意的m ∈M有m ≤ m0， 即m0是M中的最大自然数。
定理4 第二数学归纳法 设 P(n) 是关于自然数 n 的一种性质或命题. 如果(ⅰ) 当 n=1 时， P(1) 成立； (ⅱ)设 n>1. 若对所有的自然数 m<n, P(m)成立， 则必可推出P(n)成立，那么, P(n) 对所有 自然数 n 成立.
按以下步骤进行：
(ⅰ) 删去1，剩下的后面的第一个数是2，2是素数； (ⅱ) 删去2后面的被2整除的数，剩下的2后面的第 一个数是3，3是素数； (ⅲ) 再删去3后面的被3整除的数，剩下的3后面的 第一个数是5，5是素数； (ⅳ) 再删去5后面的被5整除的数，剩下的5后面的 第一个数是7，7是素数； 照以上步骤可以依次得到素数2, 3, 5, 7, 11, . 由定理2推论可知，不超过100的合数必有一个不超 过10的素约数，因此在删去7后面被7整除的数以后， 就得到了不超过100的全部素数.
例5 写出不超过100的所有的素数.
解 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 将不超过100的正整数排列如下： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 23 24 25 26 27 28 29 30 32 33 34 35 36 37 38 39 40 42 43 44 45 46 47 48 49 50 52 53 54 55 56 57 58 59 60 62 63 64 65 66 67 68 69 70 72 73 74 75 76 77 78 79 80 82 83 84 85 86 87 88 89 90 92 93 94 95 96 97 98 99 100
| b。 a整除，记为a
被2整除的数称为偶数，不被2整除的称为奇数
定理1 下面的结论成立：
(ⅰ) a|b (-a)|b a|(-b) (-a)|(-b) |a|||b|； (ⅱ) ab，bc ac； (ⅲ) ab, ac 对任意 x、y , 有abx+cy ,一般地， abi，i = 1, 2, , k ab1x1 b2x2 bkxk， 此处xi（i = 1, 2, , k）是任意的整数； ( ⅳ ) a b acbc，c是任意的非零整数； (ⅴ ) a b且 b a a= b； (ⅵ) ab，b 0 |a| ≤|b|；ab且|b| < |a| b = 0.
集合. 若d|b-c, 则 d|f(b)-f(c).
定义2
显然每个非零整数a都有约数 1，a，称 这四个数为a的显然因数，a的另外的因数 称为非显然因数。
若整数a 0，1，并且只有约数 1和 a， 则称a是素数（或质数）；否则称a为合数。
以后在本书中若无特别说明，素数总是指 正素数。
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例1 证明：若3|n且7|n，则21|n. 例2 设a=2t-1. 若a|2n, 则a|n.
例3 设a 、b是两个给定的非零整数，且有整数
x、 y，使得 ax+by=1. 证明：若a|n且b|n, 则ab|n.
例4 设f(x)=anxn+an-1xn-1++a1x+a0 ∈Z[x],
其中Z[x]表示全体一元整系数多项式组成的
归纳原理
定理1 数学归纳法 设P(n)是关于自然数n的一种性质或命题.如果 (ⅰ)当n=1时，P(1)成立； (ⅱ)由P(n)成立必可推出P(n+1)成立， 那么， P(n)对所有自然数n成立.
定理2 最小自然数原理 设T是N的一个非空子集. 那么，必有t0 ∈T, 使对任意的t ∈T有t0≤t，即t0是T中的最小 自然数.
数论的基本内容
按照研究方法的不同，数论可分为
初等数论 解析数论 代数数论 几何数论
参考书目
1、南基洙主编《初等数论》； 2、柯召、孙琦编著《数论讲义》，高等教育 出版社； 3、闵嗣鹤、严士健编《初等数论》，高等教 育出版社；
4、郑克明主编《初等数论》，西南师范大学
出版社。
初等数论
第一章 整除 §1 自然数与整数
定理2
设A = { d1, d2, , dk }是n的所有约数的集合，则 n n n B = { , ,, } 也是n的所有约数的集合。 d1 d2 dk 解 由以下三点理由可以证得结论：
(ⅰ) A和B的元素个数相同；
(ⅱ) 若diA，即din，则
n n (ⅲ) 若di dj，则 d d . i j
定理5 鸽巢原理 设n是一个自然数.现有n个盒子和n+1个物体. 无论怎样把这n+1个物体放入这n个盒子中， 一定有一个盒子中被放了两个或两个以上的 物体。
§2 整除
定义1
设a，b是整数，a 0，如果存在整数q， 使得b = aq，则称b可被a整除，记作ab ， 且称b是a的倍数，a是b的约数(因数、除数)； 如果不存在整数q使得b = aq成立，则称b不被
n di
| n，反之亦然；
定理3
(ⅰ) a>1是合数的充要条件是 a=de,1<d<a,1<e<a; (ⅱ)若d>1, q是不可约数且d|q, 则d=q.
定理4 若a是合数，则必有不可约数p|a.
定理5 设整数a≥2, 那么a一定可表为素数的乘积
(包括a本身是素数)，即 a=p1p2 ps其中pj（1≤j ≤s) 是素数. 证明 当a = 2时，结论显然成立。 假设对于2 ≤ a ≤ k，式(1)成立，我们来证明式(1) 对于a = k 1也成立，若k 1是素数，式(1)显成立.